2007年考研数学一真题及解析
一、选择题（本题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分，在每小题给的四个选项中，只有一 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内）
+ （1） 当 x → 0 时，与
x 等价的无穷小量是 (
C.
) D. 1 − cos x
A. 1 − e
x
B. ln
1+ x 1− x
1+ x −1
)
(2)
曲线 y=
1 x + ln(1 + e ), 渐近线的条数为 ( x
A.0 B.1 C.2 D.3 (3) 如图，连续函数 y=f(x) 在区间 [-3，-2] ，[2，3] 上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周， 在区间[-2 ，0]，[0，2] 的图形分别是直径为 2 的上、下半圆周，设 F(x)= 论正确的是 ( A. F(3)= − ) B. F(3)=
(18)(本题满分10分 ) 计算曲面积分
I = ∫∫ xzdydz + 2xydzdx + 3xydxdy ,
∑
其中 ∑ 为曲面z = 1 − x2 − (19)( 本题是11分)
y2 (0 ≤ z ≤ 1)的上侧. 4
设函数f ( x), g( x) 在[ a, b]上连续，在( a, b)内二阶导数且存在相等的最大值，
2x
(13) 二阶常系数非齐次线性方程 y ''− 4 y ' + 3 y = 2 e 的通解为 y＝____________. (14) 设曲面
∑
：| x | +|
y | + | z |= 1，则 � ∫∫ ( x + | y |)ds ＝_____________.
∑
⎛0 ⎜0 (15) 设矩阵 A＝ ⎜ ⎜0 ⎜ ⎝0
∫
x
0
f (t )dt .则下列结
5 F (− 2) 4
3 F (− 2) 4
5 F (2) 4
C. F(3)= +
3 F (2) 4
( )
D. F(3)= −
(4) 设函数 f（x）在 x=0 处连续，下列命题错误的是
f ( x) A. 若 lim 存在，则 f（0）=0 x→ 0 x f (x ) C. 若 lim 存在，则 f ' (0) =0 x →0 x
(
)
(C) f X ( x) f Y ( y ) (D)
fX ( x) fY ( y )
二．填空题：11－16 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上 （11）
∫
2
1
1 1 e x dx ＝_______. x3 ∂z ＝______. ∂x
（12）设 f (u ,v ) 为二元可微函数， z = f ( x y , y x ) ，则
2 2
(
)
3 p 2 (1 − p) 2
(10) 设随即变量（X ，Y）服从二维正态分布，且 X 与 Y 不相关， f X ( x) ， f Y ( y ) 分别表示 X， Y 的概率密度，则在 Y＝y 的条件下，X 的条件概率密度 （A） f X ( x) (B) f Y ( y )
fX | Y (x | y )为
A. 若 u1 > u2 ，则{ u n }必收敛 C. 若 u1 < u2 ，则{ u n }必收敛
(6) 设曲线 L：f(x, y) = 1 (f(x, y)具有一阶连续偏导数） ，过第Ⅱ象限内的点 M 和第Ⅳ象限内的 点 N,T 为 L 上从点 M 到 N 的一段弧，则下列小于零的是 ( ) A.
（B）
α1 + α 2 , α 2 + α 3 ,α 3 + α1
（C） α 1 − 2α 2, α 2 − 2α 3,α 3 − 2α 1 （D） α 1 + 2α 2, α 2 + 2α 3, α 3 + 2α 1
⎛ 2 −1 −1⎞ ⎛1 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ （8）设矩阵 A= −1 2 − 1 ，B= ⎜ 0 1 0 ⎟ ，则 A 于 B ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ −1 − 1 2 ⎟ ⎜ 0 0 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
f ( x) + f ( − x) B. 若 lim 存在，则 f（0）=0 x→ 0 x f ( x) − f ( − x) D. 若 lim 存在，则 f ' (0) =0 x→ 0 x
(5) 设函数 f（x）在（0, + ∞ ）上具有二阶导数，且 f "( x ) > o , 令 un =f(n)=1,2,…..n, 则下列结 论正确的是 ( ) B. 若 u1 > u2 ，则{ u n }必发散 D. 若 u1 < u2 ，则{ u n } 必发散
ห้องสมุดไป่ตู้
(17)（本题满分11分）求函数 f ( x, y ) = x2 + 2 y 2 − x 2 y 2 在区域 D = {(x , y ) x 2 + y 2 ≤ 4, y ≥ 0} 上的最大值和最小值。
您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心 获取更多考研资料，请访问
∫ (x , y )dx
r
B.
∫
r
f ( x, y) dy
C.
∫
r
f ( x, y) ds D.
∫
r
f 'x ( x, y) dx + f ' y ( x , y )dy
( )
（7）设向量组 α 1 ， α 2 ， α 3 线形无关，则下列向量组线形相关的是： （A）
α1 − α 2 , α 2 − α 3 , α 3 − α1
1 0 0⎞ 0 1 0⎟ ⎟ ，则 A3 的秩为________. 0 0 1⎟ ⎟ 0 0 0⎠ 1 的概率为________. 2
（16） 在区间 （0， 1） 中随机地取两个数， 则这两个数之差的绝对值小于
三． 解答题： 17~24 小题， 共 86 分.请将解答写在答题纸指定的位置上 .解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.
