聚焦中考陕西地区2017年中考数学总复习专题十与圆切线性质有关的证明及计算课件

陕西专用
十、与圆切线性质有关的证明及计算
【例 1】
(2016·西宁)如图，D 为⊙O 上一点，点 C 在直径 BA 的延长
线上，且∠CDA＝∠CBD. (1)求证：CD 是⊙O 的切线； (2)过点 B 作⊙O 的切线交 CD 的延长线于点 E，BC＝6， AD 2 ＝，求 BE 的长． BD 3 解：(1)连接 OD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠BDO，∵∠CDA＝∠CBD，∴∠CDA
[对应训练] 6．如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于点D ，延长AO交⊙O于点E，连接CD，CE，若CE是⊙O的切线，解答下列问题： (1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若BC＝3，AB＝5，求平行四边形OABC的面积．
解：(1)连接 OD.∵四边形 OABC 是平行四边形，∴AO＝BC，OC＝BA， OC∥AB，∴∠EOC＝∠EAB，∠COD＝∠ODA，∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA， ∴∠EOC＝∠COD，∵OE＝OD，OC＝OC，∴△EOC≌△DOC(SAS)， ∴∠ODC＝∠OEC＝90°，∴OD⊥CD，∴CD 是⊙O 的切线 (2)过 D 作 DF⊥OC 于点 F，在 Rt△CDO 中，OC＝AB＝5，OD＝OA＝BC＝3， 1 1 ∴CD＝ 5 －3 ＝4，根据三角形面积公式得，S△COD＝ ·CD·OD＝ ·OC·DF， 2 2
【例 4】
如图，在平面直角坐标系内，O 为原点，点 A 的坐标为(－3，
5 0)，经过 A，O 两点作半径为的⊙C，交 y 轴的负半轴于点 B. 2 (1)求 B 点的坐标； (2)过 B 点作⊙C 的切线交 x 轴于点 D，求直线 BD 的解析式．
解：(1)∵∠AOB＝90°，∴AB 是直径，且 AB＝5，在 Rt△AOB 中，由勾股定理可得 BO＝ AB －AO ＝ 5 －3 ＝4，∴B 点的坐标为(0，－4)
2 2
[对应训练] 8．如图，在平面直角坐标系中，以点 O 为圆心，半径为 2 的圆与 y 轴交于点 A，点 P(2 3，2)是⊙O 外一点，连接 AP，直线 PB 与⊙O 相切于点 B，交 x 轴于点 C. (1)证明 PA 是⊙O 的切线； (2)求点 B 的坐标； (3)求直线 AB 的解析式．
解：(1)连接 AE，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB＝90°， 1 1 ∴∠1＋∠2＝90°，∵AB＝AC，∴∠1＝ ∠CAB，∵∠CBF＝ ∠CAB， 2 2 ∴∠1＝∠CBF，∴∠CBF＋∠2＝90°，即∠ABF＝90°， ∵AB 是⊙O 的直径，∴直线 BF 是⊙O 的切线
5 (2)过点 C 作 CG⊥AB 于 G.∵sin∠CBF＝，∠1＝∠CBF， 5 5 ∴sin∠1＝，∵在 Rt△AEB 中，∠AEB＝90°，AB＝5， 5 ∴BE＝AB·sin∠1＝ 5，∵AB＝AC，∠AEB＝90°，∴BC＝2BE＝2 5，在 Rt△ABE 中，由勾股定理得 AE＝ AB －BE ＝2 5， AE 2 5 CG BE 5 BG ∴sin∠2＝＝＝，cos∠2＝＝＝， AB 5 BC AB 5 BC 在 Rt△CBG 中，可求得 GC＝4，GB＝2，∴AG＝3，∵GC∥BF， GC AG GC·AB 20 ∴△AGC∽△ABF，∴ ＝，∴BF＝＝ BF AB AG 3
【例 2】 (2016·新疆)如图，在△ABC 中，AB＝AC，以 AB 为直径的⊙O 1 分别交 AC，BC 于点 D，E，点 F 在 AC 的延长线上，且∠CBF＝ ∠CAB. 2 (1)求证：直线 BF 是⊙O 的切线； 5 (2)若 AB＝5，sin∠CBF＝，求 BC 和 BF 的长． 5
【例 3】
如图，AB 是⊙O 的直径，OD⊥BC 于点 D，交⊙O 于点 M，点 C
是⊙O 上一点，过点 C 作⊙O 的切线，交 OD 的延长线于点 E，连接 BE. (1)求证：BE 与⊙O 相切； 2 (2)连接 AD 并延长交 BE 于点 F，若 OB＝9，cos∠ABC＝，求 BF 的长． 3
解： (1)连接 OC，∵CD 是⊙O 的切线，∴CD⊥OC，又∵CD⊥AD，∴AD∥OC，∴∠CAD ＝∠ACO，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠CAD＝∠CAO，即 AC 平分∠DAB (2)连接 BE，BC，BE 交 AC 于点 F，交 OC 于点 H.∵AB 是直径，∴∠AEB＝∠DEH ＝∠D＝∠DCH＝90°，∴四边形 DEHC 是矩形，∴∠EHC＝90°即 OC⊥EB，∴DC＝ 4 AD EH＝HB，DE＝HC，∵cos∠CAD＝＝，设 AD＝4a，AC＝5a，则 DC＝EH＝HB＝3a， 5 AC 4 AC 25 15 9 2 2 ∵cos∠CAB＝＝，∴AB＝ a，BC＝ a，在 Rt△CHB 中，CH＝ CB －BH ＝ a， 5 AB 4 4 4 9 7 AF AE 7 ∴DE＝CH＝ a，AE＝AD－DE＝ a，∵EF∥CD，∴ ＝＝ 4 4 FC ED 9
