1993年考研数学三真题及全面解析
1993年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)(1) 2352limsin 53x x x x→∞+=+ .(2) 已知()232,arctan ,32x y f f x x x -⎛⎫'==⎪+⎝⎭则0x dy dx == .(3) 级数0(ln 3)2nnn ∞=∑的和为 . (4) 设4阶方阵A 的秩为2,则其伴随矩阵*A 的秩为 .(5) 设总体X 的方差为1,根据来自X 的容量为100的简单随机样本,测得样本均值为5,则X 的数学期望的置信度近似等于0.95的置信区间为 .二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设()f x=21,0,0,0,x xx ≠⎪=⎩则()f x 在点0x =处 ( ) (A) 极限不存在 (B) 极限存在但不连续(C) 连续但不可导 (D) 可导 (2) 设()f x 为连续函数,且()()ln 1,xxF x f t dt =⎰则()F x '等于 ( )(A)()2111ln f x f x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ (B) ()11ln f x f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ (C)()2111ln f x f x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭(D) ()1ln f x f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3) n 阶方阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的 ( )(A) 充分必要条件 (B) 充分而非必要条件 (C) 必要而非充分条件 (D) 既非充分也非必要条件 (4) 假设事件A 和B 满足()1P B A =,则 ( )(A) A 是必然事件 (B) ()0P B A =. (C) A B ⊃ (D) A B ⊂(5) 设随机变量X 的密度函数为()x ϕ,且()()x x ϕϕ-=.()F x 是X 的分布函数,则对任意实数a ,有 ( ) (A) 0()1()aF a x dx ϕ-=-⎰. (B) 01()()2aF a x dx ϕ-=-⎰ (C) ()()F a F a -= (D) ()2()1F a F a -=-三、(本题满分5分)设()z f x,y =是由方程0z y xz y x xe ----+=所确定的二元函数,求dz .四、(本题满分7分)已知22lim 4xxa x x a x e dx x a +∞-→∞-⎛⎫= ⎪+⎝⎭⎰,求常数a 的值.五、(本题满分9分)设某产品的成本函数为2,C aq bq c =++需求函数为1(),q d p e=-其中C 为成本,q 为需求量(即产量),p 为单价,,,,,a b c d e 都是正的常数,且d b >,求:(1) 利润最大时的产量及最大利润; (2) 需求对价格的弹性;(3) 需求对价格弹性的绝对值为1时的产量.六、(本题满分8分)假设:(1) 函数()(0)y f x x =≤<+∞满足条件(0)0f =和0()1xf x e ≤≤-; (2) 平行于y 轴的动直线MN 与曲线()y f x =和1xy e =-分别相交于点1P 和2P ; (3) 曲线()y f x =,直线MN 与x 轴所围封闭图形的面积S 恒等于线段12P P 的长度. 求函数()y f x =的表达式.七、(本题满分6分)假设函数()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导,过点(0,(0))A f 与(1,(1))B f 的直线与曲线()y f x =相交于点(,())C c f c ,其中01c <<.证明:在(0,1)内至少存在一点ξ,使()0f ξ''=.八、(本题满分10分)k 为何值时,线性方程组12321231234,,24x x kx x kx x k x x x ++=⎧⎪-++=⎨⎪-+=-⎩ 有惟一解,无解,有无穷多组解?在有解情况下,求出其全部解.九、(本题满分9分)设二次型222123122313222f x x x x x x x x x αβ=+++++经正交变换X PY =化成22232f y y =+,其中123(,,)T X x x x =和123(,,)TY y y y =是三维列向量, P 是3阶正交矩阵.试求常数,αβ.十、(本题满分8分)设随机变量X 和Y 同分布, X 的概率密度为23,02,()80,.x x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他 (1) 已知事件{}A X a =>和{}B Y a =>独立,且()34P A B .=求常数a.(2) 求21X 的数学期望.十一、(本题满分8分)假设一大型设备在任何长为t 的时间内发生故障的次数()N t 服从参数为t λ的泊松分布.(1) 求相继两次故障之间时间间隔T 的概率分布；(2) 求在设备已经无故障工作8小时的情形下,再无故障运行8小时的概率Q .1993年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】65【解析】 2222sin35235limsin 2lim lim25353x x x x x x x xx x x→∞→∞→∞++=⋅++,极限 02sinsin lim lim 12x t t x tx→∞→==, 而 223563lim lim 53105x x x x x x x →∞→∞+=+洛, 所以 235236limsin 215355x x x x →∞+=⋅⋅=+. (2)【答案】34π 【解析】令()3232x g x ,x -=+则有()01g ,=- ()()21232g x x '=+,则 ()03g ,'= 由复合函数求导法则知()()()()0300313arctan1.4x dy f g g f dxπ='''==-==(3)【答案】22ln 3-【解析】利用几何级数求和公式1(1),1n n x x x ∞==<-∑令ln 32x =,即得 0(ln 3)12.ln 322ln 312n nn ∞===--∑ (4)【答案】0【解析】本题考查伴随矩阵的定义及矩阵的秩的定义.由于()2r A =,说明A 中3阶子式全为0,于是A 的代数余子式0ij A ,≡故0*A =.所以秩 ()0*r A .=若熟悉伴随矩阵*A 秩的关系式()()()() 1101*n,r A n,r A ,r A n ,,r A n ,=⎧⎪==-⎨⎪<-⎩易知 ()0*r A .= 注：按定义112111222212n n *nnnn A A A A A A A ,A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦伴随矩阵是n 阶矩阵,它的元素是行列式A 的代数余子式,是1n -阶子式. (5)【答案】(4.804,5.196)【解析】此题是求一个一般总体、大样本、方差已知的关于期望值μ的置信区间,可以用正态总体的区间估计公式近似求其置信区间.因X 的方差为1σ=,设X 的期望为μ,则(0,1)X U N .当置信度为10.95α-=,时0.05α=,有正态分布表知0.02521.96u u α==.因此用公式：22(,)I x x αα=-+.将25,1,100, 1.96x n u ασ====代入上式,得到所求的置信区间为(4.804,5.196)I =.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(C)【解析】利用函数连续定义判定.由于当0x →时,21sinx为有界变量,则 ()21lim 0x x f x x →→==,且()00f .= 于是()f x 在0x =处连续.故(A)(B)不正确.又因为()2220001101lim lim lim 0x x x f x x x x x +++→→→-==-不存在,所以()f x 在0x =处不可导,所以选(C).【相关知识点】函数连续定义：如果函数在0x 处连续,则有000lim ()lim ()()x x x x f x f x f x →+→-==.(2)【答案】(A)【解析】 ()()()22ln 11111ln .f x F x f x f f xx x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=--=+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【相关知识点】积分上限函数的求导公式：()()()()()()()()()x x d f t dt f x x f x x dx βαββαα''=-⎰.(3)【答案】(B)【解析】A A Λ⇔有n 个线性无关的特征向量.由于当特征值12λλ≠时,特征向量12,αα线性无关.从而知,当A 有n 个不同特征值时,矩阵A 有n 个线性无关的特征向量,那么矩阵A 可以相似对角化.因为当A 的特征值有重根时,矩阵A 仍有可能相似对角化(当特征根的代数重数等于其几何重数的时候),所以特征值不同仅是能相似对角化的充分条件,故应选(B). (4)【答案】(D)【解析】()1P B A =的充分必要条件是()1()P AB P A =,即()()P AB P A =.显然四个选项中,当A B ⊂时,AB A =,可得()()P AB P A =.因此A B ⊂是()1P B A =的充分条件.因此选(D).(5)【答案】(B)【解析】题目即考查概率论方面的知识,在计算过程中又用到定积分的一些知识. 由积分的性质,换元积分,并改变积分上下限有()()()(),x taa aF a x dx t dt x dx ϕϕϕ=--+∞-∞+∞-==-=⎰⎰⎰随机变量X 的密度函数为()x ϕ,则()1x dx ϕ+∞-∞=⎰,又由于()()x x ϕϕ-=,所以01()()2x dx x dx ϕϕ+∞-∞==⎰⎰,(偶函数积分的性质)即1()()()()2aaaax dx x dx x dx x dx ϕϕϕϕ-+∞-∞-+=+=⎰⎰⎰⎰.于是 0001()()()()()()2aaaaF a x dx x dx x dx x dx x dx ϕϕϕϕϕ-+∞+∞-∞-===-=-⎰⎰⎰⎰⎰.故应选(B).三、(本题满分5分)【解析】方法一：利用一阶微分形式的不变性,将方程两端微分,得()0z y x z y x dz dy dx e dx xe dz dy dx .------++--=整理后得 ()()()111z y xz y xz y x z y x xedz xee dx xe dy.--------+=+-++由此,得11z y x z y xz y xxe e dz dx dy xe ------+-=++. 方法二：应先求出函数对,x y 的偏导数,将0z y xz y x xe----+=两边分别对,x y 求偏导,()()110110z y x z y xxx z y x yy z e xe z ,z xe z ,------''-++-=''-+-=解之得 ()111z y xx z y xx e z xe ----+-'=+, 1y z '=.故 ()111z y x x y z y xx e dz z dx z dy dx dy xe----+-''=+=++.四、(本题满分7分) 【解析】 2222lim lim 1lim 1x a ax x xa x a x x x x a a a x a x a x a +⎛⎫⎛⎫-⋅- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭→∞→∞→∞-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭,令2at x a-=+,则当x →∞时,0t →, ()1202lim 1lim 1x a a tx t a t e x a +⎛⎫- ⎪⎝⎭→∞→⎛⎫-=+= ⎪+⎝⎭,所以 22lim 222lim 1x x a ax ax a x a a x a x a ee x a →∞+⎛⎫⎛⎫-⋅-⎛⎫ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎪-+⎝⎭→∞⎛⎫-== ⎪+⎝⎭.而22222224224x x x xaaaa x e dx x de x e xe dx +∞+∞+∞+∞----⎡⎤=-=-+⎣⎦⎰⎰⎰ ()22222lim 222ba x ab b e a e xde +∞---→+∞=-+-⎰2222222axx aaa exe e dx +∞+∞---⎡⎤=+-+⎣⎦⎰2222222lim 22lim ab a b ab b a ebe ae e e -----→+∞→+∞⎡⎤⎡⎤=+-++-+⎣⎦⎣⎦ 222222aa a a e ae e ---=++,由2222222aa a a ea e ae e ,----=++得20a a +=,所以0a =或1a .=五、(本题满分9分) 【解析】(1) 利润函数为22()()()()L pq C d eq q aq bq c d b q e a q c =-=--++=--+-,对q 求导,并令0dL dq =,得()2()0dL d b e a q dq =--+=,得2()d b qe a -=+. 因为222()0,d L e a dq =-+<所以,当2()d b qe a -=+时为利润函数的极大值点,根据题意也是利润的最大值点,所以2max()4()d b L ce a -=-+. (2) 因为1()()q p d p e =-,所以1()q p e'=-,故需求对价格的弹性为p eq d q q eq η-'==. (3) 由1,η=得2dq e=.六、(本题满分8分)【解析】由题设可得示意图如右.设12(,()),(,1)xP x f x P x e -,则12S PP =,即()1()xx f t dt e f x =--⎰.两端求导,得()()xf x e f x '=-,即()()xf x f x e '+=. 由一阶线性非齐次微分方程求解公式,得()()()(())p x dx p x dx f x e q x e dx C -⎰⎰=+⎰()dx dx x e e e dx C -⎰⎰=+⎰1().2x x x x x e e dx C e Ce e --=+=+⎰由初始条件(0)0f =,得12C =-.因此,所求函数为1()()2x xf x e e -=-.【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的通解公式为:()()(())p x dx p x dxy e q x e dx C -⎰⎰=+⎰,其中C 为常数.七、(本题满分6分)【解析】因为()f x 分别在[0,]c 和[,1]c 上满足拉格朗日中值定理的条件,故存在12(0,),(,1)c c ξξ∈∈,使得12()(0)(1)()(),(),01f c f f f c f f c cξξ--''==--由于点C 在弦AB 上,故有()(0)(1)()(1)(0)(1)(0),0110f c f f f c f f f f c c ---===----从而 12()()(1)(0).f f f f ξξ''==-这表明()f x '在区间12[,]ξξ上满足罗尔定理的条件,于是存在12(,)ξξξ∈(0,1)⊂,使得()0f ξ''=.八、(本题满分10分)【解析】对方程组的增广矩阵作初等行变换,第一行和第三行互换,再第一行分别乘以()1、()1-加到第二行和第三行上,再第二行和第三行互换,再第二行乘以12k -⎛⎫⎪⎝⎭加到第三行上,有 22114112411111124114k A k k k k k --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦22112411240134022802280134k k k k k k ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→--→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦11240228(1)(4)00(4)2k k k k k ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥+--⎢⎥⎣⎦.(1)当1k ≠-且4k ≠时,()()3r A r A ==,方程组有唯一解,即221232242,,.111k k k k k x x x k k k +++-===+++(2)当1k =-时, ()3,()2r A r A ==方程组无解.(3)当4k =时,有112410300228011400000000A --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 因为()()23r A r A ==<,方程组有无穷多解. 取3x 为自由变量,得方程组的特解为(0,4,0)Tα=.又导出组的基础解系为(3,1,1)Tη=--,所以方程组的通解为k αη+,其中k 为任意常数. 【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵()A A b =的秩,即()()r A r A =.(或者说,b 可由A 的列向量12,,,n ααα线表出,亦等同于12,,,n ααα与12,,,,n b ααα是等价向量组)设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =,则（1） 有唯一解 ⇔ ()().r A r A n == （2） 有无穷多解 ⇔ ()().r A r A n =< （3） 无解 ⇔ ()1().r A r A +=⇔ b 不能由A 的列向量12,,,n ααα线表出.九、(本题满分9分)【解析】经正交变换二次型f 的矩阵分别为1101,1112A B ααββ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.由于P 是正交矩阵,有1P AP B -=,即知矩阵A 的特征值是0,1,2.那么有2220,0.20.A E A αβαβαβαβ⎧=--=⎪⇒==⎨-=-=⎪⎩【相关知识点】二次型的定义：含有n 个变量12,,,n x x x 的二次齐次多项式(即每项都是二次的多项式)()1211,,,,n nn ij i j i j f x x x a x x ===∑∑其中ij ji a a =,称为n 元二次型,令()12,,,Tn x x x x =,()ij A a =,则二次型可用矩阵乘法表示为()12,,,,T n f x x x x Ax =其中A 是对称矩阵()TA A =,称A 为二次型()12,,,n f x x x 的矩阵.十、(本题满分8分)【解析】(1)依题意,因为随机变量X 和Y 同分布,则()()()()P A P X a P Y a P B =>=>=,又事件{}{}A X a B Y a =>=>和独立,故()()()P AB P A P B =.估计广义加法公式：()()()()()()()2324P A B P A P B P A P B P A P A .=+-=-=⎡⎤⎣⎦ 解以()P A 为未知量的方程 ()()23204P A P A .-+=⎡⎤⎣⎦得1()2P A =,(因3()2P A =不合题意).再依题设条件可知223131(){}()(8)288a a P A P X a f x dx x dx a +∞==>===-⎰⎰.再解以a 为未知量的方程:384a -=,得a =(2) 直接根据公式可求得随机变量函数的数学期望:()222202220011133338884E f x dx x dx dx x .X x x +∞-∞⎛⎫==⋅=== ⎪⎝⎭⎰⎰⎰十一、(本题满分8分)【解析】本题的关键在于理解随机变量()N t 的意义,事件(){}N t k =表示设备在任何长为t的时间内发生k 次故障,其概率为()(){}(0,1,2)!k t t P N t k e k k λλ-===. 由于T 表示相继两次故障之间时间间隔,故当0t <时,(){}0;F t P T t =≤=当0t ≥时,事件{}T t >与{}T t ≤是互逆事件,并且{}T t >表示在长为t 的时间内没有发生故障,它等价于事件()0N t =.(1)易见T 是只取非负值的连续型随机变量.当0t <时,(){}0;F t P T t =≤=当0t ≥时,事件{}T t >与(){}0N t =等价.于是有 (){}{}(){}1101t F t P T t P T t P N t e .λ-=≤=->=-==-因此 ()1,00,t e t F t t λ-⎧- ≥=⎨ <0⎩. 计算得知T 服从参数为λ的指数分布.(2)由于指数分布具有“无记忆性”,因此{}{}{}8816|88181(8)1(1)Q P T T P T P T F e e λλ--=≥≥=≥=-<=-=--=.。
(详细解析)1993年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案全国(三南试题)(理科)
