高中数学选修1-2课件第二章 推理与证明 2.1.3
2.如果一个凸多面体是 n 棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线
共有________条.这些直线中共有 f(n)对异面直线，则 f(4)＝________；f(n)＝
________.(答案用数字或含 n 的式子表示)
【解析】 所有顶点确定的直线共有：棱数＋底边数＋对角线数，
nn2＋1-n＝14n2(n＋1)2.
1.解题方法的类比通过对不同题目条件、结论的类比，从而产生解题方法的 迁移，这是数学学习中很高的境界，需要学习者熟练地掌握各种题型及相应的 解题方法.
2.类比推理的步骤与方法 (1)弄清两类对象之间的类比关系及类比关系之间的(细微)差别. (2)把两个系统之间的某一种一致性(相似性)确切地表述出来，也就是要把相 关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚.
4.(2016·深圳二模)如图 2-1-18 所示，我们知道，圆环也可以看作线段 AB 绕 圆 心 O 旋 转 一 周 所 形 成 的 平 面 图 形 ， 又 圆 环 的 面 积 S ＝ π(R2-r2) ＝ (R-r)×2π×R＋2 r，
图 2-1-18
所以，圆环的面积等于以 AB＝R-r 为宽，以 AB 中点绕圆心 O 旋转一周所 形成圆的周长 2π×R＋2 r为长的矩形面积.
[探究共研型] 合情推理与演绎推理的综合应用 探究 1 我们已经学过了等比数列，你有没有想到是否也有等积数列呢？类 比“等比数列”，请你给出“等积数列”的定义.
【提示】 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它前一项的乘积是同一个 常数，那么这个数列叫做等积数列，其中，这个常数叫做公积.
探究 2 若{an}是等积数列，且首项 a1＝2，公积为 6，试写出{an}的通项公 式及前 n 项和公式.
[构建·体系]
1.设 k 棱柱有 f(k)个对角面，则 k＋1 棱柱对角面的个数为 f(k＋1)＝f(k)＋ ________.
【解析】 k 棱柱增加一条侧棱时，则这条侧棱和与之不相邻的 k-2 条侧棱 可构成 k-2 个对角面，而增加一条侧棱时也使一个侧面变成了对角面.
所以 f(k＋1)＝f(k)＋k-2＋1＝f(k)＋k-1.
【答案】 2π2r2d
5.在△ABC 中，若∠C＝90°，则 cos2A＋cos2B＝1，用类比的方法，猜想三 棱锥的类似性质，并证明你的猜想.
【解】 由平面类比到空间，有如下猜想：“在三棱锥 P-ABC 中，三个侧 面 PAB，PBC，PCA 两两垂直，且与底面所成的角分别为 α，β，γ，则 cos2α＋ cos2β＋cos2γ＝1”.
将以上各等式两边分别相加，得 (n＋1)3-13＝3(12＋22＋…＋n2)＋3(1＋2＋3＋…＋n)＋n， 即 12＋22＋32＋…＋n2＝16n(n＋1)(2n＋1). 类比上述求法，请你求出 13＋23＋33＋…＋n3 的值.
【精彩点拨】 解答本题要抓住各等式两边数的指数相类比.
【自主解答】 ∵24-14＝4×13＋6×12＋4×1＋1，
如图 2-1-17 所示，三棱锥 A-BCD 的三条侧棱 AB，AC，AD 两两互 相垂直，O 为点 A 在底面 BCD 上的射影.
(1)求证：O 为△BCD 的垂心； 图 2-1-17 (2)类比平面几何的勾股定理，猜想此三棱锥侧面与底面间的一个关系，并 给出证明.
【精彩点拨】 (1)利用线面垂直与线线垂直的转化证明 O 为△BCD 的重心. (2)先利用类比推理猜想出一个结论，再用演绎推理给出证明.
12BC·AE2＝12BC·EO·12BC·ED，
即 S2△ABC＝S△BOC·S△BCD.
同理可证：S2△ACD＝S△COD·S△BCD，S2△ABD＝S△BOD·S△BCD.
