2012年考研数学一真题及详解
2012考研数学一真题及其解析
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、 选择题：1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）曲线221x xy x +=-渐近线的条数（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 解析：C由lim 1,1x y y →∞==得为水平渐近线由1lim 1x y x →=∞=得为垂直渐近线 由11lim ,12x y x →-=≠∞=-得非垂直渐近线，选（C ）（2）设函数2()(1)(2)x x nx f x e e e n =--…（-），其中n 为正整数，则(0)f '=（ ）（A ）1(1)(1)!n n --- （B ）(1)(1)!n n -- （C ）1(1)!n n -- （D ）(1)!n n - 解析： A2221()(2)(2)(1)2()(1)(2)(0)1(1)(1)(1)(1)!x x nx x x nx x x nxn f x e e e e e e n e e ne f n n ''-=--+-⋅-+--∴=⨯-⨯⨯-=--选（A ）（3）如果函数(,)f x y 在（0，0）处连续，那么下列命题正确的是（ ）（A ）若极限00(,)lim x y f x y x y →→+存在，则(,)f x y 在（0，0）处可微（B ）若极限2200(,)limx x f x y x y→→+存在，则(,)f x y 在（0，0）处可微 （C ）若(,)f x y 在（0，0）处可微，则极限00(,)lim x y f x y x y →→+存在（D ）若(,)f x y 在（0，0）处可微，则极限2200(,)limx x f x y x y→→+存在解析：(B)2200(,)limx y f x y k x y→→=+ (0,0)0(,)(0,0)00()f z f x y f x y ορ=⎧⇒⎨∆=-=⋅+⋅+⎩ (,)f x y ⇒在(0,0)处可微.（4）设20k x k I eπ=⎰sin (1,2,3)xdx k =则有（ ）（A ）123I I I << (B)321I I I << (C)231I I I << (D)213I I I <<解析： D22222111sin |sin |.x x I I e xdx I e x dx I ππππ=+=-<⎰⎰2223312|sin |sin .x x I I e x dx e xdx ππππ=-+⎰⎰而2232()2sin sin x t e xdxx t etdt ππππππ+=+-⎰⎰2222()|sin ||sin |.x x ex dx e x dx πππππ+=>⎰⎰31312..I I I I I ∴>∴>>(5)设1234123400110111c c c c αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，其中1234,,,c c c c 为任意常数，则下列向量组线性相关的为（ ）（A ）α1, α2, α3 （B ）α1, α2, α 4（C ）α1, α3, α4 （D ）α2, α3, α4解析：C343400c c αα⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪+⎝⎭,34αα+ 与1α成比例. 1α∴与3α+4α线性相关,134ααα∴，，线性相关，选C或13413411,,0110c c c ααα-=-= 134,,ααα∴线性相关，选C（6）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002p AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若P=(α1, α2, α3)，1223(,,).Q αααα=+则Q -1AQ =( )(A)100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B)100010002⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭(C)200010002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(D)200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭解析：（B ）1223100()110001Q P αααα⎛⎫⎪== ⎪⎪⎝⎭+，，111100100110110001001Q AQ P AP ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭100110011101110100120012⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪=-= ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（7）设随机变量X 与Y 相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则P {x <y }=( )(A)15 (B) 13 (C) 25 (D) 45解析：(A)~(1)X E ，,0~(4)()0,0x x e x Y E f x x -⎧>⇒=⎨≤⎩.4,40()0,0y Y e y f y y -⎧>=⎨≤⎩.,X Y ∴独立.44,0,0(,)0,x y e e x y f x y --⎧>>∴=⎨⎩其他 ()(,)x yP X Y f x y d δ<<=⎰⎰404x y x dx e e dy +∞+∞--=⎰⎰ 40(4)xy xe dx e d y +∞+∞--=⎰⎰ 40x x e e dx +∞--=⋅⎰ 50x e dx +∞-=⎰15=.