中考数学专题复习对中点四边形的探究与延伸试题

无棣县埕口中学中考数学专题复习对中点四边形的探究与延伸新人教版一、根本性质归纳：、、、刚好在其梯形院子例1．①〔2021·惠民二模〕杨伯家小院子的四棵小树E F G HABCD各边的中点上，假设在四边形EFGH种上小草，那么这块草地的形状是〔〕A．平行四边形B．矩形 C．正方形 D．菱形②〔2021·东城一摸〕顺次连接菱形各边的中点所得的四边形一定是〔〕A．等腰梯形B．正方形C．平行四边形D．矩形分析：这是对平行四边形的定义和断定定理的考察．解该题的思路是构造三角形及其中位线，这是数学中常用的“建模〞思想，把四边形两边的中点转化为三角形两边的中点，又表达出转化思想．我们可从四边形EHGF的四条边的数量关系和位置关系入手，由题设可知E、H分别为AB、AD的中点，符合三角形中位线定理的条件，可构造三角形的中位线．中E、H分别为AB、AD的中点∴EH 解：如下图：以梯形的中点四边形为例，在ABD平行且等于DB的一半，同理，FG平行且等于DB的一半，所以EH平行且等于FG，所以四边形EHGF为平行四边形，又因为菱形的两条对角线互相垂直，所以四边形邻边互相垂直，故菱形的中点四边形是矩形．所以①选A；②选D．温馨提示：断定中点四边形的形状要抓住两个关键点：一是三角形中位线定理的应用，二是原四边形两条对角线的数量关系和位置关系．为了便于同学们更好地理解和掌握，我们把常见的中点四边形形状归纳如下表．原四边形中点四边形任意四边形平行四边形平行四边形两条对角线相等的四边形〔包括矩形和等腰梯形〕菱形两条对角线互相垂直的四边形〔包括菱形〕矩形两条对角线相等且互相垂直的四边形〔包括正方形〕正方形二、新题探究：㈠条件开放性问题：例2．〔2021·〕在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，假如四边形EFGH为菱形，那么四边形ABCD是〔只要写出一种即可〕．解析：此题是一个开放性问题，结论不唯一：如图：四边形EFGH为一个中点四边形，其形状可以由原四边形的对角线来决定，因为任意四边形的中点四边形都是平行四边形，使四=，〔即四边相等的四边形EFGH为菱形，只要有原四边形的对角线相等即可，即AC BD边形为菱形〕；当然也可以从菱形的断定出发，因为四边形EFGH为平行四边形，所以对⊥〔即符合对角线相角线互相平分，只要再有对角线互相垂直即可，所以可以添加EG HF=〔即对边相等的平行四边形为菱形〕．等且互相平分的四边形为菱形〕；还可以添加EF FG温馨提示：中点四边形EFGH形状是由原四边形ABCD的两条对角线AC和BD的数量关系和位置关系来确定的，首先，不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形，其次，详细的中点四边形的形状还需需参考原四边形的具备的其他条件来决定．㈡问题延伸：例3．〔2021·〕在□ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点，连结EG、GF、FH、HE．〔1〕如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；〔2〕如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是；〔3〕如图③，在〔2〕的条件下，假设AC＝BD，四边形EGFH的形状是；〔4〕如图④，在〔3〕的条件下，假设AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由．解析：〔1〕根据题意容易得EO＝FO，GO＝HO，从而判断四边形EGFH为平行四边形；〔2〕根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得答案；〔3〕从图形观察可知AC与BD的数量关系并不影响四边形EGFH的形状；〔4〕当AC＝BD，AC⊥BD时，□ABCD为正方形，结合条件容易得△BOG≌△COF，所以有OG＝OF，即EF＝GH，结合EF⊥GH，可得□EGFH是正方形．解：〔1〕四边形EGFH是平行四边形．证明：∵□ABCD的对角线AC、BD交于点O．∴点O是□ABCD的对称中心．∴EO＝FO，GO＝HO．∴四边形EGFH是平行四边形．〔2〕菱形．〔3〕菱形．〔4〕四边形EGFH是正方形证明：∵AC＝BD，∴□ABCD是矩形．又∵AC⊥BD，∴□ABCD是菱形．∴□ABCD是正方形，∴∠BOC＝90°，∠GBO＝∠FCO＝45°．OB＝OC．∵EF⊥GH，∴∠GOF＝90°．∴∠BOG＝∠COF．