解：(1)∵BF 为⊙O 的切线，∴AB⊥BF 于点 B.∵CD⊥AB. ∴∠ABF＝∠AHD＝90°，∴CD∥BF，∴∠ADC＝∠F，又∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ABC＝∠F (2)连接 BD.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠A＝∠DBF. DF 3 又∵∠A＝∠C，∴∠C＝∠DBF.在 Rt△DBF 中，sin∠DBF＝＝， BF 5 5 2 2 DF＝6，∴BF＝ DF＝10，∴BD＝ BF －DF ＝8. 3 3 BD 5 40 在 Rt△ABD 中，sinC＝sinA＝，∴AB＝＝8× ＝ 5 sinA 3 3
2 2 2 2 2 2
5 2
[对应训练] 1．(2016·黔东南州)如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB ，垂足为E，且PC2＝PE·PO. (1)求证：PC是⊙O的切线； (2)若OE∶EA＝1∶2，PA＝6，求⊙O的半径．解：(1)连接OC，如图，∵CD⊥AB，∴∠PEC＝90°，∵PC2＝PE·PO， ∴PC∶PO＝PE∶PC，而∠CPE＝∠OPC，∴△PCE∽△POC，∴∠PEC＝ ∠PCO＝90°，∴OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线 (2)设OE＝x，则EA＝2x，OA＝OC＝3x，∵∠COE＝∠POC，∠OEC＝∠OCP， ∴△OCE∽△OPC，∴OC∶OP＝OE∶OC，即3x∶OP＝x∶3x，解得OP＝9x， ∴3x＋6＝9x，解得x＝1，∴OC＝3，即⊙O的半径为3
(2)∵∠ACB＝90°，∴AB＝ AC ＋BC ＝ 4 ＋2 ＝2 5， BD BC 2 1 1 1 5 ∵tanA＝＝＝＝，∴BD＝ AB＝ 5，∴CE＝ BD＝ AB AC 4 2 2 2 2
2
2
2
2
5．(导学号 30042119)(2016·武汉)如图，点 C 在以 AB 为直径的⊙O 上，AD 与过点 C 的切线垂直，垂足为点 D，AD 交⊙O 于点 E. (1)求证：AC 平分∠DAB； 4 AF (2)连接 BE 交 AC 于点 F，若 cos∠CAD＝，求的值． 5 FC
解：(1)如答图，连接 OC，∵CE 为切线，∴∠OCE＝90°，∵OD⊥BC， ∴∠COE＝∠BOE，又∵OC＝OB，∴△OBE≌△OCE(SAS)， ∴∠OBE＝∠OCE＝90°，∴BE 是⊙O 的切线 2 (2)在 Rt△OBD 中，BD＝OB·cos∠ABC＝9× ＝6，过点 D 作 DG⊥AB 于点 3 2 2 2 2 2 G，在 Rt△DGB 中，BG＝BD·cos∠ABC＝6× ＝4，∴DG＝ BD －BG ＝ 6 －4 3 DG AG 2 5 14 18 5 ＝2 5.∴AG＝18－4＝14，∵DG∥FB，∴ ＝，即＝，∴FB＝ FB AB FB 18 7
＝∠ODB，又∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADO＋∠ODB＝90°，∴∠ ADO＋∠CDA＝90°，即∠CDO＝90°，∴OD⊥CD，∵OD 是⊙O 半径，∴CD 是⊙O CD AD AD 2 的切线 (2)∵∠C＝∠C，∠CDA＝∠CBD，∴△CDA∽△CBD，∴ ＝，∵ ＝， BC BD BD 3 BC＝6，∴CD＝4，∵CE，BE 是⊙O 的切线，∴BE＝DE，BE⊥BC，∴BE ＋BC ＝EC ，即 BE ＋6 ＝(4＋BE) ，解得 BE＝
2 2
[对应训练] 4．(2016·永州)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为直径，过点B的切线与 AC的延长线交于点D，E是BD中点，连接CE. (1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)若AC＝4，BC＝2，求BD和CE的长．
解： (1)连接 OC，如图所示：∵BD 是⊙O 的切线，∴∠CBE＝∠A，∠ABD＝90°， ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO＋∠BCO＝90°，∠BCD＝90 1 °，∵E 是 BD 中点，∴CE＝ BD＝BE，∴∠BCE＝∠CBE＝∠A，∵OA＝OC， 2 ∴∠ACO＝∠A，∴∠ACO＝∠BCE，∴∠BCE＋∠BCO＝90°，即∠OCE＝90°， ∵OC 是⊙O 的半径，∴CE 是⊙OAB为⊙O的直径，AC为⊙O的切线，OC交⊙O于点 D，BD的延长线交AC于点E. (1)求证：∠1＝∠CAD； (2)若AE＝EC＝2，求⊙O的半径．
解：(1)∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADO＋∠BDO＝90°， ∵AC 为⊙O 的切线，∴OA⊥AC，∴∠OAD＋∠CAD＝90°，∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA，∵∠1＝∠BDO，∴∠1＝∠CAD (2)∵∠1＝∠CAD，∠C＝∠C，∴△CAD∽△CDE，∴CD∶CA＝CE∶CD， ∴CD ＝CA·CE，∵AE＝EC＝2，∴AC＝AE＋EC＝4，∴CD＝2 2，设⊙O 的半径为 x，则 OA＝OD＝x，则 Rt△AOC 中，OA ＋AC ＝OC ， ∴x ＋4 ＝(2 2＋x) ，解得 x＝ 2.∴⊙O 的半径为 2
2 2 2 2 2 2 2

