一元二次方程根与系数的关系 教案
《一元二次方程根与系数的关系》教案.doc
《一元二次方程根与系数的关系》教案教学目标：1、发现、了解一元二次方程的根与系数的关系，培养学生善于独立思考、合作交流的学习习惯。
2、探索、运用一元二次方程的根与系数关系，由一元二次方程的一个根求出另一个根及未知系数，提升学生的合作意识和团队精神。
3、在不解一元二次方程的情况下，会求直接（或变形后）含有两根积的代数式的值，并从中体会整体代换的数学思想，促进学生数学思维的养成。
教学重点：一元二次方程的根与系数的关系及简单应用。
教学难点：一元二次方程的根与系数的关系的推导。
数学思考与问题解决：通过创设一定的问题情境，注重由学生自己发现、探索，让学生参与“韦达定理”的发现、不完全归纳验证以及演绎证明等整个数学思维过程。
一、自学互研 探索发现（每小题10分，共30分）（自主完成，组长检查）【师生活动】：教师引导，巡视，随时发现问题、了解学生导学案完成情况并点拨；评价、鼓励、调动学生参与的主动性和积极性。
学生独立完成导学案，观察、对比、发现问题，逐步由易到难，探索出一元二次方程的根与系数的关系；小组长检查小组成员完成情况；分小组汇报自学成果。
【设计意图】：本环节为“一元二次方程的根与系数的关系”的发现过程，即感性认识过程。
通过几个具体的方程，经过观察、比较、分析、归纳，感性地得出一元二次方程的根与系数的关系的一般规律。
培养学生发现问题、探求规律的学习习惯和注重自主加合作的学习方式。
【学案内容】：1、方程：X 2+3X –4=0（1）二次项系数是_____ ，一次项系数是______ ，常数项是______。
（2）解得方程的根X 1=______ ，X 2=______ 。
（3）则X 1+X 2=_______， 方程中 （）二次项系数一次项系数=- (4) X 1·X 2=_______， 方程中 （）二次项系数常数项=2、方程3 X 2+X-2=0（1）二次项系数是_____，一次项系数是______ ，常数项是______。
21.2.4一元二次方程的根与系数的关系教案2021-2022学年九年级数学人教版上册
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系一、教学目标1.要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程的根与系数的关系，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和，两根之差.2.通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神.二、教学重难点重点掌握一元二次方程的根与系数的关系.难点一元二次方程的根与系数关系的推导过程及其应用.重难点解读在使用一元二次方程的根与系数的关系时，应注意：（1）方程不是一般形式的要先化为一般形式.（2）使用x 1+x2=ba时，“-”不要漏写.（3）根与系数关系是在方程ax2+bx+c=0（a≠0）有根的前提下（即b2-4ac≥0）才成立的，运用根与系数的关系解题时首先要检验b2-4ac是否非负.（4）若已知方程“有两个实数根”，则该方程是一元二次方程，即存在隐含条件：二次项系数不为零.三、教学过程活动1 旧知回顾提出问题：（1）一元二次方程的一般形式是什么？（2）请同学们写出一元二次方程的求根公式.（3）在方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a的取值决定什么？b2-4ac的取值呢？两根怎么求？（4）一元二次方程的根与系数有着密切的关系，其实我们已学过的求根公式也反映了根与系数的关系，这种关系比较复杂，是否有更简洁的关系呢？今天我们进一步研究一元二次方程的这种关系.活动2 探究新知1.解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x 1+x 2，x 1·x 2的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？用语言叙述你发现的规律.2.教材第15页 第1个思考. 提出问题：（1）把方程（x-x 1）（x-x 2）=0化为一般形式后的方程是什么？（2）这个方程的二次项系数是多少？一次项系数是多少？常数项是多少？ （3）由此可知，方程x 2-（x 1+x 2）x+x 1x 2=0两个根的和、积与系数有怎样的关系？ 3.教材第15页 第2个思考. 提出问题：（1）如果一元二次方程的二次项系数不为1，根与系数之间又有怎样的关系呢？你能证明你的猜想吗？（2）由求根公式可知一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0），当b 2-4ac ≥0时，两根分别为x 1=242bb ac a，x 2=242bb aca.