2021年考研数学二真题及答案解析
将0单位化,得0=( , , )T.
对1,2作施密特正交化,1=(0,- , )T,2=(- , , )T.
作Q=(0,1,2),则Q是正交矩阵,并且
3 0 0
QTAQ=Q-1AQ= 0 0 0 .
0 0 0
(13)设1,2,…,s所有是n维向量，A是mn矩阵，则（ ）成立.
(A) 若1,2,…,s线性有关,则A1,A2,…,As线性有关.
(B) 若1,2,…,s线性有关,则A1,A2,…,As线性无关.
(C) 若1,2,…,s线性无关,则A1,A2,…,As线性有关.
(D) 若1,2,…,s线性无关,则A1,A2,…,As线性无关.
数学（二）考研真题及解答
一、填空题
（1）曲线 水平渐近线方程为.
（2）设函数 在 处持续，则 .
（3）广义积分 .
（4）微分方程 通解是.
（5）设函数 由方程 拟定，则 =.
（6）设矩阵 ， 为2阶单位矩阵，矩阵 满足 ，则 =
.
二、选取题
（7）设函数 具有二阶导数，且 ， 为自变量 在 处增量， 和 分别为 在点 处相应增量和微分，若 ，则
真题答案解析
一、填空题
（1）曲线 水平渐近线方程为
（2）设函数 在x=0处持续，则a=
（3）广义积分
（4）微分方程 通解是
（5）设函数 拟定，则
当x=0时，y=1，
又把方程每一项对x求导，
二、选取题
（7）设函数 具有二阶导数，且 为自变量x在点x0处增量， ，则[A]
（A） （B）
（C） （D）
由 严格单调增长
B+1=A①
C+B+ =0②
③
式②-③得
代入①得
代入②得
（16）求
解：原式=
（17）设区域
计算二重积分
解：用极坐标系
（18）设数列 满足 ，
证明：（1） 存在，并求极限
（2）计算
证：（1）
单调减少有下界
根据准则1， 存在
在 两边取极限得
因此
（2）原式
离散散不能直接用洛必达法则
先考虑
用洛必达法则
（19）证明：当时 ，
两个不等式阐明r(A)=2.
对方程组增广矩阵作初等行变换:
1 1 1 1 -11 1 1 1 -1
(A|)= 4 35 -1 -10–1 1–5 3 ,
a 1 3 b 1 0 0 4-2a4a+b-5 4-2a
由r(A)=2,得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换:
1 0 2 -4 2
0 1 -1 5 -3 .
0 0 0 0 0
得同解方程组
x1=2-2x3+4x4，
x2=-3+x3-5x4，
求出一种特解(2,-3,0,0)T和AX=0基本解系(-2,1,1,0)T,(4,-5,0,1)T.得到方程组通解：(2,-3,0,0)T+c1(-2,1,1,0)T+c2(4,-5,0,1)T，c1,c2任意.
(23)设3阶实对称矩阵A各行元素之和所有为3,向量1=(-1,2,-1)T,2=(0,-1,1)T所有是齐次线性方程组AX=0解.
P= 0 1 0 ,则
0 0 1
(A)C=P-1AP. (B)C=PAP-1.
(C)C=PTAP. (D)C=PAPT.
解：(B)
用初等矩阵在乘法中作用得出
B=PA,
1 -1 0
C=B0 1 0 =BP-1=PAP-1.
0 0 1
(22)已知非齐次线性方程组
x1+x2+x3+x4=-1,
4x1+3x2+5x3-x4=-1，
（11）设 为持续函数，则 等于
（A） （B）
（C） （D） 【 】
（12）设 和 均为可微函数，且 .已知 是 在约束条件 下一种极值点，下列选项对的是
（A）若 ，则 .
（B）若 ，则 .
（C）若 ，则 .
（D）若 ，则 .【 】
（13）设 均为 维列向量， 是 矩阵，下列选项对的是
（A）若 线性有关，则 线性有关.
（11）设 为持续函数，则 等于[C]
（A） （B）
（C） （D）
（12）设 均为可微函数，且 在约束条件 下一种极值点，下列选项对的是[D]
（A）若
（B）若
（C）若
（D）若
今 代入(1)得
今 故选[D]
三、解答题
（15）试拟定A，B，C常数值，使 其中 是当 .
解：泰勒公式 代入已知等式得
整顿得
比较两边同次幂函数得
求A特性值和特性向量.
求作正交矩阵Q和对角矩阵,使得
QTAQ=.
解: 条件阐明A(1,1,1)T=(3,3,3)T,即0=(1,1,1)T是A特性向量,特性值为3.又1,2所有是AX=0解阐明它们也所有是A特性向量,特性值为0.由于1,2线性无关，特性值0重数不不大于1.于是A特性值为3,0,0.
属于3特性向量:c0，c0.
（B）若 线性有关，则 线性无关.
（C）若 线性无关，则 线性有关.
（D）若 线性无关，则 线性无关.【 】
（14）设 为3阶矩阵，将 第2行加到第1行得 ，再将 第1列-1倍加到第2列得 ，记 ，则
（A） （B）
（C） （D）
三解答题
15．试拟定A，B，C常数值，使得 ，其中 是当
。
16．
17．
18．
解：（I）
（II）切线方程为 ，设 ， ，
则
得
点为（2，3），切线方程为
（III）设L方程
则
由于（2，3）在L上，由
线代
(6) 设A=2 1 ,2阶矩阵B满足BA=B+2E,则|B|=.
-1 2
解:由BA=B+2E化得B(A-E)=2E,两边取行列式,得
|B||A-E|=|2E|=4,
计算出|A-E|=2,因此|B|=2.
1.1,2,…,s线性无关r(1,2,…,s)=s.
2.r(AB)r(B).
矩阵(A1,A2,…,As)=A(1,2,…,s),因此
r(A1,A2,…,As)r(1,2,…,s).