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中考数学几何复习第七章圆第17课时切线的判定和性质(三)教案

第七章：圆第16课时：切线的判定和性质(三)教学目标：1、使学生学会较熟炼地运用切线的判定方法和切线的性质证明问题．2、掌握运用切线的性质和切线的判定的有关问题中辅助线引法的基本规律．教学重点：使学生准确、熟炼、灵活地运用切线的判定方法及其性质．教学难点：学生对题目不能准确地进行论证．证题中常会出现不知如何入手，不知往哪个方向证的情形．教学过程：一、新课引入：我们已经系统地学习了切线的判定方法和切线的性质，现在我们来利用这些知识证明有关几何问题．二、新课讲解：实际上在几何证明题中，我们更多地将切线的判定定理和性质定理应用在具体的问题中，而一道几何题的分析过程，是证题中的最关键步骤．P．109例3如图7-58，已知：AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD．求证：DC是⊙O的切线．分析：欲证CD是⊙O的切线，D是⊙O的弦AD的一个端点当然在⊙O上，属于公共点已给定，而证直线是圆的切线的情形．所以辅助线应该是连结OC．只要证OD⊥CD即可．亦就是证∠ODC=90°，所以只要证∠ODC=∠OBC即可，观察图形，两个角分别位于△ODC和△OBC中，如果两个三角形相似或全等都可以产生对应角相等的结果．而图形中已存在明显的条件OD=OB，OC=OC，只要证∠3=∠4，便可造成两个三角形全等．∠3如何等于∠4呢？题中还有一个已知条件AD∥OC，平行的位置关系，可以造成角的相等关系，从而导致∠3=∠4．命题得证．证明：连结OD．教师向学生解释书上的证题格式属于推出法和因为所以法的联用，以后证题中同学可以借鉴．P．110例4如图7-59，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB和CD相等，且AB与小圆相切于点E求证：CD与小圆相切．分析：欲证CD与小⊙O相切，但读题后发现直线CD与小⊙O并未已知公共点．这个时候我们必须从圆心O向CD作垂线，设垂足为F．此时F点在直线CD上，如果我们能证得OF等于小⊙O的半径，则说明点F必在小⊙O上，即可根据切线的判定定理认定CD与小⊙O相切．题目中已告诉我们AB切小⊙O于E，连结OE，便得到小⊙O的一条半径，再根据大⊙O中弦相等则弦心距也相等，则可得到OF=OE．证明：连结OE，过O作OF⊥CD，重足为F．请同学们注意本题中证一条直线是圆的切线时，这种证明途径是由直线与圆的公共点来给定所决定的．练习一、P．111，1．已知：OC平分∠AOB，D是OC上任意一点，⊙D与OA相切于点E．求证：OB与⊙D相切．分析：审题后发现欲证的OB与⊙D相切，属于OB与⊙D无公共点的情况．这时应从圆心D向⊙B作垂线，垂足为F，然后证垂线段DF等于⊙B的一条半径，而题目中已给OA与⊙D切于点E，只要连结DE．再根据角平分线的性质，问题便得到解决．证明：连结DE，作DF⊥O B，重足为F．P．111中2．已知如图7-61，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D．求证：AC与⊙O相切．分析：欲证AC与⊙O相切，同第1题一样，同属于直线与圆的公共点未给定情况．辅助线的方法同第1题，证法类同．只不过要针对本题特点还要连结OA．从等腰三角形的”三线合一”的性质出发，证得OA平分∠BAC，然后再根据角平分线的性质，使问题得到证明．证明：连结OD、OA，作OE⊥AC，垂足为E．同学们想一想，在证明OE=OD时，还可以怎样证？(答案)可通过“角、角、边”证Rt△ODB≌Rt△OEC．三、新课讲解：为培养学生阅读教材的习惯让学生阅读109页到110页．从中总结出本课的主要内容：1．在证题中熟练应用切线的判定方法和切线的性质．2．在证明一条直线是圆的切线时，只能遇到两种情形之一，针对不同的情形，选择恰当的证明途径，务必使同学们真正掌握．(1)公共点已给定．做法是“连结”半径，让半径“垂直”于直线．(2)公共点未给定．做法是从圆心向直线“作垂线”，证“垂线段等于半径”．四、布置作业1．教材P．116中8、9．2．教材P．117中2．。

