浙江最新高一数学下册试卷含答案
浙江2016—2017学年期末统一检测试卷 2016。
12高一数学（满分150分，120分钟完成）注意事项：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷答案填涂到答题卡上；第Ⅰ卷（60分）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．条件甲：A B A = ；条件乙：A 是B 的真子集， 则甲是乙的 ( )A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要 2．已知},1|{},1|{22-==-==x y y N x y x M 那么M N= （ ）A ．∅B ．MC ．ND ．R3、下列各组函数中，表示同一函数的是 （ ）2)x y x y A ==和 111)2+=--=x y x x y B 和 x y x y C lg 2lg )2==和 100lg2lg )x y x y D =-=和 4．有下列命题：①“若1=xy ，则x 、y 互为倒数”的逆命题；②“面积 相等的两个三角形全等”的否命题；③“若1≤m ，则022=+-m x x 有实数 根”的逆否命题；④“若M N N N M ⊆=则, ”的逆否命题。
其中正确 的是（ ）A ①②B ②③C ①②③D ③④5．)(x f 的定义域为]4,2[-, 则)43(-x f 的定义域为 ）A ]38,32[ B ]10,8[- C ]2,0[ D ]4,2[-6．函数)(x g 的图象与函数9)1(log )(3+-=x x f 的图象关于直线x y =对称，则)10(g 的值为 ( )A 2B 4C 11D 127．如果函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间（－∞，4]上是减函数，那么实数a 的取值范围是（ ）A a ≥ 3B a ≤－3C a ≤5D a ≥ －38．=≠-=-)21(),0(1)21(22f x x x x f 那么 （ ） A 1 B 3 C 15D 309．设0<a <1，实数,x y 满足log 0a x y +=，则y 关于x 轴的函数图像大致形状是（ ）A B C D10．2210ax x ++=至少．．有一个负．的实根．．的充要条件．．．．是（ ）A ．0<a ≤1B ．a <1C ．a ≤1D ．0<a ≤1或a <011．拟定从甲地到乙地通话m 分钟的电话费由f(m)＝1.06(0.50×[m]＋1)给出，其中m ＞0，[m]是大于或等于m 的最小整数（如[3]＝3，[3.7]＝4， [3.1]＝4），则从甲 地到乙地通话时间为5.5分钟的话费为 （ ）A ．3.71B ．3.97C ．4.24D ．4.7712．已知定义在实数R 上的函数)(x f y =不恒为零，同时满足),()()(y f x f y x f =+且当x >0时，f (x )>1，那么当x <0时，一定有（ ）A ．1)(-<x fB ．0)(1<<-x fC ．1)(>x fD ．1)(0<<x f浙江2016—2017学年月考统一检测试卷高一数学总分表第Ⅰ卷答题卡第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本小题4个小题，每小题4分，共16分） 13．含有三个实数的集合既可表示为}1,,{aba 也可表示为}0,,{2b a a +，则 20042003b a +=。
14． 函数2222+--=x x x y 的值域是_________________； 15．函数)32(log )(221--=x x x f 的单调递增区间是 。
16． 若log2m∠log2n∠0,则实数m , n 与0和1的大小关系为_________________17（12分）．解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+<--21301662x x x x（12分）．已知命题p ：不等式1|1|->-m x 的解集为R ；命题q：x m x f )25()(-=是R 上的增函数。
若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数m的取值范围。
（12分）．已知函数||)(m x x x f -⋅=（R x ∈）且0)4(=f 。
（1）求m 的值；（2）作出函数)(x f 的图象；（3）根据图象写出不等式0)(>x f 的解集。
20（本小题满分12分）某租聘公司拥有汽车100辆。
当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金增加50元时，未租出的车将会增 加一辆。
租出的车每辆每月需要维护费150元。
未租出的车每月每辆需要维护费50元。
（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月 租金为多少元时，租聘公司的月收益最大？最大月收益为多少？21．（本小题满分12分） 设函数()f x =cbx ax ++12(),,a b c Z ∈，且有f(-x) = – f(x), 又()()12,23f f =<，且()f x 在[)+∞,1上递增。
⑴求a 、b 、c 的值； ⑵证明：在x 〈–1时()f x 为 增函数,在 -1〈 X 〈 0时()f x 为减函数 22．（本小题满分14分）已知二次函数c b a c bx ax x f ,,()(2++=均为实数，满足a －b+c =0, 对于任意实数x 都有.)21()(,)2,0(,0)(2+≤∈≥-x x f x x x f 有时并且当（Ⅰ）求f (1)的值； （Ⅱ）证明：161≥ac ；（Ⅲ）当x ∈[－2，2]且a+c 取得最小值时，函数F （x ）=f （x ）－mx （m 为实数）是单调的，求证：1322m m ≤-≥或.（提示：若a ＞0,c ＞0. 则 a +c ≥2ac 当且仅当a=c 时等号成立）参考答案及标准评分一、选择题BCDCAB BCACCD 二、填空13、 1-；14、[-1-42,-1+42] 15、(-∞,–1)；16、0<n<m<1 三、解答题17、解：⎪⎩⎪⎨⎧≤-+<--)2(213)1(01662 x x x x 由（1）得0)2)(8(<+-x x ∴ 82<<-x （4分）；由（2）得015>--x x ∴ 51><x x 或（9分）； ∴原不等式的解集为}51|{}82|{><<<-x x x x x 或 即： }8512|{<<<<-x x x 或（12分）18、解：命题p ： 1|1|->-m x 的解集为R ⇔01<-m即： 1<m （3分）命题q ：xm x f )25()(-=是R 上的增函数⇔125>-m ， 即： 2<m （6分） ∵“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题 ∴P 真q 假 或P 假 真q （8分）∴⎩⎨⎧≥<1m m 或 ⎨⎧≥1m （10分）解得： 21<≤m （12分）19、解：（1）由0)4(=f 得 4=m （3 （2）⎪⎩⎪⎨⎧+--=-⋅=(4(4|4|)(22x x x x x x x x f 即： ⎩⎨⎧<+--≥--=)4(4)2()4(4)2()(2x x x x x f 作出图象（如图）————（10 （3）不等式0)(>x f 的解集为|{x x 20、解：（1）（2）21．解：⑴∵f(x) = – f(x)222211(1)()0.10,0.()()41(1)2,(2)3,123,221:12,ax ax ax bx c bx c ax c bx c bx cbx c bx c a f f a b bb a a a Z++++-+∴=-∴=+≠∴=-++-+++=<∴+=<=+-<<∈又且将代入上式得 ∴a =0或a =1。
而a =0时b =12，b Z ∈与矛盾。
………5分 ∴a =1，b =1，c =0；………7分 ⑵由⑴设,1)(xx x f += ()1212212112121212212110,()()()11,10,0()()1,().:10.x x x x f x f x x x x x x x x x x x x x f x f x x f x x f x -<<-=-<<->->->∴><--<<当时又即当时为增函数同理当时,为减函数………12分22．解：（Ⅰ）∵对于任意x ∈R ，都有f （x ）—x ≥0，且当x ∈(0,2)时，有f （x ）≤(21+x )2·令x=1 ∴1≤f(1)≤(211+)2.即f （1）=1.……4分 （Ⅱ）由a —b+c=0及f （1）=1.有⎩⎨⎧=++=+-1,0c b a c b a 可得b=a+c=21.……6分又对任意x ，f （x ）—x ≥ 0,即ax 2—21x+c ≥0. ∴a ＞0且△≤0. 即41—4ac ≤0。
解得ac ≥161.……9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知a ＞0,c ＞0. a+c ≥2ac ≥2·161=21.……10分 a=c ，当且仅当 a+c=21时等号成立。
此时a=c=41……11分 ∴f(x)=41x 2+21x+41, F(x)=f(x)－mx=41[x 2+（2－4m ）x+1]。
……12分当x ∈[－2,2]时,F(x)时单调的,所以F(x)的顶点一定在[－2,2]的外边.∴|242m-|≥2 …… 13分 解得m ≤－21或m ≥23。
……14分。
2024年浙教新版高一数学下册阶段测试试卷含答案
2024年浙教新版高一数学下册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、不等式≥0的解集为（）A. [-2，1]B. （-2，1]C. （-∞，-2）∪（1，+∞）D. （-∞，-2]∪（1，+∞）2、某种金属材料在耐高温实验中；温度随时间变化的情况由微机记录后显示的图象如图所示．下面说法正确的是（）①前5分钟温度增加的速度越来越快；②前5分钟温度增加的速度越来越慢；③5分钟以后温度保持匀速增加；④5分钟以后温度保持不变．A. ①④B. ②④C. ②③D. ①③3、已知集合则= （）A．B．C．D．4、某物体运动的位移y（单位：m）是时间t (单位：s)的函数当s时，物体的瞬时速度v 等于 ( )A.B.C.D.5、【题文】用数学归纳法证明在验证成立时,左边所得的项为 ( )A. 1B. 1+C.D.6、【题文】函数与的图像与图像关于直线对称，则的的单调增区间是（）A.B.C.D.7、若sinx•cosx=且则cosx﹣sinx的值是（）A.B.C. -D.评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)8、已知点F1，F2分别是双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别相交于点P，Q，若△PQF2是以∠Q为直角的等腰直角三角形，则双曲线C的离心率是____．9、已知命题p：“∀x∈[0，1]，a≥e x”，命题q：“∃x∈R，x2-4x+a≤0”，若命题p∧q为真命题，则实数a的取值范围是____．10、函数f（x）=a x+a-x（a＞0，a≠1）且f（1）=，则f（0）+f（1）+f（2）的值是____．11、化简：sin（π-α）sin（π+α）-sin（-α）sin（+α）=____．12、【题文】根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是________．13、在△ABC中，角ABC的对边分别为abc若a2=b2+c2−bc则asinBb的值为 ______ ．评卷人得分三、计算题(共6题，共12分)14、已知关于x的方程x2-2x=在（，2）上恒有实数根，求实数a的取值范围．15、某人先后抛掷两枚股子；用ξ表示先后抛掷两枚骰子所得点数之差的绝对值．（1）求ξ的分布列和数学期望；（2）若记“函数f（x）=x+在区间[，+∞）上单调递增”为事件A，求事件A的概率．16、球O为边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球，P为球O的球面上动点，M为B1C1中点，DP⊥BM，则点P的轨迹周长为____．17、抛物线y2=8x上一个点P（P在x轴上方）到焦点的距离是8，此时P点的坐标是____．18、若双曲线方程为x2-y2=1，则双曲线的焦点坐标是____．19、要得到的图象，且使平移的距离最短，则需将y=sin2x的图象向左平移____个单位．评卷人得分四、证明题(共2题，共20分)20、已知一几何体的三视图如图所示；点F，G分别为AC，DE的中点．（1）求证：FG∥平面ABE；（2）求证：平面ACE⊥平面ABD．21、给出下列命题：①若{a n}成等比数列，S n是前n项和，则S4，S8-S4，S12-S8成等比数列；②已知函数y=2sin（ωx+θ）为偶函数（0＜θ＜π），其图象与直线y=2的交点的横坐标为x1、x2，若|x1-x2|的最小值为π，则ω的值为2，θ的值为；③正弦函数在第一象限为单调递增函数；④函数y=2sin（2x-）的图象的一个对称点是（，0）；其中正确命题的序号是____．（把你认为正确命题的序号都填上）评卷人得分五、解答题(共2题，共20分)22、已知数列{a n}是由正数组成的等差数列，S n是其前n项的和，并且a3=5，a4S2=28．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求使不等式对一切n∈N*均成立的最大实数a；（3）对每一个k∈N*，在a k与a k+1之间插入2k-1个2，得到新数列{b n}，设T n是数列{b n}的前n项和，试问是否存在正整数m，使T m=2008？若存在求出m的值；若不存在，请说明理由．23、已知数列{a n}的前n项和为S n，若S n=2a n﹣3n．（Ⅰ）求证：数列{a n+3}是等比数列，并求出数列{a n}的通项a n；（Ⅱ）求数列{na n}的前n项和T n．评卷人得分六、综合题(共3题，共24分)24、已知等差数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}是等比数列，且满足a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5-2b2=a3．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）令c n=，设数列{c n}的前n项和为T n，求T2n．25、（文科实验做）已知f（x）=x2+bx+c为偶函数；曲线y=f（x）过点（2，5），g（x）=（x+a）f（x）．（1）若曲线y=g（x）有平行于x轴的切线；求a的取值范围；（2）若当x=-1，y=g（x）取得极值，且g（x）-k=0在[-2，-]上有两个根，求k的取值范围．26、在△ABC中，a，b，c分别是三内角A，B，C所对应的三边，已知b2+c2=a2+bc（1）求角A的大小；（2）若，试判断△ABC的形状．。
浙江省宁波市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题卷含答案
