二次函数动点问题
精品 九年级数学中考 二次函数专题 三 动点问题
专项练习
- 1 - 二次函数专题 三 动点问题
1.已知抛物线3222mmmxxy
（1）证明抛物线的顶点一定在直线y=-x+3上；
（2）若抛物线与x轴交于M、N两点，当OM〃ON=3，且OM≠ON时，求抛物线的解析式；
（3）若（2）中所求抛物线顶点为C，与y轴交点在原点上方，抛物线的对称轴与x轴交于点B，直线y=-x+3与x轴交于点A。点P为抛物线对称轴上一动点，过点P作PD⊥AC，垂足D在线段AC上。试问：是否存在点P，使ABCPADSS41？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
2.如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A,它的对称轴x=2 ，与x轴
交于点C，直线y=-2x-1经过抛物线上一点B(-2,m)，且与y轴、直线x=2分别交于点D、E.
（1）求m的值及该抛物线对应的函数关系式；
（2）求证：① CB=CE ；② D是BE的中点；
（3）若P(x，y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P,使得PB=PE,若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由
专项练习
- 2 - 3.如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12厘米，OB=6厘米．点P从点O 开始沿OA边向点A以l厘米／秒的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以l厘米，秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t(秒)表示移动的时间(0≤t≤6)，那么
(1)设△POQ的面积为y，求y关于t的函数解析式；
(2)当△POQ的面积最大时，将△POQ沿直线PQ翻折后得到△PCQ，试判断点C是否落在直线AB上，并说明理由；
(3)当t为何值时，△POQ与△AOB相似．
4.如图，在Rt△ABO中，OB=8,tan∠OBA=43.若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点C在x轴负半轴上，且OB＝4OC.若抛物线cbxaxy2经过点A、B、C .
中考数学压轴题二次函数动点问题
中考数学压轴题二次函数动点问题
题目：一个二次函数的抛物线图象如下，过y轴的点为A(x,0)，过x轴的点为B(0,y)，请问点A、B的坐标分别是多少？
解答：
首先，我们先观察题目给出的抛物线图象。
由于抛物线图象是一个二次函数的图象，所以我们设函数的一般式为y=ax^2+bx+c。
接下来，我们需要寻找点A(x,0)的坐标。根据题目给出的图象，我们可以看出点A是与x轴交于一点的坐标，也就是说y=0，即我们需要找到满足y=ax^2+bx+c=0的x的值。
考虑到点A位于y轴上，所以x=0。代入方程y=ax^2+bx+c=0中，我们得到c=0。
因此，点A的坐标是A(0,0)。
接下来，我们寻找点B(0,y)的坐标。根据题目给出的图象，我们可以看出点B是与y轴交于一点的坐标，也就是说x=0，即我们需要找到满足y=ax^2+bx+c=0的y的值。
考虑到点B位于x轴上，所以y=0。代入方程y=ax^2+bx+c=0中，我们得到c=0。
因此，点B的坐标是B(0,0)。
综上所述，点A的坐标是A(0,0)，点B的坐标是B(0,0)。
然而，这个解答是不正确的。 为了解决这个问题，我们需要重新分析题目给出的二次函数的抛物线图象。
首先，我们观察到抛物线经过y轴的点，那么通过y轴的点的横坐标一定是0，即x=0。因此，点A的横坐标是0。
接着，我们观察到抛物线经过x轴的点，那么通过x轴的点的纵坐标一定是0，即y=0。因此，点B的纵坐标是0。
接下来，我们需要寻找点A的纵坐标。根据题目给出的抛物线图象，我们可以看出点A的纵坐标即为抛物线的顶点的纵坐标。我们将顶点的纵坐标记为k。
由于抛物线的对称轴是与y轴垂直的，所以顶点的横坐标为x=0。代入一般式y=ax^2+bx+c中，我们得到k=0^2*a*0+b*0+c=c。
因此，点A的坐标是A(0,c)。
接下来，我们需要寻找点B的横坐标。根据题目给出的抛物线图象，我们可以看出点B的横坐标即为抛物线与x轴的交点的横坐标。我们将与x轴的交点的横坐标记为m。
中考数学二次函数动点问题-因动点产生的平行四边形问题
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学习资料 因动点产生的平行四边形问题
例1 2013年上海市松江区中考模拟第24题
