2020年山东省济南市历下区中考数学一模试卷(详解版)
2020年山东省济南市历下区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4题，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（4分）2020的相反数是（）A．2020B．﹣2020C．12020D．-120202．（4分）下列立体图形中，俯视图与主视图不同的是（）A．B．C．D．3．（4分）2020年2月20日下午，山东省第十二批援助湖北医疗队从济南遥墙机场集结，乘坐包机启程出征．千余勇士赴荆楚，万难不辞战疫，山东已累计派出十二批医疗队1797人援助湖北，数字1797用科学记数法表示为（）A．1.797×103B．0.1797×104C．1.797×104D．17.97×102 4．（4分）如图，已知AB∥DC，∠BED＝60°，BC平分∠ABE，则∠C的度数是（）A．75°B．60°C．45°D．30°5．（4分）有理数a，b在数轴上表示如图所示，则下列各式中正确的是（）A．ab＞0B．a+b＜0C．b＜a D．|b|＞|a|6．（4分）下面在线学习平台的图标中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．7．（4分）下列运算正确的是（）A．x2+x＝x3B．（﹣2x2）3＝8x6C．（x﹣y）（x+y）＝x2﹣y2D．（x+1）（x﹣2）＝x2﹣2x﹣28．（4分）以下是某校九年级10名同学参加学校演讲比赛的统计表．则这组数据的众数和中位数分别为（）成绩/分80859095人数/人1342 A．85，87.5B．85，85C．85，90D．90，909．（4分）已知反比例函数y＝kx图象如图所示，下列说法正确的是（）A．k＞0B．y随x的增大而减小C．若矩形OABC面积为2，则k＝﹣2D．若图象上两个点的坐标分别是M（﹣2，y1），N（﹣1，y2），则y1＞y2 10．（4分）图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（）A．10)cm+B．10)cm c C．64cm D．54cm11．（4分）如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（）A ．175πcm 2B ．350πcm 2C ．8003πcm 2D ．150πcm 212．（4分）如图，在二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象中，小明同学观察得出了下面几条信息：①b 2﹣4ac ＞0；②abc ＜0；③2a b ca b++-<0；④b 2＝4a （c ﹣1）；⑤关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝3无实数根，共中信息错误的个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．（4分）分解因式：m 2﹣8m +16＝．14．（4分）转盘中6个扇形的面积相等，任意转动转盘一次，当转盘停止转动，指针落在扇形中的数为3的倍数的概率是．15．（4分）如果一个正多边形的一个外角是60°，那么这个正多边形的边数是．16．（4分）若代数式121a a +-的值是2，则a ＝．17．（4分）A ，B 两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时分别从A ，B 两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A 地的距离S （千米）都是骑车时间t （时）的一次函数．如图，直线l 1、l 2分别表示甲、乙骑车S 与t 之间关系的图象．结合图象提供的信息，经过小时两人相遇．18．（4分）如图ABCD是一个矩形桌子，一小球从P撞击到Q，反射到R，又从R反射到S，从S反射回原处P，入射角与反射角相等（例如∠PQA＝∠RQB等），已知AB＝9，BC＝12，BR＝4．则小球所走的路径的长为．三、解答题（本大题共9个小题，共78分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（6分）计算：|﹣3|+（π﹣2020）0﹣2sin30°+（1 3）﹣120．（6分）解不等式组：322112x xx-<+⎧⎪⎨-≥-⎪⎩，并写出它的所有整数解．21．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是对角线BD上的两点，且BE＝DF．求证：AE＝CF．22．（8分）为推进垃圾分类，推动绿色发展，某工厂购进甲、乙两种型号的机器人用来进行垃圾分类，甲型机器人比乙型机器人每小时多分20kg，甲型机器人分类800kg垃圾所用的时间与乙型机器人分类600kg垃圾所用的时间相等．（1）两种机器人每小时分别分类多少垃圾？（2）现在两种机器人共同分类700kg垃圾，工作2小时后甲型机器人因机器维修退出，求甲型机器人退出后乙型机器人还需工作多长时间才能完成？23．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，DC与⊙O相切于点C，交AB的延长线于点D．（1）求证：∠BAC＝∠BCD；的半径．（2）若BD＝4，DC＝6，求⊙O24．（10分）钟南山院士谈到防护新型冠状病毒肺炎时说：“我们需要重视防护，但也不必恐慌，尽量少去人员密集的场所，出门戴口罩，在室内注意通风，勤洗手，多运动，少熬夜．”某社区为了加强社区居民对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解，通过微信群宣传新型冠状病毒肺炎的防护知识，并鼓励社区居民在线参与作答《2020年新型冠状病毒防治全国统一考试（全国卷）》试卷（满分100分），社区管理员随机从有400人的某小区抽取40名人员的答卷成绩，并对他们的成绩（单位：分）统计如下：858095100909585657585909070901008080909575806580958510090858580957580907080957510090根据数据绘制了如下的表格和统计图：等级成绩（x）频数频率A90＜x≤100.25100aB80＜x≤90C70＜x≤120.380D60≤x≤b70合计401根据上面提供的信息，回答下列问题：（1）统计表中的a＝，b＝；（2）请补全条形统计图；（3）根据抽样调查结果，请估计该小区答题成绩为“C级”的有多少人？（4）该社区有2名男管理员和2名女管理员，现从中随机挑选2名管理员参加“社区防控”宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“1男1女”的概率．25．（10分）如图，已知反比例函数y＝mx（x＞0）的图象经过点A（4，2），过A作AC⊥y轴于点C．点B为反比例函数图象上的一动点，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AD．直线BC与x轴的负半轴交于点E．（1）求反比例函数的表达式；（2）若BD＝3OC，求△BDE的面积；（3）是否存在点B，使得四边形ACED为平行四边形？若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．26．（12分）如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接EC，则：（1）①∠ACE的度数是；②线段AC，CD，CE之间的数量关系是．（2）如图②，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC边上一点（不与点B，C 重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，请判断线段AC，CD，CE之间的数量关系，并说明理由；（3）如图②，AC与DE交于点F，在（2）条件下，若AC＝8，求AF的最小值．27．（12分）图①，抛物线y＝﹣2x2+bx+c过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC．（1）求该抛物线的表达式和对称轴；（2）点D是抛物线对称轴上一动点，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求所有符合条件的点D的坐标；（3）如图2，将抛物线在BC上方的图象沿BC折叠后与y轴交与点E，求点E的坐标．2020年山东省济南市历下区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题4题，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（4分）2020的相反数是（）A．2020B．﹣2020C．12020D．-12020【解答】解：2020的相反数是：﹣2020．故选：B．2．（4分）下列立体图形中，俯视图与主视图不同的是（）A．B．C．D．【解答】解：A．俯视图与主视图都是正方形，故选项A不合题意；B．俯视图是圆，主视图是长方形，故选项B合题意；C．俯视图与主视图都是圆，故选项C不合题意；D．俯视图和主视图是长方形；故选项D不符合题意；故选：B．3．（4分）2020年2月20日下午，山东省第十二批援助湖北医疗队从济南遥墙机场集结，乘坐包机启程出征．千余勇士赴荆楚，万难不辞战疫，山东已累计派出十二批医疗队1797人援助湖北，数字1797用科学记数法表示为（）A．1.797×103B．0.1797×104C．1.797×104D．17.97×102【解答】解：1797＝1.797×103．故选：A．4．（4分）如图，已知AB∥DC，∠BED＝60°，BC平分∠ABE，则∠C的度数是（）A．75°B．60°C．45°D．30°【解答】解：∵AB∥DC，∠BED＝60°，∴∠ABE＝60°，∵BC平分∠ABE，∴∠ABC＝∠ABE＝30°，∵AB∥CD，∴∠C＝∠ABC＝30°，故选：D．5．（4分）有理数a，b在数轴上表示如图所示，则下列各式中正确的是（）A．ab＞0B．a+b＜0C．b＜a D．|b|＞|a|【解答】解：由数轴上的位置得：a＜0＜b，且|a|＞|b|，∴ab＜0，a+b＜0，故选：B．6．（4分）下面在线学习平台的图标中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；D、是轴对称图形，故此选项符合题意；故选：D．7．（4分）下列运算正确的是（）A．x2+x＝x3B．（﹣2x2）3＝8x6C．（x﹣y）（x+y）＝x2﹣y2D．（x+1）（x﹣2）＝x2﹣2x﹣2【解答】解：A、x2与x不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；B、（﹣2x2）3＝﹣8x6，故此选项不符合题意；C、（x﹣y）（x+y）＝x2﹣y2，故此选项符合题意；D、原式＝x2﹣x﹣2，故此选项不符合题意，故选：C．8．（4分）以下是某校九年级10名同学参加学校演讲比赛的统计表．则这组数据的众数和中位数分别为（）成绩/分80859095人数/人1342 A．85，87.5B．85，85C．85，90D．90，90【解答】解：在这一组数据中90是出现次数最多的，故众数是90．而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那个数是90、90，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是90．故选：D．9．（4分）已知反比例函数y＝kx图象如图所示，下列说法正确的是（）A．k＞0B．y随x的增大而减小C．若矩形OABC面积为2，则k＝﹣2D．若图象上两个点的坐标分别是M（﹣2，y1），N（﹣1，y2），则y1＞y2【解答】解：A、反比例函数图象分布在第二、四象限，则k＜0，所以A选项错误；B、在每一象限，y随x的增大而增大，所以B选项错误；C、矩形OABC面积为2，则|k|＝2，而k＜0，所以k＝﹣2，所以C选项正确；D、图象上两个点的坐标分别是M（﹣2，y1），N（﹣1，y2），则y1＜y2，所以D选项错误．故选：C．10．（4分）图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（）A ．10)cm +B ．10)cm +C ．64cmD ．54cm【解答】解：如图所示，过A 作AE ⊥CP 于E ，过B 作BF ⊥DQ 于F ，则Rt △ACE 中，AE ＝12AC ＝12×54＝27（cm ），同理可得，BF ＝27cm ，又∵点A 与B 之间的距离为10cm ，∴通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27＝64（cm ），故选：C ．11．（4分）如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB 和AC 的夹角为120°，AB 长为25cm ，贴纸部分的宽BD 为15cm ，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（）A ．175πcm 2B ．350πcm 2C ．8003πcm 2D ．150πcm 2【解答】解：∵AB ＝25，BD ＝15，∴AD ＝10，∴S 贴纸＝2×221202512010()360360ππ∙⨯∙⨯-＝2×175π＝350πcm 2，故选：B ．12．（4分）如图，在二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象中，小明同学观察得出了下面几条信息：①b 2﹣4ac ＞0；②abc ＜0；③2a b c a b ++-<0④b 2＝4a （c ﹣1）；⑤关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝3无实数根，共中信息错误的个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【解答】解：①根据图象可知：△＞0，∴b 2﹣4ac ＞0，故①正确；②由图象可知：a ＜0，c ＞0，由对称轴可知：2b a -＜0，∴b ＜0，∴abc ＞0，故②错误；③由图象可知：﹣1＜2b a -＜0，∴2a ﹣b ＜0，当x ＝1时，y ＜0，∴a +b +c ＜0，∴2a b c a b++-＞0，故③错误；④由图象可知：当x ＝2b a-时，y ＝1，∴244ac b a-＝1，∴4ac ﹣b 2＝4a ，∴b 2＝4a （c ﹣1），故④正确；⑤由于二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的最大值为1，∴关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝3无实数根，故⑤正确；故选：C ．二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．（4分）分解因式：m 2﹣8m +16＝（m ﹣4）2．【解答】解：m 2﹣8m +16＝（m ﹣4）2．故答案为：（m ﹣4）2．14．（4分）转盘中6个扇形的面积相等，任意转动转盘一次，当转盘停止转动，指针落在扇形中的数为3的倍数的概率是13．【解答】解：在这6个数字中，为3的倍数的有3和6，共2个，∴任意转动转盘一次，当转盘停止转动，指针落在扇形中的数为3的倍数的概率是26＝13，故答案为：13．15．（4分）如果一个正多边形的一个外角是60°，那么这个正多边形的边数是6．【解答】解：这个正多边形的边数：360°÷60°＝6．故答案为：6．16．（4分）若代数式121a a +-的值是2，则a ＝1．【解答】解：根据题意得：121a a +-＝2，去分母得：a+1＝4a﹣2，移项合并得：3a＝3，解得：a＝1，经检验a＝1是分式方程的解，故答案为：117．（4分）A，B两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离S（千米）都是骑车时间t（时）的一次函数．如图，直线l1、l2分别表示甲、乙骑车S与t之间关系的图象．结合图象提供的信息，经过207小时两人相遇．【解答】解：设l1的关系式为：s1＝kt，则30＝k×2，解得：k＝15，故s1＝15t；设s2＝at+b，将（0，100），（2，60），则100260 ba b=⎧⎨+=⎩，解得：20100 ab=-⎧⎨=⎩，故l2的关系式为s2＝﹣20t+100；15t＝﹣20t+100，t＝20 7．即他们经过207小时两人相遇．18．（4分）如图ABCD是一个矩形桌子，一小球从P撞击到Q，反射到R，又从R反射到S，从S反射回原处P，入射角与反射角相等（例如∠PQA＝∠RQB等），已知AB＝9，BC＝12，BR＝4．