镇海2023学年第二学期期末考试高一数学试题卷（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点P 是椭圆2212x y +=上一动点，则点P 到两焦点的距离之和为（）A.2B.C. D.4【答案】C 【解析】【分析】由椭圆的定义求解即可.【详解】由2212x y +=可得：a =，由椭圆的定义可知：点P到两焦点的距离之和为2a =.故选：C .2.若{,,}a b c是空间中的一组基底，则下列可与向量,2a c a c +-构成基底的向量是（）A.aB.2a b+C.2a c+D.c【答案】B 【解析】【分析】借助空间中基底定义，计算该向量能否用,2a c a c +-表示即可得.【详解】由{,,}a b c 是空间中的一组基底，故,,a b c两两不共线，对A ：有()()1223a a c a c ⎡⎤=++-⎣⎦，故A 错误；对B ：设()()22a b m a c n a c +=++- ，则有()()22a b m n a m n c +=++-，该方程无解，故2a b +可与,2a c a c +-构成基底，故B 正确；对C ：有()()12423a c a c a c ⎡⎤+=+--⎣⎦，故C 错误；对D ：有()()123c a c a c ⎡⎤=+--⎣⎦，故D 错误.故选：B.3.l 为直线，α为平面，则下列条件能作为l α∥的充要条件的是（）A.l 平行平面α内的无数条直线B.l 平行于平面α的法向量C.l 垂直于平面α的法向量D.l 与平面α没有公共点【答案】D 【解析】【分析】根据直线与平面平行的定义，由于定义是充要条件得到选项．【详解】对A ：没有强调l α⊄，故A 错误；对B ：l 平行于平面α的法向量，可得l α⊥，故B 错误；对C ：同A 一样，没有强调l α⊄，故C 错误；对D :根据直线与平面平行的定义：直线与平面没有公共点时，直线与平面平行.所以“直线l 与平面α没有公共点”是“l α∥”的充要条件.故D 正确.故选：D4.己知 (2,2,1)(1,1,0)a b ==，，则a 在b 上的投影向量的坐标为（）A.(1,1,0)B.(1,2,0)C.(2,2,0)D.(1,1,1)【答案】C 【解析】【分析】根据投影向量的概念求解即可.【详解】向量a 在b上的投影向量为：()()21,1,02,2,0a b b bb⋅⋅⨯==，故选：C5.点()()1122,,,P x y Q x y 为直线20kx y -+=上不同的两点，则直线111:1l x x y y -=与直线222:1l x x y y -=的位置关系是（）A.相交B.平行C.重合D.不确定【答案】A 【解析】【分析】利用这两直线的斜率来结合已知条件，即可以作出判断.【详解】由点()()1122,,,P x y Q x y 为直线20kx y -+=上不同的两点，则直线111:1l x x y y -=与直线222:1l x x y y -=的斜率存在时一定为1212x x y y ，，可以把这两个斜率看成直线上两点到原点的斜率的倒数，由已知可得OP OQ k k ≠，则1212x x y y ≠，即两直线不可能平行与重合，则只能相交;若直线111:1l x x y y -=与直线222:1l x x y y -=的斜率有一个不存在，则另一个斜率必存在，也能判定两直线相交；故选：A.6.如图，平行六面体各棱长为1，且1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=︒，动点P 在该几何体内部，且满足1(1)(,R)AP xAB y AD x y AA x y =++--∈ ，则||AP的最小值为（）A.4B.3C.62D.12【答案】B 【解析】【分析】由平面向量共面定理可知：点P 在平面1BDA 内，则||AP的最小值即为点P 到平面1BDA 的距离，求出三棱锥1A A BD -为正四面体，过点A 作AH ⊥平面1BDA ，求解AH 即可得出答案.【详解】因为1(1)(,R)AP xAB y AD x y AA x y =++--∈，则()()111AP AA x AB AA y AD AA -=-+- ，即111A P xA B y A D =+ ，由平面向量共面定理可知：点P 在平面1BDA 内，则||AP的最小值即为点P 到平面1BDA 的距离，连接11,,,BD DA A B 因为平行六面体各棱长为1，且1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=︒，所以111BD DA A B ===，所以三棱锥1A A BD -为正四面体，过点A 作AH ⊥平面1BDA ，因为1A H ⊂平面1BDA ，所以AH ⊥1A H ，如图，所以1223323A H ==⨯=，所以3AH ===，所以||AP的最小值为3AH =.故选：B .7.实数,x y 满足2222x y x y +=-，则|3|x y -+的最小值为（）A.3B.7C. D.3+【答案】A 【解析】【分析】化简2222x y x y +=-可得()()22112x y -++=，|3|x y -+表示为圆上点到直线30x y -+=【详解】化简2222x y x y +=-可得()()22112x y -++=，即(),x y 在圆上，则|3|x y -+表示为圆上点到直线30x y -+=倍，圆心()1,1-到直线距离为d =则|3|x y -+的最小值为3-=.故选：A8.在棱长为2的正四面体O ABC -中，棱,OA BC 上分别存在点,M N （包含端点），直线MN 与平面ABC ，平面OBC 所成角为θ和ϕ，则sin sin θϕ+的取值范围是（）A.2,33⎡⎢⎣⎦B.2,33⎡⎢⎣⎦C.,33⎣⎦D.,33⎣⎦【答案】C 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，然后利用空间向量得到3sin sin θϕ+=最后根据,a b 范围求sin sin θϕ+的取值范围即可.【详解】如图，取ABC 的中心1O ，连接1OO ，取BC 中点F ，连接1O F ，过点1O 作1O E BC ∥交AB 于点E ，以1O 为原点，分别以111,,O E O F O O 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，因为O ABC -为正四面体，所以13O A =，13O F =，13O O =，()10,0,0O，1,,03B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,,03C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，0,0,3O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，10,0,3O O ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，1,,33OB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，1,,33OC ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，设230,3M a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，3,,03N b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，230,3a ⎡∈⎢⎣⎦，[]1,1b ∈-，则(),MN b a =，由题意得1O O uuu r可以作为平面ABC 的一个法向量，则113sin a MN O O MN O Oθ⋅==，设平面OBC 的法向量为(),,m x y z =，033033m OB x y z m OC x y z ⎧⋅=+-=⎪⎪⎨⎪⋅=-+-=⎪⎩，则0x =，令y =4z =，所以4m ⎛= ⎝⎭ ，33332sin a m MNm MNϕ--⋅==33sin sin θϕ-+=因为0,3a ⎡∈⎢⎣⎦，[]1,1b ∈-，所以[]2332,3a -+∈，[]20,1b ∈，⎤⎦，3sin sin ,33θϕ+=⎥⎣⎦.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用相似设出点M 的坐标，然后利用空间向量的方法求出线面角，最后求范围即可.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分．9.已知椭圆222:14x y C a +=的焦点分别为12,FF ，焦距为P 为椭圆C 上一点，则下列选项中正确的是（）A.椭圆C 的离心率为53B.12F PF △的周长为3C.12F PF ∠不可能是直角D.当1260F PF ∠=︒时，12F PF △的面积为3【答案】AD【解析】【分析】先确定椭圆的方程，再根据方程分析椭圆的性质.【详解】由题意，焦距为2c =⇒c =，又2<，所以椭圆焦点必在x 轴上，由245a -=3a ⇒=.所以椭圆的离心率3c e a ==，故A 正确；根据椭圆的定义，12F PF △的周长为226a c +=+，故B 错误；如图：取()0,2M 为椭圆的上顶点，则()()123,23,250MF MF ⋅=-⋅--=-<,所以12F MF ∠为钝角，所以椭圆上存在点P ，使得12F PF ∠为直角，故C 错误；如图：当1260F PF ∠=︒时，设11PF t =，22PF t =，则1222121262cos6020t t t t t t +=⎧⎨+-︒=⎩⇒12221212620t t t t t t +=⎧⎨+-=⎩⇒12163t t =，所以12121116343sin 6022323F PF S t t =︒=⨯⨯=，故D 正确.故选：AD10.已知圆221:(1)(2)9C x y a -+-=，圆2222:82120,C x y x ay a a +-+++=∈R ．则下列选项正确的是（）A.直线12C C 恒过定点(3,0)B.当圆1C 和圆2C 外切时，若,P Q 分别是圆12,C C 上的动点，则max ||10PQ =C.若圆1C 和圆2C 共有2条公切线，则43a <D.当13a =时，圆1C 与圆2C 相交弦的弦长为2【答案】ABD 【解析】【分析】根据圆的方程确定圆心，可求出直线12C C 的方程，即可判断A ；根据圆1C 和圆2C 外切求出a 的值，数形结合，可判断B ；根据两圆公切线条数判断两圆相交，列不等式求解判断C ；求出两圆的公共弦方程，即可求得两圆的公共弦长，判断D.【详解】对于A ，由圆221:(1)(2)9C x y a -+-=，圆2222:82120,C x y x ay a a +-+++=∈R ，可知()()121,2,4,C a C a -，故直线12C C 的方程为(4)y a a x +=--，即()3y a x =--，即得直线12C C 恒过定点(3,0)，A 正确；对于B ，2222:82120,C x y x ay a a +-+++=∈R 即()()222:44,C x y a a -++=∈R ，当圆1C 和圆2C 32=+，解得43a =±，当43a =时，如图示，当12,,,P C C Q 共线时,max 12||32510PQ C C =++==；同理求得当43a =-时，max ||10PQ =，B 正确；对于C ，若圆1C 和圆2C 共有2条公切线，则两圆相交，则123232C C -<<+，即15<<，解得4433a -<<，C 错误对于D ，当13a =时，两圆相交，2212:(1)(93C x y -+-=，()2221:443C x y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，将两方程相减可得公共弦方程596203x y --=，则121,3C ⎛⎫⎪⎝⎭到596203x y --=4=，则圆1C 与圆2C相交弦的弦长为2=，D 正确，故选：ABD11.埃舍尔是荷兰著名的版画家，《哈利波特》《盗梦空间》《迷宫》等影片的灵感都来源于埃舍尔的作品．通过著名的《瀑布》（图1）作品，可以感受到形状渐变、几何体组合和光学幻觉方面的魅力．画面中的两座高塔上方各有一个几何体，右塔上的几何体首次出现，后称“埃舍尔多面体”（图2），其可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造．如图4，,,,(1,2,3)n n n n A B C D n =分别为埃舍尔多面体的顶点，,(1,2,3)n n P Q n =分别为正方形边上的中点，埃舍尔多面体的可视部分是由12个四棱锥构成．为了便于理解，图5中构造了其中两个四棱锥11122A PE P E -与22131,,(1,2)n n A P E P F E F n -=分别为线段的中点．左塔上方是著名的“三立方体合体”（图3），取棱长为2的正方体ABCD A B C D -''''的中心O ，以O 为原点，,,x y z 轴均平行于正方体棱，建立如图6所示的空间直角坐标系，将正方体分别绕,,x y z 轴旋转45︒，将旋转后的三个正方体,1,2,3n n n n n n n n A B C D A B C D n ''''-=（图7，8，9）结合在一起便可得到“三立方体合体”（图10），下列有关“埃舍尔多面体”和“三立方体合体”的说法中，正确的是（）A.在图5中，1322A P E P ⊥B.在图5中，直线12Q A 与平面122A E P 所成角的正弦值为63C.在图10中，设点nA '的坐标为(),,,1,2,3n n n x y z n =，则()122239n n n n x y z =∑++=D.在图10中，若E 为线段22B C 上的动点（包含端点），则异面直线2D E 与23A A 所成角余弦值的最大值为22【答案】BCD 【解析】【分析】利用建立空间直角坐标系，结合空间向量法可以解决各个问题.【详解】对A ，在图5中，如图建系，设1231OP OP OP ===，则()10,1,1A ，()31,0,0P ，()20,1,0P ，2111,,222E ⎛⎫-⎪⎝⎭，所以()13221111,1,1,,,222A P E P ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，则()132********1,1,1,,02222222A P E P ⎛⎫⋅=--⋅-=-+=≠ ⎪⎝⎭ ，13A P 与22E P 不垂直，故A 错误；对B ，由图知：()10,0,1Q -，()21,1,0A ，()10,1,1A ，1111,,222E ⎛⎫⎪⎝⎭，()20,1,0P 则()121,1,1Q A = ，()120,0,1A P =-，22111,,222E P ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，设平面122A E P 的法向量为(),,n x y z =，则122200n A P n E P ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得01110222z x y z -=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，令1y =得，01z x ==，，即()01,1n =，，又由121212cos ,3Q A nQ A n Q A n⋅==，所以直线12Q A 与平面122A E P所成角的正弦值为3，故B 正确；对C ，在平面直角坐标系中，正方形绕中心旋转45︒，1A 坐标由()11，变为()，所以结合图形可知：点1A '的坐标为(1,0,2,点2A '的坐标为(0,1,2,-点3A '的坐标为)2,0,1,-则()()()()322211212129n n n n xy z =++=+++++=∑，故C 正确；对D ，由图知：)22,1,0A -，)22,1,0B ，(22C ,(20,2D -,)32,0,1A ,则()2301,1A A =，，由E 为线段22B C 上的动点（包含端点），则可设222C E C B λ=，[]0,1λ∈，所以())222222220,2,02,0,22,2,2D E D C C E D C C B λλλλ=+=+=+-=-，则22322322223222cos ,44221D E A A D E A A D E A A λλλλ⋅--==⋅+⋅+2t λ=，22t ∈，则()223222cos ,322121221212333t D E A A tt tt ==⎛⎫-+-+-+⎪⎝⎭，由1221,2t ⎤∈⎥⎣⎦，得2212221,32318t ⎛⎛-≥-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭即22322cos ,=211121232318333D E A A t=≤⎛⎫⨯+-+⎪⎝⎭ 所以异面直线2D E 与23A A 所成角余弦值的最大值为22，故D 正确；故选：BCD.【点睛】关键点点睛：就是针对旋转后的点的空间坐标表示，这里先通过借助平面旋转时的坐标变化关系，再来写空间旋转后的点的坐标表示，只有表示出各点坐标，再就是借助空间向量的运算就能求解各选项问题.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在空间直角坐标系中，点(2,0,0)A 为平面α外一点，点(0,1,1)B 为平面α内一点．若平面α的一个法向量为(1,1,2)-，则点A 到平面α的距离是_______．【答案】62【解析】【分析】根据条件，利用点到面的距离的向量法，即可求出结果.【详解】由题知(2,1,1)AB =-，又平面α的一个法向量为(1,1,2)n =-，所以点A 到平面α的距离为62AB n d n ⋅==，故答案为：2.13.已知点P 是直线80-+=x y 上的一个动点，过点P 作圆()()22:114C x y -+-=的两条切线，与圆切于点,M N ，则cos MPN ∠的最小值是_______．【答案】34##0.75【解析】【分析】结合切线的性质与二倍角公式可将求cos MPN ∠的最小值转化为求sin MPC ∠的最大值，结合三角函数定义与点到直线距离公式计算即可得.【详解】由题意可得PM CM ⊥、PN CN ⊥，MPC NPC ∠=∠，设MPC α∠=，则2MPN α∠=，则2cos cos 212sin MPN αα∠==-，由()()22:114C x y -+-=可得圆心为()1,1C ，半径为2r =，则2sin MC PCPC α==，又min PC ==，则()max min 2sin 4PC α===，则()22min 23cos 12sin 1244MPN α⎛⎫∠=-=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭.故答案为：34.14.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别是12(,0),(,0)F c F c -，下顶点为点()0,M b -，直线2MF 交椭圆C 于点N ，设1△MNF 的内切圆与1NF 相切于点E ，若122NE F F ==，则椭圆C 的离心率为_______，1△MNF 的内切圆半径长为_______．【答案】①.12##0.5②.5【解析】【分析】借助切线长定理与椭圆性质可得12F E FF =，从而可结合椭圆定义得到a 的值，即可得其离心率；借助余弦定理的推论可得三角形各边长，结合面积公式运用等面积法即可求取内切圆半径.【详解】设1△MNF 的内切圆与NM 、1MF 相切于点F ，G ，由切线长定理可得11F E FG =，MF MG =，NE NF =，又12MF MF a ==，则12FG FF =，故12F E FF =，由椭圆定义可知122NF NF a +=，即122222NE EF NF NE FF NF NE a ++=++==,故2a NE ==，又1222F F c ==，则12c e a ==；则2π6OMF ∠=，故12π3F MF ∠=，设1EF m =，则2422NF m m =--=-，即12NF m =+，4NM m =-，则有()()()22222111442πcos 32224m m MF MN NF MF MN m +--++-==⨯⋅⨯⨯-，计算可得45m =，则()11π24sin 235MNF S m =⨯⨯-= ，又184MNF C a == ，则11412MNF MNF S r C r =⋅= ，即有45r =，即5r =.