如图1，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(0, 1)、B(4, 3)两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求tan∠ABO的值；
（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“13松江24”，拖动点N在直线AB上运动，可以体验到，以M、N、C、B为顶点的平行四边形有4个，符合MN在抛物线的对称轴的左侧的平行四边形MNCB只有一个．
请打开超级画板文件名“13松江24”，拖动点N在直线AB上运动，可以体验到，MN有4次机会等于3，这说明以M、N、C、B为顶点的平行四边形有4个，而符合MN在抛物线的对称轴的左侧的平行四边形MNCB只有一个．
思路点拨
1．第（2）题求∠ABO的正切值，要构造包含锐角∠ABO的角直角三角形．
2．第（3）题解方程MN＝yM－yN＝BC，并且检验x的值是否在对称轴左侧．
满分解答
（1）将A(0, 1)、B(4, 3)分别代入y＝－x2＋bx＋c，得
1,1643.cbc 解得92b，c＝1．
所以抛物线的解析式是2912yxx．
（2）在Rt△BOC中，OC＝4，BC＝3，所以OB＝5．
如图2，过点A作AH⊥OB，垂足为H．在Rt△AOH中，OA＝1，4sinsin5AOHOBC， 学习资料收集于网络，仅供学习和参考,如有侵权，请联系网站删除
学习资料 所以4sin5AHOAAOH．
图2
所以35OH，225BHOBOH．
在Rt△ABH中，4222tan5511AHABOBH．
初中数学丨二次函数的动点问题总结例题解析，两个问题一次解决
初中数学丨二次函数的动点问题总结例题解析，两个问题一次解决
动点问题一直是初中热点，近几年往往考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
今天老师针对初中数学的二次函数及动点问题整理了这篇文章，并通过中考真题的详细讲解让同学们掌握所有知识点。
内容较长，由于篇幅限制，上传不完整，老师已整理好word打印版，需要的同学或家长可以在文末免费获取。
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动点问题题型方法归纳总结 动态几何特点——问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）
共同点：
1.特殊四边形为背景
2.点动带线动得出动三角形；
3.探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）；
4.求直线、抛物线解析式； 5.探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。
解法四：数学往往有两个思考方向：代数和几何，有时可以独立思考，有时需要综合运用。
代数讨论：计算出△PQB三边长度，均用 t 表示，在讨论分析R t △PHQ中用勾股定理计算PQ长度，而PB、BQ长度都可以直接用 t 表示，进行分组讨论即可计算。
点评：此题综合性较强，涉及函数、相似性等代数、几何知识，1,2小题不难，第3小题是比较常规的关于等腰三角形的分类讨论，需要注意的事在进行讨论并且得出结论后应当检验，在本题中若求出的 t
值与题目中的0＜t＜1矛盾，应舍去
点评：这是一道涉及二次函数、方程、几何知识的综合压轴题，有一定的能力要求，第3小题是一个最值问题，解此类题时需数形结合方可较轻松的解决问题。 由于文章篇幅限制，完整word版老师已整理好，内容免费获取方式如下：
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除以上内容，老师还整理了关于初中数学各模块题型的精讲，上面展示的题型库+配套练习，课堂中关于如何学好数学的视频课，希望你们认真领会并按照课程中所讲坚持下去，必见成效。
二次函数动点问题的解题思路
２０２３
年１２
月下半月 解法探究
二次函数动点问题的解题思路
◉
江苏省连云港市海头初级中学
王小路
摘要:二次函数动点问题难度较大,常作为测试中的压轴题,分值较高．
部分学生常因不得法、无明确的解题思路,失分
较为严重．
授课中应结合学情以及经验,做好二次函数动点问题教学设计,展示习题情境以及解题思路,给类似问题的解答
提供针对性解题指引．
关键词:二次函数;动点问题;解题思路
二次函数动点问题对学生的想象能力要求较
高[１]．
解决该类习题需从题干以及图形出发寻找突破
口,尤其应注重“化动为静”,全面考虑各种满足题设
条件的情境．
１求解参数范围
图１例１ (２０２１
年河南统考中
考真题)如图１,抛物线
y＝x２＋mx
和直线y＝－x＋b
交于点A(
２,
０)和
点B．
(
１)求
m
和b
的值;
(
２)求点
B
的坐标,并结合图象
写出不等式x２＋mx＞－x＋b
的解集;
(
３)
M
为直线AB
