2020北京市中考数学专题复习 二次函数综合题
二、重难专题突破
专题七二次函数综合题(必考)
类型一抛物线图象性质问题
(8年2考：2017.27、2013.23)
1.(2019通州区一模)已知二次函数y＝x2－ax＋b在x＝0和x＝4时的函数值相等.
(1)求二次函数y＝x2－ax＋b的对称轴；
(2)过P(0，1)作x轴的平行线与二次函数y＝x2－ax＋b的图象交于不同的两点M、N.
①当MN＝2时，求b的值；
②当PM＋PN＝4时，请结合函数图象，直接写出b的取值范围.
2.(2019石景山区一模)在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx＋1(k≠0)经过点A(2，3)，与y轴交于点B，与抛物线y＝ax2＋bx＋a的对称轴交于点C(m，2).
(1)求m的值；
(2)求抛物线的顶点坐标；
(3)N(x1，y1)是线段AB上一动点，过点N作垂直于y轴的直线与抛物线交于点P(x2，y2)，Q(x3，y3)(点P在点Q的左侧).若x2＜x1＜x3恒成立，结合函数的图象，求a的取值范围.
3.(2019海淀区一模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)经过点A(0，－3)和B(3，
0).
(1)求c的值及a，b满足的关系式；
(2)若抛物线在A，B两点间从左到右上升，求a的取值范围；
(3)结合函数图象判断：抛物线能否同时经过点M(－1＋m，n)，N(4－m，n)？若能，写出一个符合要求的抛物线的表达式和n的值；若不能，请说明理由.
类型二抛物线与直线(线段)的公共点问题
(8年5考：2019.26、2018.26、2015.27、2014.23、2012.23)
1.(2019朝阳区一模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2－2x＋a－3，当a＝0时，抛物线与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度，得到点B.
(1)求点B的坐标；
(2)将抛物线在直线y＝a上方的部分沿直线y＝a翻折，图象的其他部分保持不变，得到一个新的图象，记为图形M，若图形M与线段AB恰有两个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围.
2.(2019西城区一模)在平面直角坐标系中xOy中，已知抛物线y＝x2－mx＋n.
(1)当m＝2时，
①求抛物线的对称轴，并用含n的式子表示顶点的纵坐标；
②若点A(－2，y1)，B(x2，y2)都在抛物线上，且y2＞y1，则x2的取值范围是；
(2)已知点P(－1，2)，将点P向右平移4个单位长度，得到点Q.当n＝3时，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围.
3.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－(2a＋2)x＋b(a≠0)，在x＝0和x＝6时函数值相等.
(1)求a的值；
(2)若抛物线与直线y＝－2x的一个交点为(2，m)，求抛物线的解析式；
(3)在(2)的条件下，直线y＝－2x－4与x轴，y轴分别交于A、B两点，将线段AB向右平移n(n＞0)个单位，同时将抛物线在2≤x≤7的部分图象向左平移n个单位后得到的图象记为G，若图象G与平移后的线段有公共点，结合函数图象，求n的取值范围.
第3题图
4.(2019丰台区二模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝ax2－2ax－3a(a≠0)和点A(0，－3).将点A向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到点B.
(1)求点B的坐标；
(2)求抛物线C1的对称轴；
(3)把抛物线C1沿x轴翻折，提到一条新抛物线C2，抛物线C2与抛物线C1组成的图象记为G.若图象G 与线段AB恰有一个交点时，结合图象，求a的取值范围.
类型三抛物线与直线(线段)构成封闭区域的整点问题
(仅2016.27考查)
1.(2019通州区期末)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－4ax＋m(a≠0)与x轴的交点为A、B，(点A在点B的左侧)，且AB＝
2.
(1)求抛物线的对称轴及m的值(用含字母a的代数式表示)；
(2)若抛物线y＝ax2－4ax＋m(a≠0)与y轴的交点在(0，－1)和(0，0)之间，求a的取值范围；
(3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内(包括边界)恰有5个整点，结合函数的图象，直接写出a的取值范围.
2.(2019石景山区期末)在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx＋b(k≠0)与抛物线y＝ax2－4ax＋3a的对称轴交于点A(m，－1)，点A关于x轴的对称点恰为抛物线的顶点.
(1)求抛物线的对称轴及a的值；
(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记直线y＝kx＋b(k≠0)与抛物线围成的封闭区域(不含边界)为W.
①当k＝1时，直接写出区域W内的整点个数；
②若区域W内恰有3个整点，结合函数图象，求b的取值范围.
3.(2019门头沟区二模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2ax－3a(a≠0)顶点为P，且该抛物线与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧).我们规定：抛物线与x轴围成的封闭区域称为“G区域”(不包含边界)；横、纵坐标都是整数的点称为整点.
(1)求抛物线y＝ax2－2ax－3a顶点P的坐标(用含a的代数式表示)；
(2)如果抛物线y＝ax2－2ax－3a经过(1，3).
①求a的值；
②在①的条件下，直接写出“G区域”内整点的个数.
(3)如果抛物线y＝ax2－2ax－3a在“G区域”内有4个整点，直接写出a的取值范围.。
中考数学总复习《二次函数与一次函数的综合应用》练习题及答案
中考数学总复习《二次函数与一次函数的综合应用》练习题及答案班级:___________姓名：___________考号：_____________一、单选题1．已知函数y1=mx2+n，y2=mx+n(m>0)，当p<x<q时，y1<y2，则（）A．0<q−p<2B．0<q−p≤2C．0<q−p<1D．0<q−p≤12．一次函数y=bx+a(b≠0)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．3．函数y=mx+m和函数y=﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．4．小飞研究二次函数y=-(x-m)2-m+1(m为常数)性质时如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线y=-x+1上；②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点A(x1,y1)与点B(x2,y2)在函数图象上，若x1<x2，x1+x2>2m，则y1<y2；④当-1<x<2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m≥2其中错误结论的序号是（）A．①B．②C．③D．④5．将二次函数y＝x2﹣5x﹣6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为（）A．﹣734或﹣12B．﹣734或2C．﹣12或2D．﹣694或﹣126．如图，函数y1＝|x2﹣m|的图象如图，坐标系中一次函数y2＝x＋b的图象记为y2，则以下说法中：①当m＝1，且y1与y2恰好有三个交点时b有唯一值为1；②当m＝4，且y1与y2只有两个交点时，b＞174或﹣2＜b＜2；③当m＝﹣b时，y1与y2一定有交点：④当m＝b时，y1与y2至少有2个交点，且其中一个为（0，m）.正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．直线y=ax﹣6与抛物线y=x2﹣4x+3只有一个交点，则a的值为（）A．a=2B．a=10C．a=2或a=﹣10D．a=2或a=108．已知一次函数y1=2x−2，二次函数y2=x2，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值分别为y1和y2，则下列表述正确的是（）A．y1>y2B．y1<y2C．y1=y2D．y1，y2的大小关系不确定9．已知一次函数y1=kx+m(k≠0)和二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)部分自变量和对应的函数值如表：x…-10245…y1…01356…y2…0-1059…21A．-1＜x＜2B．4＜x＜5C．x＜-1或x＞5D．x＜-1或x＞410．对于每个x，函数y是y1=-x+6，y2=-2x2+4x+6这两个函数的较小值，则函数y的最大值是（）A．3B．4C．5D．611．如图是王阿姨晚饭后步行的路程s（单位：m）与时间t（单位：min）的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分．下列说法不正确的是（）A．25min～50min，王阿姨步行的路程为800mB．线段CD的函数解析式为s=32t+400（25≤t≤50）C．5min～20min，王阿姨步行速度由慢到快D．曲线段AB的函数解析式为s=-3（t-20）2+1200（5≤t≤20）12．如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，且点M是抛物线y= 12x2+bx+c的顶点，则抛物线y= 12x2+bx+c与直线y=1交点的个数是（）A．0个或1个B．0个或2个C．1个或2个D．0个、1个或2个二、填空题13．抛物线y=2x2+x+a与直线y=−x+3没有交点，则a的取值范围是．14．如图，已知抛物线y1=−2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1，y2，若y1≠y2，取y1，y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2，例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1<y2，此时M=0，下列判断：①当x<0时，y1>y2；②当x<0时，x值越大，M值越小；③使得M大于2的x值不存在；④使得M=1的x值是−12或√22.其中正确的是.15．如图，已知直线y=﹣34x+3分别交x轴、y轴于点A、B，P是抛物线y=﹣12x2+2x+5的一个动点，其横坐标为a，过点P且平行于y轴的直线交直线y=﹣34x+3于点Q，则当PQ=BQ时，a的值是．16．已知一次函数y1＝kx+m（k≠0）和二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）部分自变量和对应的函数值如表：x…﹣10245…y1…01356…y2…0﹣1059…21的取值范围是．17．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C为y轴正半轴上的一个动点，过点C的直线与二次函数y=x2的图象交于A、B两点，且CB=3AC，P为CB的中点，设点P的坐标为P(x，y)(x>0)，写出y关于x的函数表达式为：.18．直线y=x+2与抛物线y=x2的交点坐标是.三、综合题19．随着互联网的普及，某手机厂商采用先网络预定，然后根据订单量生产手机的方式销售，2015年该厂商将推出一款新手机，根据相关统计数据预测，定价为2200元，日预订量为20000台，若定价每减少100元，则日预订量增加10000台．（1）设定价减少x元，预订量为y台，写出y与x的函数关系式；（2）若每台手机的成本是1200元，求所获的利润w（元）与x（元）的函数关系式，并说明当定价为多少时所获利润最大；（3）若手机加工成每天最多加工50000台，且每批手机会有5%的故障率，通过计算说明每天最多接受的预订量为多少？按最大量接受预订时，每台售价多少元？20．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过B（﹣2，6），C（2，2）两点．（1）试求抛物线的解析式；（2）记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；（3）若直线y=﹣12x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，求b的取值范围．21．如图，已知抛物线 y =−12x 2+bx +c 经过A （2，0）、B （0，-6）两点，其对称轴与轴交于点C（1）求该抛物线和直线BC 的解析式；（2）设抛物线与直线BC 相交于点D ，连结AB 、AD ，求△ABD 的面积.22．某企业研发了一种新产品，已知这种产品的成本为30元/件，且年销售量 y （万件）与售价 x （元/件）的函数关系式为 y ={−2x +140，(40≤x <60)−x +80.(60≤x ≤70)（1）当售价为60元/件时，年销售量为 万件；（2）当售价为多少时，销售该产品的年利润最大？最大利润是多少？ （3）若销售该产品的年利润不少于750万元，直接写出 x 的取值范围.23．抛物线y ＝ax 2与直线y ＝2x －3交于点A(1，b)．（1）求a ，b 的值；（2）求抛物线y ＝ax 2与直线y ＝－2的两个交点B ，C 的坐标(B 点在C 点右侧)； （3）求△OBC 的面积．24．如图，平面直角坐标系中，抛物线 y =ax 2+bx +c 经过 A(−1,0) ， B(3,0) 两点，与 y 轴交于点 C(0,−3) ，点 D 是抛物线的顶点.（1）求抛物线的解析式；（2）设P(m,n)为对称轴上一点，若∠PCD为钝角，求n的取值范围.参考答案1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】C 5．【答案】A 6．【答案】B 7．【答案】C 8．【答案】B 9．【答案】D 10．【答案】D 11．【答案】C 12．【答案】D 13．【答案】a >3.5 14．【答案】③④15．【答案】﹣1，4，4+2 √5 ，4﹣2 √5 16．【答案】x ＜﹣1或x ＞4 17．【答案】y =83x 218．【答案】（-1，1）和（2，4）19．【答案】（1）解：根据题意：y ＝20000+ x 100 ×10000＝100x+20000（2）解：设所获的利润w （元） 则W ＝（2200﹣1200﹣x ）（100x+20000） ＝﹣100（x ﹣400）2+36000000；所以当降价400元，即定价为2200﹣400＝1800元时，所获利润最大 （3）解：根据题意每天最多接受50000（1﹣0.05）＝47500台 此时47500＝100x+20000 解得：x ＝275．所以最大量接受预订时，每台定价2200﹣275＝1925元．20．【答案】（1）解：由题意 {4a −2b +2=64b +2b +2=2 解得 {a =12b =−1∴抛物线解析式为y= 12x 2﹣x+2．（2）解：∵y= 12 x 2﹣x+2= 12 （x ﹣1）2+ 32．∴顶点坐标（1，3 2）∵直线BC为y=﹣x+4，∴对称轴与BC的交点H（1，3）∴S△BDC=S△BDH+S△DHC= 12×32•3+ 12×32•1=3．（3）解：由{y=−12x+by=12x2−x+2消去y得到x2﹣x+4﹣2b=0当△=0时，直线与抛物线相切，1﹣4（4﹣2b）=0∴b= 15 8当直线y=﹣12x+b经过点C时，b=3当直线y=﹣12x+b经过点B时，b=5∵直线y=﹣12x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点∴158＜b≤3．21．【答案】（1）解：将A（2，0）、B（0，-6）代入y=−12x2+bx+c中可得{−12×22+2b+c=0c=−6解得：b=4；c=-6∴该抛物线的解析式为y=−12x2+4x−6∴抛物线对称轴为x=−42×(−12)=4∴C(4,0)设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0)将B（0，-6），C(4，0)代入得解得：k=32,b=−6∴直线BC 的解析式为 y =32x −6（2）解：连立方程组可得 {y =32x −6y =−12x 2+4x −6解得 {x =5y =32∴D(5， 32)∴△ABD 的面积为 12×2×(23+6)=15222．【答案】（1）20（2）解：设销售该产品的年利润为 W 万元当 40≤x <60 时， W =(x −30)(−2x +140)=−2(x −50)2+800 . ∵－2<0 ∴当 x =50 时 当 60≤x ≤70 时 ∵−1<0 ∴当 x =60 时 ∵800>600 ∴当 x =50 时∴当售价为50元/件时，年销售利润最大，最大为800万元. （3）解： 45≤x ≤55 理由如下：由题意得(x −30)(−2x +140)≥750解得 45≤x ≤5523．【答案】（1）解：∵点 A(1，b) 在直线 y =2x −3 上∴b =−1∴点 A 坐标 (1，−1)把点 A(1，−1) 代入 y =ax 2 得到 a =−1∴a =b =−1.（2）解：由 {y =−x 2y =−2 解得 {x =√2y =−2 或 {x =−√2y =−2 ∴点 C 坐标 (−√2，−2)， 点 B 坐标 (√2，−2). （3）解： S △BOC =12×2√2×2=2√2.24．【答案】（1）解：由已知，设 y =a(x +1)(x −3)把C(0,−3)代入，得−3a=−3∴y=(x+1)(x−3)即y=x2−2x−3.（2）解：由y=x2−2x−3，得y=(x−1)2−4∴顶点D(1,−4).过点D作DH⊥y轴于点H，连结BC交对称轴于点E，连结DC.∵B(3,0)，C(0,−3)∴OB=OC=3∴∠BCO=∠DCH=45°∴∠DCE=90°设BC函数表达式为y=kx+b把B(3,0)，C(0,−3)两点代入y=kx+b得{k=1b=−3即BC函数表达式为y=x−3∵点E在对称轴上∴点E横坐标为1，代入y=x−3得E(1,−2)由∠PCD为钝角，则点P在点E上方即n>−2.第11页共11页。