则小球所走的路径的长为30．【解答】解：∵入射角与反射角相等，∴∠BQR ＝∠AQP ，∠APQ ＝∠SPD ，∠CSR ＝∠DSP ，∠CRS ＝∠BRQ ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，∴∠DPS +∠DSP ＝90°，∠AQP +∠APQ ＝90°，∴∠DSP ＝∠AQP ＝∠CSR ＝∠BQR ，∴∠RSP ＝∠RQP ，同理∠SRQ ＝∠SPQ ，∴四边形SPQR 是平行四边形，∴SR ＝PQ ，PS ＝QR ，在△DSP 和△BQR 中BQR=DSP D=B PS RQ ⎧⎪⎨⎪=⎩∠∠∠∠，∴△DSP ≌△BQR （AAS ），∴BR ＝DP ＝4，BQ ＝DS ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ＝9，BC ＝AD ＝112，∴AQ ＝9﹣DS ，AP ＝12﹣4＝8，∵∠SPD ＝∠APQ ，∴△SDP ∽△QAP ，∴DP AP DS AQ=，∴489DS DS=-，DS ＝3，在Rt△DSP中，由勾股定理得：PS＝QR5=同理PQ＝RS＝10，∴QP+PS+SR+QR＝2×5+2×10＝30，故答案为：30．三、解答题（本大题共9个小题，共78分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（6分）计算：|﹣3|+（π﹣2020）0﹣2sin30°+（1 3）﹣1【解答】解：|﹣3|+（π﹣2020）0﹣2sin30°+（1 3）﹣1＝3+1﹣2×1 2 +3＝620．（6分）解不等式组：322112x xx-<+⎧⎪⎨-≥-⎪⎩，并写出它的所有整数解．【解答】解：322112x xx-<+⎧⎪⎨-≥-⎪⎩①②，解①得x＜2，解②得x≥﹣1．不等式组的解集是﹣1≤x＜2．则整数解是﹣1，0，1．21．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是对角线BD上的两点，且BE＝DF．求证：AE＝CF．【解答】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ．∴∠ABE ＝∠CDF ．在△ABE 和△DCF 中，ABE=CDF AB CD BE DF =⎧⎪⎨⎪=⎩∠∠，∴△ABE ≌△DCF （SAS ）．∴AE ＝CF ．22．（8分）为推进垃圾分类，推动绿色发展，某工厂购进甲、乙两种型号的机器人用来进行垃圾分类，甲型机器人比乙型机器人每小时多分20kg ，甲型机器人分类800kg 垃圾所用的时间与乙型机器人分类600kg 垃圾所用的时间相等．（1）两种机器人每小时分别分类多少垃圾？（2）现在两种机器人共同分类700kg 垃圾，工作2小时后甲型机器人因机器维修退出，求甲型机器人退出后乙型机器人还需工作多长时间才能完成？【解答】解：（1）设甲型机器人每小时分类xkg 垃圾．则乙型机器人每小时分类（x ﹣20）kg 垃圾，由题意得：80060020x x =-，解得：x ＝80，检验：当x ＝80时，x （x ﹣20）≠0，所以，原分式方程的解为x ＝80，x ﹣20＝80﹣20﹣60，答：甲型机器人每小时分类80kg 垃圾．则乙型机器人每小时分类60kg 垃圾，（2）[700﹣（80+60）×2]÷60＝7小时，答：甲型机器人退出后乙型机器人还需要工作7小时．23．（8分）如图，已知AB 是⊙O 的直径，DC 与⊙O 相切于点C ，交AB 的延长线于点D ．（1）求证：∠BAC＝∠BCD；（2）若BD＝4，DC＝6，求⊙O的半径．【解答】解：（1）如图，连接OC．证明：∵DC与⊙O相切，∠OCD＝∠OCB+∠BCD＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠OCB+∠ACO＝90°，∴∠ACO＝∠BCD∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠BAC，∴∠BAC＝∠BCD；（2）由（1）可得，∠BAC＝∠BCD；∵∠CDB＝∠ADC，∴△CDB∽△ADC，∴BD DCDC AD=，即466AD=，∴DA＝9∴AB＝DA﹣BD＝9﹣4＝5，∴⊙O的半径为5 2．24．（10分）钟南山院士谈到防护新型冠状病毒肺炎时说：“我们需要重视防护，但也不必恐慌，尽量少去人员密集的场所，出门戴口罩，在室内注意通风，勤洗手，多运动，少熬夜．”某社区为了加强社区居民对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解，通过微信群宣传新型冠状病毒肺炎的防护知识，并鼓励社区居民在线参与作答《2020年新型冠状病毒防治全国统一考试（全国卷）》试卷（满分100分），社区管理员随机从有400人的某小区抽取40名人员的答卷成绩，并对他们的成绩（单位：分）统计如下：858095100909585657585909070901008080909575806580958510090858580957580907080957510090根据数据绘制了如下的表格和统计图：等级成绩（x）频数频率A90＜x≤100.25100a0.35B80＜x≤90C70＜x≤120.380D60≤x≤4b70合计401根据上面提供的信息，回答下列问题：（1）统计表中的a＝14，b＝0.1；（2）请补全条形统计图；（3）根据抽样调查结果，请估计该小区答题成绩为“C级”的有多少人？（4）该社区有2名男管理员和2名女管理员，现从中随机挑选2名管理员参加“社区防控”宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“1男1女”的概率．【解答】解：（1）由题意可知：B等级的频数a＝14，∴B等级的频率为：14÷40＝0.35，D等级的频数为4，b＝1﹣0.25﹣0.35﹣0.3＝0.1．故答案为：14、0.1、4、0.35；（2）如图即为补全的条形统计图；（3）0.3×400＝120（名）答：估计该小区答题成绩为“C级”的有120人；（4）如图，根据树状图可知：所有可能的结果共有12种，恰好选中“1男1女”的有8种，∴恰好选中“1男1女”的概率为812＝23．25．（10分）如图，已知反比例函数y＝mx（x＞0）的图象经过点A（4，2），过A作AC⊥y轴于点C．点B为反比例函数图象上的一动点，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AD．直线BC与x轴的负半轴交于点E．（1）求反比例函数的表达式；（2）若BD＝3OC，求△BDE的面积；（3）是否存在点B，使得四边形ACED为平行四边形？若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝mx（x＞0）的图象经过点A（4，2），∴m＝8，∴反比例函数y＝8x（x＞0）．（2）∵AC⊥y轴，A（4，2），∴OC＝2，∵BD＝3OC，∴BD＝6，∵BD⊥x轴，∴B（43，6），∵C（0，2），设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ，则有2463b k b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得32k b =⎧⎨=⎩，∴直线BC 的解析式为y ＝3x +2，∴E （﹣23，0），∴DE ＝23+43＝2，∴S △BED ＝12×DE ×BD ＝6．（3）存在．如图，设BD 交AC 于F ．设B （a ，8a），∵A （4，2）∴AC ＝4，∵四边形ACED 是平行四边形，∴DE ＝AC ＝4，且CF ∥DE ，∴△BCF ∽△BED ，∴CF BF DE DF =，即8284a a a-=，解得a ＝2，∴B （2，4）．26．（12分）如图①，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝60°，D 为BC 边上一点（不与点B ，C 重合），将线段AD 绕点A 逆时针旋转60°得到AE ，连接EC ，则：（1）①∠ACE 的度数是60°；②线段AC ，CD ，CE 之间的数量关系是AC ＝CD +CE ．（2）如图②，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC边上一点（不与点B，C 重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，请判断线段AC，CD，CE之间的数量关系，并说明理由；（3）如图②，AC与DE交于点F，在（2）条件下，若AC＝8，求AF的最小值．【解答】解：（1）①∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠B＝∠BAC＝60°，由旋转知，AD＝AE，∠DAE＝60°＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ACE＝∠B＝60°，故答案为60°；②由（1）知，△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，∴BC＝BD+CD＝CE+CD，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∴AC＝CE+CD，故答案为AC＝CE+CD；（2）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∴BC AC，由旋转知，AD＝AE，∠DAE＝90°＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∴BC＝BD+CD＝CE+CD，AC＝CE+CD；（3）由（2）知，△ABD≌△ACE，∴ACE＝∠ABD，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABD＝∠ACB＝45°，∴∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，∵∠DAE＝90°，∴∠BCE+∠DAE＝180°，∴点A，D，C，E在以DE为直径的圆上，∵AC与DE交于点F，∴AF是直径DE上的一点到点A的距离，即：当AF⊥DE时，AF最小，∴∠CFD＝90°，∴∠CDF＝90°﹣∠ACB＝45°，∵∠ADE＝45°，∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是矩形，∴AF最小＝12AC＝4．27．（12分）图①，抛物线y＝﹣2x2+bx+c过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC．（1）求该抛物线的表达式和对称轴；（2）点D是抛物线对称轴上一动点，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求所有符合条件的点D的坐标；（3）如图2，将抛物线在BC上方的图象沿BC折叠后与y轴交与点E，求点E的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣2x2+bx+c过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，∴222(1)02330b cb c⎧-⨯--+=⎪⎨-⨯++=⎪⎩得46bc=⎧⎨=⎩∴y＝﹣2x2+4x+6＝﹣2（x﹣1）2+8，∴抛物线的对称轴是直线x＝1，即该抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6，对称轴是直线x＝1；（2）分两种情况：设点D的坐标为（1，y）第一种情况是：∠BCD＝90°时，则CD2+BC2＝BD2，∵点B的坐标为（3，0），抛物线y＝﹣2x2+4x+6交y轴于点C，∴点C的坐标为（0，6），∴[12+（y﹣6）2]+（32+62）＝（3﹣1）2+y2，解得，y＝6.5，∴点D的坐标为（1，6.5）；第二种情况：当∠DBC＝90°时，BD2+BC2＝CD2，即[（3﹣1）2+y2]+（32+62）＝12+（6﹣y）2，解得，y＝﹣1，∴点D的坐标为（1，﹣1），综上所述，符合条件的点D的坐标为（1，6.5），（1，﹣1）；（3）因为点C的坐标为（0，6），点B的坐标为（3，0），设直线BC 的解析式为y ＝kx +6，则3k +6＝0，得k ＝﹣2，即直线BC 的解析式为y ＝﹣2x +6，如右图所示，作点E 关于直线BC 的对称点E ′交BC 于点F ，过点F 作FN ⊥y 轴于点N ，设E （0，m ），E ′（x ，y ），则EE ′⊥BC ，∴∠CFE ＝∠COB ＝90°，∴BC ＝∵∠ECF ＝∠BCO ，∴△ECF ∽△BCO ，∴CE CF CB CO=6CF =，解得，CF＝)5m -又∵∠CNF ＝∠COB ，∠NCF ＝∠OCB ，∴△NCF ∽△OCB ，∴FN CF BO CB=即3FN =，解得，FN ＝2(6)5m -，∴点F 的横坐标为2(6)5m -，把x ＝2(6)5m -代入直线BC 的解析式，得y ＝465m +，∴点F 的坐标为（2(6)5m -，465m +），∵EE ′关于直线BC 对称，∴点F为EE′的中点，∴46252(6)25m y mx m++⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得4(6)51235mxmy-⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，∴E’(4(6)12355m m-+，)∵点E′在抛物线y＝﹣2x2+4x+6上，∴1235m+＝﹣2×[4(6)5m-]2+4×4(6)5m-+6，解得，m1＝6，m2＝97 32，∵点C（0，6），点E在点C下方，∴点E的坐标为（0，97 32）．。
2020年山东省济南市历城区中考数学一模试卷
2020年山东省济南市历城区中考数学一模试卷一、选择题（共12小题，满分48分，每小题4分）1．（4分）2019的倒数等于()A．12019B．2019-C．12019-D．20192．（4分）下列几何体是由5个相同的小正方体搭成的，它的左视图是()A．B．C．D．3．（4分）港珠澳大桥2018年10月24日上午9时正式通车，这座大桥跨越怜仃洋，东接香港，西接广东珠海和澳门，总长约55000m，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥，数据55000用科学记数法表示为()A．55.510⨯B．45510⨯C．65.510⨯D．45.510⨯4．（4分）如图，直线//AB CD，CE平分ACD∠，交AB于点E，20ACE∠=︒，点F在AC 的延长线上，则BAF∠的度数为()A．20︒B．30︒C．40︒D．50︒5．（4分）实数m、n在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是()A．||1m…B．11m->C．0mn>D．10m+>6．（4分）下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是()A．B．C．D．7．（4分）化简22222x xy y yx y x y++---的结果是()A．xx y-B．yx y+C．xx y+D．yx y-8．（4分）2017年11月30日，河北省402爱心社的志愿者们走进正定五中，为品学兼优的家庭困难学生捐献爱心，共捐赠资金7000元．该资金由25名志愿者捐献，捐献统计情况如下表，则他们捐款金额的中位数和平均数分别是()金额/元100200300400500人数211543 A．200，200B．200，280C．300，300D．300，2809．（4分）下图中反比例函数kyx=与一次函数y kx k=-在同一直角坐标系中的大致图象是()A．B．C．D．10．（4分）如图，在热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别为30︒、45︒，热气球C的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是()A．200米B．2003C．2203D．100(31)米11．（4分）如图，在ABC ∆中，6AB =，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转40︒后得到ADE ∆，点B 经过的路径为¶BD．则图中阴影部分的面积是( )A ．4πB ．43πC ．23πD ．条件不足，无法计算12．（4分）求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，其对称轴为直线1x =-，与x 轴的交点为1(x ，0)、2(x ，0)，其中101x <<，有下列结论：①0abc >；②232x -<<-；③421a b c -+<-；④2(1)a b am bm m ->+≠-；⑤13a >；其中，正确的结论有( )A ．5B ．4C ．3D ．2二、填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 13．（4分）分解因式：2x xy -= ．14．（4分）在一个有15万人的小镇，随机调查了1000人，其中200人会在日常生活中进行垃圾分类，那么在该镇随机挑一个人，会在日常生活中进行垃圾分类的概率是 ． 15．（4分）若一个多边形的内角和与外角和之和是900︒，则该多边形的边数是 ． 16．（4分）若28a b +=，3418a b +=，则a b +的值为 ．17．（4分）学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地，两人之间的距离y （米)与时间t （分钟）之间的函数关系如图所示根据图象信息知，点A的坐标是 ．18．（4分）如图，矩形纸片ABCD 中，6AB =，9BC =，将矩形纸片ABCD 折叠，使C 与点A 重合，则折痕EF 的长为 ．三．解答题（共9小题，满分78分）19．（6分）计算：101|12cos30|12()(5)2π--︒+----20．（6分）解不等式组1(1)1212x x ⎧-⎪⎨⎪-<⎩…，并写出该不等式组的所有整数解．21．（6分）如图，AB DE =，BF EC =，B E ∠=∠，求证：//AC DF ．22．（8分）在某体育用品商店，购买3根跳绳和6个毽子共用72元，购买5根跳绳和20个毽子共用160元．（1）跳绳、毽子的单价各是多少元？（2）该店在“五g 四”青年节期间开展促销活动，所有商品按同样的折数打折销售．节日。
