余弦定理公开课PPTPPT讲稿

推论：cos
A
b
2
c2 2bc
a
2
b
a
Ac
B
cos B a2 c2 b2 2ac
a2 b2 c2 cosC
2ab
余弦定理
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的
和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
C
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B
B
8km
C
5km
A
思考：你能求出上图中山脚的长度BC吗？
二、化为数学问题
已知三角形的两边及它们的夹角，求第三边。
例：在△ABC中，已知BC=a，AC=b，∠BCA=C 求：c（即AB）
A
b
c=?
C
a
B
三、证明问题
探 究： 在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB与CA
设
的夹角为∠C，
求边c.
CB a,CA b, AB c
ab
解：由余弦定理得
Bc A
cos A b2 c2 a2 22 ( 3 1)2 ( 6)2 1
2bc
2 2( 3 1)
2
A 60
cosB a2 c2 b2 ( 6)2 ( 3 1)2 22
2ac
2 6 ( 3 1)
2 2
B 45
C 180 A B 180 60 45 75
c
c
2
ab cc
(a
b)
(a
b)
﹚
aa2abb
2
b 2a b 2 a b cos
C
a2 b2 2ab cos C
c2 a2 b2 2ab cosC a2 b2 c2 2bc cos A
探 究： 若△ABC为任意三角形，已知角C，
设BCCB=a,aC,ACA=b,b求, AABB边c c.
（4）余弦定理的优美形式和简洁特征：给定一个三角形任意一个 角都可以通过已知三边求出；三个式子的结构式完全一致的。
题型一、已知三角形的两边及夹角求解三角形
例1.在ABC中，已知b 3, c 2 3, A 30,
求角B、C和边a的值
C
解：由余弦定理知， a2 b2 c2 2bc cos A
b
c
bsinC
C
bcosC
a a-bcosC
B
D
c2 (b sin C)2 (a b cos C)2
b2 sin2 C a2 2ab cos C b2 cos2 C
a2 b2 2ab cos2 C
同理：
a2 b2 c2 2bc cos C b2 a2 c2 2ac cos B
2ab
245 8
C是锐角
（2）由（1）知：C是锐角， 根据大边对大角，C是ABC中的最大角 A B C是锐角三角形
变式训练：
在△ABC中，若a 2 b2 c，2 则△ABC的形状
为（ A）
Ａ、钝角三角形 Ｃ、锐角三角形
a
b
2
32 2 3 2 3 2 3cos30
Bc
A
3
sin
a
B
3
b sin A
由正弦定理 a b 得
3 1 2
sin A sin B
3 b c,B
60
a
32
C 180 A B 90
解决实际应用问题
某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过 这座山的长度。工程技术人员先在地面上选一适当位置A，量 出A到山脚B、C的距离，分别是AC=5km，AB=8km ，再
变式训练：
在三角形ABC中，若a 3,b 1, c 2,则A __6__0_ _____
题型三、判断三角形的形状
例3、在△ABC中,若a=4、b=5、c=6 （1)试判断角C是什么角？ （2）判断△ABC的形状
解：由余弦定理得：
（1）cosC a2 b2 c2 42 52 62 1 0
利用经纬仪（测角仪）测出A对山脚BC的张B角AC， 60 最
后通过计算求出山脚的长度BC。
B
C
8km
解：BC 2 82 52 258 cos60 49
BC 7
5km
A
题型二、已知三角函数的三边解三角形
例2.在△ABC中，已知a= 6,b=2,c= 3 , 1 C
解三角形(依次求解A、B、C).
同理：
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B
坐标法
余弦定理
角对边的平方等于两边平方的和减去这两边
与它们夹角的余弦的积的两倍。
C
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cosC
b
a
c2 a2 b2 2ab cosC
剖析余弦定理：
Ac
B
（1）本质：揭示的是三角形三条边与某一角的关系， 从 方程的角度看，已知三个量，可以求出第四个量；
（2）余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例；
（3）主要解决两类三角形问题：已知三边求三角； 已知两边及它们的夹角，求第三边；
由向量减法的三角形法则得
c
2
c
a cc
b (a
b)
(a
b)
﹚
aa2abb
2
b 2a b 2 a b cos
CHale Waihona Puke a2 b2 2ab cos C
c2 a2 b2 2ab cosC
a 同理： 2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B
A
当ABC是直角三角形、钝角三角形呢？
由向量减法的三角形法则得
c ab
c
2
c
c
(a
b)
(a
b)
﹚
aa2abb
b
2
2a
b
2 a b cos
C
a2 b2 2ab cos C
c2 a2 b2 2ab cosC
探 究： 若△ABC为任意三角形，已知角C，
设BCCB=a,aC,ACA=b,b求, AABB边c c.
由向量减法的三角形法则得
探 究： 在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB与CA
的夹角为∠C， 求边c. y
(bcosC,bsinC)
c (b cosC a)2 (bsin C 0)2
b2 cos2 C 2abcosC a2 b2 sin2 C
﹚
(a,0)
(0，0)
x
b2 a2 2abcosC
则c2 a2 b2 2ab cos C
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一、实际应用问题
某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过 这座山的长度。工程技术人员先在地面上选一适当位置A，量 出A到山脚B、C的距离，分别是AC=5km，AB=8km ，再
利用经纬仪（测角仪）测出A对山脚BC的张B角A，C 60 最
后通过计算求出山脚的长度BC。