江淮十校2020届高三第三次联考理科数学试题(含答案和解析)
01-江苏2020届高三第三次百校大联考数学卷-解析
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2020届高三数学第三次模拟考试试题理(含解析) 2)
2020届高三数学第三次模拟考试试题理（含解析）注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每道小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出集合，再利用交集的定义可求出集合.【详解】，因此，.故选：A.【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于基础题.2.已知为虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】求出复数，得出其对应点的坐标，确定所在象限．【详解】由题意,对应点坐标为，在第二象限．故选：B．【点睛】本题考查复数的几何意义，考查复数的除法运算，属于基础题．3.执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A. ﹣10B. ﹣3C. 4D. 5【答案】A【解析】第一次执行程序后，，第二次执行程序后，，第三次执行程序后，，第四次次执行程序后，，不成立，跳出循环，输出，故选A.4.已知向量，，设与的夹角为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据向量的坐标运算求出向量，再利用向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】设，由，，可得，设与的夹角为，且则，所以.故选：C【点睛】本题考查了向量坐标表示、向量数量积的坐标运算，属于基础题.5.设，，，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出的取值范围，从而可得结果.【详解】,,,,故选C.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于基础题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.6.在某次数学测验后，将参加考试的名学生的数学成绩制成频率分布直方图（如图），则在该次测验中成绩不低于分的学生数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由频率分布直方图，可得低于100分的人数的频率，即可求得低于100分人数，进而求得不低于100分的人数．【详解】由频率分布直方图可知，低于100分的人数的频率为所以低于100分的人数为则不低于100分的人数为所以选C【点睛】本题考查了频率分布直方图的简单应用，属于基础题．7.从1，2，3，4，5中任取5个数字，组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数是偶数的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出基本事件总数n，再求出这个五位数是偶数包含的基本事件数m，利用古典概型的概率公式计算即可.【详解】从1，2，3，4，5这5个数字中任取5个数字组成没有重复数字的五位数，基本事件总数n＝＝120，这个五位数是偶数包含的基本事件个数m＝＝48，∴这个五位数是偶数的概率p＝．故选D．【点睛】本题考查古典概型概率的求法，是基础题.8.若的展开式中只有第项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数是A. B.C. D.【答案】D【解析】∵的展开式中只有第项的二项式系数最大，∴为偶数，展开式共有项，则.的展开式的通项公式为，令，得.∴展开式中含项的系数是，故选D．【名师点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项，可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可；(2)已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.9.如图，在正四棱柱，中，底面边长为2，直线与平面所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为（）．A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】建立空间坐标系，设棱柱高为，求出平面的法向量，令，求出的值．【详解】以为原点，以，，为坐标轴建立空间坐标系如图所示，设，则，0，，，2，，，0，，则，2，，，0，，，0，，设平面的法向量为，，，则，，令可得，1，，故，．直线与平面所成角的正弦值为，，解得：．故选．【点睛】本题考查了空间向量与线面角的计算，属于中档题．10.已知函数是偶函数.若将曲线向左平移个单位长度后，得到曲线，则函数的单调递增区间是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】分析】把化为的式子，然后由偶函数定义可求得，由图象平移变换得，再解不等式即可．【详解】因为为偶函数，所以，即所以，解得，所以.将曲线向左平移个单位长度后，得到曲线，函数的减区间即为函数的增区间.所以函数的增区间为：故选：A.【点睛】本题考查三角函数的图象及其性质，考查两角和与差的正弦、余弦公式，考查图象变换，考查推理论证能力与运算求解能力.属于中档题.11.已知为双曲线：（，）左支上一点，，分别为的左、右焦点，为虚轴的一个端点，若的最小值为，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的定义可得，又即可得到关于的方程，解得.【详解】解：，即，化简得，即，解得或，所以.故选：【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查化归与转化的数学思想.12.已知定义域为的函数满足（为函数的导函数），则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】构造函数，根据条件判断在上的单调性，然后将所求不等式分、和三种情况得到不等式的解集．【详解】令，则，定义域为的函数满足，，函数在上单调递增，当时，由，知，当时，显然不等式成立.当时，则，所以，整理得，即，所以，，得，则；当时，则，所以，整理得，即，所以，，得，则.综上所述，原不等式的解集为.故选：D．【点睛】本题考查了利用函数的单调性解不等式和利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论思想和函数思想，属中档题．第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知圆与抛物线的准线相切，则__________．【答案】2【解析】试题分析：，圆心为，半径为4，抛物线准线为，由圆与直线相切可知考点：直线和抛物线的性质14.已知实数满足线性约束条件，则的最小值为______.【答案】1【解析】【分析】画出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义求解即可.【详解】该不等式组对应的平面区域，如下图所示可变为由，解得平移直线，当直线过点时，取最小值即故答案为：【点睛】本题主要考查了线性规划求最值的应用，属于中档题.15.在中，，，是边上的中线，将沿折起，使二面角等于，则四面体外接球的体积为______.【答案】【解析】【分析】由题意可知折起的三棱锥是一条侧棱垂直于底面的棱锥，由题意求出高及底面外接圆的半径，利用公式求出外接球的半径，进而求出外接球的体积．【详解】因为，为的中点，所以，在折起的过程中，，，，所以平面，因为二面角等于，所以，且，，在中，，外接圆半径为，设外接球的半径为，则，因此，所以外接球的体积为.故答案为：.【点睛】本题考查一条侧棱垂直于底面的三棱锥的外接球半径与三棱锥棱长的关系及球的体积公式，考查计算能力，属于中档题．16.设函数的定义域为，满足，且当时，，当时，函数的极大值点从小到大依次记为、、、、、，并记相应的极大值为、、、、、，则数列前项的和为____________.【答案】【解析】【分析】求出函数在区间上的解析式，利用导数求出函数在区间上的极大值点与极大值，可得出数列的通项公式，再利用分组求和法可求得数列的前项的和.【详解】函数的定义域为，满足，则，且当时，，则当，，，，当时，，则，令，可得，解得，当时，，当时，.所以，函数处取得极大值，即，又，，因此，数列的前项的和.故答案为：.【点睛】本题考查了数列的分组求和，同时也考查了利用导数求函数的极值点和极值，考查计算能力，属于中等题.三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列的前项和为，且满足，.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，记数列的前项和为，求证: .【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】【分析】（Ⅰ）根据与的关系，可得，从而判断为等比数列，利用等比数列的通项公式即可求解.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，利用等差数列的求和公式可得，再利用裂项求和法可求出，令，根据，利用不等式的性质得到结果.【详解】（1）因为，①当时，，②由①-②得，即，当时，，，所以数列为等比数列，其首项为，公比为，所以；（2）由（1）得，，所以，所以，.因为所以.【点睛】本题考查了与的关系、等比数列的通项公式、等差数列的前项和公式、裂项求和法以及证明不等式，综合性比较强，属于中档题.18.在四棱锥中，底面为正方形，.（1）证明：面⊥面；（2）若与底面所成的角为，，求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）要证面面垂直，一般先证线面垂直，设AC与BD交点为O，则PO⊥BD，而正方形中AC⊥BD，于是可证得结论．（2）由线面角的定义可得，以A为坐标原点，为x,y轴的正方向建立空间直角坐标系，然后写出各点坐标，求出面BPC和面DPC的法向量，再由法向量的夹角的余弦值得二面角的余弦．【详解】（1）证明：连接AC,BD交点为O，∵四边形ABCD 为正方形，∴∵，,∴,又∵,∴又,∴.（2）∵，过点P做,垂足为E∴∵PA与底面ABCD所成的角为，∴,又，设,则如图所示，以A为坐标原点，为x,y轴的正方向建立空间直角坐标系设面法向量为，,∴，，∴同理的法向量，∴求二面角的余弦值【点睛】在立体几何中求角问题的常用方法是建立空间直角坐标系，利用向量的夹角来求得空间角（如线面角、二面角）．解题关键是图中相互垂直的直线（最好是过同一点有三条相互垂直的直线）．19.某工厂加工某种零件需要经过，，三道工序，且每道工序的加工都相互独立，三道工序加工合格的概率分别为，，.三道工序都合格的零件为一级品；恰有两道工序合格的零件为二级品；其它均为废品，且加工一个零件为二级品的概率为.（1）求；（2）若该零件的一级品每个可获利200元，二级品每个可获利100元，每个废品将使工厂损失50元，设一个零件经过三道工序加工后最终获利为元，求的分布列及数学期望.【答案】（1）（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）二级品说明第一道工序不合格，第二、三道工序合格，或第二道工序不合格，第一、三道工序合格，或第三道工序不合格，第一、二道工序合格，由独立事件的概率公式可计算出；（2）的可能取值为200，100，，计算出概率后得分布列，由期望公式可计算期望．【详解】（1）设零件经，，三道工序加工合格的事件分别记为，，，则，，，，，.设事件为“生产一个零件为二级品”，由已知，，是相互独立事件，则，所以（2）的可能取值为200，100，，，，，则的分布列为200所以.【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率，考查随机变量的概率分布列与数学期望．考查学生的运算求解能力．20.设函数.（1）当时，求函数在点处的切线方程；（2）当时，恒成立，求整数的最大值.（参考数值：，,）【答案】（1）；（2）2【解析】【分析】(1)直接利用切线方程求解即可(2)利用参变分离法，不等式转变为证明（）恒成立，设，然后，利用导数去讨论出即可求出整数的最大值.【详解】解：（1）当时，，所以，因为所以切线方程为，整理得：（2），因为，所以（）恒成立设，则设则（）.所以在上单调递增，又,,所以存在使得，当时，,即；当时，即.所以在上单调递减，上单调递增.所以.因为所以-设，当时，，所以在上单调递增.则，即.所以因为，所以，所以的最大值为2.【点睛】本题考查切线方程的计算，以及如何利用导数解决不等式恒成立问题，本题的难点在于如何求出导函数隐零点的范围，属于难题21.已知椭圆与轴负半轴交于，离心率.（1）求椭圆的方程；（2）若过点的直线与曲线交于，两点，过点且与直线垂直的直线与直线相交于点，求的取值范围及取得最小值时直线的方程.【答案】（1）；（2）的取值范围是，最小值为，此时直线的方程为.【解析】【分析】（1）根据已知条件得出，再由离心率可得出的值，并求出的值，由此可得出所求椭圆的方程；（2）由题意可知，直线与轴不重合，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式求出，并求出点的坐标，进而求得，由此可得出的表达式，利用导数求出的取值范围，以及取最小值时对应的直线方程.【详解】（1）由题有，，，.因此，椭圆方程为；（2）当直线与轴重合时，则直线的垂线与直线平行，不合乎题意.设，将其与曲线的方程联立，得.即.设、，则，，，将直线与联立，得，..设，构造.在上恒成立，所以在上单调递增.所以，当且仅当，即时等号成立，所以的取值范围是，当取得最小值时，, 此时直线的方程为.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中取值范围问题的求解，考查了韦达定理、弦长公式的应用，考查计算能力，属于中等题.