湘教版九下数学课件1.2.2二次函数图像与性质
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湘教版九下数学课件1.2二次函数的图象与性质
二次函数y=a(x-h)2的图象是抛物线， 它的对称轴是直线x=h，它的顶点坐标是 (h，0).当a＞0时，抛物线的开口向上； 当a＜0时，开口向下.
2 由图于象我的们 性已 质经 ，知 因道 此了 今后二在次画函数 y=ya=(ax(-xh-)h2)的图的象时， 只要先画出对称轴以及图象在对称轴右边的部分，然后利用对称性，画出左 边的部分.
2.画二次函数的图象. y = -2(x -2)2 +3
解：
●
y =-2(x-2)2+3
●
●
3.已知某抛物线的顶点坐标为(-3，2)，且经过 点(-1，0)，求这个抛物线所表示的二次函数 的表达式.
解: 由抛物于线点所(-表3，示2的)是二该次抛函物数线的的表顶达点式，为可y=设a这(x个+3)2+2. 2
解得 a = 43.
因此，所求的二次函数的表达式为
y
Байду номын сангаас
=
43(
x
+
2)2
+1
=
3 4
x
2
+
3
x
4.
练习
1.说出下列二次函数的图象的对称轴、顶点坐标和开口方向：
（1 ）y
=
2( 5
x
-
9)2
+7；
答：对称轴为直线x=9，顶点(9，7)，开口向上.
（
2 ）y
=
-
1( 3
x
+18)2
-13.
答：对称轴为直线x=-18，顶点(-18，-13)，开口向下.
练习
1.画出二次函数y=-10x2的图象并填空：
（1）抛物线的对称轴是，顶点是； y轴
2 由图于象我的们 性已 质经 ，知 因道 此了 今后二在次画函数 y=ya=(ax(-xh-)h2)的图的象时， 只要先画出对称轴以及图象在对称轴右边的部分，然后利用对称性，画出左 边的部分.
2.画二次函数的图象. y = -2(x -2)2 +3
解：
●
y =-2(x-2)2+3
●
●
3.已知某抛物线的顶点坐标为(-3，2)，且经过 点(-1，0)，求这个抛物线所表示的二次函数 的表达式.
解: 由抛物于线点所(-表3，示2的)是二该次抛函物数线的的表顶达点式，为可y=设a这(x个+3)2+2. 2
解得 a = 43.
因此，所求的二次函数的表达式为
y
Байду номын сангаас
=
43(
x
+
2)2
+1
=
3 4
x
2
+
3
x
4.
练习
1.说出下列二次函数的图象的对称轴、顶点坐标和开口方向：
（1 ）y
=
2( 5
x
-
9)2
+7；
答：对称轴为直线x=9，顶点(9，7)，开口向上.
（
2 ）y
=
-
1( 3
x
+18)2
-13.
答：对称轴为直线x=-18，顶点(-18，-13)，开口向下.
练习
1.画出二次函数y=-10x2的图象并填空：
（1）抛物线的对称轴是，顶点是； y轴
九年级数学下二次函数1.2二次函数的图象与性质1.2.1二次函数y=ax2的图象与性质湘教
第1章 二次函数
1.2 二次函数的图象与性质
1.2.1 二次函数y=ax2的图象与性质
1 课时讲解 二次函数y=ax2 的图象的画法
二次函数y=ax2 的图象与性质
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
知识点 1 二次函数y=ax2的图象的画法
知1－讲
用描点法画函数y=ax2(a ≠ 0)的图象的一般步骤 (1)列表：列表时，自变量x 的取值应有一定的代表性，并
在对称轴右侧y随x 的增大而增大.
二次函数y=ax2的图象与性质
课堂小结 1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月26日星期六2022/3/262022/3/262022/3/26
2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/262022/3/262022/3/263/26/2022 3、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。 2022/3/262022/3/26March 26, 2022
(3)连线：按自变量由小到大(或由大到小)的顺序，依次用 光滑的曲线连接各点.
