2018年北京市西城区高考数学一模试卷(理科)
2018年北京市西城区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 若集合A={x∈R|3x+2>0}，B={x∈R|x2−2x−3>0}，则A∩B=()A.{x∈R|x<−1}}B.{x∈R|−1<x<−23<x<3}C.{x∈R|−23D.{x∈R|x>3}2. 执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A.2B.3C.4D.53. 已知圆的方程为x2+y2−2y=0．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，该圆的极坐标方程为（）A.ρ=−2sinθB.ρ=2sinθC.ρ=−2cosθD.ρ=2cosθ4. 正三棱柱的三视图如图所示，该正三棱柱的表面积是（）A.3√3B.9√3C.6+√3D.6+2√32=()5. 已知O是正方形ABCD的中心．若DO→=λAB→+μAC→，其中λ，μ∈R，则λμ6. 设函数f(x)=x 2+bx +c ．则“f(x)有两个不同的零点”是“∃x 0∈R ，使f(x 0)<0”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7. 函数f(x)={2x 2−4x +1,x >02⋅3x ,x ≤0.，则y =f(x)的图象上关于原点O 对称的点共有（ ）A.0对B.1对C.2对D.3对8. 某计算机系统在同一时间只能执行一项任务，且该任务完成后才能执行下一项任务．现有三项任务U ，V ，W ，计算机系统执行这三项任务的时间（单位：s ）依次为a ，b ，c ，其中a <b <c ．一项任务的“相对等待时间”定义为从开始执行第一项任务到完成该任务的时间与计算机系统执行该任务的时间之比．下列四种执行顺序中，使三项任务“相对等待时间”之和最小的是（ ） A.U →V →W B.V →W →U C.W →U →V D.U →W →V 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．若复数(a +i)(3+4i)的实部与虚部相等，则实数a =________．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若a 1=2，S 4=20，则a 3=________；S n =________．已知抛物线y 2=−8x 的焦点与双曲线x 2a 2−y 2=1(a >0)的一个焦点重合，则a =________；双曲线的渐近线方程是________．设ω>0，若函数y =cos 2ωx 的最小正周期为π2，则ω=________．安排甲、乙、丙、丁4人参加3个运动项目，每人只参加一个项目，每个项目都有人参加．若甲、乙2人不能参加同一个项目，则不同的安排方案的种数为________．（用数字作答）如图，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，BC =1，点P 在侧面A 1ABB 1上．若点P 到直线AA 1和CD 的距离相等，则A 1P 的最小值是________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．(Ⅰ)求∠A的大小；(Ⅱ)若a=√7，b=2√3，求△ABC的面积．某企业2017年招聘员工，其中A、B、C、D、E五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：(Ⅱ)从应聘E岗位的6人中随机选择2人．记X为这2人中被录用的人数，求X的分布列和数学期望；(Ⅲ)表中A、B、C、D、E各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）如图1，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，AB=AC=2√5，BC=4．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED，如图2．(Ⅰ)求证：A1O⊥BD；(Ⅱ)求直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值；(Ⅲ)线段A1C上是否存在点F，使得直线DF和BC所成角的余弦值为√5若存在，求出3A1F的值；若不存在，说明理由．A1C+lnx)，其中a∈R．已知函数f(x)=e x⋅(a+1x(Ⅰ)若曲线y=f(x)在x=1处的切线与直线y=−x垂直，求a的值；e(Ⅱ)当a∈(0, ln2)时，证明：f(x)存在极小值．已知⊙O:x2+y2=4和椭圆C:x2+2y2=4，F是椭圆C的左焦点．O的切线．圆F的圆心为点F，半径长为|PF|．试判断直线l与⊙F的位置关系，并证明你的结论．数列A n:a1，a2，…，a n(n≥2)满足：a k<1(k=1, 2,…,n)．记A n的前k项和为S k，并规定S0=0．定义集合E n={k∈N∗, k≤n|S k>S j, j=0, 1, ..., k−1}．(Ⅰ)对数列A5:−0.3，0.7，−0.1，0.9，0.1，求集合E5；(Ⅱ)若集合E n={k1, k2, ..., k m}(m>1, k1<k2<...<k m)，证明：S ki+1−S ki<1(i=1, 2,…,m−1)；(Ⅲ)给定正整数C．对所有满足S n>C的数列A n，求集合E n的元素个数的最小值．参考答案与试题解析2018年北京市西城区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.【答案】D【考点】交集及其运算【解析】先求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】A={x∈R|x>−2}，B={x∈R|x<−1, 或x>3}；3∴A∩B={x∈R|x>3}．2.【答案】C【考点】程序框图【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算变量S的值并输出相应的k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】模拟程序的运行，可得S=1，k=1执行循环体，k=2，S=3不满足条件S>40，执行循环体，k=3，S=10不满足条件S>40，执行循环体，k=4，S=41满足条件S>40，退出循环，输出k的值为（4）3.【答案】B【考点】圆的极坐标方程【解析】直接把直角坐标方程转换为极坐标方程．【解答】圆的方程为x2+y2−2y=(0)转换为：x2+y2=2y．转换为极坐标方程为：ρ2=2ρsinθ，即：ρ=2sinθ．4.【答案】由三视图求体积 【解析】根据正三棱柱的三视图，得出三棱柱的高已经底面三角形的高，求出底面三角形的面积与侧面积即可． 【解答】根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为正三角形，边长为2，高为1的正三棱柱； 所以，该三棱柱的表面积为 S 侧面积+S 底面积=2×√34×22+3×2×1=6+2√3．5.【答案】 B【考点】平面向量的基本定理 向量的共线定理向量的加法及其几何意义 【解析】根据平面向量加减运算的三角形法则求出λ，μ即可得出答案． 【解答】DO →=DA →+AO →=CB →+AO →=AB →−AC →+12AC →=AB →−12AC →，∴ λ=1，μ=−12， ∴ λμ=−(2) 6.【答案】 C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】根据二次函数的性质结合充分必要条件的定义即可． 【解答】f(x)的二次项系数是1，开口向上， 若“f(x)有两个不同的零点”，则“∃x 0∈R ，使f(x 0)<0”，是充分条件， 若“∃x 0∈R ，使f(x 0)<0”，则“f(x)有两个不同的零点”，是必要条件， 7.【答案】 C【考点】奇偶函数图象的对称性 【解析】当x>0时，令g(x)=−f(−x)=−2⋅3−x，作出f(x)和g(x)在(0, +∞)上的函数图象如图所示：由图象可知两函数图象有两个交点，∴f(x)的图象上关于原点O对称的点共有2对．故选：C．8.【答案】A【考点】进行简单的合情推理【解析】分别求出四种顺序中三项任务“相对等待时间”之和，由此能求出四种执行顺序中，使三项任务“相对等待时间”之和最小顺序．【解答】顺序A的三项任务相对等待时间之和为：S A=aa +a+a+ba+b+a+a+b+a+b+ca+b+c，顺序B的三项任务相对等待时间之和为：S B=bb +b+b+cb+c+b+b+c+b+c+aa+b+c，顺序C的三项任务相对等待时间之和为：S C=cc +c+c+ac+a+c+c+a+c+a+bc+a+b，顺序D的三项任务相对等待时间之和为：S D=aa +a+a+ca+c+a+a+c+a+c+ba+c+b，∵a<b<c，∴不妨取a=1，b=2，c=3，得：S A=1+1+1+21+2+1+1+2+1+2+31+2+3=4，S B=1+2+2+32+3+2+2+3+2+3+11+2+3=133>4，S C=1+3+3+11+3+3+3+1+3+1+21+2+3=5912>4，S D=1+1+1+31+3+1+1+3+1+3+21+2+3=4912>(4)比较知S A最小，故四种执行顺序中，使三项任务“相对等待时间”之和最小的是U→V→W．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．虚数单位i及其性质复数的运算复数的模复数的基本概念【解析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部与虚部相等列式求得a值．【解答】∵(a+i)(3+4i)=(3a−4)+(3+4a)i的实部与虚部相等，∴3a−4=3+4a，即a=−(7)【答案】6,n2+n【考点】等差数列的性质【解析】根据数列{a n}是等差数列，利用等差的性质即可求解；【解答】a1=2，S4=20，即4a1+4×32×d=20，可得d=(2)那么：a3=a1+(3−1)×d=(6)S n=na1+n(n−1)2×d=n2+n．【答案】√3,x±√3y=0【考点】圆锥曲线的综合问题【解析】求出抛物线的焦点坐标，利用已知条件求出a，然后求解双曲线的渐近线方程．【解答】抛物线y2=−8x的焦点：(−2, 0)，抛物线y2=−8x的焦点与双曲线x2a2−y2=1(a>0)的一个焦点重合，可得a2+1=4，解得a=√3，双曲线方程为：x23−y2=1，∴双曲线的渐近线方程是x±√3y=0．【答案】2【考点】三角函数的周期性及其求法【解析】由题意利用半角公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性求得ω的值．【解答】根据ω>0，若函数y=cos2ωx=1+cos2ωx2的最小正周期为2π2ω=π2，则ω=2，排列、组合及简单计数问题【解析】根据题意，用间接法分析：先计算甲乙不受限制的全部情况数目，再排除其中甲乙参加同一个项目的情况数目，即可得答案．【解答】根据题意，用间接法分析：先将甲、乙、丙、丁4人分成3组，再将分成的三组分别参加3个项目，有C42×A33= 6×6=36种不同的安排方案，其中甲乙参加同一个项目，则丙、丁参加另外的2个项目，有A33=6种情况，则甲、乙2人不能参加同一个项目的安排方案有36−6=30种；【答案】√3【考点】点、线、面间的距离计算【解析】如图在面A1ABB1建立P面直角坐标系，设P(x, y)．(0≤x≤2, 0≤y≤2)可得点P到直线AA1和CD的距离相等，x=√y2+1，即x2=y2+(1)即A1P=√(x−0)2+(y−2)2=√2(y−1)2+3≥√3【解答】如图在面A1ABB1建立P面直角坐标系，设P(x, y)．(0≤x≤2, 0≤y≤2)∵点P到直线AA1和CD的距离相等，x=√y2+1，即x2=y2+(1)∴A1P=√(x−0)2+(y−2)2=√2(y−1)2+3≥√3∴当P(√2, 1)时，A1P最小为√3，故答案为：√3．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．【答案】(Ⅰ)根据题意，因为√3a∗sinC=c∗sin2A，所以√3ac∗sinC=2sinAcosA．在△ABC中，由正弦定理得√3sinAsinC∗sinC=2sinAcosA．所以cosA=√32．因为0<A<π，所以A=π6．所以 (√7)2=(2√3)2+c 2−2(2√3)∗c ∗√32，整理得 c 2−6c +5=0，解得 c =1，或c =5，均适合题意．当c =1时，△ABC 的面积为S =12bcsinA =√32．当c =5时，△ABC 的面积为S =12bcsinA =5√32． 【考点】 三角形求面积 【解析】(Ⅰ)根据题意，由正弦定理分析可得√3a ∗sinC =c ∗sin2A ⇒√3sinAsinC ∗sinC =2sinAcosA ，变形可得cosA =√32，解可得A 的值，即可得答案；(Ⅱ)在△ABC 中，由余弦定理得a 2=b 2+c 2−2bccosA ，整理变形可得c 2−6c +5=0，解可得c 的值，结合正弦定理，计算可得答案． 【解答】(Ⅰ)根据题意，因为√3a ∗sinC =c ∗sin2A ，所以 √3ac ∗sinC =2sinAcosA ． 在△ABC 中，由正弦定理得√3sinAsinC ∗sinC =2sinAcosA ．所以 cosA =√32．因为 0<A <π， 所以 A =π6．(Ⅱ)在△ABC 中，由余弦定理得a 2=b 2+c 2−2bccosA ，所以 (√7)2=(2√3)2+c 2−2(2√3)∗c ∗√32，整理得 c 2−6c +5=0，解得 c =1，或c =5，均适合题意．当c =1时，△ABC 的面积为S =12bcsinA =√32．当c =5时，△ABC 的面积为S =12bcsinA =5√32． 【答案】(Ⅰ)因为表中所有应聘人员总数为533+467=1000， 被该企业录用的人数为264+169=433，所以从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为P =4331000． (Ⅱ)X 可能的取值为0，1，（2）因为应聘E 岗位的6人中，被录用的有4人，未被录用的有2人， 所以P(X =0)=C 22C 62=115；P(X =1)=C 21C41C 62=815；P(X =2)=C 42C 62=25． 所以X 的分布列为：E(X)=0×115+1×815+2×25=43． (Ⅲ)取掉A 岗位后，男性的总录用比例为264−167533−269≈36.7%，女性的总录用比例为169−24467−40≈34.0%，故去掉A 岗位后，男、女总录用比例接近． ∴ 这四种岗位是：B 、C 、D 、E ． 【考点】离散型随机变量及其分布列 离散型随机变量的期望与方差 【解析】（I ）根据录用总人数与应聘总人数的比值得出概率；(II)根据超几何分布列的概率公式得出分布列和数学期望；(III)去掉一个岗位后计算剩余4个岗位的男女总录用比例得出结论． 【解答】(Ⅰ)因为表中所有应聘人员总数为533+467=1000， 被该企业录用的人数为264+169=433，所以从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为P =4331000． (Ⅱ)X 可能的取值为0，1，（2）因为应聘E 岗位的6人中，被录用的有4人，未被录用的有2人， 所以P(X =0)=C 22C 62=115；P(X =1)=C 21C41C 62=815；P(X =2)=C 42C 62=25． 所以X 的分布列为：E(X)=0×115+1×815+2×25=43．(Ⅲ)取掉A 岗位后，男性的总录用比例为264−167533−269≈36.7%，女性的总录用比例为169−24467−40≈34.0%，故去掉A 岗位后，男、女总录用比例接近． ∴ 这四种岗位是：B 、C 、D 、E ． 【答案】（本小题满分1证明：(Ⅰ)因为在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点， 所以 DE // BC ，AD =AE ．所以A 1D =A 1E ，又O 为DE 的中点， 所以 A 1O ⊥DE ．因为平面A 1DE ⊥平面BCED ，且A 1O ⊂平面A 1DE ，所以 A 1O ⊥平面BCED ， 所以 A 1O ⊥BD ．