三角形中角的关系.pptx
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版高中数学 第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理(一)课件 新人教B版必修5.pptx
12
跟踪训练1 如图，锐角△ABC的外接圆O半径为R，角A，B，C所对的 边分别为a，b，c.求证：sina A ＝2R. 证明
13
类型二 用正弦定理解三角形
例2 已知△ABC，根据下列条件，解三角形：a＝20，A＝30°，C＝ 45°. 解答 ∵A＝30°，C＝45°，∴B＝180°－(A＋C)＝105°， 由正弦定理得 b＝assiinnAB＝20ssiinn3100°5°＝40sin(45°＋60°)＝10( 6＋ 2)， c＝assiinnAC＝20sisnin3405°°＝20 2， ∴B＝105°，b＝10( 6＋ 2)，c＝20 2.
A.直角三角形 C.锐角三角形
√B.等腰三角形
D.钝角三角形
由sin A＝sin C，知a＝c，∴△ABC为等腰三角形.
1 2 3 247
3.在△ABC中，已知BC＝ 5 ，sin C＝2sin A，则AB＝_2__5___.
答案 解析
由正弦定理，得 AB＝ssiinn CABC＝2BC＝2 5.
18
命题角度2 运算求解问题
例4
在△ABC中，A＝
π 3
，BC＝3，求△ABC的周长的最大值.
解答
19
反思与感悟
利用sina A＝sinb B＝sinc C＝2R 或正弦定理的变形公式 a＝ksin A，b＝ ksin B，c＝ksin C(k>0)能够使三角形边与角的关系相互转化.
22
跟 踪 训 练 3 在 △ABC 中 ， 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 是 a 、 b 、 c ， 若 A∶B∶C＝1∶2∶3，求a∶b∶c的值. 解答
23
当堂训练
25
1. 在△ABC中，一定成立的等式是 答案 解析
跟踪训练1 如图，锐角△ABC的外接圆O半径为R，角A，B，C所对的 边分别为a，b，c.求证：sina A ＝2R. 证明
13
类型二 用正弦定理解三角形
例2 已知△ABC，根据下列条件，解三角形：a＝20，A＝30°，C＝ 45°. 解答 ∵A＝30°，C＝45°，∴B＝180°－(A＋C)＝105°， 由正弦定理得 b＝assiinnAB＝20ssiinn3100°5°＝40sin(45°＋60°)＝10( 6＋ 2)， c＝assiinnAC＝20sisnin3405°°＝20 2， ∴B＝105°，b＝10( 6＋ 2)，c＝20 2.
A.直角三角形 C.锐角三角形
√B.等腰三角形
D.钝角三角形
由sin A＝sin C，知a＝c，∴△ABC为等腰三角形.
1 2 3 247
3.在△ABC中，已知BC＝ 5 ，sin C＝2sin A，则AB＝_2__5___.
答案 解析
由正弦定理，得 AB＝ssiinn CABC＝2BC＝2 5.
18
命题角度2 运算求解问题
例4
在△ABC中，A＝
π 3
，BC＝3，求△ABC的周长的最大值.
解答
19
反思与感悟
利用sina A＝sinb B＝sinc C＝2R 或正弦定理的变形公式 a＝ksin A，b＝ ksin B，c＝ksin C(k>0)能够使三角形边与角的关系相互转化.
22
跟 踪 训 练 3 在 △ABC 中 ， 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 是 a 、 b 、 c ， 若 A∶B∶C＝1∶2∶3，求a∶b∶c的值. 解答
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当堂训练
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1. 在△ABC中，一定成立的等式是 答案 解析
三角形中的边角关系(第一课时)PPt课件
等腰三角形的特征就是三角形中有两条边相 等，这两条边叫三角形的腰。
（1）已知一个等腰三角形两边长分别是3cm、5cm，求 这个三角形的周长？
（2）已知一个等腰三角形两边长分别是2cm、5cm，求 这个三角形的周长？
与大家说说你的体 会？
作业： 1、第69页练习第3题 2、第73页习题13.1第1题
找一找
下面一组图形，哪些是三角形呢？
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
记一记
三角形定义：由不在同一条直线的 三条线 段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 三角形的边：组成三角形的线段叫做三角形 的边；
边AB、边AC、边BC或边a、边b、边c
三角形的顶点：三角形两边的交点叫做三角 形的顶点；
三角形的角：三角形两边组成的角叫做三角 形的内角，简称三角形的角。
三条？根据你刚才解题经验，有没有更简 便的判断方法？
解题技巧：
只要比较两条较短线段之和与最长线段的大小
巩固新知
思考 ：一根木棒长为7，另一根木棒长为2，那么用长度为8 的木棒能和它们拼成三角形吗？长度为11的木棒呢？若能 拼成，则第三条边应在什么范围呢？
小结：设x为三角形第三条边， 则 两边之差<x<两边之和
三角形任意两边之和大于第三边。 （三角形任意两边之差小于第三边。）
下列长度的三条线段能否组成三角形？ 为什么？
（1） （2） （3） （4）
3，4，8 2，5，6 5，6，10 3，5，8
（ 不能 ）
（能 ） （能 ） （ 不能 ）
思 考：判 要断 检三 验条 三线条段线能段否中组任成何三两角条形的，和是 都否 大一 于定 第
A 路线1:由点B直接到点C
有关三角形的角PPT教学课件
求∠BOC 的度数. A
O
B1
2
C
例4 如图, ΔABC 的∠B, ∠C的平分线 相交于点O,∠A= 60°
求∠O 的度数. A
B
O
C
唱脸谱
• 蓝脸的窦尔敦盗御马,红 脸的关公战场沙,黄脸的 典韦白脸的曹操,黑脸的 张飞叫喳喳.
