数学八年级下册第一章4角平分线第1课时角平分线的性质定理及其逆定理作业课件 北师大版
(2)解：∵在 Rt△ABC 中，AC＝5，BC＝12， ∴AB＝ AC2＋BC2＝ 52＋122＝13，设 OM＝OE＝OF＝x， 依题得12×5×12＝12×(5＋12＋13)x，解得 x＝2，∴OE＝2
14．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD， M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC. (1)求证：AM⊥DM； (2)若BC＝8，求点M到AD的距离．
第一章 三角形的证明
1．4 角平分线
第1课时 角平分线的性质定理及其逆定理
1．(梧州中考)如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E， DF⊥BC于点F，DE＝6，则DF的长度是( ) D A．2 B．3 C．4 D．6
2．(怀化中考)如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB， 垂足分别是C，D，则下列结论错误的是( ) B A．PC＝PD B．∠CPO＝∠DOP C．∠CPO＝∠DPO D．OC＝OD
7．如图，已知DB⊥AN于点B，交AE于点O，OC⊥AM于点C， 且OB＝OC，若∠EAN＝25°，则∠ADB＝__4_0_°_.
8．如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，∠C＝26°， 且DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF，则∠ADC的度数为_1_3_7_°_.
9．(威海中考)如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，点E在 BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接 AD.以下结论不正确的是( B)
(2)如图，在 AB 上截取 AF＝AC，连接 EF，
在△ACE 与△AFE 中，A∠CC＝AEA＝F，∠FAE， AE＝AE，
∴△ACE≌△AFE，∴∠AEC＝∠AEF，∵∠AEB＝90°，
∴∠AEF＋∠BEF＝∠AEC＋∠BED＝90°，∴∠FEB＝∠DEB，
在△BFE 与△BDE 中，∠ BEF＝BEB＝E，∠DBE， ∠FEB＝∠DEB，
13．(株洲中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的一条角 平分线．点O，E，F分别在BD，BC，AC上，且四边形OECF是正方形．
(1)求证：点O在∠BAC的平分线上； (2)若AC＝5，BC＝12，求OE的长．
(1)证明：过点O作OM⊥AB，∵BD是∠ABC的平分线，∴OE＝OM. ∵四边形OECF是正方形，∴OE＝OF，∴OF＝OM， ∴AO是∠BAC的平分线，即点O在∠BAC的平分线上
3．如图，AB∥CD，O为∠BAC，∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC， 垂足为E，若OE＝2 cm，则AB与CD间的距离为( )C A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm 4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D， 且BD∶CD＝3∶2，则点D到线段AB的距离为___4.
(1)证明：∵AM 平分∠BAD，DM 平分∠ADC，∴∠MAD＝12∠BAD， ∠ADM＝12∠ADC.∵AB∥CD，∴∠BAD＋∠ADC＝180°， ∴∠MAD＋∠ADM＝12(∠BAD＋∠ADC)＝90°. 又∵∠AMD＋∠MAD＋∠ADM＝180°， ∴∠AMD＝90°，∴AM⊥DM
(2)过点 M 作 MN⊥AD 于点 N.∵AB∥DC，∠B＝90°，∴∠C＝90°， 即 BM⊥AB，MC⊥DC.又∵AM，DM 分别平分∠BAD，∠ADC， ∴BM＝MN，MN＝MC，∴MN＝12BC＝4，∴点 M 到 AD 的距离为 4
∴△ACE≌△FDE，∴DF＝AC＝3，∵BF＝5，
∴设S△BEF＝S△ABE＝5x，S△DEF＝S△ACE＝3x，
∵S△ABE－S△ACE＝2，∴5x－3x＝2，∴x＝1，∴△BDE的面积＝8
PE⊥AB 于点 E，线段 BP 的垂直平分线交 BC 于点 F，垂足为点 Q.
