系统机械能守恒定律专题

系统的机械能守恒定律专题

由两个或两个以上的物体所构成的系统，其机械能能否守恒，就看除了重

力、弹力以外，系统内的各个物体所遇到的各个力做功之和能否为零，为零，

则系统的机械能守恒；做正功，系统的机械能就增添，做做多少正功，系统的

机械能就增添多少；做负功，系统的机械能就减少，做多少负功，系统的机械

能就减少多少。

系统间的互相作使劲分为三类：

1、刚体产生的弹力：比方轻绳的弹力，斜面的弹力，轻杆产生的弹力等

2、弹簧产生的弹力：系统中包含有弹簧，弹簧的弹力在整个过程中做功，弹

性势能参加机械能的变换。

3、其余力做功：比方炸药爆炸产生的冲击力，摩擦力对系统对功等。

在前两种状况中，轻绳的拉力，斜面的弹力，轻杆产生的弹力做功，使机械能

在互相作用的两物体间进行等量的转移，系统的机械能仍是守恒的。固然弹簧的弹力也做功，但包含弹性势能在内的机械能也守恒。但在第三种状况下，因为其它形式的能参加了机械能的变换，系统的机械能就不再守恒了。

概括起来，系统的机械能守恒问题有以下四个题型：

（1）轻绳连体类

（2）轻杆连体类

（3）在水平面上能够自由挪动的圆滑圆弧类。

（4）悬点在水平面上能够自由挪动的摇动类。

（1）轻绳连体类

这一类题目，系统除重力以外的其余力对系统不做功，系统内部的互相作用力是轻绳的拉力，而拉力不过使系统内部的机械能在互相作用的两个物体之间进

行等量的变换，并无其余形式的能参加机械能的变换，所以系统的机械能守恒。

例：如图，倾角为的圆滑斜面上有一质量为M 的物体，经过一根越过定滑轮的细绳与质量为m 的物体相连，开始时两物体

均处于静止状态，且m 离地面的高度为 h，求

它们开始运动后m 着地时的速度？

剖析：对 M 、m 和细绳所构成的系统，遇到外

界四个力的作用。它们分别是：M 所受的重力

Mg，m 所受的重力 mg，斜面对 M 的支持力 N，滑轮对细绳的作使劲F。

M、 m 的重力做功不会改变系统的机械能，支持力N 垂直于 M 的运动方向对系统不做功，滑轮对细绳的作使劲因为作用点没有位移也对系统不做功，所以知足系统机械能守恒的外面条件，系统内部的互相作使劲是细绳的拉力，拉力做功只好使机械能在系统内部进行等量的变换也不会改变系统的机械能，故知足系统机械能守恒的外面条件。

在能量转变中， m 的重力势能减小，动能增添， M 的重力势能和动能都增添，

用机械能的减少许等于增添量是解决为一类题的重点

mgh Mgh sin1Mv 21mv 2可得 v2gh(m M sin )

22M m

需要提示的是，这一类的题目常常需要利用绳连物体的速度关系来确立两个

物体的速度关系

例：如图，圆滑斜面的倾角为，竖直的光

滑细杆到定滑轮的距离为a，斜面上的物体 M

和穿过细杆的 m 经过越过定滑轮的轻绳相连，

开始保持两物体静止，连结 m 的轻绳处于水平

状态，松手后两物体从静止开始运动，求m下

降 b 时两物体的速度大小？

（ 2）轻杆连体类

这一类题目，系统除重力以外的其余力对系统不做功，物体的重力做功不会

改变系统的机械能，系统内部的互相作使劲是轻杆的弹力，而弹力不过使系统内部的机械能在互相作用的两个物体之间进行等量的变换，并无其余形式的能参加机械能的变换，所以系统的机械能守恒。