请考生在第22、23两题中任意选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.选修4-4:坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）直线与轴的交点为，经过点的直线与曲线交于两点，若，求直线的倾斜角.【答案】(1) ， (2) 或.【解析】【分析】（1）利用消去参数化曲线为普通方程，运用，即可化直线极坐标方程为直角坐标方程；（2）将直线方程化为具有几何意义的参数方程，代入曲线方程，利用根与系数关系结合直线参数的几何意义，即可求解.【详解】（1）曲线的普通方程为，因为，所以，直线的直角坐标方程为.（2）点的坐标为，设直线的参数方程为（为参数，为倾斜角），联立直线与曲线的方程得.设对应的参数分别为，则，所以，得，且满足，故直线的倾斜角为或.【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程和直角坐标方程互化，考查直线参数方程参数灵活应用，属于中档题.选修4-5：不等式选讲23.已知函数.（1）若，求不等式的解集；（2）若“，”为假命题，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1））当时，将函数写成分段函数，即可求得不等式解集.（2）根据原命题是假命题，这命题的否定为真命题，即“，”为真命题，只需满足即可.【详解】解：（1）当时，由，得.故不等式的解集为.（2）因为“，”为假命题，所以“，”为真命题，所以.因为，所以，则，所以，即，解得，即的取值范围为.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，以及绝对值三角不等式，属于基础题.2020届高三数学第三次模拟考试试题理（含解析）注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每道小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出集合，再利用交集的定义可求出集合.【详解】，因此，.故选：A.【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于基础题.2.已知为虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】求出复数，得出其对应点的坐标，确定所在象限．【详解】由题意,对应点坐标为，在第二象限．故选：B．【点睛】本题考查复数的几何意义，考查复数的除法运算，属于基础题．3.执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A. ﹣10B. ﹣3C. 4D. 5【答案】A【解析】第一次执行程序后，，第二次执行程序后，，第三次执行程序后，，第四次次执行程序后，，不成立，跳出循环，输出，故选A.4.已知向量，，设与的夹角为，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据向量的坐标运算求出向量，再利用向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】设，由，，可得，设与的夹角为，且则，所以.故选：C【点睛】本题考查了向量坐标表示、向量数量积的坐标运算，属于基础题.5.设，，，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出的取值范围，从而可得结果.【详解】,,,,故选C.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于基础题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.6.在某次数学测验后，将参加考试的名学生的数学成绩制成频率分布直方图（如图），则在该次测验中成绩不低于分的学生数是（）A. B. C. D.【分析】由频率分布直方图，可得低于100分的人数的频率，即可求得低于100分人数，进而求得不低于100分的人数．【详解】由频率分布直方图可知，低于100分的人数的频率为所以低于100分的人数为则不低于100分的人数为所以选C【点睛】本题考查了频率分布直方图的简单应用，属于基础题．7.从1，2，3，4，5中任取5个数字，组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数是偶数的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出基本事件总数n，再求出这个五位数是偶数包含的基本事件数m，利用古典概型的概率公式计算即可.【详解】从1，2，3，4，5这5个数字中任取5个数字组成没有重复数字的五位数，基本事件总数n＝＝120，这个五位数是偶数包含的基本事件个数m＝＝48，∴这个五位数是偶数的概率p＝．故选D．【点睛】本题考查古典概型概率的求法，是基础题.8.若的展开式中只有第项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数是A. B.C. D.∵的展开式中只有第项的二项式系数最大，∴为偶数，展开式共有项，则.的展开式的通项公式为，令，得.∴展开式中含项的系数是，故选D．【名师点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项，可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可；(2)已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.9.如图，在正四棱柱，中，底面边长为2，直线与平面所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为（）．A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】建立空间坐标系，设棱柱高为，求出平面的法向量，令，求出的值．【详解】以为原点，以，，为坐标轴建立空间坐标系如图所示，设，则，0，，，2，，，0，，则，2，，，0，，，0，，设平面的法向量为，，，则，，令可得，1，，故，．直线与平面所成角的正弦值为，，解得：．故选．【点睛】本题考查了空间向量与线面角的计算，属于中档题．10.已知函数是偶函数.若将曲线向左平移个单位长度后，得到曲线，则函数的单调递增区间是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】分析】把化为的式子，然后由偶函数定义可求得，由图象平移变换得，再解不等式即可．【详解】因为为偶函数，所以，即所以，解得，所以.将曲线向左平移个单位长度后，得到曲线，函数的减区间即为函数的增区间.所以函数的增区间为：故选：A.【点睛】本题考查三角函数的图象及其性质，考查两角和与差的正弦、余弦公式，考查图象变换，考查推理论证能力与运算求解能力.属于中档题.11.已知为双曲线：（，）左支上一点，，分别为的左、右焦点，为虚轴的一个端点，若的最小值为，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的定义可得，又即可得到关于的方程，解得.【详解】解：，即，化简得，即，解得或，所以.故选：【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查化归与转化的数学思想.12.已知定义域为的函数满足（为函数的导函数），则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】构造函数，根据条件判断在上的单调性，然后将所求不等式分、和三种情况得到不等式的解集．【详解】令，则，定义域为的函数满足，，函数在上单调递增，当时，由，知，当时，显然不等式成立.当时，则，所以，整理得，即，所以，，得，则；当时，则，所以，整理得，即，所以，，得，则.综上所述，原不等式的解集为.故选：D．【点睛】本题考查了利用函数的单调性解不等式和利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论思想和函数思想，属中档题．第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知圆与抛物线的准线相切，则__________．【答案】2【解析】试题分析：，圆心为，半径为4，抛物线准线为，由圆与直线相切可知考点：直线和抛物线的性质14.已知实数满足线性约束条件，则的最小值为______.【答案】1【解析】【分析】画出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义求解即可.【详解】该不等式组对应的平面区域，如下图所示可变为由，解得平移直线，当直线过点时，取最小值即故答案为：【点睛】本题主要考查了线性规划求最值的应用，属于中档题.15.在中，，，是边上的中线，将沿折起，使二面角等于，则四面体外接球的体积为______.【答案】【解析】【分析】由题意可知折起的三棱锥是一条侧棱垂直于底面的棱锥，由题意求出高及底面外接圆的半径，利用公式求出外接球的半径，进而求出外接球的体积．【详解】因为，为的中点，所以，在折起的过程中，，，，所以平面，因为二面角等于，所以，且，，在中，，外接圆半径为，设外接球的半径为，则，因此，所以外接球的体积为.故答案为：.【点睛】本题考查一条侧棱垂直于底面的三棱锥的外接球半径与三棱锥棱长的关系及球的体积公式，考查计算能力，属于中档题．16.设函数的定义域为，满足，且当时，，当时，函数的极大值点从小到大依次记为、、、、、，并记相应的极大值为、、、、、，则数列前项的和为____________.【答案】【解析】【分析】求出函数在区间上的解析式，利用导数求出函数在区间上的极大值点与极大值，可得出数列的通项公式，再利用分组求和法可求得数列的前项的和.【详解】函数的定义域为，满足，则，且当时，，则当，，，，当时，，则，令，可得，解得，当时，，当时，.所以，函数处取得极大值，即，又，，因此，数列的前项的和.故答案为：.【点睛】本题考查了数列的分组求和，同时也考查了利用导数求函数的极值点和极值，考查计算能力，属于中等题.三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列的前项和为，且满足，.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，记数列的前项和为，求证: .【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】【分析】（Ⅰ）根据与的关系，可得，从而判断为等比数列，利用等比数列的通项公式即可求解.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，利用等差数列的求和公式可得，再利用裂项求和法可求出，令，根据，利用不等式的性质得到结果.【详解】（1）因为，①当时，，②。
2020届安徽省江淮十校高三第三次联考数学(文)试题(解析版)
2020届安徽省江淮十校高三第三次联考数学（文）试题一、单选题1．已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先解不等式得集合A,B，再根据交集定义得结果.【详解】，，，故选.【点睛】本题考查解指数不等式、解一元二次不等式以及交集定义，考查基本求解能力，属基础题.2．已知复数满足（其中为虚数单位），则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据复数除法法则化简即可.【详解】由知:，，故选.【点睛】本题考查复数除法法则，考查基本求解能力，属基础题.3．如图所示，程序框图的输出结果是（）A．B．C．D．【答案】C4．已知数列满足，则的最小值为（）A．B．C．8 D．9【答案】C5．已知一个四棱锥的正视图、侧视图如图所示，其底面梯形的斜二测画法的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且该梯形的面积为，则该四棱锥的体积是（）A．4 B．C．D．【答案】A6．对具有线性相关关系的变量，，有一组观测数据，其回归直线方程为，且，则实数的值是（）A．B．C．D．7．甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，若，就称甲乙“心有灵屏”.现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（）A．B．C．D．【答案】C8．已知奇函数，（其中，）在有7个零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】先利用辅助角公式化简，再根据奇函数得，最后根据零点个数列不等式，解得结果.【详解】，且为奇函数，，，，令，得，由题意恰有7整数满足.则满足条件的整数为-3，-2，-1，0，1，2，3，故，即故选.【点睛】本题考查正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.9．已知为坐标原点，，若点的坐标满足，则的最大值是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C10．当动点在正方体的棱上运动时，异面直线与所成角的取值范围（）A．B．C．D．【答案】C【解析】通过平行找线线角，再根据三角形求角.设正方体棱长为1，，则，连接，，由可知，∠即为异面直线与所成角，在中，，，故，又，，又在为单调减函数，，故选.【点睛】本题考查异面直线所成角，考查基本分析求解能力，属基础题.11．已知在中，角，，所对的边分别为，，，且，点为其外接圆的圆心.已知，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先化简得，再根据余弦定理以及基本不等式求最小值.【详解】设中点为，则，，即，由知角为锐角，故，当且仅当，即时最小，故选.【点睛】本题考查余弦定理、基本不等式以及向量数量积，考查基本分析求解能力，属中档题.12．已知函数有唯一的零点，且，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】将函数零点问题转化为两个函数图象交点问题，再结合图象确定满足的条件，【详解】令即：，在同一坐标系中分别作出与的图象知，为增函数，而为减函数，要是交点的横坐标落在区间内，必须：，即：，故选【点睛】本题考查函数零点，考查数形结合思想方法以及基本分析求解能力，属中档题.