2-1节节清6抛物线
选修2-1教案2.4.1抛物线及其标准方程、几何性质
2.4 抛物线及其标准方程（一）教学要求：掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形，能够求出抛物线的方程，能够解决简单的实际问题.教学重点：求出抛物线的方程.教学难点：抛物线标准方程的推导过程.教学过程：一、复习准备：1、提问：你能回顾一下在椭圆、双曲线中学过的动点、定点、定直线吗？2、讨论：若一个动点(,)p x y 到一个定点F 和一条定直线l 的距离相等，这个点的运动轨迹是怎么样的呢？二、讲授新课：1、教学抛物线① 定义:平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点,直线l 叫做抛物线的准线.(定义的实质可归纳为”一动三定”)② 抛物线的标准方程:22(0)y px p => 焦点坐标是( ,0)2p F 准线方程是x=-2p 22(0)y px p =-> 焦点坐标是( ,0)2p F - 准线方程是x=2p 22(0)x py p => 焦点坐标是(0, )2p F 准线方程是y=-2p 22(0)x py p =-> 焦点坐标是(0, )2p F - 准线方程是y=2p 2、教学例题：①出示例1：求满足下列条件的抛物线的标准方程:(1) 焦点坐标是(5,0 )F -(2) 经过点(3,2 )A -(3) 焦点在直线240x y --=上（抛物线草图----抛物线方程---参数p ）②变式训练:求顶点在原点,焦点在x 轴上的抛物线且截直线0210x y -+=.③出示例2：已知抛物线的标准方程是(1)28y x =,(2) 28y x =, 求它的焦点坐标和准线方程（教师示范 → 学生板演 → 小结）3、小结：抛物线的定义;抛物线的标准方程.三、巩固练习：１.根据下列条件写出抛物线的标准方程:(1)焦点坐标是(0,4)(2)准线方程是y=4-２. 抛物线2(0)y ax a =≠3.作业：课本P69 1、2题2.4 抛物线及其标准方程（二）教学要求：掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形，能够求出抛物线的方程，能够解决简单的实际问题.教学重点：求出抛物线的方程.教学难点：抛物线标准方程的推导过程.教学过程：一、复习准备：1. 提问：求下列抛物线的焦点坐标和准线方程（1）220x y =（2）280y x +=2. 焦点在直线4x-3y-12=0上的抛物线的标准方程是_______.二、讲授新课：1、教学抛物线方程的求解① 利用抛物线的定义可以将抛物线上的点到焦点的距离转化到准线的距离.② 在求抛物线方程时，可以先根据题目的条件做出草图，确定方程的形式后再求参数p 的值.2、教学例题：（1）求抛物线方程① 出示例1：已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点(,3)M m -到焦点的距离为5，求m 的值、抛物线方程和准线方程.（教师讲思路→学生板演→小结方法）② 练习:顶点在原点,焦点在y 上,且过点(4,2 )p 的抛物线方程是______（2）应用抛物线方程③ 出示例2:直线3y x =-与抛物线24y x =交于,A B 两点,过,A B 两点向抛物线的准线做垂线,垂足分别是,P Q ,则梯形APQB 的面积为______(作图----抛物线方程----解决问题)④ 练习:过抛物线24y x =做倾斜角为34π的直线交抛物线与,A B 两点,则AB 的长是______ （3）实际应用问题⑤ 一辆卡车高3cm ,宽 1.6cm ,欲通过断面为抛物线形的隧道,已知拱口AB 宽恰好是拱高CD 的4倍.若拱宽为acm ,求能使卡车通过的a 的最小整数值.(将实际问题转化为数学问题)3、小结：抛物线的定义;抛物线的标准方程三、 巩固练习：①.抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4,则点A 与抛物线焦点的距离为______ ②.抛物线24y x =的准线方程是______,焦点坐标是______③.点(0,8)M 的距离比它到直线7y =-的距离大于1,求M 点的轨迹方程.④.某河上有座抛物线形拱桥,当水面距拱顶5m 时,水面宽为8m ,一木船宽4m ,高2m ,载货后木船露在水面的部分高为34m ,问水面上涨到与拱顶相距多少时,木船开始不能通航? ⑤.作业 教材P69 习题2.3 A 组 3教学要求：通过本节的学习,掌握抛物线的简单几何性质,能运用性质解决与抛物线有关的问题,进一步体会数形结合的思想.教学重点：能运用性质解决与抛物线有关的问题.教学难点：数形结合的思想在解决有关抛物线问题中的应用.教学过程：一、复习准备：1、提问：你能回顾一下抛物线的定义,抛物线的标准方程?2、抛物线212y x =上与焦点的距离等于6的点的坐标二、讲授新课：1、教学抛物线的简单几何性质抛物线的标准方程:22(0)y px p =>① 范围:② 对称性:这条抛物线关于x 对称,抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.③ 顶点:抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点,这条抛物线的顶点就是坐标原点④ 离心率:抛物线上点M 与到焦点的准线的距离的比,叫做抛物线的离心率,用e 表示,抛物线的离心率e 为12、教学直线与抛物线的位置关系设直线:l y kx b =+,抛物线22(0)y px p =>,直线与抛物线的交点的个数等价于方程组22y kx b y px=+⎧⎨=⎩解的个数,也等价于方程2220kx px bp -+=解的个数. 3、教学例题：① 出示例1：斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点,且与抛物线相交于,A B 两点,求AB 的长.（画图 →讲解思路→联立方程组 →学生板演）② 变式训练：过点(4,1)p 做抛物线28y x =的弦AB ,恰被p 所平分,求AB 所在的直线方程 (.求直线方程的基本思路是求出斜率k )③ 出示例2：已知抛物线关于x 轴为对称轴,它的顶点在坐标原点,并且经过点(2,M -,求它的标准方程.④ 练习:已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点是(0,5)F ,求它的标准方程.3、小结：抛物线的简单几何性质,直线与抛物线的位置关系.三、巩固练习：①、过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于12(,)A x x ,12(,)B x x 两点,如果126x x +=,那么||AB 的值为多少?②、抛物线28y x =上一点p 到顶点的距离等于它们到准线的距离,这点的坐标是______ ③、已知直线:l y kx b =+与抛物线22(0)y px p =>相交与,A B 两点,若OA OB ⊥,(O 为坐标原点),且AOB S ∆=,求抛物线的方程.④、作业：教材P69 第4题.教学要求：通过本节的学习,掌握抛物线的简单几何性质,能运用性质解决与抛物线有关的问题,进一步体会数形结合的思想.教学重点：能运用性质解决与抛物线有关的问题.教学难点：数形结合的思想在解决有关抛物线问题中的应用.教学过程：一、复习准备：1、提问：回顾抛物线的简单几何性质,直线与抛物线的位置关系.2、已知抛物线的焦点是(0,8 )F -,准线是8y =,求它的标准方程.二、讲授新课：1、教学直线与抛物线的位置关系设直线:l y kx b =+,抛物线22(0)y px p =>,直线与抛物线的交点的个数等价于方程组22y kx b y px=+⎧⎨=⎩解的个数,也等价于方程2220kx px bp -+=解的个数 ① 当0k ≠时,当0∆>时,直线和抛物线相交,有两个公共点;当0∆=时,直线和抛物线相切,有一个公共点;当0∆<时,直线和抛物线相离,无公共点② 若0k =,则直线y b =与抛物线22(0)y px p =>相交,有一个公共点,特别地,当直线的斜率不存在时,设x m =,则当0m >, l 与抛物线相交,有两个公共点;当0m =时,与抛物线相切,有一个公共点,当0m <时,与抛物线相离,无公共点.2、教学例题：① 出示例1：已知抛物线方程为24y x =,直线l 过定点(2,1)P -,斜率为k ,当k 何值时,直线l 与抛物线:只有一个公共点;有两个公共点;没有公共点.（教师讲思路→学生板演→小结方法）② 练习：过定点(0,1)P 且与抛物线22y x =只有一个公共点的直线方程.③ 出示例2：过抛物线22y x =的顶点做互相垂直的二弦,OA OB .（1）、求AB 中点的轨迹方程 （2）证明：AB 与x 轴的交点为定点④ 练习：求过点(1,1)A -，且与抛物线22y x =+有一个公共点的直线方程）3、小结：直线与抛物线的位置关系.三、巩固练习：1、抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，点(-到焦点的距离是6，则抛物线的方程为___________2、抛物线24y x =-关于直线2x y +=对称的曲线的顶点坐标为___________3、求抛物线264y x =上的点到到直线43460x y ++=的距离的最小值，并求取得最小值时抛物线上点的坐标.4、经过抛物线28y x =-的焦点且和抛物线的对称轴成60︒的直线交,A B 两点，求||AB 的值5、作业：教材P70 B 组 第1题.。
高中数学新人教A版选修2-1课件：第二章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的简单几何性质
题型三 抛物线的焦点弦问题 【例3】 已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点. 若直线l的倾斜角为60°,求|AB|的值.
规范解答:因为直线 l 的倾斜角为 60°.
所以其斜率 k=tan 60°= 3 .
又 F( 3 ,0),所以直线 l 的方程为 y= 3 (x- 3 ).………………4 分
2 所以 M(3,0),故设 A(3,m)(m>0). 代入 y2=8x 得 m2=24,所以 m=2 6 , 所以 A(3,2 6 ),B(3,-2 6 ),所以|OA|=|OB|= 33 , 所以△OAB 的周长为 2 33 +4 6 .
易错警示 抛物线的几何性质(对称性、范围等)在解决抛物线问题时,有 着广泛的应用,但在解题过程中又容易忽视这些隐含条件,如抛物线的对称 性、准线与对称轴垂直等,解题时应注意发掘并充分利用这些隐含条件.
2
2
y2 6x,
联立
y
3(x
3), 消去
y
得
x2-5x+
9 4
=0.……………………7
分
2
设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=5,………………………………8 分
而|AB|=|AF|+|BF|=x1+ p +x2+ p =x1+x2+p,所以|AB|=5+3=8.…10 分 22
消去
y
得
k2x2+(2k2-4)x+k2=0.
记Δ=(2k2-4)2-4k4=16(1-k2).