故答案为：12；5.【点睛】关键点点睛：本题关键点一个是借助切线长定理与椭圆性质得到12F E FF =，从而可结合椭圆定义得到a 的值，第二个是借助等面积法求取内切圆半径.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、正明过程或演算步骤．15.已知直线l 经过点(4,4)A ，且点(5,0)B 到直线l 的距离为1．（1）求直线l 的方程；（2）O 为坐标原点，点C 的坐标为(6,3)-，若点P 为直线OA 上的动点，求||||PB PC +的最小值，并求出此时点P 的坐标．【答案】（1）4x =或158920x y +-=（2）10，1515,77P ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）考虑直线l 的斜率存在和不存在情况，存在时，设直线方程，根据点到直线的距离求出斜率，即得答案.（2）确定(6,3)-关于直线OA 的对称点，数形结合，利用几何意义即可求得答案.【小问1详解】由题意知直线l 经过点(4,4)A ，当直线斜率不存在时，方程为4x =，此时点(5,0)B 到直线l 的距离为1，符合题意；当直线l 斜率存在时，设方程为4(4)y k x -=-，即440kx y k --+=，则由点(5,0)B 到直线l 的距离为11=，解得158k =-，即得15604088x y --++=，即158920x y +-=，故直线l 的方程为4x =或158920x y +-=；【小问2详解】由点(4,4)A ，可得直线OA 的方程为y x =，故点(5,0)B 关于y x =的对称点为1(0,5)B ，连接1PB ，则1PB PB =，则11||||||||||10PB PC PB PC B C +=+≥==，当且仅当1,,B P C 共线时，等号成立，即||||PBPC +的最小值为10，此时1B C 的方程为53455063y x x +=+=-+-，联立y x =，解得157x y ==，即151577P ,⎛⎫ ⎪⎝⎭.16.如图，正三棱柱111ABC A B C -所有的棱长均为2，点D 在棱11A B 上，且满足11123A D A B =，点E 是棱1BB 的中点．（1）证明：//EC 平面1AC D ；（2）求直线AE 与平面1AC D 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）65【解析】【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面平行，也可利用空间向量求线面角的大小.【小问1详解】如图：取AB 的中点O ，因为三棱柱是正三棱柱且棱长为2，故以O 为原点，建立空间直角坐标系，则()1,0,0A -，()3,0C ，()13,2C ，1,0,23D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,0,1E ，所以4,0,23AD ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，113,03DC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3,1EC =--.设平面1AC D 的法向量为(),,n x y z =，由1n ADn DC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ⇒()()4,,,0,2031,,3,003x y z x y z ⎧⎛⎫⋅= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎩⇒460330x z x +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取()6n =-.因为()()16EC n ⋅=--⋅-9360=-++=，又直线EC ⊄平面1AC D ，所以//EC 平面1AC D .【小问2详解】因为()2,0,1AE =，设直线AE 与平面1AC D 所成的角为θ，则sin θcos ,n AE n AE n AE ⋅===⋅5=.17.已知圆C 的圆心在x轴上，且过(-．（1）求圆C 的方程；（2）过点(1,0)P -的直线与圆C 交于,E F 两点（点E 位于x 轴上方），在x 轴上是否存在点A ，使得当直线变化时，均有PAE PAF ∠=∠？若存在，求出点A 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）224x y +=（2）存在，且()4,0A -【解析】【分析】（1）设出圆的方程，借助代入所过点的坐标计算即可得；（2）圆问题可转化为在x 轴上是否存在点A ，使0AE AF k k +=，设出直线方程，联立曲线，借助韦达定理与斜率公式计算即可得.【小问1详解】设圆C 为()222x a y r -+=，则有()()2222212a r a r ⎧--+=⎪⎨⎪-=⎩，解得24a r =⎧⎨=⎩，故圆C 的方程为224x y +=；【小问2详解】由题意可得，直线EF 斜率不为0，故可设:1EF l x my =-，()11,E x y ，()22,F x y ，联立2214x my x y =-⎧⎨+=⎩，有()221230m y my +--=，2224121216120m m m ∆=++=+>，12221my y m +=+，12231y y m -=+，设(),0A t ，1t ≠-，由PAE PAF ∠=∠，则有0AE AF k k +=，即()()()()12211212120y x t y x t y yx t x t x t x t -+-+==----，即()1221120y x y x t y y +-+=，()()()()12211212211211y x y x t y y y my y my t y y +-+=-+--+()()()()1212222216216210111m t m m t m my y t y y m m m +--+-=-++=-==+++，即()()621240m m t m t ++=+=，则当4t =-时，0AE AF k k +=恒成立，故存在定点()4,0A -，使得当直线变化时，均有PAE PAF ∠=∠.18.如图，三棱柱111ABC A B C -中，ABC 为等边三角形，1π4B BC ∠=，平面11ABB A ⊥平面11CBB C ．（1）求证：1AC BB ⊥；（2）若12BB ==，点E 是线段AB 的中点，（i ）求平面1ECC 与平面1ACC 夹角的余弦值；（ii ）在平面11ABB A 中是否存在点P ，使得14PB PB +=且1PC PC =P 的位置；若不存在，请说明理由．【答案】（1）答案见解析（2）（i ）10；（ii ）存在，(2,0,0)P -【解析】【分析】（1）用线面垂直的判定定理证明BB 1⊥平面AOC ，后转移到线线垂直即可．（2）（i ）空间向量解题，先求出平面1ECC 与平面1ACC 的法向量，后按照夹角公式求解即可．（ii ）设假设存在(,0,)P x z ,若1PC PC =22560x z x +++=（∗）.1142PB PB BB +=>=,则根据椭圆定义知道P 的轨迹为椭圆，求出轨迹方程为：22143x z +=，整理得22334z x =-,联立（∗），解出即可【小问1详解】如图，过A 作1BB 的垂线AO ，交1BB 于O ，连接OC ，则,AO OB AO OC ⊥⊥．ABC 为等边三角形，则AB AC =，又AO AO =，则Rt Rt AOB AOC ≅ ，则BO CO =，则π4OCB ∠=，则π2COB ∠=，即11,,B B CO B B AO CO AO O ⊥⊥= ，,CO AO ⊂平面AOC ，则1BB ⊥平面AOC ，AC ⊂平面AOC ，则1AC BB ⊥．【小问2详解】（i ）由(1)可知OB ,OA ,OC 两两垂直，则可以O 为原点，建立如图所示空间坐标系O -xyz .122BB ==,点E 是线段AB 的中点，则2AB BC CA ===1OA OB OC ===．1111(0,0,1),(1,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(2,1,0),(,0,22A B C B C E --，111(2,0,0),(0,1,1),(,1,)22CC CA CE =-=-=- .设平面1ECC 法向量(,,)m x y z = ，则100m CE m CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即1102220x y z x ⎧-+=⎪⎨⎪-=⎩解得012x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，故(0,1,2)m = ；同理平面1ACC 法向量(0,1,1)n = .则cos ,2510m n m n m n ⋅==⋅ ，设平面1ECC 与平面1ACC 夹角θ,则310cos 10θ=．（ii ）平面11ABB A 中,假设存在(,0,)P x z ,若15PCPC =222215(2)1x z x z ++=--++，整理得，22560x z x +++=（∗）.1142PB PB BB +=>=,则根据椭圆定义知道P 在以1BB 为焦距的椭圆上，且1142,22PB PB a c BB +====，解得2,1,3a c b ===则P 的轨迹方程为：22143x z +=，整理得22334z x =-,与（∗）联立方程组.2222560334x z x z x ⎧+++=⎪⎨=-⎪⎩，解得120x z =-⎧⎨=⎩，22180)x z =-<（，舍去．故在平面11ABB A 中存在点P ，使得14PB PB +=且1PCPC =P 坐标为(2,0,0)-．19.在空间直角坐标系O xyz -中，己知向量(,,)u a b c = ，点()0000,,P x y z ．若直线l 以u 为方向向量且经过点0P ，则直线l 的标准式方程可表示为000(0)x x y y z z abc a b c---==≠；若平面α以u 为法向量且经过点0P ，则平面α的点法式方程可表示为()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=，一般式方程可表示为0ax by cz d +++=．（1）若平面1:210x y α+-=，平面1:210y z β-+=，直线l 为平面1α和平面1β的交线，求直线l 的单位方向向量（写出一个即可）；（2）若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为22αβγ、、，其中平面2α经过点(4,0,0),(3,1,1)-，(1,5,2)-，平面2:4y z β+=，平面:(1)(2)30mx m y m z γ+++++=，求实数m 的值；（3）若集合{}(,,)|4,4,4M x y z x y y z z x =+≤+≤+≤，记集合M 中所有点构成的几何体为S ，求几何体S 的体积和相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小．【答案】（1）212,,333⎛⎫--⎪⎝⎭（2）1m =-（3）体积为128，相邻两个面（有公共棱）所成二面角为2π3【解析】【分析】（1）记平面1α，1β的法向量为11(1,2,0),(0,2,1)αβ==-，设直线l 的方向向量(,,)l x y z = ，由直线l 为平面1α和平面1β的交线，则1l α⊥，1l β⊥ ，列出方程即可求解；（2）设2:α10ax by cz +++=，由平面2α经过点(4,0,0),(3,1,1)-，(1,5,2)-，列出方程中求得2:4x y α+=，记平面22αβγ、、的法向量为22(1,1,0),(0,1,1),(,1,2)m m m αβγ===++ ，求出2α与2β交线方向向量为()1,1,1p =- ，根据p γ⊥ ，即可求得m 的值；（3）由题可知，S 由一个边长是4的正方体和6个高为2的正四棱锥构成，即可计算出体积，设几何体S 相邻两个面（有公共棱）所成二面角为()0,πθ∈，由题得出平面EBC 和平面ECD 的法向量，根据两平面夹角的向量公式计算即可．【小问1详解】记平面1α，1β的法向量为11(1,2,0),(0,2,1)αβ==-，设直线l 的方向向量(,,)l x y z = ，因为直线l 为平面1α和平面1β的交线，所以1l α⊥，1l β⊥ ，即112020l x y l y z αβ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取2x =，则(2,1,2)l =-- ，所以直线l 的单位方向向量为212,,333⎛⎫--⎪⎝⎭．【小问2详解】设2:α10ax by cz +++=，由平面2α经过点(4,0,0),(3,1,1)-，(1,5,2)-，所以4103105210a a b c a b c +=⎧⎪+-+=⎨⎪-+++=⎩，解得14140a b c ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，即2:4x y α+=，所以记平面22αβγ、、的法向量为22(1,1,0),(0,1,1),(,1,2)m m m αβγ===++ ，与（1）同理，2α与2β确定的交线方向向量为()1,1,1p =-，所以p γ⊥ ，即()1210p m m m m γ⋅=-+++=+= ，解得1m =-．【小问3详解】由集合{}(,,)|4,4,4M x y z x y y z z x =+≤+≤+≤知，S 由一个边长是4的正方体和6个高为2的正四棱锥构成，如图所示，13224433V =⨯⨯⨯=正四棱锥，3244461283S V =⨯⨯+⨯=，设几何体S 相邻两个面（有公共棱）所成二面角为()0,πθ∈，平面:40EBC x z +-=，设平面EBC 法向量1(1,0,1)n = ，平面:40ECD y z +-=，设平面ECD 法向量2(0,1,1)n = ，所以121cos cos ,2n n θ== ，所以几何体S相邻两个面（有公共棱）所成二面角为2π3．【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是作出空间图形，求出相关法向量，利用二面角的空间向量求法即可.。
2023-2024学年浙江省杭州市高一下册开学考试数学试题(附解析)
- 1 -2023-2024学年浙江省杭州市高一下学期开学考试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本答题卡一并交回.4．测试范围：人教A 版2019必修第一册全册＋必修第二册6.1－6.3.第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列结论正确的是（ ）A ．BC ．D ．若，则{}2,3∅=Q ⊆N Z A B A ⋃=A B⊆2．在中，点D 在边AB 上，．记，则（ ）ABC 2BD DA =CA m CD n == ，CB =A ．B ．C ．D ．32m n-23m n-+32m n+ 23m n+ 3．已知不等式的解集为或，则不等式的解集为220ax bx ++>{2xx <-∣1}x >-220x bx a ++<（ ）A ．B ．C ．D ．或112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭}{211x x x <->∣或112x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭{2xx <-∣1}x >4．已知幂函数的图象过点，则下列结论正确的是（ ）()y f x =()2,4A ．的定义域是B ．在其定义域内为减函数()y f x =[)0,∞+()y f x =C ．是奇函数D ．是偶函数()y f x =()y f x =5．“实数”是“函数在上具有单调性”的（ ）1a =-()223f x x ax =+-()1,+∞A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知，则的值为（ ）π1sin 63α⎛⎫+=⎪⎝⎭5πsin 26α⎛⎫+ ⎪⎝⎭A ．B ．CD ．79-797．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）(1)2,2()log ,2a a x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩R a A ．B ．C ．D ．()0,1⎛ ⎝⎫⎪⎪⎭()1,+¥8．已知函数其中．若在区间上单调递增，则ω的0ω>()π,4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．(]0,40,13⎛⎤ ⎥⎝⎦52,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦15,0332,⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．以下四个命题，其中是真命题的有（ ）A ．命题“”的否定是“”,sin 1x x ∀∈≥-R ,sin 1x x ∃∈<-R B ．设向量的夹角的余弦值为，且，则,a b 13-1,3a b == (2)11a b b +⋅= C ．函数（且）的图象过定点()log (1)1a f x x =-+0a >1a ≠()2,1D ．