2017-2018学年上海市大同中学高二下学期3月月考数学试题(Word版)
1
2017-2018学年上海市大同中学高二下学期3月月考数学试题
2018.3
一、填空题
1. z为复数，则“1z=”是“1zRz+?”成立的__________条件．
2. 若n为奇数，则221111nniiii骣骣+-鼢珑+=鼢珑鼢珑桫桫-+____________．
3. 解方程3zzzi+=-，则z=____________．
4. 复数z满足210zz++=，则201020091zz++的值为____________．
5. 已知233zi+-=，则2z+的最大值为________，最小值为________．
6. 若123,,zzz的模均为2，则123123111zzzzzz骣÷ç++÷ç÷ç÷ç÷=ç÷ç÷++ç÷÷ç÷ç÷桫____________．
7. 已知复数(),zabiabR+=+?是方程2450xx-+=的根复数3uiw=+满足
25zw-<
，则u的取值范围是____________．
8. 设方程20xxm++=的两根为12,xx，且123xx+=，则m值是____________．
9. 已知关于x的方程，()22(1)()0,xixababiabR++++++=?总有实数解，则ab+的取
值范围是____________．
10. 如图，在棱长为a的正方体1111ABCDABCD-中，,MN分别为1AA、11CD的
中点，过,,DMN三点的平面与直线11AB交于点P，则线段1PB的长为
____________．
二、选择题
11. 直线,ab是异面直线是指
①ab=?I，且a与b不平行；②aÌ面a，bÌ面b，且平面ab=?I；③aÌ面a，
bÌ
面b，且ab=?I；④不存在平面a，能使,abaa烫成立，上述结论正确的有（ ）
A. ①④ B. ②⑤ C. ③④ D. ②④
12. 若,,abc是两两互相垂直的异面直线（每两条成异面直线），直线d是,ab的公垂线，那么c与
d
的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 平行 C. 相交垂直 D. 垂直
13. 在空间四边形ABCD，,EF分别为,ABAD上的点且::1:4AEEBAFFD==，又,HG分
2
别为,BCCD的中点，则（ ）
A. BD//平面EFGH且EFGH是矩形
B. EF//平面BCD且EFGH是梯形
C. HG//平面ABD且EFGH是菱形
D. HE//平面ADC且EFGH是平行四边形
14. 若异面直线,ab所成的角为80°，则过空间上任一点P可做不同的直线与,ab所成的角都是
50°，可做直线的数目为（ ）
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
三、解答题
15. 空间四边形ABCD中，,,,EFGH分别是,,,ABBCCDDA上的点，已知EH与FG是相交
直线，且EF与GH平行，求证：EF、HG、AC三线共点．
16. 如图，AB和CD是异面直线，3ABCD==，,EF分别为线段,ADBC上的点，且
1,72AEBF
EFEDFC===
，求AB和CD所成角的大小．
17. 设z是复数，0z¹且z不是纯虚数，2zzw=-是纯虚数且2w<．
（1）求z的值及z虚部的取值范围；
3
（2）设22zzm+=-，求证m为纯虚数．
18. 设02qp<<复数21cossin,ziuaaiqq=-+=+且zu×为纯虚数，若
22
2zuzuw=++
，则w可能为正实数吗？
19. 对任意一个非零复数z，定义集合{}210,nMznNww-==?．
（1）设a是方程12xx+=的一个根，试用列举法表示集合aM；
（2）若复数ZMwÎ，求证
ZMMw
Í
．
参考答案
一、填空题
4
1. 充分非必要 2. 2- 3. 131124i- 4. 3322i± 5. 6,0
6. 12 7. (2,6)- 8. 94或2- 9. [2,4) 10. 34a
二、选择题
11-14 ABBC
三、解答题
15. 证明略
16. 60°
17. （1）2,(1,0)(0,1)z=-U； （2）证明略
18. 不可能为正实数
19. （1）22222222,,,22222222aMiiii禳镲镲=+-+---睚镲镲铪； （2）证明略
【数学】山西省大同市第三中学2017-2018学年高二4月月考(理)
参考答案一、 选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项符合要求的.）1.C2.A3.D4.B5.B6.C7.C8.A9.A 10.C二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）11. 1 12．44π- 13. 3 14.三、解答题（本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15. 解：（Ⅰ）f'（x ）=6x 2+6ax ﹣12b又因为函数y=f （x ）在x=﹣2和x=1处有极值，所以，解得， 所以f （x ）=2x 3+3x 2﹣12x+3…（Ⅱ） f'（x ）=6（x+2）（x ﹣1）由f'（x ）＞0，得x ＜﹣2或x ＞1，f'（x ）＜0，得﹣2＜x ＜1所以f （x ）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2），（1，+∞），递减区间为（﹣2， 1）… 令f'（x ）=0，得x=﹣2或x=1f （﹣2）=23，f （1）=﹣4，f （﹣3）=12，f （3）=48所以f （x ）的最大值为f （3）=48，最小值为f （1）=﹣4…16. 解： 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标x1＝0，x 2＝1，所以抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)dx ＝⎝⎛⎭⎫x 22－x 33⎪⎪⎪10＝12－13＝16. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝x －x 2，可得抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x′1＝0，x′2＝1－k ， 所以S 2＝⎠⎛01-k (x －x 2－kx)dx ＝⎝⎛⎭⎫1－k 2x2－x 33⎪⎪⎪1-k 0＝16(1－k)3. 又S ＝16，所以(1－k)3＝12.于是k ＝1－312＝1－342，所以k 的值为1－342.17.(1）当时，有，，令，即，∴，即， ∴在上递增，和上递减，∴当时， 有极小值，当时，有极大值．（2）要使在区间上单调，则或恒成立，即或在区间上恒成立， 或． 综上，在上单调，则或． 18.（1）1=a(2)0≤a ↓)21,0( ↑+∞),21(210<<a ↑),0(a ↓)21,(a ↑+∞),21( 21=a ↑+∞),0( 21>a ↑)21,0( ↓),21(a ↑+∞),(a (3)0≤a1a =-2()(3)x f x e x =-+2'()(23)(3)(1)x xf x e x x e x x =--+=-+-'()0f x >(3)(1)0x e x x -+->(3)(1)0x x +-<31x -<<()f x (3,1)-(,3)-∞(1,)+∞3x =-()f x 3(3)6f e --=-1x =()f x (1)2f e =()f x []1,22'()(23)0x f x e ax ax =++≥2'()(23)0x f x e ax ax =++≤2230ax ax ++≥2230ax ax ++≤[]1,2max 23()2a x x -≥+38=-min 23()12a x x-≤=-+()f x []1,21a ≤-38a ≥-。
2023年上海大同中学高二下期中数学试卷及答案
2022-2023学年上海市大同中学高二年级下学期期中考试数学试卷2023.4一､填空题（本大题共有12小题，每题3分，满分36分）1.过()()2,,4P m Q m -､两点的直线的倾斜角为45，那么m =__________.2.直线210ax y +-=与直线()120a x y -++=平行，则=a __________.3.过点()21A -，与()12B ，半径最小的圆的方程为___________.4.已知椭圆221102x y m m +=--的长轴在y 轴上，若焦距为4，则m =__________.5.若双曲线22221x y a b -=()0,0a b >>两个顶点三等分焦距，则该双曲线的渐近线方程是___________.6.若抛物线22y px =的焦点与椭圆2215x y +=的右焦点重合，则p =______.7.过点()2,2P -作直线l 与圆C ：()()22112x y ++-=相切，则直线l 的一般式方程是_________.8.设1F 和2F 为椭圆22421x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，且满足12OP =，则12F PF △的面积是__________.9.若椭圆221369x y +=的弦被点()4,2平分，则此弦所在直线的斜率为__________10.从双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上任意一点P 分别作两条渐近线的平行线，这4条直线构成平行四边形PQOR ，则该平行四边形的面积为__________.11.直线3y x =+与曲线2194x xy -=的公共点的个数是___________．12.已知双曲线2222:1x y C a b -=的左､右焦点分别的12F F ､，过点2F 且倾斜角为60︒的直线l 交C 的右支于A B ､两点（A 在x 轴上方），且满足22(3)=>AF tF B t ，则双曲线C 的离心率是__________（结果用t 表示）二､选择题（本大题共有4题，每小题4分，满分16分）13.已知两条直线12:10,10l mx y l y +-=-+=“m =”是“直线1l 与直线2l 的夹角为60 ”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件14.平面直角坐标系上动点(),M x y 6=，则动点M 的轨迹是（）A.直线B.线段C.圆D.椭圆15.双曲线2212211:1x y C a b -=和2222222:1y x C a b -=的离心率分别为1e 和2e ，若满足12e e >，则下列说法正确是（）A.1C 的渐近线斜率的绝对值较大，1C 的开口较开阔B.1C 的渐近线斜率的绝对值较大，1C 的开口较狭窄C.2C 的渐近线斜率的绝对值较大，2C 的开口较开阔D.2C 的渐近线斜率的绝对值较大，2C 的开口较狭窄16.已知集合(){}22,(cos )(sin )4,0πP x y x y θθθ=-+-=≤≤∣.由集合P 中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如水滴.给出下列结论：①“水滴”图形与y 轴相交，最高点记作A ，则A 点的坐标为(；②阴影部分与y 轴相交，最高点和最低点分别记作C 和D ，则4CD =；③在阴影部分中任取一点M ，则OM 的最大距离为3；④“水滴”图形的面积是11π6+.其中正确的有（）A.4个B.3个C.2个D.1个三､解答题（本题满分48分）17.已知ABC 的三个顶点()30A -,，()2,1B ，()2,3C -.（1）求直线BC 的方程；（2）求ABC 的面积.18.已知圆M 经过()()()1,01,23,0A B C --､､，圆222:420N x y x ay a +-++=.（1）求圆M 的标准方程；（2）若圆M 与圆N 相切，求a 的值.19.已知P 是椭圆2222:1x y C a b+=上一个动点，F 是椭圆的左焦点，若PF 的最大值和最小值分别为33-.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）()0,M m 是y 轴正半轴上的一点，求PM 的最大值.20.已知等轴双曲线C 的焦点在x轴上，焦距为（1）求双曲线的标准方程；（2）斜率为k 的直线l 过点()1,0P ，且直线l 与双曲线C 的两支分别交于A 、B 两点，①求k 的取值范围；②若D 是B 关于x 轴的对称点，证明直线AD 过定点，并求出该定点坐标.21.已知椭圆22:143x y Γ+=的左、右焦点分别为1F 、2F ，设P 是第一象限内椭圆Γ上一点，1PF 、2PF 的延长线分别交椭圆Γ于点1Q 、2Q ，直线12Q F 与21Q F 交于点R ．（1）求12PQ F 的周长；（2）当2PF 垂直于x 轴时，求直线12Q Q 的方程；（3）记11F Q R 与22F Q R 的面积分别为1S 、2S ，求21S S 的最大值．2022-2023学年上海市大同中学高二年级下学期期中考试数学试卷2023.4一､填空题（本大题共有12小题，每题3分，满分36分）1.过()()2,,4P m Q m -､两点的直线的倾斜角为45，那么m =__________.【答案】1【解析】【分析】根据给定条件，利用直线斜率的定义及坐标公式求解作答.【详解】依题意，直线PQ 的斜率tan451PQ k ==，又42PQ m k m -=+，则412mm -=+，解得1m =，所以1m =.故答案为：12.直线210ax y +-=与直线()120a x y -++=平行，则=a __________.【答案】2【解析】【分析】根据两直线平行的充要条件即可求解.【详解】法一：两直线平行，则212112a a a -=≠⇒=-；法二：两直线平行，()()12,2,1,1n a n a ==-，则()212a a a -=⇒=,故答案为：2.3.过点()21A -，与()12B ，半径最小的圆的方程为___________.【答案】22315222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】由圆心到直线的距离d 、半弦长和半径构成的勾股定理得要使半径R 最小，则需d 最小，d 最小是0,此时圆的圆心为AB 的中点，圆的直径为AB ，可得圆的方程.【详解】设所求的圆的圆心为C ，圆的半径为R ，圆心到直线AB 的距离为d ,则2222AB R d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由已知得AB =，要使半径R 最小，则需d 最小，d 最小是0，此时圆的圆心为AB 的中点，圆的直径为AB ，圆的方程是22231222x y ⎫⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即22315222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故填：22315222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题考查根据条件求圆的方程的问题，关键在于得出何时圆的半径取得最小值，属于中档题.4.已知椭圆221102x y m m +=--的长轴在y 轴上，若焦距为4，则m =__________.【答案】8【解析】【分析】根据椭圆方程列方程，解得结果.【详解】因为椭圆221102x y m m +=--的长轴在y 轴上，焦距为4，所以242(10)(82m m m ---=∴=故答案为：8【点睛】本题考查根据椭圆方程求参数，考查基本分析求解能力，属基础题.5.若双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>两个顶点三等分焦距，则该双曲线的渐近线方程是___________.【答案】y =±【解析】【分析】由题意知，渐近线方程是by x a =±，1223a c =⨯，再据222c ab =+，得出 b 与a 的关系，代入渐近线方程即可．【详解】∵双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的两个顶点三等分焦距，∴1223a c =⨯，3c a =，又222c a b =+，∴b =∴渐近线方程是by x a=±=±，故答案为y =±．【点睛】本题考查双曲线的几何性质即双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的渐近线方程为by x a=±属于基础题．6.若抛物线22y px =的焦点与椭圆2215x y +=的右焦点重合，则p =______.【答案】4【解析】【分析】由椭圆方程为2215x y +=，可得椭圆的右焦点坐标为(2,0)，由抛物线方程为22y px =可得其焦点为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，由题意有22p =，再求解即可.【详解】解：由椭圆方程为：2215x y +=，则2c =，则椭圆的右焦点坐标为(2,0)，又抛物线22y px =的焦点坐标为：,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，又抛物线22y px =的焦点与椭圆2215x y +=的右焦点重合，则22p=，解得4p =，故答案为4.【点睛】本题考查了椭圆焦点坐标的求法及抛物线焦点坐标的求法，重点考查了运算能力，属基础题.7.过点()2,2P -作直线l 与圆C ：()()22112x y ++-=相切，则直线l 的一般式方程是_________.