考研数学二(高等数学)模拟试卷49
考研数学二（高等数学）模拟试卷49(总分：66.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：15，分数：30.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设f(x)在x=a( )．（分数：2.00）A.f’(a)B.2f’(a)√C.0D.f’(2a)(B)．3.F(x)=cosx|sin2x|在(0，2π)内( )．（分数：2.00）A.有一个不可导点√B.有两个不可导点C.有三个不可导点D.可导解析：解析：F(x)=0．x=π不可导，F -'(π)≠F +'(π) 同理F(x)=cosx|sin2x|在(0，2π)内有一个不可导点，应选(A)．4.设f(x)在x=1处( )．（分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在但不连续C.连续但不可导D.可导√解析：解析：由f(1—0)=f(1)=1，f(1+0)=1得 f(x)在x=1处极限存在且连续． f -’(1)=f + '(1)=2，所以f’(1)=2，应选(D)．5.设f(x)可导，且F(x)=f(x)(1+|sinx|)在x=0处可导，则( )．（分数：2.00）A.f(0)=0 √B.f’(0)=0C.f(0)=f’(0)D.f(0)=一f’(0)解析：解析：F(0)=f(0)，F(x)在x=0处可导，所以F -’(0)=F +’(0)，于是f(0)=0，故应选(A)．6.设f(x)可导，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：解析：应选(B)．事实上，对任意的M＞0，因为=+∞，所以存在X 0＞0，当x≥X 0时，有f’(x)≥M 0．当x＞X 0时，f(x)一f(X 0)=f’(ξ)(x—X 0)≥M(x—X 0 )(X 0＜ξ＜x)，从而f(x)≥f(X 0 )+M(x-X 0 )，两边取极限得7.若曲线y=x 2 +ax+b与曲线2y=一1+xy 3在(1，一1)处相切，则( )．（分数：2.00）A.a=3，b=1B.a=1，b=3C.a=一1，b=一1 √D.a=1，b=1解析：解析：由y=x 2+ax+b得y’=2x+a；2y=一1+xy 3两边对x求导得2y’=y 3+3xy 2y’，解得因为两曲线在(1，一1)处相切，所以解得a=一1，b=一1，应选(C)．8.设f(x)二阶连续可导且满足f"(x)+f' 2 (x)=2x，且f’(0)=0，则( )．（分数：2.00）A.x=0为f(x)的极大值点B.x=0为f(x)的极小值点C.(0，f(0))为曲线y=f(x)的拐点√D.x=0既非f(x)的极值点，(0，f(0))也非y=f(x)的拐点解析：解析：取x=0得f"(0)=0．由f"(x)+f' 2(x)=2x得f"'(x)+2f’(x)f"'(x)=2，从而f"'(0)=2．因为，所以存在δ＞0，当0＜|x|＜δ时，从而故(0，f(0))为曲线y=f(x)的拐点，应选(C)．9.若函数f(-x)=f(x)(一∞＜x＜+∞)，在(一∞，0)内f’(x)＞0且f"(x)＜0，则在(0，+∞)内有( )．（分数：2.00）A.f’(x)＞0，f"(x)＜0B.f’(x)＞0，f"(x)＞0C.f’(x)＜0，f”(x)＜0 √D.f’(x)＜0，f"(x)＞0解析：解析：因为f(x)为偶函数，所以f’(x)为奇函数，f"(x)为偶函数，从而在(0，+∞)内有f’(x)＜0，f“(x)＜0，应选(C)．10.设f(x)二阶可导，且f’(x)＞0，f”(x)＞0，又△y=f(x+△x)一f(x)，则当△x＞0时有( )．（分数：2.00）A.△y＞dy＞0 √B.△y＜dy＜0C.dy＞△y＞0D.dy＜△y＜0解析：解析：△y=f(x+△x)一f(x)=f’(c)△x(x＜c＜x+△x)，由f’(x)＞0，f"(x)＞0得f’(c)△x＞f’(x)△x＞0，即△y＞dy＞0，应选(A)．11.设f(x)在(一∞,+∞)上连续，F(x)=∫ 0x f(t)dt，则下列命题错误的是( )．（分数：2.00）A.若f(x)为偶函数，则F(x)为奇函数B.若f(x)为奇函数，则F(x)为偶函数C.若f(x)为以T为周期的偶函数，则F(x)为以T为周期的奇函数√D.若f(x)为以T为周期的奇函数，则F(x)为以T为周期的偶函数解析：解析：取f(x)=1一cosx，f(x)是以2π为周期的偶函数，而F(x)=∫ 0x (1一cost)dt=x—sinx，F(x)不是以2π为周期的奇函数，应选(C)．12.设f(x)( )．（分数：2.00）A.x=0为f(x)的极小点B.x=0为f(x)的极大点C.曲线y=f(x)在x=0处的切线平行于x轴√D.曲线y=f(x)在x=0处的切线不平行于x轴f(0)=0，f’(0)=0，则曲线y=f(x)在x=0的切线平行于x轴，应选(C)．13.设偶函数f(x)有连续的二阶导数，并且f"(0)≠0，则x=0( )．（分数：2.00）A.不是函数的驻点B.一定是函数的极值点√C.一定不是函数的极值点D.不能确定是否是函数的极值点解析：解析：因为f(x)为偶函数，所以f’(x)为奇函数，从而f’(0)=0．因为f’(0)=0，而f”(0)≠0，所以x=0一定是f(x)的极值点，应选(B)．14.曲线上t=1对应的点处的曲率半径为( )（分数：2.00）A.B.C. √D.15.下列曲线有斜渐近线的是( )．（分数：2.00）√B.y=x 2 +sinxD.y=x 2 +sin 2 x二、填空题(总题数：6，分数：12.00)16.设a= 1，b= 2．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：a=3）填空项1:__________________ （正确答案：b=一2）解析：解析：f(1—0)=f(1)=a+b，f(1+0)=1，因为f(x)在x=1处连续，所以a+b=1f(x)在x=1处可导，所以a=3，故a=3，b=一2．1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：y=一x一2及y=x+2）为曲线的另一条斜渐近线．18.函数y=x2 x的极小值点为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：令y’=2 x +x2 x ln2=2 x (1+xln2)=0得当时，y’＞0，故y=x2 x的极小值点．19.函数y=x+2cosx 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：令y’=1—2sinx=0得y"=一2cosx，因为为y=x+2cosx的极大值点，也是最大值20.