若 BF＝2，则 PE 的长为( C )
A．2
BБайду номын сангаас2 3
C. 3
D．3
12．如图，两条公路OA和OB相交于点O，在∠AOB的内部有工厂C和D，现 要修建一个货站P到两条公路OA，OB的距离相等，且到两工厂C，D的距离 相等，用尺规作出货站P的位置．(要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结 论)
5．如图，AB∥CD，AD⊥DC，AE⊥BC，垂足分别为D，E， ∠DAC＝35°，AD＝AE，则∠B等于( ) C A．50° B．60° C．70° D．80°
6．(教材P29例1变式)如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上， DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且DE＝DF，若DE＝4，则AD＝___8.
15．已知AM∥BN，AE平分∠BAM，BE平分∠ABN. (1)如图1，∠AEB的度数为_____9_0__°； (2)如图2，过点E的直线交射线AM于点C，交射线BN于点D， 求证：AC＋BD＝AB； (3)如图3，过点E的直线交射线AM的反向延长线于点C，交射线BN 于点D，AB＝5，AC＝3，S△ABE－S△ACE＝2，求△BDE的面积．
A．∠BAC＝70° B．∠DOC＝90° C．∠BDC＝35° D．∠DAC＝55°
10．(遂宁中考)如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E， S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是( A) A．3 B．4 C．6 D．5
11．如图，△ABC 是等边三角形，P 是∠ABC 的平分线上一点，
∴△BFE≌△BDE，∴BF＝BD，∵AB＝AF＋BF，∴AC＋BD＝AB
(3)如图，延长AE交BD于F，∵∠AEB＝90°，∴BE⊥AF，
BE平分∠ABN，∴AB＝BF＝5，AE＝EF，∵AM∥BN，
∴∠C＝∠EDF，在△ACE与△FDE中，∠ ∠CAE＝C∠＝E∠DFF， ED， AE＝FE，
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北师大版八年级数学下册1.4.1角平分线的性质课件
3．
6.如图，BD平分∠ABC，DE⊥BC于点E，AB＝7，
DE＝4，则△ABD的面积为 14．
7.已知：如图，△ABC中，∠BAC=60°,点D在 BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分 别为E、F，且DE=DF，求DE的长。
A
E
F
பைடு நூலகம்
B
D
C
8. 如图，已知：AD⊥OB于D，BC⊥OA于C，AD、BC相交 于E，且EA=EB. 求证：EO为∠AOB的平分线
求证：PD＝PE.
新课讲解
证明：∵PD丄OA，PE丄OB,垂足分别为D，E， ∴∠PDO＝∠PEO＝90°. ∵∠1＝∠2, OP＝OP ∴△PDO≌△PEO ( AAS ). ∴PD＝PE (全等三角形的对应边相等).
新课讲解
典例分析
例 如图,在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上， AD＝10， DE丄AB， DF丄AC ，垂足分别为E，F，DE＝DF，求 DE的长.
是什么？ 怎样用尺规作出已知角的角平
∵PD丄OA，PE丄OB,垂足分别为D，E， DE＝4，则△ABD的面积为 ． 如图：∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1,则OF=
3.怎样用尺规作出已知角的角平 角平分线的性质定理的逆定理
怎样用尺规作出已知角的角平 ∴PD＝PE (全等三角形的对应边相等).
如何证明？ ∴∠PDO＝∠PEO＝90°.
如图，BD平分∠ABC，DE⊥BC于点E，AB＝7， (2)点在该平分线上； 如图，已知：AD⊥OB于D，BC⊥OA于C，AD、BC相交 一个锐角等于30°.
2.角平分线的性质定理的逆定理 角平分线的性质定理的逆定理
那么它所对的直角边等于斜 DE＝4，则△ABD的面积为 ． 如图，已知：AD⊥OB于D，BC⊥OA于C，AD、BC相交
6.如图，BD平分∠ABC，DE⊥BC于点E，AB＝7，
DE＝4，则△ABD的面积为 14．
7.已知：如图，△ABC中，∠BAC=60°,点D在 BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分 别为E、F，且DE=DF，求DE的长。
A
E
F
பைடு நூலகம்
B
D
C
8. 如图，已知：AD⊥OB于D，BC⊥OA于C，AD、BC相交 于E，且EA=EB. 求证：EO为∠AOB的平分线
求证：PD＝PE.