观察两式右边，分母相同，分子是-b-.两根之间通过什么计算才能得到更简洁的关系？x 1+x 2=__________，x 1x 2=___________.（3）由此你能说出方程的两个根x 1，x 2和系数a ，b ，c 有怎样的关系吗？把方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两边同时除以a ，能否得出该结论？为什么？ 活动3 知识归纳一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个根x 1，x 2和系数a ，b ，c 有如下关系： x 1+x 2=b a ，x 1x 2= ca. 提出问题：（1）方程的根是由什么决定的？（2）在运用根与系数的关系解决具体问题时，是否需要考虑根的判别式Δ=b 2-4ac ≥0呢？为什么？活动4 典例赏析及练习 例1 教材第16页 例4.例2 已知一元二次方程的两个根是-1和2，请你写出一个符合条件的方程.（你有几种方法？）【答案】解：两种.（1）直接利用因式分解法，得（x+1）（x-2）=0；（2）用根与系数关系法求解：∵两根之和为1，两根之积为-2，∴满足条件的方程为ax 2-ax-2a=0（a ≠0）.例3 已知方程2x 2+kx-9=0的一个根是-3，求另一根及k 的值. 变式一：已知方程x 2-2kx-9=0的两根互为相反数，求k ； 变式二：已知方程2x 2-5x+k=0的两根互为倒数，求k. 【答案】解：由两根之积，得-3k=92，解得k=32；（变式一）互为相反数的两根之和为0，得0=2k.解得k=0；（变式二）互为倒数的两根之积为1，得1=2k，解得k=2. 练习：1.教材第16页 练习.2.若x 1，x 2是一元二次方程x 2+x-2=0的两个实数根，则x 1+x 2+x 1x 2= -3 . 3.两根均为负数的一元二次方程是（ C ） A.7x 2-12x+5=0 B.6x 2-13x-5=0 C.4x 2+21x+5=0 D.x 2+15x-8=04.已知关于x 的方程x 2+2x-k=0有两个不相等的实数根.若α，β是这个方程的两个实数根，求1+1的值.【答案】解：由根与系数的关系可知α+β=-2，αβ=-k ，∴1+1=(1)(1)(1)(1)=21=2212kk=2.活动5 课堂小结1.若方程x 2+px+q=0有两个实根x 1，x 2，则x 1+x 2=-p ，x 1x 2=q.2.方程ax2+bx+c=0中，在a≠0，b2-4ac≥0的条件下，两个根x1，x2与系数a，b，c有如下关系：x 1+x2=ba，x1x2=ca.3.运用一元二次方程的根与系数的关系求方程的两根之和，两根之积时要注意：（1）先把方程化为一般形式，明确方程的二次项系数、一次项系数和常数项的值，然后直接代入关系式；（2）确定方程的各项系数时一定要包括符号；（3）只有在一元二次方程有实根数的前提下，才能使用根与系数的关系，如果所给一元二次方程没有实数根，那也就不存在根与系数的关系.四、作业布置与教学反思。
一元二次方程的根与系数关系的教学设计
一元二次方程的根与系数关系的教学设计
教学目标：
（1） 发现一元二次方程的根与系数的关系 （2） 初步掌握一元二次方程的根与系数的关系 （3） 培养观察、、发现问题和解决问题的能力
教学过程：
（一） 创设情境
复习提问：
（1） 解一元二次方程有哪些方法？ （2） 写出一元二次方程的求根公式。
（3） 说出下列一元二次方程的根。
0652=+-x x 0452=+-x x 0232=+-x x 0432=--x x
（二） 提出问题：
这些方程的根与系数有什么关系？ （三） 探究猜测
（1）观察上面四个方程的根与系数
通过观察可以发现，一元二次方程的根的和与积，与一次项系数、常数项之间有如下的关系：两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。
（2）这个结论是否对于所有的一元二次方程都成立？
例如：01432
=+-x x 的两根为
31、1，两根之和为34，两根之积为3
1
，一次项系数为-4，常数项为1 .上面的结论不成立，怎么办？
进一步研究这类二次项系数不为1 的方程：
可以发现，当二次项系数不为1 时，一元二次方程方程的根的和与积与方程各项的系数之部有如下关系：两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数。
（四） 提出假设
一元二次方程的根与系数之间有如下关系：
如果)(02
≠=++a c bx ax 的两个根是x 1,x 2,那么
a b x x -=+21, a
c
x x =⋅⋅21,
(五)推理验证
学生运用一元二次方程求根公式自行证明。
证明过程略 （六）得出结论。
北师大数学九年级上册第二章一元二次方程第3课时根的判别式、根与系数的关系导学教案