设函数y=y(x)由e 2x+y -cosxy=e一1确定，则曲线y=y(x)在x=0对应点处的法线方程为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：当x=0时，y=1， e 2x+y一cosxy=e一1两边对x求导得21.椭圆2x 2 +y 2 =3在点(1，一1)处的切线方程为 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：y=2x一3）解析：解析：2x 2 +y 2 =3两边对x求导得4x+2yy’=0，即y+1=2(x一1)，即y=2x一3．三、解答题(总题数：12，分数：24.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：23.设f’(x)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：24.a．（分数：2.00）正确答案：()解析：（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：因为f(0一)解析：f(x)的连续区间及间断点．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：f(x)的连续区间为(一∞，1)∪(1，+∞)．=+∞，所以x=1为f(x)的第二类间断点．)解析：27.（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：x=0，x=1及x=2)解析：28.设f(x)在(0，1)内有定义，且e x f(x)与e -f(x)在(0，1)内都是单调增函数，证明：f(x)在(0，1)内连续．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：对任意的c∈(0，1)，当x＜c时，由e x f(x)≤e c f(c)及e -f(x)≤e -f(x)得f(c)≤f(x)≤e c-x f(c)，令x→c -得f(c一0)=f(c)；当x＞c时，由e x f(x)≥e x f(c)及e -f(x)≥e -f(c)得f(c)≥f(x)≥e c-x f(c)，令x→c +得f(c+0)=f(c)，因为f(c-0)=f(c+0)=f(c)，所以f(x)在x=c处连续，由c的任意性得f(x)在(0，1)内连续．)解析：29.设F(x)=f(x)+g(x)在R上连续，求a，b．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：F(一1)=f(一1)+g(一1)=1—1=0，F(一1—0)=f(-1-0)+g(一1一0)=a一1，F(一1+0)=f(-1+0)+g(一1+0)=1—1=0，由F(x)在x=一1处连续，所以a=1； F(1)=f(1)+g(1)=一1+b，F(1—0)=f(1—0)+g(1—0)=一1+1=0， F(1+0)=f(1+0)+g(1+0)=一1+b，由F(x)在x=1处连续得b=1，故a=1，b=1．)解析：30.设f(x)=3x 2 +x 2 |x|，求使得f (n) (0)存在的最高阶数n．（分数：2.00）正确答案：(正确答案：因为f -"(0)≠f + "+(0)，所以f"(0)不存在，故f (n) (0)存在的最高阶数为n=2．)解析：31.设函数y=y(x)可导并满足y"+(x一1)y’+x 2 y=e x，且y’(0)=1，若a．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：由得y(0)=0，将y(0)=0，y’(0)=1代入原方程得y"(0)=2，故a=1．) 解析：32.设f(x)是以4为周期的可导函数，y=f(x)在(5，f(5))处的法线方程．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：因为f(x)以4为周期，所以f(5)=f(1)=．f’(5)=f’(1)=一2，故y=f(x)在(5，f(5)))解析：33.已知微分方程y’+y=f(x)，其中y=y(x)满足y(0)=0．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：当0≤x≤1时，y’+y=2的通解为 y=C 1 e -x +2；当x＞1时，y’+y=0的通解为y=C 2e -x，由y(0)=0得C 1=-2，再由C 1e -1+2=C 2e -1得C 2=2e一2，故所求的特解为) 解析：。
考研数学(数学二)模拟试卷489(题后含答案及解析)
考研数学（数学二）模拟试卷489(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设则f(x，y)在点O(0，0)处( )A．两个偏导数存在，函数不连续．B．两个偏导数不存在，函数连续．C．两个偏导数存在，函数也连续，但函数不可微．D．可微．正确答案：C解析：所以函数在点(0，0)处连续，且fˊx(0，0)与fˊy(0，0)均存在．再看可微性，若f(x，y)在点(0，0)处可微，则f(△x，△y)－f(0，0)= fˊx(0，0)△x+ fˊy(0，0)△y+成立．上面已有fˊx(0，0)= 0，fˊy(0，0)=0，于是应有f(△x，△y) ．而当(x，y)→(0，0)时．不妨设y=kx→0，则并不趋于0所以当(△x，△y)→(0，0)时，f(△x，△y)不是的高阶无穷小．故f(x，y)在点O(0，0)处不可微．选C．2．A．B．C．D．正确答案：C解析：3．A．B．C．D．正确答案：A解析：4．A．B．C．D．正确答案：B解析：5．A．B．C．D．正确答案：C解析：6．A．B．C．D．正确答案：B解析：7．已知四维列向量α1，α2，α3线性无关，若向量βi(i＝1，2，3，4)是非零向量且与向量α1，α2，α3均正交，则向量组β1，β2，β3，β4的秩为( )．A．1B．2C．3D．4正确答案：A解析：设αi＝(αi1，αi2，αi3，αi4)T(i＝1，2，3)，由已知条件有βiTαi＝0(i＝1，2，3，4；j＝1，2，3)，即βi(i＝1，2，3，4)为方程组的非零解．由于α1，α2，α3线性无关，所以方程组系数矩阵的秩为3，所以其基础解系含一个解向量，从而向量组β1，β2，β3，β4，的秩为1，选A．8．A．B．C．D．正确答案：B解析：填空题9．正确答案：解析：10．正确答案：3x+y+6=0解析：11．已知三阶方阵A，B满足关系式E＋B＝AB，的三个特征值分别为3，－3，0，则｜B-1＋2E｜＝_______．正确答案：－8解析：因为A的特征值为3，－3，0，所以A－E的特征值为2，－4，－1，从而A－E可逆，由E＋B＝AB得(A－E)B＝E，即B与A－E互为逆阵，则B 的特征值为，－1，B-1的特征值为2，－4，－1，从而B-1＋2E的特征值为4，－2，1，于是｜B-1＋2E｜＝－8．12．已知y＝u(x)x是微分方程的解，则在初始条件｜x＝2下，上述微分方程的特解是y＝_______．正确答案：2xtan(x－2)解析：由y＝u(x)x，有于是原方程化为由于初值为x＝2，所以在x＝2的不包含x＝0在内的邻域上，上述方程可改写成以x＝2，y＝0代入，得u=0，C＝－2．从而得特解y＝u(x)x＝2xtan(x－2)．13．设f(x)=exsin2x，则f(4)(0)=________．正确答案：-24解析：14．已知，那么矩阵A=_______．正确答案：解析：由于A(A2)2=A5，故A=[(A2)2]-1A5=[(A2)-1]2A5．而所以注意本题中计算出更简捷一些．解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学二(解答题)模拟试卷49(题后含答案及解析)