（8）将长度为1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为（ ）(A) 1 (B) 12 (C) 12(D) 1-解析：设一段长X ,另一段1Y X =-，由ρ=(1)DX D X DY =-=cov(,)(1)(1)X Y EX X EX E x =---2()[1]E X X EX EX =--- 22()EX EX EX EX =-+ 22()EX EX DX =-+=-1ρ∴=，选项D二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.（9）若函数f (x )满足方程()()2()f x f x f x "'+-=及()()2x f x f x e '+=，则f (x )=_________.解析：212202,1λλλλ+-=⇒=-=212()()2()0(),x x f x f x f x f x C e C e -"+'-=⇒=+代入12()()20, 1.x f x f x e C C '+===得()x f x e ∴=（10）20________=⎰解析：2π[22(1)1(1)x x =-+-⎰⎰111(22x π--=+===⎰⎰⎰.（11）(2,1,1)_______z grad xy y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭解析：{1，1，1}21,,z z grad xy y x y y y ⎛⎫⎧⎫+=-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭ (2,1,1){1,1,1}z grad xy y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（12）设{(,,)|1,0,x y z x y z x y z =++=≥≥≥∑，则2y d s ∑=⎰⎰_____ .解析:12.1,:1(0,0) z x y D x y x y=--+≤≥≥11222002xDy ds y dx y dyδ-==⎰⎰⎰⎰⎰1134(1)(1)31212x dx x=-=--=⎰（13）设X为三维单位向量，E为三阶单位矩阵，则矩阵E T-XX的秩为_________.解析：2.设2,TA E XX A A=-=()() 3.r A r E A⇒+-=()()()1Tr E A r XX r X-===() 2.r A∴=（14）设A,B,C是随机事件，A,C互不相容，11(),(),23P AB P C==则CP AB（）=_________.解析：34解：()()()(|)1()()P ABC P AB P ABC P AB C P C P C -==- AC =∅ ，ABC ∴=∅. 1()32(|)21()43P AB P AB C P C ∴===-.三、解答题：15~23小题，共94分，请将解答写在答题纸指定位置上.（15）（本题满分 分）证明x ln 11x x+-+cos x ≥1+22x (-1<x <1)证明：令21()ln cos 1.(0)0.12x x x x x x ϕϕ+=+--=- ϕ’212()ln sin 11x xx x x x x +=+---- 2211ln sin 11x x x x x x++=+--- 01x <<时. 1ln 01xx+>-,2211x x x x +≥-，又sin x x ≤. ()0x ϕ∴>’；10x -<<时，1ln 01xx+<-，2211x x x x +≤-,又sin x x ≥. ()0x ϕ∴<’.0x ⇒=为()x ϕ在（-1，1）内最小点，而ϕ（0）=0∴当-1<x<1时. ϕ()0x ≥，即 21ln cos 112x x x x x ++≥+-(16)（本题满分 分） 求函数222(,)x y f x y xe +-=的极值解析：由22'2222'2(1)0x y x x y y f x e f xye +-+-=-==-=⎧⎪⎨⎪⎩得10x y =-⎧⎨=⎩及10x y =⎧⎨=⎩ 222222''32''22''22(3)(1)(1)x y xx x y xy x y yy f x x ef y x e f x y e+-+-+-=-=--=-当1x y =-⎧⎨=⎩时，11222,0,.A e B C e --=== 20AC B -> 且0A >，10x y =-⎧∴⎨=⎩为极小点.极小值为12(1,0).f e --=-当1x y =⎧⎨=⎩时，11222,0,,A e B C e --=-==- 2100,0x AC B A y =⎧-><∴⎨=⎩ 且为极大点 极大值为12(1,0)f e -=（17）（本题满分 分） 求幂级数0n ∞=∑244321n n n +++x 2n的收敛域及和函数解：由1lim1n x na a +→∞=得R =1. 当1x =±时. 2443()21n n n n ++→∞→∞+1x ∴=±时级数发散.收敛域为（-1,1）令220443()21nn n n S x x n ∞=++=+∑202(21)21n n n x n ∞=⎡⎤=++⎢⎥+⎣⎦∑ =2200(21)221nn n n xn x n ∞∞==+++∑∑ 22100221n n n n x x n ∞∞+==⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭∑∑’21122212()2()1(1)x x S x S x x x +⎛⎫=+=+ ⎪--⎝⎭’当x =0时，S (0)=3.