【精选文档】陕西省聚焦中考数学专题聚焦专题三圆PPT

2．(2015·宁夏)如图，AC 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，点 P 是⊙O 外一点，连接 PB，AB，∠PBA＝∠C. (1)求证：PB 是⊙O 的切线； (2)连接 OP，若 OP∥BC，且 OP＝8，⊙O 的半径为 2 2，求 BC 的长．
解：(1)连接 OB，∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC＝90°，∴∠C＋∠BAC ＝90°，∵OA＝OB，∴∠BAC＝∠OBA，∵∠PBA＝∠C，∴∠PBA＋ ∠OBA＝90°，∴PB⊥OB，又∵OB 是⊙O 的半径，即 PB 是⊙O 的切线 (2)∵⊙O 的半径为 2 2，∴OB＝2 2，AC＝4 2，∵OP∥BC，∴∠ C＝∠OBC＝∠BOP，又∵∠ABC＝∠PBO＝90°，∴△ABC∽△PBO，
(2)若⊙O的半径为5，AE＝8，求EF的长．
1，cosQ＝35，求⊙O
的半径．
(1)求证：AF＝CF；
(1)求证：直线EF是⊙O的切线；
(1)求证：直线EF是⊙O的切线；
(2)求cosE的值．
1．如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，半径为2的圆与y轴交于点A，点P(2，2)是⊙O外一点，连接AP，直线PB与⊙O相切于
∴OBCB＝AOCP，∴2BC2＝482，即 BC＝2
3．( ·天水)如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，OC平行于弦 AD，过点D作DE⊥AB于点E，连接AC，与DE交于点P.求证： (1)PE＝PD； (2)AC·PD＝AP·BC.
解：(1)∵AB 是⊙O 的直径，BC 是切线，∴AB⊥BC，∵DE⊥AB，∴ DE∥BC，∴△AEP∽△ABC，∴BECP ＝AABE …①，又∵AD∥OC，∴∠ DAE＝∠COB，∴△AED∽△OBC，∴BEDC＝OABE＝1AE ＝2AABE…②，由

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( ·东营)已知在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC于点D，交AB于点E.
(1)证明PA(是1⊙)O求的切证线：； ∠BAD＝∠E；
( ·东营)已知在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC于点D，交AB于点E.
【角点形评，】或解把(决角2)圆进若中行的转⊙三化角．O的函数半，关径键为在于5找，到相AC关＝的直8角，三求角形B，E若的没长有现．成的直角三角形，则需根据所给的条件，合理构造直角三
(【点·东评营】)解已线决知圆在中△(的A2B三)C∵角中函，⊙数∠AO，B关C的＝键9在半0于°径找，到以为相AB关上2的的直一2角，点三∴角为形圆O，心B若，＝没以有O2A现为成2半的，径直的A角圆C三交＝角A形C4，于则点2需D，，根交∵据A所BO给于P的点∥条E.件B，C合，理∴构造∠直角三
陕西省聚焦中考数学专题聚焦课件专题三圆
相似三角形与圆
【例1】 ( ·陕西)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点B作
3．( ·天水)如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连接AC，与DE交于点P.
(【1)点证评明】PA此⊙是类⊙O题O的构的造切切直线角线；三D角E形，是解与题A的C关的键．延长线交于点D，作AE⊥AC交DE于点E.
AE，若∠C＝45°，求sin∠CAE的值． 3．( ·天水)如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连接AC，与DE交于点P. (1)求证：∠BAD＝∠E；【例2】 ( ·安顺)如图，等腰三角形ABC中，AC＝BC＝10，AB＝12，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E.

陕西专版中考数学新突破复习第一部分第六章圆6.1圆及其相关性质课件

cm，
AB⊥CD，AB＝8 cm， 1 1 ∴AM＝ AB＝ × 8＝4 cm，OD＝OC＝5 cm， 2 2 当C点位置如图所示时， ∵OA＝5 cm，AM＝4 cm，CD⊥AB， ∴OM＝ OA2－AM2＝ 52－42＝3 cm， ∴CM＝OC＋OM＝5＋3＝8， ∴AC＝ AM2＋CM2＝ 42＋82＝4 5 cm.故选B．
位置，半径确定圆的 ________ 大小， 2 ．圆心确定圆的 ________ 圆心相同的圆叫做同心圆，半径相等的圆叫做等圆．
3．圆的有关概念：a.弦：连接圆上任意两点的线段；b.
半径的2倍；c.弧：圆上直径：经过圆心的弦，直径等于________ 任意两点间的部分； d.圆心角：顶点在圆心且两边都和圆相交的角叫圆心角； e.圆周角：顶点在圆上且两边都和圆相交的角叫圆周角． 4．圆的对称性过圆心的直线都是它 (1)轴对称性：圆是轴对称图形，________ 的对称轴．圆心 (2) 中心对称性：圆是以 ________ 为中心的中心对称图形．
3．垂径定理与推论的延伸：根据圆的对称轴，如图所示，在以下五条结论中， ①AC ＝ BC ；② AD ＝ BD ；③ AE＝ BE；④ AB ⊥CD；⑤CD 是直径. 只要满足其中两个，另外三个结论一定成立．
【注意】(1)在使用垂径定理的推论时注意“弦非直径”
︵
︵
︵
︵
这一条件，因为所有的直径互相平分，但互相平分的直径不
一定垂直；(2)弦心距、半径、弦的一半构成的直角三角形，常用于计算求未知线段或角．为构造这个直角三角形，常连接半径或作弦心距，利用勾股定理求未知线段长是常用方法．
►知识点三
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

