河南省豫西名校2019-2020学年高二上学期第一次联考数学试题 PDF版含答案
=
3 4
.
二、填空题
． ．- ． ． ， 13 − 1 14 8 15 9π
16
3 2
3
13．【解析】法一：令 n = 1 ，则 a3 = a2 − a1 = 5 −1 = 4 ；
令 ，则 ； n = 2
a4 = a3 − a2 = 4 − 5 = −1
令 ，则 ；令 ，则 ； n = 3
c = 5.
a5
11．【答案】D
【解析】根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，
， ， N3
=
1 3
(1 +
2
+
3
+
4
+
5
+
6
+
7
+
8
+
9)
= 15
N4
=
1 4
(1 +
2
+
3+
4+⋯+14
+ 15
+ 16)
=
34
， ， N5
=
1 (1 + 5
2
+
3
+
4
+⋯+
23
+
24
+
25)
=
65
…
． ∴ Nn
=
由 ， 得 ，即 ① Sn = 0 Sn+1 = 4 an+1 = 4
a1 + n = 4
由 得 ，即 ② Sn = 0
na1
+
n(n −1)
2
=
0
a1
+
n
−1 2
=
0
可解得： n = 7 ．……（12 分）
19．【解析】
（1）等差数列{an}的公差设为 d ，前 n 项和为Sn，
由 ， ． S4 = 32 S13 = 221
由余弦定理可得： b2 = a2 + c2 − 2ac cos B = a2 + c2 − 2 ac 3
， = a2 + (2 − a)2 − 2 a(2 − a) == 8 (a −1)2 + 4
3
3
3
∵ ，∴ ， 0 < a < 2
2 3 ≤b<2
3
所以 b
的取值范围为
23 3
,
2
即 ，因为 ，所以 ， sin Asin B = 2 2 sin Acos B
sin A ≠ 0
sin B = 2 2 cos B > 0
高二数学参考答案 第 5 页（共 7 页）
又因为 sin2
，解得： B+cos2 B =1
cos B
=
1
.
……（6
分）
3
（2）∵ a + c = 2 ，可得 c = 2 − a ，
+
1 n
−
n
1 +
2
．……（ 分） =
1 2
3 2
−
1 n +1
−
n
1 +
2
12
20．【解析】
（ ）因为 ， 1
cosC + cos Acos B = 2 2 sin Acos B
所以 ， − cos( A + B) + cos A cos B = 2 2 sin A cos B
.……（12
分）
21．【解析】
（ ） 点 在函数 的图象上， 1 ∵ (n, Sn )
f (x) = 1 x2 + 1 x
22
∴ Sn
=
1 2
n2
+
1 2
n
当 时， ，② n ≥ 2
Sn−1
=
1 2
(n
− 1)2
+
1 2
(n
−1)
①-②得 an = n .
当 n = 1 时， a1 = S1 = 1，符合上式， ∴an = n(n∈N*) ．……（4 分）
，解得 ． (3aa11
+ 3d + 2d
=9
−1)2
=
( a1
+
d
− 1) ( a1
+
4d
−1)
a1 d
= =
1 2
∴ ． S5
=
5×1+
5×
4× 2
2
=
25
．【解析】∵ ，∴由正弦定理可得 ， 10
bsin2A+ 2asin B = 0
sin Bsin 2A+ 2 sin Asin B = 0
豫西名校 2019—2020 学年上期第一次联考
高二数学参考答案
一、选择题
题号
123456789
10
11
12
答案 C C A B D B C B D C
D
A
1．【解析】在△ABC 中，由正弦定理得 a = b ，所以b = a⋅sin B = 3
sin A sin B
sin A
2 ⋅sin π 4
，所以 ， = 3 + 5 + 7 + … + (2n +1) = 1 n ⋅ (2n + 4) = n(n + 2) 2
1 bn
=
1 2
1 n
−
n
1 +
2
故数列 前 项和：
1
n
bn
Tn
=
1 2
1−
1 3
+
1 2
−
1 4
+
1 3
−
1 5
+⋯ +
1 n −1
−
1 n +1
6
∴ a2020 = a336×6+4 = a4 = −1.
法二： ①， ②，① ②得 an+2 = an+1 − an (n ∈ N*)
an+3 = an+2 − an+1
+
， ， ， 周期为 ， { } an+3 + an+2 = an+1 − an + an+2 − an+1 ∴an+3 = −an ∴an+6 = −an+3 = an ∴ an
1 n
(1 +
2
+3+
4
+5+…+
n2 )
=
1 n
×
n2 (1 + 2
n2 )
=
n(n2 + 1) 2
故 ． N9
=
9(92 +1) 2
=
9×
41
=
369
高二数学参考答案 第 2 页（共 7 页）
12．【解析】 ∵ A = 2C ，由正弦定理 c = a ，即 c = a = a ， sin C sin A sin C sin 2C 2 sin C cos C
− Tn
2
2
三、解答题
17．【解析】
（1）设等差数列{an}的公差为 d
由题意可得： ，解得 ． a1 a1
+ +
d + a1 + 3d = 5d = 3a1 + 3d
6
a1 d
=
1 1
所以数列{an}的通项公式为 an =1+ n −1 = n （ …… 5 分）
（2）由（1）知
Sn
=
n
(n +1)
sin 60
=
x
sin(120
−α)
x = 4 3 sin(120° −α) 3
30° < 120° −α < 120°
120° −α = 90° ，即α = 30°时，x 有最大值，故竹竿与地面所成的角为30° 时，影子最长．
．【解析】因为 ＝ ， ，所以 ＝ ，所以 4
a5 + a7 = ( a1 + a3 ) q 4 q4 a9 + a11 = ( a1 + a3 ) q 8
R = 3 S = π R2 = 9π
R
3
3
高二数学参考答案 第 3 页（共 7 页）
16．【解析】由 及余弦定理可得 3(a cos B + b cos A) = 2c sin C
，即 ，所以 ．又△ 3(a⋅ a2 +c2 −b2 +b⋅ b2 + c2 −a2 ) = 2c sin C
3c = 2c sin C
π sin
=2
3.
3
．【解析】 ， ，解得： ， 2
∵ 2 + a5 = a6 + a3 ∴2 + a4 + d = a4 + 2d + a4 − d
a4 = 2
∴S7
=
7(a1 +
2
a7
)
=
7a4
= 14
3．【解析】设竹竿与地面所成的角为α ，影子长为 x m．由正弦定理，得
，所以 ，因为 ，所以当 2
， ， ∴cos
C
=
a 2c
=
2
n +1
(n −1)
cos C
=
a2
河南省豫西名校2020-2021学年高二上学期第一次联考数学试题(1)
设等差数列 的公差为 ，
因为 ，所以 ，解得 ，
所以 ，故选C.
【点睛】
本题主要考查了等差数列的通项公式，以及前 项和公式的应用，其中解答中利用等差数列的通项公式和前 项和公式，列出方程，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
4．B
【解析】
【分析】
本题首先可以根据“ 、 是方程 的两根”计算出 的值，然后通过等比数列的相关性质得出 ，即可计算出 的值．
7．C
【解析】
【分析】
根据等差数列中， ，得 ，又由 ，得 ，
进而得到 ，即可得到答案。
【详解】
由题意，因为无穷等差数列 中，它的前n项和 ，且 ， ，
由 ，可得 ，又由 ，可得 ，
所以 ，
所以当 时， ，当 时， ．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了等差数列前n项和与通项 的关系的应用，其中解中熟记等差数列的前n项和与通项 之间的关系，合理应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。
8．A
【解析】
分析：设经过x小时两船相距最近，然后分别表示出甲乙距离B岛的距离，再由余弦定理表示出两船的距离，最后根据二次函数求最值的方法可得到答案.
A．1B． C．2D．4
7．已知无穷等差数列 中，它的前n项和 ，且 ， 那么
A． 中 最大B． 中 或 最大
C．当 时， D．一定有
8．甲船在岛B的正南方A处， 千米，甲船以每小时4千米的速度向正北匀速航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东 的方向匀速航行，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是
6．A
【分析】
由 得b2+c2-a2=bc．利用余弦定理，可得A= ．再利用正弦定理可得 2R= ，可得R.
