人教版初中数学2019-2020学年八年级上学期期末专题复习 专题5：等腰三角形A卷
人教版初中数学2019-2020学年八年级上学期期末专题复习专题5：等腰三角形A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________
考试须知：
1、请首先按要求在本卷的指定位置填写您的姓名、班级等信息。
2、请仔细阅读各种题目的回答要求，在指定区域内答题，否则不予评分。
一、单选题 (共4题；共8分)
1. （2分）下列三角形:
①有两个角等于60°的三角形;
②有一个角等于60°的等腰三角形;
③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形;
④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.
其中是等边三角形的有（）
A . ①②③
B . ①②④
C . ①③
D . ①②③④
2. （2分） (2018八上·路南期中) 如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，D是AC的中点，P是AB上一动点，要使CP+PD的值最小，则点P不在（）
A . ∠ACB的平分线上
B . 边AC的垂直平分线上
C . 边AB的中点
D . 线段BD的中垂线上
3. （2分）(2019·桂林) 下列命题中，是真命题的是（）
A . 两直线平行，内错角相等
B . 两个锐角的和是钝角
C . 直角三角形都相似
D . 正六边形的内角和为360°
4. （2分） (2019八上·越秀期中) 如图，在△ABC中，∠BDC=110°，点D是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，则∠A=（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共4题；共4分)
5. （1分） (2018八上·张家港期中) 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，4），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OA′，则点A′的坐标是________.
6. （1分） (2019七下·西安期中) 将一张长方形纸片按图中方式折叠，若∠2=63°，则∠1的度数为________.
7. （1分） (2019八上·大荔期末) 如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则周长的最小值为________.
8. （1分）(2019·南山模拟) 以边长为4的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值为________．
三、综合题 (共3题；共30分)
9. （10分）(2019·邹平模拟) 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE 交BC的延长线于点F．
（1）求证：△DAE≌△CFE；
（2）若AB=BC+AD，求证：BE⊥AF；
（3）在（2)的条件下，若∠D=90°，AD= ，AF=10，则点E到AB的距离是________(直接写出结果即可，不用写出演推过程）
10. （10分） (2020八上·中山期末) 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC边的中点，BE⊥AB 交AD的延长线于点E，CF平分∠ACB交AD于点F，连接CE。
求证：
（1）点D是EF的中点；
（2）△CEF是等腰三角形。
11. （10分） (2018九上·椒江月考) 如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE顺时针旋转到△ABF 的位置.
（1）旋转中心是点________，旋转角度是________度，并尺规作图得到△ABF________.
（2）若四边形AECF的面积为16，求AB的长.
参考答案一、单选题 (共4题；共8分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
三、综合题 (共3题；共30分)
9-1、
9-2、9-3、
10-1、
10-2、11-1、11-2、。
必备的八年级上册数学期末复习要点：等腰三角形
必备的八年级上册数学期末复习要点：等腰
三角形
一、等腰三角形知识点回顾
1.等腰三角形的性质
1.等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)。
2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合(简写成“等腰三角形的三线合一”)。
3.等腰三角形的两底角的平分线相等(两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等)。
4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)。
二、等腰三角形的判定：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
(等角对等边)
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角形的学习，是否已经掌握了本文知识点，更多参考资料尽在!
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【期末复习】2019年 八年级数学上册 期末复习 轴对称与等腰三角形 知识点+易错题(含答案)
2019年八年级数学上册期末复习轴对称与等腰三角形知识点+易错题轴对称知识点一、轴对称图形1. 把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。
这条直线就是它的对称轴。
这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。
2. 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线4.轴对称与轴对称图形的性质①关于某直线对称的两个图形是全等形。
②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
⑤两个图形关于某条直线成轴对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。
二、(重点)线段的垂直平分线1.定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。
2.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等3.判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上三、用坐标表示轴对称小结：1.在平面直角坐标系中①关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数;②关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等;③关于原点对称的点横坐标和纵坐标互为相反数；④与X轴或Y轴平行的直线的两个点横（纵）坐标的关系；⑤关于与直线X=C或Y=C对称的坐标点（x, y）关于x轴对称的点的坐标为______.点（x, y）关于y轴对称的点的坐标为______.2.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等四、（重点）（等腰三角形)知识点回顾1.等腰三角形的性质①.等腰三角形的两个底角相等。
（等边对等角）②.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
（三线合一）理解：已知等腰三角形的一线就可以推知另两线。
2019-2020学年八年级上学期数学专题13.3-13.4 等腰三角形与最短路径问题(讲练)(解析版)
专题13.3-13.4等腰三角形与最短路径问题（讲练）一、知识点1、等腰三角形的性质：①等腰三角形的两个底角相等（“等边对等角”）； ②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合；2、等腰三角形是轴对称图形，三线合一所在直线是其对称轴；（只有1条对称轴） 等腰三角形的判定：①如果一个三角形有两条边相等；②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等；（等角对等边） 3、等边三角形：三条边都相等的三角形；（等边三角形是特殊的等腰三角形） 等边三角形的性质：①等边三角形的三个内角都是60〬 ②等边三角形的每条边都存在三线合一；4、等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一所在直线；（有3条对称轴）5、等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角是60〬的等腰三角形是等边三角形；6、在直角三角形中，如果一个锐角等于30〬，那么它所对的直角边等于斜边的一半；7、最短路径的选择①当两点在某一条直线的两侧时,这两点的最短距离就是连接这两点的线段与直线的交点就是最短路径的点.②当两点在某条直线的同侧时,这两点到直线上某一点的最短距离的作法:作任意一个点关于这条直线的对称点,然后再连接对称点与另一点之间的线段,与直线的交点就是最短距离的点的位置.[来源:学&科&网Z&X&X&K]注意：在解决最短路径的问题时,我们通常利用平移、轴对称等变化把已知问题转化成容易解决的问题,从而作出最短路径的选择.二、标准例题：例1：如图、已知60AOB ∠=︒，点P 在边OA 上，OP=12，点M ，N 在边OB 上，PM=PN ，若MN=2，则OM=（ ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】作PH⊥MN于H，∵PM=PN，∴MH=NH=12MN=1，∵∠AOB=60°，∴∠OPH=30°，∴OH=12OP=6，∴OM=OH-MH=5，故选C．总结：本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．例2：如图，△ABC中∠ACB＝90°,CD是AB边上的高，∠BAC的角平分线AF交CD于E，则△CEF必为（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【答案】A【解析】∵∠ACB=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，∵CD是AB边上的高，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠B=∠DCA，∵AF是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2，∵∠1+∠B=∠CFE，∠2+∠DCA=∠FEC，∴∠CFE=∠FEC，∴CF=CE，∴△CEF是等腰三角形.