分段函数与复合函数
分段函数
1.已知函数f （x ）＝2
32,1,,1,
x x x ax x +
+≥?若f （f （0））＝4a ，则实数a ＝ 2 .
解析：f （0）=2，f （f （0））=f(2)=4+2a=4a ，所以a=2
2. 已知函数3log ,0()2,0
x x x f x x >?=?≤?，则1
(())9f f =
A.4
B.
1
4
C.-4 D-
14
【答案】B
【解析】根据分段函数可得311()log 299f ==-，则211
(())(2)294
f f f -=-==，
所以B 正确.
3.定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ??
?>---≤-0
),2()1(0
),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为( )
A.-1
B. 0
C.1
D. 2
【解析】:由已知得2(1)log 21f -==,(0)0f =,(1)(0)(1)1f f f =--=-,
(2)(1)(0)1f f f =-=-,(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=,
(4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=,(5)(4)(3)1f f f =-=,(6)(5)(4)0f f f =-=,
所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f （2009）= f （5）=1,故选C. 4.设函数2
()2()g x x x R =-∈，()4,(),
(),().(){g x x x g x g x x x g x f x ++<-≥=则()f x 的值域是
（A ）9,0(1,)4??-
?+∞???? （B ）[0,)+∞ （C ）9[,)4-+∞（D ）9,0(2,)4??
-?+∞????
【答案】D
【解析】本题主要考查函数分类函数值域的基本求法，属于难题。 依
题
意
知
222
2
2(4),2()2,2
x x x x f x x x x x ?-++<-??--≥-??，
2
22,12()2,12
x x x f x x x x ?+<->??---≤≤??或
5.若函数f(x)=21
2
log ,0,
log (),0x x x x >??
?-f(-a),则实数a 的
取值范围是
（A ）（-1，0）∪（0，1） （B ）（-∞，-1）∪（1,+∞） （C ）（-1，0）∪（1,+∞） （D ）（-∞，-1）∪（0,1） 【答案】C
【解析】本题主要考查函数的对数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想，属于中等题。 由分段函数的表达式知，需要对a 的正负进行分类讨论。
【温馨提示】分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解，解对数不等式既要注意真数大于0，同事要注意底数在（0，1）上时，不等号的方向不要写错。
6.已知函数21,0()1,
0x x f x x ?+≥=?的x 的范围是_____。
[解析] 考查分段函数的单调性。2
2
12(1)10x x x x ?->??∈-?->??
7.设函数???<+≥+-=0
,60
,64)(2x x x x x x f 则不等式)1()(f x f >的解集是（ ）
A ),3()1,3(+∞?-
B ),2()1,3(+∞?-
C ),3()1,1(+∞?-
D )3,1()3,(?--∞ 【答案】A
【解析】由已知，函数先增后减再增 当0≥x ，2)(≥x f 3)1(=f 令,3)(=x f 解得3,1==x x 。
当0 故3)1()(=>f x f ，解得313><<-x x 或 【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解 8.设函数()y f x =在(,)-∞+∞内有定义，对于给定的正数K ，定义函数 取函数()2 x f x -=。当K = 1 2 时，函数()K f x 的单调递增区间为【 C 】 A ．(,0)-∞ B ．(0,)+∞ C ．(,1)-∞- D ．(1,)+∞ 解: 函数1()2 ()2x x f x -==，作图易知1 ()2 f x K ≤=?(,1][1,)x ∈-∞-+∞， 故在(,1)-∞-上是单调递增的，选C. 9.若函数1 ,0()1(),0 3 x x x f x x ? 【答案】[]3,1- 【解析】本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查. （1）由01|()|301133 x f x x x ≥??-≤ ??. （2）由001|()|01111133333x x x x f x x ≥?≥???≥???≤≤??????≥≥ ? ????? ????. ∴不等式1 |()|3 f x ≥ 的解集为{}|31x x -≤≤，∴应填[]3,1-. 10.设()?? ?<≥=1 , 1, 2x x x x x f ，()x g 是二次函数，若()[]x g f 的值域是[)+∞,0，则()x g 的 值域是（ ） A.(][)+∞-∞-,11, B.(][)+∞-∞-,01, C.[)+∞,0 D. [)+∞,1 C. 答案:C. 11.已知(3103(1) ()log (1) x a a x a x f x x -+ ≤??=? >??，是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是__________ 12.函数2225(0)()0(0)25(0)x x x f x x x x x ?-+ >? = = ??--- 的奇偶性是_______________ 13.若数列{}n a 满足112(0)2 121(1) 2 n n n n n a a a a a +? ≤ 14.设函数1221(0)()(0) x x f x x x -?- ≤? =?? >? ，若0()1f x >，则0x 的取值范围是_____________ (-∞，-1)∪（1，+∞） 15.函数22,0 ()(),0x x x f x g x x ?-≥=? 16.函数221,(01) ()1,0)x x f x x x ?-≤≤=?+ ( 17. 函数21,(1)()1,1)x x x f x x x ?-+≤? =? (>?? 值域是______________ 18. 函数(0)()0(0)(0)x f x x x 1 >?? = = ??-1 ,若2()(1)(1) g x x f x =--，且 11()()(4)y g x y g x y g --===-的反函数为，则=_____________ 解析 1 2 (4),()4(1)(1)4g a g a a f a --==---=-令则，有 玩转函数第十招 第10招：玩转分段函数 分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数.它是一类表达形式特殊的函数,是中学数学中的一种重要函数模型。分段函数有关问题蕴含着分类讨论、数形结合等思想方法. 一、分段函数的定义域和值域 分段函数的定义域为每一段函数定义域的并集,在表示每一段函数中x 的取值范围时,要确保做到定义域不重不漏,即交集为空集, 并集为整个定义域.值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。 例1求函数4,23,0123,10x x y x x x x -+>?? =+<≤??+-≤≤? 