小专题(十) 圆的切线有关的计算与证明-针地陕西中考第23题

(1)求证：CF＝DF； (2)若点 C 为 AD 中点，CF＝145， sin∠ADE＝35，求⊙O 的半径．
解：(1)证明：连接 OC. ∵CF 为⊙O 的切线， ∴OC⊥CF. ∴∠OCF＝90°. ∴∠OCA＋∠FCD＝90°. ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠A. ∵DE⊥AE，∴∠D＋∠A＝90°. ∴∠FCD＝∠D.∴FC＝FD.
∵OA＝OB，BE＝CE， ∴OE 是△ABC 的中位线． ∴OE∥AC.∴OE⊥BD.∴BD∥EF. ∵BE＝CE.∴CF＝DF. ∴EF 是△CDB 的中位线．
(2)∵∠AEB＝90°， ∴AE＝ AB2－BE2＝ 52－32＝4. ∵S△ABC＝12AC·BDห้องสมุดไป่ตู้12BC·AE， ∴BD＝BCA·CAE＝6×5 4＝254. ∵EF 是△CDB 的中位线， ∴EF＝12BD＝152.
(2)连接 BC.∵点 M 是A︵B的中点， ∴A︵M＝B︵M.∴∠BCM＝∠ABM. 又∵∠BMC＝∠BMN， ∴△MBN∽△MCB. ∴MBMC＝MBMN. ∴BM2＝MC·MN.
6．(2019·商洛商南县二模)如图，已知 AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，点 E 在 AB 上，作 DE⊥AB 交 AC 的延长线于点 D，过点 C 作⊙O 的切线 CF 交 DE 于点 F.
又∵NP 平分∠MNQ， ∴∠ONP＝∠PNQ. ∴∠OPN＝∠PNQ. ∴OP∥NQ. ∴NQ⊥PQ.
(2)连接 MP. ∵MN 是⊙O 的直径， ∴∠MPN＝90°.
∴cos∠MNP＝MNPN＝3 6 3＝
3 2.
∴∠MNP＝30°.
∴∠PNQ＝30°.
∴Rt△PNQ 中，NQ＝NP·cos30°＝3 3× 23＝92.

2017中考数学(陕西专版)总复习专题综合强化课件：专题三_计算、证明与作图

以线段 MN 为弦，则圆心 P 必在 MN 的垂直平分线上； P 到
∠AOB两边的距离相等，则P在∠AOB的角平分线上，两条
线的交点就是圆心P，PM或PN就是⊙P半径．
【解答】如图，⊙P就是所求作的圆．
中
考
全
程
总
复
习
·
陕
西
·
数
学
6．全等三角形的判定与性质
全等三角形的判定与性质，是陕西中考的一个热点命
分母，进而去分母求出方程的根即可．
【解答】 x－1 2＝12－－xx－3
中考
方程两边同乘以x－2得：1＝x－1－3(x－2)，
全程
总
整理得：2x＝4，
复
习
解得：x＝2，
·
陕
检验：当x＝2时，x－2＝0，故x＝2不是原方程的根，西
·
故此方程无解．
数
学
4．解不等式组
本考点常以简单的一元一次不等式组作为命题点进行考
本考点涉及分式的化简和先化简再求值两种类型，解题
时需要掌握分式的基本性质及通分约分的法则，熟练进行实
数的运算．
中考
全
程
总
复
习
·
陕
西
·
数
学
【例】
(2015·威海)先化简，再求值：(
1 x＋1
－
1 x－1
)
÷4x＋2－21x，其中x＝－2＋ 3.
中
【思路点拨】
本题考查分式的化简与求值．先根据分
考全
1 ＝－ 3
习 · 陕
3
西
3.
· 数
学
3．解分式方程

陕西省中考数学复习针对性训练：与圆切线性质有关的证明及计算十九(针对陕西中考第24题)

与圆切线性质有关的证明及计算十九(针对陕西中考第24题)1．(2015·绥化)如图，以线段AB 为直径作⊙O ，CD 与⊙O 相切于点E ，交AB 的延长线于点D ，连接BE ，过点O 作OC ∥BE 交切线DE 于点C ，连接AC.(1)求证：AC 是⊙O 的切线；(2)若BD ＝OB ＝4，求弦AE 的长．解：(1)证明：连接OE ，∵CD 与圆O 相切，∴OE ⊥CD ，∴∠CEO ＝90°，∵BE ∥OC ，∴∠AOC ＝∠OBE ，∠COE ＝∠OEB ，∵OB ＝OE ，∴∠OBE ＝∠OEB ，∴∠AOC ＝∠COE ，在△AOC 和△EOC 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OE ∠AOC ＝∠COE OC ＝OC，∴△AOC ≌△EOC(SAS )，∴∠CAO ＝∠CEO ＝90°，则AC 与圆O 相切 (2)在Rt △DEO 中，BD ＝OB ，∴BE ＝12OD ＝OB ＝4，∵OB ＝OE ，∴△BOE 为等边三角形，∴∠ABE ＝60°，∵AB 为圆O 的直径，∴∠AEB ＝90°，∴AE ＝BE·tan 60°＝4 32．(2015·丽水)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 分别与BC ，AC 交于点D ，E ，过点D 作⊙O 的切线DF ，交AC 于点F.(1)求证：DF ⊥AC ；(2)若⊙O 的半径为4，∠CDF ＝22.5°，求阴影部分的面积．解：(1)连接OD ，∵OB ＝OD ，∴∠ABC ＝∠ODB ，∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，∴∠ODB ＝∠ACB ，∴OD ∥AC ，∵DF 是⊙O 的切线，∴DF ⊥OD ，∴DF ⊥AC (2)连接OE ，∵DF ⊥AC ，∠CDF ＝22.5°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝67.5°，∴∠BAC ＝45°，∵OA ＝OE ，∴∠AOE ＝90°，∵⊙O 的半径为4，∴S 扇形AOE ＝4π，S △AOE ＝8 ，∴S 阴影＝4π－83．(2015·赤峰)如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，与BA 的延长线交于点D ，DE ⊥PO 交PO 延长线于点E ，连接PB ，∠EDB ＝∠EPB.(1)求证：PB 是的切线；(2)若PB ＝6，DB ＝8，求⊙O 的半径．解：(1)证明：∵在△DEO和△PBO中，∠EDB＝∠EPB，∠DOE＝∠POB，∴∠OBP ＝∠E＝90°，∵OB为圆的半径，∴PB为圆O的切线(2)在Rt△PBD中，PB＝6，DB＝8，根据勾股定理得：PD＝62＋82＝10，∵PD与PB都为圆的切线，∴PC＝PB＝6，∴DC ＝PD－PC＝10－6＝4，在Rt△CDO中，设OC＝r，则有DO＝8－r，根据勾股定理得：(8－r)2＝r2＋42，解得：r＝3，则圆的半径为34．(2015·菏泽)如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，BC的延长线与⊙O的切线AF交于点F.(1)求证：∠ABC＝2∠CAF；(2)若AC＝210，CE∶EB＝1∶4，求CE的长．解：(1)连接BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB＋∠ABD＝90°，∵AF是⊙O的切线，∴∠FAB＝90°，即∠DAB＋∠CAF＝90°，∴∠CAF＝∠ABD，∵BA＝BC，∠ADB＝90°，∴∠ABC＝2∠ABD，∴∠ABC＝2∠CAF(2)连接AE，∴∠AEB ＝90°，设CE＝x，∵CE∶EB＝1∶4，∴EB＝4x，BA＝BC＝5x，AE＝3x，在Rt△ACE中，AC2＝CE2＋AE2，即(210)2＝x2＋(3x)2，∴x＝2，∴CE＝2。

