【全国市级联考】山东省菏泽市2018届高三上学期期末考试数学(文)试题(解析版)

2017～2018学年度第一学期期末考试高三文科数学试题一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】，∴，故选C.2. 已知，则复数的共轭复数在复平面内所对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】D 【解析】由题意，，对应点为，在第四象限，故选D.3. 已知变量和的统计数据如下表：根据上表可得回归直线方程，据此可以预报当时，（ ）A. 8.9B. 8.6C. 8.2D. 8.1 【答案】D 【解析】，，∴，，∴时，，故选D.4. 若满足，，，则（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】，，，则，又，∴，故选A.5. 已知等差数列的前项和为，若，，则的公差为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】，，∴，故选B.6. 若满足不等式组，则的最大值为（）A. 8B. 6C. 4D. 2【答案】A【解析】作出可行域，如图四边形OABC内部（含边界），作直线，向上平移直线时，增大，所以当过时，为最大值，故选A.7. 将函数的图像向左平移个单位后，得到函数的图像，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，∴，故选D.8. 已知是两个平面，是两条直线，则下列命题是真命题的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】若，，A错；若，则不一定垂直，甚至可能重合，B 错；若，则可能相交，C错；若，则，所以，D正确，故选D......................9. 已知等边（为坐标原点）的三个顶点在抛物线上，且的面积为，则（）A. B. 3 C. D.【答案】C【解析】设边长为，则，，所以，，，故选C.10. 南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法，已知，下列程序框图设计的是求的值，在处应填的执行语句是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，的值为多项式的系数，由2018，2017…直到1，由程序框图可知，输出框中“”处应该填入．故选C．11. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由三视图知，该几何体由球，圆柱，圆锥组成，球的半径为1，圆柱的底面半径为1，高为2，则该几何体的体积故选12. 已知，若方程有一个零点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意函数的图象与直线有一个交点.如图是的图象，时，，，设切点为，则切线为，把代入，，；时，，，设切点为，则切线为，把代入，解得（舍去），又，，所以由图象知当时，满足题意，故选B.点睛：复杂的方程根的问题，函数零点问题可以转化为函数的图象间交点问题，一般转化为确定函数折图象与动直线的交点，这样容易找到它们之间的关系，本题方程有一个根转化函数的图象与直线有一个交点，通过研究直线与函数的图象（两支分别求解）相切可以很快得出结论．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量，，，且，则在上的投影为__________．【答案】【解析】由题意，，∴，∴在上的投影为.14. 已知等比数列中，，，则的前6项和为__________．【答案】【解析】，，则，.15. 已知，，则__________．【答案】【解析】，又，则，，∴.16. 已知双曲线的左焦点为，离心率为.若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为__________．【答案】【解析】设点，因为该双曲线的离心率为，所以，①又经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，所以，②联立①②，解得．又，即③，联立①③，解得，，故双曲线的方程为．点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17. 在中，内角所对的边分别为，已知.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若的面积，且，求.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】试题分析：（Ⅰ）由余弦定理把已知条件化为，再由正弦定理化为角的关系，最后由两角和与差的正弦公式及诱导公式可求得，从而得角；（Ⅱ）由三角形面积公式求得，再由余弦定理可求得，从而得，再由正弦定理得，计算可得结论.试题解析：（Ⅰ）因为，所以由，即，由正弦定理得，即，∵，∴，即，∵，∴，∴，∵，∴.（Ⅱ）∵，∴，∵，，∴，即，∴.18. 以“你我中国梦，全民建小康”为主题、“社会主义核心价值观”为主线，为了了解两个地区的观众对2018年韩国平昌冬奥会准备工作的满意程度，对地区的100名观众进行统计，统计结果如下：在被调查的全体观众中随机抽取1名“非常满意”的人是地区的概率为0.45，且.（Ⅰ）现从100名观众中用分层抽样的方法抽取20名进行问卷调查，则应抽取“满意”的地区的人数各是多少？（Ⅱ）在（Ⅰ）抽取的“满意”的观众中，随机选出3人进行座谈，求至少有两名是地区观众的概率？（Ⅲ）完成上述表格，并根据表格判断是否有的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系？附：，.