二、填空题13．若命题“，”的否定是假命题，则实数的取值范围是____.【答案】【解析】先转化为原命题为真，再根据函数最值求实数的取值范围.【详解】因为命题的否定是假命题，故原命题为真，即不等式对恒成立，又在为增函数，，即.即实数的取值范围是：.【点睛】本题考查命题否定的真假以及不等式恒成立问题，考查基本分析转化求解能力，属中档题.14．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，且不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是_____.【答案】答案：【解析】先根据函数奇偶性得函数解析式以及单调性，再根据单调性化简不等式，最后将不等式恒成立问题转化为对应函数最值问题，解得结果.【详解】由为奇函数，.设，，，即，故，从而，故不等式同解于，又为上的单调增函数，故，即对任意的恒成立，，即或.【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性以及不等式恒成立问题，考查基本分析转化求解能力，属中档题.15．已知椭圆的离心率为，过右焦点作倾斜角60°的直线交于，两点（A在第一象限），则________.【答案】【解析】先根据直线方程与椭圆方程解得A横坐标，再根据椭圆定义化简求值.【详解】因为离心率为，所以,设直线的方程代入椭圆方程：得：，又∵点在第一象限，故，所以【点睛】本题考查直线与椭圆交点以及椭圆定义，考查基本分析转化求解能力，属中档题.16．在中，角，，的对边分别为，，，且，若，的面积记为，则当取得最小值时，______.【答案】【解析】先根据正弦定理化边的关系，再根据余弦定理求，最后根据基本不等式求最值，进而确定S值，解得结果.【详解】由正弦定理及得：，即：，由余弦定理可知：，，又，当且仅当时，即时，取得最小值，此时，.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理以及基本不等式求最值，考查基本分析转化求解能力，属中档题.三、解答题17．数列中，，，其中，，，令.（1）证明：数列是等差数列，并求的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）见证明，，（2）【解析】（1）先根据向量数量积得递推关系，再根据等差数列证结论，最后根据等差数列通项公式得结果，（2）利用错位相减法求和.【详解】（1），得：，即，故数列是等差数列，且，，（2），，，①，②①-②得：，.【点睛】本题考查等差数列定义、等差数列通项公式以及错位相减法求和，考查基本分析转化求解能力，属中档题.18．三棱柱中，为的中点，点在侧棱上，平面.（1）证明：是的中点；（2）设，四边形是边长为2的正方形，四边形为矩形，且，求三棱锥的体积.【答案】（1）见证明；（2）【解析】（1）取的中点，利用线面平行判定定理与性质定理、面面平行判定定理以及性质定理得，即得结果.（2）先根据线面垂直得线线垂直，再根据直角三角形得，最后根据锥体体积公式得结果.【详解】（1）证明：取的中点，连、，因为为中点，所以.平面，平面，平面.又由已知平面，且，所以平而平而.又平面，所平面.而平面，且平面平面，所以，而为的中点，所以为的中点.（2）因为为正方形，所以，又，所以，而，所以平面.连，则.设，于是，由，知，所以.即，所以【点睛】本题考查线面平行与垂直判定定理与性质定理、面面平行判定定理与性质定理以及锥体体积公式，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.19．2018年非洲猪瘟在东北三省出现，为了进行防控，某地生物医药公司派出技术人员对当地一养猪场提供技术服务，收费标准是：每天公司收取养猪场技术服务费120元，当天若需要用药的猪不超过45头，不另外收费，若需要用药的猪超过45头，超过部分每头收取药费8元.（1）设医药公司日收费为（单位：元），每天需要用药的猪的数量为（单位：头），，试写出医药公司日收取的费用关于的函数关系式；（2）若该医药公司从10月1日起对该养猪场提供技术服务，10月31日该养猪场对其中一个猪舍9月份和10月份猪的发病数量进行了统计，得到如下列联表.9月份10月份合计未发病4085125发病652085合计105105210根据以上列联表，判断是否有99.9%的把握认为猪未发病与医药公司提供技术服务有关？附：，其中.0.0500.0100.0013.841 6.63510.828【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）根据条件列分段函数，（2）根据公式求得，对照数据比较大小作出判断. 【详解】（1）（2）由列联表可得：，∵，所以有99.9%的把握认为猪未发病与医药公司提供技术服务有关.【点睛】本题考查分段函数解析式以及卡方公式，考查基本分析求解能力，属中档题.20．已知抛物线的焦点为，，是抛物线上的两个动点，且，过，两点分别作抛物线的切线，设其交点为.（1）若直线与，轴分别交于点，，且的面积为，求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【详解】（1）设，，抛物线方程写成，，则以点为切点的抛物线的切线的方程为：，又，即，，，，故，∴，，从而.（2）由（1）知：，即：，同理，解得因为，，三点共线，易知直线斜率不存在时不成立，所以方程可设为，联立，整理得，可得，所以，又，所以，，故，所以.【点睛】本题考查导数几何意义以及直线与抛物线位置关系，考查基本分析求解能力，属中档题. 21．已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）若存在，使得对任意的，成立，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【详解】(1) ，但是：，故在为增函数，在也为增函数.（2）由（1）可知，当时，为增函数根据题意可知：对任意的恒成立.令，则当时，，令，问题转化为对任意的恒成立，由抛物线的开口向上知：即，解得故实数的取值范围是.22．在直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数），把曲线横坐标缩短为原来的，纵坐标缩短为原来的一半，得到曲线，直线的普通方程是，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系；（1）求直线的极坐标方程和曲线的普通方程；（2）记射线与交于点，与交于点，求的值.【答案】（1）直线的极坐标方程：；曲线的普通方程为：（2）【详解】（1）将代人直线的方程，得：，化简得直线的极坐标方程：由曲线的参数方程消去参数得曲线的普通方程为：，经过伸缩变换得代入得：，即，故曲线的普通方程为：（2）由（1）将曲线的普通方程化为极坐标方程：，将代人得，将代入得：，故.【点睛】本题考查直角坐标方程化极坐标方程、参数方程化普通方程以及极坐标方程的应用，考查基本分析求解能力，属中档题.23．已知函数.（1）若对任意的，恒有成立，求实数的取值范围；（2）设，且，时函数的最小值为3，求的最小值.【答案】（1）（2）【详解】（1）不等式同解于，即，故解集为，由题意，，.（2）故.当且仅当即取等号.故的最小值为.。
2020届高三第三次调研考试 理科数学 参考答案与评分细则
惠州市2020届高三第三次调研考试理科数学参考答案及评分细则一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DBDACADDADBC1.【解析】{21}{0}x A x x x =<=<，{0}U C A x x =≥，故选D.2.【解析】21313i i 2222z =+=-+（），所以对应的点在第二象限，故选B.3.【解析】20201log πa =2020log 10<=，20201πb ⎛⎫= ⎪⎝⎭()01∈，，1π2020c =1>，所以a b c <<.故选D.4.【解析】因为角θ终边落在直线3y x =上，所以tan 3θ=，21cos 10θ=， 所以3sin(2)2πθ-24cos 2(2cos 1).5θθ=-=--=故选A. 5.【解析】如图所示，MP →＝AP →－AM →＝12AD →－45AC →＝12AD →－45(AB →＋AD →)＝12b r －45(a r ＋b r )＝－45a r －310b r.故选C. 6.【解析】依题意，知－4a ＝－12a ，且－52a ≠12，解得a ＝±2.故选A.7.【解析】1233243546521()()()()()n n n n S a a a a a a a a a a a a a a ++=++++=-+-+-+-+-L L2221n n a a a ++=-=-，所以201920211S a =-，故选D.8.【解析】11332815.14C C P C +==故选D. 9.【解析】()21sin 1xf x x e⎛⎫=- ⎪+⎝⎭1sin 1x x e x e ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭是偶函数，排除C 、D ，又(1)0,f >Q 故选A. 10.【解析】如图：α//面CB 1D 1，α∩面ABCD =m ，α∩面ABA 1B 1=n ，可知n//CD 1，m//B 1D 1，因为△CB 1D 1是正三角形，m n 、所成角为60°． 则m 、n 所成角的正弦值为√32．故选D ．11.【解析】设直线AB 的方程为：x =ty +m ，点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)， 直线AB 与x 轴的交点为M(m,0)，由{x =ty +my 2=x ⇒y 2−ty −m =0，根据韦达定理有y 1⋅y 2=−m , ∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，∴x 1⋅x 2+y 1⋅y 2=2，z结合y 12=x 1及y 22=x 2，得(y 1⋅y 2)2+y 1⋅y 2−2=0，∵点A 、B 位于x 轴的两侧，∴y 1⋅y 2=−2，故m =2．不妨令点A 在x 轴上方，则y 1>0,又F(14,0), ∴S △ABO +S △AFO =12×2×(y 1−y 2)+12×14y 1=98y 1+2y 1≥2√98y 1⋅2y 1=3．当且仅当98y 1=2y 1，即y 1=43时，取“=”号，∴△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是3．故选B ．12.【解析】 (x 0,x 0+1)区间中点为x 0+12，根据正弦曲线的对称性知f(x 0+12)=−1,①正确。
2020届全国示范性名校高三第三次联考数学(理)试卷及参考答案
绝密★启用前（在此卷上答题无效）姓名：________________准考证号：________________2020届全国示范性名校高三三联数学（理科）试题（150分，120分钟）一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)1.设集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{4,5,6,7}，则满足S A 且S ∩B ≠∅的集合S 的个数为( ) A ． 57 B ． 56 C ． 49 D ． 82.一个样本a,3,5,7的平均数是b ，且a ，b 是方程x 2－5x ＋4＝0的两根，则这个样本的方差是( )A ． 3B ． 4C ． 5D ． 63.在球O 内任取一点P ，使得点P 在球O 的内接正方体中的概率是( ) A ．π B ．π C ．π D ．π4.在某学校组织的数学竞赛中，学生的竞赛成绩ξ～N(95，σ2)，p(ξ＞120)＝a ，P(70＜ξ＜95)＝b ，则直线ax ＋by ＋＝0与圆x 2＋y 2＝2的位置关系是( ) A ． 相离 B ． 相交 C ． 相离或相切 D ． 相交或相切5.在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ，b ，|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，点Q 满足＝ (a ＋b ).曲线C ＝{P|＝a cos θ＋b sin θ，0≤θ＜2π}，区域Ω＝{P|0＜r ≤| |≤R ，r ＜R}.若C ∩Ω为两段分离的曲线，则( )A ． 1＜r ＜R ＜3B ． 1＜r ＜3≤RC ．r ≤1＜R ＜3D ． 1＜r ＜3＜R6.已知二次函数f(x)＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f(x)>1的解集为( )A ． (－∞，－1)∪(0，＋∞)B ． (－∞，0)∪(1，＋∞)C ． (－1,0)D ． (0,1)7.如图所示，有三根柱子和套在一根柱子上的n 个盘子，按下列规则，把盘子从一根柱子上全部移到另一根柱子上.(1)每次只能移动一个盘子；(2)在每次移动过程中，每根柱子上较大的盘子不能放在较小的盘子上面.若将n 个盘子从1号柱子移到3号柱子最少需要移动的次数记为f(n)，则f(5)等于( )A ． 33B ． 31C ． 17D ． 15 8.已知z 1，z 2是复数，定义复数的一种运算“”为：z 1z 2＝若z 1＝2＋i 且z 1z 2＝3＋4i ，则复数z 2等于( )A ． 2＋iB ． 1＋3iC ． 2＋i 或1＋3iD ． 条件不够，无法求出9.已知函数f(x)＝ x 3＋ax 2－bx ＋1(a ，b ∈R ) 在区间[－1,3]上是减函数，则b 的最小值是( ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 410.由9个互不 相 等 的 正 数 组 成 的 数 阵中，每 行 中 的 三 个 数 成 等 差 数 列，且、、成等比数列，下列四个判断正确的有（ ） ①第2列必成等比数列 ②第1列不一定成等比数列-1-（20-GSSL-QGYB ） -24-52GH-③④若9个数之和等于9，则A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个11.tan(π－θ)＋tan(π＋θ)＋tan(π－θ)tan(π＋θ)的值是( )A． B． C． 