【答案】40x y -+=【解析】【分析】由题意判断直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：()22y k x -=+，化为一般式，再由圆心到直线的距离等于半径，即可解得.【详解】由题意直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：()22y k x -=+，即220kx y k -++=.又直线l 与圆C ：()()22112x y ++-=相切，圆心()1,1C -，化简得2210k k -+=，1k ∴=.∴直线l 的一般式方程为40x y -+=.故答案为：40x y -+=.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于基础题.8.设1F 和2F 为椭圆22421x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，且满足12OP =，则12F PF △的面积是__________.【答案】14##0.25【解析】【分析】将椭圆方程化为标准式，即可求出a 、b 、c ，由12OP =，可得点P 为短轴顶点，最后由面积公式计算可得.【详解】椭圆22421x y +=，即2211124y x +=，所以22a =，12b =，12c ==，因为12OP =，所以点P 为短轴顶点，所以12111112222224F PF S c b =⨯⨯=⨯⨯⨯= .故答案为：149.若椭圆221369x y +=的弦被点()4,2平分，则此弦所在直线的斜率为__________【答案】12-【解析】【详解】试题分析：设弦两端点为11(,)A x y ，22(,)B x y .因为(4,2)是A,B 的中点，所以12128,4x x y y +=+=，将A,B 两点代入椭圆方程得22111369x y +=，22221369x y +=，两式相减得222221210369x x y y --+=，整理得2121212114()2y y x x x x y y -+=-=--+，即212112AB y y k x x -==--．考点：中点弦问题10.从双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上任意一点P 分别作两条渐近线的平行线，这4条直线构成平行四边形PQOR ，则该平行四边形的面积为__________.【答案】2ab 【解析】【分析】设00(,)P x y 和过点P 的与两条渐近线的平行线方程，联立方程组求出交点Q R ､的坐标，然后利用三角形面积公式即可求解.【详解】设00(,)P x y ，过点P 分别作两条渐近线的平行线与渐近线交于点Q R ､，则直线PQ 和PR 的方程分别为00()b y y x x a -=-和00()by y x x a-=--，由方程组()000000,2222b y y x x x y a b aQ y x b b a y xa ⎧-=-⎪⎪⎛⎫⇒--+⎨⎪⎝⎭⎪=-⎪⎩，同理可知另一个交点为0000,2222x y ab R y x ba ⎛⎫++⎪⎝⎭，则OQ ==，则OR ==，设直线OQ 倾斜角为α，则tan baα=，可得2222tan 2sin sin 21tan abQOR a b ααα∠===++，所以四边形PQOR 的面积为()222200222212sin 2+4+2PQOR x y ab abS OQ OR a b a b a b α=⋅=-⋅=.故答案为：2ab.11.直线3y x =+与曲线2194x xy -=的公共点的个数是___________．【答案】3【解析】【详解】试题分析：当x≥0时，曲线2194x x y -=的方程为22194y x -=当x ＜0时，曲线2194x x y -=的方程为22194y x +=，∴曲线219x xy -=的图象为右图，在同一坐标系中作出直线y=x+3的图象，可得直线与曲线交点个数为3个．12.已知双曲线2222:1x y C a b -=的左､右焦点分别的12F F ､，过点2F 且倾斜角为60︒的直线l 交C 的右支于A B ､两点（A 在x 轴上方），且满足22(3)=>AF tF B t ，则双曲线C 的离心率是__________（结果用t 表示）【答案】221t t -+【解析】【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，根据两点间距离公式表示22,AF BF ，由直线l 倾斜角的大小得出1212x x AB -=，并结合向量共线的关系进行计算得出结果.【详解】设()()122121,,,,>>a A x y B x y x x ，()2,0F c ，由点()11,A x y 在双曲线2222:1x y C a b -=上得2211221x y a b-=，即=-2222211b y x b a .则2AF ==11c c x a x a a a==-=-，同理，22=-c BF x a a ，如图，由直线l 倾斜角为60︒可知，1212-==x x BH AB，121212c c x x x a x a a a ⎛⎫∴-=-+- ⎪⎝⎭，122222,-=∴==- cx a AF a AF tF B t c BF x a a，设12,c c x a m x a n a a -=-=，则()1212c c ax x m n x x m n a a c -=-⇒-=-，()()12a m n m n c ∴-=+，2222m c a e t n a c e ++∴===--，221t e t -∴=+.故答案为：221t t -+.二､选择题（本大题共有4题，每小题4分，满分16分）13.已知两条直线12:10,10l mx y l y +-=-+=“m =”是“直线1l 与直线2l 的夹角为60 ”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据两条直线夹角公式可以求出当两条直线夹角为60 时m 的值,然后根据充分性、必要性的定义,选出正确答案.【详解】两条直线12:10,:10l mx y l y +-=-+=的斜率分别是m -.当两条直线的夹角为60 时,则有：tan 600m ︒=⇒=或m =.因此“m =”是“直线1l 与直线2l 的夹角为60 ”的充分不必要条件.故选B【点睛】本题考查充分不必要条件的判断,掌握两直线夹角的计算公式是解题的关键.14.平面直角坐标系上动点(),M x y 6=，则动点M 的轨迹是（）A.直线B.线段C.圆D.椭圆【答案】B 【解析】【分析】由题意可知，动点M 到两个定点的距离的和为6,又两个定点的距离为6，即得结论.【详解】设点()()123,0,3,0F F -，动点(),M x y 满足6，∴126MF MF +=，又26FF =，1212MF MF F F ∴+=，所以动点M 的轨迹是线段.故选：B .【点睛】本题考查平面内两点间的距离公式，属于基础题.15.双曲线2212211:1x y C a b -=和2222222:1y x C a b -=的离心率分别为1e 和2e ，若满足12e e >，则下列说法正确是（）A.1C 的渐近线斜率的绝对值较大，1C 的开口较开阔B.1C 的渐近线斜率的绝对值较大，1C 的开口较狭窄C.2C 的渐近线斜率的绝对值较大，2C 的开口较开阔D.2C 的渐近线斜率的绝对值较大，2C 的开口较狭窄【答案】A【解析】【分析】根据离心率公式及渐近线方程，得到两曲线渐近线斜率的关系，即可判断.【详解】因为cea===12e e==，又双曲线1C的渐近线方程为11by xa=±，双曲线2C的渐近线方程为22ay xb=±，因为12e e>>221212b aa b⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1212b aa b>，所以1C的渐近线斜率的绝对值较大，又离心率越大，双曲线开口越开阔.故选：A.16.已知集合(){}22,(cos)(sin)4,0πP x y x yθθθ=-+-=≤≤∣.由集合P中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如水滴.给出下列结论：①“水滴”图形与y轴相交，最高点记作A，则A点的坐标为(；②阴影部分与y轴相交，最高点和最低点分别记作C和D，则4CD=；③在阴影部分中任取一点M，则OM的最大距离为3；④“水滴”图形的面积是11π6+.其中正确的有（）A.4个B.3个C.2个D.1个【答案】C【解析】【分析】对于①②令0x=，可得y的范围，可以进行判断；对于③利用圆的参数方程,可得点M到原点的距离,结合三角函数求最值；对于④“水滴”图形由一个等腰三角形、两个全等的弓形和一个半圆组成.【详解】①由于22(cos )(sin )4x y -+-=θθ，0πθ≤≤，令0x =，[]32sin 0,2y yθ=-∈，解得]1y ⎡⎤∈-⋃⎣⎦，所以“水滴”图形与y 轴相交，最高点记作A ，则A 点的坐标为(，故①正确；②由①得，阴影部分与y 轴相交，最高点和最低点分别记作C 和D ，则3CD =+，故②错误；③由于22(cos )(sin )4x y -+-=θθ，设2cos cos 2sin sin x y αθαθ=+⎧⎨=+⎩，0πθ≤≤，所以点M 到原点的距离d ==，当()cos 1αθ-=时，点M 到原点的距离取到最大值3，故③正确；④“水滴”图形由一个等腰三角形、两个全等的弓形和一个半圆组成，半圆的半径为1，弓形半径为2，圆心角为π3.所以212π111π2π1222326弓形半圆⎛=++=⨯+⨯-+⨯⨯- ⎝ S S S S 故④错误.故选：C.三､解答题（本题满分48分）17.已知ABC 的三个顶点()30A -,，()2,1B ，()2,3C -.（1）求直线BC 的方程；（2）求ABC 的面积.【答案】（1）240x y +-=（2）7【解析】【分析】（1）首先求出BC 的斜率，再由点斜式求出直线方程；（2）求出点A 到直线BC 的距离，再求出BC 的长度，最后由面积公式计算可得.【小问1详解】因为()2,1B ，()2,3C -，所以311222BC k -==---，所以()1:122BC l y x -=--，化简可得240x y +-=.【小问2详解】点()30A -,到直线BC的距离755d ==，==BC则11757225ABC S BC d ==⨯= .18.已知圆M 经过()()()1,01,23,0A B C --､､，圆222:420N x y x ay a +-++=.（1）求圆M 的标准方程；（2）若圆M 与圆N 相切，求a 的值.【答案】（1）22(1)4x y -+=（2）【解析】【分析】（1）设出圆的方程，代入点的坐标求解计算即可；（2）经分析两圆外切，把两圆外切转化为圆心距离等于半径之和，列式计算即可.【小问1详解】设圆2222:0,40M x y Dx Ey F D E F ++++=+->，因为圆M 过A B C ､､三点，则101420930D F D E F D F -+=⎧⎪++-+=⎨⎪++=⎩，所以203D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，所以22:230M x y x +--=，即22(1)4x y -+=；【小问2详解】圆N 化为标准方程为22(2)()4x y a -++=，因为圆M 与圆N 的半径相等，故两圆不会内切，只有外切，且()()1,0,2,M N a -，22=+，解得a =19.已知P 是椭圆2222:1x y C a b+=上一个动点，F 是椭圆的左焦点，若PF 的最大值和最小值分别为33-.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）()0,M m 是y 轴正半轴上的一点，求PM 的最大值.【答案】（1）22194x y +=（2）max 502||522m PM m m <≤=⎪+>⎪⎩【解析】【分析】（1）根据题意列出方程组，解之即可求解；（2）设(),P x y ，根据两点间距离公式和二次函数的图像与性质即可求解.【小问1详解】由题意可得33a c a c ⎧+=+⎪⎨-=-⎪⎩，解得22234a b a c c =⎧⎪=-=⎨=⎪⎩，所以椭圆的标准方程为22194x y +=.【小问2详解】设(),P x y ，则2222222229||()2924y PM x y m x y my m y my m =+-=+-+=-+-+[]22225549299,2,24455m y my m y m y ⎛⎫=--++=-+++∈- ⎪⎝⎭当50,2m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，[)max 42,0,||5m PM -∈-=当5,2m ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()4,25m ∞-∈--，max ||2PM m ===+所以max 502||522m PM m m <≤=⎪+>⎪⎩.20.已知等轴双曲线C 的焦点在x轴上，焦距为（1）求双曲线的标准方程；（2）斜率为k 的直线l 过点()1,0P ，且直线l 与双曲线C 的两支分别交于A 、B 两点，①求k 的取值范围；②若D 是B 关于x 轴的对称点，证明直线AD 过定点，并求出该定点坐标.【答案】（1）22144x y -=（2）①()1,1-；②证明见解析，()4,0【解析】【分析】（1）依题意可得2222a bc a b c =⎧⎪=⎨⎪+=⎩，解得a 、b ，即可求出方程；（2）设直线()()()1122:1,,l y k x A x y B x y =-,,，()22,D x y -，联立直线与双曲线方程，消元、得到12x x 、12x x +及∆；①根据Δ0>且120x x <得到方程组，解得即可；②表示出AD 的方程，令0y =求出x ，即可得解.【小问1详解】由题意可得222222a b a c b a b c c =⎧⎧=⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪+==⎩⎩，所以双曲线的标准方程为22144x y -=；【小问2详解】设直线()()()()112222:1,,,,,,l y k x A x y B x y D x y =--，联立()221144y k x x y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩消去y 整理可得()22221240k x k x k -+--=，则()()()4222Δ4414443k k k k =+-+=-，又212241k x x k +=--，212221k x x k+=--，①因直线l 与双曲线交于两支，所以Δ0>且120x x <，即()222443011401k k k k⎧->⎪⇒-<<⎨+-<⎪-⎩；②设()121112:y y AD y x x y x x +=-+-，令0y =，则()()()12112122112112121222x x y x x x x x y x y x xy y y y x x -⨯--++=+==+++-()()2222242842221k k k k --+-===----，所以直线AD 过定点()4,0.21.已知椭圆22:143x y Γ+=的左、右焦点分别为1F 、2F ，设P 是第一象限内椭圆Γ上一点，1PF 、2PF 的延长线分别交椭圆Γ于点1Q 、2Q ，直线12Q F 与21Q F 交于点R ．（1）求12PQ F 的周长；（2）当2PF 垂直于x 轴时，求直线12Q Q 的方程；（3）记11F Q R 与22F Q R 的面积分别为1S 、2S ，求21S S -的最大值．【答案】（1）8（2）310120x y ++=（3）435【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义直接可以得出答案；（2）根据题意可得P ，2Q 的坐标，进而得到直线1PF 的方程，与椭圆方程联立，可求得1Q 的坐标，进而得到直线12Q Q 的方程；（3）设()00,P x y ，直线1PF 的方程为1x ty +=，与椭圆方程联立，根据韦达定理可将1Q ，2Q 的纵坐标用00,x y 表示，进而可得00212012254x y S S x -=-，然后利用三角换元，结合基本不等式即可求得最值．【小问1详解】由椭圆22:143x y Γ+=的方程可得224,3a b ==，可得2221c a b =-=，可得a ＝2，c ＝1，由椭圆的定义可得：12PQ F 的周长为4a ＝8，所以12PQ F 的周长为8；【小问2详解】由（1）可得()()121,0,1,0F F -，当2PF 垂直于x 轴时，则2Q 的纵坐标为232b y a =-=-，所以2331,,1,22Q P ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()1332114PF k==--，直线1PF 的方程为：()314y x =+，联立()22314143y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得132x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或137914x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则1139,714Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴12393214131017Q Q k -+==-+，∴直线12Q Q 的方程为()331210y x +=--，即310120x y ++=；【小问3详解】设()()0000,0,0P x y x y >>，()()111222,,,Q x y Q x y ，设直线1PF 的方程为1x ty +=，其中001x t y +=，联立221143x ty x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 并整理可得，()2234690t y ty +--=，由韦达定理可得，()2001222009934314y y y t x y --==+++，又2200143x y +=，则22003412x y +=，∴()0001220000993126352314y y y y x x x y ---===+++++，同理可得020352y y x -=-.∴21211221Q F F Q F F S S S S -=- 1221211122F F y F F y =-高中210000200033125252254y y x y x x x =-=-+-，令02cos x θ=，0π,02y θθ=<<，002122012243sin cos 2542516cos x y S S x θθθ-==--22cos cos 25sin 9cos 25sin 3cos 5θθθθθθθθ=≤=+⋅⋅，当且仅当2225sin 9cos θθ=，即334534sin 3434θθ==时取等号.∴21S S -的最大值为435．【点睛】总结点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．。
