导数的计算(三)1
导数计算公式
导数计算公式导数是微积分中最基本的概念之一，用于描述函数在其中一点的变化率。
在数学中，导数的计算是通过极限的概念进行的。
导数的计算公式可以根据函数的不同类型进行分类。
首先，我们来看一下基本函数的导数计算公式。
1.需知导数计算的公式：(1)常数函数的导数：如果f(x)=c，其中c是常数，则f'(x)=0。
(2)幂函数的导数：若f(x) = x^n(n为常数)，则f'(x) = nx^(n-1)。
(3)指数函数的导数：若f(x) = a^x(a>0且a≠1)，则f'(x) = ln(a) * a^x。
(4)对数函数的导数：若f(x) = logₐ(x)(a>0且a≠1)，则f'(x) = 1 / (ln(a) * x)。
(5)三角函数的导数：sin'(x) = cos(x)cos'(x) = -sin(x)tan'(x) = sec^2(x)。
(6)反三角函数的导数：sin^(-1)'(x) = 1 / √(1 - x^2)cos^(-1)'(x) = -1 / √(1 - x^2)tan^(-1)'(x) = 1 / (1 + x^2)。
2.导数的四则运算法则：导数具有以下四则运算法则，对于函数f(x)和g(x)，它们的导数可以通过以下公式计算：(1)(f±g)'(x)=f'(x)±g'(x)(2) (cf)'(x) = cf'(x)(3)(f*g)'(x)=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)(4)(f/g)'(x)=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/g^2(x)。
3.链式法则：链式法则是导数计算中的一个重要法则，它用于计算复合函数的导数。
设有函数y=f(u)和u=g(x)，则复合函数y=f(g(x))的导数可以通过以下公式计算：dy/dx = dy/du * du/dx。
导数的定义及计算
导数的定义及计算导数是微积分中的重要概念之一，用于描述函数在某一点的变化率或斜率。
在本文中，我们将介绍导数的定义及计算方法，并通过一些具体的例子来加深理解。
一、导数的定义在数学中，函数f(x)在x点处的导数可以用以下极限定义表示：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，lim表示极限操作，h表示自变量x的变化量，也可以解释为一个无限小的增量。
根据这个定义，我们可以得出导数的几何意义是函数在该点处的切线的斜率。
二、导数的计算方法1. 基本导数公式导数有一些基本的计算公式，这些公式可以帮助我们计算各种类型函数的导数。
下面是一些常用的基本导数公式：- 常数函数导数：常数函数的导数为0。
- 幂函数导数：幂函数f(x) = x^n 的导数为 f'(x) = n*x^(n-1)。
- 指数函数导数：指数函数f(x) = a^x（其中a>0且a≠1）的导数为f'(x) = ln(a) * a^x。
- 对数函数导数：对数函数f(x) = ln(x)（其中x>0）的导数为 f'(x) = 1/x。
- 正弦函数导数：正弦函数f(x) = sin(x)的导数为 f'(x) = cos(x)。
- 余弦函数导数：余弦函数f(x) = cos(x)的导数为 f'(x) = -sin(x)。
通过运用这些基本导数公式，我们可以计算更复杂函数的导数。
2. 导数的运算法则导数还具有一些运算法则，这些法则可以简化导数的计算过程。
下面是导数的运算法则：- 和差法则：若f(x)和g(x)是可导函数，则(f(x)±g(x))' = f'(x)±g'(x)。
- 积法则：若f(x)和g(x)是可导函数，则(f(x)·g(x))' = f'(x)·g(x) +f(x)·g'(x)。
高中数学导数的计算
高中数学导数的计算导数是微积分中的一项重要概念，用于描述函数在其中一点的变化率。
在高中数学中，我们主要学习了常见函数的导数计算方法，包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
下面我们将通过一些例子详细介绍这些函数的导数计算方法。
一、多项式函数的导数计算多项式函数的一般形式为f(x)=aₙxⁿ+aₙ₋₁xⁿ⁻¹+...+a₁x+a₀，其中aₙ、aₙ₋₁、..、a₁、a₀为常数，n为正整数。
多项式函数的导数计算可通过幂次降低的方法来进行。
具体来说，对于f(x)=aₙxⁿ+aₙ₋₁xⁿ⁻¹+...+a₁x+a₀，如果n≥1，则有f’(x)=naₙxⁿ⁻¹+(n-1)aₙ₋₁xⁿ⁻²+...+a₁。
如果n=0，则f’(x)=0。
例题1：求函数f(x)=4x⁴+2x³-3x²+5的导数。
解：f’(x)=4*4x³+3*2x²-2*3x¹+0=16x³+6x²-6x二、指数函数的导数计算指数函数的一般形式为f(x)=aᵏx，其中a为常数，k为指数。
指数函数的导数计算可以通过应用导数的基本性质和指数函数的特点来求解。
具体来说，对于函数f(x)=aᵏx，根据导数的基本性质，有f’(x)=k*aᵏ⁻¹x。
