青海省2020年高考文科数学模拟试题及答案
对商品的好评率为 0.9 ，对服务的好评率为 0.75 ，其中对商品和服务都做出好评的交易为
140 次．
（ 1）请完成下表，并判断是否可以在犯错误概率不超过
0.5 ％的前提下，认为商品好评与服务好
评有关？
对服务好评
对服务不满意
合计
对商品好评
140
对商品不满意
10
合计
200
(2 ）若针对服务的好评率，采用分层抽样的方式从这 次交易进行客户回访，求只有一次好评的概率．
． {1 ，3， 4， 5， 6}
2．设
p： log
2x
2
>2，
q：
x
>2，则
p是
q 成立的
(
)
D． {1 ， 2， 3， 4， 5}
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3. 下列函数中，既是偶函数又在（ 0，+∞）单调递增的函数是（
）
A. y x 3
B. y x 1
1
或
C.
2
11
或
D. 0
42
1
或
4
9. 据中国古代数学名著《九章算术》中记载，公元前
344 年，先秦法家代表人物商鞅督造一种标准
量器一商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸） ，其体积为 12.6 立方寸 . 若取圆周率
3，
则图中 x 值为（ ）
A. 1.5
B. 2
C. 3
2
D. 3.1
10. 若 tan(
又因为 S ＝ △BDM S ＝ △BCD × × 2× 2×sin60 °＝ ，
2
22
2
1
3 1 15
15
所以由
V V ＝ ，得 3× 三棱锥 E- BDM
三棱锥 M- BDE
3× 2 ＝3×
2 h，解得 h＝ 5 .
15 即 M到平面 BDE的距离为 5
20. （1）设动点 M 的坐标为 x, y ，
22． [ 选修 4— 4：坐标系与参数方程 ] （ 10 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲
线 C 的极坐标方程为
p2
16 1 3sin 2
， P 为曲线 C 上的动点， C 与 x 轴、 y 轴的正半轴分别交于
A，
B 两点．
（ 1）求线段 OP中点 Q的轨迹的参数方程； （ 2）若 M是（ 1）中点 Q的轨迹上的动点，求△ MAB 面积的最大值．
三、解答题（共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第
17～ 21 题为必考题，每个
试题考生都必须作答．第 22、 23 为选考题，考生根据要求作答。）
（一）必考题（共 60 分） 17．（本试题满分 12 分）
已知△ ABC的三个内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c. 若 sin 2A＋ sin 2B－ sin 2C＝sin Asin B. (1) 求角 C的大小；
15. 900 16.
1 ,1
2
三、解答题 17. 解： (1) 由 sin 2 A＋ sin 2 B－ sin 2 C＝ sin Asin B 及正弦定理，得 a2＋ b2－ c2＝ab，
a2＋ b2－ c2 1 由余弦定理得 cos C＝ 2ab ＝ 2，
因为
C∈ (0 ， π) ，所以
C＝
π 3
y2 1.
16 4
设 P 4cos ,2sin ，则 Q 2cos ,sin ，
∴点 Q 的轨迹的参数方程为
x 2cos
（ 为参数） .
y sin
（ 2）由（ 1）知点 Q 的轨迹的普通方程为 x2 y 2 1 ， A 4,0 ， B 0,2 ， AB 2 5 ，所以直 4
线 AB 的方程为 x 2 y 4 0 .
6
因此只有一次好评的概率为
．
19. 解： (1) 证明：如图，取 BD中点 O，连接 OM， OE，因为 O， M分别为 BD， BC的中点，
1
所以
OM∥ CD，且
OM＝
CD. 2
因为四边形 ABCD为菱形，所以 CD∥ AB. 又 EF∥ AB，所以 CD∥ EF.
1 又 AB＝ CD＝ 2，所以 EF＝ 2CD.
EF∥ AB， M为 BC的中点． (1) 求证： FM∥平面 BDE； (2) 若平面 ADE⊥平面 ABCD，求 M到平面 BDE的距离．
20．（本试题满分 12 分）
已知动点 M 到点 A 1,0 与点 B 2,0 的距离之比为 2，记动点 M 的轨迹为曲线 C.
（ 1）求曲线 C 的方程；
（ 2）过点 P 6,2 作曲线 C的切线，求切线方程．
(2) 若△ ABC的面积为 2 3， c＝ 2 3，求△ ABC的周长．
18. （本试题满分 12 分）
3
2019 年双 11 当天，某销售平台全网总交易额为 2684 亿人民币．与此同时，相关管理部门推出
了针对电商的商品和服务的评价体系， 现从评价系统中选出 200 次成功交易， 并对其评价进行统计，
1
6. 已知函数
，且
，则以下结论正确的是
A.
B.
C.
D.
7. 1927 年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，对它乘
3
再加 1，如果它是偶数，对它除以 2，这样循环，最终结果都能得到 1．如图是根据考拉兹猜想
设计的一个程序框图，则①处应填写的条件及输出的结果
分别为
则 MA
2
x1
y2 , MB
2
x2
y2 ，
所以
2
x1
y2
2
x2
y2
2
2 ，化简得 x 3
y2
4，
因此，动点 M 的轨迹方程为
2
x3
y2
4；
7
（ 2）∵圆心 (3,0) 到点 (6,2) 的距离为 13 大于半径 3，
∴点 (-2,4) 在已知圆外 , 过该点的圆的切线有两条
不妨设过该点的切线斜率为 k ， 则切线方程为 y 2 k x 6 ，即 kx y 6k 2 0 ，
200 次交易中取出 4 次交易，并从中选择两
附：
，其中 n＝ a＋ b＋c＋ d．
P（ K2≥k）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
19. （本试题满分 12 分） 在如图所示的五面体 EF-ABCD中，四边形 ABCD为菱形，且∠ DAB＝60°， EA＝ ED＝ AB＝ 2EF＝ 2，
由圆心到直线的距离等于半径可知，
3k 6k 2
12
2 ，解得 k 0 或 k
．
k2 1
5
所以，切线方程为 12 x 5y 62 0 或 y 2 ．
22. （ 1）由 C 的方程可得 2 3 2sin2 16 ，又 2 x2 y 2 ， y sin ，
∴ C 的直角坐标方程为
x2
4 y2
x2 16 ，即
23． [ 选修 4— 5：不等式选讲 ] （10 分）
已知函数
.
（ 1）求不等式
的解集；
（ 2）设函数 的最小值为 ，若不等式
有解，求实数 的取值范围 .
参考答案
5
一、选择题 1.D 2.A 3.C 4.A 5.D 6.D 7.C 8.D 9.C 10.A 11.C 12.C
二、填空题
13. 1 14. 11
C. y x 1
D. y 2 x
4. 已知 {a n} 为递增的等差数列， a4+a7=2， a5?a6=-8 ，则公差 d=（
）
A. 6
B. 6
C. 2
D. 4
5. 根据新高考改革方案， 某地高考由文理分科考试变为“ 3+3”模式考试． 某学校为了解高一年 425
名学生选课情况，在高一年下学期进行模拟选课，统计得到选课组合排名前
对服务好评
对服务不满意
合计
对商品好评
140
40
180
对商品不满意
10
10
20
合计
150
50
200
则
．
由于 7.407 ＜ 7.879 ，则不可以在犯错误概率不超过 0.5 ％的前提下， 认为商品好评与服务好评有关．
（ 2）若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这
200 次交易中取出 4 次交易，则好评的交易
14. 若 x, y 满足约束条件
x y2 0 x y 4 0 ，则 z x 2 y 的最大值是 _____． x1 0
15．如图， 在正方体
中， 、 分别是 、 的中点，
则异面直线
与 所成角的大小是 _______。
16．已知 x 0 , y 0 , 且 x y 1 , 则 x2 y2 的取值范围是 ___ __.
4 种如下表所示，其
中物理、化学、生物为理科，政治、历史、地理为文科，“√”表示选择该科，“×”表示未选 择该科，根据统计数据，下列判断 错．误．的是
A. 前 4 种组合中，选择生物学科的学生更倾向选择两理一文组合 B. 前 4 种组合中，选择两理一文的人数多于选择两文一理的人数 C. 整个高一年段，选择地理学科的人数多于选择其他任一学科的人数 D. 整个高一年段，选择物理学科的人数多于选择生物学科的人数
2020届高考模拟试卷文科数学试题及详细答案解析07
2020届高考模拟卷高三文科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足(i i) 1z =-，其中 i 为虚数单位，则复数z 所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C 【解析】i i(1i)1i 1i (1i)(1i)2z +-+===--+，1i 22z =--，对应点为1122⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，在第三象限．2．已知集合}2{1A =，，1{}0|B x ax =-=，若A B B =I ，则实数 a 的取值个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3.【答案】D【解析】集合}2{1A =，，若A B B =I ，即：B A ⊆，则 B =∅，{}1B =，2{}B =；①当B =∅时，0a =；②当1{}B =时，10a -=，解得1a =；③当2{}B =时，210a -=，解得12a =；综上， a 有3个值． 3．已知等差数列{} n a 满足2810a a +=，且124,,a a a 成等比数列，则2016a （ ） A ．2014 B ．2015 C ．2016 D ．2017【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，∵2810a a +=∴55210,5a a == ∵124,,a a a 成等比数列∴2214=a a a ⋅，即：25354))5()((d d d -=--，解得1d =， ∴2016 2016a =．4．下列命题中正确的是（ ）A ．命题“x ∃∈R 使得210x x ++<”的否定是“x ∀∈R 均有210x x ++<”．B ．若p 为真命题，q 为假命题，则p q ⌝∨（）为真命题．C ．为了了解高考前高三学生每天的学习时间，现要用系统抽样的方法从某班50个学生中抽取一个容量为10的样本，已知50个学生的编号为1,2,350⋯，若 8号被选出，则18号也会被选出．D ．已知m n 、是两条不同直线，αβ、是两个不同平面，m αβ=I ，则“n α⊂，n m ⊥”是“αβ⊥”的充分条件． 【答案】C【解析】命题“x ∃∈R 使得2 10x x ++<”的否定是“x ∀∈R 均有2 10x x ++≥”，故A不正确；若 p 为真命题， q 为假命题，则 p q ⌝∨（）为假命题，故B 不正确；由系统抽样的知识知，18825-=⨯，∴C 是正确的；由“m αβ=I ，n α⊂，n m ⊥”不能推出“αβ⊥”，故D 不正确．5．设P 是ABC △所在平面内的一点，且 4AB AC AP +=u u u r u u u r u u u r ，则PBC △与ABC △的面积之比是( )A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】B【解析】设BC 中点为M ，则 2AB AC AM +=u u u r u u u r u u u u r ，∵ 4AB AC AP +=u u u r u u u r u u u r， ∴2AM AP =u u u u r u u u r ，即：P 是AM 中点，从而12PBC ABC S S =△△．6．一个几何体的三视图如图所示，其中主（正）视图是边长为2的正三角形，俯视图是正方形，那么该几何体的侧面积是( )此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A ． 434+B ． 43C ．8D ．12【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是一个正四棱锥，侧面是底边长为2，高为2的等腰三角形，所以该几何体的侧面积为1 42282S =⨯⨯⨯=．7．已知不等式组 012210x y x y >⎧⎪⎨⎪-+⎩≤≤表示的平面区域为D ，若直线 2y x a =-+与区域 D 有公共点，则a 的取值情况是（ ） A ．有最大值2，无最小值 B ．有最小值2，无最大值 C ．有最小值12，最大值2 D ．既无最小值，也无最大值【答案】A【解析】由约束条件得如图所示的三角形区域，显然当直线2y x a =-+过点 1,12B （）时，a 取得最大值为2；当直线2y x a =-+过点102A （，）时，a 取得最小值，但A 点不在可行域内．8．已知2log (1),2()(1).2x x f x f x x +>⎧=⎨+⎩ ≤，执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为 (1)f ，则输出的P 值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】2()()()123log 42f f f ====，即：2A =，模拟执行程序框图，可得1S =，满足条件2S ≤，则132122P S ==+=，，满足条件2S ≤，则3P =，11111236S =++=，满足条件2S ≤，则111254123412P S ==+++=，，不满足条件2S ≤，退出循环体，此时4P =．9．已知函数 2sin cos )() 0(3f x x x ωωωπ=+>（）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 2π，要得到函数3cos(2)3y x π=+的图象，只需将函数() y f x =的图象（ ） A ．向右平移 2π个单位B ．向左平移 2π个单位C ．向右平移 4π个单位D ．向左平移 4π个单位【答案】D 【解析】()2sin cos 3f x x x ωωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭132sin cos 2x x x ωωω⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭2sin cos 3x x x ωωω=-133sin 22222x x ωω=+-3sin 232x ωπ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭由题意知() f x 的最小正周期为T =π，则1ω=，3 sin 2( )32f x x π=+-⎛⎫ ⎪⎝⎭()33 sin 2442f x x π⎛π⎡π⎤+=+-⎢⎥⎣+ ⎦⎫⎪⎝⎭33sin 2cos 232232x x πππ⎛⎫⎛⎫=++-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴要得到函数3cos 232y x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数() y f x =的图象向左平移4π个单位．10．已知圆22()():553C x y -+=-，过圆心C 的直线l 交圆C 于,A B 两点，交y 轴于点P ．若14PA AB =u u u r u u u r，则直线l 的方程为( )A ．270x y -+=B ．2130x y +-=或270x y -+=C ．2130x y +-=D ．270x y ++=【答案】B【解析】由14PA AB =u u u r u u u r 知，12PA AC =u u u r u u u u r ，则()()1,3,52A A p A A x y y x y -=--，解得1A x =，代入圆的方程可得 4A y =或 6A y =，即：4(1)A ，或1,6A （），故直线l 的方程为：270x y -+=或 2 130x y +-=．11．已知()f x 为偶函数，且满足()(2)f x f x =-+，方程()0f x =在[0]1，内有且只有一个根12016，则方程()0f x =在区间[]20162016-，内的根的个数为( ) A ．4032 B ．4036 C ．2016 D ．2018【答案】A【解析】()()f x f x -=，()(2)f x f x =-+，()( )2f x f x -=-+，() f x 是周期为2的周期函数且() f x 图象关于直线1x =对称，又∵方程0( )f x =在[]01，内有且只有一个根12016，∴方程0( )f x =在[1]2，内有且只有一个根，故方程0( )f x =在一个周期内有两个根，20166[]201-，内包括2016个周期，共201624032⨯=个根．12．已知双曲线 2222:1(0)1x y C a a a -=>-的左右焦点分别为 12 ,F F ，若存在 k ，使直线 )1( y k x =-与双曲线的右支交于 ,P Q 两点，且1PFQ △的周长为 8，则双曲线的斜率为正的渐近线的倾斜角的取值范围是（ ）A ．,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】直线 ()1y k x =-经过双曲线的右焦点，∴1PFQ △的周长为42a PQ +，()221a PQ a->Q ，()2414424a a PQ a aa-∴+>+=，48a <即，又2010a a >⎧⎨->⎩，解得01a <<，112a ∴<<，双曲线斜率为正的渐近线的方程为：21a y x -=112a <<Q (222211113a a a a a --==-，所以，此渐近线的倾斜角的取值范围为(0,)3π．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为1 (0)2F -，，点2(2B ，在椭圆C 上，则椭圆C 的方程为 ．【答案】22184x y += 【解析】设椭圆 C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，因为椭圆的左焦点为1()20F -，，所以224a b -=． ① 因为点(2B ，在椭圆C 上，所以22421a b +=． ② 由①②解得，22a =2b =． 所以椭圆C 的方程为22184x y +=． 14．已知倾斜角为α的直线l 与直线 230x y +-=垂直，若向量 a b r r，满足 a b α=r r ，，5a =r 22a b +=r r b =r． 【答案】1【解析】由已知得tan 2α=，5cos 5a ∴=，2222cos ,a b a b a b a b +=++r r r r r r r r Q 2230b b ∴+-=r r ，解得1b =r．15．已知 a b c ，，分别是ABC △的角A B C ，，所对的边，且23c C π==，，若()sin sin 2sin 2C B A A +-=，则A = ． 