考研数学二（解答题）模拟试卷49(题后含答案及解析) 题型有：1.1．计算不定积分正确答案：涉及知识点：一元函数积分学2．设A，B是3阶矩阵，A可逆，它们满足2A－1B=B－4E．证明A－2E 可逆．正确答案：用A左乘2A－1B=B－4E两侧得2B=AB－4A．即(A－2E)B=4A．由A可逆，得A－2E可逆．涉及知识点：矩阵3．求正确答案：涉及知识点：函数、极限、连续4．若函数φ(x)及ψ(x)是n阶可微的，且φ(k)(x0)=ψ(k)(x0)，k=0，1，2，…，n一1．又x＞x0时，φ(n)(z)＞ψ(n)(x)．试证：当x＞x0时，φ(x)＞ψ(x)．正确答案：令u(n一1)(x)=φ(n一1)(x)一ψ(n一1)(x)．在[x0，x]上用微分中值定理得u(n一1)(x)一u(n一1)(x0)=u(n)(ξ)．(x一x0)，x0＜ξ＜x．又由u(n)(ξ)＞0可知u(n一1)(x)一u(n一1)(x0)＞0，且u(n一1)(x0)=0，所以u(n一1)(x)＞0，即当x＞x0时，φ(n一1)(x)＞ψ(n一1)(x)．同理u(n 一2)(x)=φ(n一2)(x)一ψ(n一2)(x)＞0．归纳有u(n一3)(x)＞0，…，u’(x)＞0，u(x)＞0．于是，当x＞x0时，φ(x)＞ψ(x)．涉及知识点：一元函数微分学5．设3阶实对称矩阵A的秩为2，λ1＝λ2＝6是A的二重特征值．若α1＝(1，1，0)T，α2＝(2，1，1)T，α3＝(－1，2，－3)T，都是A的属于特征值6的特征向量．(1)求A的另一特征值和对应的特征向量；(2)求矩阵A．正确答案：(1)λ＝0，k(－1，1，1)T，k≠0．(2) 涉及知识点：矩阵的特征值与特征向量6．曲线y=(x-1)(x-2)和x轴围成平面图形，求此平面图形绕y轴一周所成的旋转体的体积．正确答案：取[x，x+dx][1，2]，dv=2πx｜(x-1)(x-2)｜dx=-2πx(x-1)(x-2)dx，V=∫12dv=-2π∫12(x3-3x2+2x)dx= 涉及知识点：高等数学部分7．正确答案：如图8．15所示．涉及知识点：二重积分8．变换二次积分的积分次序：。
考研数学二(解答题)模拟试卷46(题后含答案及解析)
考研数学二（解答题）模拟试卷46(题后含答案及解析) 题型有：1.1．求正确答案：涉及知识点：高等数学2．(其中ai＞0(i＝1，2，…，n))正确答案：所以原式＝a1a2…an．涉及知识点：函数、极限、连续3．讨论方程axex+b=0(a＞0)实根的情况．正确答案：令f(x)=axex+b，因为=+∞，求函数f(x)=axex+b的极值，并讨论极值的符号及参数b的值．f’(x)=aex+axex=aex(1+x)，驻点为x=一1，f”(x)=2aex+axex—aex(2+x)，f”(一1)＞0，所以，x=一1是函数的极小值点，极小值为f(一1)=b一．①当b＞(＞0)时，函数f(x)无零点，即方程无实根；②当b=(＞0)时，函数f(x)有一个零点，即方程有一个实根；③当0＜b＜时，函数f(x)有两个不同的零点，即方程有两个不同的实根；④当b≤0时，函数f(x)有一个零点，即方程有一个实根．涉及知识点：一元函数微分学4．设f(χ)＝χsinχ－∫0χ(χ－t)f(t)dt，其中f(χ)连续，求f(χ)．正确答案：将原方程改写为f(χ)＝χsinχ－χ∫0χf(t)dt＋∫0χtf(t)dt．因为f(χ)连续，所以方程的右端是可微的，因而左端的函数f(χ)也可微．两端对χ求导，又原式中令χ＝0，则原方程等价于f′(χ)＝χcos χ＋sinχ－∫0χf(t)dt，f(0)＝0．(6．7) 同理，方程右端仍可微，所以f(χ)存在二阶导数，再将(6．7)中的方程两边求导，并令χ＝0，则得(6．7)等价于f〞(χ)＝－χsinχ＋2cosχ－f(χ)，f′(0)＝0，f(0)＝0．即y＝f(χ)满足微分方程的初值问题y〞＋y＝－χsinχ＋2cosχ，y(0)＝0，y′(0)＝0．(6．8) 由于此方程的特征根为±i，所以其特解应具形式y〞(χ)＝χ(Aχ＋B)cosχ＋χ(Cχ＋D)sinχ．代入方程，求出系数A，B，C，D，则得其特解y*(χ)＝χsinχ，进而方程的通解为y＝f(χ)＝χsinχ＋C1cosχ＋C2sinχ(6．9) 由f(0)＝0可知C1＝0，而由f′(0)＝0又可推出C2＝0，所以f(χ)＝．涉及知识点：常微分方程5．证明方程在(0，+∞)内至少有两个实根．正确答案：令，则f(x)在(0，+∞)内连续，因为又故由零点定理，f(x)=0在(0，e)与(e，+∞)内至少各有一个实根，即f(x)=0在(0，+∞)内至少有两个实根．涉及知识点：函数、极限、连续6．设u=f(x，y，z，t)关于各变量均有连续偏导数，而其中由方程组①确定z，t为y的函数，求正确答案：注意z=z(y)，t=t(y)，于是②因此，我们还要求，将方程组①两边对y求导得记系数行列式为W=(y－t2)(ez+zcost)+2zt(tez+sint)，则涉及知识点：多元函数微分学7．求正确答案：涉及知识点：定积分及应用8．设z=f(x-y+g(x-y-z))，其中f，g可微，求正确答案：等式z=f(x-y+g(x-y-z))两边对x求偏导得等式z=f(x-y+g(x-y-z))两边对y求偏导得涉及知识点：多元函数微分学9．计算I＝ydχdy中。
考研数学二(填空题)模拟试卷54(题后含答案及解析)
考研数学二（填空题）模拟试卷54(题后含答案及解析) 题型有：1.1．=______。
正确答案：解析：将分子化简后用等价无穷小因子代换。