1993年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京、湖北、湖南、云南、海南、贵州等省市用）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至9页，共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共68分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．一、选择题：本大题共17小题；每小题4分，共68分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．函数()sin cos f x x x =+的最小正周期是A ．2πB ．π22C ．πD ．4π 【答案】A【解析】()sin cos )4f x x x x π=+=+，所以周期221T ππ==．2．如果双曲线的焦距为6，两条准线间的距离为4，那么该双曲线的离心率为 A ．23B ．23C ．26D ．2【答案】C【解析】由题设23,2a cc ==，解得a =2c e a ===．3．和直线3450x y -+=关于x 轴对称的直线的方程为A ．3450x y +-=B ．3450x y ++=C ．3450x y -+-=D ．3450x y -++=【答案】B 【解析】设出所求对称直线上的点的坐标，求出关于x 轴的对称点坐标，代入已知直线方程，即可．设所求对称直线的点的坐标(,)x y ，关于x 轴的对称点的坐标(,)x y -在已知的直线上，所以所求对称直线方程为：3450x y ++=．点评：本题是基础题，考查直线关于直线的对称直线方程的求法，考查计算能力，常考题型，注意特殊直线为对称轴的情况，化简解题过程．4．极坐标方程θρcos 534-=所表示的曲线是A ．焦点到准线距离为54的椭圆B ．焦点到准线距离为54的双曲线右支C ．焦点到准线距离为34的椭圆D ．焦点到准线距离为34的双曲线右支【答案】B【解析】443535cos 1cos 3ρθθ==--，而1cos ep e ρθ=-，所以54,35e p ==．5．53x y =在[1,1]-上是A ．增函数且是奇函数B ．增函数且是偶函数C ．减函数且是奇函数D ．减函数且是偶函数 【答案】A【解析】35y x ==A 正确．6．5215lim 22+--∞→n n n n 的值为A ．51-B ．25- C ．51 D ．25 【答案】D【解析】222215515lim lim 152522n n n n n n n n→∞→∞--==-+-+．7．集合{|}{|}2442k k M x x k Z N x x k Z ππππ==+∈==+∈,,,，则 A ．M N = B ．N M ⊃ C ．N M ⊂ D ．M N =∅【答案】C【解析】由于212{|,},{|,}44k k M x x k Z N x x k Z ππ++==∈==∈，21k +可以取所有的奇数，而2k +可以取所有的整数，所以N M ⊂．8．sin 20cos70sin10sin50︒︒+︒︒的值是 A ．41 B ．23 C ．21D ．43【答案】A【解析】1sin 20cos70sin10sin 50[sin(2070)sin(2070)]2︒︒+︒︒=︒+︒+︒-︒ 111[cos(1050)cos(1050)](sin 90sin 50)(cos60cos 40)222-︒+︒-︒-︒=︒-︒-︒-︒ 1111(1sin 50)(sin 50)2224=-︒--︒=．9．参数方程cos sin 221(1sin )2x y θθθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ ()πθ20<<表示A ．双曲线的一支，这支过点1(1,)2 B ．抛物线的一部分，这部分过1(1,)2C ．双曲线的一支，这支过点1(1,)2-D ．抛物线的一部分，这部分过1(1,)2- 【答案】B【解析】由题设可知cossin,[0,222x x θθ=+∈，且21sin x θ=+，则2sin 1x θ=-，所以2211(11),22y x x x =+-=∈，显然参数方程表示抛物线的一部分，这部分过1(1,)2．10．（同全国1理科10）若,a b 是任意实数，且a b >，则A ．22a b > B ．1<a b C ．lg()0a b -> D ．ba ⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛212111．（同全国1理科11）一动圆与两圆221x y +=和228120x y x +-+=都外切，则动圆圆心轨迹为A ．圆B 椭圆．C ．双曲线的一支D ．抛物线12．（同全国1理科12）圆柱轴截面的周长l 为定值，那么圆柱体积的最大值是 A ．3()6l π B ．31()92l π C ．3()4lπ D ．32()4l π13．451)(1)x -展开式中4x 的系数为A ．40-B ．10C ．40D ．45 【答案】D【解析】41)中02,,x x x 的系数分别为420444,,C C C ，在5(1)x -中对应的432,,x x x 123555,,C C C --，则展开式中4x 的系数为412203454545()()45C C C C C C -++-=．14．直角梯形的一个内角为45︒，下底长为上底长的23，这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的全面积为(5π+，则旋转体的体积为A ．2πB ．43+ C ．53+ D ．π37【答案】D【解析】旋转体是一个圆柱与一个圆锥的简单组合体．这个几何体的面积是一个圆（以直角梯形的高为半径）+一个长方形（圆柱的侧面展开）+一个扇形的面积（圆锥的侧面）．设直角梯形的上底长为x ，则下底为32x ，由题设可得直角梯形的高3122h x x x =-=，x ，全面积为2111()(2)222x x x x πππ+⨯⨯+⨯25(24x x π⨯=，即2(5x ππ=+，2x =． 旋转体的体积为322111177()()2322243x x x x x πππ⨯+⨯==．15．已知128,,...,a a a 为各项都大于零的等比数列，公式1q ≠，则 A ．1845a a a a +>+ B ．1845a a a a +<+C ．1845a a a a +=+D ．18a a +和45a a +的大小关系不能由已知条件确定 【答案】A【解析】题目要求比较18a a +和45a a +的大小．由于73434184511111()()(1)(1)a a a a a a q a q a q a q q +-+=+-+=--，又10a >，且1q ≠，所以3(1)q -与4(1)q -同号，所以1845()0a a a a +-+>，即1845a a a a +>+．16．设有如下三个命题：甲：相交两直线,l m 都在平面α内，并且都不在平面β内． 乙：,l m 之中至少有一条与β相交． 丙：α与β相交． 当甲成立时A ．乙是丙的充分而不必要的条件B ．乙是丙的必要而不充分的条件C ．乙是丙的充分且必要的条件D ．乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件 【答案】C【解析】分析：判断乙是丙的什么条件，即看乙=>丙、丙=>乙是否成立．当乙成立时，即“,l m 之中至少有一条与β相交”，则平面α与β至少有一个公共点，故α与β相交；反之丙成立时，即“α与β相交”，则,l m 之中至少有一条与β相交，故乙成立．故选C ．点评：本题考查空间两条直线、两个平面的位置关系判断、充要条件的判断，考查逻辑推理能力．17．将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有A ．6种B ．9种C ．11种D ．23种 【答案】B【解析】分三类：第一格填2，则第二格有13A ，第三、四格自动对号入座，不能自由排列；第一格填3，则第三格有13A ，第一、四格自动对号入座，不能自由排列；第一格填4，则第撕格有13A ，第二、三格自动对号入座，不能自由排列；共计有1339A =．第Ⅱ卷（非选择题共82分）注意事项：1．第Ⅱ卷6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中，不要在答题卡上填涂． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共6小题；每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．18．11sin(arccosarccos )23+= ． 【答案】6322+ 【解析】设11arccos,arccos 23αβ==，则11cos ,cos 23αβ==，有sin αβ==，所以11sin(arccos arccos )sin()23αβ+=+=．19．若双曲线2222194x y k k-=与圆221x y +=没有公共点，则实数k 的取值范围为 ．【答案】13k k ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭|【解析】双曲线的焦点在x 上，顶点坐标为(3,0)k ±，圆的圆心坐标为在原点，半径为1，由题设可知31k >，所以13k k ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭|．20．从1,2,...,10这十个数中取出四个数，使它们的和为奇数，共有 种取法（用 数字作答）．【答案】100【解析】根据题意，将这10个数分为奇数与偶数两个组，每组各5个数；若取出的四个数的和为奇数，则取出的四个数必有1个或3个奇数．若有1个奇数时，有135550C C =种取法，若有3个奇数时，有135550C C =种取法，故符合题意的取法共100种取法．21．（同全国1理科23）设1()42xx f x +=+，则1(0)f-= ．22．（同全国1理科24）建造一个容积为38m ，深为2m 的长方体无盖水池．如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为 元．23．如图，ABCD 是正方形，E 是AB 的中点，如将DAE ∆和CBE ∆分别沿虚线DE 和CE 折起，使AE 与BE 重合，记A 与B 重合后的点为P ，则面PCD 与面ECD 所成的二面角为 度．【答案】30【解析】不妨设正方形的边长为2，取CD 的中点M ，连接,PM EM ，∵PD PC =，∴PM CD ⊥，∵ED EC =，∴EM CD ⊥．故PME ∠即为面PCD 与面ECD 所成二面角的平面角．在PME ∆中：1,2PE PM EM ===，2223cos 22PM EM PE PME PM EM +-∠==⋅ ∴30PME ∠=︒，故答案为30．三、解答题：本大题共5小题；共58分．解题应写出文字说明、演算步骤．24．（本小题满分10分）已知1()log (0,1)1axf x a a x+=>≠-． （Ⅰ）求()f x 的定义域；（Ⅱ）判断()f x 的奇偶性并予以证明； （Ⅲ）求使()0f x >的x 取值范围．【解】本小题考查函数的奇偶性、对数函数的性质、不等式的性质和解法等基本知识及运算能力．满分12分． （Ⅰ）由对数函数的定义知011>-+xx． ——1分 如果⎩⎨⎧>->+0101x x ，则11x -<<；如果⎩⎨⎧<-<+0101x x ，则不等式组无解． ——4分故()f x 的定义域为(1,1)-． （Ⅱ）∵()()x f xxx x x f a a-=-+-=+-=-11log 11log ， ∴()f x 为奇函数． ——6分 （Ⅲ）（ⅰ）对1a >，1log 01ax x +>-等价于111>-+xx， ① 而从（Ⅰ）知10x ->，故①等价于11x x +>-，又等价于0x >． 故对1a >，当(0,1)x ∈时有()0f x >． ——9分 （ⅱ）对01a <<，1log 01ax x +>-等价于1011xx+<<-． ②而从（Ⅰ）知10x ->，故②等价于10x -<<．故对01a <<，当(1,0)x ∈-时有()0f x >． ——12分25．（同全国1文科26，分值不同）（本小题满分12分）已知数列()()2222228182813352121nn n ⋅⋅⋅⋅-+，，，，．n S 为其前n 项和．计算得189S =， 234244880254981S S S ===,,． 观察上述结果，推测出计算n S 的公式，并用数学归纳法加以证明． 【解】本小题考查观察、分析、归纳的能力和数学归纳法．22(21)1()(21)n n S n N n +-=∈+． （4分） 证明如下：（Ⅰ）当1n =时，21231839S -==，等式成立． （6分） （Ⅱ）设当n k =时等式成立，即22(21)1(21)k k S k +-=+． （7分） 则21222228(1)(21)18(1)(21)(23)(21)(21)(23)k k k k k S S k k k k k +++-+=+=++++++222222222[(21)1](23)8(1)(21)(23)(23)8(1)(21)(23)(21)(23)k k k k k k k k k k k +-+++++-+++==++++2222222(21)(23)(21)(23)1(21)(23)(23)k k k k k k k ++-++-==+++． 由此可知，当1n k =+时等式也成立． （9分）根据（Ⅰ）、（Ⅱ）可知，等式对任何n N ∈都成立． （12分）26．（本小题满分12分）已知：平面α平面β=直线a ．,αβ同垂直于平面γ，又同平行于直线b ．求证：（Ⅰ）a γ⊥；（Ⅱ）b γ⊥．【解】本小题考查直线与平面的平行、垂直和两平面垂直的基础知识，及空间想象能力和逻辑思维能力．满分12分． 证法一：（Ⅰ）设,AB AC αγβγ==．在γ内任取一点P 并于γ内作直线,PM AB PN AC ⊥⊥． ——1分∵ γα⊥，∴PM α⊥． 而a α⊂，∴PM a ⊥．同理PN a ⊥． ——4分 又,PM PN γγ⊂⊂，∴a γ⊥． ——6分（Ⅱ）于a 上任取点Q ，过b 与Q 作一平面交α于直线1a ，交β于直线2a ．——7分∵//b α，∴1//b a ．同理2//b a ． ——8分 ∵12,a a 同过Q 且平行于b ，∴12,a a 重合． 又12,a a αβ⊂⊂，∴12,a a 都是,αβ的交线，即都重合于a ． ——10分 ∵1//b a ，∴//b a ．而a γ⊥，∴b γ⊥． ——12分 注：在第Ⅱ部分未证明//b a 而直接断定b γ⊥的，该部分不给分． 证法二：（Ⅰ）在a 上任取一点P ，过P 作直线a γ'⊥． ——1分∵,P αγα⊥∈，∴a α'⊂．同理a β'⊂． ——3分 可见a '是,αβ的交线．因而a '重合于a ． ——5分又a γ'⊥，∴a γ⊥． ——6分（Ⅱ）于α内任取不在a 上的一点，过b 和该点作平面与α交于直线c ．同法过b 作平面与β交于直线d ． ——7分∵//,//b b αβ．∴//,//b c b d ． ——8分 又,c d ββ⊄⊂，可见c 与d 不重合．因而//c d ．于是//c β． ——9分 ∵//,,c c a βααβ⊂=，∴//c a ． ——10分∵//,//b c a c ，b 与a 不重合（,b a αα⊄⊂，∴//b a ． ——11分 而a γ⊥，∴b γ⊥． ——12分 注：在第Ⅱ部分未证明//b a 而直接断定b γ⊥的，该部分不给分．27．（同全国1理科27，解法不同，分值不同）（本小题满分12分）在面积为1的PMN ∆中，1tan ,tan 22PMN MNP ==-．建立适当的坐标系，求以,M N 为焦点且过点P 的椭圆方程．【解】本小题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用能力．满分12分．解法一：如图，以MN 所在直线为x 轴，线段MN 的垂 直平分线为y 轴建立直角坐标系．设以,M N 为焦点且过点P 的椭圆方程为12222=+by a x ，焦点为(,0),(,0)M c N c -． ——1分由1tan ,tan tan()22PMN N απ==-=，得 直线PM 和直线PN 的方程分别为1()2y x c =+和2()y x c =-．将此二方程联立，解得54,33x c y c ==，即P 点坐标为54(,)33c c ． ——5分在MPN ∆中，2MN c =，MN 上的高为点P 的纵坐标，故.34342212c c c S MNP =⋅⋅=∆ 由题设条件1MNP S ∆=，∴c =P点坐标为． ——7分 由两点间的距离公式()3152332236352222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=y c x PM ， ()315332236352222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=y c x PN ． 得 ()21521=+=PN PM a ． ——10分 又222153344b ac =-=-=， 故所求椭圆方程为1315422=+y x ． ——12分 解法二：同解法一得23=c ，P点的坐标为． ——7分 ∵ 点P 在椭圆上，且222a b c =+22231b +=． 化简得423830b b --=．解得23b =或213b =-（舍去）． ——10分 又222315344a b c =+=+=．故所求椭圆方程为1315422=+y x ． ——12分 解法三：同解法一建立坐标系． ——1分∵P PMN α∠=∠-∠，∴ 12tan()tan 32tan 11tan()tan 4122N M P N M ππ---===+-+⨯．∴P ∠为锐角．∴34sin ,cos 55P P ==． 而1sin 12MNP S PM PN P ∆=⋅=，∴ 103PM PN ⋅=． ——4分 ∵2,2PM PN a MN c +==，由余弦定理，222(2)2cos c PM PN PM PN P =+-⋅2()2(1c o s)P M P N P M P N P =+-⋅+ 2104(2)2235a =-⋅-⋅， ∴223c a =-，即23b =． ——7分又sin M =sin N =，由正弦定理，sin sin sin PM PN MN N M P ==， ∴PMN MN PN PM sin sin sin =++．即53251522ca =+，∴a =． ——10分 ∴222235a a b c =+=+．∴2154a =．故所求椭圆方程为1315422=+y x ． ——12分28．（同全国1理科28，解法不同）（本小题满分12分）设复数441()cos sin (0),1z z i z θθθπω-=+<<=+，并且2πωω=<，求θ．【解】本小题考查复数的基本概念和运算，三角函数式的恒等变形及综合解题能力．满分12分． 解法一：()()[]()()441cos sin 1cos 4sin 41cos 4sin 41cos sin i i i i θθθθωθθθθ--+-⎡⎤----⎣⎦==++++ ——2分()222sin 22sin 2cos 2tan2sin 4cos 42cos 22sin 2cos 2i i i θθθθθθθθθ+==++． ——5分tan 2sin 4cos 4tan 2i ωθθθθ=⋅+==，tan2θ=±． ——6分 因πθ<<0，故有（ⅰ）当tan23θ=12πθ=或127πθ=，这时都有 ⎪⎭⎫⎝⎛+=6sin 6cos 33ππωi ， 得26arg ππω<=，适合题意． ——10分（ⅱ）当tan2θ=时，得125πθ=或1211πθ=，这时都有 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=611sin 611cos 33ππωi ，得2611arg ππω>=，不适合题意，舍去． 综合（ⅰ）、（ⅱ）知12πθ=或127πθ=． ——2分解法二：θθ4sin 4cos 4i z +=．记θϕ4=，得()()ϕϕsin cos 44i z z-==．ϕϕϕϕωsin cos 1sin cos 1i i +++-=——2分()()sin sin cos tan sin cos 1cos 2i i ϕϕϕϕϕϕϕ=+=++． ——5分∵33=ω，2arg πω<，∴tan 23tan sin 0,2tan cos 0,2ϕϕϕϕϕ⎧=⎪⎪⎪⋅>⎨⎪⎪⋅≥⎪⎩——8分当①成立时，②恒成立，所以θ应满足（ⅰ）0tan2cos 40θπθθ<<⎧⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩，或（ⅱ）0tan2cos 40θπθθ<<⎧⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩——10分解（ⅰ）得12πθ=或127πθ=．（ⅱ）无解．综合（ⅰ）、（ⅱ）12πθ=或127πθ=． ——12分。
1993考研数三真题及解析
1993年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)(1) 2352limsin 53x x x x→∞+=+ .(2) 已知()232,arctan ,32x y f f x x x -⎛⎫'==⎪+⎝⎭则0x dy dx == .(3) 级数0(ln3)2nnn ∞=∑的和为 . (4) 设4阶方阵A 的秩为2,则其伴随矩阵*A 的秩为 .(5) 设总体X 的方差为1,根据来自X 的容量为100的简单随机样本,测得样本均值为5,则X 的数学期望的置信度近似等于0.95的置信区间为 .二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设()f x=21,0,0,0,x xx ≠⎪=⎩则()f x 在点0x =处 ( ) (A) 极限不存在 (B) 极限存在但不连续(C) 连续但不可导 (D) 可导 (2) 设()f x 为连续函数,且()()ln 1,xxF x f t dt =⎰则()F x '等于 ( )(A)()2111ln f x f x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ (B) ()11ln f x f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(C)()2111ln f x f x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭(D) ()1ln f x f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3) n 阶方阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的 ( )(A) 充分必要条件 (B) 充分而非必要条件 (C) 必要而非充分条件 (D) 既非充分也非必要条件 (4) 假设事件A 和B 满足()1P B A =,则 ( )(A) A 是必然事件 (B) ()0P B A =. (C) A B ⊃ (D) A B ⊂(5) 设随机变量X 的密度函数为()x ϕ,且()()x x ϕϕ-=.()F x 是X 的分布函数,则对任意实数a ,有 ( )(A) 0()1()aF a x dx ϕ-=-⎰. (B) 01()()2a F a x dx ϕ-=-⎰(C) ()()F a F a -= (D) ()2()1F a F a -=-三、(本题满分5分)设()z f x,y =是由方程0z y x z y x xe ----+=所确定的二元函数,求dz .四、(本题满分7分)已知22lim 4xx a x x a x e dx x a +∞-→∞-⎛⎫= ⎪+⎝⎭⎰,求常数a 的值.五、(本题满分9分)设某产品的成本函数为2,C aq bq c =++需求函数为1(),q d p e=-其中C 为成本,q 为需求量(即产量),p 为单价,,,,,a b c d e 都是正的常数,且d b >,求:(1) 利润最大时的产量及最大利润; (2) 需求对价格的弹性;(3) 需求对价格弹性的绝对值为1时的产量.六、(本题满分8分)假设:(1) 函数()(0)y f x x =≤<+∞满足条件(0)0f =和0()1xf x e ≤≤-; (2) 平行于y 轴的动直线MN 与曲线()y f x =和1xy e =-分别相交于点1P 和2P ;(3) 曲线()y f x =,直线MN 与x 轴所围封闭图形的面积S 恒等于线段12PP 的长度. 求函数()y f x =的表达式.七、(本题满分6分)假设函数()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导,过点(0,(0))A f 与(1,(1))B f 的直线与曲线()y f x =相交于点(,())C c f c ,其中01c <<.证明:在(0,1)内至少存在一点ξ,使()0f ξ''=.八、(本题满分10分)k 为何值时,线性方程组12321231234,,24x x kx x kx x k x x x ++=⎧⎪-++=⎨⎪-+=-⎩ 有惟一解,无解,有无穷多组解?在有解情况下,求出其全部解.九、(本题满分9分)设二次型222123122313222f x x x x x x x x x αβ=+++++经正交变换X PY =化成22232f y y =+,其中123(,,)T X x x x =和123(,,)T Y y y y =是三维列向量, P 是3阶正交矩阵.试求常数,αβ.十、(本题满分8分)设随机变量X 和Y 同分布, X 的概率密度为23,02,()80,.x x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他 (1) 已知事件{}A X a =>和{}B Y a =>独立,且()34P A B .=求常数a.(2) 求21X 的数学期望.十一、(本题满分8分)假设一大型设备在任何长为t 的时间内发生故障的次数()N t 服从参数为t λ的泊松分布.