2024年山东省济南市历下区中考数学一模试卷(含解析)
2024年山东省济南市历下区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（4分）2024的绝对值是（ ）A．﹣2024B．2024C．D．2．（4分）如图是由5个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的俯视图是（ ）A．B．C．D．3．（4分）海水淡化是解决全球水资源危机的战略手段，根据《海水淡化利用发展行动计划（2021﹣2025年）》，到2025年我国海水淡化总规模将达到2900000吨/日以上．数字2900000用科学记数法表示为（ ）A．0.29×107B．2.9×106C．29×105D．290×104 4．（4分）将直角三角板和直尺按照如图位置摆放，若∠1＝56°，则∠2的度数是（ ）A．26°B．30°C．36°D．56°5．（4分）我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．6．（4分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示．若a+b＝0，则下列结论中正确的是（ ）A．|a|＜|b|B．2a＞2b C．ab＞0D．a＜﹣17．（4分）有四张大小和背面完全相同的不透明卡片，正面分别印有“前”、“程”、“朤（lǎng）”、“朤（lǎng）”四个汉字，将这四张卡片背面朝上洗匀，甲随机抽出一张并放回，洗匀后，乙再随机抽出一张，则两人抽到汉字可以组成“朤朤”的概率是（ ）A．B．C．D．8．（4分）某小区内的消防车道有一段弯道，如图，弯道的内外边缘均为圆弧，，所在圆的圆心为点O，点C，D分别在OA，OB上，已知消防车道半径OC＝12m，消防车道宽AC＝4m，∠AOB＝120°，则弯道外边缘的长与内边缘的长的差为（ ）A．B．C．D．9．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN分别交BC，AC于点D，E，连接AD，以下结论不正确的是（ ）A．∠BDA＝72°B．BD＝2AE C．D．CA2＝CD•CB 10．（4分）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n阶方点”．例如，点（1，3）与点（，2）都是函数y＝2x+1图象的“3阶方点”．若y关于x的二次函数y＝（x﹣n）2+n2﹣6的图象存在“n阶方点”，则n的取值范围是（ ）A．B．C．2≤n≤3D．1≤n≤3二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）11．（4分）分解因式：xy﹣y2＝ ．12．（4分）若分式有意义，则x的值可以是 ．（写出一个即可）13．（4分）如图，矩形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，已知AB长为6，BC长为8．一小球在矩形ABCD内自由地滚动，并随机停留在某区域，它最终停留在黑色区域的概率为 ．（结果保留π）14．（4分）如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠A＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作，以BC为直径作半圆，则阴影部分的面积为 ．15．（4分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，AC＝10cm，点D为AC的中点，过点B作EB⊥BD，连接EC，若EB＝EC，连接ED交BC于点F，则EF＝ cm．16．（4分）如图，已知矩形ABCD，AB＝6，AD＝8，点E为边BC上一点，连接DE，以DE为一边在与点C的同侧作正方形DEFG，连接AF．当点E在边BC上运动时，AF的最小值是 ．三、解答题（本大题共10个小题，共86分，请写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（6分）计算：|﹣2|﹣（π﹣2）0+（）﹣1﹣4tan45°．18．（6分）解不等式组：，并写出它的所有整数解．19．（6分）如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：BE＝CF．20．（8分）为增强同学们的环保意识，某校八年级举办“垃圾分类知识竞赛”活动，分为笔试和展演两个阶段．已知年级所有学生都参加了两个阶段的活动，首先将成绩分为以下六组（满分100分，实际得分用x表示）：A：70≤x＜75，B：75≤x＜80，C：80≤x＜85，D：85≤x＜90，E：90≤x＜95，F：95≤x＜100随机抽取n名学生，将他们两个阶段的成绩均按以上六组进行整理，相关信息如下：已知笔试成绩中，D组的数据如下：85，85，85，85，86，87，87，88，89．请根据以上信息，完成下列问题：（1）在扇形统计图中，“E组”所对应的扇形的圆心角是 °；（2）n＝ ，并补全图2中的频数分布直方图；（3）在笔试阶段中，n名学生成绩的中位数是 分；（4）已知笔试和展演两个阶段的成绩是按照2：3的权重计入总成绩，总成绩在91分以上的将获得“环保之星”称号，以下为甲、乙两位同学的成绩，最终谁能获得“环保之星”称号？请通过计算说明理由．笔试展演甲9289乙909521．（8分）数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题，实践报告如下：活动课题遮阳篷前挡板的设计问题背景我们所在的社区服务中心在境外安装了遮阳篷，结果发现夏日正午时纳凉面积不够，现在为使房前的纳凉区域增加到2.76m 宽，计划在遮阳篷前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），如图1，现在要计算所需前挡板的宽度BC 的长．测量数据抽象模型我们实地测量了相关数据，并画出了侧面示意图，如图2，遮阳篷AB 长为4m ，其与墙面的夹角∠BAD ＝70°，其靠墙端离地高AD为3.5m ．通过查阅资料，了解到本地夏日正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角∠CFE ）最小为60°，若假设此时房前恰好有2.76m 宽的阴影DF ，如图3，求出BC 的长即可．解决思路经过讨论，我们准备按照如下步骤解决问题：（1）运用所学的三角函数的相关知识，构造直角三角形，先求出遮阳篷前端B 到墙面AD 的距离；（2）继续构造直角三角形，求出∠CFE为60°时，BC的长度．运算过程…该报告运算过程还没有完成，请按照解决思路，帮助兴趣小组完成该部分．（结果精确到0.01m，参考数据：sin70°≈0.940，cos70°≈0.342，tan70°≈2.747，≈1.732）22．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，点E是的中点，连接BE，AE，过点A的切线与BE的延长线交于点C，弦BE，AD相交于点F．（1）求证：∠ADE＝∠CAE；（2）若∠ADE＝30°，AE＝，求BF的长．23．（10分）“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴．”为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，学校开展大课间活动，七年级五班拟组织学生参加跳绳活动，需购买A，B两种跳绳若干，已知购买3根A种跳绳和1根B种跳绳共需105元；购买5根A种跳绳和3根B种跳绳共需215元．（1）求A，B两种跳绳的单价；（2）如果班级计划购买A，B两型跳绳共48根，B型跳绳个数不少于A型跳绳个数的2倍，那么购买跳绳所需最少费用是多少元？24．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点B，C在x轴上，顶点A在y轴上，AB＝AC．反比例函数的图象与边AC交于点E （1，4）和点F（2，n）．点M为边AB上的动点，过点M作直线MN∥x轴，与反比例函数的图象交于点N．连接OE，OF，OM和ON．（1）求反比例函数的表达式和点A的坐标；（2）求△OEF的面积；（3）求△OMN面积的最大值．25．（12分）【问题情境】如图1，在四边形ABCD中，AD＝DC＝4cm，∠ADC＝60°，AB＝BC，点E 是线段AB上一动点，连接DE．将线段DE绕点D逆时针旋转30°，且长度变为原来的m倍，得到线段DF，作直线CF交直线AB于点H．数学兴趣小组着手研究m为何值时，HF+mBE的值是定值．【探究实践】老师引导同学们可以先通过边、角的特殊化，发现m的取值与HF+mBE为定值的关系，再探究图1中的问题，这体现了从特殊到一般的数学思想．经过思考和讨论，小明、小华分享了自己的发现．（1）如图2，小明发现：“当∠DAB＝90°，m＝时，点H与点A恰好重合，的值是定值”．小华给出了解题思路，连接BD，易证△DEB∽△DFC，得到CF与BE的数量关系是 ，的值是 ．（2）如图3，小华发现：“当AD＝AB，m＝时，的值是定值”．请判断小明的结论是否正确，若正确，请求出此定值，若不正确，请说明理由．【拓展应用】（3）如图1，小聪对比小明和小华的发现，经过进一步思考发现：“连接DB，只要确定AB的长，就能求出m的值，使得HF+mBE的值是定值”，老师肯定了小聪结论的准确性．若，请直接写出m的值及HF+mBE的定值．26．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，抛物线M：y＝ax2+bx+c经过点A，且顶点在直线AB上．（1）如图，当抛物线的顶点在点B时，求抛物线M的表达式；（2）在（1）的条件下，抛物线M上是否存在点C，满足∠ABC＝∠ABO．若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由；（3）定义抛物线N：y＝bx2+ax+c为抛物线M的换系抛物线，点P（t，p），点Q（t+3，q）在抛物线N上，若对于2≤t≤3，都有p＜q＜1，求a的取值范围．2024年山东省济南市历下区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（4分）2024的绝对值是（ ）A．﹣2024B．2024C．D．【分析】依据题意，根据绝对值的意义进行计算可以得解．【解答】解：由题意得，|2024|＝2024．故选：B．2．（4分）如图是由5个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的俯视图是（ ）A．B．C．D．【分析】根据从上面看得到的图象是俯视图，可得答案．【解答】解：俯视图如选项C所示，故选：C．3．（4分）海水淡化是解决全球水资源危机的战略手段，根据《海水淡化利用发展行动计划（2021﹣2025年）》，到2025年我国海水淡化总规模将达到2900000吨/日以上．数字2900000用科学记数法表示为（ ）A．0.29×107B．2.9×106C．29×105D．290×104【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：2900000＝2.9×106．故选：B．4．（4分）将直角三角板和直尺按照如图位置摆放，若∠1＝56°，则∠2的度数是（ ）A．26°B．30°C．36°D．56°【分析】由平行线的性质可得∠ACD＝∠1＝56°，再由三角形的外角性质即可求解．【解答】解：如图，由题意得：AB∥CD，∴∠ACD＝∠1＝56°，∵△ACD是△CDE的外角，∠E＝30°，∴∠2＝∠ACD﹣∠E＝26°．故选：A．5．（4分）我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．【分析】直接根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可．【解答】解：A．该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；B．该图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，故此选项不符合题意；C．该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意．故选：A．6．（4分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示．若a+b＝0，则下列结论中正确的是（ ）A．|a|＜|b|B．2a＞2b C．ab＞0D．a＜﹣1【分析】由题可知，a＝﹣b，从数轴上可知，a＜0＜1＜b，据此逐一判断各选项．【解答】解：由题可知，a+b＝0，∴a＝﹣b，从数轴上可知，a＜0＜1＜b，A、∵a＝﹣b，∴|a|＝|b|，故选项A不符合题意；B、∵a＜b，∴2a＜2b，故选项B不符合题意；C、∵a＜0＜b，∴ab＜0，故选项C不符合题意；D、∵a＝﹣b，a＜0＜1＜b，∴﹣b＜﹣1，∴a＜﹣1，故选项D符合题意；故选：D．7．（4分）有四张大小和背面完全相同的不透明卡片，正面分别印有“前”、“程”、“朤（lǎng）”、“朤（lǎng）”四个汉字，将这四张卡片背面朝上洗匀，甲随机抽出一张并放回，洗匀后，乙再随机抽出一张，则两人抽到汉字可以组成“朤朤”的概率是（ ）A．B．C．D．【分析】利用列表法或树状图法解答即可．【解答】解：画树状图如下：一共有16种等可能的情况，其中两人抽到汉字可以组成“朤朤”有4中可能的结果，∴P（两人抽到汉字可以组成“朤朤”）＝＝，故选：B．8．（4分）某小区内的消防车道有一段弯道，如图，弯道的内外边缘均为圆弧，，所在圆的圆心为点O，点C，D分别在OA，OB上，已知消防车道半径OC＝12m，消防车道宽AC＝4m，∠AOB＝120°，则弯道外边缘的长与内边缘的长的差为（ ）A．B．C．D．【分析】根据线段的和差得到OA＝OC+AC，然后根据弧长公式即可得到结论．【解答】解：∵OC＝12m，AC＝4m，∴OA＝OC+AC＝12+4＝16（m），∵∠AOB＝120°，∴弯道外边缘的长为＝（m），内边缘的长为＝＝（m），∴弯道外边缘的长与内边缘的长的差为＝π（m），故选：B．9．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，分别以点A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN分别交BC，AC于点D，E，连接AD，以下结论不正确的是（ ）A．∠BDA＝72°B．BD＝2AE C．D．CA2＝CD•CB 【分析】先由AB＝AC，∠BAC＝108°得∠B＝∠C＝36°，由作图可知MN 为AC的垂直平分线，则AD＝CD，进而得∠DAC＝∠C＝36°，由此可求出∠BAD的度数，进而可对选项A进行判断；由MN为AC的垂直平分线得AC＝2AE，则AB＝2AE，证∠BAD＝∠BDA＝72°得AB＝BD，由此可对选项B进行判断；设CD＝x，CB＝a，则BD＝CB﹣CD＝a﹣x，AC＝AB＝BC＝a﹣x，证△CDA和△CAB相似得CD：CA＝CA：CB，即x：（a﹣x）＝（a﹣x）：a，整理得x2﹣3ax+a2＝0，由此解出，则，由此可对选项C 进行判断；由△CDA∽△CAB得CD：CA＝CA：CB，由此可对选项D进行判断，综上所述即可得出答案．