当x ≠0时，xS 1(x )=21021n n x n +∞=+∑[]2121()1nn xS x x x ∞===-∑’ 111111()ln ,()ln .2121x xxS x S x x x x++=∴=--223,0()111ln ,110(1)1x S x x xx x x x x =⎧⎪∴=++⎨+-<<≠⎪--⎩且（18）(本题满分 分)已知曲线L ：()cos x f t y t=⎧⎨=⎩（0≤t <2π），其中函数f (t )具有连续导数，且f (0)=0，()f t '>0(0<t <2π)，若曲线L 的切线与x 轴的交点到切点距离值恒为1，求函数f (t )的表达式，并求此曲线L 与x 轴无边界的区域的面积. 解析： ①/sin ./()dy dy dt t k dx dx dt f t -==='切线为sin cos ()0ty t x f t y f t ==--=⇒'()（），令 ())cot x f t f t t =+'(⋅,切线与x 轴交点为f t f t t +'.由题意222()cot cos 1f t t t '+=⇒242sin ().cos tf t t'= 2sin ()0.()sec cos .cos tf t f t t t t'>∴'==-()ln |sec tan |sin f t t t t C =+-+(0)0,()ln |sec tan |sin f f t t t t =∴=+-②220cos ()A ydx t f t dt ππ==⋅'⎰⎰22201sin .224t I πππ===⋅=⎰（19）（本题满分 分）已知L 是第一象限中从点（0，0）沿圆周222x y x +=到点（2，0），再沿圆周224x y +=到点（0，2）的曲线段，计算曲线积分233(2)LI x ydx x x y dy =++-⎰解析： 补充012:0(2,0)L L L L x y y I +====-⎰⎰22(313)L L Dx x d +=+-σ=⎰⎰⎰2Dd dx σ=-⎰⎰⎰而0144ππ=⋅=⎰122ππ=⋅=⎰（依据定积分几何意义）.22L L πππ+∴=-=⎰2(2) 4.L y dy ∴=-=⎰⎰4.2I π∴=-（20）（本题满分 分）已知A =10010101,00100010a a a a β⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥- ⎪⎢⎥= ⎪⎢⎥⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭（1）计算行列式|A|；（2）当实数a 为何值时，方程组Ax β=有无穷多解，并求其通解.解析：（I ）534A 1(1)1a a a =+-⋅=-（II ）当1a =及1a =-时，A x=β有无穷多个解. 当1a =时，A =11 0 01⎛⎫ ⎪0 1 1 0 -1⎪ ⎪0 0 1 1 0 ⎪1 0 0 1 0⎝⎭ →10012010110011000000⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭通解为12111010x k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当1a =-时.A 1100110010011010101100110001101001000000--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪----⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭通解为10111010x k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（21）（本题满分11分）已知110111001A a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦，二次型123(,,)()f x x x x x T T =A A 的秩为2， （1） 求实数a 的值；（2） 求正交变换x=Qy 将f 化为标准型. 解析：A T A=1010010111a a -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭110111001a a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎪-⎝⎭22201011113a a a a a a -⎛⎫ ⎪=+-⎪ ⎪--+⎝⎭T T (A A)x x 秩为2. ∴T T (A A)2((A A)(A)2)r r r ===也可以利用 ⇒T A A 01a =⇒=- ( T 22A A (3)(1)a a =++) (II)令T 202A A =B =022224⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭由E λ-20-2λ-B =0λ-2-2-2-2λ-4=λ(λ-2)(λ-6)=0 解0,2,6123λ=λ=λ=当λ=0时,由(0)0E A x -=即0Ax =得1111-⎛⎫ ⎪ξ=- ⎪ ⎪⎝⎭. 当2λ=时,由(2)0E A x -=⇒1102-⎛⎫ ⎪ξ= ⎪ ⎪⎝⎭. 当6λ=时,由(6)0E A x -=⇒1123⎛⎫ ⎪ξ= ⎪ ⎪⎝⎭. 