新课讲解
证明：∵PD丄OA，PE丄OB,垂足分别为D，E， ∴∠PDO＝∠PEO＝90°. ∵∠1＝∠2, OP＝OP ∴△PDO≌△PEO ( AAS ). ∴PD＝PE (全等三角形的对应边相等).
新课讲解
典例分析
例 如图,在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上， AD＝10， DE丄AB， DF丄AC ，垂足分别为E，F，DE＝DF，求 DE的长.
是什么？ 怎样用尺规作出已知角的角平
∵PD丄OA，PE丄OB,垂足分别为D，E， DE＝4，则△ABD的面积为 ． 如图：∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1,则OF=
3.怎样用尺规作出已知角的角平 角平分线的性质定理的逆定理
怎样用尺规作出已知角的角平 ∴PD＝PE (全等三角形的对应边相等).
如何证明？ ∴∠PDO＝∠PEO＝90°.
如图，BD平分∠ABC，DE⊥BC于点E，AB＝7， (2)点在该平分线上； 如图，已知：AD⊥OB于D，BC⊥OA于C，AD、BC相交 一个锐角等于30°.
2.角平分线的性质定理的逆定理 角平分线的性质定理的逆定理
那么它所对的直角边等于斜 DE＝4，则△ABD的面积为 ． 如图，已知：AD⊥OB于D，BC⊥OA于C，AD、BC相交
八年级数学下册第1章直角三角形1.4角平分线的性质习题课件新版湘教版
(2)①BD与ED有什么关系?为什么? 提示:BD=2ED.∵DE⊥AB,∴∠DEB=90°, 又∵∠B=30°,∴BD=2ED. ②请结合CD的长,以及CD与ED的关系确定BD的长. 提示:∵ED=CD=1,∴BD=2ED=2.
【总结提升】角平分线图形结构中的两种数量关系 如图,OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,DE交OC于点F, 可以得到以下结论: 1.角之间的相等关系: ∠AOC=∠BOC=∠PDF=∠PEF; ∠ODP=∠OEP=∠DFO=∠EFO=∠DFP=∠EFP;∠DPO=∠EPO =∠ODF=∠OEF. 2.线段的相等关系: OD=OE,DP=EP,DF=EF.
【证明】过点P作PE⊥OA于E,PF⊥OD于F,
∵S△PAB=S△PCD,
∴ A1 B·PE=1 CD·PF.
2
2
∵AB=CD,∴PE=PF.
∴点P在∠AOD的平分线上(到一个角的两边距离相等的点在这
个角的平分线上).
∴OP平分∠AOD.
6.如图,△ABC中,BP,CP分别是∠B,∠C的外角平分线. 求证:点P在∠A的平分线上.
( ×)
知识点 1 角平分线的性质 【例1】(2013·温州中考)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分 ∠CAB,交CB于点D,过点D作DE⊥AB于点E. (1)求证:△ACD≌△AED. (2)若∠B=30°,CD=1,求BD的长.
【解题探究】(1)①CD与ED有什么关系?为什么? 提示:CD=ED.∵AD平分∠CAB,DE⊥AB,∠C=90°,∴CD=ED. ②由CD与ED的关系能判定△ACD≌△AED吗?为什么? 提示:能.∵在Rt△ACD和Rt△AED中,AD=AD,CD=ED,∴由“HL” 定理可得Rt△ACD≌Rt△AED.
