山西省怀仁市第一中学云东校区2020-2021学年高一第二学期第一次月考数学(理)试卷(PDF版)
高一理科数学月考一第页共4页12020-2021学年度第二学期高一年级月考一试卷
理科数学一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列结论正确的是（）A．若ab，cb，则acB．若ab，则22ab
C．若ab，cd，则acbdD．若ab，cd，则acbd
2．已知全集UR，集合22730Axxx，1,0Byyxxx，则A∪CUB
=（）
A．,3B．1,2C．1,22D．,
3．命题“[1,2]x，220xa”为真命题的一个充分不必要条件是（）A．1aB．2aC．3aD．4a
4．已知132a，141log5b，sin3c，则（）A．bcaB．abcC．cbaD．bac
5.设函数()23xfxx
的零点所在的区间为（）
A．(0,1)B．(1,2)C．(1,0)D．(2,1)
6.函数1=cosfxxxx（ππx且0x）的图象可能为（）
A.B.C.D.7.若0π2，0π2，cosπ143，3cos43π2，则
cos2
（）高一理科数学月考一第页共4页2
A.33B.33C.539D.69
8.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2cossinsinBAC，则ABC的形状一定是（）A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等边三角形9.某纯净水制造厂在净化过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减
少到原来的5%以下，则至少要过滤的次数为（取lg20.3010）（）A．5B．10C．14D．1
10.已知函数sinfxAx0,0,||2πA的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）
①函数yfx的图象关于点π,06对称②函数yfx的图象关于直线5π12x对称
③函数yfx在2ππ,36单调递减④该图象向右平移3个单位可得2sin2yx的图象A.①②B.①③C.①②③D.①②④11.设函数21,27,2xxfxxx，若互不相等的实数a，b，c满足fafbfc，则222abc的取值范围是（）A.8,9B.65,129C.64,128D.66,130
12．已知函数2121xxfx＝，若不等式22120faamfa对任意的1,4a
均成立，则m的取值不可能是（）高一理科数学月考一第页共4页3
A．9B．8C．7D．6二、填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分)13.已知扇形的面积是22cm
，半径是1cm，扇形的圆心角的弧度数是．
14.已知函数log16
a
yx（0a，1a）的图象恒过点A，且点A在角的终
边上，则tan的值为________.
15.对任意的π0,2，不等式221421sincosx恒成立，则实数x的取值范围是________.
16.已知函数27303230xxfxxxx，3sincos4gxxx，若对任意3,3t，总存在π0,2s，使得ftags成立，则实数a的取值范围为
________.三、解答题(共6小题10+12+12+12+12+12=70分)解答写出文字说明,证明过程或演算步骤
17.设函数2log1yx
的定义域为A，集合220Bxxx.
（Ⅰ）求集合A，B，并求A∩CR
B；
（Ⅱ）若集合21Cxaxa，且BCC，求实数a的取值范围.
18.已知πsin2πcos2πcostan2f.（Ⅰ）化简f，并求π3f；（Ⅱ）若tan2，求224sin3sincos5cos
的值；
（Ⅲ）求函数2π212gxfxfx的值域.19．受疫情的影响及互联网经济的不断深化，网上购物已经逐渐成为居民购物的新时尚，为迎接2021年“庆元旦”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销，经调查测算，该促销产品在“庆元旦”网购狂欢节的销售量p（万件）与促销费
用x（万元）满足432px（其中010x），已知生产该产品还需投入成本
(102)p万元（不含促销费用），每一件产品的销售价格定为
206
p
元，假定厂家的
生产能力能满足市场的销售需求.高一理科数学月考一第页共4页4
（1）将该产品的利润y（万元）表示为促销费用x（万元）的函数；（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润.20.已知函数23sincoscosfxxxx（0），周期是π2.
（Ⅰ）求fx的解析式，并求fx的单调递增区间；（Ⅱ）将fx图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移π6个单位，最后将整个函数图像向上平移32个单位后得到函数gx的图像，若π2π63x时，
2gxm恒成立，求m的取值范围.
21.已知函数2fxxaxb为偶函数，且有一个零点为2.（1）求实数a，b的值.
（2）若gxfxkx在[0,3]上的最小值为－5，求实数k的值.22．已知Ra，函数21()logfxax.
（1）设0a，若对任意1,14t，函数fx在区间[,1]tt上的最大值与最小值的差不超过2，求a的最小值；（2）若关于x的方程2log[(2)35]02xfaxa的解集中恰好只有一个元素，求a的取值范围.高一理科数学月考一第页共4页5
高一理科数学月考一参考答案1-12DAADCDCBCADD13．414.315.4,516.,2
三、解答题17.【解析】（Ⅰ）因为2102log10xxx，所以2Axx，02Bxx，02BxxxR或ð所以2ABxx
Rð
（Ⅱ）因为BCC，所以CB当C时，21aa，解得1a，
当C时，12200112aaaaa，综上：a的取值范围是
0,
18.解：（Ⅰ）由题意可得sin2cπos2costanπ2π
πf
sinsincossintan
，
故1cos32π3πf
.
（Ⅱ）∵tan2，故224sin3sincos5cos
22
224sin3sincos5cos
sincos
224tan3tan5
1
tan1
.
（Ⅲ）因为cosf
所以22cossin1gxxx2
2sinsin3xx
2125
2sin
48x
因为sin1,1x所以1sin4x时max258gx，
min0gx
所以gx的值域为250,
8
山西省朔州市怀仁市第一中学校等2024-2025学年高三上学期第一次月考 数学试题[含答案]
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2024~2025学年上学期怀仁一中高三年级第一次月考数学全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.5.本卷主要考查内容：集合与常用逻辑用语，不等式，函数，导数.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）{}28120,{14}A x x xB x x =-+<=∈<Z ∣∣ A B ⋂=A.B.C.D.{}1,2{}3,4{}3∅2.已知，则的大小关系为（ ）121311log ,ln ,e 22a b c ===,,a b c A. B.a b c <<a c b <<C.D.b a c <<b c a<<3.函数的图象大致为（ ）()2cos e e x xx xf x -+=-A.B.C.D.4.函数的一个零点所在的区间是（ ）()()1ln 2f x x x =-A.B.C.D.()0,1()1,2()2,3()3,45.已知函数是定义域为的奇函数，当时，.若，()f x R 0x ()()2f x x x =+()()3370f m f m ++->则的取值范围为（ ）m A.B.C.D.(),0∞-()0,∞+(),1∞-()1,∞+6.已知条件，条件，若是的必要而不充分条件，则实()2:log 12p x +<()22:210q x a x a a -+++ p q 数的取值范围为（ ）a A.B.C.D.(),2∞-()1,∞-+()1,2-[]2,87.在日常生活中，我们发现一杯热水放在常温环境中，随时间的推移会逐渐逐渐变凉，物体在常温环境下的温度变化有以下规律：如果物体的初始温度为，则经过一定时间，即分钟后的温度满足T t T 称为半衰期，其中是环境温度.若，现有一杯的热水降至()01,2t ha a T T T T h ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭a T 25C a T =80C 大约用时1分钟，那么水温从降至大约还需要（ ）（参考数据：75C 75C 45C ）lg20.30,lg11 1.04≈≈A.8分钟 B.9分钟C.10分钟D.11分钟8.设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是()e x f x x ax a=-+1a >0x ()00f x <a （）A. B. C. D.(21,2e ⎤⎦33e 1,2⎛⎤ ⎥⎝⎦343e 4e ,23⎛⎤ ⎥⎝⎦323e 2e ,2⎛⎤ ⎥⎝⎦二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列函数在定义域内不是单调函数的是（ ）A. B.()e xf x x =()ln f x x x=C.D.()e x f x x =-()cos 2f x x x=-10.已知正实数满足，则下列说法正确的是（）,m n 1m n +=A.的最小值是411m n +B.的最大值是22m n +12+的最大值是1211.已知函数，则下列说法正确的是（ ）()ln f x x x a=--A.若有两个零点，则()f x 1a >B.若无零点，则()f x 1a C.若有两个零点，则()f x 12,x x 121x x <D.若有两个零点，则()f x 12,x x 122x x +>三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，其中是其导函数，则__________.()()421f x x f x '=--()f x '()()2222f f ='+-'13.若，则的最小值为__________.,,0a b ab ∈>R 442a b ab ++14.已知函数若存在实数满足，且()32log ,03,(4),3,x x f x x x ⎧<<=⎨-⎩ 1234,,,x x x x 1234x x x x <<<，则的取值范围是__________.()()()()1234f x f x f x f x ===()()341233x x x x --四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.（本小题满分13分）已知函数.()()232f x x a x b=--+（1）若关于的不等式的解集为，求实数的值；x ()0f x <()2,3-,a b （2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.()f x 10,3∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭a 16.（本小题满分15分）已知命题：“”为假命题，实数的所有取值构成的集合为.p 2,10x x ax ∃∈-+=R a A （1）求集合；A （2）已知集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.{121}B xm x m =+<<+∣t A ∈t B ∈m17.（本小题满分15分）已知函数（为实常数）.()321x f x a =-+a （1）若函数为奇函数，求的值；()f x a （2）在（1）的条件下，对任意，不等式恒成立，求实数的最大值.[]1,6x ∈()2x uf xu 18.（本小题满分17分）已知函数.()ln 1a f x x x =+-（1）讨论函数的单调性；()f x （2）若函数有两个零点，且.证明：.()f x 12,x x 12x x >12121x x a +>19.（本小题满分17分）已知函数.()33f x x x=-（1）求函数在区间上的值域；()f x 32,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）曲线在点处的切线也是曲线的切线，求实数的取值范围.()y f x =()(),P m f m 24y x a =-a2024~2025学年上学期怀仁一中高三年级第一次月考·数学参考答案､提示及评分细则1.B 因为，所以.{}{}28120{26},{14}2,3,4A x x x x x B x x =-+<=<<=∈<=Z ∣∣∣ {}3,4A B ⋂=故选B.2.C 因为，所以.故选C.1213311log log 2,01,ln ln20,e 122a a b c ==<<==-<=>c a b >>3.A 由，可知函数为奇函数，又由时，，有()()2cos e e x x x xf x f x -+==--()f x 01x < cos 0x >，可得；当时，，有，故当时，，可2cos 0x x +>()0f x >1x >21x >2cos 0x x +>0x >()0f x >知选项A 正确.4.B 因为，在上是连续函数，且，即在上()()1ln 2f x x x =-()0,∞+()2110f x x x =+>'()f x ()0,∞+单调递增，，所以，所以在上存在一()()11ln210,2ln402f f =-<=->()()120f f ⋅<()f x ()1,2个零点.故选B.5.D 当时，的对称轴为，故在上单调递增.函数在处连续，又0x ()f x 1x =-()f x [)0,∞+0x =是定义域为的奇函数，故在上单调递增.因为，由()f x R ()f x R ()()f x f x -=-，可得，又因为在上单调递增，所以()()3370f m f m ++->()()373f m f m +>-()f x R ，解得.故选D.373m m +>-1m >6.C 由，得，所以，()2log 12x +<13x -<<:13p x -<<由，得，所以，()22210x a x a a -+++ 1a x a + :1q a x a + 因为是的必要而不充分条件，p q 所以⫋，解得，故选C.{}1x a x a +∣ {13}x x -<<∣12a -<<7.C 根据题意得，则，所以()11111075258025,2211hh ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()1452575252t h⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以，两边取常用对数得1120502th ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦102115t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故选C.2lg102lg2lg52lg2120.315lg lg ,10101151lg111lg111 1.04lg 11t t --⨯-====≈=---8.D 令，显然直线恒过点，()()e ,,1x g x x h x ax a a ==->()h x ax a=-()1,0A 则“存在唯一的整数，使得”等价于“存在唯一的整数使得点在直线0x ()00f x <0x ()()00,x g x 下方”，，当时，，当时，，即()h x ax a =-()()1e xg x x =+'1x <-()0g x '<1x >-()0g x '>在上递减，在上递增，()g x (),1∞--()1,∞-+则当时，，当时，，1x =-()min 1()1e g x g =-=-0x ()1,0e g x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦而，()()01h x h a =-<- 即当时，不存在整数使得点在直线下方，0x 0x ()()00,x g x ()h x ax a =-当时，过点作函数图象的切线，设切点为，0x >()1,0A ()e xg x x =(),e ,0t P t t t >则切线方程为，()()e 1e t t y t t x t -=+-而切线过点，即有，整理得，而，()1,0A ()()e 1e 1t tt t t -=+-210t t --=0t >解得，因，()1,2t =()()1e 01g h =>=又存在唯一整数使得点在直线下方，则此整数必为2，0x ()()00,x g x ()h x ax a =-即存在唯一整数2使得点在直线下方，()()2,2g ()h x ax a =-因此有解得，()()()()23222e ,333e 2,g h a g h a ⎧<⎧<⎪⇔⎨⎨⎪⎩⎩ 323e 2e 2a < 所以的取值范围是.