若某扇形的周长为6cm ，面积为，圆心角为，则22cm (0π)αα<<1α=10．若正实数a ，b 满足，则下列选项中正确的是（ ）1a b +=A ．有最大值Bab 14C ．的最小值是10D ．14a b +122a b ->11．函数在其定义域上的图像是如图所示折线段，其中点的坐标分别为()f x ABC ,,A B C ，， ，以下说法中正确的是（ ）()1,2()1,0-()3,2-- 3 -A ．((2))2f f -=B ．为偶函数()1f x +C ．的解集为()10f x -≥[3,2][0,1]-- D ．若在上单调递减，则的取值范围为()f x []3,m -m (3,1]--第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．定义函数，则 .())5,07,0x x f x x x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩()0f f ⎡⎤=⎣⎦13．若用二分法求方程在初始区间内的近似解，则第三次取区间的中点32330x x +-=()0,1.3x =14．已知，，则．2sin cos 20ββ-+=()sin 2sin ααβ=+()tan αβ+=四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知.()()()()()()π11πsin 2πcos πcos cos 229πcos πsin 3πsin πsin 2f ααααααααα⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫----+ ⎪⎝⎭(1)化简；()f α(2)已知，求的值.()2f α=-sin cos sin cos αααα+-16．已知，，且为偶函数.()()12e 2xm xf x m -=⋅-()e e 1xaxx g x =-()g x (1)求实数的值；a(2)若方程有且只有一个实数解，求实数的取值范围.()()f xg x =m17．已知函数.()ππ2sin sin 1cos 22f x x x x x⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)求函数的单调递减区间；()f x (2)求函数在区间的最大值和最小值；()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦(3)荐在区间上恰有两个零点，求的值.()()65g x f x =-π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦()1212,x x x x <()12sin x x -18．某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等．(1)求每台电冰箱与空调的进价分别是多少；(2)现在商城准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x 台，这100台家电的销售总利润为y 元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13200元，请分析合理的方案共有多少种，并确定获利最大的方案以及最大利润；(3)实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调k （）元，若商店保持这两种家电的售价0100k <<不变，请你根据以上信息及（2）问中条件，设计出使这100台家电销售总利润最大的进货方案．19．已知()e (2)e x xf x k -=+-(1)当是奇函数时，解决以下两个问题：()f x ①求k 的值；②若关于x 的不等式对任意恒成立，求实数m 的取值2()(2)2e 100xmf x f x ----<(1,)x ∈+∞范围；(2)当是偶函数时，设，那么当n 为何值时，函数()f x 2()log ()g x f x =有零点．2()[()1][21()]h x g x n n g x n n =-+⋅+-+-- 1 -1．C【分析】由数集的概念，元素与集合，集合与集合的关系，依次判断各选项即可.【详解】对于A ，中不含有任何元素，是任何集合的子集，则，故A 错误；∅∅{}2,3∅⊆对于B ，，故B 错误；Q Q 对于C ，表示自然数集，表示整数集，则，故C 正确；N Z ⊆N Z 对于D ，，则，故D 错误.A B A ⋃=B A ⊆故选：C 2．B【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】因为点D 在边AB 上，，所以，即，2BD DA =2BD DA = ()2CD CB CA CD-=-所以．CB =3232CD CA n m -=- 23m n =-+ 故选：B ．3．C【分析】根据给定的解集求出，再解一元二次不等式即得.,a b 【详解】由不等式的解集为或，220ax bx ++>{2x x <-∣1}x >-得是方程的两个根，且，2,1--220ax bx ++=0a >因此，且，解得，2(1)b a -+-=-22(1)a -⨯-=1,3a b ==不等式化为：，解得，220x bx a ++<22310x x ++<112x -<<-所以不等式为.220x bx a ++<1{|1}2x x -<<-故选：C 4．D【分析】首先将点坐标代入得幂函数表达式进而得其定义域单调性，结合奇偶性的定义即可得解.【详解】由题意设幂函数为，则，所以，，()f x x α=()22224f α===2α=()2f x x =其定义域为全体实数，且它在内单调递增，[)0,∞+又，所以是偶函数，故ABC 错误，D 正确.()()()22f x x x f x -=-==()y f x =故选：D.5．A【分析】根据二次函数的单调性求出，再根据充分不必要条件的判定即可.1a ≥-【详解】当时，，则在上单调递增，1a =-()()222314f x x x x =--=--()f x ()1,∞+即其在上具有单调性，则正向可以推出；()1,∞+若函数在上具有单调性，()223f x x ax =+-()1,∞+则对称轴，解得，则反向无法推出；1x a =-≤1a ≥-故“实数”是“函数在上具有单调性”的充分不必要条件.1a =-()223f x x ax =+-()1,∞+故选：A.6．D 【分析】以为整体，利用诱导公式和二倍角的余弦公式运算求解.π6α+【详解】∵，225πππππ17sin 2sin 2cos 212sin 126626639αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=-+=-⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：D.7．C【分析】要使函数是减函数，须满足求不等式组的解即可.10012(1)2log 2a a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪--≥⎩【详解】若函数在上单调递减，则(1)2,2()log ,2a a x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩R 10012(1)2log 2a a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪--≥⎩，1a ≤<故选：C.【点睛】本题主要考查分段函数的单调性，考查函数的性质.8．D【分析】利用正弦函数的单调性求出单调递增区间，然后分类讨论可得.- 3 -【详解】由解得，πππ2π2π,242k x k k ω-+≤+≤+∈Z 3π2ππ2π,44k k x k ωωωω-+≤≤+∈Z 所以函数的单调递增区间为，()f x 3π2ππ2π,,44k k k ωωωω⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z 因为在区间上单调递增，所以，所以.()f x π3π,24⎛⎫ ⎪⎝⎭3πππ2422T ⎛⎫≥-= ⎪⎝⎭04ω<≤当时，由在区间上单调递增可知，得；0k =()f x π3π,24⎛⎫ ⎪⎝⎭3ππ42π3π44ωω⎧-≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩103ω<≤当时，由解得；1k =5ππ429π3π44ωω⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩332ω≤≤当时，无实数解.2k =13ππ4217π3π44ωω⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩易知，当或时不满足题意.1k ≤-2k ≥综上，ω的取值范围为.15,0332,⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦故选：D 9．ACD【分析】利用全称命题的否定可判定A ，利用平面向量的数量积公式及运算律可判定B ，利用对数函数的性质可判定C ，利用扇形的周长、面积公式可判定D.【详解】对于A ，命题“”的否定是“”正确，故A 正确；,sin 1x x ∀∈≥-R ,sin 1x x ∃∈<-R 对于B ，22(2)22cos ,a b b a b b a b a b b+⋅=⋅+=⋅+ ，故B 错误；2121337113⎛⎫=⨯⨯⨯-+=≠ ⎪⎝⎭对于C ，，故C 正确；()2log 111a x x =⇒-+=对于D ，设扇形半径，则或，r 22611422r r r r ααα+=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨==⎩⎪⎩21r α=⎧⎨=⎩又，所以成立，故D 正确.0πα<<1α=故选：ACD 10．AD【分析】利用A ；利用可判断1a b=+≥212a b a b =++≤++=B ；展开后再利用基本不等式可判断C ，由再利用指数函数1414()a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭211a b a -=->-的单调性可判断D ．【详解】对于A ，∵，且，∴，当且仅当时取到等0,0a b >>1a b +=1a b =+≥12a b ==号，∴，∴有最大值，∴选项A 正确；14ab ≤ab14对于B ，，∴2112a b a b =++=+≤++=0<+≤当且仅当时取到等号，∴B 错误；12a b ==对于C ，，14144()1459b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当即时取到等号，所以C 不正确；4b aa b +21,33b a ==对于D ，∵，∴，∴D 正确．211a b a -=->-122a b ->故选：AD.11．ACD【分析】利用函数图像逐一判断各选项即可.【详解】由图像可得，所以，A 正确；(2)1f -=((2))(1)2f f f -==由图像可得关于对称，所以关于对称，B 错误；()f x =1x -(1)f x +2x =-由图像可得即的解集为，C 正确；()10fx -≥()1f x ≥[3,2][0,1]-- 由图像可得在上单调递减，所以的取值范围为，D 正确；()f x [3,1]--m (3,1]--故选：ACD 12．49【分析】根据分段函数，结合指对数运算求解即可。
2024届浙江省杭州市西湖高中数学高一下期末考试试题含解析
2024届浙江省杭州市西湖高中数学高一下期末考试试题考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．函数2()sin 223cos 3f x x x =+-，()cos(2)2 3 (0)6g x m x m m π=--+>，若对任意1[0,]4x π∈，存在2[0,]4x π∈，使得12()()g x f x =成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．4(1,)3B ．2(,1]3C ．2[,1]3D ．4[1,]32．若0a b >>，则下列结论成立的是（ ） A ．22a b < B ．1122b a⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．a bb a+的最小值为2 D ．2a bb a+> 3．若将函数2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后，所得图象对应的函数为（ ） A ．2sin 2y x =B ．2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．2cos2y x=D ．2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭4．如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是 （ ）A ．18π- B ．4π C ．14π-D ．与a 的值有关联5．在等比数列{a n }中，若a 2，a 9是方程x 2﹣2x ﹣6＝0的两根，则a 4•a 7的值为（） A ．6B ．1C ．﹣1D ．﹣66．已知()2,1a =，()1,1b =-，则a 在b 方向上的投影为（ ） A ．22-B ．22C ．55-D ．557．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为3，线段B 1D 1上有两个动点E ，F 且EF ＝1，则当E ，F 移动时，下列结论中错误的是（ ）A ．AE ∥平面C 1BDB ．四面体ACEF 的体积不为定值C ．三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值D ．四面体ACDF 的体积为定值8．函数()()()tan 0f x x πωω=+>的图象的相邻两支截直线1y =所得的线段长为3π，则12f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是（ ） A ．0B ．33C ．1D ．39．设等差数列的前项和为，若，，则中最大的是( ).A ．B ．C ．D ．10．下列函数中，在区间(1,1)-上为减函数的是 A ．11y x=- B ．cos y x =C ．ln(1)y x =+D ．2x y -=二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
浙江杭州地区重点中学2024届数学高一下期末统考试题含解析
浙江杭州地区重点中学2024届数学高一下期末统考试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知函数()()()sin 0,0f x A x b A ωϕω=++>>的图象如图所示，则()f x 的解析式为（ ）A ．()2sin 263f x x ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭B ．()13sin 236f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭C ．()2sin 366f x x ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭D ．()2sin 363f x x ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭2．根据如下样本数据 x 345678y4.02.50.5-0.52.0-3.0-可得到的回归方程为y bx a ∧=+,则（ ） A ．0,0a b ><B ．0,0a b >>C ．0,0a b <<D ．0,0a b <>3．在明朝程大位《算法统宗》中，有这样一首歌谣，叫浮屠增级歌：远看巍巍塔七层，红光点点倍加增；共灯三百八十一，请问层三几盏灯．这首古诗描述的浮屠，现称宝塔．本浮屠增级歌意思是：有一座7层宝塔，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，宝塔中共有灯381盏，问这个宝塔第3层灯的盏数有( ) A ．12B ．24C ．48D ．964．一个球自高为6米的地方自由下落，每次着地后回弹高度为原来的13，到球停在地面上为止，球经过的路程总和为（ ）米 A ．16B ．18C ．9D ．125．为了得到函数y=sin （2x+π4）的图象，只需将函数y=sin2x 图象上所有的点( ) A ．向左平移π8个单位长度 B ．向右平移π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度6．已知直线1:20l ax y a -+=,与2:(21)0l a x ay a -++=互相垂直,则a 的值是( ) A ．0B ．0或1C ．1D ．0或1-7．如图所示，在四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，2BD =，BD CD ⊥.将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，则下列结论中正确的结论个数是（ ）①A C BD '⊥；②90BA C ∠='； ③CA '与平面A BD '所成的角为30； ④四面体A BCD '-的体积为13. A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个8．若是的重心，a ，b ，c 分别是角的对边，若3G G GC 03a b c A +B +=，则角（ ）A ．90B ．60C ．45D ．309．若直线和直线互相垂直，则( ) A ．或B ．3或1C ．或1D ．或310．已知平面向量a ，b ，c ，e ，在下列命题中：①//a b 存在唯一的实数R λ∈，使得b a λ=；②e 为单位向量，且a //e ，则a a e =±；③2a a a ⋅=；④a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线；⑤若a b b c ⋅=⋅且0b ≠，则a c =.正确命题的序号是( ) A ．①④⑤B ．②③④C ．①⑤D ．②③二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2024届浙江省杭州市高级中学高一数学第二学期期末达标检测试题含解析