角平分线的性质定理及其逆定理(公开课)
求证：BC=CD
如图，四边形ABCD中， AC平分∠BAD， ∠B+∠D=180°，
老师总结了如下解题规律，有关角平分线证边角等量关 系的题：
（1）首先想角平分线定理，一条角平分线用一次， 两条用两次，三条用三次； （2）其次站在轴对称的高度，构造全等三角形，再 利用全等三角形转移边角等量关系。
从直线外一点到这条 直线的垂线段的长度，
●
叫做点到
直线的距
离。
二、探究导学
1、做一做：大家来猜想一下有什么样的结论成立？
角平分线的性质定理
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
已知:如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点，PD⊥OA, PE⊥OB，垂足分别是D,E. 求证:PD=PE.
证明： ∵ PDOA,PEOB
P到OM距离是多少？ PQ的最小值为多少？
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC 于点D，AB=10，S△ABD=15，则CD的长为多少？
3、如图，△ABC中，∠C=90°，AC=CB，AD为 ∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E。 求证：△DBE的周长等于线段AB的长。
C
D
A
E
B
3、如图，直线a，b，c表示三条互相交叉的公路。现在要建一个货 物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有 （ ）处。
△ABC内角平分线的交点到三角形三边 的距离相等，满足这个条件的点有1个。
△ABC两条外角平分线的交点到其三边的 距离也相等，满足这个条件的点有3个。
综上，到三条公路的距离相等的点有4个。
P
E
B
∴PD=PE （角平分线上的点 到这个角的两边的距离相等）
台州市三中八年级数学下册 第1章 直角三角形1.4 角平分线的性质第1课时 角平分线的性质定理及其逆
(2)从边上来说 , 除了等腰三角形和等边三角形还有什么样的三角形?
三边都不相等的三角形. (3)根据上面的内容思考 : 怎样対三角形进行分类 ？
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们 休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐 对身体不好哦~
顶角
（
腰 底角 底边
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.
勾股定理逆定理.
角平分线
角平分线上的点到角的两边的距离相等. 定理 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 逆定理
结束语
八年级数学下册 第1章 直角三角形1.4 角平分线 的性质第1课时 角平分线的性质定理及其逆定理 课件（新版）湘教版
解 : 〔1〕不能 , 因为3cm+4cm<8cm ; 〔2〕不能 , 因为5cm+6cm=11cm ; 〔3〕能 , 因为5cm+6cm>10cm.
归纳 判断三条线段是否可以组成三角形 , 只需说明两条较短线段之和大于第 三条线段即可.
针対训练 一根木棒长为7 , 另一根木棒长为2 , 那么用长度为4的木棒能和它们拼成三角形 吗 ？长度为11的木棒呢 ？假设不能拼成 , 那么第三条边应在什么范围呢 ？
A
A（B）
A（B）
A
D
C
PC
PC
O
BO
O
O
EB
探究新知
一般情况下.我们要证明几何命题时，可以按照以下 步骤进行.即: 1.明确命题中的条件和结论； 2.根据题设，画出图形.并用数学符号表示已知和求证； 3.经过分析，写出证明过程.
A
A（B）
三边都不相等的三角形. (3)根据上面的内容思考 : 怎样対三角形进行分类 ？
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们 休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐 对身体不好哦~
顶角
（
腰 底角 底边
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.
勾股定理逆定理.
角平分线
角平分线上的点到角的两边的距离相等. 定理 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 逆定理
结束语
八年级数学下册 第1章 直角三角形1.4 角平分线 的性质第1课时 角平分线的性质定理及其逆定理 课件（新版）湘教版
解 : 〔1〕不能 , 因为3cm+4cm<8cm ; 〔2〕不能 , 因为5cm+6cm=11cm ; 〔3〕能 , 因为5cm+6cm>10cm.
归纳 判断三条线段是否可以组成三角形 , 只需说明两条较短线段之和大于第 三条线段即可.