易知则原式= 知识模块：函数、极限、连续2．当x＝______时，函数y＝x.2x取得极小值．正确答案：；涉及知识点：一元函数微分学3．＝________．正确答案：涉及知识点：一元函数积分学4．设函数y=y(x)由e2x+y-cosxy=e一1确定，则曲线y=y(x)在x=0对应点处的法线方程为______．正确答案：解析：当x=0时，y=1，e2x+y一cosxy=e一1两边对x求导得知识模块：高等数学5．若f(x)=2nx(1-x)n，记Mu=Mn=______．正确答案：解析：由f’(x)=2n(1-x)n-2n2x(1-x)n-1=0得x=，当x∈时，f’(x)＞0；当x∈时，f’(x)＜0，则x=为最大点，知识模块：高等数学6．设α1,α2,α3是3维向量空间R3的一组基，则由基到基α1+α2，α2+α3，α3+α1的过渡矩阵为_____________.正确答案：解析：本题考查过渡矩阵的概念和基变换公式，所涉及的知识点是过渡矩阵的概念；基变换公式(β1β2……βn)=(α1,α2……αn)C，其中β1β2……βn 和α1,α2……αn分别是Rn的两组基，C是基α1,α2……αn到基β1β2……βn的过渡矩阵．知识模块：向量7．设y=y(x)是由方程xy+ey=x+1确定的隐函数，则=_________。
正确答案：一3解析：方程两边对x求导可得，y+xy’+y’ey=1，解得y’=。
再次求导可得，2y’+xy’’+y’’ey+(y’)ey=0，整理得y’’= (*)当x=0时，y=0，y’(0)=1，代入(*)得，y’’(0)==一(2+1)=一3。
知识模块：一元函数微分学8．当χ→0时，3χ－4sinχ＋sinχcosχ与χn为同阶无穷小，则n＝_______．正确答案：5解析：于是3χ－4sinχ＋sincosχ～，则n＝5．知识模块：函数、极限、连续9．微分方程的通解为__________。
考研数学二(填空题)模拟试卷50(题后含答案及解析)
考研数学二（填空题）模拟试卷50(题后含答案及解析) 题型有：1.1．设=______正确答案：解析：知识模块：函数、极限、连续2．求极限＝_______．正确答案：1 涉及知识点：函数、极限、连续3．=______正确答案：解析：知识模块：函数、极限、连续4．设A，B为3阶方阵，A可相似于对角矩阵，且A2－A=D，B2+B=E，r(AB)=1．则｜A+2E｜=_________.正确答案：12解析：本题考查求抽象矩阵的特征值和由矩阵的秩确定特征值以及行列式与其特征值的关系．由A2—A=D知A的特征值为1，0，再由B2+E=E知B可逆，从而由r(AB)=1知r(A)=1，又A可对角化，所以A的特征值为1，0，0，因此A+2E的特征值为3，2，2，故｜A+2E｜=3×2×2=12．知识模块：行列式5．对充分大的一切x，给出以下5个函数：100x，log10x100，e10x，，则其中最大的是_____________．正确答案：解析：当x充分大时，有重要关系：eαx＞eβ＞lnγx，其中α，β，γ＞0，故本题填．知识模块：函数、极限、连续6．=__________。
正确答案：secx一tanx+x+C解析：知识模块：一元函数积分学7．设α，β，γ1，γ2，γ3都是4维列向量，且｜A｜=｜α，γ1，γ2，γ3｜=4，｜B｜=｜β，2γ1，3γ2，γ3｜=21，则｜A+B｜=________．正确答案：180解析：因A+B=(α+β，3γ1，4γ2，2γ3)，故｜A+B｜=｜α+β，3γ1，4γ2，2γ3｜=24｜α，γ1，γ2，γ3｜+2｜β，γ1，γ2，γ3｜=24｜A｜+4｜B｜=180．知识模块：行列式8．设=_______.正确答案：12解析：由题设及现利用等价无穷小因子替换知识模块：极限、连续与求极限的方法9．已知=9，则a=______．正确答案：ln3解析：知识模块：极限、连续与求极限的方法10．已知曲线y＝x3－3a2x＋b与x轴相切，则b2________．正确答案：4a6；涉及知识点：一元函数微分学11．设f′(a)存在，则＝_______．正确答案：4f′(a)解析：知识模块：导数与微分12．设=___________．正确答案：0解析：因为知识模块：一元函数微分学13．已知矩阵A=有两个线性无关的特征向量，则a=_________。
考研数学二(高等数学)模拟试卷55(题后含答案及解析)
考研数学二（高等数学）模拟试卷55(题后含答案及解析)全部题型 2. 填空题3. 解答题填空题1．cos(2x+y)dx dy=_____，其中D：x2+y2≤r2．正确答案：1解析：由积分中值定理，存在(ξ，η)∈D，使得知识模块：高等数学2．设f(x，y)为连续函数，且f(x，y)=y2+f(x，y)dx dy，则f(x，y)=______．正确答案：解析：则f(x，y)=y2+Ax，两边积分得知识模块：高等数学3．设区域D为x2+y2≤R2，则正确答案：解析：知识模块：高等数学4．交换积分次序正确答案：涉及知识点：高等数学5．交换积分次序，则正确答案：解析：知识模块：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
6．设二元函数f(x，y)的二阶偏导数连续，且满足fxx”(x，y)=fyy”(x，y)，f(x，2x)=x2，fx’(x，2x)=x，求fxx”(x，2x)．正确答案：f(x，2x)=x2两边关于x求导得fx’(x，2x)+2fy’(x，2x)=2x，fx’(x，2x)=x两边关于x求导得fxx”(x，2x)+2fxy”(x，2x)=1，涉及知识点：高等数学7．设正确答案：涉及知识点：高等数学8．设正确答案：涉及知识点：高等数学9．设正确答案：涉及知识点：高等数学10．设z=f(exsiny，x2+y2)，其中f具有二阶连续偏导数，求正确答案：=exsinyf1’+2xf2’，=excosyf1’+exsiny(excosyf11”+2yf12”)+2x(excosyf21”+2yf22”)=excosyf1’+e2xsinycosyf11”+ 2ex(ysiny+xcosy)f12”+4xyf22”．涉及知识点：高等数学11．已知u(x，y)=其中f，g具有二阶连续导数，求zuxx”+yuxy”．正确答案：涉及知识点：高等数学12．,f的二阶导数连续，g的二阶偏导数连续，求正确答案：涉及知识点：高等数学13．设z=f(u，x，y)，u=xey，其中f具有二阶偏导数，求正确答案：涉及知识点：高等数学14．设z=f(2x—y，ysinx)，其中f(u，v)具有连续的二阶偏导数，求正确答案：=2f1’+ycosxf2’，=2(一f11”+sinxf12”)+cosxf2’+ycosx(一f21”+sinxf22”)=一2f11”+(2sinx—ycosx)f12”+cosxf2’+ysinxcosxf22”? 涉及知识点：高等数学15．设f(u，v)具有二阶连续偏导数，且满足正确答案：=yf1’+xf2’．=y(yf11”+xf12”)+f2’+x(yf21”+xf22”)=y2f11”+2xyf12”+x2f22”+f2’，=xf1’—yf2’，=x(xf11”一yf12”)一f2’一y(xf21”一yf22)=x2f11”一2xyf12”+y2f22”一f2’，=(x2+y2)(f11”+f22”)=x2+y2．涉及知识点：高等数学16．设z=yf(x2一y2)，求正确答案：涉及知识点：高等数学17．设z=z(x，y)，由方程确定(F为可微函数)，求正确答案：涉及知识点：高等数学18．设z=xf(x，u，v)，其中其中f连续可偏导，求正确答案：涉及知识点：高等数学19．