浙江省绍兴市2019-2020学年高二下期末考试数学试题含解析
- - 绍兴2019-2020学年第二学期期末考试
高二数学
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合， ，则= A. B. C. D. 【答案】C
点睛：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合． 2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解． 3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 2. 已知等比数列的各项均为正数，且，则数列的公比为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由得，所以．由条件可知>0，故．故选D. 3. 已知，则的值为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】，故选B.
4. 已知，则的大小关系是 A. B. C. D. 【答案】A - - 【解析】因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立．因为，所以，所以，故选A． 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误 5. 是恒成立的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A... 【解析】设 成立；反之， ，故选A. 6. 若不等式的解集为，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】不等式的解集为R. 可得：a2−3a−4<0,且△=b2−4ac<0， 得：，解得：0当a2−3a−4=0时，即a=−1或a=4，不等式为−1<0恒成立，此时解集为R. 综上可得：实数a的取值范围为(0,4]. 本题选择D选项. 7. 函数的图象大致是
A. 1006 B. 1007 C. 1008 D. 1009 -
- 【答案】A
8. 已知函数(、、均为正的常数)的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】依题意得，函数f（x）的周期为π， ∵ω＞0，∴ω==2． 又∵当x=时，函数f（x）取得最小值， ∴2×+φ=2kπ+，k∈Z，可解得：φ=2kπ+，k∈Z， ∴f（x）=Asin（2x+2kπ+）=Asin（2x+）． ∴f（﹣2）=Asin（﹣4+）=Asin（﹣4+2π）＞0． f（2）=Asin（4+）＜0， f（0）=Asin=Asin＞0， 又∵＞﹣4+2π＞＞，而f（x）=Asinx在区间（，）是单调递减的，∴f（2）＜f（﹣2）＜f（0）． 故选：B． 9. 已知数列的前项和为， ，当时， ，则（ ）... A. 1006 B. 1007 C. 1008 D. 1009 【答案】D 【解析】- - ，故选D.
10. 对于数列，若对任意，都有成立，则称数列为“减差数列” ．设，若数列是“减差数列”，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由数列是“减差数列”，得，即 ，即，化简得，当时，若恒成立，则恒成立，又当时，的最大值为，则的取值范围是.故选C. 点睛：紧扣“减差数列”定义，把问题转化为恒成立问题， 变量分离转求最值即可，本题易错点是忽略了n的取值范围. 二、填空题 (本大题共7小题，每小题3分，共21分) 11. 已知，记：，试用列举法表示_____． 【答案】{﹣1，0，1，3，4，5} 【解析】{﹣1，0，1，3，4，5}.
12. 若实数满足则的最小值为__________． 【答案】-6
【解析】 -
- 在同一坐标系中，分别作出直线x+y−2=0，x=4，y=5，
标出不等式组表示的平面区域，如图所示。 由z=y−x，得y=x+z，此关系式可表示斜率为1，纵截距为z的直线， 当直线y=x+z经过区域内的点A时，z最小， 此时,由,得A(4,−2)， 从而zmin=y−x=−2−4=−6. 点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得. 13. __________． 【答案】
【解析】【解析】由题意得， 则答案为 . 14. 已知数列为等比数列，且成等差数列，若，则________． 【答案】 【解析】由题设,.... 15. 函数的最大值为__________． 【答案】4 【解析】 时. 16. 在中,为线段的中点,,,则___________. 【答案】 【解析】由正弦理可知，又，则，利用三角恒等变形可化为，据余弦定理．故本题应填． 点睛：在几何图形中考查正余弦定理，要抓住几何图形的几何性质．一般思路有：把所提供的- - 几何图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦，余弦定理求解；寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果；必要时用到几何图形的性质如中点，角平分线，平形四边形的性质等． 17. 已知函数的图象上关于直线对称的点有且仅有一对，则实数的取值范围为_______________. 【答案】 【解析】作出如图：，
因为函数，的图像上关于直线对称的点有且仅有一对，所以函数在[3,7]上有且只有一个交点，当对数函数的图像过（5，-2）时，由，当对数过（7,2）时同理a=，所以的取值范围为
点睛：对于分段函数首先作出图形，然后根据题意分析函数在[3,7]上有且只有一个交点，根据图像可知当对数函数的图像过（5，-2）时，由，当对数过（7,2）时同理a=由此得出结果，在分析此类问题时要注意将问题进行转化，化繁为简再解题.
三、解答题 (本大题共5小题，共49分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程) 18. （本小题满分7分）设，，其中,如果，求实数的取值范围． 【答案】 - - 【解析】
符合,所以成立…………………………………5分 （ii)当时,即时 方程即： 有两个相同根 此时，集合，为单元素集且 满足………………………………………8分 （iii)当时,即时 方程有两个不同解 集合有两个元素，此时 只能... 即，所以， ∴…………………………………………11分 综合以上，当或时，总有……………………12分
19. （本小题满分10分）已知函数. （I）求的最小正周期及单调递减区间； （II）在中， 分别是角的对边，若，，且的面积为，求外接圆的半径. - - 【答案】（1）;(2)2. 【解析】试题分析：（I）利用降幂公式及两角和正弦公式化简f（x）=sin（2x+）+3，最小正周期 ，令，k∈z，解出x的范围，即得单调递减区间；（II）由（I）得到，利用正弦面积公式与余弦定理得到，再借助正弦定理得结果. 试题解析： （I）函数， 故最小正周期； 令解得： ，
故函数的单调递减区间为． （II）由，可得，又，所以， 所以，从而．由， 由余弦定理有： ， ∴，由正弦定理有： ．
20. （本小题满分10分）设函数. （I）求证：当时，不等式成立； （II）已知关于的不等式在上有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)详见解析;(2) .
【解析】试题分析：（Ⅰ）当时，根据的最小值为3，可得lnf（x）最小值为ln3＞lne=1，不等式得证． （Ⅱ）由绝对值三角不等式可得 f（x）≥，可得，由此解得a的范围． 试题解析： - - （I）证明：由 得函数的最小值为3，从而，所以成立. （II）由绝对值的性质得， 所以最小值为，从而，... 解得， 因此的取值范围为. 点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．
21. （本小题满分10分）已知等差数列满足． （I）求数列的通项公式； （II）求数列的前项和． 【答案】（1）；（2）. 【解析】试题分析：（1）首先根据等差数列的性质并结合已知条件，求出首项和公差，进而可求得数列的通项公式；（2）先根据（1）的结论求出数列的通项公式，再利用错位相减法即可求出数列的前项的和，在这个过程中要注意对分和两种情况加以讨论，以增强解题的严密性． 试题解析：（1）设等差数列的公差为，由已知条件可得 ，解得 故数列的通项公式为． （2）设数列的前项和为， 即，故，，
绍兴市2019-2020学年新高考高二数学下学期期末学业水平测试试题
同步测试一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{2,1,0,1,2}A=--,{1,0,1}B=-,22(,)1,,43x yC x y x A y B⎧⎫⎪⎪=+≤∈∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭,则集合C中元素的个数为( )A．11B．9C．6D．42．已知函数()f x的导函数为'()f x，且满足()2'(1)lnf x xfx=+，则'(1)f=（）A．e-B．1 C．-1 D．e3．根据如下样本数据得到的回归方程为ˆy bx a=+，则3 4 5 6 7 84.0 2.50.5-0.5 2.0- 3.0-A．0a>，B．0a>，C．0a<，D．0a<，4．己知A(2,5,1),B(2,2,4),CB(1,2,3)--=，则向量AB与AC的夹角为.A．30 B．60 C．120 D．150.5．曲线324y x x=-+在点(13)，处的切线的倾斜角为（）A．30°B．60°C．45°D．120°6．刘徽是我国魏晋时期杰出的数学家，他采用了以直代曲、无限趋近、内夹外逼的思想，创立了割圆术，即从半径为1尺的圆内接正六边形开始计算面积，如图是一个圆内接正六边形，若向圆内随机投掷一点，则该点落在正六边形内的概率为（）A．3πB3C3D337．下列不等式中正确的有( )①sin,(,0)x x x>∈-∞；②1,xe x x R≥+∈；③ln,(0,)xx x e x<<∈+∞A．①③B．①②③C．②D．①②8．已知α满足1sin3α=，则cos()cos()44ππαα+-=（）A．718B．2518C．718-D．2518-9．已知定义在R上的奇函数()f x满足()()22f x f x+=-，当20x-≤<时，()()10xf x a a=->，且()28f=-，则()2019f=（）A．2B．1C．2-D．1-10．已知83axx⎛⎫+⎪⎝⎭展开式中的常数项是4与10的等差中项，则a的值为（）A．12B．2C．12±D．2±11．某单位为了解用电量y（度）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了统计表：由表中数据得到线性回归方程ˆ260y x=-+，那么表中m的值为（）气温x（℃）18 13 10 -1用电量y（度）24 34 m64A．40B．39C．38D．3712．已知复数2i1iz=+(i为虚数单位)，则||z=（）A．3B．2C．3D．2二、填空题：本题共4小题13．在长方体1111ABCD A B C D-中，2AB=，1AD=，11AA=，那么顶点1B到平面1ACD的距离为______．14．若,x y满足约束条件24142x yy xx y+≤⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩，则2z x y=+的最大值是_____．15．某校为了解高二年级学生对教师教学的意见，打算从高二年级500名学生中用系统抽样的方法抽取50名进行调查，记500名学生的编号依次为1,2,…，500,若抽取的前两个号码为6,16,则抽取的最大号码为________.16．如图，已知四面体ABCD的棱//AB平面α，且2AB=，其余的棱长均为1，四面体ABCD以AB 所在的直线为轴旋转x弧度，且始终在水平放置的平面α上方，如果将四面体ABCD在平面α内正投影面积看成关于x的函数，记为()S x，则函数()S x的取值范围为______.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
浙江省绍兴市柯桥中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题 Word版含解析
柯桥中学2019学年第二学期高二期中考试数学试卷一、选择题1.设集合{}{}21,|4A x x B x x =>=≤，则A B =( )A. ()1,2B. (]1,2C. (]0,2D. ()1,+∞【答案】B 【解析】 【分析】首先求解集合B ，然后求AB .【详解】24x ≤，解得22x -≤≤， 所以{}22B x x =-≤≤， 所以{}12A B x x ⋂=<≤. 故选：B【点睛】本题考查集合的交集，重点考查不等式的解法，属于基础题型.2.已知复数1z i =+（i 是虚数单位），则211z z -=+( )A. iB. i -C. 1i +D. 1i -【答案】A 【解析】 【分析】根据完全平方和除法计算公式计算结果.【详解】原式()()()()()211212215112225i i i i ii i i i i +----=====++++-.故选：A【点睛】本题考查复数的化简求值，属于基础计算题型.3.设{n a }为等差数列，公差2d =-，n S 为其前n 项和，若1011S S =，则1a =（ ） A. 18 B. 20C. 22D. 24【答案】B【解析】试题分析：由等差数列的前10项的和等于前11项的和可知，第11项的值为0，然后根据等差数列的通项公式，利用首项和公差d 表示出第11项，让其等于0列出关于首项的方程，求出方程的解即可得到首项的值．解：由s 10=s 11，得到a 1+a 2+…+a 10=a 1+a 2+…+a 10+a 11即a 11=0，所以a 1-2（11-1）=0，解得a 1=20．故选B 考点：等差数列的性质点评：此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用等差数列的通项公式化简求值，是一道基础题4.已知函数()()()sin 0,0,0πf x A x A ωϕωϕ=+>><<的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A. 函数()f x 的周期为πB. 函数()πy f x =-为奇函数C. 函数()f x 在ππ,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D. 函数()f x 的图象关于点3π,04⎛⎫⎪⎝⎭上对称 【答案】B 【解析】 【分析】由图像可知2A =，再将点53),(,2)4π-的坐标代入函数中求出ωϕ，的值，然后求解其周期、单调区间、对称中心可得答案. 【详解】解：由图像可知2A =， 因为函数图像过点53),(,2)4π-，所以2sin 52sin()24ϕπωϕ⎧=⎪⎨+=-⎪⎩，由2sin ϕ=sin 2ϕ=， 因为0πϕ<<，所以3πϕ=或23πϕ=，由图像可知图像向左平移超过了548T π≥，即58πϕ>，所以23πϕ=，则522sin()243ππω⋅+=- 由五点对应法得523432πππω⋅+=，得23ω=， 所以22()2sin()33f x x π=+， 则()f x 的周期为3π，所以A 错误；()222π2sin[()]2sin 333y f x x x ππ=-=-+=为奇函数，所以B 正确；由ππ,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得22()[0,]33x ππ+∈，此时()f x 不是增函数，所以C 错误； 因为3232()2sin()04343f πππ=⨯+≠，所以3π,04⎛⎫⎪⎝⎭不是函数()f x 的图像的对称中心，所以D 错误， 故选：B【点睛】此题考查三角函数的图像和性质，根据条件确定函数的解析式是解决此题的关键，综合性较强，属于中档题. 5.“a b >”是“a a b b ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】首先判断y x x =的单调性，再根据单调性判断充分必要条件.【详解】22,0,0x x y x x x x ⎧≥==⎨-<⎩，函数是奇函数，并且在R 上单调递增，所以a b >时，a a b b ，反过来，若满足a a b b 时，根据函数y x x =是单调递增函数，所以a b >， 所以a b >”是“a a b b ”的充要条件.故选：C【点睛】本题考查充分必要条件，重点考查函数单调性的判断方法，转化与化归的思想，属于基础题型. 6.函数()()212x y x x e =--（其中e 为自然对数的底数）的图象可能是( )A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】首先判断函数零点，并判断零点左右的正负，排除选项，得到正确答案. 【详解】由函数可知函数有两个零点，1,x =和2x =， 当2x >时，0y >，2x <且1x ≠时，0y < ，故排除B,C,D. 满足条件的是A. 故选：A【点睛】本题考查函数图象的识别，重点考查函数性质的灵活应用，属于基础题型，一般函数图象的识别，首先考查函数的定义域，零点，单调性，极值，特殊值等，一般都是排除选项，得到正确答案.7.已知1F ，2F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点，P 为双曲线右支上一点，满足21π2PF F ∠=，连接1PF 交y 轴于点Q ，若2QF =，则双曲线的离心率是（ ）C. 1+D. 1+【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得2PF 垂直于x 轴，2//OQ PF ，Q 为1PF 的中点，运用直角三角形斜边中线为斜边的一半，结合双曲线的方程可得22||b PF a=，再由勾股定理和离心率公式，计算即可得到所求值．【详解】解：由题意可得2PF 垂直于x 轴，2//OQ PF ， 因为O 为12F F 的中点，则Q 为1PF 的中点，可得12||2||PF QF ==，由x c =可得2by a=±=±， 即有22||b PF a=，在直角三角形12PF F 中， 可得2221212||||||PF PF F F =+，即有422284b c c a=+，可得4224b a c =， 即2222b ac c a ==-， 由ce a=可得，2210e e --=，解得12(12e =+-舍去）， 故选：C.【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质，注意运用直角三角形的性质和勾股定理，考查化简整理的运算能力．8.已知函数(2()lg 12sin f x x x x x =+++，12()()0f x f x +>，则下列不等式中正确的是（ ） A. 12x x >B. 12x x <C. 120x x +<D.120x x +>【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得()()lg10f x f x +-==，可得函数()f x 是奇函数，并且可得函数()f x 在0x ≥时单调递增，因此在R 上单调递增，利用单调性与奇偶性可得结果. 