-对于判别式的理解，采用直观的图形教学，如抛物线与x轴交点的个数，与判别式的值相对应，帮助学生形象化理解。
-对于根与系数关系的运用，设计不同类型的例题和练习题，如几何问题、实际应用问题等，指导学生逐步学会将问题转化为数学模型，并运用根与系数关系求解。
-采用小组讨论和分享的形式，让学生在交流中互相启发，加深对难点知识的理解。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“根的判别式和根与系数关系在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-判别式的理解：学生可能难以理解判别式的几何意义，以及如何通过判别式快速判断根的情况。需要通过图形展示和实际例题相结合，帮助学生建立起直观的认识。
-根与系数关系的运用：在实际问题中，学生可能不知道如何将问题转化为一元二次方程，并运用根与系数的关系来求解。需要通过典型例题的讲解，指导学生如何识别问题中的关键信息，建立方程模型，并运用根与系数关系解题。
2.增加课堂互动：在讲授新课的过程中，我应该更多地提问，鼓励学生积极参与课堂讨论。通过这种方式，我可以了解学生对知识点的掌握情况，并及时解答他们的疑问。
3.注重培养学生的数学思维：在讲解根与系数的关系时，我应该引导学生通过自己的思考去发现和总结规律，而不仅仅是告诉他们答案。这样可以提高学生的数学思维能力，让他们在解决实际问题时更加得心应手。
4.课后辅导与巩固：针对学生在课堂上掌握不太好的部分，我应该在课后提供更多的辅导和练习，帮助他们克服难点，确保每一个学生都能跟上课程的进度。
一元二次方程的根与系数的关系-人教版九年级数学上册教案
一元二次方程的根与系数的关系——人教版九年级数学上册教案一、教学目标1.了解一元二次方程解的概念和性质，掌握求方程解的方法；2.学会熟练运用求根公式及应用一元二次方程解决实际问题；3.掌握一元二次方程根的数量及其相关系数的关系；4.培养分析、解决实际问题的能力和兴趣。
二、教学重点与难点1.教学重点：掌握一元二次方程根的数量及其相关系数的关系。
2.教学难点：能够运用一元二次方程解决实际问题。
三、教学过程1.复习回顾通过让学生进行口算或板书，回忆一元二次方程的定义和一些基本概念例如：二次项的系数、判别式等。
2.引入新知1.学生通过求解以下方程来感受一元二次方程根的划分：x2−2x+1=0，x2−2x+2=0，x2−2x+3=02.通过口算讨论发现，x2−2x+1=0这个方程有极特殊的一点，即方程的两根重合。
这便引出了一元二次方程解的概念和性质。
3.讨论不同的二次项系数对一元二次方程的根的影响。
4.讲解一元二次方程的解法，介绍求根公式并让学生观察、理解其含义。
3.例题讲解1.练习使用求根公式求解一元二次方程。
2.通过题目的加减乘除，让学生掌握如何将实际问题建立为一元二次方程，运用一元二次方程解决实际问题。
4.拓展练习通过配合精心设计的习题，引导学生总结一元二次方程根的数量和系数的关系。
5.归纳总结1.让学生回想本节课学过的知识点。
2.教师要求学生口头或书面介绍一元二次方程，比如：定义、图像、根的数量等方面的内容。
四、课后作业1.完成课本相关练习和拓展试题。
2.结合生活实际，自编3道一元二次方程及其解决实际问题的例题，写在作业本上。
五、教学反思在本节课的备课过程中，从实际出发，将一元二次方程的解和实际联系起来，让学生能够欣赏数学课程应用的实际面貌，从而激发学生的数学兴趣。
同时，在教学中也要注重实际情况的演示和练习，让学生能够充分接触到不同情境下使用一元二次方程等的运算过程，从而更加灵活地应用数学。
人教数学九年级上册21.2.4：一元二次方程的根与系数关系 教学设计
《一元二次方程的根与系数关系》教学设计教材分析学生已经学习了完一元二次方程求根公式的基础上，对一元二次方程的根与系数之间的关系进行再探究，通过本课进一步的学习，使学生了解一元二次方程两根之和、两根之积与一元二次方程中系数之间的关系．教学目标1.掌握一元二次方程根与系数的关系；2.能运用根与系数的关系解决具体问题.3.在探索一元二次方程根与系数的关系的过程中,体验观察→发现→猜想→验证的思维转化过程，培养学生分析问题和解决问题的能力.教学重难点重点：一元二次方程根与系数的关系及其应用.难点：探索一元二次方程根与系数的关系.课前准备多媒体课件教学过程问题1：（1）一元二次方程的一般形式是什么？（2）一元二次方程有实数根的条件是什么？（3）当Δ>0，Δ＝0，Δ<0时，一元二次方程根的情况如何？（4）一元二次方程的求根公式是什么？[师生活动]教师指导学生回忆知识，学生进行口答，教师指出重点．[答]（1）一元二次方程一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)；（2）当△≥0时，一元二次方程有两个实数根；（3）当△＞0时，一元二次方程有两个不等实根；当△=0时，一元二次方程有两个相等实根；当△＜0时，一元二次方程没有实根；（4）方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为a acbbx24 2-±-=（△≥0）. 【设计意图】通过复习巩固旧知识，并为新知识的学习做铺垫。