特别提醒：
知1－讲
●用描点法可以画出任意一个二次函数的图象.用描点法
画出的图象只是二次函数图象的一部分，一般先画对
称轴右边的部分，再利用对称性画对称轴左边的部分.
●抛物线是向两方无限延伸的，画图时要画“出头”，
左右两侧必须保持关于对称轴对称.
当x=0 时，y最小值=0 当x=0 时，y 最大值=0
要点解读：
1.2 二次函数的图象与性质
1.2.1 二次函数y=ax2的图象与性质
1 课时讲解 二次函数y=ax2 的图象的画法
二次函数y=ax2 的图象与性质
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
知识点 1 二次函数y=ax2的图象的画法
知1－讲
用描点法画函数y=ax2(a ≠ 0)的图象的一般步骤 (1)列表：列表时，自变量x 的取值应有一定的代表性，并
在对称轴右侧y随x 的增大而增大.
二次函数y=ax2的图象与性质
课堂小结 1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月26日星期六2022/3/262022/3/262022/3/26
2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/262022/3/262022/3/263/26/2022 3、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。 2022/3/262022/3/26March 26, 2022
(3)连线：按自变量由小到大(或由大到小)的顺序，依次用 光滑的曲线连接各点.
特别提醒：
知1－讲
●用描点法可以画出任意一个二次函数的图象.用描点法
画出的图象只是二次函数图象的一部分，一般先画对
称轴右边的部分，再利用对称性画对称轴左边的部分.
●抛物线是向两方无限延伸的，画图时要画“出头”，
左右两侧必须保持关于对称轴对称.
当x=0 时，y最小值=0 当x=0 时，y 最大值=0
要点解读：
1.2 二次函数的图象与性质 第4课时 课件 2024-2025学年 湘教版数学九年级下册
|个单位 (当 4a
>0 时
4ac－b2
向上平移；当 4a
<0 时，向下平移)得到的．
质疑判断
1
1．抛物线 y＝－2 (x＋1)2＋3 的对称轴为直线 x＝1.( × )
2．如果二次函数 y＝m(x－2)2＋m2－1 的最小值是 0，那么 m＝±1.( × )
3．如果将抛物线 y＝x2－1 先向上平移 2 个单位，再向左平移 2 个单位，那么所
＜h
a<0
的增大而增大，当x________时，y随x的增大而减小；当________时，开口向
大
＜h
下，此时二次函数有最_______值，当x________时，y随x的增大而增大，当
＞h
x________时，y随x的增大而减小．
新知初探
阅读教材 P16—P17 完成下面表格：
抛物线
y＝ax2＋bx＋c(a>0)
A.abc>0
B.b2>4ac
C.4a+2b+c>0
D.2a+b=0
【举一反三】
(2022·广元中考)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,图象过点(-1,0),
对称轴为直线x=2,下列结论:(1)abc<0;(2)4a+c>2b;(3)3b-2c>0;(4)若点A(-2,y1)、点
b 4ac b 2
( ,
)
2a
4a
____________
顶点坐标
b
x=2a
直线___________
对称轴
开口方向
y＝ax2＋bx＋c(a<0)
向上
>0 时
4ac－b2
向上平移；当 4a
<0 时，向下平移)得到的．
质疑判断
1
1．抛物线 y＝－2 (x＋1)2＋3 的对称轴为直线 x＝1.( × )
2．如果二次函数 y＝m(x－2)2＋m2－1 的最小值是 0，那么 m＝±1.( × )
3．如果将抛物线 y＝x2－1 先向上平移 2 个单位，再向左平移 2 个单位，那么所
＜h
a<0
的增大而增大，当x________时，y随x的增大而减小；当________时，开口向
大
＜h
下，此时二次函数有最_______值，当x________时，y随x的增大而增大，当
＞h
x________时，y随x的增大而减小．
新知初探
阅读教材 P16—P17 完成下面表格：
抛物线
y＝ax2＋bx＋c(a>0)
A.abc>0
B.b2>4ac
C.4a+2b+c>0
D.2a+b=0
【举一反三】
(2022·广元中考)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,图象过点(-1,0),
对称轴为直线x=2,下列结论:(1)abc<0;(2)4a+c>2b;(3)3b-2c>0;(4)若点A(-2,y1)、点
b 4ac b 2
( ,
)
2a
4a
____________
顶点坐标
b
x=2a
直线___________
对称轴
开口方向
y＝ax2＋bx＋c(a<0)
向上
1.2二次函数的图象与性质(第1课时)课件(共13张ppt)
图象的开口向 上 ； 图象是轴对称图形，对称轴是_y轴____x_=_0 对称轴与图象的交点是 O(0，0) ；
图象在对称轴左边的部分，函数值随
自变量取值的增大而 减小 ，
简称为“左降”；
图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取
值的增大而 增大 ， 简称为“右升”； 当x= 0 时，函数值最 小 .