①若直线与抛物线有两个交点,
则 k2≠0,且Δ>0,即 k2≠0,且 16(1-k2)>0,
高一数学人教版选修2-1《抛物线及其标准方程》教案
一、教课目的(一)知识教育点使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．(二)能力训练点要修业生进一步娴熟掌握分析几何的基本思想方法，提升剖析、对照、归纳、转变等方面的能力．(三)学科浸透点经过一个简单实验引入抛物线的定义，能够对学生进行理论根源于实践的辩证唯心主义思想教育．二、教材剖析1．要点：抛物线的定义和标准方程．(解决方法：经过一个简单实验与椭圆、双曲线的定义对比较引入抛物线的定义；经过一些例题加深对标准方程的认识． )2．难点：抛物线的标准方程的推导．(解决方法：由三种成立坐标系的方法中选出一种最正确方法，防止了硬性规定坐标系． )3．疑点：抛物线的定义中需要加上“定点 F 不在定直线 l 上”的限制．(解决方法：向学生加以说明．)三、活动设计发问、回首、实验、解说、演板、归纳表格．四、教课过程(一)导出课题我们已学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线．今日我们将学习第四种圆锥曲线——抛物线，以及它的定义和标准方程．课题是“抛物线及其标准方程”．请大家思虑两个问题：问题 1：同学们对抛物线已有了哪些认识？在物理中，抛物线被以为是抛射物体的运转轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图象？问题 2：在二次函数中研究的抛物线有什么特色？在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴是平行于y 轴、张口向上或张口向下两种情况．指引学生进一步思虑：假如抛物线的对称轴不平行于y 轴，那么就不可以作为二次函数的图象来研究了．今日，我们打破函数研究中这个限制，从更一般意义上来研究抛物线．(二)抛物线的定义1．回首平面内与一个定点 F 的距离和一条定直线 l 的距离的比是常数 e 的轨迹，当 0 ＜e＜1 时是椭圆，当 e＞1 时是双曲线，那么当 e=1 时，它又是什么曲线？2．简单实验如图 2-29 ，把一根直尺固定在绘图板内直线l 的地点上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边沿；把一条绳索的一端固定于三角板另一条直角边上的点 A，截取绳索的长等于 A 到直线 l 的距离 AC，并且把绳索另一端固定在图板上的一点F；用一支铅笔扣着绳索，紧靠着三角板的这条直角边把绳索绷紧，而后使三角板紧靠着直尺左右滑动，这样铅笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线．频频演示后，请同学们来归纳抛物线的定义，教师总结．3．定义这样，能够把抛物线的定义归纳成：平面内与必定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 ( 定点 F 不在定直线 l 上 ) ．定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线．(三)抛物线的标准方程设定点 F 到定直线 l 的距离为 p(p 为已知数且大于 0) ．下边，我们来求抛物线的方程．如何选择直角坐标系，才能使所得的方程取较简单的形式呢？让学生谈论一下，教师巡视，启迪指导，最后简单小结成立直角坐标系的几种方案：方案 1：( 由第一组同学达成，请一优等生演板．)以 l 为 y 轴，过点 F 与直线 l 垂直的直线为 x 轴成立直角坐标系 ( 图 2-30)．设定点F(p，0)，动点M的坐标为(x，y)，过M作MD⊥y轴于D，抛物线的会合为： p={M||MF|=|MD|} ．化简后得： y2=2px-p 2(p ＞0) ．方案 2：( 由第二组同学达成，请一优等生演板)以定点 F 为原点，平行 l 的直线为 y 轴成立直角坐标系 ( 图 2-31) ．设动点 M 的坐标为 (x ， y) ，且设直线 l 的方程为 x=-p ，定点 F(0 ， 0) ，过 M作 MD⊥l 于 D，抛物线的会合为：p={M||MF|=|MD|}．化简得： y2=2px+p2(p ＞0) ．方案 3：( 由第三、四组同学达成，请一优等生演板．)取过焦点 F 且垂直于准线 l 的直线为 x 轴， x 轴与 l 交于 K，以线段 KF的垂直均分线为 y 轴，成立直角坐标系 ( 图 2-32) ．抛物线上的点M(x，y) 到 l 的距离为 d，抛物线是会合p={M||MF|=d} ．化简后得： y2=2px(p ＞ 0) ．比较所得的各个方程，应当选择哪些方程作为抛物线的标准方程呢？指引学生剖析出：方案 3 中得出的方程作为抛物线的标准方程．这是因为这个方程不单拥有较简的形式，而方程中的系数有明确的几何意义：一次项系数是焦点到准线距离的 2 倍．因为焦点和准线在座标系下的不一样散布状况，抛物线的标准方程有四种情况( 列表如下) ：将上表画在小黑板上，解说时出示小黑板，并讲清为何会出现四种不一样的情况，四种情况中 P＞0；并指出图形的地点特色和方程的形式应联合起来记忆．即：当对称轴为 x 轴时，方程等号右端为± 2px，相应地左端为 y2；当对称轴为 y 轴时，方程等号的右端为± 2py，相应地左端为 x2．同时注意：当焦点在正半轴上时，取正号；当焦点在负半轴上时，取负号．(四)四种标准方程的应用例题： (1) 已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；(2)已知抛物线的焦点坐标是 F(0 ， -2) ，求它的标准方程．方程是 x2=-8y ．练习：依据以下所给条件，写出抛物线的标准方程：(1)焦点是 F(3 ，0) ；(3)焦点到准线的距离是 2．由三名学生演板，教师予以校正．答案是： (1)y 2=12x；(2)y 2=-x ；(3)y 2=4x，y2=-4x ，x2=4y，x2=-4y ．这时，教师小结一下：因为抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中都只含一个系数 p，所以只需给出确立 p 的一个条件，就能够求出抛物线的标准方程．当抛物线的焦点坐标或准线方程给定此后，它的标准方程就独一确立了；若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定，则所求的标准方程就会有多解．(五)小结本次课主要介绍了抛物线的定义，推导出抛物线的四种标准方程形式，并加以运用．五、部署作业到准线的距离是多少？点M的横坐标是多少？2．求以下抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)x 2=2y；(2)4x2+3y=0；(3)2y 2+5x=0；(4)y2-6x=0．3．依据以下条件，求抛物线的方程，并描点画出图形：(1)极点在原点，对称轴是 x 轴，并且极点与焦点的距离等于 6；(2)极点在原点，对称轴是 y 轴，并经过点 p(-6 ，-3) ．4．求焦点在直线3x-4y-12=0 上的抛物线的标准方程．作业答案：3．(1)y2=24x，y2=-2x(2)x 2=-12y(图略)4．分别令x=0，y=0得两个焦点F1(0，-3)，F2(4，0)，进而可得抛物线方程为 x2=-12y 或 y2=16x六、板书设计一、教课目的(一)知识教课点使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质．(二)能力训练点从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，进而培育学生剖析、归纳、推理等能力．(三)学科浸透点使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线方程的关系观点的理解，这样才能解决抛物线中的弦、最值等问题．二、教材剖析1．要点：抛物线的几何性质及初步运用．(解决方法：指引学生类比椭圆、双曲线的几何性质得出．)2．难点：抛物线的几何性质的应用．(解决方法：经过几个典型例题的解说，使学生掌握几何性质的应用．) 3．疑点：抛物线的焦半径和焦点弦长公式．(解决方法：指引学生证明并加以记忆．)三、活动设计发问、填表、解说、演板、口答．四、教课过程(一)复习1．抛物线的定义是什么？请一起学回答．应为：“平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．”2．抛物线的标准方程是什么？再请一起学回答．应为：抛物线的标准方程是y2=2px (p ＞ 0) ，y2=-2px(p ＞0) ，x2=2py(p ＞0) 和 x2=-2py(p ＞0) ．下边我们类比椭圆、双曲线的几何性质，从抛物线的标准方程y2=2px(p ＞ 0) 出发来研究它的几何性质．(二)几何性质如何由抛物线的标准方程确立它的几何性质？以y2=2px(p ＞0) 为例，用小黑板给出下表，请学生对照、研究和填写．填写完成后，再向学生提出问题：和椭圆、双曲线的几何性质对比，抛物线的几何性质有什么特色？学生和教师共同小结：(1)抛物线只位于半个坐标平面内，固然它也能够无穷延长，但是没有渐近线．(2)抛物线只有一条对称轴，这条对称轴垂直于抛物线的准线或与极点和焦点的连线重合，抛物线没有中心．(3)抛物线只有一个极点，它是焦点和焦点在准线上射影的中点．(4)抛物线的离心率要联系椭圆、双曲线的第二定义，并和抛物线的定义作比较．其结果是应规定抛物线的离心率为 1．注意：这样不单引入了抛物线离心率的观点，并且把圆锥曲线作为点的轨迹一致起来了．(三)应用举例为了加深对抛物线的几何性质的认识，掌握描点法绘图的基本方法，给出以下例1．例 1 已知抛物线对于 x 轴对称，它的极点在座标原点，并且经过点解：因为抛物线对于x 轴对称，它的极点在座标原点，并且经过点程是 y2=4x．后一部分由学生演板，检查一放学生对用描点法绘图的基本方法掌握状况．第一象限内的几个点的坐标，得：(2)描点作图描点画出抛物线在第一象限内的一部分，再利用对称性，就能够画出抛物线的另一部分( 如图 2-33) ．例 2已知抛物线的极点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点 M(-3 ，m)到焦点的距离等于 5，求抛物线的方程和 m的值．解法一：由焦半径关系，设抛物线方程为y =-2px(p ＞0) ，则准线方2因为抛物线上的点M(-3， m)到焦点的距离 |MF| 与到准线的距离得 p=4．所以，所求抛物线方程为y2=-8x ．又点 M(-3 ，m)在此抛物线上，故m2=-8(-3) ．解法二：由题设列两个方程，可求得p 和 m．由学生演板．由题意在抛物线上且 |MF|=5 ，故本例小结：(1)解法一运用了抛物线的重要性质：抛物线上任一点到焦点的距离 ( 即此点的焦半径 ) 等于此点到准线的距离．可得焦半径公式：设 P(x 0，这个性质在解决很多相关焦点的弦的问题中常常用到，所以一定娴熟掌握．(2)由焦半径不难得出焦点弦长公式：设 AB是过抛物线焦点的一条弦 ( 焦点弦 ) ，若 A(x 1，y1) 、B(x 2，y2) 则有 |AB|=x 1+x2+p．特别地：当 AB⊥x 轴，抛物线的通径 |AB|=2p( 详见课本习题 ) ．例 3 过抛物线 y2=2px(p ＞0) 的焦点 F 的一条直线与这抛物线订交于 A、B 两点，且 A(x 1，y1) 、B(x 2，y2)( 图 2-34) ．证明：(1) 当AB与x轴不垂直时，设AB方程为：此方程的两根y1、y2分别是 A、 B 两点的纵坐标，则有y1y2=-p 2．或 y1=-p ，y2=p，故 y1y2=-p 2．综合上述有y1y2=-p 2又∵ A (x 1，y1) 、B(x 2，y2) 是抛物线上的两点，本例小结：(1)波及直线与圆锥曲线订交时，常把直线与圆锥曲线方程联立，消去一个变量，获得对于另一变量的一元二次方程，而后用韦达定理求解，这是解决这种问题的一种常用方法．(2)本例命题 1 是课本习题中结论，要修业生记忆．(四)练习1．过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，若x1+x2=6，求 |AB| 的值．由学生练习后口答．由焦半径公式得：|AB|=x 1+x2+p=82．证明：与抛物线的轴平行的直线和抛物线只有一个交点．请一起学演板，其余同学练习，教师巡视．证明：可设抛物线方程故抛物线 y2=2px 与平行于其轴的直线只有一个交点．(五)全课小结1．抛物线的几何性质；2．抛物线的应用．五、部署作业1．在抛物线y2=12x 上，乞降焦点的距离等于9 的点的坐标．2．有一正三角形的两个极点在抛物线y2=2px上，另一极点在原点，求这个三角形的边长．3．图2-35是抛物线拱桥的表示图，当水面在l 时，拱顶高水面2m，水面宽4m，水降落 11m后，水面宽多少？4．求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆，必与抛物线的准线相切．作业答案：3．成立直角坐标系，设拱桥的抛物线方程为x2=-2py ，可得抛物线4．由抛物线的定义不难证明六、板书设计你曾落的泪，最都会成阳光，照亮脚下的路。
2014年人教A版选修2-1课件 2.4 抛物线
抛物线的标准方程
y2=2px
(p>0)
p
y l d
M 问题3. 抛物线的标准方程中, · p 的几何意义是什么? 抛物线的顶 o F x 点在什么位置? 焦点的坐标是多少? 准线的方程是怎样的? 在 y2=8x 中, 焦点的坐标是多少? 焦点到准线的 距离是多少? y2=8x 中: p p: 焦点到准线的距离. 2p=8, = 2. 2 顶点: 原点 (0, 0). 焦点到准线的距离 p=4. 焦点: ( p , 0). 焦点坐标: (2, 0). 2 p 准线方程: x= 2. 准线: x = . 2
第二章
圆锥曲线 与方程
本章内容
2.1 曲线与方程 2.2 椭圆 2.3 双曲线 2.4 抛物线 第二章 小结
2.4 抛物线
2.4.1 抛物线及其标准方程 2.4.2 抛物线的简单几何性质(第一课时)
2.4.2 抛物线的简单几何性质(第二课时) 复习与提高
2.4.1 抛物线及其标准方程
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1. 抛物线是什么样的点的轨迹?