• 紫色的天王托宝塔,绿色 的魔鬼斗夜叉,金色的猴 王银色的妖怪,灰色的精 灵笑哈哈.
因为 ∠BAC +∠ABC + ∠ACB = 180°
(三角形内角和定理)
所以∠1 + ∠2 +∠3 = 360°
重要结论
三角形外角和 360°
例3 如图 : AB∥CD ,∠A= 75°, ∠BOD =115°,求∠C的度数.
A
75°
B
115°
O
C?
D
例5 如图:CE是ΔABC的外角∠ACD 的平分线,并且交BA的延长线于点E.
1A
B
3
2
C
解一：因为
∠1=∠ACB +∠ABC ∠2=∠BAC +∠ACB ∠3=∠ABC +∠BAC（三角形的一个外角等于它
不相邻的两个内角的和 ）
所以∠1+∠2+∠3 = ∠ACB +∠ABC+∠BAC +∠ACB +∠ABC +∠BAC
=2（ ∠ACB +∠ABC +∠BAC ）
因为∠ACB +∠ABC +∠BAC =180°
定义:三角形的一边与另一边的延长线 组成的角,叫三角形的外角.
在任意的三角形中,它的一个外角与 它的内角都存在这样的关系吗?
O
B1
2
C
例4 如图, ΔABC 的∠B, ∠C的平分线 相交于点O,∠A= 60°
求∠O 的度数. A
B
O
C
唱脸谱
• 蓝脸的窦尔敦盗御马,红 脸的关公战场沙,黄脸的 典韦白脸的曹操,黑脸的 张飞叫喳喳.
• 紫色的天王托宝塔,绿色 的魔鬼斗夜叉,金色的猴 王银色的妖怪,灰色的精 灵笑哈哈.
因为 ∠BAC +∠ABC + ∠ACB = 180°
(三角形内角和定理)
所以∠1 + ∠2 +∠3 = 360°
重要结论
三角形外角和 360°
例3 如图 : AB∥CD ,∠A= 75°, ∠BOD =115°,求∠C的度数.
A
75°
B
115°
O
C?
D
例5 如图:CE是ΔABC的外角∠ACD 的平分线,并且交BA的延长线于点E.
1A
B
3
2
C
解一：因为
∠1=∠ACB +∠ABC ∠2=∠BAC +∠ACB ∠3=∠ABC +∠BAC（三角形的一个外角等于它
不相邻的两个内角的和 ）
所以∠1+∠2+∠3 = ∠ACB +∠ABC+∠BAC +∠ACB +∠ABC +∠BAC
=2（ ∠ACB +∠ABC +∠BAC ）
因为∠ACB +∠ABC +∠BAC =180°
定义:三角形的一边与另一边的延长线 组成的角,叫三角形的外角.
在任意的三角形中,它的一个外角与 它的内角都存在这样的关系吗?