故选D.a 323e 2e ,2⎛⎤⎥⎝⎦9.ABC 对于选项D ，因为，所以在定义域内恒成立，所以选项D 不合题意；()sin 2f x x =--'()0f x '<其它选项的导函数在各自的定义域内不恒小于（大于）或等于0.10.ACD 正实数满足，当且仅,m n ()11111,224n m m n m n m n m n m n ⎛⎫+=+=++=+++= ⎪⎝⎭ 当时等号成立，故选项A 正确；12m n ==，故的最小值是，故选项B 错误；222()122mn m n ++= 22mn +12，故选项C正确；212m n =++=+，当且仅当时等号成立，故选项D 正确.1m n += 1212m n ==11.ACD 由可得，令，其中，()0f x =ln a x x =-()lng x x x=-0x >所以直线与曲线的图象有两个交点，y a =()y g x =在上单调递减，在上单调递增，()()111,x g x y g x x x -=-=='()0,1()1,∞+图象如图所示.当时，函数与的图象有两个交点，选项A 正确；1a >y a =()y g x =当时，函数与的图象有一个交点，选项B 错误；1a =y a =()y g x =由已知可得两式作差可得，所以，由对数平均不等式1122ln ,ln ,x xa x x a -=⎧⎨-=⎩1212ln ln x x x x -=-12121lnln x x x x -=-，则，选项C正确；121212ln ln 2x x x xx x -+<<-1<121x x <，则，选项D 正确.1212x x +<122x x +>12.0 因为，显然导函数为奇函数，所以.()()3412fx x f x'=--'()()22220f f -'+='13.4 因为，所以，0ab >44332222224a b a b ab ab b a ab ab ab ++=++=+⨯=当且仅当，即时等号成立.331,a b ab ba ab ==221a b ==14.因为.()0,1()()()()12341234,f x f x f x f x x x x x ===<<<由图可知，，即，且，3132log log x x -=3412431,4,82x x x x x x +===-334x <<所以.()()()()()()342343434333312333339815815x x x x x x x x x x x x x x --=--=-++=--=-+-在上单调递增，的取值范围是.233815y x x =-+- ()3,4()()3433x x ∴--()0,115.解：（1）由关于的不等式的解集为，x ()0f x <()2,3-可得关于的一元二次方程的两根为和3，x ()0f x =2-有解得3223,23,a b -=-+⎧⎨=-⨯⎩1,6,a b =⎧⎨=-⎩当时，，符合题意，1,6a b ==-()()()2632f x x x x x =--=-+故实数的值为的值为；a 1,b 6-（2）二次函数的对称轴为，()y f x =322a x -=可得函数的减区间为，增区间为，()f x 32,2a ∞-⎛⎤- ⎥⎝⎦32,2a ∞-⎛⎫+ ⎪⎝⎭若函数在上单调递增，必有，解得，()f x 10,3∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭321023a -- 149a - 故实数的取值范围为.a 14,9∞⎛⎤--⎥⎝⎦16.解：（1）由命题为假命题，关于的一元二次方程无解，p x 210x ax -+=可得，解得，22Δ()440a a =--=-<22a -<<故集合；()2,2A =-（2）由若是的必要不充分条件，可知⫋，t A ∈t B ∈B A ①当时，可得，满足⫋；121m m ++ 0,m B =∅ B A②当时，可得，若满足⫋，必有（等号不可能同时成立），121m m +<+0m >B A 12,212,0,m m m +-⎧⎪+⎨⎪>⎩解得，102m <由①②可知，实数的取值范围为.m 1,2∞⎛⎤-⎥⎝⎦17.解：（1）因为函数是奇函数，，()f x ()3322121x x xf x a a -⋅-=-=-++，解得()()33222302121xx x f x f x a a ⋅+-=--=-=++3;2a =（2）因为，由不等式，得，()33221x f x =-+()2x u f x 3322221xx xu ⋅⋅-+ 令（因为，故，[]213,65xt +=∈[]1,6x ∈()()3133291222t u t t tt -⎛⎫--=+- ⎪⎝⎭由于函数在上单调递增，所以.()32922t t t ϕ⎛⎫=+-⎪⎝⎭[]3,65()min ()31t ϕϕ==因此，当不等式在上恒成立时，.()2x uf x[]1,6x ∈max 1u =18.解：（1）的定义域为，()f x ()()2210,,a x a f x x x x ∞'-+=-=当时，在上恒大于0，所以在上单调递增，0a ()2x af x x -='()0,∞+()f x ()0,∞+当时，，0a >()20,x af x x a x -==='当时，，当时，.0x a <<()0f x '<x a >()0f x '>所以函数在上单调递减，在上单调递增；()f x ()0,a (),a ∞+（2）由题可得，两式相减可得，，1212ln 10,ln 10a ax x x x +-=+-=()121212ln ln x x x x a x x -=-要证，即证，12121x x a +>()1212121212ln ln x x x x x x x x -+>-即证，即证，1212122ln ln x x x x x x -+>-112122121ln x x xx x x -+>令，则，即证，121x t x =>12ln 0x x >1ln 21t t t ->+令，则，()()1ln 121t g t t t t -=->+()22213410(21)(21)t t g t t t t t ++='-=>++所以在上单调递增，所以，所以，故原命题成立.()g t ()1,∞+()()10g t g >=1ln 21t t t ->+19.解：（1），令，可得，可得函数的增区间为()233f x x =-'()0f x '<11x -<<()f x ()(),1,1,,∞∞--+可得函数在区间上单调递增，在上单调递减，()f x []32,1,1,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦()1,1-由，()()()3333912,12,22,32228f f f f ⎛⎫⎛⎫=--=-=-=-⨯=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）由曲线在点处的切线方程为，整理为()y f x =P ()()()32333y m m m x m --=--()22332y m x m =--联立方程消去后整理为，()232332,4,y m x m y x a ⎧=--⎪⎨=-⎪⎩y ()22343320x m x m a --+-=可得()()223Δ331620,m m a =---=整理为，43216932189a m m m -=--+令，有，()432932189g x x x x =--+()()()3236963612313g x x x x x x x '=--=+-令，可得或，()0g x '>103x -<<3x >可得函数的增区间为，减区间为，()g x ()1,0,3,3∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()1,,0,33∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭由，可得，()12243288,327g g ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭min ()288g x =-有，可得16288a -- 18a。
2020-2021学年山西省朔州市怀仁一中云东校区高二(下)第一次月考数学试卷(文科)(含答案解析)
2020-2021学年山西省朔州市怀仁一中云东校区高二(下)第一次月考数学试卷(文科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.命题r：如果√x−2+(y+1)2=0，则x=2且y=−1.若命题r的否命题为p，命题r的否定为q，则()A. p真q假B. p假q真C. p，q都真D. p，q都假2.对于椭圆C1：(a>b>0)焦点为顶点，以椭圆C1的顶点为焦点的双曲线C2，下列结论中错误的是()A. C2的方程为B. C1、C2的离心率的和是1C. C1、C2的离心率的积是1D. 短轴长等于虚轴长3.已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则取值范围()A. B. C. D.<4.已知定义在R上的函数y=f(x)的导函数为f′(x)，且满足f′(x)<f(x)，f(0)=1，则不等式f(x)e x1的解集为()A. (−∞,e4)B. (e4,+∞)C. (−∞,0)D. (0,+∞)5.抛物线y2=−8x的焦点为F，抛物线上一点P在其对称轴的上方，若|PF|=5，则点P的坐标是()A. (−3,2√6)B. (3,2√6)C. (2,4)D. (−2,4)6.一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是()．A. 4，8B. 4，C. 4(+1)，D. 8，87.设θ∈R，则“θ=π6，是“sinθ=12”的()A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC，BD，设内层椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，若直线AC与BD的斜率之积为−14，则椭圆的离心率为()A. 12B. √22C. √32D. 349.已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，f′(x)为其导函数，若对于任意实数，都有f(x)>f′(x)，其中e为自然对数的底数，则()A. ef(2015)>f(2016)B. ef(2015)<f(2016)C. ef(2015)=f(2016)D. ef(2015)与f(2016)大小关系不确定10.过直线3x−4y−14=0上一点P，作圆C：(x+1)2+(y−2)2=9的切线，切点分别为A、B，则当四边形PACB面积最小时直线AB的方程是()A. 4x−3y+2=0B. 3x−4y+2=0C. 3x−4y−2=0D. 4x−3y−2=011.一个四面体ABCD的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为()A. B. C. D.12.已知双曲线的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于()．A. B. C. D.二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若a+b−c=0(a,b,c不全为0)，则直线ax+by+c=0必经过一个定点，其坐标为______ ．14.已知圆柱M的底面圆的半径与球O的半径相同，若圆柱M与球O的表面积相等，则它们的体积之比=．15.正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为a，P是正方体表面上的动点，若|AP|=√2a，则动点P的轨迹长度为．16.已知函数f(x)=√x2+1−ax(其中a>0)在区间[0,+∞)上是单调函数，则实数a的取值范围为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设函数f(x)=e x−b(1+lnx)．(1)证明f(x)的图象过一个定点A，并求f(x)在点A处的切线方程;(2)已知b>0，讨论f(x)的零点个数．18.已知集合A={x|y=lg(x2−3x+2)}，B={x|x2−ax+a−1≤0}，命题p：x∈A，命题q：x∈B．(Ⅰ)当a>2时，若p是￢q的必要条件，求实数a的取值范围；(Ⅱ)若B⊆∁R A，求实数a的取值范围．19.如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，cos∠CAB=∠CBA，∠ACB1=AB1C，AB1⊥平面ABC，AC=2，∠CAC1=90°，D，E分别是的中点．(Ⅰ)证明AC⊥平面AB1C1；(Ⅱ)求DE与平面CBB1夹角的正弦值．20.已知动点P(x,y)与一定点F(1,0)的距离和它到一定直线l：x=4的距离之比为1．2(1)求动点P(x,y)的轨迹C的方程；(2)己知直线l′：x=my+1交轨迹C于A、B两点，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足依次为点D、E.连接AE、BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点N？若交于定点N，请求出定点的坐标，并给予证明；否则说明理由．21.设函数．(1)若曲线在点处与直线相切，求的值；(2)求函数的单调区间与极值点．(3)设函数的导函数是，当时求证：对任意成立22.设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，经过点F的动直线l交抛物线C于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，且y1y2=−4．(1)求抛物线C的方程；(2)若直线2x+3y=0平分线段AB，求直线l的倾斜角．(3)若点M是抛物线C的准线上的一点，直线MF，MA，MB的斜率分别为k0，k1，k2.求证：当k0=1时，k1+k2为定值．参考答案及解析1.答案：D解析：解：命题r：如果√x−2+(y+1)2=0，则x=2且y=−1，是真命题，则命题r的否定为q，是假命题；命题r的否命题为p：√x−2+(y+1)2≠0，则x≠2或y≠−1是假命题．故选：D．判断命题r的真假，即可判断命题否定的真假，然后判断否命题的真假，从而判断正确选项．本题考查命题的否定以及否命题的真假的判断，基本知识的考查．2.答案：B解析：解：依题意，双曲线C2的焦点在x轴，半焦距为a，实半轴长为√a2−b2，虚半轴为b，∴双曲线C2的方程为：x2a2−b2−y2b2=1，故A正确，D正确；对于椭圆C1：其离心率e1=√a2−b2a，对于双曲线C2，其离心率e2=a√a2−b2，∵e1⋅e2=1，故C正确；而e1+e2≠1，故B错误．综上所述，错误的是B．故选B．3.答案：D解析：试题分析：函数定义域R，即切线斜率考点：函数导数及导数的几何意义，倾斜角与斜率的关系点评：导数的几何意义：函数在某一点处的导数值等于该点处的切线斜率，直线的斜率与倾斜角的关系，可由斜率范围求出倾斜角范围4.答案：D解析：解：设g(x)=f(x)e x(x∈R)，则g′(x)=f′(x)−f(x)e x，∵f′(x)<f(x)，∴f′(x)−f(x)<0∴g′(x)<0，∴y=g(x)在定义域上单调递减∵f(x)e x<1∴g(x)<1又∵g(0)=f(0)e0=1∴g(x)<g(0)∴x>0故选：D．构造函数g(x)=f(x)e x(x∈R)，研究g(x)的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解．本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．5.答案：A解析：解：设点P的横坐标为x(x<0)，∵抛物线y2=−8x的准线方程为x=2，又∵点P在抛物线上，且|PF|=5，∴|x|+2=5，解得x=−3，∵点P在抛物线上，∴y2=24，解得y1=2√6或y2=−2√6(舍去)，故点P的坐标为(−3,2√6).故选：A．根据已知条件，结合抛物线的定义，即可依次求解．本题主要考查抛物线的定义，考查计算能力，属于基础题．6.答案：B解析：该四棱锥的直观图如图，。
