2019届河北省衡水中学高三下学期六调数学(理)试题(解析版)
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【详解】 ∵在直观图△ A′B′C′中，A′B′＝B′C′＝3，
∴S′ 1 A′B′•B′C′•sin45° 9 2
2
4
由斜二侧画法的画图法则，可得在△ ABC 中，AB＝6．BC＝3，且 AB⊥BC
∴S 1 AB•BC＝9 2
则由 S＝kS′得 k＝2 2 ，则 T＝T 2 k （m﹣1）＝T 2（m﹣1） 2
的直线 l 与 x 轴, y 轴分布交于点 P , Q 两点,则 POQ 面积的最小值为（ ）
A． 1 2
【答案】D
B． 4 3
C．1
D． 2 3
【解析】由点 H 在椭園 x2 y2 1上,知 H (3cos , 2sin ) ,由点 H (3cos , 2sin ) 94
作圆 x2 y2 2 的两条切点,点 A , B 为切点,知直线 AB 的方程为：
x
其中为“柯西函数”的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】由柯西不等式得：对任意实数 x1, y1, x2 , y2 ,
x1x2 y1 y2 x12 y12 x22 y22 0 恒成立（当且仅当存在实数 k ,使得
x1 kx2, y1 ky2 取等号）,若函数 f x 在其图象上存在不同的两点 A x1, y1, B x2, y2 ,
8．双曲线 的左右焦点分别为 ， ，且 恰为抛物线
的焦点，设双曲线 与该
抛物线的一个交点为 ，若 为（ ） A．
是以 为底边的等腰三角形，则双曲线 的离心率 B．
C．
D．
【答案】B
【解析】试题分析：∵
，∴焦点为 ，即 ，
∵
，∴
，
即
，∴
，则
，即
，∴
．
【考点】抛物线的标准方程及几何性质．
9．如图①，利用斜二侧画法得到水平放置的 ABC 的直观图 ABC ，其中 AB / / y
3
【点睛】
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本题考查三角形面积的最小值的求法,具体涉及到椭圆、圆、直线方程、三角函数、参 数方程等基本知识点,解题时要认真审题,注意等价转化思想的合理运用.
12．若函数 f (x) 在其图象上存在不同的两点 A x1, y1 , B x2, y2 ,其坐标满足条件：
x1x2 y1 y2 x12 y12 x22 y22 的最大值为 0,则称 f (x) 为“柯西函数”,则下列函数： ① f (x) x 1（ x 0 ）;② f (x) ln x（ 0 x e ）;③ f (x) cos x ;④ f (x) x2 1.
故执行循环前，S＝9，k＝2 2 ，T＝0，m＝1，满足进行循环的条件，执行循环体后，
T＝0，m＝2 当 T＝0，m＝2 时，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝2，m＝3 当 T＝2，m＝3 时，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝6，m＝4 当 T＝6，m＝4 时，满足进行循环的条件，执行循环体后，T＝12，m＝5 当 T＝12，m＝5 时，不满足进行循环的条件，退出循环后，T＝12， 故输出的结果为 12 故选 A． 【点睛】 根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方 法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型， 又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分 析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模． 10．如下图，第（1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第（2）个多边形是由正方形
x
y
3 1
，
∴ (1 i)4 (2i)2 4 ，故选 C
【考点】本题考查了复数的运算 点评：熟练掌握复数的概念及运算法则是解决此类问题的关键，属基础题
2．已知集合 A {x | 1 x 1}， B x | x2 5x 6 0 ，则下列结论中正确的是
（）
A． A B B
【答案】C
一个直角梯形的面积之和，求解出面积再根据几何概型公式求得结果.
【详解】
设正方形的边长为1
则①处面积和右下角黑色区域面积相同
故黑色部分可拆分成一个等腰直角三角形和一个直角梯形
等腰直角三角形面积为： 1 1 1 1 2 24
直角梯形面积为：
1 2
2 4
2 2
2 3 4 16
黑色部分面积为： 1 3 7 4 16 16
轴， BC / /x 轴.若 AB BC 3，设 ABC 的面积为 S ， ABC 的面积为 S ，记
S kS ，执行如图②的框图，则输出 T 的值
A．12
B．10
C．9
D．6
【答案】A
【解析】由斜二侧画法的画图法则，结合已知可求出 S 及 k 值，模拟程序的运行过程，
分析变量 T 的值与 S 值的关系，可得答案．
所以菱形的边长为：1, 由三视图可得,几何体是由两个底面正方形的正四棱锥组合而成, 底面边长为 1,侧棱长为： 5 ,
2
所以几何体的表面积为： 8 1 11 4 . 2
故选：C. 【点睛】 本题是基础题,考查三视图推出几何体的判断,几何体的表面积的求法,注意视图的应用. 5．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角
“扩展”而来，……，如此类推.设由正 n 边形“扩展”而来的多边形的边数为 an ，则
111
1
（ ）
a3 a4 a5
a99
A． 97 ； 300
【答案】A
B． 97 ； 100
C． 3 ； 100
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D． 1 100
【解析】 a3 12, a4 20, a5 30 ，猜想
又为偶函数,由三角函数图象的性质可得,即
x
0时
函数值为最大或最小值,即
sin
m 2
6
1
或
sin
m 2
6
1
,所以
m k , k Z ,即 m 2k 4 , k Z ,又 m 0,所以 m 的最小值是 .
26
2
3
【考点】对定义的理解能力,三角函数恒等变性, 三角函数图象及性质.
即存在点 A 、 B 与点 O 共线; 设 AB 的方程为 y kx ,对于①,由于 y kx （ x 0 ）与 f (x) x 1 只有一个交点,所
x
以①不是柯西函数;
对于②,由于 y kx 与 f (x) ln x （ 0 x e ）最多只有一个交点,所以②不是柯西函数;
因为 SABC
1 2
AB
AC sin
A
2.
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所以
SAPQ
1 2
AP
AQ sin
A
1 2
1 2
AB
2 3
AC
sin
A
2 3
.
故选:B.
【点睛】 本题考查向量在几何中的应用,三角形的面积的求法,考查转化思想与计算能力.
4．如图,一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为 3 ,且一个内角为 60 的菱形, 2
B． A B A
C． A B
D． R A B
【解析】【详解】试题分析：由 B {x | x2 5x 6 0}得
，故
A B ，选项为 C.
【考点】集合间的关系.