的定义域和值域 二、分段函数的求值 在求分段函数的值0()f x 时，一定首先要判断0x 属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式 例1、（辽宁理）设,0.(),0. x e x g x lnx x ?≤=?>?则1 (())2g g =__________ 2、（2006山东）设12 32(2), ()(1)(2). log x x f x x e x -? A D 3、 已知=) (x f ? ?? －log 3(x + 1)(x>6) 3x －6(x ≤6) ，若记)(1 x f -为)(x f 的反函数，且),9 1(1 -=f a 则=+)4(a f . 4 、设2 22(1), ()1(1).1x x f x x x ?--≤? =?>? +? 则1[()]2f f = ( ） A.12 B.413 C.95- D.2541 5、 已知sin (0),()(1)1(0). x x f x f x x π -->?则1111 ()()66f f -+的值为 . 三、分段函数的单调性 例（2006北京理）、已知(31)4,1 ()log ,1a a x a x f x x x -+? 是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取 值范围是 （A ）(0,1) （B ）1(0,)3 （C ）11 [,)73 （D ）1[,1)7 四、分段函数的图象 1.作出函数()1y x x =+的图象 2. 函数ln |1|x y e x =--的图象大致是 （ ） 反 2006卷）函数2 2,0 ,0 x x y x x ≥?=? - 年安徽函数是（ ） A ．,020x x y x ?≥?=< B ．2,00x x y x ≥??=< C ．,020 x x y x ?≥?=?? D ．2,00x x y x ≥??=? 六、分段函数的解析式 1、在同一平面直角坐标系中，函数)(x f y = 和)(x g y =的图象关于直线x y =对称. 现将 )(x g y =的图象沿x 轴向左平移2个单位，再 沿y 轴向上平移1个单位，所得的图象是由两 条线段组成的折线（如图2所示），则函数)(x f 的 表 达 式 ） A ．22,10, ()2,0 2.2x x f x x x +-≤≤?? =?+<≤?? B ．22,10, ()2,0 2.2 x x f x x x --≤≤?? =?-<≤?? C ．22,12,()1,2 4.2x x f x x x -≤≤?? =?+<≤?? D ．26,12, ()3,2 4.2 x x f x x x -≤≤?? =?-<≤?? 2、（2006年上海春卷）已知函数)(x f 是定义在),(∞+∞-上的偶函数. 当)0,(∞-∈x 时， 4)(x x x f -=，则当),0(∞+∈x 时，=)(x f . 3、已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,且当2 0,()2 3.x f x x x >=-+时求f(x)的解析式. 七、分段函数的最值 (2005上海高考题)对定义域分别是 ,f g D D 的函数(),()y f x y g x ==.规定： 函数()(),, ()(),(), f g f g g f f x g x x x h x f x x x g x x x D D D D D D ?∈∈?? =∈??? ∈???当且当且当且 （I ）若函数21 (),()1 f x g x x x = =-，写出函数()h x 的解析式； （II ）求问题（I ）中函数()h x 的最大值； 八、分段函数的奇偶性 判断函数(1)(0), ()(1) (0).x x x f x x x x - +>?的奇偶性 九、与分段函数有关的不等式问题 1、 设函数2 (1).(1) ()41)x x f x x ?+ 2已知1(0)()1(0)x f x x ≥?=?- ，则不等式(2)(2)5x x f x +++≤的解集是________ 3、（山东理）设f(x)= 1 2 32,2, log (1),2, x e x x x -?2的解集为 (A)（1，2）?（3，+∞）(B)（10，+∞）(C)（1，2）? （10 ，+∞）(D)（1，2） 4、 设f (x)=1() 0x x ?? ?为有理数(为无理数) ，使所有x 均满足x ·f (x)≤g (x)的函数g(x)是（ ） A ．g (x)=sinx B ．g (x)=x C ．g (x)=x 2 D ．g (x)=|x| 十、分段函数与方程的根 1、.函数f(x)=?????>≤-) 1|(|||) 1|(|12x x x x ，如果方程f(x)=a 有且只有一个实根，那么a 满足 A.a<0 B.0≤a<1 C.a=1 D.a>1 2、设定义为R 的函数lg 1,1,()0, 0.x x f x x ?-≠?=? =??则关于x 的方程2 ()()0f x bf x c ++= 有7个不同的实数解的充要条件是 （ ） A. 0b <且0c > B. 0b >且0c < C. 0b <且0c = D. 0b ≥且0c = 3、设函数 ()f x 在(,)-∞+∞上满足(2)(2)f x f x -=+，(7)f x -=(7)f x +， 且在闭区间[0,7]上，只有(1)(3)0f f ==. （Ⅰ）试判断函数()y f x =的奇偶性； （Ⅱ）试求方程 ()0f x =在闭区间[2005,2005]-上的根的个数，并证明你的结论. 十二、开放性自义分段函数 1. 定义在R 的任意函数()f x ，都可以表示成一个奇函数()g x 和一个偶函数()h x 之和，如果()lg(101)x f x =+，那么 （ ） A. ()g x x =，()lg(10102)x x h x -=++ B. 1 ()[lg(1010]2 x g x x =++， 1 ()[lg(101)]2 x h x x =+- C. (),()lg(101)22x x x g x h x ==+- D. (),()lg(101)22 x x x g x h x =-=++. 七、答案（I ）(23)(2)(1),()2 (1).x x x h x x x -+-≥?=?- 8 九、1（答：(,2][0,10]-∞-）；2（答：3 (,]2 -∞） 浅析复合函数的定义域问题 一、复合函数的构成 设()u g x =是A 到B 的函数，()y f u =是'B 到'C 上的函数，且B 'B ?，当u 取遍B 中的元素时，y 取遍C ，那么(())y f g x =就是A 到 C 上的函数。此函数称为由外函数()y f x =和内函数()u g x =复合而成的 复合函数。 说明： ⑴复合函数的定义域，就是复合函数(())y f g x =中x 的取值范围。 ⑵x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为()g x 的值域。 ⑶))((x g f 与))((x f g 表示不同的复合函数。 例1．设函数53)(,32)(-=+=x x g x x f ，求))(()),((x f g x g f ． ⑷若)(x f 的定义域为' M ，则复合函数))((x g f 中，M x g ∈)(． 注意：)(x g 的值域'M M ?． 例2： ⑴若函数)(x f 的定义域是[0，1]，求)21(x f -的定义域； ⑵若)12(-x f 的定义域是[-1，1]，求函数)(x f 的定义域； ⑶已知)3(+x f 定义域是[)5,4-，求)32(-x f 定义域． 要点1：解决复合函数问题，一般先将复合函数分解，即它是哪个内函数和哪个外函数复合而成的． 