(Ⅱ)取BC 的中点G ，连接OG ，所以OE ⊥OG ． 由(Ⅰ)得A 1O ⊥OE ，A 1O ⊥OG ． 如图建立空间直角坐标系O −xyz ．由题意得，A 1(0, 0, 2)，B(2, −2, 0)，C(2, 2, 0)，D(0, −1, 0)． 所以A 1B →=(2, −2, −2)，A 1D →=(0, −1, −2)，A 1C →=(2, 2, −2)． 设平面A 1BD 的法向量为n →=(x, y, z)， 则{n →∗A 1B →=0n →∗A 1D →=0，即{2x −2y −2z =0−y −2z =0， 令x =1，则y =2，z =−1，所以n →=(1, 2, −1)． 设直线A 1C 和平面A 1BD 所成的角为θ， 则sinθ=|cos <n →,A 1C →>|=|n →∗A 1C →||n →|∗|A 1C →|=2√23． 所以 直线A 1C 和平面A 1BD 所成角的正弦值为2√23．(Ⅲ)线段A 1C 上存在点F 适合题意． 设A 1F →=λA 1C →，其中λ∈[0, 1]．设F(x 1, y 1, z 1)，则有(x 1, y 1, z 1−2)=(2λ, 2λ, −2λ)，所以x 1=2λ，y 1=2λ，z 1=2−2λ，从而F(2λ, 2λ, 2−2λ)， 所以DF →=(2λ, 2λ+1.2−2λ)，又BC →=(0, 4, 0)， 所以|cos <DF →,BC →>|=|DF →∗BC →||DF →|∗|BC →|=4√(2λ)2+(2λ+1)2+(2−2λ)2，令√(2λ)2+(2λ+1)2+(2−2λ)2=√53， 整理得3λ2−7λ+2=(0)[] 解得λ=13，舍去λ=(2)故线段A 1C 上存在点F 适合题意，且A 1FA 1C=13．【考点】异面直线及其所成的角 直线与平面所成的角 【解析】(Ⅰ)推导出DE // BC ，AD =AE ．从而A 1D =A 1E ，进而A 1O ⊥DE ，由此得到A 1O ⊥平面BCED ，从而能证明 A 1O ⊥BD ．(Ⅱ)取BC 的中点G ，连接OG ，OE ⊥OG ．再由A 1O ⊥OE ，A 1O ⊥OG ．建立空间直角坐标系O −xyz ，利用向量法能求出直线A 1C 和平面A 1BD 所成角的正弦值．(Ⅲ)线段A 1C 上存在点F 适合题意．设A 1F →=λA 1C →，其中λ∈[0, 1]．利用向量法能求出线段A 1C 上存在点F 适合题意，且A 1FA1C=13． 【解答】（本小题满分1证明：(Ⅰ)因为在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点， 所以 DE // BC ，AD =AE ．所以A 1D =A 1E ，又O 为DE 的中点， 所以 A 1O ⊥DE ．因为平面A 1DE ⊥平面BCED ，且A 1O ⊂平面A 1DE ， 所以 A 1O ⊥平面BCED ， 所以 A 1O ⊥BD ．(Ⅱ)取BC 的中点G ，连接OG ，所以OE ⊥OG ． 由(Ⅰ)得A 1O ⊥OE ，A 1O ⊥OG ． 如图建立空间直角坐标系O −xyz ．由题意得，A 1(0, 0, 2)，B(2, −2, 0)，C(2, 2, 0)，D(0, −1, 0)． 所以A 1B →=(2, −2, −2)，A 1D →=(0, −1, −2)，A 1C →=(2, 2, −2)． 设平面A 1BD 的法向量为n →=(x, y, z)， 则{n →∗A 1B →=0n →∗A 1D →=0，即{2x −2y −2z =0−y −2z =0， 令x =1，则y =2，z =−1，所以n →=(1, 2, −1)． 设直线A 1C 和平面A 1BD 所成的角为θ， 则sinθ=|cos <n →,A 1C →>|=|n →∗A 1C →||n →|∗|A 1C →|=2√23． 所以 直线A 1C 和平面A 1BD 所成角的正弦值为2√23．(Ⅲ)线段A 1C 上存在点F 适合题意． 设A 1F →=λA 1C →，其中λ∈[0, 1]．设F(x 1, y 1, z 1)，则有(x 1, y 1, z 1−2)=(2λ, 2λ, −2λ)，所以x 1=2λ，y 1=2λ，z 1=2−2λ，从而F(2λ, 2λ, 2−2λ)， 所以DF →=(2λ, 2λ+1.2−2λ)，又BC →=(0, 4, 0)， 所以|cos <DF →,BC →>|=|DF →∗BC →||DF →|∗|BC →|=4√(2λ)2+(2λ+1)2+(2−2λ)2，令√(2λ)2+(2λ+1)2+(2−2λ)2=√53， 整理得3λ2−7λ+2=(0)[] 解得λ=13，舍去λ=(2)故线段A 1C 上存在点F 适合题意，且A 1FA1C=13．【答案】（1）f(x)的导函数为f ′(x)=e x ⋅(a +1x +lnx)+e x ⋅(1x −1x 2)=e x ⋅(a +2x −1x 2+lnx)．[]依题意，有 f ′(1)=e ⋅(a +1)=e ，[] 解得a =(0)[]（2）由f ′(x)=e x ⋅(a +2x −1x 2+lnx)及e x >0知，f ′(x)与a +2x −1x 2+lnx 同号． 令g(x)=a +2x −1x 2+lnx ，[] 则 g ′(x)=x 2−2x+2x 3=(x−1)2+1x 3．[]所以对任意x ∈(0, +∞)，有g ′(x)>0，故g(x)在(0, +∞)单调递增．[] 因为a ∈(0, ln2)，所以g(1)=a +1>0，g(12)=a +ln 12<0， 故存在x 0∈(12,1)，使得g(x 0)=(0)[] f(x)与f ′(x)在区间(12,1)上的情况如下：所以f(x)在区间(12,x 0)上单调递减，在区间(x 0, 1)上单调递增．所以f(x)存在极小值f(x 0)．[] 【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，计算f′(1)，求出a 的值即可；(Ⅱ)求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的单调区间，求出函数的极小值即可． 【解答】（1）f(x)的导函数为f ′(x)=e x ⋅(a +1x +lnx)+e x ⋅(1x −1x 2)=e x ⋅(a +2x −1x 2+lnx)．[]依题意，有 f ′(1)=e ⋅(a +1)=e ，[]解得a =(0)[]（2）由f ′(x)=e x ⋅(a +2x −1x 2+lnx)及e x >0知，f ′(x)与a +2x −1x 2+lnx 同号． 令g(x)=a +2x −1x 2+lnx ，[] 则 g ′(x)=x 2−2x+2x 3=(x−1)2+1x 3．[]所以对任意x ∈(0, +∞)，有g ′(x)>0，故g(x)在(0, +∞)单调递增．[] 因为a ∈(0, ln2)，所以g(1)=a +1>0，g(12)=a +ln 12<0， 故存在x 0∈(12,1)，使得g(x 0)=(0)[] f(x)与f ′(x)在区间(12,1)上的情况如下：所以f(x)在区间(12,x 0)上单调递减，在区间(x 0, 1)上单调递增． 所以f(x)存在极小值f(x 0)．[] 【答案】（本小题满分1(Ⅰ)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24+y 22=1．[]所以a 2=4，b 2=2，从而c 2=a 2−b 2=2． 因此a =2，c =√2． 故椭圆C 的离心率e =ca=√22．[] 椭圆C 的左焦点F 的坐标为(−√2,0)．[] (Ⅱ)直线l 与圆F 相切．证明如下：[]设P(x 0, y 0)，其中−2<x 0<2，则x 02+2y 02=4，[]依题意可设Q(x 0, y 1)，则x 02+y 12=4．[]直线l 的方程为y −y 1=−xy 1(x −x 0)，整理为 x 0x +y 1y −4=0．[] 所以圆F 的圆心F 到直线l 的距离d =√2x 0√x 0+y 1=|√22x 0+2|．[]因为|PF|2=(x 0+√2)2+y 02=(x 0+√2)2+12(4−x 02)=12x 02+2√2x 0+4．[] 所以|PF|2=d 2，即|PF|=d ，所以 直线l 与圆F 相切．[]【考点】直线与椭圆结合的最值问题圆锥曲线问题的解决方法【解析】(Ⅰ)利用椭圆C的方程，求出长半轴，短半轴的长，求出半焦距的长，然后求解离心率和点F的坐标；(Ⅱ)直线l与圆F相切．设P(x0, y0)，其中−2<x0<2，则x02+2y02=4，设Q(x0, y1)，则x02+y12=4，直线l的方程x0x+y1y−4=0．通过圆F的圆心F到直线l的距离d=√2x0√x0+y1=|√22x0+2|，推出|PF|=d，得到结果．【解答】（本小题满分1(Ⅰ)由题意，椭圆C的标准方程为x24+y22=1．[]所以a2=4，b2=2，从而c2=a2−b2=2．因此a=2，c=√2．故椭圆C的离心率e=ca =√22．[]椭圆C的左焦点F的坐标为(−√2,0)．[](Ⅱ)直线l与圆F相切．证明如下：[]设P(x0, y0)，其中−2<x0<2，则x02+2y02=4，[] 依题意可设Q(x0, y1)，则x02+y12=4．[]直线l的方程为y−y1=−x0y1(x−x0)，整理为x0x+y1y−4=0．[]所以圆F的圆心F到直线l的距离d=√2x0√x0+y1=|√22x0+2|．[]因为|PF|2=(x0+√2)2+y02=(x0+√2)2+12(4−x02)=12x02+2√2x0+4．[]所以|PF|2=d2，即|PF|=d，所以直线l与圆F相切．[]【答案】（1）因为S0=0，S1=0.3，S2=0.4，S3=0.3，S4=1.2，S5=1.3，所以E5={2, 4, 5}．（2）由集合E n的定义知S ki+1>S ki，且k i+1是使得S k>S ki成立的最小的k，由于S ki+1=S ki+1−1+a ki+1，所以：S ki+1<S ki+1．(Ⅲ)因为S n>S0，所以E n非空．设集合E n={k1, k2, ..., k m}，不妨设k1<k2<...<k m，则由(Ⅱ)可知S ki+1−S ki<1(i=1,2,⋯,m−1)，同理S k1−S0<1，且S n≤S km．所以S n=(S n−S km )+(S km−S km−1)+⋯+(S k2−S k1)+(S k1−S0)<0+1+1+⋯+1+1}m1=m．因为S n>C，所以E n的元素个数m≥C+(1)取常数数列A n:a i=C+1C+2(i=1,2,⋯,C+1)，并令n=C+1，则S n=(C+1)2C+2=C2+2C+1C+2>C，适合题意，且E n={1, 2, ..., C+1}，其元素个数恰为C+(1)综上，E n的元素个数的最小值为C+(1)【考点】数列的应用【解析】(Ⅰ)直接利用信息求出结果．(Ⅱ)根据所给的条件和关系式求出结果．(Ⅲ)利用(Ⅱ)的结论，进一步求出关系，即集合的最小值．【解答】（1）因为S0=0，S1=0.3，S2=0.4，S3=0.3，S4=1.2，S5=1.3，所以E5={2, 4, 5}．（2）由集合E n的定义知S ki+1>S ki，且k i+1是使得S k>S ki成立的最小的k，由于S ki+1=S ki+1−1+a ki+1，所以：S ki+1<S ki+1．(Ⅲ)因为S n>S0，所以E n非空．设集合E n={k1, k2, ..., k m}，不妨设k1<k2<...<k m，则由(Ⅱ)可知S ki+1−S ki<1(i=1,2,⋯,m−1)，同理S k1−S0<1，且S n≤S km．所以S n=(S n−S km )+(S km−S km−1)+⋯+(S k2−S k1)+(S k1−S0)<0+1+1+⋯+1+1}m1=m．因为S n>C，所以E n的元素个数m≥C+(1)取常数数列A n:a i=C+1C+2(i=1,2,⋯,C+1)，并令n=C+1，则S n=(C+1)2C+2=C2+2C+1C+2>C，适合题意，且E n={1, 2, ..., C+1}，其元素个数恰为C+(1)综上，E n的元素个数的最小值为C+(1)。
西城区2018-2018一模试题及答案
北京市西城区2019年4月高三理科综合 第1页（共10页）C 地球西 城 区 高 三 统 一 测 试理 科 综 合 2019.4本试卷共17页，共300分。
考试时长150分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分 （选择题 共120分）本部分共20小题，每小题6分，共120分。
在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。
13．已知氡222的半衰期为3.8天。
那么的放射性物质氡222经过7.6天，还剩下没有发生衰变的质量为 A ．2 g B ．1gC ．0.5gD ．0 g14．关于热学中的一些基本概念，下列说法正确的是A ．物体是由大量分子组成的，分子是不可再分的最小单元B ．分子间的斥力和引力总是同时存在的，且随着分子之间的距离增大而增大C ．分子做永不停息的无规则热运动，布朗运动就是分子的热运动D ．宏观物体的温度是物体内大量分子的平均动能的标志15．如图所示，一颗卫星绕地球做椭圆运动，运动周期为T ，图中虚线为卫星的运行轨迹，A 、B 、C 、D 是轨迹上的四个位置，其中A 距离地球最近，C 距离地球最远。
B 和D 点是弧线ABC 和ADC 的中点，下列说法正确的是 A ．卫星在C 点的速度最大 B ．卫星在C 点的加速度最大C ．卫星从A 经D 到C 点的运动时间为T/2 D ．卫星从B 经A 到D 点的运动时间为T/216．一条绳子可以分成一个个小段，每小段都可以看做一个质点，这些质点之间存在着相互作用。
如图是某绳波形成过程的示意图。
质点1在外力作用下沿竖直方向做简谐运动，带动质点2、3、4… 各个质点依次振动，把振动从绳的左端传到右端。
t=T/2时，质点9刚要开始运动。
下列说法正确的是 A ．t ＝T /2时，质点9开始向下运动 B ．t ＝T /2时，质点5加速度方向向上 C ．t ＝T /4时，质点5开始向上运动 D ．t ＝T /4时，质点3的加速度方向向上4gt =0t =T /2北京市西城区2019年4月高三理科综合 第2页（共10页）17．如图所示，在水平面上有一个U 形金属框架和一条跨接其上的金属杆ab ，二者构成闭合回路且处于静止状态。
2018年北京市西城区高考数学模拟试卷(一)