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
当x= 0 时，函数值最 小 .
类似地，当a＞0时，y=ax2的图象也具 有上述性质.
于是我们在画y=ax2(a＞0)的图象时，可以先画出图象在y轴 右边的部分，然后利用对称性，画出图象在y轴左边的部分.
在画右边部分时，只要“列表、描点、连线”三个步骤 就可以了(因为我们知道了图象的性质).
例1 画二次函数y=x2的图象. 列表： x 0 0.5 1 1.5 2 3
，简称为“右升”.
观察
我们已经正确地画出了y =
现在可以从图象看出
y
=
1 2
x
2
的12 x其2 的他图一象些，性因质此(除，
了上面已经知道的关于y轴对称和“右升”外)：
对称轴与图象的交点是 O(0，0) ；图象的开口向 上 ；
图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的
增大而 减小 ， 简称为“左降”；
解：（1）把A（2，8）代人y=ax2 ∴ a=2 ∴ y=2x2
（2） 当x=1时，y=2 ≠ 4 ∴ B(1，4)不在y=2x2的图像上。
（3） 当y=18时，即2x2=18，x=3或x=-3 ∴ 纵坐标是18的点是：（3,18）和（-3,18）
对于y=ax2（当a＞0时）的图象也具有上述性质.
图象在对称轴左边的部分，函数值随
自变量取值的增大而 减小 ，
简称为“左降”；
图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取
值的增大而 增大 ， 简称为“右升”； 当x= 0 时，函数值最 小 .
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
当x= 0 时，函数值最 小 .
类似地，当a＞0时，y=ax2的图象也具 有上述性质.
于是我们在画y=ax2(a＞0)的图象时，可以先画出图象在y轴 右边的部分，然后利用对称性，画出图象在y轴左边的部分.
在画右边部分时，只要“列表、描点、连线”三个步骤 就可以了(因为我们知道了图象的性质).
例1 画二次函数y=x2的图象. 列表： x 0 0.5 1 1.5 2 3
，简称为“右升”.
观察
我们已经正确地画出了y =
现在可以从图象看出
y
=
1 2
x
2
的12 x其2 的他图一象些，性因质此(除，
了上面已经知道的关于y轴对称和“右升”外)：
对称轴与图象的交点是 O(0，0) ；图象的开口向 上 ；
图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的
增大而 减小 ， 简称为“左降”；
解：（1）把A（2，8）代人y=ax2 ∴ a=2 ∴ y=2x2
（2） 当x=1时，y=2 ≠ 4 ∴ B(1，4)不在y=2x2的图像上。
（3） 当y=18时，即2x2=18，x=3或x=-3 ∴ 纵坐标是18的点是：（3,18）和（-3,18）
对于y=ax2（当a＞0时）的图象也具有上述性质.
【数学课件】九年级数学下1.2二次函数的图象与性质(第3课时)(湘教版)
向右平移1个单位就行了。
这样我们证明了：函数 y = 1( x -1)2的图象是抛物线F， 2 它的顶点是 O ( 1 ,0 ) ，它的对称轴是过点 O ( 1 ,0 ) 且平行 于y轴的直线l′. 直线l′是由横坐标为 1的所有点组成的，我们把直线l′记 y = 1( x -1)2 的开 做直线 x=1. 抛物线 2 口向上.