由此及时可鉴定答案应当为(A).
(14)设A是3阶矩阵,将A第2列加到第1列上得B,将B第1列-1倍加到第2列上得C.记 1 1 0
19．
20设函数 满足等式
(Ⅰ)验证 .
(Ⅱ)若 .
21已知曲线 方程为
（Ⅰ）讨论 凹凸性；
（Ⅱ）过点（-1，0）引 切线，求切点 ，并写出切线方程；
（Ⅲ）求此切线和 （相应于 某些）及 轴所围成平面图形面积。
22已知非齐次线性方程组
Ⅰ证明方程组系数矩阵A秩
Ⅱ求 值及方程组通解
23 设3阶实对称矩阵A各行元素之和均为3,向量 是线性方程组A =0两个解，(Ⅰ)求A特性值和特性向量(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得 .
解：(A)
本题考是线性有关性鉴定问题,可以用定义解.
若1,2,…,s线性有关,则存在不全为0数c1,c2,…,cs使得
c11+c22+…+css=0,
用A左乘等式两边,得
c1A1+c2A2+…+csAs=0,
于是A1,A2,…,As线性有关.
如果用秩来解,则更加简朴明了.只要熟悉两个基本性质,它们是:
证：令
只需证明 单调增长（严格）
单调减少（严格）
又
故 单调增长（严格）
得证
（20）设函数 内具有二阶导数，且 满足等式
（I）验证
（II）若 求函数
证：（I）
（II）令
（21）已知曲线L方程
（I）讨论L凹凸性
（II）过点 引L切线，求切点 ，并写出切线方程
（III）求此切线和L（相应 某些）及x轴所围平面图形面积
（A） （B）
（C） （D） 【 】
（8）设 是奇函数，除 外到处持续， 是其第一类间断点，则 是
（A）持续奇函数.（B）持续偶函数
（C）在 间断奇函数（D）在 间断偶函数.【 】
（9）设函C） （D） 【 】
（10）函数 满足一种微分方程是
（A） （B）
（C） （D）
是凹
即知
（8）设 是奇函数，除 外到处持续， 是其第一类间断点，则
是[B]
（A）持续奇函数（B）持续偶函数
（C）在x=0间断奇函数（D）在x=0间断偶函数
（9）设函数 则g(1)等于[C]
（A） （B）
（C） （D）
∵ ，
（10）函数 满足一种微分方程是[D]
（A） （B）
（C） （D）
∵ 特性根为1和-2，故特性方程为
ax1+x2+3x3+bx4=1
有3个线性无关解.
证明此方程组系数矩阵A秩为2.
求a,b值和方程组通解.
解: 设1,2,3是方程组3个线性无关解,则2-1,3-1是AX=0两个线性无关解.于是AX=0基本解系中解个数不少于2,即4-r(A)2,从而r(A)2.
又由于A行向量是两两线性无关,因此r(A)2.
2021考研数学二考试历年真题及答案详解
2021考研数学二考试历年真题及答案详解一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分。
每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上）1.当x→0时，是x7的（）。
A．低阶无穷小B．等价无穷小C．高阶无穷小D．同阶但非等价无穷小【答案】C【考点】常用等价无穷小；【解析】因为当x→0时，，所以是x7的高阶无穷小，故选C项。
2.函数，在x＝0处（）。
A．连续且取极大值B．连续且取极小值C．可导且导数为0D．可导且导数不为0【答案】D【考点】连续和可导的定义；【解析】因为故f（x）在x＝0处连续。
因为故f′（0）＝1/2，故选D项。
3.有一圆柱体，底面半径与高随时间变化的速率分别为2cm/s，－3cm/s，当底面半径为10cm，高为5cm时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为（）。
A．125πcm3/s，40πcm3/sB．125πcm3/s，－40πcm3/sC．－100πcm3/s，40πcm3/sD．－100πcm3/s，－40πcm3/s【答案】C【考点】复合函数求导；【解析】由题意知，dr/dt＝2，dh/dt＝－3，有V＝πr2h，S＝2πrh＋2πr2，则当r＝10，h ＝5时，dV/dt＝－100π，dS/dt＝40π，故选C项。
4.设函数f（x）＝ax－blnx（a＞0）有2个零点，则b/a的取值范围为（）。
A．（e，＋∞）B．（0，e）C．（0，1/e）D．（1/e，＋∞）【答案】A【考点】函数单调性及极值；【解析】函数求导得f′（x）＝a－b/x，令f′（x）＝0，则有驻点x＝b/a，得：在区间（b/a，＋∞）上，f′（x）＞0，f（x）单增；在区间（－∞，b/a）上，f′（x）＜0，f（x）单减。
即f（b/a）为函数f（x）的极小值，若f（x）有2个零点，则f（b/a）＝a·b/a－bln（b/a）＜0，从而ln（b/a）＞1，可得b/a＞e，故选A项。
2021年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题完整版(含答案及解析)
dt
dt
dt dt
dt
dt
当 r = 10, h = 5 时， dV = −100 , dS = −40 ，故选 D.
dt
dt
（4）设函数 f (x) = ax − b ln x(a 0) 有两个零点，则 b 的取值范围是（ ） a
A.(0, + )
B.(0,0)
C.(0, 1 ) e
【答案】A.
.
x (0,2)
【答案】1.
【解析】方程两边对 x 求导可得 z + (x +1) z x
+
y1 z
z x
−
1
+
2y 4x2
y
2
=0.
将 x = 0, y = 2 代入可得 z = 1 ，再将 x = 0, y = 2, z = 1代入可得 z = 1. x
（14）已知函数 f (t) =
t
dx
dt
有因为 x et2 dt = x (1+ t2 + (t2 ))dt = x + 1 x3 + (x3 ) ，故
0
0
3
原式
=
lim
x→0
x
−
1 x3 3!