(1) 求相继两次故障之间时间间隔T 的概率分布；(2) 求在设备已经无故障工作8小时的情形下,再无故障运行8小时的概率Q .1993年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】65【解析】 2222sin35235limsin 2lim lim25353x x x x x x x x x x x→∞→∞→∞++=⋅++,极限 02sinsin lim lim 12x t t x tx→∞→==, 而 223563lim lim 53105x x x x x x x →∞→∞+=+洛, 所以 235236limsin 215355x x x x →∞+=⋅⋅=+. (2)【答案】34π 【解析】令()3232x g x ,x -=+则有()01g ,=- ()()21232g x x '=+,则 ()03g ,'= 由复合函数求导法则知()()()()0300313arctan1.4x dy f g g f dxπ='''==-==(3)【答案】22ln 3-【解析】利用几何级数求和公式1(1),1n n x x x∞==<-∑令ln 32x =,即得 0(ln 3)12.ln 322ln 312n nn ∞===--∑ (4)【答案】0【解析】本题考查伴随矩阵的定义及矩阵的秩的定义.由于()2r A =,说明A 中3阶子式全为0,于是A 的代数余子式0ij A ,≡故0*A =.所以秩 ()0*r A .=若熟悉伴随矩阵*A 秩的关系式()()()() 1101*n,r A n,r A ,r A n ,,r A n ,=⎧⎪==-⎨⎪<-⎩易知 ()0*r A .=注：按定义112111222212n n *nnnn A A A A A A A ,A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦伴随矩阵是n 阶矩阵,它的元素是行列式A 的代数余子式,是1n -阶子式. (5)【答案】(4.804,5.196)【解析】此题是求一个一般总体、大样本、方差已知的关于期望值μ的置信区间,可以用正态总体的区间估计公式近似求其置信区间.因X 的方差为1σ=,设X 的期望为μ,则(0,1)X U N =.当置信度为10.95α-=,时0.05α=,有正态分布表知0.02521.96u u α==.因此用公式：22(,)I x x αα=.将25,1,100, 1.96x n u ασ====代入上式,得到所求的置信区间为(4.804,5.196)I =.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(C)【解析】利用函数连续定义判定.由于当0x →时,21sinx 为有界变量,则()201lim 0x x f x x→→==,且()00f .= 于是()f x 在0x =处连续.故(A)(B)不正确.又因为()222001101lim lim lim 0x x x f x x x x x +++→→→-==-不存在,所以()f x 在0x =处不可导,所以选(C).【相关知识点】函数连续定义：如果函数在0x 处连续,则有000lim ()lim ()()x x x x f x f x f x →+→-==.(2)【答案】(A)【解析】 ()()()22ln 11111ln .f x F x f x f f xx x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=--=+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【相关知识点】积分上限函数的求导公式：()()()()()()()()()x x d f t dt f x x f x x dxβαββαα''=-⎰. (3)【答案】(B)【解析】A A Λ⇔有n 个线性无关的特征向量.由于当特征值12λλ≠时,特征向量12,αα线性无关.从而知,当A 有n 个不同特征值时,矩阵A 有n 个线性无关的特征向量,那么矩阵A 可以相似对角化.因为当A 的特征值有重根时,矩阵A 仍有可能相似对角化(当特征根的代数重数等于其几何重数的时候),所以特征值不同仅是能相似对角化的充分条件,故应选(B). (4)【答案】(D)【解析】()1P B A =的充分必要条件是()1()P AB P A =,即()()P AB P A =.显然四个选项中,当A B ⊂时,AB A =,可得()()P AB P A =.因此A B ⊂是()1P B A =的充分条件.因此选(D).(5)【答案】(B)【解析】题目即考查概率论方面的知识,在计算过程中又用到定积分的一些知识. 由积分的性质,换元积分,并改变积分上下限有()()()(),x taa aF a x dx t dt x dx ϕϕϕ=--+∞-∞+∞-==-=⎰⎰⎰随机变量X 的密度函数为()x ϕ,则()1x dx ϕ+∞-∞=⎰,又由于()()x x ϕϕ-=,所以001()()2x dx x dx ϕϕ+∞-∞==⎰⎰,(偶函数积分的性质)即001()()()()2a a a a x dx x dx x dx x dx ϕϕϕϕ-+∞-∞-+=+=⎰⎰⎰⎰.于是 01()()()()()()2a aaaF a x dx x dx x dx x dx x dx ϕϕϕϕϕ-+∞+∞-∞-===-=-⎰⎰⎰⎰⎰.故应选(B).三、(本题满分5分)【解析】方法一：利用一阶微分形式的不变性,将方程两端微分,得()0z y x z y x dz dy dx e dx xe dz dy dx .------++--=整理后得 ()()()111z y xz y x z y x z y x xedz xe e dx xe dy.--------+=+-++由此,得11z y x z y xz y xxe e dz dx dy xe ------+-=++. 方法二：应先求出函数对,x y 的偏导数,将0z y x z y x xe ----+=两边分别对,x y 求偏导,()()110110z y xz y x x x z y xy yz e xe z ,z xez ,------''-++-=''-+-=解之得 ()111z y xx z y xx e z xe ----+-'=+, 1y z '=.故 ()111z y x x y z y xx e dz z dx z dy dx dy xe ----+-''=+=++.四、(本题满分7分) 【解析】 2222lim lim 1lim 1x a ax x xa x a x x x x a a a x a x a x a +⎛⎫⎛⎫-⋅- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭→∞→∞→∞-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭,令2at x a-=+,则当x →∞时,0t →, ()1202lim 1lim 1x a a tx t a t e x a +⎛⎫- ⎪⎝⎭→∞→⎛⎫-=+= ⎪+⎝⎭,所以 22lim 222lim 1x x a ax ax a x a a x a x a ee x a →∞+⎛⎫⎛⎫-⋅-⎛⎫ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎪-+⎝⎭→∞⎛⎫-== ⎪+⎝⎭.而22222224224x x x xaaaa x e dx x de x e xe dx +∞+∞+∞+∞----⎡⎤=-=-+⎣⎦⎰⎰⎰ ()22222lim 222bax ab b e a exde +∞---→+∞=-+-⎰2222222ax xaa a e xe e dx +∞+∞---⎡⎤=+-+⎣⎦⎰ 2222222lim 22lim ab a b ab b a ebe ae e e -----→+∞→+∞⎡⎤⎡⎤=+-++-+⎣⎦⎣⎦ 222222aa a a e ae e ---=++,由2222222aa a a ea e ae e ,----=++得20a a +=,所以0a =或1a .=五、(本题满分9分) 【解析】(1) 利润函数为22()()()()L pq C d eq q aq bq c d b q e a q c =-=--++=--+-,对q 求导,并令0dL dq =,得()2()0dL d b e a q dq =--+=,得2()d bq e a -=+. 因为222()0,d Le a dq=-+<所以,当2()d b q e a -=+时为利润函数的极大值点,根据题意也是利润的最大值点,所以2max()4()d b L ce a -=-+. (2) 因为1()()q p d p e =-,所以1()q p e '=-,故需求对价格的弹性为p eq d q q eqη-'==. (3) 由1,η=得2dq e=.六、(本题满分8分)【解析】由题设可得示意图如右.设12(,()),(,1)xP x f x P x e -,则12S PP =,即()1()xx f t dt e f x =--⎰.两端求导,得()()x f x e f x '=-,即()()x f x f x e '+=. 由一阶线性非齐次微分方程求解公式,得()()()(())p x dx p x dx f x e q x e dx C -⎰⎰=+⎰()dx dx x e e e dx C -⎰⎰=+⎰1().2x x x x x e e dx C e Ce e --=+=+⎰由初始条件(0)0f =,得12C =-.因此,所求函数为1()()2x xf x e e -=-.【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的通解公式为:()()(())p x dx p x dxy e q x e dx C -⎰⎰=+⎰,其中C 为常数.七、(本题满分6分)【解析】因为()f x 分别在[0,]c 和[,1]c 上满足拉格朗日中值定理的条件,故存在12(0,),(,1)c c ξξ∈∈,使得12()(0)(1)()(),(),01f c f f f c f f c cξξ--''==--由于点C 在弦AB 上,故有()(0)(1)()(1)(0)(1)(0),0110f c f f f c f f f f c c ---===----从而 12()()(1)(0).f f f f ξξ''==-这表明()f x '在区间12[,]ξξ上满足罗尔定理的条件,于是存在12(,)ξξξ∈(0,1)⊂,使得()0f ξ''=.八、(本题满分10分)【解析】对方程组的增广矩阵作初等行变换,第一行和第三行互换,再第一行分别乘以()1、()1-加到第二行和第三行上,再第二行和第三行互换,再第二行乘以12k -⎛⎫⎪⎝⎭加到第三行上,有 22114112411111124114kA k k k k k--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦22112411240134022802280134k k k k k k ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→--→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦11240228(1)(4)00(4)2k k k k k ⎡⎤⎢⎥--⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥+--⎢⎥⎣⎦.(1)当1k ≠-且4k ≠时,()()3r A r A ==,方程组有唯一解,即221232242,,.111k k k k k x x x k k k +++-===+++(2)当1k =-时, ()3,()2r A r A ==方程组无解.(3)当4k =时,有112410300228011400000000A --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 因为()()23r A r A ==<,方程组有无穷多解.取3x 为自由变量,得方程组的特解为(0,4,0)T α=.又导出组的基础解系为(3,1,1)T η=--,所以方程组的通解为k αη+,其中k 为任意常数. 【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵()A A b =的秩,即()()r A r A =.(或者说,b 可由A 的列向量12,,,n ααα线表出,亦等同于12,,,n ααα与12,,,,n b ααα是等价向量组)设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =,则（1） 有唯一解 ⇔ ()().r A r A n == （2） 有无穷多解 ⇔ ()().r A r A n =< （3） 无解 ⇔ ()1().r A r A +=⇔ b 不能由A 的列向量12,,,n ααα线表出.九、(本题满分9分)【解析】经正交变换二次型f 的矩阵分别为1101,1112A B ααββ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.由于P 是正交矩阵,有1P AP B -=,即知矩阵A 的特征值是0,1,2.那么有2220,0.20.A E A αβαβαβαβ⎧=--=⎪⇒==⎨-=-=⎪⎩ 【相关知识点】二次型的定义：含有n 个变量12,,,n x x x 的二次齐次多项式(即每项都是二次的多项式)()1211,,,,n nn ij i j i j f x x x a x x ===∑∑其中ij ji a a =,称为n 元二次型,令()12,,,Tn x x x x =,()ij A a =,则二次型可用矩阵乘法表示为()12,,,,T n f x x x x Ax =其中A 是对称矩阵()TA A =,称A 为二次型()12,,,n f x x x 的矩阵.十、(本题满分8分)【解析】(1)依题意,因为随机变量X 和Y 同分布,则()()()()P A P X a P Y a P B =>=>=,又事件{}{}A X a B Y a =>=>和独立,故()()()P AB P A P B =. 估计广义加法公式：()()()()()()()2324P A B P A P B P A P B P A P A .=+-=-=⎡⎤⎣⎦ 解以()P A 为未知量的方程 ()()23204P A P A .-+=⎡⎤⎣⎦得1()2P A =,(因3()2P A =不合题意).再依题设条件可知223131(){}()(8)288a a P A P X a f x dx x dx a +∞==>===-⎰⎰.再解以a 为未知量的方程:384a -=,得a =(2) 直接根据公式可求得随机变量函数的数学期望:()222202220011133338884E f x dx x dx dx x .X x x +∞-∞⎛⎫==⋅=== ⎪⎝⎭⎰⎰⎰十一、(本题满分8分)【解析】本题的关键在于理解随机变量()N t 的意义,事件(){}N t k =表示设备在任何长为t的时间内发生k 次故障,其概率为()(){}(0,1,2)!k t t P N t k e k k λλ-===. 由于T 表示相继两次故障之间时间间隔,故当0t <时,(){}0;F t P T t =≤=当0t ≥时,事件{}T t >与{}T t ≤是互逆事件,并且{}T t >表示在长为t 的时间内没有发生故障,它等价于事件()0N t =.(1)易见T 是只取非负值的连续型随机变量.当0t <时,(){}0;F t P T t =≤=当0t ≥时,事件{}T t >与(){}0N t =等价.于是有 (){}{}(){}1101t F t P T t P T t P N t e .λ-=≤=->=-==-因此 ()1,00,t e t F t t λ-⎧- ≥=⎨ <0⎩.计算得知T 服从参数为λ的指数分布.(2)由于指数分布具有“无记忆性”,因此{}{}{}8816|88181(8)1(1)Q P T T P T P T F e e λλ--=≥≥=≥=-<=-=--=.。
历年考研数学三真题及答案解析
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）曲线221x xyx渐近线的条数为（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3（2）设函数2()(1)(2)x x nxf x e e e n…（-），其中n为正整数，则(0)f=（）（A）1(1)(1)!nn（B）(1)(1)!nn（C）1(1)!nn（D）(1)!nn（3）设函数()f t连续，则二次积分22202cos()d f r rdr=（）（A）2224222202()xx xdx x y f x y dy（B）22242202()xx xdx f x y dy（C）2222220214()2xdx x y f x y dyx x（D）22220214()2xdx f x y dyx x（4）已知级数11 (1)sinni nn绝对收敛，21(1)nin条件收敛，则范围为（）（A）0<12（B）12< 1（C）1<32（D）32<<2（5）设12341234110,1,1,1c c c c 其中1234c c c c ，，，为任意常数，则下列向量组线性相关的是（）（A ）123，，（B ）124，，（C ）134，，（D ）234，，（6）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且P-1AP=112，123=P （，，），1223=Q （+，，）则1=QAQ （）（A ）121（B ）112（C ）212（D ）221（7）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，则+22｛1｝（）（A ）14（B ）12（C ）8（D ）4（8）设1234X X X X ，，，为来自总体N 2（1，）（0）的简单随机样本，则统计量1234|+-2|X X X X 的分布（）（A ）N （0，1）（B ）(1)t （C ）2(1)（D ）(1,1)F 二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）1cossin 4lim (tan )x xxx（10）设函数ln ,1(),(()),21,1x dy x x f x yf f x dx xx求___________.（11）函数(,)zf x y 满足2201(,)22lim0,(1)x yf x y x y xy则(0,1)dz_______.（12）由曲线4yx和直线yx 及4y x 在第一象限中所围图形的面积为_______.（13）设A 为3阶矩阵，|A|=3，A*为A 的伴随矩阵，若交换A 的第一行与第二行得到矩阵B ，则|BA*|=________.（14）设A,B,C是随机事件，A,C互不相容，11(),(),23P AB P C 则C P （）=_________.解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）计算222cos 4limxxxee x（16）（本题满分10分）计算二重积分xDe xydxdy，其中D 为由曲线1yx yx与所围区域.（17）（本题满分10分）某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000（万元），设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x(件)和y(件)，且固定两种产品的边际成本分别为20+2x（万元/件）与6+y （万元/件）.1）求生产甲乙两种产品的总成本函数(,)C x y （万元）2）当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？求最小的成本.3）求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义.（18）（本题满分10分）证明：21ln cos1,1 1.12x xx x xx（19）（本题满分10分）已知函数()f x满足方程()()2()0f x f x f x及()()2x f x f x e1）求表达式() f x2）求曲线的拐点22()()xy f x f t dt（20）（本题满分10分）设1001010100100010aaA baa，（I）求|A|（II）已知线性方程组Ax b有无穷多解，求a，并求Ax b的通解.(21)（本题满分10分）已知1010111001Aaa，二次型123(,,)()f x x x x x的秩为2，求实数a的值；求正交变换x=Qy将f化为标准型.（22）（本题满分10分）已知随机变量X,Y 以及XY 的分布律如下表所示：X12P121316Y 0 1 2P131313XY 0 1 2 4P71213112求（1）P(X=2Y); （2）cov(,)XY X Y Y 与.（23）（本题满分10分）设随机变量X和Y相互独立，且均服从参数为1的指数分布，m in(,),=m ax(,).V X Y U X Y 求（1）随机变量V 的概率密度；（2）()E UV .2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。
【合集】2005-2006年全国硕士研究生招生考试数学试题(数学三)真题解析