(A) 合同，且相似 (C) 不合同，但相似 (B) 合同，但不相似 (D)既不合同，也不相似
(
)
您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心 获取更多考研资料，请访问
（9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 p ( 0 < p < 1) ，则此人第 4 次射击恰好第 2 次命中目标的概率为： （A） 3 p(1 − p) 2 (C) (B) 6 p (1 − p ) 2 (D) 6 p (1 − p )
[考研类试卷]考研数学一(无穷级数)历年真题试卷汇编2.doc
![[考研类试卷]考研数学一(无穷级数)历年真题试卷汇编2.doc](https://360docs-1393072327.cos.ap-beijing.myqcloud.com/18cb0123f5335a8103d2202c.webp)
[考研类试卷]考研数学一（无穷级数）历年真题试卷汇编2一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 (2000年)设级数收敛，则必收敛的级数为2 (2002年)设u n≠0，(n=1，2，3，…)，且则级数（A）发散。
（B）绝对收敛．（C）条件收敛．（D）收敛性根据所给条件不能判定．3 (2004年)设为正项级数，下列结论中正确的是4 (2006年)若级数收敛，则级数5 (2009年)设有两个数列{a n}，{b n}，若则6 (2011年)设数列{a n}单调减少，无界，则幂级数的收敛域为（A）(一1，1]．（B）[一1，1)．（C）[0，2)．（D）(0，2]．7 (2013年)设令则8 (2015年)若级数条件收敛，则与x=3依次为幂级数的（A）收敛点，收敛点．（B）收敛点，发散点．（C）发散点，收敛点．（D）发散点，发散点．9 (2018年)（A）sin1+cos1．（B）2sin1+cos1．（C）2sin1+2cos1．（D）2sin1+3cos1．二、填空题10 (1997年)设幂级数的收敛半径为3，则幂级数的收敛区间为_____________________．11 (2003年)设则a2=____________．12 (2008年)已知幂级数在x=0处收敛，在x=一4处发散，则幂级数的收敛域为____________．13 (2017年)幂级数在区间(一1，1)内的和函数S(x)=____________．三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
14 (200l年)设试将f(x)展开成x的幂级数．并求级数的和．15 (2003年)将函数展开成x的幂级数，并求级数的和．16 (2004年)设有方程x n+nx一1=0，其中n为正整数，证明此方程存在唯一正实根x n，并证明当α＞1时，级数收敛．17 (2005年)求幂级数的收敛区间与和函数f(x)．18 (2006年)将函数展开成x的幂级数．18 (2007年)设幂级数内收敛，其和函数y(x)满足 y"一2xy'一4y=0，y(0)=0，y'(0)=119 证明a n+2n=1，2，…；20 求y(x)的表达式．21 (2008年)将函数f(x)=1—x2(0≤x≤π)展开成余弦级数，并求级数的和．22 (2009年)设a n为曲线y=x n与y=x n+1(n=1，2，…)所围成区域的面积，记求S1与S2的值．23 (2010年)求幂级数的收敛域及和函数．24 (2012年)求幂级数的收敛域及和函数．24 (2013年)设数列{a n)满足条件：a0=3，a1=1，a n-2一n(n一1)a n=0(n≥2)，S(x)是幂级数的和函数．25 证明：S"(x)一S(x)=0；26 求S(x)的表达式．26 (2014年)设数列{a n}，{b n}满足cosa n一a n=cosb n，且级数收敛．27 证明：28 证明：级数收敛．28 (2016年)已知函数f(x)可导，且f(0)=1，设数列{x n}满足x n+1=f(x n)(n=1，2，…)．证明：29 级数绝对收敛；30 存在，且。
2007年考研数学二真题答案解析
2007年考研数学二真题解析一．选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内）项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内）（1） 当0x +®时，与x 等价的无穷小量是等价的无穷小量是 （B ）A. 1xe - B.1ln1xx+- C. 11x +- D.1cos x -（2）函数11()tan ()()xx e e xf x x e e +=-在区间[],p p -上的第一类间断点是x =(A) A. 0 B. 1 C. 2p-D. 2p（3）如图.连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0()(),xF x f t dt =ò则下列结论正确的是：（C ）.A .(3)F 3(2)4F =-- .B (3)F 5(2)4F = .C (3)F - 3(2)4F =- .D (3)F -5(2)4F =--(4)设函数f （x ）在x=0处连续，下列命题错误的是处连续，下列命题错误的是 (C) A. 若0()limx f x x ®存在，则(0)0f = B. 若0()()lim x f x f x x ®+-存在, (0)0f = C. 若0()limx f x x ®存在, 则(0)0f ¢= D. 0()()lim x f x f x x®--存在, (0)0f = （5）曲线1ln(1),xy e x=++渐近线的条数为渐近线的条数为 （D ）.A 0 .B 1 .C 2 .D 3 (6)设函数()f x 在(0,)+¥上具有二阶导数，且"()0f x >, 令n u = ()1,2.......,,f n n = 则下列结论正确的是列结论正确的是 (D) A.若12u u >，则{}n u 必收敛必收敛B. 若12u u >，则{}n u 必发散必发散C. 若12u u <，则{}n u 必收敛必收敛D. 若12u u <，则{}n u 必发散必发散 （7）二元函数(,)f x y 在点（0，0）处可微的一个充分条件是）处可微的一个充分条件是 （B ）A. ()()()(),0,0lim ,0,00x y f x y f ®-=éùëûB. ()()0,00,0lim 0x f x f x ®-=，且()()00,0,0lim 0y f y f y®-=C. ()()()()22,0,0,00,0lim0x y f x f x y®-=+D. ()0lim ',0'(0,0)0,x x x fx f ®-=éùëû且()0lim ',0'(0,0)0,y y y f x f ®éù-=ëû （8）设函数(,)f x y 连续，则二次积分1sin 2(,)x dx f x y dy ppòò等于等于（B ）A 10arcsin (,)ydy f x y dx p p +òò B10arcsin (,)ydy f x y dy pp -òò.C 1arcsin 02(,)y dy f x y dx p p+òò .D 1arcsin 02(,)ydy f x y dx p p -òò （9）设向量组123,,a a a 线形无关，则下列向量组线形相关的是：线形无关，则下列向量组线形相关的是： (A) （A ） ,,122331a a a a a a --- （B ） ,,122331a a a a a a +++ （C ） 1223312,2,2a a a a a a --- （D ）1223312,2,2a a a a a a +++（10）设矩阵A=211121112--æöç÷--ç÷ç÷--èø，B=100010000æöç÷ç÷ç÷èø,则A 于B ， （B ） (A) 合同，且相似合同，且相似 (B) 合同，但不相似合同，但不相似(C) 不合同，但相似 (D)既不合同，也不相似既不合同，也不相似二．填空题：11－16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上分，请将答案写在答题纸指定位置上(11)30arctan sin limx xx x x ®-=16. (12)曲线2cos cos 1sin x t ty tì=+í=+î上对应于4t p=的点处的法线斜率为（21-）. (13)设函数123y x =+，则()0ny ＝23n -×. (14)二阶常系数非齐次线性微分方程2''4'32xy y y e -+=的通解y ＝_32122x x x C e C e e +-. (15)设(,)f u v 是二元可微函数，(,)y x z f x y=,则1222(,)(,)z z yy x x y x xyf f xyx x y y x y¶¶¢¢-=-+¶¶. òxap (xa2x x dzdx 2d z dxe dz dxd z2´()(),()()f a g a f b g b ==证明：存在(,)a b x Î，使得''''()()f g x x =. 【详解】：证明：设(),()f x g x 在(,)a b 内某点(,)c a b Î同时取得最大值，则()()f c g c =，此时的c 就是所求点()()f g h h h =使得.若两个函数取得最大值的点不同则有设若两个函数取得最大值的点不同则有设()max (),()max ()f c f x g d g x ==故有()()0,()()0f c g c g d f d ->-<，由介值定理，在(,)c d 内肯定存在()()f g h h h =使得由罗尔定理在区间(,),(,)a b h h 内分别存在一点''1212,,()()f f x x x x 使得＝＝0在区间12(,)x x 内再用罗尔定理，即''''(,)()()a b f g x x x Î=存在，使得. （22）（本题满分11分）分）设二元函数222.1.