【答案】26A A ππ==或 【解析】∵sin sin sin sin 2sin 2C B A C B A A =++-=（），（）， ∴sin sin 2sin 2A B B A A ++-=（）（），2sin cos 4sin cos B A A A =， 当cos 0A =时，解得2A π=；当cos 0A ≠时，sin 2sin B A =， 由正弦定理可得2b a =；联立，2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩解得,33a b ==， 222b a c ∴=+2B π∴=又3C π=，6A π∴=，综上可得：26A A ππ==或． 16．已知函数2 ()8ln f x x x =+，若存在点((),)A t f t ，使得曲线 ()y f x =在该点附近的左、右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧，则t = ． 【答案】2【解析】由2() 8ln f x x x =+，82() f x x x'=+，可求得曲线()y f x =在点A 处的切线方程为288ln 2()( )() y t t t x t t -+=+-，即：2828)0()(ln 8y t x t t x t=+-+->，记2222888ln 28ln 88ln ()[(28ln 80)]()()h x x x t x t t x x t x t t x t t=+-+-+-=+-++-+>则()4288()22x t x t h x x t x t x ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭'=+-+= ⎪⎝⎭若存在点()),(A t f t ，使得曲线()y f x =在该点附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的两侧，则问题等价于t 不是极值点，由二次函数的性质知，当且仅当4t t=，即 2t =时，t 不是极值点，即0()h x '≥，所以 () h x 在0+∞（，）上递增．又()0h t =，所以当2()0,x ∈时，()0h x <；当,()2x ∈+∞时，()0h x >，即存在唯一点248ln 2A +（，），使得曲线在点 A 附近的左、右两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足：()2*121112n n n a a a ++⋅⋅⋅+=∈N（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若()41nnn na b a -=-，求数列{ }n b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）221n a n =-；（2）221n n n T n n ⎧=⎨-+⎩，为偶数，，为奇数. 【解析】（1）()2*121112n n n a a a ++⋅⋅⋅+=∈N Q∴当1n =时，1112a =，解得12a =． 当2n ≥时，()()2*12111112n n n a a a --++⋅⋅⋅+=∈N Q ∴()21121222n n n n a 2--=-=解得221n a n =-，当1n =时也成立． （2）由（1）可得()()()()44111143nn nn n n n a b n a a ⎛⎫-=-=--=-- ⎪⎝⎭， 当n 为偶数时，()159131743422n nT n n =-+-+-+⋅⋅⋅+-=⨯=， 当n 为奇数时，1n +为偶数，()()11214121n n n T T b n n n ++=-=+-+=-+．综上，221n n n T n n ⎧=⎨-+⎩，为偶数，为奇数．18．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P ABC ﹣中，底面ABC 为直角三角形，且90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，2AB =，侧面PAB 为等边三角形． （1）当PC =AC PB ⊥；（2）当平面PAB ⊥平面ABC 时，求三棱锥A PBC -的高．【答案】（1）见解析；（2）23913【解析】（1）由题意得，1,3,2AC BC PA ===，当3PC =时，222,AC PC PA AC PC +=∴⊥， 又AC BC ⊥，CB PC C =I ，AC PBC ∴⊥平面，从而AC PB ⊥． （2）取AB 中点O ，连接,PO CO ，则PO AB ⊥，∵平面PAB ⊥平面ABC AB =，PO AB ⊥，PO ⊂平面PAB ， ∴PO ⊥平面ABC ，从而PO OC ⊥，POC △是直角三角形22312PC PO OC =+=+=，PBC △是腰长为2，底边长为3的等腰三角形 113393224PBC S =⨯⨯=△，又131322ABC S =⨯⨯=△，由等体积可得三棱锥A PBC -的高为：133239321133934ABC PBC S OP h S ⨯⨯⨯===⨯△△．19．（本小题满分12分）某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取100名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组 901)[00，，1001)[10，，140[50]1⋯，，后得到如下部分频率分布直方图，其中成绩在130,[150]的称为“优秀”，其它的称为“一般”，观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在1200[13，）内的人数及数学成绩“优秀”的人数； （2）用分层抽样的方法在在分数段为1100[13，）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段1200[13，）内的概率． （3）若统计了这100名学生的地理成绩后得到如下表格：数学成绩“优秀”数学成绩“一般”总计 地理成绩“优秀” 10 40 50 地理成绩“一般”20 30 50 总计3070100否优秀有关系”？下面的临界值表供参考：【答案】（1）30,30；（2）35；（3）能在犯错误概率不超过005．的前提下，认为“数学成绩是否优秀与地理成绩是否优秀有关系”．【解析】（1）分数在1200[13，）内的频率为()10.10.150.150.250.05-++++10.70.3=-=；分数在]130[150，内的频率为0.250.050.3+=；所以分数在1200[13，）内的人数及数学成绩“优秀”的人数均为1000.330⨯=．（2）依题意，1100[12，）分数段的人数为1000.1515⨯=（人）1200[13，）分数段的人数为1000.330⨯=（人） ∵用分层抽样的方法在分数段为1100[13，）的学生中抽取一个容量为6的样本， ∴需在1100[12，）分数段内抽取2人，并分别记为 m n ，；在1200[13，）分数段内抽取4人，并分别记为 a b c d ，，，；设“从样本中任取 2人，至多有1人在分数段1200[13，）内”为事件A ，则基本事件有()()()()()()(),,,,,,,,,,,,m n m a m d n a n d a b c d ⋯⋯⋯,,,,共15种；则事件 A 包含的基本事件有()()()()()()(),,,,,,,,,,,,m n m a m b m c m d n a n b ,,()(),,,n c n d 共9种；()93155P A ∴==． （3）()2210010302040 4.762 3.84130705050K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以能在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为“数学成绩是否优秀与地理成绩是否优秀有关系”． 20．（本小题满分12分）已知直线()1y k x =-与抛物线2:2C y px =相交于,P Q 两点，设 ,P Q 在该抛物线的准线上的射影分别是,P Q ''，则无论k 为何值，总有PP QQ PQ ''+=． （1）求抛物线C 的方程；（2）设点 A 为y 轴上异于原点的任意一点，过点 A 作抛物线 C 的切线l ，直线3x =分别与直线l 及 x 轴交于点M N ，，以MN 为直径作圆E ，过点A 作圆 E 的切线，切点为B ，试探究：当点A 在y 轴上运动（点A 与原点不重合）时，线段AB 的长度是否发生变化？请证明你的结论．【答案】（1）24y x =；（2）线段 AB 的长度不发生变化．【解析】（1）设抛物线的焦点为F ，则PP QQ PF QF ''+=+， ∵PP QQ PQ ''+=，∴直线() 1y k x =-过抛物线的焦点， 从而抛物线的焦点为1,0（），抛物线方程为24y x =． （2）设 0A b （，），切线l 的方程为y kx b =+， 联立方程组24y kx by x=+⎧⎨=⎩，消元得()222240k x kb x b +-+=，∵直线 l 与抛物线 C 相切，∴()2222440kb k b ∆=--=，即1kb =．∴1k b=． ∴直线 l 的方程为1y x b b =+．令 3x =得 3y b b=+． ∴()33,,3,0M b N b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．∴圆 E 的圆心为33,22b E b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，半径322b r b =+∴223922b AE b ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．∵ AB 是圆E 的切线，∴222226AB AE BE AE r =-=-=．∴AB =即点A 在y 轴上运动（点A 与原点不重合）时，线段 AB 的长度不发生变化． 21．（本小题满分12分）设a ∈R ，函数2()(ln ),e x f x ax x g x ax =-=-． （1）若函数()()2h x f x x =+，讨论()h x 的单调性．（2）若()( )0f x g x ⋅>对 0(),x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）1e 2ea <<． 【解析】（1）()()22210ax x h x x x+-'=>①当 0a ＞时，480a ∆=+>，2142x a a-+-+==，∴()h x在10,2a ⎛- ⎝⎭单调递减，在12a ⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭单调递增； ②当0a =时，()21x h x x-'=， ∴()h x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增；③当102a -<<时，480a ∆=+>，x ==∴()h x在⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭单调递减，在1122a a ⎛-+- ⎝⎭单调递增； ④当12a -≤时，480a ∆=+≤，()0h x '≤恒成立，此时函数单调递减． （2）若()0f x >对()0,x ∈+∞恒成立，即2ln 0ax x ->对()0,x ∈+∞恒成立，则2maxln x a x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，设()()2ln 0x h x x x =>，则()312ln x h x x -'=， 当120e x <<时，()0h x '>，函数()h x 递增；当12e x >时，()0h x '<，函数()h x 递减， 所以当0x >时，()12max1e 2eh x h ⎛⎫==⎪⎝⎭，∴12e a >． ∵()h x 无最小值，∴()0f x <对()0,x ∈+∞恒成立不可能． ∵()()0f x g x ⋅>对()0,x ∈+∞恒成立，∴()e 0x g x ax =->，即e xa x<对()0,x ∈+∞恒成立．设()()()2e 1e ,x xx H x H x x x -'=∴=，当01x <<时，()0H x '<，函数()H x 递减；当1x >时，0()H x '>，函数 ()H x 递增， ∴当0x >时，min (()e )1H x H ==，∴e a <．综上可得，1e 2ea <<． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本小题满分10分）选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线1C的极坐标方程是ρ=1C上各点的纵坐标都压缩为原来的2倍，得到曲线2C ，直线l的参数方程是0022x x y y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．（1）写出曲线1C 与曲线2C 的直角坐标方程；（2）设00(),M x y ，直线l 与曲线2C 交于,A B 两点，若83MA MB ⋅=，求点M 轨迹的直角坐标方程．【答案】（1）222212:2,:12x C x y C y +=+=；（2）22163x y +=（取夹在平行直线y x =±之间的两端弧）．【解析】（1）221:2C x y +=，设点(),P x y ''是曲线2C上任一点，则2x xy y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩解得x x y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩ ∴曲线2C 的直角坐标方程为：2212x y +=．（2）由直线 l 与曲线2C相交可得：222000032202t x y +++-=， 220022883332x y MA MB +-⋅=⇒=，即220026x y +=，2226x y +=表示一椭圆，取y x m =+代入2212x y +=，得：2234220x mx m ++-=，由∆≥0，得m ，故点M 的轨迹是椭圆2226x y +=夹在平行直线 y x =± 23．（本小题满分10分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数()1f x x x =+-．（1）若()|1|f x m -≥恒成立，求实数m 的最大值M ；（2）在（1）成立的条件下，正实数,,m n p 满足3 2m n p M ++=，求证： 3mn np pm ++≤．【答案】（1）2；（2）见解析．【解析】（1）由已知可得12,0 1,012(,1)1x x f x x x x ->⎧⎪=<⎨⎪-⎩≤≥，所以min ()1f x =， 由题意知，只需 ||11m -≤，解得111m --≤≤，02m ≤≤， 所以实数m 的最大值2M =． （2）证明： 3m n p ++=Q ，2222() 2229m n p m n p mn np mp ∴++=+++++=，,,m n p Q 为正实数，∴由均值不等式，得22 2m n mn +≥（当且仅当m n =时取等号）， 22 2n p np +≥（当且仅当n p =时取等号），222p m pm +≥（当且仅当p m =时取等号），222 m n p mn np pm ∴++++≥（当且仅当m n p ==时取等号），2222 222933()3m n p m n p mn np pm mn np pm ++=+++++=++∴≥，3mn np pm ∴++≤（当且仅当m n p ==时取等号）．。
2020年高考文科数学模拟试题及答案(解析版) (1)
高三文科数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|﹣1≤x≤5}，B＝{x|x2﹣2x＞3}，则A∩B＝（）A．{x|3＜x≤5} B．|x|﹣1≤x≤5| C．{x|x＜﹣1或x＞3} D．R2．已知复数z满足i（3+z）＝1+i，则z的虚部为（）A．﹣i B．i C．﹣1 D．13．已知函数f(x)=(x-1)3，x≤1lnx，x＞1，若f（a）＞f（b），则下列不等关系正确的是（）A．1a2+1＜1b2+1 B．3a＞3bC．a2＜ab D．ln（a2+1）＞ln（b2+1）4．国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数（PMI）如下图所示．则下列结论中错误的是（）A．12个月的PMI值不低于50%的频率为13B．12个月的PMI值的平均值低于50%C．12个月的PMI值的众数为49.4%D．12个月的PMI值的中位数为50.3%5．已知函数f(x)=sin(2x-π4)的图象向左平移φ（φ＞0）个单位后得到函数g(x)=sin(2x+π4)的图象，则φ的最小值为（）A．π4 B．3π8 C．π2 D．5π86．已知数列{a n}满足a n+1﹣a n＝2，且a1，a3，a4成等比数列．若{a n}的前n项和为S n，则S n的最小值为（）A．﹣10 B．﹣14 C．﹣18 D．﹣207．已知cos（2019π+α）=-23，则sin（π2-2α）＝（）A．79 B．59 C．-59 D．-798．已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过右顶点A且与x轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M点，MF的中点恰好在双曲线C上，则C的离心率为（）A．5-1 B．2 C．3 D．59．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为11，则图中的判断条件可以为（）A．S＞﹣1？B．S＜0？C．S＜﹣1？D．S＞0？10．过抛物线E：x2＝2py（p＞0）的焦点F作两条互相垂直的弦AB，CD，设P为抛物线上的一动点，Q（1，2）．若1|AB|+1|CD|=14，则|PF|+|PQ|的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．411．已知函数f（x）＝x3﹣ax﹣1，以下结论正确的个数为（）①当a＝0时，函数f（x）的图象的对称中心为（0，﹣1）；②当a≥3时，函数f（x）在（﹣1，1）上为单调递减函数；③若函数f（x）在（﹣1，1）上不单调，则0＜a＜3；④当a＝12时，f（x）在[﹣4，5]上的最大值为15．A．1 B．2 C．3 D．412．已知四棱锥E﹣ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，ED＝1，平面ECD⊥平面ABCD，当点C到平面ABE的距离最大时，该四棱锥的体积为（）A．26 B．13 C．23 D．1二、填空题：本题共4小题．每小题5分．共20分．13．已知向量a→=（1，1），|b→|=3，（2a→+b→）•a→=2，则|a→-b→|＝．14．为激发学生团结协作，敢于拼搏，不言放弃的精神，某校高三5个班进行班级间的拔河比赛．每两班之间只比赛1场，目前（一）班已赛了4场，（二）班已赛了3场，（三）班已赛了2场，（四）班已赛了1场．则目前（五）班已经参加比赛的场次为．15．将底面直径为4，高为3的圆锥形石块打磨成一个圆柱，则该圆柱的侧面积的最大值为．16．