设z=f(x，y)是由方程z—y—x+xez-y-z=0所确定的二元函数，求dz．正确答案：z—y-z+xez-y-x=0两边关于x，y求偏导得涉及知识点：高等数学20．设φ(u，v，ω)由一阶连续的偏导数，z=z(x，y)是由φ(bz一cy，cx —az，ay一bx)=0确定的函数，求正确答案：φ(bz一cy，cx—az，ay—bx)=0两边关于x求偏导得涉及知识点：高等数学21．设z=z(x，y)是由f(y-x，yz)=0确定的，其中f对各个变量有连续的二阶偏导数，求正确答案：f(y—x，yz)=0两边关于x求偏导得涉及知识点：高等数学22．设函数z=z(x，y)由方程x2+y2+z2=xyf(z2)，其中f可微，求的最简表达式．正确答案：x2+y2+z2=xyf(z2)两边关于x求偏导得涉及知识点：高等数学23．设函数z=z(x，y)由方程x=f(y+z，y+x)所确定，其中f(x，y)具有二阶连续偏导数，求dz．正确答案：x=f(y+z，y+x)两边关于x求偏导得x=f(y+z，y+x)两边关于y求偏导得涉及知识点：高等数学24．若=x+y且满足z(x，0)=x，z(0，y)=y2，求z(x，y)．正确答案：由z(x，0)=x得∫0xφ(x)dx+φ(0)=x，从而φ(x)=1，φ(0)=0；再由z(0，y)=y2得φ(y)=y2，故z(x，y)= 涉及知识点：高等数学25．设z=f(x，y)二阶可偏导且f(x，0)=1，f’y(x，0)=x，求f(x,y)．正确答案：从而z=y2+xy+φ(x)，再由f(x，0)=1得φ(x)=1，故f(x，y)=y2+xy+1．涉及知识点：高等数学26．设f(x，y)二阶连续可偏导，g(x，y)=f(exy，x2+y2)，且f(x，y)=1一x 一y+证明：g(x，y)在(0，0)处取极值，并判断是极大值还是极小值，求极值．正确答案：由可微的定义得f(1，0)=0，fx’(1，0)=fy’(1，0)=一1．则A=gxx”(0，0)=一2，B=gxy”(0，0)=一1，C=gyy”(0，0)=一2，因为AC—B2=3＞0且A＜0，所以g(x，y)在(0，0)处取到极大值，极大值为g(0，0)=0．涉及知识点：高等数学27．试求z=f(x，y)=x3+y3-3xy在矩形闭域D={(x，y)|0≤x≤2，-1≤y≤2}上的最大值、最小值．正确答案：当(x，y)在区域D内时，在L1：y=一1(0≤x≤2)上，z=x3+3x 一1，因为z’=3x2+3＞0，所以最小值为z(0)=一1，最大值为z(2)=13；在L2：y=2(0≤x≤2)上，z=x3一6x+8，在L3：x=0(-1≤y≤2)上，z=y3，由z’=3y2=0得y=0，z(一1)=一1，z(0)=0，z(2)=8；在L4：x=2(-1≤y≤2)上，z=y3一6y+8，故z=x3+y3一3xy在D上的最小值为m=一1，最大值为M=13．涉及知识点：高等数学28．求函数f(x，y)=4x一4y—x2一y2在区域D：x2+y2≤18上最大值和最小值．正确答案：当x2+y2＜18时，得x=2，y=一2，f(2，一2)=8；当x2+y2=18时，令F=4x一4y—x2一y2+λ(x2+y2一18)，而f(3，一3)=6，f(一3，3)=一42，故f(x，y)在区域D上的最小值为m=一42，最大值为M=8．涉及知识点：高等数学29．求函数z=x2+2y2一x2y2在D={(x，y)|x2+y2≤4，y≥0)上的最小值与最大值．正确答案：当(x，y)位于区域D内时，在L1：y=0(一2≤x≤2)上，z=x2，由z’=2x=0得x=0，z(±2)=4，z(0)=0；z=4cos2t+8 sin2t一16 sin2tcos2t=4+4 sin2t 一16 sin2t(1一sin2t)=4—12 sin2t+16 sin4t=当sin2t=1时，z的最大值为8；当故z的最小值为0，最大值为8．涉及知识点：高等数学30．求u=x2+y2+z2在约束条件下的最小值和最大值．正确答案：令F=x2+y2+z2+λ(x2+y2一z)+μ(x+y+z一4)，涉及知识点：高等数学31．设f(x)二阶可导，且∫0xf(t)dt+∫0xtf(x—t)dt=x，求f(x)．正确答案：∫0xtf(x一t)dtx∫0xf(u)du一∫0xuf(u)du=x∫0xf(t)dt-∫0xtf(t)dt ∫0xf(t)dt+∫0xtf(x一t)dt=x化为∫0xf(t)dt+x∫0xf(t)dt-∫0xtf(t)dt=x，两边求导得f(x)+∫0xf(t)dt=1，两边再求导得f’(x)+f(x)=0，解得f(x)=Ce-x，因为f(0)=1，所以C=1，故f(x)=e-x．涉及知识点：高等数学。
考研数学二(高等数学)模拟试卷53(题后含答案及解析)
考研数学二（高等数学）模拟试卷53(题后含答案及解析)全部题型 3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1．设，求∫01f(x)dx．正确答案：令∫01f(x)dx=A．则．两边在[0．1]上积分得涉及知识点：高等数学2．已知f(x)=x2一x∫02f(x)dx+2∫01f(x)dx，求f(x)．正确答案：令∫02f(x)dx=A，∫01f(x)dx=B，则f(x)=x2一Ax+2B，两边在[0，2]上积分得涉及知识点：高等数学3．计算定积分正确答案：涉及知识点：高等数学4．计算定积分正确答案：涉及知识点：高等数学5．计算定积分∫01xarcsinxdx．正确答案：涉及知识点：高等数学6．计算定积分正确答案：涉及知识点：高等数学7．计算定积分正确答案：涉及知识点：高等数学8．计算定积分正确答案：涉及知识点：高等数学9．计算定积分正确答案：涉及知识点：高等数学10．计算定积分正确答案：涉及知识点：高等数学11．设连续非负函数f(x)满足f(x)f(一x)=1，求正确答案：涉及知识点：高等数学12．计算定积分∫-12xe-|x|dx．正确答案：∫-12xe-|x|dx=∫-11xe-|x|dx+∫12xe-|x|dx =∫12xe-xdx=一∫12xd(e-x)=-xe-x|12+∫12e-xdx=2e-1-3e-2 涉及知识点：高等数学13．计算积分正确答案：涉及知识点：高等数学14．计算积分正确答案：涉及知识点：高等数学15．计算积分正确答案：涉及知识点：高等数学16．计算定积分正确答案：涉及知识点：高等数学17．计算定积分正确答案：涉及知识点：高等数学18．计算定积分正确答案：涉及知识点：高等数学19．计算定积分正确答案：涉及知识点：高等数学20．计算定积分正确答案：涉及知识点：高等数学21．计算定积分正确答案：涉及知识点：高等数学22．计算定积分正确答案：涉及知识点：高等数学23．计算定积分正确答案：涉及知识点：高等数学24．计算积分正确答案：涉及知识点：高等数学25．计算定积分正确答案：涉及知识点：高等数学26．计算积分∫0πxln(sinx)dx．正确答案：涉及知识点：高等数学27．计算积分正确答案：涉及知识点：高等数学28．计算积分正确答案：涉及知识点：高等数学29．计算积分正确答案：涉及知识点：高等数学30．证明：∫01xm(1一x)ndx=∫01xn(1一x)mdx，并用此式计算∫01x(1一x)50dx．正确答案：∫01xm(1一x)ndx∫10(1-t)mtn(-dt)=∫01xn(1-x)mdx．I=∫01x(1一x)50dx=∫01x50(1一x)dx=∫01x50dx-∫01x51dx= 涉及知识点：高等数学31．求微分方程y”一y=4cosx+ex的通解．正确答案：特征方程为λ2一1=0，特征值为λ1=一1，λ2=1，y”一y=0的通解为y=C1e-x+C2ex，令y”一y=4cosx的特解为y1=a cosx+b sinx，代入得a=一2，b=0；令y”一y=ex的特解为y3=cxex，代入得涉及知识点：高等数学。