(,)1,1 2.x x yf x y x y x y ì+£ï=í£+£ï+î计算二重积分(,).Df x y d sòò其中{}(,)2D x y x y =+£【详解】：D 如图（1）所示，它关于x,y 轴对称，(,)f x y 对x,y 均为偶函数，得均为偶函数，得1(,)4(,)DD f x y d f x y d s s =òòòò，其中1D 是D 的第一象限部分. 由于被积函数分块表示，将1D 分成（如图（2））：11112D D D =,且1112:1,0,0 :12,0,0D x y x y D x y x y +£³³£+£³³11D 12D1D2-2-2 2 x y x 1 2 1 2 y (1) (2) 于是11212(,)(,)(,)D D D f x y d f x y d f x y d s s s =+òòòòòò.而1111122000111(,)(1)3412xD f x y d dx x dy x x dx s -==-=-=òòòòò121222cos sin 1220cos sin 11(,)()D D f x y d d d rdr rx ypq qq qs s q++==×+òòòòòò极坐标变换2222112220002111200101cos sin cos sin 2sin cos222(tan )222122(1)1tan 2tan 222111()222212121ln ln 2ln(21)22221u t d d d du du u u u dtdt t t t t t p p pqq q qq q q q qq q -===+-+===-+---+==+-+-++===+--òòòòòòò所以所以 112(,)ln(21)122D f x y d s =++òò得12(,)4(ln(21))122Df x y d s =++òò(23)（本题满分11分）分）设线性方程组1231232123020(1)40x x x x x ax x x a x ì++=ï++=íï++=î与方程12321(2)x x x a ++=-有公共解，求a 的值及所有公共解. 【详解】：因为方程组(1)、(2)有公共解，即由方程组(1)、(2)组成的方程组组成的方程组1231232123123020(3)4021x x x x x ax x x a x x x x a ++=ìï++=ïí++=ïï++=-î的解. 112,1,1)333121333-úúû。
[考研类试卷]考研数学一(常微分方程)历年真题试卷汇编1.doc
![[考研类试卷]考研数学一(常微分方程)历年真题试卷汇编1.doc](https://360docs-1393072327.cos.ap-beijing.myqcloud.com/1a475feb561252d381eb6e35.webp)
[考研类试卷]考研数学一（常微分方程）历年真题试卷汇编1一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1 (1998年)已知函数y=y(x)在任意点x处的增量且当△x→0时，α是△x的高阶无穷小，y(0)=π，则y(1)等于( )（A）2π（B）π（C）（D）2 (2016年)若是微分方程y′+p(x)y=q(x)的两个解，则q(x)=( )（A）3x(1+x2)（B）一3x(1+x2)（C）（D）3 (2008年)在下列微分方程中，以y=C1e x+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是( )（A）y"′+y"一4y′一4y=0（B）y"′+y"+4y′+4y=0（C）y"′一y"一4y′+4y=0（D）y"′一y"+4y′一4y=04 (2015年)设是二阶常系数非齐次线性微分方程y"+ay′+by=ce x的一个特解，则( )（A）a=一3，b=2，c=一1（B）a=3，b=2，c=一1（C）a=一3，b=2，c=1（D）a=3，b=2，c=1二、填空题5 (2006年)微分方程的通解是__________。
6 (2008年)微分方程xy′+y=0满足条件y(1)=1的解是y=___________。
7 (2014年)微分方程xy′+y(lnx—lny)=0满足y(1)=e3的解为y=____________。
8 (2005年)微分方程xy′+2y=zlnx满足的解为___________。
9 (2011年)微分方程y′+y=e-x cosx满足条件y(0)=0的解为y=__________。
10 (2000年)微分方程xy"+3y′=0的通解为_____________。
11 (2002年)微分方程xy"+y′2=0满足初始条件的特解是____________。
2007年考研数学三真题及解析
在 Y y 的条件下， X 的条件概率密度 f X|Y ( x | y) 为
(A) f X ( x) .
(B) fY ( y) . (C) fX ( x) fY ( y) . (D) f X (x) . fY ( y)
[
]
二、填空题 ： 11～ 16 小题，每小题 4 分，共 24 分 . 把答案填在题中横线上 .
（ 23） ( 本题满分 11 分)
设二维随机变量 ( X , Y) 的概率密度为
2 x y, 0 x 1,0 y 1
f ( x, y)
.
0,
其他
-3-
（I ）求 P X 2Y ； (II) 求 Z X Y 的概率密度 .
2007 答案
1… .【分析 】本题为等价无穷小的判定，利用定义或等价无穷小代换即可
1
（
arcsin y
1
arcsin y
（D ） dy 0 2
f ( x, y)dx
[
]
（ 5）设某商品的需求函数为 Q 160 2 P ，其中 Q, P 分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值
-1-
等于 1，则商品的价格是
(A) 10.
(B) 20
(C) 30.
3 F ( 2)
4 3
F (2) 4
（ 4）设函数 f ( x, y) 连续，则二次积分
1
（ A ） dy
f (x, y)dx
0
arcsin y
1
arcsin y
（ C） dy
f (x, y)dx
0 2
5 (B) F (3) F (2)
4
（ D ） F(3)
5 F ( 2)
2007考研数学二真题及答案解析
−x
xa 2a (a > 1, 0 ≤ x < +∞) 下方、 x 轴上方的无界区域.
(I) 求区域 D 绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积V (a) ;
(II) 当 a 为何值时，V (a) 最小？并求出最小值.
(19)(本题满分 11 分)
求微分方程 y′′(x + y′2 ) = y′ 满足初始条件 y= (1) y= ′(1) 1的特解.
❤
2007 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题：1 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个
选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(1) 当 x → 0+ 时，与 x 等价的无穷小量是( )
A .1− e x
B.ln 1+ x 1− x
x→0
x
❤
(5) 曲线 y =1 + ln(1+ ex ) 渐近线的条数为( ) x
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
(6) 设函数 f (x) 在 (0, +∞) 上具有二阶导数，且 f ′′(x) > 0 ，= 令 un f= (n)(n 1, 2,) ，则
下列结论正确的是( )
A. 若 u1 > u2 ，则{un} 必收敛
C. 1 + x −1 D.1− cos x
1
(2)
函数
f (x) = (ex
+
e)
1
tan
x
在 [ −π
,π
]
上的第一类间断点是
x
=
(
)
x(ex − e)
2007数学考研真题二
2007年硕士研究生入学考试数学二试题及答案解析一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）(1)当0x +→(A)1-(B)ln .(C)1.(D)1-.[B ]【分析】利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案.【详解】当0x +→时，有1(1)~-=--1~；2111~.22x -=利用排除法知应选(B).(2)函数11()tan ()()xxe e xf x x e e +=-在[,]ππ-上的第一类间断点是x =(A)0.(B)1.(C)2π-.(D)2π.[A ]【分析】本题f (x )为初等函数，找出其无定义点即为间断点，再根据左右极限判断其类型。
【详解】f (x )在[,]ππ-上的无定义点，即间断点为x =0,1,.2π±又11110()tan tan lim lim 1(1)1()xxx x xx e e x x e exx e e e e --→→++=⋅=⋅-=---，11110()tan tan lim lim 111()x xx x xx e e x x e exx e e e e++→→++=⋅=⋅=--，可见x =0为第一类间断点，因此应选(A).(3)如图，连续函数y =f (x )在区间[−3，−2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[−2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0()().xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是(A)3(3)(2)4F F =--.(B)5(3)(2)4F F =.(C))2(43)3(F F =-.(D))2(45)3(--=-F F .[C ]【分析】本题考查定积分的几何意义，应注意f (x )在不同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的关系。
2001-2011考研(数一)概率论部分历年真题
(6)从数 1,2,3,4 中任取一个数,记为 X , 再从1,2,, X 中任取一个数,记为Y , 则 P{Y 2} =____________.