3．已知 ABC 的面积为 2,在 ABC 所在的平面内有两点 P 、 Q ,满足
PA PC 0 , QA 2BQ ,则 APQ 的面积为（ ）
2019 届河北省衡水中学高三下学期六调数学（理）试题
一、单选题
1．已知 x ， y R ，i 为虚数单位，且 (x 2)i y 1 i ，则 (1 i)x y 的值为（ ）
A．4 【答案】C
B． 4 4i
C．-4
D． 2i
x 【解析】试题分析：根据复数相等的概念可知，{
y
2
1
，∴1ຫໍສະໝຸດ ann(n1)(n
3,
n
N
)
,
1 an
1 n(n 1)
1 n
1 n 1,
111
1 11 11 11
1 1 1 1 97
( ) ( ) ( ) ( )
a3 a4 a5
a99 3 4 4 5 5 6
99 100 3 100 300
,故选 A.
11．过椭圆 x2 y2 1上一点 H 作圆 x2 y2 2 的两条切线,点 A , B 为切点,过 A , B 94
其坐标满足条件： x1x2 y1 y2 x12 y12 x22 y22 的最大值为 0 ,则函数 f x 在其 图象上存在不同的两点 A x1, y1, B x2, y2 使得 OA, OB 共线,即存在点 A 、 B 与点 O
共线逐一判定即可. 【详解】
解:由柯西不等式得：对任意实数 x1 , y1 , x2 , y2 ： x1x2 y1 y2 x12 y12 x22 y22 0
3cos x 2sin y 2 ,由此能求出 POQ 面积最小值.
【详解】
解:∵点 H 在椭圆 x2 y2 1上,∴ H (3cos , 2sin ) , 94
∵过椭圆 x2 y2 1上一点 H (3cos , 2sin ) 作圆 x2 y2 2 的两条切线, 94
点 A , B 为切点, ∴直线 AB 的方程为： (3cos )x (2sin ) y 2 ,
恒成立（当且仅当存在实数 k ,使得 x1 kx2 , y1 ky2 取等号）,
又函数 f (x) 在其图象上存在不同的两点 A x1, y1 , B x2, y2 ,满足条件：
x1x2 y1 y2 x12 y12 x22 y22 的最大值为 0 ,
河北省衡水中学2019届高三下学期四调数学(理)试题(解析版)
2018-2019学年河北省衡水中学高三（下）四调数学试卷（理科）（5月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.1.已知复数23z i =+，则复数()1z i +在复平面内对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】B【解析】【分析】把23z i =+代入()1z i +，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标即可.【详解】∵23z i =+，∴()()()123115z i i i i +=++=-+，∴复数()1z i +在复平面内对应的点的坐标为()1,5-，在第二象限.故选：B.【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题. 2.集合{}|23M x x =-<<，(){}5=log 11N x Z x ∈+≤，则=M N ⋂（ ）A. {}1,2B. {}1,2,3C. {}1,2,3,4D. {}0,1,2 【答案】D【解析】【分析】根据题干得到{}0,1,2,3N =，再由集合的交集运算得到结果.【详解】集合{}|23M x x =-<<， (){}5=log 11N x Z x ∈+≤，()55log 1log 501514x x x +≤⇒<+≤⇒-<≤.因为x ∈Z ,故{}0,1,2,3,4N =，故得到 M N ⋂={}0,1,2.故答案为D.3.某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布2(105,)(0)N σσ>，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的15，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（ ）A. 150B. 200C. 300D. 400 【答案】C【解析】【分析】 求出()39010510P X ≤≤=，即可求出此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数． 【详解】∵()()1901205P X P X ≤=≥=，()2390120155P X ≤≤=-=， 所以()39010510P X ≤≤=， 所以此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为3100030010⨯=． 故选C ．【点睛】本小题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．属于基础题．4.如图，半径为r 的圆O 内有一内接正六边形ABCDEF ，正六边形中的黑色部分和白色部分关于圆的圆心O 成中心对称，在圆内随机取一点，则次点取自黑色部分的概率为( )33 33 C. 34π D. 38π【答案】A【解析】【分析】由三角形面积公式以及几何概型中的面积型可得()S P A S =阴圆，计算即可. 【详解】由三角形面积公式可得：221333sin 6024S r r ⎛⎫=︒= ⎪⎝⎭⋅阴， 又2S r π=圆，由几何概型中的面积型可得：2233334()4r S P A S r ππ===阴圆， 故选：A.【点睛】本题考查了几何概型中的面积型及三角形的面积公式，属于基础题.5.已知双曲线()2222100x y C a b a b-=：＞，＞，F 是双曲线C 的右焦点，A 是双曲线C 的右顶点，过F 作x 轴的垂线，交双曲线于M ，N 两点．若34tan MAN ∠=-，则双曲线C 的离心率为（ ） A. 3B. 2C. 43D. 2 【答案】B【解析】【分析】利用双曲线的简单性质，转化求解推出a 、b 、c 的关系，然后求解双曲线的离心率即可． 【详解】由题意可知：232tan tan 41tan MAF MAN MAF∠∠=-=-∠， 解得tan∠MAF=3， 可得：23b a c a=- ，可得c 2+2a 2-3ac=0，e 2+2-3e=0，e ＞1，解得e=2． 故选B ．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．6.如图所示，四边形ABCD 中，//AB DC ，2AB DC =，点E 、F 、G 分别为AC 、BC 、ED 的中点，则向量FG uuu r可以表示为( )A. 5184 AD AB+u u u r u u u rB.1548AD AB+u u u r u u u rC.5184AD AB-u u u r u u u rD.1548AD AB-u u u r u u u r【答案】D【解析】【分析】以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，设(2,0)A-，(2,0)B，(1,)C t，(1,)D t-，（0t>），根据中点坐标公式表示出E、F、G三点的坐标，设FG mAD nAB=+u u u r u u u r u u u r，根据向量坐标运算的性质，结合平面向量基本定理，即可得解.【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，不妨设(2,0)A-，(2,0)B，(1,)C t，(1,)D t-，（0t>），则(1,)AD t=u u u r，(4,0)AB=u u u r，Q点E、F、G分别为AC、BC、ED的中点，∴1,22tE⎛⎫-⎪⎝⎭，33,44G t⎛⎫-⎪⎝⎭，3t,22F⎛⎫⎪⎝⎭，∴91,44FG t⎛⎫=-⎪⎝⎭u u u r，设向量FG mAD nAB=+u u u r u u u r u u u r，则()()()91,1,4,04,44t m t n m n mt⎛⎫-=+=+⎪⎝⎭，∴94414m n t mt ⎧-=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 解得1458m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴向量1548FG AD AB =-u u u r u u u r u u u r . 故选：D.