2019-2020学年河南省创新发展联盟高二上学期第一次联考数学(文)试题及答案
绝密★启用前2019-2020学年河南省创新发展联盟高二上学期第一次联考数学（文）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．若角α的终边经过点()2,4-，则cos α=（）A．BC． D解：由题可知：角α的终边经过点()2,4-则cos α=== 故选：A点评：本题主要考查角的三角函数的定义，掌握公式cos α=α=，属基础题.2．在等比数列{}n a 中，24681,4a a a a +=+=，则2a =() A ．2 B ．4 C ．12D ．13解：因为()42468241,4a a a a a a q +=+=+=，解得22q =.因为()224211a a a q +=+=，所以213a=.选D. 点评：本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 3．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若60A =︒，a bc =2，则sin sin B C =（）A ．12B C ．35D ．34答案D由正弦公式把边化角，再由60A =︒即可求解． 解：解：由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C=== 得2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C = 因为a bc =2，所以2sin sin sin B C A =60A =︒，sin A ∴=23sin sin sin 4B C A ==.故选D 点评：本题考查利用正弦定理解决问题，正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C=== 边化角：2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =，属于基础题． 4．若各项均为正数的等比数列{}n a 满足31232a a a =+，则公比q =（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案C由正项等比数列满足31232a a a =+，即211132a q a a q =+，又10a ≠，即2230q q --=，运算即可得解. 解：解：因为31232a a a =+，所以211132a q a a q =+，又10a ≠，所以2230q q --=，又0q >，解得3q =. 故选：C. 点评：本题考查了等比数列基本量的求法，属基础题. 5．已知平面向量,a b ，满足1,13a b ==，且2a b a b +=+，则a 与b 的夹角为（） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π答案C根据2a b a b +=+，两边平方222a b a b +=+，化简得()223ab a =-，再利用数量积定义得到()22cos ,3a b a b a =-求解.解：因为平面向量,a b ，满足1,13a b ==，且2a b a b +=+， 所以222a b a b +=+， 所以()223ab a =-，所以()22cos ,3a b a b a =-，所以1cos ,2a b =-， 所以a 与b 的夹角为23π.故选：C 点评：本题主要考查平面向量的模，向量的夹角和数量积运算，属于基础题.6．ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，若46a b C π===，，则ABC ∆的面积为（）A ．BC D答案B根据三角形面积公式1sin 2ABC S ab C ∆=，简单计算，可得结果. 解：由题可知：46a b C π===，所以111sin 4222ABC S ab C ∆==⨯=故选：B 点评：本题考查三角形的面积公式，属基础题.7．已知函数()()sin 0f x x ωω=>的最小正周期为π，则为了得到()sin 33g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，下面结论正确的是（）A ．将()f x 图象上各点的横坐标伸长到原来的32倍，纵坐标不变，再把所得图象向左平移3π个单位长度B ．将()f x 图象上各点的横坐标伸长到原来的32倍，纵坐标不变，再把所得图象向左平移9π个单位长度C ．将()f x 图象上各点的横坐标缩短到原来的23，纵坐标不变，再把所得图象向左平移3π个单位长度D ．将()f x 图象上各点的横坐标缩短到原来的23，纵坐标不变，再把所得图象向左平移9π个单位长度 答案D根据最小正周期以及2Tπω=，可得ω，然后根据伸缩变换以及平移变换，可得结果. 解：由题可知：222T ππωπ=== 所以函数()sin 2f x x =将将()f x 图象上各点的横坐标缩短到原来的23则可得3sin 2sin 32y x x ⎡⎤⎛⎫=⨯= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦然后纵坐标不变，横纵标向左平移9π个单位长度， 则可得到()sin 3sin 393g x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 故选：D 点评：本题考查伸缩变换以及平移变换，考验分析能力，属基础题. 8．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知6b =，6A π=，若该三角形有两解，则a 的取值范围是()A ．（3,6）B ．（0,3）C ．()D ．()+∞答案A利用正弦定理列出关系式，将a b sinA ，，的值代入表示出sinB ，根据B 的度数确定出B 的范围，要使三角形有两解确定出B 的具体范围，利用正弦函数的值域求出x 的范围即可． 解：解：∵在△ABC 中,6,6b A π==，∴由正弦定理得16sin 32sin b A B a a a⨯===， ∵6A π=，∴506B π<<， 要使三角形有两解，得到：566B ππ<<，且2B π≠，即1sin 12B <<∴1312a<< 解得：36a <<， 故选A ． 点评：此题考查了正弦定理，以及正弦函数的性质，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于中档题． 9．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若60A =︒，a bc =2，则ABC ∆为（）A ．直角三角形B ．锐角非等边三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形答案D由余弦定理可得b c =，又60A =︒，故ABC ∆为等边三角形． 解：在ABC ∆中，60A =︒，a bc =2，由余弦定理得222222cos a b c bc A b c bc bc =+-=+-=，()20b c ∴-=b c ∴=，又60A =︒，故ABC ∆为等边三角形.故选D 点评：本题考查余弦定理在判断三角形形状的应用，属于基础题．10．设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且712a a =-，则954S S S =+（）A ．16B ．17C ．18D ．-9答案D假设公差d ，根据712a a =-，可得12a d =-，然后根据等差数列的前n 项和公式，计算954S S S +，简单计算，可得结果. 解：设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠ 由712a a =-，所以1162a d a +=- 所以12a d =-①则195411989254435422da S d dS S a a ⨯+=⨯⨯++++②把①代入②化简得;9541892S dS S d==-+- 故选：D 点评：本题考查等差数列得通项公式以及前n 项和公式的应用，属基础题. 11．设ABC∆的内角A B C，，的对边分别为a b c ，，，若()()()sin sin sin sin B C b c B A a +-=-，且1b =，则c 的最小值为（）A ．12B．2C ．14D ．34答案B根据正弦定理，将角化边则有222b a c ab +-=，然后代值计算并结合二次函数的性质，可得结果. 解：由题可知：()()()sin sin sin sin B C b c B A a +-=- 且sin sin sin a b cA B C== 则()()()b c b c b a a +-=-，化简得：222b a c ab +-=又1b =，所以221c a a =-+，即c =当12a =时，c故选：B 点评：本题主要考查正弦定理的应用，识记公式，灵活应用边角之间的转化，属基础题. 12．在数列{}n a 中，1211,45a a ==，且1223111n n n a a a a a a na a ++⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=⋅，则101184111a a a ++⋅⋅⋅+=（） A ．3750 B ．3800C ．7500D ．7600答案A根据条件，不妨用1n +来取代n ，得到新的式子，然后与原来的条件结合可得1214n n n na a +++-=，依据该递推公式可得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，最后简单计算，可得结果.解：由1223111n n n a a a a a a na a ++⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=⋅① 用1n +来取代n ，则()122312121n n n a a a a a a n a a +++⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=+⋅② 用②-①可得：()1212111n n n n a a n a a na a ++++=⋅⋅-⋅+ 由114a =，所以1214n n n n a a +++-=③ 用1n -来取代n ，则114n n n n a a +--=④ 用③-④得：122n n n n n n a a a ++=+，即12211n n n a a a ++=+ 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，首项为114a =公差为21111d a a =-=，则13nn a =+ 令101184111T a a a =++⋅⋅⋅+， 则()1084117510384375375022a a T ⎛⎫+⨯ ⎪+++⨯⎝⎭=== 故选：A 点评：本题考查递推公式的应用以及等差数列的求和，关键在于能得到数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，考验观察能力以及分析能力，属中档题. 二、填空题13．已知等差数列{}n a 的首项为1，且532a a a =+，则2a =____________. 答案2假设公差d ，然后利用等差数列的通项公式并结合532a a a =+可得d ，最后可得结果. 解：设等差数列{}n a 的公差为d 由532a a a =+，所以11142a a a d d d ++++=，又11a = 所以1d =则n a n =，所以22a = 故答案为：2 点评：本题考查等差数列通项公式的应用，考验计算，属基础题. 14．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，,43B C ππ==,c =，则a =______.3由已知利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求sin A 的值，进而根据正弦定理可求a 的值．解：因为,,43B C c ππ===sin sin c Bb C===因为()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，所以1cos cos 32a b C c B =+=-=. 点评：本题主要考查了三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 15．已知数列{}n a的通项公式为n a =，则数列{}n a 的前n 项和n S =____________.答案112化简n a =，可得2n a =.解：由题可知：n a =则n a =所以12n n S a a a =+++则122n n S =++所以112nS =故答案为：112点评：本题考查裂项相消法求和，考验观察能力，熟练掌握常用的求和方法：裂项相消法，错位相减，公式法，属基础题.16．