二、选择题
(13)设二维随机变量 (X ,Y ) 的概率分布为
X
Y
0
1
0
0.4
a
1
b
0.1
已知随机事件{X 0}与{X Y 1} 相互独立,则
EX
(A)0
(B)0.3
(C)0.7
(D)1
(8)设随机变量
X
与Y
相互独立,且
X
服从标准正态分布
N 0,1 ,Y
的概率分布为
PY
0
PY
1
1 2
,记
FZ
z
为随机变量 Z
XY
的分布函数,则函
数 FZ z 的间断点个数为
(A)0
(B)1
(C)2
(D)3
二、填空题
(14) 设 X1, X 2 , , X m 为 来 自 二 项 分 布 总 体 B n, p 的 简 单 随 机 样 本 , X 和 S 2 分 别 为 样 本 均 值 和 样 本 方 差 . 若 X kS 2 为 np2 的 无 偏 估 计 量 , 则
(1)求 P{X 2Y}.
(2)求 Z X Y 的概率密度.
(24)(本题满分 11 分)
设总体 X 的概率密度为
f
(x,
y)
2
x
y,
0 x 1,0 0, 其他
y
1
X1, X 2 , X n 是来自总体 x 的简单随机样本, X 是样本均值 (1)求参数 的矩估计量ˆ . (2)判断 4X 2 是否为 2 的无偏估计量,并说明理由.
2007年考研数学三真题及解析
2007年考研数学（三）真题一．选择题（本题共10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内）（1）当0x +→等价的无穷小量是（）A.1-.ln(1B+1C-.1D -（2）设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是：()A .若0()limx f x x→存在，则(0)0f =.B 若0()()limx f x f x x→+-存在，则(0)0f =.C .若0()limx f x x →存在，则'(0)f 存在.D 若0()()limx f x f x x→--存在，则'(0)f 存在（3）如图.连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0()(),xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是：（）.A .(3)F 3(2)4F =--.B (3)F 5(2)4F =.C (3)F -3(2)4F =-.D (3)F -5(2)4F =--（4）设函数(,)f x y 连续，则二次积分1sin 2(,)xdx f x y dy ππ⎰⎰等于（）.A 10arcsin (,)xdy f x y dx ππ+⎰⎰.B 10arcsin (,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰.C 1arcsin 02(,)ydy f x y dxππ+⎰⎰.D 1arcsin 02(,)ydy f x y dxππ-⎰⎰（5）设某商品的需求函数为1602Q ρ=-，其中Q ，ρ分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（）.A 10.B 20.C 30.D 40（6）曲线1ln(1),x y e x=++渐近线的条数为（）.A 0.B 1.C 2.D 3（7）设向量组线性无关，则下列向量组线相关的是()（A ）12αα-2131,,αααα--(B)21αα-2331,,αααα++（C ）1223312,2,2αααααα---(D)1223312,2,2αααααα+++（8）设矩阵211121112A --⎧⎫⎪⎪=--⎨⎬⎪⎪--⎩⎭，100010000B ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭则A 与B （）（A ）合同，且相似(B)合同，但不相似(C)不合同，但相似(D)既不合同，也不相似(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为()2()3(1)A p p -2()6(1)B p p -22()3(1)C p p -22()6(1)D p p -(10)设随机变量(,)X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，(),()x y f x f y 分别表示X,Y 的概率密度，则在Y y =条件下，X 的条件概率密度()X Y x y f 为()（A ）()X f x (B)()y f y (C)()()x y f x f y (D)()()x y f x f y 二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上（11）3231lim (sin cos )________2x x x x x x x →∞+++=+.（12）设函数123y x =+，则()(0)_________n y =.（13）设(,)f u v 是二元可微函数，(,y x z f x y=则z zy x y∂∂-=∂∂________.（14）微分方程31()2dy y y dx x x=-满足11x y ==的特解为__________.（15）设距阵01000010,00010000A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭则3A 的秩为_______.(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于12的概率为________.三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）（本题满分10分）设函数()y y x =由方程ln 0y y x y -+=确定，试判断曲线()y y x =在点（1，1）附近的凹凸性.（18）（本题满分11分）设二元函数2. 1.(,)1 2.x x y f x y x y ⎧+≤⎪=≤+≤计算二重积分(,).Df x y d σ⎰⎰其中{}(,)2D x y x y =+≤（19）（本题满分11分）设函数()f x ，()g x 在[],a b 上内二阶可导且存在相等的最大值，又()f a ＝()g a ，()f b ＝()g b ，证明：（Ⅰ）存在(,),a b η∈使得()()f g ηη=；（Ⅱ）存在(,),a b ξ∈使得''()''().f g ξξ=（20）（本题满分10分）将函数21()34f x x x =--展开成1x -的幂级数，并指出其收敛区间.1231232123123(21)(11)020(1)4021(2)x x x x x ax x x a x x x x a a ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩++=-本题满分分设线性方程组与方程有公共解，求的值及所有公共解（22）（本题满分11分）设3阶实对称矩阵A 的特征值12311,2,2,(1,1,1)Tλλλα===-=-是A 的属于1λ的一个特征向量.记534B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵.（Ⅰ）验证1α是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量；（Ⅱ）求矩阵B.（23）（本题满分11分）设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2,01,0 1.(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他（Ⅰ）求{}2P X Y >；（Ⅱ）求Z X Y =+的概率密度()Z f z .（24）（本题满分11分）设总体X 的概率密度为1,0,21(;),1,2(1)0,x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他.其中参数(01)θθ<<未知，12,,...n X X X 是来自总体X 的简单随机样本，X 是样本均值.（Ⅰ）求参数θ的矩估计量 θ；（Ⅱ）判断24X 是否为2θ的无偏估计量，并说明理由.2007年考研数学（三）真题一、选择题（本题共10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内）（1）当0x +→等价的无穷小量是（B ）A.1-.ln(1B+1C-.1D -（2）设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是：(D)A .若0()limx f x x→存在，则(0)0f =.B 若0()()limx f x f x x→+-存在，则(0)0f =.C .若0()limx f x x →存在，则'(0)f 存在.D 若0()()limx f x f x x→--存在，则'(0)f 存在（3）如图.连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0()(),xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是：（C ）.A .