2024届浙江省杭州市高级中学高一数学第二学期期末达标检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．菱形，是边靠近的一个三等分点，，则菱形面积最大值为（ ） A ．36B ．18C ．12D ．92．已知向量a ，b 满足3a b -=且(0,1)b =-，若向量a 在向量b 方向上的投影为2-，则a =（ ） A ．2B ．23C ．4D ．123．不等式组2,1,0y x y x y -+⎧⎪-⎨⎪⎩所表示的平面区域的面积为（ ）A ．1B ．12C ．13D ．144．某单位有职工160人，其中业务员有104人，管理人员32人，后勤服务人员24人，现用分层抽样法从中抽取一个容量为20的样本，则抽取管理人员( ) A ．3人 B ．4人C ．7人D ．12人5．两条直线1:1x y l a b -=和2:1x yl b a-=，22a b ≠，在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别是（ ）A ．12.5；12.5B ．13；13C ．13；12.5D ．12.5；137．已知O 是ABC ∆所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-，则ABC ∆为A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形8．为了得到函数sin(2)3y x π=+，(x ∈R )的图象，只需将sin(2)3y x π=-( x ∈R )的图象上所有的点（ ）. A ．向右平移6π个单位 B ．向左平移6π个单位 C ．向右平移3π个单位 D ．向左平移3π个单位 9．已知等差数列{}n a 的前m 项之和为30，前m 2项和为100，则它的前m 3项的和为（ ）A.130B.170C.210D.26010．在数列{}n a 中，121,64a a ==，且数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，其公比12q =-，则数列{}n a 的最大项等于（ ） A ．7aB ．8aC ．6a 或9aD ．10a二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
浙江省宁波市奉化区2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题含答案
奉化区2023学年第二学期期末试卷高一数学（答案在最后）说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分.考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卡上.第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数i z a =-的实部与虚部相等，则i z -=（）A.B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】由实部与虚部概念可得1a =-，代入计算可求出结果.【详解】易知i z a =-的实部为a ，虚部为1-，由题意可知1a =-，则i 1i i 12i z -=---=--==故选：B2.两名男生，一名女生排成一排合影，则女生站在中间的概率是（）A.13B.16C.12D.23【答案】A 【解析】【分析】由古典概型的计算公式即可求解.【详解】两名男生，一名女生记为,,a b c两名男生，一名女生排成一排可能为：,,,,,abc acb bac bca cab cba ，故总可能数6N =，女生站在中间的可能为：,acb bca ，故可能数2n =，则女生站在中间的概率2163n p N ===.故选：A.3.已知平行四边形ABCD ，()1,2B -，()2,4C ，则AC BD +=（）A.()2,2- B.()3,3 C.()4,6 D.()6,4【答案】D 【解析】【分析】由,B C 两点的坐标求得()3,2BC = ，由平行四边形的性质有2AC BD BC +=，求值即可.【详解】由()1,2B -，()2,4C ，有()3,2BC =，平行四边形ABCD 中，有AB DC =，即0AB CD +=，().26,4AC BD AB BC BC CD BC +=+++==故选：D.4.已知平面,αβ，直线l ⊂α，直线m 不在平面α上，下列说法正确的是（）A.若m β⊥，//l m ，则αβ⊥B.若//m β，//l m ，则//αβC.若//αβ，//m β，则//l mD.若αβ⊥，l m ⊥，则//m β【答案】A 【解析】【分析】运用面面垂直判定定理可判断A ，借助长方体举反例可判断BCD.【详解】对于A ，若m β⊥，//l m ，则l β⊥，且l ⊂α，则αβ⊥.故A 正确.对于B,如图所示，l ⊂α，m α⊄，//m β，//l m ，此时αβ⊥，故B 错误.对于C,如图所示，l ⊂α，m α⊄，//αβ，//m β，此时,l m 异面，故C 错误.对于D,如图所示，l ⊂α，m α⊄，αβ⊥，l m ⊥，此时m β⊂，故D 错误.故选：A ．5.某射击初学者在连续6次射击练习中所得到的环数：4,3,7,5,1,x ，该组数据的平均数与中位数相等，则x =（）A.1B.4C.7D.以上答案均有可能【答案】D 【解析】【分析】表示出数据的平均数，由中位数的定义分类讨论求解.【详解】这组数据的平均数为134572066x x++++++=，若中位数为342+，则有03342026Z x xx ≤≤⎧⎪++⎪=⎨⎪∈⎪⎩，解得1x =；若中位数为442+，则有4442026x x =⎧⎪++⎨=⎪⎩，解得4x =；若中位数为452+，则有510452026Zx xx ≤≤⎧⎪++⎪=⎨⎪∈⎪⎩，解得7x =.故选：D.6.在ABC ∆中，sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则该三角形外接圆半径R 与内切圆半径r 的比值是（）A.43B.53C.73D.83【答案】C 【解析】【分析】由正弦定理可得sin :sin :sin ::5:7:8A B C a b c ==，根据三角形正弦定理求出外接圆半径和三角形面积公式求出内切圆半径即可求解.【详解】在ABC 中，sin :sin :sin 5:7:8A B C =，由正弦定理可得sin :sin :sin ::5:7:8A B C a b c ==，设5,7,8a b c ===，由余弦定理得22222278511cos 227814b c a A bc +-+-===⨯⨯，所以sin 14A =，则22sin 5314a R R R A =⇒=⇒=，所以()11sin 22S bc A r a b c ==++，则()11785782142r r ⨯⨯⨯=⨯++⇒=所以73Rr ==，故选：C7.已知正四棱台1111ABCD A B C D -中，1114,2,AB A B AA ===，球O 与上底面1111D C B A 以及各侧棱1111,,,AA BB CC DD 均相切，则该球的表面积为（）A.28π B.24πC.20πD.16π【答案】B 【解析】【分析】作出过正四棱台的截面，再求出正四棱台的高，从而根据勾股定理求出球的半径，最后代入球的表面积公式，即可求解．【详解】设过棱台上下底面的中心以及一条侧棱作该棱台的轴截面如下图：正四棱台1111ABCD A B C D -中，4AB =，112A B =，1AA =，∴正四棱台的高为12O O ，设球O 的半径为R ，球与侧棱1AA 切于M ，则在图中11Rt A O O V 中，2222111R A O R A M +=+，则111A O A M ==，所以1AM A M ==，在图中2Rt AO O 中，222222O A OO R AM +=+，(2222)R R∴+=+，解得R =，∴球O 的表面积为24π24πR =．故选：B8.已知R a ∈，在复数范围内12,x x 是关于x 的方程220x x a -+=的两个根，则关于a 的函数()1212122920x x x x f a x x ++=-+的零点的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C 【解析】【分析】根据根与系数的关系得12122,x x x x a +=⎧⎨=⎩，进而根据方程的的虚根和实数根分类讨论，即可求解.【详解】若12,x x 是方程220x x a -+=的两个虚数根，所以12122Δ440x x x x a a +=⎧⎪=⎨⎪=-<⎩，且1211x x =+=-，则12x x ==，()1212122929010*******x x x x f a a x x ++=-=-=⇒-+=+2920±=，（满足1a >），若12,x x 是方程220x x a -+=的两个实数根，所以12122,Δ440x x x x a a +=⎧⎪=⎨⎪=-≥⎩，且1211x x ==1211x x =+=-，当01a ≤≤时，1211x x =+=-()12121229229902022010x x x x a f a a x x +++=-=-=⇒=+，当a<0时，1211x x =+=，()121212292902020x x x x f a x x ++=-=-=+，2910=2910=，t =，由于20a -≤<，所以1t <≤故函数()3g t t t =-在1t <≤单调递减，且()291210g =<，故29310t t=-在1t <≤综上可得，零点个数为3，故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.下列四个命题为真命题的是（）A.已知平面向量,,a b c ，若//a b ，//b c，则//a cB.若()1,2a =-r ，()3,6b = ，则,a b可作为平面向量的一组基底C.()1,a λ= ，()4,b λ=- ，若a b ⊥，则2λ=D.()5,0a = ，()4,3b =- ，则b 在a方向上的投影向量为()4,0-【答案】BD 【解析】【分析】对于A ：举反例说明即可；对于B ：根据向量共线的坐标表示分析可知,a b不共线，结合基底向量的定义分析判断；对于C ：根据向量垂直的坐标表示运算求解；对于D ：根据向量的坐标运算结合投影向量的定义运算求解.【详解】对于选项A ：例如()()1,0,0,0,1a b c ===，可知//a b ，//b c ，但,a c不共线，故A 错误；对于选项B ：因为1623⨯≠-⨯，可知,a b不共线，所以,a b可作为平面向量的一组基底，故B 正确；对于选项C ：若a b ⊥，则240a b λ⋅=-+=r r，解得2λ=±，故C 错误；对于选项D ：若()5,0a = ，()4,3b =- ，则20,5a b a b ⋅=-==，所以b 在a 方向上的投影向量为()244,05a b a a a ⎛⎫⋅ ⎪=-=- ⎪⎝⎭，故D 正确；故选：BD.10.给出下列说法，其中正确的是（）A.数据0,1,2,2,4,5的极差与众数之和为7B.从装有3个红球，4个白球的袋中任意摸出3个球，事件A =“至少有2个红球”，事件B =“都是白球”，则事件A 与事件B 是对立事件C.甲乙两人投篮训练，甲每次投中的概率为23，乙每次投中的概率为12，甲乙两人投篮互不影响，则甲乙各投篮一次同时投中的概率为13D.一组不完全相同数据12,,...,n x x x 的方差为2，则数据1221,21,...,21n x x x +++的方差为4【答案】AC 【解析】【分析】利用极差与众数定义可判断A ；由对立事件概念可判断B ；根据独立事件概率乘法公式计算可判断C ；由方差的概念代入计算可判断D.【详解】对于A ，数据0,1,2,2,4,5的极差为505-=，众数为2，它们的和为7，故A 正确；对于B ，事件A 包括“2个红球1个白球”和“3个红球”两个基本事件，与事件B =“都是白球”不能同时发生，可知事件A 与事件B 是互斥事件；但还有可能出现“1个红球2个白球”的情况，所以事件A 与事件B 是互斥但不对立事件，故B 错误；对于C ，由相互独立事件的乘法公式可得甲乙各投篮一次同时投中的概率为211323⨯=，故C 正确；对于D ，设数据12,,...,n x x x 的平均数为12...nx x x x n+++=，则其方差为()()()222121...2n x x x x x x n ⎡⎤-+-++-=⎣⎦，所以数据1221,21,...,21n x x x +++的平均数为122121...21221n x x x nx ny x n n+++++++===+；所以方差为()()()22212121212121...2121n x x x x x x n ⎡⎤+--++--+++--⎣⎦()()()()()()22222212121444...4...8n n x x x x x x x x x x x x n n ⎡⎤⎡⎤=-+-++-=-+-++-=⎣⎦⎣⎦，故D 错误.故选：AC11.在ABC 中，π6A =，2AB =，下列结论正确的是（）A.若AC =，则1BC = B.若BC =π4C =C.若ABC 有两解，则(1,2)BC ∈ D.若ABC 是锐角三角形，则3AC ∈⎪⎭【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，利用余弦定理求解判断，对于B ，利用正弦定理求解判断，对于C ，根据正弦定理结合图形分析判断，对于D ，由正弦定理得5π2sin 2sin 6sin sin C B AC C C⎛⎫- ⎪⎝⎭==，化简后，再求出角C 的范围，从而可求出AC 的范围.【详解】对于A ，在ABC 中，π6A =，2AB =，AC =1BC ===，所以A 正确，对于B ，在ABC 中，π6A =，2AB =，BC =，则由正弦定理得sin sin BC AB A C =，2πsin sin 6C =，得2sin 2C =，因为AB BC >，π5π66C <<，所以π4C =或3π4C =，所以B 错误，对于C ，如图，过B 作BD AC ⊥于D ，则1sin 212BD AB A ==⨯=，因为ABC 有两解，所以BD BC AB <<，即12BC <<，所以C正确，对于D ，由正弦定理得sin sin AB ACC B =，2sin sin AC C B=，所以5π2sin 2sin cos 16sin sin sin tan C B C C AC C C C C⎛⎫- ⎪+⎝⎭====+因为ABC 为锐角三角形，所以π025ππ062C C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，得ππ32C <<，所以πtan tan3C >=，所以10tan 3C <<，1tan 3C <+<3AC <<，所以D 正确.故选：ACD12.如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是线段11B D 上靠近1D 的四等分点，点N 是线段1B C 的中点，点,P Q 分别是在线段111,A C BD 上的动点，下列结论正确的是（）A.异面直线11A C 与1AB 所成角为45B.1BD ⊥平面1AB CC.三棱锥1P ACB -的体积是定值D.QM QN +【答案】BCD 【解析】【分析】由定义法求异面直线所成的角判断选项A ；利用线线垂直证明线面垂直判断选项B ；由底面积和棱锥的高计算体积判断选项C ；利用翻折到同一平面求距离和的最小值判断选项D.【详解】正方体1111ABCD A B C D -中，11AA CC =，11//AA CC ，则四边形11ACC A 为平行四边形，有11//A C AC ，异面直线11A C 与1AB 所成角等于直线AC 与1AB 所成角，正方体1111ABCD A B C D -中，1ACB 为等边三角形，所以异面直线11A C 与1AB 所成角为60 ，A 选项错误；正方体1111ABCD A B C D -中，1BB ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，1BB AC ⊥，正方形ABCD 中，有BD AC ⊥，1,BB BD ⊂平面11BDD B ，1BB BD B ⋂=，则有AC ⊥平面11BDD B ，1BD ⊂平面11BDD B ，则1AC BD ⊥，同理11⊥AB BD ，1,AC AB ⊂平面1AB C ，1AC AB A ⋂=，所以1BD ⊥平面1AB C ，B 选项正确；11//A C AC ，11A C ⊄平面1ACB ，AC ⊂平面1ACB ，则11//A C 平面1ACB ，点P 是线段11A C 上的动点，则点P 到平面1ACB 的距离为定值，1ACB 是边长为的等边三角形，面积为定值，所以三棱锥1P ACB -的体积是定值，C 选项正确；正方形11BCC B 中，点N 是线段1B C 的中点，也是线段1BC 的中点，以1BD 为轴，把11BD C △和11BD B 旋转到同一平面内，则QM QN +的最小值为MN ，由1112D C BB ==，111BC D B ==，1BD =，1111BD C BD B ≅ ，222221111111BD D C BC BB D B =+=+，平面四边形111BB D C 为矩形，N 是线段1BC 的中点，点M 是线段11B D 上靠近1D 的四等分点，设T 为11B D 的中点，则Rt MTN 中，12NT BB ==，111242MT D B ==，所以2MN ===，D 选项正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：立体图形上的距离最短问题，通过把立体图形转化为平面图形，然后再运用“两点之间，线段最短”来解决，可以利用轴对称或平移或旋转等几何图形的变换，把两条或多条线段和最短的问题转化为平面上两点之间的距离最短的问题来解决.