【详解】()()(()22lg 12sin lg 12sin f x f x x x x x x x x x ⎛+-=+++++--+-- ⎝lg10==，∴函数()f x 是奇函数，设(2lg 1()g x x x +=在[0,)+∞单调递增，设()2sin ,()2cos 0h x x x h x x =+'=+>恒成立，()h x 在(,)-∞+∞上是增函数，所以函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，()f x 是奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递增，()f x 在0x =处连续，因此在R 上单调递增，()()120f x f x +>，()()()()1212,f x f x f x f x ∴>-∴>-，12x x ∴>-，即120x x +>.故选：D.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性应用的，以及对数的运算、对数函数的性质、不等式的性质，意在考查推理能力与计算能力以及综合运用所学知识解决问题的能力，属于中档题.9.已知数列{}n a 满足112(,2)n n n a a a n n *-+∈≥N ≤＋，则（ ） A. 52143a a a ≤- B. 2736a a a a +≤+ C. 76633()a a a a -≥- D. 2367a a a a +≥+【答案】C 【解析】 【分析】由112n n n a a a -+≤＋可知11n n n n a a a a -+-≤-，再根据这个不等关系判断选项正误． 【详解】由题得11n n n na a a a -+-≤-，则有213243546576a a a a a a a a a a a a -≤-≤-≤-≤-≤-， 76435465633()()()()a a a a a a a a a a -≥-+-+-=-，故选C ．【点睛】本题考查数列的递推关系，用到了放缩的方法，属于难题． 10.若非零向量a 与向量b 的夹角为钝角，2b =，且当12t =-时，()b ta t R -∈取最小值c 满足()()c b c a -⊥-，则当()·c a b +取最大值时，c b -等于（ ）B.C. D.52【答案】A 【解析】【详解】设a MA =，b MB =，c MC =，如图：∵向量a ，b 的夹角为钝角，∴当a 与b ta -垂直时，b ta -取最小值3，即12a b a ⎛⎫⊥+ ⎪⎝⎭． 过点B 作BD ⊥AM 交AM 延长线于D ，则BD 3=，∵|b |＝MB ＝2，∴MD ＝1，∠AMB ＝120°，即a 与b 夹角为120°． ∵12a b a ⎛⎫⊥+⎪⎝⎭，∴a ⋅（12b a +）＝0， ∴|a |•|b |•cos120°12+|a |2＝0， ∴|a |＝2，即MA ＝2，∵()()c a c b -⊥-，∴c 的终点C 在以AB 为直径的圆O 上， ∵O 是AB 中点，∴a b +=2MO ，∴当M ，O ，C 三点共线时，()c a b ⋅+取最大值， ∵AB 22AD BD =+=23，∴OB ＝0C 132AB ==， ∵MA ＝MB ＝2，O 是AB 中点，∴MO ⊥AB ， ∴∠BOC ＝∠MOA ＝90°， ∴|c b -|＝BC 2=OB 6=．故选：A ．考点：向量运算、两个向量垂直．【思路点晴】本题考查了平面向量在几何中的应用，根据题目的已知条件，结合向量运算的几何意义作出符合条件的图形是解题的关键.作出图象后，寻找b ta -在什么位置取得最小值，计算出向量,a b 的夹角，及a .由()()c a c b -⊥-可知c 的终点C 在以AB 为直径的圆O 上，结合图象，找出当()c a b ⋅+取得最大值时C 的位置，由此求得结果.二、填空题11.双曲线2214x y -=的焦距为__________；渐近线方程为__________．【答案】 (1). 12y x =± 【解析】由双曲线2214x y -=可知，224,1,a b ==故2225c a b =+=,焦距2c =,渐近线:12b y x x a =±=±,故答案为(1) ， (2) 12y x =±.12.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，36S a =，且3a ，6a ，k a 成等比数列，则n S =________，k =________．【答案】 (1). 22n n+ (2). 12【解析】 【分析】根据条件11a =，36S a =，求出等差数列{}n a 的通项公式，再求出前n 项和，再根据3a ，6a ，k a 成等比数列求出k .【详解】设等差数列的公差为d ，则由36S a =得11335a d a d +=+，即3315d d +=+，解得1d =，则n a n =，(1)2n n n S n -=+=22n n+． 由3a ，6a ，k a 成等比数列得263k a a a =⋅，即263k =，解得12k =．故答案为：22n n+；12【点睛】本题考查等差数列的概念与求和公式及等比数列的性质，根据题意确定等差数列的通项是解题的关键．13.已知点O 为ABC 的外心，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若3450OA OB OC →→→→++=，cos BOC ∠的值为______，OA OB →→⋅=______.【答案】 (1). 45-； (2). 0. 【解析】 【分析】设三角形ABC 的外接圆半径为R ，将已知的等式变形后，左右两边平方，由O 为三角形的外心，得到OA OB OC R →→→===，再利用平面向量的数量积运算法则计算，可得出cos BOC ∠的值；由4533OA OB OC →→→=--，利用平面向量的数量积运算，即可求出OA OB →→⋅的值.【详解】解：设外接圆半径为R ，则OA OB OC R →→→===，由3450OA OB OC →→→→++=，得：453OB OC OA →→→+=-， 平方得：2221640259R OB OC R R →→++=，则245OB OC R →→=-，即224cos 5R BOC R ∠=- 则4cos 5BOC ∠=-； 因为4545333OB OC OA OB OC →→→→→+==---，4533OA O OB OC OB B →→→→→--⎛⎫∴⋅=⋅ ⎪⎝⎭24533OB OC OB →→→-⋅-=2245cos 33R R BOC --⋅∠=22454335R R ⎛⎫--⋅- ⎪⎝⎭=0=.即0OA OB →→⋅=. 故答案为：45-；0. 【点睛】本题考查平面向量的数量积运算和利用平面向量的数量积求夹角，以及向量在几何中的运用，考查化简运算能力． 14.对于函数()()321332a f x x x a xb =-+-+，若()27f =，则()2f -=______.若()f x 有六个不同的单调区间，则a 的取值范围为______. 【答案】 (1). 7 (2). ()2,3 【解析】 【分析】利用定义判断出函数()f x 为偶函数，可求得()2f -的值，令()()321332ag x x x a x b =-+-+，可知函数()g x 在()0,∞+上有两个极值点，即函数()g x '在()0,∞+上有两个不同的零点，利用二次函数的零点分布可得出a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围. 【详解】()()321332a f x x x a xb =-+-+，该函数的定义域为R ， ()()()()()332211333232a a f x x x a xb x x a x b f x -=---+--+=-+-+=， 所以，函数()f x 为偶函数，则()()227f f -==.令()()321332a g x x x a xb =-+-+，则()()f x g x =， 由于函数()f x 有六个不同的单调区间，则函数()g x 在()0,∞+上有两个极值点， 即函数()g x '在()0,∞+上有两个不同的零点，且()()23g x x ax a '=-+-，由二次函数的零点分布得()2024120030aa a g a '⎧>⎪⎪∆=+->⎨⎪=->⎪⎩，解得23a <<.因此，实数a 的取值范围是()2,3. 故答案为：7；()2,3.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求函数值，同时也考查了利用函数的单调区间求参数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.15.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则3+a c 的最小值为______.【答案】4+【解析】 【分析】 由ABCABDCBDSSS=+可推出ac c a =+，即111a c+=，故利用基本不等式，结合“乘1法”即可求出3+a c 的最值. 【详解】由题可知ABCABDCBDSSS=+，则由角平分线性质和三角形面积公式可得：111sin120sin 60sin 60222ac c a =+， 化简得ac c a =+，即111a c+=，所以()1133344a c a c a c a c c a ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭当且仅当3a cc a=即1c ==时取等号.故答案为：4+.【点睛】本题考查了三角形和基本不等式的综合应用，属于中档题，在应用基本不等式时，注意遵循“一正二定三相等”原则.16.双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率为e ，过2F 的直线与双曲线的右支交于A ，B 两点，若1F AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则2e =______.【答案】5- 【解析】 【分析】可设2AF m =，122F F c =，根据双曲线的定义及1F AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，得12AF a m =+，14BF a =，11BF =，求得m .再在12Rt F AF 中，用勾股定理，得到关于a c 、的方程，运用离心率公式计算即可. 【详解】解：设2AF m =，122F F c =，由122AF AF a -=，12AF a m ∴=+，又1222AF AB AF BF m BF ==+=+，22BF a ∴=，又122BF BF a -=， 14BF a ∴=，1F AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，11BF ∴=，即)42a a m =+，)21m a ∴=，在12Rt F AF 中，222124AF AF c +=，()222824a ac ∴+=，即2225c a =-，25e ∴=-故答案为：5-.【点睛】本题主要考查双曲线的定义、方程和性质、考查离心率的求法，考查学生的计算能力，属于中档题.17.已知()f x '是函数()()322113f x mx m x n x =-+-+的导函数，若函数()x y f f '=⎡⎤⎣⎦在区间[],1m m +上单调递减，则实数m 的范围是______. 【答案】[]1,0- 【解析】 【分析】求出函数()f x 的导函数，利用导函数研究原函数的单调区间，再二次求导得()22f x x m ''=-，从而得到()f x '的单调区间，由导函数在区间[m ，1]m +上单调递增求出其值域[]1,0-，将函数的单调性把问题转化为[][]1,01,1m m -⊆-+，即可列出不等式即可求出m 的范围.【详解】解：由函数3221()(1)3f x x mx m x n =-+-+，得222()21()1f x x mx m x m '=-+-=--， 由2()10x m -->，得1x m <-或1x m >+，∴函数()f x 的增区间为(,1)m -∞-，(1,)m ++∞，由2(1)0x m --<，得11m x m -<<+，∴函数()f x 单调减区间为[]1,1m m -+，由()22f x x m ''=-，则()0f x ''>时，x m >；()0f x ''<时，x m <，得()f x '的单调增区间为[),m +∞，单调减区间为(],m -∞，函数()f x '在[],1m m +上单调递增，∴函数()f x '在[],1m m +上的值域为[]1,0-， 又函数[()]y f f x '=在区间[],1m m +上单调递减，也就是函数()y f x =在区间[]1,0-上单调递减，因此要满足条件[][]1,01,1m m -⊆-+，即1110m m -≤-⎧⎨+≥⎩，解得：10m -≤≤，∴实数m 的范围是[]1,0-.故答案为：[]1,0-.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性以及根据复合函数的单调性求参数取值范围，考查转化思想和运算能力，属中档题. 三、解答题 18.（12sin 50cos101︒+︒+︒（2）在ABC 中，已知2AC =，1AB =，且角A ，B ，C 满足2cos 22sin 12B CA ++=.求角A 的大小和BC 边的长；【答案】（1）2；（2）60A =︒，BC =. 【解析】 【分析】（1）先切化弦，再用辅导角公式，分母用倍角公式等三角恒等变换化简求值； （2）对2cos 22sin12B CA ++=利用倍角公式，降次公式化简，可得1cos 2A =，从而求得60A =︒，再求余弦定理可求得BC 的长. 【详解】解：（12sin 50cos101︒+︒+︒40cos 40︒⋅+︒⋅==2sin85cos5︒=︒2= （2）由2cos 22sin12B CA ++=，得cos 2cos()ABC =+，又180A B C ++=︒， 得cos2A =cos(180)A ︒-，得22cos 1cos A A -=-，得(cos 1)(2cos 1)0A A +-=， 由cos 10A +≠，得1cos 2A =，又(0,180)A ∈︒，得60A =︒， 2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅⋅211221232=+-⨯⨯⨯=，得BC =，即60A =︒，BC =【点睛】本题考查了三角恒等变换的化简与求值，辅助角公式，二倍角公式，降次公式，余弦定理，还考查了学生分析推理能力，运算能力，属于中档题.19.已知：二次函数()21f x ax bx =+-的图象过点()1,0-，且对任意实数均有()0f x ≤成立.（1）求()f x 的表达式；（2）若奇函数()h x 的定义域和值域都是区间[],k k -，且[]0x k ∈-，时，()()1h x f x =+，求k 的值.【答案】（1）()221f x x x =---；（2）1k =或3k =.【解析】 【分析】（1）根据函数过点()1,0-和0∆≤计算得到答案.（2）根据奇函数得到函数解析式，讨论01k <≤和1k >两种情况，计算得到答案. 【详解】（1）()21f x ax bx =+-，()110f a b -=--=，故1a b -=，对任意实数均有()0f x ≤成立.，故240b a ∆=+≤，即()224420b b b ++=+≤，故2b =-，1a =-，即()221f x x x =---.（2）当[]0x k ∈-，时，()()()221211x x f x h x x =--=-+++=，0k >， 当(]0,x k ∈时，[)0x k -∈-，，故()()22h x h x x x -=--=， 当1k ≤时，函数()h x 在[],k k -上单调递减，故()()2max 2h x h k k k k =-=-+=，()()2min 2h x h k k k k ==-=-，解得1k =；当1k >时，()()(){}(){}max max 1,max 1,f x f f k f k k =-==，故()f k k =， 即22k k k -=，解得3k =，验证满足()()min f x f k k =-=-. 综上所述：1k =或3k =.【点睛】本题考查了求二次函数解析式，根据函数的值域求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力，分类讨论是解题的关键. 20.已知等差数列{}n a 的公差为1-，前n 项和为n S ，且27126a a a ++=-． （1）求数列{}n a 的通项公式n a 与前n 项和n S ；（2）将数列{}n a 的前四项抽取其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{}n b 的前三项，记数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，若存在m *∈N ，使得对任意n *∈N ，总有n m S λ<T +成立，求实数λ的取值范围．【答案】（1）5n a n =-，2922n n n S =-（2）29,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】【详解】试题分析：（1）求等差数列通项公式，一般利用待定系数法，本题已知公差，因此只需确定一项即可：由27126a a a ++=-利用等差数列性质得736a =-，72a =-，再根据等差数列广义通项公式得：()77275n a a n d n n =+-=--+=-，最后利用等差数列和项公式求前n 项和n S ，（2）先根据题意确定数列{}n a 的前四项抽取的是哪一项，再根据剩下三项，利用待定系数法求等比数列{}n b 通项，然后利用错位相减法求数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，对存在性问题及恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题：()()max max n m S T λ<+，nS 为二次函数，可根据对称轴求其最大值，需注意n *∈N ，而n T 的最值，需根据数列单调性确定.试题解析： 解：（1）{}n a 为等差数列，且27126a a a ++=-，∴736a =-，即72a =-，又公差1d =-，∴()77275n a a n d n n =+-=--+=-，n *∈N ．()()214592222n n n a a n n n n S ++-===-，n *∈N ． （2）由（1）知数列{}n a 的前4项为4，3，2，1，∴等比数列{}n b 的前3项为4，2，1， ∴，∴()11452n n n a b n -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭，∴()()01211111443652222n n n T n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯+-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，① ∴()()121111114436522222n nn T n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯+-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，② ①-②得()12111111444522222n nn T n -⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++--⨯⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()111212111645122612212n n n n n --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=---⨯=+-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-． ∴()11244122n n T n -⎛⎫=+-⨯ ⎪⎝⎭，n *∈N ．