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝108°，∴∠B＝∠C＝1/2（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣108°）＝36°，由作图可知：MN为AC的垂直平分线，∴AD＝CD，∴∠DAC＝∠C＝36°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝108°﹣36°＝72°，故选项A正确，不符合题意；∵MN为AC的垂直平分线，∴AC＝2AE，∵AB＝AC，∴AB＝2AE，∵∠DAC＝∠C＝36°，∴∠BDA＝∠DAC+∠C＝72°，∵∠BAD＝72°，∴∠BAD＝∠BDA＝72°，∴AB＝BD，∴BD＝2AE，故选项B正确，不符合题意；设CD＝x，CB＝a，则x＜a则BD＝CB﹣CD＝a﹣x，∴AC＝AB＝BC＝a﹣x，∵∠DAC＝∠B＝36°，∠DCA＝∠ACB，∴△CDA∽△CAB，∴CD：CA＝CA：CB，即x：（a﹣x）＝（a﹣x）：a，整理得：x2﹣3ax+a2＝0，解得：x1＝，x2＝（不合题意，舍去），∴，∴，即，故选项C不正确，符合题意；∵△CDA∽△CAB，∴CD：CA＝CA：CB，∴CA2＝CD•CB，故选项D正确，不符合题意．故选：C．10．（4分）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n（n≥0）的点叫做这个函数图象的“n 阶方点”．例如，点（1，3）与点（，2）都是函数y ＝2x +1图象的“3阶方点”．若y 关于x 的二次函数y ＝（x ﹣n ）2+n 2﹣6的图象存在“n 阶方点”，则n 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．2≤n ≤3D ．1≤n ≤3【分析】由二次函数解析式可知其顶点坐标在抛物线y ＝x 2﹣6上移动，作出简图，由函数图象可知，当二次函数图象过点 （n ，﹣n ）和点（﹣n ，n ）时为临界情况，求出此时n 的值，由图象可得n 的取值范围．【解答】解：∵二次函数y ＝（x ﹣n ）2+n 2﹣6的顶点坐标为（n ，n 2﹣6），∴二次函数n 2﹣6的顶点在抛物线y ＝x 2﹣6上移动，∵y 关于x 的二次函数y ＝（x ﹣n ）2+n 2﹣6的图象存在“n 阶方点”，∴二次函数二次函数y ＝（x ﹣n ）2+n 2﹣6的图象与以顶点坐标为（n ，n ），（n ，﹣n ），（﹣n ，n ），（﹣n ，﹣n ）的正方形有交点，如图，当y ＝（x ﹣n ）2+n 2﹣6过点（﹣n ，n ） 时，将（﹣n ，n ）代入y ＝（x ﹣n ）2+n 2﹣6得：4n 2+n 2﹣6＝n ，解得：n ＝或n ＝﹣1（舍去），当y ＝（x ﹣n ）2+n 2﹣6过点（n ，﹣n ） 时，将（﹣n ，n ）代入y ＝（x ﹣n ）2+n 2﹣6得：4n 2+n 2﹣6＝﹣n ，解得：n＝1，n＝﹣（舍去），由图可知，由图象可得n的取值范围是：1．故选：A．二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）11．（4分）分解因式：xy﹣y2＝ y（x﹣y） ．【分析】直接提取公因式y，进而得出答案．【解答】解：xy﹣y2＝y（x﹣y）．故答案为：y（x﹣y）．12．（4分）若分式有意义，则x的值可以是 2（答案不唯一） ．（写出一个即可）【分析】根据分母不为0可得x+1≠0，然后进行计算即可解答．【解答】解：∵分式有意义，∴x+1≠0，∴x≠﹣1，∴x的值可以是2，故答案为：2（答案不唯一）．13．（4分）如图，矩形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，已知AB长为6，BC长为8．一小球在矩形ABCD内自由地滚动，并随机停留在某区域，它最终停留在黑色区域的概率为 ．（结果保留π）【分析】根据几何概率的计算方法解答即可．【解答】解：由题意，可知：黑色区域的面积＝圆面积的一半，∴P（最终停留在黑色区域）＝＝．故答案为：．14．（4分）如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠A＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作，以BC为直径作半圆，则阴影部分的面积为 8 ．【分析】由图可知：图案的面积＝半圆CBF的面积+△ABC的面积﹣扇形ABC的面积，可根据各自的面积计算方法求出图案的面积．【解答】解：在△ABC中，AB＝AC＝4，∠A＝90°，∴BC＝＝4，∴S扇形ACB＝＝4π，S半圆CBF＝π×（2）2＝4π，S△ABC＝×4×4＝8；所以阴影面积＝S半圆CBF+S△ABC﹣S扇形ACB＝4π+8﹣4π＝8，故答案为：8．15．（4分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，AC＝10cm，点D为AC的中点，过点B作EB⊥BD，连接EC，若EB＝EC，连接ED交BC于点F，则EF＝ cm．【分析】根据勾股定理得出BC＝8cm，进而利用直角三角形的性质得出BD＝5cm，进而利用勾股定理得出BE，进而解答即可．【解答】解；∵∠ABC＝90°，AB＝6cm，AC＝10cm，∴BC＝（cm），∵点D为AC的中点，∴BD＝AC＝5cm，∵EB＝EC，∴BF＝BC＝4cm，DF＝（cm），设EF＝x，在Rt△EBF中，BE2＝EF2+BF2，∵EB⊥BD，在Rt△BED中，BE2＝ED2﹣BD2，即x2+42＝（x+3）2﹣52，解得：x＝，∴EF＝cm，故答案为：．16．（4分）如图，已知矩形ABCD，AB＝6，AD＝8，点E为边BC上一点，连接DE，以DE为一边在与点C的同侧作正方形DEFG，连接AF．当点E在边BC上运动时，AF的最小值是 10 ．【分析】过点E作EH⊥AD于点H，过点F作FK⊥BE，交BE的延长线于点K，交AB的延长线于点M，利用矩形的判定与性质，正方形的性质，直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质得到KF＝EH＝6，KE＝HD，设AH＝x，则HD＝EK＝8﹣x，MH＝x，利用勾股定理，配方法以及非负数的意义解答即可得出结论．【解答】解：过点E作EH⊥AD于点H，过点F作FK⊥BE，交BE的延长线于点K，交AB的延长线于点M，如图，∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∠C＝∠ADC＝90°，∵EH⊥AD，∴四边形CDHE为矩形，∴EH＝CD＝6，∵四边形DEFG为正方形，∴EF＝ED，∠FED＝90°．∴∠KEF+∠HED＝90°．∵FK⊥BE，∴∠KFE+∠KEF＝90°，∴∠KFE＝∠HED．在△KFE和△HED中，，∴△KFE≌△HED（AAS），∴KF＝EH＝6，KE＝HD．∵∠BAH＝∠AHE＝∠MKH＝90°，∴四边形AHKM为矩形，∴AH＝MK，AM＝HK，∠M＝90°，设AH＝x，则HD＝EK＝8﹣x，MH＝x，∴AM＝HK＝HE+EK＝14﹣x，MF＝KF+MK＝6+x，在Rt△AFM中，∵AM2+MF2＝AF2，∴AF＝＝，∵2（x﹣4）2≥0，∴当x＝4时，AF取得最小值为＝10．∴AF的最小值是10．故答案为：10．三、解答题（本大题共10个小题，共86分，请写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（6分）计算：|﹣2|﹣（π﹣2）0+（）﹣1﹣4tan45°．【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝2﹣1+3﹣4×1＝2﹣1+3﹣4＝0．18．（6分）解不等式组：，并写出它的所有整数解．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可得出答案．【解答】解：解不等式3（x+2）＞x+4得x＞﹣1，解不等式得，x＜3，∴不等式组的解集为﹣1＜x＜3．∴不等式组的整数解为0，1，2．19．（6分）如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：BE＝CF．【分析】要证BE＝CF，可运用矩形的性质结合已知条件证BE、CF所在的三角形全等．【解答】证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AC＝BD，则BO＝CO．∵BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，∴∠BEO＝∠CFO＝90°．又∵∠BOE＝∠COF，∴△BOE≌△COF．∴BE＝CF．20．（8分）为增强同学们的环保意识，某校八年级举办“垃圾分类知识竞赛”活动，分为笔试和展演两个阶段．已知年级所有学生都参加了两个阶段的活动，首先将成绩分为以下六组（满分100分，实际得分用x表示）：A：70≤x＜75，B：75≤x＜80，C：80≤x＜85，D：85≤x＜90，E：90≤x＜95，F：95≤x＜100随机抽取n名学生，将他们两个阶段的成绩均按以上六组进行整理，相关信息如下：已知笔试成绩中，D组的数据如下：85，85，85，85，86，87，87，88，89．请根据以上信息，完成下列问题：（1）在扇形统计图中，“E组”所对应的扇形的圆心角是 54 °；（2）n＝ 20 ，并补全图2中的频数分布直方图；（3）在笔试阶段中，n名学生成绩的中位数是 85.5 分；（4）已知笔试和展演两个阶段的成绩是按照2：3的权重计入总成绩，总成绩在91分以上的将获得“环保之星”称号，以下为甲、乙两位同学的成绩，最终谁能获得“环保之星”称号？请通过计算说明理由．笔试展演甲9289乙9095【分析】（1）根据E组的人数所占的百分比进行计算即可；（2）由笔试成绩D组的人数及所占的百分比可得n的值，即可补全图2中的频数分布直方图；（3）根据中位数的定义即可求解；（4）根据加权平均数的计算方法即可得出答案．【解答】解：（1）在扇形统计图中，“E组”所对应的扇形的圆心角是360°×（1﹣5%﹣5%﹣20%﹣45%﹣10%）＝54°，故答案为：54；（2）n＝9÷45%＝20，展演成绩中B：75≤x＜80的人数为20﹣2﹣6﹣4﹣3﹣1＝4，补全图2中的频数分布直方图：故答案为：20；（2）将抽取的20名学生的笔试成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为＝85.5，故答案为：85.5；（3）乙同学能获得“环保之星”称号，理由如下：甲同学的总成绩为＝90.2（分），乙同学的总成绩为＝93（分），93＞90.2，∴乙同学能获得“环保之星”称号．21．（8分）数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题，实践报告如下：活动课题遮阳篷前挡板的设计问题背景我们所在的社区服务中心在境外安装了遮阳篷，结果发现夏日正午时纳凉面积不够，现在为使房前的纳凉区域增加到2.76m 宽，计划在遮阳篷前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），如图1，现在要计算所需前挡板的宽度BC 的长．测量数据抽象模型我们实地测量了相关数据，并画出了侧面示意图，如图2，遮阳篷AB 长为4m ，其与墙面的夹角∠BAD ＝70°，其靠墙端离地高AD为3.5m ．通过查阅资料，了解到本地夏日正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角∠CFE ）最小为60°，若假设此时房前恰好有2.76m 宽的阴影DF ，如图3，求出BC 的长即可．解决思路经过讨论，我们准备按照如下步骤解决问题：（1）运用所学的三角函数的相关知识，构造直角三角形，先求出遮阳篷前端B到墙面AD的距离；（2）继续构造直角三角形，求出∠CFE为60°时，BC的长度．运算过程…该报告运算过程还没有完成，请按照解决思路，帮助兴趣小组完成该部分．（结果精确到0.01m，参考数据：sin70°≈0.940，cos70°≈0.342，tan70°≈2.747，≈1.732）【分析】过点B作BG⊥AD，垂足为G，延长BC交DE于点H，根据题意可得：BG＝DH，BH＝DG，BH⊥DE，然后在Rt△ABG中，利用锐角三角函数的定义求出AG和BG的长，从而求出DG和FH的长，最后在Rt△CFH中，利用锐角三角函数的定义求出CH的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：过点B作BG⊥AD，垂足为G，延长BC交DE于点H，由题意得：BG＝DH，BH＝DG，BH⊥DE，在Rt△ABG中，AB＝4m，∠BAG＝70°，∴AG＝AB•cos70°≈4×0.342＝1.368（m），BG＝AB•sin70°≈4×0.94＝3.76（m），∴BG＝DH＝3.76（m），∵AD＝3.5m，∴DG＝BH＝AD﹣AG＝3.5﹣1.368＝2.132（m），∵DF＝2.76m，∴FH＝DH﹣DF＝3.76﹣2.76＝1（m），在Rt△CFH中，∠CFH＝60°，∴CH＝FH•tan60°＝（m），∴BC＝BH﹣CH＝2.132﹣1.732＝0.40（m），∴BC的长度约为0.40m．22．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，点E是的中点，连接BE，AE，过点A的切线与BE的延长线交于点C，弦BE，AD相交于点F．（1）求证：∠ADE＝∠CAE；（2）若∠ADE＝30°，AE＝，求BF的长．【分析】（1）根据切线的性质可得∠OAC＝90°，从而可得∠CAE+∠BAE＝90°，再利用直径所对的圆周角是直角可得∠AEB＝90°，从而可得∠BAE+∠B＝90°，然后利用同角的余角相等可得∠B＝∠CAE，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠B＝∠D，从而利用等量代换可得∠D＝∠CAE，即可解答；（2）利用（1）的结论可得∠ADE＝∠B＝30°，然后在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出BE的长，再根据已知易得＝，从而可得AE＝DE，然后利用等腰三角形的性质可得∠EAD＝∠D＝30°，最后在Rt△AEF 中，利用锐角三角函数的定义求出EF的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【解答】（1）证明：∵AC与⊙O相切于点A，∴∠OAC＝90°，∴∠CAE+∠BAE＝90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠BAE+∠B＝90°，∴∠B＝∠CAE，∵∠B＝∠D，∴∠D＝∠CAE；（2）解：∵∠ADE＝30°，∴∠ADE＝∠B＝30°，在Rt△ABE中，AE＝，∴BE＝＝＝3，∵点E是的中点，∴＝，∴AE＝DE，∴∠EAD＝∠D＝30°，在Rt△AEF中，EF＝AE•tan30°＝×＝1，∴BF＝BE﹣EF＝3﹣1＝2，∴BF的长为2．23．（10分）“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴．”为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，学校开展大课间活动，七年级五班拟组织学生参加跳绳活动，需购买A，B两种跳绳若干，已知购买3根A种跳绳和1根B种跳绳共需105元；购买5根A种跳绳和3根B种跳绳共需215元．（1）求A，B两种跳绳的单价；（2）如果班级计划购买A，B两型跳绳共48根，B型跳绳个数不少于A型跳绳个数的2倍，那么购买跳绳所需最少费用是多少元？【分析】（1）设A种跳绳的单价为x元，B种跳绳的单价为y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案；（2）设购进A种跳绳a件，总费用为w元，根据B种跳绳个数不少于A型跳绳个数的2倍，求出a的取值，再根据一次函数的性质，即可得到答案．【解答】解：（1）设A种跳绳的单价为x元，B种跳绳的单价为y元，，解得：，答：A种跳绳的单价为25元，B种跳绳的单价为30元；（2）设购进A种跳a件，总费用为w元，∵B种跳绳个数不少于A型跳绳个数的2倍，则2a≤48﹣a，解得：a≤16，w＝25a+30（48﹣a）＝﹣5a+1440，∵﹣5＜0，∴w随a的增大而减小，当a＝16时，w有最小值为1360元，答：购买跳绳所需最少费用是1360元．24．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点B，C在x轴上，顶点A在y轴上，AB＝AC．