故选A总结：此题考查等腰三角形的判定，解题关键在于掌握判定定理.例3：如图，在等边三角形ABC中，BC边上的中线，E是AD上的一个动点，F是边AB上的一个动点，在点E、F运动的过程中，的最小值是______．【答案】4【解析】如图：连接CE，△ 是等边三角形，AD 是中线， 垂直平分BC ， ，，当点C ，点E ，点F 三点共线，且 时， 值最小，即 的值最小． 此时： △ 是等边三角形， ， ， ， 即 的最小值是4， 故答案为：4.总结：本题考查了最短路径问题，等边三角形的性质，熟练掌握和运用等边三角形的性质以及轴对称的性质是解决本题的关键 解题时注意，最小值问题一般需要考虑两点之间线段最短或垂线段最短等结论． 例4：已知：如图，在等边ABC ∆中，060ADE ∠=，且DE 交ABC ∆外角平分线CE 于点E .（1）当点D 为BC 中点时，试说明AD 与DE 的数量关系； （2）当点D 不是BC 中点时，试说明AD 与DE 的数量关系. 【答案】（1）AD DE =，见解析.（2）AD DE =，见解析. 【解析】（1）结论：AD=DE ，理由如下： 如图: 过点D 作DF ∥AC ，交AB 于点F ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB=BC ，∠B=∠ACB=∠ABC=60°． 又∵DF ∥AC ， ∴∠BDF=∠ACB=60°， ∴△BDF 是等边三角形， ∴DF=BD ，∠BFD=60°， ∵BD=CD ， ∴DF=CD ∴∠AFD=120°．∵EC 是外角的平分线，∴∠ACE=60°， ∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=120°=∠AFD ， ∵∠ADB=∠ADC=90°， ∴∠ADF=∠EDC=30°， 在△AFD 与△EDC 中，AFD DCE DF CDADF EDC ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ， ∴△AFD ≌△DCE （ASA ）， ∴AD=DE ；（2）结论：AD=DE ；理由如下：如图2，过点D 作DF ∥AC ，交AB 于点F ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB=BC ，∠B=∠ACB=∠ABC=60°， 又∵DF ∥AC ， ∴∠BDF=∠ACB=60°，∴△BDF 是等边三角形，∴BF=BD ，∠BFD=60°， ∴AF=CD ，∠AFD=120°，∵EC 是外角的平分线，∴∠ACE=60°， ∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=120°=∠AFD ， ∵∠ADC 是△ABD 的外角， ∴∠ADC=∠B+∠FAD=60°+∠FAD ， ∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=60°+∠EDC ， ∴∠FAD=∠EDC ， 在△AFD 和△DCE 中，DAF EDC AF CDAFD DCE ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ， ∴△AFD ≌△DCE （ASA ）， ∴AD=DE.总结：考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，平行线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．三、练习1．如图，在ABC ∆中，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于点D ，过D 作EF BC ∕∕交AB 于E 交AC 于F ，若10,7,8AB BC AC ===，则AEF ∆的周长为（ ）A．15 B．18 C．17 D．16【答案】B【解析】解：∵EF∥BC，∴∠EDB=∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠EBD=∠EDB，∴ED=EB，同理可证得DF=FC，∴AE+AF+EF=AE+EB+AF+FC=AB+AC=10+8=18，即△AEF的周长为18，故选：B．2．若等腰三角形的底角为15°，则一腰上的高是腰长的（）A．14B．12C．1倍D．2倍【答案】B【解析】解：过点C作AB边上的高交BA延长线于D，根据题意可知，∠DAC=∠B+∠ACB=30°，∴在直角三角形ADC中，CD=12AC ，故答案为：B.3．等腰三角形的一个内角为80°，则它的顶角度数为A．20°B．80°C．20°或80°D．50°或80°【答案】C【解析】解：由题意可判定，分两种情况： 当该内角为顶角时，即顶角为80°；②当该内角为底角时，根据等腰三角形的性质，可得顶角度数为180808020︒-︒-︒=︒综上所述，顶角度数为20°或80°， 故答案为C.4．已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成6cm 和12cm 两部分，则等腰三角形的底边长为( ) A ．10cm B ．2cmC ．6cm 或4cmD ．2cm 或10cm【答案】B【解析】设等腰三角形的腰长、底边长分别为xcm ，ycm ，由题意得1621122x x x y ⎧⎪⎪⎨+=+=⎪⎪⎩ 或1122162x x x y +=+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ ， 解得410x y ==⎧⎨⎩ 或82x y ==⎧⎨⎩∵4+4<10，不能构成三角形， 故等腰三角形的底边长为2cm ， 故选B.5．如图，将ABC ∆绕点C 按逆时针方向旋转得A B C ∆''，且A '点在AB 上，A B ''交CB 于点D ，若BCB β'∠=，则CA B ''∠的度数为( )A ．180β︒-B ．1902β︒+C ．11802β︒-D ．1902β︒-【答案】D【解析】∵将△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转得△A′B′C ， ∴AC=A′C ，∠A=∠CA′B′，∠ACA′=BCB β'∠=，∴∠A=∠CA′B′=01802ACA -∠'=1902β︒- 故选：D.6．已知030AOB ∠=，点P 在AOB ∠内部，点1P 与点P 关于OA 对称，点2P 与点P 关于OB 对称，则12POP ∆是（ ）A ．含30°角的直角三角形B ．顶角是30°的等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】C 【解析】如图，∵P ，P 1关于直线OA 对称，P 、P 2关于直线OB 对称， ∴OP=OP 1=OP 2，∠AOP=∠AOP 1，∠BOP=∠BOP 2， ∵∠AOB=30°，∴∠P 1OP 2=2∠AOP+2∠BOP=2（∠AOP+∠BOP ）=2∠AOB=60°， ∴△P 1OP 2是等边三角形． 故选：C ．7．如图，三角形ABC 中，,AB AC AD AE ==，050BAD ∠=，则CDE ∠=（ ）A．40°B．45°C．25°D．20°【答案】C【解析】∵AB=AC，AD=AE，∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED，∵∠EDC+∠C=∠AED，∠ADE=∠AED，∴∠C+∠EDC=∠ADE，又∵∠B+∠BAD=∠ADC，∴∠B+50°=∠C+∠EDC+∠EDC，∵∠B=∠C．∴2∠EDC=50°，∴∠EDC=25°．故选：C.8．一个等腰三角形的周长为40 cm,以一边为边作等边三角形,这个等边三角形周长为45 cm,那么这个等腰三角形的底边长为()A．15 cm B．10 cmC．30 cm或10 cm D．15 cm或10 cm【答案】D【解析】解：∵等边三角形周长为45cm，∴其边长为15cm，即等腰三角形的一边为15cm，则：若该边为腰长，则底边为：40-2×15=10cm，若该边为底边，则腰长为：（40-15）÷2=12.5，∴等腰三角形的底边为15cm，10cm．故选：D．9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，BC＝5，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则AP＋BP的最小值是（）A．5 B．4 C．3 D．7【答案】B【解析】解：连接PC．∵EF是BC的垂直平分线，∴BP=PC．∴PA+BP=AP+PC．∴当点A，P，C在一条直线上时，PA+BP有最小值，最小值=AC=4．故选：B．10．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△周长的最小值为A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【解析】连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC=BC•AD=×4×AD=16，解得AD=8，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短=（CM+MD）+CD=AD+BC=8+×4=8+2=10．故选：C．11．如图，在正方形ABCD（四个边相等，四个角为直角）中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP+EP最小值的是( )A．AB B．DE C．AF D．BD【答案】C【解析】如图，连接CP，由AD＝CD，∠ADP＝∠CDP＝45°，DP＝DP，可得△ADP≌△CDP，∴AP＝CP，∴AP＋PE＝CP＋PE，∴当点E，P，C在同一直线上时，AP＋PE的最小值为CE长，此时，由AB＝CD，∠ABF＝∠CDE，BF＝DE，可得△ABF≌△CDE，∴AF＝CE，∴AP＋EP最小值等于线段AF的长，故选：C．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为BC上一点，DE∥AC交AB于E，则∠BED等于_____度【答案】100【解析】∵AB=AC，∠B=40°，∴∠C=40°，∴∠A=180°-40°-40°=100°，∵DE∥AC，∴∠BED=∠A=100°，故答案为：100．13．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE交CA的延长线于点E，垂足为D，∠CBE=69°.则∠C=________°.【答案】23°【解析】解：设∠C的度数为x，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=x，∠EAB=2x，∵ED为线段AB的垂直平分线，∴∠EBA=∠EAB=2x，∵∠CBE的度数为69°，∴2x+x=69°，∴∠C=x=23°.14．如图，在四边形中，∠BAD=108°，∠B=∠D=90°，在上分别找一点，使的周长最小，此时的度数为__________°.【答案】144【解析】作A 关于BC 和CD 的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC 于M ，交CD 于N ，则A′A″即为△AMN 的周长最小值．