2005年考研数学（三）真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）极限12sinlim 2+∞→x xx x =2.【分析】本题属基本题型，直接用无穷小量的等价代换进行计算即可.【详解】12sinlim 2+∞→x x x x =.212lim 2=+∞→x xx x （2）微分方程0=+'y y x 满足初始条件2)1(=y 的特解为2=xy .【分析】直接积分即可.【详解】原方程可化为0)(='xy ，积分得C xy =，代入初始条件得C=2，故所求特解为xy=2.（3）设二元函数)1ln()1(y x xez yx +++=+，则=)0,1(dzdy e edx )2(2++.【分析】基本题型，直接套用相应的公式即可.【详解】)1ln(y xe e xzy x y x +++=∂∂++,y x xe yz y x +++=∂∂+11,于是=)0,1(dzdy e edx )2(2++.（4）设行向量组)1,1,1,2(，),,1,2(a a ，),1,2,3(a ，)1,2,3,4(线性相关，且1≠a ，则a=21.【分析】四个4维向量线性相关，必有其对应行列式为零，由此即可确定a.【详解】由题设，有=1234123121112a a a 0)12)(1(=--a a ,得21,1==a a ，但题设1≠a ，故.21=a （5）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X,再从X ,,2,1 中任取一个数，记为Y,则}2{=Y P =4813.【分析】本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式,且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分.【详解】}2{=Y P =}12{}1{===X Y P X P +}22{}2{===X Y P X P+}32{}3{===X Y P X P +}42{}4{===X Y P X P =.4813)4131210(41=+++⨯（6）设二维随机变量(X,Y)的概率分布为X Y 0100.4a 1b 0.1已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，则a=0.4,b=0.1.【分析】首先所有概率求和为1，可得a+b=0.5,其次，利用事件的独立性又可得一等式，由此可确定a,b 的取值.【详解】由题设，知a+b=0.5又事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，于是有}1{}0{}1,0{=+===+=Y X P X P Y X X P ，即a=))(4.0(b a a ++,由此可解得a=0.4,b=0.1二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）当a 取下列哪个值时，函数a x x x x f -+-=1292)(23恰好有两个不同的零点.(A) 2.(B) 4.(C) 6.(D)8.[B ]【分析】先求出可能极值点，再利用单调性与极值画出函数对应简单图形进行分析，当恰好有一个极值为零时，函数f(x)恰好有两个不同的零点.【详解】12186)(2+-='x x x f =)2)(1(6--x x ，知可能极值点为x=1,x=2，且a f a f -=-=4)2(,5)1(，可见当a=4时，函数f(x)恰好有两个零点，故应选(B).（8）设σd y x I D⎰⎰+=221cos ,σd y x I D⎰⎰+=)cos(222,σd y x I D⎰⎰+=2223)cos(,其中}1),{(22≤+=y x y x D ，则(A)123I I I >>.（B ）321I I I >>.(C)312I I I >>.(D)213I I I >>.[A ]【分析】关键在于比较22y x +、22y x +与222)(y x +在区域}1),{(22≤+=y x y x D 上的大小.【详解】在区域}1),{(22≤+=y x y x D 上，有1022≤+≤y x ，从而有2212y x +≥>π≥22y x +≥0)(222≥+y x由于cosx 在)2,0(π上为单调减函数，于是22cos 0y x +≤)cos(22y x +≤≤222)cos(y x +因此<+⎰⎰σd y x D22cos <+⎰⎰σd y x D)cos(22σd y x D⎰⎰+222)cos(，故应选(A).（9）设,,2,1,0 =>n a n 若∑∞=1n n a 发散，∑∞=--11)1(n n n a 收敛，则下列结论正确的是(A)∑∞=-112n n a收敛，∑∞=12n na发散.（B ）∑∞=12n na收敛，∑∞=-112n n a发散.(C))(1212∑∞=-+n n n a a收敛.(D))(1212∑∞=--n n n a a收敛.[D ]【分析】可通过反例用排除法找到正确答案.【详解】取n a n 1=，则∑∞=1n n a 发散，∑∞=--11)1(n n n a 收敛，但∑∞=-112n n a与∑∞=12n na均发散，排除(A),(B)选项，且)(1212∑∞=-+n n n a a发散，进一步排除(C),故应选(D).事实上，级数)(1212∑∞=--n n n a a的部分和数列极限存在.（10）设x x x x f cos sin )(+=,下列命题中正确的是(A)f(0)是极大值，)2(πf 是极小值.（B ）f(0)是极小值，2(πf 是极大值.（C ）f(0)是极大值，)2(πf 也是极大值.(D)f(0)是极小值，)2(πf 也是极小值.[B]【分析】先求出)(),(x f x f '''，再用取极值的充分条件判断即可.【详解】x x x x x x x f cos sin cos sin )(=-+='，显然0)2(,0)0(='='πf f ，又x x x x f sin cos )(-=''，且022(,01)0(<-=''>=''ππf f ，故f(0)是极小值，2(πf 是极大值，应选(B).（11）以下四个命题中，正确的是(A)若)(x f '在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界.（B ）若)(x f 在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界.（C ）若)(x f '在（0，1）内有界，则f(x)在（0，1）内有界.(D)若)(x f 在（0，1）内有界，则)(x f '在（0，1）内有界.[C]【分析】通过反例用排除法找到正确答案即可.【详解】设f(x)=x 1,则f(x)及21)(xx f -='均在（0，1）内连续，但f(x)在（0，1）内无界，排除(A)、(B);又x x f =)(在（0，1）内有界，但xx f 21)(='在（0，1）内无界，排除(D).故应选(C).（12）设矩阵A=33)(⨯ij a 满足TA A =*，其中*A 是A 的伴随矩阵，TA 为A 的转置矩阵.若131211,,a a a 为三个相等的正数，则11a 为(A)33.(B) 3.(C)31.(D)3.[A ]【分析】题设与A 的伴随矩阵有关，一般联想到用行列展开定理和相应公式：.**E A A A AA ==.【详解】由TA A =*及E A A A AA ==**，有3,2,1,,==j i A a ij ij ，其中ij A 为ij a 的代数余子式，且032=⇒=⇒=A A AE A AA T或1=A 而03211131312121111≠=++=a A a A a A a A ，于是1=A ，且.3311=a 故正确选项为(A).（13）设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,αα，则1α，)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是(A)01=λ.(B)02=λ.(C)01≠λ.(D)02≠λ.[D ]【分析】讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可.【详解】方法一：令0)(21211=++αααA k k ，则022211211=++αλαλαk k k ，0)(2221121=++αλαλk k k .由于21,αα线性无关，于是有⎩⎨⎧==+.0,022121λλk k k 当02≠λ时，显然有0,021==k k ，此时1α，)(21αα+A 线性无关；反过来，若1α，)(21αα+A线性无关，则必然有02≠λ(,否则，1α与)(21αα+A =11αλ线性相关)，故应选(B).方法二：由于⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=+21212211121101],[],[)](,[λλαααλαλααααA ，可见1α，)(21αα+A 线性无关的充要条件是.001221≠=λλλ故应选(D).（14）设一批零件的长度服从正态分布),(2σμN ，其中2,σμ均未知.现从中随机抽取16个零件，测得样本均值)(20cm x =，样本标准差)(1cm s =，则μ的置信度为0.90的置信区间是(A))).16(4120),16(4120(05.005.0t t +-(B))).16(4120),16(4120(1.01.0t t +-(C))).15(4120),15(4120(05.005.0t t +-(D))).15(4120),15(4120(1.01.0t t +-[C]【分析】总体方差未知，求期望的区间估计，用统计量：).1(~--n t ns x μ【详解】由正态总体抽样分布的性质知，)1(~--n t ns x μ，故μ的置信度为0.90的置信区间是))1(1),1(1(22-+--n t n x n t nx αα，即)).15(4120),15(4120(05.005.0t t +-故应选(C).三、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分8分）求111(lim 0xe x x x --+-→【分析】""∞-∞型未定式，一般先通分，再用罗必塔法则.【详解】)1(1lim 111(lim 200x x x x x e x e x x x e x --→-→-+-+=--+=2201lim x e x x xx -→+-+=x e x x x 221lim 0-→-+=.2322lim 0=+-→x x e （16）（本题满分8分）设f(u)具有二阶连续导数，且)()(),(y x yf x y f y x g +=，求.222222yg y x g x ∂∂-∂∂【分析】先求出二阶偏导数，再代入相应表达式即可.【详解】由已知条件可得()(2y x f x y f xy x g '+'-=∂∂，)(1)((242322y xf y y x f x y x y f x y xg ''+''+'=∂∂，)()((1yxf y x y x f x y f x yg '-+'=∂∂，)((((13222222y xf yx y x f y x y x f y x x y f x y g ''+'+'-''=∂∂，所以222222y g y x g x ∂∂-∂∂=()()(2222y x f y x y x f x y x y f x y ''+''+')()(222y x f y x x y f xy ''-''-=).(2xy f x y '（17）（本题满分9分）计算二重积分σd y x D⎰⎰-+122，其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D .【分析】被积函数含有绝对值，应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积分即可.【详解】记}),(,1),{(221D y x y x y x D ∈≤+=，}),(,1),{(222D y x y x y x D ∈>+=，于是σd y xD⎰⎰-+122=⎰⎰-+-1)1(22D dxdy y x ⎰⎰-++2)1(22D dxdyy x =⎰⎰--2021)1(πθrdr r d ⎰⎰-++Ddxdy y x )1(22⎰⎰-+-1)1(22D dxdyy x =8π+⎰⎰⎰⎰---+20102210210)1()1(πθrdr r d dy y x dx =.314-π（18）（本题满分9分）求幂级数∑∞=-+12)1121(n n x n 在区间(-1,1)内的和函数S(x).【分析】幂级数求和函数一般采用逐项求导或逐项积分，转化为几何级数或已知函数的幂级数展开式，从而达到求和的目的.【详解】设∑∞=-+=12)1121()(n n x n x S ，∑∞=+=121121)(n nx n x S ，∑∞==122)(n n x x S ，则)()()(21x S x S x S -=，).1,1(-∈x 由于∑∞==122)(n nxx S =221x x -，)1,1(,1))((22121-∈-=='∑∞=x xx xx xS n n,因此⎰-++-=-=xx x x dt t t x xS 022111ln 211)(，又由于0)0(1=S ，故.0,1,0,11ln 211)(1=<⎪⎩⎪⎨⎧-++-=x x xx x x S 所以)()()(21x S x S x S -=.0,1,0,1111ln 212=<⎪⎩⎪⎨⎧---+=x x x x x x （19）（本题满分8分）设f(x),g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0,0)(≥'x f ,0)(≥'x g .证明：对任何a ]1,0[∈,有⎰⎰≥'+'ag a f dx x g x f dx x f x g 01).1()()()()()(【分析】可用参数变易法转化为函数不等式证明，或根据被积函数的形式，通过分部积分讨论.【详解】方法一：设=)(x F ⎰⎰-'+'xg x f dt t g t f dt t f t g 01)1()()()()()(，则F(x)在[0，1]上的导数连续，并且=')(x F )]1()()[()1()()()(g x g x f g x f x f x g -'='-'，由于]1,0[∈x 时，0)(,0)(≥'≥'x g x f ，因此0)(≤'x F ，即F(x)在[0，1]上单调递减.注意到=)1(F ⎰⎰-'+'11)1()1()()()()(g f dt t g t f dt t f t g ，而⎰⎰⎰'-=='11110)()()()()()()()(dtt g t f t f t g t df t g dt t f t g =⎰'-1)()()1()1(dt t g t f g f ，故F(1)=0.因此]1,0[∈x 时，0)(≥x F ，由此可得对任何]1,0[∈a ，有⎰⎰≥'+'ag a f dx x g x f dx x f x g 01).1()()()()()(方法二：⎰⎰'-='aaa dxx g x f x f x g dx x f x g 0)()()()()()(=⎰'-adx x g x f a g a f 0)()()()(，⎰⎰'+'adxx g x f dx x f x g 01)()()()(=⎰⎰'+'-1)()()()()()(dxx g x f dx x g x f a g a f a⎰'+1.)()()()(adx x g x f a g a f 由于]1,0[∈x 时，0)(≥'x g ，因此)()()()(x g a f x g x f '≥'，]1,[a x ∈，⎰⎰-='≥'101)]()1()[()()()()(a g g a f dx x g a f dx x g x f ，从而⎰⎰'+'adxx g x f dx x f x g 01)()()()().1()()]()1()[()()(g a f a g g a f a g a f =-+≥（20）（本题满分13分）已知齐次线性方程组（i ）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,0,0532,032321321321ax x x x x x x x x 和（ii ）⎩⎨⎧=+++=++,0)1(2,03221321x c x b x cx bx x 同解，求a,b,c 的值.【分析】方程组（ii ）显然有无穷多解，于是方程组（i ）也有无穷多解，从而可确定a ，这样先求出（i ）的通解，再代入方程组（ii ）确定b,c 即可.【详解】方程组（ii ）的未知量个数大于方程个数，故方程组方程组（ii ）有无穷多解.因为方程组（i ）与（ii ）同解，所以方程组（i ）的系数矩阵的秩小于3.对方程组（i ）的系数矩阵施以初等行变换⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡20011010111532321a a ，从而a=2.此时，方程组（i ）的系数矩阵可化为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000110101211532321，故T)1,1,1(--是方程组（i ）的一个基础解系.将1,1,1321=-=-=x x x 代入方程组（ii ）可得2,1==c b 或.1,0==c b 当2,1==c b 时，对方程组（ii ）的系数矩阵施以初等行变换，有⎥⎦⎤⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡110101312211，显然此时方程组（i ）与（ii ）同解.当1,0==c b 时，对方程组（ii ）的系数矩阵施以初等行变换，有⎥⎦⎤⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡000101202101，显然此时方程组（i ）与（ii ）的解不相同.综上所述，当a=2,b=1,c=2时，方程组（i ）与（ii ）同解.（21）（本题满分13分）设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=B CC AD T 为正定矩阵，其中A,B 分别为m 阶，n 阶对称矩阵，C 为n m ⨯矩阵.(I)计算DP P T，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-n mE oC A EP 1；（II ）利用(I)的结果判断矩阵C A C B T1--是否为正定矩阵，并证明你的结论.【分析】第一部分直接利用分块矩阵的乘法即可；第二部分是讨论抽象矩阵的正定性，一般用定义.【详解】(I)因⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-n T m TE AC o E P 1，有DP P T=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--n T mE A C o E 1⎥⎦⎤⎢⎣⎡B C C AT ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--n m E o C A E 1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--C A C B o C A T 1⎥⎦⎤⎢⎣⎡--n m E oC A E 1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--C A C B o o AT 1.（II ）矩阵C A C B T1--是正定矩阵.由(I)的结果可知，矩阵D 合同于矩阵.1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-C A C B o o AM T 又D 为正定矩阵，可知矩阵M 为正定矩阵.因矩阵M 为对称矩阵，故C A C B T1--为对称矩阵.对TX )0,,0,0( =及任意的0),,,(21≠=T n y y y Y ，有.0)(),(11>-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---Y C A C B Y Y X C A C B o o A Y X T T T T T 故C A C B T 1--为正定矩阵.（22）（本题满分13分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为.,20,10,0,1),(其他x y x y x f <<<<⎩⎨⎧=求：（I ）(X,Y)的边缘概率密度)(),(y f x f Y X ；（II ）Y X Z -=2的概率密度).(z f Z (III )}.2121{≤≤X Y P 【分析】求边缘概率密度直接用公式即可；而求二维随机变量函数的概率密度，一般用分布函数法，即先用定义求出分布函数，再求导得到相应的概率密度;直接用条件概率公式计算即可.【详解】（I ）关于X 的边缘概率密度)(x f X =⎰+∞∞-dy y x f ),(=.,10,0,20其他<<⎪⎩⎪⎨⎧⎰x dy x=.,10,0,2其他<<⎩⎨⎧x x 关于Y 的边缘概率密度)(y f Y =⎰+∞∞-dx y x f ),(=.,20,0,12其他<<⎪⎩⎪⎨⎧⎰y dx y=.,20,0,21其他<<⎪⎩⎪⎨⎧-y y （II ）令}2{}{)(z Y X P z Z P z F Z ≤-=≤=，1）当0<z 时，0}2{)(=≤-=z Y X P z F Z ；2）当20<≤z 时，}2{)(z Y X P z F Z ≤-==241z z -;3)当2≥z 时，.1}2{)(=≤-=z Y X P z F Z 即分布函数为：.2,20,0,1,41,0)(2≥<≤<⎪⎩⎪⎨⎧-=z z z z z z F Z 故所求的概率密度为：.,20,0,211)(其他<<⎪⎩⎪⎨⎧-=z z z f Z （III ）.4341163}21{}21,21{}2121{==≤≤≤=≤≤X P Y X P X Y P （23）（本题满分13分）设)2(,,,21>n X X X n 为来自总体N(0,2σ)的简单随机样本，X 为样本均值，记.,,2,1,n i X X Y i i =-=求：（I ）i Y 的方差n i DY i ,,2,1, =；（II ）1Y 与n Y 的协方差).,(1n Y Y Cov （III ）若21)(n Y Y c +是2σ的无偏估计量，求常数c.【分析】先将i Y 表示为相互独立的随机变量求和，再用方差的性质进行计算即可；求1Y 与n Y 的协方差),(1n Y Y Cov ，本质上还是数学期望的计算，同样应注意利用数学期望的运算性质；估计21)(n Y Y c +，利用其数学期望等于2σ确定c 即可.【详解】由题设，知)2(,,,21>n X X X n 相互独立，且),,2,1(,02n i DX EX i i ===σ，.0=X E （I ）∑≠--=-=nij j i i i X n X n D X X D DY ]1)11[()(=∑≠+-nij ji DXnDX n 221)11(=.1)1(1)1(222222σσσn n n n n n -=-⋅+-（II ）)])([(),(111n n n EY Y EY Y E Y Y Cov --==)][()(11X X X X E Y Y E n n --==)(211X X X X X X X E n n +--=211(2)(XE X X E X X E n +-=22121)(][20X E X D X X X E n nj j +++-∑==.112222σσσnn n -=+-（III ）)(])([121n n Y Y cD Y Y c E +=+=)],(2[121n Y Y Cov DY DY c ++=222)2(2]211[σσσ=-=--+-c nn n n n n n c ，故.)2(2-=n n c一、填空题(1)【答案】1【详解】题目考察数列的极限，由于数列中有(1)n-，故求此数列的极限，分为奇数列和偶数列两个部分进行。
1993考研数四真题及解析