∴()11214112412204222n n n n n n n nT T ---------=-=， ∴12345T T T T T <<<=，且56n T T >>>T ，∴*n ∈N 时，()45max 492n T T T ===． 又2922n n n S =-，∴*n ∈N 时，()45max 10n S S S ===，存在*m ∈N ，使得对任意*n ∈N ，总有n m S T λ<+成立．∴()()max max n m S T λ<+，∴49102λ<+， ∴实数λ的取值范围为29,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．考点：等差数列通项及求和，错位相减法求和【名师点睛】一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法．用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形更值得注意．(2)在写出“S n ”和“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便于下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式． 21.如图，已知()1,1P 为抛物线2yx 上一点，斜率分别为k ，k -()2k >的直线PA ，PB 分别交抛物线于点A ，B （不与点P 重合）.（1）证明：直线AB 的斜率为定值； （2）若△ABP 265. （i ）求△ABP 的周长（用k 表示）； （ii ）求直线AB 的方程.【答案】（1）证明见解析；（2）（i ）22125k k +；（ii ）224y x =-+. 【解析】 【分析】（1）首先设直线PA 的方程为()11y k x =-+，与抛物线2yx 联立，求得点A 的坐标，将k k =-，求得点B 的坐标，再求直线AB 的斜率；（2）（ⅰ）利用弦长公式，分别求三角形的三边长，（ⅱ）首先求点P到直线AB的距离，再利用等面积公式转化方程求k，最后求直线AB的方程.【详解】（1）设直线PA的方程为()11y kx=-+，与抛物线2y x联立，得210x kx k-+-=，易知()()21,1A k k--，()()21,1B k k--+，所以直线AB的斜率2ABk=-（定值）.（2）由（1）得直线AB的方程为()()2211y x k k=--++-，所以点P到直线AB的距离2d=()2AP k=-，()2BP k=+，AB=.（ⅰ）求ABP∆的周长2l=；（ⅱ）设ABP∆的内切圆半径为r，则r=2AB drl⋅====5k=.所以直线AB的方程为224y x=-+.【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系的综合应用，重点考查转化与化归的思想，计算能力，坐标法解决几何问题的思想，属于中档题型，本题的关键是利用方程联立求出点,A B的坐标.22.已知函数()()1xf x x e=-.（1）求函数()f x的单调递增区间；（2）若方程()(),f x ax b a b R=+∈有非负实数解，求2+4a b的最小值.【答案】（1）()0,∞+；（2）()24ln21--【解析】【分析】（1）首先求函数的导数()xf x xe '=，直接求函数的单调递增区间；（2）设()()g x f x ax b =--，求函数的导数()x g x xe a '=-，当0a ≤时，判断函数在()0,∞+上单调性，当有非负实数解时，求24a b +的最小值，当0a >，转化为存在00x >使()00g x '=，即00x a x e =，且()g x 在[]00,x 上单调递减，在[)0,x +∞上单调递增转化为()002222000441x x a b x e x x e +≥--+，通过构造函数()()22241x x h x x e x x e =--+，求函数的最小值.【详解】（1）因为()x f x xe '=，所以函数()f x 的单调递增区间为()0,∞+.（2）设()()1x g x x e ax b =---，则()xg x xe a '=-. ①当0a ≤时，因为()0g x '≥，所以()g x 在[)0,+∞单调递增，所以()010g b =--≤，得1b ≥-，故244a b +≥-.②当0a >时，存在00x >使()00g x '=，即00x a x e =，且()g x 在[]00,x 上单调递减，在[)0,x +∞上单调递增.所以()()000010x g x x e ax b =---≤，解得()()0002000011x x x b x e ax x e x e ≥--=--， 因此()002222000441x x a b x ex x e +≥--+. 设()()22241x x h x x e x x e =--+，则()()()222x x x h x x e e =+-'，所以()h x 在[]0,ln 2上单调递减，在[)ln 2,+∞上单调递增，所以()()ln 204h h <=-，()()2ln 24ln 28ln 28h x h ≥=-+-. 所以当2ln2a =，22ln 22ln 22b =-+-时，24a b +取到最小值()24ln 21--，此时方程()f x ax b =+有零点ln 2. 【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，最值，零点，属于综合性强的题型，本题的a 时的讨论，通过转化，变形构造函数，转化为求函数的最小值. 难点是第二问0。
2020学年浙江省绍兴市诸暨市高二下学期期末数学试题(解析版)
合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【详解】
x y 0 解：由 x ， y 满足不等式 2x y 10 0 作出可行域如图，
x y 5 0
令 z 2x y ，
目标函y
0 5
，解得
A
5 2
,
5 2
时
z
得最小值，
∴ ＜ ， ＜ ， ＞ ， ＜ ， 可得 是最小角， 是最大角，
故选：C． 【点睛】 本题考查线面角、二面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的 位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 二、填空题
6
2020 高二数学阶段检测
11．
4 9
1
2
________； lg 5
则数量积 a a 2e1 2e2 =（ ）
A．定值－1
B．定值 1
C．最大值 1，最小值－1
D．最大值 0，最小值－1
【答案】A
【解析】由题意可设 e1 (1,0),e2 (0,1) ，a (x, y) ，再表示向量的模长与数量 积， 【详解】
由题意设 e1 (1,0),e2 (0,1) ，则向量 a xe1 ye2 (x, y) ，且 a e1 e2 1， 所以 a e1 e2 (x 1, y 1) ， 所以 (x 1)2 ( y 1)2 1 ，
故答案为：(1). 3 2
【点睛】
(2). －3
本题考查分数指数幂与对数的运算规则，是基础题。
12．双曲线 x2 y2 1 的离心率 ________；焦点到渐近线的距离 ________. 3
【答案】 2 3 1 3
【解析】由双曲线 x2 y2 1 得 a 3, b 1，再求出 c ，根据公式进行计算 3
2019-2020学年绍兴市诸暨中学平行班高二下学期期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年绍兴市诸暨中学平行班高二下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分） 1. 设集合，集合.若中恰含有一个整数，则实数的取值范围是( )A.B.C.D.2. 分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的( )A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 等价条件3. 数列{}的通项公式是=()，那么与的大小关系是( )A. >B. <C. =D. 不能确定4. 已知直角△ABC ，AB =AC =3，P ，Q 分别为边AB ，BC 上的点，M ，N 是平面上两点，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，(PB⃗⃗⃗⃗⃗ +BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且直线MN 经过△ABC 的外心，则|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=( ) A. 12B. 23C. 1D. 25. 已知函数y =f(x)是定义在R 上的偶函数，满足f(2+x)=f(2−x)，若函数y =f(x)在(0,4)上至少有1个零点，且f(0)=0，则函数y =f(x)在(−8,10]上至少有( )个零点．A. 7B. 9C. 11D. 136. 设函数f(x)是偶函数，且当x >0时，f(x)=2x+1，则在区间[−4,−2]内，函数f(x)( )A. 单调递增，最大值25 B. 单调递减，最大值23 C. 单调递增，最小值23D. 单调递增，最大值237. 已知函数f(x)=Acos 2(ωx +φ)+1(A >0,ω>0,0<φ<π2)的最大值为3，f(x)的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)++f(2020)的值为( )A. 2458B. 3501C. 4040D. 57398. 不等式√2sin x 2cos x 2+√6cos 2x 2−√62−m ≥0对于x ∈[−π6,π3]恒成立，则实数m 的取值范围是( )A. (−∞,√62]B. (−∞,√22]C. (−∞,√2]D. [√22,+∞)9.设f(x)在R上可导，其导数为f′(x)，给出下列四组条件：①p：f(x)是奇函数，q：f′(x)是偶函数；②p：f(x)是以T为周期的函数，q：f′(x)是以T为周期的函数；③p：f(x)在区间(−∞,+∞)上为增函数，q：f′(x)>0在(−∞,+∞)恒成立；④p：f(x)在x0处取得极值，q：f′(x0)=0．由以上条件中，能使p⇒q成立的序号为()．A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④10.若偶函数f(x)在区间[−5,0]上是增函数且最小值为−4，则f(x)在区间[0,5]上是()A. 减函数且最小值为−4B. 增函数且最小值为−4C. 减函数且最大值为4D. 增函数且最大值为4二、单空题（本大题共3小题，共12.0分）11.已知函数f(x)=若直线y=m与函数f(x)的图像有两个不同的交点，则实数m的取值范围是________．12.已知函数f(x)=x(x5−16x2+x−4)，且f(x)≥f(x0)对x∈R恒成立，则曲线y=f(x)在点x )处的切线的斜率为______．(x0,f(x0)x013.如图，在正方形ABCD中，已知AB=2，M为BC的中点，若N为正方形内(含边界)任意一点，则·的最大值是________．三、多空题（本大题共4小题，共24.0分）14.z=1+3i，则z的共轭复数z−=(1)，z⋅z−=(2)．2+i15.计算：lg4+lg25=(1)) −12=(2)．4+20−(11616.函数y=的定义域是(1)；最小值是(2)．√x17.如图，在△ABC中，AB⊥AC，AB=AC=3，D，E，F分别在边AB，BC，CA上，且DE⊥EF，BE=2EC.则①EFDE=(1)；②△DEF面积的最大值为(2)．四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足sinA(sinB+√3cosB)=√3sinC．(1)求角A的大小；(2)若a=3，求△ABC周长的取值范围．19.设函数f(x)=sinxcos(x+π3)+√34，x∈R．(1)设α,β∈[0,π2]，f(α2+π12)=526,f(β2−5π12)=−310，求sin(α−β)的值．(2)△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列；且a+c=6，f(B2)=√34，求△ABC的面积．20. 直线x +y =a 与圆x 2+y 2=3交于A 、B 两点，O 为原点，若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2，求实数a 的值．21. (本小题10分) 已知正实数a 、b 、c 满足条件a +b +c =3，(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)若c =ab ，求c 的最大值．22. 设函数f(x)=x 2−mlnx ，ℎ(x)=x 2−x +a(Ⅰ)当a =0时，f(x)≥ℎ(x)在(1,+∞)上恒成立，求实数m 的取值范围；(Ⅱ)当m =2时，若函数g(x)=f(x)−ℎ(x)在[1,3]上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：试题分析：先求解一元二次不等式化简集合A，B，然后分析集合B的左端点的大致位置，结合A∩B中恰含有一个整数得集合B的右端点的范围，列出无理不等式组后进行求解解：由x2+2x−3>0，得：x<−3或x>1.由x2−2ax−1≤0，得：a−≤x≤a+.所以，A={x|x2+ 2x−3>0}={x|x<−3或x>1}，B={x|x2−2ax−1≤0,a>0}={x|a−≤x≤a+ }.因为a>0，所以a+1>，则a−>−1且小于0.由A∩B中恰含有一个整数，所以2≤a+<3.解得所以，满足A∩B中恰含有一个整数的实数a的取值范围是，选B．考点：交集及其运算点评：本题考查了交集及其运算，考查了数学转化思想，训练了无理不等式的解法，求解无理不等式是该题的一个难点．此题属中档题．2.答案：A解析：试题分析：分析法是从要证明的结论出发，逐步的去寻找使结论成立的条件，即由哪些条件能推得结论成立，所以要找的条件是结论的充分条件考点：分析法点评：分析法是从结论入手去寻找使其成立的条件，综合法是从已知，定理入手逐步推证所求结论，这两种方法在求解证明题时经常结合应用3.答案：B解析：试题分析：因为=，所以，所以<．考点：本小题主要考查数列的单调性的判断．点评：判断与的大小关系，即判断数列的单调性，基本的方法是作差法比较两个数的大小．4.答案：D解析：解：建立坐标系将，将直角三角形放入坐标系中， 若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 即A 是PM 的中点，∵直线MN 经过△ABC 的外心， ∴直线MN 经过BC 的中点E ， ∵(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴PQ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即PQ ⊥BC ，AE ⊥BC ， 则PN//AE ，PN =2AE =2×3√2=6√2， ∵PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴PN =3PQ =6√2， 即PQ =2√2，直线BC 的方程为x +y −3=0， 设P(0,m)，0<m <3， 则PQ =|m−3|√2=2√2，即|m −3|=2，则m =1或m =5(舍)， 即P(0,1)，则|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BP|=2， 故选：D ．建立坐标系，利用坐标法将直角三角形放入坐标系中，根据AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得到A 是PM 的中点，以及PQ ⊥BC ，结合三角形的长度关系转化为点到直线的距离进行求解即可．本题主要考查向量数量积的应用，利用坐标法结合数形结合，条件中点坐标公式以及直线垂直的条件进行转化是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．5.答案：B解析：解：∵函数y =f(x)是定义在R 上的偶函数，满足f(2+x)=f(2−x)， ∴f(2+x)=f(2−x)=f(x −2)，即f(x +4)=f(x)，则函数f(x)是周期4的周期函数，∵f(0)=0，∴f(0)=f(4)=f(8)=f(−4)=0，此时有4个零点，设函数y =f(x)在(0,4)上的零点为a ，则f(0−a)=f(4−a)=f(−a)=f(a)=0， 则得4−a =a ，解得a =2，即f(2)=0，则f(−2)=f(2)=0， 则f(2)=f(6)=f(10)=f(−2)=f(−6)=0，此时有5个零点， 则函数y =f(x)在(−8,10]上至少有9个零点， 故选：B根据条件判断函数的周期性，根据函数函数的奇偶性和周期性寻找零点即可得到结论． 本题主要考查函数零点个数的判断，根据函数周期性和奇偶性的性质是解决本题的关键．6.答案：D解析：解：当x >0时，f(x)=2x+1为减函数，则在[2,4]上，f(x)的最大值为f(2)=23，最小值为f(4)=25， ∵函数f(x)是偶函数，∴在区间[−4,−2]内为增函数，且最大值为f(−2)=23，最小值为f(−4)=25， 故选：D根据函数奇偶性和单调性之间的关系，进行判断即可．本题主要考查函数单调性和最值的判断，根据函数奇偶性和单调性的关系是解决本题的关键．7.答案：C解析：解：∵已知函数f(x)=Acos 2(ωx +φ)+1(A >0,ω>0,0<φ<π2)的最大值为A +1=3，故A =2．f(x)的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，∵f(0)=2cos 2φ+1=2，∴cosφ=√22，φ=π4，即f(x)=2cos 2(ωx +π4)+1=cos(2ωx +π2)+2=−sin2ωx +2．再根据其相邻两条对称轴间的距离为12T =12⋅2π2ω=2，可得ω=π4，f(x)=−sin π2x +2， 故函数的周期为2ππ2=4．∵f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1+2+3+2=8，∴f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2020) =505⋅[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]=4040，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点求出φ的值，可得函数的解析式，再利用函数的周期性，求得要求式子的值．