【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用以及平面向量的坐标运算，考查了转化能力和方程思想，建系是解决平面向量基本定理问题的一种常用手段，属于中档题.7.函数()·ln xf x e x =的大致图象为（ ） A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】判断函数的奇偶性和对称性的关系，利用极限思想进行求解即可【详解】解：函数()·ln x f x e x =，()--?ln -xf x e x =，()()f x f x ≠-，()()f x f x -≠-，则函数()f x 为非奇非偶函数，图象不关于y 轴对称，排除C ，D ，当(),x f x →+∞→+∞，排除B ，故选A【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性以及极限思想是解决本题的关键 8.已知半径为4的球面上有两点A 、B ，42AB =球心为O ，若球面上的动点C 满足二面角C AB O--的大小为60︒，则四面体OABC 的外接球的半径为( ) A. 263 B. 233 C. 463 D. 433【答案】C【解析】【分析】记A ，B ，C 所在球小圆为圆O '，作出图象，取AB 中点E ，则可得到OEO '∠为二面角C AB O --的平面角，进而求得圆O '半径与OO '，设四面体OABC 的外接球半径为r ，在Rt BO M 'V 中，根据勾股定理列方程求解即可.【详解】如图，设A ，B ，C 所在球小圆为圆O '，取AB 中点E ，连结OE ，O E '，由题易知，O E AB '⊥，OE AB ⊥，又OE ⊂平面OAB ，O E '⊂平面O AB '，平面OAB 与平面O AB '交于AB ， 则OEO '∠即为二面角C AB O --的平面角 ∴60OEO '∠=︒，由4OA OB ==，42AB =可得AOB V 为等腰直角三角形，∴22OE =由题易知，OO '⊥平面ABC ，又O E '⊂平面ABC ，∴OO O E ''⊥，OO O B ''⊥在Rt EOO 'V 中，则 6OO '=2EO '=，∴10BO '=设四面体OABC 的外接球球心为M ，半径为r ，在Rt BO M 'V 中，∴222O B OM BM '+=，即()22610rr +-=， 解得：463r =， 故选：C.【点睛】本题考查了四面体的外接球问题以及二面角的计算，考查了空间想象能力与方程思想，属于中档题. 9.如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）.A. 28+45B. 28+82C. 16+42+85D. 16+82+45【答案】A【解析】【分析】 由三视图还原该几何体得到三棱锥，将三棱锥放在对应的正方体中，结合正弦定理求出三棱锥A ﹣BCD 的四个面的面积，求和即可．【详解】由三视图知该几何体是如图所示的三棱锥A ﹣BCD ，将该三棱锥是放在棱长为4的正方体中，A 是棱的中点，在△ADC 中，AC ＝5CD AC,⊥ 226CD AC +=，11422ADC S AC DC ==⨯⨯V n25=45； 在△ABD 中，AB ＝25，BD=42，由余弦定理得，cos∠DAB 222226255AD AB BD AD AB +-===⋅⨯⨯，∴sin∠DAB 215cos DAB =-∠=， ∴11sin 622ABD S AD AB DAB ∠==⨯⨯V n 25125⨯=,又ABC S V 与BDC S V 均为边长为4的正方形面积的一半，即为8，∴三棱锥A ﹣BCD 的表面积为12+2845⨯+=28+45，故选A ．【点睛】本题考查了空间几何体的三视图，考查了余弦定理及三角形面积公式的应用，解题关键是由三视图还原为几何体，是中档题． 10.中国最早的天文学和数学著作《周髀算经》里提到了七衡，即七个等距的同心圆.七衡的直径和周长都是等差数列，最里面的一圆叫内一衡，外面的圆依次叫次二衡，次三衡，….设内一衡直径为1a ，衡间距为2d ，则次二衡直径为21a a d =+，次三衡直径为12a d +，…，执行如下程序框图，则输出的i T 中最大的一个数为（ ）A. 1TB. 2TC. 3TD. 4T【答案】D【解析】【分析】由题意可知题中所给的程序框图功能为计算并输出()81,2,3,4i i i T a a i -==的值，结合等差数列的通项公式可得1(1)i a a i d =+-，由均值不等式的结论即可确定输出的i T 中最大的一个数.【详解】由题意可知题中所给的程序框图功能为计算并输出()81,2,3,4i i i T a a i -==的值，由等差数列通项公式有：1(1)i a a i d =+-，且易知0i a >恒成立，则：[][][][]{}211811(1)(7)(1)(7)4i i a i d a i d a a a i d a i d -+-++-=+-+-≤，当且仅当11(1)(7)a i d a i d +-=+-，即4i =时等号成立.综上可得，输出的i T 中最大的一个数为4T .本题选择D 选项.【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．11.已知函数()()2x x,x 0f x ln x 1,x 0-≤⎧⎪=+>⎨⎪⎩，若存在0x R ∈使得()00f x ax 1≤-，则实数a 的取值范围是( )A. ()0,∞+B. []3,0-C. ][(),33,∞∞--⋃+D. (],3(0∞--⋃，)∞+ 【答案】D【解析】【分析】根据题意，作出函数()f x 的图象草图，而直线1y ax =-恒过定点()0,1-，分析可得若存在0x R ∈使得()001f x ax ≤-，则函数()f x 的图象在直线1y ax =-下方有图象或有交点，据此分情况讨论a 的取值范围，综合即可得答案．【详解】根据题意，函数()()2,0ln 1,0x x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩，其图象如图：直线1y ax =-恒过定点()0,1-若存在0x R ∈使得()001f x ax ≤-，则函数()f x 的图象在直线1y ax =-下方有图象或有交点，则直线1y ax =-与函数()f x 的图象必定有交点分析可得：当0a >时，直线1y ax =-经过第一三四象限，与函数()f x 的图象必有交点，符合题意； 当0a <时，直线1y ax =-经过第二三四象限，若直线1y ax =-与()f x 有交点，必然相交于第二象限则有21y x x y ax ⎧=-⎨=-⎩，即21ax x x -=-，变形可得()2110x a x -++= 令0∆=，解得3a =-或1（舍）则有3a ≤-综合可得：a 的取值范围为(](),30,-∞-⋃+∞本题正确选项：D【点睛】本题考查分段函数的解析式，关键是分析函数()f x 的图象，通过图象分析出直线需满足的条件. 12.设数列{}n a 满足114a =，且21n n n a a a +=+，*N n ∈，设122019111111a a a ++⋅⋅⋅++++的和为n S ，则n S 的取值在哪两个相邻整数之间( )A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (4,5) 【答案】C【解析】分析】 由题中递推式可得11111n n n a a a +=-+，通过裂项相消法求得n S ，得到2020144n S a =-<，根据数列递推式写出前几项，利用数列的单调性得到2020a 的范围，从而可得n S 范围，即可得解. 【详解】由()211n n n n n a a a a a +=+=+，可得()1111111n n n n n a a a a a +==-++， 即有11111n n n a a a +=-+， 则122019111111a a a ++⋅⋅⋅++++122320192020111111a a a a a a =-+-+⋅⋅⋅+- 2020144a =-<，又21n n n a a a +=+，*n N ∈，114a =， ∴1n n a a +>，即{}n a 为单调递增数列，又211541616a =+=，3105256a =，412a >，534a >，61a >， ∴20201a >， ∴2020143n S a =->，∴20201344a <-<，故选：C.【点睛】本题考查了裂项相消法求和以及数列的单调性，考查了代数变形能力，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.某单位普通职工和行政人员共280人．为了解他们在“学习强国”APP 平台上的学习情况，现用分层抽样的方法从所有职员中抽取容量为56的样本．