2020届高三第一次调研考试理科数学标准答案与评分细则

2020届高三第一次调研考试理科数学参考答案及评分细则

命题，校对：伍海军

12．【解析】由()()()2i 3i 35i x y +-=++，得()()632i 35i x x y ++-=++， ∴63325x x y +=-=+??

?，解得3

4x y =-=???

，∴i 34i 5x y +=-+=．故选A ．

3．【解析】由频率分布直方图可得，320名学生中每周的自习时间不足225．小时的人数是

()3200020072572?+?=．．．人．故选

B ． 4．【解析】除甲乙外，其余5个排列数为5

5A 种，再用甲乙去插6个空位有2

6A 种，不同的排法种数是

52563600A A =种，故选A.

5．【解析】因为点E 是CD 的中点，所以12EC AB =

，点F 是BC 的中点，所以11

22

CF CB AD ==-，所以11

22

EF EC CF AB AD =+=-，故选C ．

6．【解析】由题意得1q ≠±．由639S S =得

()()631111911a q a q q

q

--=?

--，∴3

19q +=，∴2q =．又

()515112316212

a S a -=

==-，∴12a =．故选B ．

7．【解析】因为抛物线的焦点为(1,0),所以22212c b a c a b

=???=??

?=+?解得221

545a b ?=????=?? ，双曲线方程为22

5514y x -

=.故选C.

8．【解析】函数sin y x =的图象向左平移2

π

个单位后，得到函数()sin()cos 2f x x x π=+=的图象，

()cos f x x =为偶函数，排除A ；()cos f x x =的周期为2π，排除B ；因为()cos =022

f ππ

=，所以

()f x 的图象不关于直线2

x π

=对称，排除C. 故选D ．

9．【解析】对于A ，若存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β，则α

∥β或α与β相交，若α∥β，则存在一条直线a ，使得

a ∥α，a ∥β，所以选项A 的内容是α∥β的一个必要条件；同理，选项B ，C 的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于D ，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D 的内容是α∥β的一个充分条件．故选D ．

10．【解析】由题意得点F 的坐标为1

(0,)8

，设点M 的坐标()00,x y ，点N 的坐标(),0a ，

所以向量：001(,)8

FM x y =-，()00,MN a x y =--，由向量线性关系可得：03x a =，001

24y y -=-，解

得：0112y =，代入抛物线方程可得：0x =a =，由两点之间的距离公式可得：5

8

FN =．故

选A ．

11．【解析】 由题意，120对都小于1的正实数(,)x y ，满足01

01x y <

，面积为1，两个数能与1构成钝

角三角形的三边的数对()x y ,，满足221x y +<且01

011

x y x y <?

，面积为1

42π-，∵统计两数能与1构成钝角

三角形三边的数对()x y ,的个数为34m =，则34112042π=-，∴47

15

π=，故选B ． 12．【解析】∵(

))

ln

f x x =-，

∴(

)

)

)

()ln ln

f x x x f x =-==-，

∴()()f x f x =-，∴函数()f x 是偶函数，∴当0x >时，易得(

)ln

f x x =+为增函数，

∴()()33log 0.2log 5a f f ==，()()

111133c f f =-=．．，∵31log 52<<，02031-<<．，1133>．，∴()()()1102

33log 53f f f ->>．．，∴c a b >>，故选C ．

二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．【解析】y ＝4x ＋14x －5＝(4x －5)＋14x －5＋5≥2＋5＝7.当且仅当4x －5＝14x －5，即x ＝3

2时取等号．

14．【解析】由题意得AC 2

＝AB 2

＋BC 2

－2AB ·BC ·cos B ＝2＋9－62·22＝5，即AC ＝5，则BC sin A

＝AC

sin B ，3sin A ＝52

2

，得sin A ＝310

10. 15．【解析】设等差数列{}n a 的公差为(0)d d ≠，则12452,103

,202S d S d S d =-=-=-，因为2214S S S =?，所以2

(103)

(5

2)(202)d d d -=--，整理

得25100,0,2d d d d -=≠∴=，

3(3)52(3)21n a a n d n n =+-=+-=-．

16．【解析】如图所示，由外接球的表面积为16π，可得外接球的半径为，则=4AB 设

AD x =，则BD =BD 上的高=1CH ， 当CH ⊥平面ABD 时，棱锥A BCD -的体积最大，

此时1132V x =

??=， 当28x =时，体积最大，此时最大值为4

3

.

三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个考生都必须作答．第23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分。 17．（本小题满分12分） 解：（1）由正弦定理可得

a b c b

c a b c

-+=+- ……………………1分 化简得222b c a bc +-=， ……………………2分

由余弦定理222

cos 2b c a A bc

+-=得1cos 22bc A bc =

=， ……………4分 又因为0A <<π，……………………………5分（注1：无此步骤，本得分点不能给分）

所以3

A π

=． …………………………………………………………………………6分

（2

）由正弦定理得22sin 2sin sin 3

a R a R A A π

=?=

== ………8分

由余弦定理得2232b c bc bc bc bc =+--=≥， …………9分 即3bc ≤，（当且仅当b c =时取等号） ………………………………10分

故11sin 32224

S bc A =

??=≤（当且仅当b c =时取等号）．……11分 即ABC ?面积S

的最大值为4

……12分（注2：无此步骤，本得分点不能给分）

（注3：最大值正确但无取等号的说明，扣1分） 18.（本小题满分12分）

（1）证明：因为PC ⊥平面ABC ，DE ?平面ABC ， 所以PC DE ⊥.…………1分

由2,CE CD DE ===

得CDE ?为等腰直角三角形，

故CD DE ⊥．………………2分

又PC CD C =，且PC ?面PCD ，CD ?面PCD ，……3分

（注：此步骤中写出任意一个可得1分；全部不写，本得分点不给分） 故DE ⊥平面PCD ．……………4分

（2）解：如图所示，过点D 作DF 垂直CE 于F ， 易知1DF FC FE ===，又1EB =，故2FB =．

由2ACB π∠=，得//DF AC ，

2

3DF FB AC BC ==， 故33

22

AC DF ==．………………………………5分

以点C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，CP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图空间直角坐标系