最新沪科版三角形中的边角关系25页PPT
最新沪科版三角形中的边角关系
51、山气日夕佳，飞鸟相与还。 52、木欣欣以向荣，泉涓涓而始流。
53、富贵非吾愿，帝乡不可期。 54、雄发指危冠，猛气冲长缨。 55、土地平旷，屋舍俨然，有良田美 池桑竹 之属， 阡陌交 பைடு நூலகம்，鸡 犬相闻 。
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
51、山气日夕佳，飞鸟相与还。 52、木欣欣以向荣，泉涓涓而始流。
53、富贵非吾愿，帝乡不可期。 54、雄发指危冠，猛气冲长缨。 55、土地平旷，屋舍俨然，有良田美 池桑竹 之属， 阡陌交 பைடு நூலகம்，鸡 犬相闻 。
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
《认识三角形》优秀课件pptx
应用：判断三条线段能否构成三角形、求三角形周长取值范围等
三角形内心、外心、重心概念
内心
三角形内切圆的圆心， 到三角形三边距离相等
外心
三角形外接圆的圆心， 到三角形三个顶点距离 相等
重心
三角形三条中线的交点 ，具有将三角形面积平 分等性质
塞瓦定理和梅内劳斯定理简介
塞瓦定理
在一个三角形中，如果有三条过顶点且与对边有交点的线， 那么这三个交点是共线的当且仅当三条线的交点与对应顶点 的连线满足一定的比例关系
适用范围
适用于所有已知三边长的三角形面 积计算。
三角形面积与边长关系
等底等高原则
若两个三角形底边相等且高相等 ，则它们的面积相等。
边长比例关系
对于相似三角形，其面积之比等 于对应边长之比的平方。
三角形不等式
任意两边之和大于第三边，任意 两边之差小于第三边，与面积大
小有一定关联。
实际应用问题举例
土地测量
《认识三角形》优秀 课件pptx
目录
• 三角形基本概念与性质 • 三角形边角关系探究 • 三角形面积计算方法 • 三角形在生活中的应用 • 三角形相关数学问题解析 • 创新思维与拓展训练
01
三角形基本概念与性质
三角形定义及分类
三角形定义
由不在同一直线上的三条线段首 尾顺次相接所组成的图形。
三角形分类
01
在三角形中，当角度发生变化时，与之对应的边长也会发生变
化。
边长变化对角度的影响
02
在三角形中，当边长发生变化时，与之对应的角度也会发生变
化。
角度与边长的相互制约关系
03
在三角形中，角度与边长之间存在着相互制约的关系，即当一
个量发生变化时，另一个量也会随之变化。
三角形内心、外心、重心概念
内心
三角形内切圆的圆心， 到三角形三边距离相等
外心
三角形外接圆的圆心， 到三角形三个顶点距离 相等
重心
三角形三条中线的交点 ，具有将三角形面积平 分等性质
塞瓦定理和梅内劳斯定理简介
塞瓦定理
在一个三角形中，如果有三条过顶点且与对边有交点的线， 那么这三个交点是共线的当且仅当三条线的交点与对应顶点 的连线满足一定的比例关系
适用范围
适用于所有已知三边长的三角形面 积计算。
三角形面积与边长关系
等底等高原则
若两个三角形底边相等且高相等 ，则它们的面积相等。
边长比例关系
对于相似三角形，其面积之比等 于对应边长之比的平方。
三角形不等式
任意两边之和大于第三边，任意 两边之差小于第三边，与面积大
小有一定关联。
实际应用问题举例
土地测量
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目录
• 三角形基本概念与性质 • 三角形边角关系探究 • 三角形面积计算方法 • 三角形在生活中的应用 • 三角形相关数学问题解析 • 创新思维与拓展训练
01
三角形基本概念与性质
三角形定义及分类
三角形定义
由不在同一直线上的三条线段首 尾顺次相接所组成的图形。
三角形分类
01
在三角形中，当角度发生变化时，与之对应的边长也会发生变
化。
边长变化对角度的影响
02
在三角形中，当边长发生变化时，与之对应的角度也会发生变
化。
角度与边长的相互制约关系
03
在三角形中，角度与边长之间存在着相互制约的关系，即当一
个量发生变化时，另一个量也会随之变化。
直角三角形的边角关系课件ppt
3.∠C=90°CD⊥AB， tanB= ( ) ( ) ( )