已知从普通职工中抽取的人数为49，则该单位行政人员的人数为____． 【答案】35 【解析】 【分析】由题意可得，抽取的行政人员数为7，再求得抽样的比列，再用7除以此比例，即得该学校的行政人员人数． 【详解】由题意可得，抽取的行政人员数为56﹣49＝7，抽样的比列为5612805=，故该学校的行政人员人数是715÷=35， 故答案为 35．【点睛】本题主要考查分层抽样的定义和方法，利用数据计算抽样比例是关键，属于基础题． 14.在23(23)x x --的展开式中，含2x 的项的系数是__________． 【答案】-9 【解析】 【分析】由于涉及的为三项展开式的问题，解题中可根据组合的方法求解．【详解】()3223x x --表示三个()223x x --相乘，所以展开式中含2x 的项有两种情况：（1）从三个()223x x --选取一个然后取2x ，再从剩余的两个()223x x --中分别选取3-，所得结果为12223(3)27C x x ⋅⋅-=；（2）从三个()223x x --选取两个分别取2x -，再从剩余的一个()223x x --中选取3-，所得结果为2223(2)(3)36C x x ⋅-⋅-=-．综上可得展开式中含2x 的项为22236279x x x -+=-． 故答案为9-．【点睛】本题考查三项展开式的问题，解题的方法有两个：一是转化为二项展开式的问题求解，另一个是根据组合的方法求解，考查转化和计算能力，注意考虑问题时要全面，属于基础题． 15.已知函数()()3sin f x x ωϕ=+（0>ω，2πϕ≤），若点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()y f x =图象的对称中心，直线3x π=是函数()y f x =的对称轴，且()y f x =在区间25,3333ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则实数ω取最大值时ϕ的值为______. 【答案】6π- 【解析】 【分析】首先根据三角函数的单调性与对称性，得到ω的最大值，再将对称中心,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭代回解析式，求出对应的ϕ，最后检验是否符合题意，即可得解.【详解】Q 函数()()3sin f x x ωϕ=+（0>ω，2πϕ≤），且()y f x =在区间25,3333ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调， ∴125223333πππω⋅≥-， ∴11ω≤，Q 点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()y f x =图象的对称中心，直线3x π=是函数()y f x =的对称轴，∴()1221364k πππω+=+⋅⋅，即21k ω=+，k Z ∈. ∴实数ω的最大值为11， 此时()()3sin 11f x x ϕ=+，Q 点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()y f x =图象的对称中心，∴113sin 3sin 0666f πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又||2πϕ≤，即2363ππϕπ-≤+≤， ∴06πϕ+=，即6πϕ=-，∴()3sin 116f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，113sin 3336f πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时()y f x =在区间25,3333ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭和直线3x π=分别是函数()y f x =图象的对称中心和对称轴，符合题意. 故答案为：6π-. 【点睛】本题考查了三角函数的单调性和对称性，考查了转化能力，属于中档题.16.在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为22143x y +=，左、右焦点分别为1F ，2F ，设Q 为椭圆C 上位于x 轴上方的一点，且1QF x ⊥轴，M 、N 为椭圆C 上不同于Q 的两点，且11MQF NQF ∠=∠，则直线MN 的斜率为______.【答案】12- 【解析】 【分析】设出直线MN 方程，联立椭圆方程，由11MQF NQF ∠=∠知QM 和QN 斜率相加为0，利用韦达定理，整理化简即可.【详解】根据题意，作图如下：椭圆C 的方程为22143x y +=，可得221c a b -.故左焦点为()11,0F -，把1x =-代入椭圆方程可得：21143y +=， 解得32y =±，取31,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭.设直线QM ，QN 分别与x 轴相交于点E ，G ，设直线MN 的方程为：y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y . 联立223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，化为：()2223484120k x kmx m +++-=. ()()2222644344120k m k m ∆=-+->.化为：22340k m +->.122834km x x k ∴+=-+，212241234m x x k-=+， 由11MQF NQF ∠=∠，得QGE QEG ∠=∠.0QM QN k k ∴+=，12123322011y y x x --∴+=++， ()()12213311022kx m x kx m x ⎛⎫⎛⎫∴+-+++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.化为：()1212322302k m x x kx x m ⎛⎫+-+++-= ⎪⎝⎭. 22238412223023434km m k m k m k k -⎛⎫∴-+-+⋅+-= ⎪++⎝⎭. 整理得：2448230k km k m --+-= 分解因式得：()()212230k m k +--=.若2230m k --=，则2221343()02k m k +-=->不恒成立， 故210k +=， 解得12k =-. 则直线MN 的斜率为12-. 故答案为：12-. 【点睛】本题考查椭圆中，直线的斜率恒为定值的问题；本题中关于角度相等，转化为斜率相加为零，是本题的关键环节之一.三、解答题：共70分. （一）必考题：共60分.17.在ABC V 中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c . 若22(1sin)2sin cos 222B A Aa ab -=+，12c =，ABC V 的面积为36.（1）求a 的值；（2）若点,M N 分别在边AB ,BC 上，且8AM =，AN CM ⊥，求AN 的长. 【答案】（1）a =（2）AN =【解析】 【分析】（1）由三角函数的倍角公式和正弦定理化简，得π4B =，且36ABC S =V ，得62a =； （2）由余弦定理得62b =，故ABC V 为等腰直角三角形，在ACM V 中，210CM =，则5cos ACM ∠=，且AN CM ⊥，得25sin ACM ∠=，所以310AN =即可. 【详解】（1）由题意知22cossin 2B a a b A =+，则1cos 2sin 2Ba ab A +⋅=+， 化简，得cos sin a B b A =，由正弦定理得sin cos sin sin A B B A = 因为sin 0A ≠，所以tan 1B =.因为()0,πB ∈，所以π4B =. 因为12c =，36ABC S =V ，所以1π12sin 3624a ⨯⨯=， 解得62a =.（2）由（1）知，222cos 62b a c ac B =+-=，故ABC V 为等腰直角三角形，4A B π∴∠=∠= ,所以2C π∠=,在ACM V 中，222cos 210CM AC AM AC AM BAC =+-⋅∠=，则2225cos 2AC CM AM ACM AC CM +-∠==⋅， 且AN CM ⊥ , 从而225sin sin 1cos 5ANC ACM ACM ∠=∠=-∠=， 所以310sin ACAN ANC==∠.