2018年北京市西城区高考数学模拟试卷（一）一、选择题（每小题3分，共75分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的1. 已知全集I={0, 1, 2, 3}，集合M={0, 1, 2}，N={0, 2, 3}，则M∩(∁I N)=()A.{1}B.{2, 3}C.{0, 1, 2}D.⌀【答案】A【考点】交、并、补集的混合运算【解析】根据题意，由集合N与全集I，可得∁I N，又由M={0, 1, 2}，结合交集的意义，计算可得答案．【解答】根据题意，集合N={0, 2, 3}，则∁I N={1}，又由M={0, 1, 2}，则M∩C I N={1}，2. 函数y=cos(2x−5π6)的最小正周期是（）A.π2B.πC.2πD.4π【答案】B【考点】三角函数的周期性及其求法【解析】利用函数y=cos(2x−5π6)的最小正周期是T=2π|ω|=π．【解答】函数y=cos(2x−5π6)的最小正周期是T=2π|ω|=π，3. 下列四个函数中，在区间(0, +∞)上是减函数的是（）A.y=log3xB.y=3xC.y=x12 D.y=1 x【答案】D【考点】函数单调性的性质【解析】由对数函数，指数函数，幂函数的单调性很容易得到答案．【解答】A、∵y=log3x在(0, +∞)上是增函数，故错；B、y=3x在R上是增函数，∴y=3x在(0, +∞)上是增函数，故错；C、y=x12在(0, +∞)上是增函数，故错；D、y=1x在(0, +∞)上是减函数，故对；4. 若sinα=45，且α为锐角，则sin2α的值等于（）A.12 25B.−1225C.2425D.−2425【答案】C【考点】二倍角的三角函数【解析】由题意利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值，再利用二倍角公式求得sin2α的值．【解答】若sinα=45，且α为锐角，则cosα=√1−sin2α=35，∴sin2α=2sinαcosα=2425，5. 不等式x2>x的解集是()A.(−∞, 0)B.(0, 1)C.(1, +∞)D.(−∞, 0)∪(1, +∞)【答案】D【考点】一元二次不等式的应用【解析】对不等式先进行移项，然后再提取公因式，从而求解．【解答】解：∵不等式x2>x，∴x2−x>0.∴x(x−1)>0.解得x>1或x<0.故选D.6. 在△ABC中，a=2，b=√2，∠A=π4，则∠B=()A.π3B.π6C.π6或5π6D.π3或2π3【答案】B【考点】正弦定理【解析】利用正弦定理和已知的两边和其中一边的对角求得sinB的值，进而求得B．【解答】由正弦定理可知asinA =bsinB∴sinB=sinAa ⋅b=√222×√2=12∵b<a∴B<A∴B=π67. 如果函数y=2x+c的图象经过点(2, 5)，则c=()A.1B.0C.−1D.−2【答案】A【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用【解析】把点(2, 5)代入函数y=2x+c从而求出c值．【解答】∵函数y=2x+c的图象经过点(2, 5)，∴5=22+c，∴c=1，8. 已知过点A(−2, m)，B(m, 4)的直线与直线2x+y−1=0平行，则m的值为（）A.0B.2C.−8D.10【答案】C【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【解析】先由已知条件求出过点A(−2, m)，B(m, 4)的直线的斜率和直线2x+y−1=0的斜率，再由两直线平行斜率相等的性质能求出m的值．【解答】∵过点A(−2, m)，B(m, 4)的直线与直线2x+y−1=0平行，∴k=4−mm+2=−2，解得m=−8．9. 已知二次函数f(x)=(x−2)2+1，那么（）A.f(2)<f(3)<f(0)B.f(0)<f(2)<f(3)C.f(0)<f(3)<f(2)D.f(2)<f(0)<f(3)【答案】A【考点】二次函数的性质二次函数的图象【解析】根据已知可知二次函数的对称轴和开口方向，从而求得函数的单调区间，利用函数的对称性和单调性即可求得结果．【解答】∵ 已知二次函数f(x)=(x −2)2+1对称轴为x =2 且在(−∞, 2)上单调递减， ∴ f(3)=f(1)∴ f(2)<f(3)<f(0) 故选：A ．10. 实数(−12)0+lg4+2lg5的值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4【答案】 C【考点】对数的运算性质 【解析】利用指数、对数的性质及运算法则直接求解． 【解答】(−12)0+lg4+2lg5 =1+lg4+lg25 =1+lg100 =3．11. 已知a →=(3, 1)，b →=(−2, 5)，则3a →−2b →=( )A.(2, 7)B.(2, −7)C.(13, −7)D.(13, 13)【答案】 C【考点】平面向量的坐标运算 【解析】由a →=(3, 1)，b →=(−2, 5)，利用平面向量坐标运算法则能求出3a →−2b →．【解答】∵ a →=(3, 1)，b →=(−2, 5)，∴ 3a →−2b →=(9, 3)−(−4, 10)=(13, −7)．12. 若函数f(x)={3x +5x ≤1−x +9x >1，则f(x)的最大值为（ ）A.9B.8C.7D.6 【答案】 B【考点】函数的最值及其几何意义 【解析】由解析式可以看出，所给的函数是一个分段函数，在(−∞, 1]上增，在(1, +∞)上减，故可得函数的最大值在x =1处取到，代入求值即可 【解答】由f(x)={3x +5x ≤1−x +9x >1，函数的最大值在x =1处取到 ∴ f(1)=3×1+5=8 故选：B ．13. 直线a ，b 是不同的直线，平面α，β是不同的平面，下列命题正确的是（ ） A.直线a // 平面α，直线b ⊂平面α，则直线a // 直线b B.直线a // 平面α，直线b // 平面α，则直线a // 直线bC.直线a // 直线b ，直线a ⊂平面α，直线b ⊂平面β，则平面α // βD.直线a // 直线b ，直线a 平面α，直线b ⊂平面α，则直线a // 平面α 【答案】 D【考点】空间中直线与平面之间的位置关系 【解析】在A 中，直线a 与直线b 平行或异面；在B 中，直线a 与直线b 相交、平行或异面；在C 中，平面α与β相交或平行；在D 中，由线面平行的判定定理得直线a // 平面α． 【解答】由直线a ，b 是不同的直线，平面α，β是不同的平面，知：在A 中，直线a // 平面α，直线b ⊂平面α，则直线a 与直线b 平行或异面，故A 错误； 在B 中，直线a // 平面α，直线b // 平面α，则直线a 与直线b 相交、平行或异面，故B 错误；在C 中，直线a // 直线b ，直线a ⊂平面α，直线b ⊂平面β，则平面α与β相交或平行，故C 错误；在D 中，直线a // 直线b ，直线a 平面α，直线b ⊂平面α，则由线面平行的判定定理得直线a // 平面α，故D 正确．14. 过点(0, 1)并且与直线y =−2x +3垂直的直线方程是（ ） A.2x −y −1=0 B.x −2y +2=0 C.2x −y +1=0 D.x −2y −2=0 【答案】 B【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系 【解析】过点(0, 1)并且与直线y =−2x +3垂直的直线方程的斜率k =12，由此能求出过点(0, 1)并且与直线y =−2x +3垂直的直线方程． 【解答】过点(0, 1)并且与直线y =−2x +3垂直的直线方程的斜率k =12， ∴ 过点(0, 1)并且与直线y =−2x +3垂直的直线方程是： y −1=12x ，整理得：x −2y +2=0．15. 某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（）A.35B.25C.15D.7【答案】C【考点】分层抽样方法【解析】先计算青年职工所占的比例，再根据青年职工抽取的人数计算样本容量即可．【解答】青年职工、中年职工、老年职工三层之比为7:5:3，所以样本容量为7715=15．16. 从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，两个数都是奇数的概率是( )A.1 6B.14C.13D.12【答案】A【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率古典概型及其概率计算公式【解析】根据已知中从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，我们列出所有的基本事件个数，及满足条件两个数都是奇数的基本事件个数，代入古典概型概率公式，即可得到答案．【解答】解：从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，共有(1, 2)，(1, 3)，(1, 4)，(2, 1)，(2, 3)，(2, 4)(3, 1)，(3, 2)，(3, 4)，(4, 1)，(4, 2)，(4, 3)共12种；其中满足条件两个数都是奇数的有(1, 3)，(3, 1)两种情况，故从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，两个数都是奇数的概率为P=212=16.故选A.17. 已知A(1, 0)，B(3, 4)，M是线段AB的中点，那么向量AM→的坐标是（）A.(1, 2)B.(−1, −2)C.(2, 1)D.(−2, −1)【答案】A【考点】平面向量的坐标运算中点坐标公式【解析】利用中点坐标公式、向量坐标运算性质即可得出．【解答】∵A(1, 0)，B(3, 4)，M是线段AB的中点，∴M(2, 2)，∴AM→=(1, 2)．18. 在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则角A为（）A.30∘B.45∘C.120∘D.150∘【答案】C【考点】余弦定理【解析】利用余弦定理即可得出．【解答】cosA=b2+c2−a22bc =−bc2bc=−12，解得A=120∘．19. 如图，一个空几何体的正视图（或称主视图）与侧视图（或称左视图）为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆，那么这个几何体的全面积为（）A.πB.3πC.2πD.π+√3【答案】B【考点】由三视图求体积【解析】先管仔细观察给出几何体的主视图和侧视图便可知该几何体为圆锥，根据圆锥表面积公式的求法便可求出该几何体的全面积．【解答】仔细观察几何体的主视图侧视图可知该几何体为圆锥，由图象可知：圆锥的圆心角为60∘，圆锥的母线L长为2，半径为1．根据圆锥表面积公式的求法：S=πRL+πRR=π×1×2+π×1×1=3π，20. 若P(x, y)在直线x+y−4=0上，则x2+y2的最小值是（）A.8B.2√2C.√2D.16【答案】A【考点】点到直线的距离公式【解析】x2+y2≥0，√x2+y2表示直线上的点到原点的距离，由原点到直线的距离能求出x 2+y 2的最小值． 【解答】∵ x 2+y 2≥0，∴ √x 2+y 2表示直线上的点到原点的距离， ∴ 原点到直线的距离d =√2=2√2，∴ √x 2+y 2=2√2， ∴ x 2+y 2的最小值为8．21. 如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →=√3BD →，|AD →|=1，则AC →∗AD →=( )A.2√3B.√32C.√33D.√3【答案】 D【考点】平面向量数量积的性质及其运算律 【解析】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，属于难题．从要求的结论入手，用公式写出数量积，根据正弦定理变未知为已知，代入数值，得到结果，本题的难点在于正弦定理的应用． 【解答】AC →∗AD →=|AC →|∗|AD →|cos∠DAC =|AC →|∗cos∠DAC =|AC →|sin∠BAC =BC →sinB =√322. 一天，某人要去公安局办理护照，已知公安局的工作时间为9:00至17:00，设此人在当天13:00至18:00之间任何时间去公安局的可能性相同，那么此人去公安局恰好能办理护照的概率是（ ） A.13B.34C.58D.45【答案】 D【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型） 【解析】设公安局的工作时间为x ，某人去公安局的时间为y ，以横坐标表示公安局的工作时间，以纵坐标表示某人去公安局的时间，建立平面直角坐标系，求面积之比可得答案． 【解答】设公安局的工作时间为x ，某人去公安局时间为y ，以横坐标表示公安局的工作时间，以纵坐标表示某人去公安局的时间，建立平面直角坐标系（如图）， 则此人去公安局恰好能办理护照的概率P =5×8−12×4×45×8=45．23. 已知函数f(x)是定义在(0, +∞)上的增函数，当n ∈N ∗时，f(n)∈N ∗．若f[f(n)]=3n ，其中n ∈N ∗，则f(1)=( ) A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】 C【考点】抽象函数及其应用 【解析】根据题意，分析可得f(1)=1或f(1)=2或f(1)=3或f(1)=n(n >3)，分析验证f(1)=1、f(1)=3、f(1)=n 时是否符合函数的单调性以及f[f(n)]=3n ，即可得可得答案． 【解答】，若f(1)=1，则f[f(1)]=f(1)=1，与f[f(1)]=3×1=3相矛盾， （1），若f(1)=3，则f[f(1)]=f(3)=3，与函数的单调性项矛盾， （2），若f(1)=n ，(n >3)，则f[f(1)]=f(n)=3，又由n >3，与函数f(x)是定义在(0, +∞)上的增函数矛盾， 则必有f(1)=2； 故选：C ．24. 一同学为研究函数f(x)=√1+x 2+√1+(1−x)2(0≤x ≤1)的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD 和BEFC ，点P 是边BC 上的一个动点，设CP =x ，则AP +PF =f(x)，请你参考这些信息，推知函数g(x)=4f(x)−9的零点的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4【答案】 B【考点】根据实际问题选择函数类型 【解析】把函数f(x)=√1+x 2+√1+(1−x)2看作是图中的AP +PF ，通过分析点P 的特殊位置得到AP +PF 的范围，而函数g(x)=4f(x)−9的零点的个数就是方程f(x)=94的解的个数，由94大于AP +PF 的最小值且小于AP +PF 的最大值可知f(x)=94的解有2个，则答案可求． 【解答】 由题意可得：函数f(x)=√1+x 2+√1+(1−x)2=AP +PF ， 当A 、P 、F 共线时，f(x)取得最小值为√5<94，当P与B或C重合时，f(x)取得最大值为√2+1>9．4g(x)=4f(x)−9=0，即f(x)=9．4故函数g(x)=4f(x)−9的零点的个数就是f(x)=9的解的个数．4的解有2个，而由题意可得f(x)=9425. 某航空公司经营A，B，C，D这四个城市之间的客运业务，它们之间的直线距离的部分机票价格如下：AB为2000元；AC为1600元；AD为2500元；CD为900元；BC为1200元，若这家公司规定的机票价格与往返城市间的直线距离成正比，则BD间直线距离的票价为（设这四个城在同一水平面上）（）A.1500元B.1400元C.1200元D.1000元【答案】A【考点】两点间的距离公式【解析】判断三角形ABC是直角三角形，C在AD线上，∠BCD也是90∘，即可得出结论．【解答】由题意，不妨设AB=2000，AC=1600，AD=2500，CD=900，BC=1200，AB=2000，AC=1600，BC=1200，所以三角形ABC是直角三角形AC=1600，CD=900，AD=2500，所以三角形ACD不存在，点C在AD线上所以∠BCD也是90∘因为BC=1200，CD=900，所以BD=1500二、解答题（共25分）如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AC为底面ABCD的对角线，E为D1D的中点(Ⅰ)求证：D1B⊥AC；(Ⅱ)求证：D1B // 平面AEC．【答案】证明：(Ⅰ)连接BD在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中DD1⊥平面ABCD，ABCD是正方形∵ DD1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD∴ DD1⊥AC∵ ABCD是正方形∴ AC⊥BD∵ DD1⊥AC,AC⊥BD,BD∩DD1=D∴ AC⊥平面D1DB∵D1B⊂平面D1DB∴ AC⊥D1B(Ⅱ)设BD∩AC=O，连接OE∵ ABCD是正方形∴ BO=DO∵ E是D1D的中点∴ EO是△D1DB的中位线∴D1B // EO∵D1B平面AEC,EO⊂平面AEC∴D1B // 平面AEC【考点】直线与平面平行直线与平面垂直【解析】（I）连接BD，由正四棱柱的结构特征，用正方形对角线互相垂直的性质，结合线面垂直的判定定理我们可以证明出AC⊥平面D1DB，进而根据线面垂直的性质得到D1B⊥AC；(Ⅱ)BD∩AC=O，连接OE，由三角形中位线定理，我们可得D1B // EO，再由线面平行的判定定理，即可得到D1B // 平面AEC．【解答】证明：(Ⅰ)连接BD在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中DD1⊥平面ABCD，ABCD是正方形∵ DD1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD∴ DD1⊥AC∵ ABCD是正方形∴ AC⊥BD∵ DD1⊥AC,AC⊥BD,BD∩DD1=D∴ AC⊥平面D1DB∵D1B⊂平面D1DB∴ AC⊥D1B(Ⅱ)设BD∩AC=O，连接OE∵ ABCD是正方形∴ BO=DO∵ E是D1D的中点∴ EO是△D1DB的中位线∴D1B // EO∵D1B平面AEC,EO⊂平面AEC∴D1B // 平面AEC已知函数f(x)=sinx，x∈R，点P(−1,√3)是角α终边上一点，α∈[0, 2π]．