取1r231111,1,1.102r r --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪-==⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎭⎭令2223.026Q f x x x Qy y y T⎛ = ⎝=B = +（22）（本题满分11分）设二维离散型随机变量X 、Y 的概率分布为（Ⅰ）求{2}P X Y =；（Ⅱ）求cov(,).X Y Y - 解析：(1)11(2)(0,0)(1,2)044P X Y P X Y P X Y ====+===+= (2)cov(,)cov(,)cov(,)X Y Y X Y Y Y -=-EXY EXEY DY =-- 012012~,~.1111112312333X X Y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的边缘分布 12212,136333EX EY ∴=+==+=2221152()12113333DY EY EY =-=⨯+⨯-=-=1114211223123123EXY =⨯⨯+⨯⨯=+=2222cov(,)13333X Y Y -=-⨯-=-.（23）（本题满分 分）设随机变量X 与Y 相互独立且分别服从正态分布2(,)N μσ与2(,2)N μσ，其中σ是未知参数且σ>0。
2012年考研数学真题(完整版)
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题:1 8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 曲线221x x y x +=-渐近线的条数 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(2) 设函数2()(1)(2)()x x nx y x e e e n =--- ,其中n 为正整数,则(0)y '= ( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n - (3) 如果函数(,)f x y 在(0,0)处连续,那么下列命题正确的是 ( )(A) 若极限0(,)limx y f x y x y →→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微(B) 若极限2200(,)limx y f x y x y→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微(C) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则 极限00(,)limx y f x y x y →→+存在(D) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则 极限2200(,)lim x y f x y x y→→+存在(4)设2sin (1,2,3)k xK exdx k π==⎰I 则有 ( )(A)123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D)213I I I <<(5)设1100C α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2201C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,3311C α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ,4411C α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,其中1234,,,C C C C 为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα(6) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002p AP -⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭.若P=（123,,ααα），1223(,,)ααααα=+，则1QAQ -= ( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(D)200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(7)设随机变量X 与Y 相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则{}p X Y <=( )(A)15(B) 13(C)25(D)45(8)将长度为1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为 ( )(A) 1 (B)12(C) 12-(D)1-二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)若函数()f x 满足方程'''()()2()0f x f x f x +-=及''()()2f x f x e +=，则()f x =(10)20x =⎰(11)(2,1,1)()|z grad xy +y=(12)设(){},,1,0,0,0x y z x y z x y z ∑=++=≥≥≥，则2y ds ∑=⎰⎰(13)设X 为三维单位向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵T E XX -的秩为 (14)设A ,B ,C 是随机变量，A 与C 互不相容，()()()11,,23p A B P C p A B C ===三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) 证明21ln cos 1(11)12x xx x x x++≥+-<<-(16)求函数222(,)x y f x y xe +-=的极值(17)求幂级数22044321nn n n xn ∞=+++∑的收敛域及和函数(18) 已知曲线(),:(0),cos 2x f t L t y tπ=⎧≤<⎨=⎩其中函数()f t 具有连续导数，且'(0)0,()0(0).2f f t t π=><<若曲线L的切线与x 轴的交点到切点的距离恒为1，求函数()f t 的表达式，并求此曲线L 与x 轴与y 轴无边界的区域的面积。