反比例函数的图象与边AC交于点E （1，4）和点F（2，n）．点M为边AB上的动点，过点M作直线MN∥x轴，与反比例函数的图象交于点N．连接OE，OF，OM和ON．（1）求反比例函数的表达式和点A的坐标；（2）求△OEF的面积；（3）求△OMN面积的最大值．【分析】（1）根据反比例函数的图象与边AC交于点E（1，4）和点F（2，n），得到k＝1×4＝4，于是得到反比例函数的解析式为y＝，把F（2，n）代入y＝，得到F（2，2），设直线AC的解析式为y＝mx+n，解方程组得到直线AC的解析式为y＝﹣2x+6，于是得到A（0，6）；（2）根据三角形的面积公式即可得到结论；（3）根据等腰三角形的性质得到OB＝OC＝3，求得B（（﹣3，0），得到直线AB的解析式为y＝2x+6，设M（m，2m+6），N（n，），根据三角形的面积公式和二次函数的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵反比例函数的图象与边AC交于点E（1，4）和点F（2，n），∴k＝1×4＝4，∴反比例函数的解析式为y＝，把F（2，n）代入y＝，得n＝＝2，∴F（2，2），设直线AC的解析式为y＝mx+n，∴，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣2x+6，当x＝0时，y＝6，∴A（0，6）；（2）△OEF的面积＝△AOF的面积﹣△AOE的面积＝＝3；（3）在y＝﹣2x+6中，当y＝0时，x＝3，∴C（3，0），∵AB＝AC，AO⊥BC，∴OB＝OC＝3，∴B（（﹣3，0），∴直线AB的解析式为y＝2x+6，设M（m，2m+6），N（n，），∵MN∥x轴，∴2m+6＝，∴n＝，∴△OMN面积＝（n﹣m）×（2m+6）＝（﹣m）（2m+6）＝﹣m2﹣3m+2＝﹣（m+）2+，∴△OMN面积的最大值为．25．（12分）【问题情境】如图1，在四边形ABCD中，AD＝DC＝4cm，∠ADC＝60°，AB＝BC，点E 是线段AB上一动点，连接DE．将线段DE绕点D逆时针旋转30°，且长度变为原来的m倍，得到线段DF，作直线CF交直线AB于点H．数学兴趣小组着手研究m为何值时，HF+mBE的值是定值．【探究实践】老师引导同学们可以先通过边、角的特殊化，发现m的取值与HF+mBE为定值的关系，再探究图1中的问题，这体现了从特殊到一般的数学思想．经过思考和讨论，小明、小华分享了自己的发现．（1）如图2，小明发现：“当∠DAB＝90°，m＝时，点H与点A恰好重合，的值是定值”．小华给出了解题思路，连接BD，易证△DEB∽△DFC，得到CF与BE的数量关系是 CF＝BE ，的值是 4 ．（2）如图3，小华发现：“当AD＝AB，m＝时，的值是定值”．请判断小明的结论是否正确，若正确，请求出此定值，若不正确，请说明理由．【拓展应用】（3）如图1，小聪对比小明和小华的发现，经过进一步思考发现：“连接DB，只要确定AB的长，就能求出m的值，使得HF+mBE的值是定值”，老师肯定了小聪结论的准确性．若，请直接写出m的值及HF+mBE的定值．【分析】（1）根据已知条件得出BD为AC垂直平分线，再根据相似三角形的判定得出△DFC∽△DEB，从而得出CF＝BE，最后根据HF+BE＝HF+CF＝HC＝AC，即可得出答案；（2）连接AC，BD交于O点，根据已知先得出四边形ABCD为菱形，得出∠BDC＝∠ADC＝30°，在等腰△DCB中，根据BD＝CD，得出＝，再根据DF＝DE，得出＝＝，再证出△DEB∽△DFC，得出HF+ BE＝HF+CF＝HC，∠HCB＝90°，在Rt△HCB中，再根据已知条件得出HC＝4，从而得出答案；（3）连接BD，交AC于O，交HC于，由（1）得出△ADC为等边三角形，得出AD＝CD＝AC＝4，再根据勾股定理得出OB和DO得的值，再根据△。
＜合集试卷3套＞2020届济南市中考数学一模数学试题及答案
中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（）A．12B．1 C．3D．3【答案】B【解析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形，即可求出所求．【详解】如图，连接BC，由网格可得AB=BC=5，AC=10，即AB2+BC2=AC2，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，则tan∠BAC=1，故选B．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．2．如图，甲从A点出发向北偏东70°方向走到点B，乙从点A出发向南偏西15°方向走到点C，则∠BAC 的度数是（）A．85°B．105°C．125°D．160°【答案】C【解析】首先求得AB与正东方向的夹角的度数，即可求解．【详解】根据题意得：∠BAC＝（90°﹣70°）+15°+90°＝125°，故选：C．【点睛】本题考查了方向角，正确理解方向角的定义是关键．3．如图,在△ABC中,点D是AB边上的一点,若∠ACD=∠B,AD=1,AC=2,△ADC的面积为1,则△BCD的面积为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴12 AC ADAB AC==，∴2ACDABCS ADS AC⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴2 112ABCS⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴S△ABC=4，∴S△BCD= S△ABC- S△ACD=4-1=1．故选C考点：相似三角形的判定与性质.4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有()A．1对B．2对C．3对D．4对【答案】C【解析】∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴△ABC∽△ACD，△ACD∽CBD，△ABC∽CBD，所以有三对相似三角形．故选C．5．下列各曲线中表示y 是x 的函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据函数的意义可知：对于自变量x 的任何值，y 都有唯一的值与之相对应，故D 正确． 故选D ．6．函数y=x 2+bx+c 与y=x 的图象如图所示，有以下结论：①b 2﹣4c ＞1；②b+c+1=1；③3b+c+6=1；④当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x+c ＜1．其中正确的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】分析：∵函数y=x 2+bx+c 与x 轴无交点，∴b 2﹣4c ＜1；故①错误。
济南市2020版中考数学一模试卷(II)卷
济南市2020版中考数学一模试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共10题；共20分)1. （2分）(2016·内江) ﹣2016的倒数是（）A . ﹣2016B . ﹣C .D . 20162. （2分） (2020八下·无锡期中) 对于“a，b都是实数，则(a-b)2≥0”这一事件是（）A . 必然事件B . 不确定事件C . 不可能事件D . 随机事件3. （2分）(2020·峨眉山模拟) 如图，已知⊙O是以数轴原点O为圆心，半径为1的圆，，点P在数轴上运动，若过点P且与平行的直线与⊙O有公共点，设，则x的取值范围是（）A . ≤ ≤B . ≤ ≤C . ≤ ≤D . ＞4. （2分）(2019·平房模拟) 若不等式组有2个整数解，则a的取值范围为（）A . ﹣1＜a＜0B . ﹣1≤a＜0C . ﹣1＜a≤0D . ﹣1≤a≤05. （2分） (2015八上·平邑期末) 下列计算结果正确的是（）A . x•x2=x2B . （x5）3=x8C . （ab）3=a3b3D . a6÷a2=a36. （2分）如图是小强用八块相同的小正方体搭建的一个积木，它的左视图是（）A .B .C .D .7. （2分）中国园林网4月22日消息：为建设生态滨海，2013年天津滨海新区将完成城市绿化面积共8210 000m2 ，将8210 000用科学记数法表示应为A . 821×102B . 82.1×105C . 8.21×106D . 0.821×1078. （2分）如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分，对称轴是直线x=1．①b2＞4ac；②4a+2b+c＜0；③不等式ax2+bx+c＞0的解集是x≥3.5；④若（﹣2，y1），（5，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2 ．上述4个判断中，正确的是（）A . ①②B . ①②④C . ①③④D . ②③④9. （2分）(2016·南平模拟) 如图，⊙O的弦BC长为8，点A是⊙O上一动点，且∠BAC=45°，点D，E分别是BC，AB的中点，则DE长的最大值是（）A . 4B . 4C . 8D . 810. （2分）一次函数y=2x+1的图象不经过第（）象限A . 一B . 二C . 三D . 四二、填空题： (共5题；共5分)11. （1分）(2019·威海) 分解因式： ________．12. （1分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD：BC=1：2，AE⊥BC，垂足为E，连接BD交AE于F，则△BFE 的面积与△DFA的面积之比为________13. （1分）把一个体积是64立方厘米的立方体木块的表面涂上红漆，然后锯成体积为1立方厘米的小立方体，从中任取一块，则取出的这一块至少有一面涂红漆的概率是________．14. （1分）(2020·温州模拟) 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在坐标原点，边在轴的负半轴上，，顶点的坐标为 .反比例数的图象与菱形对角线 AO 交于点，连结，当轴时，的值是________15. （1分）(2019·海珠模拟) 计算： ________．三、解答题： (共5题；共50分)16. （5分）(2019·株洲模拟) 计算：17. （10分） (2019八上·合肥月考) 如图，在△ABC中，AB＝AC ， AB的垂直平分线MN交AC于点D ，交AB于点E ．（1）若∠A＝40°，求∠DBC的度数；（2）若AE＝6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长．18. （10分）(2017·泸州模拟) 为配合我市创建省级文明城市，某校对八年级各班文明行为劝导志愿者人数进行了统计，各班统计人数有6名、5名、4名、3名、2名、1名共计六种情况，并制作如下两幅不完整的统计图．（1）求该年级平均每班有多少文明行为劝导志愿者？并将条形图补充完整；（2）该校决定本周开展主题实践活动，从八年级只有2名文明行为劝导志愿者的班级中任选两名，请用列表或画树状图的方法，求出所选文明行为劝导志愿者有两名来自同一班级的概率．19. （10分） (2019八下·哈尔滨期中) 如图，已知射线MN表示一艘轮船的航行路线，从M到N的走向为南偏东30°，在M 的南偏东60°方向上有一灯塔A，灯塔A到M处的距离为200海里.（1）求灯塔A到航线MN的距离；（2）在航线MN上有一点B，且∠MAB=15°，若轮船的航速为50海里/时，求轮船从M到B处所用的时间为多少小时？（结果保留根号）20. （15分） (2017八下·淅川期末) 如图，已知双曲线y= ，经过点D（6，1），点C是双曲线第三象限上的动点，过C作CA⊥x轴，过D作DB⊥y轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC．（1）求k的值；（2）若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式y1；（3）根据图象直接写出y≥y1时，x的取值范围．四、填空题 (共5题；共5分)21. （1分） (2016七上·江津期中) 已知：（a+2）2+|b﹣3|=0，则（a+b）2009=________．22. （1分） (2018九上·兴化期中) 如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE、CD分别相切于A、C两点，则∠AOC的度数为________．23. （1分）反比例函数y＝－的图象上有P1(x1 ，－2)，P2(x2 ，－3)两点，则x1________x2(填“＞”“＜”或“＝”)．24. （1分）(2020·黄石模拟) 如图，⊙O1的半径是⊙O2的直径，⊙O1的半径O1C交⊙O2于B，若的度数是48°，那么的度数是________.25. （1分）(2017·东营模拟) 如图，圆锥底面半径为r cm，母线长为10cm，其侧面展开图是圆心角为216°的扇形，则r的值为________．五、解答题 (共3题；共26分)26. （10分）(2017·宿迁) 小强与小刚都住在安康小区，在同一所学校读书，某天早上，小强7：30从安康小区站乘坐校车去学校，途中需停靠两个站点才能到达学校站点，且每个站点停留2分钟，校车行驶途中始终保持匀速，当天早上，小刚7：39从安康小区站乘坐出租车沿相同路线出发，出租车匀速行驶，比小强乘坐的校车早1分钟到学校站点，他们乘坐的车辆从安康小区站出发所行使路程y（千米）与行驶时间x（分钟）之间的函数图象如图所示．（1）求点A的纵坐标m的值；（2）小刚乘坐出租车出发后经过多少分钟追到小强所乘坐的校车？并求此时他们距学校站点的路程．27. （10分）(2020·松滋模拟) 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点P，直线BF与AD延长线交于点F，且∠AFB＝∠ABC.（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若CD＝2 ，BP＝1，求⊙O的半径.28. （6分） (2019九上·坪山月考) 如图，矩形纸片ABCD，DC＝8，AD＝6.（1）如图(1)，点E在边AD上且AE＝2，以点E为顶点作正方形EFGH，顶点F，H分别在矩形ABCD的边AB，CD上，连接CG，求∠HCG的度数；（2）请从A、B两题中任选一题解答，我选择________.A．如图(2)，甲同学把矩形纸片ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形MPNQ，判断并说明四边形MPNQ的形状.B．如图(3)，乙同学把(1)中的“正方形EFGH”改为“菱形EFGH”，其余条件不变，此时点G落在矩形ABCD 的外部，已知△CGH的面积是4，求菱形EFGH的边长及面积.参考答案一、选择题： (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题： (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题： (共5题；共50分)16-1、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、四、填空题 (共5题；共5分) 21-1、22-1、23-1、24-1、25-1、五、解答题 (共3题；共26分)26-1、26-2、27-1、27-2、28-1、28-2、。
2020历下区一模数学答案