(3)F 3(2)4F =--.B (3)F 5(2)4F =.C (3)F -3(2)4F =-.D (3)F -5(2)4F =--（4）设函数(,)f x y 连续，则二次积分1sin 2(,)xdx f x y dy ππ⎰⎰等于（B ）.A 1arcsin (,)xdy f x y dx ππ+⎰⎰.B 1arcsin (,)y dy f x y dx ππ-⎰⎰.C 1arcsin 02(,)ydy f x y dxππ+⎰⎰.D 1arcsin 02(,)ydy f x y dxππ-⎰⎰（5）设某商品的需求函数为1602Q ρ=-，其中Q ，ρ分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（D ）.A 10.B 20.C 30.D 40（6）曲线1ln(1),x y e x=++渐近线的条数为（D ）.A 0.B 1.C 2.D 3（7）设向量组线性无关，则下列向量组线相关的是(A)（A ）12αα-2131,,αααα--(B)21αα-2331,,αααα++(C)1223312,2,2αααααα---(D)1223312,2,2αααααα+++（8）设矩阵211121112A --⎧⎫⎪⎪=--⎨⎬⎪⎪--⎩⎭，100010000B ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭则A 与B （B ）（A ）合同，且相似(B)合同，但不相似(C)不合同，但相似(D)既不合同，也不相似(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为(C)2()3(1)A p p -2()6(1)B p p -22()3(1)C p p -22()6(1)D p p -(10)设随机变量(,)X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，(),()x y f x f y 分别表示X,Y 的概率密度，则在Y y =条件下，X 的条件概率密度()X Y x y f 为(A)（A ）()X f x (B)()y f y (C)()()x y f x f y (D)()()x y f x f y 二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上（11）3231lim (sin cos )___0_________2x x x x x x x →∞+++=+.（12）设函数123y x =+，则()1(1)2!(0)___________3n n n n n y +-=.（13）设(,)f u v 是二元可微函数，(,y xz f x y =则''122(,)2(,)z z y y x x y x y f f x y x x y y x y∂∂-=-+∂∂.（14）微分方程31()2dy y y dx x x =-满足11x y ==的特解为221ln x y x=+.（15）设距阵01000010,00010000A ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭则3A 的秩为＿＿1＿＿＿.(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于12的概率为＿34＿.三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）（本题满分10分）设函数()y y x =由方程ln 0y y x y -+=确定，试判断曲线()y y x =在点（1，1）附近的凹凸性.【详解】：''''1'2'''''''21''11ln 2102ln 112ln121()(2ln )0(2ln )()11(2ln1)8()(1,1)x x x y y y y yy y y y y y y y y y y yy y x ===+-=⇒=+==+++=⇒=-+=-=-<+=对方程两边求导得从而有再对两边求导得求在(1,1)的值：所以在点处是凸的（18）（本题满分11分）设二元函数2. 1.(,)1 2.x x y f x y x y ⎧+≤⎪=≤+≤计算二重积分(,).Df x y d σ⎰⎰其中{}(,)2D x y x y =+≤【详解】：积分区域D 如图，不难发现D 分别关于x 轴和y 轴对称，设1D 是D 在第一象限中的部分，即{}1(,)0,0D D x y x y =≥≥ 利用被积函数(,)f x y 无论关于x 轴还是关于y 轴对称，从而按二重积分的简化计算法则可得1(,)4(,)DD f x y d f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰设11112D D D =+，其中{}{}1112(,)1,0,0,(,)12,0,0D x y x y x y D x y x y x y =+≤≥≥=≤+≤≥≥于是1111211122(,)4(,)4(,)4(,) 44(,)DD D D D D f x y d f x y d f x y d f x y d x d f x y d σσσσσσ==+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰由于{}11(,)01,01D x y x y x =≤≤≤≤-，故11111222000111(1)3412xD x d x dx dy x x dx σ-==-=-=⎰⎰⎰⎰⎰为计算12D 上的二重积分，可引入极坐标(,)r θ满足cos ,sin x r y r θθ==.在极坐标系(,)r θ中1x y +=的方程是1,2cos sin r x y θθ=+=+的方程是，2cos sin r θθ=+，因而12120,2cos sin cos sin D r πθθθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬++⎩⎭，故1222cos sin 2100cos sin 1cos sin D r d dr r ππθθθθθθθθ++==+⎰⎰⎰⎰⎰令tan2t θ=作换元，则2arctan t θ=，于是:0:012t πθ→⇔→且2222212,cos ,sin 111dt t td t t t θθθ-===+++，代入即得121122200001122100122(1)cos sin 122(1)22 22 =1)D dt dt d t u t t t du du duu u πθθθ===-=++--=-==--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰综合以上计算结果可知11(,)41)1)123Df x y d σ=⨯+=+⎰⎰（19）（本题满分11分）设函数()f x ，()g x 在[],a b 上内二阶可导且存在相等的最大值，又()f a ＝()g a ，()f b ＝()g b ，证明：（Ⅰ）存在(,),a b η∈使得()()f g ηη=；（Ⅱ）存在(,),a b ξ∈使得''()''().f g ξξ=【详解】：证明：(1)设(),()f x g x 在(,)a b 内某点(,)c a b ∈同时取得最大值，则()()f c g c =，此时的c 就是所求点()()f g ηηη=使得.若两个函数取得最大值的点不同则有设()max (),()max ()f c f x g d g x ==故有()()0,()()0f c g c g d f d ->-<，由介值定理，在(,)c d 内肯定存在()()f g ηηη=使得(2)由(1)和罗尔定理在区间(,),(,)a b ηη内分别存在一点''1212,,()()f f ξξξξ使得＝＝0在区间12(,)ξξ内再用罗尔定理，即''''(,)()()a b f g ξξξ∈=存在，使得.（20）（本题满分10分）将函数21()34f x x x =--展开成1x -的幂级数，并指出其收敛区间.【详解】：102001111()()(4)(1)513121111513512111111()()()154151531()311243111111()()()(1)151101021()211122111()()153nn nnn n n f x x x x x x x x f x x x x x x f x x x x x x f x ∞=∞=∞===--+---+=----+-==-=-----<⇒-<<-===--++-<⇒-<<-=-+∑∑∑记其中其中则01((1)10212nnn x x ∞=---<<∑故收敛域为：1231232123123(21)(11)20(1)4021(2)x x x x x ax x x a x x x x a a ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩++=-本题满分分设线性方程组与方程有公共解，求的值及所有公共解【详解】：因为方程组(1)、(2)有公共解，即由方程组(1)、(2)组成的方程组1231232123123020(3)4021x x x x x ax x x a x x x x a ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=-⎩的解.即距阵211100201401211a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭211100110001000340a a a ⎛⎫ ⎪- ⎪→ ⎪- ⎪ ⎪++⎝⎭方程组(3)有解的充要条件为1,2a a ==.当1a =时，方程组(3)等价于方程组(1)即此时的公共解为方程组(1)的解.