1993年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1) lim 12(1)n n →∞⎤-+++-=⎦.(2) 已知()232,arcsin ,32x y f f x x x -⎛⎫'==⎪+⎝⎭则0x dy dx ==.(3)=.(4) 设4阶方阵A 的秩为2,则其伴随矩阵*A 的秩为.(5) 设10件产品中有4件不合格品,从中任取两件,已知索取两件产品中有一件是不合格品,则另一件也是不合格品的概率为.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设()21,0,0, 0,x f x xx ≠=⎪=⎩则()f x 在点0x =处 ( ) (A) 极限不存在 (B) 极限存在但不连续 (C) 连续但不可导 (D) 可导 (2) 设()f x 为连续函数,且()()ln 1,xxF x f t dt =⎰则()F x '等于 ( )(A)()2111ln f x f x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ (B) ()11ln f x f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ (C)()2111ln f x f x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭(D) ()1ln f x f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3) 若123,,ααα,12,ββ都是四维列向量,且四阶行列式1231,,,m,αααβ=1223,,,n ααβα=,则四阶行列式()32112,,,αααββ+等于 ( )(A) m n + (B)()m n -+ (C)n m - (D)m n -(4) 设2λ=是非奇异矩阵A 的一个特征值,则矩阵1213A -⎛⎫⎪⎝⎭有一特征值等于 ( )(A)43 (B) 34 (C) 12 (D) 14(5) 设随机变量X 与Y 均服从正态分布,()()22,4,,5;XN Y N μμ记{}{}124,5,p P X p P X μμ=≤-=≥+则 ( )(A) 对任何实数μ,都有12p p = (B) 对任何实数μ,都有12p p < (C) 只对μ的个别值,才有12p p = (D) 对任何实数μ,都有12p p >三、(本题满分5分)设(),,z f x y =是由方程0z y xz y x xe ----+=所确定的二元函数,求dz .四、(本题满分7分)已知22lim 4xxax x a x e dx x a +∞-→∞-⎛⎫= ⎪+⎝⎭⎰,求常数a 之值.五、(本题满分7分)已知某厂生产x 件产品的成本为212500020040C x x =++(元).问 (1) 若使平均成本最小,应生产多少件产品？(2) 若产品以每件500元售出,要使利润最大,应生产多少件产品？六、(本题满分6分)设p 、q 是大于1的常数,且111.p q +=证明：对于任意0x ,>有11p x x.p q+≥七、(本题满分13分)运用导数的知识作函数()16xy x e =+的图形.八、(本题满分8分)已知三阶矩阵A 的逆矩阵为1111121113A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,试求伴随矩阵*A 的逆矩阵.九、(本题满分8分)设A 是m n ⨯矩阵,B 是n m ⨯矩阵,E 是n 阶单位矩阵(m n >).已知BA E =,试判断A 的列向量组是否线性相关？为什么？十、(本题满分8分)设随机变量X 和Y 独立,都在区间[]13,上服从均匀分布;引进事件{},A X a =≤{}.B Y a =>(1) 已知()79P A B ,=求常数a. (2) 求1X的数学期望.十一、(本题满分8分)假设一大型设备在任何长为t 的时间内发生故障的次数()N t 服从参数为t λ的泊松分布.(1) 求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；(2) 求在设备已经无故障工作8小时的情形下,再无故障运行8小时的概率Q.1993年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【解析】()lim 121n n →∞⎤-+++-⎦()()()12112121121n n n n nn ⎤⎡⎤-+++-+++++++-⎦⎣⎦=++++++-12(1)n n n =++++++-n =2n ==(2)【答案】32π 【解析】令 ()3232x g x ,x -=+则有()01g ,=-()()21232g x x '=+,则()03g ,'=由复合函数求导法则()()()()0300313arcsin1.2x dy f g g f dxπ='''==-==(3)【答案】2arctan C -【解析】方法一：t,=则21,2x t dx tdt =-=-,所以()2222112arctan 2arctan .tdt dtt t t t C C -==-++=-+=-⎰⎰方法二：221C =-=-=-+.(4)【答案】0【解析】本题考查伴随矩阵的定义及矩阵的秩的定义.由于()2r A =,说明A 中3阶子式全为0,于是A 的代数余子式0ij A ,≡故0*A =.所以秩 ()0*r A .=若熟悉伴随矩阵*A 秩的关系式()()()()*,,1, 1,0,1,n r A n r A r A n r A n =⎧⎪==-⎨⎪<-⎩易知 ()0*r A .= 注：按定义112111222212n n *nnnn A A A A A A A ,A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦伴随矩阵是n 阶矩阵,它的元素是行列式A 的代数余子式,是1n -阶子式. (5)【答案】02.【解析】设事件i A =“从10件产品中任取两件,有i 件不合格品”,012i ,,.= 记12B A A ,=依题意所求概率为()2P A |B ,即在B 发生的条件下2A 发生的概率,亦即在索取两件产品中有一件是不合格品,另一件也是不合格品的概率.()()1124642122101028,,1515C C C P A P A C C ====又12,A A 互不相容,故有加法公式 ()()()()12121015P B P A A P A P A ==+=. 易见事件2B A ,⊃因此()()22P A B P A ,=应用条件概率公式()()()()()222215021015P A B P A P A |B .P B P B ====.注：“已知所取两件产品中有一件是不合格品”应理解为“所取两件产品中至少有一件是不合格品”.不少考生将其错误理解为“所取两件产品中恰好只有一件是不合格品”,因而得错误答案215.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(C)【解析】利用函数连续定义判定. 由于当0x →时,21sinx为有界变量,则 ()21lim 0x x f x x →→==,且()00f .= 于是()f x 在0x =处连续.故(A)、(B)不正确. 又因为()2220001101limlim lim 0x x x f x x x x x +++→→→-==-不存在,所以()f x 在0x =处不可导,所以选(C).【相关知识点】函数连续定义：如果函数在0x 处连续,则有000lim ()lim ()()x x x x f x f x f x →+→-==.(2)【答案】(A)【解析】()()()22ln 11111ln .f x F x f x f f xx x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=--=+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【相关知识点】积分上限函数的求导公式：()()()()()()()()()x x d f t dt f x x f x x .dxβαββαα''=-⎰ (3)【答案】(C)【解析】利用行列式的性质,有()3211232113212,,,,,,,,,αααββαααβαααβ+=+12311232,,,,,,αααβαααβ=--(1α和2α互换,行列式变号) 1223m ,,,n m ααβα=-+=-.(4)【答案】(B)【解析】方法1：由λ为A 的特征值可知,存在非零向量α,由,0,A αλαα=≠有222211,.33A A A A αλαλααλα===即若λ是矩阵A 的特征值,则213λ是矩阵213A 的特征值,因此,213A 有特征值43.从而1213A -⎛⎫⎪⎝⎭有特征值34.故应选(B). 方法2： ()1221133A A ,αα--⎛⎫= ⎪⎝⎭由2λ=是A 的特征值,知12是1A -的特征值,于是14是()21A -的特征值.应选(B). 【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.(5)【答案】(A)【解析】()()22,4,,5;XN Y N μμ则求出1p 、2p :{}(){}()()12441,451111,5p P X Y p P Y P μμμμμ--⎛⎫=≤-=Φ=Φ- ⎪⎝⎭-⎧⎫=≥+=≥=-Φ=Φ-⎨⎬⎩⎭因此,对任何实数μ,都有12p p =,应选(A).三、(本题满分5分)【解析】方法一：利用一阶微分形式的不变性,将方程两端微分,得()0z y x z y x dz dy dx e dx xe dz dy dx ------++--=,整理后得 ()()()111z y x z y x z y x z y x xe dz xe e dx xe dy.--------+=+-++由此,得 11z y x z y xz y xxe e dz dx dy xe------+-=++. 方法二：应先求处函数对,x y 的偏导数,将0z y xz y x xe----+=两边分别对,x y 求偏导,()()110110z y xz y x x x z y x y y z e xe z ,z xez ,------''-++-=''-+-=解之得 ()11111z y xz y x xz y x z y x x e e z xe xe --------+-'=-=++,1y z '=,故 ()111z y xx y z y xx e dz z dx z dy dx dy xe----+-''=+=++.四、(本题满分7分)【解析】 2222lim lim 1lim 1x a ax x xa x a x x x x a a a x a x a x a +⎛⎫⎛⎫-⋅- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭→∞→∞→∞-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭,令2at x a-=+,则当x →∞时,0t →,()1202lim 1lim 1x a a tx t a t e x a +⎛⎫- ⎪⎝⎭→∞→⎛⎫-=+= ⎪+⎝⎭,所以 22lim 222lim 1x x a ax ax a x a a x a x a ee x a →∞+⎛⎫⎛⎫-⋅-⎛⎫ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎪-+⎝⎭→∞⎛⎫-== ⎪+⎝⎭.而22222224224x x x xa aaa x e dx x de x e xe dx +∞+∞+∞+∞----⎡⎤=-=-+⎣⎦⎰⎰⎰ ()22222lim 222b a x ab b e a e xde +∞---→+∞=-+-⎰2222222a xx aaa e xe e dx +∞+∞---⎡⎤=+-+⎣⎦⎰2222222lim 22lim a b a b ab b a e be ae e e -----→+∞→+∞⎡⎤⎡⎤=+-++-+⎣⎦⎣⎦ 222222a a a a e ae e ---=++,由2222222aa a a e a e ae e ,----=++得20a a +=,所以0a =或1a .=五、(本题满分7分)【解析】(1)由()212500020040C x x x =++,得平均成本 25000120040C x x =++,对x 求导,并令0dCdx=,得 2250001040dC ,dx x =-+= 解得10001000x ,x ==-(舍去).又因为22310001000500000,x x d Cdx x ===> 所以1000x =时,C 取极小值,亦即最小值. 所以生产1000件产品可使平均成本最小.(2)利润函数 ()215002500020040L x x x x ,⎛⎫=-++⎪⎝⎭两边对x 求导,并令0dL dx =,得 300020dL x dx =-=. 所以6000x =,又221020d L dx =-<,所以6000x =时()L x 取极大值,也是最大值. 因此,要使利润最大,应生产6000件产品.六、(本题满分6分) 【解析】令()11p f x x x,p q=+-则()11p f x x -'=-.令()0f x '=得1x .= 方法一：又因为1p >,所以1110111p p x ,x x ,x --⎧< <<⎨> <<+∞⎩, 所以 ()()()()00101f x ,x ,f x f x ,x ,f x '< <<⎧⎪⎨'> <<+∞⎪⎩严格单调减严格单调增,所以 ()111110p f p q =+-=为函数()f x 的极小值, 所以 ()110p f x x x ,p q =+-≥即 11p x x.p q+≥ 方法二：因为()110f p ''=->,则()1f 是()f x 在0x >时的极小值,即最小值. 故当0x >时,有()()10f x f ,>=即11p x x.p q+≥七、(本题满分13分)【解析】函数的定义域为0x ≠.()()1223x x x y e ,x+-'= 令0y '=,得1223x ,x =-=.14136x x y e ,x +''= 令0y ''=得3613x =-.列表如下：x()2,-∞- 2-6213,⎛⎫-- ⎪⎝⎭613-6013,⎛⎫- ⎪⎝⎭()03,3()3,+∞y '+ 0- - - 0+ y ''-- -+++ +y单调增；凸极大值单调减；凸 拐点单调减； 凹单调减；凹极小值 单调增；凹极大值2;x y e=-=极小值1339x y e ==.由 ()10lim lim 6xx x y x e ++→→=+=+∞知,0x =为铅直渐近线. ()1100lim lim 66lim 0x xx x x y x e e ---→→→=+==. 又由求斜渐近线公式,得()()116lim lim lim 1,xx x x x f x x e a e x x→∞→∞→∞+==== ()()1lim lim 6xx x b f x x x e x →∞→∞⎡⎤=-=+-⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 11lim 1lim 6167,xx x x x e e →∞→∞⎛⎫=-+=+= ⎪⎝⎭ 所以7y x =+为渐近线.作出图形如下：八、(本题满分8分)【解析】由公式**AA A A A E,==有**A A A A E.A A ==按可逆矩阵定义,知 ()11*AA A A.A--== 由于()11AA,--=求1A -的逆矩阵.作初等行变换,将第一行乘以()1-分别加到第二行和第三行上,有()1111100111100121010010110113001002101A |E -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦,再将第二行乘以()1-加到第一行上,第三行自乘以12,再第三行乘以()1-加到第一行上,将左边化为单位矩阵,有511001101210220101100101101111001000102222⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥→-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.于是, ()115112211011022A A .--⎡⎤--⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦又因12A -=,故知()11521220101*AA A .----⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦九、(本题满分8分)【解析】方法1：对A 按列分块,记()12n A ,,,ααα=,其中m 维列向量j α是A 的第j 个列向量()12j ,,n =.设存在数12n x ,x ,x ,使得11220n n x x x ααα+++=,即()12120n n x x x ααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,亦即 120n x x A .x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦两边左乘B ,得120n x x BA ,x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 即120n x x E ,x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦亦即120n x x .x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦由于120n x x x ,===所以矩阵A 的列向量线性无关.方法2：因为A 是n m ⨯矩阵,n m <,所以()r A n ≤. 又由于()()()r A r BA r E n,≥==故()r A n.=所以A 的列秩也为n ,而A 只有n 个列,故A 的列向量线性无关.注：方法1用定义法,方法2用秩.只是两个重要思路,都值得很好体会.【相关知识点】1. 向量组线性相关和线性无关的定义：存在一组不全为零的数12m k ,k ,,k ,使11220m m k k k ααα+++=,则称12m ,,,ααα线性相关；否则,称12m ,,,ααα线性无关．2.矩阵乘积秩的结论：乘积的秩小于等于单个矩阵的秩.十、(本题满分8分)【解析】(1)依题意,随机变量X 和Y 同分布且相互独立,所以(){}{}()P B P Y a P X a P A ,=>=>=且A 、B 相互独立,所以()()()P AB P A P B .=设()P A p,=由概率的广义加法公式得()()()()()()()()P A B P A P B P AB P A P B P A P B =+-=+-()()()()()7119P A P A P A P A p p .=+-=--=解以p 为未知量的方程 2209p p -+=,得121233p ,p ==.再依题设条件可知11111(){}()(1)322a a P A P X a f x dx dx a ==≤===-⎰⎰,11211(){}()(1)322a a P A P X a f x dx dx a ==≤===-⎰⎰,解得a 的两个可能值为：125724113333a ,a .=+==+=(2)求随机变量函数的数学期望直接根据公式可求得()3111111ln 3.22E f x dx dx X x x +∞-∞⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭⎰⎰十一、(本题满分8分)【解析】本题的关键在于理解随机变量()N t 的意义,事件(){}N t k =表示设备在任何长为t的时间内发生k 次故障,其概率为()(){}(0,1,2)!k tt P N t k e k k λλ-===.由于T 表示相继两次故障之间时间间隔,故当0t <时,(){}0;F t P T t =≤=当0t ≥时,事件{}T t >与{}T t ≤是互逆事件,并且{}T t >表示在长为t 的时间内没有发生故障,它等价于事件()0N t =.(1)易见T 是只取非负值的连续型随机变量.当0t <时,(){}0;F t P T t =≤=当0t ≥时,事件{}T t >与(){}0N t =等价.于是有(){}{}(){}1101t F t P T t P T t P N t e .λ-=≤=->=-==-因此 ()1,00,t e t F t t λ-⎧- ≥=⎨ <0⎩.计算得知T 服从参数为λ的指数分布. (2)由于指数分布具有“无记忆性”,因此{}{}{}8816|88181(8)1(1)Q P T T P T P T F e e λλ--=≥≥=≥=-<=-=--=.。
考研数学三1993真题
1993年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)(1) .2352lim sin 53x x x x→∞+=+(2) 已知则 .()232,arctan ,32x y f f x x x -⎛⎫'==⎪+⎝⎭0x dy dx ==(3) 级数的和为 .0(ln 3)2nn n ∞=∑(4) 设阶方阵的秩为,则其伴随矩阵的秩为 .4A 2*A (5) 设总体的方差为1,根据来自的容量为100的简单随机样本,测得样本均值为5,则的数学期望的置信度X X X 近似等于0.95的置信区间为 .二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设则在点处 ( )()f x =21,0,0,0,x x x ≠⎪=⎩()f x 0x =(A) 极限不存在 (B) 极限存在但不连续(C) 连续但不可导 (D) 可导(2) 设为连续函数,且则等于 ( )()f x ()()ln 1,xx F x f t dt =⎰()F x '(A) (B) ()2111ln f x f x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()11ln f x f xx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(C) (D) ()2111ln f x f x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭()1ln f x f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3) 阶方阵具有个不同的特征值是与对角阵相似的 ( )n A n A (A) 充分必要条件 (B) 充分而非必要条件(C) 必要而非充分条件 (D) 既非充分也非必要条件(4) 假设事件和满足,则 ( )A B ()1P B A =(A) 是必然事件 (B) .A ()0PB A =(C) (D)A B ⊃A B ⊂(5) 设随机变量的密度函数为,且.是的分布函数,则对任意实数,有( )X ()x ϕ()()x x ϕϕ-=()F x X a (A) . (B) 0()1()aF a x dx ϕ-=-⎰01()()2aF a x dx ϕ-=-⎰(C) (D) ()()F a F a -=()2()1F a F a -=-三、(本题满分5分)设是由方程所确定的二元函数,求.()z f x,y =0z y x z y x xe ----+=dz 四、(本题满分7分)已知,求常数的值.22lim 4xx a x x a x e dx x a +∞-→∞-⎛⎫= ⎪+⎝⎭⎰a 五、(本题满分9分)设某产品的成本函数为需求函数为其中为成本,为需求量(即产量),为单2,C aq bq c =++1(),q d p e=-C q p 价,都是正的常数,且,求:,,,,a b c d e d b >(1) 利润最大时的产量及最大利润;(2) 需求对价格的弹性;(3) 需求对价格弹性的绝对值为1时的产量.六、(本题满分8分)假设:(1) 函数满足条件和;()(0)y f x x =≤<+∞(0)0f =0()1xf x e ≤≤-(2) 平行于轴的动直线与曲线和分别相交于点和;y MN ()y f x =1x y e =-1P 2P (3) 曲线,直线与轴所围封闭图形的面积恒等于线段的长度.()y f x =MN x S 12PP 求函数的表达式.()y f x =七、(本题满分6分)假设函数在上连续,在内二阶可导,过点与的直线与曲线相交()f x [0,1](0,1)(0,(0))A f (1,(1))B f ()y f x =于点,其中.(,())C c f c 01c <<证明:在内至少存在一点,使.(0,1)ξ()0f ξ''=八、(本题满分10分)为何值时,线性方程组k 12321231234,,24x x kx x kx x k x x x ++=⎧⎪-++=⎨⎪-+=-⎩有惟一解,无解,有无穷多组解?在有解情况下,求出其全部解.九、(本题满分9分)设二次型222123122313222f x x x x x x x x x αβ=+++++经正交变换化成,其中和是三维列向量,是3阶正交矩阵.X PY =22232f y y =+123(,,)T X x x x =123(,,)TY y y y =P 试求常数.,αβ十、(本题满分8分)设随机变量和同分布, 的概率密度为X Y X 23,02,()80,.x x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他(1) 已知事件和独立,且求常数{}A X a =>{}B Y a =>()34P A B .= a.(2) 求的数学期望.21X十一、(本题满分8分)假设一大型设备在任何长为的时间内发生故障的次数服从参数为的泊松分布.t ()N t t λ(1) 求相继两次故障之间时间间隔的概率分布；T (2) 求在设备已经无故障工作8小时的情形下,再无故障运行8小时的概率.Q。
1993年全国硕士研究生入学统一考试数学一、二、三、四、五试题完整版附答案及评分标准
n(n 1)( 1)n
( 1)n ,
n0
2n
n0
2 n0 2
……1 分
其中 ( 1)n 1 2 ,
n0 2
1
1 2
3
……2 分
设 S(x)
n(n 1)xn2, x (1,1) ，则
x
[
x
S(x)dx]dx
xn
x2
n2
00
n2
1 x
故
S(x)
x2 ( 1 x
)
2 (1 x)3
n0
（B）
(A) 等价无穷小 （B）同阶但非等价无穷小 （C）高阶无穷小 （D）低阶无穷小
(2) 双纽线 (x2 y2 )2 x2 y2所围成的区域面积可用定积分表示为
（A）
(A) 2 4 cos2d
(B) 4 4 cos2d
(C) 2 4 cos2 d
1
(D)
4 cos2 2 d
0
0
0
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1993 年 • 第 3 页
(0, ) 内有且仅有一个零点．
x
x
证：在[0, ) 上，由 f '(x) k 得 f '(x)dx kdx ，即 f (x) kx f (0) .