若函数()2cos 21,,33f x x x x ππ⎡⎤=--∈-⎢⎥⎣⎦的图象与直线y m =恰有两个不同交点，则m 的取值范围是______. 答案(3,2]--化简函数解析式为()2sin(2)16f x x π=--，可求范围52,662x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，由题意方程2sin(2)16x m π--=在,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解，作出函数的图象，数形结合可得m 的取值范围． 解：()3sin2cos212sin 216f x x x x π⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，画出()f x 的图象，可得32m -<≤-. 点评：本题主要考查正弦函数的最大值和单调性，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的图象特征，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题． 三、解答题17．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，225+=-a S ，515=-S . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求12231111+++⋯+n n a a a a a a . 答案（1）n a n =-；（2）1nn +. (1)利用方程的思想，求出首项、公差即可得出通项公式；（2）根据数列{}n a 的通项公式表示出11n n a a +，利用裂项相消法即可求解. 解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由221325+=+=-a S a d ，5151015=+=-S a d ，即123+=-a d ，解得11a =-，1d =-，所以()11=---=-n a n n .（2）由n a n =-，所以11111(1)1+==-++n n a a n n n n ， 所以122311111111112231+⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯+=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n a a a a a a n n 1111n n n =-=++. 点评：利用裂项相消法求和的注意事项(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．18．设a,b,c 分别为ABC 内角A,B,C 的对边.已知sin 2cos cos 2cos cos a A b A C c A B =+.(1)求tan A ;(2)若b =tan c A =,求a.答案(1)tan 2A =.(2)a =（1）利用正弦定理将边化角，再用两角和的正弦公式计算可得.（2）根据同角三角函数的基本关系求出cos A ，再由余弦定理即可得解.解：解:(1)因为sin 2cos cos 2cos cos a A b A C c A B =+,所以()2sin 2cos sin cos cos sin A A B C B C =+, ()2sin 2cos sin A A B C ∴=+2sin 2cos sin A A A ∴=因为sin 0A >,所以sin 2cos A A =,所以tan 2A =.(2)因为tan 2A =,22sin 2cos sin cos 1A A A A =⎧∴⎨+=⎩解得cos 5sin A A ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或cos 5sin A A ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以cos A =.由余弦定理可得2222cos 54225a b c bc A =+-=+-=,所以a =.点评： 本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，同角三角函数的基本关系以及两角和的正弦公式，属于中档题.19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()*225n n S a n n N=+-∈，公差不为0的等差数列{}nb 满足11b =，238b b b = ()1证明：数列{}2n a -为等比数列．()2记()12n n n c b a +=-，求数列{}n c 的前n 项和n T ．答案(1)证明见解析(2)()1 2326n n T n +=-⋅+．()1直接利用已知条件和等比数列的定义的应用求出结果．()2利用()1的结论，进一步利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出结果．解：()1数列{}n a 的前n 项和为n S ，()*225n n S a n n N =+-∈①，当1n =时，解得13a =．当2n ≥时，11227n n S a n --=+-②-①②得122n n a a -=-， 整理得122(2n n a a --=-常数)， 所以数列{}2n a -是以1为首项2为公比的等比数列．()2由()1得1212n n a --=⋅，解得122n n a -=+．公差d 不为0的等差数列{}n b 满足11b =，238b b b =，解得()()11217d d d ++=+，解得2d =或0(舍去)，所以21n b n =-，则()()12212nn n n c b a n +=-=-⋅， 所以()121232212nn T n =⋅+⋅+⋯+-⋅① ()23121232212n n T n +=⋅+⋅⋯+-⋅②，-①②得()2312222222212n n n T n +-=+⋅+⋅+⋯+⋅--⋅，所以()()114122221212n n n T n -+--=+⋅--⋅-， 整理得()12326n n T n +-=--⋅-， 故()12326n n T n +=-⋅+．点评： 本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．20．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知0ccosB bsinC -=，2cosA cos A =． ()1求C ；()2若2a =，求，ABC 的面积ABC S 答案(1) 12π．(2) ()1由已知利用正弦定理，同角三角函数基本关系式可求1tanB =，结合范围()0,B π∈，可求4B π=，由已知利用二倍角的余弦函数公式可得2210cos A cosA --=，结合范围()0,A π∈，可求A ，根据三角形的内角和定理即可解得C 的值．()2由()1及正弦定理可得b 的值，根据两角和的正弦函数公式可求sinC 的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．解：() 1由已知可得ccosB bsinC =， 又由正弦定理b c sinB sinC=，可得ccosB csinB =，即1tanB =， ()0,B π∈，4B π∴=，2221cosA cos A cos A ==-，即2210cos A cosA --=，又()0,A π∈，12cosA ∴=-，或1(舍去)，可得23A π=， 12C AB ππ∴=--=．()223A π=，4B π=，2a =， ∴由正弦定理a b sinA sinB=，可得2a sinB b sinA ⨯⋅===()1sin 22224sinC A B sinAcosB cosAsinB ⎛⎫=+=+=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭，113222343ABC S absinC ∴==⨯⨯=． 点评：本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角的余弦函数公式，三角形的内角和定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式等知识在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．21．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象上两个相邻的最高点之间的距离为2π，且直线6x π=是函数()f x 图象的一条对称轴.（1）求()f x 的解析式；（2）若α满足()33f f παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求tan2α.答案（1）()()sin f x x ϕ=+；（2）（1）先计算出最小正周期T ，根据2Tπω=，可得ω，然后根据对称轴，可得ϕ，最后求得结果.（2）根据（1）的结论，可得2sin 3sin 33ππαα⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，计算可得tan α=，然后根据二倍角的正切公式，可得结果.解： （1）由题可知：函数()f x 的最小正周期为2T π= 所以21Tπω==，则()()sin f x x ϕ=+ 又直线6x π=是函数()f x 图象的一条对称轴 所以si 616n f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=±⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以,62k k Z ππϕπ+=+∈ 则,3k k Z πϕπ=+∈，又2πϕ<所以3πϕ=所以()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）由()33f f παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 根据（1）可知：2sin 3sin 33ππαα⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则22sin cos cos sin 3sin cos cos sin 3333ππππαααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭化简可得：2sin αα=，由cos 0α≠，所以tan 2α=所以22tan tan 21tan ααα==-点评： 本题考查()sin y A ωx φ=+的应用，掌握参数,,A ωϕ的求法，还考查了两角和的正弦公式化简以及二倍角的正切公式，识记公式，属基础题.22．数列{}n a 中，11a =，12310n n a a n ++++=，n n b a n =+.（1）证明：数列{}n b 是等比数列.（2）若2100m ≤≤，*m N ∈，且1122n m n m b m b b m b ++-+=-+，求m n +的值. 答案（1）见解析（2）9或35或133（1）分别写出1n b +和n b ，做商，再用12310n n a a n ++++=表示出1n a +，代入1n nb b +即可得q ，由11a =可得1b ，得证；（2）由（1）得数列{}n b 的通项公式，代入1122n m n m b m b b m b ++-+=-+并整理，根据2100m ≤≤即得m+n 的值。
2019-2020学年河南省豫西名校2018级高二上学期第一次联考数学试卷及解析
2019-2020学年河南省豫西名校2018级高二上学期第一次联考数学试卷★祝考试顺利★一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3A π=，4B π=，a =，则b =（ ）A. B. 2C. 3D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用正弦定理sin sin a bA B=，可直接求出b 的值. 【详解】在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin a b A B=，所以sin sin 4sin sin3a Bb Aππ⋅===故选：A.2.已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，2+a 5＝a 6+a 3，则S 7＝（） A. 2 B. 7 C. 14 D. 28【答案】C 【解析】 【分析】先计算4a ,在利用公式求出7S 【详解】2+a 5＝a 6+a 342a ⇒= ，17747()=7142a a S a +==,选C.3.当太阳光与水平面的倾斜角为60︒时，一根长为2 m 的竹竿如图所示放置，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角为A. 30°B. 60︒C. 45︒D. 90︒【答案】A 【解析】 【分析】设竹竿与地面所成的角为α，影子长为x m ．由正弦定理，求得3)3x α=︒-，即可得到答案．【详解】设竹竿与地面所成的角为α，影子长为x m ．由正弦定理，得2=sin 60sin(120)x α-o o ，所以43)x α=︒-， 因为30120120α︒<︒-<︒，所以当12090α︒-=︒，即30α=︒时，x 有最大值, 故竹竿与地面所成的角为30°时，影子最长．故选A ．4.在等比数列{}n a 中，131a a +=，5791120a a a a +++=，则1a =（ ）A. 16B. 13C. 2D. 4【答案】B 【解析】 【分析】将5791120a a a a +++= 转化为关于13a a + 和q 的算式，计算出q 即可求出1a ．【详解】因为()45713a a a a q +=+＝q 4，()891113a a a a q +=+所以q 8+q 4＝20，所以q 4＝4或q 4＝﹣5（舍）， 所以q 2＝2，。