(Ⅰ)求f(α)的值；brack上的最大值和最小值．(Ⅱ)设g(x)=f(x+α)+f(x)，求g(x)在[0,π2【答案】(Ⅰ)因为点P(−1,√3)是角α终边上一点，所以r =√(−1)2+(√3)2=2，所以sinα=y r =√32， 所以f(α)=sinα=√32． (Ⅱ)由(Ⅰ)知sinα=√32，cosα=−12， α∈[0, 2π]．所以α=2π3．所以g(x)=f(x +α)+f(x)=sin(x +2π3)+sinx ， =−12sinx +√32cosx +sinx ，=12sinx +√32cosx ， =sin(x +π3) 因为x ∈[0,π2brack ，所以π3≤x +π3≤5π6． 所以，当x +π3=π2，即x =π6时，g(x)的最大值为1；当x +π3=5π6， 即x =π2时，g(x)的最小值为12．【考点】三角函数的最值【解析】(Ⅰ)直接利用三角函数的定义求出结果．(Ⅱ)利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质求出结果．【解答】(Ⅰ)因为点P(−1,√3)是角α终边上一点，所以r =√(−1)2+(√3)2=2，所以sinα=y r =√32， 所以f(α)=sinα=√32． (Ⅱ)由(Ⅰ)知sinα=√32，cosα=−12，α∈[0, 2π]．所以α=2π3．所以g(x)=f(x+α)+f(x)=sin(x+2π3)+sinx，=−12sinx+√32cosx+sinx，=12sinx+√32cosx，=sin(x+π3 )因为x∈[0,π2brack，所以π3≤x+π3≤5π6．所以，当x+π3=π2，即x=π6时，g(x)的最大值为1；当x+π3=5π6，即x=π2时，g(x)的最小值为12．已知点P(2, 0)及圆C:x2+y2−6x+4y+4=0．（1）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆Q的方程；（2）设直线ax−y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P(2, 0)的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．【答案】由于圆C:x2+y2−6x+4y+4=0的圆心C(3, −2)，半径为3，|CP|=√5，而弦心距d=√5，所以d=|CP|=√5，所以P为MN的中点，所以所求圆的圆心坐标为(2, 0)，半径为12|MN|=2，故以MN为直径的圆Q的方程为(x−2)2+y2=4；把直线ax−y+1=0即y=ax+1．代入圆C的方程，消去y，整理得(a2+1)x2+6(a−1)x+9=0．由于直线ax−y+1=0交圆C于A，B两点，故△=36(a−1)2−36(a2+1)>0，即−2a>0，解得a<0．则实数a的取值范围是(−∞, 0)．设符合条件的实数a存在，由于l2垂直平分弦AB，故圆心C(3, −2)必在l2上．所以l2的斜率k PC=−2，∴k AB=a=12，由于12∉(−∞,0)，故不存在实数a ，使得过点P(2, 0)的直线l 2垂直平分弦AB ．【考点】直线与圆的位置关系【解析】（1）由利用两点间的距离公式求出圆心C 到P 的距离，再根据弦长|MN|的一半及半径，利用勾股定理求出弦心距d ，发现|CP|与d 相等，所以得到P 为MN 的中点，所以以MN 为直径的圆的圆心坐标即为P 的坐标，半径为|MN|的一半，根据圆心和半径写出圆的方程即可；（2）把已知直线的方程代入到圆的方程中消去y 得到关于x 的一元二次方程，因为直线与圆有两个交点，所以得到△>0，列出关于a 的不等式，求出不等式的解集即可得到a 的取值范围，利用反证法证明：假设符合条件的a 存在，由直线l 2垂直平分弦AB 得到圆心必在直线l 2上，根据P 与C 的坐标即可求出l 2的斜率，然后根据两直线垂直时斜率的乘积为−1，即可求出直线ax −y +1=0的斜率，进而求出a 的值，经过判断求出a 的值不在求出的范围中，所以假设错误，故这样的a 不存在．【解答】由于圆C:x 2+y 2−6x +4y +4=0的圆心C(3, −2)，半径为3，|CP|=√5，而弦心距d =√5，所以d =|CP|=√5，所以P 为MN 的中点，所以所求圆的圆心坐标为(2, 0)，半径为12|MN|=2，故以MN 为直径的圆Q 的方程为(x −2)2+y 2=4；把直线ax −y +1=0即y =ax +1．代入圆C 的方程，消去y ，整理得(a 2+1)x 2+6(a −1)x +9=0．由于直线ax −y +1=0交圆C 于A ，B 两点，故△=36(a −1)2−36(a 2+1)>0，即−2a >0，解得a <0．则实数a 的取值范围是(−∞, 0)．设符合条件的实数a 存在，由于l 2垂直平分弦AB ，故圆心C(3, −2)必在l 2上．所以l 2的斜率k PC =−2，∴ k AB =a =12，由于12∉(−∞,0)，故不存在实数a ，使得过点P(2, 0)的直线l 2垂直平分弦AB ．今年入秋以来，某市多有雾霾天气，空气污染较为严重．市环保研究所对近期每天的空气污染情况进行调査研究后发现，每一天中空气污染指数与f(x)时刻x （时）的函数关系为f(x)=|log 25(x +1)−a|+2a +1，x ∈[0, 24]，其中a 为空气治理调节参数，且a ∈(0, 1)．（1）若a =12，求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低；（2）规定每天中f(x)的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超过3，则调节参数a 应控制在什么范围内？【答案】a =12时，f(x)=|log 25(x +1)−12|+2，x ∈[0, 24]，令|log 25(x +1)−12|=0，解得x =4，因此：一天中第4个时刻该市的空气污染指数最低．令f(x)=|log 25(x +1)−a|+2a +1={3a +1−log 25(x +1),x ∈(0,25a −1]log 25(x +1)+a +1,x ∈(25a −1,24]， 当x ∈(0, 25a −1]时，f(x)=3a +1−log 25(x +1)单调递减，∴ f(x)<f(0)=3a +1．当x ∈[25a −1, 24)时，f(x)=a +1+log 25(x +1)单调递增，∴ f(x)≤f(24)=a +1+1．联立{3a +1≤3a +2≤30<a <1，解得0<a ≤23．可得a ∈(0,23]．因此调节参数a 应控制在范围(0,23]．【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】（1）a =12时，f(x)=|log 25(x +1)−12|+2，x ∈[0, 24]，令|log 25(x +1)−12|=0，解得x 即可得出．（2）令f(x)=|log 25(x +1)−a|+2a +1={3a +1−log 25(x +1),x ∈(0,25a −1]log 25(x +1)+a +1,x ∈(25a −1,24]，再利用函数的单调性即可得出．【解答】a =12时，f(x)=|log 25(x +1)−12|+2，x ∈[0, 24]，令|log 25(x +1)−12|=0，解得x =4，因此：一天中第4个时刻该市的空气污染指数最低．令f(x)=|log 25(x +1)−a|+2a +1={3a +1−log 25(x +1),x ∈(0,25a −1]log 25(x +1)+a +1,x ∈(25a −1,24]， 当x ∈(0, 25a −1]时，f(x)=3a +1−log 25(x +1)单调递减，∴ f(x)<f(0)=3a +1．当x ∈[25a −1, 24)时，f(x)=a +1+log 25(x +1)单调递增，∴ f(x)≤f(24)=a +1+1．联立{3a +1≤3a +2≤30<a <1，解得0<a ≤23．可得a ∈(0,23]．因此调节参数a 应控制在范围(0,23]．。
北京西城区高考一模试题解析数学理科(人教B版)
北京市西城区抽样测试 高三数学试卷（理科）本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，第I 卷1至2页，第II 卷3至5页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．第I 卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（西城·理·题1）1．设集合{|1}P x x =>，2{|0}Q x x x =->，则下列结论正确的是（ ） A ．P Q = B ．P Q R = C ．PQ D ．QP【解析】 C ；(1,)P =+∞，(,0)(1,)Q =-∞+∞．（西城·理·题2）2．函数sin cos y x x =+的最小值和最小正周期分别是（ ） A ．22π B ．2,2π- C ．2π- D ．2,π- 【解析】 A ；π24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（西城·理·题3）3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，246a a +=，则5S 等于（ ） A ．10 B ．12 C ．15 D ．30 【解析】 C ；24362a a a +==，于是33a =，53515S a ==．（西城·理·题4）4．甲乙两名运动员在某项测试中的8次成绩如茎叶图所示，1x ，2x 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，1s ，2s 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（ ） A ．1212,x x s s >< B ．1212,x x s s =< C ．1212,x x s s == D ．1212,x x s s <>3275538712455698210乙甲【解析】 B ；1215x x ==，2222222222221211(761167)(872278)88s s =+++++<=+++++．（西城·理·题5）5．阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ）A ．1321B ．2113C ．813D ．138【解析】 D ； 1,1,220x y z ===<；1,2,320x y z ===<；，8,13,2120x y z ===>，故输出138．（西城·理·题6）6．某会议室第一排共有8个座位，现有3人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法种数为（ ）A ．12B ．16C ．24D ．32 【解析】 C ；将三个人插入五个空位中间的四个空档中，有34A 24=种排法．（西城·理·题7）7．已知平面区域1||1{(,)0,{(,)01y x y x x y y M x y y x +⎧⎫-+⎧⎫⎪⎪Ω==⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭≤≤≥≥≤，向区域Ω内随机投一点P ，点P 落在区域M 内的概率为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．23【解析】 C ；如图，阴影部分大的等腰直角三角形区域为Ω，小的等腰直角三角形区域为M ，由面积比知12P =．1O-11yx（西城·理·题8）8．如图，平面α⊥平面β，αβ=直线l ，,A C 是α内不同的两点，,B D 是β内不同的两点，输出yxy = zx = y z<20 z = x +y x =1, y =1否是结束开始且,,,A B C D ∉直线l ，,M N 分别是线段,AB CD 的中点．下列判断正确的是（ ） A ．当||2||CD AB =时，,M N 两点不可能重合B ．,M N 两点可能重合，但此时直线AC 与l 不可能相交 C ．当AB 与CD 相交，直线AC 平行于l 时，直线BD 可以与l 相交 D ．当,AB CD 是异面直线时，直线MN 可能与l 平行【解析】 B ；若,M N 两点重合，由,AM MB CM MD ==知AC BD ∥，从而AC ∥平面β，故有AC l ∥，故B 正确．第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．（西城·理·题9）9．若(2i)i i a b -=+，其中,a b ∈R ，i 为虚数单位，则a b += ． 【解析】 3；2i i a b +=+1,2a b ⇒==．（西城·理·题10）10．已知||2a =，||3b =，,a b 的夹角为60°，则|2|a b -= ． 【解析】 13；222(2)44cos6013a b a a b b -=-⋅︒+=．（西城·理·题11）11．将极坐标方程2cos ρθ=化成直角坐标方程为 ． 【解析】2220x y x +-=； 2222cos 2x y x ρρθ=⇒+=．（西城·理·题12）12．如图，PC 切O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD AB ⊥于点E ．已知O 的半径为3，2PA =，则PC = ．OE = ．ADE OCBlNM DCBAβα【解析】 94,5； 22(26)164PC PA PB PC =⋅=⨯+=⇒=；连结OC ，知OC PC ⊥，于是5PO =，2239235CO OE OP PE =⋅⇒==+．BCOE PDA（西城·理·题13）13．已知双曲线2213y x -=的左顶点为1A ，右焦点为2F ，P 为双曲线右支上一点，则12PA PF ⋅最小值为 ． 【解析】 2-；12(1,0),(2,0)A F -，设(,)(1)P x y x ≥，2212(1,)(2,)2PA PF x y x y x x y ⋅=--⋅-=--+，又2213y x -=，故223(1)y x =-，于是2212114545816PA PF x x x ⎛⎫⋅=--=--- ⎪⎝⎭，当1x =时，取到最小值2-．（西城·理·题14）14．设函数()f x 的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意()x M M D ∈⊆，有x l D +∈，且()()f x l f x +≥，则称()f x 为M 上的l 高调函数．如果定义域为[1,)-+∞的函数2()f x x =为[1,)-+∞上的m 高调函数，那么实数m 的取值范围是 ．如果定义域为R 的函数()f x 是奇函数，当0x ≥时，22()||f x x a a =--，且()f x 为R 上的4高调函数，那么实数a 的取值范围是 ．【解析】 [2,)+∞；[1,1]-；2()(1)f x x x =-≥的图象如下图左所示，要使得(1)(1)1f m f -+-=≥，有2m ≥；1x -≥时，恒有(2)()f x f x +≥，故2m ≥即可；由()f x 为奇函数及0x ≥时的解析式知()f x 的图象如下图右所示，∵222(3)()f a a f a ==-，由2222(4)()(3)f a f a a f a -+-==≥，故2243a a -+≥，从而21a ≤，又21a ≤时，恒有(4)()f x f x +≥，故21a ≤即可．-a 2a 2-a 2a 2O y x1O -1yx三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． （西城·理·题15）15．（本小题满分12分）已知α为锐角，且πtan 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭．⑴求tan α的值；⑵求sin 2cos sin cos2αααα-的值．【解析】 ⑴π1tan tan 41tan ααα+⎛⎫+= ⎪-⎝⎭，所以1tan 2,1tan 22tan 1tan αααα+=+=--，所以1tan 3α=．⑵2sin 2cos sin 2sin cos sin cos2cos2αααααααα--=2sin (2cos 1)sin cos2sin cos2cos2ααααααα-===．