【答案】(Ⅰ)地区的“满意”观众，抽取地区的“满意”观众；(Ⅱ)；(Ⅲ)答案见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）由概率的意义可求得，再根据已知条件可求得，这样由分层抽样的定义可按比例求得两区抽取的人数；（Ⅱ）把抽取的人编号，然后用列举法列出随机选3人的各种可能，计数出至少有两名是地区观众的组数，由概率公式计算出概率；（Ⅲ）根据公式计算出，可得结论．试题解析：（Ⅰ）由题意，得，所以，所以，因为，所以，，则应抽取地区的“满意”观众，抽取地区的“满意”观众.（Ⅱ）所抽取的地区的“满意”观众记为，所抽取的地区的“满意”观众记为1,2，则随机选出三人的不同选法有，，，共10个结果，至少有两名是地区的结果有7个，其概率为.（Ⅲ）由表格得，所以没有理由认为观众的满意程度是否与所在地区有关系.19. 如图所示，在四棱锥中，，都是等边三角形，平面平面，且，.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）是上一点，当平面时，三棱锥的体积.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)6.【解析】试题分析：（Ⅰ）要证面面垂直，一般先证线面垂直，也就要证线线垂直，经过计算，得出，从而有，即，于是有面面垂直的性质知，从而得证面面垂直；（Ⅱ）要求三棱锥的体积，关键是找出E点的位置，由于平面，可以过BE作与平面PCD平行的平面，交AD于G，则BG//CD，EG//PD，由已知可知，确定了G点，就可确定E点位置，从而求出E到平面PCD的距离，再求得面积，就有，从而得所求体积．试题解析：（Ⅰ）因为，，，所以，所以，，又因为是等边三角形，所以，所以，因为平面平面，平面平面，所以平面，因为平面，所以平面.（Ⅱ）过点作交于，过点作交于，因为，平面，平面，所以平面，同理可得平面，所以平面平面，因为平面，所以平面.因为，所以，在直角三角形中，，，所以，所以，在平面内过作于，因为平面，平面，所以，因为，所以平面，所以是点到平面的距离，过点作于，则，由，得，所以，因为，所以.20. 已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过椭圆内一点的直线的斜率为，且与椭圆交于两点，设直线，（为坐标原点）的斜率分别为，若对任意，存在实数，使得，求实数的取值范围.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】试题分析：（Ⅰ）由离心率中得，再点的坐标代入椭圆方程又得一关于的方程，结合可求得，得标准方程；（Ⅱ）设直线的方程为，设，，由直线方程与椭圆方程联立消元后可得，计算，并代入，由的任意性可得，由于直线与椭圆问题相交的，因此点在椭圆内部，即，最终可得范围．试题解析：（Ⅰ）椭圆的离心率，所以，又点在椭圆上，所以，解得，，所以椭圆的方程为.（Ⅱ）设直线的方程为.由，消元可得，设，，则，，而，由，得，因为此等式对任意的都成立，所以，即.由题意得点在椭圆内，故，即，解得.点睛：“设而不求”是解题过程中根据需要设邮变量，但并不直接求出其具体值，而是利用某种关系（如和、差、积）来表示变量之间的联系，在解决圆锥曲线的有关问题时能够达到种“化难为易、化繁为简”的效果，在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，步骤一般如下：（1）设直线方程与椭圆为的两个交点坐标为；（2）联立直线与椭圆的方程组成方程组，消元得一元二次方程；（3）利用韦达定理得，，然后再求弦长以及面积，或求其他量．本题中求出，代入后可得与的关系．21. 已知函数.（Ⅰ）试判断1是的极大值点还是极小值点，并说明理由；（Ⅱ）设是函数的导函数，求证：.【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)证明见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）求出函数定义域，求出，判断在1的两侧的正负，可得极值是极大还是极小值；（Ⅱ）由（Ⅰ），求出导函数，为了确定的最小值，需要确定的单调性，以确定的正负，因此又要对求导，确定出在单调递增，有唯一零点，且，这是的极小值点，，现在要证这个极小值大于－1，设，再一次利用导数的知识证明在是单调减函数，从而．试题解析：（Ⅰ）的定义域为，因为，所以.当时，，，所以，故在上单调递增；当时，，，所以，故在上单调递减；所以1是函数的极小值.（Ⅱ）由题意可知，，，，令，，则，故在上单调递增.又，，所以，使得，即，所以，，随的变化情况如下：所以，由式得，代入上式得，令，，则，故在上单调递减，所以，又，所以，即，所以.点睛：用导数证明不等式，关键是如何根据不等式的结构特征构造出辅助函数，把不等式的证明转化为使用导数研究函数的单调性或最值，从而证明不等式．证明过程中，作为难题，一般求一次导数，并不能解决问题，还需要对导函数再求一次导数，以确定的零点所在的范围，又有可能（象本题），导函数的零点求不出，还要用表示，把的最值用表示出，得的函数，再用导数研究这个函数的单调性，得出最终结论．这里我们可能要一次次求导，解题时要认真、仔细，要有耐心，否则会前功尽弃．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线和曲线的直角坐标方程，并指明曲线的形状；（2）设直线与曲线交于两点，为坐标原点，且，求.【答案】(1)，，曲线是圆心为，半径的圆；(2).（2）联立直线与曲线的方程，消去，得，设对应的极径分别为，，GV韦达定理可得.的值.试题解析：（1）由消去参数，得，由，得，所以曲线的直角坐标方程为，即.即曲线是圆心为，半径的圆.（2）联立直线与曲线的方程，得，消去，得，设对应的极径分别为，，则，，所以.23. 已知函数（1）若不等式恒成立，求的取值范围;（2）求不等式的解集.【答案】(1)或；(2)或.【解析】试题分析：（1）由绝对值不等式的性质可得，由恒成立得，即可求得的取值范围;（2）分类讨论可得，画出图像，由图像可得不等式的解集. 试题解析：（1）因为，所以由恒成立得，即或所以或.（2）不等式等价于或，.图像如下：由图知解集为或.。