() () ()
4、在上图中，若BD=6，CD=12， 求tanA的值。
病 原 体 侵 入 机体， 消弱机 体防御 机能， 破坏机 体内环 境的相 对稳定 性，且 在一定 部位生 长繁殖 ，引起 不同程 度的病 理生理 过程
例1：在Rt△ABC中，∠C=90°， (1)AC=3，AB=6，求tanA和tanB
（1）如图，梯子AB和EF哪个 更陡？你是怎样判断的？
病 原 体 侵 入 机体， 消弱机 体防御 机能， 破坏机 体内环 境的相 对稳定 性，且 在一定 部位生 长繁殖 ，引起 不同程 度的病 理生理 过程
（2）如图，梯子AB和EF哪个 更陡？你是怎样判断的？
病 原 体 侵 入 机体， 消弱机 体防御 机能， 破坏机 体内环 境的相 对稳定 性，且 在一定 部位生 长繁殖 ，引起 不同程 度的病 理生理 过程
梯子是我们日常生活中常见的物体
你能比较两个 梯子哪个更陡吗？ 你有哪些办法？
病 原 体 侵 入 机体， 消弱机 体防御 机能， 破坏机 体内环 境的相 对稳定 性，且 在一定 部位生 长繁殖 ，引起 不同程 度的病 理生理 过程
如图，梯子AB和EF哪个更陡？ 你是怎样判断的？
病 原 体 侵 入 机体， 消弱机 体防御 机能， 破坏机 体内环 境的相 对稳定 性，且 在一定 部位生 长繁殖 ，引起 不同程 度的病 理生理 过程
什么结论？
在直角三角形 中，若一个锐角的 对边与邻边的比值 是一个定值，那么 这个角的值也随之 确定。
病 原 体 侵 入 机体， 消弱机 体防御 机能， 破坏机 体内环 境的相 对稳定 性，且 在一定 部位生 长繁殖 ，引起 不同程 度的病 理生理 过程
() () ()
4、在上图中，若BD=6，CD=12， 求tanA的值。
病 原 体 侵 入 机体， 消弱机 体防御 机能， 破坏机 体内环 境的相 对稳定 性，且 在一定 部位生 长繁殖 ，引起 不同程 度的病 理生理 过程
例1：在Rt△ABC中，∠C=90°， (1)AC=3，AB=6，求tanA和tanB
（1）如图，梯子AB和EF哪个 更陡？你是怎样判断的？
病 原 体 侵 入 机体， 消弱机 体防御 机能， 破坏机 体内环 境的相 对稳定 性，且 在一定 部位生 长繁殖 ，引起 不同程 度的病 理生理 过程
（2）如图，梯子AB和EF哪个 更陡？你是怎样判断的？
病 原 体 侵 入 机体， 消弱机 体防御 机能， 破坏机 体内环 境的相 对稳定 性，且 在一定 部位生 长繁殖 ，引起 不同程 度的病 理生理 过程
梯子是我们日常生活中常见的物体
你能比较两个 梯子哪个更陡吗？ 你有哪些办法？
病 原 体 侵 入 机体， 消弱机 体防御 机能， 破坏机 体内环 境的相 对稳定 性，且 在一定 部位生 长繁殖 ，引起 不同程 度的病 理生理 过程
如图，梯子AB和EF哪个更陡？ 你是怎样判断的？
病 原 体 侵 入 机体， 消弱机 体防御 机能， 破坏机 体内环 境的相 对稳定 性，且 在一定 部位生 长繁殖 ，引起 不同程 度的病 理生理 过程
什么结论？
在直角三角形 中，若一个锐角的 对边与邻边的比值 是一个定值，那么 这个角的值也随之 确定。
病 原 体 侵 入 机体， 消弱机 体防御 机能， 破坏机 体内环 境的相 对稳定 性，且 在一定 部位生 长繁殖 ，引起 不同程 度的病 理生理 过程
北师大版数学九年级下册《第一章 直角三角形的边角关系 本章复习 章末复习》教学课件
章末复习
北师版 九年级下册
知识回顾
直角三角形的边角关系
①三边的关系:勾股定理 a2+b2=c2.
c
②两锐角的关系:两锐角互余
∠A+∠B=90°. A
③边、角的关系:锐角三角函数.
b
sinAcosB a c
cosAsinB b c
tan A a b
sin2A+cos2A=1 tanA·tanB=1
≈17.32m
D
A E
30°
G FBC Nhomakorabea解:(2)如图,AB=5m,作AG∥BC.
则DG=DC－GC=DC－AB=18.72－5=13.72m
∴AD2=AG2+DG2=BC2+DG2
∴AD= 302 (13.72)2 ≈32.99m 答:大门顶部与主楼顶部的距离约为32.99m.