2020年九年级学业水平第一次模拟考试 数 学 试 题 参 考 答 案（2020．4）一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．）二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 三.解答题（本大题共9个小题，共78分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本小题每题6分）计算：011|3|(π2020)2sin30()3--+--︒+．131232=+-⨯+ (4)分 6= ……………6分20. （本小题6分）解：解不等式①得：x ＜2 ……………2分 解不等式②得：x ≥－1 ……………4分 在同一数轴上表示不等式①②的解集 ，如图∴不等式组的解集是：-1≤x ＜2 ……………5分 ∴原不等式组的整数解为：-1，0，1 ……………6分21．（本小题6分） 证明：∵四边形ABCD 为平行四边形∴AB //CD ，AB ＝CD ……………2分 ∴∠ABD ＝∠CDB ……………3分 ∵BE ＝DF∴△ABE ≌△CDF ……………5分 ∴AE ＝CF ……………6分 22.（本小题8分）解：（1）设甲型机器人每小时分类kg x 垃圾．则乙型机器人每小时分类(20)kg x -垃圾，……………1分 由题意得：80060020x x =-， ……………3分 解得：80x =， ……………4分经检验，80x =是原分式方程的解 ……………5分 ∴8020=60kg -答：甲型机器人每小时分类80kg 垃圾．乙型机器人每小时分类60kg 垃圾. ……………6分 （2）[700(8060)2]607-+⨯÷=小时 ……………7分答：甲型机器人退出后乙型机器人还需要工作7小时． ……………8分 23.（本小题8分） 证明：（1）连接O C. ……………1分 ∵AB 是O e 的直径∴∠ACB ＝90° ……………2分 即∠ACO ＋∠BOC ＝90° ∵DC 与O e 相切于点C ∴OC ⊥CD 即∠BCD ＋∠BOC ＝90°∴∠ACO ＝∠BCD ……………3分 ∵OA ＝OCAD∴∠ACO ＝∠BAC∴∠BAC ＝∠BCD ……………4分 （2）设圆的半径为r 则OC ＝OB ＝r ∵∠OCD ＝90° ∴222OC CDOD += ……………5分∵4BD =，6DC = ∴22264()r r +=+ ……………6分解得：r ＝52……………8分 24．（本小题10分）（1）a = 14 ，b = 0.1 ； ……………2分 （2）……………4分 （3）400×0.3=120（人） ……………5分答：该小区答题成绩为“C 级”的有120人. ……………6分（4）将2名男管理员记为“男1”、“男2”，将2名女管理员为“女1”、“女2”.列表如下： 等级……………8分 总共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中选到“1男1女”的结果有8种.……………9分∴ P （选中“1男1女”）=23. ……………10分∴反比例函数的表达式为8y x=. ……………3分 （2）∵过A 作AC y ⊥轴，点A （4，2）， ∴C （0，2） ∴OC ＝2 ∵BD ＝3OC ∴BD ＝3×2＝6 当y ＝6时，x ＝43， 即点B 坐标为（43，6）. ……………4分 ∵BD x ⊥轴 ∴D （43，0）. 设直线BC 的表达式为y kx b =+将C （0，2）、B （43，6）代入得：2463b k b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得：32k b ⎧=⎨=⎩∴直线BC 的表达式为32y x =+ ……………5分当y ＝0时，3x ＋2＝0，解得：23x =-，即点E 坐标为（203,-） ……………6分 ∴DE ＝42233+= ∴1126622S DE BD =⋅=⨯⨯= ……………7分 （3）存在 ……………8分设点B 坐标为（8,a a），则点D 坐标为（0,a ）∴BD ＝8a，OD ＝a ∵过A 作AC y ⊥轴，点A （4，2）， ∴AC ＝4∵四边形ACED 为平行四边形 ∴DE ＝AC ＝4 ∴OE ＝4－a∵∠CEO ＝∠BED ，∠EOC ＝∠EDB ＝90° ∴△BED ∽△CEO ……………9分 ∴BD ED OC EO =，即8424a a=- 解得：2a =∴点B 的坐标为（24,）. ……………10分 26. （本小题12分）（1）①ACE ∠＝ 60°； ……………2分②线段AC ，CD ，CE 之间的数量关系是 AC ＝CD ＋CE ． ……………4分 （2）CD ＋CE……………5分 证明：∵旋转∴AD ＝AE ，∠DAE ＝90°∵在ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，90BAC DAE ∴∠=∠=︒，BC……………6分BAC DAC DAE DAC ∴∠-∠=∠-∠，即BAD CAE ∠=∠，()BAD CAE SAS ∴∆≅∆， ……………7分∴BD CE =，BC BD CD CE CD ∴=+=+=， ……………8分（3）∵△ABC 与△ADE 为等腰直角三角形 ∴∠ADE ＝∠ACB ＝45° ∵∠DAF ＝∠CAD∴△ADF ∽△AC D. ……………9分 ∴AD AC ＝AF AD . ∴AD 2＝AF ·A C ． ∵AC ＝8∴AD 2＝8AF ． ∴AF ＝218AD ． ……………10分 ∴当AD 最短时，AF 最短．易得当AD ⊥BC 时，AD 最短，AF 也最短，此时AD AC == ……………11分 ∴AF 最短＝211162488AD =⨯⨯= ……………12分 27. （本小题12分）（1）将A （－1，0）、B （3，0）代入22y x bx c =-++得：201830b c b c ⎧--+=⎨-++=⎩， ……………1分 解得：46b c ⎧=⎨=⎩ ……………2分∴抛物线的解析式为2246y x x =-++. ……………3分BBx。
2020年4月历下区九年级一模测试真题参考答案
2020年九年级学业水平第一次模拟考试 数 学 试 题 参 考 答 案（2020．4）一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．）二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 三.解答题（本大题共9个小题，共78分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本小题每题6分）计算：011|3|(π2020)2sin30()3--+--︒+．131232=+-⨯+ (4)分 6= ……………6分20. （本小题6分）解：解不等式①得：x ＜2 ……………2分 解不等式②得：x ≥－1 ……………4分 在同一数轴上表示不等式①②的解集 ，如图∴不等式组的解集是：-1≤x ＜2 ……………5分 ∴原不等式组的整数解为：-1，0，1 ……………6分21．（本小题6分） 证明：∵四边形ABCD 为平行四边形∴AB //CD ，AB ＝CD ……………2分 ∴∠ABD ＝∠CDB ……………3分 ∵BE ＝DF∴△ABE ≌△CDF ……………5分 ∴AE ＝CF ……………6分 22.（本小题8分）解：（1）设甲型机器人每小时分类kg x 垃圾．则乙型机器人每小时分类(20)kg x -垃圾，……………1分 由题意得：80060020x x =-， ……………3分 解得：80x =， ……………4分经检验，80x =是原分式方程的解 ……………5分 ∴8020=60kg -答：甲型机器人每小时分类80kg 垃圾．乙型机器人每小时分类60kg 垃圾. ……………6分 （2）[700(8060)2]607-+⨯÷=小时 ……………7分答：甲型机器人退出后乙型机器人还需要工作7小时． ……………8分 23.（本小题8分） 证明：（1）连接O C. ……………1分 ∵AB 是O 的直径∴∠ACB ＝90° ……………2分 即∠ACO ＋∠BOC ＝90° ∵DC 与O 相切于点C ∴OC ⊥CD 即∠BCD ＋∠BOC ＝90°∴∠ACO ＝∠BCD ……………3分 ∵OA ＝OCAD∴∠ACO ＝∠BAC∴∠BAC ＝∠BCD ……………4分 （2）设圆的半径为r 则OC ＝OB ＝r ∵∠OCD ＝90° ∴222OC CDOD += ……………5分∵4BD =，6DC = ∴22264()r r +=+ ……………6分解得：r ＝52……………8分 24．（本小题10分）（1）a = 14 ，b = 0.1 ； ……………2分 （2）……………4分 （3）400×0.3=120（人） ……………5分答：该小区答题成绩为“C 级”的有120人. ……………6分（4）将2名男管理员记为“男1”、“男2”，将2名女管理员为“女1”、“女2”.列表如下： 等级……………8分 总共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中选到“1男1女”的结果有8种.……………9分∴ P （选中“1男1女”）=23. ……………10分∴反比例函数的表达式为8y x=. ……………3分 （2）∵过A 作AC y ⊥轴，点A （4，2）， ∴C （0，2） ∴OC ＝2 ∵BD ＝3OC ∴BD ＝3×2＝6 当y ＝6时，x ＝43， 即点B 坐标为（43，6）. ……………4分 ∵BD x ⊥轴 ∴D （43，0）. 设直线BC 的表达式为y kx b =+将C （0，2）、B （43，6）代入得：2463b k b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得：32k b ⎧=⎨=⎩∴直线BC 的表达式为32y x =+ ……………5分当y ＝0时，3x ＋2＝0，解得：23x =-，即点E 坐标为（203,-） ……………6分 ∴DE ＝42233+= ∴1126622S DE BD =⋅=⨯⨯= ……………7分 （3）存在 ……………8分设点B 坐标为（8,a a），则点D 坐标为（0,a ）∴BD ＝8a，OD ＝a ∵过A 作AC y ⊥轴，点A （4，2）， ∴AC ＝4∵四边形ACED 为平行四边形 ∴DE ＝AC ＝4 ∴OE ＝4－a∵∠CEO ＝∠BED ，∠EOC ＝∠EDB ＝90° ∴△BED ∽△CEO ……………9分 ∴BD ED OC EO =，即8424a a=- 解得：2a =∴点B 的坐标为（24,）. ……………10分 26. （本小题12分）（1）①ACE ∠＝ 60°； ……………2分②线段AC ，CD ，CE 之间的数量关系是 AC ＝CD ＋CE ． ……………4分 （2）CD ＋CE……………5分 证明：∵旋转∴AD ＝AE ，∠DAE ＝90°∵在ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，90BAC DAE ∴∠=∠=︒，BC……………6分BAC DAC DAE DAC ∴∠-∠=∠-∠，即BAD CAE ∠=∠，()BAD CAE SAS ∴∆≅∆， ……………7分∴BD CE =，BC BD CD CE CD ∴=+=+， ……………8分（3）∵△ABC 与△ADE 为等腰直角三角形 ∴∠ADE ＝∠ACB ＝45° ∵∠DAF ＝∠CAD∴△ADF ∽△AC D. ……………9分 ∴AD AC ＝AF AD . ∴AD 2＝AF ·A C ． ∵AC ＝8∴AD 2＝8AF ． ∴AF ＝218AD ． ……………10分 ∴当AD 最短时，AF 最短．易得当AD ⊥BC 时，AD 最短，AF 也最短，此时AD AC == ……………11分 ∴AF 最短＝211162488AD =⨯⨯= ……………12分 27. （本小题12分）（1）将A （－1，0）、B （3，0）代入22y x bx c =-++得：201830b c b c ⎧--+=⎨-++=⎩， ……………1分 解得：46b c ⎧=⎨=⎩ ……………2分∴抛物线的解析式为2246y x x =-++. ……………3分BBx。
济南市历下区中考一模数学试题及答案
历下区中考一模考试数学1．下列计算正确的是（ ）A ．33-=B ．1122⎛⎫--=- ⎪⎝⎭C ．()325aa = D ．236a a a =2．如图所示几何体的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．3．某市第一季度财政收入为42.76亿元，用科学记数法（结果保留两个有效数字）表示为（） A ．42.7810⨯元 B ．94.310⨯元 C ．94.210⨯元 D ．84210⨯元4．如图将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数等于（）A ．50°B ．30°C ．20°D ．15°5．下列函数中，自变量x 的取值范围是3x ≥的是（） A ．13y x =- B ．13y x =- C ．3y x =- D ．3y x =- 6．“泉城是我家，爱护靠大家”，为创建文明城市，我市学生更加自觉遵守交通规则、某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，该十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为13，遇到黄灯的概率为19，那么他遇到的绿灯的概率为（） A ．13 B ．23 C ．49 D ．597．不等式组10240x x -≤⎧⎨+>⎩的解集在数轴上表示为（）A ．B ．C ．D ．8．方程()()121x x x +-=+的解是（）A ．2B ．3C ．-1,2D ．-1,39．如图，△ABC 是等边三角形，P 是∠ABC 的平分线BD 上一点，PE ⊥AB 于点E ，线段BP 的垂直平分线交BC 于点F ，垂足为点Q.若BF=2，则PE 的长为（） A ．2 B ．23 C ．3 D ．310．如图，点A 是直线l 外一点，在l 上取两点B 、C ，分别以A 、C 为圆心，BC 、AB 为长为半径画弧，两弧交于点D ，分别连结AB 、AD 、CD ，则四边形ABCD 一定是（） A ．平行四边形 B ．矩形 C ．菱形 D ．梯形 11．已知1O 的半径是5cm ，2O 的半径是3cm ，12O O =6cm ，则1O 和2O 的位置关系是（）A ．相交B ．外切C ．外离D ．内含12．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个.设该厂八、九月份平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是（）A ．()2501196x += B ．()250501196x ++=C ．()()250501501196x x ++++= D ．()()505015012196x x ++++=13．抛物线2y x bx c =-++的部分图象如图所示，若0y >，则x 的取值范围是（） A ．41x -<< B ．31x -<< C ．41x x <->或 D ．31x x <->或14．如图，A 、B 是双曲线()0ky k x=>上的点，A 、B 两点的横坐标分别是,2a a ，线段AB 的延长线交轴于点C ，若12AOC S ∆=，则k 为（） A ．5 B ．6 C ．7 D ．715．如图，在Rt AOB ∆中，32OA OB ==，O 的半径为1，点P 是AB 边上的动点，过点P作O 的一条切线PQ （点Q 为切点），则线段PQ 的最小值为（）A ．321-B ．2C ．22D ．32二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分.把答案填在题中的横线上。
2020年山东省济南市历城区中考数学一模试卷(含解析)
1 (x 1) 1
20．（6 分）解不等式组 2
，并写出该不等式组的所有整数解．
1 x 2
21．（6 分）如图，AB＝DE，BF＝EC，∠B＝∠E，求证：AC∥DF．
22．（8 分）在某体育用品商店，购买 3 根跳绳和 6 个毽子共用 72 元，购买 5 根跳绳和 20 个毽子共用 160 元． （1）跳绳、毽子的单价各是多少元？ （2）该店在“五•四”青年节期间开展促销活动，所有商品按同样的折数打折销售．节
其中，正确的结论有（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
二、填空题（共 6 小题，满分 24 分，每小题 4 分）
13．（4 分）分解因式：x2﹣xy＝
．
14．（4 分）在一个有 15 万人的小镇，随机调查了 1000 人，其中 200 人会在日常生活中进
行垃圾分类，那么在该镇随机挑一个人，会在日常生活中进行垃圾分类的概率是
．
15．（4 分）若一个多边形的内角和与外角和之和是 900°，则该多边形的边数是
．
16．（4 分）若 a+2b＝8，3a+4b＝18，则 a+b 的值为
．
17．（4 分）学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，
第 3页（共 25页）
甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地，两人之间的距离 y（米）与时间 t
25．（10 分）如图，反比例函数 y＝ k （x＞0）过点 A （3，4），直线 AC 与 x 轴交于点 C （6， x
0），交 y 轴于点 E，过点 C 作 x 轴的垂线 BC 交反比例函数图象于点 B．
（1）求 k 的值与 B 点的坐标；
（2）将直线 EC 向右平移，当点 E 正好落在反比例函数图象上的点 E'时，直线交 x 轴于
山东省济南市2020年中考数学一模试卷解析版
度数是（ ）
A. 75°
B. 60°
C. 45°
D. 30°
5. 有理数 a，b 在数轴上表示如图所示，则下列各式中正确的是（ ）
A. ab＞0
B. a+b＜0
C. b＜a
6. 下面在线学习平台的图标中，是轴对称图形的是（ ）
D. |b|＞|a|
A.
