固体物理 第三章 晶格振动与晶体的热力学函数
1 第三章 晶格振动与晶体的热力学函数 一、填空体 1. 若在三维空间中，晶体由N个原胞组成,每个原胞有一个原子,则共有_ 3 N_个独立的 振动,_ N__个波矢, 3N_支格波。 2. 体积为V的ZnS晶体，如果晶胞的体积为，则晶格振动的模式书为24N/ 。 3. 三维绝缘体晶体的低温比热Cv与温度T的关系为Cv~T3。 4. 某三维晶体由N个原胞组成，每个原胞内有3个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 9N 支，其中 3N 支声学波，包括 2N 支横声学波， 1N 支纵声学波；另有 6N 支光学波。 5. 二维绝缘体晶体的低温比热Cv与温度T的关系为Cv~T2。 6. 一维绝缘体晶体的低温比热Cv与温度T的关系为Cv~T。 7. 三维绝缘体晶体的低温平均内能与温度T的关系为U~T4。 8.二维绝缘体晶体的低温平均内能与温度T的关系为U~T3。 9. 一维绝缘体晶体的低温平均内能温度T的关系为U~T2。 10.绝缘体中与温度有关的内能来源于 晶格振动能 。 11.导体中与温度有关的内能来源于 晶格振动能 和 价电子热运动动能 。 12. 某二维晶体由N个原胞组成，每个原胞内有2个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 4N 支，其中 2N 支声学波，包括 N 支横声学波， N 支纵声学波；另有 2N 支光学波。 13. 某一维晶体由N个原胞组成，每个原胞内有3个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 3N 支，其中 N 支声学波，包括 N 支横声学波， 0 支纵声学波；另有 2N 支光学波。
14.晶格振动的元激发为 声子 ，其能量为 ，准动量为 q 。
15德拜模型的基本假设为：格波作为弹性波、 介质是各向同性介质。 16.对三维体积为V的晶体，波矢空间中的波矢密度为：3)2(V ；对二维面积为S的晶体，
波矢空间中的波矢密度为：2)2(S ；对一维长度为L的晶体，波矢空间中的波矢密度为：2
L。
二、基本概念 1. 声子 晶格振动的能量量子。
2.波恩-卡门条件 2
即周期性边界条件，设想在实际晶体外，仍然有无限多个相同的晶体相连接，各晶体中相对应的原子的运动情况都一样。 3.波矢密度
波矢空间单位体积内的波矢数目，三维时为3c)2(V，Vc为晶体体积。 4. 模式密度 单位频率间隔内模式数目。 5.晶格振动。 答：由于晶体内原子间存在着相互作用，原子的振动就不是孤立的，而要以波的形式在晶体中传播，形成所谓格波，因此晶体可视为一个互相耦合的振动系统，这个系统的运动就叫晶格振动。 6.简谐近似 答：当原子在平衡位置附近作微小振动时，原子间的相互作用可以视为与位移成正比的虎克力，由此得出原子在其平衡位置附近做简谐振动。这个近似即称为简谐近似。 7.格波 答：晶格中的原子振动是以角频率为ω的平面波形式存在的，这种波就叫格波。 三、简答题 1. 试分析爱因斯坦模型和德拜模型的特点及局限性. 特点： 1）爱因斯坦模型假设晶体中所有原子都以相同的频率作振动； 2）德拜模型的基本思想是把格波作为弹性波来处理。 局限性： 1） 在爱因斯坦的假设下，解释了在甚低温时温度的变化趋势，但是不能解释为什么晶体热熔随温度T3的速度变化，这是因为，爱因斯坦模型只考虑了光学支格波，忽略了声学支格波，而在甚低温决定晶体热容的主要是长声学波。爱因斯坦模型过于简化。 2） 德拜模型不仅能够很好解释在甚低温时晶体热容随温度的变化趋势，同时得出了在甚低温下，热容与T3成正比的规律。但是德拜模型忽略了晶体的各向异性，即光学波和高频声学波对热容的贡献。
2. 长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别? 答：长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动, 振动频率较高, 它包含了晶格振动频率最高的振动模式. 长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移, 原胞做整体运动, 振动频率较低, 它包含了晶格振动频率最低的振动模式, 波速是一常数. 任何晶体都存在声学支格波, 但简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波.