【点睛】本题考查了三角函数的倍角公式和正余弦定理的应用，也考查了三角形的面积公式，属于中档题. 18.在四棱锥P ABCD —的底面是菱形， PO ⊥底面ABCD ，O ，E 分别是,AD AB 的中点，6,5,60AB AP BAD ==∠=︒.（Ⅰ）求证： AC PE ⊥；（Ⅱ）求直线PB 与平面POE 所成角的正弦值；（III ）在DC 边上是否存在点F ，使BF 与PA 所成角的余弦值为3310，若存在，确定点F 的位置；若不存在，说明理由.【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）3129； （Ⅲ）见解析. 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意结合几何关系可证得AC ⊥平面POE ，据此证明题中的结论即可；(Ⅱ)建立空间直角坐标系，求得直线PB 的方向向量与平面POE 的一个法向量，然后求解线面角的正弦值即可；(Ⅲ)假设满足题意的点F 存在，设(01)DF DC λλ=<<u u u v u u u v，由直线BF 与PA 的方向向量得到关于λ的方程，解方程即可确定点F 的位置.【详解】(Ⅰ)由菱形的性质可得：AC BD ⊥，结合三角形中位线的性质可知：OE BD P ，故OE AC ⊥，PO ⊥底面ABCD ，AC ⊆底面ABCD ，故AC OP ⊥，且OP OE O ⋂=，故AC ⊥平面POE ，PE ⊆平面POE ，AC PE ∴⊥(Ⅱ)由题意结合菱形的性质易知OP OA ⊥，OP OB ⊥，OA OB ⊥， 以点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则：()()()330,0,4,0,33,0,00,0,0,3,022P B E ⎛⎫⎪⎝⎭，设平面POE 的一个法向量为(),,m x y z =r,则：40302m OP z m OB x ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩u u uv r u u u v r ， 据此可得平面POE的一个法向量为)1,0m =-r，而()4PB =-u u u v， 设直线PB 与平面POE 所成角为θ，则sin PB m PB m θ⋅===⨯u u u v ru u uv r (Ⅲ)由题意可得：()()()3,0,0,,3,0,0D C A --，假设满足题意的点F 存在， 设(),,F x y z ，(01)DF DC λλ=<<u u u v u u u v，据此可得：()()3,,x y z λ+=-，即：330x y z λ=--⎧⎪=⎨⎪=⎩,从而点F的坐标为()3,0F λ--，据此可得：()3BF λ=---u u u v ,()3,0,4PA =-u u u v，结合题意有：BF PA BF PA ⋅==⨯u u u v u u u v u u u v u u u v ，解得：12λ=. 故点F 为CD 中点时满足题意.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质定理，线面角的向量求法，立体几何中的探索性问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.某地种植常规稻A 和杂交稻B ，常规稻A 的亩产稳定为500公斤，今年单价为3.50元／公斤，估计明年单价不变的可能性为10%，变为3.60元／公斤的可能性为60%，变为3.70元／公斤的可能性为30%．统计杂交稻B 的亩产数据，得到亩产的频率分布直方图如下；统计近10年来杂交稻B 的单价（单位：元/公斤）与种植亩数（单位：万亩）的关系，得到的10组数据记为()(),1,2,10i i x y i =L ，并得到散点图如下，参考数据见下．（1）估计明年常规稻A 的单价平均值；（2）在频率分布直方图中，各组的取值按中间值来计算，求杂交稻B 的亩产平均值；以频率作为概率，预计将来三年中至少有二年，杂交稻B 的亩产超过765公斤的概率；（3）判断杂交稻B 的单价y （单位：元/公斤）与种植亩数x （单位：万亩）是否线性相关？若相关，试根据以下的参考数据求出y 关于x 的线性回归方程；调查得知明年此地杂交稻B 的种植亩数预计为2万亩．若在常规稻A 和杂交稻B 中选择，明年种植哪种水稻收入更高？ 统计参考数据： 1.60x =， 2.82y =，()()1010.52i i i x x y y =--=-∑，()10210.65i i x x =-=∑，附：线性回归方程ˆy bx a =+，()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑．【答案】（1）3.62（元／公斤）； （2）0.352；（3）明年选择种植杂交稻B 收入更高. 【解析】 【分析】（1）先求分布列，再根据数学期望公式得结果，（2）根据组中值与对应概率乘积的和求平均值，根据独立重复试验概率公式求概率，（3）根据散点图判断是否线性相关，代入公式求b ，根据y bx a =+求a ，根据线性回归方程估计明年杂交稻B 的单价，再乘以亩产平均值得收入，根据每年常规稻A 的单价比当年杂交稻B 的单价高50%得明年常规稻A 的单价，再乘以500得收入，最后比较收入大小得结论. 【详解】（1）设明年常规稻A 的单价为ξ，则ξ的分布列为() 3.50.1 3.60.6 3.70.3 3.62E ξ=⨯+⨯+⨯=，估计明年常规稻A 的单价平均值为3.62（元／公斤）； （2）杂交稻B 的亩产平均值为：()()()7307908000.0057407800.017507700.027600.02510116152304190762⎡⎤++⨯++⨯++⨯+⨯⨯=+++=⎣⎦．依题意知杂交稻B 的亩产超过765公斤的概率为：0.2+0.1+0.052=0.4p =⨯， 则将来三年中至少有二年，杂交稻B 的亩产超过765公斤的概率为：()22330.410.40.40.352C ⨯⨯-+=．（3）因为散点图中各点大致分布在一条直线附近，所以可以判断杂交稻B 的单价y 与种植亩数x 线性相关， 由题中提供的数据得：0.520.80.65b -==-，由y bx a =+ 2.820.8 1.60 4.10a y bx =-=+⨯=， 所以线性回归方程为0.8 4.1ˆ0yx =-+， 估计明年杂交稻B 的单价0.82 4..50ˆ102y=-⨯+=元／公斤； 估计明年杂交稻B 的每亩平均收入为762 2.501905⨯=元／亩，估计明年常规稻A 的每亩平均收入为()500500 3.621810E ξ⨯=⨯=元／亩， 因1905>1875，所以明年选择种植杂交稻B 收入更高．【点睛】函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求ˆˆ,ab ，写出回归方程，回归直线方程恒过点(),x y .20.已知抛物线2:2(0)C x py p =>上一点()M ,9m 到其焦点下的距离为10. （1）求抛物线C 的方程；（2）设过焦点F 的的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，且抛物线在,A B 两点处的切线分别交x 轴于,P Q 两点，求AP BQ ⋅的取值范围.【答案】（Ⅰ）24x y =（Ⅱ）[)2,+∞ 【解析】 【分析】（Ⅰ）由抛物线的定义，可得到9102p+=，即可求出p ，从而得到抛物线的方程；（Ⅱ）直线l 的斜率一定存在，可设斜率为k ，直线l 为1y kx =+，设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫⎪⎝⎭，由21{4y kx x y =+=可得2440x kx --=，124x x k +=，124x x =-，然后对214y x =求导，可得到PA 的斜率及方程表达式，进而可表示出AP ，同理可得到BQ 的表达式，然后对AP BQ ⋅化简可求出范围． 【详解】解：（Ⅰ）已知(),9M m 到焦点F 的距离为10，则点M 到准线的距离为10. ∵抛物线的准线为2py =-，∴9102p+=， 解得2p =，∴抛物线的方程为24x y =.（Ⅱ）由已知可判断直线l 的斜率存在，设斜率为k ，因为()0,1F ，则l ：1y kx =+.设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫⎪⎝⎭，由21{4y kx x y =+=消去y 得，2440x kx --=， ∴124x x k +=，124x x =-.由于抛物线C 也是函数214y x =的图象，且1'2y x =，则PA ：()2111142x y x x x -=-.