B.
C.
D.
7. 下列运算正确的是（ ）
A. x2+x=x3
23. 如图，已知 AB 是⊙O 的直径，DC 与⊙O 相切于点 C，交 AB 的延长线于点 D． （1）求证：∠BAC=∠BCD； （2）若 BD=4，DC=6，求⊙O 的半径．
24. 钟南山院士谈到防护新型冠状病毒肺炎时说：“我们需要重视防护，但也不必恐慌 ，尽量少去人员密集的场所，出门戴口罩，在室内注意通风，勤洗手，多运动，少 熬夜．”某社区为了加强社区居民对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解，通过微信
D. 90，90
9. 已知反比例函数 y= 图象如图所示，下列说法正确的是（
）
A. k＞0 B. y 随 x 的增大而减小
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C. 若矩形 OABC 面积为 2，则 k=-2 D. 若图象上两个点的坐标分别是 M （-2，y1 ），N（-1，y2 ），则 y1＞y2
10. 图 1 是一个地铁站入口的双翼闸机．如图 2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点 A 与 B 之间的距离为 10cm，双翼的边缘 AC=BD=54cm，且与闸机侧立面夹角 ∠PCA=∠BDQ=30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ）
20. 解不等式组：
，并写出它的所有整数解．
21. 如图，在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别是对角线 BD 上的两点，且 BE=DF．求 证：AE=CF．
2020年山东省济南市历下区中考数学一模试卷(含解析)
2020年山东省济南市历下区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4题，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1.2020的相反数是（ ） A.2020 B.−2020C.12020D.−120202.下列立体图形中，俯视图与主视图不同的是（ ） A.B.C.D.3.2020年2月20日下午，山东省第十二批援助湖北医疗队从济南遥墙机场集结，乘坐包机启程出征．千余勇士赴荆楚，万难不辞战疫，山东已累计派出十二批医疗队1797人援助湖北，数字1797用科学记数法表示为（ ） A.1.797×103 B.0.1797×104 C.1.797×104 D.17.97×1024.如图，已知AB // DC ，∠BED ＝60∘，BC 平分∠ABE ，则∠C 的度数是（ ）A.75∘B.60∘C.45∘D.30∘5.有理数a ，b 在数轴上表示如图所示，则下列各式中正确的是（ ）A.ab >0B.a +b <0C.b <aD.|b|>|a|6.下面在线学习平台的图标中，是轴对称图形的是（ ） A.B.C.D.7.下列运算正确的是（ ） A.x 2+x ＝x 3 B.(−2x 2)3＝8x 6C.(x −y)(x +y)＝x 2−y 2D.(x +1)(x −2)＝x 2−2x −28.以下是某校九年级10名同学参加学校演讲比赛的统计表．则这组数据的众数和中位数分别为（ ）9.已知反比例函数y =kx图象如图所示，下列说法正确的是()A.k >0B.y 随x 的增大而减小C.若矩形OABC 面积为2，则k =−2D.若图象上两个点的坐标分别是M (−2, y 1 )，N(−1, y 2 )，则y 1>y 210.图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A 与B 之间的距离为10cm ，双翼的边缘AC ＝BD ＝54cm ，且与闸机侧立面夹角∠PCA ＝∠BDQ ＝30∘．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（）A.(54√3+10)cmB.(54√2+10)cmC.64 cmD.54cm11.如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120∘，AB 长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为()A.175πcm2B.350πcm2C.800πcm2 D.150πcm2312.如图，在二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象中，小明同学观察得出<0；④b2＝了下面几条信息：①b2−4ac>0；②abc<0；③a+b+c2a−b4a(c−1)；⑤关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝3无实数根，共中信息错误的个数为（）A.4B.3C.2D.1二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13.分解因式：m2−8m+16＝________．14.转盘中6个扇形的面积相等，任意转动转盘一次，当转盘停止转动，指针落在扇形中的数为3的倍数的概率是________．15.如果一个正多边形的一个外角是60∘，那么这个正多边形的边数是________．16.若代数式a+1的值是2，则a＝________．2a−117.A，B两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离S（千米）都是骑车时间t（时）的一次函数．如图，直线l1、l2分别表示甲、乙骑车S与t之间小时两人相遇．关系的图象．结合图象提供的信息，经过________20718.如图ABCD是一个矩形桌子，一小球从P撞击到Q，反射到R，又从R反射到S，从S反射回原处P，入射角与反射角相等（例如∠PQA＝∠RQB等），已知AB＝9，BC＝12，BR＝4．则小球所走的路径的长为________．三、解答题（本大题共9个小题，共78分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤）)−119.计算：|−3|+(π−2020)0−2sin30∘+(1320.解不等式组：{3x−2<x+2x−12≥−1，并写出它的所有整数解．21.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是对角线BD上的两点，且BE＝DF．求证：AE＝CF．22.为推进垃圾分类，推动绿色发展，某工厂购进甲、乙两种型号的机器人用来进行垃圾分类，甲型机器人比乙型机器人每小时多分20kg，甲型机器人分类800kg垃圾所用的时间与乙型机器人分类600kg垃圾所用的时间相等．（1）两种机器人每小时分别分类多少垃圾？（2）现在两种机器人共同分类700kg垃圾，工作2小时后甲型机器人因机器维修退出，求甲型机器人退出后乙型机器人还需工作多长时间才能完成？23.如图，已知AB是⊙O的直径，DC与⊙O相切于点C，交AB的延长线于点D．（1）求证：∠BAC＝∠BCD；（2）若BD＝4，DC＝6，求⊙O的半径．24.钟南山院士谈到防护新型冠状病毒肺炎时说：“我们需要重视防护，但也不必恐慌，尽量少去人员密集的场所，出门戴口罩，在室内注意通风，勤洗手，多运动，少熬夜．”某社区为了加强社区居民对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解，通过微信群宣传新型冠状病毒肺炎的防护知识，并鼓励社区居民在线参与作答《2020年新型冠状病毒防治全国统一考试（全国卷）》试卷（满分10，社区管理员随机从有400人的某小区抽取40名人员的答卷成绩，并对他们的成绩（单位：分）统计如下：85 80 95 100 90 95 85 65 75 8590 90 70 90 100 80 80 90 95 7580 60 80 95 85 100 90 85 85 8095 75 80 90 70 80 95 75 100 90根据数据绘制了如下的表格和统计图：根据上面提供的信息，回答下列问题：（1）统计表中的a＝________，b＝________；（2）请补全条形统计图；（3）根据抽样调查结果，请估计该小区答题成绩为“C级”的有多少人？（4）该社区有2名男管理员和2名女管理员，现从中随机挑选2名管理员参加“社区防控”宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“1男1女”的概率．(x>0)的图象经过点A(4, 2)，过A作AC⊥25.如图，已知反比例函数y=mxy轴于点C．点B为反比例函数图象上的一动点，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AD．直线BC与x轴的负半轴交于点E．（1）求反比例函数的表达式；（2）若BD＝3OC，求△BDE的面积；（3）是否存在点B，使得四边形ACED为平行四边形？若存在，请求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由．26.如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60∘，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转60∘得到AE，连接EC，则：（1）①∠ACE的度数是________；②线段AC，CD，CE之间的数量关系是________．（2）如图②，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90∘，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90∘得到AE，连接EC，请判断线段AC，CD，CE之间的数量关系，并说明理由；（3）如图②，AC与DE交于点F，在（2）条件下，若AC＝8，求AF的最小值．27.图①，抛物线y＝−2x2+bx+c过A(−1, 0)、B(3, 0)两点，交y轴于点C，连接BC．（1）求该抛物线的表达式和对称轴；（2）点D是抛物线对称轴上一动点，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求所有符合条件的点D的坐标；（3）如图2，将抛物线在BC上方的图象沿BC折叠后与y轴交与点E，求点E的坐标．2020年山东省济南市历下区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4题，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1.2020的相反数是（ ） A.2020 B.−2020C.12020D.−12020【解答】2020的相反数是：−2020．2.下列立体图形中，俯视图与主视图不同的是（ ） A.B.C.D.【解答】B ．俯视图是圆，主视图是长方形，故选项B 合题意（1）C ．俯视图与主视图都是圆，故选项C 不合题意（2）D ．俯视图和主视图是长方形；故选项D 不符合题意（3）故选：B ．3.2020年2月20日下午，山东省第十二批援助湖北医疗队从济南遥墙机场集结，乘坐包机启程出征．千余勇士赴荆楚，万难不辞战疫，山东已累计派出十二批医疗队1797人援助湖北，数字1797用科学记数法表示为（ ） A.1.797×103 B.0.1797×104 C.1.797×104 D.17.97×102【解答】1797＝1.797×103．4.如图，已知AB // DC ，∠BED ＝60∘，BC 平分∠ABE ，则∠C 的度数是（ ）A.75∘B.60∘C.45∘D.30∘【解答】∵AB // DC ，∠BED ＝60∘， ∴∠ABE ＝60∘，∵BC 平分∠ABE ， ∴∠ABC =12∠ABE ＝30∘，∵AB // CD ， ∴∠C ＝∠ABC ＝30∘，5.有理数a ，b 在数轴上表示如图所示，则下列各式中正确的是（ ）A.ab >0B.a +b <0C.b <aD.|b|>|a|【解答】由数轴上的位置得：a <0<b ，且|a|>|b|， ∴ab <0，a +b <0，6.下面在线学习平台的图标中，是轴对称图形的是（ ） A.B.C.D.【解答】A 、不是轴对称图形，故此选项不合题意；B 、不是轴对称图形，故此选项不合题意；C 、不是轴对称图形，故此选项不合题意；D 、是轴对称图形，故此选项符合题意； 7.下列运算正确的是（ ） A.x 2+x ＝x 3 B.(−2x 2)3＝8x 6C.(x −y)(x +y)＝x 2−y 2D.(x +1)(x −2)＝x 2−2x −2 【解答】A 、x 2与x 不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；B 、(−2x 2)3＝−8x 6，故此选项不符合题意；C 、(x −y)(x +y)＝x 2−y 2，故此选项符合题意；D、原式＝x2−x−2，故此选项不符合题意，8.以下是某校九年级10名同学参加学校演讲比赛的统计表．则这组数据的众数和中位数分别为（）【解答】在这一组数据中90是出现次数最多的，故众数是90．而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那个数是90、90，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是90．9.已知反比例函数y=k图象如图所示，下列说法正确的是()xA.k>0B.y随x的增大而减小C.若矩形OABC面积为2，则k=−2D.若图象上两个点的坐标分别是M (−2, y1 )，N(−1, y2 )，则y1>y2【解答】解：A，反比例函数图象分布在第二、四象限，则k<0，所以A选项错误；B，在每一象限，y随x的增大而增大，所以B选项错误；C，矩形OABC面积为2，则|k|=2，而k<0，所以k=−2，所以C选项正确；D，图象上两个点的坐标分别是M (−2, y1 )，N(−1, y2 )，则y1<y2，所以D选项错误．故选C.10.图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30∘．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（）A.(54√3+10)cmB.(54√2+10)cmC.64 cmD.54cm【解答】如图所示，过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则Rt△ACE中，AE=12AC=12×54＝27(cm)，同理可得，BF＝27cm，又∵点A与B之间的距离为10cm，∴通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27＝64(cm)，11.如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120∘，AB 长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为()A.175πcm2B.350πcm2C.8003πcm2 D.150πcm2【解答】解：∵AB=25，BD=15，∴AD=10，∴S贴纸=120⋅π×252360−120⋅π×102360=175πcm2，∵扇子双面贴纸，故贴纸的面积为175πcm2×2=350πcm2，故选B．12.