如图，已知圆内接四边形ABCD，其中AB＝6，BC＝3，CD＝4，AD＝5，则2sinA+2sinB= ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}的各项都为正数，a1＝2，且an+1an=2anan+1+1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝[lg（log2a n）]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg99]＝1，求数列{b n}的前2020项和．18．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABC⊥平面A1ACC1，CC1＝2，△ABC，△ACC1，均为正三角形，E 为AB的中点．（Ⅰ）证明：AC1∥平面B1CE；（Ⅱ）求斜三棱柱ABC﹣A1B1C1截去三棱锥B1﹣﹣CBE后剩余部分的体积．19．近几年一种新奇水果深受广大消费者的喜爱，一位农户发挥聪明才智，把这种露天种植的新奇水果搬到了大棚里，收到了很好的经济效益．根据资料显示，产出的新奇水果的箱数x（单位：十箱）与成本y （单位：千元）的关系如下：x 1 3 4 6 7y 5 6.5 7 7.5 8y与x可用回归方程y^=b̂lgx+a^（其中a^，b^为常数）进行模拟．（Ⅰ）若该农户产出的该新奇水果的价格为150元/箱，试预测该新奇水果100箱的利润是多少元．|．（Ⅱ）据统计，10月份的连续16天中该农户每天为甲地配送的该新奇水果的箱数的频率分布直方图如图．（i）若从箱数在[40，120）内的天数中随机抽取2天，估计恰有1天的水果箱数在[80，120）内的概率；（ⅱ）求这16天该农户每天为甲地配送的该新奇水果的箱数的平均值．（每组用该组区间的中点值作代表）参考数据与公式：设t＝lgx，则t y i=15 (ti-t)(yi-y) i=15 (ti-t)20.54 6.8 1.53 0.45线性回归直线y^=b̂lgx+a^中，b=i=1n (ti-t)(yi-y)i=1n (ti-t)2，a^=y-b̂t．20．已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2，M是椭圆E上的一个动点，且△MF1F2的面积的最大值为3．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）若A（a，0），B（0，b），四边形ABCD内接于椭圆E，AB∥CD，记直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值．21．已知直线y＝x﹣1是曲线f（x）＝alnx的切线．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若t≤3﹣4ln2，证明：对于任意m＞0，h(x)=mx-x+f(x)+t有且仅有一个零点．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．以直角坐标系xOy的原点为极坐标系的极点，x轴的正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ+8sinθ，P是C1上一动点，OP→=2OQ→，Q的轨迹为C2．（Ⅰ）求曲线C2的极坐标方程，并化为直角坐标方程；（Ⅱ）若点M（0，1），直线l的参数方程为x=tcosαy=1+tsinα（t为参数），直线l与曲线C2的交点为A，B，当|MA|+|MB|取最小值时，求直线l的普通方程．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分10分）23．已知a，b，c∈R+，∀x∈R，不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≤a+b+c恒成立．（Ⅰ）求证：a2+b2+c2≥13（Ⅱ）求证：a2+b2+b2+c2+c2+a2≥2．答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．由题意B＝{x|x＜﹣1或x＞3}，所以A∩B＝{x|3＜x≤5}，故选：A．2．解∵i（3+z）＝1+i，∴3+z=1+ii=1-i，∴z＝﹣2﹣i，∴复数z的虚部为﹣1．故选：C．3．易知f（x）在R上单调递增，故a＞b．因为a，b的符号无法判断，故a2与b2，a2与ab的大小不确定，所以A，C，D不一定正确；B中3a＞3b正确．故选：B．4．从图中数据变化看，PMI值不低于50%的月份有4个，所以12个月的PMI值不低于50%的频率为412=13，所以A正确；由图可以看出，PMI值的平均值低于50%，所以B正确；12个月的PMI值的众数为49.4%，所以C正确；12个月的PMI值的中位数为49.6%，所以D错误．故选：D．5．把函数f(x)=sin(2x-π4)的图象向左平移φ（φ＞0）个单位后得到函数y＝sin（2x+2φ-π4）的图象，即得到g(x)=sin(2x+π4)的图象，∴2φ-π4=2kπ+π4，k∈Z，∴φ的最小值为π4，故选：A．6．根据题意，可知{a n}为等差数列，公差d＝2．由a1，a3，a4成等比数列，可得(a1+4)2=a1（a1+6），解得a1＝8．所以S n＝﹣8n+n(n-1)2×2=(n-92)2-814．根据单调性，可知当n＝4或5时，S n取到最小值，最小值为﹣20．故选：D．7．由cos（2019π+α）=-23，可得cos（π+α）=-23，∴cosα=23，∴sin（π2-2α）＝cos2α＝2cos2α﹣1＝2×29-1=-59．故选：C．8．双曲线C：x2a2-y2b2=1，a＞0，b＞0的右顶点为A（a，0），右焦点为A（c，0），M所在直线为x＝a，不妨设M（a，b），∴MF的中点坐标为（a+c2，b2）．代入方程可得(a+c2)2a2-(b2)2b2=1，∴(a+c)24a2=54，∴e2+2e﹣4＝0，∴e=5-1（负值舍去）．故选：A．9．i＝1，S＝1．运行第一次，S＝1+lg13=1﹣lg3＞0，i＝3，不成立；运行第二次，S＝1+lg13+lg35=1﹣lg5＞0，i＝5，不成立；运行第三次，S＝1+lg13+lg35+lg57=1﹣lg7＞0，i＝7，不成立；运行第四次，S＝1+lg13+lg35+lg57+lg79=1﹣lg9＞0，i＝9，不成立；运行第五次，S＝1+lg13+lg35+lg57+lg79+lg911=1﹣lg11＜0，i＝11，成立，输出i的值为11，结束，故选：B．10．显然直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y＝kx+p2，联立方程y=kx+p2x2=2py，消去y得：x2﹣2pkx﹣p2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），∴x1+x2＝2pk，∴y1+y2=k(x1+x2)+p=2pk2+p，由抛物线的性质可知：|AB|＝y1+y2+p＝2pk2+2p，∵AB⊥CD，∴直线CD的斜率为：-1k，∴|CD|＝2p（-1k）2+2p=2pk2+2p=2p+2pk2k2，∴1|AB|+1|CD|=12pk2+2p+k22p+2pk2=k2+12p+2pk2=14，∴2p+2pk2＝4+4k2，∴p＝2，∴抛物线方程为：x2＝4y，准线方程为：y＝﹣1，设点P到准线y＝﹣1的距离为d，由抛物线的性质可知：|PF|+|PQ|＝d+|PQ|，而当QP垂直于x轴时，d+|PQ|的值最小，最小值为2+1＝3，如图所示：∴|PF|+|PQ|的最小值为3，故选：C．11．①幂函数y＝x3为奇函数，其图象的对称中心为原点，根据平移知识，当a＝0时，函数f（x）＝x3﹣1的图象的对称中心为（0，﹣1），即①正确．②由题意知，f'（x）＝3x2﹣a．当﹣1＜x＜1时，3x2＜3，又a≥3，所以f'（x）＜0在（﹣1，1）上恒成立，所以函数f（x）在（﹣1，1）上单调递减，即②正确．③由题意知，f'（x）＝3x2﹣a，当a≤0时，f'（x）≥0，此时f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数，不合题意，故a＞0．令f'（x）＝0，解得x=±3a3．因为f（x）在（﹣1，1）上不单调，所以f'（x）＝0在（﹣1，1）上有解，所以0＜3a3＜1，解得0＜a＜3，即③正确．④令f'（x）＝3x2﹣12＝0，得x＝±2．当x∈[﹣4，5]时，f（x）在[﹣4，﹣2]和[2，5]上单调递增，在（﹣2，2）上单调递减，所以f（x）max＝f（﹣2）或f（5），因为f（﹣2）＝15，f（5）＝64，所以最大值为64，即④错误．故选：C．12．如图所示，由题意可得：ED⊥平面ABCD时，△ADE的面积最大，可得点C即点D到平面ABE的距离最大．此时该四棱锥的体积=13×12×1=13．故选：B．二、填空题：本题共4小题．每小题5分．共20分．13．由题意可得|a→|=2，(2a→+b→)⋅a→=a→⋅b→+2a→2=a→⋅b→+4，∴a→⋅b→+4=2，解得a→⋅b→=-2，∴|a→-b→|=a→2-2a→⋅b→+b→2=3．故答案为：3．14．根据题意，画图如下，由图可知，目前（五）班已经赛了2场，故答案为：2．15．欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥．设圆柱的高为h，底面半径为r，则3-h3=r2，解得h=3-32r．故S侧＝2πrh＝2πr（3-32r）=3πr（2﹣r）≤3π(r+2-r2)2=3π．当r＝1时，S侧的最大值为3π．故答案为：3π．16．由圆内接四边形的性质可得∠C＝π﹣∠A，∠D＝π﹣∠B．连接BD，在△ABD中，有BD2＝AB2+AD2﹣2AB•AD cos A．在△BCD中，BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CD cos C，所以，AB2+AD2﹣2AB•AD cos A＝BC2+CD2+2BC•CD cos A，cos A=AB2+AD2-BC2-CD22(AB⋅AD+BC⋅CD)=62+52-32-422(6×5+3×4)=37，所以sin A=1-cos2A=1-(37)2=2107，连接AC，同理可得cos B=AB2+BC2-AD2-CD22(AB⋅BC+AD⋅CD)=62+32-52-422(6×3+5×4)=119，所以sin B=1-cos2B=1-(119)2=61019．所以2sinA+2sinB=14210+2×19610=4103．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（I）由题意，且an+1an=2anan+1+1，即an+12-a n+1a n﹣2an2=0，整理，得（a n+1+a n）（a n+1﹣2a n）＝0．∵数列{a n}的各项都为正数，∴a n+1﹣2a n＝0，即a n+1＝2a n．∴数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n＝2n．（Ⅱ）由（I）知，b n＝[lg（log2a n）]＝[lg（log22n）]＝[lgn]，故b n=0，1≤n＜101，10≤n＜1002，100≤n＜10003，1000≤n＜2020，n∈N*．∴数列{b n}的前2020项的和为1×90+2×900+3×1021＝4953．18．（Ⅰ）如图，连接BC1，交B1C于点M，连接ME，则ME∥AC1．因为AC1⊄平面B1CE，ME⊂平面B1CE，所以AC1∥平面B1CE．（Ⅱ）因为B1C1平面ABC，所以点B1到平面ABC的距离等于点C1到平面ABC的距离．如图，设O是AC的中点，连接OC1，OB．因为△ACC1为正三角形，所以OC1⊥AC，又平面ABC⊥平面A1ACC1，平面ABC∩平面A1ACC1＝AC，所以OC1⊥平面ABC．所以点C1到平面ABC的距离OC1=3，故三棱锥B1﹣BCE的体积为V B1-BCE=13S△BCE•OC1=13×12×1×3×3=12，而斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V＝S△ABC•OC1=12AB•CE•OC1=12×2×3×3=3，所以剩余部分的体积为3-12=52．19．解（Ⅰ）根据题意，b=i=1n (ti-t)(yi-y)i=1n (ti-t)2=1.530.45=3.4，a=y-b̂t=6.8-3.4×0.54=4.964，∴y=3.4t+4.964．又t＝lgx，∴y=3.4lgx+4.964．∴x＝10时，y=3.4+4.964=8.364（千元），即该新奇水果100箱的成本为8364元，故该新奇水果100箱的利润15000﹣8364＝6636．（Ⅱ）（i）根据频率分布直方图，可知水果箱数在[40，80）内的天数为1320×40×16=2．设这两天分别为a，b，水果箱数在[80，120）内的天数为1160×40×16=4，设这四天分别为A，B，C，D．∴随机抽取2天的基本结果为：（AB），（AC），（AD），（Aa），（Ab），（BC），（BD），（Ba），（Bb），（CD），（Ca），（Cb），（Da），（Db），（ab）共15种．满足恰有1天的水果箱数在[80，120）内的结果为：（Aa），（Ab），（Ba），（Bb），（Ca），（Cb），（Da），（Db）共8种，所以估计恰有1天的水果箱数在[80，120）内的概率为P=815．（ⅱ）这16天该农户每天为甲地配送的该新奇水果的箱数的平均值为：60×1320×40+100×1160×40+140×180×40+180×1320×40=125（箱）．20．（Ⅰ）设椭圆E的半焦距为c，由题意可知，当M为椭圆E的上顶点或下顶点时，△MF1F2的面积取得最大值3．所以c=112×2c×b=3a2=b2+c2，所以a＝2，b=3，故椭圆E的标准方程为x24+y23=1．（Ⅱ）根据题意可知A（2，0），B（0，3），k AB=-32因为AB∥CD，设直线CD的方程为y=-32x+m，C（x1，y1），D（x2，y2）由x24+y23=1y=-32x+m，消去y可得6x2﹣43mx+4m2﹣12＝0，所以x1+x2=23m3，即x1=23m3-x2．直线AD的斜率k1=y1x1-2=-32x1+mx1-2，直线BC的斜率k2=-32x2+m-3x2，所以k1k2=-32x1+mx1-2•-32x2+m-3x2，=34x1x2-32m(x1+x2)+32x1+m(m-3)(x1-2)x2，=34x1x2-32m⋅23m3+32(23m3-x2)+m(m-3)(x1-2)x2，=34x1x2-32x2(x1-2)x2=34．故k1k2为定值．21．（Ⅰ）根据题意，f′（x）=ax，设直线y＝x﹣1与曲线相切于点P（x0，y0）根据题意，可得ax0=1alnx0=x0-1，解之得x0＝a＝1，因此f（x）＝lnx．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知h（x）＝mx-x+lnx+t（x＞0），则当x→0时，h（x）＜0，当x→+∞时，h（x）＞0，所以h（x）至少有一个零点．h′（x）=1x-12x+m＝m-116+（1x-14）2①m≥116，则h′（x）≥0，h（x）在（0，+∞）上单调递增，所以h（x）有唯一零点．②若0＜m＜116，令h′（x）＝0得h（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），所以1x1＞14，即0＜x1＜16．可知h（x）在（0，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增．所以极大值为h（x1）＝mx1-x1+lnx1+t＝（12x1-1x1）x1-x1+lnx1+t=-x12-1+lnx1+t，又h′（x1）=-14x1+1x1=4-x14x1＞0，所以h（x1）在（0，16）上单调递增，则h（x1）＜h（16）＝ln16﹣3+t≤ln16﹣3+3﹣4ln2＝0，所以h（x）有唯一零点．综上可知，对于任意m＞0时，h（x）有且仅有一个零点．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（Ⅰ）根据题意，设点P，Q的极坐标分别为（ρ0，θ）、（ρ，θ），则有ρ=12ρ0＝2cosθ+4sinθ，故曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ+4sinθ，变形可得：ρ2＝2ρcosθ+4ρsinθ，故C2的直角坐标方程为x2+y2＝2x+4y，即（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5；（Ⅱ）设点A，B对应的参数分别为t1、t2，则|MA|＝t1，|MB|＝t2，设直线l的参数方程x=tcosαy=1+tsinα，（t为参数），代入C2的直角坐标方程（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5中，整理得t2﹣2（cosα+sinα）t﹣3＝0．由根与系数的关系得t1+t2＝2（cosα+sinα），t1t2＝﹣3，则|MA|+|MB|＝|t1|+|t2|＝|t1﹣t2|=(t1+t2)2-4t1t2=4(cosα+sinα)2+12=4sin2α+16≥23，当且仅当sin2α＝﹣1时，等号成立，此时l的普通方程为x+y﹣1＝0．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分10分）23．证明：（Ⅰ）∵|x﹣1|﹣|x﹣2|≤|x﹣1﹣x+2|＝1，∴a+b+c≥1．∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ac，∴2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ca，∴3a2+3b2+3c2≥a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca＝（a+b+c）2≥1，∴a2+b2+c2≥13．（Ⅱ）∵a2+b2≥2ab，2（a2+b2）≥a2+2ab+b2＝（a+b）2，即a2+b2≥(a+b)22两边开平方得a2+b2≥22|a+b|=22(a+b)，同理可得b2+c2≥22(b+c)，c2+a2≥22(c+a)，三式相加，得a2+b2+b2+c2+c2+a2≥2．。
2020高考文科数学模拟试卷含答案
[0,
].
22
2
2
2
（Ⅰ）求 |PQ| 的表达式；
（Ⅱ）记 f ( x) | PQ |2 4 | PQ | ( R), 求函数 f ( x) 的最小值 .
18. (本小题满分 12 分) 为了竖一块广告牌， 要制造三角形支架 . 三角形支架如图， 要求∠ACB=60 °，
BC 长度大于 1 米，且 AC 比 AB 长 0.5 米. 为了广告牌稳固， 要求 AC 的长度越 短越好，求 AC 最短为多少米？且当 AC 最短时， BC 长度为多少米？
但其中只有一把真的可以打开柜门，则第
n 名学生打开保险柜的概率为
（）
8. 若 1
a
A．1
B． 1
n1
C． 1
n
D． 1
n1
1 0 ，则下列不等式① a+ b< ab ；② |a|>| b |；③ a< b；④ b a 2 中，
b
ab
正确的不等式有（
）
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
9. 三角形的三个顶点 A（6 ，3 ）、B（9，3）、C（3，6），则 ABC 的内角 A 的
8
（I）根据图象求 k 、b 的值；
1 11 x
（II）若市场需求量为 Q，它近似满足 Q( x) 2 2 . 当 P=Q 时的市场价格称为市场平衡价格 .为使市 场平衡价格控制在不低于 9 元，求税率 t 的最小 值.