问题2：请完成下面的表格观察、思考表格中方程两根之和与两根之积与系数有何关系，你能从中发现什么规律？你有什么发现？【设计意图】学生通过计算、观察、分析，发现一元二次方程中根与系数的关系，发展学生的感性认识，体会由特殊到一般的认识过程。
问题3：（1）填写上表后思考：①运用你所发现的规律，你能解答下列问题吗？已知方程x 2-4x-7=0的根为x 1,x 2，则x 1+x 2= , x 1·x 2= ; 已知方程x 2+3x-5=0的两根为x 1,x 2，则x 1+x 2= , x 1·x 2= .已知方程2x 2－3x －2＝0的两根分别是x 1和x 2，则x 1+x 2= , x 1·x 2= . [答案]4，-7；-3，-5；23，-1. ②如果方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1,x 2,你知道x 1+x 2和x 1·x 2与方程系数之间的关系吗？ [回答]若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的两个根分别为x 1和x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a .③如何证明以上发现的规律呢？[论证结论]教师与学生共同整理证明过程： 证明：当Δ>0时，由求根公式得x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac2a，所以x 1＋x 2＝－b ＋b 2－4ac 2a ＋－b －b 2－4ac 2a ＝－2b 2a ＝－ba ，x 1x 2＝－b ＋b 2－4ac 2a ·－b －b 2－4ac 2a ＝（－b ）2－（b 2－4ac ）4a 2＝ca ； 当Δ＝0时，x 1＝x 2＝－b2a .所以x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca.[归纳并板书]根与系数关系：若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的两个根分别为x 1和x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca.[文字表达]一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.【设计意图】 ①进一步分析、验证所发现的根与系数的关系，为从感性到理性打好基础．②通过设置问题2使学生明确利用一元二次方程根与系数的关系进行计算需要满足Δ≥0.问题4：例1 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两个根x 1，x 2的和与积．(1)x 2－6x －15＝0；(2)3x 2＋7x －9＝0；(3)5x －1＝4x 2. [师生活动]学生自主进行解答，教师做好评价和总结．[注意]把一元二次方程整理为一般形式，确定a ，b ，c 的值，比较b 2－4ac 与0的大小，然后利用根与系数的关系代入求值．[解]（1）x 1+x 2=6，x 1·x 2=-15； （2）x 1+x 2=37-，x 1·x 2=39-； （3）方程化为4x 2-5x+1=0，∴x 1+x 2=45，x 1·x 2=41. 变式练习1 已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－4x ＋1＝0的两个实数根，则x 1x 2等于(C )A ．－4B ．－1C ．1D ．4变式练习2 若x 1，x 2为方程x 2－2x －1＝0的两个实数根，求x 1＋x 2－x 1x 2的值． [解]由根与系数关系得，x 1+x 2=2，x 1·x 2=-1， ∴x 1＋x 2－x 1x 2=2-（-1）=3.【设计意图】问题的设置是针对本课时的重点所学进行及时巩固，也是培养学生计算能力和熟记公式的关键。
一元二次方程根与系数的关系—教学设计及点评
《一元二次方程的根与系数的关系》教学设计教学内容分析本节课的内容是人教版版九年级数学上册第二十一章一元二次方程中的选学内容。
它是学习了一元二次方程的解法和根的判别式之后的又一重点知识，它完美地揭示了一元二次方程的两根与系数之间的关系。
教材通过复习一元二次方程a x2+b x+c=0(a≠0)的求根公式得出一元二次方程根与系数的关系，通过例题巩固练习根与系数的关系并用根与系数的关系解决一些计算的知识。
