2018年高考真题汇编--函数

2018年高考真题汇编--函数

一、单选题

1.（2018?卷Ⅰ）设函数,则满足f(x+1)

A. (-∞,-1]

B. (0,+∞)

C. (-1,0)

D. (-∞,0)

2.（2018?卷Ⅰ）已知函数，.若存在2个零点，则a的取值范围是( )

A. B. C. D.

3.（2018?卷Ⅱ）已知是定义域为的奇函数，满足。若，则（）

A.-50

B.0

C.2

D.50

4.（2018?卷Ⅱ）函数的图像大致为( )

A. B. C. D.

5.（2018?卷Ⅲ）函数的图像大致为( )

A. B.

C. D.

6.（2018?卷Ⅲ）下列函数中，其图像与函数的图像关于直线对称的是（）

A. B. C. D.

7.（2018?卷Ⅲ）设，，则（）

A. B. C. D.

8.（2018?天津）已知，，，则a，b，c的大小关系为（）

A. B. C. D.

9.（2018?卷Ⅰ）设函数，若为奇函数，则曲线y=f(x)在点（0,0）处的切线方程为（）

A.y=-2x

B.y=-x

C.y=2x

D.y=x

二、填空题（共14题；共15分）

10.（2018?卷Ⅰ）已知函数f(x)=log2(x2+a).若f(3)=1,则a=________.

11.（2018?卷Ⅲ）已知函数，，则________。

12.（2018?天津）已知a，b∈R，且a–3b+6=0，则2a+ 的最小值为________．

13.（2018?天津）已知a∈R，函数若对任意x∈［–3，+ ），f(x)≤ 恒成立，则a的取值范围是________．

14.（2018?天津）已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是________.

15.（2018?上海）已知，若幂函数为奇函数，且在

上递减，则α=________

16.（2018?上海）设常数，函数，若的反函数的图像经过点，则a=________。

17.（2018?浙江）已知λ∈R，函数f(x)= ，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________．

18.（2018?江苏）函数的定义域为________.

19.（2018?卷Ⅲ）曲线在点处的切线的斜率为，则________．

20.（2018?卷Ⅱ）曲线在点处的切线方程为________.

21.（2018?卷Ⅱ）曲线在点处的切线方程为________.

22.（2018?天津）已知函数f(x)=e x ln x，f ′(x)为f(x)的导函数，则f ′（1）的值为________．

23.（2018?江苏）若函数在内有且只有一个零点，则在

上的最大值与最小值的和为________

三、解答题（共8题；共70分）

24.（2018?卷Ⅰ）已知函数

（1）讨论的单调性；

（2）若存在两个极值点，证明：

25.（2018?卷Ⅰ）已知函数f(x)=ae x-lnx-1

（1）设x=2是f(x)的极值点,求a,并求f(x)的单调区间

（2）证明:当a≥ 时,f(x)≥0

26.（2018?卷Ⅱ）已知函数

（1）若a=1,证明：当时，

（2）若在只有一个零点，求.

27.（2018?卷Ⅱ）已知函数

（1）若a=3，求的单调区间

（2）证明：只有一个零点

28.（2018?卷Ⅲ）已知函数

（1）求函数在点处的切线方程

（2）证明:当时，

29.（2018?卷Ⅲ）已知函数．

（1）若，证明：当时，；当时，；（2）若是的极大值点，求．

30.（2018?北京）设函数=[ -(4a+1)x+4a+3] .

（I）若曲线y= f（x）在点(1, )处的切线与X轴平行,求a：

(II)若在x=2处取得极小值，求a的取值范围。

31.（2018?北京）设函数.

（Ⅰ）若曲线在点处的切线斜率为0，求a；

（Ⅱ）若在处取得极小值，求a的取值范围.

答案解析部分

一、单选题

1.【答案】D

【考点】分段函数的应用

【解析】【解答】函数图象如图：

满足f（x+1）﹤f（2x）

可得：或

解得：(-∞,0)

故答案为：D

【分析】由分段函数的单调性将函数不等式去掉f(),得到关于x的不等式,解不等式求出x的范围.