解答： ⑴ 函数)21(x f -是由A 到B 上的函数x u 21-=与B 到C 上的函数)(u f y =复合而成的函数． 函数)(x f 的定义域是[0，1]， ∴B=[0,1]，即函数x u 21-=的值域为[0，1]． ∴1210≤-≤x ， ∴021≤-≤-x ，即210≤≤x ， ∴函数)21(x f -的定义域[0，2 1 ]． ⑵ 函数)12(-x f 是由A 到B 上的函数12-=x u 与B 到C 上的函数)(u f y =复合而成的 函数． )12(-x f 的定义域是[-1，1]， ∴A=[-1,1]，即-11≤≤x ， ∴1123≤-≤-x ,即12-=x u 的值域是[-3，1]， ∴)(x f y =的定义域是[-3，1]． 要点2：若已知)(x f 的定义域为A ，则)]([x g f 的定义域就是不等式A x g ∈)(的x 的 集合；若已知 )]([x g f 的定义域为A ，则)(x f 的定义域就是函数)(x g )(A x ∈的值 域。 ⑶ 函数)3(+x f 是由A 到B 上的函数3+=x u 与B 到C 上的函数)(u f y =复合而成的函数． )3(+x f 的定义域是[-4，5), ∴A=[-4,5)即54<≤-x ， ∴831<+≤-x 即3+=x u 的值域B=[-1，8） 又)32(-x f 是由'A 到'B 上的函数32'-=x u 与B 到C 上的函数)(u f y =复合而成的函数，而'B B =,从而32'-=x u 的值域)8,1['-=B ∴8321<-≤-x ∴,1122<≤x ∴2 111< ≤x ∴)32(-x f 的定义域是[1， 2 11）． 例3：已知函数)(x f 定义域是（a,b ），求)13()13()(+--=x f x f x F 的定义域． 解：由题，???<+<<- 13 131b x a b x a ， 当??? ??<-≥+b a b a 31 31，即2-≥>b a b 时，)(x F 不表示函数； 当??? ??<-<+b a b a 31 31，即2- 1 ,31(-+b a ． 说明： ① 已知)(x f 的定义域为(a,b)，求))((x g f 的定义域的方法： 已知 )(x f 的定义域为)(b a ，，求))((x g f 的定义域。实际上是已知中间变量的u 的 取值范围，即)(b a u ，∈，)()(b a x g ，∈。通过解不等式b x g a <<)(求得x 的 范围，即为))((x g f 的定义域。 ② 已知))((x g f 的定义域为(a,b)，求)(x f 的定义域的方法： 若已知))((x g f 的定义域为)(b a ，，求 )(x f 的定义域。实际上是已知复合函数 ))((x g f 直接变量x 的取值范围， 即)(b a x ，∈。先利用b x a <<求得)(x g 的范围，则)(x g 的范围即是)(x f 的定义域,即使函数)(x f 的解析式形式所要求定义域真包含)(x g 的值域，也应以)(x g 的值域做为所求)(x f 的定义域，因为要确保所求外含数)(x f 与已知条件下所要求的外含数是同一函数，否则所求外含数)(x f 将失去解决问题的有效性。换元法其实质就是求复合函数))((x g f 的外函数)(x f ，如果外函数)(x f 的定义域不等于内函数)(x g 的值域，那么)(x f 就确定不了))((x g f 的最值或值域。 例4：已知函数x x x f +-= 1)(,)1(≥x 求)(x f 的值域。 分析：令1)(-= x x u ，)1(≥x ； 则有1)(2 ++=u u u g ，)0(≥u 复合函数 )(x f 是由1)(-=x x u 与1)(2++=u u u g 复合而成，而1)(2++=u u u g ， )0(≥u 的值域即)(x f 的值域，但1)(2++=u u u g 的本身定义域为R ,其值域则不等于复合函数)(x f 的值域了。 例5：已知函数6lg )3(22 2 -=-x x x f ，求函数)(x f 的解析式，定义域及奇偶性。 分析：因为6 lg )3(222 -=-x x x f 定义域为{6|-≤x x 或6≥x } 令32 -=x u ，3 u ；则3 3lg )(-+=u u u f ，且u 3 所以 3,33 lg )( x x x x f -+=，定义域不关于原点对称，故)(x f 是非奇非偶函数。 然而只就3 3 lg )(-+=x x x f 解析式而言，定义域是关于原点对称的，且 )()(x f x f -=-，所以是奇函数。就本题而言)(u f 就是外函数其定义域决定于内函数 32-=x u ，3 u 的值域，而不是外函数)(u f 其解析式本身决定的定义域了。 2．求有关复合函数的解析式， 例6．①已知 ,1)(2 +=x x f 求)1(-x f ； ②已知 1)1()1(2 ++=-x x f ，求)(x f ． 例7．①已知x x x f 1 )1(+=- ，求)(x f ； ②已知22 1)1(x x x x f +=-，求)1(+x f ． 要点3： 已知 )(x f 求复合函数)]([x g f 的解析式，直接把)(x f 中的x 换成)(x g 即可。 已知)]([x g f 求)(x f 的常用方法有：配凑法和换元法。 配凑法就是在)]([x g f 中把关于变量x 的表达式先凑成)(x g 整体的表达式，再直接把)(x g 换成x 而得)(x f 。 换元法就是先设t x g =)(，从中解出x （即用t 表示x ），再把x （关于t 的式子）直接代入)]([x g f 中消去x 得到)(t f ，最后把)(t f 中的t 直接换成x 即得)(x f ，这种 代换遵循了同一函数的原则。 例8．①已知)(x f 是一次函数，满足172)1(2)1(3+=--+x x f x f ，求)(x f ； ②已知x x f x f 4)1(2)(3=+，求)(x f ． 要点4： ⑴ 当已知函数的类型求函数的解析式时，一般用待定系数法。 ⑵ 若已知抽象的函数表达式，则常用解方程组、消参的思想方法 求函数的解析式。已知 )(x f 满足某个等式，这个等式除)(x f 是未知量外，还出现其他未知量，如)(x f -、)1 (x f 等，必须根据已知等式再构造出其他等式组成方程组，通过解方程组求出)(x f 。 二、练习： １．已知x x x f 2)12(2 -=+，求)122(+f 和)322(+f ． 解：令12212+=+x ，设2= x ， 令32212+=+x ，设12+=x ， 1222223)12(2)12()322(2=--+=+-+=+f ． ２．已知? ??<->-=-=0,20,1)(,1)(2 x x x x x g x x f ，求))((x g f ． 分析：)]([x g f 是用)(x g 替换)(x f y =中的x 而得到的，问题是用)(x g 中的1 -x 替换呢，还是用x -2替换呢？所以要按0>x 、0 的1-x 呢，还是替换x -2呢？所以要看012>-x 还是012 <-x ，故按012>-x 、012<-x 分类。 Key:??? ??<+->-=03402)]([22x x x x x x x g f ，，； 注：?? ???-<<<->---=1111232)]([22 2x x x x x x x f g ，， ，。 三、总结： １．复合函数的构成； 设函数)(u f y =，)(x g u =，则我们称))((x g f y =是由外函数)(u f y =和内 函数)(x g u =复合而成的复合函数。其中x 被称为直接变量，u 被称为中间变量。复合函数中直接变量x 的取值范围叫做复合函数的定义域，中间变量u 的取值范围，即是)(x g 的值域，是外函数)(u f y =的定义域。 ２．