2020年春北师大版本数学中考专题演练 二次函数(Ⅱ卷)
2020春北师大版本数学中考专题演练—二次函数（Ⅱ卷）全卷满分100分考试时间60分钟第一部分（共36分）一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。
在给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足表格：x…﹣3﹣2﹣101…y…﹣3﹣2﹣3﹣6﹣11…则该函数图象的顶点坐标为（）A．（﹣3，﹣3）B．（﹣2，﹣2）C．（﹣1，﹣3）D ．（0，﹣6）2．已知二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），则代数式1﹣a﹣b的值为（）A．﹣1 B．2 C．﹣3 D．53．抛物线y=2x2+4与y轴的交点坐标是（）A．（0，2） B．（0，﹣2）C．（0，4） D．（0，﹣4）4．将抛物线y=2（x﹣1）2+3向右平移2个单位后所得抛物线的表达式为（）A．y=2（x﹣1）2+5 B．y=2（x﹣1）2+1 C．y=2（x+1）2+3 D．y=2（x﹣3）2+3 5．将抛物线y=ax2﹣1平移后与抛物线y=a（x﹣1）2重合，抛物线y=ax2﹣1上的点A（2，3）同时平移到A′，那么点A′的坐标为（）A．（3，4） B．（1，2）C．（3，2）D．（1，4）6．一位篮球运动员跳起投篮，篮球运行的高度y（米）关于篮球运动的水平距离x（米）的函数解析式是y=﹣（x﹣2.5）2+3.5．已知篮圈中心到地面的距离3.05米，如果篮球运行高度达到最高点之后能准确投入篮圈，那么篮球运行的水平距离为（）A．1米B．2米C．4米D．5米7．抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系内的图象大致为（）A．B．C．D．8．在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+b与y=ax2﹣bx的图象可能是（）A．B．C．D．9．一次函数y=ax+c（a≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．10．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3⑤当x＜0时，y随x增大而增大，其中结论正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个11．如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：①a﹣b+c＞0；②3a+b=0；③b2=4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2C．3 D．412．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，并且关于x的一元二次方程ax2+bx+c ﹣m=0有两个不相等的实数根，下列结论：①b2﹣4ac＜0；②abc＞0；③a﹣b+c＜0；④m＞﹣2，其中，正确的个数有（）A．1 B．2C．3 D．4第二部分（共64分）二、解答题（第一题8分，第二、第三、第四、第五题9分，第六、第七题10分）1．将抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位，所得新抛物线与x轴正半轴交于点B，与y 轴交于点C，顶点为D．求：（1）点B、C、D坐标；（2）△BCD的面积．2．如图，已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．3．如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（﹣1，﹣2），抛物线F：y=x2﹣2mx+m2﹣2与直线x=﹣2交于点P．（1）当抛物线F经过点C时，求它的表达式；（2）设点P的纵坐标为y P，求y P的最小值，此时抛物线F上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2≤﹣2，比较y1与y2的大小；（3）当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．4．如图，抛物线y=x2﹣3x +与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E（1）求直线BC的解析式；（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．5．如图，抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点．（1）求这条抛物线对应的函数解析式；（2）求直线AB对应的函数解析式．6．有一种螃蟹，从河里捕获后不放养最多只能活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，以后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元．（1）设X天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于x的函数关系式．（2）如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售额为Q元，写出Q关于X 的函数关系式．（3）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润（利润=销售总额﹣收购成本﹣费用），最大利润是多少？7．2019年3月国际风筝节在铜仁市万山区举办，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠型风筝进价每个为10元，当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请回答以下问题：（1）用表达式表示蝙蝠型风筝销售量y（个）与售价x（元）之间的函数关系（12≤x≤30）；（2）王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？（3）当售价定为多少时，王大伯获得利润最大，最大利润是多少？2020春北师大版本数学中考专题演练—二次函数（Ⅱ卷）参考答案与试题解析一、选择题（本题有12小题，每小题3分，共36分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B A C D A C B C D B C B二、解答题（第一题8分，第二、第三、第四、第五题9分，第六、第七题10分）1．【解答】解：（1）抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位后解析式是y=x2﹣4x+4﹣9，即y=x2﹣4x﹣5．y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，则D的坐标是（2，﹣9）．在y=x2﹣4x﹣5中令x=0，则y=﹣5，则C的坐标是（0，﹣5），令y=0，则x2﹣4x﹣5=0，解得x=﹣1或5，则B的坐标是（5，0）；（2）过D作DA⊥y轴于点A．则S△BCD=S梯形AOBD﹣S△BOC﹣S△ADC=（2+5）×9﹣×2×4﹣×5×5=15．2．【解答】解：（1）把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=﹣x2+mx+3得：0=﹣32+3m+3，解得：m=2，∴y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点坐标为：（1，4）．（2）连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，设直线BC的解析式为：y=kx+b，∵点C（0，3），点B（3，0），∴，解得：，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3，当x=1时，y=﹣1+3=2，∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为：（1，2）．3．【解答】解：（1）∵抛物线F经过点C（﹣1，﹣2），∴﹣2=（﹣1）2﹣2×m×（﹣1）+m2﹣2，解得，m=﹣1，∴抛物线F的表达式是：y=x2+2x﹣1；（2）当x=﹣2时，y p=4+4m+m2﹣2=（m+2）2﹣2，∴当m=﹣2时，y p的最小值﹣2，此时抛物线F的表达式是：y=x2+4x+2=（x+2）2﹣2，∴当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，∵x1＜x2≤﹣2，∴y1＞y2；（3）m的取值范围是﹣2≤m≤0或2≤m≤4，理由：∵抛物线F与线段AB有公共点，点A（0，2），B（2，2），∴或，解得，﹣2≤m≤0或2≤m≤4．4．【解答】解：（1）∵抛物线y=x2﹣3x +与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，∴令y=0，可得x=或x=，∴A （，0），B （，0）；令x=0，则y=，∴C点坐标为（0，），设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有，，解得：，∴直线BC的解析式为：y=x；（2）设点D的横坐标为m，则坐标为（m ，），∴E点的坐标为（m ，m），设DE的长度为d，∵点D是直线BC下方抛物线上一点，则d=m +﹣（m2﹣3m +），整理得，d=﹣m2+m，∵a=﹣1＜0，∴当m==时，d最大===，∴D 点的坐标为（，）．5．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，∴△=4a2﹣4a=0，解得a1=0（舍去），a2=1，∴抛物线解析式为y=x2+2x+1；（2）∵y=（x+1）2，∴顶点A的坐标为（﹣1，0），∵点C是线段AB的中点，即点A与点B关于C点对称，∴B点的横坐标为1，当x=1时，y=x2+2x+1=1+2+1=4，则B（1，4），设直线AB的解析式为y=kx+b，把A（﹣1，0），B（1，4）代入得，解得，∴直线AB的解析式为y=2x+2．6．【解答】解：（1）由题意知：p=30+x；（2）由题意知：活蟹的销售额为（1000﹣10x）（30+x）元，死蟹的销售额为200x元，∴Q=（1000﹣10x）（30+x）+200x=﹣10x2+900x+30000；（3）设总利润为L=Q﹣30000﹣400x=﹣10x2+500x，=﹣10（x2﹣50x）=﹣10（x2﹣50x+252﹣252）=﹣10（x﹣25）2+6250．当x=25时，总利润最大，最大利润为6250元．7．【解答】解：（1）设蝙蝠型风筝售价为x元时，销售量为y个，根据题意可知：y=180﹣10（x﹣12）=﹣10x+300（12≤x≤30）．（2）设王大伯获得的利润为W，则W=（x﹣10）y=﹣10x2+400x﹣3000，令W=840，则﹣10x2+400x﹣3000=840，解得：x1=16，x2=24，答：王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为16元．（3）∵W=﹣10x2+400x﹣3000=﹣10（x﹣20）2+1000，∵a=﹣10＜0，∴当x=20时，W取最大值，最大值为1000．答：当售价定为20元时，王大伯获得利润最大，最大利润是1000元．。
2020年中考数学二次函数专题复习(含答案)
2020年中考数学二次函数专题复习【名师精选全国真题，值得下载练习】第Ⅰ卷（选择题）一．选择题1．二次函数y＝3（x﹣2）2﹣1的图象顶点坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（2，1）D．（2，﹣1）2．当函数y＝（a﹣1）x2+bx+c是二次函数时，a的取值为（）A．a＝1 B．a＝﹣1 C．a≠﹣1 D．a≠13．已知二次函数y＝﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（）A．B．C．2 D．4．已知二次函数y＝（x+m﹣2）（x﹣m）+2，点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）是其图象上两点，（）A．若x1+x2＞2，则y1＞y2B．若x1+x2＜2，则y1＞y2C．若x1+x2＞﹣2，则y1＞y2D．若x1+x2＜﹣2，则y1＜y25．抛物线y＝x2+2先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线的表达式是（）A．y＝（x﹣2）2+3 B．y＝（x﹣2）2﹣1 C．y＝（x﹣3）2+2 D．y＝（x﹣3）2﹣26．如图是二次函数y＝﹣（x﹣2）2+3的图象，使y≥1成立的x的取值范围是（）A．﹣1≤x≤4B．x≤0C．x≥1D．0≤x≤47．对于每个非零自然数n，抛物线y＝x2﹣x+与x轴交于A n，B n 两点，以A n B n表示这两点间的距离，则A1B1+A2B2+A3B3+…+A2019B2019的值是（）A．B．C．D．8．如图是二次函数y＝﹣x2+2x+4的图象，使y≥1成立的x的取值范围是（）A．﹣1≤x≤3B．x≤﹣1 C．x≥1D．x≤﹣1或x≥3 9．关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有一个根是﹣1，若二次函数y＝ax2+bx+的图象的顶点在第一象限，设t＝2a+b，则t的取值范围是（）A．＜t＜B．﹣1＜t≤C．﹣≤t＜D．﹣1＜t＜10．已知二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≤﹣2时，y随x 的增大而减小，且﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为（）A．1或﹣2 B．1 C．D．﹣或11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、c重合），且保持DE⊥DF，连接EF 在此运动变化的过程中，有下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；③点C到线段EF的最大距离为；其中正确结论的个数是（）A．3个B．2个C．1 个D．0个12．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝1．有以下结论：①abc＞0；②8a+c＞0；③若A（x1，m），B（x2，m）是抛物线上的两点，当x＝x1+x2时，y＝c；④点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得PM⊥PN，则a的取值范围为a≥1；⑤若方程a（x+2）（4﹣x）＝﹣2的两根为x1，x2，且x1＜x2，则﹣2≤x1＜x2＜4．其中结论正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题13．若二次函数y＝4x2﹣4x+n的图象与x轴只有一个公共点，则实数n＝．14．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标是．15．若二次函数y＝x2+x+a和x轴有两个交点，则a的取值范围为．16．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣2，当﹣1≤x≤4时，函数的最小值是．17．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x…﹣2 ﹣1 0 1 2 …y…10 5 2 1 2 …则当y＜5时，x的取值范围是．18．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣4，0），对称轴为直线x＝﹣1，下列结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣4，x2＝1；④当y＞0时，﹣4＜x＜2，其中正确的结论有．三．解答题19．已知二次函数y＝（x﹣m）（x+m+4），其中m为常数．（1）求证：不论m为何值，该二次函数的图象与x轴有公共点．（2）若A（﹣1，a）和B（n，b）是该二次函数图象上的两个点，请判断a、b的大小关系．20．某养殖场计划用96米的竹篱笆围成如图所示的①、②、③三个养殖区域，其中区域①是正方形，区域②和③是矩形，且AG：BG＝3：2．