因为1tan 3α=，所以cos 3sin αα=，又22sin cos 1αα+=，所以21sin 10α=，又α为锐角，所以10sin 10α=， 所以sin 2cos sin 10cos 210αααα-=．（西城·理·题16） 16．（本小题满分13）在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为56、45、34、13，且各轮问题能否正确回答互不影响． ⑴求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；⑵求该选手至多进入第三轮考核的概率；⑶该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X ，求随机变量X 的分布列和期望．【解析】 设事件(1,2,3,4)i A i =表示“该选手能正确回答第i 轮问题”，由已知12345431(),(),(),()6543P A P A P A P A ====，⑴设事件B 表示“该选手进入第三轮被淘汰”，则331212()()()()()P B P A A A P A P A P A ==543116546⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭．⑵设事件C 表示“该选手至多进入第三轮考核”， 则123112()()P C P A A A A A A =++1231121515431()()()(1)6656542P A P A A P A A A =++=+⨯+⨯⨯-=； ⑶X 的可能取值为1，2，3，4，11(1)()6P X P A ===， 21541(2)()(1)656P X P A A ===⨯-=，3125431(3)()(1)6546P X P A A A ===⨯⨯-=，1235431(4)()6542P X P A A A ===⨯⨯=，所以，X 的分布列为X1 2 3 4 P16 16 16 12()123436662E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．（西城·理·题17） 17．（本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，E 为PC 中点，底面ABCD 是直角梯形，AB CD ∥，ADC ∠=90°，1AB AD PD ===，2CD =． ⑴求证：BE ∥平面PAD ； ⑵求证：BC ⊥平面PBD ；⑶设Q 为侧棱PC 上一点，PQ PC λ=，试确定λ的值，使得二面角Q BD P --为45°．PEDCB A【解析】 ⑴取PD 的中点F ，连结,EF AF ，因为E 为PC 中点，所以EF CD ∥，且11,2EF CD ==在梯形ABCD 中，AB CD ∥，1AB =，所以EF AB ∥，EF AB =，四边形ABEF 为平行四边形， 所以BE AF ∥，BE ⊄平面PAD ，AF ⊂平面PAD ，所以BE ∥平面PAD ．⑵平面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，所以PD ⊥平面ABCD ，所以PD AD ⊥． 如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -． 则(1,0,0)A ，(1,1,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,1)P ． (1,1,0),(1,1,0)DB BC ==-．所以0,BC DB BC DB ⋅=⊥．又由PD ⊥平面ABCD ，可得PD BC ⊥， 所以BC ⊥平面PBD ．⑶平面PBD 的法向量为(1,1,0)BC =-，(0,2,1),,(0,1)PC PQ PC λλ=-=∈， 所以(0,2,1)Q λλ-，设平面QBD 的法向量为(,,)n a b c =，由0n DB ⋅=，0n DQ ⋅=，得02(1)0a b b c λλ+=⎧⎨+-=⎩，所以21,1,1n λλ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，所以22cos 45||||222()1n BCn BC λλ⋅︒===⋅+-， 注意到(0,1)λ∈，得21λ=．（西城·理·题18） 18．（本小题满分14分）F zy xQA BCD EP椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为32，长轴端点与短轴端点间的距离为5．⑴求椭圆C 的方程；⑵设过点D (0,4)的直线l 与椭圆C 交于,E F 两点，O 为坐标原点，若OEF ∆为直角三角形，求直线l 的斜率． 【解析】 ⑴由已知2235c a b a =+=， 又222a b c =+，解得224,1a b ==，所以椭圆C 的方程为2214x y +=；⑵根据题意，过点(0,4)D 满足题意的直线斜率存在，设:4l y kx =+， 联立22144x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得22(14)32600k x kx +++=，222(32)240(14)64240k k k ∆=-+=-，令0∆>，解得2154k >． 设E 、F 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ， ⅰ）当EOF ∠为直角时， 则1212223260,1414k x x x x k k +=-=++， 因为EOF ∠为直角，所以0OE OF ⋅=，即12120x x y y +=， 所以21212(1)4()160k x x k x x ++++=，所以222215(1)32401414k k k k ⨯+-+=++，解得19k =±ⅱ）当OEF ∠或OFE ∠为直角时，不妨设OEF ∠为直角， 此时，1OE k k ⋅=，所以111141y y x x -⋅=-，即221114x y y =-……① 又221114x y +=…………② 将①代入②，消去1x 得2113440y y +-=， 解得123y =或12y =-（舍去），将123y =代入①，得125,3x =±所以1145y k x -==±， 经检验，所求k 值均符合题意，综上，k 的值为19±和5±．（西城·理·题19） 19．（本小题满分14分）已知函数()1e x a f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中0a >．⑴求函数()f x 的零点；⑵讨论()y f x =在区间(,0)-∞上的单调性；⑶在区间,2a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上，()f x 是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．【解析】 ⑴令()0f x =，得x a =-，所以函数()f x 的零点为a -．⑵函数()f x 在区域(,0)-∞上有意义，22()e xx ax a f x x +-'=⋅，令()0f x '=得221244a a a a a ax x --+-++= 因为0a >，所以120,0x x <>，当x 在定义域上变化时，()f x '的变化情况如下：x1(,)x -∞1(,0)x()f x '+- ()f x所以在区间24,a a a ⎛--+-∞ ⎝⎭上()f x 是增函数，在区间240a a a ⎫--+⎪⎪⎝⎭上()f x 是减函数． ⑶在区间,2a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上()f x 存在最小值2a f ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 证明：由⑴知a -是函数()f x 的零点，因为221440a a a a a aa x a --+-++--=-=>， 所以10x a <-<．由()1e x a f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭知，当x a <-时，()0f x >．又函数在1(,0)x 上是减函数，且102ax a <-<-<． 所以函数在区间1,2a x ⎛⎤- ⎥⎝⎦上的最小值为2a f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且()02a f -<．所以函数在区间,2a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上的最小值为2a f ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 计算得2e 2aa f -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．（西城·理·题20）20．（本小题满分13分）对于各项均为整数的数列{}n a ，如果i a i +（i =1，2，3，…）为完全平方数，则称数列{}n a 具有“P 性质”．不论数列{}n a 是否具有“P 性质”，如果存在与{}n a 不是同一数列的{}n b ，且{}n b 同时满足下面两个条件：①123,,,...,n b b b b 是123,,,...,n a a a a 的一个排列；②数列{}n b 具有“P 性质”，则称数列{}n a 具有“变换P 性质”．⑴设数列{}n a 的前n 项和2(1)3n nS n =-，证明数列{}n a 具有“P 性质”；⑵试判断数列1，2，3，4，5和数列1，2，3，…，11是否具有“变换P 性质”，具有此性质的数列请写出相应的数列{}n b ，不具此性质的说明理由；⑶对于有限项数列A ：1，2，3，…，n ，某人已经验证当2[12,](5)n m m ∈≥时，数列A 具有“变换P 性质”，试证明：当”22[1,(1)]n m m ∈++时，数列A 也具有“变换P 性质”．【解析】 ⑴当2n ≥时，1n n n a S S -=-2221(1)[(1)1]33n n n n n n -=----=-，又10a =，所以2*()n a n n n =-∈N ． 所以2(1,2,3,)i a i i i +==是完全平方数，数列{}n a 具有“P 性质”；⑵数列1，2，3，4，5具有“变换P 性质”， 数列{}n b 为3，2，1，5，4，数列1，2，3，…，11不具有“变换P 性质”，11 / 11 因为11，4都只有与5的和才能构成完全平方数，所以数列1，2，3，…，11不具有“变换P 性质”；⑶设2,121n m j j m =++≤≤，注意到22(2)()44m m j m j +-+=+-，令441h m j =+--，由于121,5j m m +≤≤≥，所以4412212h m j m =+--+≥≥，又22244142m h m m j m m -=--++--≥，2242(2)60m m m --=-->， 所以2h m <，即2[12,]h m ∈，因为当2[12,](5)n m m ∈≥时，数列{}n a 具有“变换P 性质”，所以1，2，…，441m j +--可以排列成123,,,,h a a a a ， 使得(1,2,,)i a i i h +=都是平方数．另外，244,441,,m j m j m j +-+-++可以按相反顺序排列， 即排列为2,,441,44m j m j m j +--++-，使得22(44)()(2)m j m j m +-++=+，22(441)(1)(2),,m j m j m +-+++-=+ 所以1，2，22441,44,,1,m j m j m j m j +--+--++可以排列成 2123,,,,,,44h a a a a m j m j ++-，满足2(1,2,,)i a i i m j +=+都是平方数．即当22[1,(1)]n m m ∈++时，数列A 也具有“变换P 性质”．。
2018-2019北京市西城区一模数学理科试题及答案
北京市西城区高三统一测试数学（理科） 2019.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设全集U =R ，集合{|02}A x x =<<，{3,1,1,3}B =--，则集合()U A B =ð（A ）{3,1}-- （B ）{3,1,3}-- （C ）{1,3} （D ）{1,1}-2．若复数1i2iz -=-，则在复平面内z 对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限3. 执行如图所示的程序框图，则输出的k 值为 （A ）4 （B ）5（C ）7 （D ）94．下列直线中，与曲线C ：12,()24x t t y t =+⎧⎨=-+⎩为参数没有公共点的是 （A ）20x y += （B ）240x y +-= （C ）20x y -=（D ）240x y --=5. 设 ,,a b m 均为正数，则“b a >”是“a m ab m b+>+”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件6．如图，阴影表示的平面区域W 是由曲线0x y -=，222x y +=所围成的. 若点(,)P x y 在W 内（含边界），则43z x y =+的最大值和最小值分别为（A）7-（B）-（C ）7，-（D ）7，7-7. 团体购买公园门票，票价如下表：现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数之差为（A ）20 （B ）30 （C ）35 （D ）408. 如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线422x y +=围成的平面区域的直径为 （A（B ）3（C ）（D ）4第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 在等比数列{}n a 中，21a =，58a =，则数列{}n a 的前n 项和n S =____．10．设1F ，2F 为双曲线2222 1(0,0)x y C a b a b-=>>：的两个焦点，若双曲线C 的两个顶点恰好将线段12F F 三等分，则双曲线C 的离心率为____．11．函数()sin 2cos2f x x x =+的最小正周期T =____；如果对于任意的x ∈R 都有()f x a ≤，那么实数a 的取值范围是____．12．某四棱锥的三视图如图所示，那么此四棱锥的体积为____．13. 能说明“若sin cos αβ=，则36090k αβ+=⋅+，其中k ∈Z ”为假命题的一组α，β的值是___．14．如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1（允许一侧无珠），记上、中、下三档的数字和分别为a ，b ，c . 例如，图中上档的数字和9a =. 若a ，b ，c 成等差数列，则不同的分珠计数法有____种.侧(左)视图 正(主)视图俯视图2三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在△ABC 中，已知222a c b mac +-=，其中m ∈R . （Ⅰ）判断m 能否等于3，并说明理由； （Ⅱ）若1m =-，b =4c =，求sin A ．16．（本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEF 中，梯形ADEF 与平行四边形ABCD 所在平面互相垂直， //AF DE ，DE AD ⊥，AD BE ⊥，112AF AD DE ===，AB（Ⅰ）求证：//BF 平面CDE ；（Ⅱ）求二面角B EF D --的余弦值； （Ⅲ）判断线段BE 上是否存在点Q ，使得 平面CDQ ⊥平面BEF ？若存在，求 出BQBE的值，若不存在，说明理由．17．（本小题满分13分）为培养学生的阅读习惯，某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动. 活动后，为了解阅读情况，学校统计了甲、乙两组各10名学生的阅读量（单位：本），统计结果用茎叶图记录如下，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a 表示.