山西省大同市第一中学高二数学3月月考试题 理
山西省大同市第一中学2015-2016学年高二数学3月月考试题 理一、选择题(共12小题，每小题3分,共36分) 1、已知函数2()f x ax c =+,且(1)2f '=,则a 的值为（ ）A 、1B 、2C 、－1D 、 02、函数)0,4(2cos π在点x y =处的切线方程是（ ）A 、024=++πy xB 、024=+-πy xC 、024=--πy xD 、024=-+πy x 3、曲线3cos (0)2y x x π=≤≤与坐标轴围成的面积是（ ） A 、4 B 、 52C 、3D 、24、函数313yx x =+- 有（ ）A 、极小值-1，极大值1B 、极小值-2，极大值3C 、极小值-2，极大值2D 、极小值-1，极大值35、设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如右图，则导函数()f x '的图象可能是( )6、设2(01)()2(12)x x f x x x ⎧≤<=⎨-≤≤⎩，则20()f x dx ⎰等于（ ）A 、56B 、45C 、34D 、不存在 7、076223=+-x x在区间)2,0(内根的个数为（）A 、0B 、1C 、2D 、3 8、设a R ∈，若函数3,axy e x x R =+∈有大于零的极值点，则（ ）A 、3a >-B 、3a <-C 、13a >- D 、13a <- 9、把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表． 设*(,)ij a i j N ∈是位于这个三角形数表中从上往下数 1第i 行、从左往右数第j 个数，如428a =。
若 2 42016ij a =，则i 与j 的和为( ) 3 5 7A 、80B 、81 6 8 10 12C 、82D 、83 9 11 13 15 1714 16 18 20 22 2410、已知32()f x ax bx cx d =+++与x 轴有3个交点12(0,0),(,0),(,0),x x 且()f x 在1,2x x ==时取极值，则12x x ⋅的值为（ ）A 、4B 、5C 、6D 、不确定 11、在R 上的可导函数c bx ax x x f +++=22131)(23，当)1,0(∈x 取得极大值，当)2,1(∈x 取得极小值，则12--a b 的取值范围是（ ）． A 、)1,41( B 、)1,21( C 、)41,21(- D 、)21,21(-12、设)(),(x g x f 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，()0,g x ≠，当0<x 时，()()()()0,f x g x f x g x ''->且(3)0,f -=则不等式()0()f xg x <的解集是（ ） A 、),3()0,3(+∞⋃- B 、)3,0()0,3(⋃- C 、),3()3,(+∞⋃--∞ D 、)3,0()3,(⋃--∞二、填空题（每小题4分，共16分。
2019-2020学年山西省大同市一中2018级高二3月网上考试数学(理)参考答案
12019~2020-2高二年级 3月阶段性考试数学(理) 答案一、选择题（本题包括12小题，每小题5分，共60分。
每小题只有一个选项符合题意）1.A2.A3.C4.C5.D6.B7.C8.B9.D10A11.D12.B二、填空题(每小题5分，共20分)13.(,4)(1,)-∞-+∞14.(1x15.716.163三、解答题 17．(10分)解：设点A 关于直线l ：2x －y ＋2＝0的对称点为A 1(x 1，y 1)，点A 关于x 轴的对称点为A 2(x 2，y 2)，连接A 1A 2交l 于点B ， 交x 轴于点C ，则此时△ABC 的周长取最小值，且最小值为||A 1A 2. ∵A 1与A 关于直线l ：2x －y ＋2＝0对称， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1－5x 1－4×2＝－1，2×x 1＋42－y 1＋52＋2＝0，解得⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝7.∴A 1(0,7). 易求得A 2(4，－5)，∴△ABC 周长的最小值为||A 1A 2＝4－0 2＋－5－7 2＝410.18．(12分)解：(1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a ＞0，a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎨⎧1＋x ＞0，3－x ＞0，得x ∈(－1,3)，∴函数f (x )的定义域为(－1,3).(2) f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]， ∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数； 当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2.219．(12分) 解法一：(1)证明：由AB ＝2，AA 1＝4，BB 1＝2， AA 1⊥AB ，BB 1⊥AB ，得AB 1＝A 1B 1＝22，所以A 1B 21＋AB 21＝AA 21， 故AB 1⊥A 1B 1. 由BC ＝2，BB 1＝2，CC 1＝1，BB 1⊥BC ，CC 1⊥BC ，得B 1C 1＝ 5. 由AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°，得AC ＝2 3. 由CC 1⊥AC ，得AC 1＝13，所以AB 21＋B 1C 21＝AC 21， 故AB 1⊥B 1C 1.又因为A 1B 1∩B 1C 1＝B 1， 所以AB 1⊥平面A 1B 1C 1.(2) 如图，过点C 1作C 1D ⊥A 1B 1，交直线A 1B 1于点D ，连接AD . 因为AB 1⊥平面A 1B 1C 1， AB 1⊂平面ABB 1， 所以平面A 1B 1C 1⊥平面ABB 1.因为平面A 1B 1C 1∩平面ABB 1＝A 1B 1，C 1D ⊥A 1B 1，C 1D ⊂平面A 1B 1C 1， 所以C 1D ⊥平面ABB 1. 所以∠C 1AD 是直线AC 1与平面ABB 1所成的角. 由B 1C 1＝5，A 1B 1＝22，A 1C 1＝21， 得cos ∠C 1A 1B 1＝67sin ∠C 1A 1B 1＝17， 所以C 1D ＝3， 故sin ∠C 1AD ＝C 1D AC 1＝3913.所以直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值是3913解法二：(1) 证明：以AC 的中点O 为坐标原点，分别以射线OB ，OC 为x 轴，y 轴的正半轴， 建立如图所示的空间直角坐标系O xyz . 由题意知各点坐标如下：A (0,－3,0)，B (1,0,0)，A 1(0,－3,4)，B 1(1,0,2)，C 1(0,3,1).因此AB 1―→＝(1,3,2)，A 1B 1―→＝(1,3,－2)，A 1C 1―→＝(0,23,－3). 由AB 1―→·A 1B 1―→＝0，得AB 1⊥A 1B 1. 由AB 1―→·A 1C 1―→＝0，得AB 1⊥A 1C 1. 又因为A 1B 1∩A 1C 1＝A 1， 所以AB 1⊥平面A 1B 1C 1.(2) 设直线AC 1与平面ABB 1所成的角为θ. 由(1)可知AC 1―→＝(0,23，1)，AB ―→＝(1，3，0)， BB 1―→＝(0,0,2). 设平面ABB 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，2019-2020学年山西省大同市一中2018级高二3月网上考试数学（理）参考答案3由⎩⎪⎨⎪⎧n·AB ―→＝0，n·BB 1―→＝0，得⎩⎨⎧x ＋3y ＝0，2z ＝0，可取n ＝(－3，1,0).所以sin θ＝|cos 〈AC 1―→，n 〉|＝|AC 1―→·n||AC 1―→||n|＝3913所以直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值是391320．(12分)解：(1) 因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b2＋a＝0，解得b ＝1.从而有f (x )＝－2x＋12x ＋1＋a . 又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a，解得a ＝2.(2) 由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1，由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因为f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0等价于f (t 2－2t )＜－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k ). 因为f (x )是R 上的减函数，由上式推得t 2－2t ＞－2t 2＋k .即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k ＞0， 从而Δ＝4＋12k ＜0，解得k ＜－13.故k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13.21．(12分)解：(1) 如图，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D xyz .依题易得D (0,0,0)，A (1,0,0)，M (0,0,1)，C (0,1,0)，B (1,1,0)，N (1,1,1)， E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，所以NE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，－1，AM ―→＝(－1,0,1).设异面直线NE 与AM 所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈NE ―→，AM ―→〉|＝|NE ―→·AM ―→||NE ―→|·|AM ―→|＝1252×2＝1010所以异面直线NE 与AM所成角的余弦值为1010. (2) 假设在线段AN 上存在点S ，使得ES ⊥平面AMN ，2019-2020学年山西省大同市一中2018级高二3月网上考试数学（理）参考答案4因为AN ―→＝(0,1,1)，可设AS ―→＝λAN ―→＝(0，λ，λ)，λ∈[0,1]，又EA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，0，所以ES ―→＝EA ―→＋AS ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，λ－1，λ. 由ES ⊥平面AMN ，得⎩⎪⎨⎪⎧ ES ―→·AM ―→＝0，ES ―→·AN ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－12＋λ＝0，λ－1＋λ＝0，解得λ＝12，此时AS ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，|AS ―→|＝22.经检验，当AS ＝22时，ES ⊥平面AMN . 故线段AN 上存在点S ，使得ES ⊥平面AMN ， 此时AS ＝22. 22．(12分) 解：（1）抛物线的焦点为F，准线方程为x=﹣， ∴a 2﹣b 2=3 ①，又椭圆截抛物线的准线x=﹣所得弦长为1，∴可得一个交点为（﹣， ），∴ ② 解得b 2=1，从而a 2=b2+3=4，∴该椭圆的方程为(2) 证明 因为B(2,0)，点P 不为椭圆顶点，则可设直线BP 的方程为y ＝k(x －2)(k≠0，k≠±)，① ①代入＋y 2＝1，解得P . 直线AD 的方程为y ＝x ＋1.②①与②联立解得M. 由D(0,1)，P，N(x,0)三点共线知 ＝，解得N . 所以MN的斜率为m ＝＝＝. 则2m －k ＝－k ＝ (定值).2019-2020学年山西省大同市一中2018级高二3月网上考试数学（理）参考答案。
山西省大同市第一中学2017-2018学年高二5月月考数学(文)试题 Word版含解析
2017-2018-2 高二年级5月阶段性考试数学（文）一、选择题（每道题5分，共60分）1. 设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：利用交集的性质求解．详解：∵M={x|x+1＞0}={x|x＞﹣1}，N={x|x﹣2＜0}={x|x＜2}，∴M∩N={x|﹣1＜x＜2}=（﹣1，2）．故选：C．点睛：本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题．2. 若将复数表示为，是虚数单位的形式，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】,故选.3. 若，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：利用指数函数和对数函数的性质即可得出．详解：∵20.5＞20=1，0＜logπ3＜logππ=1，log20.5＜log21=0，∴a＞b＞c．故选：D．点睛：熟练掌握指数函数和对数函数的性质是解题的关键．4. 给出下列三个命题：：，；：“或”是“”的必要不充分条件；：若，则.那么，下列命题为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，所以命题为假命题。
易知或不能推出“”，但“”能推出或，故为真命题。
由得且，所以，所以为真命题。
因此为真命题。
选C。
5. 已知函数是定义在上的奇函数，在区间上单调递增，实数满足，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：先根据奇函数将化简一下，再根据f（x）是定义在（﹣1，1）上的增函数，建立不等式组进行求解即可．详解：∵f（x）是奇函数∴等价为f（a）f（-a+1），∵f（x）是定义在（﹣1，1）上的增函数，∴ ,即.故答案为：C.点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集。