设BG的长为2x米．（1）用含x的代数式表示DF＝；（2）x为何值时，区域③的面积为180平方米；（3）x为何值时，区域③的面积最大？最大面积是多少？21．如图，抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4）连接BC，DB，DC．（1）求抛物线的函数解析式；（2）△BCD的面积是否存在最大值，若存在，求此时点D的坐标；若不存在，说明理由；（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．22．某商店购进一批成本为每件30元的商品．经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式；（2）若商店按单价不低于成本价且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，试利用函数图象确定销售单价最多为多少元？23．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过A、B、C三点，己知点A（﹣3，0）、C（1，0）．（1）求此抛物线的解析式．（2）点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B重合），①过点F作x轴的垂线，垂足为D，交直线AB于点E，动点P在什么位置时，PE最大，求出此时P点的坐标．②如图2，连接AP．以AP为边作图示一侧的正方形APMN，当它恰好有一个顶点落在抛物线对称轴上时，求出对应的P点的坐标．参考答案一．选择题1．解：∵二次函数y＝3（x﹣2）2﹣1，∴该函数图象的顶点坐标为（2，﹣1），故选：D．2．解：由题意得：a﹣1≠0，解得：a≠1，故选：D．3．解：二次函数y＝﹣（x﹣1）2+5的大致图象如下：．①当m＜0≤x≤n＜1时，当x＝m时y取最小值，即2m＝﹣（m﹣1）2+5，解得：m＝﹣2．当x＝n时y取最大值，即2n＝﹣（n﹣1）2+5，解得：n＝2或n＝﹣2（均不合题意，舍去）；②当m＜0≤x≤1≤n时，当x＝m时y取最小值，即2m＝﹣（m﹣1）2+5，解得：m＝﹣2．当x＝1时y取最大值，即2n＝﹣（1﹣1）2+5，解得：n＝2.5，或x＝n时y取最小值，x＝1时y取最大值，2m＝﹣（n﹣1）2+5，n＝2.5，∴m＝，∵m＜0，∴此种情形不合题意，所以m+n＝﹣2+2.5＝0.5．故选：A．4．解：如图，当x＝m或x＝﹣m+2时，y＝2，∴抛物线的对称轴x＝＝1，∴当x1+x2＜2时，点A与点B在对称轴的左侧或点A在对称轴的左侧，点B 在对称轴的右侧，且点A离对称轴的距离比点B离对称轴的距离大，观察图象可知，此时y1＞y2，故选：B．5．解：y＝x2+2先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线的表达式是y＝（x﹣2）2﹣1．故选：B．6．解：当y＝1时，1＝﹣（x﹣2）2+3，解得，x1＝0，x2＝4，∵二次函数y＝﹣（x﹣2）2+3，∴该函数图象开口向下，对称轴是直线x＝2，∴y≥1成立的x的取值范围是0≤x≤4，故选：D．7．解：当y＝0时，x2﹣x+＝0，（x﹣）（x﹣）＝0，解得x1＝，x2＝，∴A n，B n两点为（，0），（，0），∴A n B n＝﹣，∴A1B1+A2B2+A3B3+…+A2019B2019＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝．故选：D．8．解：由图象可知，﹣1≤x≤3时，y≥1．故选：A．9．解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有一个根是﹣1，∴二次函数y＝ax2+bx+的图象过点（﹣1，0），∴a﹣b+＝0，∴b＝a+，t＝2a+b，则a＝，b＝，∵二次函数y＝ax2+bx+的图象的顶点在第一象限，∴﹣＞0，﹣＞0，将a＝，b＝代入上式得：＞0，解得：﹣1＜t＜，﹣＞0，解得：t为任意实数，故：﹣1＜t＜，故选：D．10．解：∵二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），∴对称轴是直线x＝﹣＝﹣1，∵当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，∴a＞0，∵﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，∴x＝1时，y＝a+2a+3a2+3＝9，∴3a2+3a﹣6＝0，∴a＝1，或a＝﹣2（不合题意舍去）．故选：B．11．解：连接CD，如图，∵∠C＝90°，AC＝BC＝4，∴△ACB为等腰直角三角形，∴AB＝AC＝4，∠A＝∠B＝45°，∵D是AB的中点，∴AD＝BD＝CD＝2，CD⊥AB，∠BCD＝45°，∵DE⊥DF，∴∠EDF＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，在△ADE和△CDF中∴△ADE≌△CDF（ASA），∴DE＝DF，∴△DFE是等腰直角三角形；所以①正确；∴S△ADE＝S△CDF，∴S四边形DECF＝S△DEC+S△DCF＝S△DEC+S△ADE＝S△ADC＝×2×2＝4，所以②错误；当DE⊥AC时，DE的长度最小，此时EF最短，△DEF的面积最小，则△CEF 的面积最大，所以C点到AB的距离最大，最大距离为CD＝，所以③正确．故选：B．12．解：①由图象可知：a＞0，c＜0，＞0，∴abc＞0，故①正确；②∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线的对称轴为直线x＝1，∴＝1，∴b＝﹣2a，当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＝0，∴4a+4a+c＝0，∴8a+c＝0，故②错误；③∵A（x1，m），B（x2，m）是抛物线上的两点，由抛物线的对称性可知：x1+x2＝1×2＝2，∴当x＝2时，y＝4a+2b+c＝4a﹣4a+c＝c，故③正确；④由题意可知：M，N到对称轴的距离为3，当抛物线的顶点到x轴的距离不小于3时，在x轴下方的抛物线上存在点P，使得PM⊥PN，即≤﹣3，∵8a+c＝0，∴c＝﹣8a，∵b＝﹣2a，∴，解得：a，故④错误；⑤易知抛物线与x轴的另外一个交点坐标为（4，0），∴y＝ax2+bx+c＝a（x+2）（x﹣4）若方程a（x+2）（4﹣x）＝﹣2，即方程a（x+2）（x﹣4）＝2的两根为x1，x2，则x1、x2为抛物线与直线y＝2的两个交点的横坐标，∵x1＜x2，∴x1＜﹣2＜4＜x2，故⑤错误；故选：A．二．填空题（共6小题）13．解：∵二次函数y＝4x2﹣4x+n的图象与x轴只有一个公共点，∴当y＝0时，方程0＝4x2﹣4x+n有两个相同的实数根，∴△＝（﹣4）2﹣4×4n＝0，解得，n＝1，故答案为：1．14．解：∵抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2，∴该抛物线的顶点坐标为（1，2），故答案为：（1，2）．15．解：根据题意得△＝12﹣4a＞0，解得a＜．故答案为a＜．16．解：∵二次函数y＝x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2﹣3，∴该函数开口向上，对称轴是直线x＝1，∵﹣1≤x≤4，∴当x＝1时，函数取得最小值﹣3，故答案为：﹣3．17．解：由表格可知，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝1，该函数开口向上，则当y＝﹣5对应的x的值是x＝﹣1或x＝﹣3，故当y＜5时，x的取值范围是﹣1＜x＜3，故答案为：﹣1＜x＜3．18．解：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）开口向下，a＜0，对称轴为直线x＝﹣1，即﹣＝﹣1，b＝2a，b＜0，与y轴交在正半轴，c＞0，∴abc＞0，因此①正确；∵b＝2a，即2a﹣b＝0，因此②正确；图象过点（﹣4，0），对称轴为直线x＝﹣1，因此与x轴另一个交点（2，0），因此一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣4，x2＝2；故③不正确；由图象可得，图象位于x轴上方时，即y＞0时，相应的自变量的取值范围为﹣4＜x＜2，因此④正确；综上所述，正确的结论有：①②④，故答案为：①②④．三．解答题（共5小题）19．（1）证明：方法一：令y＝0，（x﹣m）（x+m+4）＝0，解得x1＝m，x2＝﹣m﹣4，当m＝﹣m﹣4时，得m＝﹣2，方程有两个相等的实数根，故二次函数与x 轴有一个公共点；当m≠﹣m﹣4，得m≠﹣2，方程有两个不相等的实数根，故二次函数与x轴有两个公共点；由上可得，不论m为何值，该二次函数的图象与x轴有公共点．方法二：∵y＝（x﹣m）（x+m+4）＝x2+4x﹣m2﹣4m，∴当y＝0时，△＝b2﹣4ac＝42﹣4×1×（﹣m2﹣4m）＝4m2+16m+16＝4（m+2）2≥0，即方程有两个实数根．∴不论m为何值，该二次函数的图象与x轴有公共点；（2）∵y＝（x﹣m）（x+m+4）＝x2+4x﹣m2﹣4m，∴该函数的图象的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，函数图象开口向上，∵A（﹣1，a）和B（n，b）是该二次函数图象上的两个点，∴当n＝﹣3时，a＝b，当﹣3＜n＜﹣1时，a＞b，当n＜﹣3或n＞﹣1时，a＜b．20．解：（1）∵区域①是正方形，区域②和③是矩形，AG：BG＝3：2．设BG的长为2x米，则AG＝3x，∴AP＝GH＝BE＝PH＝AG＝3x，EH＝GB＝2x，DC＝PE＝AB＝5x，∴DF＝（96﹣3×5x﹣3×3x）＝48﹣12x．故答案为48﹣12x．（2）根据题意，得5x（48﹣12x）＝180，解得x1＝1，x2＝3答：x为1或3时，区域③的面积为180平方米；（3）设区域③的面积为S，则S＝5x（48﹣12x）＝﹣60x2+240x＝﹣60（x﹣2）2+240∵﹣60＜0，∴当x＝2时，S有最大值，最大值为240答：x为2时，区域③的面积最大，为240平方米．21．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣2，0），B（4，0）两点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+6；（2）△BCD的面积存在最大值，理由如下：∵y＝﹣x2+x+6，当x＝0时，y＝6，∴C（0，6），设点D的坐标为（m，﹣m2+m+6），过点D作y轴的平行线交BC于点E，如图1所示：设直线BC的解析式为y＝kx+c，把B（4，0），C（0，6）代入得：，解得：，∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+6，∴设点E的坐标为（m，﹣m+6），则△BCD的面积＝△CDE的面积+△BDE的面积＝DE×OB＝×DE×4＝2[（﹣m2+m+6）﹣（﹣m+6）]＝﹣m2+6m＝﹣（m﹣2）2+6，∵﹣＜0，∴当m＝2时，△BCD的面积最大＝6，﹣m2+m+6＝6，∵1＜m＜4，此时点D的坐标为（2，6）；（3）存在，理由如下：（3）分情况讨论：①当BD是平行四边形的一条边时，如图2所示：M、N分别有三个点，设点N（n，﹣n2+n+6），∵D（2，6），∴点N的纵坐标为绝对值为6，即|﹣n2+n+6|＝6，解得：n＝2（舍去），或n＝0，或n＝1±，故点N、N′、N″的横坐标分别为：0，1+，1﹣，∵BD∥MN，B（4，0），D（2，6），∴点M的坐标为：（2﹣0，0）或（1+﹣2，0）或（1﹣﹣2，0）；即点M的坐标为：（2，0）或（﹣1，0）或（﹣﹣1，0）；②当BD是平行四边形的对角线时，如图3所示：∵点B、D的坐标分别为（4，0）、（2，6），C（0，6），∴N与C重合，BM＝CD＝2，∴M（4+2，0），即M（6，0）；综上所述，存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．点M的坐标为：（2，0）或（6，0）或（﹣1，0）或（﹣﹣1，0）．22．解：（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：y＝kx+b，将点（30，100）、（45，70）代入一次函数表达式得：，解得：，故函数的表达式为：y＝﹣2x+160；（2）由题意得：w＝（x﹣30）（﹣2x+160）＝﹣2（x﹣55）2+1250，∵﹣2＜0，故当x＜55时，w随x的增大而增大，而30≤x≤50，∴当x＝50时，w有最大值，此时，w＝1200，故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元；（3）由题意得：（x﹣30）（﹣2x+160）≥800，解得：x≤70，∴每天的销售量y＝﹣2x+160≥20，∴每天的销售量最少应为20件．23．解：（1）把A（﹣3，0）和C（1，0）代入y＝ax2+bx﹣3，得，，解得，，∴抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3；（2）设P（x，x2+2x﹣3），直线AB的解析式为y＝kx+b，①由抛物线解析式y＝x2+2x﹣3，令x＝0，则y＝﹣3，∴B（0，﹣3），把A（﹣3，0）和B（0，﹣3）代入y＝kx+b，得，，解得，，∴直线AB的解析式为y＝﹣x﹣3，∵PE⊥x轴，∴E（x，﹣x﹣3），∵P在直线AB下方，∴PE＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣3x＝﹣（x+）2+，当x＝﹣时，y＝x2+2x﹣3＝，∴当PE最大时，P点坐标为（﹣，）；②抛物线对称轴为直线x＝﹣1，A（﹣3，0），正方形APMN的顶点落在抛物线对称轴上的情况有两种：当点N在抛物线对称轴直线x＝﹣1上时，分别过点P、点N作ND⊥x轴、PE⊥x轴交于点D、E，∵四边形APMN为正方形，ND⊥x轴，PE⊥x轴，∴AN＝AP，∠ADN＝∠AEP＝90°，∠NAD+∠P AE＝90°，∠NAD+∠AND＝90°，∴∠P AE＝∠AND，∴△AND≌△APE（AAS），∴AD＝PE，∵AD＝﹣1﹣（﹣3）＝2，∴PE＝2，此时x2+2x﹣3＝2，解得x1＝﹣1，x2＝﹣﹣1，∵P在直线AB下方，∴x＝﹣﹣1，∴P（﹣﹣1，2）；当点M在抛物线对称轴直线x＝﹣1上时，分别过点P作PF⊥x轴、PG⊥对称轴交于点F、G，∵四边形APMN为正方形，PF⊥x轴，PG⊥y轴，∴P A＝PM，∠PF A＝∠PGM＝90°，∠APF+∠FPM＝90°，∠MPG+∠FPM＝90°，∴∠APF＝∠MPG，∴△PF A≌△PGM（AAS），∴PF＝PG，∴此时﹣（x2+2x﹣3）＝﹣1﹣x，解得x1＝，x2＝，∵P在直线AB下方，∴x＝，∴P（，），终上所述，点P对应的坐标为（﹣﹣1，2）或（，）．。
2020年中考数学压轴题复习：二次函数综合题 (47)
2020年中考数学压轴题复习：二次函数综合题1．如图，二次函数y＝ax2的图象与一次函数y＝x+b的图象相交于A（﹣2，2）、B两点，从点A和点B分别引平行于y轴的直线与x轴分别交于C，D两点，点P（t，0），为线段CD上的动点，过点P且平行于y轴的直线与抛物线和直线分别交于R，S．（1）求一次函数和二次函数的解析式，并求出点B的坐标；（2）当SR＝2RP时，计算线段SR的长；（3）若线段BD上有一动点Q且其纵坐标为t+3，问是否存在t的值，使S△BRQ＝15？若存在，求t的值；若不存在，说明理由．【分析】（1）将A点坐标分别代入抛物线和直线的解析式中即可求出两函数的解析式．然后联立两函数的函数式即可求出B点的坐标．（2）线段SR实际是直线AB的函数值和抛物线函数值的差．而RP的长实际是R点的纵坐标，根据SR＝2RP可得出一个关于P点横坐标t的方程，据此可求出P点的横坐标t．然后代入SR的表达式即可求出SR的长．（3）可用t表示出BQ的长，再根据D，P的坐标用t表示出R到BD的距离，然后根据三角形的面积公式即可得出△BRQ的面积表达式，根据其面积为15可求出t的值．【解答】解：（1）由题意知点A（﹣2，2）在y＝ax2的图象上，又在y＝x+b的图象上所以得2＝a（﹣2）2和2＝﹣2+b，∴，b＝4．∴一次函数的解析式为y＝x+4．二次函数的解析式为y＝x2．由，解得或，所以B点的坐标为（4，8）．（2）因过点P（t，0）且平行于y轴的直线为x＝t，得，所以点S的坐标（t，t+4）．由得，所以点R的坐标（t，t2）．所以SR＝t+4﹣t2，RP＝t2．由SR＝2RP得t+4﹣t2＝2×t2，解得或t＝2．因点P（t，0）为线段CD上的动点，所以﹣2≤t≤4，所以或t＝2当t＝2时，SR＝2+4﹣×22＝4所以线段SR的长为或4．（3）存在符合题意的t．因BQ＝8﹣（t+3）＝5﹣t，点R到直线BD的距离为4﹣t，所以S△BRQ＝（5﹣t）（4﹣t）＝15．解得t＝﹣1或t＝10．因为﹣2≤t≤4，所以t＝﹣1．【点评】本题考查一次函数和二次函数解析式的确定、图形的面积求法、函数图象交点等知识及综合应用知识、解决问题的能力．。
2020年中考数学复习专题汇编： 压轴训练之二次函数综合题
2020中考数学 压轴训练之二次函数综合题（含答案） 1. 如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=ax2-bx+5与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交点为C,直线y=-x-2经过点A,交抛物线于点D,交y轴于点E,连接CD,并且∠ADC=45°.