第Ⅱ卷(非选择题共90分)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知i 12i z ⋅=-，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点的坐标为____.【答案】()2,1-【解析】【分析】由复数的除法求得z ，由共轭复数的定义可得出复数z ，再由几何意义求z 在复平面内对应的点的坐标.【详解】由i 12i z ⋅=-，得2212i i 2i 2i i iz --===--，则2i z =-+，z 在复平面内对应的点的坐标为()2,1-.故答案为：()2,1-.14.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该圆锥的体积为____.【答案】3π3【解析】【分析】根据展开图与圆锥的对应关系列方程解出圆锥的底面半径和母线长，求出圆锥的高，得出体积.【详解】设圆锥的母线长l 为2，它的侧面展开图为半圆，半圆的弧长为：2π，即圆锥的底面周长为：2π，设圆锥的底面半径是r ，高为h ，则得到2π2πr =，解得：1r =，这个圆锥的底面半径是1，所以圆锥的高h ===所以圆锥的体积为：21π33r h =.故答案为：3.15.如图，相距1l ，2l 之间是一条小路（1l ，2l 可看作两条平行直线），为测量点A 到2l 的距离h （1l ，2l 在点A 的同侧），某研究小组在2l 一侧东边选择点B ，作为测量起始位置，AB 与1l 交于点M ，从点B 出发向西走N ，测得2MN l ⊥，继续向西走6米到达点C ，AC 与1l 交于点P ，继续向西走2米到达点Q ，测得2⊥PQ l ，则h =___.【答案】【解析】【分析】根据两角差的公式，可解出()sin sin BAQ PCQ MBN ∠=∠-∠，再根据正弦定理可得出AC ，再利用直角三角形的性质求解距离h 即可.【详解】由题意知相距米的1l ，2l 之间是一条小路，所以PQ MN ==BN =，2CQ =，)661BC =-+=，所以,34PCQ MBN ππ∠=∠=，则())1sin sin sin cos cos sin 4BAC PCQ MBN PCQ MBN PCQ MBN ∠=∠-∠=∠⋅∠-∠⋅∠=，在BAC 中根据正弦定理知sin sin BC AC BACMBN=∠∠，解得12AC =，由sin hPCQ AC∠=，得到h =.故答案为：16.平面内的点、直线可以通过平面向量及其运算来表示，数学中我们经常会用到类比的方法，把平面向量推广到空间向量，利用空间向量表示空间点、直线、平面等基本元素，经过研究发现，平面向量中的加减法、数乘与数量积运算法则同样也适用于空间向量.在四棱锥P ABCD -中，已知ABCD 是平行四边形，120,2,3ABC AB BC ∠=== ，且PA ⊥面ABCD ，则向量PC 在向量BD方向上的投影向量是____(结果用BD表示).【答案】57BD【解析】【分析】运用投影向量的概念，结合数量积，基底只是求解即可.【详解】向量PC 在向量BD 方向上的投影向量为2||||||PC BD BD PC BD BD BD BD BD ⋅⋅⋅=⋅.运用运用余弦定理求得222||2cos604967BD AB AD AB AD =+-⋅︒=+-= .PC PA AC PA BC BA =+=+- ，BD BA AD BA BC =+=+ ，()()PC BD PA BC BA BA BC ⋅=+-⋅+，展开化简得到，2222PC BD PA BA PA BC BC BA BC BA BA BC PA BA PA BC BC BA ⋅=⋅+⋅+⋅+--⋅=⋅+⋅+- ，由于且PA ⊥面ABCD ，则0,0PA BA PA BC ⋅=⋅=,则225PC BD BC BA ⋅=-= .代入2||PC BD BD BD ⋅⋅，得到57BD .则向量PC 在向量BD 方向上的投影向量为57BD .故答案为：57BD.四、解答题：本题共6小题，共70分，其中第17题10分，第18—22题每题12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知平面向量,a b ，满足3,2a b == ，且a 与b 的夹角为3π.（1）求a b ⋅的值；（2）求a 与b a -夹角的余弦值.【答案】（1）3；（2）277-【解析】【分析】（1）根据数量积的定义代入计算即可得出结果；（2）由向量夹角的计算公式代入（1）中结论即可.【小问1详解】由3,2a b == 可得π1cos 32332a b a b ⋅==⨯⨯= ；即可得1a b ⋅= .【小问2详解】易知b a -== 所以()227cos ,7a b a a b a a b a a b aa b a ⋅-⋅--=====---.即可得a 与b a -夹角的余弦值为7-.18.全国中学生奥林匹克数学竞赛是由中国数学会主办的获得教育部批准的全国性赛事，相应的赛区初赛也是该项活动的一个环节.按照中国数学会有关全国中学生奥林匹克数学竞赛组委会的精神，以及浙江省科协的要求，2024年5月19日全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛如期举行.已知某中学有40人参加此次数学竞赛（满分为150分），其取得的成绩绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）求m 的值及学生成绩的第75百分位数；（2）若按照各组频率的比例采用分层随机抽样的方法从竞赛成绩在[)100,120内的学生中抽取3人参加座谈会，求成绩为107分的学生甲恰好被抽到的概率.【答案】（1）0.035m =，第75百分位数96；（2）1.2【解析】【分析】（1）利用所有小矩形面积之和为1即可求得0.035m =，根据百分位数定义计算即可得出结果；（2）由分层抽样比计算出各组抽取的人数，再由古典概型计算可得结果.【小问1详解】由题意可知()0.010.0150.0250.010.005101m +++++⨯=，解得0.035m =；易知60分到90分的人数频率之和为0.6，60分到100分的人数频率之和为0.85.所以第75百分位数位于90分到100分之间，且90分到100分之间的频率为0.25；估计第75百分位数为0.750.69010960.25-+⨯=，【小问2详解】在[)[)100,110,110,120的学生频率分别为0.1和0.05，则其人数分别为4和2，设在[)100,110中的4人为a b c d ,,,，在[)110,120中的2人为,e f ，令a 为甲，且其成绩为107.由分层随机抽样可得在[)[)100,110,110,120分别抽取2人与1人，则总共有以下12种可能：()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,e a b e a c e a d e b c e b d e c d ,()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,f a b f a c f a d f b c f b d f c d ;其中学生甲恰好被抽到的情况共有6种，所以抽到107分的学生甲的概率12P =.19.如图，已知在正三棱柱111ABC A B C -中，D 为棱AC 的中点，1AB AA =.（1）证明：1AB //面1C BD ；（2）求直线BC 与平面1C BD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）5.【解析】【分析】（1）法一：作出辅助线，构造平行四边形，得到线线平行，进而得到面面平行，证明出线面平行；法二：作出辅助线，由中位线得到线线平行，进而证明出线面平行；（2）法一：证明出线面垂直，得到1BD C D ⊥，设11AB AA ==，求出其他各边长，得到1158BDC S =，利用等体积法得到点C 到平面1C BD 的距离，进而得到直线BC 与平面1C BD 所成角的正弦值；法二：作出辅助线，证明出线面垂直，得到CBF ∠即直线BC 与平面1C BD 所成线面角的平面角，设11AB AA ==，求出各边长，得到线面角的正弦值.【小问1详解】法一：取11A C 中点M ，连接1AM B M DM，，因为1B M BD =，1DM BB =，所以四边形1B BDM 为平行四边形，所以1B M BD //.又因为1B M⊄平面1C BD ，BD ⊂平面1C BD ，所以1//B M 平面1.C BD 因为1C M 平行且等于AD ，所以四边形1ADC M 为平行四边形，所以1AM C D //.又因为AM ⊄平面1C BD ，1C D ⊂平面1C BD ，所以//AM 平面1.C BD 又因为AM ⊂平面1AB M ，1B M ⊂平面1AB M 且1AM B M M ⋂=.所以平面1//AB M 平面1C BD .因为1AB ⊂平面1AB M ，所以1AB //平面1.C BD 法二：连接1B C ，记1B C 与1BC 的交点为N ，连接DN .在1AB C V 中，1AD DC B N CN ==，，所以DN 为1AB C V 的中位线，所以1DN AB //，又因为DN ⊂平面1C BD ，1AB ⊄平面1C BD ，所以1AB //平面1C BD .【小问2详解】法一：ABC 为等边三角形，D 为AC 中点，故BD ⊥AC ，因为1CC ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以1CC ⊥BD ，因为AC ，1CC ⊂平面1C DC ，1AC CC C = ，所以BD ⊥平面1C DC ，又因为1C D ⊂平面1C DC ，所以1BD C D ⊥.设11AB AA ==，则sin 602BD AB =︒=，1cos 602CD AB =︒=，由勾股定理得12C D ===，故111122228BDC BD C D S ⨯⨯⋅===；设点C 到平面1C BD 的距离为d ，其中1111111111332322224C BCD BCD V S CC CD BD CC -=⋅=⨯⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=，又1111332458C C BD C BCD C C BDBDC V V V d S ---==⇒== .所以5sin 15d BC θ===.法二：设11AB AA ==，取1AA 的中点E ，连接CE ，交1C D 于点F ，连接BF .因为AB BC AD DC ==，，所以BD AC ⊥又因为平面ABC⊥平面11ACC A ，平面ABC ⋂平面11ACC A AC =，BD ⊂平面ABC ，所以BD ⊥平面11ACC A ，因为CE ⊂平面11ACC A ，所以BD CE ⊥，因为11,,90CD AE AC CC EAC DCC ==∠=∠=︒，所以EAC ≌1DCC △，所以1ACE CC D ∠=∠，故11190ACE FCC CC D FCC ∠+∠=∠+∠=︒，故1C D CE ⊥，又因为1C D BD D =I ，1,C D BD ⊂平面1BDC ，所以CE ⊥平面1BDC .所以CBF ∠即直线BC 与平面1C BD 所成线面角的平面角，有勾股定理得221115142C D CD C C =+=+=，故111152552CD CC CF C D ⨯⋅===，所以555sin 15CF CBF BC ∠===.20.在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，90DAB ∠= ，224AB AD DC ===，点F 是BC 边上的中点.（1）若点E 满足2DE EC =，且EF AB AD λμ=+ ，求λμ+的值；（2）若点P 是线段AF 上的动点（含端点），求AP DP ⋅的取值范围.【答案】（1）112-；（2）1,810⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）利用向量的加减运算法则，以,AB AD为基底表示出EF得出,λμ的取值可得结论；（2）法1：建立平面直角坐标系利用数量积的坐标表示即可得出AP DP ⋅的取值范围；法2：利用极化恒等式得出21AP DP PM =⋅- ，即可得出结果.【小问1详解】如下图所示：由2DE EC =可得13EC DC = ，所以111115132622122EF EC CF DC CB AB AB AD AB AD ⎛⎫=+=+=+-=- ⎪⎝⎭，又EF AB AD λμ=+，可得51,122λμ==-所以112λμ+=-；【小问2详解】法1：以点A 为坐标原点，分别以AB 为x 轴，AD 为y轴建立平面直角坐标系，则()()()()0,0,0,2,4,0,2,2A D B C ，则()3,1F ，由点P 是线段AF 上的动点（含端点），可令[],0,1AP t AF t =∈，所以()3,AP t AF t t == ，则()3,2DP AP AD t t =-=-，所以[]2102,0,1AP DP t t t ⋅=-∈ ，由二次函数性质可得当110t =时取得最小值110-；当1t =时取得最大值8；可得1,810AP DP ⎡⎤⋅∈-⎢⎥⎣⎦法2：取AD 中点M ，作MG AF ⊥垂足为G，如下图所示：则()()()2AP DP PA PD PM MA PM MD PM PM MA MD MA MD⋅=⋅=+⋅+=+⋅++⋅ 2221PM MA PM =--= 显然当点P 位于点F 时，PM 取到最大值3，当点P 位于点G 时，PM，可得1,810AP DP ⎡⎤⋅∈-⎢⎥⎣⎦21.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，1c =且()2cos a C B -=.（1）请在以下两个条件中任选一个（若两个条件都选，则按①的解答过程给分）①sin sin 2sin b B c C a A-=②cossin 2A Ca b A +=，求ABC 的面积S ；（2）求3a b -的最大值.【答案】（1）4；（2）3【解析】【分析】（1）由三角恒变换可得π6C =，若选择①利用余弦定理可得2π3B =，代入面积公式即可得结果；若选择②，由诱导公式以及二倍角公式可得结果；（2）利用正弦定理以及辅助角公式即可求得结果.【小问1详解】由1c =可得，原式可化为()2cos cos a C B -=利用正弦定理可得2sin cos cos cos A C B C C B =，即()2sin cos A C C B A =+=，又sin 0A ≠，所以cos 2A =，又()0,πA ∈，可得π6C =.选择①由sin sin 2sin b B c C a A -=利用正弦定理可得2222b c a -=，222cos 22b ac C ab +-==，解得,b a c ==；易知2221cos 22c a b B ac +-==-，所以2π3B =.选择②原式可化为πsin cos sin sin 22B A B A ⎛⎫-=⎪⎝⎭，可得sin sin 2B B =；因为0B ≠，所以π2B B +=.所以2π3B =.因此ABC的面积为111sin12024ABC S =⨯⨯⨯= .【小问2详解】由正弦定理可知121sin 2c C ==，因此2sin ,2sin a A b B ==；可得5π2sin 2sin sin 3336a b A B A A ⎛⎫-=-=-- ⎪⎝⎭πsin cos 336A A A ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭；又5π06A <<可知，当2π3A =时，πsin 6A ⎛⎫- ⎪⎝⎭取到最大值1，即3a b -有最大值322.如图，在ABC 中，π,2,42ACB AC BC ∠===，点P 满足AP PB λ= ，沿CP 将ACP △折起形成三棱锥1A PBC -.（1）若1λ=，1A 在面PBC 上的射影恰好在BC 上，求二面角1A CP B --平面角的余弦值；（2）若二面角1A CP B --为直二面角，当1A B 取到最小值时，求λ的值及点P 到平面1A BC 的距离.【答案】（1）14；（2）69【解析】【分析】（1）根据二面角定义，作出二面角的平面角并由边长求出其余弦值；（2）由直二面角性质，结合余弦定理和线面垂直的性质可得1A B 的长度表达式，结合三角函数值域可得当1A B 取到最小值时12λ=，再利用等体积法可得点P 到平面1A BC 的距离.【小问1详解】过点A 作CP 的垂线交CP 于点D ，交BC 于点H ，如下图所示：翻折后仍有1,A D CP HD CP ⊥⊥，又因为1A D HD D ⋂=，且1A D ⊂平面1A DH ，HD ⊂平面1A DH ，所以⊥CP 平面1A DH ，所以1A DH ∠为二面角1A CP B --所成的平面角.由1A 在面PBC 上的射影恰好在BC 上得1A H ⊥平面BPC ，所以11cos DH DH A DH A D AD∠==，由1λ=可知PA PC =，因为sin sinACD CAB ∠=∠=所以sinAD AC ACD =⋅∠=又易知cos cosCAH ABC ∠=∠=所以cos AC CAH AH =∠，可得AH =，所以5DH AH AD =-=；所以11cos 4DH A DH AD ∠==，即二面角1A CP B --平面角的余弦值为1.4【小问2详解】过点1A 作CP 的垂线交CP 于点G ，如下图所示：设1,2sin ,2cos ACP A G CG ααα∠===，由二面角1A CP B --为直二面角可知平面1ACP ⊥平面BPC ，平面1A CP ⋂平面BPC PC =，1A G CP ⊥，又1A G ⊄平面BPC ，CP ⊂平面BPC ，所以1A G ⊥平面BPC ，又BG ⊂平面BPC ，所以1A G BG ⊥，则有()2222cos 4πcos cos sin 2242cos BG BCG αααα+-⎛⎫∠=-== ⎪⨯⨯⎝⎭，可得224cos 16sin cos 16BG ααα=-+，又22211A B A G BG =+，所以22214sin4cos 16sin cos 16208sin 2A B ααααα=+-+=-，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；当π4α=时，1A B 取到最小值π3πsin sin πsin 4410APC A A ⎛⎫⎛⎫∠=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以sin sin AC AP APC ACP =∠∠，可得,33AP BP ==，所以1.2λ=（注：π4ACP BCP ∠=∠=，12AC BC =，由角平分线定理得12AP BP =也可）则有118sin ,23BCPA BC S BP BC CBP S =⋅⋅∠== ,11181333A BCP P A BC V V d --==⨯=⨯，解得469d =.即点P 到平面1A BC 的距离为9.【点睛】关键点点睛：本题在求解二面角问题大小时，关键是根据题意作出二面角的平面角，并结合余弦定理和三角形相似等求出结论.。
