九上4.2根的判别式
人教版九年级上册公式法——根的判别式及求根公式
人教版九年级上册公式法——根的判 别式及 求根公 式
例2 用公式法解下列方程：
解：a=1，b=-4，c=-7 Δ= b2－4ac=(-4)2-4×1×(-7) =44>0
b b2 4ac x
2a (4) 44 2 11
21
x1 2 11, x2 2 11
人教版九年级上册公式法——根的判 别式及 求根公 式
Δ=b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的 根的判别式.
当b2－4ac>0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根； 当b2－4ac=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根； 当b2－4ac<0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根.
人教版九年级上册公式法——根的判 别式及 求根公 式
解：a 2，b 2 2，c 1 b2 4ac (2 2)2 4 21 0 b x1 x2 2a 2 2 2 22 2
教版九年级上册公式法——根的判 别式及 求根公 式
(3)5x2-3x=x+1；
解：方程化为5x2-4x-1=0 a=5，b=-4，c=-1 Δ= b2－4ac=(-4)2-4×5×(-1)
方程无实数根
人教版九年级上册公式法——根的判 别式及 求根公 式
思考：运用公式法解一元二次方程时，有哪些注意 事项？ 步骤：先将方程化为一般形式，确定a,b,c的值；
计算判别式Δ=b2-4ac的值，判断方程是否有解； 若Δ≥0，利用求根公式计算方程的根， 若Δ<0，方程无实数根. 易错点：计算Δ的值时，注意a，b，c符号的问题.
根的判别式
根的判别式根的判别式是指用某种方法来判断一个多项式是否有实根或者复根，以及有几个实根或者复根。
在初中或高中数学中，我们通常会学到求解一元二次方程的根的公式，即$ax^2+bx+c=0$的根为$x=\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
其中，判别式$\\Delta=b^2-4ac$可以用来判断方程的根的情况：1.当$\\Delta>0$时，方程有两个不相等的实数根；2.当$\\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；3.当$\\Delta<0$时，方程没有实数根，但有两个共轭复数根。
在高中数学中，我们还会学到求解一元三次方程和一元四次方程的根的公式。
不过，这些公式较为复杂，不适合用判别式来判断方程的根。
除了一元多次方程外，根的判别式还可用于判断代数方程组的解的情况。
即，给定一个代数方程组，我们可以使用根的判别式来判断其解的情况。
例如，对于二元一次方程组：$$\\begin{cases}ax+by=c\\\\dx+ey=f\\end{cases}$$可以联立方程得：$$\\begin{vmatrix} a & b \\\\ d & e \\end{vmatrix}x=\\begin{vmatrix} c & b \\\\ f & e \\end{vmatrix},\\begin{vmatrix} a & b \\\\ d & e\\end{vmatrix}y=\\begin{vmatrix} a & c \\\\ d & f \\end{vmatrix} $$其中，$\\begin{vmatrix} a & b \\\\ d & e \\end{vmatrix}=ae-bd$称为方程组的系数行列式，$\\begin{vmatrix} c & b \\\\ f & e \\end{vmatrix}$和$\\begin{vmatrix} a & c \\\\ d & f \\end{vmatrix}$分别称为方程组的常数行列式。
根的判别式
归纳总结
一元二次方程的根的情况与系数的关系
1.对于一元二次方程 ax bx c 0(a 0) 而言， b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式。
2
2.利用根的判别式可以在不解方程的情况下判断一元 二次方程的根的情况。 3.反过来由方程的根的情况也可以得知b2-4ac值的符 号，进而得出方程中待定字母的取值情况。
典型例题
【例1】.不解方程，判断下列方程的根的情况： x2+5= 2 5 x
解：∵b2-4ac=[-2√5 ]2-4×1×5=0 ∴该方程有两个相等的实数根
举一反三
⑴ x2＋3x－1 = 0 ⑵ x2 -6x +9=0 ⑶ 2y2－3y +4 =0
注意：b 4ac的值不能 算错了！
2
变式1.不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？
x 的方程
k
kx x 4 0
2
有两个不相等的实数根，求
的取值范围。
拓展延伸
例4.已知 a、b、c 都是正数，且关于
(c a) x 2 2bx (c a) 0
x
的方程
有两个相等的实数根，问 a、b、c 可否作为一个三角 形的三边的长？如果可以，那么它是什么形状的三角形?