初中教育中考复习计划专题——圆切线证明

中考复习专题-------- 圆的切线的判断与性质知识考点：1、掌握切线的判断及其性质的综合运用，在波及切线问题时，常连结过切点的半径，切线的判断常用以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。

2、掌握切线长定理的灵巧运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的心里。

精典例题：一、若直线l 过⊙ O 上某一点A，证明l 是⊙ O 的切线，只要连OA，证明OA⊥ l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例 1如图，在△ ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙ O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD 延长线于 F.求证： EF与⊙ O 相切 .例 2如图，AD是∠ BAC的均分线，P为BC延伸线上一点，且PA=PD.求证： PA与⊙ O 相切 .例 3 如图， AB=AC，AB 是⊙ O 的直径，⊙ O 交 BC于 D，DM⊥AC于 M求证： DM 与⊙O相切.例 4如图，已知：AB是⊙ O的直径，点C 在⊙ O 上，且∠ CAB=300， BD=OB， D 在 AB 的延伸线上 .求证： DC是⊙ O 的切线例 5 如图， AB 是⊙ O 的直径， CD⊥AB，且 OA2=OD· OP.求证： PC是⊙ O 的切线 .例 6如图，ABCD是正方形，G是BC延伸线上一点，AG 交 BD 于 E，交 CD 于 F.求证： CE与△ CFG的外接圆相切.二、若直线l 与⊙ O 没有已知的公共点，又要证明l 是⊙ O 的切线，只要作OA⊥ l， A 为垂足，证明OA 是⊙ O 的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”例 7 如图， AB=AC， D 为 BC中点，⊙ D 与 AB 切于 E 点 .求证： AC与⊙ D 相切 .例 8 已知：如图， AC， BD 与⊙ O 切于 A、 B，且 AC∥ BD，若∠ COD=900.求证： CD是⊙ O 的切线 .[习题练习 ]例 1 如图， AB 是⊙ O 的弦（非直径）， C、 D 是 AB 上两点，而且OC=OD，求证： AC=BD．例 2 已知：如图，在△ABC中， AB=AC，以 AB 为直径的⊙ O 与 BC交于点 D，与 AC?交于点 E，求证：△ DEC为等腰三角形．例 3 如图， AB 是⊙ O 的直径，弦 AC 与 AB 成 30°角， CD与⊙ O 切于 C，交 AB?的延伸线于D，求证： AC=CD．例 4 如图 20-12 ， BC为⊙ O 的直径， AD⊥BC，垂足为??D，AB AF ，BF和AD交于E，求证： AE=BE．例 5 如图， AB 是⊙ O 的直径，以 OA 为直径的⊙ O1与⊙O2的弦订交于 D， DE⊥ OC，垂足为 E．（1）求证： AD=DC．（ 2）求证： DE 是⊙ O1的切线．例6 如图，已知直线MN 与以 AB 为直径的半圆相切于点（ 1）求∠ ACM 的度数．（ 2）在 MN 上能否存在一点C，∠ A=28°．D，使 AB· CD=AC· BC，说明原因．例 7 如图，在 Rt△ABC 中，∠ C=90°， AC=5， BC=12，⊙ O 的半径为 3．（1）若圆心 O 与 C重合时，⊙ O 与 AB 有如何的地点关系（2）若点 O 沿 CA 挪动，当 OC 等于多少时，⊙ O 与 AB 相切19.如图， Rt △ ABC 内接于 ⊙ O ， AC=BC ，∠ BAC 的均分线 AD 与 ⊙0 交于点 D ，与 BC 交于点 E ，延伸 BD ，与 AC 的延伸线交于点 F ，连结 CD ， G 是 CD 的中点，连结 0G ． (1)判断 0G 与 CD 的地点关系，写出你的结论并证明； (2) 求证： AE=BF ；（ 3）若 OG DE 3(22) ，求⊙ O 的面积。