C xyz -， ……………………………6分

(0,0,0)C ，(0,0,3)P ，3

(,0,0)2A ，(1,1,0)D ， 1

(1,1,3),(,1,0)2

DP DA =--=- ……………………………………7分

设平面PAD 的法向量为()1

111,,n x y z =，则10n DP ?=，10n DA ?=，

即1111130102

x y z x y --+=???-=??，……………………………………8分

令12x =，则111,1y z ==，故可取1(2,1,1)n =．…………9分（注：与1n 共线的非零向量都可给分）

由（1）可知DE ⊥平面PCD ，故平面PCD 的法向量2n 可取为ED ， 而(0,2,0)E ，(1,1,0),ED =-即

2=(1,1,0)n -.………10分

则121212

cos ,2||n n n n n n ?=

=

=

，…11分（注：根据法向量方向不同结果可正可负，都可给分） 又二面角A PD C --为锐二面角， 所以二面角A PD C --分（注：无此步骤，本得分点不能给分） 19．（本小题满分12分） 解：（1）设动点(),M x y ，则3

MA y

k x =

+()3x ≠-，………………………………………1分 3

MB

y

k x =

-()3x ≠，…………………………………………………………………2分 P

E

D

C B

A

19MA MB k k ?=-，即1

339

y y x x ?=-+-．化简得：2219x y +=，………………3分

由已知3x ≠±，故曲线C 的方程为2

219

x y +=()3x ≠±．………………………4分 （注：方程正确，只要在解答过程出现过3x ≠±，就不扣分；否则扣1分）

（2）由已知直线l 过点()1,0T ，设l 的方程为1x my =+，……………………………5分

280my +-=，………………6分 设()11,P x y 分

，……8分 分

所以存在定点3,0S ±，使得直线与SQ 斜率之积为定值．……………………12分 20．（本小题满分12分） 解：（1）函数()f x 的定义域是(1,＋∞)．……………………………1分

因为12(2)

()=2[

(1)]11

x x f x x x x -'--=---，………………2分 又1x >，令()0f x '>，解得12x <<，……………………3分 所以函数()f x 的单调递增区间是(1,2)． ……………………4分

（注：单调区间也可以是(1,2]，写成其它形式，本得分点不能给分）

（2）由2

()30f x x x a +--=，得12ln(1)0x a x ++--=

令()12ln(1)g x x a x =++--，……………………………………………5分

则23

()111

x g x x x -'=-

=

--（1x >）………………………………. ………6分 由()0g x '>，得3x >，由()0g x '<，得13x <<………………………7分

所以函数()g x 在[2，3]内单调递减，在[3，4]内单调递增，…………………8分

画出草图，可知方程2

()30f x x x a +--=在区间[2，4]内恰有两个相异的实根，

则(2)0(3)0(4)0g g g ≥??

+-

，…………………10分 解得2ln352ln 24a -≤<-，………………11分

综上所述，实数a 取值范围是[2ln35,2ln 24)--．…12分

（注：此步骤中，最终结果可以是集合、区间或不等式。若区间端点开闭错误，本得分点不给分。） 21．（本小题满分12分） 解：（1）X 所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6. ………1分（注：此步骤中，全部写对可得1分）

()11101010100P X ==?=

， ()111

1210525P X ==??=， ()11213225551025P X ==?+??=

， ()131211

32210105550P X ==??+??=， ()22317425510525P X ==?+??=

， ()236

5251025P X ==??=， ()339

61010100

P X ==?=

，………3分（注：此步骤中，写对任意一个可得1分，全对得2分） ∴X

分

（2）选择延保方案一，所需费用Y 元的分布列为：

1Y 取值全对可得1分）

117117697000900011000130001500010720100502525100EY =

?+?+?+?+?=(元). …………8分 选择延保方案二，所需费用Y 元的分布列为：

分（注：此步骤中，2Y 取值全对可得1分）

267691000011000120001042010025100

EY =

?+?+?=(元). ………………………11分 ∵12EY EY >，∴该医院选择延保方案二较合算. ……………………12分 （二）选考题：共10分。 23．（本小题满分10分）

解：（1）当1a =时，不等式()3f x ≥可化简为13x x ++≥．………1分 当1x <-时，13x x ---≥，解得2x ≤-，所以2x ≤-；………………………2分 当10x -≤<时，13,13x x +-≥≥，无解；………………………………………3分

当0x ≥时，13x x ++≥，解得1x ≥，所以1x ≥．………………………………4分

综上，不等式()3f x ≥的解集为(,2][1,)-∞-+∞．………5分（注：解集必须是集合或区间形式） （2）当1x ≥时，不等式()2f x x ≥+可化简为11ax a -+≥．……………6分 由不等式的性质得11ax a -+≤-或11ax a -+≥，

即(1)2a x -≤-或(1)0a x -≥．……………………………………………………7分 当x ≥1时，a R ?∈，不等式(1)2a x -≤-不恒成立；…………………………8分 为使不等式(1)0a x -≥恒成立，则0a ≥．………………………9分

综上，所求a 的取值范围为[0,)+∞．……………………………………………10分