山西省朔州市怀仁市第一中学校2021-2022学年高一下学期期中理科综合试题
怀仁一中2021~ 2022学年第二学期高一年级期中考试理科综合试题(本试题考试时间150分钟,满分300分)注意事项:1.答题前,考生务必将自己的学校、姓名、班级、准考证号填写在答题卡上相应的位置。
2.全部答案在答题卡上完成,答在本试卷上无效。
3.回答选择题时,选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时,将答案用0.5毫米及以上黑色笔迹签字笔写在答题卡上。
4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
可能用到的相对原子质量:H-1 C-12 N-14 0-16 Na-23 Cl--35.5 Fe-56 Cu-- 64一、选择题:本题共13小题,每小题6分,共78分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.下列关于叶绿体与光合作用的叙述,正确的是()A.有叶绿体的细胞才能进行光合作用B.叶绿体的类囊体和基质中都含有光合色素C.叶绿体的类囊体和基质中都含有与光合作用有关的酶D.类囊体薄膜中的酶可催化CO2的固定和还原2.如图是某生物兴趣小组观察不同种类高等植物根尖细胞的有丝分裂后,根据实验结果按顺时针方向绘制的细胞周期(分裂间期和分裂期)示意图。
以下叙述正确的是()A.b→a过程中,发生了核DNA的复制，使DNA含量加倍B.图中的b→a→b是一个完整的细胞周期C.甲、乙、丙图的b→a所用的时间一定不同D.细胞分裂过程中b→a阶段出现凝聚变短的染色体,有利于核遗传物质的均分3.下列关于细胞分裂和细胞分化的叙述,错误的是()A.生物体的生长发育是细胞分裂和细胞分化的结果B.生物体通过细胞分化,细胞之间逐渐发生了稳定性的差异C.一般条件下,细胞分化是不可逆的D.细胞分化使各种细胞的遗传物质产生差异4.与年轻人相比,老年人会表现出皮肤皱纹增多、头发变白、老年斑增多等特征。
关于细胞衰老的特征和原因，下列描述正确的是()A.皮肤色素沉积出现“老年斑”是酪氨酸酶活性降低导致的B.随着细胞分裂次数的增加,端粒内侧正常基因的DNA序列会受到损伤C.衰老细胞中酪氨酸酶活性降低,细胞核体积变小，核膜内折D.控制衰老的基因只存在于特定细胞中5.如图为某动物精子形成过程中的某一细胞图像,试推断此动物的初级精母细胞中的四分体个数、染色体数及核DNA分子数依次是()A.3、3、6B.3、6、6C.3、6、12D.6、6、126.如果雌鼠甲与雄鼠乙进行正常的有性生殖，下列叙述不正确的是()A.卵细胞继承了初级卵母细胞四分之一的细胞质B.受精卵中的染色体一半来自甲，一半来自乙C.精子和卵细胞融合前,需要相互识别D.受精后,精子的细胞核与卵细胞的细胞核相互融合7. 2022年北京冬奥会秉承“绿色办奥”“科技办奥”的理念,火炬“飞扬”首创以复合碳纤维为外壳材料,以氢气为燃料,在出火口格栅喷涂碱金属。
2020-2021学年山西省怀仁一中高二下第一次月考数学试卷
2020-2021学年山西省怀仁一中高二下第一次月考数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设是两个不同的平面，是直线且m α⊂，“//m β”是“//αβ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．若满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则y x 的最大值为（） A ．-2 B ．-3 C ．2 D ．33．设命题2:,2nP n N n ∃∈>，则为（ ）A ．2,2n n N n ∀∈>B ．2,2n n N n ∃∈≤C ．2,2n n N n ∀∈≤D ．2,2n n N n ∃∈= 4．下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是（ ）A ．2214y x -= B ．2214x y -= C ．2212y x -= D ．2212x y -= 5．已知抛物线()220y px p =>的准线经过点(1,1)-，则抛物线焦点坐标为（ ）A ．(1,0)-B ．C ．(0,1)-D ．6．已知函数f(x)=alnx,x ∈(0,+∞)，其中a 为实数，f ′(x)为f(x)的导函数，若f ′(1)=3，则a 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．57．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．B ．C ．24π+D ．34π+8．已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（ ）A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π 9．过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点(,0)F c -作圆222x y a +=的切线，切点为，延长交抛物线24y cx =于点为原点，若1()2OE OF OP =+，则双曲线的离心率为（ ）A ．152+B ．132+C ．4227-D ．4227+ 10．若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（ ）A ．至少与，中的一条相交B ．与，都相交C ．至多与，中的一条相交D ．与，都不相交11．已知1,,AB AC AB AC t t⊥==，若点是ABC ∆所在平面内一点，且4ABACAP AB AC =+，则PB PC ⋅的最大值等于（ ）A ．13B ．15C ．19D ．2112．如图，已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上有一点，它关于原点的对称点为，点为双曲线的右焦点，且满足AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,126ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．3,23⎡⎣B ．2323⎛⎤ ⎥ ⎝⎦C ．2,23⎡⎣D ．3,13⎡+⎣二、填空题13．已知矩形ABCD 中，3AB BC a ==，，若PA ⊥平面AC ，在BC 边上取点E ，使PE DE ⊥，则当满足条件的E 点有两个时，a 的取值范围是___________.14．若曲线ln y x x P =上点处的切线平行于直线210,x y P -+=则点的坐标是_______.15．当实数满足240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时，恒14ax y ≤+≤成立，则实数的取值范围是________．16．设12,F F 分别是椭圆222:1(01)y E x b b +=<<的左、右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，若1123,AF F B AF x =⊥轴，则椭圆的方程为________．三、解答题17．已知，且．设函数log (1)a y x =+在区间(0,)+∞内单调递减；曲线2(23)1y x a x =+-+与轴交于不同的两点，如果“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，求实数的取值范围．18．已知点P (2,2),圆22:80C x y y +-=，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ,B 两点,线段AB 的中点为M ,O 为坐标原点.(1)求点M 的轨迹方程;(2)当|OP |=|OM |时,求l 的方程及△POM 的面积.19．如图，已知1AA ⊥平面1111,//,3,ABC BB AA AB AC BC AA BB =====,E F 分别是 1,BC A C 的中点．（1）求证：//EF 平面 11A B BA ；（2）求证：平面1AEA 平面 1BCB ；（3）求直线11A B 与平面 1BCB 所成角的大小．20．如图，抛物线C 1:y 2=2px 与椭圆C 2:x 216+y 212=1在第一角限的交点为B ，O 为坐标原点，A 为椭圆的右顶点，ΔOAB 的面积为8√63．（1）求抛物线C 1的方程；（2）过A 点作直线L 交C 1于C 、D 两点，求ΔOCD 面积的最小值．21．如图，在四棱锥A EFCB -中，AEF ∆为等边三角形，平面AEF ⊥平面EFCB ，0//,4,2,60EF BC BC EF a EBC FCB ==∠=∠=,为的中点．⊥；（1）求证：AO BE--的余弦值；（2）求二面角F AE B（3）若BE⊥平面AOC，求的值．22．已知椭圆C:x2+3y2=3，过点D(1,0)且不过点Ε(2,1)的直线与椭圆C交于Α，Β两点，直线ΑΕ与直线x=3交于点Μ．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）若ΑΒ垂直于x轴，求直线ΒΜ的斜率；（Ⅲ）试判断直线ΒΜ与直线DΕ的位置关系，并说明理由．参考答案1．B【解析】试题分析：由//m β，且m α⊂可得//αβ或者l αβ⋂=，所以//m β不是//αβ的充分条件；反之，若//αβ且m α⊂，则必有//m β，综上“//m β”是“//αβ”的必要而不充分条件，故选B.考点：线面平行、面面平行.2．D【解析】试题分析：作出约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩对应的可行域如图所示，把y x 00y x -=-看作原点与可行域中的点连线的斜率，易知max ()3OA yk x==，故选D.考点：线性规划.3．C【解析】试题分析：因为全称命题的否定是特称命题，而特称命题的否定是全称命题，所以命题2:,2n P n N n ∃∈>的否定是2,2n n N n ∀∈≤，故答案选C.考点：全称命题、特称命题.4．A【解析】由双曲线的渐进线的公式可行选项A 的渐进线方程为，故选A. 考点：本题主要考查双曲线的渐近线公式.5．B【解析】试题分析：由于抛物线()220y px p =>的准线方程是2p x =-，因为准线经过点(1,1)-，所以12p -=-，即2p =，从而抛物线24y x =的焦点坐标为，故选B. 考点：1、抛物线；2、焦点.【方法点晴】本题是一个关于抛物线的焦点、准线方面的问题，属于容易题.一般的对于标准抛物线其焦点、准线如下表所示：推广形式：抛物线()220y mx m =≠的焦点是,02m F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线是2m x =-； 抛物线()220x my m =≠的焦点是0,2m F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线是2p y =-. 6．B【解析】试题分析：根据对数函数的求导运算法则，函数f(x)=alnx 的导函数是f ′(x)=a x ，因为f ′(1)=3，即a 1=3，所以a =3，故选B.考点：导数的计算.7．D【解析】试题分析：分析三视图可知，该几何体是一个半圆柱，其底面是半径是1，高是2，所以其表面积是2222342πππ⨯+⨯+=+，故选D.考点：1、三视图；2、圆柱的表面积.8．C【详解】如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时2311136326O ABC C AOB V V R R R --==⨯⨯==，故6R =，则球O 的表面积为24144S R ππ==，故选C ．考点：外接球表面积和椎体的体积．9．A【解析】试题分析：由于1()2OE OF OP =+，知E 是PF 的中点，设Q 是双曲线的右焦点，则Q 也是抛物线的焦点，易知2PQ a =,设l 为抛物线的准线，则P 到l 的距离为2a ，再设P 的横坐标为x P ，则2x a c P =-，由于FPQ ∆是直角三角形，由射影定理知()242a c c x P =⨯-，联立 2x a c P =-，可得220c aac --=，解得e =，故选A.x考点：1、双曲线，焦点，离心率；2、圆；3平面向量.10．A【解析】试题分析：对于B 选项，由于可以1l l 且l 与2l 相交，所以B 选项错误；对于C 选项，由于l 可以同时与12,l l 相交于不同两点，所以C 选项错误；对于D 选项，由于l 可以与1l ，2l 相交，所以D 选项错误；综上可知应选A.考点：异面直线.11．A【解析】 试题分析：因为1,,AB AC AB AC t t ⊥==，4AB ACAP AB AC =+，则PB PC⋅()()AB AP AC AP =-⋅-()4411t AB AC AC t AB t t ⎡⎤⎡⎤⎛⎫=--⋅-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦117413t t ⎛⎫=-+≤ ⎪⎝⎭，所以PB PC ⋅的最大值等于是13，故选A. 考点：1、平面向量；2、基本不等式. 【思路点晴】本题是一个关于平面向量的数量积的运算问题，属于中档题.解决本题的基本思路是，先根据题目条件将向量,PB PC 表示成向量,AB AC 的表达式，再根据1,,AB AC AB AC t t⊥==，最终将PB PC ⋅表示成t 的式子，最后利用绝对值不等式即可求出PB PC ⋅的最大值，使问题得到解决.另外，本题也可以通过建立直角坐标系解决.12．B【解析】 试题分析：如图所示，设(),0F c ，由于,A B 关于原点对称，且AF BF ⊥，所以OF OA OB ==，又因为ABF α∠=，所以2AOF α∠=，由,126ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭得2,63ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，由题知3b a <≤23e <≤，故选B.x考点：1、双曲线；2、离心率.【思路点晴】本题是关于双曲线及其离心率方面的综合性问题，属于难题，解决本题的基本思路是根据题设条件寻找基本量,,a b c 的关系，再连立222c a b =+得出,a c 的关系，进而得到双曲线的离心率.而解决问题的切入点是由图形推得2,63ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，并将tan 2α与渐近线的斜率ba进行比较，从而得出所需结论. 13．6a > 【解析】 ∵PA ⊥平面AC ， ∴PA ⊥DE又∵PE ⊥DE ，PA∩PE=P ∴DE ⊥平面PAE ∴DE ⊥AE即E 点为以AD 为直径的圆与BC 的交点 ∵AB=3，BC=a ，满足条件的E 点有2个 ∴6a > 故答案为6a > 14．(,)e e 【解析】试题分析：因为ln 1y x '=+，设切点(,)a b ，则ln 12,,k a a e =+==又ln ,b a a e ==(,).P e e考点：利用导数求切点15．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：设z ax y =+，由于14ax y ≤+≤，则min 1z ≥，且max 4z ≤，当0a ≤时，由于min 1z ≥，此时无解；当0a >时，则0a -<，如果102a -≤-<，即102a <≤时，则1342a a ≥⎧⎪⎨+≤⎪⎩，无解；如果12a -<-即12a >时，则1214a a ≥⎧⎨+≤⎩，解得312a ≤≤，故答案应填 31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.x考点：线性规划.