3. 晶体中声子数目是否守恒? 答：频率为 的格波的(平均) 声子数为
, 即每一个格波的声子数都与温度有关, 因此, 晶体中声子数目不守恒, 它是温度的变量. 3
4. 温度一定，一个光学波的声子数目多呢, 还是声学波的声子数目多? 答：频率为 的格波的(平均) 声子数为
. 因为光学波的频率 比声学波的频率 高, ( )大于( ), 所以在温度一定情况下, 一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目.
5. 对同一个振动模式, 温度高时的声子数目多呢, 还是温度低时的声子数目多? 答：设温度TH>TL, 由于( )小于( ), 所以温度高时的声子数目多于温度低时的声子数目.
6. 高温时, 频率为 的格波的声子数目与温度有何关系? 答：温度很高时, , 频率为 的格波的(平均) 声子数为
. 可见高温时, 格波的声子数目与温度近似成正比.
7. 长声学格波能否导致离子晶体的宏观极化? 答：长光学格波所以能导致离子晶体的宏观极化, 其根源是长光学格波使得原胞内不同的原子(正负离子)产生了相对位移. 长声学格波的特点是, 原胞内所有的原子没有相对位移. 因此, 长声学格波不能导致离子晶体的宏观极化. 8. 试定性给出一维单原子链中振动格波的相速度和群速度。
答：由一维单原子链的色散关系2sin2qam
可求得一维单原子链中振动格波的相速度为2/2sinqaqamaqp 群速度为
2cosqamqadqdg
9. 周期性边界条件的物理含义是什么？引入这个条件后导致什么结果？如果晶体是无限大，q的取值将会怎样？ 答：由于实际晶体的大小总是有限的，总存在边界，而显然边界上原子所处的环境与体内原子的不同，从而造成边界处原子的振动状态应该和内部原子有所差别。考虑到边界对内部原
子振动状态的影响，波恩和卡门引入了周期性边界条件。其具体含义是设想在一长为Na的 4
有限晶体边界之外，仍然有无穷多个相同的晶体，并且各块晶体内相对应的原子的运动情况一样，即第j个原子和第Nt+j个原子的运动情况一样，其中t ＝1，2，3…。
引入这个条件后，导致描写晶格振动状态的波矢q只能取一些分立的不同值。如果晶体是无
限大，波矢q的取值将趋于连续。 10. 下图表示一维双原子复式晶格振动的两支格波的色散关系。请简要分析并判断：在长波极限下，图中哪一条曲线反映了初基元胞内两个原子的质心振动？图中哪一条曲线反映了初基元胞内两个原子的相对振动？
答: 上半部分曲线表示光学支，光学支格波反映了晶体中分子内两个原子的相对振动；下半部分曲线表示声学支，声学支格波反映了晶体中分子的质心振动。 由N个原胞所组成的复式三维晶格，每个原胞内有r个原子，试问晶格振动时能得到多少支色散关系？其波矢的取值数和模式的取值数各为多少？ 答：共有3r支色散关系，波矢取值数=原胞数N，模式取值数=晶体的总自由度数。 11.对于初基晶胞数为N的二维晶体，基元含有四个原子，声学支震动模式和光学支震动模式的数目各为多少？ 答：2N，6N。 12.在三维晶体中，格波独立的点数N，格波个数，格波总支数，声学波支数分别等于多少？ 答：在三维晶格中，格波独立的点数是，格波个数有3Nn，格波总支数是3nN，对每个波矢q，有3支声学波，（3n-3）支光学波。 13.试述长光学波与长声学波的本质区别? 答：长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动, 振动频率较高, 它包含了晶格振动频率最高的振动模式。长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移, 原胞做整体运动, 振动频率较低, 它包含了晶格振动频率最低的振动模式, 波速是一常数。 任何晶体都存在声学支格波, 但简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波。 14. 长声学格波能否导致离子晶体的宏观极化? 答：长光学格波所以能导致离子晶体的宏观极化，其根源是长光学格波使得原胞内不同的原子(正负离子)产生了相对位移。长声学格波的特点是, 原胞内所有的原子没有相对位移. 因此，长声学格波不能导致离子晶体的宏观极化。 15. 爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源是什么?