令0y =，解得112x x =，∴11,02P x ⎛⎫⎪⎝⎭，从而AP =同理可得，BQ =∴AP BQ ⋅===∵20k ≥，∴AP BQ ⋅的取值范围为[)2,+∞.【点睛】本题考查了抛物线的方程的求法，考查了抛物线中弦长的有关计算，考查了计算能力，属于难题． 21.已知函数()2()ln f x x a x =+. （1）当0a =时，求函数()f x 的最小值；（2）若()f x 在区间21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有两个极值点()1212,x x x x <. （i ）求实数a 的取值范围； （i i ）求证：()22212f x e e-<<-. 【答案】（Ⅰ）12e -；（Ⅱ）（i ）4231,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（ii ）详见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）求出()()'2ln 1f x x x =+，列表讨论()2ln f x x x =的单调性，问题得解．（Ⅱ）（i ）由()f x 在区间21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有两个极值点转化成()()22ln 1'x x a f x x++=有两个零点，即()()22ln 1g x x x a =++有两个零点，求出()'g x ，讨论()g x 的单调性，问题得解．（ii ）由()20g x =得()2222ln 1a x x =-+，将()2f x 转化成()()22222ln f x x x =-，由()g x 得单调性可得21x e ⎛∈ ⎝，讨论()()22222ln f x x x =-在21x e ⎛∈ ⎝的单调性即可得证．【详解】解：（Ⅰ）当0a =时，()2ln f x x x =，()()'2ln 1f x x x =+，令()'0f x =，得x =()f x 的单调性如下表：易知()min 12f x e=-. （Ⅱ）（i ）()()22ln 1'x x af x x++=.令()()22ln 1g x xx a =++，则()()'4ln 1g x x x =+.令()'0g x =，得1x e=. ()g x 的单调性如下表：()f x 在区间21,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上有两个极值点，即()g x 在区间21,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上有两个零点，结合()g x 的单调性可知，210g e ⎛⎫>⎪⎝⎭且10g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即430a e ->且210a e -<. 所以4231a e e <<，即a 的取值范围是4231,e e ⎛⎫⎪⎝⎭. （ii ）由（i ）知()()222202ln 1g x a x x =⇒=-+，所以()()()2222222ln 2ln f x x a x x x =+=-.又210g e⎛⎫>⎪⎝⎭，10g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，0g a =>，结合()g x 的单调性可知，21x e ⎛∈ ⎝. 令()()22ln x x x ϕ=-，则()()'4ln ln 1x x x x ϕ=-+.当1xe ⎛∈ ⎝时，ln 0x <，ln 10x +>，()'0x ϕ>， 所以()x ϕ在1e ⎛ ⎝上单调递增，而212e e ϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，12e ϕ=-， 因此()22212f x e e-<<-. 【点睛】本题主要考查了导数与函数单调性的关系，考查了分类思想及转化思想，考查了极值与导数的关系，还考查了利用导数证明不等式，考查计算能力及转化能力，属于难题．（二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中选一题作答，如果多做则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3cos 3sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩，（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos 3ρρθ-=. （1）求曲线C 的直角坐标方程，并说明它是何种曲线； （2）设点P的坐标为()3,3，直线l 交曲线C 于A 、B 两点，求PA PB +的最大值.【答案】（1）22(1)4x y -+=，圆；（2）213. 【解析】 【分析】（1）将222x y ρ=+，cos x ρθ=代入22cos 3ρρθ-=，即可得到曲线C 的直角坐标方程，并由此判断曲线类型；（2）由直线l 的参数方程，可知直线过定点(3,3)P ，将直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程联立，可得到关于t 的一元二次方程，利用根与系数的关系及t 的几何意义，可求PA PB +的最大值.【详解】（1）解：将222x y ρ=+，cos x ρθ=，代入22cos 3ρρθ-=，得2223x y x +-=，即22(1)4x y -+=，曲线C 是以()1,0为圆心，以2为半径的圆；（2）由直线l 的参数方程，可知直线过定点(3,3)P ，记1t ，2t 分别为直线l 上A 、B 两点对应的参数，Q 点A ，B 均在点P 的下方，∴10t <，20t <，把3cos 3sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩，（t 为参数）代入()2214x y -+=， 得()24cos 6sin 90t t αα+++=，∴()24cos 6sin 36αα∆=+-，()124cos 6sin t t αα+=-+，129t t =，令>0∆，得4cos 6sin 6αα+>或4cos 6sin 6αα+<-（舍）， 由系数t 的几何意义知，()()124cos 6sin PA PB t t αααϕ+=-+=+=+，（2tan 3ϕ=），∴)PA PB αϕ+=+≤∴||||PA PB +的最大值为【点睛】本题考查了极坐标方程与参数方程的转换以及参数方程的几何意义，考查了转化能力与计算能力，属于中档题.选修4-5：不等式选讲23.已知函数()3f x x m x =--.（1）若2m =-，求不等式()5f x <的解集；（2）若关于x 的不等式()1f x ≥在R 上恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）2|23x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；（2）13m ≤-. 【解析】 【分析】（1）2m =-时，不等式可化为325x x -+<，对x 进行分类讨论去掉绝对值，即可求出不等式解集； （2）不等式可化为|3|||1x m x -≥+，分0m ≥与0m <两种情况，讨论不等式恒成立问题，当0m <时，在同一直角坐标系中分别作出3y x =-和1y m x =+的图象，结合图象即可求出m 的取值范围. 【详解】（1）2m =-时，函数()32f x x x =-+， 不等式()5f x <化为325x x -+<，当0x <时，不等式化为325x x --<，解得23x >-，即203x -<<；当03x ≤≤时，不等式化为325x x -+<，解得2x <，即02x ≤<； 当3x >时，不等式化为325x x -+<，解得83x <，此时无解； 综上，所求不等式的解集为2|23x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；（2）不等式()1f x ≥即为|3|||1x m x --≥， 所以|3|||1x m x -≥+（*），显然0m ≥时（*）式在R 上不恒成立；当0m <时，在同一直角坐标系中分别作出3y x =-和1y m x =+的图象， 如图所示：由图象知，当310m +≤，即13m ≤-时（*）式恒成立， 所以实数m 的取值范围是13m ≤-. 【点睛】本题考查了含绝对值的不等式的解法，考查了分类讨论和数形结合的思想，属于中档题.。