【思路点晴】本题是一个线性规划与极端不等式恒成立相结合的综合性问题，属于难题，解决本题的基本思路是，首先由不等式14ax y ≤+≤成立，得到z ax y =+的最值情况，然后再对a 进行分类讨论，得到关于a 的不等式组，最后就可以求出a 的取值范围，最终使问题得以解决. 16．22312x y += 【解析】试题分析：如图所示：设()2,0F c ，由焦半径公式可得2101AF a ex c =+=+，因为113AF BF =，所以()23B c c x =--，即53B cx =-，因此21513c BF =-，由113AF BF =可得2251313c c ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，可得213c =，所以223b =，应填22312x y +=.x考点：1、椭圆；2、焦半径公式.【思路点晴】本题是一个关于椭圆的焦半径的问题，属于中档题.解决本题的基本思路是，首先根据2AF x ⊥轴，推出点A 的横坐标，再根据焦半径公式表示出1AF 的长，同样的方法表示出1BF 的长，利用113AF BF =，就可以求出2b 的值，进而得到椭圆的方程，从而使问题得到解决. 17．15,1,22⎡⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭.【解析】试题分析：由于“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，所以,p q 必然一真一假，因此可以先求出p 真q 假和p 假q 真时a 的范围，然后再求其并集即可得到a 的范围. 试题解析：当01a <<时，函数log (1)a y x =+在(0,)+∞内单调递减；当时，log (1)a y x =+在(0,)+∞不是单调递减．曲线2(23)1y x a x =+-+与轴交于不同两点等价于2(23)40a -->，即12a <或52a >． （1）若p 正确，且q 不正确，即函数log (1)a y x =+在(0,)+∞内单调递减，曲线2(23)1y x a x =+-+与轴不交于两点，此时1,12a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．（2）若p 不正确，且q 正确，即函数log (1)a y x =+在(0,)+∞内不是单调递减，曲线2(23)1y x a x =+-+与轴交于不同两点，此时5(,)2a ∈+∞．综上所述，的取值范围是15,1,22⎡⎫⎛⎫+∞⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭．考点：1、复合命题的真假判定；2、函数的单调性；3、二次函数根的判别式. 18．(1)()()22132x y -+-= ；(2)直线l 的方程为380x y +-=，POM ∆的面积为165. 【分析】求得圆C 的圆心和半径.（1）当,,C M P 三点均不重合时，根据圆的几何性质可知CM MP ⊥，,C P 是定点，所以M 的轨迹是以PC 为直径的圆（除,P C 两点），根据圆M 的圆心和半径求得M 的轨迹方程.当,,C M P 三点有重合的情形时，M 的坐标满足上述求得的M 的轨迹方程.综上可得M 的轨迹方程.（2）根据圆的几何性质（垂径定理），求得直线l 的斜率，进而求得直线l 的方程.根据等腰三角形的几何性质求得POM ∆的面积. 【详解】圆:C ()22244x y +-=，故圆心为()0,4C，半径为4.(1)当C ,M ,P 三点均不重合时,∠CMP =90°,所以点M 的轨迹是以线段PC 为直径的圆(除去点P ,C ),线段PC 中点为()1,3，12PC ==M 的轨迹方程为(x -1)2+(y -3)2=2(x ≠2,且y ≠2或x ≠0,且y ≠4).当C,M,P 三点中有重合的情形时,易求得点M 的坐标为(2,2)或(0,4). 综上可知,点M 的轨迹是一个圆,轨迹方程为(x -1)2+(y -3)2=2.(2)由(1)可知点M 的轨迹是以点N (1,3)为半径的圆.由于|OP |=|OM |,故O 在线段PM 的垂直平分线上.又P 在圆N 上,从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3,所以l 的斜率为13-，故l 的方程为1833y x =-+，即380x y +-=.又易得|OM |=|OP |=，点O 到l=，||5PM ==， 所以△POM 的面积为1162555⨯=. 【点睛】本小题主要考查动点轨迹方程的求法，考查圆的几何性质，考查等腰三角形面积的计算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题. 19．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）30. 【分析】试题分析：（1）要证明//EF 平面 11A B BA ，可以先证明EF 与平面 11A B BA 内的直线1BA 平行，然后就可以线面平行；（2）要证明平面 1AEA 平面1BCB ，可以先证明一个平面经过另一个平面的一条垂线，即先证明 AE ⊥平面1BCB ，之后再证明平面 1AEA 平面1BCB ；（3）先作出直线 11A B 与平面1BCB 所成的角，再结合直角三角形的边角关系，就可求出直线11A B 与平面 1BCB 所成角的大小．试题解析：（1）证明：如图，连接1A B ，在1A BC ∆中，因为E 和F 分别是1,BC A C 的中点，所以1//EF BA ，又因为 EF ⊄平面11A B BA ，所以//EF 平面 11A B BA ． （2）要证明 平面1AEA 平面1BCB ，可证明1,AE BC BB AE ⊥⊥；因为 ,AB AC E=为BC 中点，所以AE BC ⊥，因为1AA ⊥平面ABC ，11//BB AA 所以1BB ⊥平面 ABC ，从而1BB AE ，又1BCBB B =，所以 AE ⊥平面1BCB ，又因为AE ⊂平面 1AEA ，所以平面1AEA 平面1BCB ．（3）取1B C 中点N ，连接1A N ，则11A B N ∠就是直线11A B 与平面 1BCB 所成角，11Rt A NB ∆中，由11111sin 2A N AB N A B ∠==，得直线 11A B 与平面1BCB 所成角为30．考点：1、线面平行；2、面面垂直；3、线面角. 20．（1）y 2=8x ；（2）16√2 【解析】试题分析：（1）先根据ΔOAB 的面积为8√63求出点B 的坐标，进而可求出抛物线C 1的方程；（2）首先求出当直线的斜率不存在时ΔOCD 的面积，当直线的斜率k 存在时，用k 表示出三角形的底和高，进而表示出ΔOCD 的面积，再根据直线L 交C 1于C 、D 两点时k 的取值范围，就可得到ΔOCD 面积的最小值．试题解析：（1）因为ΔOAB 的面积为8√63，所以y B =4√63代入椭圆方程得B(43,4√63)，抛物线的方程是：y 2=8x ．（2）直线CD 斜率不存在时，S ΔOCD =16√2； 直线CD 斜率存在时，设直线CD 方程为y =k(x −4)， 代入抛物线，得ky 2−8y −32k =0，S ΔOCD =12OA|y 1−y 2|=16√2+1k 2>16√2，综上S ΔOCD 最小值为16√2． 考点：1、椭圆；2、抛物线；3、三角形的面积.21．（1）证明见解析；（2）5-（3）43a =. 【解析】试题分析：（1）要证AO BE ⊥，可以先证明AO 垂直于BE 所在的平面EFCB ；（2）可以用向量法解决，取的中点，连接，以为原点，分别以OE OD OA 、、为x y z 、、轴建立空间直角坐标系，分别求出两平面、平面的法向量，并求出法向量的夹角的余弦值，进而得到二面角F AE B --的余弦值；（3）因为BE ⊥平面AOC ，只需BE OC ⊥，利用0BE OC ⋅=即可求出a 的值.试题解析：（1）由于平面AEF ⊥平面EFCB ，AEF ∆为等边三角形，为的中点，则AO EF ⊥，根据面面垂直性质定理，所以AO ⊥平面EFCB ，又BE ⊂平面EFCB ，则AO BE ⊥． （2）取的中点，连接，以为原点，分别以OE OD OA 、、为x y z 、、轴建立空间直角坐标系，),(,0,0),(2,,0),(,0,3),(2,,0)A E aB AE a a EB a =-=-，由于平面与轴垂直，则设平面的法向量为1(0,1,0)n =，设平面的法向量222(,,1),,30,3,,(2)(23)0,1n x y n AE ax a x n EB a x y y =⊥-==⊥-+-==-，则2(3,1,1)n =-，二面角F AE B --的余弦值121212cos,n n n n n n ⋅===⋅，由二面角F AE B --为钝二面角，所以二面角F AE B --的斜弦值为（3）有（1）知AO ⊥平面EFCB ，则AO BE ⊥，若BE ⊥平面AOC，只需BE OC ⊥，(2,,0)EB a =-，又(2,,0)OC =-()()2220BE OC a ⋅=--+=，解得或43a =，由于，则43a =． CB考点：1、线线垂直 ；2、线面垂直；3、二面角.【思路点晴】本题是一个有关线线垂直、线面垂直、二面角方面的综合性问题，解决本题的基本思路是：对于（1）要证AO BE⊥，可以先证明AO垂直于BE所在的平面；对于（3）在建立直角坐标系之后，解决问题的关键是要正确求出平面的法向量和平面的法向量，之后再根据向量夹角的公式就可求出二面角F AE B--的余弦值；对于（3）在前两问的基础上，只需由BE OC⊥即可求出a的值.22．（Ⅰ）√63；（Ⅱ）1；（Ⅲ）平行，理由见解析．【解析】试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.（Ⅰ）先将椭圆方程化为标准方程，得到a，b，c的值，再利用e=ca计算离心率；（Ⅱ）由直线ΑΒ的特殊位置，设出Α，Β点坐标，设出直线ΑΕ的方程，由于直线ΑΕ与x=3相交于Μ点，所以得到Μ点坐标，利用点Β、点Μ的坐标，求直线ΒΜ的斜率；（Ⅲ）分直线ΑΒ的斜率存在和不存在两种情况进行讨论，第一种情况，直接分析即可得出结论，第二种情况，先设出直线ΑΒ和直线ΑΕ的方程，将椭圆方程与直线ΑΒ的方程联立，消参，得到x1+x2和x1x2，代入到k BM−1中，只需计算出等于0即可证明k BM=k DE，即两直线平行.试题解析：（Ⅰ）椭圆C的标准方程为x 23+y2=1. 所以a=√3，b=1，c=√2.所以椭圆C的离心率e=ca =√63.（Ⅱ）因为ΑΒ过点D(1,0)且垂直于x轴，所以可设A(1,y1)，B(1,−y1). 直线ΑΕ的方程为y−1=(1−y1)(x−2).令x=3，得M(3,2−y1).所以直线ΒΜ的斜率k BM=2−y1+y13−1=1.（Ⅲ）直线ΒΜ与直线DΕ平行.证明如下：当直线ΑΒ的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知k BM=1.又因为直线DΕ的斜率k DE=1−02−1=1，所以BM//DE.当直线ΑΒ的斜率存在时，设其方程为y=k(x−1)(k≠1).设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则直线ΑΕ的方程为y−1=y1−1x1−2(x−2).令x=3，得点M(3,y1+x1−3x1−2).由{x 2+3y 2=3y =k(x −1) ，得(1+3k 2)x 2−6k 2x +3k 2−3=0. 所以x 1+x 2=6k 21+3k 2，x 1x 2=3k 2−31+3k 2.直线ΒΜ的斜率k BM =y 1+x 1−3x 1−2−y 23−x 2.因为k BM −1=k(x 1−1)+x 1−3−k(x 1−1)(x 1−2)−(3−x 2)(x 1−2)(3−x 2)(x 1−2)=(k −1)[−x 1x 2+2(x 1+x 2)−3)(3−x 2)(x 1−2)=(k −1)[−3k 2+31+3k 2+12k 21+3k 2−3)(3−x 2)(x 1−2)=0，所以k BM =1=k DE . 所以BM//DE .综上可知，直线ΒΜ与直线D Ε平行.考点：椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系.。
山西省怀仁市第一中学云东校区2020-2021学年高二下学期第一次月考数学(文)试题(wd无答案)
山西省怀仁市第一中学云东校区2020-2021学年高二下学期第一次月考（入学考试）数学（文）试题(wd无答案)一、单选题(★) 1. 命题“ ”的否定为（）A．B．C．D．(★) 2. 椭圆与轴的交点为，两个焦点为，，则的面积为（）A．6B．8C．10D．12(★) 3. 已知函数在处的切线与 y轴垂直，则实数 m等于（）A．B．C．D．(★★) 4. 已知，则（）A．1B．2C．4D．8(★) 5. 抛物线的焦点坐标为是抛物线上一点，则点 M到抛物线的准线的距离是（）A．4B．5C．6D．7(★★) 6. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．(★★) 7. 已知，则“ ”是“方程表示双曲线”的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件(★★★) 8. 已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线交轴于点．若，则椭圆的离心率是A．B．C．D．(★) 9. 已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是（）A．B．C．D．(★★) 10. 若直线与圆有两个公共点，则实数 k的取值范围是（）A．B．C．D．(★★★★) 11. 如图，在三棱锥中，，，两两互相垂直，，点，分别在侧面、棱上运动，，为线段中点，当，运动时，点的轨迹把三棱锥分成上、下两部分的体积之比等于A．B．C．D．(★★★★) 12. 已知是双曲线上的三个点，经过原点，经过右焦点，若且，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．二、填空题(★) 13. 方程所表示的直线恒过定点 ________ ．(★★★) 14. 已知直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，，则该球的表面积等于 __________ ．(★★) 15. 已知，若动点 P满足，则点 P的轨迹方程是_____________ .(★★) 16. 函数f(x)＝ax－cosx，x∈[ ，]，若∀x 1，x 2∈[ ，]，x 1≠x 2，，则实数a的取值范围是 ________ ．三、解答题(★★★) 17. 函数在点处的切线为．（1）若与直线平行，求实数的值及直线的方程；（2）若直线的倾斜角的取值范围为，求实数的取值范围．(★★) 18. 已知命题，命题方程表示焦点在轴上的椭圆．（1）当时，判断“命题”是“命题”成立的什么条件？（2）若“命题”是“命题”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围．(★★★) 19. 如图，四棱锥 P- ABCD中，底面 ABCD为平行四边形，，，底面 ABCD．（1）证明：；（2）设，过 BD的平面交 PC于点 M，若，求三棱锥 P- AMD的体积．(★★★) 20. 已知椭圆标准方程为，椭圆的左右焦坐标分别为，离心率为，过点直线 l与椭圆交于 P、 Q两点.（1）求椭圆的方程；（2）若，求直线 l的方程.(★★★) 21. 已知函数.（1）讨论函数的单调性.（2）若，当时，求的最小值.(★★★★) 22. 抛物线的焦点为 F，准线为 l，点 P为抛物线上一点，，垂足为 A，若直线的斜率为，且．（1）求抛物线 C的方程；（2）若过F的直线与曲线C交于P，Q两点，直线与直线分别交于A，B两点，试判断以为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．。
山西省朔州市怀仁县怀仁一中云东校区2020-2021学年高二下学期期中数学(理)试题
15．若 展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是．
16．由函数 的图像在点 处的切线 直线 直线 （其中 是自然对数的底数）及曲线 所围成的曲边四边形(如图中的阴影部分)的面积 _________.