同样地，对于指数函数f(x)=a，它的导数为f’(x)=0。
例题2：求函数f(x)=3e²ˣ的导数。
解：f’(x)=3*2e²ˣ=6e²ˣ三、对数函数的导数计算对数函数的一般形式为f(x)=logₐx，其中a为底数。
对数函数的导数计算同样可以通过应用导数的基本性质和对数函数的特点来求解。
具体来说，对于函数f(x)=logₐx，根据导数的基本性质，有f’(x)=1/(xlna)。
例题3：求函数f(x)=ln(4x)的导数。
解：f’(x)=1/(4x)四、三角函数的导数计算三角函数是高中数学中常见的函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
导数的计算公式
导数的计算公式导数是微积分的基本概念之一，用于描述函数在某一点的变化率。
它可以通过计算函数的导数来获得，而导数的计算可以通过一些公式来简化。
一、导数的定义设函数 y=f(x)，当自变量 x 在某一点 a 处有定义时，函数 f(x) 在该点的导数可以通过以下极限来定义：f'(a) = lim┬(h→0)〖(f(a+h)-f(a))/h〗其中 h 称为自变量的增量，表示自变量 x 在点 a 处的一个微小变化量。
导数 f'(a) 描述了函数 f(x) 在点 a 处的斜率，即函数图像在该点附近的切线的斜率。
二、常见导数的计算公式在微积分中，有一些常见函数的导数计算公式可以帮助简化导数的计算。
下面列举一些常见导数的计算公式：1. 常数函数导数公式:如果 y=c 是一个常数，那么它的导数为 f'(x)=0，即常数函数的导数为 0。
2. 幂函数导数公式:如果 y=x^n 是一个幂函数，那么它的导数为 f'(x)=nx^(n-1)，即幂函数的导数等于指数与幂减一的乘积。
3. 指数函数导数公式:如果 y=a^x 是一个指数函数，且 a>0 且a≠1，那么它的导数为f'(x)=a^xln(a)，即指数函数的导数等于函数值乘以底数的自然对数。
4. 对数函数导数公式:如果 y=loga(x) 是一个对数函数，且 a>0 且a≠1，那么它的导数为 f'(x)=1/(xln(a))，即对数函数的导数等于常数 1 除以函数自变量 x 与底数的乘积。
5. 三角函数导数公式:(1) sin 函数的导数：f'(x)=cos(x)(2) cos 函数的导数：f'(x)=-sin(x)(3) tan 函数的导数：f'(x)=sec^2(x)(4) cot 函数的导数：f'(x)=-csc^2(x)(5) sec 函数的导数：f'(x)=sec(x)tan(x)(6) csc 函数的导数：f'(x)=-csc(x)cot(x)这些导数的计算公式在微积分中是经常使用的，可以帮助简化复杂函数的求导过程。
常见导数基本公式
常见导数基本公式导数作为微积分的基本概念之一，在数学和物理等领域有着重要的应用。
学习导数的基本公式，不仅可以帮助我们求解各种函数的导数，还可以为我们理解函数图像的特征提供指导。
本文将介绍一些常见的导数基本公式，并通过具体的例子来阐述其应用和意义。
首先，我们先来讨论一阶导数的基本公式。
对于任意函数f(x)，其导数可以表示为f'(x)或dy/dx。
当函数f(x)在一点x0处可导时，其导数可以通过以下几种常见的公式来计算。
1. 常数函数导数公式：对于常数c，其导数为0，即d(c)/dx = 0。
这是因为常数函数的斜率恒为0，即不随x的变化而变化。
2. 幂函数导数公式：对于幂函数f(x) = x^n（n为常数），其导数可以表示为d(x^n)/dx = nx^(n-1)。
这个公式告诉我们，幂函数的导数是通过将指数降低1，并乘以原来的指数。
例如，当n为2时，f(x) = x^2的导数为d(x^2)/dx = 2x。
3. 指数函数导数公式：对于指数函数f(x) = e^x，其导数为d(e^x)/dx = e^x。
指数函数的导数与函数自身相等，这是指数函数在任意点的斜率都等于函数值。
例如，f(x) = e^x的导数为d(e^x)/dx = e^x。
4. 对数函数导数公式：对于自然对数函数f(x) = ln(x)，其导数为d(ln(x))/dx = 1/x。
对数函数的导数可以通过求幂函数导数公式和指数函数导数公式的逆运算得到。
例如，f(x) = ln(x)的导数为d(ln(x))/dx = 1/x。
以上是一阶导数的一些基本公式，可以帮助我们求解一些简单函数的导数。
但是在实际问题中，我们经常遇到复合函数或者多元函数，需要使用更加复杂的导数公式。
下面，我们来介绍一些常见的高阶导数公式和一些导函数的性质。
1. 高阶导数公式：高阶导数是指函数的导数再次求导得到的导数。
对于一阶导数f'(x)，我们可以通过不断求导得到二阶导数f''(x)，三阶导数f'''(x)等。
导数的运算 (解析版)
（2）由 可得
【变式2-1】3．（福建·高考真题（理））求函数 的导数．
【答案】
【分析】根据导数的运算法则计算．
【详解】
【变式2-1】4．（2020·天津市西青区杨柳青第一中学高二阶段练习）求下列函数的导数
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) .