6. 某几何体的三视图如图所示，其中正视图由矩形和等腰直角三角形组成，侧视图由半圆和等腰直角三角形组成，俯视图的实线部分为正方形，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由三视图还原原几何体，可知原几何体为组合体，上半部分为半圆柱，下半部分为正四棱锥，圆柱的底面半径为1，高为2，棱锥的底面边长为2，高为1，则斜高为．然后由圆柱侧面积、底面积及棱锥侧面积公式求解．详解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上半部分为半圆柱，下半部分为正四棱锥，圆柱的底面半径为1，高为2，棱锥的底面边长为2，高为1，则斜高为．∴该几何体的表面积为故选：B．点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.7. 如图的程序框图的算法思路源于我国古代著名的“孙子剩余定理”，图中的表示正整数除以正整数后的余数为，例如.执行该程序框图，则输出的等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．详解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件：被3除余2，被5除余3，被7整除余2最小两位数，故输出的n为23，故选：A．点睛：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答；关键是读懂循环结构的意图，将每一次循环的结果写出来，验证终止条件.8. 已知是圆内一点，过点的最长弦和最短弦所在直线方程为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】由圆，得其标准方程为：已知圆的圆心坐标为又是圆内一点，过点最长的弦所在的直线为经过与圆心的直线，直线方程为,整理得：故过点的最长弦所在的直线方程为圆的圆心坐标为，过点最长的弦是圆的直径，且此时直线的方程的斜率为又点最短弦所在直线与直线垂直，过最短弦所在直线的斜率则所求直线的方程为,即综上所述，过点的最长弦和最短弦所在直线方程分，故答案选9. 函数的部分图象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：判断f（x）的奇偶性，在（，π）上的单调性，再通过f（）的值判断．详解：f（﹣x）==﹣f（x），∴f（x）是奇函数，f（x）的图象关于原点对称，排除C；，排除A，当x＞0时，f（x）=，f′（x）=，∴当x∈（，π）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（，π）上单调递增，排除D，故选：B．点睛：点睛：本题考查函数的图象的判断与应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用．对于已知函数表达式选图像的题目，可以通过表达式的定义域和值域进行排除选项，可以通过表达式的奇偶性排除选项；也可以通过极限来排除选项.10. 过双曲线的左焦点，作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由可知点E为PF的中点．为右焦点.连结,可得且,.又.在三角形中．.故选C.考点：1.双曲线的性质.2.解三角形.3.直线与圆的位置关系.11. 已知函数满足，且的导数，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设，，即函数在上单调递增，，，而函数在上单调递增，，故选D.【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、构造函数求范围, 属于难题. 联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.12. 已知实数，若关于的方程有三个不同的实数，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：设，作出函数的图象，如图所示，则时，有两个根，当时，有一个根，若关于的方程有三个不同的实根，则等价为由两个不同的实数根，且或，当时，，此时由，解得或，满足有两个根，有一个根，满足条件；当时，设，则即可，即，解得，综上实数的取值范围为，故选A.考点：根的存在性及个数的判断.【方法点晴】本题主要考查了根的存在性及个数的判断问题，其中解答中涉及到到指数函数与对数函数的图象与性质，一元二次函数根的分布等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中利用函数的零点和方程之间的关系转化为两个函数图象的交点是解答的根据，利用数形结合以及换元法是解答本题的关键，试题有一定的难度，属于中档试题.二、填空题（每道题5分，共20分）13. 若函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则实数的值为__________．【答案】或.【解析】试题分析：因,则由题设,即,所以,故,应填.考点：三角函数的图象和性质．14. 直线与圆相交于两点，，弦的中点为，则直线的方程为__________．【答案】.【解析】设圆心，直线的斜率为，弦AB的中点为，的斜率为，则，所以由点斜式得。
2017-2018学年山西省大同市高二6月月考数学(理)试题word版含答案
2017-2018学年山西省大同市高二6月月考数学（理）试题一、选择题（每道题5分，共60分）1.设集合{|10}M x x =+>，{|20}N x x =-<，则M N = （ ） A ．(1,)-+∞ B ．[1,2)- C ．(1,2)- D ．[1,2]-2.若将复数2i i +表示为(,)a bi a b R +∈，i 是虚数单位的形式，则ba的值为（ ） A ．2- B ．12- C ．2 D ．123.在26(2x的展开式中，含7x 的项的系数是（ ） A ．60 B ．160 C ．180 D ．240 4.若0.52a =，log 3b π=，2log 0.5c =，则（ ）A ．b c a >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．a b c >> 5.直线4y x =与曲线3y x =第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ）A ．．．2 D ．46.已知函数()f x 是定义在(1,1)-上的奇函数，在区间(1,0)-上单调递增，实数a 满足()(1)0f a f a --≤，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1[,)2+∞ B ．1(,]2-∞ C ．1(0,]2 D ．1(0,)27.五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币，若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着，那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（ ） A ．516 B ．1132 C ．1532D ．12 8.如图的程序框图的算法思路源于我国古代著名的“孙子剩余定理”，图中的(,)Mod N m n =表示正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，例如(10,3)1Mod =.执行该程序框图，则输出i 的等于（ ）A ．23B ．38C ．44D ．58 9.函数3sin ()1x xf x x -=+的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．10.过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点(,0)(0)F c c ->，作圆2224a x y +=的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若2OP OE OF =-，则双曲线的离心率为（ ）A ．5 C ．2D 11.已知实数,0()lg(),0x e x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，若关于x 的方程2()()0f x f x t ++=有三个不同的实数，则t 的取值范围为（ ）A ．(,2]-∞-B ．[1,)+∞C ．[2,1]-D ．(,2][1,)-∞-+∞12.定义在R 上的函数()f x 满足：()'()1f x f x +>，(0)4f =，则不等式()3x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A ．()0,+∞B ．()(),03,-∞+∞C ．()(),00,-∞+∞D ．()3,+∞二、填空题（每道题5分，共20分）13.在某项测试中，测量结果x 服从正态分布2(1,)N σ，若(0)0.2P x <=，则(02)P x <<=． 14.直线l 与圆22240(3)x y x y a a ++-+=<相交于两点A ，B ，弦AB 的中点为(0,1)，则直线l 的方程为．15.若实数x ，y 满足不等式组00220y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪--≥⎩，则11y w x -=+的取值范围是．16.已知正方体的1111ABCD A BC D -棱长为2，点M ，N 分别是棱BC 、11C D 的中点，点P 在平面1111A B C D 内，点Q 在线段1A N 上，若PM =则PQ 长度的最小值为．三、解答题17.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为5. （1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由； 下面的临界值表供参考：（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++）18.ABC ∆中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(cos ,cos )m B C = ，(2,)n a c b =+，且m n ⊥ .（1）求角B 的大小；（2）若7b =，8a c +=，求ABC ∆的面积.19.某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）.已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间[2,4]的有8人.（1）求直方图中a 的值及甲班学生每天平均学习时间在区间(10,12]的人数；（2）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.20.在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，//AD BC ，90BAD ∠= ，AB =1BC =，13AD AA ==.（1）证明：1AC B D ⊥；（2）求直线11B C 与平面1ACD 所成角的正弦值.21.已知焦点在x 轴上的椭圆，其焦距为（1）求椭圆C 的方程；（2）O 是坐标原点，直线l ：1(0)y kx k =+>与椭圆C 交于不同的A 、B 两点，求AOB ∆面积的最大值.22.已知函数21()ln (0)2f x x a x a =->. （1）若2a =，求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程；（2）若()f x 在区间(1,)e 上恰有两个零点，求a 的取值范围.2017-2018学年山西省大同市高二6月月考数学（理）试题答案一、选择题1-5: CADDD 6-10: CBABB 11、12：AA二、填空题13. 0.6 14. 10x y -+= 15. 1[,1)2-16. 15- 三、解答题17.（1）列联表补充如下：（2）∵2250(2015105)30202525K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯8.3337.879≈>， ∴有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关. 18.（1）∵m n ⊥，∴cos (2)cos 0B a c C b ⋅++⋅=， ∴cos (2sin sin )cos sin 0B A C C B ⋅++⋅=，∴2cos sin (sin cos cos sin )B A C B C B =-⋅+⋅sin()sin B C A =-+=-， ∴1cos 2B =-，∴23B π=. （2）根据余弦定理可知2222cos b a c ac B =+-，∴2249a c ac =++， 又因为8a c +=，∴2()64a c +=，∴22264a c ac ++=，∴15ac =，则1sin 2S ac B =⋅=19.（1）由直方图知，(0.1500.1250.1000.0875)21a ++++⨯=，解得0.0375a =， 因为甲班学习时间在区间[2,4]的有8人， 所以甲班的学生人数为8400.2=，所以甲、乙两班人数均为40人，所以甲班学习时间在区间(10,12]的人数为400.037523⨯⨯=（人）. （2）乙班学习时间在区间(10,12]的人数为400.0524⨯⨯=（人）. 由（1）知甲班学习时间在区间(10,12]的人数为3人，在两班中学习时间大于10个小时的同学共7人，ξ的所有可能取值为0，1，2，3.()0434471035C C P C ξ===，()133********C C P C ξ===，()22344718235C C P C ξ===，()3134474335C C P C ξ===. 所以随机变量ξ的分布列为：0123353535357E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.20.以AB ，AD ，1AA 方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系.则(0,0,0)A ，,0)C ，1B ，(0,3,0)D ，1,3)C ，1(0,3,3)D ，（1）∴)AC =，()13B D =- ，∴10AC B D ⋅=，∴1AC B D ⊥.（2）设平面1ACD 的法向量为(,,)m x y z =，)AC =，()10,3,3AD =，则0330y y z +=+=⎪⎩，∴(1,m= ，设直线11B C 与平面1ACD 所成角为θ，∵11(0,1,0)BC = ， ∴1111sin B C m B C mθ⋅==11B C 与平面1ACD 所成角的正弦值为7. 21.（1）∵焦点在x 轴上，∴设椭圆的方程为22221(0,0)x y a b a b+=>>，由题意得2a =，2c =，∴a =c =222321b a c =-=-=，∴所求椭圆的方程为2213x y +=.（2）由22131x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩整理得()221360(0)k x kx k ++=>，设()11,A x y ，()22,B x y ，则12613k x k =-+，20x =，∴122613k AB x k=-=+2613k k =+， 又O 到AB的距离d ==，216213k S AB d k =⋅=+2313k k =≤=+（当且仅当13k k =即k =. 22.（1）由已知得()'af x x x=-， 若2a =时，有()'1121f =-=-，()112f =， ∴在()()1,1f 处的切线方程为：()112y x -=--，化简得2230x y +-=. （2）由（1）知()('x x f x x=，因为0a >且0x >，令()'0f x =，得x =所以当(x ∈时，有()'0f x <，则(是函数()f x 的单调递减区间；当)x ∈+∞时，有()'0f x >，则)+∞是函数()f x 的单调递增区间.若()f x 在区间()1,e 上恰有两个零点，只需()()1000f ffe >⎧⎪⎪<⎨⎪>⎪⎩，即22102ln 02202ae a e a e a ⎧>⎪⎪⎪-<⇒<<⎨⎪⎪->⎪⎩，所以当22e e a <<时，()f x 在区间()1,e 上恰有两个零点.。
山西大学附属中学2017-2018学年高二数学下学期3月月考试题 文
