复合函数导数的新求法
new 第四节 复合函数的求导
变量对t的导数的计算方能实现.
这个公式可推广到一般 的n元函数 , 设u = f ( x1 , x2 ,, xn ), x j = x j ( t ), ( j = 1,2,, n), 则
n du f dx j =∑ dt j =1 x j dt
f dx1 f dx2 f dx n , = + ++ x1 dt x2 dt x n dt dx1 dt dx2 du u u u , ,, = dt dt x1 x2 x n dx n dt
2 (1)
2
D( u) D( u) D( x , y ) , = D ( r ,θ ) D ( x , y ) D ( r ,θ ) x x u u u u r θ r , θ = x , y y y r θ
u u cosθ = , sinθ x y
第四节 复合函数的求导
复合函数一阶偏导数的计算 复合函数二阶偏导数的计算 全微分形式的不变性
一、复合函数一阶偏导数的计算 复合函数一阶偏导数的计算
在一元函数的微分学中，由可微函数x = g( t )和y = f ( t ) 所复合的函数y = f [ g( t )]的求导服从链式法则 dy dy dx = dt dx dt 对于多元函数是否有相应的规则? 先看下述例题
1.设z = f ( u, v ), u = u( t ), v = v ( t ),由此可得复合函数 z = f [u( t ), v ( t )]. 假定u( t ), v ( t )可导, f ( u, v )在与t相应的点( u, v )可微 , u = u( t + t ) u( t ), v = v ( t + t ) v ( t ),
第六节多元复合函数求偏导
f3
xe y
f1
f
3
2z
x y
e y f1
fzf12
( f 11 xe y f 13 1)
ux y
( f 21 xe y f 23 1)
x yx y
xe2 y f 11 e y f 13 xe y f 21 f 23.
21
例8 设 z f ( x x2 y2 ), 且 f (u) 可微, 求 z 与 z . x y
的偏导数为
z
z
u
z
v
z
w
,
x u x v x w x
z
z
u
z
v
z
w
.
y u y v y w y
u
x
zv
y
w
8
例3. 设 z eu sin v , u x y , v x y , 求 z , z .
x y
z 解: x
z v v x
u、v回代
eu sin v eu cos v 1
开始对答案
13
练习1. z y , x et , y 1 t,求 dz .
x
dt
解 ：dz z dx z dy dt x dt y dt
y x2
et
1 x
(1)
t
2 et
.
14
2. z u2 ln v, u x , v 3x 2 y， 求 z , z .
y
x y
解：z z u z v
六、设z f ( x, x ),(其中f具 有二阶连续偏导数),求 y
2z 2z 2z x 2 , xy , y 2 .
27
七、设z
多元复合函数的求导法则
解: 如左图，有 z z x , z z x z dy s x s t x t y dt
z
xy
st t
注：在应用链法则时，有时会出现复合函数的某些 中间变量本身又是复合函数的自变量的情况，这时要
注意防止记号的混淆.
科学出版社
如, z f (x, y), y (x,t)
d(uv) vdu u d v
d(u v) du d v
d
u v
v
d
u v2
u
d
v
用链法则求复合函数偏导数时，首先要分清自变量
和中间变量. 有了一阶全微分形式不变性， 可以不再 考虑这种区别，使计算变得方便。
科学出版社
例 8. 求 z (x2 y2 )xy 的全微分和偏导数. 解: 设 u (x2 y2 ) v xy 则 z uv
x
dx
t
dt
x
dx
z
dz
f y
t
z
f z
dz
科学出版社
例10. 已知 解: 由条件 又因为 所以
科学出版社
求 两边求微分, 得
解: 解法一，dz z dx z dy
代入
dt x dt y dt
(2xy 3y4)et (x2 12xy3)cost
(2et sin t 3sin4 t)et (e2t 12et sin3 t)cost 解法二， 先代入，变成一元函数的求导. 因为 z e2t sin t 3et sin4 t， 所以
2_1_3 复合函数的导数 高等数学 微积分 考研数学
th x sh x ch x
a x ex ln a
Page 4
例2. 设 y ln cos(ex ) , 求 dy . dx
解:
dy dx
1 cos(ex
)
(sin(ex )) ex
ex tan(ex )
思考: 若 f (u) 存在 , 如何求 f (ln cos(ex )) 的导数?
u0 u
y f (u)u u （当 u 0 时 0 )
故有
y f (u) u u
x
x x
(x
y 0) u
f (u)
dy dx
lim y x0 x
lxim0
f
(u) u x
பைடு நூலகம்
u x
f
(u ) g ( x)
Page 2
推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.