作DA 延长线AH ，∵∠DAB=100°， ∴∠HAA′=80°，∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=80°，∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN ，∠NAD+∠A″=∠ANM ， ∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×80°=160° 15．如图，点,D E 分别在等边ABC △的边,AC BC 上，BD 与AE 交于点P ，ABD CAE ∠=∠，BF AE ⊥，10AE =，2DP =，求PF 的长度.【答案】4【解析】解：∵等边△ABC ，∴AB=AC ，∠C=∠BAD=∠ABC=60°， 又∵∠ABD=∠CAE ， ∴△BAD ≌△ACE∴BD=AE=10，∵PD=2，∴BP=10-2=8，∵∠BPF=∠ABP+∠BAP=∠CAE+∠BAP=∠SAC=60°，又∵BF⊥AE，∴∠PBF=90°-60°=30°，在Rt△BPF中，PF=12BP=4，答：PF的长为4．16．如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC，BD＝CE，M是AC边的中点，求证△DEM是等腰三角形．【答案】详见解析【解析】证明：连接BM，∵AB＝BC，AM＝MC，∴BM⊥AC，且∠ABM＝∠CBM＝12∠ABC＝45°，∵AB＝BC，所以∠A＝∠C＝1802ABC︒-∠＝45°，∴∠A＝∠ABM，所以AM＝BM，∵BD＝CE，AB＝BC，∴AB－BD＝BC－CE，即AD＝BE，在△ADM 和△BEM 中，,45,,AD BE A EBM AM BM =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ADM ≌△BEM （SAS ）， ∴DM ＝EM ，∴△DEM 是等腰三角形．17．尺规作图：（不要求写作法，只保留作图痕迹）如图，工厂A 和工厂B ，位于两条公路OC 、OD 之间的地带，现要建一座货物中转站P ．若要求中转站P 到两条公路OC 、OD 的距离相等，且到工厂A 和工厂B 的距离之和最短，请用尺规作出P 的位置．【答案】详见解析.【解析】解：如图所示：点P 即为所求．18．如图，ABC ∠的平分线BF 与ACG ∠的平分线CF 相交于点F ，过点F 作//DE BC 交AB 与点D ，交AC 于点E ，若8BD =，3DE =，求CE 的长.【答案】CE 的长为5.【解析】∵BF 、CF 分别平分∠ABC 、∠ACB 的外角， ∴∠DBF=∠CBF ，∠FCE=∠FCG ， ∵DE ∥BC ，∴∠DFB=∠CBF ，∠EFC=∠FCG ，∴∠DBF=∠DFB ，∠FCE=∠EFC ， ∴BD=FD ，EF=CE ， ∴BD-CE=FD-EF=DE ， ∴EF=DF-DE=BD-DE=8-3=5， ∴EC=5．19．作图题.如图，小河边有两个村庄A 、B ，要在河边建一自来水厂P ，向A 村B 村供水． （1）若要使厂部到A 、B 两村的距离相等，则厂部P 应选在哪里？在图①中画出；（2）若要使厂部到A 、B 两村的输水管长度之和最小，则厂部P 应选在什么地方？在图②中画出．（保留作图痕迹，不写作法，但要写结论）【答案】(1)见解析；（2）见解析【解析】解：（1）如图①所示：点C 即为所求； （2）如图②所示：点C 即为所求．．20．如图，ABC △中，90ACB ∠=，以AC 为边在ABC △外作等边三角形ACD ，过点D 作AC 的垂线，垂足为F ，与AB 相交于点E ，连接CE .（1）说明：AE CE BE ==；（2）若DA AB ⊥，6BC =，P 是直线DE 上的一点.则当P 在何处时，PB PC +最小，并求此时PB PC +的值.【答案】（1）证明见解析；（2）点P 在点E 处时PB+PC 最小，最小值为12cm. 【解析】∵DF ⊥AC ，△ACD 是等边三角形， ∴DF 垂直平分AC ， ∴AE=CE ， ∴∠ACE=∠CAE ， ∵∠ACB=90°，∴∠ACE+∠BCE=∠CAE+∠B=90°， ∴∠BCE=∠B ， ∴CE=BE ， ∴AE=CE=BE ；（2）∵DA ⊥AB ，∠DAC=60°， ∴∠BAC=30°， ∵∠ACB=90°，BC=6， ∴AB=2BC=12，由（1）知，DE 垂直平分AC ， ∴PC=PA ， ∴PB+PC=PB+PA ；∴当PB+PC 最小时，即PB+PA 最小， ∵点P 、B 、A 在同一直线上时，PB+PA 最小， ∴点P 在点E 处时PB+PA 最小．即PB+PC 最小， 当点P 在E 处时，PB+PC=BE+CE=BE+AE=AB=12cm ．21．如图（1），在Rt ABC ∆中，090ACB ∠=，030A ∠=，P 为BC 边上任意一点，Q 为AC 边一动点，分别以,CP PQ 为边作等边三角形PCF 和等边三角形PQE ，连接EF .（1）试探索EF 与AB 的位置关系，并证明；（2）如图（2）当P 为BC 延长线上任意一点时，（1）中的结论是否成立？请说明理由；（3）如图（3）在Rt ABC ∆中，090ACB ∠=，0A n ∠=，P 为BC 延长线上一点，Q 为AC 边一动点，分别以,CP PQ 为边作等腰三角形PCF 和等腰三角形PQE ，使得,PC PF PQ PE ==，连接EF .要使（1）中的结论依然成立，还需要添加怎样的条件？为什么？【答案】（1）EF AB ⊥，见解析；（2）成立，EF AB ⊥，见解析；（3）要使（1）中的结论依然成立，还需要添加的条件是CPF EPQ B ∠=∠=∠，见解析. 【解析】（1）EF AB ⊥，证明如下： ∵PCF ∆和PQE ∆都是等边三角形，∴,,60PC PF PQ PE CPF EPQ ==∠=∠=︒， ∴CPQ QPF EPF QPF ∠+∠=∠+∠， ∴CPQ EPF ∠=∠ 在PCQ ∆和PFE ∆中PC PF CPQ EPF PQ PE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴PCQ PFE ∆≅∆， ∴PCQ PFE ∠=∠， ∵90ACB ∠=︒，∴90PFE PCQ ∠=∠=︒， ∴PF FE ⊥，∵60CPF ∠=︒，30A ∠=︒， ∴60B ∠=︒， ∴B CPF ∠=∠， ∴//PF AB ， ∴EF AB ⊥（2）成立，EF AB ⊥，理由如下： ∵PCF ∆和PQE ∆都是等边三角形，∴,,60PC PF PQ PE CPF EPQ ==∠=∠=︒， ∴CPQ CPE EPF CPE ∠+∠=∠+∠， ∴CPQ EPF ∠=∠， 在PCQ ∆和PFE ∆中PC PF CPQ EPF PQ PE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴PCQ PFE ∆≅∆ ∴PCQ PFE ∠=∠， ∵90ACB ∠=︒， ∴90PCQ ∠=︒，∴90PFE PCQ ∠=∠=︒， ∴PF FE ⊥，∵60CPF ∠=︒，30A ∠=︒， ∴60B ∠=︒， ∴B CPF ∠=∠， ∴//PF AB ， ∴EF AB ⊥.（3）要使（1）中的结论依然成立，还需要添加的条件是CPF EPQ B ∠=∠=∠，理由如下： ∵,,PC PF PQ PE CPF EPQ ==∠=∠，21 ∴CPF CPE EPQ CPE ∠+∠=∠+∠， ∴CPQ EPF ∠=∠，∴PCQ PFE ∆≅∆，∴PCQ PFE ∠=∠，∵90ACB ∠=︒，∴90PCQ ∠=︒，∴90PFE PCQ ∠=∠=︒，∴PF FE ⊥，又∵CPF B ∠=∠，∴//PF AB ，∴EF AB ⊥.。
【精品讲义】人教版 八年级上册数学 轴对称与等腰三角形 讲义 知识点讲解+练习题
讲义【典例】考点、轴对称变换及用坐标表示轴对称（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的________、________完全一样（2）经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于_________的对称点．（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴______________．[关于坐标轴对称]点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y）点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x，y）[关于原点对称]点P（x，y）关于原点对称的点的坐标是（-x，-y）[关于坐标轴夹角平分线对称]点P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y=x对称的点的坐标是（y，x）点P（x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y= -x对称的点的坐标是（-y，-x）[关于平行于坐标轴的直线对称]点P（x，y）关于直线x=m对称的点的坐标是（2m-x，y）；点P（x，y）关于直线y=n对称的点的坐标是（x，2n-y）；考点三、作一个图形关于某条直线的轴对称图形（1）作出一些关键点或特殊点的对称点．（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形【典例】图（2）BP1、已知等边ABC ，E 在BC 的延长线上，CF 平分∠DCE ，P 为射线BC 上一点，Q 为CF 上一点，连接AP 、PQ.若AP=PQ ，求证∠APQ 是多少度考点四、线段垂直平分线的性质⑴线段是轴对称图形，它的对称轴是__________________⑵线段的垂直平分线上的点到______________________相等归类回忆角平分线的性质 ⑴角是轴对称图形，其对称轴是_______________⑵角平分线上的点到______________________________相等 【典例】1、如图，△ABC 中，∠A=90°，BD 为∠ABC 平分线，DE ⊥BC ，E 是BC 的中点，求∠C 的度数。
2019-2020学年人教版八年级上册期末复习《轴对称》常考基础专题(三)(解析版)