答:按照爱因斯坦温度的定义, 爱因斯坦模型的格波的频率大约为Hz1013, 属于光学支频率. 但光学格波在低温时对热容的贡献非常小, 低温下对热容贡献 5
大的主要是长声学格波. 也就是说爱因斯坦没考虑声学波对热容的贡献是爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源。 16. 在甚低温下, 德拜模型为什么与实验相符? 答：在甚低温下, 不仅光学波得不到激发, 而且声子能量较大的短声学格波也未被激发,得到激发的只是声子能量较小的长声学格波. 长声学格波即弹性波. 德拜模型只考虑弹性波对热容的贡献. 因此, 在甚低温下, 德拜模型与事实相符, 自然与实验相符。
四、证明计算 1. 证明一维单原子链的运动方程，在长波近似下，可以化成弹性波方程，
22222
xuvtu
证明： 第n个原子的运动方程为
)2(1122nnnnuuutum
因为 niqanueu1 niqanueu1 所以第n个原子的运动方程化为
niqaiqanueetum)2(22
在长波近似下， 2)(211,0iqaiqaeqaiqa
运动方程又化为 )1()(2222nnuqatum
在长波近似下，当l为有限整数时， 1lim00iqlaqnlnqeimlu
u
上式说明，在长波近似下，邻近（在半波长范围内）的若干原子以相同的振幅、相同的位相做集体运动．因此（ l ）式可统一写成
)2()(2222lnlnuqatum
观上的质点位移u，从宏观上看，原子的位置可视为准连续的，原子的分离aln)(可视为准连续坐标x，即 uAeAeutqxitlnqiln][])([
于是（2）化成
22222
xuvtu
其中
第三章2固体物理晶格热容
T CV 9 Nk B D
T 4 nx 9 Nk B x ne dx D 0 n 1 利用积分公式和求和公式：
3
0
m a
e
m 1 m! d m 1 m 1 a a
17
T CV 9 Nk B D
m
0
kB k BT exp k BT
2
exp k T B 1
2
g d
如果某种晶体的晶格振动模式密度g()已知，我 们即可根据上式求出晶格热容来。
6
二、晶格热容模型 1. Dulong－Petit定律 实验发现，在常温下大多数固体的热容量差不多都等 于6 cal/mol.K，这个结果就称为Dulong－Petit定律。 经典统计理论的解释：根据经典统计的能量均分定理， 每一个简谐振子的统计平均能量为kBT，一摩尔固体中有 N0个原子，有3N0个简谐振子。所以，晶体的振动能为： E 3N 0k BT
V 2 g d 3 q 4 q dq 3 3 4 q dq 8 2 V d 3 3 4 8 c c
2
3V 2 g 2 3 2 c
m
由
g d 3N 0
qx
kBT
19
因此，低温下晶格热容的贡献主要来自于 kBT 的长 波声子的贡献。
在q空间中，被热激发的声子所占的体积比约为
3 3 3
qT T T q m m D
而每个被激发的振动模式（声子）具有的能量为kBT。 因此，由于热激发，系统所获得的能量为：
第三章晶体振荡动和晶体的热学性质
q
N N h 2 2
N 个不同的值
—— 为晶体中的原胞数目
所以，q也只能取N个不同值，每个q对应两个解ω±
因此，有2N个不同的格波，正好等于原子链的自由度
—— 对应一个q有两支格波：一支声学波和一支光学波 —— 总的格波数目为2N =原子的数目 2N
推论
一维单原子 一维双原子
晶体振动的波数=晶体的原胞数
三、玻恩－卡门周期性边界条件
—— 一维单原子晶格看作无限长，所有原子是等价 的，每个原子的振动形式都一样 —— 实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长，链两 头的原子不能用中间原子的运动方程来描述