焦点坐标
p ( , 0) 2 p ( , 0) 2 p ( 0, ) 2 p ( 0, ) 2
准线方程
x=
p x= 2 p y= 2
o F y l F o y F l l o y o F
p 2
x
x
x
p y= 2
例1. (1) 已知抛物线的标准方程是 y2=6x, 求它 的焦点坐标和准线方程; (2) 已知抛物线的焦点是 F(0, 2), 求它的标准 方程. 解: (1) 由方程知抛物线的焦点在 x 正半轴, p 3 2p=6, = , 2 2 3 ∴ 抛物线的焦点是 ( , 0 ), 2 准线方程是 x = 3 . 2
2019年高中数学湘教版选修2-1讲义+精练：第2章2.3.1 抛物线的定义与标准方程含解析
2．3抛__物__线2．3.1抛物线的定义与标准方程[读教材·填要点]1．抛物线的定义平面上到一定点F和定直线l(F∉l)距离相等的点的轨迹叫作抛物线．定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线．2．抛物线的标准方程[小问题·大思维]1．在抛物线定义中，若去掉条件“F∉l”，点的轨迹还是抛物线吗？提示：不一定是抛物线．当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线；l不经过点F时，点的轨迹是抛物线．2．到定点A(3,0)和定直线l：x＝－3距离相等的点的轨迹是什么？轨迹方程又是什么？提示：轨迹是抛物线，轨迹方程为：y2＝12x.3．若抛物线的焦点坐标为(2,0)，则它的标准方程是什么？提示：由焦点在x轴正半轴上，设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，其焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0， 则p2＝2，故p ＝4. 所以抛物线的标准方程是y 2＝8x .求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x －2y －4＝0上．[自主解答] (1)当抛物线的焦点在x 轴上时， 可设抛物线方程为y 2＝－2px (p ＞0)， 把点(－3,2)代入得22＝－2p ×(－3)，∴p ＝23.∴所求抛物线方程为y 2＝－43x .当抛物线的焦点在y 轴上时， 可设抛物线方程为x 2＝2py (p ＞0)， 把(－3,2)代入得(－3)2＝2p ×2， ∴p ＝94.∴所求抛物线方程为x 2＝92y .综上，所求抛物线的方程为y 2＝－43x 或x 2＝92y .(2)直线x －2y －4＝0与x 轴的交点为(4,0)，与y 轴的交点为(0，－2)，故抛物线焦点为(4,0)或(0，－2)， 当焦点为(4,0)时，设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)， ∵p2＝4，∴p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝16x ， 当焦点为(0，－2)时，设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)， ∵－p2＝－2，∴p ＝4，∴抛物线方程为x 2＝－8y ，综上，所求抛物线方程为y 2＝16x 或x 2＝－8y .若把本例(2)中的“焦点”改为“准线与坐标轴的交点”，如何求解？解：直线x －2y －4＝0与x 轴的交点是(4,0)，与y 轴的交点是(0，－2)， 则抛物线的准线方程为x ＝4或y ＝－2.当准线方程为x ＝4时，可设方程为y 2＝－2px ， 则p2＝4，∴p ＝8，∴抛物线方程为y 2＝－16x . 当准线方程为y ＝－2时，可设方程为x 2＝2py ， 则－p2＝－2，∴p ＝4，∴抛物线方程为x 2＝8y . 综上，抛物线的标准方程为y 2＝－16x 或x 2＝8y .求抛物线标准方程的方法(1)当焦点位置确定时，可利用待定系数法，设出抛物线的标准方程，由已知条件建立关于参数p 的方程，求出p 的值，进而写出抛物线的标准方程．(2)当焦点位置不确定时，可设抛物线的方程为y 2＝mx 或x 2＝ny ，利用已知条件求出m ，n 的值．1．若抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，则p ＝______，准线方程为________． 解析：因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以p 2＝1，p ＝2，准线方程为x ＝－p2＝－1.答案：2 x ＝－12．抛物线的焦点F 在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，|AF |＝5，求抛物线的标准方程． 解：设所求焦点在x 轴上的抛物线的标准方程为y 2＝2ax (a ≠0)，点A (m ，－3)． 由抛物线的定义得|AF |＝⎪⎪⎪⎪m ＋a2 ＝5， 又(－3)2＝2am ，∴a ＝±1或a ＝±9.∴所求抛物线的标准方程为y 2＝±2x 或y 2＝±18x .根据下列抛物线方程，分别求出其焦点坐标和准线方程．(1)y 2＝－4x ；(2)2y 2－x ＝0.[自主解答] (1)∵y 2＝－4x ，∴抛物线的焦点在x 轴的负半轴上， 又2p ＝4，∴p ＝2.∴焦点坐标为(－1,0)，准线方程为x ＝1. (2)由2y 2－x ＝0，得y 2＝12x .∴抛物线的焦点在x 轴的正半轴上， 又2p ＝12，∴p ＝14∴焦点坐标为⎝⎛⎭⎫18，0，准线方程为x ＝－18.此类问题是抛物线标准方程的应用，一是要理解抛物线标准方程的结构形式，二是要理解p 的几何意义，三是要注意焦点与坐标准线方程之间的关系．步骤：①化为标准方程；②明确开口方向；③求p 值；④写焦点坐标和准线方程．3．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)y ＝－18x 2；(2)x 2＝ay (a ≠0)．解：(1)将抛物线方程y ＝－18x 2变形为x 2＝－8y ，所以抛物线的焦点在y 轴的负半轴上，又2p ＝8，所以p ＝4.所以焦点坐标为(0，－2)，准线方程为y ＝2.(2)当a >0时，抛物线的焦点在y 轴的正半轴上，又2p ＝a ，所以焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，a 4 ，准线方程为y ＝－a 4； 当a <0时，抛物线的焦点在y 轴的负半轴上，又2p ＝－a ，所以焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，a 4 ，准线方程为y ＝－a 4. 综上，抛物线焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，a 4 ，准线方程为y ＝－a4.已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，求点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值．[自主解答] 由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．由图可知，点P ，点(0,2)，和抛物线的焦点⎝⎛⎭⎫12，0三点共线时距离之和最小．所以最小距离d ＝⎝⎛⎭⎫0－122＋(2－0)2＝172.本例中若将点(0,2)改为点A (3,2)，F 为抛物线的焦点，求|PA |＋|PF |的最小值．解：将x ＝3代入y 2＝2x ， ∴y ＝±6.∴A 在抛物线内部．设P 为其上一点，P 到准线(设为l )x ＝－12的距离为d .则|PA |＋|PF |＝|PA |＋d .由图可知，当PA ⊥l 时，|PA |＋d 最小，最小值是72.即|PA |＋|PF |的最小值是72.解此类最值、定值问题时，首先要注意抛物线定义的转化应用，其次是注意平面几何知识的应用，例如两点之间线段最短，三角形中三边之间的不等关系，点与直线的连线中垂线段最短等．4．已知抛物线的方程为x 2＝8y ，F 是焦点，点A (－2,4)，在此抛物线上求一点P ，使|PF |＋|PA |的值最小． 解：∵(－2)2＜4×8，∴点A (－2,4)在抛物线x 2＝8y 内部．如图，抛物线的准线为l ，过P 作P Q ⊥l 于Q ，过A作AB ⊥l 于B ，由抛物线的定义可知|PF |＋|PA |＝|P Q |＋|PA |≥|A Q |≥|AB |， 当且仅当A ，P ，Q 三点共线时， |PF |＋|PA |的值最小，最小值为|AB |， ∵A (－2,4)，∴|PF |＋|PA |最小时点P 的坐标为(－2，y 0)， 代入x 2＝8y ，得y 0＝12，故当点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－2，12时，|PF |＋|PA |的值最小．解题高手 多解题 条条大路通罗马，换一个思路试一试已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点的距离为5，求m 的值、抛物线方程和准线方程．[解] 法一：设所求抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)， 则焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎫0，－p 2. ∵M (m ，－3)在抛物线上，且|MF |＝5， 故⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p ， m 2＋⎝⎛⎭⎫－3＋p 22＝5，解得⎩⎨⎧p ＝4，m ＝±2 6.∴抛物线方程为x 2＝－8y ，m ＝±26， 准线方程为y ＝2.法二：如图所示，设抛物线方程为 x 2＝－2py (p ＞0)，则焦点F ⎝⎛⎭⎫0，－p 2，准线l ：y ＝p2， 又|MF |＝5， 由定义知3＋p2＝5，∴p ＝4.∴抛物线方程为x 2＝－8y ，准线方程为y ＝2. 由m 2＝(－8)×(－3)，得m ＝±2 6.[点评] 抛物线的标准方程只有一个待定系数，故求抛物线的标准方程时， 应设法建立参数p 的关系式．还要注意抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离的相互转化．1．焦点是F (0,5)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝20x B ．x 2＝20y C ．y 2＝120xD ．x 2＝120y 解析：由5＝p2得p ＝10，且焦点在y 轴正半轴上，故方程形式为x 2＝2py ，所以x 2＝20y .答案：B2．过抛物线x 2＝4y 的焦点F 作直线l 交抛物线于P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点，若y 1＋y 2＝6，则|P 1P 2|＝( ) A ．5 B ．6 C ．8D ．10解析：由抛物线的定义知|P 1P 2|＝y 1＋y 2＋p ＝6＋2＝8. 答案：C3．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( ) A ．y 2＝－8x B ．y 2＝－4x C ．y 2＝8xD ．y 2＝4x解析：显然由准线方程x ＝－2，可知抛物线为焦点在x 轴正半轴上的标准方程，同时得p ＝4，所以标准方程为y 2＝2px ＝8x .答案：C4．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线相切，则p ＝________. 解析：由x 2＋y 2－6x －7＝0，得(x －3)2＋y 2＝16，∴x ＝－p2＝－1，即p ＝2.答案：25．以双曲线x 216－y 29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为________．解析：由双曲线方程x 216－y 29＝1，可知其焦点在x 轴上，由a 2＝16，得a ＝4， ∴该双曲线右顶点的坐标是(4,0)．∴抛物线的焦点为F (4,0)．设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，则由p2＝4，得p ＝8，故所求抛物线的标准方程为y 2＝16x . 答案：y 2＝16x6．若抛物线y 2＝－2px (p ＞0)上有一点M ，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和M 点的坐标．解：由抛物线定义，设焦点为F ⎝⎛⎭⎫－p2，0. 则准线为x ＝p2，M 到准线的距离为d ，则d ＝|MF |＝10.则p2－(－9)＝10，∴p ＝2.故抛物线方程为y 2＝－4x .将M (－9，y )代入抛物线方程得y ＝±6. ∴M (－9,6)或M (－9，－6)．一、选择题1．抛物线y ＝12x 2上的点到焦点的距离的最小值为( ) A ．3 B ．6 C.148D.124解析：将方程化为标准形式是x 2＝112y ，因为2p ＝112，所以p ＝124.故到焦点的距离最小值为148. 答案：C2．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4解析：椭圆右焦点为(2,0)，∴p2＝2.∴p ＝4.答案：D3．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34 B ．1 C.54D.74解析：根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB 中点到y 轴的距离为12(|AF |＋|BF |)－14＝32－14＝54.答案：C4．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833y B ．x 2＝1633y C ．x 2＝8yD ．