2019-2020学年人教版八年级上册期末复习常考基础专题（三）轴对称、等腰三角形、等边三角形、最短路径问题、作图题一、选择题1.下列图形中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.2.下列图形中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.3.下列交通标志图案是轴对称图形的是A. B. C. D.4.在下图中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.x5.在平面直角坐标系中,点P(3,5)关于轴对称的点的坐标是（）A. (3,5）B. (3,-5)C. (-3,5)D. (-3,-5)6.在平面直角坐标系中，点A(5，6)与点B关于x轴对称，则点B的坐标为( )A. (5，6)B. (－5，－6)C. (－5，6)D. (5，－6)7.等腰三角形的一个角为70°，则这个等腰三角形的顶角为( )A. 70°B. 55°C. 40°D. 40°或70°8.如图，AD是△ ABC的高，AD也是△ABC的中线，则下列结论不一定成立的是（）A. AB=ACB. AD=BCC. ∠B=∠CD. ∠BAD=∠BCDP(−3，5)()9.点关于x轴的对称点的坐标是(−3，−5)(3，−5)(3，5)(5，−3)A. B. C. D.10.已知点A（m﹣1，3）与点B（2，n+1）关于x轴对称，则m+n的值为（）A. ﹣1B. ﹣7C. 1D. 7二、填空题(a，2)(3，b)x11.点A 和点B 关于轴对称，则ab＝________.12.已知点A（m，3）与点B（2，n）关于x轴对称，则m+n=________．13.若点M(﹣3，b)与点N(a，2)关于x轴对称，则a+b=________.14.如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为________cm.(3,2)15.在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是________.16.等腰三角形的顶角为76°，则底角等于________.17.如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线.若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是________.18.如图，△ABC是等边三角形，AB＝4，AD平分∠BAC交BC于点D，E是AC的中点，则DE的长为________．19.如图，△ABC中，AD为角平分线，若∠B＝∠C＝60°，AB＝8，则CD的长度为________．20.已知：如图，△ABC是等边三角形，延长AC到E，C为线段AE上的一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ,OC．以下五个结论：①AD=BE；②AP=BO；③PQ//AE；④∠AOB=60°；⑤OC平分∠AOE；结论正确的有________（把你认为正确的序号都填上）三、解答题21.如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，DE、DF分别是∠ADB、∠ADC的平分线，若DE=2，求DF的长.22.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，且BD=CE．求证：AD=AE．23.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．求证：A D=BC．ABC BE CD O OB=OC24.如图，在等腰三角形中，两腰上的中线，相交于点．求证：．25.如图，已知D，E在三角形ABC的边BC上，且AB＝AC，AD＝AE。
第十三章轴对称等腰(等边)三角形复习讲义人教版数学八年级上册
等腰（等边）三角形1等腰三角形的概念与性质等腰三角形的概念有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角．如右图，在△ABC 中，若AB=AC ，则△ABC 是等腰三角形，其中AB ，AC 叫做腰，BC 叫做底边，∠A 叫做顶角，∠B 和∠C 叫做底角．等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．2等腰三角形的判定判定①：两条边相等三角形是等腰三角形．判定②：两个角相等的三角形是等腰三角形．3等边三角形的性质与判定定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形．性质：等边三角形的三条边、三个内角都相等，并且每一个角都等于60°（三线合一）． 判定： AB C AB C D（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）两个角为60°的三角形是等边三角形；（3）含有60°的等腰三角形是等边三角形．4含30°的直角三角形含30°的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．例1．（1）若等腰三角形的一个外角为70°，则它的底角为__________度．（2）已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是__________1．已知一等腰三角形的周长是9，若一腰上的中线把周长分成差为3的两部分，求这个等腰三角形三边的长．2．等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，则其顶角为．3．如图，在△ABA1中，∠B＝28°，AB＝A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2＝A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3＝A2D；…，依此进行下去，∠A1A2C的度数为；以An为顶点的锐角的度数为．例2．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，∠DAE与∠DAC的度数比为2：1，则∠B的度数为．1．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为（）A．20°B．120°C．20°或120°D．360°2．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝BD＝ED＝EA，求∠A的大小．例3．【问题情境】思达老师给爱好学习的小闻和小达提出这样的一个问题：如图1，在△ABC中，AB=AC，点P为边BC上任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，求证：PD+PE=CF．【变式探究】如图，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，求证：PD﹣PE=CF．1．如图，在△ABC中，AB=AC=6，该三角形的面积为15，点O是边BC上任意一点，则点O分别到AB，AC边的距离之和等于（）．A．5C．9D．102．已知：点P是等边△ABC内任意一点，PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，AH是BC边上的高线．求证：PD+PE+PF=AH．例4．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB交CD于F，交BC于E，请判断CF与CE相等吗？为什么？例5．如图1，△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线交于点D，过点D作EF∥BC交AB与点E，交AC于点F．（1）求证：BE+CF=EF；（2）若将已知条件中的“∠ACB的角平分线”改为“∠ACB的外角平分线”，其他条件不变（如图2）（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出BE，CF，EF之间的关系．（不需证明）1．如图所示，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，过点P作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N，那么下列结论：①BP＝CP；②MN＝BM+CN；③△BMP和△CNP都是等腰三角形；④△AMN的周长等于AB与AC的和，其中正确的有（）A．②③④B．①②③④C．②③D．③例6．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有（）A．5个B．6个C．7个D．8个1．如图，坐标平面内一点A（2，﹣1），O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（）A．2B．3C．4D．52．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点．．．．．在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多可画（）A．9个B．7个C．6个D．5个3．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）A．6 个B．7 个C．8 个D．9个4．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠ACB=110°，∠BOC= ，△BOC≌△ADC，∠OCD=60°，连接OD.（1）求证：△OCD是等边三角形；（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由.（3）当α= 时，△AOD是等腰三角形．5．已知△ABC是边长为8cm的等边三角形，动点P、Q同时出发，分别在三角形的边或延长线上运动，设它们的运动时间为t（s），,如图2，若P点由A出发，沿射线AB方向运动，Q点由C出发，沿射线AC方向运动，P的速度为3cm/s，Q的速度为acm/s．是否存在某个a的值，使得在运动过程中△BPQ 恒为以BP为底边的等腰三角形？如果存在，请求出这个值，如果不存在，请说明理由．例7．如图，已知△ABC是等边三角形，D是边AC的中点，连接BD，EC⊥BC于点C，CE=BD. 求证：△ADE是等边三角形．1．如图，已知△ABC中，AB=AC，D是CB延长线上一点，∠ADB=60°，E是AD上一点，且有DE=DB．求证：AE=BE+BC．例8．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD是△ABC的高，∠C=30°，BC=4，则BD ＝．1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，AD⊥AB，交BC于点D，AD＝4，则BC的长为（）A．8B．4C．12D．62．如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且AE＝CD，BE与AD相交于点P，BQ⊥AD于点Q．（1）求证：BE＝AD；（2）若PQ＝4，求BP的长．1．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A5B5A6的边长为.2．如图1，△ABC是边长为5cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段AB，BC运动，且它们的是速度都为1厘米/秒．当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．（1）当运动时间为t秒时，BQ的长为厘米，BP的长为厘米；（用含t 的式子表示）（2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形；（3）如图2，连接AQ、CP，相交于点M，则点P，Q在运动的过程中，∠CMQ会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数．3．如图，在等边△ABC中，AB=6cm，动点P从点A出发以1cm/s的速度沿AB匀速运动，动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为t（s）. 过点P作PE⊥AC于E，连接PQ交AC边于D，过点E作EF∥CQ，且EF=CQ ．（1）用含有t的式子表示线段：AP = cm，BQ = cm；（2）①当t为何值时，△BPQ为直角三角形？②当t为何值时，点F在∠ABC的平分线上?（3）线段DE的长为cm .。