∴S
2 △ABC
＋
S
2 △ACD
＋
S△ABD
＝
S△BCD·(S△BOC
＋
S△COD
＋
【自主解答】 (1)证明：∵AB⊥AD，AC⊥AD， ∴AD⊥平面 ABC， ∴AD⊥BC， 又∵AO⊥平面 BCD， ∴AO⊥BC， ∵AD∩AO＝A， ∴BC⊥平面 AOD， ∴BC⊥DO，同理可证 CD⊥BO， ∴O 为△BCD 的垂心.
(2)猜想：S2△ABC＋S2△ACD＋S2△ABD＝S2△BCD. 证明：连接 DO 并延长交 BC 于 E， 连接 AE，BO，CO， 由(1)知 AD⊥平面 ABC， AE⊂平面 ABC， ∴AD⊥AE，又 AO⊥ED， ∴AE2＝EO·ED，
【精彩点拨】 (1)观察数阵，总结规律：除首末两数外，每行的数等于它 上一行肩膀上的两数之和，得出(1)的结果.
(2)由数阵可直接写出答案. (3)写出 a3-a2，a4-a3，a5-a4，从而归纳出(3)的结论.
【自主解答】 (1)由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上 一行肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数.
【解】 类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是： 若数列{an}是等差数列，则数列 bn＝a1＋a2＋n …＋an也是等差数列. 证明如下： 设等差数列{an}的公差为 d，则 bn＝a1＋a2＋n …＋an＝na1＋nnn2-1d＝a1＋d2 (n-1)， 所以数列{bn}是以 a1 为首项，d2为公差的等差数列.
请你将上述想法拓展到空间，并解决以下问题： 若将平面区域 M＝{(x，y)|(x-d)2＋y2≤r2}(其中 0<r<d)绕 y 轴旋转一周，则所 形成的旋转体的体积为________.
【解析】 已知图中圆环的面积等于以 AB＝R-r 为宽，以 AB 中点绕圆心 O 旋转一周所形成圆的周长 2π×R＋2 r为长的矩形面积，由此拓展到空间，可知： 将平面区域 M＝{(x，y)|(x-d)2＋y2≤r2}(其中 0<r<d)绕 y 轴旋转一周所形成的旋转 体积的体积应等于以圆(x-d)2＋y2＝r2 围成的圆面为底面，以圆心(d,0)绕 y 轴旋转 一周所形成的圆的周长 2π×d 为高的圆柱的体积.故该旋转体的体积 V＝πr2·2πd ＝2π2r2d.
[再练一题] 2.半径为 r 的圆的面积 S(r)＝π·r2，周长 C(r)＝2π·r，若将 r 看作(0，＋∞) 上的变量，则(π·r2)′＝2π·r①，①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于 圆的周长函数.对于半径为 R 的球，若将 R 看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类 似于①的式子②：________；②式可用语言叙述为________.
【提示】 由于{an}是等积数列，且首项 a1＝2，公积为 6，所以 a2＝3，a3 ＝2，a4＝3，a5＝2，a6＝3，…，即{an}的所有奇数项都等于 2，所有偶数项都 等于 3，因此{an}的通项公式为 an＝23， ，nn为 为奇 偶数 数， .
其前 n 项和公式 Sn＝552nn， 2-1n为 ＋偶 2＝数5， n2-1，n为奇数.
S△BOD)
＝
S△BCD·S△BCD
＝
S2△BCD.
合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真.但合情推理常 常帮助我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法，而演绎推理 得到的结论一定正确前提和推理形式都正确的前提下.
[再练一题]
3.已知命题：“若数列{an}是等比数列，且 an>0，则数列 bn＝n a1a2…an(n∈N*) 也是等比数列”.类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证 明你的结论.