河南省2019-2020学年豫西名校高二期末联考数学(理科)试题(wd无答案)
河南省2019-2020学年豫西名校高二期末联考数学（理科）试题一、单选题(★★) 1. 已知复数 z＝，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(★) 2. 已知命题：，则为（）A．，B．，C．，D．，(★) 3. 双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2(★) 4. 已知等比数列{ a n}满足 a 1 a 6＝ a 3，且 a 4+ a 5＝，则 a 1＝（）A．B．C．4D．8(★) 5. 为了奖励班上进步大的8名学生，班主任购买了5本相同的书和3本相同的笔记本作为奖品分发给这8名学生，每人一件，则不同的分法有（）A．28种B．56种C．112种D．336种(★★) 6. 已知函数 f( x)＝ ln2 x+ x 2，则曲线 y＝ f( x)在点（， f（））处的切线在 y轴上的截距为（）A．﹣B．﹣C．﹣D．(★★★) 7. 已知实数、满足约束条件，且的最大值为，则（）A．B．C．D．(★★)8. “ ”是“ ”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(★★★) 9. 等差数列的前项和为，，，则满足的（）A．50B．51C．100D．101(★) 10. 某养殖场需要通过某装置对养殖车间进行恒温控制，为了解用电量 y（kW•h）与气温x（）之间的关系，随机统计了某5天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温（）34567用电量（kW•h） 2.534 4.56若利用线性回归方程预测时的用电量为8.25kW•h，则预测时的用电量为（）A．8.75kW•h B．9.86kW•h C．9.95kW•h D．12.24kW•h(★★★) 11. 已知函数在上有极值，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．(★★)12. 已知某中学高三学生的近视率为p（0＜p＜1），从该校高三学生中随机抽取20人，设 X为其中近视的人数，若 D（ X）＝4.2且 P（ X＝11）＜ P（ X＝9），则 p＝（）A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7二、填空题(★★) 13. 在（ x 2﹣）5的展开式中，含 x 2的项的系数是_____（用数字作答）.(★★) 14. 若正实数满足，则的最小值为_____.(★★★) 15. 已知抛物线 C：，点 N在 C上，点，若点 M， N关于直线对称，则_____.(★★★) 16. 已知函数 f( x)＝，若存在 x 1， x 2（ x 2＞ x 1）满足 f（ x 1）＝ f （ x 2），则 x 2﹣2 x 1的取值范围为_____.三、解答题(★★★) 17. 已知 ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，且 asin B＝ bcos（ A+ ）.（1）求角 A；（2）若 b＝2， c＝ a，求 ABC的面积.(★★★) 18. 如图，在三棱柱 ABC﹣ A 1 B 1 C 1中，侧面 ABB 1 A 1和侧面 BCC 1 B 1都是边长为2的菱形，且∠ BAA 1＝∠ CBB 1＝60°.（1）证明： BB 1⊥ A 1 C；（2）若 A 1 C＝.求二面角 A﹣ BC﹣ A 1的余弦值.(★★★) 19. 已知椭圆 C：＝1的右焦点为 F，过 F的直线与椭圆 C交于 A， B两点，AB的中点为 D.（1）若点 D的纵坐标为﹣，求直线 AB的方程；（2）线段 AB的中垂线与直线 x＝﹣4交于点 E，若| AB|＝，求| DE|.(★★★) 20. 零部件生产水平是评判一个国家高端装备制造能力的重要标准之一，其中切割加工技术是一项重要技术某精密仪器制造商研发了一种切割设备，用来生产高精度的机械零件，经过长期生产检验，可以认为该设备生产的零件尺寸服从正态分布 N（μ，σ 2）.某机械加工厂购买了该切割设备，在正式投入生产前进行了试生产，从试生产的零件中任意抽取10件作为样本，下面是样本的尺寸 x i（ i＝1，2，3，…，10，单位：mm）：100.03100.499.92100.5299.98100.3599.92100.44100.66100.78用样本的平均数作为μ的估计值，用样本的标准差s作为σ的估计值.（1）按照技术标准的要求，若样本尺寸均在（μ﹣3 σ，μ+3 σ）范围内，则认定该设备质量合格，根据数据判断该切割设备的质量是否合格. （2）该机械加工厂将该切割设备投入生产，对生产的零件制定了两种销售方案（假设每种方案对销售量没有影响）：方案1：每个零件均按70元定价销售；方案2：若零件的实际尺寸在（99.7，100.3）范围内，则该零件为A级零件，每个零件定价100元，否则为B级零件，每个零件定价60元. 哪种销售方案的利润更大？请根据数据计算说明.附：≈100601.8，样本方差.若X～N（μ，σ 2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+ σ）＝0.6827，P（μ﹣2 σ＜X＜μ+2 σ）＝0.9545(★★★★) 21. 已知.（1）设，讨论的单调性；（2）若对任意恒成立，求的取值范围.(★★★) 22. 已知圆 C的极坐标方程为ρ 2+2 ρsin（θ﹣）﹣2＝0，直线 l的极坐标方程为θ＝（ρ∈ R）.以极点为坐标原点，极轴为 x轴正半轴建立直角坐标系 xOy.（1）求圆 C的半径；（2）直线 l与圆 C的交点为 A， B，求 ABC的面积.。
豫西名校2019—2020学年上期第一次联考高一数学试卷及答案解析
豫西名校2019—2020学年上期高一第一次联考数 学 试 题考生注意: 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分,共150分,考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（每小题5分,共60分）1. 满足{}{}4,3,2,11⊆⊆A 的集合A 的个数为【 】 （A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）82. 设集合{}4,2,0=A ,{}022=+-=m x x x B ,若{}4=B A ,则=B 【 】 （A ）{}4,2- （B ）{}4,2 （C ）{}4,2-- （D ）{}4,2-3. 已知幂函数()m kx x f 2=的图象过点()4,2,则=+m k 【 】（A ）4 （B ）29 （C ）5 （D ）2114. 若A x ∈,则A x ∈1,就称A 是和美集合,集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=3,1,31,21,0,1M 的所有非空子集中是和美集合的个数为【 】（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 5. 函数()()1112log 2-+-=x x x f 的定义域为【 】 （A ）⎪⎭⎫⎝⎛+∞,21 （B ）()+∞,1（C ）()+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,2,21 （D ）()+∞⎪⎭⎫⎝⎛,11,216. 已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>≤++=2,202,222x xx x x x f ,则()=)1(f f 【 】（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）67. 已知函数()x f 是定义在R 上的奇函数,当()+∞∈,0x 时,()()x x x f 222ln -+=,则()1-f 等于【 】（A ）24ln -- （B ）14ln -- （C ）24ln - （D ）24ln +-8. 已知函数()x f 是定义在R 上的偶函数,对任意的(]0,,21∞-∈x x ,21x x ≠,有()()01212<--x x x f x f ,则【 】（A ）()()()013f f f <-<- （B ）()()()103-<<-f f f （C ）()()()031f f f <-<- （D ）()()()310f f f <-<9. 若函数()m mx x x f 42-+=在区间[]4,1-上单调,则实数m 的取值范围是【 】 （A ）(][)+∞-∞-,28, （B ）[)+∞,2（C ）(]8,-∞- （D ）(][)+∞-∞-,82,10. 已知函数()()()⎩⎨⎧>≤--=2,3log 2,412x x x a x a x f a 是R 上的减函数,则实数a 的取值范围为【 】（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21 （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 （C ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛66,0 （D ）⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡21,66 11. 已知函数()xx m x f 202020202+=的图象关于原点对称,()()nx e x g x21ln ++=的图象关于y 轴对称,则=+n m 【 】 （A ）41-（B ）21- （C ）45- （D ）4512. 已知函数()()21l o g 2019201922019++++-=-x x x f x x ,则关于x 的不等式()()432>-+x f x f 的解集为【 】（A ）()0,∞- （B ）()1,∞- （C ）()2,∞- （D ）()+∞,1第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（每小题5分,共20分）13. 已知函数()32-=-x a x f 的图象恒过定点P ,则点P 的坐标为__________.14. 已知{}b a ,max 表示b a ,两个数中的最大者,若(){}22,max -+=x x e ex f ,则)(x f 的最小值为__________. 15. 若实数m 满足m m51log 131log >>,则实数m 的取值范围为__________. 16. 已知函数()⎩⎨⎧<+≥+-=0,420,462x x x x x x f ,若存在三个互不相等的实数321,,x x x 满足()()()321x f x f x f ==,则321x x x ++的取值范围为__________.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本题满分10分）已知集合{}m x m x A +≤≤-=223,集合{}0342≥+-=x x x B . （1）当1=m 时,求B A , A (C R B ); （2）若∅=B A ,求实数m 的取值范围.18.（本题满分12分） 计算下列各式:（1）()0121312510002.0271π+--+⎪⎭⎫ ⎝⎛----;（2）5log 11.122ln 01.0lg 331.1log +-+++e .已知函数()x m n x f ⋅=（0,0>>n m ）的图象过()8,1A ,()32,3B 两点. （1）求()x f 的解析式;（2）若不等式a n m xx 211-⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛≥0,在(]2,∞-∈x 上恒成立,求实数a 的取值范围.20.