• 【课外练习】 • 1、关于x的方程x2+2 k x+1=0有两个不相等 的实数根，则k . • 2、已知方程x2-mx+n=0有两个相等的实数 根，那么符合条件的一组m，n的值可以是 m= ,n= . • 3、当k为何值时，关于x的方程kx2－（2k＋ 1）x＋k＋3 = 0有两个不相等的实数根？
2 2
∵a≠0
∴4a2>0
b b 2 4ac x 2a 4a 2
数学人教版九年级上册根的判别式与韦达定理
• 例1：已知关于x的方程 • x2-（2k-3）x+k2+1=0． （1）当k为何值时，此方程有实数根； （2）若此方程的两个实数根x1、x2满足 |x1|+|x2|=3，求k的值．
ห้องสมุดไป่ตู้
• 例2：已知关于x的一元二次方程 • x2+（m+3）x+m+1=0． （1）求证：无论m取何值，原方程总有两 个不相等的实数根： （2）若x1，x2是原方程的两根，且 • |x1-x2|=2 ，求m的值，并求出此时方程的 两根．
• 练习1：已知关于x的方程x2-（m-2）x- =0． （1）求证：无论m为何值，方程总有两个 不相等实数根． （2）设方程的两实数根为x1，x2，且满足 |x1|=|x2|+2，求m的值和相应的x1，x2．
• 练习2:已知关于x的一元二次方程（x-3） （x-2）=|m|． （1）求证：对于任意实数m，方程总有两 个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求m的值及方程 的另一个根．
根的判别式和韦达定理
• 一、知识平台 • 1、 根的判别式的应用： • △＞0 方程有2个不相等的实数解 • △ =0 方程有2个相等的实数解 • △ ≥0 方程有实数解 • △ ＜0 方程没有实数解
• 2、根与系数的关系 • 定理：如果 一元二次方程的两个根 • 是X1，X2，那么 • X1 +X2= ， X1X2=
苏科版数学九年级上册《根的判别式》教学设计
苏科版数学九年级上册《根的判别式》教学设计一. 教材分析《根的判别式》是苏科版数学九年级上册的一章重要内容。
本章主要介绍了根的判别式的概念、性质及其应用。
通过本章的学习，学生能够掌握根的判别式的计算方法，理解根的判别式与方程根的关系，并能运用根的判别式解决一些实际问题。
教材中包含了丰富的例题和练习题，有助于学生巩固所学知识。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了初中数学的大部分内容，具备了一定的数学基础。
但是，对于一些抽象的概念和理论，学生可能还存在着一定的困难。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生从具体实例中抽象出根的判别式的概念，并通过大量的练习来巩固所学知识。
三. 教学目标1.了解根的判别式的概念，掌握根的判别式的计算方法。
2.理解根的判别式与方程根的关系，能够运用根的判别式判断方程的根的情况。
3.能够运用根的判别式解决一些实际问题。
四. 教学重难点1.根的判别式的概念和计算方法。
2.根的判别式与方程根的关系。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过引导学生从具体实例中发现问题，提出问题，进而引导学生思考和解决问题。
2.运用多媒体教学手段，展示根的判别式的几何意义，帮助学生直观地理解根的判别式。
3.注重练习和巩固，通过大量的练习题来提高学生的解题能力。
六. 教学准备1.多媒体教学课件。
2.练习题和学习资料。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些实际问题，引导学生思考和解决问题，引出根的判别式的概念。
2.呈现（15分钟）讲解根的判别式的概念和计算方法，并通过多媒体展示根的判别式的几何意义，帮助学生直观地理解根的判别式。
3.操练（20分钟）让学生独立完成一些有关根的判别式的练习题，巩固所学知识。
4.巩固（10分钟）对学生的练习进行讲评，解答学生提出的问题，进一步巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）引导学生运用根的判别式解决一些实际问题，提高学生的应用能力。
6.小结（5分钟）对本节课的主要内容进行小结，帮助学生形成知识体系。
人教版九年级数学课件《一元二次方程根的判别式》
典例解析
人教版数学九年级上册
例3 不解方程，判断下列方程的根的情况． （1）3x2+4x－3=0； （2）4x2=12x－9;
(3) 7y=5(y2+1).
解：（1）3x2+4x－3=0，a=3,b=4,c=－3, ∴b2－4ac=32－4×3×(－3)=52＞0. ∴方程有两个不相等的实数根．
（2）方程化为：4x2－12x+9=0, ∴b2－4ac=(－12)2－4×4×9=0.