有关复合函数的定义域求法及解析式求法： ⑴定义域求法： 求复合函数的定义域只要解中间变量的不等式（由b x g a <<)(解x ）；求外函数的 定义域只要求中间变量的值域范围（由b x a <<求)(x g 的值域）。已知一个复合函数求 另一个复合函数的定义域，必须先求出外函数的定义域。特别强调，此时求出的外函数的定义域一定是前一个复合函数的内函数的值域，例2（3）反映明显。 ⑵解析式求法：待定系数法、配凑法、换元法、解方程组消元法． 四：外函数解析式其本身决定定义域的主要依据有： ⑴ 当)(x f 为整式或奇次根式时，x ∈R ； ⑵ 当)(x f 为偶次根式时，被开方数不小于0（即≥0）； ⑶ 当)(x f 为分式时，分母不为0；当分母是偶次根式时，被开方数大于0； ⑷ 当 )(x f 为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为0（如0)(x x f =， 221 )(x x x f ==-中0≠x ） 。 ⑸ 当)(x f 是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意 义的自变量x 的值组成的集合，即求各部分定义域集合的交集。 ⑹ 分段函数)(x f y =的定义域是各段上自变量x 的取值集合的并集。 ⑺ 由实际问题建立的函数，除了要考虑使解析式有意义外，还要考虑实际意义对自变量的要求 ⑻ 对于含参数字母的函数，求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论，并要注意函数的定义域为非空集合。 ⑼ 对数函数的真数必须大于零，底数大于零且不等于1。 ⑽ 三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。 复合函数问题 一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ?B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量. 二、复合函数定义域问题： （一）例题剖析： (1)、已知f x ()的定义域，求[]f g x ()的定义域 思路：设函数f x ()的定义域为D ，即x D ∈，所以f 的作用范围为D ，又f 对g x ()作用，作用范围不变，所以D x g ∈)(，解得x E ∈，E 为[]f g x ()的定义域。 例1. 设函数f u ()的定义域为（0，1），则函数f x (ln )的定义域为_____________。 解析：函数f u ()的定义域为（0，1）即u ∈()01，，所以f 的作用范围为（0，1） 又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以01< +1 1 ，则函数[]f f x ()的定义域为______________。 解析：先求f 的作用范围，由f x x ()= +1 1 ，知x ≠-1 即f 的作用范围为{}x R x ∈≠-|1，又f 对f(x)作用 所以f x R f x ()()∈≠-且1，即[]f f x ()中x 应满足x f x ≠-≠-?? ?1 1 () 即x x ≠-+≠-?????111 1，解得x x ≠-≠-12且 故函数[]f f x ()的定义域为{}x R x x ∈≠-≠-|12且 （2）、已知[]f g x ()的定义域，求f x ()的定义域 思路：设[]f g x ()的定义域为D ，即x D ∈，由此得g x E ()∈，所以f 的作用范围为E ，又f 对x 作用，作用范围不变，所以x E E ∈，为f x ()的定义域。 例3. 已知f x ()32-的定义域为[] x ∈-12，，则函数f x ()的定义域为_________。 解析：f x ()32-的定义域为[]-12，，即[]x ∈-12，，由此得[]3215-∈-x ， 所以f 的作用范围为[]-15，，又f 对x 作用，作用范围不变，所以[]x ∈-15， 即函数f x ()的定义域为[]-15， 例4. 已知f x x x ()lg 2 2 248 -=-，则函数f x ()的定义域为______________。 解析：先求f 的作用范围，由f x x x ()lg 2 2248-=-，知x x 22 8 0-> 解得x 244->，f 的作用范围为()4，+∞，又f 对x 作用，作用范围不变，所以x ∈+∞()4，，即f x ()的定义域为()4，+∞ （3）、已知[]f g x ()的定义域，求[]f h x ()的定义域 思路：设[]f g x ()的定义域为D ，即x D ∈，由此得g x E ()∈，f 的作用范围为E ， 又f 对h x ()作用，作用范围不变，所以h x E ()∈，解得x F ∈，F 为[]f h x ()的定义域。 例5. 若函数f x ()2的定义域为[] -11，，则f x (log )2的定义域为____________。 解析：f x ()2的定义域为[]-11，，即[] x ∈-11，，由此得21 22x ∈???? ? ?， f 的作用范围为122，???? ? ? 又f 对log 2x 作用，所以log 21 22x ∈???? ??，，解得[ ] x ∈ 24， 即f x (log )2的定义域为 [ ] 24， 评注：函数定义域是自变量x 的取值范围（用集合或区间表示）f 对谁作用，则谁的范 围是f 的作用范围，f 的作用对象可以变，但f 的作用范围不会变。利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉，值得大家探讨。 （二）同步练习： 1、 已知函数)x (f 的定义域为]1,0[，求函数)x (f 2 的定义域。 答案：]1,1[- 2、 已知函数)x 23(f -的定义域为]3,3[-，求)x (f 的定义域。 答案：]9,3[- 3、 已知函数)2x (f y +=的定义域为)0,1(-，求|)1x 2(|f -的定义域。 答案：) 23,1()0,2 1(?- 4、设()x x x f -+=22lg ，则?? ? ??+??? ??x f x f 22的定义域为（ ） A. ()()4,00,4 - B. ()()4,11,4 -- C. ()()2,11,2 -- D. ()()4,22,4 -- 解：选C.由202x x +>-得，()f x 的定义域为{}|22x x -<<。故22,2 22 2.x x ?-< ?-< ，解得()()4,11,4x ∈--。故?? ? ??+??? ??x f x f 22的定义域为()()4,11,4-- 5、已知函数)(x f 的定义域为)23,21(-∈x ，求)0)(()()(>+=a a x f ax f x g 的定义域。 ［解析］由已知，有?????? ?<<-<<-????????<<-<<-.232 ,2321 ,2321,2321a x a a x a a x ax （1）当1=a 时，定义域为}2 3 21|{<<-x x ； （2）当a a 23 23>，即10< 21a a ->- ， 定义域为}23 2|{a x a x <<-； （3）当a a 2323<，即1>a 时，有2 21a a -<-， 定义域为}23 21|{a x a x <<-. 故当1≥a 时，定义域为}23 21|{a x a x <<-； 当10< 3 2|{a x a x <<- ［点评］对于含有参数的函数，求其定义域，必须对字母进行讨论，要注意思考讨论字母的方法。 三、复合函数单调性问题 （1）引理证明 已知函数))((x g f y =.若)(x g u =在区间b a ,( ）上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数))((x g f y =在区间b a ,( ）上是增函数. 