【导学号：9体积 V(R)＝43πR3， 表面积 S(R)＝4πR2， 类比(πr2)′＝2πr，得43πR3′＝4πR2. 因此②式应为：43πR3′＝4πR2. 且②式用语言叙述为：球的体积函数的导数等于球的表面积函数. 【答案】 43πR3′＝4πR2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数
阶 段 一
学
2.1.3 推理案例赏析
业 分
层
测
评
阶 段 二
1.进一步认识合情推理和演绎推理的作用、特点以及两者之间的紧密联系. 利用合情推理和演绎推理进行简单的推理.(重点、难点)
2.两种推理形式的具体格式.(易混点)
归纳推理的应用
[小组合作型]
观察如图 2-1-14 所示的“三角数阵”：
图 2-1-14
[再练一题] 1.观察下列各式： 13＋23＝1，73＋83＋130＋131＝12，136＋137＋139＋230＋232＋233＝39，…. 则当 n<m 且 m，n∈N 时，3n＋ 3 1＋3n＋ 3 2＋…＋3m3-2＋3m3-1＝________.(最 后结果用 m，n 表示)
【解析】 当 n＝0，m＝1 时，对应第 1 个式子13＋23＝1，此时 1＝12-0＝m2-n2； 当 n＝2，m＝4 时，对应第 2 个式子73＋83＋130＋131＝12，此时 12＝42-22＝m2-n2； 当 n＝5，m＝8 时，对应第 3 个式子136＋137＋…＋233＝39，此时 39＝82-52＝m2-n2.
由归纳推理可知3n＋ 3 1＋3n＋ 3 2＋…＋3m3-2＋3m3-1＝m2-n2.
【答案】 m2-n2
类比推理的应用
通过计算可得下列等式： 23-13＝3×12＋3×1＋1； 33-23＝3×22＋3×2＋1； 43-33＝3×32＋3×3＋1； … (n＋1)3-n3＝3×n2＋3×n＋1.
探究 3 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A，B，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市； 乙说：我没去过 C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为 A，B，C 三个城市中的哪一个？
【提示】 由题意可推断：甲没去过 B 城市，但比乙去的城市多，而丙说 “三人去过同一城市”，说明甲去过 A，C 城市，而乙“没去过 C 城市”，说 明乙去过城市 A，由此可知，乙去过的城市为 A.
高二数学人教A版选修1-2课件：第二章 推理与证明
专题一
专题二
专题二 直接证明与间接证明
1.综合法证明数学问题是“执因索果”,而分析法则是“执果索因”,二者一正一反,各有特点,综合法的特点是表述 简单条理清楚,分析法则便于解题思路的探寻.
2.分析法与综合法往往结合起来使用,即用分析法探寻解题思路,而用综合法书写过程,即“两头凑”,可使问题便 于解决.
专题一
专题二
【例1】 已知数列 归纳出Sn的计算公式.
8× 1 12 × 32
,
8× 32×
252,…,(2…������,-S1n为)82其×(2前������������n+项1的)2和, ,计算S1,S2,S3,S4,观察计算结果,并
思路分析:通过计算S1,S2,S3,S4的取值,发现它们的共同点有:都是分数,分母为奇数的平方,分子比分母少1,据
ABCD
中,������������������������'
+
������������ ������������'
+
������������ ������������'
+
������������������������' =4-������������-������������������+������������-������������������������������-+������������������������������-������������������ +������������-������������������ =4-������������������������--������������������������������������ =3.
最新人教版高二数学选修1-2(B版)电子课本课件【全册】
2.1.2 演绎推理
2.2.2 反证法
阅读与欣赏
《原本》与公理化思想
第三章 数引入
3.2.2 复数的乘法和除法
阅读与欣赏
复平面与高斯
4.1 流程图
本章小结
附录 部分中英文词汇对照表
第一章 统计案例
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1.1 独立性检验
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阅读与欣赏
“回归”一
词的由来
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最新人教版高二数学选修1－2(B 版)电子课本课件【全册】目录
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第一章 统计案例
1.2 回归分析
阅读与欣赏
“回归”一词的由来
第二章 推理与证明
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1.2 回归分析
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本章小结
最新选修1-2第二章推理与证明讲义
第二章推理与证明讲义2.1合情推理与演绎推理学习目标：1・了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理；2・了解演绎推理的含义，掌握演绎推理的基本模式，能利用“三段论”进行简单的推理•重点：用归纳和类比进行推理，做出猜想；用“三段论”证明问题难点：用归纳和类比进行合情推理，做出猜想。