导数，且 f (0) 0 ，则 f (x) 等于
(B)
ex ex
(A)
2
ex ex
(B)
2
(C) e x ex 1 2
(D) 1 e x ex 2
1 2 3
(5) 已知 Q= 2
4
t
，P
为三阶非零矩阵，且满足
PQ
=
0，则
(C)
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1993考研数学全试题及答案
1993年全国硕士研究生入学统一考试数学试题参考解答及评分标准数 学（试卷一）一、填空题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分) (1) 函数)0()12()(1>-=⎰x dt t x F x的单调减少区间为1(0,)4.(答1(0,]4也对)(2) 由曲线223212x y z ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转一周得到的旋转面在点（0,2,3）处的指向外侧的单位法向量为2,3}5(3) 设函数2()f x x x π=+()ππ<<-x 的傅里叶级数展开式为()∑∞=++10sin cos 2n n n nx b nx a a 则其中系数3b 的值为 π32(4) 设数量场222u x y z =++，则()div gradu =2221x y z++ (5) 设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零，且A 的秩为n-1，则线性方程组AX=0的通解为()1,1,,1T k二、选择题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分) (1) 设sin 2340()sin(),()x f x t dt g x x x ==+⎰，则当x →0时，()f x 是()g x 的 （B ）(A) 等价无穷小 （B ）同阶但非等价无穷小 （C ）高阶无穷小 （D ）低阶无穷小 (2) 双纽线22222)(y x y x -=+所围成的区域面积可用定积分表示为 （A ）(A) 2⎰42cos πθθd (B) 4⎰402cos πθθd (C) 2θθπd ⎰42cos (D)21()⎰4022cos πθθd (3) 设直线182511:1+=--=-z y x l 与⎩⎨⎧=+=-326:2z y y x l ，则1l 与2l 的夹角为 (C) (A)6π (B) 4π (C) 3π (D) 2π(4) 设曲线积分ydy x f ydx e x f xLcos )(sin ])([--⎰与路径无关，其中()f x 具有一阶连续导数，且(0)0f =，则()f x 等于 (B)(A) 2x x e e -- (B) 2x x e e -- (C) 12-+-x x e e (D) 21xx e e -+-(5) 已知Q=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡96342321t ，P 为三阶非零矩阵，且满足 PQ = 0，则 (C)(A) 6t =时P 的秩必为1 (B) 6t =时P 的秩必为2 (C) 6t ≠时P 的秩必为1 (D) 6t ≠时P 的秩必为2三、(本题共3小题，每小题5分，满分15分)(1) 求21lim(sincos )x x x x→∞+.解：因021ln(sin 2cos )lim ln(sin cos )lim x t t t x x x t→∞→++=……2分 02cos 2sin lim 2sin 2cos t t tt t→-==+,……4分 所以原式2e =. ……5分(2) 求dx e xe xx⎰-1. 解：令1x u e =-222ln(1),1u x u dx du u=+=+，从而 222(1)ln(1)2(1)1x x u u udu u u e ++=⋅+-⎰ ……2分22ln(1)u du =+⎰222242ln(1)2ln(1)441u u u du u u u arctgu C u=+-=+-+++⎰……4分 214141x x x x e e e C =---.……5分(3) 求微分方程22y xy y x =+'满足初始条件11==x y 的特解.解一： 22'y xy y x -=，令y xu =，有22','2xu u u u xu u u +=-=-. ……2分分离变量得22du dx u u x =-，积分得11[ln(2)ln ]ln 2u u x C --=+即22u Cx u-=，亦即22y x Cx y -=. ……4分 由11x y =∣=得1C =-，故所求特解为22y x x y -=-，即221x y x =+. ……5分解二 2222111'1,,'1,'x x y z x z xz z z y y y x x+==-+=-=-令有,……2分 解得 311[()]2z x dx C Cx x x=-+=+⎰ ……4分 即2212x y Cx =+，由11x y =∣=得12C =，故所求特解为221xy x =+.. ……5分四、(本题满分6分) 计算⎰⎰∑-+dxdy zyzdzdx xzdydz 22，其中∑是由曲面22y x z +=与222y x z --=所围立体的表面外侧.解：22,,,2,,2,P Q R P Q RP xz Q yz R z z z z z x y z x y z∂∂∂∂∂∂===-===-++=∂∂∂∂∂∂因故.根据奥-高公式，22xzdydz yzdzdx z dxdy zdxdydz ∑Ω+-=⎰⎰⎰⎰⎰……2分 2234sin cos d d dr ππθϕϕϕ=⎰⎰……5分 2π=.……6分五、(本题满分6分) 求级数()()∑∞=+--02211n nn n n 的和.解：2000(1)(1)11(1)()()222n n nnn n n n n n n ∞∞∞===--+=--+-∑∑∑, ……1分 其中12112()213n n ∞=-==+∑, ……2分设22()(1),(1,1)n n S x n n xx ∞-==-∈-∑，则22[()]1x xnn x S x dx dx x x ∞===-∑⎰⎰故232()()1(1)x S x x x ''==--2302(1),(1,1)(1)nn x n n x x x ∞=-=∈--∑， ……5分 于是014(1)()227n n n n ∞=--=∑，……6分 20(1)(1)4222227327n nn n n ∞=--+=+=∑所以. ……7分六、(本题共2小题，每小题5分，满分10分)(1) 设在[0,)+∞上函数()f x 有连续导数，且f '(x)0>≥k ，(0)0f <，证明()f x 在(0,)+∞内有且仅有一个零点．证：在[0,)+∞上，由'()f x k ≥得'()xxf x dx kdx ≥⎰⎰，即()(0)f x kx f ≥+.11(0)(0)0,()[](0)0f f x f x k f k k>->>-+=取有. ……2分 1010()0,(0)0,,(0,),()0f x f x x f x ><∈=因由题设根据零点定理故必存在使.……4分又因'()0f x k ≥>，故()f x 严格单调增加，()f x 在(0,)+∞内有且仅有一个零点．……5分(2) 设b a e >>，证明 abb a >.证: 要证ab b a >，只需证ln ln .b a a b > 令()ln ln (),f x x a a x x a =-≥……2分 因为'()ln 10(),a af x a x a x x=->-≥≥所以()f x 在x a ≥时单调增加. ……3分 于是，当b a >时，()()0f b f a >=，即有ln ln b a a b >.……5分七、(本题满分8分)已知二次型()02332),,(32232221321>+++=a x ax x x x x x x f 通过正交变换化成标准形23222152y y y f ++=，求参数a 及所用的正交变换矩阵. 解：二次型f 的矩阵2000303a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ， ……1分特征方程为22200||03(2)(69)003a a aλλλλλλλ--=--=--+-=--I A ，……2分由题设，知A 的特征值为1231,2,5λλλ===.将1λ=（或5λ=）代入特征方程，得240,2a a -==±. 又0a >，故取2a =.这时200032023⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ， 当11λ=时，由()-=I A x 0，即1231000220022x x x -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，解得对应的特征向量1011ξ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. 当22λ=时，由(2)-=I A x 0，解得对应的特征向量为2100ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.当35λ=时，由(5)-=I A x 0，解得对应的特征向量为3011ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. ……7分将123,,ξξξ单位化，得0001230101,0,1,22101ξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪==⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪-⎭⎝⎭⎭故所用的正交变换矩阵为010202202⎛⎫ = -⎝T . ……8分八、(本题满分6分)设A 是n m ⨯矩阵，B 是m n ⨯矩阵，其中n m <，I 是n 阶单位矩阵.若AB = I ，证明 B 的列向量组线性无关.证一：设12[,,,]n B βββ= ，其中(1,2,,)i i n β= 是B 的列向量.若11220n n x x x βββ+++= ，即1212(,,,)0n n x x BX x βββ⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭， ……2分两边左乘A ，则得0ABX =，即0I X =，亦即0X =.……5分 所以12,,,n βββ 线性无关.……6分 证二：因为()r B n ≤， ……1分 又()()()r B r AB r I n ≥==， ……4分 故()r B n =.……5分 所以12,,,n βββ 线性无关.……6分九、(本题满分6分)设物体A 从点(0,1)出发，以速度大小为常数v 沿y 轴正向运 动.物体B 从点（-1，0）与A 同时出发，其速度大小为2v ，方向 始终指向A. 试建立物体B 的运动轨迹所满足的微分方程，并写出 初始条件.解：设在时刻t ，B 位于点(,)x y 处，则 (1)dy y vt dx x-+=， ……2分 两边对x 求导得22()d y dt x vx dx=-*∂由221()ds dy dx v dt dx dt ==+，得211()2dt dy dx v dx=+ 代入(*)式得到所求的微分方程为22211()02d y dyx x dx+=∂. ……5分其初始条件为110,'1x x y y =-=-∣=∣=. ……6分 十、填空题 (本题共2小题，每小题3分，满分6分)(1) 一批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不放回，则 第二次抽出的是次品的概率为1/6.(2) 设随机变量X 服从(0,2)的均匀分布，则随机变量2Y X =在（0，4）内概率分布密度()Y f y 4y十一、(本题满分6分) 设随机变量X 的概率分布密度为1(),.2xf x e x -=-∞<<+∞ (1)求X 的数学期望EX 和方差DX ； (2)求X 与X 的协方差;并问X 与X 是否不相关？(3)问X 与X 是否相互独立？为什么？解：(1) ()0EX xf x dx ∞-∞==⎰，……1分 220()02x DX x f x dx x e dx ∞∞--∞=-==⎰⎰.……2分(2) cov(,||)(||)||||()00X X E X X EX E X x x f x dx ∞-∞=⋅-⋅=-=⎰，……3分 故X 与X 不相关.……4分(3) 对给定0a <<+∞，显然{||}{}X a X a <⊂<，故{,||}{||}P X a X a P X a <<=<. 又易见{}1P X a <<，{||}0P X a <>，所以{}{||}{||}P X a P X a P X a <⋅<<<， 因此{,||}{}{||}P X a X a P X a P X a <<≠<⋅<，因此X 与X 不独立. ……6分数 学（试卷二）一 ~ 三、【 同数学一 第一 ~ 三题 】 四、(本题共3小题，每小题6分，满分18分)(1) 设),(3xyxy f x z =，f 具有连续二阶偏导数，求22,y z y z ∂∂∂∂及y x z ∂∂∂2 解: 4212z x f x f y ∂''=+∂.……2分 2533531112212211122222z x f x f x f xf x f x f xf y ∂''''''''''''''=+++=++∂. ……3分23422111122212242zx f x yf x yf xf x yf yf x y∂''''''''''=+-++-∂∂ 3412112242x f xf x yf yf ''''''=++-.……6分(2) 【 同数学一 第四题 】(3) 已知3R 的两个基为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1111α，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1012α，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1013α；⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1211β，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=4322β，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3433β.求由基3,2,1ααα到基3,2,1βββ的过渡矩阵.解：设由基123,,ααα到基123,,βββ的过渡矩阵为C ， 则()()1,2,31,2,3C βββααα= ……1分故()()11,2,31,2,3C αααβββ-=，其中()111,2,3111100111ααα--⎛⎫ ⎪== ⎪⎪-⎝⎭0101102211122⎛⎫⎪⎪⎪-⎪⎪ ⎪-⎝⎭……3分 于是234010101C ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭.……5分五~九、【 同数学一 第五 ~ 九题 】数 学（试卷三）一、填空题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分) (1) 0ln lim 0=+→x x x .(2) 函数()y y x =由方程()0sin 222=-++xy e y x x 所确定，则dx dy =222222cos()2cos()2x y e x x y y x y xy--++-.(3) 【 同数学一 第一（1）题 】 (4)cos cos dx c xx=+ . (5) 已知曲线()y f x =过点1(0,)2-，且其上任一点(,)x y 处的切线斜率为2ln(1)x x +，则()f x =22(1)[ln(1)1]/2x x ++-.二、选择题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分) (1) 当x 0→时，变量x x1sin 12是 ( D) (A) 无穷小 (B) 无穷大(C) 有界的，但不是无穷小量 (D) 无界的,但不是无穷大(2) 设()f x =⎪⎩⎪⎨⎧=≠--1,21,112x x x x ，则在点1x =处函数()f x ( A ) (A) 不连续 (B) 连续，但不可导 (C) 可导，但导数不连续 (D) 可导，且导数连续(3) 已知()f x =201112x x x ⎧≤<⎨≤≤⎩，设()1()()02x F x f td t x =≤≤⎰，则()F x 为 (D) (A) ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤2110313x xx x (B) ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤-211031313x x x x (C) ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤21110313x x x x (D) ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤-2111031313x x x x (4) 设常数0k >，函数k exx x f +-=)ln()(在()+∞,0内零点个数为 ( B )(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0(5) 若()()f x f x =--， 且在()+∞,0内0)('>x f ,0)(''>x f ,则()f x 在()0,∞-内 (C)(A) 0)('',0)('<<x f x f (B) 0)('',0)('><x f x f (C) 0)('',0)('<>x f x f (D) 0)('',0)('>>x f x f 三、(本题共5小题，每小题5分，满分25分)(1) 设2sin[()]y f x =，其中f 具有二阶导数，求22dx yd .解：222()cos[()]dy xf x f x dx '=,……2分 222222222222{()cos[()]2()cos[()]2['()]sin[()]}d yf x f x x f x f x x f x f x dx'''=+- 222222222'()cos[()]4{''()cos[()]['()]sin[()]}f x f x x f x f x f x f x =+-. ……5分(2) 求 2lim 100)x x x x →-∞+.解：原式2lim100x x x =+-……1分 2lim10011x x=-+- ……4分50=-. ……5分(3) 求 dx xx⎰+402cos 1π.解：原式442001tan 2cos 2x dx xd x x ππ==⎰⎰ ……1分 44001sin (tan )2cos x x x dx xππ=∣-⎰ ……3分 4011(ln cos )ln 22484x πππ=+∣=-. ……5分(4) 求 ()dx x x⎰∞++031 解：原式3011(1)x dx x +∞+-=+⎰……1分23201111[]lim (1)(1)12(1)bb dx x x x x +∞→+∞⎡⎤=-=-+⎢⎥++++⎣⎦⎰……3分12=. ……5分(5) 求微分方程0)cos 2()1(2=-+-dx x xy dy x 满足初始条件10==x y 的特解.解：原方程可化为 222cos 11dy x xy dx x x +=--……1分 此一阶线性微分方程的通解为2222112cos (),1x x dx dx x x x y e e dx C x ---⎰⎰=+-⎰ ……3分 即2sin 1x C y x +=-.……4分 由01x y =∣=，得1C =-，故满足初始条件的特解是2sin 11x y x -=-. ……5分四、(本题满分9分)设二阶常系数线性微分方程x e y y y γβα=+'+''的一个特解为()x x e x e y ++=12.试确 定常数,,,γβα并求该方程的通解.解一：由题设特解知原方程的特征根为1和2，……2分 所以特征方程为(1)(2)0r r --=，即2320r r -+=，于是3,2αβ=-= ……5分 将1x y xe =代入方程得(2)3(1)2x x x x x e x e xe e γ+-++=，即1γ=- ……7分 从而原方程的通解为212x x x y c e c e xe =++.……9分 解二: 将2(1)xx y ex e =++代入原方程得2(42)(32)(1)x x x x e e xe e αβαβαβγ++++++++=,……2分 比较同类项的系数，有4203210αβαβγαβ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解方程组得αβγ=-3,=2,=-1. ……5分即原方程为32xy y y e-'''-+=-，它对应的齐次方程的特征方程为2320r r -+=，解之得特征根121,2r r ==，故齐次方程的通解为212x x Y c e c e =+. ……7分由题设特解知，原方程的通解为2212[(1)]x x x x y c e c e e x e =++++, 即234x x x y c e c e xe =++……9分五、(本题满分9分)设平面图形A 由x y x 222≤+与x y ≥所确定，求图形A 绕直线2x =旋转一周所得旋转体的体积.解：A 的图形如下图所示.取y 为积分变量,它的变化区间为[0,1]，易见A的两条边界曲线方程分别为 211(01)x y x y y =-=≤≤及.……2分于是相应于[0,1]区间上任一小区间[],y y dy +的薄片的体积元素为22222{[2(11(2)}2[1(1)]dV y y dy y y dy πππ=----=--， ……5分于是所求体积为12202[1(1)]V y y dy π=--⎰……6分 1321(1)2[1arcsin ]223y y y y π-=-+……8分 12()43ππ=-2223ππ=- ……9分六、(本题满分9分)作半径为r 的球的外切正圆锥，问此圆锥的高h 为何值时， 其体积V 最小，并求出该最小值.