N个原子头尾相接形成一个环链，保持了所有原子等 价的特点
N很大，原子运 动近似为直线运动
处理问题时要考
2 n 1 Be
相邻原胞之间位相差
波矢q的值
2a
q
2a
—— 第一布里渊区
布里渊区大小 采用周期性边界条件
/a
h q 2 h 2aN Na
每个波矢在第一布里渊区占的线度 q 第一布里渊区允许的q值的数目
Na
N
a Na
/
2a 2a N N h取从 到 2 2
只有频率在 0 2 / m 之间的格波才能在晶体中 传播，其它频率的格波被强烈衰减 —— 一维单原子晶格看作成低通滤波器
格波 —— 长波极限情况
aq 2 sin( ) m 2
当
qa qa sin( ) 2 2
vElastic q
（线性关系）
—— 长波极限情况一维单原子格波的色散 关系与连续介质中弹性波的色散关系一致
第三章晶格振动和晶体的热学性质PPT
(3)周期性边界条件、第一布里渊区中的模数
a
波恩-卡门边界条件
（周期性边界条件）
a
q的取值采用波恩-卡门边界条件（周期性边界条件）来定：
u1 u N 1
N为晶格中的原子个数（晶胞数 ）
即：
Ae Ae i(qat)
i[q( N 1)at ]
un Ae i(qnat)
u1 u N 1
Ae Ae i(qat)
i[q( N 1)at ]
eiqNa 1
得： qNa 2l l =0，±1，±2……等整数
q 2 l
Na
在第一布里渊区，q取值为
/a q /a
对应于 N / 2l N / 2 ( 只l 能取N个值----模数 )
结论：在第一布里渊区内的q值唯一地描述了所有的晶格 振动模式，这些值的数目等于晶格的自由度数N。
设 un,1、u是n,相2 应于原子M、m在沿链方向对其平衡位置的偏离
方程和解
和单原子链类似，若只考虑最近邻原子的相互作用，则有：
Mun,1 2un,1 un,2 un1,2 mun,2 2un,2 un1,1 un,1
类似于前面的讨论，可取解的形式为：
代入运动方程得：
(2 m 2 )A (2 cos qa)B 0
2 cos qa
2
2
2 M 2
0
Mm 4
2
(M
m) 2
4
2
sin 2
1 2
qa
0
Mm 4
2 (M
m) 2
4
2
sin 2
1 2
qa
0
解关于2的一元二次方程得：
2
(q)
mM mM
第3章 晶格振动与晶体热学性
晶格周期性使晶格振动具有波的形式——格波。 格波研究 首先，考虑一维，计算原子间相互作用力； 写出原子运动方程，最后求解方程。 推广到三维情况 本章重点： 一维单/双原子链模型及其色散关系的推导； 晶格比热(爱因斯坦模型/德拜模型)； 运用非简谐振动解释热膨胀/热传导；
2/70
§3.1 一维原子链的振动
首先，简谐振子运动方程：
ma f m d 2x kx dt 2
2
一维简单晶格运动方程
2
k m
一维原子链/布喇菲格子每个原子质量 布喇菲格子每个原子质量m，平衡时原子 间距a。第n个原子平衡位置rn=na，相对平衡位置位移 xn(n=1, (n=1, 2, …N)。相邻原子相对位移: xn-xn-1, xn-xn+1
n n+1 n+2
E总 E动 E势
p 1 kx 2 2m 2
2
k
d E势 dx
3/70
n-2
n-1
2
a
xn-2 xn-1
a
xn
a
a
xn+1 xn+2
第一个近似
4/70
力常数==势函数二阶导数
n-2
n-1
n
n+1
n+2
a
xn-2 xn-1
a
xn
a
a
xn+1 xn+2
设方程组有下列形式解(行波解)： 比较行波A A0ei ( kxt ) i ( qna t )
1
纵格波波形
色散关系讨论
(1) 两个特点： 两个特点：
2
m
sin(
qa ) 2
第三章晶格振动和晶体的热学性质在...