考研数学二(高等数学)模拟试卷50(题后含答案及解析)
考研数学二（高等数学）模拟试卷50(题后含答案及解析)全部题型 3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1．设y=f(x)与y=sinx在原点相切，求正确答案：由题意得f(0)=0，f’(0)=cosx|x=0=1，涉及知识点：高等数学2．设f(x)在(一∞，+∞)有定义，f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，f’(0)=a，求f(x)．正确答案：令x=0，y=0得f(0)=0．f(x)=x2+ax+C，由f(0)=0得C=0，故f(x)=x2+ax．涉及知识点：高等数学3．设f(x)可导，y=f(cos2x)，当x=处取增量△x=一0．2时，△y的线性部分为0．2，求正确答案：涉及知识点：高等数学4．设y=xsin2x，求y’．正确答案：涉及知识点：高等数学5．设正确答案：涉及知识点：高等数学6．设y=x(sinx)cosx，求dy．正确答案：lny=lnx+coslnsinx，两边微分得涉及知识点：高等数学7．设函数y=y(x)由2xy=x+y确定，求dy|x=0．正确答案：当x=0时，y=1．2xy=x+y两边关于x求导得涉及知识点：高等数学8．设函数y=y(x)由x+y=tany确定，求dy．正确答案：x+y=tany两边关于x求导得涉及知识点：高等数学9．设y=y(x)由ln(x2+y)=x3y+sinx确定，求正确答案：x=0代入得y=1，ln(x2+y)=x3y+sinx两边关于x求导得=3x2y+x3y’+cosx，将x=0，y=1代入得涉及知识点：高等数学10．求2y一x=(x—y)ln(x—y)确定的函数y=y(x)的微分dy．正确答案：2y—x=(x—y)ln(x—y)关于x求导得涉及知识点：高等数学11．设由sinxy+ln(y—x)=x确定函数y=y(x)，求y’(0)．正确答案：x=0时，y=1，sinxy+ln(y—x)=x两边对x求导得将x=0，y=1代入得．即y’(0)=1．涉及知识点：高等数学12．设由e-y+x(y—x)=1+x确定y=y(x)，求y”(0)．正确答案：x=0时，y=0．e-y+x(y—x)=1+x两边关于x求导得一e-yy’+y一x+x(y’一1)=1，则y’(0)=一1；一e-yy’+y—x+x(y’一1)=1两边关于x求导得e-y(y’)2一e-yy”+2(y’一1)+xy”=0，代入得y”(0)=一3．涉及知识点：高等数学13．设y=y(x)由确定，求正确答案：x=0时，y=1．涉及知识点：高等数学14．设siny+xey=0，当y=0时，求正确答案：y=0时，x=0．siny+xey=0两边关于x求导得涉及知识点：高等数学15．设y=y(x)由(x＞0)所确定，求正确答案：涉及知识点：高等数学16．设x=x(t)由sint—∫tx(t)φ(u)du=0确定，φ(0)=φ’(0)=1且φ(u)＞0为可导函数，求x”(0)．正确答案：t=0时，x(0)=0．sint—∫tx(t)φ(u)du=0两边关于t求导得cost 一φ[x(t)]x’(t)+φ(t)=0，取t=0得x’(0)=2；两边再关于t求导可得一sint 一φ’[x(t)][x’(t)]2一φ[x(t)]x”(t)+φ’(t)=0，取t=0得x”(0)=一3．涉及知识点：高等数学17．证明：曲线上任一点的切线的横截距与纵截距之和为2．正确答案：涉及知识点：高等数学18．设函数y=y(x)由方程组正确答案：t=0时，x=0，y=一1，涉及知识点：高等数学19．设正确答案：y=∫0tsin(t—s)2ds=一∫0tsin(t—s)2d(t一s)=∫0tsinu2du，涉及知识点：高等数学20．求对应r=1+cosθ上点处的切线．正确答案：曲线r=1+cosθ的参数方程为涉及知识点：高等数学21．设y=y(x)由正确答案：涉及知识点：高等数学22．设f(x)=其中g(x)=∫0cosx(1+sin2t)dt，求正确答案：涉及知识点：高等数学23．设y=exsinx，求y(n)．正确答案：涉及知识点：高等数学24．正确答案：由A(2x一1)+B(x+1)=3—3x得解得A=一2．B=1．涉及知识点：高等数学25．正确答案：涉及知识点：高等数学26．f(x)=x4ln(1一x)，当n＞4时，求f(n)(0)．正确答案：涉及知识点：高等数学27．设y=x2ln(1+2x)，求y(6)．正确答案：y(5)=C50x2[ln(1+2x)](5)+C512x[ln(1+2x)](4)+C522[ln(1+2x)](3)，涉及知识点：高等数学28．设f(x)=求(0，2)内使得f(2)-f(0)=2f’(ξ)成立的ξ．正确答案：当x∈(0，1)时，f’(x)=-x，当0＜ξ≤1时，由f(2)一f(0)=2f’(ξ)得一1=一2ξ，解得当1＜ξ＜2时，由f(2)一f(0)=2f’(ξ)得一1= 涉及知识点：高等数学29．设f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1，证明：存在ξ∈(0，3)，使得f’(ξ)=0．正确答案：因为f(x)在[0，3]上连续，所以f(x)在[0，3]上取到最小值m和最大值M．3m≤f(0)+f(1)+f(2)≤3M，即m≤1≤M，由介值定理，存在c ∈[0，3]，使得f(c)=1．因为f(c)=f(3)=1，所以由罗尔定理，存在ξ∈(c，3)(0，3)，使得f’(ξ)=0．涉及知识点：高等数学30．设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(a＞0)且f(a)=0，证明：存在ξ∈(a，b)，使得正确答案：令φ(x)=(b一x)af(x)，因为φ(a)=φ(b)=0，所以存在ξ∈(a，b)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=一a(b一x)a-1f(x)+(b一x)af’(x)，故f(ξ)= 涉及知识点：高等数学31．解方程(3x2+2)y”=6xy’，已知其解与ex一1(x→0)为等价无穷小．正确答案：从而y’=C1(3x2+2)，解得y=C1x3+2C1x+C2，因为C1x3+2C1x+C2～ex一1～x，所以．C2=0，涉及知识点：高等数学。