2 D．12.已知偶函数f(x)：Z Z，且f(x)满足：f(1)＝1，f(2 015)≠1，对任意整数a，b都有f(a＋b)≤max{f(a)，f(b)}，其中max(x，y)＝则f(2 016)的值为( )A． 0 B． 1 C． 2 015 D． 2 016二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)13.已知正数a，b，c满足3a－b＋2c＝0，则的最大值为________．14.已知平面区域C1：x2＋y2≤4(＋|y|)，则平面区域C1的面积是________．15.已知(x＋2)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，|a1|＋|a2|＋…＋|a9|的值为________．16.在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1，第二次取2个连续偶数2、4；第三次取3个连续奇数5、7、9；第四次取4个连续偶数10、12、14、16；第五次取5个连续奇数17、19、21、23、25.按此规则一直取下去，得到一个子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，….则在这个子数列中，由1开始的第29个数是________；（2分）第2 014个数是________.（3分）三、解答题(共70分)（一）必考题（60分）17.（本小题满分12分）设f(x)＝cos2x＋asinx－－(0≤x≤π).(1)用a表示f(x)的最大值M(a)；(2)当M(a)＝2时，求a的值.18.（本小题满分12分）一种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球，已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，；若前次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，记第n(n∈Z，n≥1)次按下按钮后出现红球的概率为P n.(1)当n∈Z，n≥2时，用P n－1表示P n；(2)求P n关于n的表达式．19.（本小题满分12分）已知函数f(x)＝e x－ln (x＋m)．(1)设x＝0是f(x)的极值点，求函数f(x)在[1,2]上的最值．(2)若对任意x1，x2∈[0,2]且x1>x2，都有>－1，求m的取值范围．(3)当m≤2时，证明f(x)>0.-2-（20-GSSL-QGYB） -24-52GH-20.（本小题满分12分）已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的上顶点M与左、右焦点F1，F2构成△MF1F2的面积为，又椭圆C的离心率为.(1)若直线l与椭圆C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且x1＋x2＝2，又直线l1：y＝k1x＋m是线段AB的垂直平分线，求实数m的取值范围；(2)椭圆C的下顶点为N，过点T(t,2)(t≠0)的直线TM，TN分别与椭圆C交于E，F两点．若△TMN的面积是△TEF的面积的k倍，求k的最大值．21.（本小题满分12分）已知Q2＝称为x，y的二维平方平均数，A2＝称为x，y的二维算术平均数，G2＝称为x，y的二维几何平均数，H2＝称为x，y的二维调和平均数，其中x，y均为正数.(1)试判断G2与H2的大小，并证明你的猜想；(2)令M＝A2－G2，N＝G2－H2，试判断M与N的大小，并证明你的猜想；(3)令M＝A2－G2，N＝G2－H2，P＝Q2－A2，试判断M，N，P三者之间的大小关系，并证明你的猜想. （二）选考题（10分）（请从22，23题中任选一题作答，如果多做，按22题记分）-3-（20-GSSL-QGYB） -24-52GH-23.（选修4-5：不等式选讲）伯努利不等式，又称贝努利不等式，是分析不等式中最常见的一种不等式，由数学家伯努利提出。
2020年高三第三次模拟考试卷理科数学(四)(含答案)
那么外接球的表面积是 4π ( 3) 2 12π．
10．答案： B
x
x
解： f (x)
et dt
costdt
(et
x
)
(sin t
x
)
(ex 1)sin x ，
0
0
0
0
则 f (x)
x
e
sin
x
( ex
1)cos x
ex (sin x cos x) cos x ，
π 则f( )
4
2
．
2
11．答案： D
并指出轨迹是什么图形．
2020 届高三第三次模拟考试卷
理 科 数 学（四）答 案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共
12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1．答案： B
解：可得 z 2 1 i ，则 z 1 i ，那么 z z 2 ． 1i
2．答案： D
3
，
2
2
2
2
4
π ∵ 0 A ，∴ sin A
3 ，∴ A 60 ．
2
2
（ 2） bc cosA 12 ，∴ bc 24 ，
由 a2
2
b
2
c
2
2bc cos A ，得 b
2
c
52 ，
∵ b c ，∴ b 4 ， c 6 ． 18．答案：（ 1） 0.784 ；（2）分布列见解析， EX 240 元．
C． 2
11．设方程 3 x ln x 的两个根分别为 x1 ， x2 ，则（
）
A． x1x2 0
B． x1x2 1
安徽省江淮十校高三下学期第三次联考理科数学试卷 Word版含答案
“江淮十校”2017届高三第三次联考理数试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数3sin 3cos i z +=（i 为虚数单位），则z 为（ ） A.1 B.2 C.3 D.42.()021>-⋅x x 的解集为（ ）A.()⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21,00, B.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21, C.⎪⎭⎫⎝⎛+∞,21 D.⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 3.()22cos sin 04-=-⎰dx x a x π，则实数a 等于（ ） A.1 B.2 C.1- D.3-4.执行如图所示的程序框图，若输入的n 的值为5，则输出的S 的值为（ ）A.17B.36C.52D.725.函数()c bx x x f +-=2，满足()()x f x f -=+11，且()30=f ，则()xbf 与()xc f 的大小关系是（ ） A.()()xxc f bf ≤ B.()()xxc f b f ≥ C.()()xxc f b f > D.与x 有关，不确定6.如图，半径为cm 5的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为cm 1的小圆，现将半径为cm 1的一枚硬币抛到此纸板上，使整块硬币完全随机落在纸板内，则硬币与小圆无公共点的概率为（ ）A.21 B.2521 C.41 D.437.如图，正四面体ABCD 中，E 、F 分别是棱BC 和AD 的中点，则直线AE 和CF 所成的角的余弦值为（ ）A.31 B.32 C.41 D.43 8.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为1F 、2F ，且两条曲线在第一象限的交点为P ，21F PF ∆是以1PF 为底边的等腰三角形，若101=PF ，椭圆与双曲线的离心率分别为1e 、2e ，则21e e ⋅的取值范围是（ ）A.()+∞,0B.⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,31C.⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,51D.⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,919.已知0>a ，x 、y 满足约束条件()⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥331x a y y x x ，若y x z +=2的最小值为1，则=a （ ）A.21 B.31C.1D.2 10.定义：()()0,0,>>=y x y y x F x，已知数列{}n a 满足：()()n F n F a n ,22,=()*∈N n ，若对任意正整数n ，都有k n a a ≥()*∈N k 成立，则ka的值为（ ）A.21 B.2 C.89 D.9811.一光源P 在桌面A 的正上方，半径为2的球与桌面相切，且PA 与球相切，小球在光源P 的中心投影下在桌面产生的投影为一椭圆，如图所示，形成一个空间几何体，且正视图是PAB Rt ∆，其中6=PA ，则该椭圆的短轴长为（ ）A.6B.8C.34D.3 12.设函数()x f 满足()()x x x f x xf ln =+，()ee f 1=，则函数()x f （ ） A.在),0(e 上单调递增，在()+∞,e 上单调递减 B.在()+∞,e 上单调递增，在()e ,0上单调递减 C.在()+∞,0上单调递增 D.在()+∞,0上单调递减第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设有两个命题，p :关于x 的不等式1>x a （0>a ,且1≠a ）的解集是{}0<x x ；q :函数()a x ax y +-=2lg 的定义域为R .如果q p ∨为真命题，q p ∧为假命题，则实数a 的取值范围是 .14.()82121⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x x 的展开式中的常数项为_________.15.2=()-的夹角为30最大值为________.16.如图，矩形ABCD 中，42==BC AB ，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻转成DE A 1∆.若M 为线段C A 1的中点，则在ADE ∆翻折过程中：①BM 是定值；②点M 在某个球面上运动；③存在某个位置，使C A DE 1⊥；④存在某个位置，使∥MB 平面DE A 1. 其中正确的命题是_________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知向量()1,sin -=x ，向量⎪⎭⎫⎝⎛-=21,cos 3x n ，函数()()x f ⋅+=. （1）求()x f 的最小正周期T ；（2）已知a 、b 、c 分别为ABC ∆内角A 、B 、C 的对边，A 为锐角，32=a ，4=c ，且()A f 恰是()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最大值，求A 和b 的值. 18.四棱锥ABCD P -中，⊥PD 面ABCD ，底面ABCD 是菱形，且2==DA PD ，︒=∠60CDA ，过点B 作直线PD l ∥，Q 为直线l 上一动点.（1）求证：AC QP ⊥；（2）当二面角P AC Q --的大小为120时，求QB 的长； （3）在（2）的条件下，求三棱锥ACP Q -的体积.19.医生的专业能力参数K 可有效衡量医生的综合能力，K 越大，综合能力越强，并规定：能力参数K 不少于30称为合格，不少于50称为优秀.某市卫生管理部门随机抽取300名医生进行专业能力参数考核，得到如图所示的能力K 的频率分布直方图：（1）求出这个样本的合格率、优秀率；（2）现用分层抽样的方法从中抽中一个样本容量为20的样本，再从这20名医生中随机选出2名.①求这2名医生的能力参数K 为同一组的概率；②设这2名医生中能力参数K 为优秀的人数为X ，求随机变量X 的分布列和期望. 20.如图，已知椭圆1C 的中心在原点O ，长轴左、右端点M 、N 在x 轴上，椭圆2C 的短轴为MN ，且1C 、2C 的离心率都为e ，直线MN l ⊥,l 与1C 交于两点，与2C 交于两点，这四点纵坐标从大到小依次为A 、B 、C 、D .（1）设21=e ，求BC 与AD 的比值； （2）若存在直线l ,使得AN BO ∥，求两椭圆离心率e 的取值范围. 21.已知函数()x a xx x f ln 22++=（0>x ，a 为常数）. （1）讨论函数()()2x x f x g -=的单调性；（2）对任意两个不相等的正数1x 、2x ，求证：当0≤a 时，()()⎪⎭⎫⎝⎛+>+222121x x f x f x f .请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合，直线的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=t y t x 541531（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4sin 2πθρ.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线与曲线C 相交于M 、N 两点，求M 、N 两点间的距离. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()14--+=x x x f . （1）解不等式()3>x f ；（2）若不等式()aax f 2541⨯-≤+有解，求实数a 的取值范围.“江淮十校”2017届高三第三次联考·理数参考答案一、选择题1.A 解析：13sin 3cos 22=+=z ，故选项为A.2.A 解析：分0<x 和0≥x 两种情况，当0≥x 时，原不等式即为()021>-x x ，所以210<<x ；当0<x 时，原不等式即为()021>--x x ，所以0<x ，综上两种情况，()⎪⎭⎫⎝⎛∞-∈21,00, x ，故选A.3.B 解析：1222204)sin cos ()cos (sin 40+--=--=-⎰a x a x dx x a x ππ，2212222-=+--∴a ，2=∴a ，故选B. 4.D 解析：根据程序框图可知1=k ，0S =，进入循环体后，循环次数、S 的值、k 的值的变化情况为：所以输出的S 的值为72.