（本题满分12分）已知函数()a bx x x f ++=2（0≠a ）的图象过()4,2-A ,()0=x f 有且只有一个根. （1）求()x f 的解析式;（2）在（1）的条件下,当[]1,2-∈x 时,求()()kx x f x g 2-=的最大值.已知函数()x xx x f +-+-=11ln 2. （1）求⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛2020120201f f 的值;（2）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈21,31x 时,求()x f 的最大值和最小值.22.（本题满分12分） 已知函数()xx x f 9+=. （1）讨论()x f 在()+∞∈,0x 上的单调性;（2）求1210442+++=x x x y 在()+∞∈,0x 上的值域.豫西名校2019—2020学年上期高一第一次联考数 学 试 题 解 析 版考生注意: 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分,共150分,考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（每小题5分,共60分）1. 满足{}{}4,3,2,11⊆⊆A 的集合A 的个数为【 】 （A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 答案 【 D 】解析 我们可以用列举法把集合A 一一列举出来,确定集合A 的个数,也可以使用下面的结论: 结论 对于有限集A ,B ,C ,设集合A 中含有n 个元素,集合B 中含有m 个元素（∈m n ,N *，且m n >）:①若A C B ⊆⊆，则C 的个数为m n -2;②若A C B ≠⊂⊆，则C 的个数为12--m n ;③若A C B ≠⊂≠⊂，则C 的个数为22--m n .本题属于结论的第一种情况,故集合A 的个数为8214=-.2. 设集合{}4,2,0=A ,{}022=+-=m x x x B ,若{}4=B A ,则=B 【 】 （A ）{}4,2- （B ）{}4,2 （C ）{}4,2-- （D ）{}4,2- 答案 【 A 】解析 ∵{}4=B A ,∴B ∈4 ∴04242=+⨯-m ,解之得:8-=m .∴{}()(){}{}4,20420822-==-+==--=x x x x x x B . 方法二 借助于韦达定理.∵{}4=B A ,∴B ∈4设方程022=+-m x x 的另一个根为1x ,则有:241=+x ,解之得:21-=x .∴{}4,2-=B .3. 已知幂函数()m kx x f 2=的图象过点()4,2,则=+m k 【 】（A ）4 （B ）29 （C ）5 （D ）211 答案 【 B 】解析 ∵函数()m kx x f 2=为幂函数 ∴12=k ,解之得:21=k ,∵()m x x f =. ∵幂函数()m x x f =的图象点()4,2∴(),42=m解之得:4=m .∴29421=+=+m k . 4. 若A x ∈,则A x ∈1,就称A 是和美集合,集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=3,1,31,21,0,1M 的所有非空子集中是和美集合的个数为【 】（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 答案 【 D 】解析 ∵满足题意的元素x 有:1-,31,1,3 ∴满足题意的集合为{}1-,{}1,1-,⎭⎬⎫⎩⎨⎧-3,31,1,⎭⎬⎫⎩⎨⎧-3,31,1⎭⎬⎫⎩⎨⎧3,31,1,⎭⎬⎫⎩⎨⎧3,31,⎭⎬⎫⎩⎨⎧-3,1,31,1,共7个.5. 函数()()1112log 2-+-=x x x f 的定义域为【 】（A ）⎪⎭⎫⎝⎛+∞,21 （B ）()+∞,1（C ）()+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,2,21 （D ）()+∞⎪⎭⎫⎝⎛,11,21答案 【 D 】解析 由题意可知:⎩⎨⎧≠->-01012x x ,解之得:21>x 且1≠x .∴函数()()1112log 2-+-=x x x f 的定义域为()+∞⎪⎭⎫⎝⎛,11,21 . 6. 已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>≤++=2,202,222x xx x x x f ,则()=)1(f f 【 】（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 答案 【 B 】解析 ∵()52211=++=f ,∴()()45205)1(===f f f . 7. 已知函数()x f 是定义在R 上的奇函数,当()+∞∈,0x 时,()()x x x f 222ln -+=,则()1-f 等于【 】（A ）24ln -- （B ）14ln -- （C ）24ln - （D ）24ln +- 答案 【 D 】解析 ∵函数()x f 是定义在R 上的奇函数 ∴()()x f x f -=-,∴()()11f f -=- ∵当()+∞∈,0x 时,()()x x x f 222ln -+= ∴()24ln 1-=f ,∴()()24ln 11+-=-=-f f .8. 已知函数()x f 是定义在R 上的偶函数,对任意的(]0,,21∞-∈x x ,21x x ≠,有()()01212<--x x x f x f ,则【 】（A ）()()()013f f f <-<- （B ）()()()103-<<-f f f （C ）()()()031f f f <-<- （D ）()()()310f f f <-< 答案 【 D 】解析 ∵对任意的(]0,,21∞-∈x x ,21x x ≠,有()()01212<--x x x f x f∴函数()x f 在(]0,∞-上为减函数 ∴()()()310-<-<f f f .∵函数()x f 是定义在R 上的偶函数 ∴()()33f f =- ∴()()()310f f f <-<.9. 若函数()m mx x x f 42-+=在区间[]4,1-上单调,则实数m 的取值范围是【 】 （A ）(][)+∞-∞-,28, （B ）[)+∞,2（C ）(]8,-∞- （D ）(][)+∞-∞-,82, 答案 【 A 】解析 函数()m mx x x f 42-+=的图象的对称轴为直线2m x -=. ∵函数()m mx x x f 42-+=在区间[]4,1-上单调 ∴区间[]4,1-在对称轴的左侧或右侧.当2m-≥4时,解之得:m ≤8-; 当2m-≤1-时,解之得:m ≥2.综上所述,实数m 的取值范围是(][)+∞-∞-,28, .10. 已知函数()()()⎩⎨⎧>≤--=2,3log 2,412x x x a x a x f a是R 上的减函数,则实数a 的取值范围为【 】（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21 （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 （C ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛66,0 （D ）⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡21,66 答案 【 D 】解析 本题考查分段函数的单调性问题.要使分段函数()x f 在R 上为减函数,需要满足在每一段上都是减函数,且从左到右每一段的最小值都大于或等于后一段的最大值.在解决分段函数的单调性问题时,一般要从两个方面考虑:（1）分段函数在每一段上都具有相同的单调性;（2）注意端点处的衔接情况.由题意可知:()⎪⎩⎪⎨⎧≥--<<<-6log 412210012aa a a a ,解之得:66≤21<a .∴实数a 的取值范围为⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡21,66. 11. 已知函数()xx mx f 202020202+=的图象关于原点对称,()()nx e x g x 21ln ++=的图象关于y 轴对称,则=+n m 【 】 （A ）41-（B ）21- （C ）45- （D ）45答案 【 C 】解析 本题考查奇函数和偶函数的确定以及性质.结论 如果一个函数的图象关于原点对称,那么它是奇函数;如果一个函数的图象关于y 轴对称,那么它是偶函数.由题意可知,函数()x f 为R 上的奇函数,函数()x g 为R 上的偶函数. ∴()()()x g x g f =-=,00. ∴011=+m,解之得:1-=m . ∴()()nx e nx e x x 21ln 21ln ++=-+-,∴()()nx e e x x 41ln 1ln =+-+-∴nx x e ee e e nx e e x x x x xx x 4ln 1ln 11ln ,411ln =-===++=++--,解之得:41-=n .∴45411-=--=+n m .12. 已知函数()()21l o g 2019201922019++++-=-x x x f x x ,则关于x 的不等式()()432>-+x f x f 的解集为【 】（A ）()0,∞- （B ）()1,∞- （C ）()2,∞- （D ）()+∞,1 答案 【 B 】解析 设()x x x g --=20192019,()()x x x h ++=1log 22019,易知函数()()x h x g ,都是R 上的增函数,且都是奇函数.∴()()()()2-=+=x f x h x g x m 也是R 上的增函数,且是奇函数. ∵()()432>-+x f x ff x ()∴()()02322>--+-x f x f∴()()032>-+x m x m ,∴()()()2332-=-->x m x m x m ∴23->x x ,解之得:1<x . ∴该不等式的解集为()1,∞-.第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（每小题5分,共20分）13. 已知函数()32-=-x a x f 的图象恒过定点P ,则点P 的坐标为__________. 答案 ()2,2-解析 ∵指数函数()x a x f =（0>a 且1≠a ）的图象恒过定点()1,0 ∴令02=-x ,即2=x ,则()2312-=-=f . ∴点P 的坐标为()2,2-.14. 已知{}b a ,max 表示b a ,两个数中的最大者,若(){}22,max -+=x x e ex f ,则)(x f 的最小值为__________. 答案 2e解析 在同一平面直角坐标系中分别画出函数2+=x e y （其图象关于直线2-=x 对称）和2-=x e y （其图象关于直线2=x 对称）的图象如下图所示∴()⎩⎨⎧<≥=-+0,0,22x e x e x f x x .∴()()2min 0e f x f ==. 即)(x f 的最小值为2e .点评 易知函数()2+=x e x f 在区间[)+∞,0上为增函数;函数()2-=x e x f 在区间(]0,∞-上为减函数,所以函数)(x f 在0=x 时取得最小值.当然,也可以直接由图象得到()()2min 0e f x f ==.15. 若实数m 满足m m51log 131log >>,则实数m 的取值范围为__________. 答案 ⎪⎭⎫⎝⎛1,31解析 由题意可得⎪⎩⎪⎨⎧<>1log 131log 51m m ,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<51131m m ,∴131<<m .∴实数m 的取值范围为⎪⎭⎫⎝⎛1,31.点评 如何解对数不等式131log >m? 实际上,对数不等式131log >m 即m m m log 31log >,根据对数函数的单调性求解.由于对数函数的单调性与底数有关,当底数m 不确定时,要对底数分两种情况进行讨论. 本题中,当1>m 时,应有m m mlo g 31lo g <,不符合题意;当10<<m 时,则有31>m .综上,131<<m . 16. 已知函数()⎩⎨⎧<+≥+-=0,420,462x x x x x x f ,若存在三个互不相等的实数321,,x x x 满足()()()321x f x f x f ==,则321x x x ++的取值范围为__________.答案 ⎪⎭⎫⎝⎛623， 解析 同第14题,采用数形结合方法.函数()⎩⎨⎧<+≥+-=0,420,462x x x x x x f 的图象如下图所示.∵321,,x x x 互不相等 ∴不妨设321x x x <<,则3232=+x x ∴632=+x x ,∴61321+=++x x x x . 令542-=+x ,则291-=x . ∵存在三个互不相等的实数321,,x x x 满足()()()321x f x f x f == ∴结合图象可知:0291<<-x ,∴06231<+<x ,即623321<++<x x x .