2019-2020年八年级数学上册期末复习专题-轴对称与等腰三角形及答案
2019-2020年八年级数学上册期末复习专题-轴对称与等腰三角形及答案一选择题：1.一张菱形纸片按如图1、图2依次对折后，再按如图3打出一个圆形小孔，则展开铺平后的图案是（）A． B． C． D．2.小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示，实际时间是（）A.21：10B.10：21C.10：51D.12：013.平面内点A（-1，2）和点B（-1，6）的对称轴是（）A．x轴 B．y轴 C．直线y=4 D．直线x=-1 4.如图，△ABC与△关于直线MN对称，P为MN上任一点，下列结论中错误的是( )(A)△是等腰三角形． (B)MN垂直平分．（C）△ABC与△面积相等．（D）直线AB、的交点不一定在MN上．5.如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）．6.若等腰三角形一个外角等于100，则与它不相邻的两个内角的度数分别为…（）A.40，40B.80°，20C.50°，50°D.80°，20°或50°，50°7.如图是轴对称图形，它的对称轴有（）A．2条 B．3条 C．4条 D．5条8.如图，在△ABC中，AB=AC，AB的中垂线DE交AC于点D，交AB于E点，如果BC=10，△BDC的周长为22，那么△ABC的周长是（）A.24B.30C.32D.349.如图，把一长方形纸片ABCD沿EG折叠后，点A、B分别落在A′、B′的位置上，EA′与BC相交于点F，已知∠1=130°，则∠2的度数是（）A.40°B.50°C.65°D.80°10.如图图中的阴影部分是由5个小正方形组成的一个图形，若在图中的方格里涂黑两个正方形，使整个阴影部分成为轴对称图形，涂法有几种（）A. 2种B. 4种C. 5种D. 7种11.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB交BC于点E，BE=4，则AC 长为( )A．2 B．3 C．4 D．以上都不对12.为了加快灾后重建的步伐，我市某镇要在三条公路围成的一块平地上修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（）A．仅有一处 B．有四处 C．有七处 D．有无数处13.∠BAC=110°若MP和NQ分别垂直平分AB和AC,则∠PAQ的度数是( )A.20°B. 40°C.50°D.60°14.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB 于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（）A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm15.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE=20°，则∠C的度数是( )A．30° B．35° C．40° D．50°16.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，－2)，在y轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P有( )A．2个 B．3个 C．4个 D．5个17.平面上有A、B两点，以线段AB为一边作等腰直角三角形，能作（）A．3个B．4个C．6个 D．无数个18.如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（）A． B． C． D．不能确定19.如图，已知∠AOB=60º，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM的长为（）A.3B.4C.5D. 620.如图，在第1个△A1BC中，∠B=30°，A1B=CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以A n为顶点的内角度数是（）A.（）n•75°B.）n﹣1•65°C.（）n﹣1•75°D.（）n•85°二填空题:21.若等腰三角形的两条边长分别为7cm和14cm，则它的周长为cm．22.已知等腰三角形一腰上的中线将它周长分成18cm和9cm 两部分，则这个等腰三角形的底边长是cm．23.如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．若AB=5，AC=4，则△ADE的周长是______．24.课间，顽皮的小刚拿着老师的等腰直角三角板放在黑板上画好了的平面直角坐标系内(如图)，已知直角顶点H的坐标为(0，1)，另一个顶点G的坐标为(4，4)，则点K的坐标为25.如图，所示，在△ABC中，D在AC上，连结BD，且∠ABC=∠C=∠1，∠A=∠3，则∠A 的度数为．26.如图，∠ACB=90°,E、F为AB上的点，AE=AC，BC=BF，则∠ECF=__________．27.如图，∠AOB是一角度为10°的钢架，要使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管：EF、FG、GH…，且OE=EF=FG=GH…，在OA、OB足够长的情况下，最多能添加这样的钢管的根数为______．28.如图所示，线段AB=8cm，射线AN⊥AB于点A，点C是射线上一动点，分别以AC、BC为直角边作等腰直角三角形，得△ACD与△BCE中，连接DE交射线AN于点M，则CM的长为．29.如图，已知∠MON=30°，点A1，A2，A3，……在射线ON上，点B1，B2，B3，……在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，……均为等边三角形，若OA1=2，则△A5B5A6的边长为.30.如图，△ABC中，∠ACB=60°，△ABC′，△BCA′，△CAB′都是△ABC形外的等边三角形，点D在边AC 上，且DC=BC．连接DB，DB′，DC′．有下列结论：①CDB是等边三角形；②△C′BD≌△B′DC；③S△AC′D≠S△DB′A④S△ABC+S△ABC′=S△ACB′+S△A′BC其中，正确的结论有（请写序号，少选、错选均不得分）三作图题:31.作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹，如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）.现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等。
2020秋人教版八年级数学上册专题复习《等腰(边)三角形与直角三角形》
专题 等腰（边）三角形与直角三角形知 识 点名师点晴等腰三角形 等腰三角形的性质 理解等腰三角形的性质，并能解决等腰三角形的有关计算 等腰三角形的判定 掌握等腰三角形的判定方法，会证明一个三角形是等腰三角形 等边三角形等边三角形的性质 理解等边三角形的性质等边三角形的判定 掌握等边三角形的判定方法，会证明一个三角形是等边三角形 直角三角形直角三角形的性质理解直角三角形的有关性质直角三角形的判定 掌握直角三角形的判定方法，会证明一个三角形是直角三角形 勾股定理理解并掌握勾股定理及其逆定理☞2年中考【2015年题组】 1．（2015来宾）下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是（ ） A ．1，2，3 B ．2，3，4 C ．4，5，6 D ．1，2，3 【答案】D ． 【解析】试题分析：A ．222123+≠，不能组成直角三角形，故错误；B ．222234+≠，不能组成直角三角形，故错误；C ．222456+≠，不能组成直角三角形，故错误；D ．2221(2)(3)+=，能够组成直角三角形，故正确．故选D ．考点：勾股定理的逆定理． 2．（2015南宁）如图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠B=70°，则∠C 的度数为（ ）A．35°B．40°C．45°D．50°【答案】A．考点：等腰三角形的性质．3．（2015来宾）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，AB的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，则∠BAE=（）A．80°B．60°C．50°D．40°【答案】D．【解析】试题分析：∵AB=AC，∠BAC=100°，∴∠B=∠C=（180°﹣100°）÷2=40°，∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠BAE=∠B=40°，故选D．考点：1．线段垂直平分线的性质；2．等腰三角形的性质．4．（2015内江）如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD 交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（）A．40°B．45°C．60°D．70°【答案】A．【解析】试题分析：∵AE∥BD，∴∠CBD=∠E=35°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBA=70°，∵AB=AC，∴∠C=∠CBA=70°，∴∠BAC=180°﹣70°×2=40°．故选A．考点：1．等腰三角形的性质；2．平行线的性质．5．（2015荆门）已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（）A．8或10 B．8 C．10 D．6或12【答案】C．考点：1．等腰三角形的性质；2．三角形三边关系；3．分类讨论．6．（2015广州）已知2是关于x的方程2230x mx m-+=的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（）A．10 B．14 C．10或14 D．8或10【答案】B．【解析】试题分析：∵2是关于x的方程2230x mx m-+=的一个根，∴22430m m-+=，4m=，∴28120x x-+=，解得x=2或x=6．①当6是腰时，2是等边，此时周长=6+6+2=14；②当6是底边时，2是腰，2+2＜6，不能构成三角形．所以它的周长是14．故选B．考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．一元二次方程的解；3．三角形三边关系；4．等腰三角形的性质；5．分类讨论．7．（2015丹东）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC 与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（）A．