考研数学二(高等数学)模拟试卷50
考研数学二（高等数学）模拟试卷50(总分：64.00，做题时间：90分钟)一、解答题(总题数：32，分数：64.00)1.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设y=f(x)与y=sinx（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：由题意得f(0)=0，f’(0)=cosx| x=0 =1，)解析：3.设f(x)在(一∞，+∞)有定义，f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，f’(0)=a，求f(x)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：令x=0，y=0得f(0)=0．f(x)=x 2+ax+C，由f(0)=0得C=0，故f(x)=x 2+ax．) 解析：4.设f(x)可导，y=f(cos 2x)，当x= 处取增量△x=一0．2时，△y的线性部分为0．2，求（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：5.设y=x sin2x，求y’．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：6.（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：7.设y=x(sinx) cosx，求dy．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：lny=lnx+coslnsinx)解析：8.设函数y=y(x)由2 xy =x+y确定，求dy| x=0．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：当x=0时，y=1． 2 xy =x+y两边关于x求导得)解析：9.设函数y=y(x)由x+y=tany确定，求dy．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：x+y=tany两边关于x)解析：10.设y=y(x)由ln(x 2 +y)=x 3 y+sinx确定，求（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：x=0代入得y=1，ln(x 2+y)=x 3y+sinx两边关于x求导得=3x 2y+x 3y’+cosx，将x=0，y=1代入得)解析：11.求2y一x=(x—y)ln(x—y)确定的函数y=y(x)的微分dy．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：2y—x=(x—y)ln(x—y)关于x)解析：12.设由sinxy+ln(y—x)=x确定函数y=y(x)，求y’(0)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：x=0时，y=1，sinxy+ln(y—x)=x两边对x求导得将x=0，y=1．即y’(0)=1．)解析：13.设由e -y +x(y—x)=1+x确定y=y(x)，求y"(0)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：x=0时，y=0． e -y +x(y—x)=1+x两边关于x求导得一e -y y’+y一x+x(y’一1)=1，则y'(0)=一1；一e -y y’+y—x+x(y’一1)=1两边关于x求导得 e -y(y’) 2一e -y y"+2(y’一1)+xy"=0，代入得y”(0)=一3．)解析：14.设y=y(x)由确定，求（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：x=0时，y=1)解析：15.设siny+xe y =0，当y=0时，求（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：y=0时，x=0． siny+xe y =0两边关于x求导得)解析：16.设y=y(x)由(x＞0)（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：17.设x=x(t)由sint—∫ t x(t)φ(u)du=0确定，φ(0)=φ’(0)=1且φ(u)＞0为可导函数，求x”(0)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：t=0时，x(0)=0． sint—∫ t x(t)φ(u)du=0两边关于t求导得cost一φ[x(t)]x’(t)+φ(t)=0，取t=0得x’(0)=2；两边再关于t求导可得一sint一φ’[x(t)][x’(t)] 2一φ[x(t)]x"(t)+φ’(t)=0，取t=0得x”(0)=一3．)解析：18.2．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：19.设函数y=y(x)（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：t=0时，x=0，y=一1)解析：20.（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：y=∫ 0t sin(t—s) 2ds=一∫ 0t sin(t—s) 2d(t一s)=∫ 0t sinu 2du，) 解析：21.r=1+cosθ上点处的切线．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：曲线r=1+cosθ)解析：22.设y=y(x)（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：23.设f(x)= 其中g(x)=∫ 0cosx (1+sin 2 t)dt，求（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：24.设y=e x sinx，求y (n)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：由A(2x一1)+B(x+1)=3—3x得解得A=一2．B=1)解析：（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：27.f(x)=x 4 ln(1一x)，当n＞4时，求f (n) (0)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：()解析：28.