本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点求出φ的值，函数的周期性的应用，属于基础题．8.答案：B解析：解：不等式等价为√22sinx+√6⋅cosx2−m≥0，⇒√2sin(x+π3)≥m，∵∀x∈[−π6,π3]恒成立，∴x+π3∈[π6,2π3]，则√2sin(x+π3)∈[√22,√2]，∴m≤√22，故选：B．利用辅助角公式进行转化，结合不等式恒成立求出三角函数的最值即可．本题主要考查三角函数恒成立问题，利用辅助角公式进行化简，转化为求最值是解决本题的关键．是中档题．9.答案：B解析：由f(−x)=−f(x)，得−f′(−x)=−f′(x).∴f′(−x)=f′(x).即f′(x)是偶函数①正确．易知②正确．③不正确．根据f′(x0)=0是可导函数f(x)在x=x0取得极值的必要不充分条件，∴④正确．10.答案：A解析：解：∵f(x)在区间[−5,0]上是增函数，最小值是−4，∴f(−5)=−4，又f(x)为偶函数，∴f(x)在[0,5]上单调递减，f(x)≥f(5)=f(−5)=−4．即f(x)在区间[0,5]上的最小值为−4，综上，f(x)在[0,5]上单调递减，且最小值为−4．根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，可知f(x)在区间[0,5]上的单调性，再由所给最小值为−4，可求f(x)在[0,5]上的最值．本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，属基础题．11.答案：(0,1)解析：分别画出函数y =2x (x <0)和y =log 2x(x >0)的图像，不难看到当0<m <1时，直线y =m 与函数f(x)的图像有两个不同的交点．12.答案：17解析：解：因为f(x)=x(x 5−16x 2+x −4)=x 6−16x 3+x 2−4x =(x 3−8)2−(x −2)2−68， ∴当x =2时，函数取得最小值即x 0=2， ∵(f(x)x)′=5x 4−32x +1，∴则曲线y =f(x)x在点(x 0,f(x 0)x 0)处的切线的斜率k =5×24−32×2+1=17．故答案为：17由已知结合导数可求x 0，然后结合导数的几何意义即可求解．本题主要考查了导数的几何意义及最值的求解，考查了推理与论证的能力．13.答案：6解析：由数量积的定义得·=||·||cos∠NAM ，当N 点与C 点重合时，||cos∠NAM 最大，解三角形得最大值为，所以·的最大值是6．14.答案：1−i2解析：解：∵z =1+3i 2+i=(1+3i)(2−i)(2+i)(2−i)=5+5i 5=1+i ，∴z −=1−i ，z⋅z−=|z|2=(√2)2=2．故答案为：1−i；2．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念求z−，然后利用z⋅z−=|z|2求z⋅z−．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．15.答案：21解析：解：lg4+lg25=lg100=2．4+20−(116) −12=4+1−2−4×(−12)=5−4=1．故答案为：2，1．利用指数与对数运算性质即可得出．本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.答案：(0,+∞)4解析：本题考查了函数的定义域和利用基本不等式求最值，利用基本不等式y=√x =√x√x≥2√√x·4√x=4，即可得出结果．解：函数y=√x的定义域是(0,+∞)，y=√x =√x+√x≥2√√x·√x=4，当且仅当√x=√x，即x=4，等号成立，故答案为(0,+∞)；4 ．17.答案：124−2√2解析：解：如图，作EN⊥AC于N，作EM⊥BC于M，可得F在线段MN上运动．∵AB=AC=3，BE=2EC.则CE=√2，BE=2√2，设CF=x，DB=y，(x、y∈[1,√2])，在△CEF中，由余弦定理可得EF2=CF2+CE2−2CF⋅CEcos45°=x2−2x+2，同理可得DE2=y2−4y+8，由勾股定理可得DF2=(3−x)2+(3−y)2，由EF2+ED2=FD2，即可得x2−2x+2+y2−4y+8=(3−x)2+(3−y)2，整理得：2x+y=4①，∴EF2DE2=x2−2x+2y2−4y+8=x2−2x+24x2−8x+8=14，EFDE=12②，△DEF面积为S=12EF⋅DE=EF2=x2−2x+2=(x−1)2+1∈[1,4−2√2]；∴△DEF面积的最大值为4−2√2．作EN⊥AC于N，作EM⊥BC于M，可得F在线段MN上运动，设CF=x，DB=y，(x、y∈[1,√2])，由EF2+ED2=FD2，整理得：2x+y=4①，EF2DE2=x2−2x+2y2−4y+8=x2−2x+24x2−8x+8=14，EFDE=12②，△DEF面积为S=12EF⋅DE=EF2=x2−2x+2=(x−1)2+1∈[1,4−2√2]，本题考查了解三角形，考查了转化思想、计算能力，属于中档题．18.答案：(本题满分为12分)解：(1)由A+B+C=π，得sinC=sin(A+B)，代入已知条件得：sinAsinB+√3sinAcosB=√3sinAcosB+√3cosAsinB，…(1分)即：sinAsinB=√3cosAsinB，…(3分)∵sinB≠0，由此得tanA=√3，…(4分)∵0<A<π，∴A =π3.…(6分)(2)由上可知：B +C =2π3，∴C =2π3−B ．由正弦定理得：2R =asinA =3sin π3=2√3，…(7分)∴b +c =2R(sinB +sinC)=2√3[sinB +sin(2π3−B)]=2√3(32sinB +√32cosB)=6sin(B +π6)，…(9分) ∵由0<B <2π3得：12<sin(B +π6)≤1， ∴3<b +c ≤6，且a =3，∴△ABC 周长的取值范围为(6,9].…(12分)解析：(1)由三角形内角和定理及三角函数恒等变换的应用化简可得sinAsinB =√3cosAsinB ，又sinB ≠0，由此得tanA =√3，结合范围0<A <π，即可求A ． (2)由上可知C =2π3−B.由正弦定理得：2R =a sinA =3sin π3=2√3，可得b +c =6sin(B +π6)，结合B的范围即可求得b +c 的范围，结合a =3，即可得解．本题主要考查了三角形内角和定理，正弦定理，正弦函数的图象和性质的应用，考查了三角函数恒等变换的应用，属于中档题．19.答案：解：(1)f(x)=sinx(12cosx −√32sinx)+√34=14sin2x −√32⋅1−cos2x 2+√34=12sin(2x +π3)，∴f(α2+π12)=12sin(α+π2)=12sinα=526，即sinα=513；f(β2−5π12)=12sin(β−π2)=−12cosβ=−310，即sinβ=35， ∵α，β∈[0,π2]， ∴cosα=1213，cosβ=45， 则sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ=1665； (2)∵f(B2)=12sin(B +π3)=√34，即sin(B +π3)=√32， ∴B +π3=2π3，即B =π3， 又a 、b 、c 成等比数列，∴b 2=ac ，由余弦定理知12=a 2+c 2−b 22ac =(a+c)2−3ac2ac =36−3ac 2ac，即ac =9，则△ABC 的面积S =12acsinB =9√34．解析：(1)f(x)解析式利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理为一个角的正弦函数，确定出sinα与sinβ的值，进而求出cosα与cosβ的值，原式利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值；(2)由f(B2)=√34求出B 的度数，由a ，b ，c 成等比数列，利用等比数列的性质得到b 2=ac ，利用余弦定理列出关系式，将cos B 以及b 2=ac 代入求出ac 的值，再由sin B 的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC 面积．此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，等比数列的性质，以及三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．20.答案：解：联立直线x +y =a 与圆x 2+y 2=3，消掉y 并整理得：2x 2−2ax +a 2−3=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则由韦达定理得： x 1+x 2=a ，x 1x 2=a 2−32，∴y 1y 2=(a −x 1)(a −x 2)=a 2−a(x 1+x 2)+x 1x 2 =a 2−a 2+x 1x 2=a 2−32又OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2，∴x 1x 2+y 1y 2=2，代入解得a =±√5．解析：联立方程得到方程组，消元得到2x 2−2ax +a 2−3=0，由韦达定理得x 1x 2，y 1y 2再由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2，代入可求解． 本题考查直线与圆的位置关系，注意韦达定理及整体思想的运用，属基础题．21.答案：解：(Ⅰ)由柯西不等式得 (√a +√b +√c)2≤(a +b +c)(1+1+1)代入已知a +b +c =3， ∴ (√a +√b +√c)2≤9， ∴ √a +√b +√c ≤3当且仅当=b =c =1，取等号． (Ⅱ)由 a +b ≥2√ab ， 得 2√ab +c ≤3，若c=ab，则2√c+c≤3，(√c+3)(√c−1)≤0，所以√c≤1，即c≤1，当且仅当a=b=1时，∴c有最大值1．解析：本题考查柯西不等式的应用．(I)利用柯西不等式得(a2+b2+c2)(m2+n2+p2)≥(am+bn+cp)2得(√a+√b+√c)2≤(a+ b+c)(1+1+1)，代入已知a+b+c=3即得；(Ⅱ)由a+b≥2√ab，得2√ab+c≤3，若c=ab，由(I)得2√c+c≤3，(√c+3)(√c−1)≤0，从而得出c≤1即得．22.答案：解：(I)由a=0，f(x)≥ℎ(x)可得−mlnx≥−x，即m≤xlnx记φ=x，则f(x)≥ℎ(x)在(1,+∞)上恒成立等价于m≤φ(x)min．lnx求得φ′(x)=lnx−1ln2x当x∈(1,e)时；φ′(x)<0；当x∈(e,+∞)时，φ′(x)>0故φ(x)在x=e处取得极小值，也是最小值，即φ(x)min=φ(e)=e，故m≤e．(II)函数k(x)=f(x)−ℎ(x)在[1,3]上恰有两个不同的零点等价于方程x−2lnx=a，在[1,3]上恰有两个相异实根．令g(x)=x−2lnx，则g′(x)=1−2x当x∈[1,2)时，g′(x)<0，当x∈(2,3]时，g′(x)>0g(x)在[1,2]上是单调递减函数，在(2,3]上是单调递增函数．故g(x)min=g(2)=2−2ln2又g(1)=1，g(3)=3−2ln3∵g(1)>g(3)，∴只需g(2)<a≤g(3)，故a的取值范围是(2−2ln2,3−2ln3]解析：(I)由a=0，我们可以由f(x)≥ℎ(x)在(1,+∞)上恒成立，得到−mlnx≥−x，即m≤x在lnx (1,+∞)上恒成立，构造函数φ=x，求出函数的最小值，即可得到实数m的取值范围；lnx(Ⅱ)当m=2时，我们易求出函数g(x)=f(x)−ℎ(x)的解析式，由方程的根与对应函数零点的关系，易转化为x−2lnx=a，在[1,3]上恰有两个相异实根，利用导数分析函数的单调性，然后根据零点存在定理，构造关于a的不等式组，解不等式组即可得到答案．本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，函数的零点，其中(I)的关键是构造函数，将问题转化为函数恒成立问题，(II)的关键是利用导数分析函数的单调性后，进而构造关于a的不等式组．。
浙江省绍兴市2020-2021学年高二下学期期末调测数学参考答案
…………15 分
解法 2：因为 PE 平面 ABCD ，所以三棱锥 P ACD 的体积为
VP ACD
1 3
S△ACD
PE
1 3
1 2
3
3． 6
…………8 分
设点 A 到平面 PCD 的距离为 d ，又 DC DP ，所以三棱锥 A PCD 的体积为
VA PCD
1 3
S△PCD
d
1 3
1 2
B
所以 CD 平面 PDE ， CD 平面 PCD ，
E
所以平面 PCD 平面 PDE ，
D
C
所以 EF 平面 PCD ，
……10 分
所以点 A 到平面 PCD 的距离即为 EF 3 ． 2
…………12 分
3
设直线 PA 与平面 PCD 所成角为 ，则 sin θ
2 PA
3
，
4
所以直线 PA 与平面 PCD 所成角的正弦值为 3 ． 4
AP (0，1， 3) ， DC (0，1，0) ，
DP (1，0， 3) ．
…………9 分
设平面 PCD 的一个法向量为 n (x，y，z) ．
由
n n
DP DC
0，
得
0，
y
x 3z 0，
0，
取
z
1
，得
n
(
3，0，1) ． …………12 分
设直线 PA 与平面 PCD 所成角为 ，
2020学 年 第 二 学 期 高 中 期 末 调 测 高二数学参考答案
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B C D A D B D B
2019-2020学年绍兴市新高考高二数学下学期期末学业水平测试试题
提高练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是12，且是互相独立的，灯亮的概率为（ ）A ．316B ．34C ．1316D ．142．一个袋子中有4个红球，2个白球，若从中任取2个球，则这2个球中有白球的概率是( ) A ．45B ．35C ．25D ．133．已知()f x 的定义域为()0,∞+，()'f x 为()f x 的导函数，且满足()()'f x xf x <-，则不等式()()()2111f x x f x +>--的解集（）A ．()(),12,-∞-+∞B ．()1,+∞C ．()1,2D ．()2,+∞4．若函数()322,020x x a x f x x x a x ⎧-->=⎨+-≤⎩，恰有2个零点，则a 的取值范围为（ ）A ．4027⎛⎫-⎪⎝⎭， B ．(()41,]0+27--⋃∞， C ．4127⎛⎫-- ⎪⎝⎭，D ．()410+27⎛⎫--⋃∞ ⎪⎝⎭，，5． (x +y )(2x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为 A ．-80B ．-40C ．40D ．80 6．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ）A ．B ．C ．D ．7．将正整数1，2，3，4，…按如图所示的方式排成三角形数组，则第20行从右往左数第1个数是( )A ．397B ．398C ．399D ．4008．已知向量()()2,1,,2a b λ==，若a b ⊥，则实数λ= （ ） A ．4-B ．1-C ．1D ．49．若()()()()9290129111x a a a x a x a x +=+++++++，若684a =，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．2-D ．3-10．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为A ．23B ．35 C ．25D ．1511．某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为31812863y x x =-+-，则该生产厂家获取的最大年利润为（ ） A ．300万元B ．252万元C ．200万元D ．128万元12．设随机变量ξ服从分布(),B n p ，且() 1.2E ξ=，()0.96D ξ=，则（ ） A ．6n =，0.2p = B ．4n =，0.3p = C ．5n =，0.24p = D ．8n =，0.15p =二、填空题：本题共4小题 13． “，”的否定是____________．14．已知32()3f x x x a =++（a 为常数），在[33]-，上有最小值3，那么在[33]-，上()f x 的最大值是 15．设集合{()2|0}A x y y x x =≥-≥，，，{()|}B x y y x b =-+，≤，A B =∅，（1）b 的取值范围是 ；（2）若()x y A B ∈，，且2x y +的最大值为9，则b 的值是 ．16．将集合{22|0,,}t ss t s t Z +≤<∈且中所有的数按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形表:则该数表中，从小到大第50个数为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2020学年浙江省绍兴市诸暨市高二下学期期末数学试题(解析版)