针対训练 一根木棒长为7 , 另一根木棒长为2 , 那么用长度为4的木棒能和它们拼成三角形 吗 ？长度为11的木棒呢 ？假设不能拼成 , 那么第三条边应在什么范围呢 ？
A
A（B）
A（B）
A
D
C
PC
PC
O
BO
O
O
EB
探究新知
一般情况下.我们要证明几何命题时，可以按照以下 步骤进行.即: 1.明确命题中的条件和结论； 2.根据题设，画出图形.并用数学符号表示已知和求证； 3.经过分析，写出证明过程.
A
A（B）
角平分线-第1课时 角平分线的性质定理及其逆定理
∵ ⊥ , ⊥ ，∴ 是△的角平分线.
变式2 如图，在△中，,分别是，
上一点，∠ = ∘ ， ⊥ 于点，若
= , = .
（1）求证：平分∠；
证明：∵
左讲
知识点1 角平分线的性质定理
例1 如图，在直角三角形中，∠ = ∘ ，平分∠，
6
⊥ 于点.若 = ， = ，则的长为___.
右练
变式1 如图，在△中，∠ = ∘ ，平分∠交边于点
4
，△的面积为30， = ，则线段的长度为___.
= ,
在△和△中，ቊ
= ,
∴ △≌△()，∴ = .
∵ ⊥ ， ⊥ ，∴ 平分∠.
（2）直接写出,,之间的等量关系．
解： + = ．
点拨：由（1）可知 = ，∠ = ∠ = ∘ ，
知识点2 角平分线的判定定理
例2 如图，在△中，是的中点， ⊥ ，
⊥ ，垂足分别是，， = .求证：是
△的角平分线.
证明：∵ ⊥ ， ⊥ ，
∴ △和△是直角三角形.
∵ 是的中点，∴ = .
又∵ = ,∴ △≌△()，∴ = .
又∵ = ，∴ △≌△()，
∴ = ，
∴ = + = + = + − = − ，
即 + = ．
平分∠.若 = ， = ，则△的面积
为( C )
A.15
B.20
C.25
D.50
（第4题）
5.如图，在直角三角形中，∠ = ∘ ，请用尺规作图法在边上作
一点，使得点到边，的距离相等.（保留作图痕迹，不写作法）
解：如图所示，点即为所求.
初中数学湘教版八年级下册1.4 第2课时 角平分线的性质定理的逆定理课件
O
解：作夹角的角平分线OC，
截取OD=2.5cm ,D即为所求.
D S
C
方法点拨：根据角平分线的判定定理，要求作的点到 两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平 分线，再在这条角平分线上根据要求取点.
二 三角形的内角平分线
活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你 发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线相交于一点
OP平分∠AOB
1. 如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路 MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得 它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P.
A
M
小区C
P
O
N
B
2. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，
PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到
PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分
1.应用角平分线性质： 存在角平分线 条件 涉及距离问题
2.联系角平分线性质：
距离
面积 s 1 ch
周长
2
例2 如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O 到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的 度数为( A ) A．110° B．120° C．130° D．140°
解析：由已知，O到三角形三边的距离 相等，所以O是三条内角平分线 的交点，AO，BO，CO都是角平分线， 所以有∠CBO＝∠ABO＝ 1∠ABC， ∠BCO＝∠ACO＝ 12∠ACB2 ， ∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°， ∠OBC＋∠OCB＝70°， ∠BOC＝180°－70°＝110°.
∠BAC，并说明理由．
解：AD平分∠BAC．理由如下： ∵D到PE的距离与到PF的距离相等， ∴点D在∠EPF的平分线上． ∴∠1＝∠2．
解：作夹角的角平分线OC，
截取OD=2.5cm ,D即为所求.
D S
C
方法点拨：根据角平分线的判定定理，要求作的点到 两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平 分线，再在这条角平分线上根据要求取点.
二 三角形的内角平分线
活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你 发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线相交于一点
OP平分∠AOB
1. 如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路 MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得 它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P.