晶格振动和晶体的热学性质
在前面的讨论中，我们都把组成晶体的原子看成是固定在平衡位置上不动，实际晶 体中的粒子并非如此，而是会在平衡位置附近作微小的振动。由于晶体内原子间存在着 相互作用，原子的振动就不是孤立的，而要以波的形式在晶体中传播，形成所谓格波。 因此晶体可视为一个互相耦合的振动系统。这个系统的运动就叫晶格振动。 晶格振动是固体中原子的热运动，是对晶体热能的主要贡献。因此，晶体的热学性 质，如比热、热膨胀和热传导等就与晶格振动密切有关。由于晶格振动造成对原子周期 排列的偏离，可视为一种动态缺陷，因此会对在晶体中运动的其它粒子，如电子和光子 产生影响，而与晶体的电学、光学性质乃至介电性质等有关。本章就介绍晶格振动的基 本特征并以此为基础来认识晶体的热学性质。
（3.15）
式（3.15）的试探解仍为角频率为ω的简谐振动
x2 n+1 = Aei[ωt −q ( 2 n+1) a ] x2 n+2 = Bei[ωt −q ( zn+2) a ]
（3.16）
由于两种原子不同，它们的振幅也不一样，我们分别以 A 和 B 表示。将式（3.16） 代入方程（3.15） ，可以得到
5
图 3.3 为一维双原子链示意图。相邻原子间的距离为 a，相邻同种原子（即等效点） 图 3-3 一维双原子链 之间的距离则为 2a，因此，该晶格常数为 2a。质 量为 m 的小原子用奇数表示，质量为 M 的大原子 ，我们得到如下运动方程: 用偶数表示，原子间的力常数均为β。类同于式（3.4）
m
d 2 x2 n+1 = β ( x2 n+ 2 + x2 n − 2 x2 n+1 ) dt 2 d 2 x2 n + 2 M = β ( x2 n+3 + x2 n+1 − 2 x2 n+ 2 ) dt 2
固体物理第三章 晶格振动与晶体的热学性质
注意：
（1）振子并不是组成固体的真实粒子，振子的振动代表简正坐标 的振动，并不是真实粒子的振动。格波的振动频率—简正坐标振 动的圆频率。 （2）简正变换的物理实质可以作以下解释： N个独立粒子——3N个无相互作用的简谐振子。 固体中每一个粒子受到其它N-1个粒子的作用。当作用力近似为 简谐力时，可将固体看成近似由3N个谐振子组成。条件： （a）简谐力近似，若不是，则格波不独立——声子由湮没，产生 （b）简正坐标的振动——集体运动的描述。
事实上：
晶格动力学的发展是在研究热学性质中建立起来的。 晶格动力学是固体物理学中的重要组成部分。晶格动力学 的前身就是比热理论。 从固体比热的发展阶段看： * 从Einstein模型 ，Debye模型，——格波模型，最后形成 晶格动力学，并用来进一步处理其它问题。 * 关于固体比热的研究，不单是解决固体比热的问题。而 是具有更重要的意义。 * 为使比热理论值与实验值相符合，能对固体晶格运动方 式有比较正确的认识，提出一些模型，而这些认识模型成 为固体许多领域的重要基础。 比如：声子的概念，元激发 概念等。在固体物理学的其他领域有更广泛的应用。 结论：晶格振动与固体的力、热、声、光、电、磁等各种性 质有着密切的关系。
mi i
Qi i2Qi 0
a
j
ij
Q j aij A sin( i t )
由此可见，全部原子都以一种频率运动，差别仅在于振幅和 相位的不同. 而且每个原子的真正位移是各种简正振动的叠加。 也可以这样理解：N个原子的热振动可看作是一个有３N个独 立简谐振动的叠加系统，系统总能量是３N个相互独立的谐振子的 能量和，即可以把N个粒子组成的相互作用能为V的固体看成是相 互独立的3N个谐振子的集合。
固体物理-第三章 晶格振动及晶体的热学性质-2(新疆大学李强老师课件).