例：如图，质量均为 m 的两个小球固定在轻杆的端，轻杆可绕水平转轴在竖

直平面内自由转动，两小球到轴的距离分别为L、2L，开始杆处于水沉静止状态，松手后两球开始

运动，求杆转动到竖直状态时，两球的速度大小

剖析：由轻杆和两个小球所构成的系统遇到

外界三个力的作用，即 A 球遇到的重力、 B 球遇到的重力、轴对杆的作使劲。两球遇到的重力做功不会改变系统的机械能，轴对杆的作使劲因为作用点没有位移而对系统不做功，所以知足系统机械能守恒的外面条件，系统内部的互相作用

力是轻杆的弹力，弹力对 A 球做负功，对 B 球做正功，但这类做功不过使机械能在系统内部进行等量的变换也不会改变系统的机械能，故知足系统机械能守恒的外面条件。

在整个机械能中间，只有 A 的重力势能减小， A 球的动能以及 B 球的动能和重力势能都增添，我们让减少的机械能等于增添的机械能。有：

依据同轴转动，角速度相等可知

v A2v B所以：v A 2 2 gL v B

5

2 gL

5

需要重申的是，这一类的题目要依据同轴转动，角速度相等来确立两球之间的速度关系

（ 3）在水平面上能够自由挪动的圆滑圆弧类。

圆滑的圆弧放在圆滑的水平面上，不受任何水平外力的作用，物体在圆滑的圆

弧上滑动，这一类的题目，也切合系统机械能守恒的外面条件和内部条件，下边用详细的例子来说明

例：四分之一圆弧轨道的半径为R，质量为 M ，

放在圆滑的水平川面上，一质量为m 的球（不

计体积）从圆滑圆弧轨道的顶端从静止滑下，

求小球滑离轨道时二者的速度？

剖析：由圆弧和小球构成的系统遇到三个

力作用，分别是M、m 遇到的重力和地面的支

持力。m 的重力做正功，但不改变系统的机械能，支持力的作用点在竖直方向上没有位移，也对系统不做功，所以知足系统机械能守恒的外面条件，系统内部的互相作使劲是圆弧和球之间的弹力，弹力对 m 做负功，对 M 做正功，但这类做功不过使机械能在系统内部进行等量的变换，不会改变系统的机械能，故知足系统机械能守恒的外面条件。

在整个机械能中间，只有 m 的重力势能减小， m 的动能以及 M 球的动能都增添，我们让减少的机械能等于增添的机械能。有：

依据动量守恒定律知0 mv m Mv M

所以：

v m m

2gR

v M M

2gR

M ( M m)M ( M m)

（ 4）悬点在水平面上能够自由挪动的摇动类。

悬挂小球的细绳系在一个不受任何水平外力的物体上，当小球摇动时，物体能在

水平面内自由挪动，这一类的题目和在水平面内自由挪动的圆滑圆弧类形异而质同，相同切合系统机械能守恒的外面条件和内部条件，下边用详细的例子来说明例：质

量为 M 的小车放在圆滑的天轨上，长为 L

的轻绳一端系在小车上另一端拴一质量为m 的金

属球，将小球拉开至轻绳处于水平状态由静止释

放。求（ 1）小球摇动到最低点时二者的速度？（ 2）

此时小球受细绳的拉力是多少？

剖析：由小车和小球构成的系统遇到三个力作用，

分别是小车、小球所遇到的重力和天轨的支持力。

小球的重力做正功，但重力做功不会改变系统的机械能，天轨的支持力，因为作

用点在竖直方向上没有位移，也对系统不做功，所以知足系统机械能守恒的外面

条件，系统内部的互相作使劲是小车和小球之间轻绳的拉力，该拉力对小球做负功，使小球的机械能减少，对小车做正功，使小车的机械能增添，但这类做功只

是使机械能在系统内部进行等量的变换，不会改变系统的机械能，故知足系统机

械能守恒的外面条件。

在整个机械能中间，只有小球的重力势能减小，小

球的动能以及小车的动能都增添，我们让减少的机

械能等于增添的机械能。有：

依据动量守恒定律知 0 mv m Mv M

所以：

2gL 2 gL

v m m v M M

M ( M m)M ( M m)