15°B．17.5°C．20°D．22.5°【答案】A．考点：等腰三角形的性质．8．（2015龙岩）如图，3ABC中，过点C垂直于BC的直线交∠ABC 的平分线于点P，则点P到边AB所在直线的距离为（）A．33B．32C．3D．1【答案】D．【解析】试题分析：∵△ABC为等边三角形，BP平分∠ABC，∴∠PBC=12∠ABC=30°，∵PC⊥BC，∴∠PCB=90°，在Rt△PCB中，PC=BC•tan∠PBC=333=1，∴点P到边AB所在直线的距离为1，故选D．考点：1．角平分线的性质；2．等边三角形的性质；3．含30度角的直角三角形；4．勾股定理．9．（2015乐山）如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（）A33B55C233D255【答案】D．考点：1．锐角三角函数的定义；2．勾股定理；3．勾股定理的逆定理；4．网格型．10．（2015资阳）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）A．13cm B．261cm C．61cm D．234cm【答案】A．考点：1．平面展开-最短路径问题；2．最值问题．11．（2015德阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，若点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点，则∠B的度数是（）A．60°B．45°C．30°D．75°【答案】C．【解析】试题分析：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点，∴∠CED=∠A，CE=BE=AE，∴∠ECA=∠A，∠B=∠BCE，∴△ACE是等边三角形，∴∠CED=60°，∴∠B=12∠CED=30°．故选C．考点：1．直角三角形斜边上的中线；2．轴对称的性质．12．（2015眉山）如图，在Rt△ABC中，∠B=900，∠A=300，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD．若BD=l，则AC的长是（）A．32B．2 C．34D．4【答案】A．考点：1．含30度角的直角三角形；2．线段垂直平分线的性质；3．勾股定理．13．（2015荆门）如图，在△ABC中，∠BAC=Rt∠，AB=AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC 于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为（）A．13B．21-C．23-D．14【答案】A．【解析】试题分析：∵在△ABC中，∠BAC=Rt∠，AB=AC，∴∠ABC=∠C=45°，BC=2AC，又∵点D为边AC的中点，∴AD=DC=12AC，∵DE⊥BC于点E，∴∠CDE=∠C=45°，∴DE=EC=22DC=24AC，∴tan∠DBC=DEBE=24224ACAC AC-=13．故选A．考点：1．解直角三角形；2．等腰直角三角形．14．（2015襄阳）如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB．若BE=2，则AE的长为（）A．3B．1 C．2D．2【答案】B．考点：1．含30度角的直角三角形；2．角平分线的性质；3．线段垂直平分线的性质．15．（2015北京市）如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1.2km，则M，C两点间的距离为（）A．0.5kmB．0.6km C．0.9km D．1.2km【答案】D．【解析】试题分析：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M为AB的中点，∴MC=12AB=AM=1.2km．故选D．考点：1．直角三角形斜边上的中线；2．应用题．16．（2015天水）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=22，CD=2，点P在四边形ABCD的边上．若点P到BD的距离为32，则点P的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A．考点：1．等腰直角三角形；2．点到直线的距离．17．（2015龙岩）如图，在边长为3的等边三角形ABC中，过点C垂直于BC的直线交∠ABC 的平分线于点P，则点P到边AB所在直线的距离为（）A33B32C．3D．1【答案】D．考点：1．角平分线的性质；2．等边三角形的性质；3．含30度角的直角三角形；4．勾股定理．18．（2015龙东）△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（）A．4.8 B．4.8或3.8 C．3.8 D．5【答案】A．【解析】试题分析：过A点作AF⊥BC于F，连结AP，∵△ABC中，AB=AC=5，BC=8，∴BF=4，∴△ABF中，22AB BF=3，∴12×8×3=12×5×PD+12×5×PE，12=12×5×（PD+PE），PD+PE=4.8．故选A．考点：1．勾股定理；2．等腰三角形的性质；3．动点型．19．（2015安顺）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B 恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为（）A．32B．323C．3D．6【答案】A．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．勾股定理．20．（2015滨州）如图，在直角∠O的内部有一滑动杆AB，当端点A沿直线AO向下滑动时，端点B会随之自动地沿直线OB向左滑动，如果滑动杆从图中AB处滑动到A′B′处，那么滑动杆的中点C所经过的路径是（）A．直线的一部分B．圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分【答案】B．【解析】试题分析：连接OC、OC′，如图，∵∠AOB=90°，C为AB中点，∴OC=12AB=12A′B′=OC′，∴当端点A沿直线AO向下滑动时，AB的中点C到O的距离始终为定长，∴滑动杆的中点C所经过的路径是一段圆弧．故选B．考点：1．轨迹；2．直角三角形斜边上的中线．21．（2015烟台）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律继续下去，则S2015的值为（）A．20122()2B．20132()2C．20121()2D．20131()2【答案】C．考点：1．等腰直角三角形；2．正方形的性质；3．规律型；4．综合题．22．（2015烟台）等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程2610x x n-+-=的两根，则n的值为（）A．9 B．10 C．9或10 D．8或10【解析】试题分析：∵三角形是等腰三角形，∴①a=2，或b=2，②a=b两种情况：①当a=2，或b=2时，∵a，b是关于x的一元二次方程2610x x n-+-=的两根，∴x=2，把x=2代入2610x x n-+-=得，4﹣6×2+n﹣1=0，解得：n=9，当n=9，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，故n=9不合题意；②当a=b时，方程2610x x n-+-=有两个相等的实数根，∴△=2(6)-﹣4（n﹣1）=0，解得：n=10，故选B．考点：1．根的判别式；2．一元二次方程的解；3．等腰直角三角形；4．分类讨论．23．（2015崇左）下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第4个图形中所有正三角形的个数有（）A．160 B．161 C．162 D．163【答案】B．考点：1．规律型；2．综合题．24．（2015宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC 的中点．若CD=5，则EF的长为．考点：1．三角形中位线定理；2．直角三角形斜边上的中线．25．（2015常州）如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O，古塔位于点A（400，300），从古塔出发沿射线OA方向前行300m是盆景园B，从盆景园B向左转90°后直行400m到达梅花阁C，则点C的坐标是．【答案】（400，800）．【解析】试题分析：连接AC，由题意可得：AB=300m，BC=400m，在△AOD和△ACB中，∵AD=AB，∠ODA=∠ABC，DO=BC，∴△AOD≌△ACB（SAS），∴∠CAB=∠OAD，∵B、O在一条直线上，∴C，A，D也在一条直线上，∴AC=AO=500m，则CD=AC=AD=800m，∴C点坐标为：（400，800）．故答案为：（400，800）．考点：1．勾股定理的应用；2．坐标确定位置；3．全等三角形的应用．26．（2015南通）如图，△ABC中，D是BC上一点，AC=AD=DB，∠BAC=102°，则∠ADC= 度．考点：等腰三角形的性质．27．（2015苏州）如图，在△ABC中，CD是高，CE是中线，CE=CB，点A、D关于点F 对称，过点F作FG∥CD，交AC边于点G，连接GE．若AC=18，BC=12，则△CEG的周长为．【答案】27．【解析】试题分析：∵点A、D关于点F对称，∴点F是AD的中点．∵CD⊥AB，FG∥CD，∴FG 是△ACD的中位线，AC=18，BC=12，∴CG=12AC=9．∵点E是AB的中点，∴GE是△ABC的中位线，∵CE=CB=12，∴GE=12BC=6，∴△CEG的周长=CG+GE+CE=9+6+12=27．故答案为：27．考点：1．三角形中位线定理；2．等腰三角形的性质；3．轴对称的性质．28．（2015西宁）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是．【答案】110°或70°．考点：1．等腰三角形的性质；2．分类讨论．29．（2015南宁）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是．【答案】45°．【解析】试题分析：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°．∵等边三角形ADE，∴AD=AE，∠DAE=∠AED=60°．∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°，AB=AE，∠AEB=∠ABE=（180°﹣∠BAE）÷2=15°，∠BED=∠DAE﹣∠AEB=60°﹣15°=45°，故答案为：45°．考点：1．正方形的性质；2．等边三角形的性质．30．（2015攀枝花）如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE+DE的最小值为．7考点：1．轴对称-最短路线问题；2．等边三角形的性质；3．最值问题；4．综合题．31．