谢谢 大家
郑重申明
6
2.用计算器求下列各式的值:
(1)sin23°5′+cos66°55′; (2)cos14°28′－tan42°57′;
≈0.7841 ≈0.0374
(3)sin27.8°－cos65°37′+tan49°56″≈. 0.8739
3.如图,甲、乙两楼相距30m,甲楼高40m,自甲楼楼顶, 仰角为30°,乙楼有多高?(结果精确到1m)
B a C
tan B b a
特殊角的三角函数值表
三角 角α
函
数值
三角 函数
sinα
1
30°
2
45°
2
2
60°
3
2
cosα
tanα
3
3
2
3
北师版 九年级下册
知识回顾
直角三角形的边角关系
①三边的关系:勾股定理 a2+b2=c2.
c
②两锐角的关系:两锐角互余
∠A+∠B=90°. A
③边、角的关系:锐角三角函数.
b
sinAcosB a c
cosAsinB b c
tan A a b
sin2A+cos2A=1 tanA·tanB=1
≈17.32m
D
A E
30°
G FBC Nhomakorabea解:(2)如图,AB=5m,作AG∥BC.
则DG=DC－GC=DC－AB=18.72－5=13.72m
∴AD2=AG2+DG2=BC2+DG2
∴AD= 302 (13.72)2 ≈32.99m 答:大门顶部与主楼顶部的距离约为32.99m.
谢谢 大家
郑重申明
6
2.用计算器求下列各式的值:
(1)sin23°5′+cos66°55′; (2)cos14°28′－tan42°57′;
≈0.7841 ≈0.0374
(3)sin27.8°－cos65°37′+tan49°56″≈. 0.8739
3.如图,甲、乙两楼相距30m,甲楼高40m,自甲楼楼顶, 仰角为30°,乙楼有多高?(结果精确到1m)
B a C
tan B b a
特殊角的三角函数值表
三角 角α
函
数值
三角 函数
sinα
1
30°
2
45°
2
2
60°
3
2
cosα
tanα
3
3
2
3
三角形中角的关系
有一个角是 钝角的三角 形叫做钝角 三角形
三角形按角的大小可分为：
三角形
直角三角形 斜三角形 锐角三角形
钝角三角形
直
角
斜边
边
直角边
Rt △ABC
思考
在一个三角形中，三个内角 之间有什么关系？
定理：
三角形的内角和等于180°
B
A
C
几何语言：
在△ABC中,
∠A+∠B+∠C=180°.
题型一 知两角求一角
___5_0_°___.
6、如图，在△ABC中，∠B=40°， 过点C作CD∥AB，∠ACD=65°， 求∠ACB的度数.
D
C
65°
A
40° B
7、如图⑷，在△ABC中，∠1= ∠2，∠3=∠4，若∠BOC＝132°, 求∠A的度数。
A
O
1 2
B
4 3
C
8、如图，已知D是△ABC的BC边 的延长线上一点，DF⊥AB于点F， 交AC于点E，∠A=48°，∠D=36°. 求∠ACB的度数.
2、在△ABC 中,∠B＝80°， ∠A＝3∠C，则∠A＝_7_5_°_.
题型三 知三角比例关系求一角
1.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C
＝1∶2∶3，则∠A＝___3_0_°__， ∠B＝__6__0_°_，∠C＝__9_0__°_.
A
C
B
2、在△ABC中，已知∠A∶∠B∶∠C＝
2∶3∶5，则△ABC是 （ B ）
A
F E
B
C
D
蒙山——太平天国封王地
13.1.2 三角形中角的关系
三角形按边长关系可分为：
不等边三角形 三角形
三角形按角的大小可分为：
三角形
直角三角形 斜三角形 锐角三角形
钝角三角形
直
角
斜边
边
直角边
Rt △ABC
思考
在一个三角形中，三个内角 之间有什么关系？
定理：
三角形的内角和等于180°
B
A
C
几何语言：
在△ABC中,
∠A+∠B+∠C=180°.
题型一 知两角求一角
___5_0_°___.
6、如图，在△ABC中，∠B=40°， 过点C作CD∥AB，∠ACD=65°， 求∠ACB的度数.
D
C
65°
A
40° B
7、如图⑷，在△ABC中，∠1= ∠2，∠3=∠4，若∠BOC＝132°, 求∠A的度数。
A
O
1 2
B
4 3
C
8、如图，已知D是△ABC的BC边 的延长线上一点，DF⊥AB于点F， 交AC于点E，∠A=48°，∠D=36°. 求∠ACB的度数.
2、在△ABC 中,∠B＝80°， ∠A＝3∠C，则∠A＝_7_5_°_.
题型三 知三角比例关系求一角
1.在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C
＝1∶2∶3，则∠A＝___3_0_°__， ∠B＝__6__0_°_，∠C＝__9_0__°_.
A
C
B
2、在△ABC中，已知∠A∶∠B∶∠C＝
2∶3∶5，则△ABC是 （ B ）
A
F E
B
C
D
蒙山——太平天国封王地
13.1.2 三角形中角的关系
三角形按边长关系可分为：
不等边三角形 三角形