学习策略：①合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识，代表研究性命题的发展趋势②合情推理中的归纳、类比都是具有创造性的或然推理•不论是由大量的实例，经过分析、概括、发现规律的归纳，还是由两系统的已知属性，通过比较、联想而发现未知属性的类比，它们的共同点是，结论往往超出前提所控制的范围，所以它们是“开拓型”或“发散型”的思维方法•也正因为结论超出了前提的管辖范围，前提也就无力保证结论必真，所以归纳类比都是或然性推理.③演绎推理所得的结论完全蕴含于前提之中，所以它是“封闭型”或“收敛型”的思维方法只要前提真实，逻辑形式正确，结论必然是真实的知识要点梳理知识点一：推理的扌既念根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式叫做推理•从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)叫做前提，一部分是由已知推出的判断，叫做结论.知识点二：合情推理根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等) 、实验和实践的结果、个人的经验和直觉等，经过观察、分析、比较、联想、归纳、类比等推测出某些结果的推理过程。
其中归纳推理和类比推理是最常见的合情推理。
1.归纳推理(1 )定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳) 。
(2 )一般模式：部分一整体，个体一一般(3)一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同性质；②从已知的相同的性质中猜想出一个明确表述的一般性命题；③检验猜想.(4)归纳推理的结论可真可假归纳推理一般都是从观察、实验、分析特殊情况开始，提出有规律性的猜想；一般地，归纳的个别情况越多，就越具有代表性，推广的一般性命题就越可靠•由于归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的，所以归纳推理所得的结论不一定是正确的2・类比推理(1)定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)(2 )一般模式：特殊一特殊(3) 类比的原则：可以从不同的角度选择类比对象，但类比的原则是根据当前问题的需要，选择恰当的类比对象.(4)一般步骤：①找出两类对象之间的相似性或一致性；②用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，得出一个明确的命题(猜想) ；③检验猜想・(5)类比推理的结论可真可假类比推理中的两类对象是具有某些相似性的对象，同时又应是两类不同的对象；一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质越相尖，那么类比得出的命题就越可靠类比结论具有或然性，所以类比推理所得的结论不一定是正确的。
数学：2[1].1《合情推理与演绎证明--合情推理》PPT课件(新人教A版-选修1-2)
![数学：2[1].1《合情推理与演绎证明--合情推理》PPT课件(新人教A版-选修1-2)](https://360docs-1393072327.cos.ap-beijing.myqcloud.com/33509701bd64783e08122b1f.webp)
2
1
3
解;设an表示移动n块金属片时的移动次数. 当n=1时,a1=1 当n=2时,a2= 3 猜想 an= 2n -1 当n=3时,a3= 7 当n=4时,a4= 15
2
1
3
歌德巴赫猜想的提出过程：
…
这种由某类事物的部分对象具有某些特征, 推出该类事物的全部对象都具有这些特征 的推理,或者由个别事实概栝出一般结论 的推理,称为归纳推理.(简称;归纳) 归纳推理的几个特点;
1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳 所得的结论超越了前提所包容的范围. 2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚 属未知的现象,因而结论具有猜测性. 3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观 察、经验和实验的基础之上. 归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分 析的基础上.提出带有规律性的结论. 需证明
这就是著的哥德巴赫猜想。欧拉在6月30日给他的回信中说， 他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问 题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引 起了许多数学家的注意。从提出这个猜想至今，许多数学家都 不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体 的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, . . . . 等等。有人对33×108以内且大过6之偶数一 一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但严格的数学证明尚 待数学家的努力。从此，这道著名的数学难题引起了世界上成 千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴 赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了 20世纪20年代，才有人开始向它靠近。
《反证法》人教版高中数学选修1-2PPT课件(第2.2.2课时)
知识要点
反证法主要适用于以下两种情形： (1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰. (2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很 少的几种情形.
知识要点
用反证法证题时,应注意的事项 : （1）周密考察原命题结论的否定事项， 防止否定不当或有所遗漏； （2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性； （3）在推理过程中，要充分使用已知条 件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的.
矛盾
所以 _假__设__不__成__立 ,即求证的命题正确. 命题成立
l3
P
l1
l2
知识要点
反证法的步骤 一、提出假设 假设待证命题不成立，或是命题的反面成立. 二、推理论证 以假设为条件，结合已知条件推理，得出与已知条件或是正确命题相矛盾的结论. 三、得出矛盾 这与“......”相矛盾. 四、结论成立 所以假设不成立，所求证的命题成立.