证明：在区间b a ,(）内任取两个数21,x x ，使b x x a <<<21 因为)(x g u =在区间b a ,(）上是减函数，所以)()(21x g x g >,记)(11x g u =, )(22x g u =即),(,21,21d c u u u u ∈>且 因为函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，所以)()(21u f u f <,即 ))(())((21x g f x g f <， 故函数))((x g f y =在区间b a ,(）上是增函数. （2）．复合函数单调性的判断 （3）、复合函数))((x g f y =的单调性判断步骤： ⅰ 确定函数的定义域； ⅱ 将复合函数分解成两个简单函数：)(u f y =与)(x g u =。 ⅲ 分别确定分解成的两个函数的单调性； ⅳ 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数))((x g f y =为增函数； 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数))((x g f y =为减函数。 （4）例题演练 例1、 求函数)32(log 2 2 1--=x x y 的单调区间，并用单调定义给予证明 解：定义域 130322 -<>?>--x x x x 或 单调减区间是),3(+∞ 设2121),3(,x x x x <+∞∈且 则 ---)32(121x x )32(22 2--x x =)2)((1212-+-x x x x ∵312>>x x ∴012>-x x 0212>-+x x ∴)32(121--x x >)32(22 2--x x 又底数12 10<< ∴012<-y y 即 12y y < ∴y 在),3(+∞上是减函数 同理可证：y 在)1,(--∞上是增函数 ［例］2、讨论函数)123(log )(2--=x x x f a 的单调性. ［解］由01232>--x x 得函数的定义域为 则当1>a 时，若1>x ，∵1232--=x x u 为增函数，∴)123(log )(2--=x x x f a 为增函数. 若3 1- ∴)123(log )(2--=x x x f a 为减函数。 当10<x ，则)123(log )(2--=x x x f a 为减函数，若3 1 - 例3、.已知y=a log (2-x a )在［0，1］上是x 的减函数，求a 的取值范围. 解：∵a ＞0且a ≠1 当a ＞1时，函数t=2-x a >0是减函数 由y=a log (2-x a )在［0，1］上x 的减函数，知y=a log t 是增函数， ∴a ＞1 由x ∈［0，1］时，2-x a ≥2-a ＞0,得a ＜2, ∴1＜a ＜2 当0 a >0是增函数 由y=a log (2-x a )在［0，1］上x 的减函数，知y=a log t 是减函数， ∴0 由x ∈［0，1］时，2-x a ≥2-1＞0, ∴0 例4、已知函数2)3()2(2-+--=-a x a ax x f （a 为负整数）的图象经过点 R m m ∈-),0,2(，设)()()()],([)(x f x pg x F x f f x g +==.问是否存在实数)0( ［解析］由已知0)2(=-m f ，得02)3(2=-+--a m a am ， 其中.0,≠∈a R m ∴0≥?即09232≤--a a ， 解得 .3 7 213721+≤≤-a ∵a 为负整数，∴.1-=a ∴1)2(34)2(2+--=-+-=-2x x x x f ， 即.1)(2+-=x x f 2 4 2 2 21)1()]([)(x x x x f f x g +-=++-==， ∴.1)12()()()(24+-+-=+=x p px x f x pg x F 假设存在实数)0( ∴].12)()[()()(22 21222121-++--=-p x x p x x x F x F ∵3)2(-=f ，当)3,(,21--∞∈x x 时，)(x F 为减函数， ∴0)()(21>-x F x F ，∴.012)(,022212221>-++->-p x x p x x ∵3,321-<- 21>+x x , ∴11612)(22 21-->-++-p p x x p , ∴.0116≥--p ① 当)0,3(,21-∈x x 时,)(x F 增函数,∴.0)()(21<-x F x F ∵02221>-x x ,∴11612)(2221--<-++-p p x x p , ∴0116≤--p . ② 由①、②可知161- =p ，故存在.16 1 -=p （5）同步练习： 1．函数y ＝2 1log （x 2－3x ＋2）的单调递减区间是（ ） A ．（－∞，1） B ．（2，＋∞） C ．（－∞， 23 ） D ．（ 2 3 ，＋∞） 解析：先求函数定义域为（－o ，1）∪（2，＋∞），令t （x ）＝x 2＋3x ＋2，函数t （x ）在（－∞，1）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y ＝2 1log （x 2－3x ＋2）在（2，＋∞）上单调递减． 答案：B 2找出下列函数的单调区间. （1）)1(2 32>=++-a a y x x ； （2）.2 3 22++-=x x y 答案：(1)在]2 3,(-∞上是增函数，在),2 3[+∞上是减函数。 （2）单调增区间是]1,1[-，减区间是]3,1[。 3、讨论)0,0(),1(log ≠>-=a a a y x a 且的单调性。 答案：,1>a 时),0(+∞为增函数，01>>a 时，)0,(-∞为增函数。 4．求函数y ＝3 1log （x 2－5x ＋4）的定义域、值域和单调区间． 解：由μ（x ）＝x 2 －5x ＋4＞0，解得 x ＞4或x ＜1，所以x ∈（－∞，1）∪（4，＋∞）， 当x ∈（－∞，1）∪（4，＋∞），｛μ｜μ＝x 2－5x ＋4｝＝R ＋，所以函数的值域是R ＋ ．因为函数y ＝3 1log （x 2－5x ＋4）是由y ＝3 1 log μ（x ）与μ（x ）＝x 2－5x ＋4复合而成，函数 y ＝3 1 log μ（x ）在其定义域上是单调递减的，函数μ（x ）＝x 2－5x ＋4在（－∞，2 5）上 为减函数，在［ 25 ，＋∞］上为增函数．考虑到函数的定义域及复合函数单调性，y ＝3 1log （x 2－5x ＋4）的增区间是定义域内使y ＝3 1 log μ（x ）为减函数、μ（x ）＝x 2－5x ＋4也为 减函数的区间，即（－∞，1）；y ＝3 1log （x 2－5x ＋4）的减区间是定义域内使y ＝3 1 log μ（x ） 为减函数、μ（x ）＝x 2－5x ＋4为增函数的区间，即（4，＋∞）． 变式练习 一、选择题 1．函数f （x ）＝)1(log 2 1－x 的定义域是（ ） A ．（1，＋∞） B ．（2，＋∞） C ．（－∞，2） D ．]21 (， 解析：要保证真数大于0，还要保证偶次根式下的式子大于等于0， 所以??? ??≥0)1(log 012 1 －＞－x x 解得1＜x ≤2． 答案：D 2．函数y ＝2 1log （x 2－3x ＋2）的单调递减区间是（ ） A ．（－∞，1） B ．（2，＋∞） C ．（－∞， 23 ） D ．（ 2 3 ，＋∞） 解析：先求函数定义域为（－o ，1）∪（2，＋∞），令t （x ）＝x 2＋3x ＋2，函数t （x ）在（－∞，1）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y ＝2 1log （x 2－3x ＋2）在（2，＋∞）上单调递减． 答案：B 3．若2lg （x －2y ）＝lg x ＋lg y ，则 x y 的值为（ ） A ．