（Ⅰ）若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值， 求图中a 的所有可能取值；（Ⅱ）将甲、乙两组中阅读量超过．．15本的学生称为“阅读达人”. 设3a =，现从所有“阅读达人”里任取3人，求其中乙组的人数X 的分布列和数学期望.（Ⅲ）记甲组阅读量的方差为20s . 在甲组中增加一名学生A 得到新的甲组，若A 的阅读量为10，则记新甲组阅读量的方差为21s ；若A 的阅读量为20，则记新甲组阅读量的方差为22s ，试比较20s ，21s ，22s 的大小.（结论不要求证明）DABCE F18．（本小题满分13分）设函数2()e 3x f x m x =-+，其中∈m R ．（Ⅰ）当()f x 为偶函数时，求函数()()h x xf x =的极值；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点，求m 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆W : 2214x y m m+=的长轴长为4，左、右顶点分别为,A B ，经过点(,0)P n 的直线与椭圆W 相交于不同的两点,C D （不与点,A B 重合）.（Ⅰ）当0n =，且直线CD ⊥x 轴时， 求四边形ACBD 的面积；（Ⅱ）设1n =，直线CB 与直线4x =相交于点M ，求证：,,A D M 三点共线.20．（本小题满分13分）如图，设A 是由n n ⨯(2)n ≥个实数组成的n 行n 列的数表，其中ij a (,1,2,,)i j n =表示位于第i 行第j 列的实数，且{1,1}ij a ∈-.定义1122st s t s t sn tn p a a =s 行与第t 行的积. 若对于任意,s t（s t ¹），都有0st p =，则称数表A 为完美数表.（Ⅰ）当2n =时，试写出一个符合条件的完美数表； （Ⅱ）证明：不存在10行10列的完美数表；（Ⅲ）设A 为n 行n 列的完美数表，且对于任意的1,2,,i l =L 和1,2,,j k =L ，都有1ij a =，证明：kl n ≤.北京市西城区高三统一测试数学（理科）参考答案及评分标准 2019.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．D 3．D 4．C 5．C 6．A 7．B 8．B 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．1122n --10．311． π；a 12．4313．答案不唯一，如110α=，20β= 14．32注：第11题第一问3分，第二问2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当3m =时，由题可知 2223a c b ac +-=，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-， (3)分得2223cos 22a cb B ac +-==． ……………… 4分这与cos [1,1]B ∈-矛盾，所以m 不可能等于 3 . ……………… 6分（Ⅱ）由（Ⅰ），得 1cos 22m B ==-，所以2π3B =. ……………… 7分因为b =4c =，222a c b ac +-=-， 所以216284a a +-=-，解得6a =-（舍）或2a =. ……………… 9分在△ABC中，由正弦定理sin sina bA B=， (11)分得sinsin14a BAb===. (13)分16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由底面ABCD为平行四边形，知//AB CD，又因为AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，所以//AB平面CDE. ………………2分同理//AF平面CDE，又因为AB AF A=，所以平面//ABF平面CDE. ………………3分又因为BF⊂平面ABF，所以//BF平面CDE. ………………4分（Ⅱ）连接BD,因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF平面ABCD AD=，D E AD⊥，所以DE⊥平面ABCD. 则D E D B⊥.又因为D E AD⊥，AD BE⊥，DE BE E=，所以AD⊥平面BDE，则AD BD⊥.故,,DA DB DE两两垂直，所以以,,DA DB DE所在的直线分别为x轴、y轴和z轴，如图建立空间直角坐标系，………………6分则(0,0,0)D，(1,0,0)A，(0,1,0)B，(1,1,0)C-，(0,0,2)E，(1,0,1)F，所以(0,1,2)BE=-,(1,0,1)EF=-，(0,1,0)=n为平面DEF的一个法向量.设平面BEF的一个法向量为(,,)x y z=m，由0BE⋅=m，0EF⋅=m，得20,0,y zx z-+=⎧⎨-=⎩令1z=，得(1,2,1)=m. ………………8分所以cos ,||||⋅<>==m n m n m n .如图可得二面角B EF D --为锐角，所以二面角B EF D --………………10分 （Ⅲ）结论：线段BE 上存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF . ………………11分证明如下：设(0,,2)([0,1])BQ BE λλλλ==-∈，所以(0,1,2)DQ DB BQ λλ=+=-.设平面CDQ 的法向量为(,,)a b c =u ，又因为(1,1,0)DC =-，所以0DQ ⋅=u ，0DC ⋅=u ，即(1)20,0,b c a b λλ-+=⎧⎨-+=⎩ (12)分若平面CDQ ⊥平面BEF ，则0⋅=m u ，即20a b c ++=， (13)分解得1[0,1]7λ=∈.所以线段BE 上存在点Q ，使得平面CDQ ⊥平面BEF ，且此时17BQ BE =. …… 14分17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）甲组10名学生阅读量的平均值为12681011121217211010+++++++++=，乙组10名学生阅读量的平均值为124412131616(10)20981010a a+++++++++++=. (2)分由题意，得981010a+>，即2a <. ……………… 3分 故图中a 的取值为0或1. ……………… 4分（Ⅱ）由图可知，甲组“阅读达人”有2人，乙组“阅读达人”有3人.由题意，随机变量X 的所有可能取值为：1，2，3. (5)分且212335C C 3(1)C 10P X ⋅===，122335C C 3(2)C 5P X ⋅===， 3335C 1(3)C 10P X ===. …… 8分所以随机变量的分布列为：……………… 9分所以3319()123105105E X =⨯+⨯+⨯=. ………………10分 （Ⅲ）222102s s s <<. ……………… 13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由函数()f x 是偶函数，得()()f x f x -=，即22e ()3e 3x x m x m x ---+=-+对于任意实数x 都成立，所以0m =. ……………… 2分 此时3()()3h x xf x x x ==-+，则2()33h x x '=-+.由()0h x '=，解得1x =±. ……………… 3分 当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-上单调递增. …………… 5分 所以()h x 有极小值(1)2h -=-，()h x 有极大值(1)2h =. ……………… 6分（Ⅱ）由2()e 30xf x m x =-+=，得23ex x m -=.所以“()f x 在区间[2,4]-上有两个零点”等价于“直线y m =与曲线23()ex x g x -=，[2,4]x ∈-有且只有两个公共点”. ……………… 8分X对函数()g x 求导，得223()e xx x g x -++'=. ……………… 9分由()0g x '=，解得11x =-，23x =. ……………… 10分 当x 变化时，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：所以()g x 在(2,1)--，(3,4)上单调递减，在(1,3)-上单调递增. …………… 11分 又因为2(2)e g -=，(1)2e g -=-，36(3)(2)e g g =<-，413(4)(1)e g g =>-， 所以当4132e em -<<或36e m =时，直线y m =与曲线23()e x x g x -=，[2,4]x ∈-有且只有两个公共点. 即当4132e em -<<或36e m =时，函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点. ……… 13分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意，得244a m ==， 解得1m =. ……………… 2分所以椭圆W 方程为2214x y +=. ……………… 3分 当0n =，及直线CD ⊥x 轴时，易得(0,1)C ,(0,1)D -. 且(2,0)A -,(2,0)B . 所以||4AB =，||2CD =，显然此时四边形ACBD 为菱形，所以四边形ACBD 的面积为14242⨯⨯=. …… 5分（Ⅱ）当直线CD 的斜率k 不存在时，由题意，得CD 的方程为1x =，代入椭圆W 的方程，得C ，(1,D ，易得CB 的方程为2)y x =-.则(4,M ,(6,AM =,(3,AD =, 所以2AM AD =，即,,A D M 三点共线. ……………… 7分当直线CD 的斜率k 存在时，设CD 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，11(,)C x y ，22(,)D x y ， 联立方程22(1),1,4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，得2222(41)8440k x k x k +-+-=. ……… 9分由题意，得0∆>恒成立，故2122841k x x k +=+，21224441k x x k -=+. …………… 10分 直线CB 的方程为11(2)2y y x x =--. 令4x =，得112(4,)2y M x -. ……………… 11分又因为(2,0)A -，22(,)D x y ， 则直线AD ，AM 的斜率分别为222AD y k x =+，113(2)AM y k x =-， …………… 12分 所以21211221123(2)(2)23(2)3(2)(2)AD AM y y y x y x k k x x x x --+-=-=+--+. 上式中的分子 211221123(2)(2)3(1)(2)(1)(2)y x y x k x x k x x --+=----+ 121225()8kx x k x x k =-++22224482584141k k k k k k k -=⨯-⨯+++ 0=， 所以0AD AM k k -=.所以,,A D M 三点共线. ……………… 14分20．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）答案不唯一. 如：……………… 3分（Ⅱ）假设存在10行10列的完美数表A .根据完美数表的定义，可以得到以下两个结论：（1）把完美数表的任何一列的数变为其相反数（即1+均变为1-，而1-均变为1+），得到的新数表是完美数表；（2）交换完美数表的任意两列，得到的新数表也是完美数表. ……………… 5分 完美数表A 反复经过上述两个结论的变换，前三行可以为如下形式：x 共列y 共列z 共列w 共列在这个新数表中，设前三行中的数均为1的有x 列，前三行中“第1, 2行中的数为1，且第3行中的数为-1”的有y 列，前三行中“第1, 3行中的数为1，且第2行中的数为-1”的有z 列，前三行中“第1行中的数为1，且第2, 3行中的数为-1”的有w 列（如上表所示），则10x y z w +++= ○1由120p =，得x y z w +=+； ○2 由130p =，得x z y w +=+； ○3 由230p =，得x w y z +=+. ○4 解方程组○1，○2，○3，○4，得52x y z w ====. 这与,,,x y z w ∈N 矛盾，所以不存在10行10列的完美数表. ……………… 8分 （Ⅲ）记第1列前l 行中的数的和112111l a a a X +++=，第2列前l 行中的数的和12222la a a X +++= ，……，第n 列前l 行中的数的和12n n ln n a a a X +++=，因为对于任意的1,2,,i l =L 和1,2,,j k =L ，都有1ij a =， 所以12k X X X l ====. (9)分又因为对于任意,s t （s t ¹），都有0st p =，所以22212n X X X ln +++=. (11)分又因为22222221212n k X X X X X X l k ++++++=≥，所以2ln l k ≥，即kl n ≤. ……………… 13分。
2018届北京市西城区高三第一次模拟考试卷数学(理)附答案
2018届北京市西城区高三第一次模拟考试卷数学（理）附答案第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合，，则（）A．B．C．D．2．执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A．2 B．3 C．4 D．53．已知圆的方程为．以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，该圆的极坐标方程为（）A．B．C．D．4．正三棱柱的三视图如图所示，该正三棱柱的表面积是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知是正方形的中心．若，其中，，则（ ）A ．B ．C ．D ．6．设函数．则“有两个不同的零点”是“，使”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．函数，则的图象上关于原点对称的点共有（ ）A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对8．某计算机系统在同一时间只能执行一项任务，且该任务完成后才能执行下一项任务．现有三项任务，，，计算机系统执行这三项任务的时间（单位：）依次为，，，其中．一项任务的“相对等待时间”定义为从开始执行第一项任务到完成该任务的时间与计算机系统执行该任务的时间之比．下列四种执行顺序中，使三项任务“相对等待时间”之和最小的是（ ） A ．B ．C ．D ．U V W s U V W →→V W U →→W U V →→U W V→→第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．若复数的实部与虚部相等，则实数____．10．设等差数列的前项和为，若，，则____；____．11．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则____；双曲线的渐近线方程是____________．12．设，若函数的最小正周期为，则____．13．安排甲、乙、丙、丁4人参加3个运动项目，每人只参加一个项目，每个项目都有人参加．若甲、乙2人不能参加同一个项目，则不同的安排方案的种数为____．（用数字作答）14．如图，在长方体中，，，点在侧面上．若点到直线和的距离相等，则的最小值是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在△中，已知．（1）求的大小；（2）若，，求△的面积．16．（13分）某企业2017年招聘员工，其中、、、、五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：（1 （2）从应聘岗位的6人中随机选择2人．