∴ ∠ 1 =∠ 2 =∠3(两直线平行，同位角相等) ∴ l 3∥ l2（同位角相等，两直线平行 ） 归纳
l1
l１
l2
P 2
l1
3
请同学们自己比较两种证明方法的各自特点，从中体验反证法的思考过程和特点.
新知探究
结合我们讲过的例子，我们可以得到什么？
思考
由上面的例子可以看出，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件 矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等.
知识要点
宜用反证法证明的题型
（1）以否定性判断作为结论的命题； （2）某些定理的逆命题； （3）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈述的命题； （4）关于“唯一性”结论的命题； （5）解决整除性问题； （6）一些不等量命题的证明； （7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段； （8）涉及各种“无限”结论的命题等等.
新版高中数学人教A版选修1-2课件：第二章 推理与证明 2.2.1
∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD, ∴PA⊥CD. ∵AC⊥CD,PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC. 而AE⊂平面PAC,∴CD⊥AE.
题型一
题型二
题型三
题型四
(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.
∵E是PC的中点,∴AE⊥PC.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练3】 如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所 在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.
典例透析
(1)证明:BC∥平面PDA; (2)证明:BC⊥PD; (3)求点C到平面PDA的距离. (1)证明因为四边形ABCD是长方形,所以BC∥AD. 因为BC⊄平面PDA,AD⊂平面PDA,所以BC∥平面PDA.
−
1)(������∈N*,n≥2),求证: 1 为等差数列.
������������
分析:(1)类比题目所给等式得到 Sn+1 与 an+1 之间的关系式→两式相减→说明{an}是等比数列
(2)利用(1)中的公比
q
得到
f(m)→化简式子
bn=
3 2
������
(bn-1)→证明
1 ������������
两式相减,得Sn=n·2n-1×20-1×21-…-1×2n-1=n·2n-2n+1=2n(n-1)+1.
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
利用综合法证明不等式
【例 2】 已知 a,b,c 是正实数,且 a+b+c=1. 求证:(1)a2+b2+c2≥13 ; (2) ������ + ������ + ������ ≤ 3.
高中数学 第二章推理与证明全章归纳总结 新人教A版选修1-2
第二章 推理与证明2.1.1 合情推理与演绎推理(1)归纳推理【要点梳理】1、从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为 任何推理包括 和 两个部分。
是推理所依据的命题，它告诉我们 是什么， 是根据前提推得的命题，它告诉我们 是什么。
2、从个别事实中推演车一般性的结论的推理通常称为 ，它的思维过程是3、归纳推理有如下特点（1）归纳推理的前提是几个已知的 现象，归纳所得的结论是尚属未知的 现象，该结论超越了前提所包含的范围。
（2）由归纳推理得到的结论具有 的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，它 作为数学证明的工具。
（填“能”或“不能”）（3）归纳推理是一种具有 的推理，通过归纳法得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。
【指点迷津】1、运用归纳推理的一般步骤是什么？首先，通过观察特例发现某些相似性（特例的共性或一般规律）；然后，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题（猜想）；然后，对所得的一般性命题进行检验。
2、在数学上，检验的标准是什么？标准是是否能进行严格的证明。
3、归纳推理的一般模式是什么？S 1具有P ；S 2具有P ；……；S n 具有P （S 1、S 2、…、S n 是A 类事件的对象） 所以A 类事件具有P【典型例题】例1、设N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈'='='==-),()(,),()(),()(,sin )(112010 ，则)()(2005=x fA 、x sinB 、x sin -C 、x cosD 、x cos - 【解析】：,cos )(sin )(1x x x f ='=)()()(sin )(cos )()(cos )(sin )(sin )cos ()(cos )sin ()(sin )(cos )(42615432x f x f x f x x x f x f x x x f xx x f xx x f x x x f n n ====-='==='=='-=-='-=-='=+故可猜测)(x f n 是以4为周期的函数，有x x f x f x f n n sin )(,cos )1()(2414-===++xf x f x x f n n sin )4()(cos )(4434==-=++故选C【点评】归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，是人们在日常活动和科学学习研究中经常使用的一种推理方法，必须认真学习领会，在归纳推理的过程中，应注意所探求的事物或现象的本质属性和因果关系。
2014年人教A版选修1-2课件 第二章小结(推理与证明)
7. 反证法 假设原命题不成立, 经过正确推理, 最后 得出矛盾, 从而否定假设, 而得原命题成立.