山西大学附属中学2017-2018学年高二数学下学期3月月考试题文考查内容：必修二 选修1-1一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求）1. 若直线1x =的倾斜角为α，则α（ ）A.等于0B.等于4πC.等于2πD.不存在2．函数x x y ln =的导数为（ ）A ．xB ．x ln 1+C ．x x ln 1+D ．1 3.已知a R ∈，那么“直线1y ax =-与42y ax =-+垂直”是“12a =”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件4.设n m 、是不同的直线，βα、是不同的平面，有以下四个命题： ①若βα⊥，α//m ，则β⊥m ②若α⊥m ，α⊥n ，则n m // ③若α⊥m ，n m ⊥，则α//n ④若α⊥n ，β⊥n ，则αβ// .其中真命题的序号为（ ）A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④5．若直线4:=+ny mx l 和圆4:22=+y x O 没有交点，则过点),(n m 的直线与椭圆14922=+y x 的交点个数为（ ） A.0个 B.至多一个 C.1个 D.2个6.焦点为()6,0±且与双曲线1222=-y x 有相同渐近线的双曲线方程是( ) A.1241222=-y x B.1241222=-x y C.1122422=-x y D.1122422=-y x 7．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所成的角的余弦值为（ ）A ．15 C D ．358．椭圆2212516x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，弦AB 过1F ，若2ABF ∆的内切圆的周长为2π， ,A B 两点的坐标分别为()11,x y ， ()22,x y ，则21y y -=（ ）A.35 B ．310C ．320 D ．359.已知平面区域()430,|352501x y D x y x y x ⎧-+≤⎫⎧⎪⎪⎪=+-≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪≥⎩⎩⎭，2yZ x =+.若命题“(),,x y D Z m ∀∈≥”为真命题，则实数m 的最大值为（ ） A.2215 B. 27 C. 13 D. 1410．一个几何的三视图如图所示，则表面积为（ ）A. 18+18+12+C. 18+12+D. 9+11.如图所示正方体1111ABCD A B C D -设Ｍ是底面正方形ABCD 内的一个动点，且满足直线1C D 与直线1C Ｍ所成的角等于30, 则以下说法正确的是（ ） A.点Ｍ的轨迹是圆的一部分B. 点Ｍ的轨迹是双曲线的一部分C. 点Ｍ的轨迹是椭圆的一部分D. 点Ｍ的轨迹是抛物线的一部分 12.如图，在三棱锥B ACD - 中，3ABC ABD DBC ∠∠=∠=π=，3,2AB BC BD ===，则三棱锥B ACD -的外接球的表面积为（ ）A ．192πB ．19π CD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．命题“若20x x -≥，则2x >”的否命题是__________.14. 已知ABC ∆在斜二测画法下的平面直观图,A B C A B C ∆∆''''''是边长为a 的正三角形，那么在原ABC ∆的面积为__________.15.已知抛物线24y x =的准线与双曲线22214x y a -=交于,A B 两点，点F 为抛物线的交点，若FAB ∆为正三角形，则双曲线的离心率是 ．16.已知直线()():21440l m x m y m ++-+-=上总存在点M ，使得过M 点作的圆C ： 222430x y x y ++-+=的两条切线互相垂直，则实数m 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17. （本小题满分10分）命题:p 方程()2221mx m y +-=表示双曲线；命题:q 不等式()()21120m x m x -+-+>的解集是R . p q ∧为假， p q ∨为真，求m 的取值范围.18．（本题满分12分）已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点． (1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程．19．（本小题满分12分）已知曲线3:()C f x x x =- （1）求曲线C 在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）求与直线53y x =+平行的曲线C 的切线方程． 20．（本小题满分12分）在三棱柱111ABC A B C -中，12AB BC CA AA ====，侧棱1AA ⊥平面ABC ，且D ，E 分别是棱11A B ，1AA 的中点，点F 在棱AB 上，且14AF AB =． （1）求证：//EF 平面1BDC ； （2）求三棱锥1D BEC -的体积．21．（本题满分12分）（1（2）若过点(C -的直线l 与椭圆相交于不同的两点B A ,，试问在x 轴上是否存在点M ，使5MA MB ⋅+k 无关的常数？若存在，求出点M 的坐标；若22. （本题满分12分）已知函数()(1)ln ,af x a x x x=++-其中.a R ∈（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若在[]1,e 上存在0x ，使得0()0f x <成立，求a 的取值范围.文科数学评分细则考查内容：必修二 选修1-1一．选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）C B BD D B C B B B C A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若20x x -<，则2x ≤215.3 16.210m -≤≤ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）17. （本小题满分10分）解：p 真 ()20m m -< 02m <<，q 真 1m =或1{m >∆< 19m << ∴19m ≤< p 真q 假 01m << p 假q 真 29m ≤< ∴m 范围为{|0129}m m m <<≤<或18．（本题满分12分）解析:(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0,4)，半径为4．设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x,2－y )．由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝2．由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2．…… 6分 (2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM ．因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为x ＋3y －8＝0．…… 12分19．（本小题满分12分） 解析:（1），，求导数得，∴切线的斜率为， ∴所求切线方程为，即．…… 6分（2）设与直线平行的切线的切点为，则切线的斜率为． 又∵所求切线与直线平行，∴， 解得，代入曲线方程得切点为或，∴所求切线方程为或，即或．……………12分20．（本小题满分12分） 解：（1）设O 为AB 的中点，连结1A O ，∵14AF AB =，O 为AB 的中点，∴F 为AO 的中点，又∵E 为1AA 的中点，∴1//EF A O ，又∵D 为11A B 的中点，O 为AB 的中点，∴1A D OB =，又∵1//A D OB ，∴四边形1A DBO 为平行四边形，∴1//A O BD ，又∵1//EF A O ，∴//EF BD ，又∵EF ⊄平面1DBC ，BD ⊂平面1DBC ，∴//EF 平面1DBC ；…… 6分（2）∵12AB BC CA AA ====，D ，E 分别为11A B ，1AA 的中点，14A F AB =，∴1C D ⊥面11ABB A ，而11D BEC C BDE V V --=，1111BDE ABA B BDB ABE A DE S S S S S ∆∆∆∆=---1113222*********=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=，∵1C D =，∴111113332D BEC C BDE BDE V V S C D --∆==⋅=⨯=．…… 12分 21．（本题满分12分）解：（13c a =，∴221b =. …… 1分又椭圆过点（1）…… 2分…… 4分∴椭圆方程为22155x y +=，即22x 3y 5+=. …… 5分 ，使5MA MB 3k 1⋅++. …… 6分m,0）,使5MA MB ⋅+k 无关的常数，7分 2211…… 8分∵1MA (x m,y ),MB (x =-=-∴125MA MB (x m)(x 3k 1⋅+=-+…… 9分=()()()()2121221131x m x m k x x k --+++++=()()()2222121225131k x x k mxx m k k ++-+++++=()()22222222235651313131k k k k m m k k k k --++-++++++=22222263k mk m k m -+++ …… 10分…… 11分使5MA MB ⋅+K 无关的常数. …… 12分：(1).22221(1)(1)()()1,0a a x a x a x x a f x x x x x x ++++++'=++==> ………………2分当0a ≥时，在(0,)x ∈+∞上()0,f x '>()f x 在(0,)+∞上单调递增；………………4分 当0a <时，在(0,-)x a ∈上()0f x '<；在(,)x a ∈-+∞上()0f x '>；所以()f x 在(0,-)a 上单调递减，在(,)a -+∞上单调递增.综上所述，当0a ≥时，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；当0a <时，()f x 的单调递减区间为(0,-)a ，单调递增区间为(,)a -+∞.………………6分(2) 若在[]1,e 上存在0x ，使得0()0f x <成立，则()f x 在[]1,e 上的最小值小于0.………………8分①当1a -≤，即1a ≥-时，由(1)可知()f x 在[]1,e 上单调递增，()f x 在[]1,e 上的最小值为(1)f ，由(1)10f a =-<，可得1a >………………9分②当a e -≥，即a e ≤-时，由(1)可知()f x 在[]1,e 上单调递减，()f x 在[]1,e 上的最小值为()f e ，由()(1)0a f e a e e =++-<，可得(1)1e e a e +<--………………10分 ③当1a e <-<，即1e a -<<-时，由(1)可知()f x 在(1,)a -上单调递减，在(,)a e -上单调递增，()f x 在[]1,e 上的最小值为()(1)ln()1f a a a a -=+--+， 因为0l n a <-<，所以(1)(1)ln()0a a a +<+-<，即()(1)l n ()1112a aaa a +--+>+-+>， 即()2f a ->，不满足题意，舍去. ………………11分 综上所述，实数a 的取值范围为(1)(,)(1,)1e e e +-∞-⋃+∞-.………………12分。
2017-2018年山西省大同一中高二(下)5月月考数学试卷(文科)(解析版)
2017-2018学年山西省大同一中高二（下）5月月考数学试卷（文科）一、选择题（每道题5分，共60分）1．（5分）设集合M＝{x|x+1＞0}，N＝{x|x﹣2＜0}，则M∩N＝（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，2）C．（﹣1，2）D．[﹣1，2]2．（5分）若将复数表示为a+bi（a，b∈R，i是虚数单位）的形式，则的值为（）A．﹣2B．C．2D．3．（5分）若a＝20.5，b＝logπ3，c＝log20.5，则（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞b＞c4．（5分）给出下列3个命题：p1：∃x∈R，2sin x+2cos x＝3+|x|．p2：“x≠1或y≠3”是“xy≠3”的必要不充分条件．p3：若lga+lgb＝0，则a+b≥2．那么，下列命题为真命题的是（）A．p1∧p2B．p1∨（¬p3）C．p2∧p3D．（￢p2）∧p3 5．（5分）已知函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（x）在区间（﹣1，0）上单调递增，若实数a满足f（a）﹣f（1﹣a）≤0，则实数a的取值范围是（）A．[，+∞）B．（﹣∞，]C．（0，]D．（0，）6．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中正视图由矩形和等腰直角三角形组成，侧视图由半圆和等腰直角三角形组成，俯视图的实线部分为正方形，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．4（π+1）7．（5分）如图的程序框图的算法思路源于我国古代著名的“孙子剩余定理”，图中的Mod （N，m）＝n表示正整数N除以正整数m后的余数为n，例如Mod（10，3）＝1．执行该程序框图，则输出i的等于（）A．23B．38C．44D．588．（5分）已知M（3，0）是圆x2+y2﹣8x﹣2y+10＝0内一点，过M点的最长弦和最短弦所在直线方程分（）A．x﹣y﹣3＝0，x+y﹣3＝0B．x﹣y﹣3＝0，x﹣y﹣3＝0C．x+y﹣3＝0，x﹣y﹣3＝0D．x+y﹣3＝0，x﹣y﹣3＝09．（5分）函数的部分图象大致是（）A．B．C．D．10．（5分）过双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0），作圆x2+y2＝的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若＝2﹣，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）＝1，且f（x）的导数f′（x）＞，则不等式f（x2）＜的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）D．（﹣1，1）12．（5分）已知函数f（x）＝，若关于x的方程f2（x）+f（x）+t＝0有三个不同的实根，则t的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．[1，+∞）C．[﹣2，1]D．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）二、填空题（每道题5分，共20分）13．（5分）若函数f（x）＝4sin5ax﹣4cos5ax的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则实数a的值为．14．（5分）直线l与圆x2+y2+2x﹣4y+a＝0（a＜3）相交于两点A，B，弦AB的中点为（0，1），则直线l的方程为．15．（5分）实数x，y满足不等式组则的范围．16．（5分）下列四个命题：①圆（x+2）2+（y+1）2＝4与直线x﹣2y＝0相交，所得弦长为2；②直线y＝kx与圆（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝1恒有公共点；③若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为108π；④若棱长为的正四面体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为．其中，正确命题的序号为．写出所有正确命的序号）三、解答题17．（10分）已知集合A是函数y＝lg（20+8x﹣x2）的定义域，集合是不等式x2﹣2x+1﹣a2≥0（a＞0）的解集，p：x∈A，q：x∈B．（1）若A∩B＝∅，求a的取值范围；（2）若¬P是q的充分不必要条件，求a的取值范围．18．（12分）△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝（cos B，cos C），＝（2a+c，b），且⊥．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b＝7，a+c＝8，求△ABC的面积．19．（12分）我校数学老师这学期分别用A，B两种不同的教学方式试验高一甲、乙两个班（人数均为60人，入学数学平均分数和优秀率都相同，勤奋程度和自觉性都一样）．现随机抽取甲、乙两班各20名的数学期末考试成绩，得到茎叶图：（1）依茎叶图判断哪个班的平均分高？（2）现从甲班数学成绩不得低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为86分的同学至少有一个被抽中的概率；（3）学校规定：成绩不低于85分的为优秀，请填写下面的2×2列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩优秀与教学方式有关？”下面临界值表仅供参考：（参考公式：其中n＝a+b+c+d）20．（12分）如图（1）所示，已知四边形SBCD是由直角△SAB和直角梯形ABCD拼接而成的，其中∠SAB＝∠SDC＝90°，且点A为线段SD的中点，AD＝2DC＝1，AB＝SD，现将△SAB沿AB进行翻折，使得二面角S﹣AB﹣C的大小为90°，得到的图形如图（2）所示，连接SC，点E、F分别在线段SB、SC上．（Ⅰ）证明：BD⊥AF；（Ⅱ）若三棱锥B﹣AEC的体积是四棱锥S﹣ABCD体积的，求点E到平面ABCD的距离．21．（12分）已知椭圆C：过点M（0，2），离心率是．（1）求椭圆C的方程．（2）直线l过点N（2，0）且交椭圆C于A、B两点，若∠AOB＝90°（其中O为坐标原点），求直线l的方程．22．（12分）已知函数．（1）若a＝2，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）若f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，求a的取值范围．2017-2018学年山西省大同一中高二（下）5月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每道题5分，共60分）1．（5分）设集合M＝{x|x+1＞0}，N＝{x|x﹣2＜0}，则M∩N＝（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，2）C．（﹣1，2）D．[﹣1，2]【解答】解：∵M＝{x|x+1＞0}＝{x|x＞﹣1}，N＝{x|x﹣2＜0}＝{x|x＜2}，∴M∩N＝{x|﹣1＜x＜2}＝（﹣1，2）．故选：C．2．（5分）若将复数表示为a+bi（a，b∈R，i是虚数单位）的形式，则的值为（）A．﹣2B．C．2D．【解答】解：＝1﹣2i，则a＝1，b＝﹣2；则＝﹣2，故选：A．3．（5分）若a＝20.5，b＝logπ3，c＝log20.5，则（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞b＞c【解答】解：∵a＝20.5＞1，b＝logπ3∈（0，1），c＝log20.5＜0，则a＞b＞c．