函数y=a(x-h)2的图象是抛物线，它的对 称轴是直线x=h，它的顶点坐标是(h，0). 当a＞0时， 抛物线的开口向上； 当a＜0时，开口向下.
由于我们已经知道了函数y=a(x-h)2的图象的性质，因此今 后在画y=a(x-h)2的图象时，只要先画出对称轴以及图象在 对称轴右边的部分，然后利用对称性，画出左边的部分. 在画图象的右边部分时，只需要“列表，描点，连线” y x=2 三个步骤就可以了. 例1 画函数y=(x-2)2的图象. 解 抛物线y=(x-2)2的对称轴是x=2， 顶点坐标是(2，0). 列表： x 2 2.5 3 4 5 y=(x-2)2 0 0.25 1 4 9
5、已知抛物线y=a(x-h)2经过点（-3，2）（-1，0）求该抛物
线线的解析式。
二次函数平移的 顶点坐标 x=-h (-h，0) 向左平移 h个单位
y=ax2
向右平移 y=a(x-h)2 h个单位 x=h (h，0)
a>0，开口向上，x=h时，y最小值=0
开口方向
湘教版SHUXUE 九年级下 2
y=ax +bx+c(a>0)
本节内容
1.2
y=ax2+bx+c(a<0)
二次函数y=ax2图像性质
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 位置 极值
湘教版初中数学九年级下册1.2 第4课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质PPT课件
1.2 二次函数的图象与性质
第3课时 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质
情景 引入
合作 探究
随堂 训练
课堂 小结
学习目标
1.理解二次函数 y = ax 2 + bx + c 与y = a（ x - h） 2 +k 之 间的联系，体会转化思想；
2.通过图象了解二次函数 y = ax 2 + bx + c 的性质， 体会数形结合的思想；
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9
-1x0=－1
向下平移 1个单位
要点归纳
一般地,抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2形状相同,位置不同. 把抛物线y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以得到抛物线 y=a(x－h)2＋k.平移的方向、距离要根据h、k的值来决定. 平移方法:
课后作业 见《学练优》本课时练习
课堂小结
1.各种形式的二次函数的关系
y = a( x - h )2 + k
|k| |h|
左
上
个右
个下
单平
单平
位移
位移
y = ax2 + k
y = a(x - h )2
上下平移
左右平移
y = ax2
|k|个单位
|h|个单位
结论: 一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2
形状相同，位置不同.
y=ax2向左(右)平移y=a(x－h)2 向上(下)平y=a(x－h)2+k
|h平 y=ax2+k 向左(右)平 y=a(x－h)2+k
第3课时 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质
情景 引入
合作 探究
随堂 训练
课堂 小结
学习目标
1.理解二次函数 y = ax 2 + bx + c 与y = a（ x - h） 2 +k 之 间的联系，体会转化思想；
2.通过图象了解二次函数 y = ax 2 + bx + c 的性质， 体会数形结合的思想；
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9
-1x0=－1
向下平移 1个单位
要点归纳
一般地,抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2形状相同,位置不同. 把抛物线y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以得到抛物线 y=a(x－h)2＋k.平移的方向、距离要根据h、k的值来决定. 平移方法:
课后作业 见《学练优》本课时练习
课堂小结
1.各种形式的二次函数的关系
y = a( x - h )2 + k
|k| |h|
左
上
个右
个下
单平
单平
位移
位移
y = ax2 + k
y = a(x - h )2
上下平移
左右平移
y = ax2
|k|个单位
|h|个单位
结论: 一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2
形状相同，位置不同.
y=ax2向左(右)平移y=a(x－h)2 向上(下)平y=a(x－h)2+k
|h平 y=ax2+k 向左(右)平 y=a(x－h)2+k