+
(
x3
)
1
+
x
+
1 x3 3!
x2
+
(
x3
)
−
x
−
1 2
x2
+ (x2 )
=
lim
x→0
1 2
x2
+ (x2 ) x2
=
1 2
2021考研数学(二)真题(含详细解析)
2k 1 1 2n n
lim
n
n k 1
f
k
1
n
1
f (x)dx .选（B）.
0
（8）二次型 f (x1, x2, x3) (x1 x2 )2 (x2 x3)2 (x3 x1)2 的正惯性指数与负惯性指数依次为（ ）
（A）2,0
（B）1,1
（C）2,1
（D）1,2
【答案】B
【解析】方法 1： f (x1, x2, x3) (x1 x2 )2 (x2 x3)2 (x3 x1)2 2x22 2x1x2 2x2x3 2x1x3 ，其二
）
（A）
lim
n
n k 1
f
2k 1 2n
1 2n
（B）
lim
n
n k 1
f
2k 1 1 2n n
（C）
lim
n
n k 1
f
k 1 2n
1 n
【答案】B
（D）
lim
n
n k 1
f
Hale Waihona Puke k 2 2n n【解析】由于
k n
k
2k 1 2n
k 1 n
，则 lim n
n k 1
f
t 1 1)et
t2
确定，则
d2y dx2
t0
.
【答案】 2 3
【解析】利用参数方程的求导公式
dy dx
yt xt
' '
4tet 2t 2et 1
，
d2y dx2
d dx
dy dx
d dx
4tet 2et
2t 1
d dt
2021考研数学二真题及答案解析
2021考研数学二真题及答案解析考研数学二对于很多考生来说是一个重要的挑战，它涵盖了众多的知识点和题型，需要考生具备扎实的数学基础和较强的解题能力。
接下来，我们就一起详细地分析一下 2021 年考研数学二的真题及答案。
先来看选择题部分。
第一题考查了函数的基本性质，要求判断函数的奇偶性。
这需要考生熟练掌握奇偶函数的定义和判断方法。
第二题则涉及到极限的计算，对于这类题目，考生需要掌握常见的极限运算规则和方法。
比如其中有一题，给出了一个复杂的函数表达式，让求其在某一点的极限值。
这就需要我们运用等价无穷小替换、洛必达法则等方法来进行求解。
在解题过程中，要注意对函数进行合理的变形和化简，避免盲目计算导致出错。
再看填空题部分。
填空题通常考查一些较为基础但容易被忽略的知识点。
比如其中有一题是关于定积分的计算，这就要求考生对定积分的基本公式和运算方法有清晰的掌握。
另外，还有一题考查了曲线的切线方程，需要先求出函数的导数，然后代入切点的坐标来确定切线的斜率，进而得出切线方程。
这部分题目虽然难度相对不大，但需要考生在计算过程中保持细心和准确。
接下来是解答题部分。
这部分题目综合性较强，对考生的知识运用能力和解题思路要求较高。
比如有一道关于多元函数求极值的问题。
首先要对函数求偏导数，然后令偏导数等于零，解出可能的极值点。
接着，通过判断二阶偏导数的正负来确定是极大值还是极小值。
这道题不仅考查了考生对多元函数求极值方法的掌握，还考验了其计算能力和逻辑推理能力。
还有一道关于常微分方程的题目。
需要先判断方程的类型，然后运用相应的解法来求解。
在解题过程中，要注意初始条件的运用，确保答案的完整性和准确性。
总的来说，2021 年考研数学二的真题难度适中，既考查了基础知识的掌握，又注重了对综合能力的检验。
对于准备考研数学二的同学来说，通过对这套真题的分析和研究，可以明确考试的重点和方向。
在复习过程中，要注重基础知识的巩固，多做练习题，提高解题的熟练度和准确性。
2021考研数学2真题答案解析
2021考研数学2真题答案解析今年的考研数学2真题中，涵盖了多个重要的数学知识点，考察了考生的综合分析和解题能力。
本文将对其中的几道典型题目进行解析，帮助考生更全面地了解考试内容。
第一道题目是关于极限计算的。
题目给出了一个数列的表达式，要求求出其极限值。
首先，我们可以将数列的通项公式进行简化，使用数学性质进行变形。
然后，利用极限的性质，适当选择极限运算法则，对表达式进行转化。
最后，将变形后的极限表达式带入给定的数值中，计算出极限值。
通过解析这道题目，我们能够掌握极限计算的方法和技巧。
第二道题目是关于微分方程的。
题目给出了一个一阶线性非齐次微分方程，要求求解其通解。
首先，我们需要确定微分方程的类型，并根据已知条件进行分类讨论。
然后，可以利用微分方程的基本性质和定义，将一阶线性非齐次微分方程化简成更简洁的形式。
接着，可以采用合适的解法，如常数变易法等，求解微分方程的通解。
最后，将通解带入初始条件，确定特解。
通过解析这道题目，我们能够理解微分方程的基本概念和解题方法。
第三道题目是关于概率统计的。
题目给出了一个随机变量的概率密度函数，要求求出该随机变量的数学期望。
首先，我们需要对概率密度函数进行分析，确定其可积性和可导性等性质。
然后，可以利用概率统计的基本定义和性质，对随机变量的数学期望进行计算。
需要注意的是，有时候可能需要进行一些积分运算和变量替换等操作。
通过解析这道题目，我们能够掌握概率统计的基本概念和计算方法。
通过以上的题目解析，我们可以发现考研数学2真题的内容涵盖了数学的多个领域，如极限、微分方程和概率统计等。
在解题过程中，我们需要充分运用数学知识，灵活运用解题方法，注重细节和逻辑推理。
同时，我们还需要对数学概念和知识进行深入理解，注重平时的积累和实践训练。
只有通过不断地学习和练习，我们才能更好地应对考试，取得满意的成绩。
最后，希望考生们在备考期间能够充分利用时间和资源，合理安排学习计划，注重理论与实践相结合。
2021年全国研究生入学考试数学二真题与解析(真题+详细答案完整版)(源于思考研数学店铺出品)
2021年考研数学二真题与解析（解答题部分）（源于思考研数学店铺）1. 当0x →时，()231x t e dt -⎰是7x 的（ ）A. 低阶无穷小B.等价无穷小C.高阶无穷小D.同阶但非等价无穷小 解：C求导定阶法：当0x →时，()()236701212x t x e dt x e x '⎛⎫-=- ⎪⎝⎭⎰，说明()231x t e dt -⎰是x 的8阶无穷小，故是7x 的高阶无穷小量。
2. 函数1,0,()1,0x e x f x x x ⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处（ ）A. 连续且取极大值B.连续且取极小值C.可导且导数为0D.可导且导数不为零 解：D导数定义式：0011()11(0)limlim .2x x x e f x x f x x →→---'===从而选D 。
由于在0处可导，如果它是极值点的话，那么导数应该为零，从而可知，该点处不取极值。