第1题图 （1）求抛物线的解析式;
（2）过点A的直线AF与抛物线的另一个交点为F,sin∠BAF=5
5
,求点F的坐
标; （3）在（2）的条件下,点P是直线AF下方抛物线上一点,过点P作PQ⊥AF,垂足为Q,若PE=EQ ,求点P的坐标. 解：（1）当x=0时,y=ax2+bx-5=-5,则C（0,-5）, 当y=0时,-x-2=0,则A（-2,0）, 当x=0时,y=-x-2=0,则E（0,-2）, ∴OA=OE, ∴△OAE为等腰直角三角形,∴∠OAE=45°, ∵∠ADC=45°, ∴CD//x轴,
∴△CDE为等腰直角三角形, ∴CD=CE=3,∴D（3,-5）, 把A（-2,0）,D（3,-5）代入y=ax2+bx-5,得55390524baba,解得2321ba,
∴抛物线的解析式为y=21x2-23x-5； （2）设直线AF交y轴于G,如解图①,
在Rt△AOG中,sin∠OAG=5
155AGOG
,
第1题解图① 设OG=t,AG=5t, ∴OA=22)5(tt=2t, ∴2t=2,解得t=1, ∴G（0,1）, 易得直线AG的解析式为y=2
1
x+1,
联立
523211212xxyxy
,解得4602yxyx或,
∴点F的坐标为（6,4）; （3）作EM⊥PQ于M,如解图②, ∵PQ⊥AF, ∴设PQ的解析式为y=-2x+m,
G 第1题解图② ∵EM//AF, ∴EM的解析式为y=21x-2,
联立
mxyxy21
2020年中考数学复习二次函数和一元二次方程专题练习(部分有答案)
2020年中考数学复习二次函数与一元二次方程专题练习一、单选题1．将二次函数24y x x a =-+的图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，若得到的函数图象与直线2y =有两个交点，则a 的取值范围是（ ）A ．3a <B ．3a <C ．5a <D ．5a >2．二次函数y=﹣x 2+mx 的图象如图，对称轴为直线x=2，若关于x 的一元二次方程﹣x 2+mx ﹣t=0（t 为实数）在1＜x ＜5的范围内有解，则t 的取值范围是（ ）A ．t ＞﹣5B ．﹣5＜t ＜3C ．3＜t≤4D ．﹣5＜t≤43．已知抛物线y=x 2+2x+k+1与x 轴有两个不同的交点，则一次函数y=kx ﹣k 与反比例函数y=k x在同一坐标系内的大致图象是（ ） A ． B ． C ． D ．4．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)经过点M (﹣1，2)和点N (1，﹣2)，则下列说法错误的是( ) A ．a +c ＝0B ．无论a 取何值，此二次函数图象与x 轴必有两个交点，且函数图象截x 轴所得的线段长度必大于2C ．当函数在x ＜110时，y 随x 的增大而减小 D ．当﹣1＜m ＜n ＜0时，m +n ＜2a 5．若二次函数22y ax ax c =-+的图象经过点（﹣1，0），则方程220ax ax c -+=的解为（ ） A ．13x =-，21x =- B ．11x =，23x = C ．11x =-，23x = D ．13x =-，21x =6．二次函数2(,,y ax bx c a b c =++为常数，且0a ≠)中的x 与y 的部分对应值如表：下列结论错误的是( )A ．0ac <B ．3是关于x 的方程()210ax b x c +-+=的一个根； C ．当1x >时，y 的值随x 值的增大而减小； D ．当13x 时，()210.ax b x c +-+> 7．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ≠0)的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 坐标为(3，0)，对称轴为直线x ＝1．下列结论正确的是( )A ．abc ＜0B ．b 2＜4acC ．a +b +c ＞0D ．当y ＜0时，﹣1＜x ＜3 8．对于二次函数,下列说法正确的是（ ）A ．当x>0，y 随x 的增大而增大B ．当x=2时，y 有最大值－3C ．图像的顶点坐标为（－2，－7）D ．图像与x 轴有两个交点 9．已知抛物线265y x x =-+与x 轴交于A ，B 两点，将这条抛物线的顶点记为C ，连接AC ，BC ，则cos CAB ∠的值为（ ）A ．12BC ．2D 10．如图是抛物线y 1＝ax 2+bx +c (a ≠0)图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A (1，3)，与x 轴的一个交点B (4，0)，直线y 2＝mx +n (m ≠0)与抛物线交于A ，B 两点，下列结论：①2a +b ＝0；②m +n ＝3；③抛物线与x 轴的另一个交点是(﹣1，0)；④方程ax 2+bx +c ＝3有两个相等的实数根；⑤当1≤x ≤4时，有y 2＜y 1，其中正确的是( )A ．①②③B ．①②④C ．①②⑤D ．②④⑤二、填空题 11．已知二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为1x 、2x ，一元二次方程22140x b x ++=的两实根为3x 、4x ，且23143x x x x -=-=，则二次函数的顶点坐标为____________． 12．已知二次函数y=x 2﹣4x+k 的图象的顶点在x 轴下方，则实数k 的取值范围是_____．13．抛物线22y ax ax =-与直线22y x a =-在同一平面直角坐标系中，若抛物线始终在直线的同一侧不与直线相交，则a 的取值范围是_____．14．已知：y 关于x 的函数22(21)1y k x k x =--+的图象与坐标轴只有两个不同的交点A 、B ，P 点坐标为(3,2)，则PAB △的面积为_____．15．对于实数a ，b ，定义新运算“⊗”：a ⊗b= ()()22a ab a b b ab a b ⎧-≤⎪⎨->⎪⎩；若关于x 的方程()()211x x t +⊗-=恰好有两个不相等的实根，则t 的值为_________________．16．已知二次函数24y x x k =-+的图像与x 轴交点的横坐标是1x 和2x ，且128x x -=，则k =________． 17．如图，抛物线2y ax c =+与直线y mx n =+交于()1,A p -，()3,B q 两点，则不等式2ax mx c n -+<的解集是_______．18．若抛物线y=x 2+bx-3的对称轴为直线2x =，则关于x 的方程250x bx +-=的解为_______． 19．已知关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣c ＝0无实数解，则抛物线y ＝﹣x 2﹣bx +c 经过____象限．20．如图，抛物线2815y x x =-+与x 轴交于A B 、两点，对称轴与x 轴交于点C ，点()0,2D -，点()06，-E ，点P 是平面内一动点，且满足=90,∠︒DPE M 是线段PB 的中点，连结CM ．则线段CM 的最大值是________________．三、解答题21．已知点A （1，1）在抛物线y ＝x 2+（2m +1）x ﹣n ﹣1上（1）求m 、n 的关系式；（2）若该抛物线的顶点在x 轴上，求出它的解析式．22．己知函数223y ax x =--（a 是常数）（1）当1a =时，该函数图像与直线1y x =-有几个公共点？请说明理由；（2）若函数图像与x 轴只有一公共点，求a 的值.23．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根；（2）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集；（3）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．24．已知，如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣1，0），点C （0，5），另抛物线经过点（1，8），M为它的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）求△MCB的面积．25．若一次函数y =mx +n 与反比例函数y =k x同时经过点P(x ，y)则称二次函数y =mx 2+nx -k 为一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点P 为共享点．（1）判断y =2x -1与y =3x是否存在“共享函数”，如果存在，请求出“共享点”．如果不存在，请说明理由； （2）已知：整数m ，n ，t 满足条件t<n<8m ，并且一次函数y=(1+n)x+2m+2与反比例函数y =2020x 存在“共享函数”y=(m+t)x 2+(10m−t)x−2020，求m 的值．（3）若一次函数y =x +m 和反比例函数y =213m x+在自变量x 的值满足m ≤x ≤m +6的情况下，其“共享函数”的最小值为3，求其“共享函数”的解析式．26．在二次函数的学习中，教材有如下内容：例1 函数图象求一元二次方程212202x x --=的近似解（精确到0.1）． 解：设有二次函数2122y x x =--，列表并作出它的图象（图1）．观察抛物线和x 轴交点的位置，估计出交点的横坐标分别约为0.8-和4.8，所以得出方程精确到0.1的近似解为10.8x ≈-，2 4.8x ≈，利用二次函数2y ax bx c =++的图象求出一元二次方程20ax bx c ++=的解的方法称为图象法，这种方法常用来求方程的近似解．小聪和小明通过例题的学习，体会到利用函数图象可以求出方程的近似解．于是他们尝试利用图象法探宄方程32210x x -+=的近似解，做法如下：小聪的做法：令函数3221y x x =-+，列表并画出函数的图象，借助图象得到方程32210x x -+=的近似解． 小明的做法：因为0x ≠，所以先将方程32210x x -+=的两边同时除以x ，变形得到方程212x x x -=-，再令函数212y x x =-和21y x=-，列表并画出这两个函数的图象，借助图象得到方程32210x x -+=的近似解．请你选择小聪或小明的做法，求出方程32210x x -+=的近似解（精确到0.1）．27．阅读材料：若抛物线1L 的顶点A 在抛物线2L 上，抛物线2L 的顶点B 也在抛物线1L 上（点A 与点B 不重合），我们称这样的两条抛物线1L 、2L 互为“友好”抛物线，如图1．解决问题：如图2，已知物线238:24L y x x =-+与y 轴交于点C ．（1）若点D 与点C 关于抛物线3L 的对称轴对称，求点D 的坐标；（2）求出以点D 为顶点的3L 的“友好”抛物线4L 的解析式；（3）直接写出3L 与4L 中y 同时随x 增大而增大的自变量x 的取值范围．28．如图，抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C （0，﹣2），点A 的坐标是（2，0），P 为抛物线上的一个动点，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，交直线BC 于点E ，抛物线的对称轴是直线x ＝﹣1．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P 在第二象限内，且PE ＝14OD ，求△PBE 的面积． （3）在（2）的条件下，若M 为直线BC 上一点，在x 轴的上方，是否存在点M ，使△BDM 是以BD 为腰的等腰三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．C2．D3．D4．C5．C6．C7．D8．B9．D10．B11．325,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 12．k ＜413．1a <或1a >14．1或1215．2.25或016．－1217．13x18．121,5x x =-=19．三、四．20．7221．（1）n ＝2m ；（2）y ＝x 2或y ＝x 2﹣4x +4． 22．（1）函数图像与直线有两个不同的公共点；（2）0a =或13a =-.23．（1）x 1＝1，x 2＝3；（2）1＜x ＜3；（3）k ＜2．24．（1）y=﹣x 2+4x+5；（2）15．25．（1）存在共享函数，共享点的坐标为(1,3)--，3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）2m =；（3）2429y x x =+-或2(9155y x x =---26．选择小明的作法，10.6x ≈-，21.0x ≈，3 1.6x ≈ 27．（1）点D 坐标为(4，4)（2）抛物线4L 的解析式为22(4)4y x =--+（3）24x ≤≤28．（1）y ＝14x 2+12x ﹣2；（2）58；（3）M 坐标为（205+）或（﹣285，45）．。
2020年中考数学复习 二次函数综合题大全有答案
【热点探究】 类型一：抛物线与三角形的综合问题 【例题 1】如图 1，对称轴为直线 x= 的抛物线经过 B（2，0）、C（0，4）两点，抛 物线与 x 轴的另一交点为 A （1）求抛物线的解析式； （2）若点 P 为第一象限内抛物线上的一点，设四边形 COBP 的面积为 S，求 S 的最大 值； （3）如图 2，若 M 是线段 BC 上一动点，在 x 轴是否存在这样的点 Q，使△MQC 为等腰 三角形且△MQB 为直角三角形？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）根据题意首先求出抛物线顶点 E 的坐标，再利用顶点式求出函数解析 式； （2）利用等边三角形的性质结合圆的有关性质得出∠AMD=∠CMD= ∠AMC=60°，进而 得出 DC=CM=MA=AD，即可得出答案； （3）首先表示出△ABP 的面积进而求出 n 的值，再代入函数关系式求出 P 点坐标． 【解答】（1）解：由题意可知，△MBC 为等边三角形，点 A，B，C，E 均在⊙M 上， 则 MA=MB=MC=ME=2， 又∵CO⊥MB， ∴MO=BO=1，
【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）由对称轴的对称性得出点 A 的坐标，由待定系数法求出抛物线的解析 式； （2）作辅助线把四边形 COBP 分成梯形和直角三角形，表示出面积 S，化简后是一个 关于 S 的二次函数，求最值即可；
（3）画出符合条件的 Q 点，只有一种，①利用平行相似得对应高的比和对应边的比相 等列比例式；②在直角△OCQ 和直角△CQM 利用勾股定理列方程；两方程式组成方程组求解 并取舍．
【同步练】 已知如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A、B、C 分别为坐标轴上上的三个点，且 OA=1，OB=3，OC=4， （1）求经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；
2020届中考数学专题复习二次函数_二次函数解决实际问题专题训练及参考答案