A
M
小区C
P
O
N
B
2. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，
PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到
PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分
1.应用角平分线性质： 存在角平分线 条件 涉及距离问题
2.联系角平分线性质：
距离
面积 s 1 ch
周长
2
例2 如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O 到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的 度数为( A ) A．110° B．120° C．130° D．140°
解析：由已知，O到三角形三边的距离 相等，所以O是三条内角平分线 的交点，AO，BO，CO都是角平分线， 所以有∠CBO＝∠ABO＝ 1∠ABC， ∠BCO＝∠ACO＝ 12∠ACB2 ， ∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°， ∠OBC＋∠OCB＝70°， ∠BOC＝180°－70°＝110°.
∠BAC，并说明理由．
解：AD平分∠BAC．理由如下： ∵D到PE的距离与到PF的距离相等， ∴点D在∠EPF的平分线上． ∴∠1＝∠2．
角平分线的性质定理及其逆定理
提示：过点 分别向 分别向△ 三边作垂线， 提示：过点P分别向△ABC三边作垂线，由角 三边作垂线 平分线的性质定理及其逆定理即可证明结论。 平分线的性质定理及其逆定理即可证明结论。
2 .在△ABC中，∠B=∠C，点D为BC边的中点， 边的中点， 在 中 ∠ ， 为 边的中点 DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别是 ，F。求证： ⊥ ， ⊥ ，垂足分别是E， 。求证： 的平分线上。 点D在∠A的平分线上。 在 的平分线上
A
B E
H
C G
P
图2
已知：如图3， ⊥ ， ⊥ ， ＝ 例3 已知：如图 ，PB⊥AB，PC⊥AC，PB＝ PC，D是AP上 一点 ， 是 上 求证： 求证：∠BDP＝∠CDP ＝
A
D B C
P 图3
尺规作角的平分线 步骤一：以点 为圆心 为圆心， 步骤一：以点O为圆心，以适当长为半径画 弧与角的两边分别交于A， 两点 两点。 弧，弧与角的两边分别交于 ，B两点。
步骤二：分别以点 ， 为圆心 以固定长(大 为圆心， 步骤二：分别以点A，B为圆心，以固定长 大 长的一半)为半径画弧 于AB长的一半 为半径画弧，两弧交于点 长的一半 为半径画弧，两弧交于点C
步骤三：作射线 就是∠ 步骤三：作射线OC，则OC就是∠AOB的 ， 就是 的 平分线。 平分线。
练习 1 .已知：如图，△ABC的角平分线 已知： 的角平分线BM，CN相 已知 如图， 的角平分线 ， 相 交于点P。求证， 到三条边AB， ， 的 交于点 。求证，点P到三条边 ，BC，CA的 到三条边 距离相等。 距离相等。
已知：如图1， 的角平分线BM、CN 例1 已知：如图 ，△ABC的角平分线 的角平分线 、 相交于点P. 相交于点 求证： 到三边AB、 、 的距离相等 的距离相等. 求证：点P到三边 、BC、CA的距离相等 到三边
角平分线-性质定理与逆定理课件
D,E. 求证:PD=PE.
A D
分析:要证明PD=PE,只要证明它们所在
的△OPD≌△OPB，
1
O
2
P C
而△OPD≌△OPB的条件由已知易知它 满足公理(AAS).
故结论可证.
E B
老师期望:你能写出规范的证明过程.
2
2019/4/23
开启 智慧 几何的三种语言
定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
C● O
A
老师期望: 养成用数学解释生活的习惯.
12
2019/4/23
3 独立作业
习题1.4
3.已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且
BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.
求证:EB=FC.
A
E
F
B
老师期望:
D
C
悟 做完题目后,一定要“ ”到点东
西,纳入到自己的3
1 独立作业
习题1.4
1.利用尺规作出三角形三个内角的平分线. 你发现了什么？
老师期望:
先分别作出不同形状的三角形,再按要求去作图.
11
2019/4/23
2 独立作业
习题1.4
2. 如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到∠AOB
的两边的距离相等.