如图，在二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象中，小明同学观察得出<0；④b2＝了下面几条信息：①b2−4ac>0；②abc<0；③a+b+c2a−b4a(c−1)；⑤关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝3无实数根，共中信息错误的个数为（）A.4B.3C.2D.1【解答】①根据图象可知：△>0，∴b2−4ac>0，故①正确；②由图象可知：a<0，c>0，<0，由对称轴可知：−b2a∴b<0，∴abc>0，故②错误；<0，③由图象可知：−1<−b2a∴2a−b<0，当x＝1时，y<0，∴a+b+c<0，>0，故③错误；∴a+b+c2a−b④由图象可知：当x=−b时，y＝1，2a=1，∴4ac−b24a∴4ac−b2＝4a，∴b2＝4a(c−1)，故④正确；⑤由于二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的最大值为1，∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝3无实数根，故⑤正确；二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13.分解因式：m2−8m+16＝________．【解答】m2−8m+16＝(m−4)2．14.转盘中6个扇形的面积相等，任意转动转盘一次，当转盘停止转动，指针落在扇形中的数为3的倍数的概率是________．【解答】在这6个数字中，为3的倍数的有3和6，共2个，∴任意转动转盘一次，当转盘停止转动，指针落在扇形中的数为3的倍数的概率是26=13，15.如果一个正多边形的一个外角是60∘，那么这个正多边形的边数是________．【解答】这个正多边形的边数：360∘÷60∘＝6．16.若代数式a+12a−1的值是2，则a＝________．【解答】根据题意得：a+12a−1=2，去分母得：a+1＝4a−2，移项合并得：3a＝3，解得：a＝1，经检验a＝1是分式方程的解，17.A，B两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离S（千米）都是骑车时间t（时）的一次函数．如图，直线l1、l2分别表示甲、乙骑车S与t之间关系的图象．结合图象提供的信息，经过________207小时两人相遇．【解答】设l 1的关系式为：s 1＝kt ，则30＝k ×2，解得：k ＝15，故s 1＝15t ； 设s 2＝at +b ，将(0, 100)，(2, 60)， 则{b =1002a +b =60， 解得：{a =−20b =100， 故l 2的关系式为s 2＝−20t +100； 15t ＝−20t +100， t =207．即他们经过207小时两人相遇．18.如图ABCD 是一个矩形桌子，一小球从P 撞击到Q ，反射到R ，又从R 反射到S ，从S 反射回原处P ，入射角与反射角相等（例如∠PQA ＝∠RQB 等），已知AB ＝9，BC ＝12，BR ＝4．则小球所走的路径的长为________．【解答】∵入射角与反射角相等，∴∠BQR ＝∠AQP ，∠APQ ＝∠SPD ，∠CSR ＝∠DSP ，∠CRS ＝∠BRQ ， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90∘，∴∠DPS +∠DSP ＝90∘，∠AQP +∠APQ ＝90∘， ∴∠DSP ＝∠AQP ＝∠CSR ＝∠BQR ， ∴∠RSP ＝∠RQP ， 同理∠SRQ ＝∠SPQ ，∴四边形SPQR是平行四边形，∴SR＝PQ，PS＝QR，在△DSP和△BQR中{∠BQR=∠DSP ∠D=∠BPS=RQ，∴△DSP≅△BQR(AAS)，∴BR＝DP＝4，BQ＝DS，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝9，BC＝AD＝112，∴AQ＝9−DS，AP＝12−4＝8，∵∠SPD＝∠APQ，∴△SDP∽△QAP，∴DPDS =APAQ，∴4DS =89−DS，DS＝3，在Rt△DSP中，由勾股定理得：PS＝QR=√DS2+DP2=√32+42=5，同理PQ＝RS＝10，∴QP+PS+SR+QR＝2×5+2×10＝30，三、解答题（本大题共9个小题，共78分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤）19.计算：|−3|+(π−2020)0−2sin30∘+(13)−1【解答】|−3|+(π−2020)0−2sin30∘+(13)−1＝3+1−2×12+3＝620.解不等式组：{3x−2<x+2x−12≥−1，并写出它的所有整数解．【解答】{3x−2<x+2x−12≥−1，解①得x<2，解②得x≥−1．不等式组的解集是−1≤x<2．则整数解是−1，0，1．21.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是对角线BD上的两点，且BE＝DF．求证：AE＝CF．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB // CD．∴∠ABE＝∠CDF．在△ABE和△DCF中，{AB=CD∠ABE=∠CDF BE=DF，∴△ABE≅△DCF(SAS)．∴AE＝CF．22.为推进垃圾分类，推动绿色发展，某工厂购进甲、乙两种型号的机器人用来进行垃圾分类，甲型机器人比乙型机器人每小时多分20kg，甲型机器人分类800kg垃圾所用的时间与乙型机器人分类600kg垃圾所用的时间相等．（1）两种机器人每小时分别分类多少垃圾？（2）现在两种机器人共同分类700kg垃圾，工作2小时后甲型机器人因机器维修退出，求甲型机器人退出后乙型机器人还需工作多长时间才能完成？【解答】设甲型机器人每小时分类xkg垃圾．则乙型机器人每小时分类(x−20)kg垃圾，由题意得：800x =600x−20，解得：x＝80，检验：当x＝80时，x(x−20)≠0，所以，原分式方程的解为x＝80，x−20＝80−20−60，答：甲型机器人每小时分类80kg垃圾．则乙型机器人每小时分类60kg垃圾，[700−(80+60)×2]÷60＝7小时，答：甲型机器人退出后乙型机器人还需要工作7小时．23.如图，已知AB是⊙O的直径，DC与⊙O相切于点C，交AB的延长线于点D．（1）求证：∠BAC＝∠BCD；（2）若BD＝4，DC＝6，求⊙O的半径．【解答】如图，连接OC．证明：∵DC与⊙O相切，∠OCD＝∠OCB+∠BCD＝90∘，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠OCB+∠ACO＝90∘，∴∠ACO＝∠BCD∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠BAC，∴∠BAC＝∠BCD；由（1）可得，∠BAC＝∠BCD；∵∠CDB＝∠ADC，∴△CDB∽△ADC，∴BDDC =DCAD，即46=6AD，∴DA＝9∴AB＝DA−BD＝9−4＝5，∴⊙O的半径为5．224.钟南山院士谈到防护新型冠状病毒肺炎时说：“我们需要重视防护，但也不必恐慌，尽量少去人员密集的场所，出门戴口罩，在室内注意通风，勤洗手，多运动，少熬夜．”某社区为了加强社区居民对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解，通过微信群宣传新型冠状病毒肺炎的防护知识，并鼓励社区居民在线参与作答《2020年新型冠状病毒防治全国统一考试（全国卷）》试卷（满分10，社区管理员随机从有400人的某小区抽取40名人员的答卷成绩，并对他们的成绩（单位：分）统计如下：85 80 95 100 90 95 85 65 75 8590 90 70 90 100 80 80 90 95 7580 60 80 95 85 100 90 85 85 8095 75 80 90 70 80 95 75 100 90根据数据绘制了如下的表格和统计图：根据上面提供的信息，回答下列问题：（1）统计表中的a＝________，b＝________；（2）请补全条形统计图；（3）根据抽样调查结果，请估计该小区答题成绩为“C级”的有多少人？（4）该社区有2名男管理员和2名女管理员，现从中随机挑选2名管理员参加“社区防控”宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“1男1女”的概率．【解答】由题意可知：B等级的频数a＝14，∴B等级的频率为：14÷40＝0.35，D等级的频数为4，b＝1−0.25−0.35−0.3＝0.1．故答案为：14、0.1、4、0.35；如图即为补全的条形统计图；0.3×400＝120（名）答：估计该小区答题成绩为“C级”的有120人；如图，根据树状图可知：所有可能的结果共有12种，恰好选中“1男1女”的有8种，∴恰好选中“1男1女”的概率为812=23．25.如图，已知反比例函数y=mx(x>0)的图象经过点A(4, 2)，过A作AC⊥y轴于点C．点B为反比例函数图象上的一动点，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AD．直线BC与x轴的负半轴交于点E．（1）求反比例函数的表达式；（2）若BD＝3OC，求△BDE的面积；（3）是否存在点B，使得四边形ACED为平行四边形？若存在，请求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】∵反比例函数y=mx(x>0)的图象经过点A(4, 2)，∴m＝8，∴反比例函数y=8x(x>0)．∵AC⊥y轴，A(4, 2)，∴OC＝2，∵BD＝3OC，∴BD＝6，∵BD⊥x轴，∴B(43, 6)，∵C(0, 2)，设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ，则有{b =243k +b =6 ，解得{k =3b =2， ∴直线BC 的解析式为y ＝3x +2， ∴E(−23, 0)， ∴DE =23+43=2，∴S △BED =12×DE ×BD ＝6．存在．如图，设BD 交AC 于F ．设B(a, 8a )， ∵A(4, 2) ∴AC ＝4，∵四边形ACED 是平行四边形， ∴DE ＝AC ＝4，且CF // DE ， ∴△BCF ∽△BED ， ∴CF DE=BF DF ，即a4=8a −28a，解得a ＝2，∴B(2, 4)．26.如图①，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝60∘，D 为BC 边上一点（不与点B ，C 重合），将线段AD 绕点A 逆时针旋转60∘得到AE ，连接EC ，则：（1）①∠ACE 的度数是________；②线段AC ，CD ，CE 之间的数量关系是________．（2）如图②，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90∘，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90∘得到AE，连接EC，请判断线段AC，CD，CE之间的数量关系，并说明理由；（3）如图②，AC与DE交于点F，在（2）条件下，若AC＝8，求AF的最小值．【解答】①∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠B＝∠BAC＝60∘，由旋转知，AD＝AE，∠DAE＝60∘＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≅△ACE(SAS)，∴∠ACE＝∠B＝60∘，故答案为60∘；②由（1）知，△ABD≅△ACE，∴BD＝CE，∴BC＝BD+CD＝CE+CD，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∴AC＝CE+CD，故答案为AC＝CE+CD；在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90∘，∴BC=√2AC，由旋转知，AD＝AE，∠DAE＝90∘＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≅△ACE(SAS)，∴BD＝CE，∴BC＝BD+CD＝CE+CD，∴√2AC＝CE+CD；由（2）知，△ABD≅△ACE，∴ACE＝∠ABD，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90∘，∴∠ABD＝∠ACB＝45∘，∴∠ACE＝45∘，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90∘，∵∠DAE＝90∘，∴∠BCE+∠DAE＝180∘，∴点A，D，C，E在以DE为直径的圆上，∵AC与DE交于点F，∴AF是直径DE上的一点到点A的距离，即：当AF⊥DE时，AF最小，∴∠CFD＝90∘，∴∠CDF＝90∘−∠ACB＝45∘，∵∠ADE＝45∘，∴∠ADC＝90∘，∴四边形ADCE是矩形，AC＝4．∴AF最小=1227.图①，抛物线y＝−2x2+bx+c过A(−1, 0)、B(3, 0)两点，交y轴于点C，连接BC．（1）求该抛物线的表达式和对称轴；（2）点D是抛物线对称轴上一动点，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求所有符合条件的点D的坐标；（3）如图2，将抛物线在BC上方的图象沿BC折叠后与y轴交与点E，求点E的坐标．【解答】∵抛物线y＝−2x2+bx+c过A(−1, 0)、B(3, 0)两点，∴{−2×(−1)2−b+c=0−2×32+3b+c=0，得{b=4c=6，∴y＝−2x2+4x+6＝−2(x−1)2+8，∴抛物线的对称轴是直线x＝1，即该抛物线的解析式为y＝−2x2+4x+6，对称轴是直线x＝1；分两种情况：设点D的坐标为(1, y)第一种情况是：∠BCD＝90∘时，则CD2+BC2＝BD2，∵点B的坐标为(3, 0)，抛物线y＝−2x2+4x+6交y轴于点C，∴点C的坐标为(0, 6)，∴[12+(y−6)2]+(32+62)＝(3−1)2+y2，解得，y＝6.5，∴点D的坐标为(1, 6.5)；第二种情况：当∠DBC＝90∘时，BD2+BC2＝CD2，即[(3−1)2+y2]+(32+62)＝12+(6−y)2，解得，y＝−1，∴点D的坐标为(1, −1)，综上所述，符合条件的点D的坐标为(1, 6.5)，(1, −1)；因为点C的坐标为(0, 6)，点B的坐标为(3, 0)，设直线BC的解析式为y＝kx+6，则3k+6＝0，得k＝−2，即直线BC的解析式为y＝−2x+6，如右图所示，作点E关于直线BC的对称点E′交BC于点F，过点F作FN⊥y轴于点N，设E(0, m)，E′(x, y)，则EE′⊥BC，∴∠CFE＝∠COB＝90∘，∴BC=√32+62=3√5，∵∠ECF＝∠BCO，∴△ECF∽△BCO，∴CE CB =CFCO ， 即3√5=CF 6，解得，CF =2√5(6−m)5， 又∵∠CNF ＝∠COB ，∠NCF ＝∠OCB ， ∴△NCF ∽△OCB ， ∴FNBO =CFCB ， 即FN3=2√5(6−m)53√5，解得，FN =2(6−m)5，∴点F 的横坐标为2(6−m)5，把x =2(6−m)5代入直线BC 的解析式，得y =4m+65，∴点F 的坐标为(2(6−m)5, 4m+65)，∵EE′关于直线BC 对称， ∴点F 为EE′的中点，∴{x2=2(6−m)5m+y2=4m+65， 解得{x =4(6−m)5y =12+3m 5 ，∴E′(4(6−m)5, 12+3m5)，∵点E′在抛物线y ＝−2x 2+4x +6上， ∴12+3m 5=−2×[4(6−m)5]2+4×4(6−m)5+6，解得，m 1＝6，m 2=9732， ∵点C(0, 6)，点E 在点C 下方， ∴点E 的坐标为(0, 9732)．。