三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本题满分10分）已知集合{}m x m x A +≤≤-=223,集合{}0342≥+-=x x x B . （1）当1=m 时,求B A , A (C R B ); （2）若∅=B A ,求实数m 的取值范围. 解:（1）当1=m 时,{}31≤≤=x x A . ∵{}{}130342≤≥=≥+-=x x x x x x B 或 ∴{}3,1=B A , A (C R B ){}31≤≤=x x ; （2）∵∅=B A∴当∅=A 时,则有m m +>-223,解之得:31<m ; 当∅≠A 时,则有⎪⎩⎪⎨⎧<+>-+≤-32123223m m mm ,解之得:31≤1<m .综上所述,实数m 的取值范围为{}1<m m . 18.（本题满分12分） 计算下列各式:（1）()0121312510002.0271π+--+⎪⎭⎫ ⎝⎛----;（2）5log 11.122ln 01.0lg 331.1log +-+++e . 解:（1）原式125105001127113+--+-=221205105103-=+--+-=;（2）原式425212322ln 10lg 1.1log 5log 121231.12=++-=⨯+++=--e . 19.（本题满分12分）已知函数()x m n x f ⋅=（0,0>>n m ）的图象过()8,1A ,()32,3B 两点. （1）求()x f 的解析式;（2）若不等式a n m xx 211-⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛≥0,在(]2,∞-∈x 上恒成立,求实数a 的取值范围.解:（1）把()8,1A ,()32,3B 分别代入()x m n x f ⋅=（0,0>>n m ）得:⎩⎨⎧==3283n m mn ,解之得:⎩⎨⎧==42n m . ∴()2224+=⋅=x x x f ;（2）由（1）可知:a xx 24121-⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛≥0,在(]2,∞-∈x 上恒成立.∴xx⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛21212≥a 2在(]2,∞-∈x 上恒成立. ∵(]2,∞-∈x ,∴x⎪⎭⎫⎝⎛21≥41设xt ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,则t t +2≥a 2在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,41t 上恒成立.设412122-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=t t t y ,只需min y ≥a 2即可. ∵41212-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t y 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞∈,41t 上为增函数∴1654121412min=-⎪⎭⎫⎝⎛+=y ,∴165≥a 2,解之得:a ≤325.∴实数a 的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-325,.20.（本题满分12分）已知函数()a bx x x f ++=2（0≠a ）的图象过()4,2-A ,()0=x f 有且只有一个根. （1）求()x f 的解析式;（2）在（1）的条件下,当[]1,2-∈x 时,求()()kx x f x g 2-=的最大值. 解:（1）把()4,2-A 代入()a bx x x f ++=2得:424=+-a b . ∴b a 2=.∵()0=x f 有且只有一个根 ∴042=-a b .解方程组⎩⎨⎧=-=0422a b b a 得:⎩⎨⎧==00b a 或⎩⎨⎧==816b a .∵0≠a ,∴0≠b ,∴⎩⎨⎧==816b a .∴()1682++=x x x f ;（2）()()()162822+-+=-=x k x kx x f x g ,[]1,2-∈x .当4-k ≤21212-=+-,即k ≤27时,()()k g x g 2251max -==;当214->-k ,即27>k 时,()()442max +=-=k g x g .综上所述,()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≤-=27,4427,225max k k k k x g .点评 在求二次函数（0>a ）在给定闭区间上的最大值时,最大值在闭区间的端点处取得.可根据对称轴与闭区间中点的相对位置关系分为两种情况进行讨论,注意理解（2）的过程. 21.（本题满分12分）已知函数()x xx x f +-+-=11ln2. （1）求⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛2020120201f f 的值; （2）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈21,31x 时,求()x f 的最大值和最小值.解:（1）由题意可知:011>+-xx,解之得:11<<-x .∴函数()x f 的定义域为()1,1-,关于原点对称.∵()()x f xxx x x x x x x x f -=+--=⎪⎭⎫⎝⎛+-+=-++=--11ln211ln 211ln 21∴函数()x f 为定义在()1,1-上的奇函数.∴020********=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ;点评 奇函数的自变量互为相反数时,其对应的函数值也互为相反数.解法二 ∵()x xx x f +-+-=11ln 2 ∴()()01ln 11ln 211ln 2==-++++-+-=-+x xx x x x x f x f∴020********=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ;（2）设()x x g 2-=,()()12112111++-=+++-=+-=x x x x x x h . ∵()()x h x g ,在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈21,31x 上均为减函数∴函数x x y +-=11ln 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈21,31x 上为减函数∴函数()x x x x f +-+-=11ln 2在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈21,31x 上为减函数.()2ln 3231max +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=f x f ,()3ln 131ln 121min --=+-=⎪⎭⎫⎝⎛=f x f .22.（本题满分12分） 已知函数()xx x f 9+=. （1）讨论()x f 在()+∞∈,0x 上的单调性;（2）求1210442+++=x x x y 在()+∞∈,0x 上的值域.解:（1）任取∈21,x x ()+∞,0,且21x x <,则有()()()()212121221121999x x x x x x x x x x x f x f --=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-. ∵∈21,x x ()+∞,0,且21x x < ∴0,02121<->x x x x :当(]3,0,21∈x x 时,0921<-x x ,∴()()()()2121,0x f x f x f x f >>-; 当[)+∞∈,3,21x x 时,0921>-x x ,∴()()()()2121,0x f x f x f x f <<-. 综上所述,当()+∞∈,0x 时,()x f 在(]3,0上为减函数,在[)+∞,3上为增函数;（2）()()129121291212104422+++=+++=+++=x x x x x x x y . 设12+=x t ,则tt y 9+=.∵()+∞∈,0x ,∴()+∞∈,1t .由（1）可知,当3=t 时,y 取得最小值6.∴1210442+++=x x x y 在()+∞∈,0x 上的值域为[)+∞,6.点评 本题会遇到的结论如果函数()x f y =在区间[]b a ,上单调递减,在区间[]c b ,上单调递增,那么函数()x f y =在区间[]c a ,上有最小值)()(min b f x f =.如图所示.f x ()min = f b ()。
豫西名校2019—2020学年上期第一次联考高一数学试卷及答案解析
考生注意: 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分,共 150 分, 考试时间 120 分钟. 2.请将各题答案填写在答题卡上.
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题（每小题 5 分,共 60 分）
1. 满足 1 A 1,2,3,4 的集合 A 的个数为【 】
1 3
,3
, 1,
1 3
,3
1,
1 3
,3 ,
13
,3
,
1,
1 3
,1,3
,共
7
个.
5.
函数
f x log2 2x 1
1 的定义域为【
x 1
】
（A） 1 , 2
（B） 1,
（C） 1 , 2,
（A）4
（B） 9 2
答案 【 B 】
（C）5
（D） 11 2
解析 ∵函数 f x 2kxm 为幂函数
∴ 2k 1 ,解之得: k 1 ,∵ f x x m .
2
∵幂函数 f x xm 的图象点 2,4
m
∴ 2 4, 解之得: m 4 .
∴k m 1 4 9 .
1
1 3
1
0.002 2
10
5 2 1 0 ;
27
（2） log1.1 1.331 lg 0.01 ln e 21log2 5 .
高一数学试题 第 3 页
19.（本题满分 12 分）
已知函数 f x n m x （ m 0, n 0 ）的图象过 A1,8 , B3,32两点. （1）求 f x 的解析式; （2）若不等式 1 x 1 x 2a ≥0,在 x ,2 上恒成立,求实数 a 的取值范围.
河南省豫西名校2019_2020学年高二数学上学期第一次联考试题
7.数列an中，an 1
2an
1，a1
1，则a6
（
）
A. 32
B. 62
C. 63
D. 64
【答案】C
【解析】
【分析】
把an 1
2an
1化成an 1
1
2 an
1，故可得
an
1
为等比数列，从而得到
a6的值.
【详解】数列
an
中，an
1
2an1，故an 1
1
2 an
1
，
因为a1
1，故a11 2
；
1
an
p
（2）an
pan
q
pq
0，变形为
an
an 1
q
pq
0, p 1，也可以变形为
1
p
n
p
n 1
p
n
- 4 -
an
q
p an 1
q
1 C的内角A，B，C所对的边分别为
a，b，c，且3 a cos C
4csin A，已知
△ABC的面积S
1bcsin A
10，b
4，则a的值为（
）
23
2
A.
B.
28
C.26
D.25
3
3
3
3
【答案】D
【解析】
【分析】
利用正弦定理化简已知的等式得到
tanC，利用同角三角函数基本关系式可求
sinC的
值，进而利用三角形面积公式即可得解
a的值．
【详解】
Q
a
c
，
sin A
sin C
【优质文档】2019-2020学年河南省豫西名校高一(上)第一次联考数学试卷试题及答案
2020
)
1 A．
4
1 B．
2
5 C．
4
5 D．
4
12 ． 已 知 函 数 f ( x) 2019x 2019 x log 2019 ( x 2 1 x) 2 ， 则 关 于 x 不 等 式
f ( x) f (2 3x) 4 的解集为 (
)
A ． ( ,0)
B ． ( ,1)
C． ( ,2)
D． (1, )
有一项是符合题目要求的 .
1．满足 {1} A {1 ，2， 3， 4} 的集合 A 的个数为 (
)
A ．5
B．6
C． 7
D．8
【解答】 解：因为 { 1} A { 1，2，3， 4} ，所以 A { 1} ， {1 ， 2} ， {1 ， 3} ， {1 ， 4} ， { 1 ，
2， 3} ， {1 ， 2， 4} ， { 1 ， 3， 4} ， {1 ， 2， 3， 4} ，
2019-2020 学年河南省豫西名校高一（上）第一次联考数学试卷
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的 .
