2.3 区间估计

§3 区间估计 问题：未知参数的点估计是取),,,(21nXXXg, 事实上只有

),,,(21nxxxg, 这种估计的近似程

度如何? 3.1 区间估计概述 （1）定义：设母体X的分布函数),(xF形式已知, 其中是未知参数,nXXX,,,21是来自X的一个子样，给定

实数)10(，构造),,,(211nXXX，

),,,(212nXXX

两个统计量，使得

1)},,,(),,,({212211nnXXXXXXP

则称),(21是的置信概率为1的置信区间(confidence interval)，1和2分别为置信下限和置信上限(lower, upper confidence limit)，1为置信水平(confidence level)，12为置信区间长度. 置信水平又称为置信概率或置信度，表示未知参数的真值落入该置信区间的可信程度；置信区间长度体现了估计的精度。 例2.3.1 已知某炼铁厂的铁水含碳量X(％)在正常情况下服从正态分布，且标准差108.0。现测量5炉铁水，其含碳量分别是 4.28，4.40，4.42，4.35，4.37（％） 试以置信概率95％对母体均值作区间估计。 数学模型：设有正态母体),(~2NX，202

已知，从母体中抽得子样值

nxxx,,,21，要求以置信概率)1,0(1对母体均值作区间估计。 解：①的点估计可取为X； ②由抽样分布定理1知

)1,0(~ 0NnXU

(3.1) 称U为枢轴量(pivotal statistic). ③给定置信概率为1)10(，则存在2u，使

1}{2uUP

(3.2) 即





1}{20unXP

亦即 3.3( 1}{0202nuXnuXP

于是，的置信概率为1的置信区间为) ,(0202nuXnuX.

④代入数值：108.00，5n，95.01,则05.0，查表知

96.1025.02uu，又由子样值算得364.4x，

于是，母体均值的置信概率为95％的置信区间是（4.269，4.459）. （2）几点说明： ①区间估计的步骤

写出的点估计；找出含有及但不含任何其他未知参数，且分布已知的随机变量作为枢轴量；对于给定置信概率, 写出置信区间表达式；代入数值. ②为何取对称区间 上例中取对称区间22uUu时得

到置信区间) ,(0202nuXnuX长度为

nuL0212；若取不对称区间21uUu，使得1}{21uUuP，可求得置信区间为) ,(0102nuXnuX，置信区间长度为

10201222)(LnunuuL. （图示说明

2122uuu）

③当n取定时，置信概率与置信区间长度的关系 置信概率1越大时，值越小，2u

越大，从而置信区间长度nuL0212越大，参数估计的精度越差。相反，置信概率1越小时，参数估计的精度越高。

④对置信区间与置信概率的进一步解释 上例得到置信区间

) ,(0202nuXnuX，是一个随机区间，随抽样结果的不同而成为不同的数值区间，这些数值区间中有95％包含的真值。或理解为每个这样的数值区间包含的真值的概率为95％。

如抽样获得上例中子样值时，置信区间是（4.269，4.459），此区间包含

的真值的概率为95％，置信区间长度的一半是0.095，表示用364.4x估计的误差范围。

3.2 大子样对母体均值的区间估计 问题: 设母体X的分布是任意的，2)(,)(XDXE

均存在且未知，从母体

X中抽大子样50,,,,21nXXXn，试以概率)1,0(1对母体均值作区间估计。 解：①的点估计可取为X； ②由中心极限定理知

)1,0( ~Nn

X近似

，但其中是未知参数，

注意到2S是2的渐进无偏相合估计量，故在大子样情形，有

)1,0( ~NnSXU近似

以此随机变量作为枢轴量. ③给定置信概率为1)10(，则存在,2u使

1}{ 2uUP

，即 1}{2unSXP 亦即 1}{22nSuXnSuXP 于是，的置信概率为1的置信区间为) ,(22nSuXnSuX. 例2.3.2 从某台机床加工的零件中取出50个，量其长度，并算得8.19x，39.02ns，求的置信概率为%99的置信区间. 解：50n，属大子样情形。给定置信概率1，的置信区间为

),(22unSXunSXnn.

这时01.0，查表知58.2005.02uu，又8.19x，39.02ns，从而62.0nS，于是，母体均值的置信概率为%99的置信区间是)03205719(., .. 例2.3.3 现从一批产品中取100个样品，得次品12个，求次品率p的置信概率为%95的置信区间。 解：设母体X为从这批产品中任取一个所得的次品数，则

当取得正品当取得次品01X，pXE)(，100n

故此问题属大子样情形下对母体均值的区间估计。给定置信概率1，p的置信

区间为),(22unSXunSXnn. 这时100n，05.0，查表知96.1025.02uu，又12.010011001iixx，

106.012.012.0100122100122xxsiin，从而

326.0nS，于是，母体均值p的置信概率为%95的置信区间是)184.0,056.0(.

3.3 正态母体均值的区间估计 例2.3.1中已分析了方差已知时正态母体均值的区间估计，现在考虑方差未知时正态母体均值的区间估计。 问题：母体),(~2NX,2未知,求

的置信概率为1)10(的置信区间。 解: ①的点估计可取为X； ②由抽样分布定理2③知

)1(~*ntnSXTn



以此随机变量为枢轴量. ③给定置信概率为1)10(，则存在)1(2nt，使

1)}1({ 2ntTP，即

1)}1({ 2*ntnSXP

n

亦即 1})1()1({*2*2nSntXnSntXPnn 故的置信概率为1的置信区间为))1( ,)1((*2*2nSntXnSntXnn.

例2.3.4 假设铅的比重测量值),(~2NX,如果测量16次，算得

705.2x，029.0*ns，求铅的比重的

置信概率为%95的置信区间。 解：此问题属于方差未知时对正态母体均值的区间估计。 给定置信概率1，的置信区间

为))1(,)1((*2*2nSntXnSntXnn . 这时，16n，05.0，查表知131.2)15()1(025.02tnt，又705.2x，

029.0*ns，于是母体均值的置信概率为

%95的置信区间是)720.2,690.2(.

3.4 大子样对两母体均值之差的区间估计 问题：设母体iX的分布是任意的，2)(,)(iiiiXDXE均存在且未知，独立地

从两母体中抽取大子样

50,,,,21iiniinXXXi，iX是子样均值，2iS是

子样方差，2,1i. 试以概率)1,0(1对母体均值之差21作区间估计。 解：①21的点估计可取为21XX； ②由中心极限定理知

),(2~iiiinNX近似

由两子样独立性知两子样均值独立，故

),(2221212121~nnNXX近似

)1,0()()( ~2221212121NnnXX近似 但其中2i是未知参数，注意到2iS是2i的渐进无偏相合估计量，故在大子样

情形，有