2012年全国硕士研究生入学统一考试考研数学一真题及详解【圣才出品】
【考点】考查向量的相关性的判断
【解析】由已知得
0 1 1
1 1
1,3,4 0
1
1 c1 1
0 1
c1 c3 c4
可知 α1，α3，α4 线性相关。
6．设 A 为三阶矩阵，P 为三阶可逆矩阵，且
1 0 0
P1
AP
0
1
0
0 0 2
若 P＝（α 1，α 2，α 3），Q＝（α 1＋α 2，α 2，α 3），则 Q－1AQ＝（ ）。
1 0 0
A．
0
2
0
0 0 1
1 0 0
B．
0
1
0
0 0 2
2 0 0
C．
0
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0
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2012 年全国硕士研究生入学统一考试考研数学一真题及详解
一、选择题（1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有
一个选项符合题目要求。）
1．曲线 y＝（x2＋x）/（x2－1）的渐近线的条数为（ ）。
f y
(0,
2
0)
g
x2 y2
y 0
0
由可微的定义可知 f（x，y）在点（0，0）处可微。因此，B 项正确。
4．设
Ik
kπ ex2 sin xdx(k 1, 2,3)
0
则有（ ）。
A．I1＜I2＜I3
B．I3＜I2＜I1
C．I2＜I3＜I1
D．I2＜I1＜I3
2012考研数学一真题及详解
2012年全国硕士研究生统一考试数学一试题及答案一、选择题：共8小题，每题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定的位置上。
1、曲线221x x y x +=-渐近线的条数（ ）（A ）0； （B ）1； （C ）2； （D ）3。
解：（C ）：22211lim lim 1111x x x x x x x→∞→∞++==--，可得有一条水平渐近线1y =；222112lim 1lim 1x x x x x x →→+==∞--，可得有一条铅直渐近线1x =；22111(1)1lim lim lim 1(1)(1)12x x x x x x x x x x x x →-→-→-++===--+-，可得1x =-不是铅直渐近线，故答案为（C ）。
2、设函数2()(1)(2)()x x nx y x e e e n =--- ，其中n 为正整数，则'(0)y =（ ） （A ）1(1)(1)!n n ---；（B ）(1)(1)!n n --；（C ）1(1)!n n --；（D ）(1)!n n -。
解：（A ）：(0)(11)(12)(1)0y n =---= ；则22000()(0)(1)(2)()(2)()'(0)lim lim lim0x x nx x nx x x x y x y e e e n x e e n y x x x→→→------===- 1(12)(1)(1)(1)!n n n -=--=-- 。
故答案为（A ）。
3．如果函数(,)f x y 在(0,0)处连续，那么下列例题正确的是（ ）（A ）若极限(,)(0,0)(,)lim ||||x y f x y x y →+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微；（B ）若极限22(,)(0,0)(,)limx y f x y x y →+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微；（C ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限(,)(0,0)(,)lim||||x y f x y x y →+存在；（D ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限22(,)(0,0)(,)limx y f x y x y →+存在。
2012考研数一真题及解析
1
对于 1
0, 解 1E
B X
0 得对应的特征向量为：1
1
1
1
对于 2
2, 解 2 E
B
X
0 得对应的特征向量为：2
1
0
1
对于 3
6, 解 3 E
B
X
0 得对应的特征向量为：3
1
2
将1,2 ,3 单位化可得：
1
1
1
1
1 3
1
1
，2
1 2
1 0
，3
1 6
2
（17）
4n2 4n 3
lim lim lim 【解析】： R n
an
an1
n
an
an1
n
2n 1 4 n1 2 4 n1 3
2n 1 1
4n2 4n 3
2n 1 1
lim n
2n 1 4n 12 4n 1 3 1
S(x) 4n2 4n 3 x2n
n0 2n 1
故
Q1
AQ
1
1
0
P
1
AP
1
1
0
1
1
0
0 0 1
0 0 1 0 0 1
1
1
1
0
2 0 0 1
1
2
故选（B）。 （7） 【答案】：（A）
【解析】： X ,Y
的联合概率密度为
f
(x,
y)
ex4 y , x 0，其它
0,
y
0
则 PX Y
f (x, y)dxdy
cott
所以 C 0 .故函数 f (t) ln sect tan t sin t .