1．满足 {1} A {1 ，2， 3， 4} 的集合 A 的个数为 (
)
A ．5
B．6
C． 7
D．8
2．设集合 A {0 ， 2， 4} ， B { x | x2 2x m 0} ，若 A B {4} ，则 B (
D． f (0) f ( 1) f （3）
9．若函数 f ( x) x2 mx 4m 在区间 [ 1 ， 4] 上单调，则实数 m 的取值范围为 (
)
A ． ( ， 8] [2 ， )
2019-2020学年河南省豫西名校高二(上)第一次联考数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年河南省豫西名校高二（上）第一次联考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在等比数列{a n}中，a7=2a5+a6，则公比q等于()A. 1B. −1C. 2D. 2或−12.在△ABC中，已知B=45°，c=2√2，b=4，则角C=()A. 60°B. 30°C. 30°或150°D. 150°3.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且3a11−a12=5，则S20=()A. 20B. 10C. 4D. 504.在等比数列{a n}中，a1，a4是方程x2−2x−3=0的两根，则a2⋅a3=()A. 2B. −2C. 3D. −35.设S n是等差数列{a n}的前n项和，若S672=2,S1344=12，则S2016=()A. 22B. 26C. 30D. 346.在△ABC中，若(a+b+c)(b+c−a)=3bc，则∠A等于()A. π3B. π6C. 2π3D. π3或2π37.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4≤4，S5=15，则a2的最大值是()A. 2B. 1C. 0D. −18.已知A，B两岛相距100km，B在A的北偏东30∘，甲船自A以40km/ℎ的速度向B航行，同时乙船自B以30km/ℎ的速度沿方位角150∘(即东偏南60∘)方向航行，当两船之间的距离最小时，两船合计航行距离()．A. 等于√657km B. 小于100km C. 大于100km D. 等于100km9.在△ABC中，已知sinBsinC=cos2A2，则三角形△ABC的形状是()A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形10.设S n，T n分别是等差数列{a n}，{b n}的前n项和，若S nT n =n2n+1(n∈N∗)，则a5b6=()A. 513B. 919C. 1123D. 92311.在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，若S+a2=(b+c)2，则cos A等于()A. 45B. −45C. 1517D. −151712.三角形ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，已知sin(2A+π6)=12，b=1，S△ABC=√32，则b+csinB+sinC=______ ．A. −1B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在等差数列{a n}中，a 1>0，S 4=S 9，则S n取最大值时，n=________．14.在ΔABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知ΔABC的面积为3√15，b−c=2，cosA=−14则的值为．15.等差数列{a n}中，S n为其前n项和，若a5=10，S5=30，则1S1+1S2+1 S3+⋯+1S2016=______ ．16.如图，四边形ABCD中，B=C=120°，AB=4，BC=CD=2，则该四边形的面积等于_______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知递减等差数列{a n}满足：a1=2，a2⋅a3=40．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；(Ⅱ)若递减等比数列{b n}满足：b2=a2，b4=a4，求数列{b n}的通项公式．18.△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.若a2−c2=2b，且sinB=4cosAsinC，求b．19.等比数列{a n}的前n项和S n，已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4成等差数列．(1)求数列{a n}的公比q和通项a n；(2)若{a n}是递增数列，令b n=log2a n+1128，求|b1|+|b2|+⋯|b n|.)+2cos2x.20.设函数f(x)=sin(2x−π6]时，求函数f(x)的值域；(Ⅰ)当x∈[0,π2(Ⅱ)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f(A)=3，a=√6，b=2，求△ABC的2面积．21.已知：△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足cos2B−cos(A+C)=0．(Ⅰ)求角B的大小；(Ⅱ)若sinA=3sinC，△ABC的面积为3√3，求b边的长．422.在锐角三角形ABC中，√3a=2bsinA．(1)求角B的大小；(2)若b=√3，求a+c的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】设等比数列{a n}的公比为q，利用等比数列的通项公式解出即可．本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．【解答】：设等比数列{a n}的公比为q，由a7=2a5+a6，得q2−q−2=0，解得q=2或q=−1．故选：D．2.答案：B解析：【分析】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．由已知利用正弦定理可求sin C的值，利用大边对大角，特殊角的三角函数值可求C的值．【解答】解：∵B=45°，c=2√2，b=4，∴由正弦定理bsinB =csinC，可得：sinC=c⋅sinBb=2√2×√224=12，∵c<b，可得C<45°，∴C=30°．故选：B．3.答案：D解析：【分析】本题考查了等差数列的通项公式及求和公式，属于基础题．由3a11−a12=5化简得2a1+19d=5，再根据等差数列的前n项和公式求解即可．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，由3a11−a12=5得3(a1+10d)−(a1+11d)=5，即2a1+19d=5，所以S20=20a1+20×192d=10(2a1+19d)=50.故选D．4.答案：D解析：解：∵a1，a4是方程x2−2x−3=0的两根，∴由韦达定理可得a1a4=−3，又∵{a n}是等比数列，∴a1a4=a2a3=−3故选：D．由韦达定理和等比数列的性质易得答案．本题考查等比数列的性质和韦达定理，属基础题．5.答案：C解析：【分析】由等差数列的性质得S672，S1344−S672，S2016−S1344成等差数列，由此能求出S2016．本题考查等差数列的前2016项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．【解答】解：∵S n是等差数列{a n}的前n项和，S672=2，S1344=12，由等差数列的性质得S672，S1344−S672，S2016−S1344成等差数列，得到：2×10=2+S2016−12，解得S2016=30．故选：C．6.答案：A解析：解：∵(a+b+c)(b+c−a)=3bc，∴(b+c)2−a2=3bc，化为：b2+c2−a2=bc．∴cosA=b2+c2−a22bc =bc2bc=12.A∈(0,π)．∴∠A=π3．故选：A．利用余弦定理即可得出．本题考查了余弦定理、三角函数的单调性与求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.答案：D解析：解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，S4≤4，S5=15，∴{4a1+4×32d≤45a1+5×42d=15，即{a1+32d≤1a1+2d=3，得a1=3−2d，3−2d+32d≤1，即d≥4，−d≤−4，则a2=a1+d=3−2d+d=3−d≤3+(−4)=3−4=−1，即a2最大值是−1，故选：D．根据条件利用削元法转化为关于d的不等式，进行求解即可．本题主要考查等差数列前n项和公式的应用，利用消元法进行转化是解决本题的关键．8.答案：C解析：【分析】本题考查余弦定理在解三角形中的实际运用，属于中档题．先由题意得到两船航行方向所在直线的夹角为60∘，设航行时间为t小时，此时两船之间的距离为skm，根据题中条件，结合余弦定理，即可求出结果．【解答】解：由题意得，两船航行方向所在直线的夹角为60∘，设航行时间为t小时，此时两船之间的距离为skm，则甲船到B的距离为(100−40t)km，乙船离B的距离为30tkm，由余弦定理可得：，因此，当t=5537时，s2取得最小值，即s取得最小值；此时两船合计航行距离为40t+30t=385037>100km．故选C．9.答案：B解析：解：sinBsinC=cos2A2=cosA+12，∴2sinBsinC=−cosBcosC+sinBsinC+1，∴cosBcosC +sinBsinC =cos(B −C)=1， ∵−π<B −C <π， ∴B −C =0，B =C ， ∴三角形为等腰三角形． 故选：B ．利用倍角公式、两角和差的余弦公式、余弦函数的单调性即可得出．本题考查了倍角公式、两角和差的余弦公式、余弦函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.答案：D解析：解：由题意得，S nT n=n2n+1，S n 、T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，所以不妨设S n =n 2，T n =n(2n +1)，所以a 5=S 5−S 4=25−16=9，b 6=T 6−T 5=6×13−5×11=23，则a 5b 6=923， 故选：D ．根据等差数列的前n 项和的特点和S nT n=n2n+1，不妨设S n =n 2，T n =n(2n +1)，分别求出a 5和b 6，再求出a 5b 6．本题考查等差数列的前n 项和公式的灵活运用，以及数列的前n 项和与数列中项的关系，属于中档题．11.答案：D解析：解：∵S +a 2=(b +c)2， ∴S =b 2+c 2−a 2+2bc ， ∴12bcsinA =2bccosA +2bc ， 化为sinA −4cosA =4， 与sin 2A +cos 2A =1． 解得cosA =−1517或cosA =−1． cosA =−1舍去． ∴cosA =−1517． 故选：D ．由S +a 2=(b +c)2，利用余弦定理、三角形的面积计算公式可得：12bcsinA =2bccosA +2bc ，化为sinA −4cosA =4，与sin 2A +cos 2A =1.