x 2＝16y解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ， 由于c a＝a 2＋b 2a 2＝ 1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝2，所以b a＝3， 所以双曲线的渐近线方程为y ＝±3x .抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，p2，所以p22＝2，所以p ＝8，所以抛物线方程为x 2＝16y .答案：D 二、填空题5．若抛物线y 2＝8x 上的一点P 到其焦点的距离为10，则P 点的坐标为________．解析：设P (x P ，y P )，∵点P 到焦点的距离等于它到准线x ＝－2的距离，∴x P ＝8，y P ＝±8.故P 点坐标为(8，±8)．答案：(8，±8)6．动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过点________． 解析：动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过焦点，焦点坐标为(2,0)． 答案：(2,0)7．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为________．解析：如图，过点Q 作Q A 垂直准线l ，垂足为A ，则Q A 与抛物线的交点即为P 点．易求P ⎝⎛⎭⎫14，－1. 答案：⎝⎛⎭⎫14，－1 8．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝________.解析：如图，由直线AF 的斜率为－3，得∠AFH ＝60°，∠FAH ＝30°，∴∠PAF ＝60°.又由抛物线的定义知|PA |＝|PF |， ∴△PAF 为等边三角形． 由|HF |＝4得|AF |＝8，∴|PF |＝8. 答案：8 三、解答题9．求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过P (－2，－4)的抛物线的标准方程及其对应的准线、焦点坐标．解：由已知设抛物线的标准方程是x 2＝－2py ，(p >0)或y 2＝－2px (p >0)， 把P (－2，－4)代入x 2＝－2py 或y 2＝－2px 得 p ＝12或p ＝4，故所求的抛物线的标准方程是x 2＝－y 或y 2＝－8x . 当抛物线方程是x 2＝－y 时，焦点坐标是F ⎝⎛⎭⎫0，－14，准线方程是y ＝14. 当抛物线方程是y 2＝－8x 时，焦点坐标是F (－2,0)，准线方程是x ＝2.10．设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，F 为抛物线的焦点． (1)若点P 到直线x ＝－1的距离为d ，A (－1,1)，求|PA |＋d 的最小值； (2)若B (3,2)，求|PB |＋|PF |的最小值．解：(1)依题意，抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1. 由抛物线的定义，知|PF |＝d ，于是问题转化为求|PA |＋|PF |的最小值．如图，连接AF ，交抛物线于点P ，则最小值为22＋12＝ 5. (2)把点B 的横坐标代入y 2＝4x 中，得y ＝±12，因为12>2，所以点B 在抛物线内部．自点B 作B Q 垂直准线于点Q ，交抛物线于点P 1(如图)． 由抛物线的定义，知|P 1Q |＝|P 1F |， 则|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|B Q |＝3＋1＝4. 即|PB |＋|PF |的最小值为4.。
高二数学选修2-1 抛物线的简单几何性质
高二数学选修2-1抛物线的简单几何性质【基础知识精讲】抛物线的几何性质、图形、标准方程列表如下： 图形标准 方程 y 2=2px(p ＞0)y 2=-2px(p ＞0)x 2=2py(p ＞0)x 2=-2py(p ＞0)焦点 坐标 (2p,0) (-2p,0) (0,2p ) (0，-2p ) 准线 方程 x=-2px=2p y=-2py=2p X 围x ≥0x ≤0 y ≥0 y ≤0 对称轴 x 轴 x 轴 y 轴 y 轴 顶点(0，0)(0，0) (0，0) (0，0) 离心率 e=1 e=1e=1e=1焦半径 ｜PF ｜=x 0+2p ｜PF ｜=2p -x 0 ｜PF ｜=2p +y 0 ｜PF ｜=2p -y 0 参数p 的几何 意义参数p 表示焦点到准线的距离，p 越大，开口越阔.本节学习要求：1.抛物线方程的确定，先由几何性质确定抛物线的标准方程，再用待定系数法求其方程.2.解决有抛物线的弦中点问题及弦长问题与椭圆、双曲线一样，利用弦长公式、韦达定理、中点坐标公式及判别式解决.3.抛物线中有关轨迹与证明问题也与前面内容一样.常用方法有轨迹法、代入法、定义法.参数法等.证明的方法是解析法.通过学习本节内容，更进一步培养我们学习数学的兴趣，培养良好的思维品质.运用数形结合的思想方法解决问题，提高分析问题和解决的能力.【重点难点解析】1.抛物线的几何性质和椭圆、双曲线比较起来，差别较大，它的离心率等于1；它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线；它没有中心.通常称抛物线为无心圆锥曲线，而称椭圆和双曲线为有心圆锥曲线.应熟练掌握抛物线的四种标准方程.本节重点是抛物线的简单几何性质，难点是几何性质的灵活应用.例1 已知抛物线顶点在原点，对称轴为x 轴，抛物线上的点(x 0，-8)到焦点的距离等于17，求抛物线方程.分析 设方程为y 2=2px(p ＞0)或y 2=-2px(p ＞0)则 x 0+2p =17或2p-x 0=17 即 x 0=17-2p 或x 0=2p-17将(17-2p ，-8)代入y 2=2px解得 p=2或p=32 将(2p -17，-8)代入y 2=-2px 解得 p=2或p=32∴所求抛物线方程为y 2=±4x 或y 2=±64x.例2 求抛物线y 2=4x 中斜率为2的平行弦中点的轨迹方程.分析 本例可设平行弦的纵截距为参数、运用判别式及韦达定理、中点坐标公式来求，也可设点参数运用点差法求解.设AB 是抛物线中斜率为2的平行弦中任一条弦，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)AB 中点M(x,y)由⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=--=+=+==2224421212121222121x x y y yy y x x x x y xy 得：y=1 代入y 2=4x 得x=41 ∴轨迹方程为y=1(x ＞41)例3 设点A 和B 为抛物线y 2=4px(p ＞0)上原点以外的两个动点.已知OA ⊥OB ，OM ⊥AB 于M ，求点M 的轨迹方程，并说明表示什么曲线.分析 设A(4pt 21,4pt 1)，B(4pt 22,4pt 2)，OA 、OB 的斜率分别为k OA 、k OB 则 k OA =11t ,k OB =21t由OA ⊥OB ，得 k OA ·k OB =211t t =-1⇒t 1t 2=-1① ∵点A 在AB 上，得直线AB 的方程为 y-4pt 1=211t t + (x-4pt 21)② 由OM ⊥AB ，得直线OM 方程为 y=-(t 1+t 2)x ③设点M(x,y),则x,y 满足②③两式 将②化为：y(t 1+t 2)=x+4pt 1t 2=x-4p ④ 由③×④得：x 2+y 2-4px=0 ∵A 、B 是原点以外的两点 ∴x ≠0∴点M 的轨迹是以(2p,0)为圆心，以2p 为半径的圆(去掉原点).【难题巧解点拨】例1 已知抛物线y 2=2px 上两点A 、B ，BC ⊥x 轴交抛物线于C ，AC 交x 轴于E ，BA 延长交x 轴于D ，求证：O 为DE 中点.分析 只需证出D 、E 两点的横坐标互为相反数即可，设A(2pt 21,2pt 1)，B(2pt 22,2pt 2)则 C(2pt 22,-2pt 2) AC ：y-2pt 1=211t t -(x-2pt 21) 令y=0,得x D =2pt 1t 2 BA ：y-2pt 1=211t t + (x-2pt 21) 令y=0,得x E =-2pt 1t 2 ∴x D +x E =0即O 为DE 中点.例2 设抛物线过定点A(0，2)且以x 轴为准线. (Ⅰ)试求抛物线顶点M 的轨迹C 的方程；(Ⅱ)如果点P(a,1)不在线段y=1(-2≤x ≤2)上，那么当a 取何值时，过P 点存在一对互相垂直的直线同时与曲线C 各有两个交点?分析 (Ⅰ)设抛物线顶点M(x,y)，y ＞0，则其焦点为F(x,2y). 据抛物线定义有22)22(-+y x =2即 42x +(y-1)2=1(y ≠0)∴抛物线顶点M 的轨迹C 的方程是42x +(y-1)2=1(y ≠0) (Ⅱ)过P 点的直线可设为l :y-1=k(x-a).由已知P(a,1)不在曲线C 上，则⎩⎨⎧=-++-=4)1(41)(22y x a x k y 消去y ，得x 2+4k 2(x-a)2=4 即(1+4k 2)x 2-8k 2ax+4(k 2a 2-1)=0 ∴△=16［k 2(4-a 2)+1］过点P 存在一对互相垂直的直线同时与曲线C 各有两个不同的交点的充要条件是关于斜率k 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>+->+-01)4(101)4(2222a ka k 有解 ∵点P 不在直线y=1(-2≤x ≤2)上，∴｜a ｜＞2，4-a 2＜0.∴上不等式组可化为⎪⎩⎪⎨⎧->-<4,412222a k a k∴a 2-4<412-a 解a 2＜5又｜a ｜＞2,∴2＜｜a ｜＜5 即a ∈(-5,-2)∪(2,5)【命题趋势分析】本节与椭圆、双曲线的相同内容相似，都是高考的重要内容.圆锥曲线的基础知识；直线与圆锥曲线的位置关系、弦长、中点弦及弦的中点的轨迹问题；圆锥曲线中的有关最值问题等等.本章内容为高考压轴题的高频题.【典型热点考题】例1 抛物线y=x 2的弦AB 保持与圆x 2+y 2=1相切移动，求过A 、B 的抛物线的切线交点的轨迹方程.分析一 如图，设抛物线弦AB 与圆x 2+y 2=1相切于P(x 0,y 0),则过P 点的圆的切线方程为x 0x+y 0y=1.由⎩⎨⎧==+2001xy y y x x 得y 0x 2+x 0x-1=0设A 的坐标为(x 1,x 21),B(x 2,x 22)，由韦达定理，得 x 1+x 2=-00y x ,x 1·x 2=-01y又过A 、B 两点的抛物线的切线方程分别为 y+x 12=2x 1x,y+x 22=2x 2x ， 则两切线交点Q(x,y)是方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+xx x y x x x y 22212122②①①-②得x 21-x 22=2(x 1-x 2)x. ∴ 2x=x 1+x 2=-y x ③①×x 2-②×x 1得(x 2-x 1)y+x 1x 2(x 1-x 2)=0 ∴y=x 1x 2=-1y ④ 由③、④得x 0=y x 2,y 0=-y1∵P(x 0,y 0)在圆x 2+y 2=1上， ∴(y x 2)2+(-y1)2=1 即 y 2-4x 2=1,这是双曲线.由条件知，所求轨迹是焦点在y 轴上，a=1、b=21的双曲线的下支的一部分. 分析二设抛物线的弦AB 与圆切于点P(x 0,y 0)，则过P 点的圆的切线AB 的方程为 x 0x+y 0y=1①设过A 、B 两点的抛物线切线交点为Q(α，β)则AB 为抛物线的切点弦，其方程为 y+β=2αx ② 由①、②表示同一直线，于是有α20x =10-y =β1 ∴x 0=βα2 y 0=-β1 ∵P(x 0,y 0)在圆x 2+y 2=1上，∴(βα2)2+(-β1)2=1, 即β2-4α2=1,故 y 2-4x 2=1(x ∈R,y ＜0)例2 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用如图甲所示的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用如图乙所示的抛物线段表示.(1)写出如图甲所示市场售价与时间的函数关系式P ＝f(t)；写出如图乙所示种植成本与时间的函数关系式Q ＝g(t).(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大? (注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg ，时间单位：天)解：(1)f(t)＝⎩⎨⎧≤<-≤≤-.300200,3002,2000,300t t t tg(t)＝2001 (t-150)2+100,0≤t ≤300. (2)设t 时刻的纯收益为h(t)，则由题意得h(t)＝f(t)-g(t),即h(t)＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+-≤≤++-.300200,21025272001,2000,2175********t t t t t t当0≤t ≤200时，配方整理得 h(t)＝-2001(t-50)2+100, 所以，当t ＝50时，h(t)取得区间［0，200］上的最大值100； 当200<t ≤300时，配方整理得 h(t)＝-2001(t-350)2+100 所以，当t ＝300时，h(t)取得区间(200，300］上的最大值87.5.综上，由100>87.5可知，h(t)在区间［0，300］上可以取得最大值100，此时t ＝50，即从2月1日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大.【同步达纲练习】A 级一、选择题1.若A 是定直线l 外的一定点，则过A 且与l 相切圆的圆心轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线一支 D.抛物线2.抛物线y 2=10x 的焦点到准线的距离是( ) B.5D.103.已知原点为顶点，x 轴为对称轴的抛物线的焦点在直线2x-4y+11=0上，则此抛物线的方程是( )A.y 2=11xB.y 2=-11xC.y 2=22xD.y 2=-22x4.