当小球运动到最低点时，遇到竖直向上的拉力T 和重力作用，依据向心力的公式

mv 2

T mg

但要注意，公式中的 v 是 m 相关于悬点的速度，这一点是特别

L

重要的

T mg

m(v m

v M ) 2

3M 2m

L

解得： T mg

M

稳固练习

1、

如下图，质量相等的甲、乙两小球从一圆滑直角斜面的顶端同时由静止开释，甲小球沿斜面下滑经过 a 点，乙小球竖直着落经过 b

点， a 、 b 两点在同一水平面上，不计空气阻力，以下说

法中正确的选项是 ( )

A ．甲小球在 a 点的速率等于乙小球在 b 点的速率

B ．甲小球到达 a 点的时间等于乙小球到达

b 点的时间

C ．甲小球在 a 点的机械能等于乙小球在 b 点的机械能 (相对同一个零势能参照面 )

D ．甲小球在 a 点时重力的功率等于乙小球在

b 点时重力的功率

分析：由机械能守恒得两小球到达 a 、b 两处的速度大小相等， A 、C 正确；设斜面的倾角为 α，甲小球在斜面上运动的加快度为 a ＝gsin α，乙小球着落

v

的加快度为 a ＝g ，由 t ＝a 可知 t 甲 ＞t 乙 ，B 错误；甲小球在 a 点时重力的功率

P 甲 ＝mgvsin α，乙小球在 b 点时重力的功率 P 乙＝ mgv ，D 错误．

答案： AC 2．

图 5－3－16

一根质量为 M 的链条一半放在圆滑的水平桌面上，另一半挂在桌边，如图 5 －3－16(a)所示．将链条由静止开释，链条刚走开桌面时的速度为 v 1 若在链

.

条两头各系一个质量均为 m 的小球，把链条一半和一个小球放在圆滑的水平

桌面上，另一半和另一个小球挂在桌边，如图

5－3－16(b)所示．再次将链条 由静止开释，链条刚走开桌面时的速度为 v 2，以下判断中正确的选项是

( )

A ．若 M ＝2m ，则 v ＝v 2

B ．若 M ＞2m ，则 v ＜v 2

1 1

C ．若 M ＜2m ，则 v ＞v

2D ．无论 M 和 m 大小关系怎样，均有 v ＞ v

2

1

1

答案： D

3.

图 5－3－17

在奥运竞赛项目中，高台跳水是我国运动员的强处．质量为 m 的跳水运动员

进入水中后遇到水的阻力而做减速运动，设水对他的阻力大小恒为 F ，那么在他减速降落高度为 h 的过程中，以下说法正确的选项是 (g 为当地的重力加快 度)( )

A ．他的动能减少了 Fh

B ．他的重力势能增添了 mgh

C ．他的机械能减少了 (F －mg)h

D ．他的机械能减少了 Fh 分析：由动能定理，

E k ＝－ ，动能减少了－ ， A 选项不正确；

mgh Fh Fh mgh

他的重力势能减少了 mgh ，B 选项错误；他的机械能减少了 E ＝Fh ，C 选项 错误， D 选项正确．

答案： D

4．

图 5－3－18

如图 5－3－18 所示，静止放在水平桌面上的纸带， 其上有一质量为 m ＝0.1 kg 的铁块，它与纸带右端的距离为 L ＝0.5 m ，铁块与纸带间、纸带与桌面间动摩擦因数均为 μ＝0.1.现使劲 F 水平向左将纸带从铁块下抽出， 当纸带所有抽

出时铁块恰巧到达桌面边沿，铁块抛出后落地址离抛出点的水平距离为 s ＝ 0.8 m ．已知 g ＝10 m/s 2，桌面高度为 H ＝ 0.8 m ，不计纸带质量，不计铁块大小，铁块不转动．求：

(1)铁块抛出时速度大小；

(2)纸带从铁块下抽出所用时间

t 1；(3)纸带抽出过程

产生的内能

E.