20. (本小题满分 12 分) 在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从桥上游漂流而下的巨大的汽
（4 分）
将 c b 1 代入得 (b 1) 2 a 2 b2 ab
2020年高考文科数学模拟试题及答案(解析版) (1)
高三数学模拟试卷（文科）1.已知集合{}2(,)3Mx yy x ==，{}(,)5N x y y x ==，则M ∩N 中的元素个数为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】2503302553x x y x y y x y ⎧=⎪=⎧=⎧⎪∴⎨⎨⎨==⎩⎩⎪=⎪⎩Q 或 ，因此M ∩N 中的元素个数为2，选C. 2.已知,a b ∈R ，i 为虚数单位，()()2137a i i b i ++=-+，则a b -=( ) A. 9 B. 9-C. 24D. 34-【答案】A 【解析】因为(2)(13)7a i i b i ++=-+，所以23(61)7a ai i +++=-+，根据复数相等的定义知，237a +=-，61a b +=，解得2a =-，11b =-，所以9a b -=，故选A. 3.设向量(3,2)a =r ，(6,10)b =r ，(,2)c x =-r .若(2)a b +r r c ⊥，则x =（ ） A. -2 B. -3C.76D.73【答案】D 【解析】因为2(12,14)a b +=rr ，(,2)c x =-r，且(2)a b +rrc ⊥v，所以(2)0a b c +⋅=r r v，即12280x -=，解得73x =，故选D.4.已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则下列命题正确的是（ ） A. 若αβ⊥，则//l m B. 若l m ⊥，则//αβ C. 若l β//，则m α⊥ D. 若//αβ，则l m ⊥【答案】D 【解析】对于A ，若αβ⊥，直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则l 与m 可能平行、相交、异面，故不正确；对于B ，若l m ⊥，直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则α与β可能平行也可能相交，故B 不正确；对于C, 若l β//,m 与α的位置不确定，故C 不正确；对于D ，若//αβ ，直线l ⊥平面α，则直线l ⊥平面β，又因直线//m 平面β，则l m ⊥正确；故选D.5.①已知332p q +=，求证2p q +≤，用反证法证明时，可假设2p q +>；②设a 为实数，2()f x x a x a=++，求证(1)f 与(2)f 中至少有一个不小于12，由反证法证明时可假设1(1)2f ≥，且1(2)2f ≥，以下说法正确的是（ ）A. ①与②的假设都错误B. ①与②的假设都正确C. ①的假设正确，②的假设错误D. ①的假设错误，②的假设正确【答案】C 【解析】 【分析】反证法应用时，要对结论进行否定；或命题的否定为且命题，分别判断即可.【详解】解：①已知：p 3+q 3=2，求证：p+q≤2．用反证法证明时，假设应为p+q >2，所以①正确； ②设a 为实数，f （x ）=x 2+ax+a ，求证：|f （1）|与|f （2）|中至少有一个不大于12． 用反证法证明时假设应为|f （1）|>12且|f （2）|>12，所以②错误． 故选C.【点睛】本题考查了反证法的应用，掌握反证法就是对结论否定，注意否定的形式即可，属于基础题. 6.n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，37S S =，27a =，则5a =( ) A. 5 B. 3C. 1D. 1-【答案】C 【解析】由等差数列性质知道32743721S aS a ====，43a ∴=，又27a =，所以d 2=-, 已知5231a a d ．=+=故选C. 7.已知213252+⨯+⨯++L 1(21)22()n n n n a b c --⨯=++对一切*n N ∈都成立，则,,a b c 的值为（ ） A. 3a =，2b =-，2c = B. 3a =，2b =，2c = C. 2a =，3b =-，3c = D. 2a =，3b =，3c =【答案】C【解析】由题意知，当1,2,3n =时，分别有 212()1324(2)132528(3)a b c a b c a b c =++⎧⎪+⨯=++⎨⎪+⨯+⨯=++⎩解得：2a =，3b =-，3c =，故选C. 8.设实数,x y 满足约束条件260430y xx y x y ≤⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩，则3z x y =+的取值范围为( ) A. []4,8- B. []4,9-C. []8,9D. []8,10【答案】B 【解析】在平面直角坐标系中画出可行域，y x ≤和260x y +-≤交于 A(3,0)，y x ≤和430x y --≤交于C 11--，，3y x z =-+，在A(3,0)处截距最大，目标函数取得最大值，在C 11--，处，截距最小，目标函数最小，带入坐标求得[]4,9-．9.已知函数()32xf x x -=-，给出下列两个命题： 命题p ：若01x ≥，则()01f x <-； 命题q ：[)01,x ∃∈+∞，()03f x >-. 则下列叙述正确的是（ ） A. p 是假命题B. p 的否命题是：若01x <，则()01f x <-C. q ⌝是假命题D. q ⌝为：[)01,x ∀∈+∞，()03f x >- 【答案】C 【解析】因为()32xf x x -=-是减函数，所以当01x ≥时，()05(1)13f x f ≤=-<-成立，是真命题，故A 错误；p 的否命题是：若01x <，则()01f x ≥-，所以B 不正确；因为[)01,x ∃∈+∞，()03f x >-是真命题，所以q ⌝是假命题正确，故C 正确；q ⌝为：[)01,x ∀∈+∞，()03f x >-，()03f x ≤-故D 错误，所以选C.10.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 283B. 243803D. 3【答案】A 【解析】该几何体是一个底面为菱形的四棱柱挖掉了一个底面是菱形的四棱柱，所以其体积 1=4344232228322V ⨯⨯-⨯⨯=，故选A.11.某次夏令营中途休息期间，3位同学根据胡老师的口音对她是哪个地方的人进行了判断： 甲说胡老师不是上海人，是福州人； 乙说胡老师不是福州人，是南昌人； 丙说胡老师既不是福州人，也不是广州人．听完以上3人的判断后，胡老师笑着说，你们3人中有1人说的全对，有1人说对了一半，另一人说的全不对，由此可推测胡老师（ ） A. 一定是南昌人 B. 一定是广州人C. 一定是福州人D. 可能是上海人【答案】D 【解析】在A 中，若胡老师是南昌人，则甲说的全不对，乙说对了一半，丙说的全对，满足条件，故胡老师有可能是南昌人，但不能说一定是南昌人，故A 错误；在B 中，若胡老师是广州人，则甲说的全不对，乙说的全不对，丙说的全对，不满足条件，故B 错误；在C 中，若胡老师是福州人，则甲说对一半，乙说的全不对，丙说的全不对，不满足条件，故C 错误；在D 中，若胡老师是上海人，由甲说的对一半，乙说的全不对，丙说的全对，满足条件，故D 正确．12.已知函数()1l n s i n 2f x x x a x π⎛⎫=++-⎪⎝⎭在区间,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最大值，则实数a 的取值范围是( ) A. 14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 34,2⎛⎫--⎪⎝⎭ C. 13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D. 33,2⎛⎫--⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【详解】因为1c o s 12()c o s 2x x x a f x x ax xππ⎛⎫++- ⎪⎝'⎭=++-=，令()1c o s 2x x x gx a π⎛⎫++-⎪⎝⎭=，则()0g π=. ∵()f x 在区间,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最大值 ∴3()013312()02a g a a g ππ>-⎧⎧>⎪⎪⇒⇒-<<⎨⎨<⎪⎪<⎩⎩. 故选：C ．13.已知单位向量a r ，b r 满足•-=r r r 1(23)2a ab ，则向量a r与b r 的夹角为__________．【答案】60°（或3π）【解析】因为1(23)2a a b ⋅-=r r r ，化简得：2123232a a b a b -⋅=-⋅=r r r r r ，即12a b ⋅=r r ，所以1c o s ,2a b a b a b ⋅==⋅r r r r r r ，又0,a b π≤<>≤rr ，所以,3a b π<>=r r ，故填3π． 14.在等差数列{}n a 中，24a =，且31a +，6a ，104a +成等比数列，则公差d =__________． 【答案】3 【解析】由已知可得方程组1161011361144448845495441215ad ad d d a a a d a d d d a a a d a d +=+=⎧⎧++⎪⎪⇒⇒=++++⎨⎨==++⎪⎪++++⎩⎩2(22)(1)(1)(5)23013d d d d d dd ⇒++=++⇒--=⇒=-或 15.已知0m >，0n >，若212m n =-，则327m n+的最小值为__________． 【答案】96 【解析】因为212m n=-，所以221m n +=，327327654()(22)6096n m n m n m n m n+=++=++= 当且仅当654n m m n =，即13,88m n ==时等号成立，故最小值为96． 点睛：本题主要考查了不等式，不等式求最值问题，属于中档题．解决此类问题，重要的思路是如何应用均值不等式或其他重要不等式，很多情况下，要根据一正、二定、三取等的思路去思考，本题根据条件构造221m n +=，研究的式子乘以1后变形，即可形成所需条件，应用均值不等式． 16.已知三棱柱111A B C A B C -内接于球O ，24A BA C ==，120B A C ∠=︒，1AA ⊥平面ABC ，114A A =，则球O 的表面积是__________． 【答案】2500π 【解析】在A B C ∆中24A BA C ==，120B A C ∠=︒，由余弦定理可得B C =，由正弦定理，可得A B C ∆外接圆半径6r =，设此圆圆心为O '，球心为O ，在R TO A O ∆'中，得球的半径R ,所以242500S R ππ==. 点睛：本题主要考查了直三棱柱内接于球的性质，以及正弦定理、余弦定理，及解三角形，属于中档题．解题时要注意球的直径与几何体的对角线之间的关系，一般对角线过球心，利用这种关系求球的半径，或者球心与底面外接圆的圆心连线垂直，构造圆半径，球半径构成的直角三角形来解决，求三角形外接圆半径时注意正弦定理的应用．17.已知数列{}n a 的前n 项和22n S n k n =-（其中*N k ∈），且n S 的最小值为-9. （1）确定常数k ，并求n a ； （2）若()()2216n n b n a =++，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）27n a n =-；（2）221nn +. 【解析】试题分析：（1）利用22n S n k n =-=()222n k k k --≥-求出最值，即可求k ，再用n a 与n S 关系，求n a ；（2）根据通项特点，采用裂项相消法求和即可． 试题解析：（1）因为22n S n k n =-=()222n k k k --≥-，所以24a <≤，解得3k =，26n S n n =-. 当2n ≥时，127n n n a S S n -=-=-，显然当1n =时，也满足. 所以27n a n =-. （2）因为()()2216n nb n a ==++()()21121212121n n n n =-+--+，所以1111335n T ⎛⎫⎛⎫=-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L 1112121212121n n n n n ⎛⎫-=-=⎪-+++⎝⎭. 点睛：数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差等比数列的通项公式和前n 项和，主要利用解方程得思想处理通项公式问题，利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和．在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误．18.设函数()s i n ()(0,0,||)f x A x A ωφωφπ=+>><的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式； （2）当[,]3x ππ∈-时，求()f x 的取值范围.【答案】(1)12()3s i n ()23f x x π=-；(2)33()2f x -≤≤-. 【解析】 试题分析：(1)由题意结合三角函数的周期可得12ω=，结合33f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则23πφ=-，函数的解析式为()12323f x s i n x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(2)由函数的定义域可得125,2366x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，则函数的值域为()332f x -≤≤-. 试题解析：（1）由图象知43,433T Aπππ==-=，即4T π=.又24ππω=，所以12ω=，因此()132f x s i n x φ⎛⎫=+⎪⎝⎭.又因为点33f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 所以()262k k Z ππφπ+=-+∈，即()223k k Z πφπ=-+∈， 又φπ<，所以23πφ=-，即()12323f x s i n x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（2）当,3x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，125,2366x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦， 所以1211232s i n xπ⎛⎫-≤-≤- ⎪⎝⎭，从而有()332f x -≤≤-. 19.在A B C V 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知4a =，23B π=，s i n 2s i n b C B =. (1)求b 的值； (2)求A B C V的面积.【答案】(1) b =；(2) A B C S =V 【解析】 试题分析：(1)s i n 2s i n b C B=由正弦定理可得边的关系2b c b =，即2c =，再由余弦定理222224224c o s 283b π=+-⨯⨯=得边.(2)由正弦定理1sin 2ac B 求面积公式.解：(1)因为s i n 2s i n b C B=， 所以由正弦定理得： 2b c b =，即2c =，由余弦定理得222224224c o s 283bπ=+-⨯⨯=. 所以b =.(2)因为4a =，2c =，23B π=. 所以11s i n 42222A B CS a c B ==⨯⨯⨯V 点睛：要结合正弦定理得边的关系，余弦定理求边长．20.在A B C ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知s i n 4s i n 5s i n b B a B a A =+. （1）若c ，求角C 的大小；（2）若2a =，且A B C ∆的面积为53，求A B C ∆的周长. 【答案】（1）23π；（2）12221+或12231+. 【解析】试题分析：（1）利用正弦定理将条件转化为边，利用余弦定理求解即可；（2）利用正弦定理求sin C ，分类讨论余弦的值，用余弦定理求解即可．试题解析：（1）∵s i n 4s i n 5s i n b B a B a A =+，∴22540a ab b +-=，∴5b a =. ∵31c a =，∴2222251c o s 2102a b c a C a b a +--===-.∵()0,C π∈，∴23C π=. （2）∵2a =，∴10b =，∴1s i n 10s i n 532a b C C ==，∴3sin 2C =. 当C 为锐角时，由余弦定理得，2222c o s ca b a bC =+-=141002210842+-⨯⨯⨯=，∴221c =，此时A B C ∆的周长为12221+. 当C 为钝角时，由余弦定理得，2222c o s ca b a bC =+-=1410022101242⎛⎫+-⨯⨯⨯-=⎪⎝⎭，∴231c =，此时A B C ∆的周长为12231+.点睛：解决三角形中的角边问题时，要根据俄条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能写出角的大小.21.如图，三棱柱111A B C A B C -的所有棱长均为2，平面A B C ⊥平面11AABB ，1160A A B ∠=︒，P 为1C C 的中点，11A B A B O ⋂=.(1)证明：1AB ⊥平面1A OP ；(2)若M 是棱AC 的中点，求四棱锥11M A A B B -的体积. 【答案】（1）见解析；（2）1． 【解析】试题分析：(1)欲证线面垂直，即证线线垂直；（2）四棱锥11M A A B B -的高为12C D ，菱形11AABB 的面积为23，所以四棱锥11M A A B B -的体积为1V =. 试题解析：(1)证明：取AB 中点D ，连结O P ，C D ，O D ，依题意得1O DA A P C P P ，且O D P C =，所以四边形O D C P 为平行四边形，则O P C D P ，因为平面A B C P 平面11AABB ，平面A B C ⋂平面11AABB AB =，CD A B ⊥， 所以C D ⊥平面11AABB ，即O P ⊥平面11AABB ，1AB ⊆平面11AABB ，所以1A B O P ⊥， 又因为四边形11AABB 为菱形，所以11A B A B ⊥，又1O P A B O ⋂=，所以1AB ⊥平面1A OP . (2)解：由(1)结合已知得，四棱锥11M A A B B -的高为132CD =菱形11AABB 的面积为322223⨯⨯=， 所以四棱锥11M A A B B -的体积为132313V =⨯⨯=. 点睛：求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. ①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值． 22.已知函数()11l n ,f x x a R a x a=+-∈且0a ≠.11（1）若函数()f x 区间[)1,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）设函数()x gx e x p =-+，e 为自然对数的底数.若存在[]01,x e ∈，使不等式()000l n x gx e x ≥成立，求实数p 的取值范围.【答案】（1）()[),01,-∞+∞U ；（2）[)1,e -+∞. 【解析】试题分析：（1）函数单调递增转化为导数恒为正值，分类讨论求a 即可；（2）分离参数p ，转化为求函数的最值，利用导数即可求出最值．试题解析：（1）当0a <时，函数()f x 是()0,∞+上的单调递增函数，符合题意；当0a >时，由()210a x f x a x -'=>，得1x a >，∵函数()f x 在区间[)1,+∞内单调递增， ∴11a ≤，则1a ≥.综上所述，实数a 的取值范围是()[),01,-∞+∞U .（另由()210a x f x a x -'=>对[)1,x ∈+∞恒成立可得，当0a <时，符合；当0a >时，10a x -≥，即1a x ≥，∴1a ≥.综上()[),01,a ∞∞∈-+U ）（2）∵存在[]01,e x ∈，使不等式()000e l n xgx x ≥成立，∴存在[]01,e x ∈，使()00l n 1e xp x x ≥-+成立.令()()l n 1e x h x x x =-+，从而()[]()m i n 1,e p h x x ≥∈，()1l n 1e 1xh x x x ⎛⎫'=+-+ ⎪⎝⎭.由（1）知当1a =时，()1l n 1f x x x =+-在[]1,e 上递增，∴()()10f x f ≥=. ∴1ln 10x x +-≥在[]1,e 上恒成立.∴()1l n 1e 1010xh x x x ⎛⎫=+-+≥+> ⎪⎭'⎝，12∴()()l n 1e xh x x x =-+在[]1,e 上单调递增. ∴()()m i n11e h x h ==-，∴1e p ≥-. 实数p 的取值范围为[)1e ,-+∞.点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.。
2020届高考模拟试卷文科数学试题及详细答案解析04