2024届杭州市高级中学 数学高一第二学期期末达标检测试题含解析
2024届杭州市高级中学 数学高一第二学期期末达标检测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知直线31ax y +=的倾斜角为30，则a =（ ）A ．33-B ．3-C ．33D ．32．已知两条直线，两个平面，给出下面四个命题： ①，；②，，；③，；④，，其中正确命题的序号是（ ）A ．①④B ．②④C ．①③D ．②③3．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若324a c C π===，则角A的大小为（ ） A ．4π或34πB ．3π或23π C ．3πD ．4π 4．已知集合A ＝{x |x 2﹣x ﹣2＜0}，B ＝{x |12log x ≥﹣1}，则A ∪B ＝（）A ．（﹣1，2）B ．（﹣1，2]C ．（0，1）D ．（0，2）5．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若cos cos sin b C c B a A +=,则角A 的值为（ ） A ．3πB ．6π C ．2π D ．23π 6．如图是一个几何体的三视图，它对应的几何体的名称是（ ）A ．棱台B ．圆台C ．圆柱D ．圆锥7．在学习等差数列时，我们由110a a d =+，21a a d =+，312a a d =+，⋯⋯，得到等差数列{}n a 的通项公式是()11n a a n d +-=，象这样由特殊到一般的推理方法叫做（）A ．不完全归纳法B ．数学归纳法C ．综合法D ．分析法8．已知函数21()cos sin 2f x x x =++，下列结论错误．．的是( ) A ．()f x 既不是奇函数也不是偶函数 B ．()f x 在[],0π-上恰有一个零点 C ．()f x 是周期函数D ．()f x 在5,26ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数 9．若函数()()sin 3R f x x x x ωω=∈，又()2f α=-，()0f β=，且αβ-的最小值为34π，则正数ω的值是（ ） A ．13 B ．32C ．43D ．2310．若(0,),(,0)22ππαβ∈∈-，13cos ,cos +43423ππβα⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,则cos 2βα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ （ ）A ．3B ．3-C ．6-D 53二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
浙江省杭州市2023-2024学年高一下学期6月教学质量检测数学试题(解析版)
2023学年第二学期杭州市高一年级教学质量检测数学试题卷考生须知：1．本试卷分试题卷和答题卡两部分.满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，必须在答题卡指定位置上用黑笔填写学校名、姓名、试场号、座位号、准考证号，并用2B 铅笔将准考证号所对应的数字涂黑.3．答案必须写在答题卡相应的位置上，写在其他地方无效.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.已知复数1i1i z +=−（i 是虚数单位，2i 1=−），则z =（）A.1B.1±C.D.【答案】A 【解析】【分析】由复数的运算得i z =，即可求解．【详解】解：1i2ii 1i2z +===−，得i z =−， 得i 1z =−=， 故选：A2.已知向量()()1,1,3,a k b k k =−=+ ，若//a b，则实数k 的值为（ ）A.3B.1− C.3或1−D.【答案】C 【解析】【分析】由向量平行列出方程，求出答案.【详解】由题意得()()130k k k −−+=，解得1k =−或3，经检验，均满足要求.故选：C3. 已知,αβ表示两个不同的平面，,,a b c 表示三条不同的直线，（ ） A. 若//,b a a α⊂，则//b αB. 若,,,a b c a c b αα⊂⊂⊥⊥，则c α⊥C. 若,,//,//a b a b ααββ⊂⊂，则//αβD. 若,//,a a b b αβ⊥⊂，则αβ⊥【答案】D 【解析】【分析】ABC 选项，可举出反例；D 选项，可由平行和垂直的性质和判定证明. 【详解】A 选项，若//,b a a α⊂，则//b α或b α⊂，A 错误； B 选项，若//b a ，不能推出c α⊥，B 错误； C 选项，若//b a ，则不能推出//αβ，C 错误； D 选项，因为,//a a b α⊥，所以b α⊥，又b β⊂，由面面垂直的判定定理，可得αβ⊥，D 正确. 故选：D4. 已知0,R a b >∈，则“a b >”是“a b >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用不等式的性质证明必要性，举反例否定充分性即可. 【详解】当2,3a b ==−时，满足a b >，但a b <，故充分性不成立，若a b >，当0b ≥时，必有a b >成立，当0b <时，必有0a b >>，故必要性成立， 故“a b >”是“a b >”的必要不充分条件，故B 正确. 故选：B5. 在ABC 中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ．若2,45,75b A C ==°=°，则=a （ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】先根据内角和求B 的值，然后再根据正弦定理求a 的值. 【详解】由题意得180457560B =°−°−°= ,由正弦定理得sin sin a bA B=,则sin sin b A a B =, 故选:B.6. 为了得到函数()sin2f x x =的图象，可以把()cos2g x x =的图象（ ）A. 向左平移π2个单位长度 B. 向右平移π2个单位长度 C. 向左平移π4个单位长度D. 向右平移π4个单位长度【答案】D 【解析】【分析】()sin2cos 22f x x x π==−，异名变同名，再由()g x 平移ϕ个单位得到()()cos 2g x x ϕ=+，两个解析式相等即可.【详解】()sin2cos 22f x x x π==−，()g x 平移ϕ个单位得到()()cos 2g x x ϕ=+ ()cos 22x ϕ+，2,242k k ϕϕ+π∴=−+πππ∴=−，ϕ的一个取值可以为4π−.∴向右平移π4个单位长度. 故选：D.7. 在某种药物实验中，规定100ml 血液中药物含量低于20mg 为“药物失效”．现测得实验动物血液中药物含量为0.8mg /ml ，若血液中药物含量会以每小时20%的速度减少，那么至少经过（ ）个小时才会“药物失效”．（参考数据：lg20.3010≈） A. 4 B. 5C. 6D. 7【答案】D 【解析】【分析】由题意得到不等式，两边取对数求出答案.【详解】物实验中，100ml 血液中药物含量为20mg 的浓度为0.2， 设至少经过t 个小时才会“药物失效”，根据题意()0.810.20.2−<t，两边取对数得1ln 0.8ln4<t ， 可得452ln 22lg 22lg 22lg 220.30102ln 2 6.20644lg 5lg 413lg 2130.3010ln lg55−−×>=−===≈≈−−−×t . 所以至少经过7个小时才会“药物失效”. 故选：D.8. 已知sin ,cos θθ是方程222sin sin 0x x αβ−⋅+=的两个实根，则cos2cos2βα=（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】C 【解析】【分析】由题意把两根代入方程得两个式子，再结合韦达定理联立两个式子化简变形即可. 【详解】sin ,cos θθ 是方程222sin sin 0x x αβ−⋅+=的两个实根，sin cos 2sin θθα∴+=，22sin 2sin sin sin θαθβ−⋅+22cos 2sin cos sin 0θαθβ−⋅+=②，①式+②式得：201sin co s s )2in (2sin βθθα−⋅+=+， 即22014sin 2sin αβ−+=，22i 24sin 12s n αβ−=−，即2cos 2cos 2αβ=，得cos 22cos 2βα=.故选：C .二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知a b >，则（ ） A. 0.10.1a b > B. 1010a b > C. 4433a b ab a b +<+D.))lnlna b −<−【答案】BD 【解析】【分析】借助函数的单调性判定A 、B 、D ；利用作差法判定C.【详解】函数0.1x y =在R 上单调递减，由a b >，得0.10.1a b <，A 错误； 函数10x y =在R 上单调递增，由a b >，得1010a b >，B 正确；()()()()()44333333a b ab a b a a b b b a a b a b +−+=−+−=−−，因为a b >，根据3y x =在R 上单调递增，所以33a b >，则0a b −>，330a b −>， 则()()330a b a b−−>，则4433ab ab a b +>+，C 错误；函数))ln lny x x =−=−，因为t x =+0x >恒成立，所以)ln y x =−为减函数，而a b >，则))ln lna b −<，D 正确.故选：BD10. 如图的“弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形．设直角三角形的两个锐角分别为,()αβαβ<，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则（ ）A. 每一个直角三角形的面积为1B. sin 2sin αβ=C. cos 2cos αβ=D. ()4cos 5αβ−=【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意，小正方形的边长为1A 正确；设直角三角形的边长分别为,a b ，求得1,2a b ==，结合三角的定义和三角恒等变换的公式，可判定C 、D 正确. 【详解】对于A 中，由小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则小正方形的边长为1且可得每个直角三角形的面积为1(51)14×−=，所以A 正确； 对于B 中，设直角三角形的边长分别为,a b （其中b a >），由112ab =，可得2ab =，则1b a −=，联立方程组，解得1,2a b ==，又因为sin αβ=，所以1sin sin 2αβ=，所以B 不正确；对于C 中，由cos αβ=cos 2cos αβ=，所以C 正确；对于D 中，由()4cos cos cos sin sin 5αβαβαβ−=+=+=，所以D 正确. 故选：ACD.11. 在平面直角坐标系xOy 中，角θ以坐标原点O 为顶点，以x 轴的非负半轴为始边，其终边经过点()(),,0P a b OP m m =≠，定义函数()a bf mθ+=，则（ ） A. π2x =是函数()y f θ=的一条对称轴B. 函数()()yf f θθ=−是周期为π的函数C. ()()22f f θθ+≤+D. 若2a b =，则()()12212f f θθ+=−− 【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意分别求出cos a m θ=，sin bmθ=，则()π4f θθ=+ ，代入法判断A ；由()()cos 2f g θθθ=−可判断B ；利用换元法令πsin cos 4t θθθ=+=+∈可对C 判断；化简()()12cos 12sin f f θθθθ+=−−，可判断D. 【详解】由题意得(),,P a b 在角θ的终边上，且()0OP m m =≠，所以cos a m θ=，sin b mθ=，则()πsin cos 4b a f m θθθθ+==++， πππ224f=+≠，所以π2x =不是函数()y f θ=的一条对称轴，A 错误；()()()()22sin cos sin cos sin cos cos 2f g θθθθθθθθθ=+−=−=−， 因为cos 2y θ=为周期为π的函数，故B 正确；()()()22sin cos sin cos f f θθθθθθ+=+++，令πsin cos 4t θθθ=+=+∈， 所以()()2221124f f t t t θθ +=+=+−，当t =时，取到最大值为2，所以()()22f f θθ+≤，故C 正确；因为2a b =，则cos 2sin θθ=， 则()()()()121sin 2cos 2121sin 2cos 2f f θθθθθθ+++=−−−−−−2212sin cos 2cos 1cos 212sin cos 12sin sin θθθθθθθθ++−==+−+，D 正确. 故选：BCD【点睛】关键点点睛：根据题意求出cos a m θ=，sin bmθ=，则()π4f θθ=+.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知集合{}{}21,2,,3A B a a ==−+．若{}1,2,4A B ∪=，则实数=a ______．【答案】1− 【解析】【分析】依据给定的并集结果，分类讨论求解参数即可.【详解】因为{}1,2,4A B ∪=，故4必定在{}2,3B a a =−+中， 当234a +=时，解得1a =或1a =−，而此时有1a −=或2a −=，解得1a =−或2a =−，故此时1a =−，当4a −=时，解得4a =−，此时{}4,19B =，不满足{}1,2,4A B ∪=，故排除， 综上1a =−，即实数a 的值为1−. 故答案为：1−13. 已知ln 1x y +=，则e x y +的最小值为______．【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用对数运算结合基本不等式求出最小值.【详解】由ln 1x y +=，得0y >，ln(e )1x y =，则e e x y =，因此e x y +≥，当且仅当e x y==时取等号，所以当1,2x y ==时，e x y +取得最小值故答案为：14. 一个呈直三棱柱的密闭容器，底面是边长为的正三角形，高为6，有一个半径为1的小球在这个容器内可以向各个方向自由滚动，则小球能接触到的容器内壁的最大面积为______．【答案】【解析】【分析】依题意得，小球能接触到的容器内壁分为两部分，即上下底面部分与侧面部分，上下底面部分是正三角形，其边长为：12tan30−×4的矩形，即可求解．【详解】解：因为直三棱柱的密闭容器的底面边长为，且为正三角形，容器的高为6，小球的半径为1，如图所示：则小球在这个容器内向各个方向自由滚动时，小球能接触到的容器内壁分为两部分，即上下底面部分与侧面部分，上下底面部分是正三角形，其边长为：12tan30−×，其面积为：2×××侧面部分是底边长为4矩形，其面积为：34××；则小球能接触到的容器内壁的最大面积为：+．