2012年全国硕士研究生入学考试数学一试题及解析-推荐下载
（D）若
（4）设 Ik
（A） I1 I2 I3
（5）设 1
f
(x,
则线性相关的向量组为
（A）1,2 ,3
y)
在 (0, 0)
存在，则 f (x, y) 在 (0, 0) 处可微
存在，则
处可微，则极限 lim x0 y0
k ex2 sin xdx(k 1, 2, 3) ，则有 ______
2012 年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题
一、选择题：1-8 小题，每小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项 符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
（1）曲线
（A）0
y
x2 x x2 1
渐进线的条数 ________
（B）1
（2）设函数 f (x) (ex 1)(e2x 2)(enx n) ，其中 n 为正整数，则 f (0) ________
（16）（本题满分 10 分）
f (x, y) xe
求
1 x
x2 y2
2
的极值
（17）（本题满分 10 分）
求幂级数 4n2 4n 3 x2n 的收敛域及和函数
n0 2n 1
（18）（本题满分 10 分）
已知曲线
L
:
x f (t)
y
cos
t
(0 t
P 1
AP
2 0 0
0 0
1 0
2
（C）
5
0 2
（C） 1 2
P( AB)
1
2012考研数一真题解析
【考点】曲面积分的计算 【难易度】★★★★ 【详解】本题涉及到的主要知识点：
8 第 8 页，共 21 页
梦想不会辜负每一个努力的人
曲面积分公式：
x 1
的间断点只有
x
1 .
由于 lim y ，故 x 1是垂直渐近线. x1
（而 lim y lim x(x 1) 1 ，故 x 1不是渐近线）. x1 x1 (x 1)(x 1) 2
1 1
又 lim y lim x 1，故 y 1是水平渐近线.（无斜渐近线）
x
x 1
1 x2
综上可知，渐近线的条数是 2.故选 C.
lim
x0
f (x, y) x2 y2
lim x0
f
(x, y) f (0, 0) x2 y2
A
y0
y0
由极限与无穷小的关系
f (x, y) f (0, 0) x2 y2
A
o(1)
x y
0 0
，
其中 o(1) 为无穷小. f (x, y) f (0, 0) A(x2 y2) (x2 y2)o(1)
【答案】D 【考点】定积分的基本性质 【难易度】★★★ 【详解】本题涉及到的主要知识点：
b
c
b
设 a c b ，则 f (x)dx f (x)dx f (x)dx .
a
a
c
在本题中，
I1
0
ex2
sin
xdx
，
I2
2 0
ex2
sin
xdx ，
I3
3 ex2 sin xdx
0
I2 I1
y0
可微，但 lim x0
2012年考研(数学一)真题试卷(题后含答案及解析)
2012年考研（数学一）真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．曲线渐近线的条数为( )．A．0B．1C．2D．3正确答案：C2．设函数f(x)＝(ex－1)(e2x－2)…(enx－n)，其中n为正整数，则fˊ(0)＝( )．A．(－1)n－1(n－1)!B．(－1)n(n－1)!C．(－1)n－1n!D．(－1)nn!正确答案：A3．如果函数f(x，y)在(0，0)处连续，那么下列命题正确的是( )．A． B． C． D． 正确答案：B4．设(k＝1，2，3)，则有( )．A．I1＜I2＜13B．I3＜I2＜I1C．I2＜I3＜I1D．I2＜I1＜I3正确答案：D5．设，其中c1，c2，c3，c4为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )．A．α1，α2，α3B．α1，α2，α4C．α1，α3，α4D．α2，α3，α4正确答案：C6．设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且若P＝(α1，α2，α3)，Q＝(α1＋α2，α2，α3)，则Q－1AQ＝( )．A． B． C． D． 正确答案：B7．设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则P｜x＜y｜＝( )．A．1／5B．1／3C．2／5D．4／5正确答案：A8．将长度为1 m的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为( )．A．1B．1／2C．﹣1／2D．﹣1正确答案：D填空题9．