2020届高考模拟卷高三文科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}{}240,20A x x B x x =->=+<，则A B =I （ ） A ．{}2x x > B ．{}2x x <- C ．{2x x <-或}2x >D ．12x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭【答案】B2．已知复数z 满足：()()3i 12i i z -+=(其中i 为虚数单位)，复数z 的虚部等于（ ） A ．15- B ．25-C ．45D ．35【答案】C3．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C4．“1a >”是“2a a >成立”的（ ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A5．抛物线214y x =的焦点到双曲线2213x y -=的渐近线的距离为（ ）A ．12B ．32C ．1D ．3【答案】B6．设,a b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若,,a b αβαβ⊂⊂∥，则a b ∥ B ．若,a b αβ⊥∥，且αβ⊥，则a b ∥ C ．若,,a a b b αβ⊥∥∥，则αβ⊥D ．若,,a b a b αβ⊥⊂⊂，则αβ⊥ 【答案】C7．在区间上[]0,π随机地取一个数x ，则事件“1sin 2x ≤”发生的概率为（ ） A ．34B ．23C ．12D ．13【答案】D8．在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知11,,cos 43b B A π===，则a =（ ） A ．43B ．23C ．34D ．2【答案】A9．已知向量,a b r r 均为单位向量，且夹角为60︒，若()()a b a b a b λλ-⋅+=-r r r r r r，则实数λ=（ ）A ．3B ．3-C ．1±D ．3±【答案】D10．已知函数()f x 是奇函数，若函数()2x y xf x =-的一个零点为0x ，则0x -必为下列哪个函数的零点（ ）A ．()2x y f x x -=⋅+B ．()12x y f x x=⋅-此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号C ．()2x y f x x =⋅-+D ．()12x y f x x-=⋅-+【答案】B11．设实数,x y 满足不等式组240y xx y ⎧⎪⎨-+⎪⎩≥≥，则2x y +的最大值为（ ）A ．43B ．43-C ．12D ．0【答案】C12．已知函数()[)sin cos ,0,f x x x x =-∈+∞，直线L 过原点且与曲线()y f x =相切，其切点的横坐标从小到大依次排列为123,,,,,n x x x x L L ，则下列说法正确的是（ ） A ．()1n f x =B ．数列{}n x 为等差数列C ．tan 4n n x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D ．()22221n n nx f x x ⎡⎤=⎣⎦+【答案】D第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．某植树小组测量了一批新采购的树苗的高度，所得数据如茎叶图所示（单位：cm )，则这批树苗高度的中位数为 ．【答案】7614．从直线y x =上一动点出发的两条射线恰与圆()22:21C x y +-=都相切，则这两条射线夹角的最大值为 ．【答案】2π15．已知ABC △中，D 为边BC 上靠近B 点的三等分点，连接,AD E 为线段AD 的中点，若CE mAB nAC =+u u u r u u u r u u u r，则m n += ．【答案】12-16．已知三棱锥A BCD -中，213AB CD ==，41,61BC AD AC BD ====，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为 ．【答案】77π三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数()()2sin cos +sin 203f x x x x ωωωωπ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π．(1)求ω和函数的最小值 （2）求函数()y f x =的单调递增区间．【答案】解：13()2sin (cos )sin 22f x x x x x ωωωω=++13sin 2cos 2)sin 22x x x ωωω=-+ 333sin 222x x ωω=+33)6x ωπ=-+（1）因为函数最小正周期为π，则2|2|T ωπ==π，则1ω=，最小值为3 （2）由（1）得3()3)6f x x π=-+令222()262k x k k πππ-+π-+π∈Z ≤≤，解得()63k x k k ππ-+π+π∈Z ≤≤所以函数的增区间为[,]()63k k k ππ-+π+π∈Z ．18．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()112,22,1n n a a S n +==+≥． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足：()31log nn n n b a a =+-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S ．【答案】解：（1）122n n a S +=+Q L L L ①∴当2n ≥时，122n n a S -=+L L L ②①-②得：12n n n a a a +-=13n n a a +⇒=，又12a =， 由①得21226a a =+=213a a ∴=，{}n a ∴是以2为首项3为公比的等比数列123n n a -∴=⨯（2）()()11331log 231log 23nnn n n n n b a a --=+-=⨯+-⨯Q()()133231log 21log 3nn n -=⨯+-+-⎡⎤⎣⎦()()()132311log 21n nn n -=⨯+--++-2122n n S b b b ∴=+++L ()221213330n n -=++++++L 231n n =+-．19．（12分）一生物科研小组对升高温度的多少与某种细菌种群存活数量之间的关系进行分析研究，他们制作5份相同的样本并编号1、2、3、4、5，分别记录它们同在0C ︒下升高不同的温度后的种群存活数量，得到如下资料：（1）若随机选取2份样本的数据来研究，求其编号不相邻的概率； （2）求出y 关于x 的线性回归方程；（3）利用（2）中所求出的回归方程预测温度升高15C ︒时此种样本中种菌群存活数量．附：1221ni ii nii x ynxy bxnx==-=-∑∑$，ˆˆay bx =-． 【答案】解：（1）总的选取结果为（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共10中，其中满足编号不相邻的有（1，3），（1，4），（1，5），（2，4），（2，5），（3，5）共6种，则概率为35．（2）由数据求得11x =，25y =，则515221554ˆ 5.4105i ii i i x y x ybx x==-===-∑∑， ˆˆ34.4ay bx =-=-，所以y 关于x 的线性回归方程为ˆ 5.434.4y x =-． （3）利用直线方程ˆ 5.434.4yx =-，可预测温度升高15℃时此种样本中细菌种群存活数量为5.41534.446.6(46⨯-=≈个）（个）． 20．（12分）如图1，1AFA △中，11,82FA FA AA CF ===，，点,,B C D 为线段1AA 的四等分点，线段,,BE CF DG 互相平行，现沿,,BE CF DG 折叠得到图2所示的几何体，此几何体的底面ABCD 为正方形．（1）证明：,,,A E F G 四点共面；（2）求四棱锥B AEFG -的体积．【答案】解：由题得1FC AA ⊥，1DG BE ==，所以在图2中FC DC ⊥，FC BC ⊥，DC BC C =I ，所以FC ABCD ⊥面，又,,BE CF DG 互相平行，则,,BE CF DG 均与底面垂直．（1）取FC 中点M ，连接,EM DM ，易得EM BC ∥，且EM BC =，AD BC ∥，且AD BC =，所以四边形AEMD 为平行四边形，所以AE DM ∥，易得GF DM ∥，则AE GF ∥， 所以,,,A E F G 四点共面．DAEG F(2)如图，224333B AEFG B AEG B EFG G AEB G EFB V V V V V -----=+=+=+=． DAE G F21．（12分）如图所示，椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，点A 为椭圆在第一象限上的点，且2AF ⊥x 轴，（1）若2135AF AF =，求椭圆的离心率； （2）若线段1BF 与x 轴垂直，且满足11BF AF =，证明：直线AB 与椭圆只有一个交点．【答案】解：（1）因为21||3||5AF AF =，又12||||2AF AF a +=，则1253||,||44AF a AF a ==，所以由勾股定理得12||F F a =，即2a c =，所以离心率12e =（2）把x c =代入椭圆22221x y a b +=得2b y a =，即22||b AF a =，所以2(,)bA c a，又12||||2AF AF a +=所以2222212||2b a b a c AF a a a a -+=-==，即221||a c BF a +=，故22(,)a cB c a+-，则直线AB 的斜率2222AB a c b c a a K c a+-==--，则直线AB 方程为2()b cy x c a a-=--，整理得c y x a a =-+，联立22221x y a b c y x a a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y 得：2222220a x ca x a c -+=，易得2424440c a c a ∆=-=，故直线AB 与椭圆只有一个交点．22．（12分）已知函数()()()211e ,2x f x x a g x x ax =+-=+，其中a 为常数． （1）若2a =时，求函数()f x 在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若对任意[)0,x ∈+∞，不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】解：（1）2,()(1)x a f x x e ==+则，()(2)x f x x e '∴=+，(0)2f '∴=，又因为切点0,1（），所以切线为210x y -+=；(2)令()()()h x f x g x =-，由题得min ()0h x ≥在[0,)x ∈+∞恒成立，21()(1)2x h x x a e x ax =+---，所以()()(1)x h x x a e '=+-①若0a ≥，则[0,)x ∈+∞时()0h x '≥，所以函数()h x 在[0,)+∞上递增，所以min ()(0)1h x h a ==-，则10a -≥，得1a ≥；②若0a <，则当[0,]x a ∈-时()0h x '≤，当[,+x a ∈-∞）时()0h x '≥，所以函数()h x 在[0,]a -上递减，在[,+a -∞）上递增，所以()()min h x h a =-，又因为()(0)10h a h a -<=-<，所以不合题意．综合得1a ≥．。
2020届高考模拟试卷文科数学试题及详细答案解析13
2020届高考模拟卷高三文科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足2i 2i z=++，则z =( )A ．41B ．41C ．5D ．25【解析】由2i 2iz=++，得2(2i)=3+4i z =+，故z =5．【答案】C2．已知集合(){}ln 32P x y x ==-，则P N I 的子集的个数为( ) A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】由320x ->，可得32x <，故{}0,1P =N I ，其子集的个数为4． 【答案】B3．在等差数列{}n a 中，3412a a +=，公差d =2，则a 9=( ) A ．14B ．15C ．16D ．17【解析】∵3412a a +=，∴112521012a d a +=+=，11a ∴=，91817a d =+=． 【答案】D4．如图，在ABC △中，D 为线段BC 的中点，E ，F ，G 依次为线段AD 从上至下的3个四等分点，若4AB AC AP +=u u u r u u u r u u u r，则( ) A ．点P 与图中的点D 重合B ．点P 与图中的点E 重合C ．点P 与图中的点F 重合D ．点P 与图中的点G 重合【解析】∵2AB AC AD +=u u u r u u u r u u u r ，2AD AF =u u u r u u u r，∴4AB AC AF +=u u u r u u u r u u u r ，∴点P 与图中的点F 重合． 【答案】C5．1F ，2F 分别是双曲线22:197x y C -=的左、右焦点，P 为双曲线C 右支上一点，且18PF =，则122F F PF =( ) A ．4B ．3C ．22D ．2【解析】由双曲线的定义可知，1226PF PF a -==，∴22PF =， ∵1228F F c ==，∴1224F F PF =．【答案】A6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，已知该几何体的各个面中有n 个面是矩形，体积为V ，则( ) A ．4,10n V == B ．5,12n V == C ．4,12n V ==D ．5,10n V ==【解析】由三视图可知，该几何体为直五棱柱，故5n =，212221102V ⎛⎫=⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭．【答案】D7．已知点(),a b 是平面区域2001x y x y +-⎧⎪⎨⎪-⎩≤≥≥内的任意一点，则3a b -的最小值为( )A ．3-B ．2-C ． 1-D ．0【解析】作出不等式组2001x y x y +-⎧⎪⎨⎪-⎩≤≥≥表示的可行域可知，当0,2a b ==时，目标函数3z a b =-的最小值为2-．【答案】B8．若sin()2(sin 2cos )4αααπ+=+，则sin 2α=( )此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号ABDEF GA．45-B．45C．35-D．35【解析】∵2sin()2(sin2cos)(sin cos)42αααααπ+=+=+，sin3cos0αα+=．tan3α∴=-，2222sin cos2tan3sin2sin cos1tan5ααααααα∴===-++．【答案】C9．设函数()f x的导函数为()f x'，若()f x为偶函数，且在()0,1上存在极大值，则()f x'的图象可能为( )A．B．C．D．【解析】若()f x为偶函数，则()f x'为奇函数，故排除B、D．又()f x在()0,1上存在极大值，故选C．【答案】C10．我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完，现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是( )【解析】一共取了7次，27=128，A、C、D不能完成功能，B能完成功能，故选B．【答案】B11．已知多面体ABCDFE的每个顶点都在球O的表面上，四边形ABCD为正方形，EF BD∥，且E，F在平面ABCD内的射影分别为B，D，若ABE△的面积为2，则球O的表面积的最小值为( )A．82πB．8πC．122πD．12π【解析】设AB a=，BE b=，则ABE△的面积为122ab=，4ab∴=，多面体EFABCD可以通过补形为长方体，如图所示:则球O即为该长方体的外接球，其表面积为()22222222422222822a b ca b a b ab⎛⎫++π=π+π=π=π⎪⎪⎝⎭≥所以A选项是正确的．【答案】A12．若函数sin(2),6()cos(2),62x x mf xx m xπ⎧--π⎪⎪=⎨ππ⎪-⎪⎩≤≤≤≤恰有4个零点，则m的取值范围为( )A．11(,](,]126123ππππ--U B．11(,](,](,]123126123π2π5ππππ----U UC．11[,)[,)126123ππππ--U D．11[,)[,)[,)123126123π2π5ππππ----U U【解析】解:设()sin(2)6g x xπ=-，()cos(2)6h x xπ=-，作出这两个函数在,2π⎡⎤-π⎢⎥⎣⎦上的图象，如图所示:()g x在,2π⎡⎤-π⎢⎥⎣⎦上的零点为1112π-，512π-，12π；()h x在,2π⎡⎤-π⎢⎥⎣⎦上的零点为23π-，6π-，3π．()f x恰有4个零点，由图象可得11(,](,](,]123126123mπ2π5ππππ∈----U U．所以B选项是正确的．【答案】B第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．为应对电信诈骗，工信部对微信、支付宝等网络支付进行规范，并采取了一些相应的措施．为了调查公众对这些措施的看法，某电视台法制频道节目组从2组青年组，2组中年组，2组老年组中随机抽取2组进行采访了解，则这2组不含青年组的概率为__________【解析】设2组青年组的编号分别为1，2， 2组中年组的编号分别为3，4， 2组老年组的编号分别为5，6，则从中两组所有的情况有15种，分别为:()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,()()()()()()()()()()2,3,2,4,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,6，其中不含青年组的有6种，故所求概率为：62155p ==． 【答案】2514．设椭圆222:1(3x y C a a +=>的离心率为12，则直线6y x =与C 的其中一个交点到y 轴的距离为___________【解析】12c e a ====Q ，2a ∴=，由221436x y y x⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得27x =． 【答案】2715．若1n a n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是公比为2的等比数列，且11a =，则3921239a a a a +++⋅⋅⋅+=___________【解析】因为1121a +=，所以数列11a n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以2为首项，2为公比的等比数列，所以()()9103921212111122102223912a a a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++⋅⋅⋅++==-=⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以3921102291013239a a a a +++⋅⋅⋅+=-=． 【答案】101316．已知a >0且1a ≠，函数223,2()1log ,2a x x x f x x x ⎧-+=⎨+>⎩≤存在最小值，则f （2a ）的取值范围为___________【解析】当2x ≤时，2()(1)2f x x =-+的最小值为2． 当2x >时，若01a <<，显然不合题意；若1a >，要使()f x 存在最小值，必有1log 22a +≥，解得12a <≤．224a ∴<≤，()21(2)1log 22log a f a a a∴=+=+，12a <Q ≤，20log 1a ∴<≤，()2[3,)f a ∴∈+∞． 【答案】[3,)+∞三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分． 17．（12分）ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin 4sin ac B A =，且7cos 8A =． (1)求ABC △的面积；(2)若a =，求ABC △的周长．【解析】解:(1)由sin 4sin ac B A =，得4abc a =，4bc =．…..3分 7cos 8A =Q，sin A ∴=，故ABC △的面积1sin 2S bc A ==…..6分(2)由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，()()()221021cos 15b c bc A b c ∴=+-+=+-，()225b c +=，5b c +=，5a b c ∴++=+ABC △的周长为5+． …..12分18．（12分）如图，在底面为矩形的四棱锥P ABCD -中，PB AB ⊥．(1)证明:平面PBC ⊥平面PCD ；(2)若443PB AB BC ===，平面PAB ⊥平面ABCD ，求三棱锥A PBD -与三棱锥P BCD-的表面积之差．【解析】(1)证明:由已知四边形ABCD 为矩形，得AB BC ⊥，PB AB ⊥Q ，PB BC B =I ，AB ∴⊥平面PBC ，又CD AB ∥，CD ∴⊥平面PBC ，CD ⊂Q 平面PCD ， ∴平面PBC ⊥平面PCD ；…..4分(2)解:∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB I 平面ABCD AB =，AD AB ⊥，AD ∴⊥平面PAB ，则AD PA ⊥，1342622PADS ∴=⨯⨯=△．…..6分又AD BC ∥，BC ∴⊥平面PAB ，则BC PB ⊥，14362PBC S ∴=⨯⨯=△ …..8分又CD ⊥平面PBC ， CD PC ∴⊥，221443102PCD S ∴=⨯⨯+=△．又PB AB ⊥，14482PAB S ∴=⨯⨯=△．而ABD △与BCD △的面积相等，且三棱锥P BCD -与三棱锥A PBD -的公共面为PBD △ ∴三棱锥A PBD -与三棱锥P BCD -的表面积之差 为()()862106628+-+=-． …..12分19．（12分）共享单车是指企业在校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供单车共享服务，是共享经济的一种新形态，一个共享单车企业在某个城市就“一天中一辆单车的平均成本（单位：元）与租用单车的数量（单位：车辆）之间的关系”进行调查研究，在调查过程中进行了统计，得出相关数据见下表：租用单车数量x （千辆） 2 3 4 5 8 每天一辆车平均成本y (元)3.22.421.91.7根据以上数据，研究人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方程甲：(1)4ˆ 1.1yx =+，方程乙：(2)26.4ˆ 1.6y x=+． （1）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务：①完成下表（计算结果精确到0.1）（备注：ˆˆi i i ey y =-，ˆi e 称为相应于点(,)i i x y 的残差（也叫随机误差））； 租用单车数量x （千辆） 2 3 4 58每天一辆车平均成本y（元）3.2 2.4 2 1.9 1.7 模型甲估计值(1)ˆi y2.4 2.1 1.6 残差(1)ˆi e0 －0.1 0.1 模型乙估计值(2)ˆi y2.3 2 1.9 残差(2)ˆi e0.1②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和1Q 及2Q ，并通过比较1Q ，2Q 的大小，判断哪个模型拟合效果更好．