解方程组(1)的基础解系为(1,0,1)T ξ=-此时的公共解为：,1,2,x k k ξ==当2a =时，方程组(3)的系数距阵为111011101220011014400001111100⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭此时方程组(3)的解为1230,1,1x x x ===-，即公共解为：(0,1,1)Tk -（22）（本题满分11分）设3阶实对称矩阵A 的特征值12311,2,2,(1,1,1)Tλλλα===-=-是A 的属于1λ的一个特征向量.记534B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵.（Ⅰ）验证1α是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量；（Ⅱ）求矩阵B.【详解】：（Ⅰ）可以很容易验证111(1,2,3...)nnA n αλα==，于是5353111111(4)(41)2B A A E ααλλαα=-+=-+=-于是1α是矩阵B 的特征向量.B 的特征值可以由A 的特征值以及B 与A 的关系得到，即53()()4()1B A A λλλ=-+，所以B 的全部特征值为－2，1，1.前面已经求得1α为B 的属于－2的特征值，而A 为实对称矩阵，于是根据B 与A 的关系可以知道B 也是实对称矩阵，于是属于不同的特征值的特征向量正交，设B的属于1的特征向量为123(,,)Tx x x ，所以有方程如下：1230x x x -+=于是求得B 的属于1的特征向量为23(1,0,1),(1,1,0)TTββ=-=因而，矩阵B 属于2μ=-的特征向量是是1(1,1,1)Tk -，其中1k 是不为零的任意常数.矩阵B 属于1μ=的特征向量是是23(1,1,0)(1,0,1)TTk k +-，其中23,k k 是不为零的任意常数.（Ⅱ）由1122332,,,B B B ααβαββ=-==有令矩阵123123(,,)(2,,)B αααβββ=-，则1(2,1,1)P BP diag -=-，所以那么11123123211111033(2,,)(,,)210101303201110330B βββααα------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦（23）（本题满分11分）设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2,01,0 1.(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他（Ⅰ）求{}2P X Y >；（Ⅱ）求Z X Y =+的概率密度()Z f z .【详解】：（Ⅰ）{}2(2)DP X Y x y dxdy >=--⎰⎰，其中D 为01,01x y <<<<中2x y >的那部分区域；求此二重积分可得{}112002(2)xP X Y dx x y dy>=--⎰⎰1205()8x x dx=-⎰724=（Ⅱ）{}{}()Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤当0z ≤时，()0Z F z =；当2z ≥时，()1Z F z =；当01z <<时，32001()(2)3zz x Z F z dx x y dy z z -=--=-+⎰⎰当12z <<时，1132115()1(2)2433Z z z x F z dx x y dy z z z --=---=-+-⎰⎰于是222,01()44,120,Z z z z f z z z z ⎧-<<⎪=-+≤<⎨⎪⎩其他（24）（本题满分11分）设总体X 的概率密度为1,0,21(;),1,2(1)0,x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他.其中参数(01)θθ<<未知，12,,...n X X X 是来自总体X 的简单随机样本，X 是样本均值.（Ⅰ）求参数θ的矩估计量 θ；（Ⅱ）判断24X 是否为2θ的无偏估计量，并说明理由.【详解】：（Ⅰ）记EX μ=，则1022(1)xxEX dx dxθθμθθ==+-⎰⎰1142θ=+，解出122θμ=-，因此参数θ的矩估计量为 122X θ=-；（Ⅱ）只须验证2(4)E X 是否为2θ即可，而2221(4)4()4(())4(())E X E X D X E X DX EX n ==+=+，而1142EX θ=+，221(12)6EX θθ=++，22251()481212DX EX EX θθ=-=-+，于是22533131(4)1233n n n E X n n n θθ+-+=++≠因此24X 不是为2θ的无偏估计量.。
2007年考研数学二答案详解
2007年数学2答案1….【分析】本题为等价无穷小的判定，利用定义或等价无穷小代换即可.【详解】当0x+→时，1-1，2111cos22x-=，故用排除法可得正确选项为（B）.事实上，000ln(1)ln(1lim lim lim1x xx+++→→→+--==，或ln ln(1)ln(1()x x o x o o=+--=++= .所以应选（B）【评注】本题为关于无穷小量比较的基本题型，利用等价无穷小代换可简化计算.2…【分析】因为函数为初等函数，则先找出函数的无定义点，再根据左右极限判断间断点的类型.【详解】函数在0,1,2x x xπ===±均无意义，而110000(e e)tan(e e)tanlim()lim0,lim()lim1e e e ex xx x x xx xx xf x f xx x++--→→→→++====-⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；111(e e)tanlim()lime exx xxxf xx→→+==∞⎛⎫-⎪⎝⎭；122(e e)tanlim()lime exx xxxf xxππ→±→±+==∞⎛⎫-⎪⎝⎭.所以0x=为函数()f x的第一类间断点，故应选（A）.【评注】本题为基础题型. 对初等函数来讲，无定义点即为间断点，然后再根据左右极限判断间断点的类型；对分段函数来讲，每一分段支中的无定义点为间断点，而分段点也可能为间断点，然后求左右极限进行判断.段函数的定积分.【详解】利用定积分的几何意义，可得221113(3)12228Fπππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，211(2)222Fππ==，202202011(2)()d()d()d122F f x x f x x f x xππ---==-===⎰⎰⎰.所以 33(3)(2)(2)44F F F ==-，故选（C ）.【评注】本题属基本题型. 本题利用定积分的几何意义比较简便.4……【分析】本题考查可导的极限定义及连续与可导的关系. 由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数()f x 去进行判断，然后选择正确选项.【详解】取()||f x x =，则0()()lim 0x f x f x x→--=，但()f x 在0x =不可导，故选（D ）.事实上，在(A),(B)两项中，因为分母的极限为0，所以分子的极限也必须为0，则可推得(0)0f =.在（C ）中，0()limx f x x→存在，则0()(0)()(0)0,(0)limlim00x x f x f f x f f x x→→-'====-，所以(C)项正确，故选(D)【评注】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题，用赋值法求解往往能收到奇效.5……【分析】利用曲线的渐近线的求解公式求出水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线，然后判断.【详解】()()11lim lim ln 1e ,lim lim ln 1e 0x x x x x x y y x x →+∞→+∞→-∞→-∞⎡⎤⎡⎤=++=+∞=++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以 0y =是曲线的水平渐近线；()001lim lim ln 1e x x x y x →→⎡⎤=++=∞⎢⎥⎣⎦，所以0x =是曲线的垂直渐近线；()()1eln 1eln 1e1elimlim 0limlim 11x xxxx x x x y xxx x →+∞→+∞→+∞→+∞++++==+==，[]()1l i m l i m l n 1e 0xx x b y x x x →+∞→+∞⎡⎤=-=++-=⎢⎥⎣⎦，所以y x =是曲线的斜渐近线.故选（D ）.【评注】本题为基本题型，应熟练掌握曲线的水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线的求法.注意当曲线存在水平渐近线时，斜渐近线不存在. 本题要注意e x当,x x →+∞→-∞时的极限不同.6……【分析】本题依据函数()f x 的性质，判断数列{}()n u f n =. 由于含有抽象函数，利用赋值法举反例更易得出结果.【详解】选（D ）.取()ln f x x =-，21()0f x x''=>，12ln 10ln 2u u =-=>-=，而()ln f n n=-发散，则可排除（A ）；取21()f x x=，46()0f x x''=>，12114u u =>=，而21()f n n=收敛，则可排除（B ）；取2()f x x =，()20f x ''=>，1214u u =<=，而2()f n n =发散，则可排除（C ）；故选（D ）.事实上， 若12u u <，则211(2)(1)()02121u u f f f ξ--'==>--.