故选D.5.A 解析：由()()x f x f -=+11知：函数()x f 的图象关于直线1=x 对称，2=∴b ，由()30=f 知：3=c ,()()x x f b f 2=∴,()()x x f c f 3=.当0>x 时，123>>x x ，而函数()x f 在[)+∞,1单调增，()()xxf f 23>∴，即()()x x c f b f <；当0=x 时，123==xx ，()()xxf f 23=∴，即()()xxc f b f =；当0<x 时，1230<<<xx ，函数()x f 在()1,∞-单调减，()()xxf f 23>∴，即()()x x c f b f <；综上知：()()xxc f bf ≤，选A.6.D 解析：由题意可得，硬币要落在纸板内，硬币圆心距离纸板圆心的距离应该小于4，硬币与小圆无公共点，硬币圆心距离小圆圆心要大于2，先求出硬币落在纸板上的面积，然后再求解硬币落下后与小圆没交点的区域的面积，代入古典概率的计算方式可求. 记“硬币落下后与小圆无公共点”为事件A ，硬币要落在纸板内，硬币圆心距离纸板圆心的距离应该小于4，其面积为π16，无公共点也就意味着，硬币的圆心与纸板的圆心相距超过cm 2，以纸板的圆心为圆心，作一个半径cm 2的圆，硬币的圆心在此圆外面，则硬币与半径为cm 1的小圆无公共交点.所以有公共点的概率为164，无公共点的概率为()431641=-=A p ，故答案为D.7.B 解析：连接BF 、EF ，则⊥AD 面BCF ，∴AE 在平面BCF 上的射影为EF ，设异面直线AE 和CF 所成的角为θ，正四面体棱长为1，则23==CF AE ,22=EF .由EFC AEF ∠⋅∠=cos cos cos θ知：3223222322cos =⋅=θ，故选B.8.B 解析：设椭圆和双曲线的焦距为c 2，椭圆的长轴为12a ，双曲线的实轴长为22a ，则：12210a c =+，22210a c =-，两式相减得：21224a a c -=，即21121=-e e ，21121e e +=∴，1111212222221-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=∴e e e e e 为2e 的减函数，又2e >1,312122221<+=∴e e e e ,即21e e 31>.故选B.9.A 10.D 11.C 12.Dd二、填空题13.210≤<a 或1≥a 14. 42- 15. 4 16.①②④ 三、解答题17.解析：（1）()()21cos sin 31sin 2+++=⋅+=x x x m n m x f 2)62sin(22cos 212sin 232122sin 3122cos 1+-=+-=+++-=πx x x x x . ππ==22T . （2）由（1）知：2)62sin()(+-=πx x f ，∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，65626πππ≤-≤-x ， 当262ππ=-x 时()x f 取得最大值3，此时3π=x .由()3=A f 得3π=A .由余弦定理，得A bc c b a cos 2222-+=，∴214216122⨯⨯-+=b b ， 即0442=+-b b ，则2=b .18.解析:（1）由题意知直线QP 在面ABCD 上的射影为DB , 又菱形ABCD 中AC DB ⊥，由三垂线定理知AC QP ⊥.（2）PAC ∆和AC Q ∆都是以AC 为底的等腰三角形，设AC 和BD 的交点为O ,连接OQ OP 、，则POD ∠是二面角D AC P --的平面角， 由332tan <=∠POD 知，二面角B AC P --大于 120， 所以点Q 与点P 在平面ABCD 的同侧，如图所示.则POQ ∠是二面角Q AC P --的平面角，故120=∠POQ . 在POD Rt ∆中，7=OP ，设x QB =，则OBQ Rt ∆中，32+=x Q O ，在直角梯形PDBQ 中，164)32(222+-=+=x x x)-(2PQ ，在POQ ∆中，由余弦定理得x 7(x 46)32-=+，故046>-x 且051632=+-x x ， 解得31=x ，即31=QB . （3）由（2）知：372=OQ ，637120sin 372721=⨯⨯⨯=∆ POQ S ，且⊥AC 面 POQ ，∴93731=⋅=+=∆---AC S V V V POQ POQ C POQ A ACP Q . 19.解析：（1）合格率：8.02.011002.01=-=⨯-. 优秀率：3.010005.010010.010015.0=⨯+⨯+⨯.（2）由题意知，这20名医生中，]30,20[有4人，]40,30[有6人，]50,40[有4人，]60,50[有3人，]70,60[有2人，]80,70[有1人.①190312202223242624=++++=C C C C C C P . ②优秀的人数为：6123=++人，210、、=X .19091)0(220214===C C X P ，9542)1(22016114===C C C X P ，383190152)2(220====C C X P ， ∴X 的分布列是：故X 的期望是595)(==X E .【或解】由题意：)206,2(B ~X ，所以532062)(=⨯=X E .20.【解析】（1）因为1C 、2C 的离心率相同，故依题意可设)0(,1:,1:22422222221>>=+=+b a ax a y b C b y a x C .设直线)(:a t t x l <=分别和1C 、2C 的方程联立，求得),(),,(2222t a ab t B t a b a t A --.当21=e 时，a b 23=，分别用A y 、B y 表示A 、B 的纵坐标，可知432222===a b y y AD BC A B . （2）0=t 时的l 不符合题意，0≠t 时，AN BO ∥，当且仅当BO 的斜率BO k 与AN 的斜率AN k 相等，即：at t a b a t t a a b --=-2222，解得a e e b a ab t ⋅--=--=222221. 因为a t <，又10<<e ，所以1122<-ee ，解得122<<e . ∴当122<<e 时，存在直线l ,使得AN BO ∥，即离心率e 的取值范围是)1,22(. 21.解：（1）()x a x x x f x g ln 2)(2+=-=，∴)0(22)(22>-=+-='x xax x a x x g . ①当0≤a 时，0)(<'x g ，()x g 在),0(+∞为减函数；②当0>a 时，2)2()(xa x a x g -='， 当ax 20<<时，0)(<'x g ，()x g 为减函数； 当ax 2>时，0)(>'x g ，()x g 为增函数. ∴当0>a 时，()x g 在)2,0(a 上为减函数，()x g 在),2(+∞a上为增函数. （2）证明：以1x 为自变量，构造()()),0(,22)(22+∞∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=x x x f x f x f x t . ∴2)(21)(21)(2x x f x f x t +-'='，又xa x x x f +-='222)(， ]2)(8)[(2121)(22222x x a x x x x x a x x x t +++-+-+-=' ])(2)(321)[(222222x x x a x x x x x x x +-+++-= ∵0)(2,0)(3,02122222>+->++>x x x a x x x x x ，∴0)(2)(32122222>+-+++x x x a x x x x x . 故当),0(2x x ∈时，0)(<'x t ，)(x t 为减函数；当),(2+∞∈x x 时，0)(>'x t ，)(x t 为增函数.故对一切),0(+∞∈x ，0)()(2=≥x t x t .当且仅当2x x =时取等号.题中21x x ≠，故0)(1>x t 恒成立.得证.22.解：（1）由⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4sin 2πθρ得，θθρcos sin +=， 两边同乘ρ得0sin cos 2=--θρθρρ，再由y x y x ==+=θρθρρsin ,cos ,222，得曲线C 的直角坐标方程是022=--+y x y x .（2）将直线参数方程代入圆C 方程得0202152=+-t t ， 4,5212121==+t t t t ，5414)(2122121=-+=-=t t t t t t MN . 23.解：（1）⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-+-≤-=1,5,14,324,5)(x x x x x f .则当4-≤x 时，不成立；当14<<-x 时，332>+x ，解得10<<x ；当1≥x 时，35>成立，故原不等式的解集为{}0>x x .（2）由()a a x f 2541⨯-≤+即1254)(-⨯-≤a a x f 有解，转化为求函数)(x f 的最小值. ∵5)1()4(14=--+≤--+x x x x 恒成立.当且仅当0)1)(4(≥-+x x 即4-≤x 或1≥x 时，上式取等号，故)(x f 的最小值为5-， ∴51254-≥-⨯-a a ，即04254≥+⨯-a a ，即42≥a 或12≤a，∴2≥a 或0≤a ， 故实数a 的取值范围是),2[]0,(+∞-∞ .。
2020届高三第三次模拟考试卷 理科数学(二) 解析版
2020届高三第三次模拟考试卷理 科 数 学（二）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．已知全集为实数集R ，集合2{|280}A x x x =+->，2{|log 1}B x x =<，则()A B =R I ð（ ）A ．[4,2]-B ．[4,2)-C ．(4,2)-D ．(0,2)答案：D解：依题意，[4,2]A =-R ð，(0,2)B =，则()(0,2)A B =R I ð． 2．已知,a b ∈R ，若i a +与3i b -互为共轭复数，则2(i)a b -=（ ） A ．86i + B ．86i - C ．86i --D ．86i -+答案：B解：因为3a =，1b =，所以2(3i)86i -=-．3．若双曲线22221(0)2x y m m m -=>+的离心率为2，则实数m 的值为（ ）A ．1B ．13C ．2D ．3答案：A解：由题意，得2222m m m++=，解得1m =（1m =-舍去）．4．若π1cos()36α+=-，且π2π63α<<，则7πsin()12α+=（ ） A ．70212+B ．70212-C ．27012-D ．70212+-答案：B 解：因为π2π63α<<，所以πππ23α<+<，所以πsin()03α+>， 所以2π135sin()1()366α+=--=， 所以7πππππππsin()sin()sin()cos cos()sin 12343434αααα+=++=+++ 35212702626212-=⨯-⨯=． 5．在ABC Rt △中，90A =︒，AB AC a ==，在边BC 上随机取一点D ，则事件“104AD a >”发生的概率为（ ） A ．34B ．23C ．12D ．13答案：C解：设事件事件“104AD a >”为M ， 设BC 的中点为P ，则2222210()24AD AP DP a DP a=+=+>，解得24DP a >， 所以222()124()22a a P M a-==． 6．已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为3π6+，则x 等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7答案：A解：由三视图知，该几何体由四分之一个圆锥与三棱锥组成， 所以体积为：21111π3333π64332V x x =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+，解得4x =． 7．已知抛物线24y x =的焦点为F ，抛物线上任意一点P ，且PQ y ⊥轴于点Q ，则PQ PF ⋅u u u r u u u r的此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号最小值为（ ） A ．14-B ．12-C ．1-D ．1答案：A解：因为(1,0)F ，设点2(,2)P m m ，则(0,2)Q m ，则2(,0)PQ m =-u u u r ，2(1,2)PF m m =--u u u r ，则2422111()244PQ PF m m m ⋅=-+=--≥-u u u r u u u r ．8．“2020”含有两个数字0，两个数字2，“2121”含有两个数字1，两个数字2，则含有两个数字0，两个数字2的四位数的个数与含有两个数字1、两个数字2的四位数的个数之和为（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．12答案：B解：第一类：含有两个数字0、两个数字2的四位数的个数为23C 3=， 第二类：含有两个数字1，两个数字2的四位数的个数为24C 6=， 由分类加法计数原理，得满足题意的个数为369+=． 9．已知函数π()sin()(0)6f x x ωω=+>的两个零点之差的绝对值的最小值为π2，将函数()f x 的 图象向左平移π3个单位长度得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） ①函数()g x 的最小正周期为π；②函数()g x 的图象关于点7π(,0)12对称； ③函数()g x 的图象关于直线2π3x =对称；④函数()g x 在π[,π]3上单调递增． A ．①②③④ B ．①②C ．②③④D ．①③答案：B解：由题意知函数π()sin()(0)6f x x ωω=+>的最小正周期为π，则2π2πω==， 所以π()sin(2)6f x x =+． 