反证法就是对原命题的逆否命题的证明.
反证法是间接证明的一种基本方法. 要点: (1) 假设命题不成立要作为条件应用. (2) 推证的结论不能与反证过程中已用的条 件相矛盾.
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例1. 观察 (x2)=2x, (x4)=4x3, (cosx)= -sinx, 由 归纳推理可得: 若定义在 R 上的函数, f(x) 满足 f(-x) =f(x). 记 g(x) 为 f(x) 的导函数, 则 g(-x)= ( D ) (A) f(x) (B) -f(x) (C) g(x) (D) -g(x) 分析: x2, x4, cosx 都是偶函数, 满足 f(x)=f(-x). 它们的导函数 g(x) 为 2x, 4x3, -sinx, 都是奇函数, ∴g(-x)= -g(x). (由部分对象的相同特征归纳)
2.1 合情推理与演绎推理 2.2 直接证明与间接证明
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ第二 章小结
本章小结
知识要点 例题选讲
复习参考题 自我检测题
1. 归纳推理
由某事物的部分对象具有某些特征, 推出该 类事物的全部对象都具有这些特征的推理, 或者 由个别事实概括出一般结论的推理, 即由部分到 整体, 由个别到一般.
(1) 在部分对象中寻找相同特征, 推出所有对 象都有这样的特征.
例2. 观察下列各式: 55=3125, 56=15625, 57=78125, … 则 52013的末四位数字为 ( A ) (A) 3125 (B) 5625 (C) 0625 (D) 8125 分析: 56 与 55 的末四位之差为 5625-3125=2500, 57 与 56 的末四位之差为 8125-5625=2500. 猜测: 5n+1 比 5n 末四位多 2500. 而 4 个2500 等于 10000,
人教版数学高二 数学A版选修1-2 第二章《推理与证明》教辅资料
满足y=x 2,则log 2(22)x y +的最小值是78；④若a 、b ∈R ，则221a b ab a b +++>+。
其中正确的是（ ）。
(A) ①②③ (B) ①②④ (C) ②③④ (D) ①②③④解析 用综合法可得应选（B ） 例2 函数y ＝f （x ）在（0，2）上是增函数，函数y=f(x+2)是偶函数，则f(1),f(2.5),f(3.5)的大小关系是 .解析∵函数y ＝f （x ）在（0，2）上是增函数， ∴ 0＜x+2＜2即-2＜x ＜0∴函数y=f(x+2) 在（-2，0）上是增函数， 又∵函数y=f(x+2)是偶函数，∴函数y=f(x+2) 在（0，2）上是减函数 由图象可得f(2.5)>f(1)>f(3.5)故应填f(2.5)>f(1)>f(3.5)例3 已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证3>-++-++-+ccb a b bc a a a c b解析∵ a ，b ，c 全不相等∴ a b 与b a ，a c 与c a ，b c 与c b 全不相等。
∴ 2，2，2b a c a c ba b a c b c+>+>+>三式相加得6b c c a a ba ab bc c+++++>∴ (1)(1)(1)3b c c a a ba ab bc c+-++-++->即 3b c a a c b a b c a b c+-+-+-++>练习一、选择题1．如果数列{}n a 是等差数列，则（ ）。
（A ）1845a a a a +<+ （B ） 1845a a a a +=+ （C ）1845a a a a +>+ （D ）1845a a a a =2．在△ABC 中若b=2asinB 则A 等于( )(A)06030或 (B)06045或 (C)0012060或 (D)0015030或 3．下面的四个不等式：①ca bc ab c b a ++≥++222；②()411≤-a a ；③2≥+abb a ；④()()()22222bd ac d c b a +≥+•+.其中不成立的有（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个二、填空题4． 已知 5,2==b a ，向量b a 与的 夹角为0120，则a b a ．)2(-=5. 