故答案为：四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 设函数()21xf x x =+． （1）判断函数()f x 在区间[]1,1−上的单调性，并用定义证明结论；（2）若1,32x∈，求函数()()()22f x g x f x =的值域．【答案】（1）函数()f x 在[]1,1−上单调递增；证明见解析（2）50，241【解析】【分析】（1） 通过定义法作差判断正负求解；（2） 由()422244212()11211x x x g x f x x x ++==+=+++，由复合函数的单调性知函数()g x 在1,12上单调递增，在[]13，上单调递减，即可求解．的【小问1详解】函数()f x 在[]1,1−上单调递增； 证明：任取[]12,1,1x x ∈−，且12x x <，则()()()()()()221221121222221212111111x x x x x x f x f x x x x x +−+−=−=++++ ()()()()12122212111x x x x x x −−=++因为1211x x -≤<≤， 所以12120,10x x x x −<−>， 所以()()120f x f x −<， 得()()12f x f x <，所以函数()f x 在[]1,1−上单调递增； 【小问2详解】 解：因为()21xf x x =+， 则()2241xf x x =+，()2f x = 所以()422244212()11211x x x g x f x x x ++==+=+++，由（1）的证明过程知，函数()f x 在[1,)+∞上单调递减， 所以由复合函数的单调性可得， 函数()2f x在[]0,1上单调递增，在[1,)+∞上单调递减，所以当1,32x ∈ 时，函数()g x 在1,12上单调递增，在[]13，上单调递减， 所以()max ()112(1)2g x g f ==+=， 又()11255012()，312(9)241741g f g f=+==+=，显然25501741>，故min 50()41g x =， 所以函数()g x 的值域为：50，24116. 如图，点,P Q 分别是矩形ABCD 的边,DC BC上的点，2,AB AD==．（1）若,,01DP DC BQ BC λλλ==≤≤ ，求AP AQ ⋅ 的取值范围；（2）若P 是DC 的中点，122024,,,M M M ⋅⋅⋅依次为边AB 的2025等分点．求122024PA PM PM PM PB +++⋅⋅⋅++的值．【答案】（1）[0,7]； （2）【解析】【分析】（1）利用向量的线性运算及数量积运算计算即得. （2）取AB 的中点E . 【小问1详解】在矩形ABCD 中，,AP AD DP AD AB AQ AB BQ AD AB λλ=+=+=+=+，AD AB ⊥，即0AD AB ⋅=，所以22()()7[0,7]AP AQ AD AB AD AB AD AB λλλλλ⋅=+⋅+=+=∈【小问2详解】取AB 的中点E ，连接PE ，由122024,,,M M M ⋅⋅⋅依次为边AB 的2025等分点，PE AD ==，.得1202422023101210132PM PM PM PM PM PM PA PB PE +=+==+=+= ，所以122024|2026|||PA PM PM PM PB PE +++⋅⋅⋅++== . 17. 已知实数a<0，设函数22()cos sin2f x x a x a =+−，且π3()64f =−． （1）求实数a ，并写出()f x 的单调递减区间； （2）若0x 为函数()f x 的一个零点，求0cos2x ．【答案】（1）a =，ππ[π,π](Z)63k k k −++∈；（2【解析】【分析】（1）代入求出a 值，再利用二倍角的余弦公式、辅助角公式化简，利用正弦函数的性质求出单调减区间.（2）利用函数零点的意义，结合和角的余弦公式求解即得. 【小问1详解】函数22()cos sin2f x x a x a =+−，由π3()64f =−，得23344a a −=−，而a<0，则a =，1+cos 3π1()sin(2)24642x f x x x =−=−−−，由πππ2π22π,Z 262k x k k −+≤−≤+∈，得ππππ,Z 63k x k k −+≤≤+∈，所以()f x 的单调递减区间是ππ[π,π](Z)63k k k −++∈.【小问2详解】由（1）知，0π1sin(2)64x −=−，0πcos(2)6x −，所以0000ππππππcos2(2)]cos(2)cos sin(2)sin 666666cos[x x x x −+=−==−−. 18. 在三棱锥A BCD −中，9AB =，其余各棱的长均为6，点E 在棱AC 上，2AE EC =，过点E 的平面与直线CD 垂直，且与,BC CD 分别交于点,F G ．（1）求线段FG 的长度；（2）求二面角A CD B −−的余弦值； （3）求点C 到平面DEF 的距离．【答案】（1； （2）12−；（3. 【解析】【分析】（1）利用线面垂直的性质，结合正三角形、直角三角形求解即得.（2）取CD 的中点M ，确定二面角A CD B −−的平面角，再利用余弦定理求解即得. （3）利用等体积法求出点C DEF 的距离. 【小问1详解】依题意，直线CD ⊥平面EFG ，而,EG FG ⊂平面EFG ，则,CD EG CD FG ⊥⊥，由2AE EC =，得2EC =，由ACD 为正三角形，得60ECG ∠= ，则1EG CG =，又BCD △为正三角形，即60DCB ∠= ，因此tan 60FG CG == .【小问2详解】取CD 的中点M ，连接,AM BM ，则有,AM CD BM CD ⊥⊥，因此AMB ∠是二面角A CD B −−平面角，显然AM BM ==由余弦定理得2221cos 22AM BM AB AMB AM BM +−∠==−⋅，所以二面角A CD B −−的余弦值12−. 【小问3详解】由（2）知，CD ⊥平面AMB ，而CD ⊂平面BCD ，则平面AMB ⊥平面BCD ， 在平面AMB 内过点A 作AH BM ⊥于H ，又平面AMB ∩平面BCD BM =， 于是AH ⊥平面BCD，π9sin 32AH AM AMH =∠==， 则点E 到平面BCD 距离1332dAH =， 由（1）知CDF的面积12CDF S CD FG =⋅=，DF =，DE =，显然12,3CF CE CF CB CA===， 则//EF AB ，133EF AB ==，在DEF中，12cos EF DEF DE ∠==sin DEF ∠DEF的面积132DEF S =×=， 设点C 到平面DEF 的距离为h ，由C DEF E CDF V V −−=，得1133DEF CDF S h S d ⋅=⋅ ，因此CDF DEF S d hS ⋅= 所以点C 到平面DEF【点睛】方法点睛：求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．19. 已知函数(),(),()f x g x h x 的定义域均为R ．定义：①若存在n 个互不相同的实数12,,,n x x x ，使得(())(())(1,2,3,,)i i f g x h f x in ==⋅⋅⋅，则称()g x 与()h x 关于()f x “n 维交换”；②若对任意x ∈R ，恒有(())(())f g x h f x =，则称()g x 与()h x 关于()f x “任意交换”．（1）判断函数()1g x x =+与()1h x x =−是否关于2()f x x =“n 维交换”，并说明理由；的（2）设22()(2)(0),()1f x a x a g x x bx =+≠=+−，若存在函数()h x ，使得()g x 与()h x 关于()f x “任意交换”，求b 的值；（3）设2221,0()2,()0,01,0x x g x k x x h x x x x +>=−==−<，若()g x 与()h x 关于()f x x =“3维交换”，求实数k 的值．【答案】（1）()g x 与()h x 关于()f x “1维交换”，理由见解析； （2）0； （3）k =【解析】【分析】（1）由“n 维交换”定义，列出方程并求解即可判断.（2）由()g x 与()h x 关于()f x “任意交换”的定义，列出关系等式，由等式的特征设出()h x ，借助恒恒等式求解即得.（3）根据给定条件可得()(())(())()()F x f g x h f x g x h x =−=−，再按0,0k k ≤>讨论分段函数零点即可得解.【小问1详解】函数()g x 与()h x 关于()f x “1维交换，理由如下：显然22(())(1),(())1f g x x h f x x =+=−，令(())(())f g x h f x =，即22(1)1x x +=−， 解得=1x −，因此(())(())f g x h f x =有唯一解=1x −， 所以()g x 与()h x 关于()f x “1维交换” 【小问2详解】依题意，对任意x ∈R ，恒有(())(())f g x h f x =成立，即对任意x ∈R ，存在函数()h x ，2221)2]((2))[(x bx h a a x +−+=+， 显然等式左边是关于x 的4次多项式，则设2()h x px qx r ++，于是4322242222(2)23(4)42ax abx a b x abx a pa x pa qa x pa qa r ++−−+=+++++， 的.由奇次项系数得20ab =，又0a ≠，则0b =，22242423pa a pa qa a pa qa r a = +=− ++= ，解得1611p a q r a = =− =， 因此存在21()611h x x x a a=−+，使得()g x 与()h x 关于()f x “任意交换”，所以0b =. 【小问3详解】令()(())(())()()F x f g x h f x g x h x =−=−，依题意，函数()F x 在R 上有3个零点， 显然(0)(0)0g h ==，即0x =是函数()F x 的零点， 当0k ≤时，若0x >，则()0,()1g x h x ≤>，()0<F x ，即函数()F x 在0x >时无零点， 若0x <，则222()(2)1(1)21F x k x x x k x kx −−+−−+在(,0)−∞上单调递增，(1)30,(0)10F k F −=<=>，函数()F x 在0x <时只有1个零点，不符合题意，因此0k >，①当2x >时，222()(2)1(1)21F x k x x x k x kx −−−−−−， 显然函数2(1)21y k x kx =−−−的图象恒过点(0,1),(2,5)−−，则当1k >时，函数2(1)21y k x kx =−−−的图象开口向上，()F x 在2x >时仅只一个零点， 当01k <≤时，2(1)210k x kx −−−<，()F x 在2x >时没有零点， ②当02x <≤时，222()(2)1(1)21F x k x x x k x kx =−+−−=−−+−， 显然函数2(1)21y k x kx =−−+−的图象恒过点(0,1),(2,5)−−，24(1)k k ∆=−−，当k =Δ0=时，()F x 在02x <≤时仅只一个零点，当k >，即0∆>时，()F x 在02x <≤时有2个零点，当0k <<Δ0<时，()F x 在02x <≤时没有零点， ③当0x <时，222()(2)1(1)21F x k x x x k x kx −−+−−+， 显然函数2(1)21y k x kx =−−+的图象恒过点(0,1),(2,3)−，当1k ≥时，()F x 在0x <时无零点，当01k <<时，()F x 在0x <时有1个零点，综上所述，当k =()F x 有3个零点，所以当()g x 与()h x 关于()f x x =“3维交换”时，k =【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.。
2024年浙教新版高一数学下册月考试卷含答案
2024年浙教新版高一数学下册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______ 姓名：______ 班级：______ 考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、若直线与圆相交于两点，且（其中为原点），则的值为（）A. 或B.C. 或D.2、一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人．现用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的男运动员有8人，则抽取的女运动员人数为（）A. 12B. 10C. 8D. 63、下列各命题中，假命题的是（）A. “度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B. 一度的角是周角的一弧度的角是周角的D. 不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们都与圆的半径长短有关4、【题文】设集合则＝（）A.B.C.D.5、【题文】函数y＝x2＋1的图象与直线y＝x相切，则＝ ( )A.B.C.D. 16、【题文】[2014·沈阳模拟]若一根蜡烛长20 cm；点燃后每小时燃烧5 cm，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系用图象表示为()7、已知α；β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出了下列命题：①若m⊥α；m⊂β，则α⊥β；②若m⊥n；m⊥α，则n∥α；③若m∥α；α⊥β，则m⊥β；④若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α，n∥β（）A. ②④B. ①②④C. ①④D. ①③评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)8、的值是____．9、已知a,b为正实数，且则的最小值为____10、给出下列命题：（1）函数有无数个零点；（2）若关于的方程有解，则实数的取值范围是（3）把函数的图象沿轴方向向左平移个单位后，得到的函数解析式可以表示成（4）函数的值域是（5）已知函数若存在实数使得对任意的实数都有成立，则的最小值为其中正确的命题有个。
11、【题文】如图，设边长为1的正方形纸片，以为圆心，为半径画圆弧裁剪的扇形围成一个圆锥的侧面，余下的部分裁剪出它的底面．当圆锥的侧面积最大时，圆锥底面的半径____ ．12、【题文】用“>”或“<”填空：若>1，则a_________1;若()m<(0.125)n,则m_________n;若1.7a<1.7b,则a_________b.在数列({a_{n}})中，(a_{1}+2a_{2}++2^{2}a_{3}+ 2^{n-1}a_{n}=(n⋅2^{n}-2^{n}+1)t)对任意(n∈N^{*})成立，其中常数(t > 0.)若关于(n)的不等式( dfrac {1}{a_{2}}+ dfrac {1}{a_{4}}+ dfrac {1}{a_{8}}+ + dfrac {1}{a_{2^{n}}} > dfrac {m}{a_{1}})的解集为({n|ngeqslant 4,n∈N^{*}}) 则实数(m)的取值范围是 ______ ．评卷人得分三、证明题(共5题，共10分)14、如图；已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求证：（1）AD=AE（2）PC•CE=PA•BE．15、如图；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．求证：（1）∠CFD=∠CAD；（2）EG＜EF．16、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．17、已知D是锐角△ABC外接圆劣弧的中点；弦AD与边BC相交于点E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：（1）EC：CB的值；（2）cosC的值；（3）tan的值．18、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．评卷人得分四、计算题(共4题，共8分)19、△ABC中，AB=AC=5厘米，BC=8厘米，⊙O分别切BC、AB、AC于D、E、F，那么⊙O半径为____厘米．20、函数中自变量x的取值范围是____．21、在平面直角坐标系中，有A（3，-2），B（4，2）两点，现另取一点C（1，n），当n=____时，AC+BC的值最小．22、x，y，z为正实数，且满足xyz=1，x+=5，y+=29，则z+的值为____．评卷人得分五、作图题(共4题，共36分)23、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．24、作出下列函数图象：y=25、请画出如图几何体的三视图．26、已知简单组合体如图；试画出它的三视图（尺寸不做严格要求）评卷人得分六、解答题(共1题，共7分)27、在△ABC中，已知边又知求边的长．参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、A【分析】【解析】试题分析：圆的圆心半径是等腰三角形，腰长为1，所以弦长底边上的高即圆心到直线的距离为考点：直线与圆相交的弦长问题【解析】【答案】A2、D【分析】试题分析：先确定抽取的比例所以抽取女运动员的人数为考点：分层抽样。