故选：D．4．（5分）给出下列3个命题：p1：∃x∈R，2sin x+2cos x＝3+|x|．p2：“x≠1或y≠3”是“xy≠3”的必要不充分条件．p3：若lga+lgb＝0，则a+b≥2．那么，下列命题为真命题的是（）A．p1∧p2B．p1∨（¬p3）C．p2∧p3D．（￢p2）∧p3【解答】解：2sin x+2cos x＝2sin（x+）≤2，而3+|x|≥3＞2，则∃x∈R，2sin x+2cos x＝3+|x|错误．故p1为假命题．若当x＝﹣1，y＝﹣3时，满足xy＝3，但x＝1且y＝3不成立，反之当x＝1且y＝3时，xy＝3，即xy＝3是x＝1且y＝﹣3的必要不充分条件，即“x≠1或y≠3”是“xy≠3”的必要不充分条件，即命题p2是真命题，若lga+lgb＝0得lgab＝0，得ab＝1，且a＞0，b＞0，则a+b≥2＝1，当且仅当a＝b＝1时，取等号，即命题p3为真命题．故是p2∧p3真命题，故选：C．5．（5分）已知函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（x）在区间（﹣1，0）上单调递增，若实数a满足f（a）﹣f（1﹣a）≤0，则实数a的取值范围是（）A．[，+∞）B．（﹣∞，]C．（0，]D．（0，）【解答】解：根据题意，函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（x）在区间（﹣1，0）上单调递增，则f（x）在（﹣1，1）上是增函数，f（a）﹣f（1﹣a）≤0⇒f（a）≤f（1﹣a）⇒，解可得：0＜a≤，即a的取值范围为（0，]故选：C．6．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中正视图由矩形和等腰直角三角形组成，侧视图由半圆和等腰直角三角形组成，俯视图的实线部分为正方形，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．4（π+1）【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上半部分为半圆柱，下半部分为正四棱锥，圆柱的底面半径为1，高为2，棱锥的底面边长为2，高为1，则斜高为．∴该几何体的表面积为．故选：A．7．（5分）如图的程序框图的算法思路源于我国古代著名的“孙子剩余定理”，图中的Mod （N，m）＝n表示正整数N除以正整数m后的余数为n，例如Mod（10，3）＝1．执行该程序框图，则输出i的等于（）A．23B．38C．44D．58【解答】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件：①被3除余2，②被5除余3，③被7除余2，最小两位数，故输出的n为23，故选：A．8．（5分）已知M（3，0）是圆x2+y2﹣8x﹣2y+10＝0内一点，过M点的最长弦和最短弦所在直线方程分（）A．x﹣y﹣3＝0，x+y﹣3＝0B．x﹣y﹣3＝0，x﹣y﹣3＝0C．x+y﹣3＝0，x﹣y﹣3＝0D．x+y﹣3＝0，x﹣y﹣3＝0【解答】解：圆x2+y2﹣8x﹣2y+10＝0的圆心C（4，1），M（3，0）是圆x2+y2﹣8x﹣2y+10＝0内一点，∴过M点的最长弦所在直线方程为：，整理，得：x﹣y﹣3＝0．k CM＝＝1，∴最短弦所在直线的斜率k＝﹣1，∴最短弦所在直线方程为y＝﹣（x﹣3），即x+y﹣3＝0．故选：A．9．（5分）函数的部分图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：f（﹣x）＝＝﹣f（x），∴f（x）是奇函数，f（x）的图象关于原点对称，排除C；f（）＝＜0，排除A，当x＞0时，f（x）＝，f′（x）＝，∴当x∈（，π）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（，π）上单调递增，排除D，故选：B．10．（5分）过双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0），作圆x2+y2＝的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若＝2﹣，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设右焦点为F′，则∵＝2﹣，∴+＝2，∴E是PF的中点，∴PF′＝2OE＝a，∴PF＝3a，∵OE⊥PF，∴PF′⊥PF，∴（3a）2+a2＝4c2，∴e＝＝，故选：C．11．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）＝1，且f（x）的导数f′（x）＞，则不等式f（x2）＜的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）D．（﹣1，1）【解答】解：根据题意，设g（x）＝f（x）﹣，其导数g′（x）＝f′（x）﹣＞0，则函数g（x）在R上为增函数，又由f（1）＝1，则g（1）＝f（1）﹣＝，不等式f（x2）＜⇒f（x2）﹣＜⇒g（x2）＜g（1），又由g（x）在R上为增函数，则x2＜1，解可得：﹣1＜x＜1，即不等式的解集为（﹣1，1）；故选：D．12．（5分）已知函数f（x）＝，若关于x的方程f2（x）+f（x）+t＝0有三个不同的实根，则t的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．[1，+∞）C．[﹣2，1]D．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）【解答】解：设m＝f（x），作出函数f（x）的图象如图：则m≥1时，m＝f（x）有两个根，当m＜1时，m＝f（x）有1个根，若关于x的方程f2（x）+f（x）+t＝0有三个不同的实根，则等价为m2+m+t＝0有2个不同的实根，且m≥1或m＜1，当m＝1时，t＝﹣2，此时由m2+m﹣2＝0得m＝1或m＝﹣2，满足f（x）＝1有两个根，f（x）＝﹣2有1个根，满足条件当m≠1时，设h（m）＝m2+m+t，则h（1）＜0即可，即1+1+t＜0，则t＜﹣2，综上t≤﹣2，故选：A．二、填空题（每道题5分，共20分）13．（5分）若函数f（x）＝4sin5ax﹣4cos5ax的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则实数a的值为±．【解答】解：∵函数f（x）＝4sin5ax﹣4cos5ax＝8（sin5ax﹣cos5ax）＝8sin（5ax﹣）的图象的相邻两条对称轴之间的距离为||＝，∴a＝±，故答案为：．14．（5分）直线l与圆x2+y2+2x﹣4y+a＝0（a＜3）相交于两点A，B，弦AB的中点为（0，1），则直线l的方程为x﹣y+1＝0．【解答】解：由已知，圆心O（﹣1，2），设直线l的斜率为k，弦AB的中点为P（0，1），PO的斜率为k op，则＝﹣1∵l⊥PO，∴k•k op＝k•（﹣1）＝﹣1∴k＝1由点斜式得直线AB的方程为：y＝x+1故答案为：x﹣y+1＝015．（5分）实数x，y满足不等式组则的范围．【解答】解：约束条件对应的平面区域如下图示：表示可行域内的点（x，y）与点（﹣1，1）连线的斜率，由图可知的取值范围是，故答案为：．16．（5分）下列四个命题：①圆（x+2）2+（y+1）2＝4与直线x﹣2y＝0相交，所得弦长为2；②直线y＝kx与圆（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝1恒有公共点；③若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为108π；④若棱长为的正四面体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为．其中，正确命题的序号为②④．写出所有正确命的序号）【解答】解：①圆心（﹣2，﹣1）在直线x﹣2y＝0上，即直线x﹣2y＝0过圆心，所得弦长为直径4，结论错误；②∵直线y＝kx与圆（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝1横过原点，故恒有公共点正确；③球直径为正方体的对角线长即，故求半径R＝，球表面积为s＝4πR2＝27π，结论错误；由上图可知，AH＝，，∴R＝，∵，∴，∴，结论正确．故答案为：②④三、解答题17．（10分）已知集合A是函数y＝lg（20+8x﹣x2）的定义域，集合是不等式x2﹣2x+1﹣a2≥0（a＞0）的解集，p：x∈A，q：x∈B．（1）若A∩B＝∅，求a的取值范围；（2）若¬P是q的充分不必要条件，求a的取值范围．【解答】解：（1）由题意得A＝{x﹣2＜x＜10}，B＝{x|x≥1+ax或x≤1﹣a}，若A∩B＝ϕ，则必须满足，解得a≥9，所以a额取值范围为a≥9；（2）易得¬p：x≥10或x≤﹣2，¬p是q的充分不必要条件，所以{x|x≥10或x≤﹣2}是B＝{x|x≥1+ax或x≤1﹣a}的真子集，则，其中两个等号不能同时成立，解得0＜a≤3，所以a的取值范围为0＜a≤3．18．（12分）△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝（cos B，cos C），＝（2a+c，b），且⊥．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b＝7，a+c＝8，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，＝（cos B，cos C），＝（2a+c，b），若⊥，则有cos B•（2a+c）+cos C•b＝0，即cos B•（2sin A+sin C）+cos C•sin B＝0变形可得2cos B sin A＝﹣（sin C•cos B+cos C•sin B）＝﹣sin（B+C）＝﹣sin A，解可得，则．（Ⅱ）根据余弦定理可知b2＝a2+c2﹣2ac cos B，即49＝a2+c2+ac，又因为a+c＝8，则有（a+c）2＝64，即a2+c2+2ac＝64，解可得ac＝15，则．19．（12分）我校数学老师这学期分别用A，B两种不同的教学方式试验高一甲、乙两个班（人数均为60人，入学数学平均分数和优秀率都相同，勤奋程度和自觉性都一样）．现随机抽取甲、乙两班各20名的数学期末考试成绩，得到茎叶图：（1）依茎叶图判断哪个班的平均分高？（2）现从甲班数学成绩不得低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为86分的同学至少有一个被抽中的概率；（3）学校规定：成绩不低于85分的为优秀，请填写下面的2×2列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩优秀与教学方式有关？”下面临界值表仅供参考：（参考公式：其中n＝a+b+c+d）【解答】解：（1）甲班数学成绩集中于60﹣90分之间，而乙班数学成绩集中于80﹣100分之间，所以乙班的平均分高﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）（2）记成绩为86分的同学为A，B，其他不低于80分的同学为C，D，E，F“从甲班数学成绩不得低于80分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成的基本事件有：（A，B）（A，C）（A，D）（A，E）（A，F）（B，C）（B，D）（B，E）（B，F）（C，D）（C，E）（C，F）（D，E）（D，F）（E，F）一共15个，“抽到至少有一个86分的同学”所组成的基本事件有：（A，B）（A，C）（A，D）（A，E）（A，F）（B，C）（B，D）（B，E）（B，F）共9个，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）故P＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（3）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∴K2＝≈5.584＞5.024，因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下可以认为成绩优秀与教学方式有关．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）20．（12分）如图（1）所示，已知四边形SBCD是由直角△SAB和直角梯形ABCD拼接而成的，其中∠SAB＝∠SDC＝90°，且点A为线段SD的中点，AD＝2DC＝1，AB＝SD，现将△SAB沿AB进行翻折，使得二面角S﹣AB﹣C的大小为90°，得到的图形如图（2）所示，连接SC，点E、F分别在线段SB、SC上．（Ⅰ）证明：BD⊥AF；（Ⅱ）若三棱锥B﹣AEC的体积是四棱锥S﹣ABCD体积的，求点E到平面ABCD的距离．【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形SBCD是由直角△SAB和直角梯形ABCD拼接而成的，其中∠SAB＝∠SDC＝90°，二面角S﹣AB﹣C的大小为90°，∴SA⊥AD，又SA⊥AB，AB∩AD＝A，∴SA⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，∴SA⊥BD，在直角梯形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AD＝2CD＝1，AB＝2，∴tan∠ABD＝tan∠CAD＝，又∠DAC+∠BAC＝90°，∴∠ABD+∠BAC＝90°，即AC⊥BD，又AC∩SA＝A，∴BD⊥平面SAC，∵AF⊂平面SAC，∴BD⊥AF．解：（Ⅱ）设点E到平面ABCD的距离为h，∵V B﹣AEC＝V E﹣ABC，且＝，∴＝＝＝，解得h＝，∴点E到平面ABCD的距离为．21．（12分）已知椭圆C：过点M（0，2），离心率是．（1）求椭圆C的方程．（2）直线l过点N（2，0）且交椭圆C于A、B两点，若∠AOB＝90°（其中O为坐标原点），求直线l的方程．【解答】解：（1）将M（0，2）代入方程可得b2＝4，离心率，∴a2＝12，∴C的方程为：．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l方程为y＝k（x﹣2），则，，∵∠AOB＝90°，∴，由，可得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣12＝0，∴，，＝k2[x1x2﹣2（x1+x2）+4]＝，∵x1x2+y1y2＝0，∴，∴4k2﹣12＝0，∴．∴直线l 的方程为或．22．（12分）已知函数．（1）若a＝2，求f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（2）若f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，求a的取值范围．【解答】解：（1）由已知得f′（x）＝x ﹣，若a＝2时，有f′（1）＝1﹣2＝﹣1，f（1）＝，∴在（1，f（1））处的切线方程为：y ﹣＝﹣（x﹣1），化简得2x+2y﹣3＝0；（2）由（1）知f′（x ）＝，因为a＞0且x＞0，令f′（x）＝0，得x ＝，所以当x∈（0，）时，有f′（x）＜0，则（0，）是函数f（x）的单调递减区间，当x∈（，+∞）时，有f′（x）＞0，则（，+∞）是函数f（x）的单调递增区间，若f（x）在区间（1，e ）上恰有两个零点，只需，即，解得：e＜a ＜；所以当e＜a ＜时，f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点．第21页（共21页）。
山西省大同市第一中学2017-2018学年高二5月月考数学(理)---精校解析Word版
设集合，则（B. C. D.若将复数表示为，是虚数单位的形式，则B. C. D.【解析】故选的展开式中，含的项的系数是（B. C. D.【解析】二项式的通项公式为，所以含的项的系数是，故选D 若，，）B. C. D.与曲线B. C. D.与曲线的交点坐标为和与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积已知函数是定义在上的奇函数，在区间上单调递增，实数满足，则实数B. C. D.【答案】Cf.故答案为：C.B. C. D.【答案】除以正整数，例如执行该程序框图，则输出的等于（B. C. D.B.D.）的奇偶性，在（（=）是奇函数，f（x）的图象关于原点对称，排除当x＞0时，f==∴当x∈（，）时，f′（）在（过双曲线的左焦点的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为（B. C. D.可知点的中点．连结,又.在三角形中．已知实数，若关于的方程有三个不同的实数，则B. C. D.设，作出函数则时，有两个根，当若关于的方程则等价为实数根，且，当时，，此时由，解得或，满足根，有一个根，，则即可，即综上实数的取值范围为定义在上的函数满足：，（其中B.D.，，所以，所以是单调递增函数，因为，所以，又因，即，所以考点：利用导数研究函数的单调性．在某项测试中，测量结果服从正态分布，则【答案】【解析】由题设可知是对称轴，依据正太分布概型的对称性质可得直线与圆相交于两点，的中点为，则直线的方程为【答案】，直线的斜率为的中点为，的斜率为，，所以由点斜式得。