解：设圆锥底面圆半径为R ，如图所示SC h, OC OD r,BC R ====.因222,R 2()BC CD R SC SD h h hr h r r ==---故从而 ……2分 于是圆锥体积为222()(2)332r h V h R h r h h rππ==<<+∞-.……4分2224(h)=,(h)04,0().3(2)r h rhh r h h r π-''===-因V 故解V 得舍去 ……7分由于圆锥的最小体积一定存在,且h=4r 是()V h 在(2r,+)∞内的唯一驻点，所以当h=4r 时，V 取最小值223(4)8(4)3(42)3r r r V r r r ππ==-. ……9分七、(本题满分9分)设0x >，常数a e >，证明：()x a aa x a +<+.证：因为ln y x =是单调增加函数，所以欲证明()x a aa x a +<+，只需证ln()()ln a a x a x a +<+.……2分 设()()ln ln(),f x a x a a a x =+-+ ……4分则在[0,)+∞内连续且可导，又有()ln af x a a x'=-+. ……5分 ln 1,1,()0,()[0,].aa f x f x a x'><>+∞+因为故所以函数在内单调增加 ……7分(0)0,()0(0),ln()()ln ,()a a x f f x x a a x a x a a x a +=><<+∞+<++<而所以即.……9分八、(本题满分9分)设()f x '在[0,]a 上连续，且(0)0f =，证明：2()2a Ma f x dx ≤⎰，其中0max '()x aM f x ≤≤=.证一：任取(0,]x a ∈，由微分中值定理有()(0)(),(0,)f x f f x x ξξ'-=∈. ……3分 又(0)0f =，故()(),(0,]f x f x x a ξ'=∈. 所以()()()aaaf x dx f xdx f xdx ξξ''=≤⎰⎰⎰……6分 0a M xdx ≤⎰22M a =……9分证二：设[0,]x a ∈，由(0)0f =，知'()()(0)()xf t dt f x f f x =-=⎰……4分由积分基本性质，并考虑到0max '()x aM f x ≤≤=，有()'()'()xx xf x f t dt f t dt Mdt Mx =≤≤=⎰⎰⎰.……7分 于是2()()2aaaMa f x dx f x dx Mxdx ≤≤=⎰⎰⎰. ……9分数 学（试卷四）一、填空题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分)(1) 562sin 3553lim 2=++∞→x x x x . (2) 已知()232,,32x y f f x arctgx x -⎛⎫='= ⎪+⎝⎭则 ==0x dx dy π43.(3) 级数()∑∞=023ln n nn的和为22ln3-.(4) 设4阶方阵A 的秩为2, 则其伴随矩阵*A 的秩为 0 .(5) 设总体X 的方差为1，根据来自X 的容量为100的简单随机样本，测得样本均值为5，则X 的数学期望的置信度近似等于0.95的置信区间为 ( 4.804 ,5.196 ) . 二、选择题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分)(1) 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(2x x xx x f , 则 f (x ) 在点x = 0处 ( C ) (A) 极限不存在. (B) 极限存在但不连续. (C) 连续但不可导. (D) 可导. (2) 设()f x 为连续函数，且ln 1()()x xF x f t dt =⎰, 则)(x F '等于 ( A )(A))1(1)(l n 12x f x x f x + (B) )1()(ln x f x f + (C) )1(1)(ln 12x f xx f x -(D) )1()(ln x f x f - (3) n 阶方阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的 (B) (A) 充分必要条件 (B) 充分而非必要条件 (C) 必要而非充分条件 (D) 既非充分也非必要条件 (4) 假设事件A 和B 满足()1P B A =，则 (D)(A) A 是必然事件 (B)()0P B A = (C) A ⊃ B (D) A ⊂ B(5) 设随机变量X 的密度函数为)(x ϕ,且)(x -ϕ=)(x ϕ,()F x 是X 的分布函数,则对任意实数a ， 有 (B )(A ) 0()1()aF a x dx ϕ-=-⎰ (B ) 01()()2aF a x dx ϕ-=-⎰(C ) ()()F a F a -= (D ) ()2()1F a F a -=- 三、(本题满分5分)设(,)z f x y =是由方程0z y x z y x xe ----+=所确定的二元函数，求dz .解：将方程两端微分，得()0z y x z y x dz dy dx e dx xe dz dy dx ------++--= ……3分 整理后得(1)(1)(1)z y x z y x z y x z y x xe dz xe e dx xe dy --------+=+-++……4分 由此，得1(1)1z y xz y xx e dz dx dy xe----+-=++. ……5分四、(本题满分7分)已知⎰∞+-∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-a xxx dx e x a x a x 224lim ，求常数a 的值. 解：左边=22lim(1)xa x a e x a-→∞-=+.……2分 22222224x x x aaax dex e xe dx +∞+∞--+∞-=-=-∣+⎰⎰右边……3分 22222a x aa e xde +∞--=-⎰……4分2222222a x x a aa e xe e dx +∞--+∞-=-∣+⎰……5分 222222a a x aa e ae e ---+∞=+-∣222222a a a a e ae e ---=++. ……6分 于是，有2222222aa a a ea e ae e ----=++，解得0a =或1a =-……7分五、(本题满分9分)设某产品的成本函数为2C aq bq c =++，需求函数为()1q d p e=-，其中C 为成本，q 为需求量(即产量)，p 为单价，,,,,a b c d e 都是正的常数，且d b >，求：(1) 利润最大时的产量及最大利润； (2) 需求对价格的弹性； (3) 需求对价格弹性的绝对值为1时的产量. 解：(1) 利润函数为22()()()()L pq C d eq q aq bq c d b q e a q c =-=--++=--+-……2分 两侧同时对q 求导，得'()2()L d b e a q =--+. 令'L =0，得2()d bq e a -=+……3分 因为2()0L e a ''=-+<，所以当2()d bq e a -=+时，利润最大，且……4分 2max()L 4()d b ce a -=-+. ……5分(2) 因为1'q e=-， 所以需求对价格的弹性为'p q qη=-……7分 1()d eq d eqq e eq --=--=. ……8分 (3) 由1η=，得2dq e=.……9分六、(本题满分8分)假设: (1) 函数)(x f y =(∞<≤x 0) 满足条件 0)0(=f 和1)(0-≤≤x e x f ；(2) 平行于y 轴的动直线MN 与曲线)(x f y =和1-=xe y 分别交于点1P 和2P ；(3) 曲线)(x f y =、直线MN 与x 轴所围封闭图形的面积S 恒等于线段21P P 的长度. 求函数)(x f y =的表达式.解：由题设可得示意图如下： 由图可知()1()xx f x dx e f x =--⎰……3分两端求导，得()()x f x e f x '=- ……4分 即()()x f x f x e '+=. 解此一阶线性方程，得1()()2x x x x x f x e e e dx C e Ce --=+=+⎰, ……7分因(0)0f =，故有1C 2=-，因此所求函数为1()()2x x f x e e -=-……8分七、(本题满分6分)假设函数)(x f 在[0,1]上连续，在()1,0内二阶可导,过点(0,(0))A f 与(1,(1))B f 的直 线与曲线()y f x =相交于点(,())C c f c ，其中01c <<. 证明：在()1,0内至少存在一点ξ， 使0)(=''ξf .证一：因为()f x 在[0,c]上满足拉格朗日中值定理的条件，故存在1(0,),c ξ∈使1()(0)()0f c f f c ξ-'=- ……2分由于点C 在弦AB 上，故有()(0)(1)(0)(1)(0)010f c f f f f f c --==---， 1'()(1)(0)f f f ξ=-从而. ……3分 同理可证，存在22(,1),'()(1)(0)c f f f ξξ∈=-使,……4分于是有12'()'()f f ξξ=，从而()f x '在12[,]ξξ上满足罗尔定理的条件， 所以存在12(,)(0,1)ξξξ∈⊂使()0f ξ''=.……6分八、(本题满分10分)k 为何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++-=++4243212321321x x x k x kx x kx x x 有唯一解、无解、有无穷多组解? 在有解情况下，求出其全部解.解： 21141141102281124(1)(4)00(4)2k k k k k k k k k ⎛⎫⎪⎛⎫⎪ ⎪=-→→- ⎪ ⎪⎪ ⎪--+-⎝⎭- ⎪⎝⎭A ， ……1分 当1k ≠-和4时，有2221001141224014010212200100111k k k k k k k k k k k k ⎛⎫+⎛⎫ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪-++ ⎪→→ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭+⎝⎭A ， ……2分 这时方程组有唯一解：221232242,,111k k k k kx x x k k k+++-===+++. ……4分 当1k =-时，有()2()3R R =<=A A ，方程组无解. ……6分当4k =时，有114410300114011400000000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ，()()23R R n ==<=A A ，故方程组有无穷多组解.这时，得同解方程组13233,4x x x x =-⎧⎨=-+⎩. ……8分令3x c =，得方程组的全部解：34c x c c -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭或034101x c -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.其中c 为任意常数.……10分 九、(本题满分9分)设二次型222123123122313(,,)222f x x x x x x x x x x x x αβ=+++++经正交变换X = P Y 化成=f 23222y y +，其中()T x x x X 321,,=和()T y y y Y 321,,=是三维列向量，P 是3阶正交矩阵. 试求常数,αβ.解：变换前后二次型的矩阵分别为110001,01011002A B ααββ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，……2分二次型可以写成T f X AX =和Tf Y BY =，……3分 由于TP AP B =，P 为正交矩阵，故1P AP B -=，……5分 因此||||E A E B λλ-=-，即1100101011002λαλαλβλβλλ------=-----，……6分亦即32222323(2)()32λλαβλαβλλλ-+--+-=-+， ……8分 故其解0αβ==为所求常数.……9分十、(本题满分8分)设随机变量X 和Y 同分布,X 的概率密度为()f x =⎪⎩⎪⎨⎧<<他其020832x x , (1) 已知事件A ={X >a }和B ={Y >a }独立，且P (A B )=34,求常数a ； (2) 求21X 的数学期望. 解：(1) 由条件知()()()()()P A P B P AB P A P B ==；，……1分 23()()()()2()[()]4P A B P A P B P AB P A P A =+-=-=， ……3分由此得1()2P A =.又由条件知222333311{}()(8)8882a a a P X a f x dx x dx x a +∞>====-=⎰⎰，于是有34a =……6分 (2) 22222200113133()884E f x dx x dx x X x x +∞-∞====⎛⎛⎜⎜⎠⎠. ……8分十一、(本题满分8分)假设一大型设备在任何长为t 的时间内发生故障的次数N (t )服从参数为t λ的泊松分布.(1) 求相继两次故障之间时间间隔T 的概率分布；(2) 求在设备已经无故障工作8小时的情形下,再无故障运行8小时的概率Q .解：(1) 由于T 是非负随机变量，可见当0t <时，(){}0F t P T t =≤=， ……1分设0t ≥，则事件{}T t >与{()0}N t =等价.因此，当0t ≥时，有(){}1{}1{()0}1t F t P T t P T t N t e λ-=≤=->=-==-， ……4分 于是，T 服从参数为λ的指数分布.(2) {16|8}Q P T T =≥≥……5分 {16,8}{16}{8}{8}P T T P T P T P T ≥≥≥==≥≥ ……7分 1688e e eλλλ---==. ……8分数 学（试卷五）一、填空题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分) (1) lim 1212(1)22n n n →∞⎡++++++-=⎣ .(2) 已知()232,arcsin ,32x y f f x x x -⎛⎫='= ⎪+⎝⎭则0x dy dx ==32π.(3)=--⎰xx dx 1)2(1x c --.(4) 【 同数学四 第一、（4）题 】(5) 设10件产品有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为15二、选择题：(本题共5小题，每小题3分，满分15分) (1) 【 同数学四 第二、（1）题 】 (2) 【 同数学四 第二、（2）题 】(3) 若 21321,,,,ββααα都是四维列向量，且四阶行列式n m ==32211321,αβααβααα，则四阶行列式()21123ββααα+ 等于 (C )(A) m + n (B) - ( m + n ) (C) n - m (D) m - n(4) 设2=λ是非奇异矩阵A 的一个特征值，则矩阵 211()3A -有一特征值等于 (B)(A)34 (B) 43 (C) 21 (D) 41(5) 设随机变量X 与Y 均服从正态分布，22~(,4),~(,5)X N Y N μμ，记}5{},4{21+≥=-≤=μμY P p X P p ，则 (A )(A) 对任何实数μ，都有21p p = (B ) 对任何实数μ，都有 21p p < (C) 只对μ的个别值，才有21p p = (D ) 对任何实数μ，都有 21p p > 三、(本题满分5分)【 同数学四 第三题 】 四、(本题满分7分)【 同数学四 第四题 】 五、(本题满分7分)已知某厂生产x 件产品的成本为2125000020040C x x =++（元）.问： (1) 要使平均成本最小，应生产多少件产品？(2) 若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？ 解：(1) 设平均成本为y ，则25000200,40xy x =++ ……1分 2250001'040y x =-+=由，得121000,1000x x ==-（舍去）. ……2分因为510005100x y =''=⨯>，所以当310x =时，y 取得极小值，即最小值.因此，要使平均成本最小，应生产1000件产品.……4分 (2) 利润函数为22500(25000200)300250004040x x L x x x =-++=--，……5分 由20'3000L x=-=，得6000x =.……6分因为1L''(6000)020=-<，所以当6000x =时，L 取得极大值，即最大值.因此，要使利润最大，应生产6000件产品.……7分六、(本题满分6分) 设,p q 是大于1的常数，且111=+q p ，证明：对于任意0x >，有x qx p p ≥+11. 证：记11()p f x x x p q=+-，则 ……1分 1'()1p f x x -=-……2分 令()0f x '=，得 1.x =……3分 因为2''()(1),''(1)10.p f x p x f p -=-=-> ……4分 所以当1x =时，()f x 取得极小值，即最小值. ……5分 从而当0x >时，有()(1)0f x f ≥=，即11p x x p q+≥. ……6分七、(本题满分13分)运用导数的知识作函数xe x y 1)6(+=的图形. 解：显然定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞.令12260x x x y e x--'==，得122, 3.x x =-= ……3分又令14136''0xx y e x +==，得3613x =- ……5分列表如下：可见，极大值为2x y e=-∣=339x y e =∣= 拐点为136672(,e )1313-- ……8分又由0lim ,0.x y x +→=+∞=知为铅直渐近线 ……9分 而由1()(6)limlim 1xx x f x x ea x x→∞→∞+=== 1lim[()]lim[(6)]7xx x b f x x x e x →∞→∞=-=+-=知7y x =+为斜渐近线. ……11分此外，由于0lim 0x y -→=，可知函数曲线的左半支，当0x →时趋向于原点. 综上所述，即可作出图所示的图形. ……13分八、(本题满分8分)已知三阶矩阵A 的逆矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-3111211111A ，试求伴随矩阵*A 的逆矩阵.解：因1*1||A A A -=，故*||A A E A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，于是*111()||2||A A A A A A --===. ……3分 由于1111100111100(|)121010*********001002101A E -⎡⎡⎤⎤⎢⎢⎥⎥=→-⎢⎢⎥⎥⎢⎢⎥⎥-⎦⎦⎣⎣1015/211/20101100011/201/2⎡--⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ ……5分所以 5/211/21101/201/2A --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.……6分因此 *1521()220101A ---⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.……8分九、(本题满分8分)设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵，E 是n 阶单位矩阵()m n >.已知BA E =，试判 断A 的列向量组是否线性相关？为什么？解：记12[,,,]n A ααα= ，其中12,,,n ααα 为m 维列向量. 设存在数12,,,n k k k ，使得11220n n k k k ααα+++= .……2分即1212[,,,]0n n k k a k αα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 或120n k k A k ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，……4分这时，由于BA E =，故将上式左乘矩阵B 后，可得120n k k k ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， ……6分即120n k k k ==== . 因此矩阵A 的列向量组线性无关.……8分十、(本题满分8分)设随机变量X 和Y 独立，都在区间[1,3]上服从均匀分布；引进事件A ={X a ≤}， B ={Y >a }.(1) 已知P (A B )=9/7，求常数a ； (2) 求1X的数学期望. 解：(1) 设()p P A =.由X Y 和同分布，知(){}{}()P B P Y P X P A p αα=≤=≤==，故()1P B p =-.……1分由题设27()()()()(1)(1)19P A B P A P B P AB p p p p p p =+-=+---=-+= ， ……3分 由此得1212,33p p ==. 于是问题有两个解，即a 有两个可能值：122547113333αα=+==+=；. ……5分 (2) 3111111()ln 322E f x dx dx X x x +∞-∞===⎛⎛⎜⎜⎠⎠.……8分十一、(本题满分8分) 【 同数学四 第十一题 】。
考研数学三历年真题及答案
设F(x)=f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在 内满足以下条件：
， ，且f(0)=0,
(1)求F(x)所满足的一阶微分方程；
(2)求出F(x)的表达式.