河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级下学期一调考试数学理科及参考答案
2019-2020学年度高三年级下学期一调考试数学（理科）试卷命题人：审核人：第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分,下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．已知全集U R ，集合22Ay y xx R ，，集合lg 1Bx yx ，则阴影部分所示集合为（）A ．12，B ．12，C ．(12]， D ．[12)，2. 复数3a izai(其中a R ，为虚数单位)，若复数z 的共轭复数的虚部为12，则复数z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若2πa ，ab a ，aaca，则,,a b c 的大小关系为A ．c b a B．b c a C．b a cD ．a b c4．函数x exf xcos )112(图象的大致形状是A ．B ．C ．D ．5．吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（）A ．15B ．815C ．35D．3206．已知△ABC 外接圆的圆心为O ，若AB=3，AC=5，则AO BC u u u r u u u r的值是（）A ．2B ．4C ．8D ．167．给出下列五个命题：①若为真命题，则为真命题；②命题“，有”的否定为“，有”；③“平面向量与的夹角为钝角”的充分不必要条件是“”；④在锐角三角形中，必有；⑤为等差数列，若，则其中正确命题的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．38．已知定义在(0,)上的函数()f x ，恒为正数的()f x 符合()()2()f x f x f x ，则(1)(2)f f 的取值范围为（）A ．(,2)e e B ．211(,)2e eC ．(3,e e )D ．211(,)e e9．已知点(0,2)A ，抛物线C ：24yx 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则:FM MN（）A ．2:5B ．1:2C ．1:5D ．1:310.定义12n np p p L为n 个正数1p 、2p 、…、n p 的“均倒数”，若已知正整数列n a 的前n 项的“均倒数”为121n ，又14n na b ，则12231011111b b b b b b （）A ．1011B ．112C ．111D ．111211．对于任意的实数[1,e]x，总存在三个不同的实数[1,5]y，使得21ln 0yy xe ax x 成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．24251(,]eeeB ．4253[,)e eC ．425(0,]eD ．24253[,)eee12．如图，在正方体1111ABCD A B C D ﹣中，1A H 平面11AB D ，垂足为H ，给出下面结论：①直线1A H 与该正方体各棱所成角相等；②直线1A H 与该正方体各面所成角相等；③过直线1A H 的平面截该正方体所得截面为平行四边形；④垂直于直线1A H 的平面截该正方体，所得截面可能为五边形，其中正确结论的序号为（）A ．①③B ．②④C ．①②④D ．①②③第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.有一个底面圆的半径为1，高为2的圆柱，点分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点的距离都大于1的概率为___．14．在数列{a n }中，若函数f （x ）＝sin 2x +22cos 2x 的最大值是a 1，且a n ＝（a n+1﹣a n ﹣2）n ﹣2n 2，则a n ＝_____．15．秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之为实一为从隅，开平方得积”如果把以上这段文字写成公式就是2222221[()]42ac bSa c ，共中a 、b 、c 是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边。
衡水中学2019届高三数学下学期一调考试试题 理(含解析)
河北省衡水中学2019届高三下学期一调考试数学(理科）一、选择题：本题共12小题。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1。
已知集合，，则（）A。
B. C. D。
【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式求得A，解指数不等式求得B，再根据两个集合的交集的定义求得。
【详解】因为集合，，所以，故选D.【点睛】该题考查的是有关集合的运算，属于简单题目.2.已知，是虚数单位，若，则( ）A。
B. 2 C. D。
5【答案】C【解析】【分析】根据复数相等的充要条件，构造关于的方程组，解得的值，进而可得答案。
【详解】因为,结合，所以有，解得,所以，故选C.【点睛】该题考查的是有关复数的模的问题，涉及到的知识点有复数相等的条件，属于简单题目。
3。
给出下列四个结论：①命题“,”的否定是“,”;②命题“若,则且"的否定是“若,则”;③命题“若,则或”的否命题是“若，则或”；④若“是假命题，是真命题”，则命题，一真一假.其中正确结论的个数为( ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】①写出命题“，”的否定，可判断①的正误；②写出命题“若，则且”的否定，可判断②的正误;写出命题“若，则或”的否命题，可判断③的正误；④结合复合命题的真值表，可判断④的正误,从而求得结果。
【详解】①命题“，”的否定是:“，"，所以①正确；②命题“若,则且"的否定是“若，则或"，所以②不正确;③命题“若，则或”的否命题是“若，则且”，所以③不正确;④“是假命题，是真命题”，则命题，一真一假，所以④正确；故正确命题的个数为2，故选B.【点睛】该题考查的是有关判断正确命题的个数的问题，涉及到的知识点有命题的否定，否命题,复合命题真值表，属于简单题目. 4.函数的图像大致是( ）A。
B。
C. D。
【答案】A【解析】【分析】观察函数解析式，通过函数的定义域，特殊点以及当时，函数值的变化趋势，将不满足条件的选项排除，从而得到正确的结果.【详解】因为函数的定义域为R，故排除B，因为，所以排除C,当时，因为指数函数比对数函数增长速度要快，所以当时,有,所以排除D，故选A.【点睛】该题是一道判断函数图象的题目，总体方法是对函数解析式进行分析，注意从函数的定义域、图象所过的特殊点以及对应区间上函数图象的变化趋势，来选出正确的结果，注意对不正确的选项进行排除。
2019届河北省衡水中学高三上学期六调考试数学(文)试题(解析版)
2019届河北省衡水中学高三上学期六调考试数学（文）试题一、单选题 1．设集合1|02x A x x +⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭， {}1,0,1,2B =-，则A B ⋂= ( ） A ．{}1,0,1- B ．{}0,1,2 C ．{}1,0,1,2- D ．{}1,2 【答案】A【解析】由题得{|12}A x x =-≤< (注意分母不能为零)，所以{}1,0,1A B ⋂=-，故选A.2．已知复数满足，则对应点所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D【解析】由题意设，由，得，，所以，在第四象限，选D 。
3．已知向量在向量方向上的投影为，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】∵，又，∴故选：D4．如图在圆中，，是圆互相垂直的两条直径，现分别以，，，为直径作四个圆，在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A．B．C．D．【答案】C【解析】连接小圆的各个交点，形成一个正方形，由半圆形与正方形的关系可求得阴影部分占总面积的比值。