如图，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1—ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足n，n证明：如图，连接BD ，∵在△ABC 中，BE=CE DF=CF ∴E F ∥BD又BD ⊂平面ABD ∴BD ∥平面ABD7．解：∵f(x-4)=f(2-x)，∴函数的图象关于x= -1对称 ∴12-=-ab即b =2a 由③知当x = 1时,y=0，即ab +c =0；由①得 f (1)≥1，由②得 f (1)≤1. ∴f (1)=1，即a +b +c =1，又ab +c =0 ∴a =41 b =21 c =41 ，∴f (x )=4121412++x x 假设存在t ∈R ，只要x ∈[1,m ]，就有f (x +t )≤x 取x =1时，有f (t +1)≤1⇒41(t +1)2+21(t +1)+41≤1⇒-4≤t ≤0 对固定的t ∈[-4,0]，取x =m ，有f (t +m )≤m ⇒41(t +m )2+21(t +m )+41≤m ⇒2m +2(t-1)m +(t 2+2t +1)≤0 ⇒t t 41---≤m ≤t t 41-+- ∴m ≤t t 41--≤)4(4)4(1-⋅-+--=9当t = -4时，对任意的x ∈[1,9]，恒有f(x-4)≤x ⇒41(2x -10x +9)=41(x-1)(x-9)≤0∴m 的最大值为9.解法二：∵f (x -4)=f (2-x )，∴函数的图象关于x =-1对称 ∴ 12-=-abb =2a 由③知当x=1时,y=0，即a b +c =0；由①得 f (1)≥1，由②得 f (1)≤1∴f (1)=1，即a +b +c =1，a b +c =0∴a =41 b =21 c =41∴f (x )=4121412++x x =41(x +1)2由f (x +t )=41(x +t +1)2≤x 在x ∈[1,m ]上恒成立 ∴4[f (x +t )-x ]=x 2+2(t -1)x +(t +1)2≤0当x ∈[1,m ]时，恒成立 令 x =1有t 2+4t ≤0⇒-4≤t ≤0令x =m 有t 2+2(m +1)t +(m -1)2≤0当t ∈[-4,0]时，恒有解令t = -4得，2m - 10m +9≤0⇒1≤m ≤9 即当t = -4时，任取x ∈[1,9]恒有f (x -4)-x =41(2x -10x +9)=41(x-1)(x-9)≤0 ∴ m max =92．2直接证明2．2．1 综合法一、选择题（1）由等差数列的性质：若m+n=p+q 则q p n m a a a a +=+可知应填（B ）。
高中数学人教A版选修1-2第二章 2.1 2.1.2 演绎推理课件
(3)模式：三段论．
2．三段论 “三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
[点睛] 用集合的观点理解三段论 若集合 M 的所有元素都具有性质 P，S 是 M 的一个子 集，那么 S 中所有元素也都具有性质 P.
[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
2．1.2 演绎推理
预习课本 P30～33，思考并完成下列问题
(1)什么是演绎推理？它有什么特点？ (2)什么是三段论？一般模式是什么？ (3)合情推理与演绎推理有什么区别与联系？
[新知初探]
1．演绎推理
(1)概念：从一般性的原理 出发，推出某个特殊情况 下的 结论 ，我们把这种推理称为演绎推理．
演绎推理在几何中的应用
[典例] 如图所示，D，E，F 分别是 BC， CA，AB 边上的点，∠BFD=∠A，DE∥BA，求 证：DE=AF.写出“三段论”形式的演绎推理．
[解] (1)同位角相等，两直线平行，(大前提) ∠BFD 和∠A 是同位角，且∠BFD=∠A，(小前提) 所以 DF∥AE.(结论)
D．大前提：π 是无限不循环小数；小前提：π 是无理数；结论： 无限不循环小数是无理数
解析：选 B 对于 A，小前提与大前提间逻辑错误，不 符合演绎推理三段论形式；对于 B，符合演绎推理三段 论形式且推理正确；对于 C，大小前提颠倒，不符合演 绎推理三段论形式；对于 D，大小前提及结论颠倒，不 符合演绎推理三段论形式.
演绎推理在代数中的应用 [典例] 已知函数 f(x)＝ax＋xx－ ＋21(a＞1)，求证：函数 f(x)在 (－1，＋∞)上为增函数． [证明] 对于任意 x1，x2∈(－1，＋∞)，且 x1＜x2，若 f(x1) ＜f(x2)，则 y＝f(x)在(－1，＋∞)上是增函数．(大前提) 设 x1，x2∈(－1，＋∞)，且 x1＜x2，