4 B ．1或4 1 C ．1或4 D ． 4 1 错解：由2lg （x －2y ）＝lg x ＋lg y ，得（x －2y ）2＝xy ，解得x ＝4y 或x ＝y ，则有x y ＝ 4 1 或y x ＝1． 答案：选B 正解：上述解法忽略了真数大于0这个条件，即x －2y ＞0，所以x ＞2y ．所以x ＝y 舍掉．只有x ＝4y ． 答案：D 4．若定义在区间（－1，0）内的函数f （x ）＝a 2log （x ＋1）满足f （x ）＞0，则a 的取值范围为（ ） A ．（0，2 1 ） B ．（0， 2 1 ） C ．（ 2 1 ，＋∞） D ．（0，＋∞） 解析：因为x ∈（－1，0），所以x ＋1∈（0，1）．当f （x ）＞0时，根据图象只有0＜2a ＜l ，解得0＜a ＜2 1 （根据本节思维过程中第四条提到的性质）． 答案：A 5．函数y ＝lg （x －12 －1）的图象关于（ ） A ．y 轴对称 B ．x 轴对称 C ．原点对称 D ．直线y ＝x 对称 解析：y ＝lg （ x －12－1）＝x x －＋11lg ，所以为奇函数．形如y ＝x x －＋11lg 或y ＝x x －＋11lg 的函数都为奇函数． 答案：C 二、填空题 已知y ＝a log （2－ax ）在［0，1］上是x 的减函数，则a 的取值范围是__________． 解析：a ＞0且a ≠1?μ（x ）＝2－ax 是减函数，要使y ＝a log （2－ax ）是减函数，则a ＞1，又2－ax ＞0?a ＜3 2 （0＜x ＜1）?a ＜2，所以a ∈（1，2）． 答案：a ∈（1，2） 7．函数f （x ）的图象与g （x ）＝（ 3 1）x 的图象关于直线y ＝x 对称，则f （2x －x 2）的单调递减区间为______． 解析：因为f （x ）与g （x ）互为反函数，所以f （x ）＝3 1log x 则f （2x －x 2）＝3 1log （2x －x 2），令μ（x ）＝2x －x 2＞0，解得0＜x ＜2． μ（x ）＝2x －x 2在（0，1）上单调递增，则f ［μ（x ）］在（0，1）上单调递减； μ（x ）＝2x －x 2在（1，2）上单调递减，则f ［μ（x ）］在［1，2）上单调递增． 所以f （2x －x 2）的单调递减区间为（0，1）． 答案：（0，1） 8．已知定义域为R 的偶函数f （x ）在［0，＋∞］上是增函数，且f （2 1 ）＝0， 则不等式f （l og 4x ）的解集是______． 解析：因为f （x ）是偶函数，所以f （－ 21）＝f （2 1 ）＝0．又f （x ）在［0，＋∞］上是增函数，所以f （x ）在（－∞，0）上是减函数．所以f （l og 4x ）＞0?l og 4x ＞2 1 或l og 4x ＜－2 1． 解得x ＞2或0＜x ＜21 ． 答案：x ＞2或0＜x ＜2 1 三、解答题 9．求函数y ＝3 1log （x 2－5x ＋4）的定义域、值域和单调区间． 解：由μ（x ）＝x 2－5x ＋4＞0，解得x ＞4或x ＜1，所以x ∈（－∞，1）∪（4，＋∞）， 当x ∈（－∞，1）∪（4，＋∞），｛μ｜μ＝x 2－5x ＋4｝＝R ＋，所以函数的值域是R ＋ ．因为函数y ＝3 1log （x 2－5x ＋4）是由y ＝3 1 log μ（x ）与μ（x ）＝x 2－5x ＋4复合而成，函数 y ＝3 1 log μ（x ）在其定义域上是单调递减的，函数μ（x ）＝x 2－5x ＋4在（－∞，2 5 ）上 为减函数，在［ 25 ，＋∞］上为增函数．考虑到函数的定义域及复合函数单调性，y ＝3 1log （x 2－5x ＋4）的增区间是定义域内使y ＝3 1 log μ（x ）为减函数、μ（x ）＝x 2－5x ＋4也为 减函数的区间，即（－∞，1）；y ＝3 1log （x 2－5x ＋4）的减区间是定义域内使y ＝3 1 log μ（x ） 为减函数、μ （x ）＝x 2－5x ＋4为增函数的区间，即（4，＋∞）． 10．设函数f （x ）＝ 532＋x ＋x x 2323lg ＋－， （1）求函数f （x ）的定义域； （2）判断函数f （x ）的单调性，并给出证明； （3）已知函数f （x ）的反函数f －1（x ），问函数y ＝f － 1（x ）的图象与x 轴有交点吗?若有，求出交点坐标；若无交点，说明理由． 解：（1）由3x ＋5≠0且x x 2323＋－＞0，解得x ≠－35且－23＜x ＜23．取交集得－2 3 ＜x ＜ 2 3 ． （2）令μ（x ）＝3x ＋5，随着x 增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数； x x 2323＋－＝－1＋x 236 ＋随着x 增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数． 又y ＝lg x 在定义域内是增函数，根据复合单调性可知，y ＝x x 2323lg ＋－是减函数，所以f （x ）＝ 532＋x ＋x x 2323lg ＋－是减函数． （3）因为直接求f （x ）的反函数非常复杂且不易求出，于是利用函数与其反函数之间 定义域与值域的关系求解． 设函数f （x ）的反函数f － 1（x ）与工轴的交点为（x 0，0）．根据函数与反函数之间定义域与值域的关系可知，f （x ）与y 轴的交点是（0，x 0），将（0，x 0）代入f （x ），解得x 0＝5 2 ．所以函数y ＝f － 1（x ）的图象与x 轴有交点，交点为（ 5 2 ，0）。 精心整理 2015-2016学年度???学校9月月考卷 分段函数、抽象函数与复合函数 考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx 第I卷（选择题） 请点击修改第I卷的文字说明 5．已知函数 3,0, () ln(1),>0. x x f x x x ?≤ =? + ? ,若2 (2)() f x f x ->，则实数x的取值范围是（） A．(,1)(2,) -∞-?+∞B．(,2)(1,) -∞-?+∞C．(1,2) - D．(2,1) - 6．定义一种运算? ??>≤=?b a b b a a b a ,,，令()()t x x x x f -?-+=224（t 为常数），且[]3,3-∈x ， 则使函数()x f 最大值为4的t 值是（） A ．2-或6B ．4或6C ．2-或4D ．4-或4 7．已知? ???+∈+=R x x i R x x x f ,)1(,1)(，则=-))1((i f f （） A.2i - B.1 C.3 D.3i + 8 34x x <，且(f A ．9A ．1 10a 的取A ．(C ．[11．若() 2 2,,0()21,[0,) x x f x x x x ?--∈-∞=?--∈+∞?，x 1＜x 2＜x 3，且f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)，则x 1+x 2+x 3的值的范围是（） A ．[1,2) B ．(1,2] C ．(0,1] D ．[2,3) 12．已知函数()2 3,2 x f x x x ≥=- 13．已知函数()() ()?????≤?? ? ??>=0340sin x x x x f x π，则()()1-f f 的值为（） A. 4 3π B.1sin - C.22 D.1- 14．设函数???><=0 ,log 0 ,2)(2x x x x f x ，若存在唯一的x ，满足a a x f f 28))((2+=，则正实数．．． a 的最小值是（） （A 15A.(16a 的个A ．17A ．918A.(191)]1([=g f A.1B.2C.3D.1- 20．