分析： (1)水平方向：

s ＝vt ①

竖直方向：

1 2

H ＝2gt ②

由①② 联立解得：

v

＝2 m/s.

(2)设铁块的加快度为 a 1，由牛顿第二定律，得 μ mg ＝ ma 1③ 纸带抽出时，铁块的速度 v ＝a 1t 1④

③④ 联立解得 t 1＝ 2 s.

(3) 铁块的位移 1

＝ 1 2 2

；由 1

1⑤ 设纸带的位移为

题意知， s 2－ 1

s 2a t s

＝ ⑥

s L

由功能关系可得 E ＝ μmgs ＋μ mg(s －s )⑦

由③④⑤⑥⑦ 联立解得 E ＝

2 2

1

J.

答案： (1)2 m/s (2)2 s (3)0.3 J

5.

图 5－3－19

如图 5－3－19 所示为某同学设计的节能运输系统．斜面轨道的倾角为 37°，木

箱与轨道之间的动摩擦因数 μ＝ 0.25.设计要求：木箱在轨道顶端时，自动装货装置将质量 m ＝2 kg 的货物装入木箱， 木箱载着货物沿轨道无初速滑下，当轻弹簧被压缩至最短时，自动装货装置马上将货物御下，而后木箱恰巧被

弹回到轨道顶端， 接着再重复上述过程． 若 g 取 10 m/s 2，sin 37 ＝°，cos 37 °

＝ 0.8.求：

(1) 走开弹簧后，木箱沿轨道上滑的过程中的加快度大小；

(2)知足设计要求的木箱质量．

分析：(1)设木箱质量为 m ′ ，对木箱的上滑过程， 由牛顿第二定律有： m ′gsin 37°＋μm ′gcos 37 ＝°m ′a

代入数据解得： a ＝8 m/s 2.

(2)设木箱沿轨道下滑的最大距离为 L ，弹簧被压缩至最短时的弹性势能为 E p ，依据能量守恒定律： 货物和木箱下滑过程中有： (m ′＋m)gsin 37 L °＝μ(m ′＋

m)gcos 37 L °＋E p 木箱上滑过程中有

联立代入数据解得： m ′＝ m ＝ 2 kg.

E p ＝ m ′gsin 37 L °＋μm′gcos 37 L °

答案： (1)8 m/s 2 (2)2 kg

图 5－3－20

1.如图 5－3－20 所示，一个质量为 m 的小铁块沿半径为 缘故静止滑下，到半圆底部时，轨道所受压力为铁块重力的 铁块损失的机械能为 ( )

R 的固定半圆轨道上面

1.5 倍，则此过程中

1

A. 8mgR

1

1

3

v 2

分析：设铁块在圆轨道底部的速度为

v ，则－mg ＝m R ，由能量守恒有：

mgR － E ＝

1

2

mv 2，所以 E ＝ 34mgR.

答案： D

2.

图 5－3－21

如图 5－3－21 所示，斜面置于圆滑水平川面上， 其圆滑斜面上有一物体由静

止下滑，在物体下滑过程中，以下说法正确的选项是 ( )

A ．物体的重力势能减少，动能增添

B ．斜面的机械能不变

C ．斜面对物体的作使劲垂直于接触面，不对物体做功

D ．物体和斜面构成的系统机械能守恒

分析：物体下滑过程中，因为物体与斜面互相间有垂直于斜面的作使劲，使斜面加快运动，斜面的动能增添；物体沿斜面下滑时，既沿斜面向下运动，

又随斜面向右运动， 其合速度方向与弹力方向不垂直， 且夹角大于 90°，所以物体战胜互相作使劲做功，物体的机械能减少，但动能增添，重力势能减少，

故 A 项正确， B 、C 项错误．对物体与斜面构成的系统内，只有动能和重力势能之间的转变，故系统机械能守恒， D 项正确．

答案： AD

3.