过抛物线y 2=2px(p ＞0)的焦点且垂直于x 轴的弦AB ，O 为抛物线顶点，则∠AOB( ) A.小于90°B.等于90° C.大于90°D.不能确定5.以抛物线y 2=2px(p ＞0)的焦半径｜PF ｜为直径的圆与y 轴位置关系为( ) A.相交B.相离C.相切D.不确定 二、填空题6.圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的圆的方程是.7.若以曲线252x +162y =1的中心为顶点，左准线为准线的抛物线与已知曲线右准线交于A 、B 两点，则｜AB ｜=.8.若顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线截直线y=2x+1所得的弦长为15，则此抛物线的方程是.三、解答题9.抛物线x 2=4y 的焦点为F ，过点(0，-1)作直线l 交抛物线A 、B 两点，再以AF 、BF 为邻边作平行四边形FABR ，试求动点R 的轨迹方程.10.是否存在正方形ABCD ，它的对角线AC 在直线x+y-2=0上，顶点B 、D 在抛物线y 2=4x 上?若存在，试求出正方形的边长；若不存在，试说明理由.AA 级一、选择题1.经过抛物线y 2=2px(p ＞0)的所有焦点弦中，弦长的最小值为( ) A.p B.2pC.4pD.不确定2.直线y=kx-2交抛物线y 2=8x 于A 、B 两点，若AB 的中点横坐标为2，则｜AB ｜为( ) A.15B.415C.215D.423.曲线2x 2-5xy+2y 2=1( ) A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称C.关于原点对称，但不关于y=x 对称D.关于直线y=x 对称也关于直线y=-x 对称4.若抛物线y 2=2px(p ＞0)的弦PQ 的中点为(x 0,y 0)(y ≠0)，则弦PQ 的斜率为( ) A.-0x p B.0y p C.px -D.-px 0 5.已知抛物线y 2=2px(p ＞0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则2121x x y y 的值一定等于( )A.4B.-4C.p 2D.-p 2二、填空题6.抛物线y 2=4x 的弦AB 垂直于x 轴，若AB 的长为43，则焦点到AB 的距离为.7.以椭圆52x +y 2=1的右焦点F 为焦点，以原点为顶点作抛物线，抛物线与椭圆的一个公共点是A ，则｜AF ｜=.8.若△OAB 为正三角形，O 为坐标原点，A 、B 两点在抛物线y 2=2px 上，则△OAB 的周长为. 三、解答题9.抛物线y=-22x 与过点M(0，-1)的直线l 相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若直线OA和OB 斜率之和为1，求直线l 的方程.10.已知半圆的直径为2r ，AB 为直径，半圆外的直线l 与BA 的延长线垂直，垂足为T ，且｜TA ｜=2a(2a ＜2r),半圆上有M 、N 两点，它们与直线l 的距离｜MP ｜、｜NQ ｜满足条件｜MP ｜=｜AM ｜,｜NQ ｜=｜AN ｜，求证：｜AM ｜+｜AN ｜=｜AB ｜.【素质优化训练】 一、选择题1.过点A(0，1)且与抛物线y 2=4x 有唯一公共点的直线的条数为( ) A.1 B.2 C.3 D.42.设抛物线y=ax 2(a ＞0)与直线y=kx+b 相交于两点，它们的横坐标为x 1,x 2,而x 3是直线与x 轴交点的横坐标，那么x 1、x 2、x 3的关系是( )A.x 3=x 1+x 2B.x 3=11x +21x C.x 1x 2=x 2x 3+x 3x 1D.x 1x 3=x 2x 3+x 1x 2 3.当0＜k ＜31时，关于x 的方程x 2=kx 的实根的个数是( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个4.已知点A(1，2)，过点(5，-2)的直线与抛物线y 2=4x 交于另外两点B 、C ，则△ABC 是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不确定5.将直线x-2y+b=0左移1个单位，再下移2个单位后，它与抛物线y 2=4x 仅有一个公共点，则实数b 的值等于( )A.-1B.1C.7D.9 二、填空题6.抛物线y 2=-8x 被点P(-1，1)所平分的弦所在直线方程为.7.已知抛物线y 2=2x 的弦过定点(-2，0)，则弦AB 中点的轨迹方程是. 8.已知过抛物线y 2=2px 的焦点F 的弦AB 被F 分成长度为m 、n 的两部分，则m 1+n1=. 三、解答题9.已知圆C 过定点A(0，p)(p ＞0)，圆心C 在抛物线x 2=2py 上运动，若MN 为圆C 在x 轴上截得的弦，设｜AM ｜=m,｜AN ｜=n ，∠MAN=θ.(1)当点C 运动时，｜MN ｜是否变化?写出并证明你的结论?(2)求m n +nm的最大值，并求取得最大值时θ的值和此时圆C 的方程.10.已知抛物线y 2=4ax(0＜a ＜1)的焦点为F ，以A(a+4,0)为圆心，｜AF ｜为半径在x 轴上方作半圆交抛物线于不同的两点M 和N ，设P 为线段MN 的中点，(Ⅰ)求｜MF ｜+｜NF ｜的值；(Ⅱ)是否存在这样的a 值，使｜MF ｜、｜PF ｜、｜NF ｜成等差数列?如存在，求出a 的值，若不存在，说明理由.【生活实际运用】1.已知点P(x 0,y 0)在抛物线含焦点的区域内，求证以点P 为中点的抛物线y 2=2px(p ＞0)的中点弦方程为yy 0-p(x+x 0)=y 20-2px 0注：运用求中点弦的方法不难求出结论，这一结论和过抛物线y 2=2px 上点的切线方程有什么联系?若P(x 0,y 0)为非对称中心，将抛物线y 2=2px 换成椭圆22a x +22b y =1或双曲线22a x -22by =1，它们的中点弦存在的话，中点弦方程又将如何?证明你的结论.中点弦方程在高考中多以选择题、填空题的形式出现.2.公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个柱子OA ，O 恰在圆形水面中心，OA=1.25米.安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路经落下，且在过OA 的任一平面上抛物线路径如图所示，为使水流形状较为漂亮，设计成水流在到OA 距离1米处达到距水面最大高度2.25米.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外?分析 根据图形的对称性，设出并求出一边的抛物线的方程，便可求出水池的半径. 以OA 所在直线为y 轴，过O 点作oy 轴的垂直线ox 轴，建立直角坐标系如图依题意A(0，1.25)，设右侧抛物线顶点为则B(1，2.25)，抛物线与x 轴正向交点为C ，OC 即圆型水池的半径.设抛物线ABC 的方程为 (x-1)2=-2p(y-2.25) 将A(0，1.25)代入求得p=21 ∴抛物线方程为(x-1)2=-(y-2.25) 令y=0，(x-1)2=1.52,x=2.5(米)即水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不致落到池外.【知识验证实验】1.求函数y=136324+--x x x -124+-x x 的最大值.解：将函数变形为y=222)2()3(---x x -222)1(-+x x ，由几何意义知，y 可以看成在抛物线f(x)=x 2上的点P(x,x 2)到两定点A(3，2)和B(0，1)的距离之差，∵｜PA ｜-｜PB ｜≤｜AB ｜，∴当P 、A 、B 三点共线，且P 在B 的左方时取等号，此时P 点为AB 与抛物线的交点，即P 为(6371-，183719-)时，y max =｜AB ｜=10. 2.参与设计小花园的喷水池活动. 要求水流形状美观，水流不落池外.【知识探究学习】1.如图，设F 是抛物线的焦点，M 是抛物线上任意一点，MT 是抛物线在M 的切线，MN 是法线，ME 是平行于抛物线的轴的直线.求证：法线MN 必平分∠FME ，即φ1=φ2.解：取坐标系如图，这时抛物线方程为y 2=2px.(p ＞0)，因为ME 平行x 轴(抛物线的轴)，∴φ1=φ2,只要证明φ1=φ3，也就是△FMN 的两边FM 和FN 相等.设点M 的坐标为(x 0,y 0)，则法线MN 的方程是y-y 0=-py 0(x-x 0),令y=0，便得到法线与x 轴的交点N 的坐标(x 0+p,0)，所以｜FN ｜=｜x 0+p-2p ｜=x 0+2p ,又由抛物线的定义可知，｜MF ｜=x 0+2p,∴｜FN ｜=｜FM ｜,由此得到φ1=φ2=φ3，若M 与顶点O 重合，则法线为x 轴，结论仍然成立.2.课本第124页阅读材料： 圆锥曲线的光学性质及其应用参考答案: 【同步达纲练习】A 级1.D2.B3.D4.C5.C6.(x-21)2+(y ±1)2=17.3100 8.y 2=12x 或y 2=-4x 9.解：设R(x,y),∵F(0,1),∴平行四边形FARB 的中心为C(2x ,21+y ),l :y=kx-1,代入抛物线方程，得x 2-4kx+4=0,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=4k,x 1x 2=4，且△=16k 2-16＞0，即|k|＞1 ①，∴y 1+y 2=42221x x +=42)(21221x x x x -+=4k 2-2,∵C为AB 的中点.∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+=+=1222122222121k y y y k x x x ⇒⎩⎨⎧-==3442k y k x 消去k 得x 2=4(y+3),由①得，｜x ｜＞4，故动点R 的轨迹方程为x 2=4(y+3)(｜x ｜＞4).10.解：设存在满足题意的正方形.则BD ：y=x+b,代入抛物线方程得x 2+(2b-4)x+b 2=0,∴△=(2b-4)2-4b 2=16-16b ＞0,∴b ＜1, ①，设B(x 1,y 1),D(x 2,y 2),BD 中点M(x 0,y 0),则x 1+x 2=4-2b,∴x 0=2-b,y 0=x 0+b=2,∵M 在AC 直线上，∴(2-b)+2-2=0，∴b=2与①相矛盾，故不存在满足要求的正方形.AA 级1.B2.C3.D4.B5.B6.27.95-188.123p9.解：设l :y=kx-1,代入y=-22x ,得x 2+2kx-2=0，设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=-2k,x 1x 2=-2,又11x y +22x y =111x kx -+221x kx -=2k-2121x x x x +=2k-22--k =k=1，∴直线l 的方程为y=x-1. 10.证明：由｜MP ｜=｜AM ｜,｜NQ ｜=｜AN ｜知M 、N 在以l 准，A 为焦点的抛物线上，建立直角坐标系，设抛物线方程为y 2=2px ，又｜TA ｜=2a=p,∴抛物线方程为y 2=4ax ，又圆的方程为(x-a-r)2+y 2=r 2，将两方程相减可得：x 2+2(a-r)x+a 2+2ar=0，设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)，则x 1+x 2=2r-2a,∴｜AM ｜+｜AN ｜=｜PM ｜+｜QN ｜=x 1+x 2+2a=2r,即｜AM ｜+｜AN ｜=｜AB ｜【素质优化训练】1.C2.C3.D4.C5.C6.4x+y+3=07.y 2=x+2(在已知抛物线内部的部分) 8.2p9.解：(1)设圆心C(x 0,y 0),则x 20=2py 0，圆C 的半径｜CA ｜=2020)(p y x -+，其方程为(x-x 0)2+(y-y 0)2=x 20+(y 0-p)2,令y=0，并将x 20=2py 0，代入，得x 2-2x 0x+x 20-p 2=0，解得x m =x 0-p,x N =x 0+p,∴｜MN ｜=｜x N -x M ｜=2p(定值)(2)∵m=｜AM ｜=220)(p p x +-,n=｜AN ｜=220)(p p x ++,∴m 2+n 2=4p 2+2x 20,m ·n=4044x p +，∴m n +n m =mn n m 22+=40422424x p x p ++=20202)(4y p p y p p ++=220)(2y p y p ++=222021y p py ++≤22，当且仅当y 0=p 时等号成立，x 0=±2p ，此时△M 为等腰直角三角形，且∠M=90°，∴∠MAN=21∠M=45°，故当θ=45°时，圆的方程为(x-2 p)2+(y-p)2=2p 2或(x+2p)2+(y-p)2=2p 210.解：(1)由已知得F(a,0),半圆为［x-(a+4)］2+y 2=16(y ≥0)，设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)，则｜MF ｜+｜NF ｜=x 1+x 2+2a=2(4-a)+2a=8(2)若｜MF ｜、｜PF ｜、｜NF ｜成等成数列，则有2｜PF ｜=｜MF ｜+｜NF ｜,另一方面，设M 、P 、N 在抛物线的准线上的射影为M ′、P ′、N ′，则在直角梯形M ′MNN ′中，P ′P 是中位线，又有2｜P ′P ｜=｜M ′M ｜+｜N ′N ｜=｜MF ｜+｜FN ｜,因而｜PF ｜=｜P ′P ｜,∴P 点应在抛物线上，但P点是线段MN的中点，即P并不在抛物线上，故不存在使｜MF｜、｜PF｜、｜NF｜成等差数列的a值.。
人教版高中数学选修2-1《2.4.1抛物线及其标准方程》
问题 2 抛物线方程中p有何意义？ 问题 3 标准方程有几种类型？
问题 4 根据抛物线方程如何求焦点坐标、 准线方程？
【例1】
(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它的焦点坐标 和准线方程． (2)已知抛物线的焦点是F(物线的焦点坐标与准线方程.