将函数()f x 的图象向左平移π3个单位长度得到函数ππ5πsin[2()]sin(2)366y x x =++=+的图象，即5π()sin(2)6g x x =+， 则()g x 的最小正周期为2ππ2T ==，故①正确； 令5π2π()6x k k +=∈Z ，解得π5π()212k x k =-∈Z ， 令2k =，得函数()g x 的图象关于点7π(,0)12对称，故②正确； 令5ππ2π()62x k k +=+∈Z ，解得ππ()26k x k =-∈Z ． 令1,2k =，得函数()g x 的图象关于直线π3x =，5π6x =对称，故③错误； 令π5ππ2π22π()262k x k k -≤+≤+∈Z ，得2ππππ()36k x k k -≤≤-∈Z ， 所以函数()g x 在π5π[,]36上单调递增，故④错误． 10．杨辉三角是二项式系数在只角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．在欧洲，帕斯卡(16231662～)在1654年发现这一规律，比杨辉要迟了393年．如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，⋯，则在该数列中，第37项是（ ）A ．153B ．171C ．190D ．210答案：C解：考查从第3行起每行的第三个数：1，312=+，6123=++，101234=+++， 归纳推理可知第k （3k ≥）行的第3个数为12(2)k +++-L ， 在该数列中，第37项为第21行第3个数， 所以该数列的第37项为19(191)12191902++++==L ． 11．已知双曲线2222:1x y C a b -=（0a >，0b >）的右焦点为F ，过原点O 作斜率为43的直线交C的右支于点A ，若||||OA OF =，则双曲线的离心率为（ ） A 3B 5C ．2D 31答案：B解：设双曲线左焦点为F '，因为OA OF OF c '===，所以90FAF '∠=︒，设点4(,)3A m m ，则2163()()95m c m c m m c =+-⇒=，所以点34(,)55A c c ， 所以222291612525c ca b -=， 所以224222216925991625251ee e e e e e -=⇒--=--42222950250(95)(5)05e e e e e e ⇒-+=⇒--=⇒=⇒=12．设函数()f x 的定义域为R ，()f x '是其导函数，若3()()0(0)1f x f x f +'>=，，则不等式3()x f x e >－的解集是（ ）A ．(0,)+∞B ．(1,)+∞C ．(,0)-∞D ．(0,1)答案：A解：令3()()xg x e f x =，则333()()()xxe f x e f x g x '=+'，因为3()()0f x f x '+>，所以333()()0xxe f x e f x '+>，所以()0g x '>， 所以函数3()()xg x e f x =在R 上单调递增， 而3()xf x e>－可化为3()1xe f x >等价于()(0)g x g >，解得0x >，所以不等式3()xf x e >－的解集是(0,)+∞．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知函数3log (1)2,0()(3),0x x f x f x x +-≥⎧=⎨+<⎩，则20()20f =－________． 答案：1-解：3()()(1)(2)log (21)2120202017f f f f ===-==+-=-L －－．14．已知7270127(21)x a a x a x a x -=++++L ，则2a =________．答案：84-解：52527C 2(1)84a =⨯⨯-=-．15．已知抛物线29y x =的焦点为F ，其准线与x 轴相交于点M ，N为抛物线上的一点，且满足|2||NF MN =，则点F 到直线MN 的距离为___________．解：由抛物线29y x =，可得9||2MF =， 设点N 到准线的距离为d ，由抛物线定义可得||d NF =，|2||NF MN =，由题意得||cos ||||d NF NMF MN MN ∠===，所以sin NMF ∠==，所以点F 到直线MN的距离为9||sin 2MF NMF ∠== 16．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2()2cos cos sin sin A C b c B C -=，2a =，则ABC △的面积的最大值是________．解：由2()2cos cos sin sin A C b c B C -=及正弦定理，得222cos cos sin sin si (n )A C B B C -=．显然sin 0B ≠，所以222cos cos sin A C C -=．所以222cos sin cos 1A C C =+=，所以1cos 2A =． 又(0,π)A ∈，所以sin A =，所以2222b c bc +-=，则2242bc b c bc +=+≥， 所以4bc ≤，当且仅当2b c ==时取等号， 所以ABC △的面积：11sin 2224S bc A bc ==⨯=≤ 故ABC △三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）在等差数列{}n a 中，46a =-，且235a a a ，，成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 的公差不为0，设3n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．答案：（1）见解析；（2）129988nn n n T -=-+-．解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，因为235a a a ，，成等比数列，所以2325a a a =，又46a =-，所以2(6)(62)(6)d d d --=---+，即3(2)0d d +=，解得0d =或2d =-． 当0d =时，6n a =-；当2d =-时，4(4)6(4)(2)22n a a n d n n -=-+--=-=+． （2）若数列{}n a 的公差不为0，由（1）知，22n a n =-，则22223nn b n -=-+，所以1211[1()](022)999128819n n n n n n T n -⨯-+-=+=-+--．18．（12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BCC B 是菱形，2AC BC ==，1π3CBB ∠=，点A 在平面11BCC B 上的投影为棱1BB 的中点E ．（1）求证：四边形11ACC A 为矩形；（2）求二面角11E B C A --的平面角的余弦值． 答案：（1）证明见解析；（2）217-． 解：（1）因为AE ⊥平面11BB C C ，所以1AE BB ⊥， 又因为1112BE BB ==，2BC =，π3EBC ∠=，所以3CE =， 因此222BE CE BC +=，所以1CE BB ⊥，因此1BB ⊥平面AEC ，所以1BB AC ⊥， 从而1AA AC ⊥，即四边形11ACC A 为矩形．（2）如图，以E 为原点，EC ，1EB ，EA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，所以(0,0,1)A ，1(0,2,1)A ，1(0,1,0)B ，(3,0,0)C ．平面1EB C 的法向量(0,0,1)=m ，设平面11A B C 的法向量为(,,)x y z =n ，由1303CB x y y x ⊥⇒-+=⇒=u u u r n ，由110B A y z ⊥⇒+=u u u u rn ， 令13x y =⇒=，3z =-，即(1,3,3)=-n ，所以321cos ,717-<>==-⨯m n ， 所以二面角11E B C A --的余弦值是217-． 19．（12分）“互联网+”是“智慧城市”的重要内士，A 市在智慧城市的建设中，为方便市民使用互联网，在主城区覆盖了免费WiFi ．为了解免费WiFi 在h 市的使用情况，调査机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调査的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到如下列联表(单位：人)：（1）根据以上数据，判断是否有90%的把握认为A 市使用免费WiFi 的情况与年龄有关； （2）将频率视为概率，现从该市45岁以上的市民中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次．记被抽取的3人中“偶尔或不用免费WiFi ”的人数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，数学期望()E X 和方差()D x ．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．答案：（1）没有90%的把握认为；（2）分布列见解析，6()5E X =，18()25D X =．解：（1）由列联表可知22200(70406030) 2.19813070100100K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯， 因为2.198 2.706<，所以没有90%的把握认为A 市使用免费WiFi 的情况与年龄有关． （2）由题意可知2(3,)5X B :，X 的所有可能取值为0,1,2,3，033327(0)C ()5125P X ===，1232354(1)C ()()55125P X ==⨯=， 2232336(2)C ()55125P X ==⨯=，33328(3)C ()5125P X ===． 所以X 的分布列为26()355E X =⨯=，2218()3(1)5525D X =⨯⨯-=． 20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，圆心为坐标原点的单位圆O 在C 的内部，且与C 有且仅有两个公共点，直线22x +=与C 只有一个公共点．（1）求C 的标准方程；（2）设不垂直于坐标轴的动直线l 过椭圆C 的左焦点F ，直线l 与C 交于A ，B 两点，且弦AB 的中垂线交x 轴于点P ，试求ABP △的面积的最大值．答案：（1）2212x y +=；（236．解：（1）依题意，得1b =，将22x y =代入222(2)240a y y a +-+-=，由22324(2)(4)0Δa a =-+-=，22a =，所以椭圆的标准方程为2212x y +=． （2）由（1）可得左焦点(1,0)F -，由题设直线l 的方程为1(0)x my m =-≠， 代入椭圆方程，得22(2)210m y my +--=． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12222m y y m +=+，12212y y m -=+， 所以121224()22x x m y y m -+=+-=+，AB 的中点为222(,)22m Q m m -++， 设点0(,0)P x ，则202(2)PQ m k m m x -==-++，解得0212x m -=+， 故222012121222|1|12(1)1||||()422(2)ABPx m m S PF y y y y y y m +++=⋅-=+-=+△， 令21(1)t m t =+>，则221m t =-，且32232221(1)ABPt S t t t t==+++△， 设321()(1)f x t t t t=++>，则22423(3)(3)(1)()1t t t f t t t -++'=--=，所以236163ABP S ≤=△ABP △36．21．（12分）已知函数2()xf x e x kx =--（其中e 为自然对数的底，k 为常数）有一个极大值点和一个极小值点．（1）求实数k 的取值范围；（2）证明：()f x 的极大值不小于1．答案：（1）(22ln 2,)-+∞；（2）证明见解析．解：（1）()2xf x e x k '=--，由()02xf x e x k '=⇒-=，记()2xg x e x =-，()2xg x e '=-，由()0ln 2g x x '=⇒=，且ln 2x <时，()0g x '<，()g x 单调递减，()(22ln 2,)g x ∈-+∞；ln 2x >时，()0g x '>，()g x 单调递增，()(22ln 2,)g x ∈-+∞，由题意，方程()g x k =有两个不同解，所以(22ln 2,)k ∈-+∞．（2）解法一：由（1）知()f x 在区间(,ln 2)-∞上存在极大值点1x ，且112xk e x =-，所以()f x 的极大值为11122111111()(2)(1)xxxf x e x e x x x e x =---=-+，记2()(1)((,ln 2))t h t t e t t =-+∈-∞，则()2(2)t th t te t t e '=-+=-，因为(,ln 2)t ∈-∞，所以20te ->，所以0t <时，()0h t '<，()h t 单调递减；0t >时，()0h t '>，()h t 单调递增， 所以()(0)1h t h ≥=，即函数()f x 的极大值不小于1．解法二：由（1）知()f x 在区间(,ln 2)-∞上存在极大值点1x ，且112xk e x =-，所以()f x 的极大值为11122111111()(2)(1)xxxf x e x e x x x e x =---=-+，因为110x ->，111xe x ≥+，所以21111()(1)(1)1f x x x x ≥-++=，即函数()f x 的极大值不小于1．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为1x ty bt=⎧⎨=-+⎩(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立的极坐标系中，曲线C 的方程为22sin cos 0θρθ-=． （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A B ，两点，且4AB =，求b 的值． 