陕西中考圆的证明与计算(2023版)

陕西中考圆的证明与计算（2023版）知识总结1．切线的性质：垂直于过切点的半径．（连半径，得垂直）2．切线的判定：（1）定义法：和圆只有一个交点的直线是圆的切线；（2）距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；证明d =r 即可，常用于已知数据的计算，比如动圆相切问题．（3）判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．换个说法：⎧⎨⎩有交点：连半径,证垂直无交点：作垂直,证半径，多用于几何证明．多数情况为有交点，重点考虑如何证垂直：①证明和已知垂线平行；②证明夹角为直角．3．常见相切图（1）角分+等腰得平行：点C 在以AB 为直径的圆O 上，AH ⊥CH ，且AC 平分∠HAB ．【证明】连接OC，则OC=OA，∴∠OCA=∠OAC，又∠OAC=∠HAC，∴∠OCA=∠HAC，∴OC∥AH，∴OC⊥CH，∴CH是圆O的切线．（2）证明和已知直角相等．证明△PCO≌△PAO，可得∠PCO=∠PAO=90°．（3）证明夹角为直角．（弦切角定理）如图，若∠BAC=∠D，则AB是圆O切线．如图，连接AO并延长交圆O于点P，则∠P=∠D=∠BAC，∵∠P+∠PAC=90°，∴∠BAC+∠PAC=90°，即AB⊥AP，∴AB是圆O的切线．1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC 于点E．（1）求证：DE＝AE；（2）若AD＝8，DE＝5，求BC的长度．2．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以BC为直径的⊙O交AC于点E，⊙O的切线DE交AB于点D．（1）求证：DA＝DB；（2）连接BE，OD，交点为F，若cos A＝，BC＝6，求OF的长．3．如图，AB是⊙O的直径，经过⊙O上一点D，作⊙O的切线EF，交AB的延长线于点F，AE⊥EF，交BD的延长线于点C．（1）求证：AB＝AC．（2）若⊙O的半径为3，，求BF的长．4．如图，AB为⊙O的直径，C、E为⊙O上的两点，过点E的切线交CB的延长线于点D，且CD⊥DE，连接CE，AE．（1）求证：∠ABC＝2∠A；（2）若⊙O半径为，AB：BD＝5：1，求AE的长．5．已知：如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，交AB延长线于点D，∠D＝30°，连接AC、BC，CE平分∠ACB交⊙O于点E，过点B作BF⊥CE，垂足为F．（1）求证：CA＝CD；（2）若AB＝12，求线段BF的长．6．已知：如图，⊙O过正方形ABCD的顶点A，B，且与CD边相切于点E．点F是BC与⊙O的交点，连接OB，OF，AF，点G是AB延长线上一点，连接FG，且∠G+∠BOF＝90°．（1）求证：FG是⊙O的切线；（2）如果正方形边长为8，求⊙O的半径．7．如图，在△AOB中，以点O为圆心的⊙O与AB相切于点D，延长AO交⊙O于点C，连接CD，过点A作AF⊥BO，交BO的延长线于点H，交⊙O于点F，∠B＝∠C．求证：（1）AF∥CD；（2）AH2＝OH⋅BH．8．如图，AB是⊙O的直径，已知点D是弧BC的中点，连接DO并延长，在延长线上有一点E，连接AE，且∠E＝∠B．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）连接AC，若AC＝6，CF＝4，求OE的长．9．如图，AB是⊙O的直径，C在AB的延长线上，⊙O与CD相切于点D，过点A作AE ⊥CD，垂足为E．（1）求证：AD平分∠EAC．（2）若BC＝3，，求⊙O的半径以及线段ED的长．10．如图，AB是⊙O的直径，点D是直径AB上不与A，B重合的一点，过点D作CD⊥AB，且CD＝AB，连接BC交⊙O于点F，在CD上取一点E，使EF＝EC．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）当D是OA的中点时，AB＝4，求BF的长．11．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，过点A作BC平行线AM，连接BO并延长，交AM于点D，连接AO、CO．（1）求证：AM是⊙O的切线；（2）若BC＝10，AD＝8，求⊙O的半径．12．如图，已知△ABC的边AB所在的直线是⊙O的切线，切点为B，AC经过圆心O并与圆交于点D、C，E为AB延长线上一点，连接CE交⊙O于点F，且∠BCE＝∠ACB．（1）求证：CE⊥AB；（2）若⊙O的半径是6，AB＝8，求EF的长．13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以FB为直径作⊙O，⊙O与直角边AC相切，切点为E．（1）求证：∠DBE＝∠EBA；（2）若AB＝10，DB＝4，求EB的长．14．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC，垂足为D，连接AD，过点A作⊙O的切线与DO的延长线相交于点E．（1）求证：∠B＝∠E；（2）若⊙O的半径为4，OE＝6，求AD的长．15．如图，AB是⊙O的直径，点D、E均在⊙O上，连接AD、BD、BE、DE，过点D作⊙O的切线，交AB的延长线于点C．（1）求证：∠DEB＝∠CDB；（2）若BD＝DE＝6，BE＝9.6，求⊙O的半径．16．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，BC为⊙O的直径，点E是⊙O上一点，连接OE 并延长交过点C的切线CD于点D，∠B＝∠D．（1）求证：OD∥AC；（2）延长EO交AB于点F，AF＝2，⊙O的直径为2，求OD的长．17．如图，已知△ABC的外接圆直径是AB，点O是圆心，点D在⊙O上，且＝，过点D作⊙O的切线，与CA、CB的延长线分别交于点E、F．（1）求证：AB∥EF；（2）若⊙O的半径为5，BC＝8，求DF的长度．18．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CE，垂足为D，AC平分∠DAB．（1）判定直线CE与⊙O的位置关系，并说明你的理由；（2）若AD＝3，AC＝4，求圆的半径．19．如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点恰好为BC的中点D，与AC边的交点为F，过点D作DE⊥AC于点E．