上的一个动点,将点M
向左平
移３
个单位长度得到点N．
当线段MN
和抛物线只有
一个公共点时,直接写出点M
的横坐标x
M的取值
范围．
思路剖析:问题(１)将点
A
坐标分别代入到抛物
线和直线解析式中,构建两个方程求出m
和b
的值;
问题(２)将抛物线和直线解析式联立求出点
B
的坐
标,运用数形结合法求出不等式的解集;问题(３)先确
定线段MN
的长度和方向,以点M
为研究对象,从点
A
右侧开始逐渐沿着直线AB
运动,分析不同情况下
MN
和抛物线的交点,得出结论．
解:(１)将点A(２,０)分别代入到抛物线和直线解
析中,得４＋２m＝０,
－２＋b＝０,{
解得m＝－２,
b＝２．{
(２)由(１)得抛物线为
y＝x２－２x,其顶点坐标为
(１,－１);直线为
y＝－x＋２．
联立y＝x２－２x,
y＝－x＋２,{
解得x＝－１,
y＝３,{
或x＝２,
y＝０,{
所以
点B
的坐标为(－１,３)
．
不等式x２＋mx＞－x＋b
表
示抛物线y＝x２－２x
在直线y＝－x＋２
的上方,对应
的解集为x＜－１
或x＞２．(３)由题意可得,
A,
二次函数动点问题解答方法技巧(含例解答案)
二次函数动点问题解答方法技巧（含例解答案）
函数解题思路方法总结：
⑴ 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax2+bx+c=0中a,b,c的符号，或由二次函数中a,b,c的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2+bx+c�va≠0�w本身就是所含字母x的二次函数；下面以a＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：
动点问题题型方法归纳总结
动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）
动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、
相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。
二、 抛物线上动点
5、（湖北十堰市）如图①， 已知抛物线y?ax2?bx?3（a≠0）与x轴交于点A(1，0)和点B (－3，0)，与y轴交于点C． (1) 求抛物线的解析式；
(2) 设抛物线的对称轴与x轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3) 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．
二次函数动点问题中面积最值的解法策略
二次函数动点问题中面积最值的解法策略
摘要： 我国正在实施新的基础教育课程改革，《义务教育数学课程标准（２０22年版）》指出要培养学生的数学核心素养，而二次函数和几何图形的综合应用题，能充分的考查学生的数学抽象，逻辑推理，数学运算以及数学建模等综合能力。这种类型的综合题，通常出现在中考的压轴题中，综合性强，计算强度大，具有较大的难度，在二次函数与几何图形的综合题中，求二次函数面积的最值问题比较常见，本文就此问题解法进行探讨。
关键词： 二次函数与几何图形 ；函数动点问题 ；二次函数面积最值
二次函数动点问题就是通过点的运动生成一种函数关系及函数图象，抛物线上点的运动与直线相结合而产生的三角形面积问题 ，就是将几何图形与函数图象有机地融合在一起，解决的关键是结合图形通过点坐标衔接函数、方程找到函数关系。本文就求解二次函数面积最值的问题，浅谈几种解决此类问题的方法策略。
一、割补法
在解决二次函数面积最值问题时，不规则多边形的面积往往可以通过割补法把多边形分为几个三角形或者是规则的四边形的面积来求解，当三角形中有一边是在坐标轴上，或者在以坐标轴平行的直线上，那么就可以把这一条边当作三角形的底边，第三个点到这一条边的距离，作为三角形的高，直接利用三角形的面积公式求解，或者过图形的各端点作两坐标轴的平行线，构造与轴平行的最小矩形对所要求面积的图形进行覆盖，然后所求图形的面积即为矩形面积减去多余的几个直角三角形的面积。最终把多边形面积的最值问题，转化为求三角形面积的最值问题，这也体现了一种“化归”的思想方法。 题目1、(2019枣庄)已知抛物线y＝ax2＋x＋4的对称轴是直线x＝3，与x轴相交于A，B两点(点B在点A右侧)，与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；
(2)如图①，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点(不与B、C重合)，是否存在点P，使四边形PBOC的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值；若不存在，请说明理由.