浙江省绍兴市诸暨市高二下学期期末数学试题一、单选题1．设全集{1,2,3,4}U =，{1,2}A =，{2,3}B =，则()UAB 等于（）A ．{}4B ．{}1,3,4C ．{}2,4D ．{}3,4【答案】B【解析】直接利用补集与交集的运算法则求解即可． 【详解】解：∵集合{1,2}A =，{2,3}B =，{2}A B ∴⋂=， 由全集{1,2,3,4}U =，()U{1,3,4}A B ∴=．故选：B ． 【点睛】本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础知识的考查．2．已知i 是虚数单位，21i =-，则计算21ii+的结果是（）A ．1i +B ．1i -+C ．1i -D ．1i --【答案】A【解析】根据虚数单位i 的运算性质，直接利用复数代数形式的除法运算化简求值． 【详解】 解：21i =-，22(1)2211(1)(1)2i i i i i i i i -+∴===+++-， 故选：A ． 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 3．椭圆的焦点坐标是（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】从椭圆方程确定焦点所在坐标轴，然后根据求的值.【详解】 由椭圆方程得：，所以，又椭圆的焦点在上，所以焦点坐标是.【点睛】求椭圆的焦点坐标时，要先确定椭圆是轴型还是轴型，防止坐标写错.4．函数2()ln sin 1f x x x x =+++的导函数是（）A ．12cos 1x x x+++ B ．12cos x x x -+ C ．12cos x x x+- D ．12cos x x x++ 【答案】D【解析】根据导数的公式即可得到结论． 【详解】解：由2()ln sin 1f x x x x =+++，得1()2cos f x x x x'=++ 故选：D ． 【点睛】本题考查了导数的基本运算，属基础题．5．设x 是实数，则“|1|2x -<”是“|2|1x ”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】求解不等式，根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．解：设x 是实数，若“|1|2x -<”则：212x -<-<， 即：321x -<-<，不能推出“|2|1x ”若：“|2|1x ”则：121x -<-<，即：012x <-<，能推出“|1|2x -<” 由充要条件的定义可知：x 是实数，则“|1|2x -<”是“|2|1x ”的必要不充分条件； 故选：B ． 【点睛】本题考查了充分条件和必要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．用数学归纳法证明：“1(12)(123)(123)n +++++++++++(1)(2)6n n n ++=”，由n k =到1n k =+时，等式左边需要添加的项是（）A ．(1)2k k +B ．(1)12k k ++ C ．(1)(1)(2)122k k k k +++⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦D ．(1)(2)2k k ++【答案】D【解析】写出n k =时，左边最后一项，1n k =+时，左边最后一项，由此即可得到结论 【详解】解：∵n k =时，左边最后一项为(1)1232k k k ++++⋯⋯+=， 1n k =+时，左边最后一项为(1)(2)123..(k 1)2k k +++++⋯++=，∴从n k =到1n k =+，等式左边需要添加的项为一项为(1)(2)2k k ++【点睛】本题考查数学归纳法的概念，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．7．将函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图形向左平移ϕ个单位后得到的图像关于y 轴对称，则正数ϕ的最小正值是（） A ．3π B ．12πC ．56π D ．512π 【答案】D【解析】由题意利用函数Asin()y x ωϕ=+的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，得出结论． 【详解】解：将函数2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图形向左平移ϕ个单位后， 可得函数2sin 223y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象， 再根据得到的图象关于y 轴对称，可得22,32k k Z ππϕπ+=+∈，即212k ππϕ=-， 令1k =，可得正数ϕ的最小值是512π， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查函数Asin()y x ωϕ=+的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．8．某几何体的三视图如图所示，当4a b +=时，这个几何体的体积为（）A ．1B ．12C ．43D ．23【答案】B【解析】三视图复原几何体是长方体的一个角，设出棱长，利用勾股定理，基本不等式，求出最大值． 【详解】解：如图所示，可知6,1,,AC BD BC b AB a ====．设,CD x AD y ==，则2222226,1,1x y x b y a +=+=+=，消去22,x y 得222()82a b a b ++=≥，所以4a b +≤，当且仅当2a b ==时等号成立，此时3,3x y ==，所以111133322V =⨯⨯=．故选：B ． 【点睛】本题考查三视图求体积，考查基本不等式求最值，是中档题．9．已知1e ，2e 是单位向量，且120e e ⋅=，向量a 与1e ，2e 共面，121a e e --=，则数量积()1222a a e e ⋅--=（ ） A ．定值－1B ．定值1C ．最大值1，最小值－1D ．最大值0，最小值－1【答案】A【解析】由题意可设12(1,0),(0,1)e e ==，(,)a x y =，再表示向量的模长与数量积， 【详解】由题意设12(1,0),(0,1)e e ==，则向量12(,)a xe ye x y =+=，且121a e e --=， 所以12(1,1)a e e x y --=--，所以22(1)(1)1x y -+-=，又1222(2,2)a e e x y --=--， 所以数量积()1222(2)(2)a a e e x x y y ⋅--=-+-22(1)(1)2121x y =-+--=-=-，故选：A ． 【点睛】本题考查平面向量基本定理以及模长问题，用解析法，设出向量的坐标，用坐标运算会更加方便。
2019-2020年高二下学期期末数学试卷(文科)含解析
2019-2020年高二下学期期末数学试卷（文科）含解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞04．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．45．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．58．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.0049．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=_______．12．函数y=的值域为_______．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是_______．14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于_______．15．已知函数则的值为_______．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行_______次才停止；若运算进行3次才停止，则x的取值范围是_______．三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？20．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．2015-2016学年北京市东城区高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）【考点】交集及其运算．【分析】先求出不等式x（x﹣2）＜0的解集，即求出A，再由交集的运算求出A∩B．【解答】解：由x（x﹣2）＜0得，0＜x＜2，则A={x|0＜x＜2}，B={x|x﹣1＞0}={x|x＞1}，∴A∩B═{x|1＜x＜2}=（1，2），故选D．2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】本题通过观察可知：原数列每一项的平方组成等差数列，且公差为3，即a n2﹣a n﹣12=3从而利用等差数列通项公式an2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1=20，得解，n=7【解答】解：数列…，各项的平方为：2，5，8，11，…则a n2﹣a n﹣12=3，又∵a12=2，∴a n2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1，令3n﹣1=20，则n=7．故选B．3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0 C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞0【考点】四种命题的真假关系．【分析】注意判断区分∃和∀．【解答】解：A错误，因为，不存在x0∉ZB错误，因为C错误，x=3时不满足；D中，△＜0，正确，故选D答案：D4．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】导数的运算．【分析】先求原函数的导函数，再把x=1的值代入即可．【解答】解：∵y′=，∴y′|x=1==1．故选：A．5．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数的基本概念．【分析】把a=﹣2代入复数，可以得到复数是纯虚数，当复数是纯虚数时，得到的不仅是a=﹣2这个条件，所以得到结论，前者是后者的充分不必要条件．【解答】解：a=﹣2时，Z=（22﹣4）+（﹣2+1）i=﹣i是纯虚数；Z为纯虚数时a2﹣4=0，且a+1≠0∴a=±2．∴“a=2”可以推出“Z为纯虚数”，反之不成立，故选A．6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】a=30.2＞1，利用换底公式可得：b=log64=，c=log32=，由于1＜log26＜log29，即可得出大小关系．【解答】解：∵a=30.2＞1，b=log64=，c=log32==，∵1＜log26＜log29，∴1＞b＞c，则a＞b＞c，故选：B．7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．5【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【分析】利用奇函数的定义、函数满足的性质转化求解函数在特定自变量处的函数值是解决本题的关键．利用函数的性质寻找并建立所求的函数值与已知函数值之间的关系，用到赋值法．【解答】解：由f（1）=，对f（x+2）=f（x）+f（2），令x=﹣1，得f（1）=f（﹣1）+f（2）．又∵f（x）为奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）．于是f（2）=2f（1）=1；令x=1，得f（3）=f（1）+f（2）=，于是f（5）=f（3）+f（2）=．故选：C．8．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.004【考点】独立性检验的应用．【分析】本题考查的知识点是独立性检验公式，我们由列联表易得：a=11，b=34，c=8，d=37，代入K2的计算公式：K2=即可得到结果．【解答】解：由列联表我们易得：a=11，b=34，c=8，d=37则K2===0.6004≈0.60故选A9．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数的定义判断函数的奇偶性，化简函数解析式，画出函数的图象，结合图象求出函数的递减区间．【解答】解：由函数f（x）=x|x|﹣2x 可得，函数的定义域为R，且f（﹣x）=﹣x|﹣x|﹣2（﹣x ）=﹣x|x|+2x=﹣f（x），故函数为奇函数．函数f（x）=x|x|﹣2x=，如图所示：故函数的递减区间为（﹣1，1），故选C．10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011【考点】抽象函数及其应用．【分析】首先理解⊕的运算规则，然后各选项依次分析即可．【解答】解：A选项原信息为101，则h0=a0⊕a1=1⊕0=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为11010，A选项正确；B选项原信息为110，则h0=a0⊕a1=1⊕1=0，h1=h0⊕a2=0⊕0=0，所以传输信息为01100，B 选项正确；C选项原信息为011，则h0=a0⊕a1=0⊕1=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为10110，C 选项错误；D选项原信息为001，则h0=a0⊕a1=0⊕0=0，h1=h0⊕a2=0⊕1=1，所以传输信息为00011，D 选项正确；故选C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=﹣1+i．【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算．【分析】由条件利用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，计算求得结果．【解答】解：∵复数z满足（1﹣i）z=2i，则z====﹣1+i，故答案为：﹣1+i．12．函数y=的值域为{y|y≠2} ．【考点】函数的值域．【分析】函数y===2+，利用反比例函数的单调性即可得出．【解答】解：函数y===2+，当x＞1时，＞0，∴y＞2．当x＜1时，＜0，∴y＜2．综上可得：函数y=的值域为{y|y≠2}．故答案为：{y|y≠2}．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是P＞Q．【考点】不等式比较大小．【分析】利用作差法，和平方法即可比较大小．【解答】解：∵P=﹣1，Q=﹣，∴P﹣Q=﹣1﹣+=（+）﹣（+1）∵（+）2=12+2，（ +1）2=12+2∴+＞+1，∴P﹣Q＞0，故答案为：P＞Q14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于0.9．【考点】线性回归方程．【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程即可．【解答】解：∵==1.5，==3，∴这组数据的样本中心点是（1.5，3）把样本中心点代入回归直线方程，∴3=1.4×1.5+a，∴a=0.9．故答案为：0.9．15．已知函数则的值为﹣．【考点】函数的值；函数迭代．【分析】由题意可得=f（﹣）=3×（﹣），运算求得结果．【解答】解：∵函数，则=f（﹣）=3×（﹣）=﹣，故答案为﹣．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行4次才停止；若运算进行3次才停止，则x 的取值范围是（10，28] ．【考点】循环结构．【分析】本题的考查点是计算循环的次数，及变量初值的设定，在算法中属于难度较高的题型，处理的办法为：模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中各变量的值进行管理，并分析变量的变化情况，最终得到答案．【解答】解：（1）程序在运行过程中各变量的值如下表示：x x 是否继续循环循环前5∥第一圈15 13 是第二圈39 37 是第三圈111 109 是第四圈327 325 否故循环共进行了4次；（2）由（1）中数据不难发现第n圈循环结束时，经x=（x0﹣1）×3n+1：x 是否继续循环循环前x0/第一圈（x0﹣1）×3+1 是第二圈（x0﹣1）×32+1 是第三圈（x0﹣1）×33+1 否则可得（x0﹣1）×32+1≤244且（x0﹣1）×33+1＞244解得：10＜x0≤28故答案为：4，（10，28]三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．【考点】函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法．【分析】（1）使函数各部分都有意义的自变量的范围，即列出不等式组，解此不等式组求出x范围就是函数的定义域；（2）根据函数奇偶性的定义进行证明即可．【解答】解：（1）由题得，使解析式有意义的x范围是使不等式组成立的x范围，解得﹣1＜x＜1，所以函数f（x）的定义域为{x|﹣1＜x＜1}．（2）函数f（x）为奇函数，证明：由（1）知函数f（x）的定义域关于原点对称，且f（﹣x）=log a（﹣x+1）﹣log a（1+x）=﹣log a（1+x）+log a（1﹣x）=﹣[log a（1+x）﹣log a （1﹣x）]=﹣f（x）所以函数f（x）为奇函数．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】先将命题p，q分别化简，然后根据若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，判断出p，q一真一假，分类讨论即可．【解答】解：由题意命题P：x2+mx+1=0有两个不等的实根，则△=m2﹣4＞0，解得m＞2或m＜﹣2，命题Q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根，则△＜0，解得﹣3＜m＜﹣1，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则p，q一真一假，（1）当P真q假时：，解得m≤﹣3，或m＞2，（2）当P假q真时：，解得﹣2≤m＜﹣1，综上所述：m的取值范围为m≤﹣3，或m＞2，或﹣2≤m＜﹣1．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】先设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积，再利用导数的方法解决，应注意函数的定义域．【解答】解：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积（0＜x＜60）．（0＜x＜60）令=0，解得x=0（舍去），x=40，并求得V（40）=16 000由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm320．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）把a的值代入f（x）中，求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率，可得曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求出f（x）的导函数，分a大于等于0和a小于0两种情况讨论导函数的正负，进而得到函数的单调区间；（Ⅲ）对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），等价于f（x）max＜g（x）max，分别求出相应的最大值，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知，f'（1）=2+1=3，所以斜率k=3，又切点（1，2），所以切线方程为y﹣2=3（x﹣1）），即3x﹣y﹣1=0故曲线y=f（x）在x=1处切线的切线方程为3x﹣y﹣1=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0，所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当a＜0时，由f'（x）=0，得．在区间上，f'（x）＞0，在区间上，f'（x）＜0，所以，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）由已知，转化为f（x）max＜g（x）max．g（x）=（x﹣1）2+1，x∈[0，1]，所以g （x）max=2由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．（或者举出反例：存在f（e3）=ae3+3＞2，故不符合题意．）当a＜0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，故f（x）的极大值即为最大值，，所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），解得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【考点】数列的求和；数列的应用．【分析】（I）由{a n}伴随数列{b n}的定义可得前5项为1，1，1，2，3．（II）由a n=3n﹣1≤m，可得n≤1+log3m，m∈N*，分类讨论：当1≤m≤2时，m∈N*，b1=b2=1；当3≤m≤8时，m∈N*，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20时，m∈N*，b9=b10=…=3；即可得出数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【解答】解：（Ⅰ）数列1，4，5，…的伴随数列{b n}的前5项1，1，1，2，3；（Ⅱ）由，得n≤1+log3m（m∈N*）．∴当1≤m≤2，m∈N*时，b1=b2=1；当3≤m≤8，m∈N*时，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20，m∈N*时，b9=b10=…=b20=3．∴b1+b2+…+b20=1×2+2×6+3×12=50．2016年9月9日。