已知函数2|log |,02 ()sin(),2104 x x f x x x π < 周期函数 通俗定义 对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。事实上，任何一个常数kT （k∈Z且k≠0）都是它的周期。 严格定义 设f(x）是定义在数集M上的函数，如果存在非零常数T具有性质：f （x+T）=f（x）； 则称f（x）是数集M上的周期函数，常数T称为f（x）的一个周期。如果在所有正周期中有一个最小的，则称它是函数f（x）的最小正周期。 由定义可得：周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。 正弦函数图象 编辑本段周期函数性质 ⑴若T（≠0）是f(X）的周期，则-T也是f(X）的周期。 ⑵若T（≠0）是f(X）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f(X）的周期。 ⑶若T1与T2都是f(X）的周期，则T1±T2也是f(X）的周期。 ⑷若f(X）有最小正周期T*，那么f(X）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。 ⑸若T1、T2是f(X）的两个周期，且是无理数，则f(X）不存在最小正周期 ⑹若T1、T2是f(X）的两个周期，且T1/T2是无理数，则f(X）不存在最小正周期。 ⑺周期函数f(X）的定义域M必定是至少一方无界的集合。 编辑本段判定 定理1 若f(X）是在集M上以T*为最小正周期的周期函数则K f(X)+C（K≠0）和1/ f(X）分别是集M和集{X/ f(X) ≠0，X }上的以T*为最小正周期的周期函数。[1] 证： ∵T*是f(X）的周期，∴对有X±T* 且f(X+T*)= f(X），∴K f(X)+C=K f(X+T*)+C， ∴K f(X)+C也是M上以T*为周期的周期函数。 假设T* 不是Kf(X)+C的最小正周期，则必存在T’（0 分段函数及函数的单调性奇偶性 一、分段函数 基础测试 1、已知函数2311()4615x x f x x x x -≤≤?=?-+<?=?-+-≤?在R 上为增函数，则实数b 的取值范围是 。 （2）、若函数f(x)=|2x+a|的单调区间是[3,+∞)，则a 的值为 。 二、复合函数的单调性 例：（1）求下列函数的单调区间 y ＝1(x ＋1)2 13y ?= ??? （2）、已知函数log (2)a y ax =-在[0,1]上是减函数，则a 的取值范围为 。 三、函数的单调性的应用 1、（比较大小）若函数f (x )＝x 2＋mx ＋n ，对任意实数x 都有f (2－x )＝f (2＋x )成立，则f (－1)，f (2)，f (4)的大小关系为 。 2、（解不等式）已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是增函数，且f (t －1) 2018年高考数学复合函数定义域及常见函数解析式的求法总结 （1）定义域一定是x的范围,注意力应放在x上,不管已知定义域,还是求定义域,都是指x范围.如f(3x+1)的定义域为[1,2]是指括号内3x+1中的x的范围是[1,2] （2）求定义域的方法是：凡是f后面括号内的范围是相同的,不管括号内是什么,通过这个求x范围 如f(3x+1)的定义域为[1,2]求f(x)定义域 由条件可得整个括号内的范围为[4,7] 而f(x)中,括号内只有x,故定义域即为[4,7] 再如f(3x+1)的定义域为[1,2]求f(1-2x)定义域 由上可知括号内范围[4,7] 故1-2x的范围也是[4,7] 解不等式4≤1-2x≤7得出的x范围即为所求的定义域 函数解析式的七种求法 一）求函数的解析式 1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形式是y＝f（x），不能把它写成f（x，y）＝0； 2、求函数解析式一般要写出定义域，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定义域；一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形； 3、求函数解析式的一般方法有： （1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。 （2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；（3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g（x），以换元法解之； （4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x 代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f （x）的表达式； （5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。 （二）求函数定义域 1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示； 2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题； 3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等； 4、对复合函数y＝f［g（x）］的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域； 5、分段函数的定义域是各个区间的并集； 分段函数 1.已知函数f （x ）＝232,1, ,1,x x x ax x +?=?≤?，则1(())9f f = A.4 B. 14 C.-4 D-14 【答案】B 【解析】根据分段函数可得311()log 299f ==-，则211(())(2)294 f f f -=-==， 所以B 正确. 3.定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ???>---≤-0 ),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为( ) A.-1 B. 0 C.1 D. 2 【解析】:由已知得2(1)log 21f -==,(0)0f =,(1)(0)(1)1f f f =--=-, (2)(1)(0)1f f f =-=-,(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=, (4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=,(5)(4)(3)1f f f =-=,(6)(5)(4)0f f f =-=, 所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f （2009）= f （5）=1,故选C. 4.设函数2()2()g x x x R =-∈， ()4,(),(),().(){g x x x g x g x x x g x f x ++<-≥=则()f x 的值域是 （A ）9,0(1,)4??-?+∞???? （B ）[0,)+∞ （C ）9[,)4-+∞（D ）9,0(2,)4??-?+∞???? 【答案】D 【解析】本题主要考查函数分类函数值域的基本求法，属于难 题。 依题意知22222(4),2()2,2x x x x f x x x x x ?-++<-??--≥-??， 222,12()2,12 x x x f x x x x ?+<->??---≤≤??或 5.