（2）这个公司在该城市投放共享单车后，受到广大市民的热烈欢迎，共享单车常常供不应求，于是该公司研究是否增加投放，根据市场调查，这个城市投放8千辆时，该公司平均一辆单车一天能收入8.4元；投放1万辆时，该公司平均一辆单车一天能收入7.6元，问该公司应该投放8千辆还是1万辆能获得更多利润？（按（1）中拟合效果较好的模型计算一天中一辆单车的平均成本，利润=收入-成本）． 【解析】解：（1）①经计算，可得下表：…..3分②()22210.10.10.10.03Q =+-+=，220.10.01Q ==，…..5分 12Q Q >，故模型乙的拟合效果更好．…..6分（2）若投放量为8千辆，则公司一天获得的总利润 为()8.4 1.7800053600-⨯=元，…..8分若投放量为1万辆，由（1）可知，每辆车的成本为26.41.6 1.66410+=（元），…..10分所以公司一天获得的总利润为()7.6 1.6641000059360-⨯=（元）， …..11分因为5936053600>，所以投放1万辆能获得更多利润，应该增加到投放1万辆． …..12分20．（12分）如图，已知抛物线2:2(0)C x py p =>，圆22:(3)8Q x y +-=，过抛物线C 的焦点F 且与x 轴平行的直线与C 交于1P ，2P 两点，且12 4.PP = (1)证明:抛物线C 与圆Q 相切；(2)直线l 过F 且与抛物线C 和圆Q 依次交于M ，A ，B ，N ，且直线l 的斜率(0,1)k ∈，求ABMN的取值范围． 【解析】解:(1)证明:抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭，令2py =，可得1224PP p ==，计算得出2p =， 即抛物线C 的方程为24x y =，…..2分联立24x y =和22(3)8x y +-=， 消去x ，可得2210y y -+=，由判别式为440-=，可得抛物线C 与圆Q 相切； …..4分(2)由(1)可得()0,1F ，直线l 的方程为()1,0,1y kx k =+∈， 圆心()0,3Q 到直线l 的距离为21d k=+，可得22128421AB d k =-=-+；…..6分设()11,M x y ，()22,N x y ，由24x y =和1y kx =+，可得()224210y k y -++=，…..7分 则21224y y k +=+，()212241MN y y k =++=+，…..8分则2121AB k MN-+=，01k <<， 设211,112t k ⎛⎫=∈ ⎪+⎝⎭，则2322AB t t t t MN =-=-， 设231()212f t t t t ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，2()43f t t t '=-，由112t <<，可得()0f t '>，即有()f t 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭递增， 则()1(),12f t f f ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即为3()18f t <<，可得ABMN 的取值范围为6,14⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． …..2分21．（12分）已知函数()ln f x ax x b =+，2()3g x x kx =++，曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为1y x =-．(1)若()f x 在(),b m 上有最小值，求m 的取值范围；(2)当1,e e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，若关于x 的不等式()2()0f x g x +≥有解，求k 的取值范围．【解析】解:(1)()()ln 1f x a x '=+，…..1分 根据题意得()()1011f f =⎧⎪⎨'=⎪⎩，计算得出:10a b =⎧⎨=⎩，…..2分故()ln 1f x x '=+，当()0f x '>，即1ex >时，()f x 递增，当()0f x '<，即10ex <<时，()f x 递减，()f x Q 在()0,m 上有最小值，m ∴的范围是1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；…..5分(2)关于x 的不等式()2()0f x g x +≥在1,e e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭有解等价于不等式22ln 3x x x k x ++-≥在1,e e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上有解，…..7分设()22ln 3x x x h x x ++=-，1,e e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()2223x x h x x +-'=-， 当()0h x '>即11ex <<时，()h x 递增，当()0h x '<，即1e x <<时，()h x 递减，又213e 2e 1e e h -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2e 2e 3e e h ++=-，()1e 0e h h ⎛⎫∴-< ⎪⎝⎭，()2min 13e 2e 1e e h x h -+⎛⎫∴==-⎪⎝⎭， 23e 2e 1ek -+∴-≥．…..12分（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为()2cos 2sin 02ρθθθ=+<π≤，点1,2M π⎛⎫⎪⎝⎭．以极点O 为原点，以极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．已知直线()2:1x t l t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数，与曲线C 交于A ，B 两点，且MA MB >． （1）若()P ρθ，为曲线C 上任意一点，求ρ的最大值，并求此时P 的极坐标； （2）求MA MB．【解析】解：（1）∵()2cos 2sin +024ρθθθθπ⎛⎫=+<π ⎪⎝⎭≤，∴当4θπ=时，ρ取的最大值P的极坐标为4π⎛⎫ ⎪⎝⎭． …..4分（2）由2cos 2sin ρθθ=+得22cos 2sin ρρθρθ=+， 即：22220x y x y +--=．故曲线C 的直角坐标方程为()()22112x y -+-=．…..6分将:12x l y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入()()22112x y -+-=，整理可得210t -=，解得：2t =． …..8分∵MA MB >，∴由t的几何意义可得：2MA =，2MB =故2MA MB ==． …..10分23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知函数()2f x x =-．（1）求不等式()51f x x --≤的解集； （2）若函数()()12g x f x a x =--的图像在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上与x 轴有3个不同的交点，求a 得取值范围．【解析】解：（1）由()51f x x --≤，得125x x -+-≤，∴212123515325x x x or or x x ><⎧⎧⎧⎨⎨⎨--⎩⎩⎩≤≤≤≤≤，解得14x -≤≤， 故不等式()51f x x --≤的解集为[]1,4-．…..5分（2）()()122,1112221122,12x x xh x f x x x x x x x⎧-+⎪⎪=-=--=⎨⎪+-<⎪⎩≥<，当112x <<时，()12222h x x x =+-=≥，当且仅当12x x=即2x =时取等号，∴()min 2h x =． 当1x ≥时，()122h x x x =-+递减，由()()120g x f x a x=--=得()h x a =， 又()1112h h ⎛⎫== ⎪⎝⎭，结合()h x的图像可得，()2,1a ∈．…..10分。
2020届高考数学模拟考试试卷及答案(文科)(四)
2020届高考数学模拟考试试卷及答案（文科）（四）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数21i+的虚部是（ ）．A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】B 【解析】21i 1i=-+，故虚部为1-．2．已知集合{}{}2|00,1x x ax +==，则实数a 的值为（ ）．A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】A【解析】依题意，有{}{}0,0,1a -=，所以，1a =-．3．已知tan 2θ=，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos2θ=（ ）．A ．45B ．35C ．35-D ．45-【答案】C【解析】222222cos sin cos2cos sin cos sin θθθθθθθ-=-=+221tan 1tan θθ-=+35=-．4．阅读如图的程序框图，若输入5n =，则输出k 的值为（ ）．否是n=3n+1n ＞150输入n k=0输出k ，n k=k+1开始结束A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】第1步：16n =，2k =； 第2步：49n =，3k =； 第3步：148n =，4k =； 退出循环，4k =．5．已知函数122,0,()1log ,0,x x f x x x +⎧⎪=⎨->⎪⎩≤则((3))f f =（）．A ．43B ．23C ．43-D ．3-【答案】A【解析】2(3)1log 3f =-，2222log 3log 324((3))223f f -===，选A ．6．已知双曲线222:14x y C a -=的一条渐近线方程为230x y +=，1F ，2F 分别是双曲线C 的左，右焦点，点P 在双曲线C 上，且1||2PF =，则2||PF 等于（ ）．A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】C【解析】依题意，有：223a=，所以，3a =，因为1||2PF =．所以，点P 在双曲线的左支，故有21||||2PF PF a -=，解得：2||8PF =．7．四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（ ）．A ．14B ．716C ．12D ．916【答案】B【解析】四个人抛硬币的可能结果有16种，有不相邻2人站起来的可能为：正反正反，反正反正， 只有1人站起来的可能有4种， 没有人站起来的可能有1种， 所以所求概率为：24171616P ++==． 8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为83，则该几何体的俯视图可以是（ ）．A． B． C． D．【答案】C【解析】该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P ABCD -，如下图所示， 该几何体的俯视图为C ．C BAD P9．设函数32()f x x ax =+，若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线方程为0x y +=，则点P 的坐标为（ ）．A ．(0,0)B ．(1,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1)-或(1,1)-【答案】D 【解析】2()32f x x ax '=+，依题意，有：20000320003210x ax x y y x ax ⎧+=-⎪+=⎨⎪=+⎩，解得：0011x y =⎧⎨=-⎩或0011x y =-⎧⎨=⎩．10．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，2PA PB ==，4AC =，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ）．A ．8πB ．12πC ．20πD ．24π【答案】C【解析】该几何体可以看成是长方体中截出来的三棱锥P ABC -，如下图所示， 其外接球的直径为对角线PC ，2225PC PA AC =+=，所以，5R =，球的表面积为：20π．P ABC11．已知函数()sin()cos()(0,0π)f x x x ωϕωϕωϕ=+++><<是奇函数，直线2y =与函数()f x 的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，则（ ）．A ．()f x 在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 在π3π,88⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C ．()f x 在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．()f x 在π3π,88⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】D 【解析】π()2sin 4f x x ωϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为函数为奇函数且0πϕ<<，所以，ππ4ϕ+=，即3π4ϕ=，所以，()2sin()f x x ω=-，又2ππ2ω=，所以，4ω=，()2sin 4f x x =-，其一个单调增区间为π3π,88⎛⎫⎪⎝⎭．12．已知函数π1()cos 212x f x x x +⎛⎫=+- ⎪-⎝⎭，则201612017k k f =⎛⎫⎪⎝⎭∑的值为（ ）．A ．2016B ．1008C ．504D ．0【答案】B【解析】函数化为：1()sin 212x f x x x ⎛⎫=+- ⎪-⎝⎭， 11(1)sin 122x f x x x -⎛⎫-=+- ⎪-⎝⎭，有：()(1)1f x f x +-=， 所以，201612016100820172k k f =⎛⎫== ⎪⎝⎭∑．第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．已知向量(1,2)a =r ，(,1)b x =-r ，若()a a b -r r r ∥，则a b ⋅=r r__________．【答案】52-【解析】(1,3)a b x -=-rr ，因为()a a b -r r r∥， 所以，32(1)0x +-=，解得：52x =，所以，55222a b ⋅=-=-r r．14．若一个圆的圆心是抛物线24x y =的焦点，且该圆与直线3y x =+相切，则该圆的标准方程是__________． 【答案】22(1)2x y +-=【解析】抛物线的焦点为(0,1)，故圆心为(0,1)， 圆的半径为|013|22R -+==，故圆的方程为：22(1)2x y +-=．15．满足不等式组(1)(3)0,0x y x y x a-++-⎧⎨⎩≥≤≤的点(,)x y 组成的图形的面积是5，则实数a 的值为__________．【答案】3【解析】不等式组化为：(1)0(3)00x y x y x a -+⎧⎪+-⎨⎪⎩≥≥≤≤或(1)0(3)00x y x y x a -+⎧⎪+-⎨⎪⎩≤≤≤≤，画出平面区域如下图所示，平面区域为三角形ABC 、ADE ，(1,2)A ，(,1)B a a +，(3)C a -，面积为：11(22)(1)21522S a a =--+⨯⨯=，解得：3a =．E C BAD xy O16．在ABC △中，60ACB ∠=︒，1BC >，12AC AB =+，当ABC △的周长最短时，BC 的长是__________． 【答案】212+【解析】设边AB 、BC 、AC 所对边分别为c 、a 、b ，依题意，有：12160b c a C ⎧=+⎪⎪>⎨⎪=︒⎪⎩，由余弦定理，得：2222cos c a b ab C =+-， 即2221122c a c a c ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简，得：211241a a c a -+=-，ABC △的周长：122a b c a c ++=++2121212a a a a -+=++- 2632(1)a aa -=-． 令1t a =-，则三角形周长为：26(1)3(1)39993222222t t t t t +-+=+++≥，当332t t =，即22t =，212a =+时ABC △的周长最短．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*22()n n S a n =-∈N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式． （Ⅱ）求数列{}n S 的前n 项和n T ． 【答案】见解析．【解析】（Ⅰ）当1n =时，1122S a =-，即1122a a =-，解得12a =． 当2n ≥时，111(22)(22)22n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-， 即12n n a a -=，所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列． 所以1*222()n n n a n -=⨯=∈N ． （Ⅱ）因为12222n n n S a +=-=-， 所以12n n T S S S =+++L2312222n n +=+++-L4(12)212n n ⨯-=-- 2242n n +=--．18．（本小题满分12分）某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题．该企业为了检查生产该产品的甲，乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在(195,210]内，则为合格品，否则为不合格品．表1是甲流水线样本的频数分布表，图1是乙流水线样本的频率分布直方图．表1：甲流水线样本的频数分布表质量指标值频数(190,195] 9 (195,200] 10 (200,205] 17 (205,210] 8 (210,215]6图1：乙流水线样本频率分布直方图频率组距质量指标2152102052001951900.0120.0280.0320.0520.076（Ⅰ）根据图1，估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数．（Ⅱ）若将频率视为概率，某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件．（Ⅲ）根据已知条件完成下面22⨯列联表，并回答是否有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”？甲生产线 乙生产线 合计 合格品 不合格品 合计附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++样本容量）2()P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【答案】见解析．【解析】（Ⅰ）设乙流水线生产产品的该项质量指标值的中位数为x ，因为0.48(0.0120.0320.052)50.5(0.0120.0320.0520.076)50.86=++⨯<<+++⨯=，则(0.0120.0320.052)50.076(205)0.5x ++⨯+⨯-=， 解得390019x =．（Ⅱ）由甲，乙两条流水线各抽取的50件产品可得，甲流水线生产的不合格品有15件，则甲流水线生产的产品为不合格品的概率为1535010P ==甲，【注意有文字】乙流水线生产的产品为不合格品的概率为1(0.0120.028)55P =+⨯=乙，【注意有文字】于是，若某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲乙两条流水线生产的不合格品件数分别为35000150010⨯=，1500010005⨯=． （Ⅲ）22⨯列联表：甲生产线乙生产线合计合格品 354075不合格品 15 10 25合计5050100则22100(350600)4 1.3505075253K ⨯-==≈⨯⨯⨯，因为1.3 2.072<，所以没有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”．19．（本小题满分12分）如图1，在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB BC ⊥，BD DC ⊥，点E 是BC 边的中点，将ABD △沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，连接AE ，AC ，DE ，得到如图2所示的几何体．图1ECBAD图2E CBAD（Ⅰ）求证：AB ⊥平面ADC ．（Ⅱ）若1AD =，AC 与其在平面ABD 内的正投影所成角的正切值为6，求点B到平面ADE 的距离． 【答案】见解析．【解析】（Ⅰ）因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD I 平面BCD BD =，又BD DC ⊥，所以DC ⊥平面ABD ． 因为AB ⊂平面ABD ，所以DC AB ⊥， 又因为折叠前后均有AD AB ⊥，DC AD D =I ，所以AB ⊥平面ADC ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知DC ⊥平面ABD ，所以AC 在平面ABD 内的正投影AD ， 即CAD ∠为AC 与其在平面ABD 内的正投影所成角． 