学生情况分析在本章前面几节中，学生已学习了用多种方法解一元二次方程，熟悉求根公式。
本课的教学对象是初中三年级学生，学生对事物的认识多是直观、形象的。
他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征，对于具体问题归纳总结得到的一些结论，他们有一定的推理欲望和基础，但更关注应用，对所得结论的逆命题缺乏主动思考。
教学目标1、知识目标：要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根巧妙地求出另一个根与未知数，会用一元二次方程根与系数的关系简化一些计算问题。
2、能力目标：通过探索一元二次方程根与系数的关系的教学过程，使学生经历观察、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生体验、思考和表达的能力。
3、情感目标：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。
体验数学活动中充满着探索与创造，体验数学活动中的成功感，建立自信心。
四点突破【兴趣点】通过具体方程中计算两根和、两根积并发现它们与系数的关系，猜想是否有根的方程中两根和、两根积都满足这样的关系？这样的关系对我们的学习有什么作用？从而激发学生对两根和、两根积的进一步探究和应用有了兴趣。
【重点】重点：一元二次方程根与系数的关系以及应用。
【难点】难点：让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述和正确推理；以及根据一元二次方程根与系数的关系求两根的平方和；在用一元二次方程根与系数的关系解决不等式问题时，学生往往忽略已知方程有根的前提条件。
21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 教案
人教版数学九年级上第四课时教学设计课题21.2.4解一元二次方程单元第二十一章学科数学年级九年级上学习目标情感态度和价值观目标培养学生观察，分析和综合，判断的能力，激发学生发现规律的积极性，激励学生勇于探索的精神。
能力目标学生经历探索、尝试发现一元二次方程根与系数的关系，感受不完全归纳验证以及演绎证明。
知识目标 1.了解一元二次方程根与系数的关系，能进行简单应用；2.在一元二次方程根与系数关系的探究过程中，感受由特殊到一般地认识事物的规律。
重点一元二次方程根与系数关系的探索及简单应用。
难点发现一元二次方程根与系数的关系。
学法探究学习、合作交流法教法启发引导、归纳推理教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课一、复习引入1. 一元二次方程的求根公式是什么？2. 方程的两根x1，x2与系数a，b，c还有其他关系吗？一元二次方程的求根公式：求根公式不仅表示可以由方程的系数a，b，c决定根的值，而且反应了根与系数之间的关系。
出示问题，引出课题学生初步了解本课所要研究的问题。
通过温故知新，创设问题情境，激发学生好奇心，求知欲。
讲授新课二、探究新知1.填表、观察、猜想启发：猜想二次项系数为1时，根与系数的关系. 学生通过去括号、合并得到一般形式的一元通过思考问题，让学生知道二次项系问题：（1）用语言叙述你发现的规律；（2）x2+px+q=0的两根x1，x2用式子表示你发现的规律。
跟踪练习：根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积：x2-6x-15=02.启发：如果方程二次项系数不为1呢？表2:填表、观察、猜想问题：上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律：（1）用语言叙述你发现的规律；（2）ax2+bx+c=0的两根x1，x2用式子表示你发现的规律。
跟踪练习：根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积：(1)3x2+7x-9=0 (2)5x-1=4x23.总结归纳：一元二次方程的根与系数的关系：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比。
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课题：一元二次方程根与系数的关系
教学目标1．知识与技能
（1）能够理解一元二次方程根与系数的关系。
．
（2）能够应用一元二次方程根与系数的关系解决生活中的问题。
2．过程与方法
先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行一元二次方程的计算
3．情感、态度与价值观