2.【答案】C

【考点】分段函数的应用

【解析】【解答】由g（x）=0得f（x）=-x-a，作出函数f（x）和y=-x-a的图象如图：

当直线y=-x-a的截距-a≤1，即a≥-1时，两个函数的图象都有2个交点，即函数g（x）存在2个零点，

故实数a的取值范围是[-1，+∞），

故答案为：C

【分析】作出分段函数的图象,函数g(x)有两个零点等价于f(x)的图象与直线y=-x-a有两个交点，结合图形得到a的范围.

3.【答案】C

【考点】函数奇偶性的判断，函数奇偶性的性质

【解析】∵f（1-x）=f（1+x）∴y=f（x）图象关于x=1对称，又是奇函数

∴f（x）是一个周期函数，且T=4

又f（1）=2 f（x）= f（2-x）

∴f（2）=f（0）=0

f（3）=f（-1）=-f（1）=-2 f（4）=f（0）=0

∴f（1）=2，f（2）=0，f（3）=-2，f（4）=0

∴原式f（1）+f（2）+…+ f（50）=f（1）+f（2）=2

故答案为：C

【分析】根据函数的对称性、奇偶性求出函数的周期数是4.

4.【答案】B

【考点】函数的图象与图象变化，利用导数研究函数的单调性

【解析】【解答】f(x)= 因为f(x)= =-f(x) 所以f(x)为奇函数，排除A，又x , , ,但指数增长快些，故答案为：B

【分析】由函数的性质：定义域、值域、单调性、奇偶性可得。

5.【答案】D

【考点】函数的单调性及单调区间，函数奇偶性的判断，导数的几何意义

【解析】【解答】

因为y是偶函数，则只需考虑

当时，

则时

故答案为：D

【分析】先由函数奇偶性判断出只需考虑情形，再由导数可知，函数先增后减.

6.【答案】B

【考点】奇偶函数图象的对称性

【解析】【解答】f（x）=lnx与f（2-x）=ln（2-x）关于x=1对称，故答案为：B

【分析】根据函数对称性找到f（2-x）

7.【答案】B

【考点】对数的概念，指数式与对数式的互化，换底公式的应用

【解析】【解答】解：所以ab＜0

又则a+b＜0

故答案为：B

【分析】由对数定义，对数运算法则，判断出ab,a+b的正负

8.【答案】D

【考点】对数值大小的比较

【解析】【解答】解：则a，b，c的大小关系为：c>a>b

故答案为：D

【分析】先判断出b比1小，再将比1都大的a,c化为同底，由对函数的单调性，可比较a,c的大小.

9.【答案】D

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程

【解析】【解答】解：∵，且是奇函数，

∴a-1=0 a=1.

,

∴.而y-0=x-0 y=x,

故答案为：D.

【分析】由函数f(x)是奇函数,求出a=1得到函数的解析式,再由导数的几何意义求在点(0,0)处的切线方程.

二、填空题

10.【答案】-7

【考点】函数的值，函数的零点与方程根的关系

【解析】【解答】解：∵，又。【分析】由f(3)=1得到关于a的方程,求出a的值.

11.【答案】-2

【考点】函数奇偶性的性质，对数的运算性质

【解析】【解答】解：函数g（x）=ln（-x）

满足g（-x）=ln（）=ln=-ln（）=-g（x）

所以g（x）是奇函数

函数f（x）=ln（）+1，f（a）=4

可得：f（a）=4=+1,可得：ln（）=3

f（-a）=-ln（）+1=-3+1=-2

故答案为：-2【分析】利用ln（-x）与ln（+x）是相反的

12.【答案】

【考点】函数的最值及其几何意义

【解析】【解答】解：∵a-3b+6=0 a-3b=-6又

【分析】直接对用均值不等式，得到定值.

13.【答案】［，2］

【考点】函数恒成立问题

【解析】【解答】解：

当时，

又

∴

当时，

又

∴

综上所述

【分析】对x讨论，去绝对值，分离变量求最值.