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】根据求导基本公式，计算即可得答案.
(1)
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5)
【变式1-1】2.求下列函数的导函数.
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【答案】（1） （2） (3) (4) (5) (6)
【解析】（1）由 ，则 ；
（2）由 ，则 ；
（3）由 ，则 ；
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) .
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】根据函数求导公式即可得出答案.
【详解】（1）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ（2）
（3）
（4）
（5）
【变式1-1】1.（2022·广西桂林·高二期末（理））求下列函数的导数.
(1)y＝x12；
(2) ；
(3) ；
(4)y＝3x；
(5)y＝log5x.
（4）由 ，则 ；
（5）由 ，则 ；
（6）由 ，则 .
【变式1-1】3．（2021·宁夏·海原县第一中学高二期中（文））求下列函数的导数.
导数的计算
昌都景点文案短句目录:一、昌都——西藏佛教文化的瑰宝二、气象之城——昌都的自然景观三、世外桃源——昌都的禅修胜地四、情系长春——昌都的民俗文化五、馨香旅程——昌都的美食之旅六、冰雪奇缘——昌都的冰川景观七、梦幻河谷——昌都的湖泊和河流一、昌都——西藏佛教文化的瑰宝昌都是座位于西藏的文化名城，承载着丰富的佛教文化底蕴。
在这里，你可以感受纯净的宗教氛围，探寻佛教的深邃奥义。
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二、气象之城——昌都的自然景观昌都被誉为西藏的气象之城，这里的自然景观自成一派。
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四、情系长春——昌都的民俗文化昌都是多民族聚居的地方，拥有丰富多彩的民俗文化。
这里的藏族、珞巴族、羌族等民族拥有独特的风俗习惯和传统艺术。
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五、馨香旅程——昌都的美食之旅昌都的美食文化也是别具一格。
在这里，你可以品尝到传统的藏族美食，如酥油茶、青稞饼等，还可以尝试当地珞巴族和羌族的特色菜肴。
不同的民族风味汇聚于昌都，为你带来一场舌尖上的盛宴。
六、冰雪奇缘——昌都的冰川景观昌都是西藏冰川的重要区域，这里的冰川景观堪称壮丽。
巍峨的冰川山峰、澄澈的冰湖、绚丽的冰瀑布都是大自然的奇迹。
无论是远足、攀登，还是观赏冰川景观，昌都都会带给你前所未有的震撼与感动。
七、梦幻河谷——昌都的湖泊和河流昌都拥有许多湖泊和河流，如冈底斯河、光明湖等。
清澈的湖水倒映着山脉和天空，风景如画。
在昌都的湖泊和河流之间，你可以放松身心，感受宁静与宜人。
导数的基本公式
导数的基本公式导数的定义在微积分中，导数是描述函数在某一点上的变化率的概念。
导数可以通过函数的极限来定义。
定义设函数y=f(x)在点x=x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量Δx可以取到时，相应的函数有一个增量Δy=f(x0+Δx)−f(x0)。
如果Δx无论在x0处怎样取时，当Δx趋于零时，相应的增量Δy也趋于零，则称函数y=f(x)在点x=x0处可导，并称此极限为函数y=f(x)在点x=x0处的导数，记作f′(x0)，即$$ f'(x_0) = \\lim _ {Δx \\to 0} \\frac{f(x_0 + Δx) - f(x_0)}{Δx} $$导数的基本公式在导数的计算中，存在一些基本公式，可以用来简化计算。
下面介绍常见的导数基本公式。
常数函数对于常数函数y=C，其中C是一个常数，该函数的导数恒为零。
即f′(x)=0。
幂函数对于幂函数y=x n，其中n是一个实数，该函数的导数为 $f'(x) = n \\cdotx^{n-1}$。
指数函数对于指数函数y=a x，其中a是一个正常数且a eq1，该函数的导数为 $f'(x) =a^x \\cdot \\ln a$。
对数函数对于对数函数 $y = \\log_a x$，其中a是一个正常数且a eq1，该函数的导数为$f'(x) = \\frac{1}{x \\cdot \\ln a}$。
三角函数对于三角函数，例如正弦函数 $y = \\sin x$ 和余弦函数 $y = \\cos x$，它们的导数分别为 $f'(x) = \\cos x$ 和 $f'(x) = -\\sin x$。