3. 有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为2cm/s ，-3cm/s ，当底面半径为10cm ，高为5cm 时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为（ ）A. 12532/,40/cm s cm s ππB. 32125/,40/cm s cm s ππ-C.32100/,40/cm s cm s ππ-D. 32100/,40/cm s cm s ππ--解：C相对变化率：圆柱体体积：22,2dV dR dHV R H R H R dt dt dtπππ==+ 代入：210,5,2,3,2102510(3)100.dR dH R H dt dtdVdtπππ=====⋅⋅⋅+⋅⋅-=-得圆柱的表面积：222,422dS dR dH dR S R RH R R H dt dt dt dtπππππ=+=++代入：10,5,2,3,4102210(3)25240.dR dHR H dt dtdSdtππππ=====⋅⋅+⋅⋅-+⋅⋅=得4.设函数()ln (0)f x ax b x a =->有两个零点，则ba的取值范围是：（ ）A.(),e +∞B.()0,eC.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭解：A 。
2021年考研(数学二)真题试卷 (含答案解析)
选择题---为题目类型1.当x→0时，（A）低阶无穷小（B）等价无穷小（C）高阶无穷小（D）同阶但非等价无穷小2.函数f(x)＝（A）连续且取极大值（B）连续且取极小值（C）可导且导数为0（D）可导且导数不为03.有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为2cm／s，－3cm／s，当底面半径为10cm，高为5cm时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为( )（A）125πcm3／s，40πcm2／s（B）125πcm3／s，－40πcm2／s（C）－100πcm3／s，40πcm2／s（D）－100πcm3／s，－40πcm2／s4.设函数f(x)＝ax－b㏑x(a＞0)有两个零点，则b/a的取值范围是( )（A）(e，+∞)（B）(0，e)（C）(0，1/e)（D）(1/e，+∞)5.设函数f(x)＝secx在x＝0处的2次泰勒多项式为1+ax+bx2，则( )（A）a＝1，b＝－1/2（B）a＝1，b＝1/2（C）a＝0，b＝－1/2（D）a＝0，b＝1/26.设函数f(x，y)可微，且f(x+1，e x)＝x(x+1)2，f(x，x2)＝2x2㏑x，则df(1，1)＝( )（A）dx+dy（B）dx－dy（C）dy（D）－dy7.设函数f(x)在区间[0，1]上连续，则∫01f(x)dx＝( )（A）（B）（C）（D）8.二次型f(x1，x2，x3)＝(x1+x2)2+(x2+x3)2－(x3-x1)2的正惯性指数与负惯性指数依次为( )（A）2，0（B）1，1（C）2，1（D）1，29.设3阶矩阵A＝(α1，α2，α3)，B＝(β1，β2，β3)，若向量组α1，α2，α3可以由向量组β1，β2线性表出，则( )（A）Ax＝0的解均为Bx＝0的解（B）A T x＝0的解均为B T x＝0的解（C）Bx＝0的解均为Ax＝0的解（D）B T x＝0的解均为A T＝0的解10.已知矩阵A＝，若下三角可逆矩阵P和上三角可逆矩阵Q，使PAQ 为对角矩阵，则P、Q可以分别取( )（A）（B）（C）（D）填空题---为题目类型11.12.设函数y＝y(x)由参数方程确定，则13.设函数z＝z(x，y)由方程(x+1)z+y㏑z－arctan(2xy)＝1确定，则14.已知函数f(t)＝15.微分方程y"'－y＝0的通解y＝________．16.多项式f(x)＝解答题---为题目类型17.求极限18.已知f(x)＝19.f(x)满足y＝y(x)(x>0)是微分方程xy′－6y＝﹣6满足y(20.求y(x).21.P为曲线y＝y(x)上的一点，曲线y＝y(x)在点P的法线在y轴上的截距为I P，为使I P最小，求P的坐标．23.曲线(x2+y2)2＝x2－y2(x≥0，y≥0)与x轴围成的区域为D，求24.设矩阵A＝选择题---为题目类型1.当x→0时，（A）低阶无穷小（B）等价无穷小（C）高阶无穷小（D）同阶但非等价无穷小【正确答案】C【试题解析】2.函数f(x)＝（A）连续且取极大值（B）连续且取极小值（C）可导且导数为0（D）可导且导数不为0【正确答案】D【试题解析】＝1＝f(0)，故f(x)在x＝0处连续．又f′(0)＝3.有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为2cm／s，－3cm／s，当底面半径为10cm，高为5cm时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为( )（A）125πcm3／s，40πcm2／s（B）125πcm3／s，－40πcm2／s（C）－100πcm3／s，40πcm2／s（D）－100πcm3／s，－40πcm2／s【正确答案】C【试题解析】设圆柱体底面半径是R，高为h，则R′＝2，h′＝－3．体积V＝πR2h、表面积S＝2πRh+2πR2，故V′＝2πR·R′h+R2πh′，S′＝2πR′h+2πRh′+4πR·R′，即V′|R＝10,h＝5＝﹣100π，S′|R＝10,h＝5＝40π．4.设函数f(x)＝ax－b㏑x(a＞0)有两个零点，则b/a的取值范围是( )（A）(e，+∞)（B）(0，e)（C）(0，1/e)（D）(1/e，+∞)【正确答案】A【试题解析】f(x)＝ax－b㏑x的定义域为x>0，则f′(x)＝a－．令f′(x)＝0，有x＝．欲使函数f(x)在(0，)，(，+∞)有两个零点，必有f()<0，即b－b㏑()＜0．从而有5.设函数f(x)＝secx在x＝0处的2次泰勒多项式为1+ax+bx2，则( )（A）a＝1，b＝－1/2（B）a＝1，b＝1/2（C）a＝0，b＝－1/2（D）a＝0，b＝1/2【正确答案】D【试题解析】设，f(x)＝secx，则f(x)在x＝0处的二阶泰勒展式为f(x)＝f(0)+f′(0)x+6.设函数f(x，y)可微，且f(x+1，e x)＝x(x+1)2，f(x，x2)＝2x2㏑x，则df(1，1)＝( )（A）dx+dy（B）dx－dy（C）dy（D）－dy【正确答案】C【试题解析】函数f(x，y)可微，且f(x+1，e x)＝x(x+1)2，则f′1+e x f′2＝(x+1)2+2x(x+1)．令x＝0，则有f′1(1，1)+f′2(1，1)＝1．①由f(x，x2)＝2x2㏑x，则f′1+f′2·2x＝4x㏑x+2x．令x＝1，则有f′1(1，1)+2f′2(1，1)＝2．