二次函数动点问题(提高篇)(最新整理)
1数学压轴题 二次函数动点问题
1.如图，抛物线y
＝ax
2
＋bx
＋c
(a
≠0)与x
轴交于A
(
－3，0)、B
两点，与y
轴相交于点
C
(0
，)．当x
＝－4和x
＝2时，二次函数y
＝ax
2
＋bx
＋c
(a
≠0)的函数值y
相等，连结AC
、3
BC
．
（1）求实数a
，b
，c
的值；
（2）若点M
、N
同时从B
点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA
、BC
边运动，其
中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t
秒时，连结MN
，将△BMN
沿MN
翻折，B
点恰好落在AC
边上的P
处，求t
的值及点P
的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点Q
，使得以B
，N
，Q
为顶点的三角形
与△ABC
相似？若存在，请求出点Q
的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）由题意得
cbacbaccba
244163039
解得a
＝
－，b
＝
－，c
＝．
33
332
3
（2）由（1）知
y
＝
－x
2
－
x
＋，令y
＝0
，得
－x
2
－x
＋
＝0
．
33
332
3
33
332
3
解得x
1＝
－3，x
2＝1．
∵A
(
－3，0)，∴B
(1，0)．又∵C
(0，)，∴OA
＝3，OB
＝1，OC
＝，33
∴AB
＝4，BC
＝2．∴tan∠ACO
＝＝，∴∠ACO
＝60°，∴∠CAO
＝30°．
OCOA
3
同理，可求得∠CBO
＝60°，∠BCO
＝30°，∴∠ACB
＝90°．
∴△ABC
是直角三角形．
又∵BM
＝BN
＝t
，∴△BMN
是等边三角形．
∴∠BNM
＝60°，∴∠PNM
＝60°，∴∠PNC
＝60°．
2∴Rt△PNC
∽Rt△ABC
，∴
＝．
NCPN
BCAB
由题意知PN
＝BN
＝t
，NC
＝BC
－BN
＝2
－t
，∴
＝．
tt
224
∴t
＝．∴OM
＝BM
－
OB
＝
－1＝．
34
34
31
如图1，过点P
作PH
⊥
x
轴于H
，则PH
＝PM
·sin60°＝×
＝．
34
23
332
MH
＝
PM
·cos60°＝
×
＝．∴OH
＝OM
＋
MH
＝＋＝1．
34
21
3231
32
∴点P
的坐标为
(－1，
)．
332
（3）存在．
二次函数动点问题类型
二次函数动点问题类型
二次函数是高中数学中重要的一部分，随着时代的发展，二次函数的应用越来越广泛。其中，二次函数动点问题类型是考试中出现频率较高的一类题目，也是值得我们深入学习和掌握的内容。
一、什么是二次函数动点问题类型？
二次函数动点问题类型指的是给定二次函数及其图象上的一点（即动点），通过对动点运动过程中的相关数据进行分析，解答与动点有关的问题。通常情况下，动点的运动路径为直线或曲线，并按给定规律进行移动，以便更好地探究相关知识点。
二、二次函数动点问题类型的解题步骤
二次函数动点问题类型的解题步骤可以分为以下几个方面：
1. 给出图象并写出二次函数式
首先，我们需要学会根据图象写出二次函数式，同时标注出图象上给定的动点位置，包括横纵坐标等。
2. 设定动点运动规律
根据题意，我们设定动点运动规律，并标注出相关数据（如起点、终点、速度等等）。
3. 计算动点运动路径上的中点坐标 根据所给出的动点运动路径，我们可以计算出该路径上所有中点的坐标，并标注出来。
4. 求解动点的最高/最低点和极值
通过对动点运动路径上的中点坐标进行计算，我们可以得到动点的最高/最低点和极值，并将其标出。
5. 解答相关问题
在完成以上步骤后，我们可以根据题目所给的要求，解答相关问题，例如：求动点在何时到达最高/最低点，求解动点的最大/最小值，求出动点最终到达的位置等等。
三、二次函数动点问题类型的应用
二次函数动点问题类型是高中数学中常见的考察点，同时也广泛地应用于实际生活中。以下是几个常见的应用案例：
1. 抛物线切线问题
抛物线切线问题是二次函数动点问题类型中应用广泛的一种。通过设定动点的运动规律，我们可以计算出与抛物线相切的直线方程，从而进一步探究相关知识点。
2. 自由落体问题
自由落体问题也是二次函数动点问题类型的重点之一。通过设定动点的初始高度和运动规律，我们可以计算出物体的落地时间，最高高度等等，从而更好地探究物理知识。 3. 弹道问题
二次函数动点问题
二次函数动点问题
类型一：平行四边形
分类标准：讨论对角线
例如：请在抛物线上找一点p使得
四点构成平行四边形，则可分成以下几种情况
（1）当边
是对角线时，那么有
（2）当边
是对角线时，那么有
（3）当边
是对角线时，那么有
例题1：本题满分14分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4，0)，B(0，-4)，C(2，0)三点.
(1)求抛物线的解析式；(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；
(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=－x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、0为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标.
类型二：直角三角形
分类标准：讨论直角的位置或者斜边的位置
例如：请在抛物线上找一点p使得
三点构成直角三角形，则可分成以下几种情况
（1）当
为直角时，
（2）当
为直角时，
（3）当
为直角时，
例题3：如图1，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C(0，－3)，对称轴是直线x＝1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．
（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；
（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．
①当线段
时，求tan∠CED的值；②当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．