2 2 2 2
2
) B.y =2x 或 y =8x D.y =2x 或 y =16x
2 2 2 2
用数学的眼光看世界
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谢 谢
(1) y 8x
2
(2) y 8x
2
2.根据下列条件写出抛物线的标准方程. (1)焦点是 (0,3)
1 (2)准线是 x 2
随堂反馈
课堂小结
一、抛物线的定义
二、抛物线的标准方程
三、谈谈你的收获
(2013·新课标全国卷Ⅱ)设抛物线 C:y =2px(p>0)的 焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF|=5,若以 MF 为直径的圆过 点(0,2),则 C 的方程为 ( A.y =4x 或 y =8x C.y =4x 或 y =16x
2.4.1抛物线及其标准方程
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高中数学新课标人教A版选修2-1
天津的桥文化
天津的桥————解放桥
天津的桥————北安桥
天津的桥————直沽桥
天津的桥————金刚桥
二次函数
y ax bx c(a 0)
2
抛物线
点M(x,y)与一个定点F（1,0）和一条定直线l ：x=-1
的距离相等，求点M的轨迹
动动手
抛物线的定义
我们把平面内与一个定点F和一条定直线l 距离相 等的点的轨迹叫做抛物线（l 不经过点F）
高中数学选修2-1：知识讲解_抛物线及其标准方程_基础
抛物线及其标准方程编稿：张林娟责编：孙永钊【学习目标】1．知识与技能：（1）理解抛物线的定义，画出图形，并掌握其标准方程；（2）利用定义求标准方程，焦点，准线；（3）掌握简单运用．2．过程与方法：（1）根据抛物线特征选择不同解决方法；（2）从具体情境中抽象出抛物线模型；（3）用数学的思维和方法解决生活中与抛物线相关的问题．3．情感态度与价值观：在学习抛物线中，体会数形结合处理问题的好处．【要点梳理】要点一：抛物线的定义定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（l不过F）的距离相等的点的集合叫作抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．要点诠释：（1）上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一个定点，一定直线，一个定值．（2）定义中的隐含条件：焦点F 不在准线l 上，若F 在l 上，抛物线变为过F 且垂直与l 的一条直线．（3）抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题时常与抛物线的定义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化，通过这种转化使问题简单化．要点二：抛物线的标准方程 1． 标准方程的推导 （1）建系：如图，以过F 且垂直于 l 的直线为x 轴，垂足为K ，以FK 的中点O 为坐标原点建立直角坐标系xOy ．（2）设点：设|KF |=p (p ＞0)，那么焦点F 的坐标为(,0)2p ，准线l 的方程为2p x =-．设点M （x ，y ）是抛物线上任意一点． （3）列式：点M 到l 的距离为d ．由抛物线的定义，抛物线就是集合{|||}P M MF d ==，即22()||22p px y x -+=+． （4）化简：将上式两边平方并化简，得22(0)y px p =>． ①方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，坐标是(,0)2p ，其准线方程是2p x =-．2． 抛物线标准方程的四种形式：根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式要点诠释：①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程；②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线220x y=-的一次项为20y-，故其焦点在y轴上，且开口向负方向（向下）③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍，比如抛物线220x y=-的一次项20y-的系数为20-，故其焦点坐标是(0,5)-．一般情况归纳：方程图象的开口方向焦点准线2y kx =0k >时开口向右(,0)4k4k x =-0k <时开口向左2x ky =0k >时开口向上(0,)4k 4k y =-0k <时开口向下要点三：求抛物线的标准方程 求抛物线的标准方程一般有两种形式： （1）定义法，直接利用定义求解． （2）待定系数法．若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p 值即可，若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论，另外，焦点在x 轴上的抛物线方程统一设成y 2＝ax (a ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线方程可统一设成x 2＝ay (a ≠0)．要点诠释：①从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数．用待定系数法求抛物线的标准方程时，首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型），然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论．②在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，应先“定位”，再“定量”，即可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数p ，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况．【典型例题】类型一：抛物线的定义例1． 已知抛物线的焦点为（3，3），准线为x 轴，求抛物线的方程． 【思路点拨】从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数；从实际分析，一般需结合图形确定开口方向和一次项系数两个条件，否则，应展开相应的讨论【解析】设M （x ，y ）为抛物线上的任意一点，22(3)(3)||x y y -+-=，两边平方，整理得2136y x x =-+∴所求抛物线的方程为2136y x x =-+．【总结升华】当抛物线的顶点不在原点，对称轴不是坐标轴时，我们只能根据定义求抛物线的方程．举一反三：【变式】已知点B (4，0)，过y 轴上的一点A 作直线l ⊥y 轴，求l 与线段AB 的中垂线的交点P 的轨迹．【解析】依题意，|PA |＝|PB |，且|PA |为点P 到y 轴的距离，∴点P 到点B 的距离与到y 轴的距离相等，其轨迹是以点B 为焦点，以y 轴为准线的抛物线．例2． 平面上动点P 到定点F （1，0）的距离比P 到y 轴的距离大1，求动点P 的轨迹方程．【思路点拨】求动点的轨迹方程，可以用坐标法直接求解，也可以用几何法求解．【解析】解法一：设P 点的坐标为（x ，y ）22(1)||1x y x -++，两边平方并化简得y 2=2x +2|x |． ∴24,0,0,0,x x y x ≥⎧=⎨<⎩即点P 的轨迹方程为y 2=4x （x ≥0）或y =0（x ＜0）．解法二：由题意，动点P 到定点F （1，0）的距离比到y 轴的距离大1，由于点F （1，0）到y 轴的距离为1， 故当x ＜0时，直线y =0上的点适合条件；当x≥0时，原命题等价于点P到点F（1，0）与到直线x=―1的距离相等，故点P在以F为焦点，x=―1为准线的抛线物上，其轨迹方程为y2=4x．故所求动点P的轨迹方程为y2=4x（x≥0）或y=1（x＜0）．【总结升华】求动点的轨迹方程时，可用定义法列等量关系，化简求解；也可判断后，用类似于公式法的待定系数法求解，但要判断准确，注意挖掘题目中的隐含条件，防止重、漏解．举一反三：【高清课堂：抛物线线的方程358821例2】【变式1】若点M到定点F（4，0）的距离比它到直线l：x+6=0的距离小2，求点M的轨迹方程．【答案】216y x【变式2】判断适合下列条件的动点的轨迹是何种曲线，并求出曲线方程．（1）过点P（0，3）且与直线y+3=0相切的动圆的圆心M的轨迹；（2）到点A（0，－2）的距离比到直线l：y = 4的距离小2的动点P的轨迹．【解析】（1）依题意，圆心M到点P的距离等于M到直线y＝－3的距离，∴动圆的圆心M的轨迹是以点P为焦点，以直线y ＝－3为准线的抛物线．抛物线方程为：x 2=12y ．（2）依题意，动点P 到点A (0，－2)的距离与到直线l ：y ＝2的距离相等，∴点P 的轨迹是以点A 为焦点，以直线y ＝2为准线的抛物线． 则抛物线方程为： x 2=-8y ．类型二：抛物线的标准方程例3．求过点(3,2)-的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： 【解析】∵点(3,2)-在第二象限，∴抛物线开口方向上或者向左当抛物线开口方向左时，设所求的抛物线方程为22y px =-（0p >）， ∵过点(3,2)-，∴222(3)p =-⋅-， ∴23p =，∴243y x =-，当抛物线开口方向上时，设所求的抛物线方程为22x py =（0p >）， ∵过点(3,2)-，∴2322p =⨯，∴94p =，∴292x y =，∴所求的抛物线的方程为243y x =-或292x y =，对应的准线方程分别是13x =，98y =-．【总结升华】求抛物线的标准方程关键是根据图象确定抛物线开口方向，选择适当的方程形式，准确求出焦参数P ．举一反三：【变式1】已知抛物线关于y 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点(3,23)M -，求它的标准方程．【答案】23x y =． 【变式2】抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点(－5，2)到焦点的距离是6，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝－2xB ．y 2＝－4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝－4x 或y 2＝－36x 【答案】 B【变式3】求适合下列条件的抛物线的标准方程： （1）过点(-2，3)；（2）焦点在直线3x -4y -12=0上；（3）准线过点(2，3)；（4）焦点在y 轴上，抛物线上一点(,3)M m -到焦点的距离等于5．【答案】（1）243x y =； （2）若焦点为（4，0），则y 2=16x ；若焦点为（0，-3），则x 2=-12y ；（3）准线为x =2，则y 2= -8x ；准线为y =3，则x 2= -12y ；（4）x 2=-8y ．例4． 抛物线218y x ＝－的焦点是________，准线方程是__________． 【思路点拨】将抛物线化为标准形式，写出准线方程．【答案】（0，-2）； 2y =， 【解析】218y x ＝－可化为2=8x y －， 所以其焦点坐标为（0，-2），准线为2y =．【总结升华】已知抛物线方程求焦点坐标和准线方程时，先看抛物线方程是否是标准方程，若不是，需化方程为标准方程．依据标准方程，(1)由一次项的符号确定抛物线的开口方向，可得焦点和准线的位置；(2)由一次项的系数确定2p(大于0)的值，求出p，进而得到．由此可得焦点坐标和准线方程．举一反三：【变式】求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)y2＝4x；(2)x2＝－3y；(3)4x＋5y2＝0．【答案】（1）焦点坐标为(1，0)：准线为：x＝-1；（2）焦点坐标为(0，-34)：准线为：y＝34；（3）焦点坐标为(-15，0)：准线为：x＝15．类型三：抛物线中的定（最）值问题例5. 已知抛物线的方程为x2＝8y，F是其焦点．点A(－2，4)在抛物线的内部，在此抛物线上求一点P，使|PF|＋|PA|的值最小．【思路点拨】如图所示，根据抛物线的定义把PF转化为PQ，使折线段PA，PQ的两端点A，Q分别落在抛物线的两侧，再通过“数形结合”可知当A，P，Q三点共线时距离达到最小．【答案】122P ⎛⎫ ⎪⎝⎭－， 【解析】∵点A (－2，4)在抛物线x 2＝8y 内部，如上图所示，设抛物线的准线为l ，过P 作PQ ⊥l 于Q ，过A 作AB ⊥l 于B .由抛物线的定义可知|PF |＋|PA |＝|PQ |＋|PA |≥|AQ |≥|AB |.当且仅当A ，P ，Q 三点共线时，|PF |＋|PA |的值最小，此时点P 的坐标为(－2，y 0)，代入x 2＝8y ，得y 0＝12， 故当点P 的坐标为122⎛⎫ ⎪⎝⎭－，)时，|PF |＋|PA |的值最小． 【总结升华】确定圆锥曲线上的点到两定点的距离之和最短时的位置，通常有两种情况：(1)当两定点在曲线两侧时，连结两定点的线段与曲线的交点即为所求点；(2)当两定点在曲线同侧时，由圆锥曲线定义作线段的等量长度转移，转变为(1)的情形即可.举一反三：【变式】若点A 的坐标为(3，2)，F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，点P 在该抛物线上移动，为使得|PA |＋|PF |取得最小值，则P 点坐标为 ( )A ．(0，0)B ．(1，1)C ．(2，2) D. 112⎛⎫ ⎪⎝⎭， 【答案】C【解析】由抛物线定义，|PF |等于点P 到抛物线准线的距离|PP ′|，如图所示，因此，当且仅当点P 、A 、P ′在同一条直线上时，有|PF |＋|PA |＝|PP ′|＋|PA |最小，此时点P 的纵坐标等于A 点纵坐标，即y ＝2，故此时P 点坐标为(2，2)．故选C.类型四：抛物线的实际应用例6． 一种卫星接收天线的轴截面如图所示．卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处．已知接收天线的口径为4．8 m ，深度为0．5 m ，求抛物线的标准方程和焦点坐标．【思路点拨】建立适当的空间直角坐标系，将应用题转化为数学问题，利用抛物线的有关知识加以解决．【解析】如图，建立直角坐标系，则A (0．5，2．4)．设抛物线的标准方程是y2=2px(p>0)．将A (0．5，2．4)代入得2．42=2p×0．5，解得p=5．76．所以，所求抛物线为y2=11．52x，焦点坐标为(2．88，0)．【总结升华】关键是确定抛物线的方程．举一反三：【变式】如图，一位运动员在距离篮球架4 m远处跳起投篮，球运行的路线是抛物线．当球运行的水平距离为2.5 m时，达到最大高度3.5 m，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05 m，如图所示建立平面直角坐标系．（1）试求球运行路线所在抛物线的方程；（2）球出手时，球离开地面的高度是多少？【解析】（1）设球运行所在的抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意知抛物线经过点(1.5，－0.45)，代入抛物线方程得1.52＝－2p×(－0．45)，解得2p＝5，∴所求抛物线方程为x2＝－5y．（2）把x＝－2.5代入x2＝－5y得(－2.5)2＝－5y，∴y＝－1.25，∴球出手时球离开地面的高度是3.5－1.25＝2.25(m)．。