通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索一元二次方程的重要结论，发展学生观察、分析、发现问题的能力．
教学重难点教学重点：能够理解一元二次方程根与系数的关系。
教学难点：能够应用一元二次方程根与系数的关系解决生活中的问题。
教学过程
一、课前回顾（2分钟）学生与老师共同回顾上节课所学内容，温故而知
新。
列方程解应用题的一般步骤
(1)审题：通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系．
(2)设元：就是设未知数，分直接设与间接设，应根据实际需要恰当选取设元法．
(3)列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系．列方程这一环节最重要，决定着能否顺利解决实际问题．
(4)解方程：正确求出方程的解并注意检验其合理性．
(5)作答：即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语．
1.一元二次方程的一般形式是什么？
)0
(0
2≠
=
+
+a
c
bx
ax
2.的根的判别式是什么
24
b ac
∆=-
3.一元二次方程的求根公式是什么？
)
4
(
2
4
2
2
≥
-
-
±
-
=ac
b
a
ac
b
b
x
4.一元二次方程的根的情况怎样确定？
一、情境引入（3分钟） 由生活中的实例引入投影的概念，引起学生的学习兴趣
如果一元二次方程
)0(02≠=++a c bx ax
的两个根分别是 1x 、2x ，那么，你可以发现什么结论？
两根之和等于一次项系数除以二次项系数的商的相反数,两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
二、探究1（10分钟）
如果一元二次方程
)0(02≠=++a c bx ax
的两个根分别是 1x 、2x ，
a b
x x -
=+21
a c x x =
•21 能用这个结论的前提条件为△≥0
这种关系是这几个方程所特有的还是对于任意的一元二次方程都适合的呢？我们来证明一下
20(0)ax bx c a ++=≠中
221244,22b b ac b b ac
x x a a
-+----==
12
x x ∴+
224422b b ac b b ac a a
-+----=+
22442b b ac b b ac
a
-+----=
22b a -=
b a =- a
ac
b b a a
c b b x x 24242221---⨯
-+
-=
⋅
()22244a ac b b --=
2
44a ac = a
c
=
练习1：
利用根与系数的关系求方程的两根的和与积
典题精讲
分析：求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之
和，两根之积的形式，再整体代入．
()()()3735571122579532572∵15
3,572
12
1
212
2
12
21222
1
2121-=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛
-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+=+-=⨯=
+x x x x x x x x x x x x
x x x x
几种常见的求值:
0143这个一元二次方程是,1解得,3
1
13134
解得,34
)131(3
2=+-∴
==⨯=-=-=+-=x x c c
b b
学以致用：
达标测试（5
分钟）
课堂测试，检
验学习结果
1、说出下列各方程的两根之和与两根之积：
2、已知方程x m x m
2210
-++=
()
的两根之和与两根之积相等，那么m的
值为（B ）
A.1
B.-1
C. 2
D. -2
3、方程220
2
x ax b
-+=的两根和为4，积为
-3，则a= 8 ，b= —3 。
4、设x1，x2是方程2x2－9x＋6＝0的两个根，求下列各式的值：
分析：利用根与系数的关系求有关代数式的值的一般方法是：(1)利用根与系数的关系求x1＋x2，x1x2的值；(2)将所求的代数式变形转化为用含x1＋x2，x1x2的代数式表示；(3)将x1＋x2，x1x2的值整体代入求出待求式的值．
应用提高（5分钟）
能力提升，学有余力的同学可以仔细
研究已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,求它的另一个根及k的值.（用两种方法解答）
已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,求它的另一个根及k的值。
（用两种方法解答）
体验收获1、一元二次方程根与系数的关系。
布置作业教材48页习题第1、2题。