依题意tan 6CD CAD AD∠==， 因为1AD =，所以6CD =．设(0)AB x x =>，则21BD x =+，因为ABD BDC △∽△，所以AB DC ADBD=，即2611x x =+，解得2x =，故2AB =，3BD =，3BC =．DABCE由于AB ⊥平面ADC ，AB AC ⊥，E 为BC 的中点， 由平面几何知识得322BC AE ==，同理322BC DE ==，所以22131212222ADES ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△．因为DC ⊥平面ABD ，所以1333A BCD ABD V CD S -=⋅=△． 设点B 到平面ADE 的距离为d ， 则113326ADE B ADE A BDE A BCD d S V V V ---⋅====，所以62d =，即点B 到平面ADE 的距离为62．20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为32，且过点(2,1)A ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程．（Ⅱ）若P ，Q 是椭圆C 上两个不同的动点，且使PAQ ∠的角平分线垂直于x 轴，试判断直线PQ 的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由． 【答案】见解析．【解析】（Ⅰ）因为椭圆C 的离心率为32，且过点(2,1)A ，所以22411a b+=，32c a =． 因为222a b c =+， 解得28a =，22b =，所以椭圆C 的方程为22182x y +=．（Ⅱ）法1：因为PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴，所以PA 与AQ 所在直线关于直线2x =对称．设直线PA 的斜率为k ，则直线AQ 的斜率为k -．所以直线PA 的方程为1(2)y k x -=-，直线AQ 的方程为1(2)y k x -=-． 设点(,)p P P x y ，(,)Q Q Q x y ，由221(2),1,82y k x x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得2222(14)(168)161640k x k k x k k +--+--=．① 因为点(2,1)A 在椭圆C 上，所以2x =是方程①的一个根，则2216164214P k k x k --=+，所以2288214P k k x k --=+．同理2288214Q k k x k +-=+．所以21614P Q k x x k -=-+．又28(4)14P Q P Q k y y k x x k -=+-=-+．所以直线PQ 的斜率为12P Q PQ P Qy y k x x -==-． 所以直线PQ 的斜率为定值，该值为12．法2：设点11(,)P x y ，22(,)Q x y ， 则直线PA 的斜率1112PA y k x -=-，直线QA 的斜率2212QA y k x -=-．因为PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴，所以PA 与AQ 所在直线关于直线2x =对称．所以PA QA k k =-，即121211022y y x x --+=--，① 因为点11(,)P x y ，22(,)Q x y 在椭圆C 上，所以2211182x y +=，②2222182x y +=．③ 由②得2211(4)4(1)0x y -+-=，得11111224(1)y x x y -+=--+，④ 同理由③得22221224(1)y x x y -+=--+，⑤ 由①④⑤得12122204(1)4(1)x x y y +++=++， 化简得12211212()2()40x y x y x x y y ++++++=，⑥ 由①得12211212()2()40x y x y x x y y ++++++=，⑦ ⑥-⑦得12122()x x y y +=-+．②-③得22221212082x x y y --+=，得1212121214()2y y x x x x y y -+=-=-+．所以直线PQ 的斜率为121212PQ y y k x x -==-为定值．法3：设直线PQ 的方程为y kx b =+，点11(,)P x y ，22(,)Q x y ， 则11y kx b =+，22y kx b =+， 直线PA 的斜率1112PA y k x -=-，直线QA 的斜率2212QA y k x -=-． 因为PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴，所以PA 与AQ 所在直线关于直线2x =对称．所以PA QA k k =-，即12121122y y x x --=---， 化简得12211212()2()40x y x y x x y y +-+-++=． 把11y kx b =+，22y kx b =+代入上式，并化简得 12122(12)()440kx x b k x x b +--+-+=．（*） 由22,1,82y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得222(41)8480k x kbx b +++-=，（**） 则122841kbx x k +=-+，21224841b x x k -=+，代入（*）得2222(48)8(12)4404141k b kb b k b k k -----+=++， 整理得(21)(21)0k b k -+-=， 所以12k =或12b k =-．若12b k =-，可得方程（**）的一个根为2，不合题意． 若12k =时，合题意．所以直线PQ 的斜率为定值，该值为12．21．（本小题满分12分） 已知函数()ln (0)a f x x a x=+>．（Ⅰ）若函数()f x 有零点，其实数a 的取值范围． （Ⅱ）证明：当2ea ≥时，()e x f x ->．【答案】见解析．【解析】（Ⅰ）法1：函数()ln a f x x x=+的定义域为(0,)+∞．由()ln a f x x x=+，得221()a x af x x x x-'=-=． 因为0a >，则(0,)x a ∈时，()0f x '<；(,)x a ∈+∞时，()0f x '>． 所以函数()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增． 当x a =时，[]min ()ln 1f x a =+．当ln 10a +≤，即10ea <≤时，又(1)ln10f a a =+=>，则函数()f x 有零点．所以实数a 的取值范围为10,e ⎛⎤⎥⎝⎦．法2：函数()ln a f x x x=+的定义域为(0,)+∞．由()ln 0a f x x x=+=，得ln a x x =-．令()ln g x x x =-，则()(ln 1)g x x '=-+．当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>；当1,ex ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<．所以函数()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．故1e x =时，函数()g x 取得最大值1111ln e e e eg ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．因而函数()ln a f x x x=+有零点，则10ea <≤．所以实数a 的取值范围为10,e ⎛⎤⎥⎝⎦．（Ⅱ）要证明当2ea ≥时，()e x f x -=，即证明当0x >，2ea ≥时，ln e x a x x-+>，即ln e x x x a x -+>．令()ln h x x x a =+，则()ln 1h x x '=+．当10ex <<时，()0f x '<时；当1ex >时，()0f x '>．所以函数()h x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．当1ex =时，[]min 1()eh x a =-+．于是，当2ea ≥时，11()eeh x a -+≥≥．①令()e x x x ϕ-=，则()e e e (1)x x x x x x ϕ--'=-=-． 当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<．所以函数()x ϕ在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递减． 当1x =时，[]min 1()ex ϕ=．于是，当0x >时，1()ex ϕ≤．②显然，不等式①、②中的等号不能同时成立． 故当2ea ≥时，()e x f x ->．请考生在第22~23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）选修4-4；坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3,1x t y t =-⎧⎨=+⎩（t 为参数）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，曲线π:22cos 4C ρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程． （Ⅱ）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值． 【答案】见解析． 【解析】（Ⅰ）由3,1x t y t =-⎧⎨=+⎩，消去t 得40x y +-=，所以直线l 的普通方程为40x y +-=． 由π22cos 4ρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ππ22cos cos sin sin 44θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2cos 2sin θθ=+，得22cos 2sin ρρθρθ=+．将222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式，得曲线C 的直角坐标方程为2222x y x y +=+，即22(1)(1)2x y -+-=． （Ⅱ）设曲线C 上的点为(12cos ,12sin )P αα++，则点P 到直线l 的距离为|12cos 12sin 4|2d αα+++-=|2(sin cos )2|2αα+-=π2sin 242α⎛⎫+- ⎪⎝⎭=．当πsin 14α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，min 22d =，所以曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为22． 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|1||2|f x x a x a =+-+-．（Ⅰ）若(1)3f <，求实数a 的取值范围． （Ⅱ）若1a ≥，x ∈R ，求证：()2f x ≥． 【答案】见解析．【解析】（Ⅰ）因为(1)3f <，所以|||12|3a a +-<．①当0a ≤时，得(12)3a a -+-<，解得23a >-，所以203a -<≤．②当102a <<时，得(12)3a a +-<，解得2a >-，所以102a <<．③当12a ≥时，得(12)3a a --<，解得43a <，所以1423a <≤．综上所述，实数a 的取值范围是24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭．（Ⅱ）因为1a ≥，x ∈R ．所以()|1||2||(1)(2)|f x x a x a x a x a =+-+-+---≥|31|=-a=-≥．312a。
2020届高考数学模拟考试试卷及答案(文科)(六)
2020届高考数学模拟考试试卷及答案（文科）（六）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的） 1. 已知{|12}A x x =-<<，2{|20}B x x x =+<，则A B =IA. (1,0)-B. (2,1)--C. (2,0)-D. (2,2)-2. 已知复数1z i =+为纯虚数，则2z z +=A. 12i -B. 13i +C. 13i -D. 12i + 3.命题“若21x <，则11x -<<”的逆否命题是A. 若21x …，则1x …或1x -≤ B. 若11x -<<，则21x < C. 若1x >或1x <-，则21x > D. 若1x …或1x -≤，则21x …4. 已知椭圆22143x y +=的左右焦点分别为12,F F ，过2F 且垂直于长轴的直线交椭圆于,A B 两点，则△1ABF 的周长为A. 4B. 6C. 8D. 16 5. 已知平面向量(1,3),(2,0)=-=-a b ，则|2|+=a b A. 32 B. 3 C. 22 D. 5 6. 已知等比数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，若25642,6a a a a =+=，则5a = A. 4 B. 10 C. 16 D. 32 7. 定义在R 上的奇函数()f x ，满足在(0,)+∞上单调递增，且(1)0f -=，则(1)0f x +>的解集为A. (,2)(1,0)-∞--UB. (0,)+∞C. (2,1)(1,2)--UD. (2,1)(0,)--+∞U 8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线条画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为A. 43B. 23C. 2D. 329. 若点(,)x y 满足线性条件200580x y x y x y -+⎧⎪+⎨⎪+-⎩……≤，则2z x y =+的最大值为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 510. 已知函数()2sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<，且(0)1f =，则下列结论中正确．．的是 A. ()2f ϕ= B. (,0)6π是()f x 图象的一个对称中心C. 3πϕ=D. 6x π=-是()f x 图象的一条对称轴11. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =，则双曲线离心率的取值范围是A. 5(,2]3B. 5(1,]3C. (1,2]D. 5[,)3+∞12. 若关于x 的方程2(ln )ln x ax x x -=存在三个不等实根，则实数a 的取值范围是A. 211(,)e e -∞-B. 211(,0)e e -C. 1(,)e e -∞-D. 1(,0)e e-二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13. 曲线3()2f x x x =-在点(2,(2))f 处的切线方程为___________.14. 若向区域{}(,)|01,01x y x y Ω=≤≤≤≤内投点，则该点到原点的距离小于1的概率为__________.15. 更相减损术是出自《九章算术》的一种算法.如图所示的程序框图是根据更相减损术写出的，若输入91,39a b ==，则输出的值为_____.16. 在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若其面积2sin S b A =，角A 的平分线AD 交BC 于D ，233AD =，3a =，则b =________. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.是否 否 ?a b ≠ 是开始 a a b =-b b a =-输出a 结束输出,a b ?a b >17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的通项公式为211n a n =-. (1)求证：数列{}n a 是等差数列； (2) 令||n n b a =，求数列{}n b 的前10项和10S . 18. （本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中， 123,24,60AA AC AB BAC ===∠=︒.（1）证明：1B C ⊥平面1ABC ； （2）求三棱锥11C ABB -的体积.19. （本小题满分12分）某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在[100,150)，[150,200)，[200,250)，[250,300)，[300,350)，[350,400)（单位：克）中，经统计得频率分布直方图如图所示.(1) 经计算估计这组数据的中位数；(2)现按分层抽样从质量为[250,300)，[300,350)的芒果中随机抽取6个，再从这6个中随机抽取3个，求这3个芒果中恰有1个在[300,350)内的概率.（3）某经销商来收购芒果，以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，用0.0080.004 0.003 0.002 0.001频率/组距O 100 150 200 250 300 350 400质量（克）1C1B1ACBA样本估计总体，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10000个，经销商提出如下两种收购方案：A ：所以芒果以10元/千克收购；B ：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，高于或等于250克的以3元/个收购. 通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？20. （本小题满分12分）已知直线l 过抛物线C ：22(0)x py p =>的焦点，且垂直于抛物线的对称轴，l 与抛物线两交点间的距离为2. (1)求抛物线C 的方程;(2)若点(2,2)P ，过点(2,4)-的直线与抛物线C 相交于A ,B 两点，设直线PA 与PB 的斜率分别为1k 和2k .求证：12k k 为定值，并求出此定值.21. （本小题满分12分）函数22()ln f x ax x x x =--.（1）若函数()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当1a =时，设()f x 在0x x =时取到极小值，证明：013()932f x -<<-.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程选讲.已知曲线1C 的参数方程为2cos sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=.（1）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）若过点(1,0)F 的直线l 与1C 交于A ,B 两点，与2C 交于,M N 两点，求||||||||FA FB FM FN 的取值范围.23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲.已知函数()|23||36|f x x x =-+-. (1)求()2f x <的解集；(2) 若()f x 的最小值为T ,正数,a b 满足12a b +=，求证：a b T +≤.数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. A 【命题意图】本题考查集合的运算.【试题解析】A {|12},{|20},(1,0)A x x B x x A B =-<<=-<<=-I .故选A. 2. B 【命题意图】本题考查复数的运算.【试题解析】B 2(1)+11+3i i i ++=. 故选B. 3. D 【命题意图】本题考查命题的相关知识. . 【试题解析】D 由逆否命题的知识. 故选D. 4. C 【命题意图】本题考查椭圆的定义.【试题解析】C 由题意知1ABF ∆的周长为8. 故选C. 5.A 【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算.【试题解析】A 由题意知，2(3,3)+=--a b ，所以|2|32+=a b .故选A. 6. C 【命题意图】本题主要考查等比数列知识.【试题解析】C 由6546a a a +=得260q q +-=，解得2q =， 从而3522=16a a =⋅. 故选C.7. D 【命题意图】本题考查函数的性质的应用.【试题解析】D 由函数性质可知，(1)0f x +>的取值范围是 110,11x x -<+<+>.故选D.8. B 【命题意图】本题考查三视图.【试题解析】B 由图形可知体积为23.故选B.9. D 【命题意图】本题主要考查线性规划的相关知识.【试题解析】D 由可行域可知在(1,3)点处取得最大值5.故选D. 10. A 【命题意图】本题主要考查三角函数的图象及性质. 【试题解析】A 由题意可知6πϕ=，()=2f ϕ正确.故选A.11. B 【命题意图】本题考查双曲线定义的相关知识. 【试题解析】B 由双曲线定义可知22||3aPF =，从而23a c a ≥-，双曲线的离心率取值范围为5(1,]3.故选B.12. C 【命题意图】本题是考查函数的性质及零点的相关知识.【试题解析】C 由题意知2ln ln ()10x a x x x --=，令ln xt x=，210t at --=的两根一正一负，由ln xt x=的图象可知，24102a a e ++<<，解得1(,)a e e ∈-∞-. 故选C.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 1016y x =-【命题意图】本题考查导数的几何意义.【试题解析】(2)4f =，2()32f x x '=-，(2)10f '=，因此410(2)y x -=-，即切线方程为1016y x =-. 14.4π【命题意图】本题考查几何概型. 【试题解析】由题意区域Ω的面积为1，在区域Ω内，到原点的距离小于1的区域面积为4π，即概率为4π.15. 13【命题意图】本题考查程序框图的相关知识.【试题解析】由输入91,39a b ==，代入程序框图计算可得输出的a 的值为13. 