浙江省绍兴市诸暨市2019-2020学年高二下学期期末数学试题
浙江省绍兴市诸暨市2019-2020学年高二下学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若集合{}1,2A =，{}2,3B =，{}1,2,3U =则()U A B =（ ） A ．{}2B ．{}3C ．{}2,3D ．∅2．直线1:l y ax =与直线2:123x yl +=平行，则a =（ ）A ．23B ．23-C ．32D ．32-3．已知()()1i 2i i a b +⋅+=，（,a b ∈R ，i 是虚数单位），则a =（ ） A ．2-B ．1-C ．2D ．14．已知空间向量()1,2,1a =-，若a b ⊥，则b 可以是（ ） A ．()1,1,0b =- B ．()1,0,1b = C ．()1,2,1b =-D ．()2,1,2b =-5．ABC 中，“tan sin sin 0A B C ⋅⋅<”是“ABC 为钝角三角形”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．如图，已知多面体A BCDE -的底面ABC 为正三角形，四边形BCDE 为矩形，棱CD 与底面ABC 垂直，2CD =，若该多面体的侧视图面积与其俯视图面积相等，则ABC 的边长是（ ）A B ．2 C D ．17．过抛物线24y x =的焦点F 引斜率为1的直线，交抛物线于A ，B 两点，则AB =（ ）8．如图，在三棱柱ABC A B C '''-中，底面ABC 是正三角形，侧棱垂直于底面，且AA AB '=，则A B '与B C '所成角的余弦值为（ ）A．BC ．14-D ．149．已知点集()()(){}2222,cos sin 1,S x y x y R ααα=-+-≤∈，当α取遍任何实数时，S 所扫过的平面区域面积是（ ） A．πB ．2π+C ．1π+D ．4π+10．已知数列{}n a ，0n a >且满足21122n n n a a a ++-=，*n N ∈，则下列说法中错误的是（ ） A ．若14a ≠，当3n ≥时，有：()()()()2234242224n n n a a a a a -⋅-+⋅++=- B ．若12a =，则7322n S n ≤- C ．当()10,2a ∈时，{}n a 是递增数列；当()14,a ∈+∞时，{}n a 是递减数列 D ．存在0M >，使n a M ≤恒成立二、双空题11．若2log 3a =，3log 4b =，则ab =________；22log log a b +=_______.12．已知双曲线2221y x b-=，则双曲线实轴长=_______；当离心率2e =时，则其渐近线的方程为_____.13．已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3A π=，a =3b =，则c =_____；ABC 外接圆的面积是______.14．已知ABC 是边长为2的正三角形，P 是线段BC （包括端点）上的一个动点，则()AP AB AC ⋅+的值是___________；AP AB AP AC ⋅-⋅的最小值是_______.三、填空题15．过点()1,0且与函数1e x y -=图象相切的直线方程为_________. 16．已知,a b R +∈且121a b +=，则82b ab+的最大值为_________. 17．已知函数()333f x ax x =-+，()1422x x g x +=-+，若对于任意[]12,1,1x x ∈-，都有()()12f x g x ≥成立，则a =__________.四、解答题18．已知函数()22cos 2sin 1f x x x x =+-. （1）求函数()f x 的定义域和最小正周期T ；（2）当,23x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，求()f x 的值域.19．如图，在三棱锥P ABC -中，PAC △是正三角形，AC BC ⊥，AC BC =，D 是AB 的中点.（1）求证：AC PD ⊥；（2）若2AC BC PD ===，求直线PC 与平面PAB 所成的角的正弦值.20．已知等差数列{}n a 公差大于零，且11a =，1a ，2a ，4a 成等比；数列{}n b 满足11b =，112n n n b b --=+（2n ≥，n N ∈）.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T .21．如图，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>⎛ ⎝⎭，P 为椭圆上的一动点.（1）求椭圆C 的方程；（2）设圆224:5O x y +=，过点P 作圆O 的两条切线1l ，2l ，两切线的斜率分别为1k ，2k . ①求12k k 的值；②若1l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，与圆O 切于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，且满足OPA OQB S S =△△，求1l 的方程.22．已知()ln f x x x x =-，()g x ax b =+. （1）求()f x 的单调区间和极值；（2）若0b ae +=，且()()f x g x ≥对[),x e ∈+∞恒成立，求a 的取值范围；（3）若方程()()f x g x =在2,e e ⎡⎤⎣⎦上有根，求24a b +的最小值.参考答案1．B 【分析】根据集合间的基本运算即可求解. 【详解】 解：{}1,2A =，{}2,3B =，{}1,2,3U =，{}3U A ∴=，即(){}3U A B =. 故选：B. 2．D 【分析】先求得直线2l 的斜率，再根据两直线平行求解. 【详解】直线2:123x y l +=的斜率为232l k =-，因为直线1:l y ax =与直线2:123x yl +=平行，所以232l a k ==-，故选：D 3．C 【分析】先根据复数乘法运算进行化简，再根据复数相等可求答案. 【详解】因为()()()21i 2i 2i i 2i 22i a a a a a +⋅+=+++=-++所以202a a b -=⎧⎨+=⎩，解得24a b =⎧⎨=⎩. 故选：C. 4．B 【分析】对各选项中的b 验证0a b ⋅=能否成立，由此可得出合适的选项. 【详解】对于A 选项，()112100a b ⋅=⨯-+⨯+≠，A 选项不满足条件； 对于B 选项，110110a b ⋅=⨯+-⨯=，B 选项满足条件； 对于C 选项，()2112110a b ⋅=⨯-+-⨯≠，C 选项不满足条件； 对于D 选项，()()1221120a b ⋅=⨯+⨯+-⨯-≠，D 选项不满足条件. 故选：B. 5．A 【分析】根据充分条件，必要条件的定义即可求解. 【详解】解：充分性：ABC 中，()0A B C π∈,,,， 若tan sin sin 0A B C ⋅⋅<， sin sin 0B C ⋅>，故tan 0A <， 又()0,A π∈，故,2A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故ABC 为钝角三角形； 必要性：若ABC 为钝角三角形， 则不一定是A 为钝角，即无法推出tan sin sin 0A B C ⋅⋅<，故“tan sin sin 0A B C ⋅⋅<”是“ABC 为钝角三角形”的充分而不必要条件. 故选：A. 6．B 【分析】取BC 的中点O ，DE 的中点F ，连接,,AO OF AF ，可得Rt AOF 即为该多面体的侧视图，ABC 为该多面体的俯视图，设ABC 边长为x ，利用面积相等列方程，解方程即可求解.【详解】设等边ABC 的边长为x ，取BC 的中点O ，DE 的中点F ，连接,,AO OF AF ，则Rt AOF 即为该多面体的侧视图，ABC 为该多面体的俯视图， 由题意可得AOFABCSS=，3cos30AO x ==，2OF CD ==，所以11222x x ⋅=，可得2x =，所以ABC 的边长是2， 故选：B.7．C 【分析】由题意可得()1,0F ，AB 的方程为1y x =-，设()11,A x y 、()22,B x y ，联立直线与抛物线方程可求12x x +，利用抛物线的定义计算12AB x x p =++即可求解.【详解】由24y x =上可得：焦点()1,0F ，直线AB 的方程为1y x =-， 设()11,A x y ，()22,B x y ，由214y x y x=-⎧⎨=⎩，可得2610x x -+=， 则有126x x +=，由抛物线的定义可得：121262228pp p AB AF BF x x x x +=+==+++++==， 故选：C. 8．D 【分析】建立空间坐标系，写出直线的方向向量，利用向量夹角公式可求答案. 【详解】取AC 中点为O ,以O 为原点，以,OB OC 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，不妨设2AB =，则(0,1,2),(0,1,0)B B A C ''- 所以(3,1,2),(3,1,2)A B B C ''=-=-- 由向量夹角公式得1cos ,,48A B B C A B B C A B B C''⋅''==='' 又由异面直线夹角的范围可知，异面直线A B '与B C '所成角的余弦值为14.故选：D.9．A 【分析】根据题意S 中的元素组成以()22cos ,sin αα为圆心的圆心，半径为1的圆及其内部，当α取遍任何实数时，点集S 对应的图形如图，为矩形与两个半圆的组合图形，从而可得答案. 【详解】根据题意，点集()()(){}2222,cos sin 1,S x y x y R ααα=-+-≤∈，S 中的元素组成以()22cos ,sin αα为圆心的圆心，半径为1的圆及其内部，设M ()22cos ,sin αα又由22220cos 10sin 1sin cos 1a a αα⎧≤≤⎪≤≤⎨⎪+=⎩，则圆心M 在线段()101x y x +=≤≤上，则点集S 对应的图形如图，为矩形ABCD 与两个半圆的组合图形， 其中AB ＝2，BC则当α取遍任何实数时，S 所扫过的平面区域面积S＝2ππ=； 故选：A ．10．B 【分析】先根据题目条件得到1n a ，2n a >，2n ≥及1n n a a +-与1n n a a --的符号相同.选项A ，在等式21122n n n a a a ++-=两边减去8，再变形得()112424n n n a a a ++-+=-，代入求解即可；选项B ，先确定数列{}n a为递增数列，再算出471112a ==>，而后利用放缩法得到，当4n ≥时，()1112n S n >+-因为存在正整数N ，当n N >时，有()11731222n n +--，所以n S>()11731222n n +--，故选项B 错误； 选项C ，利用1n n a a +-与1n n a a --的符号相同可判定； 选项D ，分()10,4a ∈，14a =和()14,a ∈+∞讨论n a 的范围. 【详解】由题知，2112121n n n a a a ++-+=+，()21121n n a a +-=+， 因为0n a >，所以112n a +>，所以1n a ，2n a >，2n ≥.因为21122n n n a a a ++-=，所以2122n n n a a a --=，2n ≥两式相减整理得，()()()11122n n n n n n a a a a a a ++--+-=-，因为2n ≥时，2n a >，所以120n n a a ++->，1n n a a +-与1n n a a --的符号相同， 选项A ：由21122n n n a a a ++-=得，2112828n n n a a a ++--=-，()()()112424n n n a a a +++-=-， 若14a ≠，则4n a ≠，所以()112424n n n a a a ++-+=-.当3n ≥时，()()()34222n a a a +⋅++()()()()2231234242424244444n n n n a a a a a a a a ------=⋅=----，故选项A 正确；选项B ：若12a =，则2113a >，因为2110a a ->，所以320a a ->，依次类推有10n n a a -->， 所以数列{}n a 是递增数列；又371112a >，471112a =>，当4n ≥时，1234...n n S a a a a a =+++++()12343a a a n a >+++->()1112n +-因为712>，所以存在正整数N ，当n N >时，有()11731222n n +--此时n S >()11731222n n +--，故选项B 错误； 选项C ：当()10,2a ∈时，有212a a >>，所以210a a ->，从而有320a a ->， 依次类推可得10n n a a -->，所以数列{}n a 是递增数列；当()14,a ∈+∞时，因为()()()2111112140a a a a --+=->，所以()211211a a +<-，所以211a a <，从而有32a a <，依次类推可得1n n a a -<， 所以数列{}n a 是递减数列，故选项C 正确；选项D ：当()14,a ∈+∞时，由选项C 的解析知，数列{}n a 是递减数列，所以1n a a ≤； 当()10,4a ∈时，由2221228a a a -=<解得224a -<<，又22a >，所以224a <<， 同理可推导324a <<，依次类推，有24n a <<；当14a =时，由2221228a a a -==及22a >得24a =，同理可推导34a =，依次类推，有4n a =； 令M 为4和1a 中的最大者，则n a M ≤对*n N ∈恒成立，故选项D 正确； 故选：B. 11．2 1 【分析】利用换底公式得，lg 3lg 2a =，2lg 2lg 3b =，从而有lg3lg 22lg 22lg3ab ⋅==，再利用对数的加法运算求值. 【详解】由换底公式得，2lg3log 3lg 2a ==，lg 42lg 2lg 3lg 3b ==. 所以lg3lg 22lg 22lg3ab ⋅==，()2222log log log log 21a b ab +===. 故答案为：2；1.12．2 y =【分析】根据双曲线方程可确定a 的值，进而可得双曲线的实轴长；由离心率可得2c =，从而b .【详解】由题知，1a =，双曲线实轴长为22a =； 当离心率2e =时，有2ca=，22c a ==，此时b双曲线2221y x b-=的渐近线方程为y bx ±=，即y =.故答案为：2；y =. 13．1或2 73π 【分析】先利用余弦定理构造关于c 边的方程，再解方程可得c 的值；先利用正弦定理求出ABC 外接圆的半径，再求ABC 外接圆的面积. 【详解】在ABC 中，由余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-，把3A π=，a =3b =代入整理得，2320c c -+=， 解得1c =或2c =.在ABC 中，由正弦定理得，2sin aR A=，其中R 为ABC 外接圆半径.所以2sin a R A =故ABC 外接圆的面积是221793R πππ=⨯=. 故答案为：1或2；73π. 14．6 2- 【分析】把向量AP AB BP =+带入，转化为向量的数量积即可得答案. 【详解】解：由ABC ∆是边长为2的正三角形，可得()0AB AC BC +⋅=；P 是线段BC （包括端点）上的一个动点，可得BP BC λ=．向量AP AB BP =+，那么()()()AP AB AC AB BP AB AC ⋅+=+⋅+2||()AB AB AC AB AC BC λ=+⋅++⋅ 2222cos600=+⨯⨯︒+42=+6=；由()()AP AB AP AC AB BP AB AC ⋅-⋅=+⋅-()AB BP CB =+⋅||||cos60||||cos180AB CB BP CB =⋅⋅︒+⋅⋅︒ 1222||2BP =⨯⨯-⨯．当||2BP =时，可得最小值为2-， 得AP AB AP AC ⋅-⋅的最小值是2-． 故答案为：6；2-． 15．()e 1y x =- 【分析】设切点()00,x y ，由导数的几何意义求出切线的斜率，即可得切线方程，将点()1,0代入切线方程可得0x 的值，即可求解. 【详解】设切点为()00,x y ，则010e x y -=，由1e x y -=可得：1e x y -'=，由导数的几何意义可知：切线的斜率为001|e x x x y -='=，所以切线方程为()00101e e x x x y x --=--，将点()1,0代入切线方程可得()00011e 1e x x x ---=-，所以011x -=-，解得02x =，所以切线方程为：()e e 2y x -=-即()e 1y x =-， 故答案为：()e 1y x =-. 16．94【分析】 由121a b +=，得211b a=-，所以82824224121b ab ab a a b a a a a +⎛⎫=+=⋅+=-+ ⎪⎝⎭，化简后利用二次函数的性质可求得其最值 【详解】 因为,a b R +∈且121a b +=，所以211b a=-， 所以82824224121b ab ab a a b a a a a+⎛⎫=+=⋅+=-+ ⎪⎝⎭ 2223a a ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭22399244a ⎛⎫=--+≤ ⎪⎝⎭， 当232a =，即4,83ab ==时，等号成立，所以82b ab +的最大值为94， 故答案为：9417．4 【分析】先求g (x )在[]1,1-上的最大值，再把题意转化为[]1,1x ∀∈-，f (x )≥2恒成立,再利用导数求f (x )在[]1,1-上的最小值建立不等式即可求解. 