三、解答题
17．以平面直角坐标系 的原点为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位， 的极坐标方程为 .
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了反证法，反证法的证明步骤，属于容易题.
19．已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4．
(Ⅰ)求a，b的值；
(Ⅱ)讨论f(x)的单调性．
20．每年春晚都是万众瞩目的时刻，这些节目体现的文化内涵、历史背景等反映了社会的进步.国家的富强，人民生活水平的提高等.某学校高三年级主任开学初为了解学生在看春晚后对节目体现的文化内涵、历史背景等是否会在今年的高考题中体现进行过思考，特地随机抽取100名高三学生（其中文科学生50，理科学生50名），进行了调查.统计数据如表所示（不完整）：
山西省朔州市怀仁县怀仁一中云东校区2020-2021学年高二下学期期中数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
2020-2021学年山西省朔州市怀仁县怀仁一中云东校区高二上第二次月考数学(理)
山西省朔州市怀仁县怀仁一中云东校区2020-2021学年高二上学期第二次月考数学试题（理）时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的 ） 1.已知直线：03)2(3=+++y m mx ，2l ：02)2()2(=+++-y m x m ，且21//l l ，则m 的值为（ ） A ．1-B ．21 C ．21或2- D ．1-或2-2.若坐标原点在圆22222240x y mx my m +-++-=的内部，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()1,1-B ．22,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．(3,3)-D ．(2,2-3.圆O 1：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0与圆O 2：x 2＋y 2－8x －6y ＋16＝0的位置关系是 ( )A ．内切B ．外离C ．内含D ．相交4.已知a ，b ，c 是两两不同的三条直线，下列说法正确的是( ) A ．若直线a ，b 异面，b ，c 异面，则a ，c 异面 B ．若直线a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 相交 C ．若a ∥b ，则a ，b 与c 所成的角相等 D ．若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c5.若圆锥轴截面是等边三角形且轴截面的面积为3( )A ．3B ．6C ．23D ．266.已知圆C ：()()22118x y +++=与直线l 切于点()1,1P ，则直线l 的方程是（ ）A ．0x y -=B ．210x y --=C ．20x y +-=D ．20x y ++=7.圆222430x x y y +++-=上到直线10x y ++=2的点共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个8.直线1y kx =+与圆2210x y kx y ++--=的两个交点恰好关于y 轴对称，则k 等于（ ）A ．0B ．1C ．2D ．39..某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）A.1B.2C.3D.410.若三棱锥P ABC -中，PA PB ⊥，PB PC ⊥，PC PA ⊥，且1PA =，2PB =，3PC =，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．72πB ．14πC ．28πD ．56π11.三棱锥A BCD -的所有棱长都相等，,M N 别是棱,AD BC 的中点，则异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为( )A ．13B ．24C ．3D ．2312.已知球O 与棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -的各面都相切，则平面1ACB 截球O 所得的截面圆与球心O 所构成的圆锥的体积为 （ ） A ．23B ．3C ．23D ．3第II 卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知点(,)P m n 是直线250x y ++=22(1)(2)m n -++________14.已知一个圆柱的侧面积等于表面积的一半，且其轴截面的周长是18，则该圆柱的体积是______．15.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F 分别为棱11,AA CC 的中点，则四棱锥11B EBFD - 的体积为__________.16.对于平面直角坐标系内任意两点11(, )A x y ，22(, )B x y ，定义它们之间的一种“折线距离”：2121(,)||||d A B x x y y =-+-．则下列命题正确的是 .(写出所有正确命题的序号)①若()1,3A -，()1,0B ，则(,)5d A B =；②若点C 在线段AB 上，则(,)(,)(,)d A C d C B d A B +=； ③在ABC ∆中，一定有(,)(,)(,)d A C d C B d A B +>；④若A 为定点，B 为动点，且满足(,)1d A B =，则B 点的轨迹是一个圆； ⑤若A 为坐标原点，B 在直线2250x y +-=上，则(,)d A B 最小值为5.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．（10分）已知直线l 的倾斜角为135︒，且经过点)1,1(P ． （1）求直线l 的方程；（2）求点)4,3(A 关于直线l 的对称点A '的坐标． 18.（12分）已知圆C ：x 2+y 2﹣4x ＝0.（1）直线l 的方程为30x y -=，直线l 交圆C 于A 、B 两点，求弦长|AB|的值； （2）从圆C 外一点P （4，4）引圆C 的切线，求此切线方程．19.（12分）若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，（Ⅰ）求此几何体的表面积；（Ⅱ）求此几何体的体积．20．（12分）已知圆心为C 的圆经过点(1,0)A 和(1,2)B --，且圆心C 在直线:10l x y -+=上．（1）求圆心为C 的圆的标准方程；（2）若线段CD 的端点D 的坐标是(4,3)，端点C 在圆C 上运动，求CD 的中点M 的轨迹方程．21.（12分）如下图所示，有一块扇形铁皮OAB ，∠AOB ＝60°，OA ＝72cm ，要剪下来一个扇形环ABCD ，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形OCD 内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面)．试求：(1)AD 应取多长？(2)容器的容积．22．（12分）已知圆22:124C x y ．（1）若圆C 的切线在x 轴、y轴上的截距相等，求切线方程；（2）从圆C 外一点(),P x y 向该圆引一条切线，切点为M ，且有PM PO =（O 为坐标原点），求使PM 取得最小值时点P 的坐标．数学试题（理）参考答案一选择题：1-5ADACD 6-10CCACB 11-12DC二填空题： 13.【答案】27π 15.【答案】①②⑤ 三解答题17．【答案】（1）02=-+y x ；（2）)1,2(--．【解析】（1）∵直线l 的倾斜角为135︒，∴直线l 的斜率tan1351k =︒=-， 由此可得直线l 的方程为)1(1--=-x y ，化简得02=-+y x ． （2）设点)4,3(A 关于直线l 的对称点为),(b a A '， ∵A A '与直线l 相互垂直，且A A '的中点)24,23(++b a 在直线l 上， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++-=-⨯--0224231)1(34b a a b ，解得⎩⎨⎧-=-=12b a ，可得A '的坐标为)1,2(--．18.【答案】(2)x ＝4或3x ﹣4y+4＝0. 试题分析：（1. （2）考虑斜率存在和不存在两种情况，利用原点到直线的距离等于半径得到答案. 【详解】（1）化圆C ：x 2+y 2﹣4x ＝0为：（x ﹣2）2+y 2＝4，知圆心（2，0）为半径为2，（2）当斜率不存在时，过P （4，4）的直线是x ＝4，显然是圆的切线； 当斜率存在时，设直线方程为y ﹣4＝k （x ﹣4）此时切线方程为3x ﹣4y+4＝0.综上所述：切线方程为x ＝4或3x ﹣4y+4＝0.19.【答案】（1）1122413+；（2）144.试题分析：本题主要考察几何体的三视图，及组合体的体积和面积公式，属于容易题，通过三视图可知，该几何体是由一个长方体和一个四棱台组成。
2020年山西省朔州市怀仁县怀仁一中云东校区高二第一学期第二次月考文科数学试题及解析答案
2020～2021学年度山西省朔州市怀仁县怀仁一中云东校区高二第一学期第二次月考数学(文)试题一、单选题1.已知集合1203⎧⎫-=<⎨⎬+⎩⎭x A x x ,则RA =( )A.(]1,3,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭B.()1,3,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭C.13,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【参考答案】C【试题解析】将分式不等式化为整式不等式得到(21)(3)0x x -+>求解集,即为A 的集合,进而求A 在R 上的补集由1203xx -<+,有(21)(3)0x x -+> ∴可得:3x <-或12x >故,{|3=<-A x x 或12⎫>⎬⎭x∴RA =1|32⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭x x 故选:C本题考查了补集,将分式不等式转化为整式不等式求解集,结合补集运算得到解集的补集2.直线10x y --=的倾斜角为( )A.4π B.3π C.2π D.34π【参考答案】A【试题解析】由直线方程为10x y --=,可得斜率1k =,设倾斜角θ,再根据tan θk 即可得解.由直线方程为10x y --=, 可得斜率1k =, 设倾斜角θ,由tan θk可得:tan 1θ=,又因为0θπ≤<,可得:=4πθ,故选:A.本题考查了斜率和倾斜角的关系,考查了利用斜率求倾斜角,计算量不大,属于基础题. 3.若023x <<,则(32)x x -的最大值为( ) A.916B.94C.2D.98【参考答案】D【试题解析】利用均值不等式即可得到结果.解:∵0＜2x ＜3,∴3﹣2x ＞0,x ＞0,∴(3﹣2x )x 12=(3﹣2x )•2x 213229()228x x -+≤=, 当且仅当3﹣2x ＝2x ,即x 34=时取等号,∴(32)x x -的最大值为98.故选D .本题考查了利用基本不等式求最值,考查了转化思想,属基础题.4.三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中,对勾股定理的证明可用现代数学表述为如下图所示,我们教材中利用该图作为几何解释的是( ).A.如果a b >,b c >,那么a c >B.如果0a b >>,那么22a b >C.对任意实数a 和b ,有222a b ab +≥,当且仅当a b =时等号成立D.如果a b >,0c >那么ac bc >【参考答案】C【试题解析】将赵爽弦图中的直角三角形的两直角边长度取作,a b ,分别求出正方形的面积,以及四个直角三角形的面积,即可得出结果.将赵爽弦图中的直角三角形的两直角边长度取作,a b ,斜边为222()c c a b =+, 则外围的正方形的面积为2c ,即22a b +; 四个阴影部分面积之和刚好为2ab ,对任意的正实数a 和b ,有222a b ab +≥,当且仅当a b =时等号成立. 故选:C.本题主要考查基本不等式的推导,熟记基本不等式即可,属于常考题型. 5.已知圆的方程为22240x y x y ++-=,则圆的半径为( )A.3D.4【参考答案】B【试题解析】把圆的一般方程化为标准方程,即可得出圆的半径.将一般方程22240x y x y ++-=化为标准方程得()()22125x y ++-=,∴ 圆的半径为:r =故选:B.本题考查了圆的方程,通过配方把一般式化为标准式即可得出圆的圆心和半径. 6.已知直线20ax y a ++=与直线10x ay a ++-=平行,则实数a 的值是( ) A.0B.1-C.1D.±1【参考答案】C【试题解析】进行0a =和0a ≠讨论,若0a ≠,则11a a=,解得:1a =或1a =-,再进行检验即可得解.若0a =,显然两直线不平行, 若0a ≠,则11a a= 解得:1a =或1a =-, 经检验1a =-时,两直线重合, 故1a =. 故选:C.本题考查了两直线的平行,考查了直线平行公式,其中关键点是检验两直线是否重合,本题计算量不大,属于基础题.7.若图中的直线i L 、2L 、3L 的斜率分别为1K 、2K 、3K 则( )A.123K K K <<B.213K K K <<C.321K K K <<D.132K K K <<【参考答案】A【试题解析】由直线的倾斜角与斜率的变化关系可得选项.由于直线i L 的倾斜角为钝角,所以10K <;由于直线23,L L 的倾斜角为锐角,且2L 的倾斜角小于3L 的倾斜角,所以320K K >>, 所以123K K K <<. 故选:A.本题考查直线的倾斜角与斜率的关系,属于基础题.8.已知:点1,0A ,()3,4B ,则线段AB 的中垂线方程是( ) A.260x y +-=B.220x yC.260x y +-=D.220x y --=【参考答案】A【试题解析】求出AB 的中点坐标,及直线AB 的斜率可得中垂线的斜率,然后可得中垂线方程.由已知AB 中点坐标为1304,22M ++⎛⎫⎪⎝⎭,即(2,2)M ,40231AB k -==-, ∴ 线段AB 中垂线方程为12(2)2y x -=--,化简得260x y +-=. 故选:A .本题考查求直线方程,考查两直线垂直的条件,掌握两直线垂直的条件是解题关键. 9.若a ,b 为正实数,直线()22320x a y +-+=与直线210bx y +-=互相垂直,则11a b+的最小值为( )A.23B.98+ C.29D.(133+ 【参考答案】D【试题解析】根据题意,求得23a b +=,化简1111112(2)()(3)33b aa b a b a b a b+=⨯++=++,结合基本不等式,即可求解.由题意,正实数,a b ,直线()22320x a y +-+=与直线210bx y +-=互相垂直, 可得2(23)20b a +-⨯=,即23a b +=,所以(11111121(2)()(3)3)333133b a a b a b a b a b +=⨯++=++≥=+,当且仅当2b aa b=时,即b =时,等号成立,所以11a b+的最小值为(133+.故选:D本题主要考查了两直线的位置关系,以及利用基本不等式求最小值,其中解答中结合“1”的代换,熟练利用基本不等式求解是解答的关键,着重考查推理与运算能力. 10.已知直线x ＋my ＋1＋m ＝0在两坐标轴上的截距相等,则实数m ＝( ) A.1B.－1C.±1D.1或0【参考答案】C【试题解析】根据题意,可分直线过原点和不过原点,两种情况讨论,即可求解.由题意,直线10x my m +++=在两坐标轴上的截距相等, 当直线10x my m +++=过原点时,此时在坐标轴上的截距都为零, 则10m +=,解得1m =-;当直线10x my m +++=不过原点时,要使得在坐标轴上的截距相等, 此时直线的斜率为1-,即11m-=-,解得1m =, 综上可得,实数1m =±. 故选:C.