②结合①式，②式可得：f′2(1，1)＝1，f′1(1，1)＝0．故df(1，1)＝f′1(1，1)dx+f′2(1，1)dy＝dy．7.设函数f(x)在区间[0，1]上连续，则∫01f(x)dx＝( )（A）（B）（C）（D）【正确答案】B【试题解析】f(x)在[0，1]上连续，故∫01f(x)dx存在．将[0，1]平均n等分：[0，1]＝，取各区间中点ξk＝k/n－1/2n. 故8.二次型f(x1，x2，x3)＝(x1+x2)2+(x2+x3)2－(x3-x1)2的正惯性指数与负惯性指数依次为( ) （A）2，0（B）1，1（C）2，1（D）1，2【正确答案】B【试题解析】作变换，记A＝，则|A|＝0，故变换不可逆．二次型展开得：f(x1，x2，x3)＝x22+2x1x2+x22+2x2x3+2x1x3，故二次型矩阵为B＝，|λE－B|＝9.设3阶矩阵A＝(α1，α2，α3)，B＝(β1，β2，β3)，若向量组α1，α2，α3可以由向量组β1，β2线性表出，则( )（A）Ax＝0的解均为Bx＝0的解（B）A T x＝0的解均为B T x＝0的解（C）Bx＝0的解均为Ax＝0的解（D）B T x＝0的解均为A T＝0的解【正确答案】D【试题解析】由条件知(α1，α2，α3)＝(β1，β2，β3)P，即A＝BP．故A T＝P T B T．从而B T x＝0的解是A T x＝0的解．10.已知矩阵A＝，若下三角可逆矩阵P和上三角可逆矩阵Q，使PAQ 为对角矩阵，则P、Q可以分别取( )（A）（B）（C）（D）【正确答案】C【试题解析】代入验证：A．PAQ＝为非对角矩阵；B．PAQ＝为非对角矩阵；C．PAQ＝为对角矩阵；D．PAQ＝填空题---为题目类型11.【正确答案】【试题解析】12.设函数y＝y(x)由参数方程确定，则【正确答案】2/3【试题解析】由x＝2e t+t+1可知，＝2e t+1；由y＝4(t－1)e t+t2可知，＝4te t+2t，故. 令t＝0，则13.设函数z＝z(x，y)由方程(x+1)z+y㏑z－arctan(2xy)＝1确定，则【正确答案】1【试题解析】将y＝2代入，得(x+1)z+2㏑z－arctan4x＝1．对x求导得：z+(x+1)将x＝0代入，得z＝1，故14.已知函数f(t)＝【正确答案】【试题解析】15.微分方程y"'－y＝0的通解y＝________．【正确答案】y＝C1e x+【试题解析】特征方程为λ3－1＝(λ－1)(λ2+λ+1)＝0，则特征根λ1＝1，λ2＝，λ3，故方程通解为y＝C1e x+16.多项式f(x)＝【正确答案】-5【试题解析】f(x)＝解答题---为题目类型17.求极限【正确答案】18.已知f(x)＝【正确答案】(I)f(x)＝当x≥0时，f′(x)＝1－，f″(x)＝＞0；当－1＜x＜0时，f′(x)＝－1，f″(x)＝＜0；当x＜－1时，f″(x)＝－＞0．故当x∈(0，+∞)时，曲线y＝f(x)是凹的，x∈(－1，0)时，曲线y＝f(x)是凸的；当x ∈(－∞，－1)时，曲线y＝f(x)是凹的．(Ⅱ)1°当x＝－1时，无定义，且f(x)＝－∞，故x＝-1为垂直渐近线．2°由f(x)＝+∞，f(x)＝+∞，故f(x)无水平渐近线．3°由＝－1，故y＝x－1为正向渐近线，由19.f(x)满足【正确答案】y＝y(x)(x>0)是微分方程xy′－6y＝﹣6满足y(【正确答案】20.求y(x).【正确答案】原方程整理为y′＝y－，故通解为y＝＝Cx6+1．由y(√3)＝10，知C＝，故特解为y＝21.P为曲线y＝y(x)上的一点，曲线y＝y(x)在点P的法线在y轴上的截距为I P，为使I P最小，求P的坐标．【正确答案】设P点坐标为(x，1+x6)，则过P点的法线方程为：Y－(1+x6)＝－(X －x)．令X＝0，得Y＝I p＝+x6+1．由Y′(x)＝23.曲线(x2+y2)2＝x2－y2(x≥0，y≥0)与x轴围成的区域为D，求【正确答案】曲线(x2+y2)2＝x2－y2(x≥0，y≥0)的极坐标方程为r＝区域D＝{(θ，r)|0≤θ≤π/4，0≤r≤}. 引入极坐标x＝rcosθ，y＝rsinθ，24.设矩阵A＝【正确答案】由|λE－A|＝＝(λ－b)(λ－1)(λ－3)＝0，得特征值λ1＝1，λ2＝3，λ3＝b．由题设矩阵A仅有两个不同特征值，故b＝1或b＝3．1°若b＝1．因为A 可相似对角化，所以r(A－E)＝1，故a＝1．(A－E)X＝0的基础解系为ξ1＝(1，－1，0)T，ξ2＝(0，0，1)T．(A－3E)X＝0的基础解系为ξ3＝(1，1，1)T，取P＝(ξ1，ξ2，ξ3)＝，则P－1AP＝. 2°若b＝3，因为A可相似对角化，所以r(A－3E)＝1，故a＝－1．(A －E)X＝0的基础解系为ξ1＝(－1，1，1)T，(A－3E)X＝0的基础解系为ξ2＝(0，0，1)T，ξ3＝(1，1，0)T，取P＝(ξ1，ξ2，ξ3)＝，则P－1AP＝。
2021年数学二真题及答案解析
(3)设函数 具备2阶导数， ，则在区间 上 （ ）
(A) 当 时， (B) 当 时，
(C) 当 时， (D) 当 时，
(4)曲线 上相应于 点处曲率半径是 （ ）
(A) (B) (C) (D)
(5)设函数 ，若 ，则 （ ）
(A) (B) (C) (D)
(6)设函数 在有界闭区域 上持续，在 内部具备2阶持续偏导数，且满足 及 ，则 （ ）
(12)曲线 极坐标方程是 ，则 在点 处切线直角坐标方程是__________.
(13)一根长为1细棒位于 轴区间 上,若其线密度 ,则该细棒质心坐标 __________.
(14)设二次型 负惯性指数为1，则 取值范畴为_______.
三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字阐明、证明过程或演算环节.
【答案】A
【解析】 .
记 ， ， .若 线性无关，则 ，故 线性无关.
举反例.令 ，则 线性无关，但此时 却线性有关.
综上所述，对任意常数 ，向量 线性无关是向量 线性无关必要非充分条件.
故选A
二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
(9) __________.
(A) 最大值和最小值都在 边界上获得
(B) 最大值和最小值都在 内部上获得
(C) 最大值在 内部获得，最小值在 边界上获得
(D) 最小值在 内部获得，最大值在 边界上获得
(7)行列式 （ ）
(A) (B)
(C) (D)
(8)设 均为3维向量，则对任意常数 ，向量组 线性无关是向量组
线性无关 （ ）
【解析】由于 ，因此
2021年考研数学二真题答案解析