二次函数--二次函数解决实际问题1. 如图，用长8m 的铝合金条制成矩形窗框，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是( )A.6425m2B.43m2C.83m2 D.4m2 2. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y ＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( )A.4米B.3米C.2米D.1米3. 某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的.为了牢固起见，每段护栏需要每间隔0.4m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m ，如图所示，则防护栏不锈钢支柱的总长度至少为( )A.50mB.100mC.160mD.200m4. 河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y＝－125x2，当水面离桥拱顶的高度DO 是4m 时，这时水面宽度AB 为( )A.－20mB.10mC.20mD.－10m5. 某幢建筑物，从10米高的窗口A 用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线，抛物线所在平面与墙面垂直(如图)，如果抛物线的最高点M 离墙1米，离地面403米，则水流下落点B 离墙距离OB 是( )A.2米B.3米C.4米D.5米6. 如图，有一块边长为6cm 的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是( )A.3cm2B.323cm2C.923cm2D.2723cm2 7. 若某商品的利润y(元)与售价x(元)之间的函数关系式是y ＝－x2＋8x ＋9，且售价x 的范围是1≤x≤3，则最大利润是( )A.16元B.21元C.24元D.25元8. 一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为( )A.5元B.10元C.0元D.3600元9. 如图，隧道的截面是抛物线，可以用y ＝－116x2＋4表示，该隧道内设双行道，限高为3m ，那么每条行道宽是( )A.不大于4mB.恰好4mC.不小于4mD.大于4m ，小于8m10. 如图所示，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50m 长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场，设它的长为xm ，要使鸡场的面积最大，鸡场的长为 m.11. 比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线(如图).若不考虑外力因素，羽毛球行进高度y(米)与水平距离x(米)之间满足关系式y ＝－29x2＋89x ＋109，则羽毛球飞出的水平距离为 米.12. 如图，有一抛物线形的立交拱桥，这个拱桥的最大高度为16m ，跨度为40m ，现把它的图形放在坐标系中.若在离跨度中心M 点5m 处垂直竖立一根铁柱支撑拱顶，这根铁柱应取 m.13. 如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD ，设AB 边长为x 米，则菜园的面积y(单位：米2)，当x ＝ 米时菜园的面积最大.14. 将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是__________cm2.15. 已知某人卖盒饭的盒数x(盒)与所获利润y(元)满足关系式：y ＝－x2＋1200x －357600，则卖出盒饭数量为________盒时，获得最大利润为________元.16. 某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天销售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为____________元时，该服装店平均每天的销售利润最大17. 杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体(看成一点)的路线是抛物线y ＝－35x2＋3x ＋1的一部分，如图所示.(1)求演员弹跳离地面的最大高度；(2)已知人梯高BC ＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A 的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由.18. 一种进价为每件40元的T 恤，若销售单价为60元，则每周可卖出300件，可提高利润，欲对该T 恤进行涨价销售.经过调查发现：每涨价1元，每周要少卖出10件.请确定该T 恤涨价后每周的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式，并求销售单价为多少元时，每周的销售利润最大？19. 如图，某足球运动员站在点O 练习射门，将足球从离地面0.5m 的A 处正对球门踢出(点A 在y 轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y ＝at2＋5t ＋c ，已知足球飞行0.8s 时，离地面的高度为3.5m.(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x ＝10t ，已知球门的高度为2.44m ，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m ，他能否将球直接射入球门？20. 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m ，宽是4m.按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y ＝－16x2＋bx ＋c 表示，且抛物线时的点C 到墙面OB 的水平距离为3m ，到地面OA 的距离为172m.(1)求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D 到地面OA 的距离；(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m ，宽为4m ，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？(3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m ，那么两排灯的水平距离最小是多少米？参考答案：1—9 CACCB CCAA10. 2511. 512. 1513. 1514. 25215. 600 240016. 2217. 解：(1)y ＝－35x2＋3x ＋1＝－35(x －52)2＋194，∵－35＜0，∴函数的最大值是194.答：演员弹跳的最大高度是194米； (2)当x ＝4时，y ＝－35×42＋3×4＋1＝3.4＝BC ，所以这次表演成功. 18. 解：由题意，得y ＝(x －40)[300－10(x －60)]，即y ＝－10x2＋1300x －36000(60≤x≤90).配方，得y ＝－10(x －65)2＋6250.∵－10＜0，∴当x ＝65时，y 有最大值6250，因此，当该T 恤销售单价为65元时，每周的销售利润最大.19. 解：(1)由题意得：函数y ＝at2＋5t ＋c 的图象经过(0,0.5)(0.8,3.5)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 0.5＝c 3.5＝0.82a －5×0.8＋c ，解得：⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2516c ＝12，∴抛物线的解析式为：y ＝－2516t2＋5t ＋12，∴当t ＝85时，y 最大＝4.5；(2)把x ＝28代入x ＝10t 得t ＝2.8，∴当t ＝2.8时，y ＝－2516×2.82＋5×2.8＋12＝2.25＜2.44，∴他能将球直接射入球门.20. 解：(1)根据题意得B(0,4)，C(3，172)，把B(0,4)，C(3，172)代入y ＝－16x2＋bx ＋c 得⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝4－16×32＋3b ＋c ＝172，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2c ＝4，所以抛物线解析式为y ＝－16x2＋2x ＋4，则y ＝－16(x －6)2＋10，所以D(6,10)，所以拱顶D 到地面OA 的距离为10m ；(2)由题意得货运汽车最外侧于地面OA 的交点为(2,0)或(10,0)，当x ＝2或x ＝10时，y ＝223＞6，所以这辆货车能安全通过；(3)令y ＝0，则－16(x －6)2＋10＝8，解得x1＝6＋23，x2＝6－23，则x1－x2＝43，所以两排灯的水平距离最小是43m.。
2020年中考数学压轴专题练习 二次函数与四边形综合(含答案)
2020中考数学 压轴专题 二次函数与四边形综合（含答案）1. 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx －3交y 轴于点C ，直线L 为抛物线的对称轴，抛物线的顶点P 位于第三象限，点P 到x 轴的距离为103，到y 轴的距离为1，点C 关于直线L 的对称点为点A ，连接AC 交直线l 于点B ，直线y ＝34x ＋m 与抛物线在第一象限内交于点D ，与y 轴交于点F ，连接BD 交y 轴于点E . (1)求抛物线的表达式；(2)若DE ∶BE ＝4∶1，求直线y ＝34x ＋m 的表达式；(3)在(2)的条件下，Q 为抛物线上位于直线y ＝34x ＋m 下方的图象上的一点，过点Q 作QK ⊥x 轴，交y ＝34x ＋m 于点K ，当线段QK 取得最大值时，求点Q 的横坐标；(4)在(2)的条件下，若N 为平面直角坐标系内的点，在直线y ＝34x ＋m 上是否存在点M ，使得四边形OFMN 是以OF 为一边的菱形？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．第1题图解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx －3交y 轴于点C ， ∴C (0，－3)，则 OC ＝3；∵P 到x 轴的距离为103，P 到y轴的距离是1，且在第三象限，∴P (－1，－103)；∵点C 关于直线l 的对称点为点A ， ∴A (－2，－3)；将点A (－2，－3)，P (－1，－103)代入抛物线y ＝ax 2＋bx －3中，得：⎩⎪⎨⎪⎧－3＝4a －2b －3－103＝a －b －3，解得⎩⎨⎧a ＝13b ＝23，∴抛物线的表达式为y ＝13x 2＋23x －3；（2）如解图①，过点D 作DG ⊥y 轴于点G ，则∠DGE ＝∠BCE ＝90°，第1题解图①∵∠DEG ＝∠BEC ， ∴△DEG ∽△BEC ，∴DG ∶BC ＝DE ∶BE ＝4∶1； 已知BC ＝1，则DG ＝4， ∴点D 的横坐标为4，将x ＝4代入y ＝13x 2＋23x －3中，得y ＝5，则 D (4，5)，∵直线y ＝34x ＋m 过点D (4，5)，∴5＝34×4＋m ，则 m ＝2，∴所求直线的表达式为y ＝34x ＋2；（3）如解图②，设Q (x ，13x 2＋23x －3)，则K (x ，34x ＋2)，第1题解图②则QK ＝34x ＋2－(13x 2＋23x －3)＝－13x 2＋112x ＋5，∵－13＜0，∴当x ＝－1122×（－13）＝18时，QK 取得最大值，即点Q 的横坐标为18；(4)存在，点M 的坐标为(85，165)、(－85，45)、(－4825，1425)．【解法提示】由(2)的直线解析式知：F (0，2)，则OF ＝2；设点M (x ，34x ＋2)，则：OM 2＝2516x 2＋3x ＋4，FM 2＝2516x 2；当OF 为菱形的边时，有：①FM ＝OF ＝2，则：2516x 2＝4，解得x 1＝85，x 2＝－85，代入y ＝34x ＋2中，得：y 1＝165，y 2＝45，即点M 的坐标为(85，165)或(－85，45)；②OF ＝OM ＝2，则：2516x 2＋3x ＋4＝4，解得x 1＝0(舍)，x 2＝－4825，代入y ＝34x ＋2中，得y ＝1425；即点M 的坐标为(－4825，1425)；综上，存在符合条件的点M ，其坐标为(85，165)、(－85，45)、(－4825，1425)． 2. 如图，已知抛物线y ＝ax 2＋32x ＋4与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，若已知点B 的坐标为(8，0)． (1)求抛物线的解析式及对称轴；(2)猜想△ABC 是什么样的三角形，并说明理由；(3)是否存在以BC 为边，且一个顶点P 在抛物线的对称轴上的矩形？若存在，求出符合条件的点P 坐标；若不存在，请说明理由．第2题图解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋32x ＋4的图象经过点B (8，0)，∴a ×82＋32×8＋4＝0，解得a ＝－14，∴抛物线的解析式为y ＝－14x 2＋32x ＋4，又∵y ＝－14x 2＋32x ＋4＝－14(x －3)2＋254，∴对称轴方程为直线x ＝3； (2)△ABC 为直角三角形．理由：在y ＝－14x 2＋32x ＋4中，令x ＝0，得y ＝4，∴C (0，4)；令y ＝0，即－14x 2＋32x ＋4＝0，整理得x 2－6x －16＝0，解得x ＝8或x ＝－2， ∴A (－2，0)，B (8，0)．∴AB 2＝(8＋2)2＝100，AC 2＝22＋42＝20，BC 2＝82＋42＝80， ∴AB 2＝AC 2＋BC 2.∴△ABC 为直角三角形；(3)存在，设直线AC 为y ＝mx ＋n ，把A (－2，0)，C (0，4)分别代入解析式，得：⎩⎪⎨⎪⎧－2m ＋n ＝0n ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2n ＝4， ∴直线AC 的解析式为y ＝2x ＋4.①如解图，延长AC 与对称轴x ＝3交于点P ，过点P 作PQ ∥BC ，过点B 作BQ ∥AC ，PQ 与BQ 交于点Q ，则四边形BCPQ 为平行四边形， 此时点P 的坐标为(3，10)， ∵∠PCB ＝180°－∠BCA ＝90°， ∴四边形BCPQ 为矩形，∴当点P 坐标为(3，10)时，四边形BCPQ 为矩形；第2题解图②如解图，再延长QB 与对称轴x ＝3相交于点P ′，过点P ′作P ′Q ′∥BC ，P ′Q ′与CA 的延长线相交于点Q ′，则四边形BCQ ′P ′为矩形，设直线BP′的解析式为y＝Kx＋B，∵BP′∥AC，∴K＝M＝2，∴直线BP′的解析式为y＝2x＋B，把B(8，0)的坐标代入y＝2x＋B，得：0＝16＋B，则B＝－16，∴直线BP′的解析式为y＝2x－16，∴点P′的坐标为(3，－10)，即当点P′坐标为(3，－10)时，四边形BCQ′P′为矩形；综上，存在以BC为边，且一个顶点P在抛物线的对称轴上的矩形，点P的坐标为(3，10)或(3，－10)．3.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A(－1, 0)、B(3, 0)两点，交y轴于点C.(1)求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；(2)将抛物线y＝x2＋bx＋c沿着x轴方向向左平移4个单位，此时C点对应的点为点C′，判定四边形AC′CB的形状；(3)若点Q是y轴上的动点，在抛物线上是否存在点P使得以点A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点P坐标；若不存在，请说明理由．第3题图解：(1)将A(－1，0)，B(3，0)两点代入y＝x2＋bx＋c中得⎩⎪⎨⎪⎧1－b ＋c ＝09＋3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2c ＝－3， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3，即y ＝(x －1)2－4， ∴顶点D 的坐标为(1，－4)； (2)由抛物线的解析式可知C (0，－3)，∵抛物线沿x 轴方向向左平移4个单位，如解图①，第3题解图①∴C (0，－3)向左平移4个单位，得C ′(－4，－3)， 则CC ′＝0－(－4)＝4， ∵AB ＝3－(－1)＝4， ∴AB ＝CC ′，根据平移的性质得CC ′∥AB ， ∴四边形AC ′CB 为平行四边形；(3)存在，点P 的坐标为(－4，21)、(4，5)、(2，－3)． 