14.【答案】（4,8）

【考点】根的存在性及根的个数判断

【解析】【解答】解：∵∴

=0与=0要么无根，要么有同号根，同号根时在范围内. 则

?4a8

【分析】两方程若有根，正好是合题意的同号根，则分类讨论.

15.【答案】-1

【考点】幂函数的实际应用

【解析】【解答】a=-2时，=x-2为偶函数，错误

a=-1时，=x-1为奇函数，在上递减，正确

a=- 时，= 非奇非偶函数，错误

a= 时，= 非奇非偶函数，错误

a=1时，=x在上递增，错误

a=2时，=x2在上递增，错误

a=3时，=x3在上递增，错误

【分析】关于幂函数性质的考查，在第一项限a>0时，，a<0时，，若a>0为偶数，则

为偶，若a为奇数，为奇。

16.【答案】7

【考点】反函数

【解析】【解答】的反函数的图像经过点，故过点，则，=3，1+a=23所以a=23-1，故a=7.

【分析】原函数与反函数图像关于y=x对称，如：原函数上任意点，则反函数上点为

17.【答案】(1,4)；

【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法，函数的图象

【解析】【解答】详解：由题意得或，所以或，即，不等式f(x)<0的解集是

当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为.

【分析】利用分段函数转化求解不等式的解集即可；数形结合，通过函数的零点得到不等式求解即可．18.【答案】

【考点】对数函数的定义域，不等式

【解析】【解答】解：,即。【分析】偶次被开方数非负，得到不等式，解对数不等式。

19.【答案】-3

【考点】导数的几何意义，利用导数求闭区间上函数的最值

【解析】【解答】解：

所以

【分析】先求导，再求出x=0处导数值，即可得到答案

20.【答案】y=2x-2

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程

【解析】【解答】

∴在点（0,0）处的切线方程为：y=2（x-1）=2x-2

故答案为：y=2x-2

【分析】由曲线在某点处的导数的几何意义，得切线的斜率，由点斜式写出切线方程。

21.【答案】y=2x

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程

【解析】【解答】y=2ln（x+1）

∴在点（0,0）处的切线方程为：y=2x

故答案为：y=2x

【分析】由曲线在某点处的导数的几何意义，得切线的斜率，由点斜式写出切线方程。

22.【答案】e

【考点】导数的运算

【解析】【解答】解：∵∴

【分析】先对求导，再令导函数中x=1，则可求出.

23.【答案】-3

【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用

【解析】【解答】解：

当a≤0时，

∴

时，则在为零点，舍去

当a＞0时，递减，递增，又只有一个零点，

∴在递增，（0,1）递减

最大值与最小值和为-3

【分析】先求导，根据a的不同值分类讨论，有且仅有一个零点，得到a=3，再分析单调性，求出最值。

三、解答题

24.【答案】（1）解：的定义域为，.

若，则，当且仅当，时，所以在单调递减.

若，令得，或.

当时，；

当时，.所以在单调递减，在单调递增.

（2）解：由（1）知，存在两个极值点当且仅当.

由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则.

由于，

所以等价于.

设函数，

由（1）知，在单调递减，又，从而当时，.

所以，

即.

【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值

【解析】【分析】(1)求出函数的导数,对a分类讨论研究函数的单调性;(2)当函数f(x)存在两个极值点时,则函数有导数有两个异号零点即导方程有两个相异实根,求出a的范围,不等式左边即相当于函数的导数,从而证明不等式.

25.【答案】（1）解：

∵x=2是极值点，∴

∴

又在

∴在，又在

∴在，又

所以时，，

当时，，

综上所述，，

（2）解：∵

当时，

∴

令

同理在

又

∴时，，

，，

∴

即时，

【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值

【解析】【分析】求出函数的导数,由x=2是函数f(x)的极值点求出a的值,再由导数研究函数的单调区间;从而证明不等式.