解：(2m+1)2 －4 (m−2)2 ≥0
4m2 ＋4m＋1－ 4m2 ＋16m－16≥0
20m≥15
m≥ 34 又∵ (m−2)2 ≠0 ∴m≠2 ∴m≥ 34 且m≠2
针对练习
人教版数学九年级上册
7.在等腰△ABC 中，三边分别为a,b,c，其中a=5，若关于x的方程 x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，求△ABC 的周长.
解：关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根， 所以Δ=b2－4ac=(b+2)2-4(6-b)=b2+8b-20=0. 所以b=-10或b=2. 将b=-10代入原方程得x2-8x+16=0，x1=x2=4； 将b=2代入原方程得x2+4x+4=0，x1=x2=-2（舍去）；
所以△ABC 的三边长为4，4，5， 其周长为4+4+5=13.
=4m2-4m+1-4m2+4m=1＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根．
（2）解方程x2-（2m-1）x+m2-m=0
得x=m或x=m-1，
∵a＞b，m＞m-1，
华师大版数学九年级上册《根的判别式》说课稿2
华师大版数学九年级上册《根的判别式》说课稿2一. 教材分析华师大版数学九年级上册《根的判别式》是初中的重要内容，也是学习高中数学的基础。
本节课主要介绍了根的判别式的概念、性质和应用。
通过本节课的学习，学生能够理解根的判别式的含义，掌握计算方法，并能运用根的判别式解决一些实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次方程和二次函数的基础知识，对于二次方程的求解和二次函数的图像已经有了一定的了解。
但是，对于根的判别式的概念和应用可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生从已有的知识出发，逐步引入和理解根的判别式。
三. 说教学目标1.知识与技能：学生能够理解根的判别式的概念，掌握计算方法，并能运用根的判别式解决一些实际问题。
2.过程与方法：学生通过观察、实验、探究等方法，培养数学思维能力和问题解决能力。
3.情感态度与价值观：学生能够体验数学的乐趣，增强对数学的学习兴趣，培养积极的学习态度。
四. 说教学重难点1.重点：根的判别式的概念和计算方法。
2.难点：根的判别式的应用和解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等，引导学生主动探究和解决问题。
2.教学手段：利用多媒体课件、教学卡片、黑板等辅助教学，增加课堂的互动性和趣味性。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引导学生思考如何判断一个二次方程有几个实数根。
2.新课引入：介绍根的判别式的概念，并通过示例解释其含义和作用。
3.计算方法：讲解根的判别式的计算方法，并通过练习让学生巩固掌握。
4.应用拓展：引导学生运用根的判别式解决一些实际问题，如判断二次函数的图像与x轴的交点个数等。
5.总结与反思：让学生回顾本节课的学习内容，总结根的判别式的概念和应用，并反思自己的学习过程。
七. 说板书设计板书设计应简洁明了，突出重点。
可以设计以下板书：•概念：…•计算方法：…•应用：…八. 说教学评价教学评价可以从学生的知识掌握、能力培养和情感态度三个方面进行。
华师大版数学九年级上册《根的判别式》教学设计2
华师大版数学九年级上册《根的判别式》教学设计2一. 教材分析华师大版数学九年级上册《根的判别式》是学生在学习了二次函数的基础上进行学习的。
本节内容主要介绍了根的判别式的概念、公式以及如何利用根的判别式判断二次方程的根的情况。
教材通过实例引导学生探究根的判别式与二次方程根的关系，从而让学生理解并掌握根的判别式的应用。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的知识，对二次方程有一定的了解。
但学生在解决实际问题时，还不能很好地将理论知识运用到实际问题中。
因此，在教学过程中，教师需要通过实例引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生的解决问题的能力。
三. 教学目标1.理解根的判别式的概念，掌握根的判别式的公式。
2.学会利用根的判别式判断二次方程的根的情况。
3.能够将根的判别式应用于解决实际问题。
四. 教学重难点1.重点：根的判别式的概念、公式及应用。
2.难点：如何判断二次方程的根的情况，以及如何将根的判别式应用于解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过实例引导学生探究根的判别式与二次方程根的关系，让学生在解决实际问题的过程中，掌握根的判别式的应用。
六. 教学准备1.准备相关的实例，用于引导学生探究根的判别式。
2.准备练习题，用于巩固学生对根的判别式的理解和掌握。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何判断二次方程的根的情况。
例如，给出一个二次方程，让学生判断该方程有几个实数根，几个虚数根。
2.呈现（10分钟）教师引导学生回顾二次函数的知识，然后呈现根的判别式的概念和公式。
通过讲解和示例，让学生理解并掌握根的判别式。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，每组给出一个二次方程，利用根的判别式判断该方程的根的情况。