∴△BOG≌△COF．∴OG＝OF，∴GH＝EF．由〔1〕知四边形EGFH是平行四边形，又∵EF⊥GH，EF＝GH．∴四边形EGFH是正方形．温馨提示：此题是探究题属于思维创新型试题，也是课本习题的引申，表达了中考题与课本的严密联络，但又不拘泥于课本原题，做了一定的提炼，重点考察了特殊四边形的断定，所以在备考时抓住课本是中考复习的一个打破口．跟踪练习：1．〔2021·二模〕顺次连接等腰梯形各边的中点所得的四边形是〔〕A．菱形B．正方形C．矩形D．等腰梯形2．〔2021·〕如图，顺次连结四边形ABCD各中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是〔〕A．AB∥DC B．AB＝DC C．AC⊥BD D．AC＝BDF E HG DA B C3． 〔2021·一摸〕四边形ABCD 为边长等于1的菱形，顺次连结它的各边中点组成四边形EFGH 〔四边形EFGH 称为原四边形ABCD 的中点四边形〕，再顺次连结四边形EFGH 的各边中点组成第二个中点四边形，，那么按上述规律组成的第八个．．．中点四边形的边长等于 ．4．〔2021·〕 观察探究，完成证明和填空． 如图，四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，顺次连接E 、F 、G 、H ，得到的四边形EFGH 叫中点四边形．〔1〕求证：四边形EFGH 是平行四边形；〔2〕如图，当四边形ABCD 变成等腰梯形时，它的中点四边形是菱形，请你探究并填空：当四边形ABCD 变成平行四边形时，它的中点四边形是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； 当四边形ABCD 变成矩形时，它的中点四边形是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；当四边形ABCD 变成菱形时，它的中点四边形是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；当四边形ABCD 变成正方形时，它的中点四边形是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；〔3〕根据以上观察探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定的？参考答案：1．答案：A ，解析：因为等腰梯形的对角线相等，故此可推出等腰梯形中点四边形是菱形2．答案：C ，解析：连接BD ，由中位线的知识可知，顺次连结四边形ABCD 各中点得到的四边形EFGH 是平行四边形，要使它为矩形，那么有一个角为直角，由平行线的性质可知，原来的对角线一定是垂直的．3．答案：A ，解析：该题属探究型试题，当问题的条件发生变化时，探究的结论也发生改变，可以通过下列图观察会发现，第二个中点四边形〔即四边形A B C D ''''〕各边长为原四边长的一半，同理第四个中点四边形边长为第二个中点四边形边长的一半，即为原四边形边长的212，由此可以推的第六个中点四边形的边长为原四边形边长的312；第八个中点四边形的边长为原四边形边长的412；所以第八个中点四边形的边长等412＝116． 4．解析：〔1〕利用三角形中位线推出所得四边形对边分别平行，故为平行四边形．〔2〕顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形为菱形；顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形为矩形；顺次连接对角线相等且互相垂直的四边形各边中点所得的四边形为正方形．谨记以上原那么答复即可．〔3〕由以上法那么可知，中点四边形的形状由原四边形的对角线的关系来决定的．答案：〔1〕证明：连接BD∵E、H分别是AB、AD的中点，∴EH是△ABD的中位线∴EH＝12BD，EH∥12BD同理得FG＝12BD，FG∥12BD∴EH＝FG，EH∥FG∴四边形EFGH是平行四边形〔2〕填空依次为平行四边形，菱形，矩形，正方形〔3〕中点四边形的形状由原四边形的对角线的关系来决定的．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

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不耻下问，学以致用，锲而不舍，孜孜不倦。

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