B
D●
2019/4/23
13
A区
2019/4/23
8
小结 拓展
回味无穷
定理 角平分线上的点到这个角的两边
距离相等.
∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一
点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已
知) ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边
北师大版八年级下册数学练习课件-第1章 4 第1课时角平分线的性质和判定
8
第一章 三角形的证明
4 角平分线
第一课时 角平分线的性质和判定
名师点睛
▪ 知识点1 角平分线的性质定理 ▪ 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． ▪ 知识点2 角平分线的判定定理 ▪ 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分
线上． ▪ 提示：角平分线的性质定理与判定定理互为逆定理． ▪ 注意：由于角的外部也存在到角的两边距离相等的点，因此
不要忽视“在一个角的内部”这一条件．
2
▪ 【典例】如图，在△ABC中，AC＝AB，点D在BC边上，若 DF⊥AB，垂足为F，DG⊥AC，垂足为G，且DF＝DG.
▪ 求证：AD⊥BC. ▪ 分析：已知△ABC是等腰三角形，要证AD⊥BC，根据等腰
三角形三线合一的性质可先证AD平分∠BAC. ▪ 证明：∵DF⊥AB，DG⊥AC，DF＝DG， ▪ ∴点D在∠BAC的平分线上， ▪ 即AD是∠BAC的平分线． ▪ 又∵AB＝AC，∴AD⊥BC.
▪ ①∠ODE＝∠ODF；②∠OED＝∠OFD；③ED＝FD；④
EF⊥OC.
6
▪ 5．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别是E、F，BE＝CF.
▪ 求证：AD是△ABC的角平分线．
证是直角三角形．在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中，∵BBDE＝＝CCFD，， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴DE＝DF.又∵DE ⊥AB，DF⊥AC，∴AD 是△ABC 的角平分线．
7
▪ 6．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝ BC，AD为∠CAB的平分线．
▪ 求证：AC＋CD＝AB.
证明：过点 D 作 DE⊥AB 于点 E.∵AD 为∠CAB 的平分线， ∴DC＝DE.在 Rt△ACD 和 Rt△AED 中，∵ADDC＝＝ADDE，， ∴Rt△ ACD≌Rt△AED，∴AC＝AE.又∵AC＝BC，∠C＝90°，∴∠B＝ 45°，∴DE＝BE，∴AC＋CD＝AE＋BE＝AB.
第一章 三角形的证明
4 角平分线
第一课时 角平分线的性质和判定
名师点睛
▪ 知识点1 角平分线的性质定理 ▪ 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． ▪ 知识点2 角平分线的判定定理 ▪ 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分
线上． ▪ 提示：角平分线的性质定理与判定定理互为逆定理． ▪ 注意：由于角的外部也存在到角的两边距离相等的点，因此
不要忽视“在一个角的内部”这一条件．
2
▪ 【典例】如图，在△ABC中，AC＝AB，点D在BC边上，若 DF⊥AB，垂足为F，DG⊥AC，垂足为G，且DF＝DG.
▪ 求证：AD⊥BC. ▪ 分析：已知△ABC是等腰三角形，要证AD⊥BC，根据等腰
三角形三线合一的性质可先证AD平分∠BAC. ▪ 证明：∵DF⊥AB，DG⊥AC，DF＝DG， ▪ ∴点D在∠BAC的平分线上， ▪ 即AD是∠BAC的平分线． ▪ 又∵AB＝AC，∴AD⊥BC.
▪ ①∠ODE＝∠ODF；②∠OED＝∠OFD；③ED＝FD；④
EF⊥OC.
6
▪ 5．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别是E、F，BE＝CF.
▪ 求证：AD是△ABC的角平分线．
证是直角三角形．在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中，∵BBDE＝＝CCFD，， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴DE＝DF.又∵DE ⊥AB，DF⊥AC，∴AD 是△ABC 的角平分线．
7
▪ 6．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝ BC，AD为∠CAB的平分线．
▪ 求证：AC＋CD＝AB.