解出即可．本题考查了余弦定理、三角形的面积计算公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.答案：C解析：解：∵0<A<π，∴π6<2A+π6<13π6，∵sin(2A+π6)=12，∴2A+π6=5π6，即A=π3，∵S△ABC=12⋅b⋅c⋅sinA=12⋅1⋅c⋅√32=√32，∴c=2，∴a=√b2+c2−2bccosA=√1+4−2×1×2×12=√3，∴2R=asinA =√3√32=2，∵b+csinB+sinC =2RsinB+2RsinCsinB+sinC=2R=2．故选C．利用sin(2A+π6)的值，求得A，然后利用三角形面积公式求得c，进而通过余弦定理求得a，最后利用正弦定理求得三角形外接圆半径，通过正弦定理可求得b+csinB+sinC恰等于外接圆半径．本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用．在解决解三角形问题时，常用正、余弦定理进行边角问题的转化．13.答案：6或7解析：【分析】本题考查等差数列的前n项和取最大值时的项数的求法，由已知条件推导出a1=−6d，d<0.由此利用等差数列的前n项和公式和配方法能求出结果．【解答】解：∵{a n}是等差数列，a1>0，S4=S9，∴4a1+4×32d=9a1+9×82d，∴a1=−6d，∴d<0，∵S n=na1+n(n−1)2d=−6dn+n2−n2d=d2(n−132)2−169d8，∴当n=6或7时，S n取最大值．故答案为6或7．14.答案：8解析：【分析】本题主要考查面积公式及余弦定理、同角三角函数关系的应用，要求熟练掌握两个定理以及三角形面积公式的计算．【解答】解：在三角形中，由cosA=−14，得sinA=√154，又s=3√15，即12bcsinA=3√15，得bc=24，又b−c=2，解得b=6，c=4，故a2=b2+c2−2bccosA=64．得a=8．故答案为8．15.答案：20162017解析：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a5=10，S5=30，∴{a1+4d=105a1+5×42d=30，解得a1=d=2．∴S n=2n+n(n−1)2×2=n(n+1)，∴1S n =1n(n+1)=1n−1n+1．则1S1+1S2+1S3+⋯+1S2016=(1−12)+(12−13)+⋯+(12016−12017)=1−12017=20162017．故答案为：20162017．设等差数列{a n}的公差为d，由a5=10，S5=30，可得{a1+4d=105a1+5×42d=30，解得a1，d.可得S n，再利用“裂项求和”方法即可得出．本题考查了等比数列与等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.答案：5√3解析：【分析】本题主要考查余弦定理，三角形的面积公式．由已知利用余弦定理可求BD，进而利用三角形面积公式可求S△ABD和S△BCD，从而求得四边形的面积．【解答】解：∵∠ABC=∠C=120°，AB=4，BC=CD=2，∴在△BCD中，BD=√BC2+CD2−2BC·CD·cosC=√4+4−2×2×2×(−12)=2√3，∴S△ABD=12AB⋅BD⋅sin(120°−30°)=12×4×2√3=4√3，S△BCD=12BC·CD·sin120°=12×2×2×√32=√3，∴四边形的面积S=S△ABD+S△BCD=4√3+√3=5√3．故答案为5√3．17.答案：解：(I)设{a n}的公差为d，则a2=2+d，a3=2+2d，∴(2+d)(2+2d)=40，解得：d=3或d=−6．∵{a n}为递减数列，∴d=−6．∴a n=2−6(n−1)=8−6n，S n =a 1+a n2⋅n =−3n 2+5n ．(II)由(I)可知a 2=−4，a 4=−16． 设等比数列{b n }的公比为q ，则{b 1q =−4b 1q 3=−16，解得{b 1=−2q =2或{b 1=2q =−2．∵{b n }为递减数列，∴{b 1=−2q =2．∴b n =−2⋅2n−1=−2n ．解析：(I)格局等差数列的通项公式列方程组解出公差，得出通项公式，代入求和公式计算S n ； (II)根据等比数列的通项公式列方程组解出首项和公比即可得出通项公式． 本题考查了等差数列，等比数列的通项公式，求和公式，属于中档题．18.答案：解：由sinB =4cosAsinC ，利用正弦定理和余弦定理可得：b =4(b 2+c 2−a 2)2bc×c ，化为b 2=2(b 2+c 2−a 2)，∵a 2−c 2=2b ，∴b 2=2(b 2−2b)，化为b 2−4b =0， ∵b >0，解得b =4．解析：由sinB =4cosAsinC ，利用正弦定理和余弦定理可化为b 2=2(b 2+c 2−a 2)，把a 2−c 2=2b 代入即可得出．本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题．19.答案：解：(1)由已知条件得{6a 2=a 1+3+a 3+4a 1+a 2+a 3=7，即{6a 2=a2q+a 2q +7a 2(1q +q +1)=7， 解得：{a 2=2q =2或{a 2=2q =12． ∴{q =2a n =2n−1或{q =12a n=23−n； (2)若{a n }是递增数列，则a n =2n−1，a n+1=2n ， ∴b n =log 22n128=n −7．记{b n }的前n 项和为T n =1+2+3+⋯+n −7n =n(n−13)2，则有当1≤n ≤7时，|b 1|+|b 2|+⋯|b n |=−T n ； 当n >7时，|b 1|+|b 2|+⋯|b n |=T n −2S 7=n(n−13)2+42．∴|b 1|+|b 2|+⋯|b n |={n(13−n)2,1≤n ≤7n(n−13)2,n >7．解析：(1)由题意列关于a 2和公比q 的方程组，求解后可得数列{a n }的公比q 和通项a n ； (2)由{a n }是递增数列可得{a n }的通项公式，代入b n =log 2a n+1128求得b n ，然后对n 分类求得|b 1|+|b 2|+⋯|b n |.本题考查等比数列的通项公式，考查了等差数列的性质，考查等差数列前n 项和的求法，正确分类是解答该题的关键，是中档题．20.答案：解：(Ⅰ)f(x)=√32sin 2x +12cos 2x +1 =sin (2x +π6)+1，∵x ∈[0,π2]，∴π6⩽2x +π6⩽7π6，，∴函数f(x)的值域为[12,2]； (Ⅱ，，∵0<A <π，∴π6<2A +π6<13π6，∴2A +π6=5π6，即A =π3; 由余弦定理，，∴6=4+c 2−2c ，即c 2−2c −2=0， 又c >0， ∴c =1+√3， ∴S △ABC =12bcsin A =3+√32．解析：本题考查两角差的正弦函数公式，二倍角公式，辅助角公式，以及函数y =Asin (ωx +φ)的图象与性质，考查余弦定理及三角形面积公式，属于中档题． (Ⅰ)利用三角函数中的恒等变换应用可求得，利用x ∈[0,π2]，可求得π6⩽2x +π6⩽7π6，从而可求得f(x)的取值范围；(Ⅱ)依题意可求得，可知A =π3，a =√6，b =2，利用余弦定理可求得c =1+√3，继而利用三角形面积公式得答案．21.答案：解：(Ⅰ)由已知得cos2B +cosB =0，可得2cos 2B +cosB −1=0，即(2cosB −1)(cosB +1)=0，解得cosB =12或cosB =−1． 因为0<B <π，故cosB =12，所以，B =π3． (Ⅱ)由sinA =3sinC 利用正弦定理可得a =3c ， 而△ABC 的面积为12acsinB =3√34， 将a =3c 和B =π3代入上式，得出c =1，且a =3， 再由余弦定理b 2=a 2+c 2−2accosB ， 解得b =√7．解析：(Ⅰ)由条件可得2cos 2B +cosB −1=0，求得cos B 的值，可得B 的值． (Ⅱ)由sinA =3sinC 利用正弦定理可得a =3c ，再根据△ABC 的面积为12acsinB =3√34求得a 、c 的值，再由余弦定理求得b 的值．本题主要考查二倍角公式、诱导公式、正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．22.答案：解：(1)∵在锐角三角形ABC 中，√3a =2bsinA ，∴√3sinA =2sinB ·sinA ， ∵A ∈(0,π2)，∴sinA ≠0， ∴sinB =√32， ∵B ∈(0,π2)， ∴B =π3． (2)∵b =√3， ∴a sinA=c sinC=b sinB=√3√32=2，∴a =2sinA ，C =2sinC ， ∴a +c =2sinA +2sinB ， =2sinA +2sin (2π3−A)， =2sinA +√3cosA +sinA ， =3sinA +√3cosA ， =2√3sin (A +π3)， ∵A ∈(0,π2)， ∴A +π3∈(π3,5π6)，∴12<sin(A+π3)≤1，∴√3<a+c≤2√3．解析：本题主要考查正弦定理和利用三角恒等变换求值域．(1)直接利用正弦定理，得√3sinA=2sinB·sinA即可求出结果．(2)根据正弦定理得出∴a=2sinA，C=2sinC，再由三角恒等变换即可求出结果．。
豫西名校高中2018-2019学年高二第一次联考数学试卷(PDF版)
故答案为 3027. 15 16． 8
L
高二数学答案 第 2 页 （共 5 页）
AB BD 5 = = ． 【解析】因为 AD 为 ∠BAC 的平分线，故 AC DC 3 又 AB + AC − 2 ABi AC cos120° = 49 ，整理得 AB + AC + ABi AC = 49 ， BC − AC 13 35 BD = 所以 AB = 5, AC = 3 ，故 cos B = BA 2+BA = ． 14 8 × BC 1225 35 13 225 又 AD = AB + BD − 2BA × BD cos B = 25 + 64 − 2 × 5 × 8 × 14 = 64 ， 15 故 AD = 15 ．故答案 ． 8 8 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤） 17．解： （1）设数列 {a } 的公差为 d ,等比数列 {b } 的公比为 q ， 8 + d − 2q = 2 d = −2 d = −14 则 ，解得 或 q = −4 （舍） ，┄┄┄┄4 分 q = 2 (8 + 2d ) + 2q = 12 所以 a = 8 + (n − 1) × (−2) = −2n + 10 ， b = 2 × 2 = 2 .┄┄┄┄6 分 81 ) + .┄┄┄┄9 分 （2） S = n × 8 + n(n2− 1) × (−2) = −n + 9n = −(n − 9 2 4 所以，当 n = 4 或 n = 5 时， S 取得最大值为 20. ┄┄┄┄10 分 18．解： −a 1 （1）由已知 a = 3 , b + c = 3 + bc ，因为 b +2cbc− a = 3 + bc = ┄┄┄┄3 分 2bc 2 1 π 即 cos A = 2 ，又 0 < A < π ，所以 A = 3 . ┄┄┄┄5 分 a （2）在 ∆ABC 中，由正弦定理，得 b = sin sin B = 2sin B ，┄┄┄┄7 分 A