例如, y f (u) , u (v) , v (x)
d f f ( ln cos(ex ) ) (ln cos(ex )) dx
这两个记号含义不同
f (u) uln cos(ex )
Page 5
例3. 设 y cot x tan 2 , 求 y.
2
x
解： y csc2 x 1 1 sec2 2 2( 1 1 )
2 22 x
x
2 x3
1 csc2 x 1 sec2 2
4x
2
x3
x
2 . 设 y f ( f ( f (x))), 其中 f (x) 可导, 求 y.
解: y f ( f ( f (x))) f ( f (x) ) f (x)
Page 6
§2.1.3 复合函数的求导法则
导数复合函数求导法则非常实用
导数复合函数求导法则非常实用在数学的广袤天地中，导数的概念犹如一颗璀璨的明星，为我们揭示了函数变化的规律。
而复合函数求导法则，则是这颗明星光芒的延伸，为解决复杂的函数求导问题提供了强大而实用的工具。
让我们先来了解一下什么是复合函数。
简单来说，复合函数就是由两个或多个函数嵌套而成的新函数。
比如说，我们有函数 f(x) ＝ sin(x) 和 g(x) ＝ x^2，那么复合函数 h(x) ＝ f(g(x)）＝ sin(x^2) 就是由 f 和 g 复合而成的。
那么，为什么我们需要专门的法则来求复合函数的导数呢？这是因为复合函数的结构较为复杂，如果直接按照常规的求导方法，往往会陷入困境。
而复合函数求导法则就像是一把神奇的钥匙，能够轻松打开这个复杂的“门锁”。
复合函数求导法则的核心是“链式法则”。
假设我们有一个复合函数y ＝ f(g(x)），那么它的导数可以表示为 y' ＝ f'（g(x)） g'（x)。
这个法则告诉我们，要求复合函数的导数，需要先求出外层函数对里层函数的导数，再乘以里层函数的导数。
为了更好地理解这个法则，让我们通过一些具体的例子来感受一下它的威力。
比如，我们要求函数 y ＝（2x ＋ 1)＾3 的导数。
首先，我们可以把这个函数看作是由 f(u) ＝ u^3 和 g(x) ＝ 2x ＋ 1 复合而成的，其中 u ＝g(x)。
那么 f'（u) ＝ 3u^2，g'（x) ＝ 2。
根据链式法则，y' ＝ f'（g(x)）g'（x) ＝ 3(2x ＋ 1)＾2 2 ＝ 6(2x ＋ 1)＾2。
再来看一个例子，y ＝ e^（3x)。
这里可以看作是 f(u) ＝ e^u 和 g(x) ＝ 3x 复合而成，f'（u) ＝ e^u，g'（x) ＝ 3。
所以 y' ＝ f'（g(x)） g'（x) ＝ e^（3x) 3 ＝ 3e^（3x)。
求复合函数导数的方法
求复合函数导数的方法
1. 哇塞，要想求复合函数导数，首先得弄清楚它到底是个啥呀！就像搭积木，得知道每个小块是什么样的。
比如对于函数 y=(x^2+1)^2，这就是
个复合函数嘛，好比一个大盒子里装着小盒子。
2. 嘿，那怎么求呢？可以从外往里呀！一步一步慢慢来，别着急。
就像剥洋葱，一层一层地来。
比如求刚才那个函数的导数，先对外面的平方求导，再对里面的式子求导。
3. 哎呀呀，还有很重要的一点哦！要记住那些导数公式，这可不能忘啊！就像战士上战场不能忘带武器一样。
比如求导公式 sin x 的导数是 cos x 啊。
4. 哇哦，然后要仔细呀，可不能粗心大意的！要不然就全错啦！这就好比走钢丝，得小心翼翼的。
像计算 y=e^(x^2) 这样的复合函数导数，就得
格外仔细呢。
5. 嘿呀，还有哦，多练习才能掌握得更好呀！这就跟学骑自行车一样，多骑骑就熟练了。
多找几个复合函数来求导试试呗。
6. 咦，还有就是要理解透彻呀！不能一知半解的哟！这就像了解一个人，得深入了解才行。
对于复杂一点的复合函数，一定要好好理解再去求导。
7. 哈哈，总之呀，求复合函数导数就是要细心、耐心、多练习、多理解！你记住了吗？可别不当回事呀！。
第四节 复合函数的求导法则
,
z
y
x
y zu x2 y2 zv x2 y2 ,
于是
(x
y) z x
(x
y) z y
zu
zv
即方程变为 zu zv 0.