设y=x 2 ln(1+2x)，求y (6)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：y (5) =C 50 x 2 [ln(1+2x)] (5) +C 51 2x[ln(1+2x)] (4) +C 52 2[ln(1+2x)] (3)，)解析：29.设(0，2)内使得f(2)-f(0)=2f’(ξ)成立的ξ．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：当x∈(0，1)时，f’(x)=-x，当0＜ξ≤1时，由f(2)一f(0)=2f’(ξ)得一1=一2ξ，解得当1＜ξ＜2时，由f(2)一f(0)=2f’(ξ)得一)解析：30.设f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1，证明：存在ξ∈(0，3)，使得f’(ξ)=0．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：因为f(x)在[0，3]上连续，所以f(x)在[0，3]上取到最小值m和最大值M．3m≤f(0)+f(1)+f(2)≤3M，即m≤1≤M，由介值定理，存在c∈[0，3]，使得f(c)=1．因为f(c)=f(3)=1，所以由罗尔定理，存在ξ∈(c，(0，3)，使得f’(ξ)=0．)解析：31.设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(a＞0)且f(a)=0，证明：存在ξ∈(a，b)（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：令φ(x)=(b一x) a f(x)，因为φ(a)=φ(b)=0，所以存在ξ∈(a，b)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=一a(b一x) a-1 f(x)+(b一x) a f’(x)，故f(ξ)解析：32.解方程(3x 2+2)y"=6xy’，已知其解与e x一1(x→0)为等价无穷小．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：从而y’=C 1 (3x 2 +2)，解得y=C 1 x 3 +2C 1 x+C 2，因为C 1 x 3 +2C 1x+C 2～e x一1～x，所以．C 2 =0，)解析：。
考研数学二(高等数学)模拟试卷59(题后含答案及解析)
考研数学二（高等数学）模拟试卷59(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设f(x)是二阶常系数非齐次线性微分方程y’’+Py’+qy=sin2x+2ex的满足初始条件f(0)=f’(0)-0的特解，则当x→0时，( )A．不存在B．等于0C．等于1D．其他正确答案：C解析：因为f(0)=f’(0)=0，所以f’’(0)=2，于是，选(C)．知识模块：高等数学2．设f(x)在x=a的邻域内有定义，且f’+(a)与f’-(a)都存在，则( )．A．f(x)在x=a处不连续B．f(x)在x=a处连续C．f(x)在x=a处可导D．f(x)在x=a处连续可导正确答案：B解析：因为f’+(a)存在，所以f(x)=f(a)，即f(x)在x=a处右连续，同理由f’-(a)存在可得f(x)在x=a处左连续，故f(x)在x=a处连续，选(B)．知识模块：高等数学3．曲线的渐近线的条数为( )．A．0条B．1条C．2条D．3条正确答案：D解析：因为，所以曲线无水平渐近线；由，得曲线有两条铅直渐近线；由，得曲线有一条斜渐近线y=x，选(D)．知识模块：高等数学4．设F(x)=∫xx+2πesintsintdt，则F(x)( )．A．为正常数B．为负常数C．为零D．取值与x有关正确答案：A解析：由周期函数的平移性质，F(x)=∫xx+2πesintsintdt=∫-ππesintsintdt，再由对称区间积分性质得F(x)=∫0π(esintsin-e-sintsint)dt=∫0π(esint-e-sint)sintdt，又(esint-e-sint)sint连续、非负、不恒为零，所以F(x)＞0，选(A)．知识模块：高等数学5．设D={(x，y)｜0≤x≤π．0≤y≤π}，则sinxsiny.max{x，y}dσ等于( ) A．B．C．D．正确答案：B解析：根据对称性，令D1={(x，y)｜0≤x≤π，0≤y≤x}，sinxsiny.max{x，y}dσ=xsinxsinydσ=2∫0πxsinxdx∫2xsinydy=2∫0πxinx(1-cosx)dx=2∫0πxsinxdx-2∫0πxsinxcosxdx=π∫0πsinxdx-∫0πxd(sin2x)=选(B)．知识模块：高等数学6．二阶常系数非齐次线性微分方程y’’-2y’-3y=(2x+1)e-x的特解形式为( )．A．(ax+b)e-xB．x2e-xC．x2(ax+b)e-xD．x(ax+b)e-x正确答案：D解析：方程y’’-2y’-3y=(2x+1)e-x的特征方程为λ2-2λ-3=0，特征值为λ1=-1，λ2=3，故方程y’’-2y’-3y=(2x+1)e-x的特解形式为x(ax+b)e-x，选(D)．知识模块：高等数学填空题7．=_______.正确答案：解析：由∫0xtsin(x2-t2)dt=∫0xsin(x2-t2)d(x2-t2)=∫0x2sinudu，得知识模块：高等数学8．=_______.正确答案：2解析：当x→0时，有1-cosax～x2，则(2x)2=x2，，原式= 知识模块：高等数学9．设函数满足f’(x)==_____.正确答案：解析：由y=得于是知识模块：高等数学10．设F(x)=∫0x(x2-t2)f(t)dt，其中f’(x)在x=0处连续，且当x→0时，F’(x)～x2，则f’(0)=______．正确答案：解析：F(x)=x∫0xf’(t)dt-∫0xtf(f)dt，F’(x)=2x∫f’(t)dt，因为当x→0时，F’(x)～x2，所以=1．而=2f’(0)，故f’(0)= 知识模块：高等数学11．求=________.正确答案：解析：知识模块：高等数学12．∫0π=________.正确答案：解析：知识模块：高等数学13．设z=f(x，y)二阶可偏导，，且f(x，0)=1，f’y(x，0)=x，则f(x，y)=________．正确答案：y2+xy+1解析：由=2y+φ(x)，因为f’y(x，0)=x，所以φ(x)=x，即=2y+x，z=y2+xy+C，因为f(x，0)=1，所以C=1，于是z=y2+xy+1．知识模块：高等数学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。