反三角函数对于反三角函数，例如正弦函数的反函数 $y = \\arcsin x$ 和余弦函数的反函数$y = \\arccos x$，它们的导数分别为 $f'(x) = \\frac{1}{\\sqrt{1 - x^2}}$ 和 $f'(x) = -\\frac{1}{\\sqrt{1 - x^2}}$。
导数的计算(三)1
y ' (2ax b) eax
bx
y'
ln x x 1 ln 2 x
作业：P18 A 组 T4(4)(5)(6) T6
1 练习 3.⑴求过曲线 y=cosx 上点 P( , ) 的切线的直线方程. 3 2 3
解： f ( x ) cos x, f ( x ) sin x, f ( ) sin . 3 3 2 1 3 ， ∴曲线在点 P ( , ) 处的切线斜率为 3 2 2 1 3 3 0. ∴所求的直线方程为 y ( x ), 即 3 x 2 y 1 3 2 2 3
二、导数运算法则
[ f ( x) g ( x)]' f ( x) ' g ( x) ' [ f ( x) g ( x)]' f ( x) ' g ( x) f ( x) g ( x) ' f ( x) f ( x) ' g ( x) f ( x) g ( x) ' [ ]' g ( x) [ g ( x)]2
导数的计算(三)
一、基本初等函数的求导公式
常数的导数 (C ) 0 (C 为常数) 幂函数 ( x n ) nx n1 ( n 为有理数) 三角函数 (sin x ) cos x , (cos x ) －sin x 指数函数 (a x ) a x ln a (a 0，a 1) 特殊地 (e x ) e x 1 1 (a 0, a 1) 且 对数函数 (log a x ) log a e x x ln a 1 特殊地 (ln x ) x
练习:指出下列函数是怎样复合而成的. 1 3 2 4 y sin (1 ) （1） （2） y (1 sin x) x （3） y cos ln( x 1)
导数的运算法则及复合函数的导数
导数的运算法则及复合函数的导数导数是微积分中非常重要的概念，它描述了一个函数在其中一点的变化率。
在实际应用中，我们常常需要对函数进行一系列运算，包括加减乘除和复合函数等，了解导数的运算法则以及复合函数的导数可以帮助我们更好地进行运算和解决实际问题。
1.导数的运算法则：(1)和差法则：设函数f(x)和g(x)在区间I上可导，则它们的和、差的函数f(x)+g(x)和f(x)-g(x)在区间I上仍然可导，并且有如下的导数公式：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)(2)乘法法则：设函数f(x)和g(x)在区间I上可导，则它们的乘积函数f(x)g(x)在区间I上可导，并且有如下的导数公式：(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)(3)除法法则：设函数f(x)和g(x)在区间I上可导，并且g(x)≠0，则它们的商函数f(x)/g(x)在区间I上可导，并且有如下的导数公式：(f(x)/g(x))'=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/[g(x)]²(4)常数法则：设c为常数，函数f(x)在区间I上可导，则常数函数cf(x)在区间I 上可导，并且有如下的导数公式：(cf(x))' = cf'(x)(5)幂函数法则：设函数f(x)=x^n在区间(x>0)上可导，则幂函数f(x)=x^k在区间(x>0)上可导，并且有如下的导数公式：(x^k)' = kx^(k-1)2.复合函数的导数：复合函数是指一个函数内部存在另一个函数，即一个函数的输入是另一个函数的输出。
在实际运算中，我们还需要计算复合函数的导数，可以利用链式法则来求解。
(1)链式法则：设函数y=f(u)，u=g(x)是由两个函数构成的复合函数，在函数f和g 满足一定的条件下dy/dx = dy/du * du/dx具体地，对于复合函数y=f(g(x))，先计算出f对u的导数df/du，再计算出g对x的导数dg/dx，最后将两个结果相乘即可得到复合函数对x的导数。
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练习:指出下列函数是怎样复合而成的. （1）
y sin (1
3
1 x
)
2
（2） y (1 sin x )
2
4
（3） y co s ln ( x 1)
（4） y a e
2 x 1
2
复合函数
一般地,对于两个函数 y f ( u ) 和 u g ( x ) ,如果通 过变量 u , y 可以表示成 x 的函数,那么称这个函数 y f ( u ) 和 u g ( x ) 的复合函数,记作 y f ( g ( x ))
[
f (x) g (x)
]'
f ( x ) ' g ( x ) f ( x ) g ( x ) ' [ g ( x )]
2
P16 思考:如何求 y ln( x 2) 导数?