答案：（1）22x y =；（2）b =解：（1）因为22sin cos 0θρθ-=，所以222sin cos 0ρθρθ-=，代入sin cos y xρθρθ=⎧⎨=⎩，得220y x -=，即22x y =．（2）由1x ty bt=⎧⎨=-+⎩，得1y bx =-+，联立212y bxx y=-+⎧⎨=⎩，消去y ，得2220x bx -+=，2(2)420Δb =--⨯>，解得b >b <，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122x x b +=，122x x ⋅=．又||4AB ===，解得b = 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()321||||(0)f x x m x m -=+->． （1）若1m =，解不等式()4f x ≥；（2）若函数()f x 的图象与x 轴围成的三角形的面积为203，求m 的值． 答案：（1）(][),71,-∞-+∞U ；（2）2m =． 解：（1）若1m =，()31||2||2f x x x -=+-，当13x <-时，()4f x ≥可化为(31)(22)4x x -++-≥，解得7x ≤-； 当113x -≤<时，()4f x ≥可化为(31)(22)4x x ++-≥，解得1x ≥，无解； 当1x ≥时，()4f x ≥可化为(31)(22)4x x +--≥，解得1x ≥， 综上，不等式()4f x ≥的解集是(][),71,-∞-+∞U ． （2）因为()3|||2|1f x x m x -=+-，又因为0m >，所以2()3()52(1)32(1)m x m x m f x x m x x m x ⎧---<-⎪⎪⎪=+--≤<⎨⎪++≥⎪⎪⎩，因为2()2033m m f -=--<，(1)30f m =+>， 所以()f x 的图象与x 轴围成的ABC △的三个顶点的坐标为(2,0)A m --，2(,0)5mB -，2(,2)33m m C ---， 所以214(3)20||||2153ABCC m S AB y +=⋅==△，解得2m =或8m =-（舍去）．。
2020届高三第三次调研考试 理科数学 试题正式版
惠州市2020届高三第三次调研考试 理科数学 2020.1全卷满分150分，时间120分钟． 注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。
2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。
3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1．已知全集U R =，{}|21x A x =<，则U A =ð( )．2．设i 为虚数单位，复数212z ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，则z 在复平面内对应的点在第( )象限．A ．一B ．二C ．三D ．四 3．已知20201log πa =，20201πb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1π2020c =，则( )．A ．c a b <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．a b c <<4．在直角坐标系xOy 中，已知角θ 的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合， 终边落在直线3y x =上，则3sin(2)2πθ-= ( )． A ．45 B ．45- C ．35- D ．125．在平行四边形ABCD 中，AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，4AM MC =u u u u r u u u u r，P 为AD 的中点， 则MP u u u r= ( )．A ．43510a b +r rB ．4354a b +r rC ．43510a b --r rD ．1344a b --r r6．设a R ∈，则“2a =”是“直线1:250l x ay +-=与直线2:420l ax y ++=平行”的 ( ) 条件．A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 7．数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……，称为斐波那契数列，它是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。
2020届高考高三第三次模拟考试卷 理科数学(一) 含答案解析
2020届高三第三次模拟考试卷 理 科 数 学（一） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{0,1}A =，{0,1,2}B =，则满足A C B =U 的集合C 的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．12．已知i 为虚数单位，复数93i2i 1i z -=++，则||z =（ ）A ．235+B ．2022 C ．5 D ．253．抛物线22y x =的通径长为（ ）A ．4B ．2C ．1D ．124．某地某所高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如下柱状图：则下列结论正确的是（ ）A ．与2015年相比，2018年一本达线人数减少B ．与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍C ．2015年与2018年艺体达线人数相同D ．与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加 5．我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1,2,,9L 填入33⨯的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15．一般地，将连续的正整数21,2,3,,n L 填入n n ⨯个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做n 阶幻方记(3)n n ≥阶幻方的对角线上的数字之和为n N ，如图三阶幻方的315N =，那么8N 的值为（ ） A ．260 B ．369 C ．400 D ．420 6．根据如下样本数据 得到的回归方程为ˆˆˆy bx a =+，则（ ） A ．0a >，0b < B ．0a >，0b > C ．0a <，0b < D ．0a <，0b > 7．设{}n a 是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为n S ，2n S ，3n S ，则下列等式中恒成立的是（ ） A ．322n n n S S S += B ．2233()()n n n n n n S S S S S S -=- C ．223n n n S S S = D ．223()()n n n n n n S S S S S S -=- 8．设2019log 2020a =，2020log 2019b =，120202019c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >> 9．已知函数()sin()(0,π0)f x x ωϕωϕ=+>-<<的最小正周期是π，将函数()f x 的图象向左平移π3个单位长度后所得的函数图象过点(0,1)P ，则下列结论中正确的是（ ） A ．()f x 的最大值为2 B ．()f x 在区间ππ(,)63-上单调递增 C ．()f x 的图像关于直线π12x =对称 D ．()f x 的图像关于点π(,0)3对称 10．过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作平面α，使得正方体的各棱与平面α所成的角都相等，此卷只装订不密封 班级姓名准考证号考场号座位号则满足条件的平面α的个数为（ ）A ．1B ．3C ．4D ．611．椭圆与双曲线共焦点1F ，2F ，它们在第一象限的交点为P ，设122F PF θ∠=，椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则（ ）A ．222212cos sin 1e e θθ+= B ．222212sin cos 1e e θθ+=C ．2212221cos sin e e θθ+= D ．2212221sin cos e e θθ+=12．已知正方形ABCD 的边长为1，M 为ABC △内一点，满足10MDB MBC ∠=∠=︒， 则MAD ∠=（ ）A ．45︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．26(32)x x ++展开式中x 的系数为 ．14．设实数x ，y 满足不等式211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，当3z x y =+时取得最小值时，直线3z x y =+与以(1,1)为圆心的圆相切，则圆的面积为 ．15．已知等差数列{}n a 的公差(0,π)d ∈，1π2a =，则使得集合{|sin(),}n M x x a n *==∈N ，恰好有两个元素的d 的值为 ．16．在三棱锥P ABC -中，2PA PC ==，1BA BC ==，90ABC ∠=︒，若PA 与底面ABC 所成的角为60︒，则点P 到底面ABC 的距离是 ；三棱锥P ABC -的外接球的表面积是 ．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知A 、B 分别在射线CM 、CN （不含端点C ）上运动，2π3MCN ∠=，在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ． （1）若a ，b ，c 依次成等差数列，且公差为2，求c 的值； （2）若c =ABC θ∠=，试用θ表示ABC △的周长，并求周长的最大值． 18．（12分）如图，在三棱锥P ABC -中，底面是边长为4的正三角形，2PA =，PA ⊥底面ABC ，点E ，F 分别为AC ，PC 的中点． （1）求证：平面BEF ⊥平面PAC ； （2）在线段PB 上是否存在点G ，使得直线AG 与平面PBC所成的角的正弦值为5？若存在，确定点G 的位置；若不存在，请说明理由．19．（12分）已知(1,0)A -，(1,0)B ，AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，||||4AP AC +=u u u r u u u r ．（1）求P 的轨迹E ； （2）过轨迹E 上任意一点P 作圆22:3O x y +=的切线1l ，2l ，设直线OP ，1l ，2l 的斜率分别是0k ，1k ，2k ，试问在三个斜率都存在且不为0的条件下，012111()k k k +时候是定值，请说明理由，并加以证明． 20．（12分）已知函数242()x x x f x e ++=．（1）求函数()f x的单调区间；（2）若对任意的(2,0]x∈-，不等式2(1)()m x f x+>恒成立，求实数m的取值范围．21．（12分）2019年3月5日，国务院总理李克强在做政府工作报告时说，打好精准脱贫攻坚战．江西省贫困县脱贫摘帽取得突破性进展：20192020-年，稳定实现扶贫对象“两不愁、三保障”，贫困县全部退出．围绕这个目标，江西正着力加快增收步伐，提高救助水平，改善生活条件，打好产业扶贫、保障扶贫、安居扶贫三场攻坚战．为响应国家政策，老张自力更生开了一间小型杂货店．据长期统计分析，老张的杂货店中某货物每天的需求量()m m*∈N在17与26之间，日需求量m（件）的频率()P m分布如下表所示：己知其成本为每件5元，售价为每件10元若供大于求，则每件需降价处理，处理价每件2元．（1）设每天的进货量为(16,1,2,,10)n nX X n n=+=L，视日需求量(16,1,2,,10)i iY Y i i=+=L的频率为概率(1,2,,10)iP i=L，求在每天进货量为nX的条件下，日销售量nZ的期望值()nE Z（用iP表示）；（2）在（1）的条件下，写出()nE Z和1()nE Z+的关系式，并判断X为何值时，日利润的均值最大．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为31x ty t=-⎧⎨=+⎩（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线π:)4C ρθ=-． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】设0a >，0b >，且a b ab +=．（1）若不等式2x x a b +-≤+恒成立，求实数x 的取值范围；（2）是否存在实数a ，b ，使得48a b +=？并说明理由．2020届好教育云平台高三第三次模拟考试卷理 科 数 学（一）答 案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．【答案】A【解析】由A C B =U 可知集合C 中一定有元素2，所以符合要求的集合C 有{2}，{2,0}，{2,1}，{2,0,1}共4种情况．2．【答案】C【解析】对复数z 进行化简：93i (93i)(1i)2i 2i 34i 1i 2z ---=+=+=-+，所以5z ==．3．【答案】D【解析】标准化212x y =，通径122p =．4．【答案】D【解析】设2015年该校参加高考的人数为S ，则2018年该校参加高考的人数为1.5S ．