16. 1【命题意图】本题考查解三角形的相关知识.【试题解析】21sin sin 2S bc A b A ==，可知2c b =，即2c b=. 由角分线定理可知，233BD =，33CD =，在ABC △中，2243cos 223b b B b +-=⋅⋅，在ABD △中，244433cos 23223b B b +-=⋅⋅，即222444433322323223b b b b b +-+-=⋅⋅⋅⋅，则1b =. 三、解答题17.(本小题满分12分)【命题意图】本题考查等差数列及数列前n 项和求法. 【试题解析】（1）由112-=n a n 可知 12(1)112112n n a a n n +-=+--+=（*n ∈N ），因此数列{}n a 为等差数列.（6分）（2）由（1）知10119554(2)155425022S =⨯+⨯⨯⨯-+⨯+⨯⨯⨯=. （12分）18.(本小题满分12分)【命题意图】本小题以三棱柱为载体，考查立体几何的基础知识. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【试题解析】解：（1）11111111BB ABC BB AB AB BCC B AB ABC AB B C BC AB B C BCC B ⎫⎫⊥⎫⇒⊥⎪⎬⎪⇒⊥⊂⎬⎪⎭⇒⊥⎬⎪⊥⎭⎪⎪ ⊂⎭ 平面平面平面由余弦定理可知平面11BC B C ⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪ ⊥⎭11B C ABC ⇒⊥平面（6分） （2）11111111111223234332C ABB C AA B ABC A B C V V V ---===⨯⨯⨯⨯=.（12分）19.(本小题满分12分) 【命题意图】本小题主要考查学生对抽样的理解，以及古典概型的相关知识，同时考查学生的数据处理能力. 【试题解析】解：（1）该样本的中位数为268.75 （4分）（2）抽取的6个芒果中，质量在[250,300)和[300,350)内的分别有4个和2个. 设质量在[250,300)内的4个芒果分别为,,,A B C D ，质量在[300,350)内的2个芒果分别为,a b . 从这6个芒果中选出3个的情况共有(,,)A B C ，(,,)A B D ，(,,)A B a ，(,,)A B b ，(,,)A C D ，(,,)A C a ，(,,)A C b ，(,,)A D a ，(,,)A D b ，(,,)A a b ，(,,)B C D ，(,,)B C a ，(,,)B C b ，(,,)B D a ，(,,)B D b ，(,,)B a b ，(,,)C D a ，(,,)C D b ，(,,)C a b(,,)D a b ，共计20种，其中恰有一个在[300,350)内的情况有(,,)A B a ，(,,)A B b ，(,,)A C a ，(,,)A C b ，(,,)A D a ，(,,)A D b ，(,,)B C a ，(,,)B C b ，(,,)B D a ，(,,)B D b ，(,,)C D a ，(,,)C D b 共计12种，因此概率123205P ==. （8分）（3）方案A ：(1250.0021750.0022250.0032750.0083250.0043750.001)5010000100.00125750⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=元方案B ：低于250克：(0.0020.0020.003)501000027000++⨯⨯⨯=元高于或等于250克(0.0080.0040.001)5010000319500++⨯⨯⨯=元 总计70001950026500+=元由2575026500<，故B 方案获利更多，应选B 方案. （12分） 20.(本小题满分12分)【命题意图】本小题考查直线与抛物线的位置关系及标准方程，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力. 【试题解析】（1）由题意可知，22p =，抛物线的方程为22x y =. （4分）（2）已知(2,2)P ，设直线l 的方程为：4(2)y k x -=+11(,)A x y ，22(,)B x y ，则111112(2)222y k x k x x -++==--，222222(2)222y k x k x x -++==--， 21212121212121212[(2)2][(2)2][2()4]2(4)4(2)(2)2()4k x k x k x x x x k x x k k x x x x x x +++++++++++==---++ 联立抛物线22x y =与直线4(2)y k x -=+的方程消去y 得22480x kx k ---=可得122x x k +=，1248x x k =--，代入12k k 可得121k k =-.因此12k k 可以为定值，且该定值为1-. （12分） 21.(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，利用导数比较大小等，考查学生解决问题的综合能力. 【试题解析】（1）解：将原不等式化为1ln a x x+„， 设1()ln ,(0,)g x x x x=+∈+∞，而22111'()x g x xx x-=-=， 故当(0,1)x ∈时，()g x 单调递减， 当(1)x ∈+∞，时，()g x 单调递增所以min [()](1)1g x g ==，即1a „为所求. （4分）（2）当1a =时，22()ln f x x x x x =--，'()12ln f x x x x =-- 令()12ln h x x x x =--，则'()12ln h x x =--，解'()0h x >得12x e -< 故()h x 在12(0,)e -上单调递增，在12()e -+∞，上单调递减，而1211(,)(0,)43e -⊆ 且1312'()ln 20,'()(ln 31)04433f f =-<=->，故'()0f x =在区间11()43，内解为0x ，即00012ln 0x x x --=，因此2220000000()ln 2x x f x x x x x -=--=，令2()2x xt x -=又111(,)(0,)432⊆Q ，所以011()()()34t t x t <<，即013()932f x -<<-成立.（12分）22.(本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的转化、直线的参数方程的几何意义等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.【试题解析】 （1）曲线1C 的普通方程为2212x y +=，曲线2C 的直角坐标方程为 24y x =； （5分）（2）设直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）又直线l 与曲线2C ：24y x =存在两个交点，因此sin 0α≠.联立直线l 与曲线1C ：2212x y +=可得22(1sin )2cos 10t t αα++-=则1221||||||1sin FA FB t t α⋅==+联立直线l 与曲线2C ：24y x =可得22sin 4cos 40t t αα--=则3424||||||sin FM FN t t α⋅==即222221||||1sin 1111sin (0,]41||||41sin 481sin sin FA FB FM FN ααααα⋅+==⋅=⋅∈⋅++. （10分）23.(本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法等内容. 本小题重点考查化归与转化思想. 【试题解析】（1）333263()59()2233()|23||36|2363(2)3(2)222336(2)59(2)x x x x x f x x x x x x x x x x x x x ⎧⎧-+- <-+ <⎪⎪⎪⎪⎪⎪=-+-=-+- =-+ ⎨⎨⎪⎪-+- >- >⎪⎪⎪⎪⎩⎩≤≤≤≤由图像可知：()2f x <的解集为711(,)55. （5分）（2）由图像可知()f x 的最小值为1，y 131.52711第 11 页 共 11 页 由均值不等式可知112242a b a b ++==≤， 当且仅当a b =时，“=”成立，即1a b T +=≤. （10分）。
2020届高考模拟试卷文科数学试题及详细答案解析02
2020届高考模拟卷高三文科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{}1,2,3A =，若{}1,2A B =I ，{}1,2,3,4,5A B =U ，则集合B 中的元素个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C2．某歌手参加比赛，9个评委的评分结果如下：87，91，90，87，90，94，99，9*，91．其中9*是模糊成绩．去掉一个最高分，去掉一个最低分，剩余7个分数的平均分为91分，则9*是（ ） A ．93 B ．94 C ．95 D ．96【答案】B3．若复数z 满足2i 43i z +=+，则z =（ ） A ．52i -- B ．52i + C ．52i -+D ．52i -【答案】D4．《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．”其意思是：有一水池一丈见方，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐（如图所示），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺．若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ）A ．2129B ．2329C ．1112D ．1213【答案】A5．设双曲线22:14x C y -=的右焦点为1F ，则1F 到渐近线的距离为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．2【答案】A6．下列四个命题中正确的是（ ）①若一个平面经过另一平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；②若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ③垂直于同一条直线的两个平面相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． A ．①③ B ．①④ C ．①②④ D ．①③④【答案】D7．已知不等式组0218y y x x y ⎧⎪-⎨⎪+⎩≥≤≤表示的平面区域为M ，若直线95y kx k =-+与平面区域M 有公共点，则k 的取值范围是（ ）A ．[]5,0-B ．[]0,5C ．(],5-∞D ．(][),05,-∞+∞U【答案】B8．已知函数()()πcos 02f x x ϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，π4f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是奇函数，则（ ）A ．()f x 在π,π4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C ．()f x 在π,π4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．()f x 在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号【答案】B9．若函数()2ln f x kx x =-在区间()1,+∞上单调递增，则k 的取值范围是（ ） A ．(],2-∞- B ．(],1-∞-C ．[)1,+∞D ．[)2,+∞【答案】D10．执行如图的程序框图，那么输出的S 值是（ ） A ．54B ．56C ．90D ．180【答案】C11．已知π43cos sin 65αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2πcos 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．45-B ．45C ．35-D ．35【答案】A12．直线1y x =-与抛物线24y x =相交于M N 、两点，抛物线的焦点为F ，设FM FN λ=uuu r uuu r，则λ的值为（ ）A ．322±B ．22C 21D ．22【答案】A第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．向量()2,1a =-r ，()1,3b =-r，则()2a b a +⋅=r r r __________．【答案】514．已知函数()ln f x x x =，则曲线()y f x =在点e x =处切线的倾斜角的余弦值为____．515．在ABC △中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，()sin cos cos sin 0A B c A B --⋅=． 则边b =__________． 【答案】116．已知四面体P ABC -中，4PA =，27AC =23PB BC ==PA ⊥平面PBC ，则四面体P ABC -的内切球半径为__________． 【答案】34三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11a =，125n n n S S a +=++． （1）证明：{}5n a +是等比数列； （2）若5128n S n +>，求n 的最小值．【答案】（1）因为125n n n S S a +=++，所以125n n a a +=+， 所以15210255n n n n a a a a +++==++，而156a +=， 所以{}5n a +是以6为首项，2为公比的等比数列． （2）由（1）得156232n n n a -+=⨯=⨯，325n n a =⨯-， ∴()23322225n n S n =⨯++++-=L ()21235626512n n n n ⨯-⨯-=⨯---，由5626128n n S n +=⨯->，得6723n >， 因为5467223>>，所以5128n S n +>时，n 的最小值为5． 18．（本小题满分12分）某市拟兴建九座高架桥，新闻媒体对此进行了问卷调查，在所有参与调查的市民中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：年龄段支持 保留 不支持 40岁以下（含40岁）450 60 140 40岁以上15013070（1）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取部分市民做进一步调研（不同态度的群体中亦按年龄分层抽样），已知从“保留”态度的人中抽取了19人，则在“支持”态度的群体中，年龄在40岁以下（含40岁）的人有多少被抽取；（2）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人做进一步的调研，将此6人看作一个总体，在这6人中任意选取2人，求至少有1人在40岁以上的概率． 【答案】（1）设在“支持”的群体中抽取n 个人， 其中年龄在40岁以下（含40岁）的人被抽取x 人， 由题意6013045015019n ++=，得60n =，则3454x n ==人． 所以在“支持”的群体中，年龄在40岁以下（含40岁）的人有45人被抽取． （2）设所选的人中，有m 人年龄在40岁以下，则14021407036m==+，4m =．即从40岁以下（含40岁）抽取4人，40岁以上抽取2人；分别记作1A ，2A ，3A ，4A ，1B ，2B ，则从中任取2人的所有基本事件为：()12,A A ，()13,A A ，()14,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()23,A A ，()24,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()34,A A ，()31,A B ，()32,A B ，()41,A B ，()42,A B ，()12,B B ，共15个．其中至少有1人在40岁以上的基本事件有9个．分别是()11,A B ，()12,A B ，()21,A B ，()22,A B ，()31,A B ，()32,A B ，()41,A B ，()42,A B ，()12,B B ．所以在这6人中任意选取2人，至少有1人在40岁以上的概率为93155=． 19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，2PA AB ==，过BD 作平面BDE 与直线PA 平行，交PC 于E ． （1）求证：E 为PC 的中点； （2）求三棱锥E PAB -的体积．【答案】（1）证明：连结AC ，设AC BD O =I ，连接OE ，则O 为AC 的中点，且面PAC I 面BDE OE =，∵PA ∥平面BDE ，∴PA OE ∥，∴E 为PC 的中点． （2）由（1）知E 为PC 的中点，所以2P ABC E ABC V V --=， 由底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，得23234ABC S =⨯=△， 112332333P ABC ABC V S PA -=⋅=⨯⨯=△．又P ABC E ABC E PAB V V V ---=+，∴132E PAB P ABC V V --==．20．（本小题满分12分）已知函数()()1ln 1f x b x x x =+-+，斜率为1的直线与()f x 相切于()1,0点．（1）求()()ln h x f x x x =-的单调区间； （2）证明：()()10x f x -≥．【答案】（1）由题意知：()1ln 1x f x b x x +⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭，()1211f b '=-=，∴1b =．所以()()ln ln 1h x f x x x x x =-=-+． 由()110h x x '=->，解得01x <<，由()110h x x'=-<，解得1x >． 所以()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减． （2）当0x >时，()()10h x h =≤，即ln 10x x -+≤；当01x <<时，()()1ln 1f x x x x =+-+=()ln ln 10x x x x +-+<，即()()10x f x ->；当1x >时，()()ln ln 1f x x x x x =+-+=11ln ln 10x x xx ⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭，即()()10x f x ->；当1x =时，()()10x f x -=；综上所述，()()10x f x -≥．21．（本小题满分12分）椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点为()12,0F ，过1F 作圆222x y b +=的切线交y 轴于点Q ，切点N 为线段1F Q 的中点．（1）求椭圆的方程；（2）曲线2y x m =+与椭圆交于四点，若这四个点都在同一个圆上，求此圆的圆心坐标．【答案】（1）由已知得c =，且2c =，∴b =，∴222236a b c b =+==．所以椭圆的方程为22162x y +=； （2）由曲线2y x m =+知曲线的图象关于y 轴对称，又椭圆22162x y +=的图象也是关于y 轴对称，所以圆心在y 轴上， 设圆心为()0,M t ，曲线2y x m =+与椭圆在一、四象限交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则211y x m =+，222y x m =+．把2x y m =-代入22162x y +=得2360y y m +--=，∴1213y y +=-， 又由MA MB == 即()()22221221x x y t y t -=---=()()()()222112211222y y y y t x x y y t -+-=-+-，∵12x x ≠，∴121213y y t +=-=-，∴13t =．所以此圆的圆心坐标为10,3⎛⎫⎪⎝⎭．选做题：请考生在22~23两题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题记分． 22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为22x ty t =⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程为2x m y m =⎧⎨=⎩（m 为参数），在极点和直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合的极坐标系中，圆O 的极坐标方程为()0a a ρ=>． （1）若直线l 与圆O 相切，求a 的值；（2）若直线l 与曲线C 相交于A B 、两点，求AB 的值． 【答案】（1）圆O 的直角坐标方程为222x y a +=， 直线l 的一般方程为220x y -+=，∴5d ==，∴a =；（2）曲线C 的一般方程为2y x =，代入220x y -+=得2220x x --=， ∴122x x +=，122x x =-，∴12AB x =-== 23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数()14f x x x =---． （1）求证：()3f x ≤； （2）解不等式()29f x x x >--．【答案】（1）证明：∵()14f x x x =---≤()()143x x ---=，∴()3f x ≤；（2）解：∵()()()()3,125,143,4x f x x x x -<⎧⎪=-<⎨⎪⎩≤≥，所以原不等式等价于①22113960x x x x x x <<⎧⎧⇒⎨⎨->----<⎩⎩21x ⇒-<<； ②221414259340x x x x x x x <<⎧⎧⇒⎨⎨->----<⎩⎩≤≤141414x x x <⎧⇒⇒<⎨-<<⎩≤≤； ③224439120x x x x x x ⎧⎧⇒⎨⎨>----<⎩⎩≥≥1434x x x <⎧⇒⇒∈∅⎨-<<⎩≤； 综合上述，原不等式的解集为()2,4-．。