复合函数
一般地,对于两个函数 y f ( u ) 和 u g ( x ) ,如果通 过变量 u , y 可以表示成 x 的函数,那么称这个函数 y f ( u ) 和 u g ( x ) 的复合函数,记作 y f ( g ( x ))
导数的计算(三)
一、基本初等函数的求导公式
常数的导数 ( C ) 0 (C 为常数) 幂函数 ( x n ) n x n 1 ( n 为有理数) 三角函数 (sin x ) co s x , (cos x ) － sin x 指数函数 ( a x ) a x ln a ( a 0， a 1) 特殊地 ( e x ) e x 对数函数 (lo g a x ) 特殊地
12 (1 3 x )
ax bx
2
4
(2) y
1 3
3
ax bx c
2
2 3
5
y'
(ax bx c)
2
(2ax b)
(3) y e
(4) y
ax bx
2
1 ln x
2
y ' (2ax b) e
y'
ln x x 1 ln x
解:设切点为 P ( x 0 , ∵ f ( x )
1 x
2
1 x
图象的
1 x0
) 1 x0
2
,∴依题意得
1
∴ x 0 1或 1
⑴当 x 0 1 时,点 P (1, 1) 这时 b
2
⑵当 x 0 1 时,点 P ( 1, 1) 这时 b 2 ∴ b 2 , 切点坐标为 (1, 1) 或 b 2, 切点坐标为 ( 1, 1)
复合函数 y f ( g ( x )) 的导数和函数 y f ( u ) , u g ( x ) 的导数间的关系为 y x ' y u ' u x ' ,即 y 对 x 的 导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积.
例：求下列函数的导数
(1) y (2 x 3)
2
作业：P18 A 组
T 4 (4 )(5 )(6 ) T 6
1 练习 3.⑴求过曲线 y=cosx 上点 P( , ) 的切线的直线方程. 3 2 3
解 ： f ( x ) co s x , f ( x ) sin x , f ( ) sin . 3 3 2
∴曲线在点 P (
3
,
1 2
) 处的切线斜率为
3 2
，
3 3 0.
∴所求的直线方程为 y
2
1
3 2
(x
3
), 即 3 x 2 y 1
⑵已知点 P 在函数 y=cosx 上， （0≤x≤2π ） P 处坐标为 x 0 ,
u
0 .0 5 x 1
(3) y sin( x )
其中 , 均为常数.
y x ' y u ' u x ' (sin) ' ( x ) ' cos u cos( x )
练习：求下列函数的导数
(1) y
y'
1 (1 3 x )
则点 P 处的切线斜率为 y | x x
0
sin x 0
依题意得 sin x 0 0 ∴ sin x 0 0 ,∵0≤x≤2π ∴ x 0 2 ,∴点 P 的横坐标的取值范围为 ( , 2 )
练习 4.若直线 y x b 为函数 y 切线,求 b 的值和切点坐标.
2
y x ' y u ' u x ' ( u ) '( 2 x 3) ' 4 u 8 x 1 2
2
(2) y e
0 .0 5 x 1
y x ' y u ' u x ' ( e ) '( 0 .0 5 x 1) '
u
0 .0 5 e 0 .0 5 e
1 x lo g a e (ln x ) 1 x ln a 1 x ( a 0 ,且 a 1)
二、导数运算法则
[ f ( x ) g ( x )] ' f ( x ) ' g ( x ) '
[ f ( x ) g ( x )] ' f ( x ) ' g ( x ) f ( x ) g ( x ) '