证明：过点 D 作 DE⊥AB 于点 E.∵AD 为∠CAB 的平分线， ∴DC＝DE.在 Rt△ACD 和 Rt△AED 中，∵ADDC＝＝ADDE，， ∴Rt△ ACD≌Rt△AED，∴AC＝AE.又∵AC＝BC，∠C＝90°，∴∠B＝ 45°，∴DE＝BE，∴AC＋CD＝AE＋BE＝AB.
角平分线的性质1PPT演示课件
方法二
利用角平分线性质和相似三角形，通过比例关系求解三角形 面积。
实例分析：利用角平分线求三角形面积
实例一
实例三
已知三角形ABC中，角A的平分线AD 交BC于点D，且BD=3，CD=2，求三 角形ABC的面积。
已知三角形ABC中，角C的平分线CF 交AB于点F，且AF=5，BF=4，求三 角形ABC的面积。
PART 03
角平分线与三角形面积关 系
REPORTING
WENKU DESIGN
三角形面积计算公式回顾
三角形面积公式
S = 1/2 * b * h，其中b为底边长度， h为高。
三角形面积公式推导
通过相似三角形和比例关系推导得出 。
利用角平分线求三角形面积方法介绍
方法一
利用角平分线定理，将三角形面积转化为两个小三角形面积 之和。
几何作图
利用角平分线的性质，可以进行几何作图，如作角的平分 线、作线段的垂直平分线等。
三角形中的角平分线
在三角形中，角平分线有特殊的性质，如三角形的三条角 平分线交于一点（内心），且这个点到三角形三边的距离 相等。
物理和工程应用
角平分线的性质在物理和工程领域也有应用，如在建筑设 计、机械设计和光学设计等领域中，可以利用角平分线的 性质进行精确的计算和设计。
角平分线与三角形外角关系探讨
三角形外角性质
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
角平分线与三角形外角关系
角平分线将相邻的一个外角和一个内角平分为两个相等的小角。
角平分线与三角形外角的综合应用
利用角平分线的性质以及三角形内外角的关系，可以解决一些与角度、距离和面积相关的 问题。例如，通过作角平分线来构造等腰三角形或等边三角形，进而求解一些几何问题。
利用角平分线性质和相似三角形，通过比例关系求解三角形 面积。
实例分析：利用角平分线求三角形面积
实例一
实例三
已知三角形ABC中，角A的平分线AD 交BC于点D，且BD=3，CD=2，求三 角形ABC的面积。
已知三角形ABC中，角C的平分线CF 交AB于点F，且AF=5，BF=4，求三 角形ABC的面积。
PART 03
角平分线与三角形面积关 系
REPORTING
WENKU DESIGN
三角形面积计算公式回顾
三角形面积公式
S = 1/2 * b * h，其中b为底边长度， h为高。
三角形面积公式推导
通过相似三角形和比例关系推导得出 。
利用角平分线求三角形面积方法介绍
方法一
利用角平分线定理，将三角形面积转化为两个小三角形面积 之和。
几何作图
利用角平分线的性质，可以进行几何作图，如作角的平分 线、作线段的垂直平分线等。
三角形中的角平分线
在三角形中，角平分线有特殊的性质，如三角形的三条角 平分线交于一点（内心），且这个点到三角形三边的距离 相等。
物理和工程应用
角平分线的性质在物理和工程领域也有应用，如在建筑设 计、机械设计和光学设计等领域中，可以利用角平分线的 性质进行精确的计算和设计。
角平分线与三角形外角关系探讨
三角形外角性质
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
角平分线与三角形外角关系
角平分线将相邻的一个外角和一个内角平分为两个相等的小角。
角平分线与三角形外角的综合应用
利用角平分线的性质以及三角形内外角的关系，可以解决一些与角度、距离和面积相关的 问题。例如，通过作角平分线来构造等腰三角形或等边三角形，进而求解一些几何问题。