理由如下：如解图②，第3题解图②①当AB为边时，只要PQ∥AB，且PQ＝AB＝4即可，又知点Q在y轴上，∴点P的横坐标为－4或4，当x＝－4时，y＝21；当x＝4时，y＝5；∴此时点P1的坐标为(－4，21)，P2的坐标为(4，5)；②当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可，设线段AB的中点为G，PQ必过G点且与y轴交于Q点，过点P3作x轴的垂线交于点H，可证得△P3HB≌△Q3OA，∴AO＝BH，∴GO＝GH，∵线段AB的中点G的横坐标为1，∴此时点P3的横坐标为2，当x＝2时，y＝－3，∴点P3(2，－3)．综上所述，符合条件的点为P1(－4，21)，P2(4，5)，P3(2，－3)．4.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图象与y轴交于点C，与x轴交于点A、B，点A在原点的左侧，点B的坐标为(3，0)，点C的坐标为(0，3)，OC＝3OA，D与C关于抛物线对称轴对称．(1)求二次函数的解析式；(2)设Q为x轴上任意一点，P是抛物线上的点，且在抛物线对称轴的左侧，满足∠QBP ＝45°，是否存在这样的点P、Q，使得以P、Q、B为顶点的三角形与△BDC相似？若存在，求出点P、Q的坐标；若不存在，请说明理由；(3)点E是该抛物线的顶点，点M是y轴上一点，N是坐标平面内一点，如果以点A、E、M、N为顶点的四边形是矩形，求该矩形的顶点N的坐标．解：(1)∵点C的坐标为(0，3)，OC＝3OA，∴OA＝1，∴A(－1，0)，设二次函数的解析式为y＝a(x－3)(x＋1)，将C(0，3)代入得3＝a(0－3)(0＋1)，解得a＝－1，∴二次函数的解析式为y＝－(x－3)(x＋1)，即y＝－x2＋2x＋3；(2)∵C(0，3)、B(3，0)、A(－1，0)，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，由对称性得D(2，3)，由两点间的距离公式可知CD＝2，BC＝32，DB＝10.∵∠QBP＝45°，∴直线PB与x轴的夹角为45°，∴直线PB的解析式的一次项系数为1或－1.①当直线PB 的解析式的一次项系数为－1时，如解图①所示， 设直线PB 的解析式为y ＝－x ＋B ， 将点B (3，0)代入得B ＝3， ∴直线PB 的解析式为y ＝－x ＋3，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋3y ＝－x 2＋2x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0y1＝3，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3y 2＝0(舍去)．∴点P 的坐标为(0，3)，此时点P 与点C 重合， 设QB ＝x ，∵以P 、Q 、B 为顶点的三角形与△BDC 相似，∠DCB ＝∠CBQ ＝45°， ∴△BDC ∽△QPB 或△BDC ∽△PQB ，∴CD CB ＝PB Q 1B 或CD CB ＝Q 2B PB ，即232＝32x 或232＝x 32， 解得x ＝9或x ＝2， ∴Q 1(－6，0)，Q 2(1，0)；第4题解图②当直线PB 的解析式的一次项系数为1时，如解图②所示，设直线PB 的解析式为y ＝x ＋D ，将点B (3，0)代入得D ＝－3，∴直线PB 的解析式为y ＝x －3.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －3y ＝－x 2＋2x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－2y 1＝－5，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3y 2＝0(舍去)．∴点P 的坐标为(－2，－5)，此时PB ＝52＋52＝52，设BQ ＝x ，同理可得232＝52x 或232＝x 52，解得x ＝15或x ＝103.∴Q 3(－12，0)或Q 4(－13，0)．综上所述，当点P 的坐标为(0，3)时，点Q 的坐标为(－6，0)或(1，0)，当点P 的坐标为(－2，－5)时，点Q 的坐标为(－12，0)或(－13，0)；(3)∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4. ∴E (1，4)．①AE 为矩形的对角线时，如解图③所示， 设H 为AE 的中点， ∵A (－1，0)，E (1，4)， ∴H (0，2)．由两点间的距离公式可知 HE ＝（1－0）2＋（4－2）2＝5，由矩形的性质知HN 1＝HN 2＝HE ＝5， ∴N 1(0，2＋5)，N 2(0，2－5);第4题解图②当AE 为矩形的一边时，如解图④，过N 3作N 3G ⊥y 轴，垂足为点G ，过N 4作N 4F ⊥y 轴，垂足为点F .∵在△AHO 中，AO ＝1，OH ＝2， ∴tan ∠AHO ＝12，∴tan ∠EHM 4＝M 4E EH ＝12，∴M 4E ＝12EH ＝52，HM 4＝52EH ＝52，OM 4＝HM 4＋OH ＝92，∴M 4N 3＝2M 4E ＝5， 易证∠M 4N 3G ＝∠AHO ， ∴M 4G ＝55M 4N 3＝1，GN 3＝255M 4N 3＝2. ∵OG ＝OM 4－M 4G ＝92－1＝72，∴N 3的坐标为(2，72)，由矩形的性质可知点N 3与N 4关于点H 对称， ∴N 4(－2，12)，综上所述，点N 的坐标为(0，2＋5)或(0，2－5)或(2，72)或(－2，12)．5. 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B (1，0)，C (3，0)，D (3，4)，以A 为顶点的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点C ，动点P 从点A 出发，以每秒12个单位的速度沿线段AD向点D运动，运动时间为t秒，过点P作PE⊥x轴交抛物线于点M，交AC于点N.(1)求点A的坐标和抛物线的解析式；(2)当T为何值时，△ACM的面积最大？最大值为多少？(3)点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿线段CD向点D运动，当t为何值时，在线段PE上存在点H，使以C，Q，N，H为顶点的四边形为菱形？解：(1)∵四边形ABCD是矩形，B(1，0)，C(3，0)，D(3，4)，∴A(1，4)．∵点A为抛物线顶点，∴设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋4，∵抛物线过点C(3，0)，∴0＝a(3－1)2＋4，解得a＝－1，∴抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋4，即y＝－x2＋2x＋3;(2)如解图①，连接AM，CM，第5题解图①∵A (1，4)，C (3，0)，∴直线AC 的解析式为y ＝－2x ＋6， ∵点P (1＋t2，4)，∴将x ＝1＋t2代入y ＝－2x ＋6中，可求得点N 的纵坐标为4－t ，∴把x ＝1＋t 2代入抛物线的解析式中，可求得点M 的纵坐标为4－t 24，∴MN ＝(4－t 24)－(4－t )＝t －t 24，∴S △ACM ＝S △AMN ＋S △CMN ＝12MN ·t 2＋12MN ·(2－t 2)＝12×2(t －t 24)＝－14(t －2)2＋1，由题可知0≤t ≤4，∴当t ＝2时，△ACM 的面积最大，最大值为1；(3)当H 在AC 上方时，如解图②，过点N 作NG ⊥AB 于点G ， ∵A (1，4)，C (3，0)，Q (3，t )，N (1＋t2，4－t )，AB ＝4，∴AG ＝4－(4－t )＝t ，BG ＝4－t ，AC ＝25， 由四边形CQHN 是菱形，可知CQ ＝CN ＝t ， 此时，AN ＝AC －CN ＝25－t ， ∵NG ∥BC ，∴AG BG ＝AN NC ， 即t4－t＝25－t t ，解得t ＝20－85；第5题解图当点H 在AC 下方时，如解图③，过点N 作NG ⊥DC 于点G ， 由四边形CQNH 是菱形，可知CH ＝HN ＝CQ ＝t ， ∴HE ＝4－t －t ＝4－2t ，CE ＝2－t2，在RT △CHE 中，由勾股定理得CE 2＋HE 2＝CH 2， ∴(2－t2)2＋(4－2t )2＝t 2，解得t ＝2013或t ＝4(舍去)，综上所述，当t ＝20－85或t ＝2013时，以C ，Q ，N ，H 为顶点的四边形为菱形． 6. 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx －3与x 轴交于A (－1，0)，B (3，0)两点，与y 轴交于点C .(1)求抛物线的解析式；(2)如图，直线BC 下方的抛物线上有一点D ，过点D 作DE ⊥BC 于点E ，作DF ∥x 轴交直线BC 于点F ，求△DEF 周长的最大值；(3)已知点M 是抛物线的顶点，点N 是y 轴上一点，点Q 是坐标平面内一点，若点P 是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以P ，M ，N ，Q 为顶点且以PM 为边的正方形？若存在，直接写出点P 的横坐标；若不存在，说明理由．第6题图解：(1)把A (－1，0)，B (3，0)两点坐标代入抛物线y ＝ax 2＋bx －3中得，⎩⎪⎨⎪⎧a －b －3＝09a ＋3b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－2， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3； (2)∵C (0，－3)，B (3，0)， ∴直线BC 的解析式为y ＝x －3.如解图①，过点D 作DG ∥y 轴，交直线BC 于点G .第6题解图①易证△DEF ≌△DEG ， ∴FD ＝GD .设D (n ，n 2－2n －3)(0<n <3)，G (n ，n －3)，则GD ＝n －3－(n 2－2n －3)＝－n 2＋3n ＝－(n －32)2＋94，∴当n ＝32时，GD 的最大值为94，故FD 的最大值为94，∵直线BC 的解析式的一次项系数为1， ∴∠ABC ＝45°， ∵DF ∥x 轴，∴∠EFD ＝∠ABC ＝45°， 在Rt △DEF 中，DE ＝EF ＝22DF ， ∴△DEF 周长的最大值为FD ＋2×22FD ＝9＋924；(3)存在，点P 的横坐标为2或3＋52.【解法提示】∵y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4， ∴M (1，－4)，分两种情况讨论： ①当四边形PMNQ 是正方形时，如解图②，过点M 作MJ ⊥y 轴于点J ，过点P 作P I ⊥JM 交JM 的延长线于点I ，易证△M I P ≌△CJM ，∴点N 与点C 重合，点P 是点N 关于抛物线的对称轴x ＝1对称的点， 其横坐标为2；第6题解图②如解图③，过点P 作H I ∥y 轴，过点M 作M I ⊥H I 于点I ，过点N 作NH ⊥H I 于点H ， 同理△P I M ≌△NHP ， ∴P I ＝NH ，I M ＝HP ， 设点P 的横坐标为m ， 则NH ＝P I ＝m ， ∵点P 在抛物线上，∴点P 的纵坐标为m 2－2m －3， ∴P I ＝m 2－2m －3－(－4)， 即m ＝m 2－2m －3－(－4)， 解得m 1＝3＋52，m 2＝3－52，∵点P 在抛物线对称轴x ＝1的右侧， ∴m ＝3＋52，综上所述，点P 的横坐标为2或3＋52.7. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A ，C 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，且OA ＝4，OC ＝3.若抛物线经过O ，A 两点，且顶点在BC 边上，点D ，E 的坐标分别为(3，0)，(0，1)，对称轴交BE 于点F ．(1)求抛物线的解析式；(2)猜想△EDB 的形状并加以证明；(3)点M 在对称轴右侧的抛物线上，点N 在x 轴上．请问是否存在以点A ，F ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．第7题图解：(1)在矩形OABC 中，OA ＝4，OC ＝3， ∴A (4，0)，C (0，3)，∵抛物线经过O 、A 两点，且顶点在BC 上， ∴抛物线的顶点坐标为(2，3)，∴可设抛物线的解析式为y ＝a (x －2)2＋3，把A 点坐标代入可得0＝a (4－2)2＋3，解得a ＝－34，∴抛物线的解析式为y ＝－34(x －2)2＋3，即y ＝－34x 2＋3x ；(2)△EDB 为等腰直角三角形．证明：由题可知B (4，3)，D (3，0)，E (0，1)，∴DE 2＝32＋12＝10，BD 2＝(4－3)2＋32＝10，BE 2＝42＋(3－1)2＝20， ∴DE 2＋BD 2＝BE 2，且DE ＝BD ， ∴△EDB 为等腰直角三角形；(3)存在．满足条件的点M 的坐标为(6＋233，2)或(6＋2153，－2)．【解法提示】设直线BE 的解析式为y ＝kx ＋b ，把B 、E 两点的坐标代入可得3=41k b b +⎧⎨=⎩，解得121k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线BE 的解析式为y ＝12x ＋1，当x ＝2时，y ＝2， ∴F (2，2)，①当AF 为平行四边形的一边时，M 到x 轴的距离与F 到x 轴的距离相等，即M 到x 轴的距离为2，∴点M 的纵坐标为2或－2，在y ＝－34x 2＋3x 中，令y ＝2可得2＝－34x 2＋3x ，解得x ＝6±233，∵点M 在对称轴右侧的抛物线上， ∴x >2，∴x ＝6＋233，∴点M 的坐标为(6＋233，2)，在y ＝－34x 2＋3x 中，令y ＝－2可得－2＝－34x 2＋3x ，解得x ＝6±2153，∵点M 在对称轴右侧的抛物线上， ∴x >2， ∴x ＝6＋2153，∴点M 的坐标为(6＋2153，－2)；②当AF 为平行四边形的对角线时， ∵A (4，0)，F (2，2)，∴线段AF 的中点为(3，1)，即平行四边形的对称中心为(3，1)，设M (t ，－34t 2＋3t )，则－34t 2＋3t ＝2，解得t ＝6±233，∵点M 在对称轴右侧的抛物线上， ∴t >2， ∴t ＝6＋233，∴点M 的坐标为(6＋233，2)；综上可知，存在满足条件的点M ，其坐标为(6＋233，2)或(6＋2153，－2)．8. 如图①，已知抛物线y ＝ax 2＋c 的图象经过C 、D 两点，且C (0，1)，D (2，2)． (1)求抛物线的解析式；(2)已知E 是抛物线上的点，且△CDE 为等腰三角形(D 为顶角顶点除外)，求E 点的坐标；(3)如图②，已知y 轴上一点A (0，2)，点P 在抛物线上，过点P 作PB ⊥x 轴，垂足为B .若△P AB 是等边三角形，点M 在直线AP 上．在平面内是否存在点N ，使四边形OAMN 为菱形？若存在，直接写出所有满足条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．