答案：CBCC ABDD 填空题：9.2 10.x e y xsin -= 11.)12ln(+ 12.λ113 12714. 2解答题： 15.解：313,120lim )1ln(lim )1ln(lim)(lim 0,0)1(112lim )1ln(lim )1ln(lim)(lim 0,)(lim ,0120120020221202<<<->==+=+=>=-+=+=+=>+∞=≤-→-→+∞→→-+∞→-+∞→+∞→+∞→+∞→+++⎰⎰a a a axx ax x x dt t x F a x a a x x ax x x dt t x F a x F a a x a x axx x a x a x axx x x 于是所以得得，当所以结论不正确因为当16.解：函数为下凹函数时，函数为上凹函数；时，综上，时，时，，得令函数取极小值即所以当因为当函数取得极大值即所以当因为当得),,31(0),31,(0.00;0000)1(4.31,351,021)1(4,1.111,021)1(4,1,)1(4//)(1011//2222323232322222+∞∈>-∞∈<>><<==+-===>=+==-=-=<-=+-=+==±==+-==x t x t dxyd t dx y d t t t t y x t t t t y x t t t t t t dt dx dt dx dy d dx y d t t t dt dx dt dy dx dy 17.解：)1,1()1,1()1,1()](,()()(,([)](,[)()](,[)](,[1211212111221f f f yx zx yg xy f x g x yg xy f x y x yg xy f yx zx g y x yg xy f y x yg xy f x zx ''+''+'=∂∂∂''+''+'=∂∂∂''+'=∂∂18.解：{.22,2,0)(22,2,211,21ln ,1ln ),1(,,,,)1(,sec ,tan 22222221122)1(1)0(,0)0(222x x xx xx xy y y y y e y C o y C e dx e e y e e p e pp C C x p p p p dxdp dx dp y p y y y y y dxd x dx dy --===+--=-=-==+=+=++==''='''=''+''==⎰''+=''='=故所以因为平方解得：故带入初始条件得变量分离得于是有则令于是有即求导得：两边对ααα19.解：{}{}。
2021考研数学二真题及答案
2021考研数学真题及答案解析(数二)数学（二）一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.）(1)当0x →时，230(1)x t e dt -⎰时7x 的(A)低阶无穷小.(B)等价无穷小.(C)高阶无穷小.(D)同阶但非等价无穷小.【答案】C.【解析】因为当0x →时，23670(1)2(1)2x t x e dt x e x '⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦⎰ ，所以23(1)x t e dt -⎰是7x 高阶无穷小，正确答案为C.(2)函数1,0()=1,0x e x f x x x ⎧-≠⎪⎨⎪=⎩,在0x =处(A)连续且取极大值.(B)连续且取极小值.(C)可导且导数为0.(D)可导且导数不为0.【答案】D.【解析】因为001lim ()=lim 1(0)x x x e f x f x→→-==，故()f x 在0x =处连续；因为200011()(0)11lim =lim lim 002x x x x x e f x f e x x x x x →→→-----==--，故1(0)2f '=，正确答案为D.(3)有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为2cm/s ，3-cm/s ，当底面半径为10cm ，高为5cm 时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为(A)1253/cm s π，402/cm s π.(B)1253/cm s π，-402/cm s π.(C)-1003/cm s π，402/cm s π.(D)-1003/cm s π，-402/cm s π.【答案】D.【解析】由题意知，2,3,dr dhdt dt==-又2,2,V r h S rh ππ==则22,22,dV dr dh dS dr dh rh r h r dt dt dt dt dt dtππππ=+=+当10,5r h ==时，100,40,dV dSdt dtππ=-=-选D.(4)设函数()ln (0)f x ax b x a =->有两个零点，则ba的取值范围是(A)(,)e +∞.(B)(0,)e .(C)1(0,)e.(D)1(,)e+∞.【答案】A.【解析】令()ln 0f x ax b x =-=，()b f x a x '=-，令()0f x '=有驻点b x a =，ln 0b b b f a b a a a ⎛⎫=⋅-⋅< ⎪⎝⎭，从而ln1b a >，可得be a>，正确答案为A.(5)设函数()sec f x x =在0x =处的2次泰勒多项式为21ax bx ++，则(A)11,.2a b ==-(B)11,.2a b ==(C)10,.2a b ==-(D)10,.2a b ==【答案】D.【解析】由22(0)()(0)(0)()2f f x f f x x o x '''=+++知当()sec f x x =时，2300(0)sec01,(0)(sec tan )0,(0)(sec tan sec )1,x x f f x x f x x x =='''=====+=则221()sec 1().2f x x x o x ==++故选D.(6)设函数(),f x y 可微，且2(1,)(1)x f x e x x +=+，22(,)2ln f x x x x =，则(1,1)df =(A)dx dy +.(B)dx dy -.(C)dy .(D)dy -.【答案】C.【解析】212(1,)(1,)(1)2(1)xxxf x e e f x e x x x ''+++=+++①2212(,)2(,)4ln 2f x x xf x x x x x''+=+②将00x y =⎧⎨=⎩，11x y =⎧⎨=⎩分别带入①②式有12(1,1)(1,1)1f f ''+=，12(1,1)2(1,1)2f f ''+=联立可得1(1,1)0f '=，2(1,1)1f '=，12(1,1)(1,1)(1,1)df f dx f dy dy ''=+=，故正确答案为C.(7)设函数()f x 在区间[]0,1上连续，则()1f x dx =⎰(A)1211lim22nn k k f n n →∞=-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑.(B)1211lim2nn k k f n n →∞=-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑.(C)2111lim2nn k k f n n→∞=-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑.(D)2012lim2nx k k f n n→=⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭∑.【答案】B.【解析】由定积分的定义知，将[0,1]分成n 份，取中间点的函数值，则11211()lim ,2nn k k f x dx f n n→∞=-⎛⎫=∑ ⎪⎝⎭⎰即选B.(8)二次型222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =+++--的正惯性指数与负惯性指数依次为(A)2,0.(B)1,1.(C)2,1.(D)1,2.【答案】B.【解析】22221231223312122313(,,)()()()2222f x x x x x x x x x x x x x x x x =+++--=+++所以011121110A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，故特征多项式为11||121(1)(3)11E A λλλλλλ---=---=+---令上式等于零，故特征值为1-，3，0，故该二次型的正惯性指数为1，负惯性指数为1.故应选B.(9)设3阶矩阵()123,,ααα=A ，()123,,B βββ=，若向量组123,,ααα可以由向量组12,ββ线性表出，则(A)0Ax =的解均为0Bx =的解.(B)0TA x =的解均为0TB x =的解.(C)0Bx =的解均为0Ax =的解.(D)0TB x =的解均为0TA x =的解.【答案】D.【解析】令123123(,,),(,,),A a a a B βββ==由题123,,a a a 可由123,,βββ线性表示，即存在矩阵P ,使得,BP A =则当00TB x =时，000()0.TTTTA x BP x pB x ===恒成立，即选D.(10)已知矩阵101211125-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭A 若下三角可逆矩阵P 和上三角可逆矩阵Q ，使PAQ 为对角矩阵，则P ，Q 可以分别取(A)100010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，101013001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(B)100210321⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭，100010001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(C)100210321⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭，101013001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(D)100010131⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，123012001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭.【答案】C.【解析】101100101100101100()211010013210013210125001026101000321---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-→--→-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭A,E (,)=F P ,则100210321⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭P ;101100013010000000100101010013001001-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭F E ΛQ ，则101013001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭Q .故应选C.二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.）(11)23x x dx +∞--∞=⎰.【答案】1ln 3.【解析】222220113233()3ln 3ln 3x x x x x dx x dx d x +∞+∞+∞----+∞-∞==--=-⋅=⎰⎰⎰.(12)设函数()y y x =由参数方程2214(1)t t x e t y t e t⎧=++⎨=-+⎩确定,则202t d ydx ==.【答案】23.【解析】由4221t t dy te t dx e +=+，得223(442)(21)(42)2(21)t t t t tt d y e te e te t e dx e +++-+=+，将0t =带入得20223t d ydx ==.(13)设函数(,)z z x y =由方程(1)ln arctan(2)1x z y z xy ++-=确定,则(0,2)zx ∂=∂.【答案】1.【解析】方程两边对x 求导得2212(1)014z z y z x y x z x x y ∂∂+++-=∂∂+，将0,2x y ==带入原方程得1z =，再将0,2,1x y z ===带入得1zx∂=∂.(14)已知函数11()t x f t dx dy y =⎰,则2f π⎛⎫' ⎪⎝⎭.【答案】2ππ【解析】交换积分次序有21()sinty xf t dx y =-⎰，从而211()sin cos cos t y x tf t dx y dyy y ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭⎰11cos cos ty dy y ydy y =-21cos t t y ydy=-23332cos cos cos()2t u tf t t du tu t t⎛⎫'=+-⋅-⎝,故2fπ⎛⎫'=⎪⎝⎭2ππ-(15)微分方程0y y-=的通解y=.