然后各组汇报讨论结果，教师点评并指导。
4.巩固（10分钟）教师给出一些练习题，让学生独立完成。
题目要求学生利用根的判别式判断二次方程的根的情况。
人教版九年级上数学第21章一元二次方程根的判别式(教案)
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一元二次方程根的判别式在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了《一元二次方程根的判别式》的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对判别式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决一元二次方程问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
举例2：当遇到方程-3x² + 2x - 1 = 0时，学生需要注意到a = -3，b = 2，c = -1，计算Δ = 2² - 4×(-3)×(-1) = -8，这里a、b、c为负数，但计算过程中符号要按照规则变化，这是学生容易出错的地方。
举例3：在解决实际问题如“一个物体从高处落下，其高度与时间的关系为h = -5t² + 10t + 30，求物体落地的时间”时，学生需要将问题转化为求解方程-5t² + 10t + 30 = 0的根的问题，然后通过计算判别式来判断物体是否会落地以及何时落地。
2.教学难点
-理解为什么判别式Δ的值能决定方程的根的判别式Δ的计算过程中的符号变化敏感，尤其是当a、b、c为负数时的处理；
-将根的判别式应用于解决实际问题时，如何建立数学模型，将现实问题转化为数学问题。
4.2一元二次方程的解法根的判别式
检测
1.不解方程，判断方程根的情况： （1）x2+3x-1=0; (2)x2-6x+9=0; (3)2y2-3y+4=0
练一练
2.k取什么值时，方程x2-kx+4=0有两个相等的 实数根？求这时方程的根。 3.已知a、b、c分别是三角形的三边，则关于x的一 元二次方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情况 是（ ） A、没有实数根 B、可能有且仅有一个实数根 C、有两个相等的实数根 D、有两个不相等的实数根。
解（2）移项，得2x2-6x+4.5=0 ∵a=2，b=-6，c=4 .5 b2-4ac=36-4×2×4.5=0 ∴
6± 0 x= 2 ×2
3 x1 = x2 = 2
典型例题
例
用公式法解下列方程： (3) x2=3x-8
解（3）移项，得x2-3x+8=0 ∵a=1，b=-3，c=8 b2-4ac=9-4×1×8=-23＜0 ∴原方程无解
2
∴不论m取任何实数，上述方程总有两个不相等的实数根
典型例题
例3：m为何值时，关于x的一元二次方程 2x2-（4m+1）x+2m2-1=0： （1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？ （3）没有实数根？
解：∵a=2，b=-（4m+1），c=2m2-1 ∴b2-4ac=〔-（4m+1）〕2-4×2（2m2-1）=8m+9
概括总结
由此可以发现一元二次方程ax2＋bx＋c = 0 （a≠0）的根的情况可由b2－4ac来判定 当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根 当b2－4ac = 0时，方程有两个相等的实数根 当b2－4ac ＜ 0时，方程没有实数根 我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c = 0 （a≠0）的根的判别式。 若已知一个一元二次方程的根的情况，是否能得到 判别式的值的符号呢？ 当一元二次方程有两个不相等的实数根时，b2－4ac＞0 当一元二次方程有两个相等的实数根时， b2－4ac = 0 当一元二次方程没有实数根时，b2－4ac ＜ 0
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∴m＞
9 8
9 8
∴m=
∴m＜
9
9 8 时，方程有两个不相等的实数根；当m= 时， 8 8 9 方程有两个相等的实数根；当m＜ 时，方程没有实数根 8
练一练
例4：已知关于x的方程 kx2－（2k＋1）x＋k＋3 = 0有两个不相等的实数 根，求k的取值范围。
解：∵方程有两个不相等的实数根
知识回顾
3.用公式法解下列方程：
⑴ x2＋x－1 = 0 ⑵ x2－2
3 x＋3 = 0
ห้องสมุดไป่ตู้
⑶ 2x2－2x＋1 = 0
观察上面解一元二次方程的过程，一元二次 方程的根的情况与一元二次方程中二次项系数、 一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关 系不解方程得出方程的解的情况呢？
尝试：
不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？
，x2=2
当一元二次方程有两个不相等的实数根时，b2－4ac＞0 当一元二次方程有两个相等的实数根时， b2－4ac = 0 当一元二次方程没有实数根时，b2－4ac ＜ 0
概念巩固
1.方程3x2+2=4x的判别式b2-4ac= -8 所以方程的根的情况是 方程无实数根 .