对于选项A ，2015年一本达线人数为0.28S ，2018年一本达线人数为0.24 1.50.36S S ⨯=， 可见一本达线人数增加了，故选项A 错误；对于选项B ，2015年二本达线人数为0.32S ，2018年二本达线人数为0.4 1.50.6S S ⨯=， 显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B 错误；对于选项C ，2015年和2018年，艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C 错误； 对于选项D ，2015年不上线人数为0.32S ，2018年不上线人数为0.28 1.50.42S S ⨯=， 不达线人数有所增加．5．【答案】A【解析】根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，31(123456789)153N =++++++++=，41(12345678910111213141516)344N =+++++++++++++++=，51(125N =+345678910111213141516171819+++++++++++++++++202122232425)65++++++=，…， ∴222211(1)(1)(12345)22n n n n n N n n n ++=++++++=⨯=L ， ∴288(81)2602N +==． 6．【答案】A 【解析】画出散点图知0a >，0b <，故选A ． 7．【答案】D 【解析】由等比数列的性质得n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比数列，2232()()n n n n n S S S S S -=-，化简得223()()n n n n n n S S S S S S -=-． 8．【答案】C 【解析】220192019201920191111log 2019log log 2020log 201912222a =<==<=，2020202020201110log log 2019log 2020222b <==<=，1202020191c =>． 9．【答案】B 【解析】由条件知π()sin(2)6f x x =-，结合图像得B ． 10．【答案】C 【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，四面体11A B D C -的四面与12条棱所成的角相等， ∴正方体的12条棱所在的直线所成的角均相等的平面有4个． 11．【答案】B 【解析】设椭圆的长轴长为12a ，双曲线的实轴长为22a ， 交点P 到两焦点的距离分别为,(0)m n m n >>，焦距为2c ， 则2222cos 2(2)m n mn c θ+-=， 又12m n a +=，22m n a -=，故12m a a =+，12n a a =-，2222222221212222212sin cos sin cos (1cos 2)(1cos 2)211a a a a c c c e e θθθθθθ-++=⇒+=⇒+=． 12．【答案】D 【解析】设正方形ABCD 的边长为1， 在BMD △中，由正弦定理得2sin 35sin 35sin135DM DB DM =⇒=︒︒︒，在AMD △中，由余弦定理得2214sin 354sin35cos551AM =+︒-︒︒=，∴AMD △为等腰三角形，70MAD ∠=︒．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】576【解析】26(32)x x ++展开式中含x 的项为15565C (3)C 26332576x x x ⋅⋅=⨯⨯=，即x 的系数为576．14．【答案】5π2 【解析】当直线过点(1,2)-时，3z x y =+取得最小值1-，故1010r d ===，从而圆的面积为5π2．15．【答案】2π3【解析】要使得集合S 恰好有两个元素，可以使2a ，3a 的终边关于y 轴对称，此时2π3d =．16．【答案】3；5π【解析】将三棱锥P ABC -置于长方体中，其中1PP ⊥平面ABC ，由PA 与底面ABC 所成的角为60︒，可得13PP =，即为点P 到底面ABC 的距离， 由11PP A PPC ≌△△，得111P A PC ==，如图，PB 就是长方体（三条棱长分别为1，1，3）外接球的直径，也是三棱锥P ABC -外接球的直径，即5PB =， 所以球的表面积为254π()5π=．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）7；（2）周长π()2sin()33f θθ=+，π6θ=时，()f θ取得最大值为23． 【解析】（1）a ，b ，c 成等差数列，且公差为2，∴4a c =-，2b c =-， 又2π3MCN ∠=，1cos 2C =-，∴222(4)(2)12(4)(2)2c c c c c -+--=---， 恒等变形得29140c c -+=，解得7c =或2c =， 又∵4c >，∴7c =． （2）在ABC △中，sin sin sin AC BC AB ABC BAC ACB ==∠∠∠， ∴32πsin sin()sin 33AC BC θθ===-，2sin AC θ=，π2sin()3BC θ=-， ∴ABC △的周长π()||||||2sin 2sin()33f AC BC AB θθθ=++=+-+13π2[sin ]32sin()323θθθ=++=++， 又∵π(0,)3θ∈，∴ππ2π333θ<+<， 当ππ32θ+=，即π6θ=时，()f θ取得最大值23． 18．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，G 为线段PB 的中点． 【解析】（1）证明：∵AB BC =，E 为AC 的中点，∴BE AC ⊥， 又PA ⊥平面ABCP ，BE ⊂平面ABC ，∴PA BE ⊥， ∵PA AC A =I ，∴BE ⊥平面PAC ， ∵BE ⊂平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面PAC ． （2）如图，由（1）知，PA BE ⊥，PA AC ⊥，点E ，F 分别为AC ，PC 的中点，∴EF PA ∥，∴EF BE ⊥，EF AC ⊥， 又BE AC ⊥，∴EB ，EC ，EF 两两垂直， 分别以EB u u u r ，EC uuu r ，EF u u u r 方向为x ，y ，z 轴建立坐标系，则(0,2,0)A -，(0,2,2)P -，(23,0,0)B ，(0,2,0)C ，设(23,2,2)BG BP λλλλ==--u u u r u u u r ，[0,1]λ∈， 所以(23(1),2(1),2)AG AB BG λλλ=+=--u u u r u u u r u u u r ，(23,2,0)BC =-u u u r ，(0,4,2)PC -u u u r ，设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =n ，则023204200BC x y y z PC ⎧⎧⋅=-+=⎪⎪⇒⎨⎨-=⎪⋅=⎪⎩⎩u u ur u u u r n n ，令1x =，则3y =，23z =，∴(1,3,23)=n ，由已知221515431552||||416(1)4AG AG λλλ⋅=⇒=⇒=⋅-+uu u ru u u r n n 或1110（舍去）， 故12λ=，故线段PB 上存在点G ，使得直线AG 与平面PBG 所成的角的正弦值为155，此时G 为线段PB 的中点．19．【答案】（1）22:143x y E +=；（2）为定值，详见解析．【解析】（1）方法一：如图因为AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，所以四边形ACPB 是平行四边形， 所以||||BP AC =u u u r u u u r ，由||||4AP AC +=u u u r u u u r ，得||||4AP BP +=u u u r u u u r ，所以P 的轨迹以A ，B 为焦点的椭圆易知24a =，1c =，所以方程E 为22143x y +=．方法二：设(,)P x y ，由AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，得(1,)AC AP AB BP x y =-==-u u u r u u u r u u u r u u u r ，再||||4AP AC +=u u u r u u u r ，得2222(1)(1)4x y x y +++-+=， 移项2222(1)4(1)x y x y ++=--+，平方化简得22143x y +=． （从2222(1)(1)4x y x y +++-+=发现是椭圆方程也可以直接得24a =，1c =）． （2）设00(,)P x y ，过P 的斜率为k 的直线为00()y y k x x -=-， 由直线与圆O 相切可得0231k =+，即2220000(3)230x k x y k y --+-=， 由已知可得1k ，2k 是方程（关于k ）2220000(3)230x k x y k y --+-=的两个根， 所以由韦达定理：0012202012202333x y k k x y k k x ⎧+=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，两式相除0012212023x y k k k k y +=⋅-， 又因为2200143x y +=，所以2200334y x -=-， 代入上式可得01212083y k k k k x +=-⋅，即0121118()3k k k +=-为定值． 20．【答案】（1）见解析；（2）2(1,]e ． 【解析】（1）2(22)()x x x f x e -+-'=，记2()22g x x x =--+， 令()0g x >，得1313x -<<-，函数()f x 在(13,13)--上单调递增；()0g x <，得13x <-13x >-+()f x 在(,13)-∞--或(13,)-++∞上单调递减．（2）记2()2(1)42x h x me x x x =+---，由(0)0221h m m >⇒>⇒>，()0h x '=，得2x =-或ln x m =-，∵(2,0]x ∈-，所以2(2)0x +>．①当21m e <<时，ln (2,0)m -∈-，且(2,ln )x m ∈--时，()0h x '<； (ln ,0)x m ∈-时，()0h x '>，所以min ()(ln )ln (2ln )0h x h m m m =-=⋅->，∴(2,0]x ∈-时，()0h x >恒成立；②当2m e =时，2()2(2)(1)x h x x e +'=+-，因为(2,0]x ∈-，所以()0h x '>，此时()h x 单调递增，且22(2)2(1)4820h e e --=--+-=，所以(2,0]x ∈-，()(2)0h x h >-=成立； ③当2m e >时，2(2)220mh e -=-+<，(0)220h m =->，所以存在0(2,0)x ∈-使得0()0h x =，因此()0h x >不恒成立，综上，m 的取值范围是2(1,]e ．21．【答案】（1）见解析；（2）20件．【解析】（1）当日需求量n m X ≤时，日销售量n Z 为m ；日需求量n m X >时，日销售量n Z 为n X ，故日销售量n Z 的期望()n E Z 为：当19n ≤≤时，1011()(16)(16)n n i i i i n E Z i P n P ==+=+++∑∑；当10n =时，10101()(16)i i E Z i P ==+∑．（2）1101010112111()(16)(161)(16)(161)()n n n i i i i n i i i n i i n i n E Z i P n P i P n P E Z P ++==+==+=+=++++=++++=+∑∑∑∑∑， 设每天进货量为n X ，日利润为n ξ，则()5()3[(16)()]8()3(16)n n n n E E Z n E Z E Z n ξ=-+-=-+，111210()()8[()()]38()3n n n n n n E E E Z E Z P P P ξξ++++-=--=+++-L ， 由1125()()08n n n E E P P P ξξ+-≥⇒+++≤L ， 又∵123450.668P P P P +++=>，12350.538P P P ++=<， ∴4()E ξ最大，所以应进货20件时，日利润均值最大． 22．【答案】（1）:40l x y +-=，22:(1)(1)2C x y -+-=；（2）． 【解析】（1）由31x t y t =-⎧⎨=+⎩，消去t ，得40x y +-=， 所以直线l 的普通方程为40x y +-=，由πππ)cos sin sin )2cos 2sin 444ρθθθθθ=-=+=+， 得22cos 2sin ρρθρθ=+， 将222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式， 得曲线C 的直角坐标方程为2222x y x y +=+，即22(1)(1)2x y -+-=． （2）设曲线C上的点为(1,1)P αα++， 则点P 到直线l的距离d ==π|2sin()2|α+-= 当πsin()14α+=-时，max d = 所以曲线C 上的点到直线l的距离的最大值为 23．【答案】（1）[]1,3-；（2）不存在，详见解析． 【解析】（1）由a b ab +=，得111a b +=，11()()4a b a b a b +=++≥=， 当且仅当2a b ==时""=成立．不等式2x x a b +-≤+，即为24x x +-≤，当0x <时，不等式为224x -+≤，此时10x -≤<； 当02x ≤≤时，不等式24≤成立，此时02x ≤≤； 当2x >时，不等式为224x -≤，此时23x <≤， 综上，实数x 的取值范围是[]1,3-．（2）由于0a >，0b >， 则1144(4)()5b a a b a b a b a b +=++=++59≥+=， 当且仅当4b a a b a b ab⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即32a =，3b =时，4a b +取得最小值9， 所以不存在实数a ，b ，使得48a b +=成立．。