【详解】如下图所示，连接相邻两个小圆的交点，得四边形EFMN，易知四边形EFMN为正方形设圆O的半径为r，则正方形EFMN的边长也为r所以正方形的EFMN的面积为r2阴影部分的面积为所以阴影部分占总面积的比值为即在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是所以选C【点睛】本题考查了几何概型在概率问题中的应用，几何图形较为复杂，需要逐步分解分析，属于中档题。
5．已知函数关于直线对称，且在上单调递增，，，，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，可得关于y轴对称且在上单调递增，因而在上单调递减，根据对数与指数的关系比较自变量的大小即可判断a、b、c的大小关系。
【详解】因为关于直线对称所以关于y轴对称因为在上单调递增所以在上单调递减因为>,<0根据函数对称性及单调性可知所以选D【点睛】本题考查了函数的对称性及单调性的综合应用，对数、指数比较大小及其应用，综合性较强，属于中档题。
2019届河北省衡水中学高三上学期六调考试数学(文)试题(解析版)
2019届河北省衡水中学高三上学期六调考试数学（文）试题一、单选题 1．设集合1|02x A x x +⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭， {}1,0,1,2B =-，则A B ⋂= ( ） A ．{}1,0,1- B ．{}0,1,2 C ．{}1,0,1,2- D ．{}1,2 【答案】A【解析】由题得{|12}A x x =-≤< (注意分母不能为零)，所以{}1,0,1A B ⋂=-，故选A.2．已知复数满足，则对应点所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D【解析】由题意设，由，得，，所以，在第四象限，选D 。
3．已知向量在向量方向上的投影为，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】∵，又，∴故选：D4．如图在圆中，，是圆互相垂直的两条直径，现分别以，，，为直径作四个圆，在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A．B．C．D．【答案】C【解析】连接小圆的各个交点，形成一个正方形，由半圆形与正方形的关系可求得阴影部分占总面积的比值。
【详解】如下图所示，连接相邻两个小圆的交点，得四边形EFMN，易知四边形EFMN为正方形设圆O的半径为r，则正方形EFMN的边长也为r所以正方形的EFMN的面积为r2阴影部分的面积为所以阴影部分占总面积的比值为即在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是所以选C【点睛】本题考查了几何概型在概率问题中的应用，几何图形较为复杂，需要逐步分解分析，属于中档题。
5．已知函数关于直线对称，且在上单调递增，，，，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，可得关于y轴对称且在上单调递增，因而在上单调递减，根据对数与指数的关系比较自变量的大小即可判断a、b、c的大小关系。
【详解】因为关于直线对称所以关于y轴对称因为在上单调递增所以在上单调递减因为>,<0根据函数对称性及单调性可知所以选D【点睛】本题考查了函数的对称性及单调性的综合应用，对数、指数比较大小及其应用，综合性较强，属于中档题。
河北衡水中学2018-2019学年度下学期高三年级六调考试数学(文)试卷(有答案)
河北衡水中学2018－2019学年度下学期高三年级六调考试数学（文）试卷1—5 BACBD 6—10 AABCD 11. B 12.D15. 16.-1617.解（1）设首项为，公差为d,则整理得：对任意的n恒成立，只须解得：……………………………….. 6分由题意可知，数列的对称中心为（）解得………………………….12分19.20.解析：（1）∵点(2, )P t ，∴5222p +=，解得1p =， 故抛物线C 的方程为：22y x =，当2x =时，2t =，∴1l 的方程为4255y x =+，联立22y x =可得，18Q x =， 又∵12Q QF x =+，12P PF x =+，∴111821422QF PF +==+． ...............................5分 （2）设直线AB 的方程为x ty m =+，代入抛物线方程可得2220y ty m --=，设11(, )A x y 22(, )B x y ，则122y y t +=，122y y m =-，①由OA OB ⊥得：1212()()0ty m ty m y y +++=，整理得221212(1)()0t y y tm y y m ++++=，②将①代入②解得2m =，∴直线: 2l x ty =+，∵圆心到直线l的距离d =||DE =显然当2a =时，||2DE =，||DE 的长为定值． ...............................12分21．解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞．()2(1)()(1)(1)a x a x a x a x f x x a x x x-++--'=-++==． 若01a <<，则当0x a <<或1>x 时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1a x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减； ……………………2分若0a ≤，则当01x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增； ……………………4分综上所述，当0a ≤时，函数()f x 在()1,+∞上单调递增，在()0,1上单调递减；当0<a <1时，函数()f x 在(a ,1)上单调递减，在(0,a)和(1,+∞)上单调递增． ……………………5分（2）原题等价为对任意1,e ex ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有ln e 1a a x x -+≤-成立， 设()ln ,0a g x a x x a =-+>，所以()max e 1g x ≤-． ()()11'aa a x a g x ax x x ---=+=． 令()'0g x <，得01x <<；令()'0g x >，得1x >．所以函数()g x 在1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]1,e 上单调递增， ()max g x 为1e e a g a -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与=)e (g )e e a f a =-+中的较大者． ……………………7分 设=)(a h )()1e e e 2e a a g a g g a -⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭()0a >， 则02e e 22e e )(=-⋅>-+='--a a a a a h ，所以)(a h 在()0,+∞上单调递增，故0)0()(=>h a h ，所以()1e e g g ⎛⎫> ⎪⎝⎭，从而()max g x =⎡⎤⎣⎦()e e a g a =-+． ……………………9分所以e e 1a a -+≤-即e e 10a a --+≤．设()=e e 1a a a ϕ--+()0a >，则()=e 10aa ϕ'->．所以()a ϕ在()0,+∞上单调递增．又()10ϕ=，所以e e 10a a --+≤的解为1a ≤．因为0a >，所以a 的取值范围为(]0,1． ……………………12分22.解：（1）:(cos sin )3l ρθθ+=2222:4404c o s (2)C x x y y x ρθ+=⇒+-=⇒=- ……………..…4分 （2）由已知可设 12(,),(,),()42M N ππαααρρ-<< 则123,4cos cos sin αρραα==+ ………………..…6分2142cos (cos sin )(cos 2sin 21)33221))1334ON OMραααααρπα∴==+=++⎤=≤-+⎥⎦ 仅当8πα=时，取得最大值21)3…..…10分 23. 解：（1） 由于()()()()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤----<-=+-=0,303,333,332x x x x x x x x x f ，所以()x f 的最小值为()30-=f 。