八、〔此题总分值8分〕
设函数f(x)在[0，3]上连续，在〔0，3〕内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在 ，使
〔6〕将一枚硬币独立地掷两次，引进事件： ={掷第一次出现正面}， ={掷第二次出现正面}， ={正、反面各出现一次}， ={正面出现两次}，那么事件
(A) 相互独立. (B) 相互独立.
(C) 两两独立. (D) 两两独立. [ C ]
【分析】按照相互独立与两两独立的定义进展验算即可，注意应先检查两两独立，假设成立，再检验是否相互独立.
〔5〕设 均为n维向量，以下结论不正确的选项是
(A)假设对于任意一组不全为零的数 ，都有 ，那么 线性无关.
(B)假设 线性相关，那么对于任意一组不全为零的数 ，都有
(C) 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.
(D) 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. [ ]
〔6〕将一枚硬币独立地掷两次，引进事件： ={掷第一次出现正面}， ={掷第二次出现正面}， ={正、反面各出现一次}， ={正面出现两次}，那么事件
(C) 线性无关,那么此向量组的秩为s；反过来，假设向量组 的秩为s，那么 线性无关，因此(C)成立.
(D) 线性无关,那么其任一局部组线性无关，当然其中任意两个向量线性无关，可见(D)也成立.
综上所述，应选(B).
【评注】原命题与其逆否命题是等价的.例如，原命题：假设存在一组不全为零的数 ，使得 成立，那么 线性相关.其逆否命题为：假设对于任意一组不全为零的数 ，都有 ，那么 线性无关.在平时的学习过程中，应经常注意这种原命题与其逆否命题的等价性.
数学试卷93年普通高等国统一考试(北京及云南等省用题)文科数学试题及答案
1993年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史类)(北京、湖北、湖南、云南、海南、贵州等省市用题)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至9页，共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共68分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.一、选择题：本大题共17小题；每小题4分，共68分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1) 函数f (x )=sin x +cos x 的最小正周期是 ( )(A) 2π(B) π22(C) π(D)4π(2) 如果双曲线的焦距为6，两条准线间的距离为4，那么该双曲线的离心率为( )(A)23 (B)23 (C)26 (D) 2(3) 和直线3x －4y +5=0关于x 轴对称的直线的方程为 ( )(A) 3x +4y －5=0 (B) 3x +4y +5=0 (C) －3x +4y －5=0(D) －3x +4y +5=0(4) i 2n －3+i 2n －1+i 2n +1+i 2n +3的值为( )(A) －2(B) 0 (C) 2 (D) 4(5) 53x y =在[－1，1]上是 ( )(A) 增函数且是奇函数 (B) 增函数且是偶函数 (C) 减函数且是奇函数(D) 减函数且是偶函数(6) 5215lim 22+--∞→n n n n 的值为( )(A) 51-(B) 25-(C)51 (D)25 (7) 集合}24|{}42|{Z k k x x N Z k k x x M ∈+==∈+==，，，ππππ，则 ( ) (A) M =N(B) N M ⊃(C) N M ⊂(D) =⋂N M Ø(8) sin20ºcos70º+sin10ºsin50º的值是 ( )(A)41(B) 23(C)21 (D)43 (9) 圆x 2+y 2=1上的点到直线3x +4y －25=0的距离的最小值是 ( ) (A) 6(B) 4(C) 5(D) 1(10) 若a 、b 是任意实数，且a >b ，则 ( )(A) a 2>b 2(B)1<ab (C) lg(a －b )>0(D) ba⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛2121(11) 一动圆与两圆x 2+y 2=1和x 2+y 2－8x +12=0都外切，则动圆圆心轨迹为 ( )(A) 圆(B) 椭圆 (C) 双曲线的一支(D) 抛物线(12) 圆柱轴截面的周长l 为定值，那么圆柱体积的最大值是 ( )(A) π36⎪⎭⎫⎝⎛l(B) π3291⎪⎭⎫ ⎝⎛l(C) π34⎪⎭⎫ ⎝⎛l(D) π342⎪⎭⎫ ⎝⎛l(13) (x +1)4(x －1)5展开式中x 4的系数为 ( )(A) －40(B) 10(C) 40(D) 45(14) 直角梯形的一个内角为45º，下底长为上底长的23，这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的全面积为(5+2)π，则旋转体的体积为( )(A) 2π(B)π324+ (C)π325+ (D)π37 (15) 已知a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等比数列，公式q ≠1，则 ( )(A) a 1+ a 8> a 4+ a 5 (B) a 1+ a 8< a 4+ a 5 (C) a 1+ a 8= a 4+ a 5(D) a 1+ a 8和a 4+ a 5的大小关系不能由已知条件确定 (16) 设有如下三个命题：甲：相交两直线l ，m 都在平面α内，并且都不在平面β内. 乙：l ，m 之中至少有一条与β相交. 丙：α与β相交. 当甲成立时( )(A) 乙是丙的充分而不必要的条件 (B) 乙是丙的必要而不充分的条件 (C) 乙是丙的充分且必要的条件(D) 乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件(17) 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有( )(A) 6种(B) 9种(C) 11种(D) 23种第Ⅱ卷(非选择题共82分)注意事项：1．第Ⅱ卷6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中，要在答题卡上填涂. 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题：本大题共6小题；每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.(18) 设a >1，则1111lim -+∞→+-n n n a a =________________(19) 若双曲线222249ky k x -=1与圆x 2+y 2=1没有公共点，则实数k 的取值范围为___________________(20) 从1，2，…，10这十个数中取出四个数，使它们的和为奇数，共有__________种取法(用数字作答).(21) 设f (x )=4x －2x +1，则f －1(0)=______________(22) 建造一个容积为8m 3 ，深为2m 的长方体无盖水池.如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________________元(23) 如图，ABCD 是正方形，E 是AB 的中点，如将△DAE 和△CBE 分别沿虚线DE 和CE 折起，使AE 与BE 重合，记A 与B 重合后的点为P ，则面PCD 与面ECD 所成的二面角为__________度三、解答题：本大题共5小题；共58分.解题应写出文字说明、演算步骤.(24) (本小题满分10分) 求tg20º+4sin20º的值. (25)(本小题满分12分) 已知f (x )=log axx-+11(a >0，a ≠1). (Ⅰ)求f (x )的定义域；(Ⅱ)判断f (x )的奇偶性并予以证明； (Ⅲ)求使f (x )>0的x 取值范围. (26) (本小题满分12分) 已知数列()().1212853283118222222 ，，，，+-⋅⋅⋅⋅n n nSn 为其前n 项和.计算得.818049482524984321====S S S S ，，，观察上述结果，推测出计算S n 的公式，并用数学归纳法加以证明.(27) (本小题满分12分)已知：平面α∩平面β=直线a . α，β同垂直于平面γ，又同平行于直线b .求证：(Ⅰ)a ⊥γ； (Ⅱ)b ⊥γ.(28) (本小题满分12分)在面积为1的△PMN 中，tg ∠PMN =21，tg ∠MNP =－2.建立适当的坐标系，求以M ，N 为焦点且过点P 的椭圆方程.1993年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考解答及评分标准说明：1．本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3．解答右端所注分数，表示考生正确做到一步应得的累加分数. 4．只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分68分. (1)A (2)C (3)B (4)B (5)A (6)D (7)C (8)A (9)B (10)D (11)C (12)A (13)A (14)D (15)A (16)C (17)B二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分24分.(18)－a 2 (19){k ||k |>31} (20)100 (21)1 (22)1760 (23)30三、解答题(24)本小题考查三角函数式的恒等变形及运算能力.满分10分.解 tg20º+4sin20º︒︒︒+︒=20cos 20cos 20sin 420sin︒︒+︒=20cos 40sin 220sin ——2分 ()︒︒+︒+︒=20cos 40sin 40sin 20sin ︒︒+︒︒=20cos 40sin 10cos 30sin 2 ——6分 ︒︒+︒=20cos 40sin 80sin ︒︒︒=20cos 20cos 60sin 2 ︒=60sin 23=. ——10分(25)本小题考查函数的奇偶性、对数函数的性质、不等式的性质和解法等基本知识及运算能力.满分12分.解 (Ⅰ)由对数函数的定义知011>-+xx. ——1分 如果⎩⎨⎧>->+0101x x ，则－1<x <1； ——3分如果⎩⎨⎧<-<+0101x x ，则不等式组无解. ——4分故f (x )的定义域为(－1，1) (Ⅱ) ∵ ()()x f xxx x x f a a-=-+-=+-=-11log 11log ， ∴ f (x )为奇函数. ——6分 (Ⅲ)(ⅰ)对a >1，log a011>-+xx等价于111>-+xx， ① 而从(Ⅰ)知1－x >0，故①等价于1+x >1－x ，又等价于x >0.故对a >1，当x ∈(0，1)时有f (x )>0. ——9分(ⅱ)对0<a <1，log a 011>-+xx等价于 0<111<-+xx. ② 而从(Ⅰ)知1－x >0，故②等价于－1<x <0.故对0<a <1，当x ∈(－1，0)时有f (x )>0.——12分(26)本小题考查观察、分析、归纳的能力和数学归纳法.满分12分.解 ()()()N n n n S n ∈+-+=2212112. ——4分 证明如下：(Ⅰ)当n =1时，98313221=-=S ，等式成立. ——6分 (Ⅱ)设当n =k 时等式成立，即()().1211222+-+=k k S k——7分 则 ()()()221321218++++=+k k k S S k k()()()()()222232121812112+++++-+=k k k k k ()()()()()222232121832]112[+++++-+=k k k k k()()()()()()22222321218323212+++++-++=k k k k k k ()()()()()222223212123212+++-++=k k k k k()()2232132+-+=k k()()22]112[1]112[++-++=k k 由此可知，当n =k +1时等式也成立. ——11分 根据(Ⅰ)(Ⅱ)可知，等式对任何n ∈N 都成立. ——12分 (27)本小题考查直线与平面的平行、垂直和两平面垂直的基础知识，及空间想象能力和逻辑思维能力.满分12分.证法一(Ⅰ)设α∩γ=AB ，β∩γ=AC .在γ内任取一点P 并于γ内作直线PM ⊥AB ，PN ⊥AC . ——1分∵ γ⊥α， ∴ PM ⊥α. 而 a ⊂α， ∴ PM ⊥a .同理PN ⊥a . ——4分 又 PM ⊂γ，PN ⊂γ，∴ a ⊥γ. ——6分(Ⅱ)于a 上任取一点Q ，过b 与Q 作一平面交α于直线a 1，交β于直线a 2. ——7分 ∵ b ∥α，∴ b ∥a 1.同理b ∥a 2. ——8分 ∵ a 1，a 2同过Q 且平行于b ， ∵ a 1，a 2重合. 又 a 1⊂α，a 2⊂β，∴ a 1，a 2都是α、β的交线，即都重合于a . ——10分 ∵ b ∥a 1，∴ b ∥a . 而a ⊥γ，∴ b ⊥γ. ——12分 注：在第Ⅱ部分未证明b ∥a 而直接断定b ⊥γ的，该部分不给分.证法二(Ⅰ)在a 上任取一点P ，过P 作直线a ′⊥γ.——1分∵ α⊥γ，P ∈α， ∴ a ′⊂α.同理a ′⊂β. ——3分 可见a ′是α，β的交线.因而a ′重合于a. ——5分 又 a ′⊥γ，∴ a ⊥γ. ——6分 (Ⅱ)于α内任取不在a 上的一点，过b 和该点作平面与α交于直线c .同法过b 作平面与β交于直线d . ——7分∵ b ∥α，b ∥β.∴ b ∥c ，b ∥d . ——8分 又 c ⊄β，d ⊂β，可见c 与d 不重合.因而c ∥d .于是c ∥β. ——9分 ∵ c ∥β，c ⊂α，α∩β=a ，∴ c ∥a . ——10分 ∵ b ∥c ，a ∥c ，b 与a 不重合(b ⊄α，a ⊂α)，∴ b ∥a . ——11分 而 a ⊥γ，∴ b ⊥γ. ——12分 注：在第Ⅱ部分未证明b ∥a 而直接断定b ⊥γ的，该部分不给分.(28)本小题主要考查坐标系、椭圆的概念和性质、直线方程以及综合应用能力.满分12分.解法一如图，以MN 所在直线为x 轴，MN 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，设以M ，N 为焦点且过点P 的椭圆方程为12222=+by a x ，焦点为M (－c ，0)，N (c ，0). ——1分 由tg M =21，tg α=tg(π－∠MNP )=2，得直线PM 和直线PN 的方程分别为y =21(x +c )和y =2(x －c ).将此二方程联立，解得x =35c ，y =34c ，即P 点坐标为(35c ，34c ). ——5分在△MNP 中，|MN |=2c ，MN 上的高为点P 的纵坐标，故.34342212c c c S MNP =⋅⋅=∆ 由题设条件S △MNP =1，∴ c =23，即P 点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛332635，. ——7分 由两点间的距离公式()3152332236352222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=y c x PM ， ()315332236352222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=y c x PN . 得 ()21521=+=PN PM a . ——10分 又 b 2=a 2－c 2=343415=-，故所求椭圆方程为 .1315422=+y x ——12分 解法二同解法一得23=c ，P 点的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛332635，. ——7分 ∵ 点P 在椭圆上，且a 2=b 2+c 2.∴13322363522222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛b b . 化简得3b 4－8b 2－3=0.解得b 2=3，或b 2=31-(舍去). ——10分 又 a 2=b 2+c 2=3+41543=.故所求椭圆方程为1315422=+y x . ——12分 解法三同解法一建立坐标系. ——1分 ∵ ∠P =∠α－∠PMN ，∴ ()()4321212121=⨯+-=-+--=tgMN tg tgM N tg tgP ππ. ∴ ∠P 为锐角.∴ sin P =53，cos P =54. 而 S △MNP =21|PM |·|PN |sin P =1，∴ |PM |·|PN |=310. ——4分∵ |PM |+|PN |=2a ，|MN |=2c ，由余弦定理， (2c )2=|PM |2+|PN |2－2|PM |·|PN |cos P =(|PM |+|PN |)2－2|PM |·|PN |(1+cos P ) =(2a )2－2·310－2·310·54， ∴ c 2=a 2－3，即b 2=3. ——7分又 sin M =51，sin N =52，由正弦定理，P MN MPN NPM sin sin sin ==，∴PMN MN PN PM sin sin sin =++.即53251522ca =+， ∴ a =5c . ——10分∴ a 2=b 2+c 2=3+52a .∴ a 2=415. 故所求椭圆方程为1315422=+y x . ——12分古今中外有学问的人，有成就的人，总是十分注意积累的。