第8题图解：(1)把C (0，1)，D (2，2)分别代入y ＝ax 2＋c 中，得 ⎩⎪⎨⎪⎧c ＝14a ＋c ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14c ＝1， ∴抛物线的解析式为y ＝14x 2＋1；(2)设E 点的坐标为(e ，14e 2＋1)，则EC 2＝e 2＋116e 4，ED 2＝(e －2)2＋(14e 2＋1－2)2＝116e 4＋12e 2－4e ＋5，CD 2＝4＋1＝5，当EC ＝ED 时，有e 2＋116e 4＝116e 4＋12e 2－4e ＋5，解得r ＝－4±26，∴E 点坐标为(－4＋26，232－226)或(－4－26，232＋226)；当CD ＝CE 时，有e 2＋116e 4＝5，解得e ＝－2或e ＝2(与D 的横坐标相同，舍去)， ∴E 点坐标为(－2，2)，综上所述，E 点的坐标为(－4＋26，232－226)或(－4－26，232＋226)或(－2，2)；(3)存在N 1(3，1)，N 2(－3，－1)，N 3(－3，1)，N 4(3，－1)，使四边形OAMN 为菱形．【解法提示】∵△P AB 是等边三角形， ∴∠ABO ＝90°－60°＝30°. ∴AB ＝2OA ＝4. ∴PB ＝4.把y ＝4代人y ＝14x 2＋1，得x ＝±2 3.∴P 1(23，4)，P 2(－23，4)， ∵点A 的坐标为(0，2)，∴当P 点在A 点右边时，点P 的坐标为(23，4)， 设线段AP 所在直线的解析式为y ＝Kx ＋B ，⎩⎨⎧b ＝223k ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝33b ＝2， ∴线段AP 所在直线的解析式为y ＝33x ＋2， 设存在点N 使得四边形OAMN 是菱形， ∵点M 在直线AP 上， ∴设点M 的坐标为(M ，33M ＋2)， 如解图①，过点M 作MQ ⊥y 轴于点Q ，则MQ ＝|M |，AQ ＝OQ －OA ＝33M ＋2－2＝33M ，第8题解图①∵四边形OAMN 为菱形，∴AM ＝AO ＝2，∴在RT △AMQ 中，AQ 2＋MQ 2＝AM 2， 即m 2＋(33m )2＝22，解得m ＝±3， 代入直线AP 的解析式求得y ＝3或1， 当P 点在第一象限时，分为两种情况： 当N 在如解图②的位置时，第8题解图②∵OA ＝MN ， ∴MN ＝2，又∵M 点坐标为(3，3)， ∴N 点坐标为(3，1)，即 N 1坐标为(3，1)；当N 在如解图③的位置时，第8题解图③∵MN ＝OA ＝2，M 点坐标为(－3，1)，∴N 点坐标为(－3，－1)，即N 2坐标为(－3，－1)， 当P 点在第三象限时，分为两种情况：第一种是当点M 在线段P A 上时，则N 点坐标为(－3，1)， 第二种是当M 点在P A 的延长线上时，则N 点坐标为(3，－1)，∴存在N 1(3，1)，N 2(－3，－1)，N 3(－3，1)，N 4(3，－1)，使四边形OAMN 为菱形．9. 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2与x 轴交于A (－1，0)、B (4，0)两点，与y 轴交于点C ，与过点C 且平行于x 轴的直线交于另一点D . (1)求抛物线的解析式及点D 的坐标；(2)在抛物线上是否存在点P ，使△CDP 的面积为92？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)点E 是x 轴上一点，在抛物线上是否存在点P ，使以A ，E ，D ，P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．第9题图解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2经过A (－1，0)，B (4，0)两点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋2＝016a ＋4b ＋2＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－12b ＝32，∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋32x ＋2；当x ＝0时，y ＝2，则C (0，2)， 又∵CD ∥x 轴，∴点D 的纵坐标为2.当y ＝2时，－12x 2＋32x ＋2＝2，解得x 1＝3，x 2＝0(舍去)，即点D 的坐标为(3，2)； (2)由(1)可知C (0，2)，D (3，2)， ∴CD ＝3，设点P 到CD 的距离为h ， ∴S △CDP ＝12CD ·h ，∴12×3h ＝92，解得h ＝3， 设P 点纵坐标为y ，则h ＝|y －2|＝3， 解得y ＝5或y ＝－1，∵y ＝－12x 2＋32x ＋2＝－12(x －32)2＋258，∴函数y ＝－12x 2＋32x ＋2的最大值为258，∴y ＝5舍去，当y ＝－1时，则有－12x 2＋32x ＋2＝－1，解得x ＝3±332，此时P 点坐标为(3＋332，－1)或(3－332，－1)，综上可知存在满足条件的P 点，其坐标为(3＋332，－1)或(3－332，－1)；(3)存在，点P 的坐标为(0，2)或(3－412，－2)或(3＋412，－2)．【解法提示】A ，E 两点都在x 轴上，AE 有两种可能： ①当AE 为一边时，AE ∥PD ； ∴P 1(0，2)；②当AE 为对角线时，根据平行四边形对顶点到另一条对角线的距离相等， 可知P 点、D 点到直线AE (即x 轴)的距离相等， ∴P 点的纵坐标为－2，代入抛物线的解析式得：－12x 2＋32x ＋2＝－2，解得x 1＝3＋412，x 2＝3－412，∴P 点的坐标为(3－412，－2)或(3＋412，－2)，综上所述存在满足条件的P 点，其坐标为(0，2)或(3－412，－2)或(3＋412，－2)．10. 如图，抛物线y ＝ax 2＋3ax ＋c (a ＞0)与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，点A在点B 左侧，且B (1，0)，OC ＝3BO . (1)求抛物线的解析式；(2)若点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求四边形ABCD 面积的最大值；(3)若点E 在x 轴上，点P 在抛物线上，是否存在以A 、C 、E 、P 为顶点且以AC 为一边的平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵B (1，0)，∴OB ＝1.∵OC ＝3BO ，∴OC ＝3，即C (0，－3)． ∵y ＝ax 2＋3ax ＋c 过B (1，0)、C (0，－3)两点， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3a ＋c ＝0c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34c ＝－3， ∴抛物线的解析式为y ＝34x 2＋94x －3；（2）如解图①，连接BC ，过点D 作DM ∥y 轴分别交线段AC 和x 轴于点M 、N ，第10题解图①在y ＝34x 2＋94x －3中，令y ＝0，得34x 2＋94x －3＝0，解得x 1＝－4，x 2＝1， ∴A (－4，0)，设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b ， ∵直线AC 过A (－4，0)、C (0，－3)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝－4k ＋b b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－34b ＝－3， ∴直线AC 的解析式为y ＝－34x －3，∵S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ADC ＝S △ABC ＋S △ADM ＋S △DCM ＝12AB ·OC ＋12DM ·(AN ＋ON ) ＝152＋2DM ， 设D (x ，34x 2＋94x －3)(－4<x <0)，则M (x ，－34x －3)，∴DM ＝－34x －3－(34x 2＋94x －3)＝－34(x ＋2)2＋3，当x ＝－2时，DM 有最大值3， 此时四边形ABCD 面积的最大值为272；（3）如解图②，分两种情况讨论：第1题解图②①当平行四边形在AC 的左边时，过点C 作CP ∥x 轴交抛物线于点P ，过点P 作PE ∥AC 交x 轴于点E ，此时四边形ACPE 为平行四边形，∵C (0，－3)，∴设P (x ，－3)，∴34x 2＋94x －3＝－3，解得x 1＝0，x 2＝－3， ∴P 1(－3，－3)；②当平行四边形在AC 的右边时，平移直线AC 交x 轴于点E ，交x 轴上方的抛物线于点P ， 当AC ＝PE 时，四边形ACEP 为平行四边形， ∵C (0，－3)，∴设P (x ，3)，∴34x 2＋94x －3＝3，化简得：x 2＋3x －8＝0， 解得x 1＝－3＋412，x 2＝－3－412，此时存在点P 2(－3＋412，3)和P 3(－3－412，3)．综上所述，存在3个符合要求的点，坐标分别是P 1(－3，－3)，P 2(－3＋412，3)，P 3(－3－412，3)．。
2020年中考数学复习：《二次函数之面积问题》专题训练(解析版)
《二次函数之面积问题》专题训练1．如图，抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，且与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B，C重合），则是否存在一点P，使△BPC的面积最大？若存在，请求出△BPC的最大面积；若不存在，试说明理由．解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，∴﹣＝3，解得：a＝﹣∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4当y＝0时，解得：x＝﹣2或6，故点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）；（2）当x＝0时，y＝4，则点C的坐标为（0，4）；由点B、C的坐标得，设直线BC的解析式为y＝﹣x+4；假设存在，设点P的坐标为（x，﹣x2+x+4），过点P作PD∥y轴，交直线BC于点D，交x轴于点E，则点D的坐标为（x，﹣x+4），如图所示．PD＝﹣x2+x+4﹣（﹣x+4）＝﹣x2+2x∴S△PBC ＝S△PDC+S△PDB＝PD×OE+DP×EP＝8×（﹣x2+2x）＝﹣（x﹣4）2+16；∵﹣1＜0∴当x＝4时，△PBC的面积最大，最大面积是16．2．如图，直线y＝x+2与抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，6），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）当C为抛物线顶点的时候，求△BCE的面积；（3）是否存在这样的点P，使△BCE的面积有最大值，若存在，求出这个最大值，若不存在，请说明理由．解：（1）将点A、B的代入抛物线表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝2x2﹣8x+6；（2）函数的对称轴为：x＝2，则点C（2，﹣2），当x＝2时，y＝x+2＝4，点E（﹣2，0），则PC＝6，△BCE的面积＝PC（x B﹣x E）＝6×6＝18；（3）存在，理由：设点P（x，x+2），点C（x，2x2﹣8x+6）S△BCE＝PC（x B﹣x E）＝×（x+2﹣2x2+8x﹣6）×6＝﹣6x2+27x﹣12，∵﹣6＜0，故S△BCE 有最大值，当x＝时，S△BCE最大值为：．3．如图，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长；（3）点F在抛物线上运动，是否存在点F，使△BFC的面积为6，如果存在，求出点F 的坐标；如果不存在，请说明理由．解：（1）抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（0，3），B（﹣1，0），则c＝3，将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：b＝2，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）函数的对称轴为：x＝1，则点D（1，4），则BE＝2，DE＝4，BD＝＝2；（3）存在，理由：△BFC的面积＝×BC×|y F|＝2|y F|＝6，解得：y F＝±3，故：﹣x2+2x+3＝±3，解得：x＝0或2或1，故点F的坐标为：（0，3）或（2，3）或（1﹣，﹣3）或（1+，﹣3）；4．已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点B（6，0），C（﹣2，0），与y轴交于点A．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，点P是线段AB上方抛物线上的一个动点，连结PA、PB．设△PAB的面积为S，点P的横坐标为m．①试求S关于m的函数关系式；②请说明当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？③过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x﹣6）（x+2）＝a（x2﹣4x﹣12），故﹣12a＝6，解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+6；（2）①过点P作x轴的垂线交AB于点D，由点A （0，6）、B 的坐标可得，直线AB 的表达式为：y ＝﹣x +6，设点P （m ，﹣m 2+2m +6），则点D （m ，﹣m +6），S ＝×PD ×OB ＝3PD ＝3（﹣m 2+2m +6+m ﹣6）＝﹣m 2+9m ＝﹣（m ﹣3）2+， ②S ＝﹣m 2+9m ， ∵﹣＜0，故S 有最大值，此时m ＝3；③△PDE 为等腰直角三角形，则PE ＝PD ，点P （m ，﹣m 2+2m +6），函数的对称轴为：x ＝2，则点E 的横坐标为：4﹣m ，则PE ＝|2m ﹣4|， 即﹣m 2+2m +6+m ﹣6＝|2m ﹣4|，解得：m ＝4或﹣2或5+或5﹣（舍去﹣2和5+） 故点P 的坐标为：（4，6）或（5﹣，﹣5）． 5．已知抛物线y ＝ax 2+bx +3经过A （﹣1，0）、B （3，0）点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）在直线l 上确定一点P ，使△PAC 的周长最小，求出点P 的坐标；（3）若点D 是抛物线上一动点，当S △ABC ＝3S △ABD 时，请直接写出点D 的坐标．解：（1）抛物线的表达式为：y ＝a （x +1）（x ﹣3）＝a （x 2﹣2x ﹣3），即﹣3a ＝3，解得：a ＝﹣1，故抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2+2x +3；（2）点A 的对称点为点B ，连接BC 交函数对称轴于点P ，则点P 为所求，将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式：y ＝kx +b 并解得：直线BC 的表达式为：y ＝﹣x +3，当x ＝1时，y ＝2，故点P （1，2）；（3）S △ABC ＝3S △ABD ，则|y D |＝y C ＝1，即y D ＝±1，故﹣x 2+2x +3＝±1，解得：x ＝1或1，故点D的坐标为：（1，1）或（1﹣，1）或（1+，﹣1）或（1﹣，﹣1）．6．如图，已知抛物线经过两点A（﹣3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x＝﹣1．（1）求此抛物线的解析式．（2）若点Q是对称轴上一动点，当OQ+BQ最小时，求点Q的坐标．