若实数满足不等式组，则【答案】【解析】解：因为实数满足表示的为区域内的点到（1,0）（0,0）得到结论。
已知正方体的棱长为，点，分别是棱、的中点，点在平面内，在线段上，若，则长度的最小值为【答案】【解析】分析：取中点，则面，即，可得点在以内的半圆上，即的距离减去半径即为长度的最小值，作，即可求得长度的最小值详解：如图，取中点，则面，即，正方体的棱长为在以为半径的位于平面内的半圆上，即到长度的于的面积为.长度的最小值为故答案为点睛：本题考查线段长的最小值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班已知在全部人抽到喜爱打篮球的学生的概率为.）是否有））列联表见解析；（2）有人抽到喜爱打篮球的学生的概率为，即可将列联表补充完）根据公式求出，与临界值比较，即可得到结论．）列联表补充如下：的把握认为喜爱打篮球与性别有关列联表；②根据公式，计算的值；③查值比较的值与临界值的大中，三个内角、、、，，且.）求角，的面积(1)..【解析】试题分析：由向量数量积的坐标计算公式可得若，，变形可得，∴.，∴，∴，∴，∴，点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题当条件中同时出现及、中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余同，甲班学生每天平均学习时间在区间人的值及甲班学生每天平均学习时间在区间个小时的学生中任取人参加测试，设，求(1)分布列见解析；【解析】试题分析：（I）由频率分布直方图中频率之和即各小矩形面积之和为列出方程，可求的有人，计算甲班的学生人数为）先计算乙班学习时间在区间的人数为两班中学习时间大于人，分别计算从这人中选取）由直方图知，，解得人，所以甲班的学生人数为的人数为（人）的人数为）知甲班学习时间在区间人，，，所以随机变量的分布列为：考点：1.频率分布直方图；2.用样本估计总体；中，，，，.）证明：）求直线与平面所成角的正弦值(1)证明见解析..【解析】试题分析：方向分别为轴、轴、的法向量为设直线与平面所成角为直线与平面所成角的正弦值为轴上的椭圆，其焦距为，长轴长为.）求椭圆是坐标原点，直线：交于不同的两点，求面积的最大值(1)【解析】试题分析：焦点在轴上，设椭圆的方程为，由题意得）由整理得，设，则，表示弦长到的距离则试题解析：∴设椭圆的方程为由题意得，∴∴所求椭圆的方程为整理得，到的距离（当且仅当即时取等号）∴所求面积的最大值为点睛：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次的根与系数、点到直线的距已知函数.，求在处的切线方程；在区间(1)..【解析】试题分析：求出，利用导数的几何意义求切线斜率为，利用在区间时，有，处的切线方程为：，化简得，且，令，得时，有，则是函数时，有，则是函数在区间，即,时，在区间【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线以及利用导数研究函数零点问题，属于难题求出处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线处的切线与处导数不存在，切线方程为2）由点斜式求得切线方程。
2017-2018学年上海市上海交通大学附属中学高二下学期5月月考数学试卷含详解
交大附中2017—2018学年第二学期高二数学月考二试卷一、填空题（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分）1.掷一颗均匀的骰子，出现奇数点概率为p ，则6p =__________2.已知(13)n x +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n=_____________.3.已知向量()1,1,1m λ=-，()2,2,3n λ=-，若()()m n m n +⊥- ，则λ=__________4.在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A B 与1B C所成的角大小等于______.5.若球的表面积为36π，则此球的体积与π的比值为__________6.用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）7.三棱柱的五个面所在的平面将空间平分成____________个部分8.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式有_______.9.()()8411x y ++的展开式中22x y 的系数是___________（用数字作答）10.如图，在棱长为10的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在线段1D E上，点P 到直线1CC 的距离的最小值为____________11.四面体ABCD 中，BCD ∆为等腰直角三角形，=90BDC ∠︒，6BD =，且60ADB ADC ∠=∠=︒，则异面直线AD 与BC 的距离为_____________12.如图，在ABC ∆中，6AB BC ==，90ABC ∠=︒，若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD DA =，PB BA =，则三棱锥P BCD -的体积的最大值是____________二、选择题（本大题共4个题，每题5分，满分20分）13.一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（）A.1233π+ B.1233π+C.1236π+ D.216π+14.α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题：①如果m n ⊥，m α⊥，//n β，那么αβ⊥；②如果m α⊥，//n α，那么m n ⊥；③如果//m n ，//αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等其中正确的命题的编号为（）A.②③B.①③C.①②D.①②③15.把5本不同的书分给3名同学，每人至少一本，不同的分法有（）A.54B.60C.90D.15016.从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为A.110B.35C.310D.25三、解答题（本大题共5题，满分76分，14+14+14+16+18=76）17.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，110AA =，则异面直线1BC 与1AA 所成角的大小为4π．（1）求线段BC 的长；（2）求该三棱柱的侧面积与体积．18.将边长为1的正方形11AA O O （及其内部）绕直线1OO 旋转一周形成圆柱，如图， AC 长为2π， 11A B 长为6π，其中1B 与C 在平面11AA O O 的同侧.（1）求三棱锥111C O A B -的体积；（2）求异面直线1B C 与1AA 所成的角的大小．19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA C C 边长为8的正方形，6AB =，110BC A B ==（1）求证：1AA ⊥平面ABC ；（2）求二面角111A BC B --的余弦值；（3）证明：在线段1BC 上存在点D ，使得1AD A B ⊥，并求1BDBC 的值．20.教材中指出：当x 很小，n 不太大时，可以用1nx +表示()1nx +的近似值，即()()*11nx nx n N +≈+∈（1），我们把近似值与实际值之差除以实际值的商的绝对值称为“相对近似误差”，一般用字母δ表示，即相对近似误差δ-=近似值实际值实际值（1）利用（1）求出()40.998的近似值，并指出其相对近似误差（相对近似误差保留两位有效数字）（2）若利用（1）式计算2A 的近似值产生的相对近似误差不超过1%，求正实数A 的取值范围；（3）若利用（1）式计算()1.01n的近似值产生的相对近似误差不超过1%，求正整数n 的最大值．(参考对数数值:lg1.010.00432,lg99 1.99563,lg115 2.06069,lg116 2.06445≈≈≈≈)21.用一个平面去截直立放置的圆柱，得圆柱的下半部分如图，其中A 为截面的最低点，B 为截面的最高点，M 为线段AB 中点，P 为截面边界上任意一点，作1AA 垂直圆柱底面于点1A ，1BB 垂直圆柱于底面于点1B ，1PP 垂直圆柱于底面于点1P ，圆柱底面圆心为O ．已知11A B 为底面直径，1P 在以11A B 为直径的圆周上，OM 垂直底面，12AA =，14BB =，112A B =，以O 为原点，1OA 为x 轴正方向，圆柱底面为xOy 平面，OM 为z 轴正方向建立空间直角坐标系，设点(),,P x y z ．（1）求点1P的坐标，并求出x与y之间满足的关系式；（2）三视图是解决立体几何问题时的有效工具，将圆柱下半部分在xOz平面上的投影作为主视图，在xOy 平面上的投影作为俯视图；在方框中作出主视图，并说明理由；再求出左视图所围区域的面积；（3）判断截面的边界是什么曲线，并证明.再指出截面的面积（不需要证明）交大附中2017—2018学年第二学期高二数学月考二试卷一、填空题（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分）1.掷一颗均匀的骰子，出现奇数点概率为p ，则6p =__________【答案】3【分析】由古典概型概率可知，掷一颗均匀的骰子,共出现6种可能,出现奇数的可能有3种,即可求得出现奇数点概率p ,进而求得6p 的值.【详解】掷一颗均匀的骰子,共出现6种可能:1,2,3,4,5,6出现奇数的可能有3种:1,3,5所以出现向上点数的概率为3162p ==所以16632p =⨯=故答案为:3【点睛】本题考查了古典概型概率的简单应用,属于基础题.2.已知(13)nx +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n=_____________.【答案】4【分析】利用通项公式即可得出．【详解】解：（1+3x ）n 的展开式中通项公式：T r +1rn =ð（3x ）r ＝3r rn ðx r ．∵含有x 2的系数是54，∴r ＝2．∴223n =ð54，可得2n =ð6，∴()12n n -=6，n ∈N *．解得n ＝4．故答案为4．【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.已知向量()1,1,1m λ=- ，()2,2,3n λ=- ，若()()m n m n +⊥-，则λ=__________【答案】7【分析】根据空间向量的加法和减法的坐标运算,可求得m n + 和m n -,结合空间向量垂直的坐标关系,即可求得λ的值.【详解】向量()1,1,1m λ=- ,()2,2,3n λ=-则()32,3,4m n λ+=- ,()1,1,2m n -=---因为()()m n m n+⊥- 所以()()0m n m n +⋅-=,代入可得()()32,3,41,1,20λ-⋅---=即23380λ---=,解得7λ=故答案为:7【点睛】本题考查了空间向量加减法的坐标运算,空间向量垂直的坐标运算,属于基础题.4.在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A B 与1B C 所成的角大小等于______.【答案】60°.【分析】连接1A D ，根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义，我们可得1BA D ∠即为异面直线1A B 与1B C 所成的角，连接BD 后，解三角形1BA D 即可得到异面直线1A B 与1B C 所成的角．【详解】连接1A D ，由正方体的几何特征可得：11//A D B C ，则1BA D ∠即为异面直线1A B 与1B C 所成的角或其补角，连接BD ，易得11BD A D A B ==故160BA D ∠=︒故答案为：60︒【点睛】本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义判断出1BA D ∠即为异面直线1A B 与1B C 所成的角或者其补角，是解答本题的关键．5.若球的表面积为36π，则此球的体积与π的比值为__________【答案】36【分析】根据球的表面积,可求得球的半径,进而得球的体积.即可求得球的体积与π的比值.【详解】球的表面积为36π,由球的表面积公式24S R π=可得2364R ππ=,解得3R =由体积公式343V R π=,代入可得343363V ππ=⨯=球的体积与π的比值为3636V πππ==故答案为:36【点睛】本题考查了球的表面积公式与体积公式的用法,属于基础题.6.用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）【答案】1080【详解】41345454A C C A 1080+=【考点】计数原理、排列、组合【名师点睛】计数原理包含分类计数原理（加法）和分步计数原理（乘法），组成四位数至多有一个数字是偶数，包括四位数字有一个是偶数和四位数字全部是奇数两类，利用加法原理计数.7.三棱柱的五个面所在的平面将空间平分成____________个部分【答案】21【分析】3个侧面将空间分成了7个部分,上下底面又将空间分成了上中下三个部分,即可求得分得的所有部分数.【详解】三棱柱有3个侧面,3个侧面将空间分成了7个部分上下底面又将空间分成了上中下三个部分,每个部分都有7个小部分所以三棱柱的五个侧面将空间分成了3721⨯=个部分故答案为:21【点睛】本题考查了空间结构体的特征,需要空间想象能力,属于基础题.8.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式有_______.【答案】36【分析】根据题意，分2步进行分析：先将4项工作分成3组，再将分好的三组全排列，对应3名志愿者，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案.【详解】解：根据题意，先将4项工作分成3组，有246C =种分组方法，将分好的三组全排列，对应3名志愿者，有336A =种情况，则有6×6＝36种不同的安排方式.故答案为：36.【点睛】本题考查分组分配问题，注意题目中“每人至少完成1项，每项工作由1人完成”的要求.9.()()8411x y ++的展开式中22x y 的系数是___________（用数字作答）【答案】168【分析】根据二项式定理展开式,即可求得22x y 的系数.【详解】由二项式定理展开式可知,()81x +展开式中2x 的系数为28C ()41y +展开式中2y 的系数为24C 所以22x y 的系数是2284874316822C C ⨯⨯=⨯=故答案为:168【点睛】本题考查了二项式定理展开式的应用,指定项系数的求法,属于基础题.10.如图，在棱长为10的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在线段1D E 上，点P 到直线1CC 的距离的最小值为____________【答案】【分析】取11B C 的中点F,连接EF 、1ED ,根据线面平行的性质可得1CC 平面1D EF ,作11C M D F ⊥,过M 作MP EF 交1ED 于P ,作1PN CC ⊥,根据四边形1MPNC 为矩形即知得点P 到直线1CC 的距离的最小值为PN ,即1C M 的值.【详解】根据题意,取11B C 的中点F,连接EF 、1ED ;作11C M D F ⊥交1D F 于M ,过M 作MP EF 交1ED 于P ,作1PN CC ⊥,如下图所示:由题意可知,E 、F 分别为BC 、11B C 的中点,所以1CC EF ∥因为1CC ⊂平面1D EF ,而EF ⊂平面1D EF 所以1CC 平面1D EF所以求点P 到直线1CC 的距离的最小值即为异面直线1ED 与1CC 公垂线的长度因为11C M D F ⊥,1PN CC ⊥,且11C M C N ⊥则四边形1MPNC 为矩形所以PN MP ⊥,又因为1PN D F ⊥所以PN ^平面1D EF 即1PN D E⊥所以PN 即为异面直线1ED 与1CC 公垂线因为正方体的棱长为10则1D F ==由等积法可知11111=D C C F C M D F ⨯==所以1=PN C M =故答案为:【点睛】本题考查了空间中异面直线距离的求法,找到异面直线的公垂线是解决此类问题的关键,对线面平行和线面垂直的理解要求较高,属于中档题.11.四面体ABCD 中，BCD ∆为等腰直角三角形，=90BDC ∠︒，6BD =，且60ADB ADC ∠=∠=︒，则异面直线AD 与BC 的距离为_____________【答案】3【分析】画出空间几何体,取BC 中点M,先根据余弦定理求得ADM ∠;连接AM DM 、,作MN AD ⊥交AD 于N,则MN 即为异面直线AD 与BC 的距离.