☆ 二、多元复合函数的高阶偏导数
例 1 设z f ( x y, x2 y),其中 f C(2),求 z , z , 2z .
u
z df u , x du x
z y
df du
u . y
xy
或写为 zx f (u) ux , zy f (u) uy .
注意 f '(u) 与 fu 意义不同.
例1
设z sin u,
u
x y
可微,
求zx
,
zy.
例 2 设z f ( y ), f 可微, 证明： x z y z 0.
ux yzf1 2 xf2, uy xzf1 2 yf2, uz xyf1 2zf2.
(3) 若 w=f (u,v,) , 且 u= (x,y) 、v = (x,y)、w =(x,y),
则有: zx fuux fvvx fwwx , zy fuuy fvvy fwwy .
zx e x2 y[sin( xy) y cos( xy)] , z y e x2 y[2sin( xy) x cos( xy)] .
例 2 设 z ( x2 y2 )sin( x3 y), 求 z x 和 z y .
解 令 u x2 y2 , v sin( x 3 y) , 则 z uv ,
[法一] 按链式法则:
复合函数求导公式推导
复合函数求导公式推导首先，我们来了解一下链式法则的概念。
链式法则是一种有效计算复合函数导数的方法，它告诉我们如何将复杂的函数拆分为若干简单的函数，并最终计算出导数。
设有两个函数f(x)和g(x)，它们的复合函数为h(x)=f(g(x))。
我们想要求解h(x)的导数h'(x)。
链式法则的表达式如下：h'(x)=f'(g(x))*g'(x)其中，f'(x)表示函数f(x)的导数，g'(x)表示函数g(x)的导数。
下面我们使用链式法则来推导复合函数的导数。
假设有函数y = f(u)和u = g(x)，我们要求解y关于x的导数，即dy/dx。
根据链式法则，有：dy/dx = dy/du * du/dx其中，dy/du表示函数y关于u的导数，du/dx表示函数u关于x的导数。
我们先来求解dy/du。
根据定义，dy/du表示函数y关于u的导数，可以写成：dy/du = lim(h->0) (f(u + h) - f(u)) / h接下来，我们来求解du/dx。
根据定义，du/dx表示函数u关于x的导数，可以写成：du/dx = lim(h->0) (g(x + h) - g(x)) / h由于u=g(x)，我们将上式转化为：du/dx = lim(h->0) (g(x + h) - g(x)) / h = g'(x)现在我们已经求解出了dy/du和du/dx，带入前面的表达式，可得：dy/dx = dy/du * du/dx = f'(u) * g'(x)这就是复合函数求导的公式，也即链式法则。
根据该公式，我们可以计算出复合函数的导数。
下面我们通过一个具体的例子来应用复合函数求导的公式。
假设有函数y=(3x^2+5x)^3、我们可以将这个函数的形式拆分为两个函数的复合。
令u=3x^2+5x，这样y可以表示为y=u^3、根据链式法则，我们需要求解u关于x的导数和y关于u的导数。
复合函数的求导
复合函数的求导复合函数的求导是指根据微积分法则，求解复合函数中每个函数关于一定变量的一阶偏导数的过程。
复合函数是由两个或两个以上的函数组合而成的新函数，常见的有加减乘除、取幂、取对数等等。
因此，要求复合函数的导数，就需要根据微积分法则，把复合函数分解开来，依次求每个函数关于一定变量的一阶偏导数，然后再把这些偏导数组合起来，就可以得出复合函数关于该变量的一阶偏导数了。