对任意()1,x ξ∈+∞，因为()0f x ''>，所以1()()0f x f c ξ''>>>， 对任意()21,ξξ∈+∞，()121()()()()f x f f x x ξξξ'=+-→+∞→+∞.故选（D ）.【评注】对于含有抽象函数的问题，通过举符合题设条件的函数的反例可简化计算.7…….【分析】本题考查二元函数可微的充分条件. 利用可微的判定条件及可微与连续，偏导的关系.【详解】本题也可用排除法，（A ）是函数在()0,0连续的定义；（B ）是函数在()0,0处偏导数存在的条件；（D ）说明一阶偏导数(0,0),(0,0)x y f f ''存在，但不能推导出两个一阶偏导函数(,),(,)x y f x y f x y ''在点(0,0) 处连续，所以（A ）（B ）（D ）均不能保证(,)f x y 在点()0,0处可微. 故应选（C ）.事实上， 由((,)0,0lim0x y →=可得(,0)(0,0)lim lim0x x f x f xx→→-==，即(0,0)0,x f '=同理有(0,0)0.y f '=从而 0[(,)(0,0)]((0,0)(0,0))l i mxy f x y ff x f y ρρ→''∆∆--∆+∆= 0(,)(0,0)limlim0f x y f ρρρ→→∆∆-∆∆-==.根据可微的判定条件可知函数(,)f x y 在点()0,0处可微，故应选(C). 【评注】二元函数连续或偏导数存在均不能推出可微，只有当一阶偏导数连续时，才可微. 8,……【分析】本题更换二次积分的积分次序，先根据二次积分确定积分区域，然后写出新的二次积分.【详解】由题设可知，,sin 12x x y ππ≤≤≤≤，则01,arcsin y y x ππ≤≤-≤≤，故应选（B ）.【评注】本题为基础题型. 画图更易看出.9……..【分析】本题考查由线性无关的向量组123,,ααα构造的另一向量组123,,βββ的线性相关性. 一般令()()123123,,,,A βββααα=，若0A =，则123,,βββ线性相关；若0A ≠，则123,,βββ线性无关. 但考虑到本题备选项的特征，可通过简单的线性运算得到正确选项.【详解】由()()()1223310αααααα-+-+-=可知应选（A ）.或者因为()()122331123101,,,,110011ααααααααα-⎛⎫⎪---=- ⎪ ⎪-⎝⎭，而1011100011--=-， 所以122331,,αααααα---线性相关，故选（A ）.【评注】本题也可用赋值法求解，如取()()()TTT1231,0,0,0,1,0,0,0,1ααα===，以此求出（A ），（B ），（C ），（D ）中的向量并分别组成一个矩阵，然后利用矩阵的秩或行列式是否为零可立即得到正确选项.10….【分析】本题考查矩阵的合同关系与相似关系及其之间的联系，只要求得A 的特征值，并考虑到实对称矩阵A 必可经正交变换使之相似于对角阵，便可得到答案.【详解】 由2211121(3)112E A λλλλλλ--=-=--可得1233,0λλλ===，所以A 的特征值为3,3,0；而B 的特征值为1,1,0.所以A 与B 不相似，但是A 与B 的秩均为2，且正惯性指数都为2，所以A 与B 合同，故选（B ）.【评注】若矩阵A 与B 相似，则A 与B 具有相同的行列式，相同的秩和相同的特征值. 所以通过计算A 与B 的特征值可立即排除（A ）（C ）. 11…【分析】本题为00未定式极限的求解，利用洛必达法则即可.【详解】2321cos arctan sin 1limlim 3x x xx xxxx→→--+=221cos (1)lim3x x x x→-+=22cos sin (1)111lim6366x x x x x x→-++==-+=-.【评注】本题利用了洛必达法则. 本题还可用泰勒级数展开计算. 因为 333311arctan (), sin ()36x x x o x x x x o x =-+=++，所以 3arctan sin 1lim6x x xx→-=-.12…..【分析】本题考查参数方程的导数及导数的几何意义. 【详解】因为44d cos d sin 2cos sin t t y txt t tππ====---，所以曲线在对应于4t π=的点的切线斜率为-，故曲线在对应于4t π=.【评注】本题为基础题型.13….【分析】本题求函数的高阶导数，利用递推法或函数的麦克老林展开式. 【详解】()212,2323y y x x '==-++，则()1(1)2!()(23)n nn n n yx x +-=+，故()1(1)2!(0)3n nn n n y+-=.【评注】本题为基础题型.14…..【分析】本题求解二阶常系数非齐次微分方程的通解，利用二阶常系数非齐次微分方程解的结构求解，即先求出对应齐次方程的通解Y ，然后求出非齐次微分方程的一个特解*y ，则其通解为 *y Y y =+.【详解】对应齐次方程的特征方程为2124301,3λλλλ-+=⇒==，则对应齐次方程的通解为 312e e x xy C C =+.设原方程的特解为 2*exy A =，代入原方程可得22224e 8e 3e 2e 2xxxxA A A A -+=⇒=-， 所以原方程的特解为2*2exy =-，故原方程的通解为 3212e e 2e x x x y C C =+-，其中12,C C 为任意常数. 【评注】本题为基础题型.15……【分析】本题为二元复合函数求偏导，直接利用公式即可. 【详解】利用求导公式可得1221z y f f x xy∂''=-+∂，1221z x f f yxy∂''=-∂，所以122z zy x x yf f xy x y ⎛⎫∂∂''-=-- ⎪∂∂⎝⎭.【评注】二元复合函数求偏导时，最好设出中间变量，注意计算的正确性. 16……【分析】先将3A 求出，然后利用定义判断其秩. 【详解】30100000100100000()1000100000000A A r A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪=⇒=⇒= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【评注】本题考查矩阵的运算和秩，为基础题型.17……【分析】对含变上限积分的函数方程，一般先对x 求导，再积分即可. 【详解】()1cos sin ()d d sin cos f x x t t ft t tt t t --=+⎰⎰两边对x 求导得 1(c o s s i n)(())()s i n c o sx x x ff x f x x x --'=+(cos sin )cos sin ()()sin cos sin cos x x x x xxf x f x x x x x--''⇒=⇒=++，（0x ≠）两边积分得()ln |sin cos |f x x x C ⇒=++. （1）将0x =代入题中方程可得(0)01cos sin ()d d 0sin cos f t t ft t tt t t--==+⎰⎰.因为()f x 是区间0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调、可导的函数，则1()fx -的值域为0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，单调非负，所以(0)0f =. 代入（1）式可得0C =，故()l n |sincos |f x x x =+.【评注】利用变限积分的可导性是解函数方程的方法之一.18…..【分析】V (a )的可通过广义积分进行计算，再按一般方法求V (a ) 的最值即可【详解】（Ⅰ）0()d d ln x x aaa V a xax x aaππ--+∞+∞==-⎰⎰2222d ln ln ln ln x x x aaaa x a a a aax aaaaaππππ---+∞+∞+∞=-+=-=⎰.（Ⅱ）令224312ln 2ln 2(ln 1)()0ln ln a a a a a a a V a aaπππ⋅-⋅⋅-'===，得e a =.当e a >时，()0V a '>，()V a 单调增加； 当1e a <<时，()0V a '<，()V a 单调减少.所以()V a 在e a =取得极大值，即为最大值，且最大值为2(e)e V π=. 【评注】本题为定积分几何应用的典型问题，需记忆相关公式，如平面图形的面积，绕坐标轴的旋转体的体积公式等. 19…...【分析】本题为不含y 的可降阶方程，令y p '=，然后求解方程. 【详解】本题不含y ，则设y p '=，于是y p '''=，原方程变为 2()p x p p '+=， 则d d x x p pp=+，解之得()x p p C =+，将(1)1p =代入左式得 0C =，于是 2x p=3223y y x C '⇒=⇒=+，结合(1)1y =得0C =，故 3223y x =.【评注】本题为基础题型.20……….【分析】本题实质上是二元复合函数的求导，注意d d y x需用隐函数求导法确定..【详解】令ln sin u y x =-，则0d d d d x x z fu u y xu x y x ==⎛⎫∂∂∂=⋅+⋅ ⎪∂∂∂⎝⎭.1e1y y x --=两边对x 求导得 1111ee e 01ey y y y y x y y x ----'''--=⇒=-，又(0)1y =，可得 (0)1y '=在11e1ey y y x --'=-两边对x 求导得 ()()()1111121e1ee e e21e y y y y y x x y y x x y y x -----==-''----''==-.