若函数f(x)满足方程f〞(x)＋fˊ(x)－2f(x)＝0及fˊ(x)＋f(x)＝2ex，则f(x)＝__________．正确答案：齐次方程f〞(x)＋fˊ(x)－2f(x)＝0的特征方程为r2＋r－2＝0，得特征根为r1＝1，r2＝－2，则有通解f(x)＝c1ex＋c2e－2x，代人方程fˊ(x)＋f(x)＝2ex得2c1ex－c2e－2x＝2ex，则c1＝1，c2＝0．因此f(x)＝ex．10．正确答案：根据题意，令t＝x－1，则本题用到奇函数在对称区间上积为零的结论．11．正确答案：根据题意，令将点(2，1，1)代入，上式＝(1，1，1)．12．设∑＝｛(x，y，z)｜x＋y＋z＝1，x≥0，y≥0，z≥0｝，则y2dx＝________．正确答案：其中D为∑投影在xOy平面上的区域，D＝｛(x，y)｜x≥0，y ≥0，x＋y≤1｝13．设X为三维单位列向量，E为三阶单位矩阵，则矩阵E－XXT的秩为_________．正确答案：根据题意设X＝(1，0，0)T，14．设A、B、C是随机事件，A与C互不相容，P(AB)＝1／2，P（C）＝1／3，则P(AB｜C￣)＝________．正确答案：解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2012年考研高数一真题及解析
4n 2 4n 3 2 n x 2n 2n . x ( 2 n 1 ) x 2 2n 1 n 0 n 0 n 0 2n 1
由于
1 x2 x 2n 2 n 1 (1 x 1) = ( 2 n 1 ) x ( x ) ( ) (1 x 2 ) 2 1 x2 n 0 n 0
向量组线性相关的为 (A) 1 , 2 , 3 (B) （C）
1,2 ,4
(C) 1 , 3 , 4
1
(D)
2 ,3 ,4
1 0 0 (6) 设 A 为 3 阶矩阵， P 为三阶可逆矩阵，且 P AP 0 1 0 ， P (1,2 ,3 ) ， 0 0 2
1 2
y( x 1)e ， B f xy
2
x2 y2 2
x( y 1)e ，C f yy
2
1 2
x2 y 2 2
……6 分
2 1 在点（1,0）处，由于 B AC 2e 0 ， A 2e
0，
……8 分
1 2
故 f (1,0) e
sin 2 tdt
0 2 0
……9 分 ……10 分
1 4
(19) （本题满分 10 分） 已知 L 是第一象限中从点 (0, 0) 沿圆周 x2 y2 2x 到点 (2, 0) ，再沿圆周 x2 y 2 4 到点 (0, 2) 的曲线段，计算曲线积分 I
3x
(A)
（B）
0 0 2
2 0 0 (D) 0 2 0 0 0 1
与参数为 4 的指数分布，则 （A） (D)
2012考研数学一真题精心整理打印试卷版
2012考研数学一真题(精心整理打印试卷版)2012年考研数学一真题是考研数学中最具代表性的一年，以下是我为您整理的2012年考研数学一真题（含答案）。
一、选择题部分1.设函数f(x)连续，f(1)=0，f(2)=1。
则方程f(x)=0在[1,2]上至少有（）A. 0个解B. 1个解C. 2个解D. 3个解答案：B2.设数列{an}的通项公式为an = 2n + 3，则数列{an}的前n项和Sn = （）A. n(n + 1)B. n(n + 3)C. n(n + 5)D. n(n + 7)答案：B3.设函数f(x) = x^2 - 2x - 3，则f(x)在区间[-1,3]上的最大值为（） A.0 B. 1 C. 3 D. 5答案：D4.设集合A = {x | x^2 - 4x + 3 > 0}，则A = （） A. (1,3) B. (-∞,1)∪(3,+∞) C. (1,3) D. (-∞,3)答案：A5.设a，b，c为非零实数且2a + b + c = 0，则方程ax^2 + bx + c = 0的一个根为（） A. -1 B. 1 C. 2 D. -2答案：C二、填空题部分6.已知函数f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c，其中a，b，c为常数。
若f(1) =1，f(2) = 2，f(3) = 3，则函数f(x)的最小值为______。
答案：-27.设集合A = {x | x^2 - x - 2 > 0}，则A = ______。
答案：(-∞, -1)∪(2, +∞)8.设集合A = {x | x^2 + 3x - 4 ≤ 0}，则A = ______。
答案：[-4, 1]9.设数列{an}的通项公式为an = 2^n + 3，n为正整数。
则数列{an}的前n项和Sn = ______。
答案：2^(n+1) - 110.设函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a，b，c为常数。