【详解】()()21422211x x x g x +=-+=-+，当[]1,1x ∈-时，1,222x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以当x =1时，由22x =，()g x 取得最大值()12g =.因为对任意[]12,1,1x x ∈-，都有()()12f x g x ≥成立，所以()()12min max f x g x ≥，即()1min 2f x ≥，即对任意[]1,1x ∈-，()2f x ≥恒成立，所以()()1212f f ⎧≥⎪⎨-≥⎪⎩，解得：24a ≤≤.()()223331f x ax ax '=-=-，令()()2233310f x ax ax '=-=-=解得：x =当1x -<<()0f x '>；当x <()0f x '<；1x <时，有()0f x '>； 所以()f x在1,⎛- ⎝上单调递增，在⎛ ⎝上单调递减，在⎫⎪⎪⎭上单调递增. 于是，当[]1,1x ∈-时()()minmin 1,2f x f f ⎧⎫⎪⎪=-≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭，即()212f f⎧≥⎪⎨⎪-≥⎩，解得：a =4. 故答案为：4 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈(1)若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； (2)若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； (3)若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <；(4)若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集 ．18．（1）|,,2x x k k Z T πππ⎧⎫≠+∈=⎨⎬⎩⎭；（2）[)()2,2f x ∈-.【分析】（1）先对()f x 进行化简，再根据函数有意义以及周期公式即可求解； （2）先根据x 的范围求出26x π-的范围，即可求解. 【详解】解：（1）22()cos 2sin 1f x x x x =+-cos cos2x x x =-2cos22sin(2)6x x x π=-=-，∴定义域为|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，22T ππ==； （2）,23x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，72,662x πππ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭，即 [)sin(2)1,16x π-∈-，[)2sin(2)2,26x π-∈-，[)()2,2f x ∴∈-.19．（1）证明见解析；（2. 【分析】（1）取AC 中点记为O ，连OP ，OD ，证明AC ⊥OD ，结合AC ⊥PO ，推出AC ⊥面POD 即可得到AC ⊥PD ．（2）法一：取P A 中点记为N ，连ON ，作OM ⊥AB 于M ，连PM ；作OH ⊥PM 于H ，连NH ， PC 与平面P AB 所成的角即为ON 与平面P AB 所成的角，然后求解三角形推出所求角的正弦值．法二（体积法）：通过V P ﹣ABC ＝V C ﹣APB ，可求出点C 到平面PAB 的距离d ，然后求解sin dPCθ=，推出结果． 法三（向量法）：说明OA ，OP ，OD 两两垂直，建立如图空间直角坐标系，求出面P AB 的法向量，利用空间向量的数量积，求解直线与平面所成角即可． 【详解】证明：取AC 中点记为O ，连OP ，OD ，∵OD ∥CB ，AC ⊥CB ，∴AC ⊥ODPAC △为正三角形，所以PO AC ⊥所以AC ODAC PO AC PO OD O ⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⋂=⎭面POD ，PD ⊂面POD ，∴AC PD ⊥.（2）解：法一：取P A 中点记为N ，连ON ， 作OM ⊥AB 于M ，连PM ；作OH ⊥PM 于H ，连NH因为2AC BC PD ===，∴1PO OD =，所以PO OD ⊥，又PO AC ⊥，AC OD O ⋂=，所以PO ⊥面ABC ，PO ⊂面POM ⇒面POM ⊥面ABC ，又∵OH ⊥PM ，∴OH ⊥面P AB ，PC ∥ON ，∴PC 与平面P AB 所成的角即为ON 与平面P AB 所成的角，即ONH ∠为所求.∴Rt ONH 中：1ON =，由勾股定理及中位线可知：12OM CD ==PO OMOH PH⋅===法二（体积法）：由（1）可知PO ⊥平面ABC ，又2APB PB AB AP S ∆===⇒11122323P ABC C APB V V d d --=⇒⨯⨯⨯⇒=∴sin 2d PC θ=. 法三（向量法）：由（1）及PD 2＝PO 2+OD 2，知OA ，OP ，OD 两两垂直，建立如图空间直角坐标系：()()()()(0,0,0,1,0,0,0,1,0,1,0,0,O A D C P -，(1,0,PC =-，(1,0,PA =，(0,1,PD =设面P AB 法向量为(,,)n x y z =，则000x n PA n PD y ⎧⎧=⋅=⎪⇒⎨⎨⋅==⎪⎩⎩．令z ＝1时， (3,3,1)n =∴|||3sin 7||||2PC n PC n θ⋅--==⋅⋅20．（1）n a n =，21nn b =-；（2）+1(1)(1)222n n n n T n ⋅+=-⋅-+. 【分析】(1)根据1a ，2a ，4a 成等比得2214a a a =⋅，再利用等差数列{}n a 的通项公式求解；利用累加法求数列{}n b 的通项公式；(2)先求出n c 的表达式，再利用错位相减法和公式法求数列{}n c 的前n 项和n T . 【详解】(1)由题设等差数列{}n a 的公差为d ，0d >， 则()()1111n a a n d n d =+-=+-.因为1a ，2a ，4a 成等比，所以2214a a a =⋅，即2(1)(13)d d +=+，整理得()10d d -=， 又0d >，所以1d =， 所以1(1)1n a n n =+-⋅=. 因为11b =，112n n n b b ---=（2n ≥，n N ∈），所以当2n ≥时，112n n n b b ---=，2122n n n b b ----=，...，1212b b -=，相加得121122...2n n n b b ---=+++，所以12122...21n n n b --=++++1222112n --⋅=+-21n =-.又11b =符合上式，所以21nn b =-，*n N ∈.(2)由题知，()212n nn n n c a b n n n ==-=⋅-所以123...n n T c c c c =++++()()()()23121222323...2n n n =⋅-+⋅-+⋅⋅++--()()2322232...2123...n n n =+⋅+⋅++⋅-++++令23222322n n A n =+⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅，则234+12222322n n A n =+⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅，所以()2312222...22n n n n A A n +-=++++-⋅整理得212222212n n n A n +-⋅-=+-⋅-，()1122n n A n +=-⋅+， 又()1123 (2)n n n +++++=， 所以+1(1)(1)222n n n n T n ⋅+=-⋅-+.21．（1）2214x y +=；（2）①14- ；②y 或y = 【分析】（1）根据已知条件结合222c a b =-列关于,a b 的方程，解方程即可求解；（2）①设()00,P x y ，切线:l 00()y y k x x -=-，利用圆心到切线的距离列方程，整理为关于k 的二次方程，计算两根之积结合点P 在椭圆上即可求12k k ；②由OPA OQB S S =△△可得PA BQ =，可转化为A B P Q x x x x +=+，设1l ：y kx m =+，与椭圆联立可得P Q x x +，再求出A x 、B x ，即可求出k 的值，进而可得出m 的值，以及1l 的方程. 【详解】（1）因为22222234c a b e a a -===，所以2a b =，因为点⎛ ⎝⎭在椭圆上，所以221314a b +=即2213144b b +=， 解得：1b =，2a =，所以椭圆方程为：2214x y +=；（2）①设()00,P x y ，切线:l 00()y y k x x -=-即000kx y y kx -+-= 圆心()0,0O到切线的距离d r == 整理可得：2220000442055x k x y k y ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭，所以2020122200441451544455x y k k x x ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭===---，②因为OPA OQB S S =△△所以PA BQ =，所以A P Q B x x x x -=-，所以A B P Q x x x x +=+， 设切线为1:l y kx m =+，由2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩可得：()222418440k x kmx m +++-= 所以2841P Q kmx x k -+=+， 令0y =可得B mx k=-，设(),A A A x kx m +， 则1A OA A kx m k x k +==-，所以21A km x k -=+， 所以228411P Q km m kmx x k k k --+==-+++， 整理可得：()()()2222814121k k k k +=++，所以221k =，解得：k =，因为圆心()0,0O 到1:l y kx m =+距离d ，所以m m =因为0B mx k =->，所以当k =时，m =；当k =时，m =；所以所求1l 的方程为y y =. 【点睛】 思路点睛：圆锥曲线中解决定值、定点的方法（1）从特殊入手，求出定值、定点、定线，再证明定值、定点、定线与变量无关；（2）直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量是此类问题的特点，设而不求的方法、整体思想和消元思想的运用可以有效的简化运算.22．（1）在（0,1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，极小值-1；（2）1a ≤；（3）()2241e e -.【分析】（1）求出导函数()f x '，利用()f x '的正负判断出函数()f x 的单调区间，结合函数的极值的定义可得答案.（2）将不等式恒成立问题转化为研究函数()()ln x x x x a x e ϕ=---的最值问题，分1a ≤ 和1a >两种情况进行分析求解即可.（3）令()ln h x x x x ax b =---，利用（1）中的结论，分三种情况1,12,2a a a ≤<≤> 分别研究的性质，即可得到答案.【详解】（1）()ln 11ln ,f x x x '=+-= 令()0f x '=可得1x =.当()0,1x ∈时，()0,f x '<则()f x 单调递减. 当()1,x ∈+∞时，()0,f x '>()f x 单调递增即()f x 在()0,1上单调递减，在1+，上单调递增.()=(1)1f x f =-极小值 (2)()()()ln f x g x x x x a x e ≥⇔-≥- 令()()ln x x x x a x e ϕ=---，有()0e ϕ=,()[)ln ,,x x a x e ϕ'=-∈+∞若1a ≤，()0x ϕ'≥在[),x e ∈+∞上恒成立.则()x ϕ在[),x e ∈+∞上为增函数，所以有()()0x e ϕϕ≥=. 若1a >，由()()0x x ϕ'<，可得a e x e ≤<则()x ϕ在),a x e e ⎡∈⎣上减，所以在),ax e e ⎡∈⎣时有()()0x e ϕϕ<=，与题意不符合. 综上所述，所以1a ≤.（3）令()ln h x x x x ax b =---， ()[)ln ,,h x x a x e '=-∈+∞ 由（1）知，当1a ≤时，()h x 在[),x e ∈+∞上为增函数，所以当1a ≤时，方程()()f x g x =有根，只要：()()22200h e ae b h e e ae b ⎧=--≤⎪⎨=--≥⎪⎩即()22441a b a ae a +≥-≤，所以24a b +的最小值为14e -当1a >时()h x 在),a x e e ⎡∈⎣上减，在),a x e ⎡∈+∞⎣上增.当12a <≤时，方程()()f x g x =有根，只要：()()()222000a a h e e b h e e ae b h e ⎧=--≤⎪⎨=--≥≥⎪⎩或 (]()22441,2a a b a e a +≥-∈ 令24x y x e =-(]()1,2x ∈，24x y x e -'=，402x y e =-''< 所以24x y x e -'=在(]1,2单调递减，44022x e y x e '≤-=<- 所以24x y x e =-在(]1,2单调递减，所以22444x y e e x ≥--=， 即24a b +的最小值为244e -当2a >时，()h x 在2,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递减方程()()f x g x =有根，只要：()()22200h e ae b h e e ae b ⎧=--≥⎪⎨=--≤⎪⎩ ()()()()2222222244441,22a b a e a a e e e e a =-+≥+--∈++∞， 所以24a b +的最小值为()2241e e -由 ()()()()222341144111411e e e e e e e e e ⎡⎤---=-+-=-++-⎣⎦因为310e e -++<，所以 ()()2241140e e e ---<，即()()224114e e e -<-()()()()2222241444110e e e e e -----=< 所以()()2224144e e e -<- 综上所述，所以最小值为()2241e e -。
2019-2020年高二下学期期末数学试卷(理科) 含解析
2019-2020年高二下学期期末数学试卷（理科）含解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，在每小题中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[﹣2，2] D．[﹣2，1]2．已知复数=i，则实数a=（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．23．将点M的极坐标（4，）化成直角坐标为（）A．（2，2）B．C．D．（﹣2，2）4．在同一平面的直角坐标系中，直线x﹣2y=2经过伸缩变换后，得到的直线方程为（）A．2x′+y′=4 B．2x′﹣y′=4 C．x′+2y′=4 D．x′﹣2y′=45．如图，曲线f（x）=x2和g（x）=2x围成几何图形的面积是（）A．B．C．D．46．10件产品中有3件次品，不放回的抽取2件，每次抽1件，在已知第1次抽出的是次品的条件下，第2次抽到仍为次品的概率为（）A．B．C．D．7．下列说法中，正确说法的个数是（）①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”；②“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值构成的集合为{1}．A．0 B．1 C．2 D．38．设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第ε次首次取到正品，则P（ε=3）等于（）A．C32（）2×（）B．C32（）2×（）C．（）2×（）D．（）2×（）9．在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，则取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率（）A． B．C．D．10．函数f（x）=e﹣x+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，2）C．（2，+∞）D．[2，+∞）11．函数y=e sinx（﹣π≤x≤π）的大致图象为（）A．B． C． D．12．已知曲线C1：y=e x上一点A（x1，y1），曲线C2：y=1+ln（x﹣m）（m＞0）上一点B（x2，y2），当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，则m的最小值为（）A．1 B．C．e﹣1 D．e+1二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量X服从正态分布X～N（2，σ2），P（X＞4）=0.3，则P（X＜0）的值为．14．若函数f（x）=x2﹣alnx在x=1处取极值，则a=．15．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n（n≥2）行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第10行中第2个数是．16．在平面直角坐标系xOy中，直线1与曲线y=x2（x＞0）和y=x3（x＞0）均相切，切点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则的值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（φ为参数），直线l过点（0，2）且倾斜角为．（Ⅰ）求圆C的普通方程及直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与圆C交于A，B两点，求弦|AB|的长．18．在直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点M的直角坐标为（1，2），直线l与曲线C 的交点为A、B，求|MA|•|MB|的值．19．生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如表：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100）元件甲8 12 40 32 8元件乙7 18 40 29 6（Ⅰ）试分别估计元件甲，乙为正品的概率；（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，记X为生产1件甲和1件乙所得的正品数，求随机变量X的分布列和数学期望．20．设函数f（x）=x3﹣+6x．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对∀x∈[1，4]都有f（x）＞0成立，求a的取值范围．