第六节 抛物线(一) 复习讲义
第六节 抛物线(一)一、抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的.轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线概念理解(1)定义的实质可以归纳为“一动三定”:一个动点M;一个定点F(焦点);一条定直线l(准线);一个定值(点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1).(2)定点F∉定直线l,否则动点M的轨迹不是抛物线,而是过点F且垂直于直线l的一条直线,如到点F(1,0)和到直线l:x+y-1=0的距离相等的点的轨迹方程是x-y-1=0,其轨迹是一条直线.二、抛物线的标准方程及其简单几何性质1.方程及其性质的理解(1)p 的几何意义:表示定点F 到定直线l 的距离,即焦点到准线的距离,p 值的大小(p>0),决定抛物线开口的大小,p 前面的符号决定抛物线开口的方向.(2)抛物线标准方程的特征与其他坐标系中位置之间关系:抛物线的标准方程只含有两项,分别是二次项和一次项,并位于等号两边.抛物线标准方程中一次项中变量的名称与抛物线对称轴名称相同,一次项系数的正负与对称轴所在坐标轴方向正负一致,简单记为“一次定轴,系数定向”.如x 2=-3y,因一次项是-3y,所以对称轴是y 轴,因-3<0,所以该抛物线开口方向向下,即与y 轴负方向一致.抛物线焦点位于对称轴上,焦点纵横坐标中,不为零的坐标等于一次项系数的14. 2.与抛物线标准方程及几何性质相关结论(1)以y 2=2px 为例,抛物线上一点到焦点的距离为|PF|=2p +x 0或|PF|=2p -x 0(x 0为点P 横坐标),结合抛物线在坐标系中位置进行记忆,也即“右加左减”.(2)以y 2=2px 为例,焦点弦AB 的性质有:(其中A(x 1,y 1),B(x 2,y 2) ,F 为焦点,θ为直线AB 倾斜角) ①x 1x 2=24p ,y 1·y 2=-p 2;②1AF+1BF=2p ;③S △AOB =22sin p θ;④|AB|=x 1+x 2+p=22sin pθ;⑤以AB 为直径的圆与准线相切.1.过点A(4,-2)的抛物线的标准方程为( A ) (A)y 2=x 或x 2=-8y (B)y 2=x 或y 2=8x (C)y 2=-8x (D)x 2=-8y解析:因为A点在第四象限,故设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0)或x2=-2my(m>0),将A点代入得2p=1或2m=8,所求抛物线方程为y2=x或x2=-8y.2.已知抛物线C与双曲线x2-y2=1有相同的焦点,且顶点在原点,则抛物线C的方程是( D )(A)y2=±(B)y2=±2x(C)y2=±4x (D)y2=±解析:由已知可知双曲线的焦点为设抛物线方程为y2=±2px(p>0),则2p=所以所以抛物线方程为y2=±故选D.3.已知点A是抛物线C:x2=2py(p>0)上一点,O为坐标原点.若A,B是以点M(0,10)为圆心,OA的长为半径的圆与抛物线C的两个公共点,且△ABO为等边三角形,则p的值是( C )(A)52(B)53(C)56(D)59解析: 如图,因为|MA|=|OA|,所以点A在线段OM的垂直平分线上.又因为M(0,10),所以可设A(x,5).由tan 30°=5x,得将,5)代入方程x2=2py,得p=56.4.若抛物线的焦点在直线x-2y-4=0上,则抛物线的标准方程是.解析:由x=0得y=-2,由y=0得x=4,即(0,-2)或(4,0)为抛物线的焦点.所以抛物线方程为y2=16x或x2=-8y.答案:y2=16x或x2=-8y5.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点.若|AF|=3,则|BF|= .解析:由题意知,抛物线的焦点F的坐标为(1,0),又|AF|=3,由抛物线定义知,点A到准线x=-1的距离为3,所以点A的横坐标为2.将x=2代入y2=4x得y2=8,由图知点A的纵坐标所以所以直线AF的方程为由21),4,y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩解得1,2x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩由图知,点B 的坐标为(12所以|BF|=12-(-1)=32.答案:32考点一 抛物线的定义及应用【例1】 设P 是抛物线y 2=4x 上的一个动点.(1)求点P 到点A(-1,1)的距离与点P 到直线x=-1的距离之和的最小值;(2)若B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值.解:(1)如图,易知抛物线的焦点为F(1,0),准线是x=-1.由抛物线的定义知:点P 到直线x=-1的距离等于点P 到焦点F 的距离. 于是,问题转化为:在曲线上求一点P,使点P 到点A(-1,1)的距离与点P 到F(1,0)的距离之和最小.显然,连接AF 交抛物线于点P, 则所求的最小值为|AF|,解:(2)如图,过点B作BQ垂直准线于Q,交抛物线于点P1,则|P1Q|=|P1F|.则有|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4.即|PB|+|PF|的最小值为4.(1)由抛物线定义,实现抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x,y)到焦点F的距离|PF|=|x|+2p或|PF|=|y|+2p.1.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,点A∈l,线段AF交抛物线C于点B,若FA=3FB,则|AF|等于( B )(A)3 (B)4 (C)6 (D)7解析: 由已知B为AF的三等分点,作BH⊥l于H,如图,则|BH|=23|FK|=43,所以|BF|=|BH|=43,所以|AF|=3|BF|=4,故选B.2.已知点P是抛物线y2=4x上的动点,点P在y轴上的射影是M,点A 的坐标是(4,a),则当|a|>4时,|PA|+|PM|的最小值是.解析:将x=4代入抛物线的方程y2=4x,得y=±4.又|a|>4,所以A在抛物线的外部.由题意知F(1,0),设抛物线上点P到准线l:x=-1的距离为|PN|,由定义知,|PA|+|PM|=|PA|+|PN|-1=|PA|+|PF|-1.画出简图(图略),易知当A,P,F三点共线时,|PA|+|PF|取得最小值,此时|PA|+|PM|也最小,最小值为答案考点二抛物线的标准方程【例2】 (1)设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a≠0)的焦点F,且和y轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则该抛物线的方程为( )(A)y2=±4x (B)y2=±8x(C)y2=4x (D)y2=8x(2)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点O是坐标原点,过点O,F的圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36π,则抛物线的方程为;(3)已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的方程为.解析:(1)抛物线y 2=ax(a ≠0)的焦点F 的坐标为 (4a ,0),则直线l 的方程为y=2(x-4a ),它与y 轴的交点为A(0,-2a ),所以△OAF 的面积为12·4a ·2a=4, 解得a=±8,所以抛物线的方程为y 2=±8x.故选B. (2)设满足题意的圆的圆心为M(x M ,y M ). 根据题意可知圆心M 在抛物线上. 又因为圆的面积为36π,所以圆的半径为6,则|MF|=x M +2p =6,即x M =6-2p , 又由题意可知x M =4p ,所以4p =6-2p ,解得p=8.所以抛物线方程为y 2=16x. 解析:(3)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则有21y =2px 1,22y =2px 2,两式相减得(y 1-y 2)(y 1+y 2)=2p(x 1-x 2), 又因为直线的斜率为1, 所以1212yy xx --=1,所以有y 1+y 2=2p,又线段AB 的中点的纵坐标为2, 即y 1+y 2=4,所以p=2, 所以抛物线的方程为y 2=4x.答案:(1)B (2)y2=16x (3)y2=4x求抛物线方程的基本方法(1)定义法:根据抛物线的定义得到p的值、焦点位置,然后根据抛物线方程的标准形式写出其方程.(2)待定系数法:焦点在x轴上的抛物线方程可以用y2=λx(λ≠0)表示,焦点在y轴上的抛物线方程可以用x2=λy(λ≠0)表示,根据已知得到关于λ的方程,求出λ.用“一次定轴,系数定向”确定抛物线的方程,然后用待定系数法求p 的值.在解决涉及焦点、顶点、准线等问题时,要注意利用几何图形的形象、直观的特点.焦点在直线3x-4y-12=0上的抛物线的标准方程为( C )(A)x2=16y或y2=16x (B)y2=16x或x2=12y(C)y2=16x或x2=-12y (D)x2=16y或y2=-12x解析:因为抛物线的焦点在坐标轴上,又在直线3x-4y-12=0上,所以令x=0得y=-3,令y=0,得x=4,所以焦点为(0,-3)或(4,0),所以抛物线方程为x2=-12y或y2=16x.考点三抛物线的焦点弦问题【例3】已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9.(1)求该抛物线的方程;(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若OC=OA+λOB,求λ的值.思路点拨:(1)利用焦点弦长公式求解.(2)由点C为抛物线上一点,可设出C点的坐标,利用OC=OA+λOB表示出点C的坐标,将点C的坐标代入抛物线方程求解.p),解:(1)直线AB的方程是与y2=2px联立,从而有4x2-5px+p2=0,p.所以x1+x2=54p+p=9,由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=54所以p=4,从而抛物线的方程为y2=8x.(2)由于p=4,4x2-5px+p2=0可化简为x2-5x+4=0,从而x1=1,x2=4,则y12从而设C(x3,y3),则OC=(x3,y3λ=(4λ又2y=8x3,即λ-1)]2=8(4λ+1),3即(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.解决与抛物线y 2=2px(p>0)的焦点弦有关的问题,常用到x 1x 2=24p ,y 1y 2=-p 2,|AB|=x 1+x 2+p=22sin p(θ为直线AB 的倾斜角),1AF+1BF =2p这些结论,就会带来意想不到的效果.1. 已知抛物线y 2=4x,圆F:(x-1)2+y 2=1,过点F 作直线l,自上而下顺次与上述两曲线交于点A,B,C,D(如图所示),则|AB|·|CD|的值正确的是( A )(A)等于1 (B)最小值是1 (C)等于4 (D)最大值是4解析:设直线l:x=ty+1,代入抛物线方程, 得y 2-4ty-4=0. 设A(x 1,y 1),D(x 2,y 2), 根据抛物线定义|AF|=x 1+1, |DF|=x 2+1,故|AB|=x 1,|CD|=x 2, 所以|AB|·|CD|=x 1x 2=214y ·224y =212()16y y ,而y 1y 2=-4,代入上式,得|AB|·|CD|=1. 故选A.2.已知抛物线y 2=4x 的焦点为F,过焦点的直线与抛物线交于A,B 两点,则当|AF|+4|BF|取得最小值时,直线AB 的倾斜角的正弦值为 .解析:由题意知F(1,0),当直线的斜率存在时, 设直线方程为y=k(x-1)(k ≠0), 由2(1),4,y k x y x =-⎧⎨=⎩消去y,得k 2x 2-(2k 2+4)x+k 2=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),x 1>0,x 2>0, 则x 1+x 2=2224k k +, ①x 1x 2=1, ②1AF+1BF =111x ++211x +=12121221x x x x x x +++++=22222422411k k k k +++++=1. 当直线的斜率不存在时,易知|AF|=|BF|=2, 故1AF+1BF=1.设|AF|=a,|BF|=b,则1a +1b=1, 所以|AF|+4|BF|=a+4b=(1a +1b )(a+4b)=5+4b a+a b ≥9,当且仅当a=2b 时取等号,故a+4b 的最小值为9,此时直线的斜率存在,且x 1+1=2(x 2+1), ③ 联立①②③得,x 1=2,x 2=12,k=±故直线AB答案考点四 易错辨析【例4】 设抛物线y 2=mx 的准线与直线x=1的距离为3,求抛物线方程.解:①当m>0时,准线方程为x=-4m , 因为准线与直线x=1的距离为3, 所以准线方程为x=-2即-4m =-2,m=8, 所以抛物线方程为y 2=8x. ②当m<0时,准线方程为x=-4m =4, 所以m=-16,此时抛物线方程为y 2=-16x,综上,所求抛物线方程为y 2=8x 或y 2=-16x.只考虑m>0的情况,忽视m<0属于知识错误,对y 2=2px(p>0)中p 几何意义的误解.抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F,A 是抛物线上一点,若A 到F 的距离是A 到y 轴距离的两倍,且△OAF 的面积为1,O 为坐标原点,则p 的值为( B )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解析:不妨设A(x 0,y 0)在第一象限,由题意可知0002,211,22OAF p x x p S y ∆⎧+=⎪⎪⎨⎪=⋅⋅=⎪⎩即00,24,px y p⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以A(2p ,4p ),又因为点A 在抛物线y 2=2px 上,所以216p =2p ×2p ,即p 4=16, 又因为p>0,所以p=2, 故选B.