本题主要考查了直线方程,以及直线的截距的概念及应用,其中解答中熟记直线在坐标轴上的截距的概念,列出相应的方程是解答的关键,着重考查运算与求解能力. 11.已知直线1l :10ax y -+=,2l :10x ay ++=,a R ∈,以下结论不正确的是( ) A.不论a 为何值时,1l 与2l 都互相垂直B.当a 变化时,1l 与2l 分别经过定点()0,1A 和()1,0B -C.不论a 为何值时,1l 与2l 都关于直线0x y +=对称D.如果1l 与2l 交于点M ,则MO 【参考答案】C【试题解析】利用直线垂直,系数满足()110a a ⨯+-⨯=即可判断A ;根据直线过定点与系数无关即可判断B ; 在1l 上任取点(),1x ax +,关于直线0x y +=对称的点的坐标为()1,ax x ---,代入2:10l x ay ++=,左边可得不恒为0,从而可判断C ;将两直线联立求出交点,在利用两点间的距离公式即可求解.对于A ,()110a a ⨯+-⨯=恒成立,1l 与2l 都互相垂直恒成立,故A 正确;对于B,直线1:10l ax y -+=, 当a 变化时,0x =,1y =恒成立, 所以1l 恒过定点(0,1)A ;2:10l x ay ++=,当a 变化时,1x =-,0y =恒成立, 所以2l 恒过定点(1,0)B -,故B 正确. 对于C ,在1l 上任取点(),1x ax +,关于直线0x y +=对称的点的坐标为()1,ax x ---, 代入2:10l x ay ++=, 得20ax =,不满足不论a 为何值时,20ax =成立, 故C 不正确;对于D ,联立1010ax y x ay -+=⎧⎨++=⎩,解得221111a x a a y a --⎧=⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩,即2211,11a a M a a ---+⎛⎫⎪++⎝⎭,所以MO ==≤, 所以MO,故D 正确. 故选:C.本题考查了直线垂直时系数之间的关系、直线过定点问题、直线关于直线对称问题、两直线的交点、两点间的距离公式,考查了考生的计算求解能力,综合性比较强,属于中档题.12.已知两点()1,2A ,()3,6B ,动点M 在直线y x =上运动,则MA MB +的最小值为( )A.25 B.26C.4D.5【参考答案】B【试题解析】根据题意画出图形,结合图形求出点A 关于直线y x =的对称点A ',则A B '即为MA MB +的最小值.根据题意画出图形,如图所示:设点A 关于直线y x =的对称点()2,1A ',连接A B ',则A B '即为MA MB +的最小值,且()()22=32+61=26A B '--故选:B .本题考查了动点到定点距离之和最小值问题,解题方法是求出定点关于直线对称的点坐标,然后运用两点之间的距离公式求出最值.二、填空题13.已知实数x ,y 满足不等式组35024020x y x y y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+≥⎩,则z ＝x ＋y 的最小值为_____.【参考答案】13-【试题解析】作出题中不等式组表示的平面区域,得如图的ABC 及其内部,再将目标函数z x y =+对应的直线进行平移,可得当1x y ==时,z x y =+取得最小值.解:作出不等式组35024020x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪+⎩表示的平面区域:得到如图的阴影部分,由2350y x y =-⎧⎨-+=⎩解得(11,2)B --设(,)z F x y x y ==+,将直线:l z x y =+进行平移,当l 经过点B 时,目标函数z 达到最小值,()11,213z F ∴=--=-最小值. 故答案为:13-本题给出二元一次不等式组,求目标函数的最小值,着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识,属于基础题.14.已知直线l 过点(1,0)P 且与以(2,1)A ,(4,3)B -为端点的线段AB 有公共点,则直线l 倾斜角的取值范围为_______.【参考答案】30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【试题解析】结合函数的图像,求出端点处的斜率,从而求出斜率的范围,进而求出倾斜角的范围即可.解:如图所示:设直线l 过A 点时直线l 的斜率为1k ,直线l 过B 点时直线l 的斜率为2k , 则,110121k -==-,230141k --==--, 所以要使直线l 与线段AB 有公共点,则直线l 的斜率的取值范围为:[]1,1-, 所以l 倾斜角的取值范围30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭. 故答案为:30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.本题考查了求直线的斜率问题,斜率与倾斜角的关系,考查数形结合的思想,是一道基础题.15.已知直线1l 的方程为3420x y +-=,直线2l 的方程为6810x y ++=,则直线1l 与2l 的距离为______. 【参考答案】12【试题解析】化简直线1l 的方程为6840x y +-=,结合两平行线间的距离公式,即可求解.由题意,直线1l 的方程3420x y +-=,可化为6840x y +-=, 根据两平行线间的距离公式,可得直线1l 与2l 的距离为22411268d --==+. 故答案为:12.本题主要考查了两平行线间的距离公式及其应用,其中解答中合理化简直线方程,熟记两平行线间的距离公式是解答的关键,着重考查运算与求解能力.16.经过二次函数232y x x =-+与坐标轴的三个交点的圆的方程为__________.【参考答案】22335222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【试题解析】求出二次函数232y x x =-+与坐标轴的三个交点,设圆的方程为222()()x a y b r -+-=,由三个交点在圆上列出方程组求解a 、b 、r ,即可写出圆的方程.令0x =,则2y =;令0y =,则1x =或2x =,所以二次函数232y x x =-+与坐标轴的三个交点为(0,2)、(1,0)、(2,0), 设圆的方程为222()()x a y b r -+-=,则222222222(2)(1)(2)a b r a b r a b r ⎧+-=⎪-+=⎨⎪-+=⎩①②③,①减②得2430a b -+=④, ②减③得32a =,代入④得32b =,32a b ==代入①可得252r =,所以2323252a b r ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩,则圆的方程为22335222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为:22335222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭本题考查圆的方程,根据圆过的点求解圆的方程,属于基础题.三、解答题17.已知()3,2A 和:210l x y -+=. (1)求过点A 且与直线l 平行的直线方程; (2)求点A 关于直线l 的对称点B 的坐标. 【参考答案】(1)240x y --=;(2)()1,4-.【试题解析】(1)设所求直线的方程为()20,1x y C C -+=≠,再把()3,2A 代入即可. (2)由AB l ⊥及线段AB 的中点在直线l 上可得方程组,解方程组即可.解:(1),将点()3,2代入,得4C =-, 故所求直线的方程为240x y --=.(2)设(),B m n ,直线l 的斜率为2,线段AB 的中点32,22m n ,则由AB l ⊥及线段AB 的中点在直线l 上可得,21323221022n m m n -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪⨯-+=⎪⎩解得1m =-,4n =, 所以点B 的坐标为()1,4-.考查与已知直线平行的直线的求法以及求已知点的轴对称点的坐标的方法,中档题. 18.已知圆22:2660C x y x y +-++=,直线:10l kx y -+=. (1)求圆C 的圆心坐标和半径;(2)若直线l 与圆C 相切,求实数k 的值.【参考答案】(1)圆心坐标为()1,3-,半径为2;(2)43+或43-. 【试题解析】(1)将圆C 的方程化为标准方程,可得出圆C 的圆心坐标和半径; (2)利用圆心到直线l 的距离等于半径,可得出关于k 的等式,进而可解得实数k 的值.(1)圆C 的方程化为标准方程为:()()22134x y -++=, 故圆C 的圆心坐标为()1,3-,半径为2; (2)圆心C 到直线l2=,整理得238120k k --=,解得k =,故实数k.本题考查圆心坐标与半径的求解,同时也考查了利用直线与圆相切求参数,考查计算能力,属于基础题.19.已知点()()1,2,1,4A B --,求 (1)过点A,B 且周长最小的圆的方程;(2)过点A,B 且圆心在直线240x y --=上的圆的方程. 【参考答案】(1)()22110x y +-=;(2)()()223220x y -+-=【试题解析】(1)当AB 为直径时,过,A B 的圆的半径最小,从而周长最小,进而求得圆心的坐标和圆的半径,即可得到圆的方程.(2) 解法1:AB 的斜率为3k =-时,则AB 的垂直平分线的方程330x y -+=,进而求得圆心坐标和圆的半径,得到圆的标准方程;解法2:设圆的方程为:222()()x a y b r -+-=,列方程组,求得,,a b r 的值,即可得到圆的方程.(1)当AB 为直径时,过A 、B 的圆的半径最小,从而周长最小.即AB 中点(0,1)为圆心, 半径r ＝12|AB |.则圆的方程为:x 2＋(y －1)2＝10. (2) 解法1:AB 的斜率为k ＝－3,则AB 的垂直平分线的方程是y －1＝13x .即x －3y ＋3＝0由圆心在直线240x y --=上得两直线交点为圆心即圆心坐标是C (3,2). r ＝|AC |(x －3)2＋(y －2)2＝20.解法2:待定系数法设圆的方程为:(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.则2222222(1)(2)3(1)(4)224020a b r a a b r b a b r ⎧-+--==⎧⎪⎪--+-=⇒=⎨⎨⎪⎪--==⎩⎩∴圆的方程为:(x －3)2＋(y －2)2＝20.本题主要考查了圆的标准方程的求解,其中熟记圆的标准方程和根据题设条件,求解圆的圆心坐标和圆的半径是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力.20.已知直线l :(12)(1)720++-++=m x m y m(1)求证:不论m 为何实数,直线l 恒过一定点M ;(2)过定点M 作一条直线1l ,使夹在两坐标轴之间的线段被M 点平分,求直线1l 的方程. 【参考答案】(1)证明见解析;(2)360x y ++=【试题解析】(1)将直线l 整理得:(2)(27)0x y m x y -++++=,由题意得出20270x y x y -+=⎧⎨++=⎩,得出定点的坐标; (2)设出直线1l 的方程,求出其与坐标轴的交点坐标,结合题意,列出方程,即可得出直线1l 的方程.(1)证明:直线l 整理得:(2)(27)0x y m x y -++++=令20270x y x y -+=⎧⎨++=⎩解得:31x y =-⎧⎨=-⎩则无论m 为何实数,直线l 恒过定点(3,1)--(2)由题意可知,当直线1l 的斜率不存在或等于零时,显然不合题意 设直线1l 的方程为(3)1y k x =+- 令0x =,则31y k =-;令0y =,则13x k =- 即直线1l 与坐标轴的交点为1(0,31),(3,0)A k B k--由于过定点M (3,1)--作一条直线l 1,使夹在两坐标轴之间的线段被M 点平分则点M 为线段AB 中点,即311211332k k-⎧=-⎪⎪⎨⎛⎫⎪-=- ⎪⎪⎝⎭⎩,解得13k =-则直线l 1的方程为123y x =--,即360x y ++=.本题主要考查了求直线过定点以及求直线方程,属于中档题.21.已知圆C 的圆心C 在x 轴的正半轴上,半径为2,且被直线3440x y --=截得的弦长为 (1)求圆C 的方程;(2)过点(1,3)作圆C 的切线,求切线方程.【参考答案】(1)()2234x y -+=;(2)1x =或512410x y +-=【试题解析】(1)设圆心坐标,表示出圆心到直线距离,根据弦长公式,列方程求解; (2)分类讨论当斜率不存在和斜率存在两种情况结合圆心到直线距离等于半径,分别求切线方程.解:(1)设圆心()(),00C a a >，则圆心C 到直线3440x y --=的距离345a d -=.因为圆被直线3440x y --=截得的弦长为1d ∴==.解得3a =或13a =-(舍),∴圆()22:3 4.C x y -+=.(2)当切线斜率不存在时,直线方程为:1x =,与圆相切,满足题意; 当切线斜率存在时,设直线方程为:3(1)y k x -=-,即:30kx y k --+= 则2=解得:512k =-此时,切线方程为:53(1)12y x -=--,即:512410x y +-= 所以,所求切线方程为:1x =或512410x y +-=此题考查根据圆的几何特征,根据弦长关系求解圆的方程,过圆外一点圆的切线方程,易错点在于漏掉考虑斜率不存在的情况. 22.记关于x 的不等式30ax x a-≤+的解集为P . (1)若1a =,求P ;(2)若1P ∉,求实数a 的取值范围.【参考答案】(1){|13}P x x =-<≤;(2) (,1](3,)-∞-⋃+∞. 【试题解析】(1)解分式不等式可得,注意分母不为0; (2) 1P ∉转化为301a a->+或10a +=后可解得.(1)当1a =时,30ax x a -≤+化为301x x -≤+,即(3)(1)0x x -+≤且10x +≠, 所以13x -<≤, 故{|13}P x x =-<≤.(2)因为1P ∉,所以301a a->+或10a +=, 解得1a <-或3a >或1a =-,故实数a 的取值范围是(,1](3,)-∞-⋃+∞.本题考查了一元二次不等式以及分式不等式的解法,注意分母不为0,属于基础题.。
怀仁市第一中学校云东校区2022-2023学年高二下学期第一次月考数学试卷(PDF版)