（2015昆明）如图，△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，BC=43，在BE 上截取BG=2，以GE为边作等边三角形GEF，则△ABH与△GEF重叠（阴影）部分的面积为．53．考点：1．等边三角形的判定与性质；2．三角形的重心；3．三角形中位线定理；4．综合题；5．压轴题．32．（2015淄博）如图，等腰直角三角形BDC的顶点D在等边三角形ABC的内部，∠BDC=90°，连接AD，过点D作一条直线将△ABD分割成两个等腰三角形，则分割出的这两个等腰三角形的顶角分别是度．【答案】120，150．【解析】试题分析：∵等腰直角三角形BDC的顶点D在等边三角形ABC的内部，∠BDC=90°，∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=60°﹣45°=15°，在△ABD与△ACD中，∵AB=AC，∠ABD=∠ACD，BD=CD，∴△ABD≌△ACD（SAS），∴∠BAD=∠CAD=30°，∴过点D作一条直线将△ABD分割成两个等腰三角形，则分割出的这两个等腰三角形的顶角分别是180°﹣15°﹣15°=150°；180°﹣30°﹣30°=120°，故答案为：120，150．考点：1．等腰直角三角形；2．等腰三角形的性质；3．等边三角形的性质；4．综合题．33．（2015黄冈）在△ABC 中，AB=13cm，AC=20cm，BC 边上的高为12cm，则△ABC 的面积为__________2cm．【答案】126或66．考点：1．勾股定理；2．分类讨论；3．综合题．34．（2015庆阳）在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A 至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为cm．（结果保留π）【答案】231π+【解析】试题分析：如图所示，∵无弹性的丝带从A至C，绕了1.5圈，∴展开后AB=1.5×2π=3πcm，BC=3cm，由勾股定理得：AC=22AB BC+=299π+=231π+cm．故答案为：231π+考点：1．平面展开-最短路径问题；2．最值问题．35．（2015朝阳）如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为米（结果精确到0.1米，参考数据：2=1.41，3=1.73）．【答案】2.9．考点：勾股定理的应用．36．（2015辽阳）如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，点E为AB的中点，AD=6，DE=5，则线段BD的长等于．【答案】8．【解析】试题分析：∵BD⊥AC于D，点E为AB的中点，∴AB=2DE=2×5=10，∴在Rt△ABD中，22AB AD-22106-．故答案为：8．考点：1．直角三角形斜边上的中线；2．勾股定理．37．（2015柳州）如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC=4，CD=5．（1）求DB的长；（2）在△ABC中，求BC边上高的长．【答案】（1）3；（2）6．考点：1．勾股定理；2．三角形中位线定理．38．（2015柳州）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=12cm，BC=18cm，点P从点A出发以2cm/s的速度沿A→D→C运动，点P从点A出发的同时点Q 从点C出发，以1cm/s的速度向点B运动，当点P到达点C时，点Q也停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒．（1）从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD？（2）从运动开始，当t取何值时，△PQC为直角三角形？【答案】（1）4；（2）t=6或11013．考点：1．平行四边形的判定与性质；2．勾股定理的逆定理；3．直角梯形；4．动点型；5．分类讨论；6．综合题．【2014年题组】 1．（2014·江苏省盐城市）若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为（ ） A ． 40° B ． 50° C ． 60° D ． 70° 【答案】D ． 【解析】试题分析：因为等腰三角形的两个底角相等，又因为顶角是40°，所以其底角为180402︒-︒=70°．故选D ．考点：等腰三角形的性质．2.（2014·桂林）下列命题中，是真命题的是（ ） A ．等腰三角形都相似 B ．等边三角形都相似 C ．锐角三角形都相似 D ．直角三角形都相似 【答案】B ． 【解析】试题分析：根据相似三角形的判定，只有等边三角形的内角都相等，为60°，从而都相似．故选B．考点：1．命题和定理；2.相似三角形的判定；3．等边三角形的性质.3.（2014湖南省湘西州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，AB=2，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则CD的长为（）A．14B．12C． 1 D． 2【答案】C．考点：等腰直角三角形．4.（2014贵州安顺市）已知等腰三角形的两边长分別为a、b，且a、b235a b-+（2a+3b﹣13）2=0，则此等腰三角形的周长为（）A． 7或8 B．6或1O C．6或7 D．7或10【答案】A．【解析】试题分析：∵|2a﹣3b+5|+（2a+3b﹣13）2=0，∴235023130a ba b-+=⎧⎨+-=⎩，解得23ab=⎧⎨=⎩，当a为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8；当b为底时，三角形的三边长为2，2，3，则周长为7；综上所述此等腰三角形的周长为7或8．故选A．考点：1.等腰三角形的性质；2.非负数的性质：偶次方；3.非负数的性质：算术平方根；4.解二元一次方程组；5.三角形三边关系．5.（2014张家界）如图，在Rt ABC∆中，ACB60∠=︒，DE是斜边AC的中垂线分别交AB、AC于D、E两点，若BD=2，则AC的长是（）A．4B43 C .8 D.83【答案】B．考点：1.线段垂直平分线的性质；2.含30度角的直角三角形；3.勾股定理．6.（2014吉林）如图，△ABC中，∠C=45°，点D在AB上，点E在BC上．若AD=DB=DE，AE=1，则AC的长为（）A．B． 2 C．D．【答案】D考点：1、等腰直角三角形；2、等腰三角形的判定与性质．7.（2014吉林）如图，直线y=2x+4与x，y轴分别交于A，B两点，以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC，将点C向左平移，使其对应点C′恰好落在直线AB上，则点C′的坐标为．【答案】（﹣1，2）【解析】试题分析：∵直线y=2x+4与y轴交于B点，∴y=0时，2x+4=0，解得x=﹣2，∴B（0，4）．∵以OB为边在y轴右侧作等边三角形OBC，∴C在线段OB的垂直平分线上，∴C点纵坐标为2．将y=2代入y=2x+4，得2=2x+4，解得x=﹣1．故C′的坐标为（﹣1，2）．考点：1、一次函数图象上点的坐标特征；2、等边三角形的性质.8.（2014毕节）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，点E在BC上，将△ABC 沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B′处，则BE的长为．【答案】32．考点：1．折叠的性质；2.勾股定理；3.方程思想的应用☞考点归纳归纳1：等腰三角形基础知识归纳：1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。
人教版八年级上册13.3《等腰三角形》考点汇编+例题精讲+练习反馈(无答案)
《等腰三角形》考点汇编+例题精讲+练习反馈一.概念回顾二．例题精讲+变式练习例1. 如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,且DA=DC,BD=BA,则∠B的大小为( )A.40°B.36°C.80°D.25°设∠C=x°,利用等腰三角形的等边对等角性质用含x的式子表示出∠DAC及∠B,利用三角形外角性质用含x的式子表示出∠ADB与∠BAD,在△ABC中,根据三角形内角和定理列出关于x的方程,解方程求得答案.解:设∠C=x°,由于DA=DC,可得∠DAC=∠C=x°,由AB=AC可得∠B=∠C=x°.所以∠ADB=∠C+∠DAC=2x°,由于BD=BA,所以∠BAD=∠ADB=2x°,根据三角形内角和定理,得x°+x°+3x°=180°,解得x=36.所以∠B=36°.变式练习：1. 等腰△ABC的底角为72°,腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点E,垂足为点D,连接BE,则∠EBC的度数为__ __.2. 如图,已知△ABC是等边三角形,点B,C,D,E在同一直线上,且CG=CD,DF=DE,则∠E=__ .3.如图,已知△ABC中,AB=AC,BD,CE是高,BD与CE相交于点O.(1)试说明:OB=OC.(2)若∠ABC=50°,求∠BOC的度数.例2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，DF ⊥AC，垂足为F，试说明：DE＝DF．分析：本题很多同学想到等边对等角，得到∠B＝∠C，接着证△BED≌△CFD．但本题不用全等，我们要另辟蹊径．想到点D是底边BC中点，我们可以连接AD，利用三线合一，以及角平分线性质定理．证明：证明：∵AB=AC，D为BC中点，∴∠BAD=∠CAD（等腰三角形三线合一），∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF（角平分线上的点到角的两边的距离相等）．变式练习：1.如图，△ABC中，AB=AC,AM=AN,求证：BM=CN.2. 如图,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,则∠BED=__ __度.3. 如图所示,一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向,距离灯塔4海里的A处,该海轮沿南偏东30°方向航行__ __海里后,到达位于灯塔P的正东方向的B 处.4. 如图,在△ABC中,AB>AC.按以下步骤作图:分别以点B和点C为圆心,大于BC 一半的长为半径作圆弧,两弧相交于点M和点N;作直线MN交AB于点D;连接CD.若AB=6,AC=4,则△ACD的周长为__ __.5. 如图,在等边△ABC中,AO是∠BAC的角平分线,点D为AO上一点,以CD为一边且在CD下方作等边△CDE,连接BE.试说明:△ACD≌△BCE.例3. 在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE∥BC分别交AB、AC于点D、E．请说明：DE＝BD＋EC．分析：显然，从图中直观可见，DE＝DO＋EC，则问题转化为证DO＋EC＝BD ＋EC，根据平行，可得∠DOB＝∠OBC，根据角平分，可得∠DBO＝∠OBC，∴∠DOB＝∠DBO，DO＝BO，变式练习：1.