若函数f(x)=212 log ,0,log (),0x x x x >???-f(-a),则实数a 的取值范围是 高考数学讲座——函数 主讲：奉贤中学 宋林荣 函数是中学数学最重要的内容之一（三大板块内容之一），是高中数学教材的一条主线，是历年高考命题的重点。函数的概念是以集合为基础，也是学习高等数学的基础。 函数的主要．．内容：函数的概念（三个要素：定义域、值域和对应法则）、基本初等函数的性质和图像。其中包括了三角函数和反三角函数，数列实质上也是函数，只是定义域为正整数集或正整数集的子集。 学习中，要求掌握的函数具体内容有：函数的定义域、值域、图像、奇偶性、单调性、周期性、最值、反函数、和（积）函数，以及相关的具体函数的图像及性质。 研究函数，主要从定义、图像、性质三方面加以研究。 高考相关内容点击： 一、函数与反函数 【例题1】 已知xy 0<，而且2 2 4x 9y 36-=。由此能否确定一个函数关系y f (x)=？如果能， 求出其解析式、定义域和值域；如果不能，请说明理由。 【例题2】下列各对函数中，相同的是（ ） （A ）2 f (x)l g x =和g(x)2lg x = （B ）x 1 f (x)lg x 1 +=-和g(x)lg(x 1)lg(x 1)=+-- （C ）f (s)= g(t)= （D ）f (x)x =和g(x)=【例题3】求下列函数的反函数：（1）2 y x 2x(x 1)=-≥；（2）x x 21 y (x 0)21 +=<-。 【例题4】下列函数中，反函数为其自身的函数是（ ） （A ）2 f (x)x ,x [0,)=∈+∞ （B ）3 f (x)x ,x (,)=∈-∞+∞ （C ）x f (x)e ,x (,)=∈-∞+∞ （D ）1 f (x),x (0,)x =∈+∞ 【例题5】函数x 3f (x)2x 1 += -，函数g(x)是函数1 y f (x 1)-=+的反函数，求g(3)的值。 二、函数的定义域与值域（最值） 【例题6】（1）已知函数x x f -= 11)(的定义域为M ，)1ln()(x x g +=的定义域为N ，求 M N 。 （2 ）函数2()f x =的定义域为 。 【例题7 】求函数f (x)= 【变式题】求函数f (x)=定义域和值域。 【例题8】设1x f (x)tx (t 0)t -=+>，g(t)是f (x)在x [0,1]∈上的最小值，求g(t)的最大值。 三、和函数与积函数 【例题9】设()f x 是R 上的任意函数,则下列叙述正确的是（ ） 复合函数的导数 求分段函数的导数 例 求函数?????=≠=0 ,00,1sin )(2x x x x x f 的导数 分析：当0=x 时因为)0(f '存在，所以应当用导数定义求)0(f '，当0≠x 时，)(x f 的关系式是初等函数x x 1sin 2，可以按各种求导法同求它的导数． 解：当0=x 时，01sin lim 1sin lim )0()(lim )0(0200===-='→?→?→?x x x x x x f x f f x x x 当0≠x 时，x x x x x x x x x x x x x x x f 1cos 1sin 2)1cos 1(1sin 2)1(sin 1sin )()1sin ()(22222-=-+='+'='=' 说明：如果一个函数)(x g 在点0x 连续，则有)(lim )(0 0x g x g x x →=，但如果我们不能断定)(x f 的导数)(x f '是否在点00=x 连续，不能认为)(lim )0(0 x f f x →='． 指出函数的复合关系 例 指出下列函数的复合关系． 1．m n bx a y )(+=；2．32ln +=x e y ； 3．)32(log 322+-=x x y ；4．)1sin(x x y +=。 分析：由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解决这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外及里，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程． 解：函数的复合关系分别是 1．n m bx a u u y +==,； 2．2,3,ln +===x e v v u u y ； 3．32,log ,32 2+-===x x v v u y u ； 高中数学单元测试-２015０４２8?满分:?班级：__＿＿_____ 姓名:______ ＿__ 考号：__＿_＿____ 一、单选题(共19小题） 1.已知函数若互不相等,且，则的取值范围是( ） ?A.(1,２014) B.(１，20１５） C．（2,2015) D．［2，20１５] ２.已知函数若方程有三个不同实数根，则实数的取值范围是( )??A． B． Ｃ. D ． 3.已知函数，若有且只有一个实数解，则的取值范围是（） A ． Ｂ. Ｃ． D． ４.已知函数，其中,则的值为( ） ?A．６ B.7 C．８ D．９ ５．已知函数，则( ) A. B． C. D． 6.对实数和，定义运算“”:，设函数,若函数的图像与ｘ轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是（） A.(2,4](5,＋) Ｂ．（1，2] (4，5］ Ｃ．(一，1)（４，５] D.[1，２] ７．已知函数若关于的方程有三个不相等的实数根，则实数 的取值范围是( ） A． B． C. D. 8.函数的图像大致是（） A． B. C． D. ９.对任意实数a，b定义运算“”:设，若函数的图象与x轴恰有三个不同交点，则ｋ的取值范围是（ ) A.(－2，1) B．[0,1］ C．［－2,0) D.[-2,1) 10.函数若关于的方程有五个不同的实数解,则的取值范围是( ) A. B． C. D. 11.对于实数和，定义运算“*” :*设*，且关于的方程为恰有三个互不相等的实数根,，，则的取值范围是（ ) Ａ. Ｂ． Ｃ． Ｄ． 12.函数与（且) 在同一直角坐标系下的图象可能是( ) A. B． 复合函数的零点个数问 题 集团档案编码：[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08] 复合函数、分段函数零点个数问题 1.（2013届八校联考理10）已知函数???<≥=) 0()-(log ) 0(3)(3x x x x f x ，函数 )()()()(2R t t x f x f x g ∈++=.关于)(x g 的零点，下列判断不正确．．． 的是（ ） A.若)(,41x g t =有一个零点 B.若)(,4 1 2-x g t <<有两个零 点 C.若)(,2-x g t =有三个零点 D.若)(,2-x g t <有四个零点 2、（2013届八校联考-文10）已知函数(0) ()lg()(0)x e x f x x x ?≥=?-0) ()-2(0)x x f x x x x ?=?-≤? 则关于x 的函数 1)(3-)(2y 2+=x f x f 的零点的个数为 ________. 5.已知函数1 + (0)()0(=0) x x f x x x ?≠?=??? 则关于x 的方程 2()b ()0f x f x c ++= 有5个不同的实数解的充要条件是（ ） A b<-2且c>0 B b>-2且c<0 C b<-2且c=0 D b 2c=0≥-且 6 已知函数31 +,>0 ()3,0x x f x x x x ??=??+≤?， 则函数)2(-)2()(F 2>+=a a x x f x 的零点个数 不可能．．． 为（ ） A 3 B 4 C 5 D 6分段函数抽象函数与复合函数
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