所以d d 1d (0)cos d d d x x x z f u u y y f x xu x y x y x ===⎛⎫⎛⎫∂∂∂'=⋅+⋅=-+⋅ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭111e(0)cos 01e y x y f x y x -=-⎛⎫'=-+⋅= ⎪-⎝⎭.22222002222d 1d 1d 1d cos sin d d d d x x z fy fy y x x xu y x u y x y x ==⎡⎤⎛⎫⎛⎫∂∂⎛⎫=⋅-+⋅+⋅--+⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦22221d 1d (0)sin 1d d x y y f x y x y x =⎛⎫⎛⎫'=--+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【评注】也可利用11e e 0y y y x y --''--=两边对x 求导得11121e e e e 0y y y y y y y x y x y ----'''''''----= 可得(0)y ''.21……【分析】由所证结论()()f g ξξ''''=可联想到构造辅助函数()()(F x f x g x=-，然后根据题设条件利用罗尔定理证明. 【详解】令()()()F x f x g x =-，则()F x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且()()0F a F b ==.（1）若(),()f x g x 在(,)a b 内同一点c 取得最大值，则()()()0f c g c F c =⇒=， 于是由罗尔定理可得，存在12(,),(,)a c c b ξξ∈∈，使得12()()0F F ξξ''==.再利用罗尔定理，可得 存在12(,)ξξξ∈，使得()0F ξ''=，即()()f g ξξ''''=. （2）若(),()f x g x 在(,)a b 内不同点12,c c 取得最大值，则12()()f c g c M ==，于是111222()()()0,()()()0F c f c g c F c f c g c =->=-<，于是由零值定理可得，存在312(,)c c c ∈，使得3()0F c = 于是由罗尔定理可得，存在1323(,),(,)a c c b ξξ∈∈，使得12()()0F F ξξ''==.再利用罗尔定理，可得 ，存在12(,)ξξξ∈，使得()0F ξ''=，即()()f g ξξ''''=. 【评注】对命题为()()0n fξ=的证明，一般利用以下两种方法：方法一：验证ξ为(1)()n f x -的最值或极值点，利用极值存在的必要条件或费尔马定理可得证；方法二：验证(1)()n fx -在包含x ξ=于其内的区间上满足罗尔定理条件.22…..【分析】由于积分区域关于,x y 轴均对称，所以利用二重积分的对称性结论简化所求积分.【详解】因为被积函数关于,x y 均为偶函数，且积分区域关于,x y 轴均对称，所以1DD (,)d (,)d f x y f x y σσ=⎰⎰⎰⎰，其中1D 为D 在第一象限内的部分.而12D 1,0,012,0,(,)d d x y x y x y x y f x y x σσσ+≤≥≥≤+≤≥≥=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰11222211d d d d x xx x x x y x y x y ---⎛⎫ ⎪=++⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰(1112=++.所以(D1(,)d 13f x y σ=++⎰⎰.【评注】被积函数包含22yx +时, 可考虑用极坐标，解答如下：1210,00,0(,)d x y x y x y x y f x y σσ≤+≤≤+≤>>>>=⎰⎰⎰⎰22sin cos 10sin cos d d r πθθθθθ++=⎰⎰=+.23……【分析】将方程组和方程合并，然后利用非齐次线性方程有解的判定条件求得a .【详解】将方程组和方程合并，后可得线性方程组12312321231230204021x x x x x ax x x a x x x x a ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=-⎩其系数矩阵22111011101200110140031012110101a a A aa a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪⎪=→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭. 211101110011001100032000110110(1)(2)0a a a a a a aa a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪⎪→→ ⎪ ⎪-+-- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭. 显然，当1,2a a ≠≠时无公共解.当1a =时，可求得公共解为 ()T1,0,1k ξ=-,k 为任意常数；当2a =时，可求得公共解为 ()T0,1,1ξ=-.【评注】本题为基础题型，考查非齐次线性方程组解的判定和结构.（24） (本题满分11分)设三阶对称矩阵A 的特征向量值1231,2,2λλλ===-，T1(1,1,1)α=-是A 的属于1λ的一个特征向量，记534B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵.（I ）验证1α是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量； （II ）求矩阵B .【分析】本题考查实对称矩阵特征值和特征向量的概念和性质.【详解】（I ）()()5353531111111111144412B A A E ααλαλααλλαα=-+=-+=-+=-， 则1α是矩阵B 的属于－2的特征向量. 同理可得()532222241B αλλαα=-+=，()533333341B αλλαα=-+=. 所以B 的全部特征值为2，1，1设B 的属于1的特征向量为T2123(,,)x x x α=，显然B 为对称矩阵，所以根据不同特征值所对应的特征向量正交，可得T120αα=.即 1230x x x -+=，解方程组可得B 的属于1的特征向量T T 212(1,0,1)(0,1,0)k k α=-+，其中12,k k 为不全为零的任意常数. 由前可知B 的属于－2的特征向量为 T 3(1,1,1)k -，其中3k 不为零. （II ）令101011101P ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，由（Ⅰ）可得-1100010002P BP ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，则 011101110B -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.【评注】本题主要考查求抽象矩阵的特征值和特征向量，此类问题一般用定义求解，要想方设法将题设条件转化为A x x λ=的形式. 请记住以下结论：（1）设λ是方阵A 的特征值，则21*,,,(),,kA aA bE A f A A A -+分别有特征值 21,,,(),,(A k a b f A λλλλλλ+可逆），且对应的特征向量是相同的. （2）对实对称矩阵来讲，不同特征值所对应的特征向量一定是正交的。
2007年考研数学二真题及解析
您所下载的资料来源于弘毅考研资料下载中心 获取更多考研资料，请访问
1….【分析】本题为等价无穷小的判定，利用定义或等价无穷小代换即可.
( 【详解】当 x → 0+ 时， 1− e x ∼ − x ， 1 + x −1 ∼ 1 x ，1− cos x ∼ 1
（Ⅱ）当 a 为何值时， V (a) 最小？并求此最小值.
（19）（本题满分 10 分）求微分方程 y′′( x + y′2 ) = y′ 满足初始条件 y(1) = y′(1) = 1的特解
（20）（本题满分 11 分）已知函数 f (u) 具有二阶导数，且 f ′(0) = 1，函数 y = y(x) 由方
=
3π 8
，
F ( 2)
=
1π 2
22
=
1π 2
，
∫ ∫ ∫ F(−2) =
−2
0
f ( x)dx = − f ( x)dx =
2 f ( x)dx = 1 π 12 = 1 π .
0
−2
0
2
2
所以 F(3) = 3 F(2) = 3 F(−2) ，故选（C）.
4
4
【评注】本题属基本题型. 本题利用定积分的几何意义比较简便.
x→1
x→1 ⎛ 1 ⎞
x⎜ex −e⎟
⎝⎠
(ex + e) tan x
lim f (x) = lim
=∞.
π x→±
2
π x→±
2
⎛1 ⎞ x⎜ex −e⎟
⎝⎠
所以 x = 0 为函数 f (x)的第一类间断点，故应选（A）.
【评注】本题为基础题型. 对初等函数来讲，无定义点即为间断点，然后再根据左右极限判 断间断点的类型；对分段函数来讲，每一分段支中的无定义点为间断点，而分段点 也可能为间断点，然后求左右极限进行判断. 类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第 1 讲【例 4】和【例 5】，《数学复习指