（3）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△PAB面积的最大值，并求出此时点P的坐标．解：（1）抛物线经过两点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，则抛物线与x轴另外一个交点坐标为：（1，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），即﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，个抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）设点H是点O关于对称轴的对称点，则H（﹣2，0），连接HB交对称轴于点Q，则点Q为所求，则点BH的表达式为：y＝x+3，当x＝﹣1时，y＝，故点Q（﹣1，）；（3）过点P作y轴的平行线交AB于点H，直线AB的表达式为：y＝x+3，设点P （x ，﹣x 2﹣2x +3），则点H （x ，x +3），则S △PAB ＝PH ×OA ＝（﹣x 2﹣2x +3﹣x ﹣3）×3＝﹣x 2﹣x ， ∵＜0，∴S △PAB 有最大值，此时x ＝， 点P （﹣，）．7．如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）经过A （﹣1，0），B （3，0），C （0，﹣3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数解析式；（2）设点M 是直线l 上的一个动点，当点M 到点A ，点C 的距离之和最短时，求点M 的坐标；（3）在抛物线上是否存在点N ，使S △ABN ＝S △ABC ，若存在，求出点N 的坐标，若不存在，说明理由．解：（1）抛物线的表达式为：y ＝a （x +1）（x ﹣3）＝a （x 2﹣2x ﹣3），即﹣3a ＝﹣3，解得：a ＝1，故抛物线的函数解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3．（2）点A 关于函数对称轴的对称点为点B ，连接BC 交函数的对称轴于点M ，则点M 为所求，将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式：y ＝kx +b 并解得：直线BC 的表达式为：y ＝x ﹣3，当x ＝1时，y ＝﹣3，故点M （1，﹣2）．（3）S △ABN ＝S △ABC ，则|y N |＝|y C |＝±4，则x 2﹣2x ﹣3＝±4，解得：x ＝1或1±2，故点N 的坐标为：（1，﹣4）或（1+2，4）或（1﹣2，4）． 8．如图，已知直线y ＝x +4交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A 、B ．（1）求抛物线解析式；（2）点C （m ，0）是x 轴上异于A 、O 点的一点，过点C 作x 轴的垂线交AB 于点D ，交抛物线于点E ．①当点E 在直线AB 上方的抛物线上时，连接AE 、BE ，求S △ABE 的最大值；②当DE ＝AD 时，求m 的值．解：（1）直线y ＝x +4交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，则点A 、B 的坐标分别为：（﹣4，0）、（0，4），则c ＝4，将点A 的坐标代入抛物线表达式并解得：b ＝﹣3，故抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2﹣3x +4；（2）C （m ，0），则点E 、D 的坐标分别为：（m ，﹣m 2﹣3m +4）、（m ，m +4），则DE ＝|（﹣m 2﹣3m +4）﹣（m +4）|＝|﹣m 2﹣4m |，①S △ABE ＝×ED ×OA ＝2ED ＝﹣2m 2﹣8m ，∵﹣2＜0，∴S △ABE 有最大值8；②AD ＝AC ＝|（m +4）|，即﹣m2﹣4m＝|（m+4）|，解得：m＝或﹣4．9．如图，抛物线y＝﹣x2+4x与x轴交于点A，顶点为B．点C在y轴的负半轴，OC＝2．点P是该抛物线上的动点，且位于对称轴的右侧．（1）写出点A，B的坐标：A（4，0 ），B（2，4 ）；（2）若点P在第四象限，记四边形OPAB的面积为S，设点P的横坐标为m．①求S关于m的函数表达式．②在①的条件下，连结PC，满足S△POA ＝2S△POC，求四边形OPAB的面积．（3）设PO，PC分别与对称轴交于点D，E，且DC平分∠ODE，求点P的坐标．解：（1）y＝﹣x2+4x…①，令y＝0，则x＝0或4，故点A（4，0），函数的对称轴为：x＝2，则点B（2，4），故答案为：4，0，2，4；（2）①S＝×OA（y B﹣y P）＝4×（4+m2﹣4m）＝2m2﹣8m+8；②S△POA ＝×OA×（﹣y P）＝2S△POC＝OC×x P，即：y P＝﹣x P，则﹣m2+4m＝﹣m，解得：m＝0或4+（舍去0），故m＝4+，则S＝2m2﹣8m+8＝12+8；（3）方法一：过点C作CH⊥BE于点H，过点C作CG⊥OP于点G，∵DC平分∠ODE，则CG＝CH＝2，而OC＝2，故三角形CGO是等腰直角三角形，所以两种情况，直线OP是一三象限角平分线或者是二四象限角平分线，直线OP的表达式为：y＝±x…②，联立①②并解得：x＝5或3，故点P的坐标为：（5，﹣5）或（3，3）．方法二：∵DC平分∠ODE，则CG＝CH＝2，设点P的坐标为：（m，﹣m2+4m），则直线OP的表达式为：y＝（4﹣m）x，则直线CG的表达式为：y＝x﹣2，联立OP、CG的函数表达式并解得：点G[，]，则CG2＝[]2+[+2]2＝＝CH2＝4，解得：m＝5或3，故点P的坐标为：（5，﹣5）或（3，3）．10．已知：抛物线C1：y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴交于点（﹣1，0），（2，0）．（1）b、c分别用含a的式子表示为：b＝﹣a，c＝﹣2a；（2）将抛物线C1向左平移个单位，得到抛物线C2．直线y＝kx+a（k＞0）与C2交于A，B两点（A在B左侧）．P是抛物线C2上一点，且在直线AB下方．作PE∥y轴交线段AB 于E，过A、B两点分别作PE的垂线AM、BN，垂足分别为M，N．①当P点在y轴上时，试说明：AM•BN为定值．②已知当点P （a ，n ）时，恰有S △ABM ＝S △ABN ，求当1≤a ≤3时，k 的取值范围．解：（1）抛物线的表达式为：y ＝a （x +1）（x ﹣2）＝a （x 2﹣x ﹣2）， 故b ＝﹣a ，c ＝﹣2a ， 故答案为：﹣a ，﹣2a ；（2）设：点A 、B 的坐标分别为：（x 1，y 1）、（x 2，y 2）， ①由（1）知，b ＝﹣a ，c ＝﹣2a ，抛物线C 1的表达式为：y ＝ax 2﹣ax ﹣2a ＝a （x ﹣）2﹣，则抛物线C 2的表达式为：y ＝ax 2﹣，联立直线与抛物线C 2的表达式并整理得：ax 2﹣kx ﹣＝0， 则|x 1x 2|＝＝AM •BN ，故AM •BN 为定值；②∵S △ABM ＝S △ABN ，∴AM ＝BN ，a ﹣x 1＝x 2﹣a ，则x 1+x 2＝2a ， ∵x 1+x 2＝， ∴＝2a ， ∴k ＝2a 2， ∵1≤a ≤3， ∴2≤k ≤18．11．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，A 点在原点的左侧，抛物线的对称轴x ＝1，与y 轴交于C （0，﹣3）点，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的解析式及A、B点的坐标．（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．解：（1）函数的对称轴为：x＝﹣＝1，解得：b＝﹣2，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，则x＝﹣1或3，故点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）；（2）存在，理由：如图1，四边形POP′C为菱形，则yP＝﹣OC＝﹣，即y＝x2﹣2x﹣3＝﹣，解得：x＝1（舍去负值），故点P（1+，﹣）；（3）过点P作PH∥y轴交BC于点P，由点B、C的坐标得，BC的表达式为：y＝x﹣3，设点P（x，x2﹣2x﹣3），则点H（x，x﹣3），ABPC的面积S＝S△ABC +S△BCP＝×AB×OC+×PH×OB＝×4×3+×3×（x﹣3﹣x2+2x+3）＝﹣x2﹣x+6，∵＜0，故S有最大值为，此时点P（，﹣）．12．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B，C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P为线段BC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，是否存在这样的P点，使线段PD的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，抛物线的顶点为E，EF⊥x轴于点F，N是直线EF上一动点，M（m，0）是x轴一个动点，请直接写出CN+MN+MB的最小值以及此时点M、N的坐标，直接写出结果不必说明理由．解：（1）y＝﹣x2+bx+c经过点C，则c＝3，将点A的坐标代入抛物线表达式：y＝﹣x2+bx+3并解得：b＝2，抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）存在，理由：令y＝0，则x＝﹣1或3，故点B（3，0），将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，设点D（x，﹣x2+2x+3），则点P（x，﹣x+3），则PD＝（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x，当x＝时，PD最大值为：；（3）过点B作倾斜角为30°的直线BH，过点C作CH⊥BH交于点H，CH交对称轴于点N，交x轴于点M，则点M、N为所求，直线BH表达式中的k值为，则直线CH的表达式为：y＝﹣x+3，当x＝1时，y＝3﹣，当y＝0时，x＝，故点N、M的坐标分别为：（1，3﹣）、（，0），CN+MN+MB的最小值＝CH＝CM+FH＝．13．如图，抛物线y＝（x+2）（x﹣2k）交x轴于点A、B，（A左B右），与y轴交于点C，把射线BC沿x轴翻折交抛物线于点D，交y轴于点F，点D纵坐标为6．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为第四象限抛物线上一点，连接PB、PC，设点P横坐标为m，△PBC的面积为S，求S与m的函数解析式（不要求写出自变量取值范围）；（3）在（2）的条件下，PD交y轴于点E，交BC于点M，过点P作y轴平行线交BD、BC 于点G、H，若△MEF与△MGH面积的和为6，求△PBC的面积．解：（1）过点D作DS⊥x轴于S．令y＝0，即（x+2）（x﹣2k）＝0解得x＝﹣2或x＝2k∴OA＝2，OB＝2k令x＝0，则y＝﹣k，∴OC＝k∴tan∠OBC＝tan∠OBD＝，∵点D纵坐标为6，∴DS＝6，BS＝12，∴OS＝12﹣2k∴点D坐标为（2k﹣12，6），代入解析式得：6＝（2k﹣12+2）（2k﹣12﹣2k）解得k＝4∴抛物线解析式为y＝（x+2）（x﹣8）或y＝x2﹣x﹣4；（2）过点P作PN⊥BC于N，PR⊥x轴于R，PR交BC于K令x＝0，y＝﹣4，∴OC＝4C（0，﹣4），由（1）得B（8，0）先求出直线BC解析式y＝x﹣4，PK＝PR﹣RK点P（m， m2﹣m﹣4）PR＝m2﹣m﹣4），K（m， m﹣4）RK＝m+4PK＝﹣（m2﹣m﹣4）﹣（m+4）＝﹣，∠NPK＝∠OBC∴cos∠OBC＝cos∠NPK＝PN＝PK cos∠NPK＝﹣m2+m BC＝4S＝BC×PN＝（﹣m2+m）S＝﹣m2+8m；（3）在（1）图基础上，过点P作PQ⊥DS，设PQ交y轴于点L，tan∠DPQ＝＝＝，即∴EL＝可知点F（0，4）EF＝FL﹣EL＝4﹣（）﹣EF＝8﹣m，求出直线BF解析式为y＝﹣x+4，点G纵坐标为﹣m+4，点H纵坐标为m﹣4，GH＝（﹣m+4，）﹣（m﹣4，）＝8﹣m，∵△MEF面积与△MGH面积和为6∴（8﹣m）m＝6解得m＝2或m＝6∵S＝﹣m2+8m∴S＝12．14．如图，抛物线y＝ax2﹣x+c与x轴相交于点A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴相交于点C，连接AC，BC，以线段BC为直径作⊙M，过点C作直线CE∥AB，与抛物线和⊙M分别交于点D，E，点P在BC下方的抛物线上运动．（1）求该抛物线的解析式；（2）当△PDE是以DE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）当四边形ACPB的面积最大时，求点P的坐标并求出最大值．解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8），即﹣2a＝﹣，解得：a＝，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣3；（2）点C（0，﹣3），函数对称轴为：x＝1，则点D（2，﹣3），点E（4，﹣3），则DE的中垂线为：x＝（2+4）＝3，当x＝3时，y＝x2﹣x﹣3＝﹣，故点P（3，﹣）；（3）由点B、C的坐标可得，直线BC的表达式为：y＝x﹣3，故点P作y轴的平行线交BC于点H，设点P（x， x2﹣x﹣3），则点H（x， x﹣3）；四边形ACPB的面积＝S△ABC +S△BCP＝3×6+HP×OB＝9+×3×（x﹣3﹣x2+x+3）＝﹣x2+3x+9，∵﹣＜0，故四边形ACPB的面积有最大值为12，此时，点P（2，﹣3）．15．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（1，0）、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线x＝2，交抛物线于点D，交x轴于点E．（1）请直接写出：抛物线的函数解析式及点B、点D的坐标；（2）抛物线对称轴上的一动点P从点D出发，以每秒1个单位的速度向上运动，连接OP，BP，设运动时间为t秒（t＞0）．在点P的运动过程中，请求出：当t为何值时，∠OPB ＝90°？（3）如图2，点Q在抛物线上运动（点Q不与点A、B重合），当△QBC的面积与△ABC 的面积相等时，请求出点Q的坐标．解：（1）抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（1，0），抛物线的对称轴为直线x＝2，则点B（3，0），抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3），即3a＝﹣3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣3…①，函数的对称轴为：x＝2，则点D（2，1）；（2）t秒时，点P（2，1+t），则OP2＝4+（1+t）2，BP2＝1+（1+t）2，OB2＝9，∵∠OPB＝90°，则4+（1+t）2+1+（1+t）2＝9，解得：t＝﹣1+（负值已舍去）；（3）如下图，过点A作BC的平行线交抛物线于点Q、交y轴于点K，则△QBC的面积与△ABC的面积相等，过点A作AG⊥BC于点G，过点K作KH⊥BC于点H，则AG＝KH，直线BC的倾斜角为45°，则AG＝AB＝＝KH，则KC＝2，故点K（0，﹣1），则直线AQ的函数表达式为：y＝x﹣1…②，联立①②并解得：x＝1或2（舍去1），故点Q（2，1）；在BC的下方与AQ等距离位置作BC的抛物线交抛物线于点Q′、Q″，同理可得直线Q′Q″的表达式为：y＝x﹣5…③，联立①③并解得：x＝，故点Q（Q′、Q″）的坐标为：（，）、（、）；综上，点Q的坐标为：（2，1）或（，）或（、）．。