【答案】12123123cos sin,,,22xxy C e e C C C C C R-⎛⎫=++∈⎪⎪⎝⎭.【解析】由特征方程310λ-=得12,311,22iλλ==-±，故方程通解为12123123cos sin,,,22xxy C e e C C C C C R-⎛⎫=++∈⎪⎪⎝⎭.(16)多项式12121()211211x x xxf xxx-=-中3x项的系数为______________.【答案】-5.【解析】12211211112 121()1121211221211112131211 211x x xx x xxf x x x x x x xxx x xx----==-------所以展开式中含3x项的有33,4x x--，即3x项的系数为-5.三、解答题（本题共6小题，共70分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）(17)(本题满分10分)求极限211lim1sinx txxe dte x→⎛⎫+⎪-⎪-⎪⎝⎭⎰.【答案】12.【解析】2200001sin11lim lim1sin(1)sinx xt tx xx xe dt x e dte x e x→→⎛⎫+--⎪-=⎪--⎪⎝⎭⎰⎰又因为22233001(1())()3x xt e dt t o t dt x x o x=++=++⎰⎰，故原式=3333222111(())(1())()3!3!2limxx x o x x x o x x x o xx→-++++--+=22201()12lim 2x x o x x →+=.(18)(本题满分12分)已知()1x xf x x=+，求()f x 的凹凸性及渐近线.【答案】凹区间(,1)-∞-，()0,+∞，凸区间(1,0)-.斜渐近线是1y x =-，1y x =--.【解析】因为22,01(),01x x xf x x x x⎧>⎪⎪+=⎨-⎪≤⎪+⎩，故0x >，()222()1x x f x x +'=+，()32()1f x x ''=+，0x <，()222()1x x f x x --'=+，()32()1f x x -''=+，所以x (,1)-∞-1-(1,0)-0()0,+∞()f x ''+-+()f x 凹拐点凸拐点凹凹区间(,1)-∞-，()0,+∞，凸区间(1,0)-.1lim1x x xx →-=∞+,1x =-是垂直渐近线.lim 1(1)x x x x x →+∞=+,lim (1) 1.(1)x x x x →+∞-=-+lim 1(1)x x x x x →-∞=-+,lim (1) 1.(1)x x x x →+∞-=-+斜渐近线是1y x =-，1y x =--.(19)(本题满分12分)()f x 满足216x x C =-+,L 为曲线()(49)y f x x =≤≤，L 的弧长为s ，L 绕x 轴旋转一周所形成的曲面的面积为A ,求s 和A .【答案】4259π.113x =-，31221()3f x x x =-，曲线的弧长944223s ===⎰⎰.曲面的侧面积31992244122(3A x xππ==-⎰⎰4259π=.(20)(本题满分12分)函数()y y x =的微分方程66xy y '-=-，满足10y =，(1)求()y x ；(2)P 为曲线()y y x =上的一点，曲线()y y x =在点P 的法线在y 轴上的截距为y I ，为使y I 最小，求P 的坐标.【答案】(1)()61.3x y x =+(2)41,3P ⎛⎫± ⎪⎝⎭时，y I 有最小值11.6【解析】(1)66'y y x x -=-,666()dx dx x x y e e dx C x -⎡⎤⎰⎰∴=-+⎢⎥⎣⎦⎰66611x C Cxx ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭将10y =代入，13C =，()61.3x y x ∴=+(2)设(),P x y ，则过P 点的切线方程为()52Y y x X x -=-，法线方程为()512Y y X x x-=--，令0X =，641132y x Y I x∴==++，偶函数，为此仅考虑()0,+∞令()'55220y I x x =-=， 1.x =()0,1x ∴∈，()'0y I <，()1116y y I I >=；()1,x ∈+∞，()'0y I >，()1116y y I I >=41,3P ⎛⎫∴± ⎪⎝⎭时，y I 有最小值11.6(21)(本题满分12分)曲线22222()(0,0)x y x y x y +=-≥≥与x 轴围成的区域为D ,求Dxydxdy ⎰⎰.【答案】148【解析】340sin cos Dxydxdy d drπθθθ=⎰⎰⎰2401cos 2sin cos 4d πθθθθ=⎰2401cos 2cos 216d πθθ=-⎰4301cos 248πθ=-148=.(22)(本小题满分12分)设矩阵210=1201A a b ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭仅有两个不同的特征值.若A 相似于对角矩阵，求a ，b 的值，并求可逆矩阵P ，使1P AP -为对角矩阵.【解析】由210120()(3)(1)01E A b a bλλλλλλλ---=--=---=---当3b =时，由A 相似对角化可知，二重根所对应特征值至少存在两个线性无关的特征向量，则110(3)11010E A a -⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪--⎝⎭知，1a =-，此时，123λλ==所对应特征向量为12101,001αα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，31λ=所对应的特征向量为3111α-⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，则1331P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭当1b =时，由A 相似对角化可知，二重根所对应特征值至少存在两个线性无关的特征向量，则110()11010E A a --⎛⎫ ⎪-=-- ⎪ ⎪--⎝⎭，知1a =，此时，121λλ==所对应特征向量为12101,001ββ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33λ=所对应的特征向量为3111α⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，则1113P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.。