21．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有20人，不超过100km/h的有25人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数女性驾驶员人数合计（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：Χ2=，其中n=a+b+c+dP（Χ2≥k0）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82822．已知函数f（x）=﹣alnx+1（a∈R）．（1）若函数f（x）在[1，2]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若﹣2≤a＜0，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤m||恒成立，求m的最小值．2015-2016学年吉林省东北师大附中净月校区高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，在每小题中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[﹣2，2] D．[﹣2，1]【考点】交集及其运算．【分析】先化简集合A，解绝对值不等式可求出集合A，然后根据交集的定义求出A∩B即可．【解答】解：∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}∴A∩B={x|﹣2≤x≤2}∩{x|x≤1，x∈R}={x|﹣2≤x≤1}故选D．2．已知复数=i，则实数a=（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，再根据复数相等的充要条件列出方程组，求解即可得答案．【解答】解：===i，则，解得：a=1．故选：C．3．将点M的极坐标（4，）化成直角坐标为（）A．（2，2）B．C．D．（﹣2，2）【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】利用x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得出直角坐标．【解答】解：点M的极坐标（4，）化成直角坐标为，即．故选：B．4．在同一平面的直角坐标系中，直线x﹣2y=2经过伸缩变换后，得到的直线方程为（）A．2x′+y′=4 B．2x′﹣y′=4 C．x′+2y′=4 D．x′﹣2y′=4【考点】伸缩变换．【分析】把伸缩变换的式子变为用x′，y′表示x，y，再代入原方程即可求出．【解答】解：由得，代入直线x﹣2y=2得，即2x′﹣y′=4．故选B．5．如图，曲线f（x）=x2和g（x）=2x围成几何图形的面积是（）A．B．C．D．4【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】利用积分的几何意义即可得到结论．【解答】解：由题意，S===4﹣=，故选：C．6．10件产品中有3件次品，不放回的抽取2件，每次抽1件，在已知第1次抽出的是次品的条件下，第2次抽到仍为次品的概率为（）A．B．C．D．【考点】条件概率与独立事件．【分析】根据题意，易得在第一次抽到次品后，有2件次品，7件正品，由概率计算公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，在第一次抽到次品后，有2件次品，7件正品；则第二次抽到次品的概率为故选：C．7．下列说法中，正确说法的个数是（）①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”；②“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值构成的集合为{1}．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据逆否命题的定义进行判断②根据充分条件和必要条件的定义进行判断，③根据集合关系进行判断．【解答】解：①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”正确，故①正确，②由|x|＞1得x＞1或x＜﹣1，则“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；故②正确，③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，当a=0时，B=∅，也满足B⊆A，当a≠0时，B={}，由=1，得a=1，则实数a的所有可能取值构成的集合为{0，1}．故③错误，故正确的是①②，故选：C8．设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第ε次首次取到正品，则P（ε=3）等于（）A．C32（）2×（）B．C32（）2×（）C．（）2×（）D．（）2×（）【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】根据题意，P（ε=3）即第3次首次取到正品的概率，若第3次首次取到正品，即前两次取到的都是次品，第3次取到正品，由相互独立事件的概率计算可得答案．【解答】解：根据题意，P（ε=3）即第3次首次取到正品的概率；若第3次首次取到正品，即前两次取到的都是次品，第3次取到正品，则P（ε=3）=（）2×（）；故选C．9．在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，则取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率（）A． B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数包含的基本事件个数，由此能求出取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．【解答】解：∵在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，基本事件总数n==120，取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数包含的基本事件个数m==22，∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率p===．故选：C．10．函数f（x）=e﹣x+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，2）C．（2，+∞）D．[2，+∞）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用在切点处的导数值是切线的斜率，令f′（x）=2有解；利用有解问题即求函数的值域问题，求出值域即a的范围．【解答】解：f′（x）=﹣e﹣x+a据题意知﹣e﹣x+a=2有解即a=e﹣x+2有解∵e﹣x+2＞2∴a＞2故选C11．函数y=e sinx（﹣π≤x≤π）的大致图象为（）A．B． C． D．【考点】抽象函数及其应用．【分析】先研究函数的奇偶性知它是非奇非偶函数，从而排除A、D两个选项，再看此函数的最值情况，即可作出正确的判断．【解答】解：由于f（x）=e sinx，∴f（﹣x）=e sin（﹣x）=e﹣sinx∴f（﹣x）≠f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x），故此函数是非奇非偶函数，排除A，D；又当x=时，y=e sinx取得最大值，排除B；故选：C．12．已知曲线C1：y=e x上一点A（x1，y1），曲线C2：y=1+ln（x﹣m）（m＞0）上一点B（x2，y2），当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，则m的最小值为（）A．1 B．C．e﹣1 D．e+1【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，可得：=1+ln（x2﹣m），x2﹣x1≥e，一方面0＜1+ln（x2﹣m）≤，．利用lnx≤x﹣1（x≥1），考虑x2﹣m≥1时．可得1+ln（x2﹣m）≤x2﹣m，令x2﹣m≤，可得m≥x﹣e x﹣e，利用导数求其最大值即可得出．【解答】解：当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，可得：=1+ln（x2﹣m），x2﹣x1≥e，∴0＜1+ln（x2﹣m）≤，∴．∵lnx≤x﹣1（x≥1），考虑x2﹣m≥1时．∴1+ln（x2﹣m）≤x2﹣m，令x2﹣m≤，化为m≥x﹣e x﹣e，x＞m+．令f（x）=x﹣e x﹣e，则f′（x）=1﹣e x﹣e，可得x=e时，f（x）取得最大值．∴m≥e﹣1．故选：C．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量X服从正态分布X～N（2，σ2），P（X＞4）=0.3，则P（X＜0）的值为0.3．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据随机变量X服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得P （X＜0）．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（2，o2），∴正态曲线的对称轴是x=2∵P（X＞4）=0.3，∴P（X＜0）=P（X＞4）=0.3．故答案为：0.3．14．若函数f（x）=x2﹣alnx在x=1处取极值，则a=2．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，得到f′（1）=0，得到关于a的方程，解出即可．【解答】解：∵f（x）=x2﹣alnx，x＞0，∴f′（x）=2x﹣=，若函数f（x）在x=1处取极值，则f′（1）=2﹣a=0，解得：a=2，经检验，a=2符合题意，故答案为：2．15．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n（n≥2）行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第10行中第2个数是46．【考点】归纳推理．【分析】由三角形阵可知，上一行第二个数与下一行第二个数满足等式a n +1=a n +n ，利用累加法可求．【解答】解：设第一行的第二个数为a 1=1，由此可得上一行第二个数与下一行第二个数满足等式a n +1=a n +n ，即a 2﹣a 1=1，a 3﹣a 2=2，a 4﹣a 3=3，…a n ﹣1﹣a n ﹣2=n ﹣2，a n ﹣a n ﹣1=n ﹣1， ∴a n =（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 4﹣a 3）+（a 3﹣a 2）+（a 2﹣a 1）+a 1 =（n ﹣1）+（n ﹣2）+…+3+2+1+1 =+1=，∴a 10==46．故答案为：46．16．在平面直角坐标系xOy 中，直线1与曲线y=x 2（x ＞0）和y=x 3（x ＞0）均相切，切点分别为A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2），则的值为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出导数得出切线方程，即可得出结论．【解答】解：由y=x 2，得y ′=2x ，切线方程为y ﹣x 12=2x 1（x ﹣x 1），即y=2x 1x ﹣x 12， 由y=x 3，得y ′=3x 2，切线方程为y ﹣x 23=3x 22（x ﹣x 2），即y=3x 22x ﹣2x 23， ∴2x 1=3x 22，x 12=2x 23， 两式相除，可得=．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤） 17．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为（φ为参数），直线l 过点（0，2）且倾斜角为．（Ⅰ）求圆C 的普通方程及直线l 的参数方程；（Ⅱ）设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求弦|AB |的长． 【考点】参数方程化成普通方程． 【分析】（Ⅰ）圆C 的参数方程为（φ为参数），利用cos 2φ+sin 2φ=1消去参数可得圆C 的普通方程．由题意可得：直线l 的参数方程为．（Ⅱ）依题意，直线l的直角坐标方程为，圆心C到直线l的距离d，利用|AB|=2即可得出．【解答】解：（Ⅰ）圆C的参数方程为（φ为参数），消去参数可得：圆C的普通方程为x2+y2=4．由题意可得：直线l的参数方程为．（Ⅱ）依题意，直线l的直角坐标方程为，圆心C到直线l的距离，∴|AB|=2=2．18．在直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点M的直角坐标为（1，2），直线l与曲线C 的交点为A、B，求|MA|•|MB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程．曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2，可得ρ2+（ρsinθ）2=2，把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程．（Ⅱ）把代入椭圆方程中，整理得，设A，B对应的参数分别为t1，t2，由t得几何意义可知|MA||MB|=|t1t2|．【解答】解：（Ⅰ）直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程：l：x﹣y+1=0．曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2，可得ρ2+（ρsinθ）2=2，可得直角坐标方程：x2+y2+y2=2，即．（Ⅱ）把代入中，整理得，设A，B对应的参数分别为t1，t2，∴，由t得几何意义可知，．19．生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如表：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100）元件甲8 12 40 32 8元件乙7 18 40 29 6（Ⅰ）试分别估计元件甲，乙为正品的概率；（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，记X为生产1件甲和1件乙所得的正品数，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）利用等可能事件概率计算公式能求出元件甲，乙为正品的概率．（Ⅱ）随机变量X的所有取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）元件甲为正品的概率约为：，元件乙为正品的概率约为：．（Ⅱ）随机变量X的所有取值为0，1，2，，，，所以随机变量X的分布列为：X 0 1 2P所以：．20．设函数f（x）=x3﹣+6x．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对∀x∈[1，4]都有f（x）＞0成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题转化为在区间[1，4]上恒成立，令，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为R，当a=1时，f（x）=x3﹣x2+6x，f′（x）=3（x﹣1）（x﹣2），当x＜1时，f′（x）＞0；当1＜x＜2时，f′（x）＜0；当x＞2时，f′（x）＞0，∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，1），（2，+∞），单调减区间为（1，2）．（Ⅱ）即在区间[1，4]上恒成立，令，故当时，g（x）单调递减，当时，g（x）单调递增，时，∴，即．21．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有20人，不超过100km/h的有25人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数401555女性驾驶员人数202545合计6040100（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：Χ2=，其中n=a+b+c+dP（Χ2≥k0）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【考点】离散型随机变量的期望与方差；独立性检验；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．求出Χ2，即可判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率，X可取值是0，1，2，3，，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．【解答】解：（Ⅰ）平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数40 15 55女性驾驶员人数20 25 45合计60 40 100因为，所以有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h与性别有关．…（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率为．X可取值是0，1，2，3，，有：，，，，分布列为X 0 1 2 3P．…22．已知函数f（x）=﹣alnx+1（a∈R）．（1）若函数f（x）在[1，2]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若﹣2≤a＜0，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤m||恒成立，求m的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为a≤x2，求出a的范围即可；（2）问题可化为，设，求出函数的导数，问题等价于m≥x3﹣ax在[1，2]上恒成立，求出m的最小值即可．【解答】解：（1）∵在[1，2]上是增函数，∴恒成立，…所以a≤x2…只需a≤（x2）min=1…（2）因为﹣2≤a＜0，由（1）知，函数f（x）在[1，2]上单调递增，…不妨设1≤x1≤x2≤2，则，可化为，设，则h（x1）≥h（x2）．所以h（x）为[1，2]上的减函数，即在[1，2]上恒成立，等价于m≥x3﹣ax在[1，2]上恒成立，…设g（x）=x3﹣ax，所以m≥g（x）max，因﹣2≤a＜0，所以g'（x）=3x2﹣a＞0，所以函数g（x）在[1，2]上是增函数，所以g（x）max=g（2）=8﹣2a≤12（当且仅当a=﹣2时等号成立）．所以m≥12．即m的最小值为12．…2016年10月17日。