记为这2人中被录用的人数，求的分布列和数学期望；（3）表中、、、、各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）A B C D E E A B C D E17．（14分）如图1，在△中，，分别为，的中点，为的中点，，．将△沿折起到△的位置，使得平面平面，如图2．（1）求证：；（2）求直线和平面所成角的正弦值；（3）线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．图1 图218．（13分）已知函数，其中．（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的值；（2）当时，证明：存在极小值．19．（14分）已知圆和椭圆，是椭圆的左焦点．（1）求椭圆的离心率和点的坐标；（2）点在椭圆上，过作轴的垂线，交圆于点（不重合），是过点的圆的切线．圆的圆心为点，半径长为．试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论．20．（13分）数列：满足：．记的前项和为，并规定．定义集合．（1）对数列：，，，，，求集合；（2）若集合，证明：；（3）给定正整数．对所有满足的数列，求集合的元素个数的最小值．2018届北京市西城区高三第一次模拟考试卷数学（理）答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1-5．DCBDB 6-8．CCA二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．10．6，11．，12．213．30 14．注：第10，11题第一空3分，第二空2分．三、解答题：本大题共6小题，共80分．其他正确解答过程，请参照评分标准给分．15．【答案】（1）；（2）见解析．【解析】（1）因为，所以．在△中，由正弦定理得，所以．因为，所以．（2）在△中，由余弦定理得，所以，整理得，解得，或，均适合题意．当时，△的面积为．当时，△的面积为．16．【答案】（1）；（2）分布列见解析，；（3）、、、． 【解析】（1）因为表中所有应聘人员总数为，被该企业录用的人数为，所以从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为．（2）X 可能的取值为0，1，2．因为应聘E 岗位的6人中，被录用的有4人，未被录用的有2人，所以；；．所以X 的分布列为：．（3）这四种岗位是：、、、．17．【答案】（1）见解析；（2）；（3）存在，．【解析】（1）因为在△中，，分别为，的中点，()43E X =B C DE B C D E所以，．所以，又为的中点，所以．因为平面平面，且平面，所以平面，所以．（2）取的中点，连接，所以．由（1）得，．如图建立空间直角坐标系．由题意得，，，，．所以，，．设平面的法向量为，则，即，令，则，，所以．设直线和平面所成的角为，则．所以直线和平面所成角的正弦值为．（3）线段上存在点适合题意．设，其中．设，则有，所以，从而，所以，又，所以．令，整理得．解得，舍去．所以线段上存在点适合题意，且．18．【答案】（1）；（2）见解析．【解析】（1）的导函数为．依题意，有，解得．（2）由及知，与同号．令，则．所以对任意，有，故在单调递增．因为，所以，，故存在，使得．与在区间上的情况如下：↘极小值↗所以在区间上单调递减，在区间上单调递增．所以存在极小值．19．【答案】（1），；（2）相切，证明见解析． 【解析】（1）由题意，椭圆的标准方程为．所以，，从而．因此，．故椭圆的离心率，椭圆的左焦点的坐标为．（2）直线与圆相切．证明如下：设，其中，则，依题意可设，则．直线的方程为，整理为．所以圆的圆心到直线的距离．因为．所以，e =()F即，所以直线与圆相切．20．【答案】（1）；（2）见解析；（3）．【解析】（1）因为，，，，，，所以．（2）由集合的定义知，且是使得成立的最小的k，所以．又因为，所以，所以．（3）因为，所以非空．设集合，不妨设，则由（2）可知，同理，且．所以．因为，所以的元素个数．取常数数列：，并令，则，适合题意，且，其元素个数恰为．综上，的元素个数的最小值为．。
2018北京六区高三一模数学(理)解答题分类汇编--立体几何
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2y
2z
0,
y 2z 0.
n A1 D 0,
令 x 1，则 y 2 ， z 1 ，所以 n (1,2, 1) ． [7 分 ]
设直线 A1C 和平面 A1BD 所成的角为 ，
则 sin
| cos n, A1C | | n A1C | | n || A1C |
2 2． 3
所以 直线 A1C 和平面 A1 BD 所成角的正弦值为
（Ⅲ）在线段 A C 上是否存在点 P ，使得 OP // 平面 A DE ? 若存在，求出 A P 的值；若不存在，请说明理由． AC
A
E
D
O
A
E D
O
B
C
B
C
图
图
1
2
证明：（Ⅰ）由已知 AB AE 2 ，
因为 O 为 BE 中点，所以 A O BE ． 因为平面 A BE 平面 BCDE ，且平面 A BE 平面 BCDE
所以 DE // BC ， AD AE ．
所以 A1D A1E ，又 O 为 DE 的中点， 所以 A1O DE ． [1 分 ] 因为平面 A1DE 平面 BCED ，且 A1O 平面 A1DE ， 所以 A1O 平面 BCED ， [3 分] 所以 A1O BD ． [ 4 分 ] （Ⅱ）取 BC 的中点 G ，连接 OG ，所以 OE OG ． 由（Ⅰ）得 A1O OE ， A1O OG ． 如图建立空间直角坐标系 O - xyz ． [5 分]
由题意得， A1 (0,0,2) ， B(2, 2,0) ， C (2,2,0) ， D(0, 1,0) ．
1 / 11
所以 A1B (2, 2, 2) ， A1D (0, 1, 2) ， A1C (2,2, 2) ． 设平面 A1BD 的法向量为 n (x , y , z) ，
北京市西城区2018届高三4月统一测试(一模)数学(理)试卷
西城区高三统一测试数学（理科）注意事项:1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|320}A x x =∈+>R ，2{|230}B x x x =∈-->R ，则A B =（A ）{|1}x x ∈<-R （B ）2{|1}3x x ∈-<<-R（C ）2{|3}3x x ∈-<<R（D ）{|3}x x ∈>R2．执行如图所示的程序框图，输出的k 值为 （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）53．已知圆的方程为2220x y y +-=．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，该圆的极坐标方程为 （A ）2sin ρθ=- （B ）2sin ρθ= （C ）2cos ρθ=-（D ）2cos ρθ=4．正三棱柱的三视图如图所示，该正三棱柱的表面积是（A ） （B（C ）6+ （D ）6+5．已知O 是正方形ABCD 的中心．若DO AB AC λμ−−→−−→−−→=+，其中λ，μ∈R ，则λμ= （A ）12-（B ）2- （C ） （D6．设函数2()f x x bx c =++．则“()f x 有两个不同的零点”是“0x ∃∈R ，使0()0f x <”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．函数2241,0,()23,0.xx x x f x x ⎧-+>⎪=⎨⋅⎪⎩≤ 则()y f x =的图象上关于原点O 对称的点共有 （A ）0对 （B ）1对 （C ）2对（D ）3对8．某计算机系统在同一时间只能执行一项任务，且该任务完成后才能执行下一项任务．现有 三项任务U ，V ，W ，计算机系统执行这三项任务的时间（单位：s ）依次为a ，b ，c ，其中a b c <<．一项任务的“相对等待时间”定义为从开始执行第一项任务到完成该任务的时间与计算机系统执行该任务的时间之比．下列四种执行顺序中，使三项任务“相对等待时间”之和最小的是 （A ）U →V →W（B ）V →W →U（C ）W →U →V（D ）U →W →V第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．若复数(i)(34i)a ++的实部与虚部相等，则实数a =____．10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若12a =，420S =，则3a =____；n S =____．11．已知抛物线28y x =-的焦点与双曲线2221(0)x y a a-=>的一个焦点重合，则a =____；双曲线的渐近线方程是____．12．设0ω>，若函数2cos y x ω=的最小正周期为π2，则ω=____．13．安排甲、乙、丙、丁4人参加3个运动项目，每人只参加一个项目，每个项目都有人参加．若甲、乙2人不能参加同一个项目，则不同的安排方案的种数为____．（用数字作答）14．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==，1BC =，点P 在侧面11A ABB 上．若点P 到直线1AA 和CD 的距离相等， 则1A P 的最小值是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在△ABC sin sin 2C c A ⋅=⋅． （Ⅰ）求A ∠的大小；（Ⅱ）若a =b =ABC 的面积．16．（本小题满分13分）某企业2017年招聘员工，其中A 、B 、C 、D 、E 五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：（Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率；（Ⅱ）从应聘E 岗位的6人中随机选择2人．记X 为这2人中被录用的人数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）表中A 、B 、C 、D 、E 各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）17．（本小题满分14分）如图1，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，O 为DE 的中点，AB AC ==4BC =．将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使得平面1A DE ⊥平面BCED ，如图2．（Ⅰ）求证：1A O BD ⊥；（Ⅱ）求直线1AC 和平面1A BD 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段1A C 上是否存在点F ，使得直线DF 和BC 出11A FA C的值；若不存在，说明理由．图1 图218．（本小题满分13分）已知函数1()e (ln )xf x a x x=⋅++，其中a ∈R ．（Ⅰ）若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线exy =-垂直，求a 的值； （Ⅱ）当(0,ln 2)a ∈时，证明：()f x 存在极小值．19．（本小题满分14分）已知圆22:4O x y +=和椭圆22:24C x y +=，F 是椭圆C 的左焦点． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率和点F 的坐标；（Ⅱ）点P 在椭圆C 上，过P 作x 轴的垂线，交圆O 于点Q （,P Q 不重合），l 是过点Q 的圆O 的切线．圆F 的圆心为点F ，半径长为||PF ．试判断直线l 与圆F 的位置关系，并证明你的结论．20．（本小题满分13分）数列n A ：12,,,(2)n a a a n ≥满足：1(1,2,,)k a k n <=．记n A 的前k 项和为k S ，并规定00S =．定义集合*{n E k =∈N ，|k n ≤k j S S >，0,1,,1}j k =-．（Ⅰ）对数列5A ：0.3-，0.7，0.1-，0.9，0.1，求集合5E ； （Ⅱ）若集合12{,,,}(1n m E k k k m =>，12)m k k k <<<，证明：11(1,2,,1)i i k k S S i m +-<=-；（Ⅲ）给定正整数C ．对所有满足n S C >的数列n A ，求集合n E 的元素个数的最小值．西城区高三统一测试数学（理科）参考答案及评分标准2018.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D 2．C 3．B 4．D 5．B 6．C 7．C 8．A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．7- 10．6，2n n+110x =12．2 13．30 14注：第10，11题第一空3分，第二空2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为sin sin 2C c A ⋅=⋅，所以sin 2sin cos C A A =．[ 1分]在△ABC 中，由正弦定理得sin 2sin cos C A A =． [3分]所以 cos A =． [ 4分]因为 0πA <<， [ 5分]所以 π6A =． [ 6分]（Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理得 2222cos a b c bc A =+-，所以 222c c =+-⋅， [ 8分]整理得 2650c c -+=， [ 9分]解得 1c =，或5c =，均适合题意． [11分]当1c =时，△ABC 的面积为1sin 2S bc A == [12分]当5c =时，△ABC 的面积为1sin 2S bc A ==． [13分]16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为 表中所有应聘人员总数为 5334671000+=，被该企业录用的人数为 264169433+=，所以 从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为4331000P =．[ 3分]（Ⅱ）X 可能的取值为0,1,2． [ 4分]因为应聘E 岗位的6人中，被录用的有4人，未被录用的有2人， [ 5分]所以 2226C 1(0)C 15P X ===； 112426C C 8(1)C 15P X ===；2426C 2(2)C 5P X ===． [ 8分]所以 X 的分布列为：1824()012151553E X =⨯+⨯+⨯=．[10分]（Ⅲ）这四种岗位是：B 、C 、D 、E ． [13分]17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为 在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点， 所以 //DE BC ，AD AE =．所以 11A D A E =，又O 为DE 的中点，所以 1A O DE ⊥． [ 1分]因为 平面1A DE ⊥平面BCED ，且1A O ⊂平面1A DE ，所以 1A O ⊥平面BCED ， [ 3分]所以 1A O BD ⊥． [ 4分]（Ⅱ）取BC 的中点G ，连接OG ，所以 OE OG ⊥． 由（Ⅰ）得 1A O OE ⊥，1A O OG ⊥．如图建立空间直角坐标系O xyz -． [ 5分]由题意得，1(0,0,2)A ，(2,2,0)B -，(2,2,0)C ，(0,1,0)D -． 所以 1(2,2,2)A B −−→=--，1(0,1,2)A D −−→=--，1(2,2,2)A C −−→=-． 设平面1A BD 的法向量为(,,)x y z =n ，则 110,0,A B A D −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n即 2220,20.x y z y z --=⎧⎨--=⎩令1x =，则2y =，1z =-，所以 (1,2,1)=-n ． [ 7分] 设直线1A C 和平面1A BD 所成的角为θ， 则111||sin |cos ,|||||A C A C A C θ−−→−−→−−→⋅=〈〉==n n n 所以 直线1A C 和平面1A BD 所成角的正弦． [ 9分]（Ⅲ）线段1A C 上存在点F 适合题意．