2022~2023学年第二学期怀仁一中高二年级第一次月考数学一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分，四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设函数()f x '是函数()f x 的导函数，若()cos f x x =，则π6f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭（）A. B.12-C.12D.322.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若76a =，则13S =（）A.6B.12C.78D.1563.已知A 为抛物线22(0)x py p =>上一点，则A 到其焦点F 的距离为A.32B.12C.2D.14.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 是11B C 的中点，设1,,AB a AD b AA c === ，则AM = （）A.12a b c ++ B.12a b c++ B. C.12a b c++ D.1122a b c++ 5.设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为()A.2y x=- B.y x=- C.2y x= D.y x=6.设函数()f x 的导函数是()f x '，若()()cos sin 2f x f x x π'=⋅-，则()3f π'=（）A.12-B.32C.12D.7.设函数()f x 在点0x 附近有定义，且()()200ΔΔ(Δ),,f x x f x a x b x a b +-=+为常数，则（）A.()f x a'= B.()f x b'= C.()0f x a'= D.()0f x b'=8.已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，且3()()0,(ln 2)1f x f x f +<='，则不等式3()e 8x f x >的解集为（）A.(,2)-∞B.(,ln 2)-∞ C.(ln 2,)+∞ D.(2,)+∞二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知直线10ax y +-=与圆()()22:11C x y a -++=相交于A ，B 两点，且ABC 为等腰直角三角形，则实数a 的值为（）A.1B.1- C.17D.17-10.设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项之积为n T ，且满足11a >、202020211a a ⋅>、20202021101a a -<-，则下列结论中错误的是（）A.q < B.2021202210a a ⋅->C.2020T 是数列{}n T 中的最大值D.20202021S S >11.设抛物线2:6C y x =的焦点为F ，准线为1l ，直线l 经过点F 且与C 交于,A B 两点，若3AF FB =，则下列结论中正确的是（）A.直线lB.AB 的中点到1l 的距离为4C.112||||3AF BF += D.OA OB ⊥（O 为坐标原点）12.已知函数()21x x e f x e k+=+，则()A.当0k =时，()f x 是R 上的减函数B.当1k =时，()f x 的最大值为122+C.()f x 可能有两个极值点D.当1k =-时，存在实数,a b ，使得()f x 关于点(),a b -对称三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.曲线21()2x f x x +=-在点(1,3)-处的切线方程为____________.14.在直三棱柱111ABC A B C -中，190,BAC AB AC AA ∠===，则直线1AC 与1A B 所成角的余弦值为____________.15.已知经过点(2,1)P 且斜率为1-的直线l 与椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>交于,A B 两点，若P 恰为弦AB 的中点，则椭圆C 的离心率为________________.16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n S n 是首项为12，公差为14的等差数列，若[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.5]0=，[lg 499]2=，则数列{}[lg ]n a 的前2000项的和为_________．四、解答题本大题共6个小题，共70分，其中17题10分，其余每题12分）各题解答必须答在答题卷上相应题目指定的方框内（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）.17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为25,3,25n S a S ==.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.已知函数()32391f x x x x =--++.(1)求函数()f x 在点()0,1处的切线方程；(2)求函数()f x 的单调区间及极值.19.已知圆C 的圆心在直线20x y -=上，且与直线250x y -+=相切于点()3,4.（1）求圆C 的标准方程；（2）求直线:3460l x y --=被圆C 截得的弦AB 的长.20.已知函数()ln 2,f x x ax a =-∈R .（1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有两个零点，求a 的取值范围.21.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，//AB CD，且22,CD AB BC ===，90ABC ∠=︒，M 为BC 的中点．（1）求证：平面PDM ⊥平面PAM ；（2）若二面角P DM A --为30︒，求直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值．22.在平面直角坐标系xOy 中,椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>,过椭圆C的焦点F 作长轴的垂线,交椭圆于点P ,且1PF =.（1）求椭圆C 的方程;（2）假设直线:l y kx m =+与椭圆C 交于A ,B 两点.若原点O 到直线l 的距离为1,并且OA OB t⋅= ,当23t ≤-时,求AOB △的面积S 的取值范围.2022~2023学年第二学期怀仁一中高二年级第一次月考数学一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分，四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设函数()f x是函数()f x 的导函数，若()cos f x x ，则π6f （）A. 2B. 12C.12D.2【答案】B【详解】因为()cos f x x ， 所以()sin f x x ， 所以ππ1sin 662f， 故选：B.2. 已知等差数列 n a 的前n 项和为n S ，若76a ，则13S （） A. 6 B. 12C. 78D. 156【答案】C【详解】因为 11313713132a a S a，又76a ，所以1313678S ， 故选：C.3.已知A 为抛物线22(0)x py p 上一点，则A 到其焦点F 的距离为A.32B.【答案】A【详解】把A 代入抛物线方程得∴p =1.∴抛物线的焦点为F (0,12). ∴抛物线的准线方程为y =−12. ∴A 到准线的距离为1+12=32.∴AF =32.故选A.4. 如图，在平行六面体11ABCD B CA. 12a b cB. 12a b 【答案】B【详解】解：因为在平行六面体ABCD 所以11AM AB AB BB B M 故选：B5. 设函数 321f x x a x ax ( ) A. 2y xB.y x12C. 2D.线方程得：2=2p ，11A D 中，M 是11B C 的中点，设,AB a AD A cC. 12a b c1111A B C D 中，M 是11B C 的中点，1111111222A AB A BC AA AD a ．若 f x 为奇函数，则曲线 y f x 在点C. 2y x11,b AA c，则AM （） D. 1122a b cc b00，处的切线方程为D. y x【答案】D【详解】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得1a ，进而得到()f x 的解析式，再对()f x 求导得出切线的斜率k ，进而求得切线方程.详解：因为函数()f x 是奇函数，所以10a ，解得1a ， 所以3()f x x x ，2()31x f 'x ， 所以'(0)1,(0)0f f ，所以曲线()y f x 在点(0,0)处的切线方程为(0)'(0)y f f x ， 化简可得y x ，故选D.点睛：该题考查的是有关曲线()y f x 在某个点00(,())x f x 处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得'()f x ，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.6. 设函数()f x 的导函数是()f x ，若()(cos sin 2f x f x x ，则()3f（ ）A. 12B.2C.12D. 2【答案】A223【详解】因为()()cos sin 2f x f x x，所以()(sin )cos 2f x f x x， 所以(()(sincos2222f f()2f ，所以(02f，所以()cos f x x ，所以1()cos 332f .故选：A7.设函数 f x 在点0x 附近有定义，且 200ΔΔ(Δ),,f x x f x a x b x a b 为常数，则（ ）A. f x aB. f x bC. 0f x aD. 0f x b 7.C【解析】由题意得0000limlim ()x x f x x f x f x a b x a x，故选C.8. 已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x ，且3()()0,(ln 2)1f x f x f ，则不等式3()e 8x f x 的解集为（） A. (,2) B. (,ln2)C. (ln 2,)D. (2,)【答案】B【详解】令 3e xg x f x ，函数 g x 的定义域为R ，因为 30f x f x所以， 33(e )e 0xxf x f x故 3(e )0xg x f x故 g x 在R 上单调递减， 又因为 ln 21f 所以， 3ln 2e ln 28ln 2gf ，所以不等式3()e 8x f x 可化为 ln 2g x g ，所以ln 2x ， 所以3()e 8x f x 的解集为 ,ln 2故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9. 已知直线10ax y 与圆 22:11C x y a 相交于A ，B 两点，且ABC 为等腰直角三角形，则实数a 的值为（ ）A. 1B. 1C.17D. 17【答案】AB【详解】由题意得，圆 22:11C x y a 的圆心为 1,C a ，半径为1，由于直线10ax y 与圆C 相交于A ，B 两点，且ABC 为等腰直角三角形， 可知90ACB ，1AB AC r ， 所以45CAB CBA o ，所以圆心 1,C a 到直线10ax y的距离等于sin 452r ， 再利用点到直线的距离公式可得：圆心 1,C a 到直线10ax y的距离2d， 解得：1a ，所以实数a 的值为1或1 . 故选：AB ．10. 设等比数列 n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项之积为n T ，且满足11a 、202020211a a 、20202021101a a ，则下列结论中错误的是（ ）A 0qB. 2021202210a aC. 2020T 是数列 n T 中的最大值D. 20202021S S【答案】ABD【详解】分以下几种情况讨论：.①若0q ，则2019202010a a q ，2020202110a a q ，此时202020210a a ，不合乎题意；②若1q，对任意的n N ，110n n a a q ，且有11n na q a ，可得1n n a a ， 可得2021202011a a a ，此时20202021101a a ，与题干不符，不合乎题意； ③由上可知01q，对任意的n N ，110n n a a q ，且有11n na q a ，可得1n n a a ， 此时，数列 n a 为单调递减数列，则20202021a a ，由20202021101a a 可得2021202001a a .对于A 选项，由上可知，A 选项错误；对于B 选项，由于数列 n a 为正项递减数列，所以，2022202101a a ，则2021202210a a ，B 选项错误；对于C 选项，由上可知，正项数列 n a 前2020项都大于1，而从第2021项起都小于1， 所以，2020T 是数列 n T 中的最大值，C 选项正确；对于D 选项，2021202020210S S a ，20202021S S ，D 选项错误. 故选：ABD.11. 设抛物线2:6C y x 的焦点为F ，准线为1l ，直线l 经过点F 且与C 交于,A B 两点，若3AF FB，则下列结论中正确的是（） A. 直线lB. AB 的中点到1l 的距离为4C.112||||3AF BF D. OA OB （O 为坐标原点）【答案】ABC213y y m或213y y m，再依次讨论各选项即可.【详解】解：由题知焦点为3,02F，准线为13:2l x ，所以，设直线l的方程为32x my，1122,,,A x yB x y，所以，2632y xx my得2690y my，所以，236360m，126y y m①，129y y ②，因为3AF FB，即112239,,33,322AF x y FB x y，所以123y y③，所以，由①②③得213y y m或213y y m，所以直线l的斜率为1m，故A选项正确；所以， 212123635x x m y y m，故AB的中点的横坐标为52，所以，AB的中点到1l的距离为53422，故B选项正确；当213y y m时，91,,22A B，此时93622AF ，13222BF ，故112||||3AF BF；当213y y m时，91,,22A B，此时93622AF ，13222BF ，故112||||3AF BF；故C选项正确；因为212121212909364y yOA OB x x y y y y，故OA OB不成立，故D选项错误.故选：ABC12. 已知函数 21x x e f x e k，则( )A. 当0k 时， f x 是R 上的减函数B. 当1k 时， f x的最大值为12C. f x 可能有两个极值点D. 当1k 时，存在实数,a b ，使得 f x 关于点 ,a b 对称 答案：ABD解析：对于A ，当0k 时，21x x e f x e ，22'0x xe f x f x e在R 上单调递减，故A 正确； 对于B ，当1k 时， 211x x e f x e ，22221'(1)x x x x e e e f x e，令'01x f x e ，且1x e 时，函数f x取得极大值，为12，故B 正确；对于C ，222221'()x x x x x x e e e k e f x f x e ke k，由A 可知，当0k 时， f x 在R 上单调递减，函数 f x 不可能有两个极值点；0k 时，函数 f x 在1,ln 2k 上单调递减，在 1ln ,2k上单调递减，函数f x 不可能有两个极值点；0k 时，2211'()x x x x e e e f x e k，此时函数 f x 也只有一个极值点，综上可得函数 f x 最多只有一个极值点，故C 不正确；对于D ，1k 时，21111x xx e f x e e ，取0a ，12b ，则11111x x f x f x e e ， 所以 f x 关于点10,2对称，故D 正确；故选：ABD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 曲线21()2x f x x在点(1,3) 处的切线方程为____________. 【答案】520x y【详解】因为21()2x f x x ， 所以222221522x x f x x x，所以 15f ．故切线方程为520x y ． 故答案为：520x y ．14. 在直三棱柱111ABC A B C -中，190,BAC AB AC AA ，则直线1AC 与1A B 所成角的余弦值为____________. 【答案】12【详解】因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，且90BAC ，所以以点A 为坐标原点，分别以1,,AC AB AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系, 设11AB AC AA ，则11(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,0,1)A B A C ，所以11(0,1,1),(1,0,1)A B AC，所以1111110110111cos ,2A B AC A B AC A B AC， 因为异面直线所成的角在(0,90] ，所以异面直线1AC 与1A B 所成的角余弦值为12，故答案为：12.15. 已知经过点(2,1)P 且斜率为 的直AB 的中点，则椭圆C 的离心率为___【答案】2【详解】解：设 1122,,,A x y B x y P 是线段AB 的中点，12122,122x x y y ，①②两式整理得 121222420x x y y a b∵弦AB 的斜率为121221221y y b x x a，即a 2c e a ．