§3.2 一维单原子链
格波的意义
格波方程
n Aei (t naq)
2 q
格波波长
格波相速度 v p
q
相邻原子间的相位差
[t (n 1)aq] [t naq] aq
Xinjiang University
Solid State Physics, Dr. Q. Li
新疆大学
固体物理 Solid State Physics
物理科学与技术学院 李强 2009. 1st term
§3.2 一维单原子链
一维无限原子链,每个原子质量m，平衡时原子间距a
原子之间的作用力
n-2
n-1
设第i个原子的位移为i 则第n个原子和第n+1个原子 间的距离为a+n+1 -n
a
V (a):常数
dv 相邻原子间的作用力 F d
Xinjiang University Solid State Physics, Dr. Q. Li
d v ( 2 )a dr
: 力常数
2018/10/6
2
§3.2 一维单原子链
原子的运动方程
n-2 n-1
a
只考虑相邻原子的作用，第n 个原子受到的作用力
n
n+1
n+2
a+n+1 -n
第n个原子和第n+1个原子间 的相对位移为n+1 -n
n-2
n-1
n
n+1
n+2
Xinjiang University
Solid State Physics, Dr. Q. Li
固体物理 课后习题解答(黄昆版)第三章
黄昆固体物理习题解答第三章晶格振动与晶体的热学性质3.1 已知一维单原子链，其中第j个格波，在第个格点引起的位移为，μ= anj j sin(ωj_j+ σj) ，σj为任意个相位因子，并已知在较高温度下每个格波的平均能量为，具体计算每个原子的平方平均位移。
解：任意一个原子的位移是所有格波引起的位移的叠加，即μn= ∑ μnj=∑ a j sin(ωj t naq j+σj)j j（1）μ2 n =⎛⎜⎝∑μjnj⎞⎛⎟⎜⎠⎝∑μj*nj⎞⎟⎠= ∑μj2nj+ ∑ μ μnj*nj′j j′由于μ μnj⋅nj数目非常大的数量级，而且取正或取负几率相等，因此上式得第2 项与第一项μ相比是一小量，可以忽略不计。
所以2= ∑ μ 2njn j由于μnj是时间的周期性函数，其长时间平均等于一个周期内的时间平均值为μ 2 = 1 T∫0 2 ω+σ 1 2j aj sin( t naqjj j)dt a=j（2）T0 2已知较高温度下的每个格波的能量为KT，μnj的动能时间平均值为1 L T ⎡1 ⎛dμ⎞2 ⎤ρw a2 T 1= ∫ ∫dx0⎢ρnj⎥= j j∫0 2 ω+ σ= ρ 2 2 T⎜⎟dt L a sin( t naq)dt w Lanj T0 0 0 ⎢ 2 ⎝dt⎠⎥2T0 j j j j 4 j j其中L 是原子链的长度，ρ 使质量密度，T0为周期。
1221所以Tnj= ρ w La j j=KT（3）4 2μKT因此将此式代入（2）式有nj2 = ρ ωL 2 jμ所以每个原子的平均位移为2== ∑ μ 2= ∑KT= KT∑1n njρ ωL2ρLω2j j j j j3.2 讨论 N 个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为 a），其 2N 格波解，当 M=m 时与一维单原子链的结果一一对应.