第2章信息光学------ 二维线性系统分析
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光学信息第二章1-2
r
a0 k U( x, y ) exp( jkz1 )exp{ j [( x x0 )2 ( y y0 )2 ]} z1 2z1
( x x0 )2 ( y y0 )2 r z1 2z1
• 说明：分母中 r 直接用z1替代，而指数项中 r 由 于波长λ极小，k 2 很大，上式中第二项不能 省略
coscos平面波的空间频率是信息光学中常用的基本物理量深入理解这个概念的物理含义是很重要的首先研究波矢量位于xz平面内的简单情况考虑cosexpcos复振幅在xy平面上周期分布的空间周期可以用相位差的两相邻等相位线的间距x表示则有x方向的空间频率用表示单位因此y方向的空间频率cos传播方向余弦为cos0的单色平面波在xy平面上的复振幅分布可用xy方向的空间频率来表示
注
意
空间频率的概念同样可以描述其它物 理量如光强度的空间周期分布，但它们有 不同的物理含义。 对于非相干照明的平面上的光强分布， 也可以通过傅里叶分析利用空间频率来描 ( f x 不再和单色平面波 , fy) 述。但空间频率 exp j2 ( f x x 也就不再对应沿某一 f y y) 有关， 方向传播的平面波。
U ( x, y ) A exp j 2 ( f x x f y y )
• 代表了一个传播方向余弦为 (cos , cos ) 的单色平面波。 • 我们观察的不是某一个平面上而是整个空间光场分 cos 布，可以类似地定义沿z方向的空间频率 f z 有 U ( x, y, z ) a exp j 2 ( f x x f y y f z z ) • 由 cos2 cos2 cos2 1 有 f 2 f 2 f 2 1 x y z 2
2.2
a0 k U( x, y ) exp( jkz1 )exp{ j [( x x0 )2 ( y y0 )2 ]} z1 2z1
( x x0 )2 ( y y0 )2 r z1 2z1
• 说明：分母中 r 直接用z1替代，而指数项中 r 由 于波长λ极小，k 2 很大，上式中第二项不能 省略
coscos平面波的空间频率是信息光学中常用的基本物理量深入理解这个概念的物理含义是很重要的首先研究波矢量位于xz平面内的简单情况考虑cosexpcos复振幅在xy平面上周期分布的空间周期可以用相位差的两相邻等相位线的间距x表示则有x方向的空间频率用表示单位因此y方向的空间频率cos传播方向余弦为cos0的单色平面波在xy平面上的复振幅分布可用xy方向的空间频率来表示
注
意
空间频率的概念同样可以描述其它物 理量如光强度的空间周期分布，但它们有 不同的物理含义。 对于非相干照明的平面上的光强分布， 也可以通过傅里叶分析利用空间频率来描 ( f x 不再和单色平面波 , fy) 述。但空间频率 exp j2 ( f x x 也就不再对应沿某一 f y y) 有关， 方向传播的平面波。
U ( x, y ) A exp j 2 ( f x x f y y )
• 代表了一个传播方向余弦为 (cos , cos ) 的单色平面波。 • 我们观察的不是某一个平面上而是整个空间光场分 cos 布，可以类似地定义沿z方向的空间频率 f z 有 U ( x, y, z ) a exp j 2 ( f x x f y y f z z ) • 由 cos2 cos2 cos2 1 有 f 2 f 2 f 2 1 x y z 2
2.2
光学信息处理全套课件
2、已知函数
f x rectx 2 rectx 2 求下列函数，
并作出函数图形。 （1）
f x 1 （2） f xsgnx
3、已知连续函数 f x ，若 x0 b 0 ，利用
函数可筛选出函数在 x x0 b 的值，试写出运算式。
4、利用梳状函数与矩形函数的卷积表示线光栅的透过率。
假定光栅常数为 ，缝宽为 ，缝数为 。
x, y x y
1.1.2 脉冲响应和叠加积分(1)
• 函数作为基元函数的情况。根据 函数的筛选性质（A.7,或
《积分变换》P16中1.12式），任何输入函数都可以表达为
f x1, y f , x , y dd
• 积分就是“相加 ”,筛选性质表明任意函数都可以表示为无穷多的
函数的和,每个 函数的“大小”被输入函数“调制”。
2 2
27
傅里叶级数的三角形式和指数形式之间关系
• 根据欧拉公式，三角形式的傅里叶级数可以写成
g x
1 a0
a
n
e
j
2nf
0
x
n1
e j 2nf0x 2
bn e j2nf0x
e j 2nf0x 2j
•令
1 a0
an n1
jbn 2
e j 2nf0x
an
coskxdx 0 (k 1,2,3,...)