故答案为：2． 16. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数最大整数，如[0.5]0 ，[lg 499]2 【答案】37821的直线l 与椭圆222:1(0)bx yC a b a 交于________________. ，2211221x y a b ①，2222221x y a b②②两式相减可得22221212220x x y y a b， ，即2122122y y b x x a ， ，数列{}n S n 是首项为12，公差为14的等差数列，9]，则数列 [lg ]n a 的前2000项的和为________,A B 两点，若P 恰为弦数列，若[]x 表示不超过x 的______．【详解】∵数列{}n S n 是首项为12，公差为14的等差数列， ∴111(1)244n S n n n ，得到24n n nS ，当1n 时，112142a S， 当2n 时，221(1)(1)442n n n n n n n na S S ，又112a ，∴2n n a ， ∴[lg ][lg ]2n na ，当1lg 0n a 时，1n ，当0lg 1n a 时，2n 、3、…、19，当1lg 2n a 时，20n 、21、…、199， 当2lg 3n a ≤时，200n 、201、…、1999，当lg 3n a 时，2000n ， 故数列 [lg ]n a 的前2000项的和为：1232000[lg ][lg ][lg ][lg ]11180118021800313782a a a a ．故答案为：2n na ，3782.四、解答题本大题共6个小题，共70分，其中17题10分，其余每题12分）各题解答必须答在答题卷上相应题目指定的方框内（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）.17. 已知等差数列 n a 的前n 项和为25,3,25n S a S .（1）求数列 n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a，求数列 n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n （2）21n nT n【小问1详解】设数列 n a 的公差为d ， 因为253,25a S ，所以13a d ，151025a d ， 解得11a ，2d ，所以12(1)21n a n n ． 【小问2详解】111111(21)(21)22121n n n b a a n n n n， 因为2231n n n T b b b b b 所以1111111111123352325121271n T n n n n． 所以11122121n n T n n. 18.已知函数 32391f x x x x . (1)求函数 f x 在点 0,1处的切线方程； (2)求函数 f x 的单调区间及极值. 答案：(1)91y x (2)见解析解析：(1)因为 32391f x x x x ，所以 2369x f x x ，01f ， 09f切线方程为 190y x ，即91y x ；(2) 2369313f x x x x x ，所以当1x 或3x 时， 0f x ，当31x 时， 0f x ，所以函数的单调增区间是 3,1 ，单调减区间是 ,3 和 1, ， 极大值为 16f ，极小值为 326f .19. 已知圆C 的圆心在直线20x y 上，且与直线250x y 相切于点 3,4. （1）求圆C 的标准方程；（2）求直线:3460l x y 被圆C 截得弦AB 的长. 【答案】（1）22(4)(2)5x y（2）22520. 已知函数()ln 2,f x x ax a R . （1）当1a 时，求函数()f x 的单调区间； （2）若函数()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）单调增区间10,2；减区间1,2（2）10,2e【小问1详解】当1a 时， ln 2f x x x ，该函数的定义域为 0, ，1122x f x x x， 令 0f x 可得1x ，列表如下：的所以，函数 f x 在10,2 上单调递增，在1,2上单调递减；【小问2详解】 由 0f x ，可得ln 2xa x，则直线y a 与函数 ln 2x g x x的图象有两个交点， 函数 ln 2x g x x的定义域为 0, ， 21ln 2xg x x ， 由 0g x ，可得e x ，列表如下：所以，函数 g x 的极大值为 e 2eg ， 且当1x 时， 0g x ，当x 时，和函数ln y x 相比，一次函数呈爆炸性增长，所以 0f x ， 且 0f x ， 0f x ， 又 10f ，根据以上信息，作出其图象如下：当102e a时，直线y a 与函数因此，实数a 的取值范围是10,2e21. 如图，在四棱锥P ABCD 中，90ABC ，M 为BC 中点．（1）求证：平面PDM 平面PAM （2）若二面角P DM A 为30，求【答案】（1）详见解析；（2）30（1）在直角梯形ABCD中，由条件可的函数 ln 2x g x x的图象有两个交点， . PA 面ABCD ，//AB CD ，且2CD 点．；0 ，求直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值．． 条件可得222AD AM DM ，即DM AM．再2,AB BC ，M ．再由PA 面ABCD ，得DM PA ，利用线面垂直的判定可（2）由（1）知，,PM DM AM tan301PA AM ．以A 为坐标原求出PC 的坐标及平面PDM 的一个法正弦值． 【详解】（1）证明：在直角梯形ABCD 中，由可得223,6AM DM ，过A 作AE CD ，垂足为E ，则DE 则222AD AM DM ，∴DM A ∵PA 面ABCD ， ∴DM PA ，又PA AM A ，∴DM 平面PA ∵DM 平面PDM ，∴平面PDM平面PAM ； （2）解：由（1）知，,PM DM A则tan301PA AM ．以A 为坐标原点，分别以,,AE ABAP 则 0,0,1P，1,0)D ，C 1),1,1PCPD 设平面PDM 的一个法向量为(,n x y 判定可得DM 平面PAM ，进一步得到平面DM ，则PMA 为二面角P DM A的平面坐标原点，分别以,,AE AB AP 所在直线为,,x y 轴建一个法向量，由PC 与n所成角的余弦值可得直线中，由已知可得，1,2,AB CD BM CM 1,AE 29AD ，M AM ．PAM ，AM DM ，则PMA 为二面角P DM B 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，0)，0)M ，1),1)PM ．,)z ，PDM 平面PAM ； 的平面角为30 ，求得z 轴建立空间直角坐标系，PC 与平面PDM 所成角的， A 的平面角为30 ， 系，由00n PD y z n PM y z ，取1x，得1,,22n ． ∴直线PC 与平面PDM 所成角的正弦值为：|||cos ,|30||||PC n PC n PC n ． 22.（1）求椭圆C 的方程; （2）假设直线:l y kx m 与椭圆C 交于A ,B 两点.若原点O 到直线l 的距离为1,并且OA OB t ,当23t 时,求AOB △的面积S 的取值范围.221k且 2212121212y y kx m kx m k x x km x x m22121212121OA OB x x y y k x x km x x m222222412121k m k m k k201k12221AB x k112AOB S AB △43AOB S△ 43AOBS △43AOB △。
山西省朔州市怀仁一中2019-2020学年高一上学期第一次月考数学试题(解析版)
山西省朔州市2019-2020学年怀仁一中高一上学期第一次月考数学试题一、单选题1．不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值（ ）A ．总是正数B ．总是负数C ．可以是零D ．可以是正数也可以是负数 『答案』A『解析』解：因为2222248(1)(2)330a b a b a b +--+=-+-+≥>，即22248a b a b +--+的值总是正数，故选：A.2．不等式(x 2)(x 3)0的解集是（ ） A ．{|23}x x -<<B ．{|32}x x -<<C ．{x |x2x 3}或 D ．{|32}x x x <->或 『答案』A『解析』因为()()230x x +-=的根为23-、，所以由不等式()()230x x +-<，解得23x -<<，不等式()()230x x +-<的解集是{|23}x x -<<，故选A.3．下列关系中，正确的个数为（ ）①72∈R Q ；③π∈Q ；④|-3|∉N ；⑤∈Z . A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 『答案』C『解析』72π是无理数，故③不正确；|-3|=3∈N ，故④不正确；2Z =-∈，故⑤正确。
综上①②⑤正确。
选C 。
4．已知全集U =R ，集合{|23}M x x =-≤≤，{|24}N x x x =<->或，那么集合()()C C U U M N 等于（ ）A ．{|34}x x <≤B ．{|34}x x x ≤≥或C ．{|34}x x ≤<D ．{|13}x x -≤≤『解析』∵C {|}23U M x x x =<>-或，C {|24}U N x x =-≤≤，∴()()C C {|34}U U M N x x ⋂=<≤．故选:A ．5．定义集合AB ={x x Ax B ∈∉，}，若A ={1，2,3,4,5}，B ={2,4,5}，则集合AB 的子集的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4『答案』D 『解析』解：由A ={1,2,3,4,5}，B ={2,4,5}，又集合AB ={x x Ax B ∈∉，}， 所以AB={}1,3,又集合{}1,3的子集为φ，{}1，{}3，{}1,3共4个，即集合AB 的子集的个数是4，故选：D.6．设全集U 是实数集R ，M ＝{x |x <－2，或x >2}，N ＝{x |1≤x ≤3}．如图所示，则阴影部分所表示的集合为( )A ．{x |－2≤x<1}B ．{x |－2≤x ≤3}C ．{x |x ≤2，或x>3}D ．{x|－2≤x ≤2}『答案』A 『解析』由图中阴影部分表示的集中的元素在集合R C N 中，又在集合R C M 中，即R R C M C N ，又由{|2M x x =<-或2,}{|13}x N x x >=≤≤，所以图中阴影部分表示的集合为{|22}{|1R R C M C N x x x x ⋂=-≤≤⋂<或3}{|21}x x x >=-≤<，故选A.7．函数f (x )1x x -的定义域( ) A ．『－1，＋∞)B ．(－∞，－1』C ．RD ．『－1，1)∪(1，＋∞)『解析』由1010x x +=⎧⎨-≠⎩解得11x x ≥-⎧⎨≠⎩，所以定义域为[11)(1)∞－，，＋ ，故选D. 8．已知f （x ）是奇函数，g （x ）是偶函数，且f （－1）+g （1）=2，f （1）+g （－1）=4，则g （1）等于（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 『答案』B『解析』试题分析：因为，代入条件等式再相加，得．故选B ．二、填空题9．设a ，b ∈R ，集合{0，b a ，b }＝{1，a ＋b ，a }，则b －a ＝________； 『答案』2『解析』解：因为集合{0，b a，b }＝{1，a ＋b ，a }， 由集合相等及集合中元素的互异性可得01a b b +=⎧⎨=⎩，即11a b =-⎧⎨=⎩， 即1(1)2b a -=--=，故答案为：2.10．已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋a ＝0，a ∈R }=∅，则a 的取值范围是________； 『答案』()(),11,-∞-+∞『解析』解：由集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋a ＝0，a ∈R }=∅，即方程220ax x a ++=无解，①当0a =时，方程为20x =，解得0x =，即方程220ax x a ++=有解，即0a =不合题意；②当0a ≠时，方程220ax x a ++=无解，则22240a ∆=-<，即1a <-或1a >， 即a 的取值范围是1a <-或1a >，综合①②可得a 的取值范围是()(),11,-∞-+∞，故答案为：()(),11,-∞-+∞.11．函数f (x )=2x 2-mx +3，在［-2,+∞)时是增函数，在(-∞,-2］时是减函数，则f (1)等于 .『解析』略12．已知()f x 是偶函数，且当0x >时，2()2f x x x =-，则当0x <时，()f x = . 『答案』x x 22+『解析』试题分析：0x <时，0x ->，所以22()()2()2,f x x x x x -=---=+又因为()f x 是偶函数，所以()()f x f x -=，所以当0x <时，()f x =x x 22+.三、解答题13．若集合A ={x ∣28160kx x -+=}中只有一个元素，试求实数k 的值，并用列举法表示集合A .解：由集合A ={x ∣28160kx x -+=}中只有一个元素，即方程28160kx x -+=只有一个解，①当0k =时，方程为8160x -+=，解得2x =，即{}2A =；②当0k ≠时，方程28160kx x -+=只有一个解，则2(8)4160k ∆=--⨯⨯=，即1k =， 即方程为28160x x -+=，解得4x =，即{}4A =，综合①②可得：实数k 的值为0或1，当0k =时，{}2A =；当1k =，{}4A =.14．已知集合{}|37A x x =≤<，{}|210B x x =<<，{}|C x x a =<，全集为实数集R ．（1）求A B ，R C A B ⋂；（2）如果A C ⋂≠∅，求a 的取值范围．解：（1）因为 {}|37A x x =≤<，{}|210B x x =<<，所以{}|210x x A B <<⋃=， {|3R C A x x =<或}7x ≥．{|23R C A B x x ⋂=<<或}710x ≤<（2）如图，由图知，当3a >时，A C ⋂≠∅15．已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}250A x x x m =-+=，{}2120B x x nx =++=，且(){}1,3,4,5U C A B ⋃=,求m +n 的值.解：由全集{}1,2,3,4,5U =，(){}1,3,4,5U C A B ⋃=,所以2A ∈，又{}250A x x x m =-+=，所以22520m -⨯+=，即6m =，即{}{}25602,3A x x x =-+==， 则{}1,4,5U C A =，又(){}1,3,4,5U C A B ⋃=，则3B ∈，则233120n ++=，解得：7n =-且{}3,4B =，故6(7)1m n +=+-=-， 故m n +的值为1-.16．已知()f x 是二次函数，且满足(0)1f =，(1)()2f x f x x +-=，求()f x 解：设()2f x ax bx c =++，由()01f =得到c=1，又()()12f x f x x +-= 即()()()22112a x b x c ax bx c x ++++-++= 展开得()22ax a b x ++= 所以220a ab =⎧⎨+=⎩，解得1,1a b ==-.()21f x x x ∴=-+. 17．已知集合A =｛x |x 2-3x +2≤0｝,B =｛x |1≤x ≤a ｝,且B ≠∅.（1）若A B ,求a 的取值范围；（2）若B ⊆A ,求a 的取值范围解：（1）解不等式2320x x -+≤，解得 12x ≤≤，即{}|12A x x =≤≤，又B =｛x |1≤x ≤a ｝,B ≠∅且A B ,则2a >，即a 的取值范围为()2,+∞；（2）因为{}|12A x x =≤≤，又B =｛x |1≤x ≤a ｝,B ≠∅且B ⊆A ,则12a a ≥⎧⎨≤⎩，即12a ≤≤， 即a 的取值范围为[]1,2.。