图 5－3－22

如图 5－3－22 所示，一根超越圆滑定滑轮的轻绳，两头各有一杂技演员 (可视为质点 )，演员 a 站于地面，演员 b 从图示的地点由静止开始向下摆，运动

过程中绳一直处于挺直状态，当演员 b 摆至最低点时，演员 a 恰巧对地面无 压力，则演员 a 与演员 b 质量之比为 () A ．1∶1B ．2∶1 C ．3∶1 D ．4∶1

b 着落至最低点时的速度大小为

v. 1 2 分析：由机械能守恒定律求出演员

2mv

2

＝mgl(1－cos 60 °)， v 2＝2gl(1－cos 60 °)＝ gl.此时绳的拉力为

T ＝ mg ＋m v

＝

l

答案： B

4.

图 5－3－23

如图 5－3－23 所示，一很长的、不行伸长的柔嫩轻绳越过圆滑定滑轮，绳两

端各系一小球 a 和 b.a 球质量为 m ，静置于地面； b 球质量为 3m ，用手托住，高度为 h ，此时轻绳恰巧拉紧．从静止开始开释 b 后，a 可能达到的最大高度

为( )

A ．h

B ．

C ．2h

D ．

分析：考察机械能守恒定律． 在 b 球落地前， a 、b 球构成的系统机械能守恒，

且 a 、 b 两球速度大小相等，依据机械能守恒定律可知：

1

3mgh －mgh ＝2(m ＋

3m)v 2，v ＝ gh ，b 球落地时， a 球高度为 h ，以后 a 球向上做竖直上抛运动，

在这个过程中机械能守恒， 1 2 2mv ＝mg h ， v 2 h

h ＝2g ＝ 2，所以

a 球可能达到的

最大高度为， B 项正确．

答案： B

5.

图 5－3－24

如图 5－3－24 所示，在动摩擦因数为 0.2 的水平面上有一质量为 3 kg 的物体

被一个劲度系数为 120 N/m 的压缩轻质弹簧忽然弹开，物体走开弹簧后在水 2

平面上持续滑行了 1.3 m 才停下来，以下说法正确的选项是 (g 取 10 m/s )(

)

A ．物体开始运动时弹簧的弹性势能 E p ＝ 7.8 J

B ．B ．物体的最大动能为 7.8 J

C ．当弹簧恢还原长时物体的速度最大

D ．当物体速度最大时弹簧的压缩量为 x ＝0.05 m

分析：物体走开弹簧后的动能设为 E k，由功能关系可得： E k＝μ mgx1＝7.8 J，设弹簧开始的压缩量为 x0，则弹簧开始的弹性势能 Ep0＝μ mg(x0＋ x1)＝7.8 J ＋μmgx0＞7.8 J，A 错误；当弹簧的弹力 kx2＝μ mg时，物体的速度最大，得

x2＝0.05 m，D 正确， C 错误；物体在程做减速运动，故最大动能必定大于

x2＝0.05 m 到弹簧的压缩

量 7.8 J，故 B 错误．

x2＝0 的过

答案： D

6.

图 5－3－25

如图 5－3－25 所示，电梯由质量为 1×103 kg 的轿厢、质量为 8× 102 kg 的配重、定滑轮和钢缆构成，轿厢和配重分别系在一根绕过定滑轮的钢缆两头，

在与定滑轮同轴的电动机驱动下电梯正常工作，定滑轮与钢缆的质量可忽视

不计，重力加快度g＝10 m/s2.在轿厢由静止开始以 2 m/s2的加快度向上运转

1 s 的过程中，电动机对电梯共做功为 ()

A ．×103 J B．×103 J

C．×104 J D．×104 J

121分析：电动机做功： W＝(M－m)gh＋2(M＋ m)v ＝(1 000－800)×10× 1＋2(1 000＋800)×22＝ 5 600 J.