26.【答案】（1）a=1时,f（x）=e x-x2

欲证x≥0时，f（x）≥等价于证明：

令则

∴g（x）是（0，+∞）上的减函数，

所以g（x）≤g（0）=1，即

所以e x-x2≥1，即f（x）≥1

（2）当a﹥0时，

令h’（x）=0 解得x=2，h（2）=

当x∈（0,2），h’（x）﹤0，x∈（2，+∞），h’（x）﹥0；

∴h（x）在（0,2）单调递减，

∴在（2，+∞）单调递增.

（i）0﹤a﹤时，h（2）=1- ﹥0，此时h（x）在（0，+∞）上无零点，不合题意；

（ii）a= 时，h（2）=0，h（x）在（0，+∞）上只有一个零点，符合题意；

（iii）a﹥时，h（0）=1﹥0，h（2）=1- ﹤0；

由（1）知：x﹥0，e x﹥x2+1 ∴e x= ﹥

令﹥ax2，解得：x﹥4 ，当b﹥4 时，e b﹥﹥ab2

取b满足b﹥2，且b﹥4 ，则

所以此时h（x）在（0，+∞）上有两个零点，不合题意；

综上：a= 时，f（x）在（0，+∞）上只有一个零点.

【考点】利用导数研究函数的极值

【解析】【分析】（1）利用导数证明不等式；（2）运用函数零点，求参数的值.

27.【答案】（1）当a=3时，

当f’（x）﹥0时或

f’（x）﹤0时，

∴的单调递增区间为，

的单调递减区间为

（2）由于﹥0，所以=0等价于设，则

仅当x=0时，=0，所以在单调递增，故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点

又，

故f（x）有一个零点

综上所述，f（x）只有一个零点

【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值

【解析】【分析】（1）导数的应用，求单调性；（2）函数的零点.

28.【答案】（1）解：因为f（x）= 所以

即切线方程为；y+1=2x 2x-y-1=0为所求

（2）解：欲证：

只需证：

即证

又a≥1，则证：

令h（x）=

所以又

所以在

即

所以0恒成立

即原命题成立.

【考点】根据实际问题选择函数类型，利用导数研究曲线上某点切线方程

【解析】【分析】（1）切线定义：求导;（2）导数的应用，将不等式变形，再构建函数.

29.【答案】（1）证明：

当a=0时

所以在（-1,0）

在（-1,0）

所以当时，

当x≥0时，，＞0

（2）解：

2a(x+1)2ln(x+1)+(2ax+1)(x+1)+ax2+2ax-1≤0

2a(x+1)2ln(x+1)+3ax2+4ax+a≤0

a[2(x+1)2ln(x+1)+3x2+4x] ≤-x

设h(x)= 2(x+1)2ln(x+1)+3x2+4x

则=4(x+1)ln(x+1)+2(x+1)+6x+4 =6＞0 h(0)=0

所以在x=0邻域内，x＞0时，h(x) ＞0；x＜0时，h(x) ＜0

x＞0时，a≤ 由洛必达法则得a≤-

x＜0时，a≥ 由洛必达法则得a≥-

综上所述：a=-

【考点】函数单调性的判断与证明，利用导数研究函数的极值

【解析】【分析】（1）求出函数的导数的导数，研究其正负得到的单调性，从而得到，即在，因此;（2）由函数的导数研究函数的极值.

30.【答案】解：（Ⅰ）

（Ⅱ）

∴

当时，

∴在上单调递增，在单调递减

在x=2处取极大值，不合题意

∴ａ≠0

由

∴则

时，在x=2处取得极大值，不合题意

综上所述，a在院上

【考点】利用导数研究函数的极值，利用导数研究曲线上某点切线方程

【解析】【分析】（1）求导，由求出a，（2）对a讨论，分析2处是否是极小值.

31.【答案】（Ⅰ），又

（Ⅱ），令

当a=0时，，所以在递增递减

所以在x=1处有极大值，不合题意

当，所以在递增，在递减，所以在x=1处有极大值，不合题意

当

若a=1, 在R单调，不合题意

若，在，，不合题意

若，在，，符合题意

所以

【考点】利用导数研究函数的极值，利用导数研究曲线上某点切线方程

【解析】【分析】（1）求导，根据，求出a；（2）对a进行分类讨论，看是否符合极值.