抛物线的综合应用【例题】 已知抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y 轴的交点为P,与C 的交点为Q,且|QF|=54|PQ|. (1)求C 的方程;(2)过F 的直线l 与C 相交于A,B 两点,若AB 的垂直平分线 l ′与C 相交于M,N 两点,且A,M,B,N 四点在同一圆上,求l 的方程. 解:(1)设Q(x 0,4),代入y 2=2px 得x 0=8p. 所以|PQ|=8p ,|QF|=2p +x 0=2p +8p . 由题设得2p +8p =54×8p, 解得p=-2(舍去)或p=2. 所以C 的方程为y 2=4x.解:(2)依题意知l 与坐标轴不垂直,故可设l 的方程为x=my+1(m ≠0). 代入y 2=4x 得y 2-4my-4=0. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则y 1+y 2=4m,y 1y 2=-4. 故AB 的中点为D(2m 2+1,2m),1-y 2|=4(m2+1).又l ′的斜率为-m,所以l ′的方程为x=-1m y+2m 2+3.将上式代入y 2=4x,并整理得y 2+4m y-4(2m 2+3)=0.设M(x 3,y 3),N(x 4,y 4),则y 3+y 4=-4m ,y 3y 4=-4(2m 2+3). 故MN 的中点为E(22m +2m 2+3,-2m ),|y 3-y 4,由于MN 垂直平分AB,故A,M,B,N 四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=12|MN|, 从而14|AB|2+|DE|2=14|MN|2, 即4(m 2+1)2+(2m+2m )2+(22m +2)2=22244(1)(21)m m m ++. 化简得m 2-1=0, 解得m=1或m=-1.所求直线l 的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.规范要求:利用待定系数法求抛物线的标准方程时,既要定位(确定抛物线开口方向),又要定量(确定参数p 的值). (1)中,需要计算p 值.(2)中,A,M,B,N 四点共圆,等价于|AE|=|BE|=12|MN|. 温馨提示: (1)问解答中,需要注意p>0的条件,即应舍去p=-2. (2)问解答中,要注意分析直线的斜率不存在的情形.【规范训练】 (2017·浙江卷) 如图,已知抛物线x 2=y,点A(-12,14),B(32,94),抛物线上的点P(x,y)(-12<x<32),过点B 作直线AP的垂线,垂足为Q.(1)求直线AP 斜率的取值范围; (2)求|PA|·|PQ|的最大值. 解:(1)设直线AP 的斜率为k, k=21412x x -+=x-12, 因为-12<x<32, 所以直线AP 斜率的取值范围是(-1,1). 解:(2)联立直线AP 与BQ 的方程110,24930,42kx y k x ky k ⎧-++=⎪⎪⎨⎪+--=⎪⎩解得点Q 的横坐标是x Q =22432(1)k k k -+++.因为12(x Q2,所以|PA|·|PQ|=-(k-1)(k+1)3. 令f(k)= -(k-1)(k+1)3, 因为f ′(k)=-(4k-2)(k+1)2,所以f(k)在区间(1,12)单调递增,在(12,1)上单调递减,因此当k=12时,|PA|·|PQ| 取得最大值2716.类型一 抛物线的定义及应用1.已知直线l 1:4x-3y+6=0和直线l 2:x=-1,抛物线y 2=4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( A ) (A)2 (B)3 (C)115(D)3716解析: 如图所示,过点P 作PM ⊥l 1,PN ⊥l 2,过抛物线焦点F(1,0)作FQ ⊥l 1于Q.由抛物线定义知|PN|=|PF|.显然点F,P,Q 三点共线时,动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和最小,最小值为465+=2,故选A.2.已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点为坐标原点O,并且经过点M(2,y 0).若点M 到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|等于( B )(C)4 解析:因为抛物线关于x 轴对称,且M(2,y 0)在抛物线上, 所以抛物线的标准方程可设为y 2=2px(p>0),其准线方程为x=-2p .由抛物线的定义, M 到准线x=-2p 的距离为3,即2+2p =3,故p=2,所以抛物线的标准方程为y 2=4x. 因为M(2,y 0)在抛物线上,所以2y =8.由两点间的距离公式知.故选B.3.若点P 到点F(0,2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2,则P 的轨迹方程为( C ) (A)y 2=8x (B)y 2=-8x (C)x 2=8y (D)x 2=-8y解析:由题意,P 到F(0,2)的距离与它到直线y+2=0的距离相等,故P 的轨迹是以F 为焦点,y=-2为准线的抛物线,所以P 的轨迹方程为x 2=8y.4.过抛物线y 2=2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A,B 两点,它们的横坐标之和等于2,则这样的直线( B ) (A)有且只有一条 (B)有且只有两条 (C)有且只有三条 (D)有且只有四条 解析:设该抛物线焦点为F,A(x A ,y A ),B(x B ,y B ),则|AB|=|AF|+|FB|=x A +2p +x B +2p=x A +x B +1=3>2p=2.所以符合条件的直线有且只有两条.故选B.5. 如图,设抛物线y 2=4x 的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B 在抛物线上,点C 在y 轴上,则△BCF 与△ACF 的面积之比是( A )(A)11BF AF --(B)2211BF AF --(C)11BF AF ++ (D)2211BF AF ++解析: 由题可知抛物线的准线方程为x=-1.如图所示,过A 作AA 1⊥y 轴于点A 1,过B 作BB 1⊥y 轴于点B 1, 则BCF ACFSS∆∆=1sin 21sin 2CF BC FCB CF AC FCB ∠∠=BC AC=11BB AA =11BF AF --.类型二 抛物线的标准方程6.若抛物线y 2=2px(p>0)上一点P(2,y 0)到其准线的距离为4,则抛物线的标准方程为( C ) (A)y 2=4x (B)y 2=6x (C)y 2=8x (D)y 2=10x解析:因抛物线y 2=2px(p>0),其准线方程为x=-2p,点P(2,y 0)到准线的距离为4,所以︱-2p -2︱=4,得p=4.故抛物线的标准方程为y 2=8x.7.设抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F,点M 在C 上,|MF|=5.若以MF 为直径的圆过点(0,2),则抛物线C 的方程为( C ) (A)y 2=4x 或y 2=8x (B)y 2=2x 或y 2=8x(C)y 2=4x 或y 2=16x (D)y 2=2x 或y 2=16x解析:由已知得抛物线的焦点F(2p,0),设点A(0,2),M(x 0,y 0),则AF =(2p ,-2),AM =(22y p,y 0-2).由已知得,AF ·AM =0, 即20y -8y 0+16=0,因而y 0=4,M(8p,4). 由|MF|=5得,8p +2p =5, 又p>0,解得p=2或p=8,所以抛物线C 的方程为y 2=4x 或y 2=16x. 类型三 抛物线的焦点弦问题8.过抛物线y 2=2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)两点,若x 1+x 2=2,|PQ|=4,则抛物线的方程是( A ) (A)y 2=4x (B)y 2=8x (C)y 2=2x (D)y 2=6x解析:由抛物线定义知|PQ|=x 1+x 2+p=4, 又x 1+x 2=2, 所以p=2,所以抛物线方程为y 2=4x. 故选A.9.已知抛物线y 2=4x 的焦点为F,过焦点F 的直线交该抛物线于A,B 两点,O 为坐标原点,若|AB|=6,则△AOB 的面积为( A )(D)4解析:因为抛物线y 2=4x 的焦点F 的坐标为(1,0),当直线AB 垂直于x 轴时,|AB|=4,不满足题意,所以设直线AB 的方程为y=k(x-1),与y 2=4x 联立,消去x 得ky 2-4y-4k=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则y 1+y 2=4k,y 1y 2=-4,所以|y 1-y 2因为1-y 2|=6,所以4(1+21k)=6,解得k=所以|y 1-y 2所以△AOB 的面积为12×1×故选A.。
高中数学人教版选修2-1：2.4.2-1 抛物线的简单几何性质 课件(共15张PPT)
F(0,-
p 2
)
y=p 2
y ≤0 x∈R
五、巩固提升 课堂练习 第72页练习第1题 课堂作业 第73页习题2.4A组第5、6、7题
把例1中的“关于x轴对称”改为“对称轴是坐标轴” 后, 抛物线有几条?求出它们的标准方程.
y2 = 4x或x2 = - 2y 当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时, 设为y2=2mx(m ≠0)(x2=2my (m≠0)),可避免讨论.
三、精典例题
例2 斜率为1的直线l 经过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物
y
l
OF
x
y2 = 2px （p>0）
F( p ,0) 2
x=-p 2
x≥0 y∈R
y
FO
l
y2 = -2px （p>0）
F(-
p 2
,0)
x
x=p 2
x≤0 y∈R
x轴
y
(0,0)
1
F O
x2 = 2py x （p>0）
F(0,p ) 2
y=-p 2
l
y≥0 x∈R
y轴
y
OF
l x
x2 = -2py （p>0）
y
l x2=-2py
O
x (p>0)
F
焦点
准线方程
一、知识回顾
y
图形
. B2
A1 F1 O
F1(-c,0)B1
方程
y
. . .B2
F2
x
FA22(c,0F)1(-c,F01)
A1
O A2 B1
FF22(c,x0)
范围
对称性 关于x轴、y轴、原点对称
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2011年度第一学期 数学选修2-1节节清6
新登中学高二数学备课组 编写 张永娟
2.4 抛物线
班级 学号 姓名
一、选择题（答案写在题号前面）
1、 焦点为10,8的抛物线的标准方程为
A、214xy B、22xy C、22yx D、22yx
2、抛物线22yx的通径长为
A、4 B、2 C、1 D、0.5
3、已知抛物线26yx定点2,3A，F为焦点，P为抛物线上的动点，则PFPA的
最小值
A、5 B、4.5 C、3.5 D、不能确定
4、已知抛物线24xy，过焦点F，倾斜角为4的直线交抛物线于AB、两点，求线段AB
A、8 B、42 C、6 D、 32
5、抛物线2yx与圆22210xyrr有4个不同的交点，则r的取值范围是
A、3,2 B、3,2 C、3,12 D、3,12
二、填空题
6、一动圆M和直线:2lx相切，并且经过点2,0F则圆心M的轨迹方程是
。
7、抛物线型的拱桥的跨度为20米，拱高4米，每隔4米
用一支柱支撑，其中最长支柱的长度为 。
8、12PP是抛物线的通径，Q是准线与对称轴的交点，则12PQP= 。
9、抛物线220ypxp上有三点1232,,46,AyBxCy、、且246x，若
ABC、、
到焦点的距离依次成等差数列，那么2x ，1y ，3y 。
2011年度第一学期 数学选修2-1节节清6
新登中学高二数学备课组 编写 张永娟
三、解答题
10、设00,Pxy是抛物线220ypxp上异于顶点的定点，11,Axy，22,Bxy 是
抛物线上的两个动点，且直线PA与PB的倾斜角互补
求（1）120yyy的值
（2）证明直线AB的斜率是非零常数。
11．已知直线l：y=x+m，m∈R。
（I）若以点M（2,0）为圆心的圆与直线l相切与点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；
（II）若直线l关于x轴对称的直线为l，问直线l与抛物线C：x2=4y是否相切？说明
理由。
2011年度第一学期 数学选修2-1节节清6
新登中学高二数学备课组 编写 张永娟
2.4 抛物线 答案
C D C A D
6.28yx 7. 3.84 8. 90 9. 2x 4 ，1y22，3y26。
10.解：（1）2112ypx 2002ypx 2210102yypxx
即 1010102yypxxyy 102PApkyy
同理：202PBpkyy
又PA与PB的倾斜角互补 PAPBkk
即102022ppyyyy 所以2010yyyy
12
0
2yyy
（2）1200222ABpppkyyyy
所以直线AB的斜率是非零常数
11．本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思
想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。满分13分。
解法一：
（I）依题意，点P的坐标为（0，m）
因为MPl，所以01120m，
解得m=2，即点P的坐标为（0，2）
从而圆的半径
22
||(20)(02)22,rMP
故所求圆的方程为22(2)8.xy
（II）因为直线l的方程为,yxm所以直线'l的方程为.yxm
2011年度第一学期 数学选修2-1节节清6
新登中学高二数学备课组 编写 张永娟
由22',4404yxmxxmxy得,244416(1)mm
（1）当1,0m即时，直线'l与抛物线C相切
（2）当1m，那0时，直线'l与抛物线C不相切。
综上，当m=1时，直线'l与抛物线C相切；当1m时，直线'l与抛物线C不相切。
解法二：（I）设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为22(2).xyr
依题意，所求圆与直线:0lxym相切于点P（0，m），
则224,|20|,2mrmr解得2,22.mr所以所求圆的方程为22(2)8.xy
（II）同解法一。