这里要特别提出的是：当复合函数中包含有多个变量时，要求复合函数的导数，就不能按上述方法去分解复合函数，而是需要使用梯度法则或者链式法则来求解。
关于“复合函数的求导”，首先要明确的是，“求导”是求解某个函数在某点的一阶偏导数的过程。
而复合函数，就是把两个或者两个以上的函数组合起来形成的新函数，如加法函数、减法函数、乘法函数、除法函数、取幂函数、取对数函数等等，所以要求复合函数的导数，就要根据微积分法则，把复合函数分解开来，依次求每个函数关于一定变量的一阶偏导数，然后再把这些偏导数组合起来，就可以得出复合函数关于该变量的一阶偏导数了。
例1：求f(x)=x^3+2x^2-5x+8的导数。
解：将f(x)分解成复合函数：f(x)=x^3+2x^2-5x+8= (x^3+2x^2)+(5x-8)求f(x)的导数，即求f'(x)=(x^3+2x^2)'+(5x-8)'这里，(x^3+2x^2)是取幂函数，(5x-8)是加法函数，根据微积分法则，求这两部分函数的偏导数分别为：(x^3+2x^2)'=3x^2+4x(5x-8)'=5将这两个偏导数相加，即可得到 f'(x)=3x^2+4x+5 。
例2：求f(x, y)=y^2+xy-x^2的导数。
解：将f(x, y)分解成复合函数：f(x, y)=y^2+xy-x^2= (y^2+xy)+(-x^2)求f(x, y)的导数，即求f'(x, y)=(y^2+xy)+(-x^2)'这里，(y^2+xy)是乘法函数，(-x^2)是取幂函数，根据微积分法则，求这两部分函数的偏导数分别为：(y^2+xy)'=(2y+x, y+x)(-x^2)'=(-2x)将这两个偏导数相加，即可得到 f'(x, y)=(2y+x,y+x)-2x 。
复合导数求导法则
复合导数求导法则复合导数求导法则，是微积分课程中的一个重要内容，是在求一个函数的导数时，将该函数看作由两个或多个内部函数组合而成，通过对其内部函数求导计算得出该函数的导数。
本文将介绍复合导数的概念、计算方法和一些应用。
一、复合函数的概念复合函数是由两个或多个函数所组成的函数，其中一个函数的值域是另一个函数的定义域。
一般地，设函数y=f(u)在点u=g(x)处有定义，则符合函数h(x)=f[g(x)]在点x处有定义。
其中，g(x)为内函数，f(u)为外函数。
二、复合导数的定义复合函数的导数，又称链式法则，是指如果y=f[u(x)]是由一个内函数u(x)组成的外函数f(u)，则y'(x)是给定函数在u(x)处的导数u'(x)和给定函数f(u)在u=u(x)处的导数f'(u(x))积的结果。
即，y'(x) = f'[u(x)] * u'(x)其中，u(x)是内函数，f(u)是外函数，f'(u(x))和u'(x)分别表示f(u)和u(x)在u=u(x)处的导数。
三、复合导数的求法的求解方法分为一元函数和多元函数两类。
(1) 一元函数的求法对于一元函数f(u)，设其内函数为u=g(x)，则复合函数h(x)=f[g(x)]，其中，g(x)是内函数，f(g)=y是外函数。
则有：y' = f'(g)g'(x)其中，f’(g)是f(g)在g处的导数，g’(x)是g(x)在x处的导数。
(2) 多元函数的求法对于多元函数f(x,y)，设其内函数为y=g(x)，则复合函数h(x)=f[x,g(x)]，其中，g(x)是内函数，f[x,g(x)]是外函数。
则有：h'(x) = fx(x,g(x))*1 + fy(x,g(x))*g'(x)其中，fx是f(x,y)对x的偏导数，fy是f(x,y)对y 的偏导数，g'(x)是g(x)对x的导数。