（1）求证：直线DE是⊙O的切线；（2）若AB＝5，tan∠ACB＝2，求弦AF的长度．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D．过点D作DE⊥AC，垂足为E，延长CA交⊙O于点F．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若tan B＝，⊙O的半径为5，求线段CF的长．21．如图，AB为⊙O的直径，OD为⊙O的半径，⊙O的弦CD与AB相交于点F，⊙O的切线CE交AB的延长线于点E，EF＝EC．（1）求证：OD垂直平分AB；（2）若⊙O的半径长为3，且BF＝BE，求OF的长．22．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，BD⊥CD，DB的延长线与⊙O交于点E．（1）求证：∠ABE＝2∠A；（2）若，BD＝4，求BE的长．23．如图，在△ABC中，AC＝AB，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作ED⊥AC 点E，交AB延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若DF＝4，tan∠BDF＝，求AC的长．24．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若直径AD＝10，cos B＝，求FD的长．25．如图，AB是⊙O的直径，AE是⊙O的切线，点C为直线AE上一点，连接OC交⊙O 于点D，连接BD并延长交线段AC于点E．（1）求证：∠CAD＝∠CDE；（2）若CD＝6，tan∠BAD＝，求⊙O的半径．26．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且对角线BD为⊙O的直径，过点A作AE ⊥CD，与CD的延长线交于点E，且DA平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，CD＝6，求AD的长．27．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE是⊙O的直径，点B是的中点，过点B的切线与AC的延长线交于点D．①求证：BD⊥AD；②若AC＝9，tan∠ABC＝，求⊙O的半径．28．如图，△ABC中，∠C＝90°，点O在AB上，⊙O经过点A，且与BC相切于点D．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若AC＝6，cos∠BAC＝，求⊙O的半径．29．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，CD平分∠ACB，交AB于点E，交⊙O 于点D，延长BA到点P，使得PE＝PC．（1）求证：PC与⊙O相切；（2）若⊙O的半径3，PC＝4，求CD的长．30．如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上两点，CE与⊙O相切，交DB延长线于点E，且DE⊥CE，连接AC，DC．（1）求证：∠ABD＝2∠A；（2）若DE＝2CE，AC＝8，求⊙O的半径．31．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，且OD⊥AC于点E，OD交⊙O于点F，连接CF、BF，若∠BFC＝∠ODA．（1）求证：AD是⊙O的切线：（2）若AB＝10，AC＝8，求AD的长．32．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接OD，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E，延长CA交⊙O于点F，连接BF．（1）求证：DE⊥AC；（2）若⊙O的直径为5，cos C＝，求CF的长．33．如图，在⊙O中，PA是直径，PC是弦，PH平分∠APB且与⊙O交于点H，过H作HB⊥PC交PC的延长线于点B．（1）求证：HB是⊙O的切线；（2）若HB＝4，BC＝2，求⊙O的半径．34．如图，AB是⊙O的直径，点D在直径AB上（D与A，B不重合），CD⊥AB，且CD＝AB，连接CB，与⊙O交于点F，在CD上取一点E，使得EF＝EC．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若D是OA的中点，AB＝4，求CF的长．35．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且对角线BD为直径，过点A作⊙O的切线AE，与CD的延长线交于点E，已知DA平分∠BDE．（1）求证：AE⊥DE；（2）若⊙O的半径为5，CD＝6，求AD的长．36．如图，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，点O在CD上，作⊙O，使⊙O与AD相切于点B，⊙O与CD交于点E，过点D作DF∥AC，交AO的延长线于点F，且∠OAB＝∠F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若OC＝3，DE＝2，求DF的长．37．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，以CD为直径作⊙O，与BC交于点E，过点E作⊙O的切线EF，交AB于点F．（1）求证：EF⊥AB；（2）若⊙O的半径是，cos∠ACD＝，求DF的长．38．如图，⊙O是△ABC的外接圆，＝，过点A作AD∥BC交⊙O于点D，连接CD，延长DA到点E，连接CE，∠D＝∠E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若CE＝8，AE＝5，求⊙O半径的长．39．如图，BD为⊙O的直径，∠ABE＝∠BCA，过点A的直线与⊙O分别交于点E，C，与BD交于点F，连接BE，BC．（1）求证：AB为⊙O的切线．（2）若∠A＝∠ABE，BE＝5，BC＝8，求⊙O的半径．40．如图，AB是⊙O的直径，AE是⊙O的切线，点C为直线AE上一点，连接OC交⊙O 于点D，连接BD并延长交线段AC于点E．（1）求证：∠CDE＝∠CAD；（2）若CD＝4，tan B＝，求⊙O的半径．。

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