解答（初稿）作者季正华- 1 -黄昆固体物理习题解答解：如上图所示，质量为M 的原子位于2n-1，2n+1，2n+3 ……质量为m 的原子位于2n，2n+2，2n+4 ……牛顿运动方程：..mμ2n= −β μ(22n−μ2n+1 −μ2n−1)..Mμ2n+1 = −β μ(22n+1 −μ2n+2 −μ2n)体系为N 个原胞，则有2N 个独立的方程i na q方程解的形式：iμ2n=Ae[ωt−(2 ) ] μ2n+1=Be[ω−(2n+1)aq]na qμ=将μ2n=Ae[ωt−(2 ) ]2n+1 Be i[ωt−(2n+1) aq]代回到运动方程得到若A、B 有非零的解，系数行列式满足：两种不同的格波的色散关系：——第一布里渊区解答（初稿）作者季正华- 2 -第一布里渊区允许 q 的数目黄昆 固体物理 习题解答对应一个 q 有两支格波：一支声学波和一支光学波。
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
上式说明，晶格的振动谱是分离谱，晶格
振动的波矢数目等于晶体的原胞数N
格波1（红色标示）的波矢：q1
2a
相邻原子位相差：
aq1
5
格波2（绿色标示）的波矢：q2 2a
相邻原子的位相差： aq2
2
2
2
-----两种波矢下 ，格波描述的原子振动完全相同
（4）在连续介质中传播的平面波方程为
原子的振动实际上没有任何不同。
(7)长波极限，当 q 0 时，sin qa 2 qa 2
1
波速
v
a
m
2
角频率 a q v q
m
与连续介质中弹性波的色散关系一致
两原子间的相位差
qa
0 ，波长
2
q
一个波长范围内包含了许多原子
因此，长波极限下，一维单原子晶格的格波可 以看做是弹性波，晶体可以看做是连续介质
前面讨论晶体结构时，假设了晶体中各原 子固定在格点上不动。其实，不管是气体、 液体或是固体，在一定温度下，原子（或 分子）都在做不停的热运动。 静止晶格的模型在解释金属主要由导电 电子决定的平衡态性质和输运性质方面相 当成功，但是对金属进一步的了解以及对 绝缘体哪怕是最基本的了解都需要对离子 实的运动加以考虑。
将试探解代入原运动方程可以得到色散关系
2
q
M1M 2
M1
M2
M12
M
2 2
2M1M
2
cos
qa
1 2
第三章晶格振动和晶体的热学性质ppt课件
质量为M的原子编号为:··· n-1,1、 n,1、n+1,1、···
质量为m的原子编号为:··· n-1,2、 n,2、n+1,2、···
设
u
n
、
,1
un
,
2是相应于原子M、m在沿链方向对其平衡位置的偏离
.
方程和解
和单原子链类似，若只考虑最近邻原子的相互作用，则有：
.
当δ很小时，作二级近似
恢复力 ------简谐近似
----胡克定律 ( 为倔强系数)
研究一维单原子链的振动
模型：设一维单原子链中，原子间距(晶格常量)为a， 总长为 L = Na , N为原子总数（晶胞数 ） ，原子质量为m。
.
第n个粒子的受力情况：
运动方程：
假设晶格足够长，可忽略边界。以行波作试探解，即
举例说明 un Aei(qn at)
第一布里渊区
(1) (2)
对格点振动有贡献的是原 子，两原子之间的振动在 物理上没有意义。
.
/aq/a 第一布里渊区（倒格子空间）
倒格子空间-波矢空间
.
(3)周期性边界条件、第一布里渊区中的模数
a
波恩-卡门边界条件 a
（周期性边界条件）
q的取值采用波恩-卡门边界条件（周期性边界条件）来定：
u1 uN1
N为晶格中的原子个数（晶胞数 ）
即： A i(q e a t) A i[q (N e 1 )a t]
un Aei(qn at)
.
u1 uN1 A i(q e a t) A i[q (N e 1 )a t]
eiqNa1
得： qN a2l l =0，±1，±2……等整数