如图,AD平分∠BAC,AD⊥BD,垂足为点D,DE∥AC.试说明:△BDE是等腰三角形.2.根据下列已知条件，分别指出各个图形中的等腰三角形，并加以证明：(1)如图1，BD平分∠ABC，点E在BC上，且DE∥AB．(2)如图2，AD平分∠BAC，点、E在BA的延长线上，且EC∥AD．(3)如图3，AD平分∠BAC，点E在BD上，点G在CA的延长线上，且GE∥AD，GE交AB于点F．例4. 如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点(1)AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长；(2)EF与AD有怎样的位置关系?证明你的结论．分析：本题第一问不难，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可．第二问，则再次考查垂直平分的相关知识点.练习反馈;1. 在等边△ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,若CD=2,过点D作DE∥AB,过点E 作EF⊥DE,交BC的延长线于点F,求DF的长.5. 综合运用例5：如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，EF垂直平分AD，交AD于点E，交BC的延长线于点F．求证：∠B＝∠CAF．分析：本题早在初一接触外角时，就作为一道课本习题，这里不过是增加了一些条件，先证出∠ADF＝∠DAF，则问题又转化为如同专题1的例1，∠ADF作外角，看作两角之和，∠DAF作组合角，看作两角之和．练习反馈：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是（）A．BC＝EC B．EC＝BE C．BC＝BE D．AE＝EC2. 如图,在四边形ABCD中,AD=4,BC=1,∠A=30°,∠ADC=120°,试求CD的长.3. 已知△ABC与△DEC是两个大小不同的等腰直角三角形.(1)如图①所示,连接AE,DB.试判断线段AE和DB的数量和位置关系,并说明理由.(2)如图②所示,连接DB,将线段DB绕D点顺时针旋转90°到DF,连接AF,试判断线段DE和AF的数量和位置关系,并说明理由.。
人教版初中数学-学年八年级上学期期末专题复习 专题5：等腰三角形 解析版
人教版初中数学2019-2020学年八年级上学期期末专题复习专题5：等腰三角形一、单选题1.△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，则△ABC是（）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 不等边三角形D. 不能确定2.已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB的内部，点P1和点P关于OA对称，点P2和点P关于OB对称，则P1、O、P2三点构成的三角形是（）A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形3.如图，△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于G，DM∥BC交∠ABC的外角平分线于M，交AB，AC于F，E，以下结论：①MB⊥BD，②FD=EC，③EC=EF+DG，④CE=MD/2，其中一定正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4.如图，在△ABC 中，∠BAC＝72°，∠C＝36°，∠BAC 的平分线AD 交BC 于D，则图中有等腰三角形（）A. 0 个B. 1 个C. 2 个D. 3 个二、填空题5.如图，在中，，，，与的关系是________.6.如图，D是AB边上的中点，将△ABC沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若∠B=50°，则∠BDF=________度.7.如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为________cm.8.如图，等边△ABC边长为10，P在AB上，Q在BC延长线，CQ＝P A，过点P作PE⊥AC点E，过点P作PF∥BQ，交AC边于点F，连接PQ交AC于点D，则DE的长为________．三、综合题9.如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”，（1）如图△ABC中，AB=AC= ，BC=2，求证：△ABC是“美丽三角形”；（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2 ，若△ABC是“美丽三角形”，求BC的长.10.图1、图2中，点B为线段AE上一点，△ABC与△BED都是等边三角形.（1）如图1，求证：AD=CE.（2）如图2，设CE与AD交于点F，连接BF.①求证：∠CFA=60°.②求证：CF+BF=AF.11.如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．（1）求证：∠AEB=∠ADC；（2）连接DE，若∠ADC=105°，求∠BED的度数．答案解析部分一、单选题1. B解：∵△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠C，又∵∠A=∠C，∴∠A=∠B=∠C，△ABC是等边三角形.故答案为：B.【分析】根据等边对等角得出∠B=∠C，又∠A=∠C，故∠A=∠B=∠C，根据三个角都相等的三角形是等边三角形即可得出结论：△ABC是等边三角形.2. D如图，根据轴对称的性质可知，OP1=OP2=OP，∠P1OP2=60°，∴△P1OP2是等边三角形.故答案为：D.【分析】根据轴对称的性质及有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可判断得出答案.3. Cj解：∵BD分别是∠ABC的角平分线，BM是∠ABC的外角平分线，故MB⊥BD，①成立；而AB=AC，∴∠FDB=∠DBC；∵∠FBD=∠DBC，∴∠FBD=∠FDB，∴FD=BF，FD=EC，②成立；∠C与∠BGC的大小不确定，∴DE不一定等于DG，∵EC=DF=EF+DE，∴EC不一定等于EF+DG；故错误；而CE=BF，④成立.故答案为：C.【分析】根据角平分线的定义及邻补角的定义得出∠MBD=90°，故MB⊥BD，①成立；根据平行线分线段成比例定理得出BF=EC，根据平行线的性质及角平分线的定义得出∠FBD=∠FDB，根据等角对等边得出FB=FD，所以FD=EC，②成立；由于∠C与∠BGC的大小不确定，DE不一定等于DG，EC不一定等于EF+DG，故错误；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出而CE=BF，故④成立，综上所述即可得出答案.4. D解：在△ABC中，∠BAC＝72°，∠C＝36°，∴∠B=180°-72°-36°=72°=∠BAC，∴AC=BC，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD=36°=∠C，∴AD=CD，∠ADB=72°=∠B，∴AD=BD，∴△ABC、△ABD、△ACD是等腰三角形，故等腰三角形有3个；故答案为：：D.【分析】根据三角形的内角和定理及等量代换得出∠B==72°=∠BAC，根据角平分线的定义及等量代换得出∠CAD=∠BAD=36°=∠C，根据等角对等边得出AC=BC，AD=CD，根据等边对等角及三角形的外角定理得出∠ADB=72°=∠B，从而根据等腰三角形的判定方法得出△ABC、△ABD、△ACD是等腰三角形.二、填空题5.解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵BF=CD，BD=CE，∴△BDF≌△CED（SAS），∴∠BFD=∠EDC，∵α+∠BDF+∠EDC=180°，∴α+∠BDF+∠BFD=180°，∵∠B+∠BDF+∠BFD=180°，∴∠B=α，∴∠C=∠B=α，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴2α+∠A=180°，∴，故答案为：.【分析】根据等边对等角得出∠B=∠C，从而利用SAS判断出△BDF≌△CED，根据全等三角形的对应角相等得出∠BFD=∠EDC，根据平角的定义及三角形的内角和、等式的性质得出∠B=α，从而根据三角形的内角和即可得出.6. 80解：根据折叠的性质，可得：AD=DF，∵D是AB边上的中点，即AD=BD，∴BD=DF，∵∠B=50°，∴∠DFB=∠B=50°，∴∠BDF=180°﹣∠B﹣∠DFB=80°.故答案为：80.【分析】根据折叠的性质及中点的定义得出BD=DF，根据等边对等角得出∠DFB=∠B=50°，然后根据三角形的内角和定理即可得出∠BDF的度数.7. 8解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC= BC•AD= ×4×AD=12，解得AD=6cm，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴点B关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为BM+MD的最小值，∴△BDM的周长最短=（BM+MD）+BD=AD+ BC=6+ ×4=6+=8cm.【分析】连接AD，根据等腰三角形的三线合一得出AD⊥BC，从而根据三角形的面积计算方法列出方程求出AD的长，根据垂直平分线的性质得出点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，从而即可解决问题.8. 5∵PF∥BQ，∴∠Q＝∠FPD，∵△ABC是等边三角形，∴∠APF＝∠B＝60°，∠AFP＝∠ACB＝60°，∴△APF是等边三角形，∴AP＝PF，∵AP＝CQ，∴PF＝CQ，∵在△PFD和△QCD中，，∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD＝CD，∵PE⊥AC于E，△APF是等边三角形，∴AE＝EF，∴AE+DC＝EF+FD，∴DE＝AC，∵AC＝10，∴DE＝AC＝5．故答案为：5．【分析】先证明△PFD和△QCD全等，推出FD=CD，再通过证明△APF是等边三角形和PE⊥AC，推出AE=EF，即可推出AE+DC=EF+FD，可得DE= AC，即可推出DE的长度．三、综合题9. （1）证明：如图，作BC的中线AD，如图，∵AB=AC= ，AD是BC的中线，∴AD⊥BC, BD=CD= ,在Rt△ABD中，由勾股定理得AD= ,∴AD=BC，∴△ABC是美丽三角形.（2）解：①如图1，作AC的中线BD，△ABC是“美丽三角形”，当BD=AC= 时，则CD= ,由勾股定理得.②如图2，作BC的中线AD，△ABC是“美丽三角形”，当BC=AD时，则CD= ,在Rt△ACD中，由勾股定理得，则，解得CD=2，∴BC=2CD=4.故BC=3或BC=4【分析】（1）作BC的中线AD，利用等腰三角形三线合一的性质，可求出BD的长，再利用勾股定理求出AD的长，从而可证得AD=BC，即可证得结论。