答案： B

7.

图 5－3－26

来自福建省体操队的运动员黄珊汕是第一位在奥运会上获取蹦床奖牌的中国

选手．蹦床是一项漂亮又惊险的运动，如图5－3－26所示为运动员在蹦床运动中达成某个动作的表示图，图中虚线PQ 是弹性蹦床的原始地点， A 为运动员到达的最高点， B 为运动员刚到达蹦床时的地点， C 为运动员到达的最低点．不考虑空气阻力和运动员与蹦床作用时的机械能损失，A、B、C 三个

地点运动员的速度分别是v A、B、C，机械能分别是A、

E B、 C，则它们的

大小关系是 ()

v v E E

vv

C B．v>v ， v

C

A． A BB A B B

B．C．E A＝E B，E B>E C D．E A>E B，E B＝E C

A机械能守恒，E A＝E B，B→A 机械能守恒，E A＝E B，B→C 弹力对人做负功，机械能减小， E B>E C.

答案： AC

8.

图 5－3－27

如图 5－3－27 所示，小球从 A 点以初速度 v0沿粗拙斜面向上运动，到达最

高点 B 后返回 A， C 为 AB 的中点．以下说法中正确的选项是 ( )

A ．小球从 A 出发到返回 A 的过程中，位移为零，合外力做功为零

B．小球从 A 到 C 过程与从 C 到 B 过程，减少的动能相等C．小球

从 A 到 B 过程与从 B 到 A 过程，损失的机械能相等D．小球从 A

到 C 过程与从 C 到 B 过程，速度的变化量相等

分析：小球从 A 出发到返回 A 的过程中，位移为零，重力做功为零，支持力不做功，摩擦力做负功，所以 A 选项错误；从 A 到 B 的过程与从 B 到 A 的过程中，位移大小相等，方向相反，损失的机械能等于战胜摩擦力做的功，所

以 C 选项正确；小球从 A 到 C 过程与从 C 到 B 过程，位移相等，合外力也

相等，方向与运动方向相反，所以合外力做负功，大小相等，所以减少的动

能相等，所以， B 选项正确；小球从 A 到 C 过程与从 C 到 B 过程中，减少的动能相等，而动能的大小与质量成正比，与速度的平方成正比，所以 D 错误．

答案： BC

9.

图 5－3－28

在 2008 北京奥运会上，俄罗斯着名撑杆跳运动员伊辛巴耶娃以 5.05 m 的成绩第 24 次打破世界记录．图5－3－28 为她在竞赛中的几个画面，以下说法

中正确的选项是 ()

A．运动员过最高点时的速度为零

B．撑杆恢复形变时，弹性势能完整转变为动能

C．运动员要成功跃过横杆，其重心一定高于横杆

D．运动员在上涨过程中对杆先做正功后做负功

分析：撑杆跳运动员过最高点时竖直速度为零，水平速度不为零，选项 A 错误；

当运动员到达最高点杆恢复形变时，弹性势能转变为运动员的重力势能

和动能，选项 B 错误；运动员能够背跃式跃过横杆，其重心可能低于横杆，

选项 C 错误；运动员在上涨过程中对杆先做正功转变为杆的弹性势能后做负

功，杆的弹性势能转变为运动员的重力势能和动能，选项 D 正确．

答案： D

10.