【详解】根据题意,取BC 中点M,连接AM DM 、,作MN AD ⊥交AD 于N,空间几何图形如下图所示:6BD CD ==,=90BDC ∠︒所以BC =因为M 为BC 中点所以,AM BC DM BC ⊥⊥,且DM AM M⋂=则BC ⊥平面ADM ,所以BC MN ⊥且BM DM CM ===,设AD x=因为60ADB ADC ∠=∠=︒所以由余弦定理可得2222cos AB AD BD AD BD ADB=+-⨯⨯⨯∠2222cos AC AD CD AD CD ADC=+-⨯⨯⨯∠代入可解得222636AB AC x x ==-+在Rt AMB ∆中,可得2222618AM AB BM x x =-=-+在ADM ∆中,由余弦定理可得222cos 2AD DM AM ADM AD DM--∠=⨯⨯代入可得2218618cos 2x x x ADM +--+∠=所以2sin 2ADM ∠==而MN AD⊥所以MN 即为异面直线AD与BC 的距离则2sin 32MN DM ADM =⨯∠==故答案为:3【点睛】本题考查了异面直线的距离问题,找出异面直线的公垂线是解决问题的关键,综合性较强,属于中档题.12.如图，在ABC ∆中，6AB BC ==，90ABC ∠=︒，若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD DA =，PB BA=，则三棱锥P BCD -的体积的最大值是____________【答案】【分析】根据题意,AD x =,表示出BCD ∆的面积,进而表示出三棱锥P BCD -的体积,根据不等式成立的条件及二次函数的最值即可求得三棱锥P BCD -的体积的最大值.【详解】因为6AB BC ==,90ABC∠=︒所以AC =,45ACB CAB ∠=∠=︒设AD x=,则,DP x DC x ==,P 到平面BCD 的距离为h ,则h PD x≤=则1sin 2BCD S BC DC ACB ∆=⨯⨯⨯∠()1236326222x -=⨯⨯⨯=则13P BCD BCD V S h -∆=⨯⨯1363232x -≤⨯⨯(222x ≤--+所以当x =,三棱锥P BCD -的体积的最大值为故答案为:【点睛】本题考查了空间几何体的综合应用,几何体体积的最值求法,分析出各线段的关系是解决此类问题的关键,属于中档题.二、选择题（本大题共4个题，每题5分，满分20分）13.一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（）A.1233π+ B.1233+C.136+D.16+【答案】C【详解】试卷分析：由三视图可知,上面是半径为22的半球,体积为31142326V ππ=⨯⨯=,下面是底面积为1,高为1的四棱锥,体积2111133V =⨯⨯=,故选C.【考点】根据三视图求几何体的体积【名师点睛】本题主要考查三视图及几何体的体积计算，本题涉及正四棱锥及球的体积计算，综合性较强，较全面地考查了考生的识图用图能力、空间想象能力、运算求解能力等.14.α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题：①如果m n ⊥，m α⊥，//n β，那么αβ⊥；②如果m α⊥，//n α，那么m n ⊥；③如果//m n ，//αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等其中正确的命题的编号为（）A.②③B.①③C.①②D.①②③【答案】A【分析】对于①根据线面垂直与线面平行的关系即可判断.对于②根据线面垂直的判定定理及性质即可判断.对于③根据平行线的传递性及线面夹角的范围即可判断.【详解】对于①如果m n ⊥,m α⊥,//n β,则α与β可以平行,可以相交,也可以垂直,所以①错误.对于②根据线面垂直的性质及线面平行的性质,可知m n ⊥成立.对于③由平行线的传递性及线面夹角的范围可知,如果//m n ,//αβ,那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等,所以③正确.综上可知,正确的为②③故选:A【点睛】本题考查了空间中线面平行、线面垂直的性质及判定,直线与直线的位置关系的应用,对空间想象能力要求较高,属于中档题.15.把5本不同的书分给3名同学，每人至少一本，不同的分法有（）A.54 B.60 C.90 D.150【答案】D【分析】先将5本不同的书分成3组,有两种情况:1、1、3和1、2、2.再将三组全排列分给3名同学即可.【详解】将5本不同的书分成3组,有两种情况:1、1、3和1、2、2.当分组为1、1、3时,除去重复的,共有11354322541102C C C A ⨯⨯==组当分组为1、2、2时,除去重复的,共有1225422243512152C C C A ⨯⨯⨯==组将分好的三组全排列后,总的不同分法有()331015150A +=种故答案为:D【点睛】本题考查了排列组合的实际应用,分类与分步计数原理的应用,注意除去重复的排列,属于中档题.16.从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为A.110 B.35 C.310 D.25【答案】D【详解】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数n=5×5=25，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共有m=10个基本事件，∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p=102.255=故答案为D ．三、解答题（本大题共5题，满分76分，14+14+14+16+18=76）17.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，110AA =，则异面直线1BC 与1AA 所成角的大小为4π．（1）求线段BC 的长；（2）求该三棱柱的侧面积与体积．【答案】（1）10BC =（2）300S =侧,1112503ABC A B C V -=【分析】（1）根据正三棱柱的线面关系,可知异面直线1BC 与1AA 所成角即为1BC 与1CC 所成角,由三角函数关系即可求得线段BC 的长;（2）根据BC 与1CC 的长即可求得侧面积,由棱柱的体积公式可得棱柱的体积.【详解】（1）因为111ABC A B C -为正三棱柱所以111,AA CC CC BC ⊥∥所以异面直线1BC 与1AA 所成角即为1BC 与1CC 所成角110AA =,异面直线1BC 与1CC 所成角的大小为4π所以11tan 10tan104BC CC BC C π=∠=⨯=即10BC =（2）由（1）可知10BC AB AC ===则侧面积1=331010300S BC CC ⨯⨯=⨯⨯=侧1sin 25323ABC S AB AC π∆=⨯⨯⨯=则1111253102503ABC ABC A B C S C V C ∆-===⨯【点睛】本题考查了异面直线的夹角问题,三棱柱的侧面积及体积求法,属于基础题.18.将边长为1的正方形11AA O O （及其内部）绕直线1OO 旋转一周形成圆柱，如图， AC 长为2π， 11A B 长为6π，其中1B 与C 在平面11AA O O 的同侧.（1）求三棱锥111C O A B -的体积；（2）求异面直线1B C 与1AA 所成的角的大小．【答案】（1）112（2）4π【分析】（1）根据 11A B 长为6π及正方形变成为1,可求得111A O B S ∆,而三棱锥111C O A B -的高即为1OO ,进而求得三棱锥111C O A B -的体积;（2）设点1B 在下底面圆周上的射影为B ,1BB C ∠为异面直线1B C 与1AA 所成的角.则连接1BB 、OB 、OC 、BC ,求得BC 长,在1CBB ∆中根据线段关系即可求得1BB C ∠的大小.【详解】（1）连接11O B 则1116A OB π∠=所以111111111sin 264A OB S O B O A π∆=⨯⨯⨯=则11111113412C A O B V OO -=⨯⨯=（2）设点1B 在下底面圆周上的射影为B ,连接1BB 、OB 、OC 、BC .可知11BB AA ∥,且111BB AA ==则1BB C ∠为异面直线1B C 与1AA 所成的角所以1116AOB A O B π∠=∠=因为 AC 长为2π,则2AOC π∠=所以263COB πππ∠=-=所以COB ∆为等边三角形,即1CB OB ==则11tan 1BB BB C BC ∠==,所以14BB C π∠=所以异面直线1B C 与1AA 所成的角为4π【点睛】本题考查了三棱锥体积的求法,空间几何体中异面直线的夹角求法,属于基础题.19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA C C 边长为8的正方形，6AB =，110BC A B ==（1）求证：1AA ⊥平面ABC ；（2）求二面角111A BC B --的余弦值；（3）证明：在线段1BC 上存在点D ，使得1AD A B ⊥，并求1BD BC 的值．【答案】（1）证明见解析;（2）1625（3）证明见解析;925【分析】（1）根据所给线段长度,由勾股定理逆定理可得1AA AB ⊥,结合正方形中的垂直关系,利用线面垂直的判定定理即可判断1AA ⊥平面ABC .（2）以A 为原点建立空间直角坐标系,写出各个点的坐标,求得平面11A BC 与平面11B BC 的法向量,根据向量的数量积运算即可求得向量夹角的余弦值.（3）假设在线段1BC 上存在点D ,设出点D 的坐标,根据垂直时的向量坐标运算求得点D 的坐标,即可证明存在点D ;根据相似,即可求得11BD DE BC CC =的值.【详解】（1）因为11AA C C 边长为8的正方形,18AA =,6AB =,110A B =则22211A B AA AB =+,即1AA AB⊥又正方形11AA C C 中1AA AC ⊥,且AB AC A⋂=所以1AA ⊥平面ABC（2）以A 为原点,以AC 所在直线为x 轴,以AB 所在直线为y 轴,以1AA 所在直线为z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系则()10,0,8A ,()18,0,8C ,()0,6,0B ,()10,6,8B 所以()18,6,8BC =- ,()10,6,8BA =- ,()10,0,8BB = 设平面11A BC 的法向量为()111,,m x y z = ,平面11B BC 的法向量为()222,,n x y z = ,则1100m BC m BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 代入可得111118680680x y z y z -+=⎧⎨-+=⎩,令14y =则解得110,3x z ==所以()0,4,3m = 同理1100n BC n BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 代入可得2222868080x y z z -+=⎧⎨=⎩,令24y =则解得223,0x z ==所以()3,4,0n =则16cos ,25m n m n m n ⋅<>==⋅ 由图可知,平面11A BC 与平面11B BC 形成的二面角为锐二面角所以二面角111A BC B --的余弦值为1625（3）证明:假设在线段1BC 上存在点D ，使得1AD A B ⊥,过D 作DE BC ⊥,作,EM AC EN AB ⊥⊥,如下图所示:设(),08DE t t =<<,则由1DE BE NE C C BC AC ==,即88t NE =,所以NE t =则8MC AC AM t =-=-,由MC ME AC AB =,即886t ME -=,所以()384ME t =-所以()3(,8,)4D t t t -所以()3(,8,)4AD t t t =- ,()10,6,8A B =- 因为1AD A B⊥所以10AD A B ⋅= 即()()3,8,0,6,804t t t ⎡⎤-⋅-=⎢⎥⎣⎦,化简可得()98802t t --=解得7225t =即在线段1BC 上存在点D ，使得1AD A B⊥则1172925825BD DE BC CC ===【点睛】本题考查了线面垂直的判定,空间向量在求二面角中的综合应用,判定存在性命题的方法,综合性较强,属于中档题.20.教材中指出：当x 很小，n 不太大时，可以用1nx +表示()1n x +的近似值，即()()*11n x nx n N +≈+∈（1），我们把近似值与实际值之差除以实际值的商的绝对值称为“相对近似误差”，一般用字母δ表示，即相对近似误差δ-=近似值实际值实际值（1）利用（1）求出()40.998的近似值，并指出其相对近似误差（相对近似误差保留两位有效数字）（2）若利用（1）式计算2A 的近似值产生的相对近似误差不超过1%，求正实数A 的取值范围；（3）若利用（1）式计算()1.01n 的近似值产生的相对近似误差不超过1%，求正整数n 的最大值．(参考对数数值:lg1.010.00432,lg99 1.99563,lg115 2.06069,lg116 2.06445≈≈≈≈)【答案】（1）0.992;52.410-⨯（2）1010119A ≤≤（3）15s 【分析】（1）根据题意可求得近似值,由相对近似误差即可求得δ的值,并保留两位有效数字.（2）根据题意,利用换元法可得关于A 的不等式组,解不等式即可求得正实数A 的取值范围;（3）根据定义可得关于n 的不等式,通过取对数化简,代入参考值即可求得正整数n 的最大值.【详解】（1）由题意可知,当x 很小,n 不太大时,可以用1nx +表示()1nx +的近似值,即()()*11n x nx n N +≈+∈所以近似值为()()()4410.40998.99210.0020.002=≈+=-⨯-相对近似误差δ-=近似值实际值实际值所以()()4540.9920.998 2.4100.998δ--=≈⨯（2）令1A x =+,则1x A =-由定义()()*11n x nx n N +≈+∈可知()2121A A ≈+-由相对近似误差δ-=近似值实际值实际值可知()22121A A A δ+--=所以()221211%A A A +--≤()0A >化简可得()221110A A ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭所以1110A A -≤,即1111010A A A -≤-≤所以111011100A A A A A ⎧-≤-⎪⎪⎪-≤⎨⎪>⎪⎪⎩,解不等式组可得1010119A ≤≤（3）由定义()()*11n x nx n N +≈+∈可知()()1.0110.01011.0n nn =≈++由相对近似误差δ-=近似值实际值实际值可知10.01 1.011.01n n n δ+-=所以()10.01 1.011%,*1.01nnn n N +-≤∈化简可得1001.0199n n+≤等式两边同取对数可得()lg1.01lg 100lg 99n n ≤+-当15n =时,不等式左边等于15lg1.01150.004320.0648≈⨯=,等式右边等于lg115lg99 2.06069 1.995630.06506-≈-=,不等式成立当16n =时,不等式左边等于16lg1.01160.004320.06912≈⨯=,等式右边等于lg116lg99 2.06445 1.995630.06882-≈-=,不等式不成立综上可知,正整数n 的最大值为15【点睛】本题考查了新定义的综合应用,根据所给条件求值,对分析问题、解决问题的能力要求较高，属于难题．21.用一个平面去截直立放置的圆柱，得圆柱的下半部分如图，其中A 为截面的最低点，B 为截面的最高点，M 为线段AB 中点，P 为截面边界上任意一点，作1AA 垂直圆柱底面于点1A ，1BB 垂直圆柱于底面于点1B ，1PP 垂直圆柱于底面于点1P ，圆柱底面圆心为O ．已知11A B 为底面直径，1P 在以11A B 为直径的圆周上，OM 垂直底面，12AA =，14BB =，112A B =，以O 为原点，1OA 为x 轴正方向，圆柱底面为xOy 平面，OM 为z 轴正方向建立空间直角坐标系，设点(),,P x y z ．（1）求点1P 的坐标，并求出x 与y 之间满足的关系式；（2）三视图是解决立体几何问题时的有效工具，将圆柱下半部分在xOz 平面上的投影作为主视图，在xOy平面上的投影作为俯视图；在方框中作出主视图，并说明理由；再求出左视图所围区域的面积；（3）判断截面的边界是什么曲线，并证明.再指出截面的面积（不需要证明）【答案】（1）()1,,0P x y ;221x y +=（2）主视图见解析;62S π=+（3）椭圆,证明见解析;S =【分析】（1）根据1PP 垂直圆柱于底面于点1P ,即可得1P 的坐标;由于1P 位于底面的圆周上,结合圆的方程即可得x 与y 之间满足的关系.（2）根据几何体,可得主视图;画出左视图,即可求得左视图围成图形的面积.（3）根据平面截圆柱形成截面性质可知所得截面为椭圆.根据椭圆的面积求法即可得截面面积.【详解】（1）以O 为原点,1OA 为x 轴正方向,圆柱底面为xOy 平面,OM 为z 轴正方向建立空间直角坐标系因为1PP 垂直圆柱于底面于点1P ,且(),,P x y z 所以()1,,0P x y 因为底面是以O 为圆心的圆,即1P 位于圆上,圆心为()0,0,半径为1所以x 与y 之间满足的关系为221x y +=（2）主视图分别为1111,,,A B A A AB B B 在xOz 平面上的投影,所以主视图如下所示:左视图如下图所示:该部分的面积为21123622S ππ=⨯+⨯=+（3）将圆柱补充完整,并作两个内切球,分别切截面于1F F 、.过点P 作11KK BB ∥与两个内切球分别交于1K K 、由切线长定理可知,11,PF PK PF PK ==所以111++=PF PF PK PK KK =由于1KK 为定值,所以由椭圆定义可知,动点P 的轨迹为椭圆,即截面的边界是椭圆2a AB ===1122b A B ==所以截面面积为S ab π==【点睛】本题考查了空间几何体的综合应用,轨迹方程与立体几何的综合,对空间想象能力要求较高,属于难题.。