，
2.下列方程中，没有实数根的方程是（D ） A.x2=9 B.4x2=3(4x-1) C.x(x+1)=1 D.2y2+6y+7=0
解：∵a=2，b=-（4m+1），c=2m2-1 ∴b2-4ac=〔-（4m+1）〕2-4×2（2m2-1）=8m+9
（1）若方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac＞0，即8m+9＞0 （2）若方程有两个相等的实数根，则b2-4ac=0即8m+9=0 （3）若方程没有实数根，则b2-4ac＜0即8m+9＜0 ∴当m＞
∴（2k+1）2-4k（k+3）＞0 4k2+4k+1-4k2-12k＞0
-8k+1＞0 即k＜
1 8
练一练
1.不解方程，判断方程根的情况： （1）x2+3x-1=0; (2)x2-6x+9=0; (3)2y2-3y+4=0
(4)x2+5= 2 5 x
练一练
2.k取什么值时，方程x2-kx+4=0有两个相等的 实数根？求这时方程的根。 3.已知a、b、c分别是三角形的三边，则关于x的一 元二次方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情况 是（ ） A、没有实数根 B、可能有且仅有一个实数根 C、有两个相等的实数根 D、有两个不相等的实数根。
典型例题
例2 ：m为任意实数，试说明关于x的方程 x2-（m-1）x-3（m+3）=0恒有两个不相等 的实数根。
解：b 2
4 ac m 1 4 3 m 3
2
m m
2
10 m 37 10 m 5 5 37
2 2 2
2
m 5 12
⑴ x2＋2x－8 = 0 ⑵ x2 = 4x－4 ⑶ x2－3x = －3
答案：（1）有两个不相等的实数根； （2）有两个相等的实数根；
（3）没有实数根 你能得出什么结论？ 可以发现b2－4ac的符号决定着方程的解。
概括总结
由此可以发现一元二次方程ax2＋bx＋c = 0 （a≠0）的根的情况可由b2－4ac来判定 当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根 当b2－4ac = 0时，方程有两个相等的实数根 当b2－4ac ＜ 0时，方程没有实数根 我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c = 0 （a≠0）的根的判别式。 若已知一个一元二次方程的根的情况，是否能得到 判别式的值的符号呢？
初中数学九年级上册 （苏科版）
4.2一元二次方程的解法 根的判别式
高淳县第三中学
知识回顾
1.一元二次方程的求根公是什么？
一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0），当b2-4ac≥0时，它的根是
x b b 4 ac
2
2a
2.用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？
用公式法解一元二次方程首先要把它化为一般形式， 进而确定a、b、c的值，再求出b2-4ac的值， 当b2-4ac≥0的前提下，再代入公式求解； 当b2-4ac＜0时，方程无实数 解(根)
3.方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根，那么总成立的式 子是（ ） D A.b2-4ac＞0 B. b2-4ac＜0 C. b2-4ac≤0 D. b2-4ac≥0
典型例题
例1不解方程，判断下列方程根的情况： （1）-x2+ 2 6 x-6=0 （2）x2+4x=2 （3）4x2+1=-3x （4）x2-2mx+4（m-1）=0 解（1）∵b2-4ac=24-4×（-1）×（-6）=0 ∴该方程有两个相等的实数根
归纳总结
一元二次方程的根的情况与系数的关系？
b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式。利用根的 判别式可以在不解方程的情况下判断一元二次方程 的根的情况；反过来由方程的根的情况也可以得知 b2-4ac的符号，进而得出方程中未知字母的取值 情况。
（2） 移项，得x2+4x-2=0 ∵b2-4ac=16-4×1×（-2）=16-（-8） =16+8=24＞0 ∴该方程有两个不相等的实数根
典型例题
例1不解方程，判断下列方程根的情况： （3）4x2+1=-3x （4）x2-2mx+4（m-1）=0
解（3）移项，得4x2+3x+1=0 ∵b2-4ac=9-4×4×1=9-16=-7＜0 ∴该方程没有实数根 （4）∵b2-4ac=（2m）2-4×1×4（m-1） =4m2-16（m-1） =4m2-16m+16 =（2m-4）2≥0 ∴该方程有两个实数根
∵不论m取任何实数，总有（m+5）2≥0 ∴b2-4ac=（m+5）2+12≥12＞0
∴不论m取任何实数，上述方程总有两个不相等的实数根
典型例题
例3：m为何值时，关于x的一元二次方程 2x2-（4m+1）x+2m2-1=0： （1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？ （3）没有实数根？