图 5－3－29

如图 5－3－29 所示，半径为 R 的竖直圆滑圆轨道内侧底部静止着一个圆滑小

球，现给小球一个冲击使其在瞬时获取一个水平初速度v0，若 v0大小不一样，则小球能够上涨到的最大高度(距离底部 )也不一样．以下说法中正确的选项是 ()

R

A．假如 v0＝gR，则小球能够上涨的最大高度为

2

B．假如 v0＝ 2gR，则小球能够上涨的最大高度为R

2

C．假如 v0＝ 3gR，则小球能够上涨的最大高度为3R

2

D．假如 v0＝ 5gR，则小球能够上涨的最大高度为2R

1 2R

分析：依据机械能守恒定律，当速度为v0＝gR，由 mgh＝2mv0解出 h＝2，A 项正确，B 项错误；当 v0＝ 5gR，小球正好运动到最高点， D 项正确；当 v0＝ 3gR 时小球运动到最高点以下，若 C 项建立，说明小球此时向心力为 0，这是不行能的．答案： AD

11．

图 5－3－30

如图 5－3－30 所示， AB 为半径 R＝0.8 m 的 1/4 圆滑圆弧轨道，下端 B 恰与小车右端光滑对接．小车质量 M＝ 3 kg，车长 L＝2.06 m，车上表面距地面的高度 h＝0.2 m．现有一质量 m＝1 kg 的滑块，由轨道顶端无初速开释，滑到

B 端后冲上小车．已知地面圆滑，滑块与小车上表面间的动摩擦因数μ＝，当车

运转了 1.5 s 时，车被地面装置锁定． (g＝ 10 m/s2)试求：

(1)滑块到达 B 端时，轨道对它支持力的大小；

(2)车被锁准时，车右端距轨道 B 端的距离；

(3)从车开始运动到被锁定的过程中，滑块与车面间因为摩擦而产生的内能大

小；

(4)滑块落地址离车左端的水平距离．

1，分析： (1)设滑块到达 B 端时速度为 v，由动能定理，得mgR＝2mv2由牛顿第二定律，得 F N－＝v2

mg m R

联立两式，代入数值得轨道对滑块的支持力：F N＝3mg＝ 30 N.

(2)当滑块滑上小车后，由牛顿第二定律，得:对滑块有：－μ mg＝ ma1,对小

车有：μmg＝Ma2

设经时间 t 二者达到共同速度，则有： v＋a1t＝ 2解得＝．因为＜

a t,t 1 s 1 s

1.5 s，此时小车还未被锁定，二者的共同速度：v′＝ a t＝ 1 m/s

2

所以，车被锁准时，车右端距轨道 B 端的距离： x＝ 1 22＋ v′ t′＝ 1 m.

2a t

系统机械能守恒定律专题

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(3)从车开始运动到被锁定的过程中，滑块相对小车滑动的距离

x ＝ v ＋v ′ t

1

2

－2a 2t 2＝2 m

所以产生的内能： E ＝ μmg x ＝ 6 J.

1 1

(4)对滑块由动能定理，得－ μ mg(L － x)＝ 2mv ″2－

2mv ′2, 滑块离开小车后，

在竖直方向有： h ＝

1

″2

2gt

所以，滑块落地址离车左端的水平距离：

x ′ ＝v ″t ″ ＝0.16 m.

答案： (1)30 N (2)1 m (3)6 J (4)0.16 m

12．如图 7－7－11 所示，质量为 2m 和 m 可看做质点的小球 A 、B ，用不计质量的不行伸长的细线相连，跨在固定的半径为 R 的圆滑圆柱双侧，开始时 A 球和 B 球与圆柱轴心等高，而后开释 A 、 B 两球，则 B 球到达最高点时的速率是多少

图 7－7－11

解：本题用运动学很难解答，但选用 A 、B 球及细线为研究系统，重力以外

的力不做功，故用机械能守恒定律求解．

选用轴心所在水平线为势能零点，则刚开始时系统机械能为零，

即 E 1＝0．

当 B 球到达最高点时，系统机械能为

E 2＝ mgR ＋ 1

2

2 R

1 （ m ）v 2

mv －

mg

2

2

4

2

2

因为 E 1＝E 2

即 ＝ mgR ＋ 1 2

2 R

1

（ m ）v 2

mv － mg

0 2

2

4

2 2

解得

v ＝

2

gR(

1)

3