设 11A F A C λ−−→−−→=，其中[0,1]λ∈． [10分]设 111(,,)F x y z ，则有111(,,2)(2,2,2)x y z λλλ-=-， 所以 1112,2,22x y z λλλ===-，从而 (2,2,22)F λλλ-， 所以 (2,21,22)DF λλλ−−→=+-，又(0,4,0)BC −−→=， 所以|||cos ,|||||DF BC DF BC DF BC −−→−−→−−→−−→−−→−−→⋅〈〉==[12分]令， 整理得 23720λλ-+=． [13分]解得 13λ=，舍去2λ=．所以 线段1A C 上存在点F 适合题意，且1113A F A C =． [14分]18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()f x 的导函数为2111()e (ln )e ()x x f x a x x x x '=⋅+++⋅-221e (ln )x a x x x =⋅+-+．[ 2分]依题意，有 (1)e (1)e f a '=⋅+=， [ 4分]解得0a =． [ 5分]（Ⅱ）由221()e (ln )x f x a x x x '=⋅+-+及e 0x >知，()f x '与221ln a x x x+-+同号． 令 221()ln g x a x x x=+-+，[ 6分]则223322(1)1()x x x g x x x -+-+'==． [ 8分] 所以 对任意(0,)x ∈+∞，有()0g x '>，故()g x 在(0,)+∞单调递增． [ 9分]因为 (0,ln 2)a ∈，所以 (1)10g a =+>，11()ln 022g a =+<，故 存在01(,1)2x ∈，使得 0()0g x =． [11分]()f x 与()f x '在区间1(,1)上的情况如下：所以 ()f x 在区间01(,)2x 上单调递减，在区间0(,1)x 上单调递增．所以 ()f x 存在极小值0()f x ． [13分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意，椭圆C 的标准方程为22142x y +=． [ 1分] 所以 24a =，22b =，从而 2222c a b =-=． 因此 2a =，c = 故椭圆C 的离心率c e a ==． [ 3分] 椭圆C 的左焦点F的坐标为(． [ 4分]（Ⅱ）直线l 与圆F 相切．证明如下： [ 5分]设00(,)P x y ，其中022x -<<，则220024x y +=， [6分]依题意可设01(,)Q x y ，则22014x y +=． [ 7分]直线l 的方程为 0101()x y y x x y -=--， 整理为 0140x x y y +-=．[ 9分]所以圆F的圆心F 到直线l 的距离02|d =+． [11分] 因为22222200000011||(((4)422PF x y x x x =+=+-=++． [13分]所以 22||PF d =， 即 ||PF d =，所以 直线l与圆F相切． [14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为 00S =，10.3S =-，20.4S =，30.3S =，4 1.2S =，5 1.3S =， [ 2分]所以 5{2,4,5}E =． [ 3分] （Ⅱ）由集合n E 的定义知 1i i k k S S +>，且1i k +是使得i k k S S >成立的最小的k ，所以 11i i k k S S +-≤.[ 5分]又因为 11i k a +<，所以 1111i i i k k k S S a +++-=+ [ 6分]1.i k S <+ 所以11i i k k S S +-<． [ 8分] （Ⅲ）因为0n S S >，所以n E 非空．设集合 12{,,,}n m E k k k =，不妨设12m k k k <<<，则由（Ⅱ）可知 11(1,2,,1)i i k k S S i m +-<=-，同理 101k S S -<，且 m n k S S ≤． 所以 12110()()()()m m m n n k k k k k k S S S S S S S S S -=-+-++-+-101111m m <+++++=个．因为 n S C >，所以n E 的元素个数 1m C +≥．[11分]取常数数列n A ：1(1,2,,1)2i C a i C C +==++，并令1n C =+，则 22(1)2122n C C C S C C C +++==>++，适合题意，且 {1,2,,1}n E C =+，其元素个数恰为1C +．综上，n E 的元素个数的最小值为1C +．[13分]。
2018北京高考数学卷
2018北京高考数学卷数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知集合A ={}2x x <,B ={−2,0,1,2},则A B = ()A.{0,1} B.{−1,0,1}C.{−2,0,1,2}D.{−1,0,1,2}2.在复平面内，复数11i-的共轭复数对应的点位于A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.执行如图所示的程序框图，输出的s 值为A.12B.56C.76D.7124.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为A.fB.C.D.5.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A.1B.2C.3D.46.设a ，b 均为单位向量，则“33a b a b -=+ ”是“a b ⊥”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线20x my --=的距离，当θ、m 变化时，d 的最大值为A .1B.2C.3D.48.设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤则A.对任意实数a ，(2,1)A ∈B.对任意实数a ，（2,1）A ∉C.当且仅当a <0时,（2,1）A ∉D.当且仅当32a ≤时,（2,1）A ∉第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
最新-解析北京市西城区2018届高三数学4月第一次模拟考
【试题总体说明】本套试卷严格按照2018年的高考题进行命制，临近高考，题目难度适当，创新度较高。
所命试卷呈现以下几个特点：（1）注重对基础知识、基本能力和基本方法的考查，严格控制试题难度。
如选择题1，2,3，4，5,9,10；（2）知识点覆盖全面，既注重对传统知识的考查，又注重对新增内容的考查，更注重对主干知识的考查,如解答题15,16,17,18.（3）遵循源于教材、高于教材的原则，部分试题根据教材中的典型例题或习题改编而成；如填空题7.（4）题型新颖，创新度高，部分试题是原创题，有较强的时代特色．如选择题8和解答题20等；（5）在知识网络的交汇处命题，强调知识的整合，突出考查学生综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力。
如19，20题。
第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知全集U =R ，集合1{|1}A x x=≥，则U A =ð（ ） （A ）(0,1) （B ）(0,1]（C ）(,0](1,)-∞+∞ （D ）(,0)[1,)-∞+∞【答案】C【解析】{|01}A x x =<≤∴{|01}U C A x x x =≤>或,故选C 2．执行如图所示的程序框图，若输入2x =，则输出y 的 值为（ ） （A ）2 （B ）5 （C ）11 （D ）23 【答案】D【解析】x=2,y=5,|2-5|<8,x=5,y=11,|5-11|<8,x=11,y=23,|11-23|>8,∴y=23,故选D3．若实数x ，y 满足条件0,30,03,x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤≤⎩则2x y -的最大值为（ ）（A ）9（B ）3（C ）0（D ）3-长为2，∴左视图的面积是2故选,A 5．已知函数44()sin cos f x x x ωω=-的最小正周期是π，那么正数ω=（ ）（A ）2（B ）1（C ）12（D ）146．若2log 3a =，3log 2b =，4log 6c =，则下列结论正确的是（ ） （A ）b a c << （B ）a b c << （C ）c b a << （D ）b c a <<5．【答案】B【解析】44()sin cos f x x x ωω=-2222(sin cos )(sin cos )x x x x ωωωω=+-cos 2x ω=- ∴22T ππω==∴1ω=，故选B 6．【答案】D【解析】32log (1,)a =∈+∞，23log (0,1)b =∈，26664221log log log (1,)2c ====∈+∞ 而3622log log >，∴a>c>b ∴故选D7．设等比数列{}n a 的各项均为正数，公比为q ，前n 项和为n S ．若对*n ∀∈N ，有23n n S S <，则q 的取值范围是（ ）（A ）(0,1] （B ）(0,2)（C ）[1,2)（D ）【答案】A【解析】∵23n n S S < ∴211(1)(1)311n n a q a q q q--<⨯-- ∴2n q < 当1q >时，2log q n <对*n ∀∈N 恒成立，∴2max log q n >不成立，∴舍当0<q<1时，2log q n >对*n ∀∈N 恒成立∴2min log q n <∴2log 1q <即02q <<，又0<q<1∴01q <<当1q =时，12n<成立， ∴综上可得：01q <≤ 故选A8．已知集合230123{|333}A x x a a a a ==+⨯+⨯+⨯，其中{0,1,2}(0,1,2,3)k a k ∈=，且30a ≠.则A 中所有元素之和等于（ ） （A ）3240 （B ）3120（C ）2997（D ）2889【答案】D【解析】0123,,,a a a a 可以取0,1,2,其中30a ≠，所有情况,会有54种，把所有情况相加得2889，故选D第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9. 某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[1314),，[1415),，[1516),，[1617),，[1718],，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1:3:7:6:3，那么成绩在[16,18]的学生人数是_____．【答案】54【解析】∵小矩形的面积之比=频率之比∴成绩在[16,18]的学生人数是54 10．6(2)x -的展开式中，3x 的系数是_____．（用数字作答）【解析】∵πsin()4ρθ+=∴(cos )22ρθθ+=∴sin cos 2ρθρθ+= ∴2x y +=∴极点到πsin()4ρθ+=d ==13. 已知函数12,0,(),20,x x c f x x x x ⎧≤≤⎪=⎨+-≤<⎪⎩ 其中0c >．那么()f x 的零点是_____；若()f x 的值域是1[,2]4-，则c 的取值范围是_____．14. 在直角坐标系xOy 中，动点A ，B分别在射线(0)3y x x =≥和(0)y x =≥上运动，且△OAB 的面积为1．则点A ，B 的横坐标之积为_____；△OAB 周长的最小值是 _____．2(1三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）在△ABC 中，已知sin()sin sin()A B B A B +=+-． （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若||7BC =，20=⋅，求||AB AC +．【命题分析】本题考查在三角形中解题，第一问利用 ，从而求出cosA,再利用角的范围求角；第二问利用余弦定理2222cos a b c bc A =+-、三角形面积公式1sin 2S ab C ∆=，列出方程组，从而求出AB 的长（Ⅰ）解：原式可化为 B A B A B A B sin cos 2)sin()sin(sin =--+=． …………3分因为(0,π)B ∈， 所以 0sin >B ， 所以21cos =A ． …………5分因为(0,π)A ∈， 所以 π3A =． ……………6分 （Ⅱ）解：由余弦定理，得 222||||||2||||cos BC AB AC AB AC A =+-⋅．………8分因为 ||7BC =，||||cos 20AB AC AB AC A ⋅=⋅=，所以 22||||89AB AC +=． …………10分 因为 222||||||2129AB AC AB AC AB AC +=++⋅=， ………12分 所以 ||129AB AC += …………13分 16.（本小题满分13分）乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.（Ⅰ）求甲以4比1获胜的概率；（Ⅱ）求乙获胜且比赛局数多于5局的概率； （Ⅲ）求比赛局数的分布列.（Ⅲ）解：设比赛的局数为X ，则X 的可能取值为4,5,6,7．44411(4)2C ()28P X ===， …………9分 334341111(5)2C ()()2224P X -===， …………10分 335251115(6)2C ()()22216P X -==⋅=， ……………11分336361115(7)2C ()()22216P X -==⋅=． ………………12分比赛局数的分布列为：X 4 5 6 7P18 14 516 516………………13分 17．（本小题满分14分）如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形， ︒=∠=∠60DBF DAB ，且FA FC =． （Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDEF ；（Ⅱ）求证：FC ∥平面EAD ； （Ⅲ）求二面角B FC A --的余弦值．【命题分析】本题考查线面垂直、线面平行的证明和二面角问题等综合问题。
2018北京六区高三一模数学(理)解答题分类汇编--三角函数
（ k Z ），
3
6
故 f (x) 的单调递增区间为 [ k
,k
] （ k Z ） ········· 13 分
3
6
【东城一模】 (15) （本小题 13 分） 已知函数 f(x)=sin2x+2sin xcos x-cos2x.
（Ⅰ）求 f ( x) 的最小正周期；
( Ⅱ ) 求 f (x) 在 [0, ] 上的最大值和最小值． 2
, 2k 2
（ k Z ）， 2
令 2k
2x
2k
（ k Z ），
2
6
2
解得 k
xk
（ k Z ），
3
6
故 f (x) 的单调递增区间为 [ k
,k
] （ k Z ） ········· 13 分
3
6
【石景山一模】 15．（本小题共 13 分）
已知函数 f ( x) 2cos2 x 2 3sin x cosx 1.
Z ) ．……………… 13 分
8
2
2
8
【海淀一模】 ( 15) （本小题 13 分）
已知 f ( x) 2 3 sin x cos x 2cos 2 x 1 ．
2/ 5
(I) 求 f ( ) 的值； 6
( Ⅱ) 求 f ( x) 的单调递增区间．
15. （本题满分 13 分）
（Ⅰ） f ( ) 2 3 sin cos 2cos 2 1
53 ． [13 分]
2
2
【朝阳一模】 15． ( 本小题满分 13 分 )
在 ABC 中，已知 sin A 5 ， b 2a cos A ． 5
（Ⅰ）若 ac 5 ，求 ABC 的面积； （Ⅱ）若 B 为锐角，求 sin C 的值． 解：（Ⅰ）由 b 2a cos A ，得 cos A 0 ，