sin kxdx 0 (k 1,2,3,...)
sin kxsin lxdx 0 (k l, k,l 1,2,3,...)
coskxcoslxdx 0 (k l, k,l 1,2,3,...)
22
周期函数展开为傅里叶级数
• 第1章的主要内容是二维线性系统分析 ，抽样定理 • 第2章关于标量衍射理论，由傅里叶分析与综合导出近
现代光信息处理(2)
线性系统分析－脉冲响应的叠加和积分
线性系统的输出为脉冲响应函数的线性组合
g( x , y )
f ( , )L{d ( x , y )} d d f ( , )h( x , y; , ) d d
叠加 积分
上式描述了线性系统输入和输出的变换关系
1) 线性系统的性质完全由它对单位脉冲的响应表征
即:只要知道系统对位于输入平面上所有可能点上的脉冲的响应,就可以通 过叠加积分完全确定系统的输出
2) 假若系统的输入函数f(x,y)和输出函数g(x,y)之间存在着 叠加积分所描述的关系,可认为这是一个线性系统
线性系统分析－脉冲响应的叠加和积分
线性系统的输出为脉冲响应函数的线性组合
线性系统的输出为脉冲响应函数的线性组合
叠 加 积 分
g( x , y )
f ( x , y )
f ( , )
d ( x , y ) d d
叠加 积分
f ( , )h( x , y; , ) d d
h(x, y;α,β )表示系统输出平面(x,y)点对位于输入平面(α,β) 点的δ 函数激励的响应,称为系统的脉冲响应.
对于线性不变系统，输入某一函数，如果相应的输出函数 仅等于输入函数与一个复常数 的乘积，此输入函数就是 此系统的本征函数。 通过系统时不改变函 f ( x , y ) af ( x , y ) 数形式，仅被衰减或 放大，或产生相移。 例 输入函数：
f ( x, y ) exp[ j 2 ( x y )]
x U ( P, t ) A( P) cos[ (t ) 0 ] v
第2章_经典光学信息处理
t’()
(2)滤波器是一个狭缝，使 0 级和 +1、-1 级频谱通 过。滤波后的光场复振幅为
T(u)F(u)=(aB/d){sinc(Bu)+sinc(a/d)·sinc[B(u –1/d)] + sinc(a/d)·sinc[B(u + 1/d)]}
输出面得到它的傅里叶逆变换 t’()= F -1{T(u) F(u) }
1960 年 ， Cutrona 等 明 确 提 出 用 透 镜 进 行 傅 里叶变换的方案。
前焦面输入复振幅函数 f(x, y)，后焦面的复振幅函数就
是 f(x, y) 的傅里叶变换，记为 F(u，v)。
F(u,v)
f
(
x,
y
)
e
xp
i
2
(xu
yv)dxdy
略去相位因子
f(x, y)
g2(x,y) = ∞- ∞ f2(, )h(x- ,y- )dd 可得: α g1(, ) + β g2(, )
= ∞- ∞ [αf1(x,y) + β f2(, )]h(x- ,y- )dd 这样就证明了卷积是线性运算.
如果输入函数是 (x,y)，则输出 g(x,y) = h(x,y) h(x,y)称为系统对脉冲的响应(简称脉冲响应)．
t(x) = [rect(x/a)*(1/d)comb(x/d)]rect(x/B) 式中d 为缝间距，a 为缝宽， B 为光栅总宽度。
将物置于4f 系统输入面上，频谱为 T(u) =F {t(x)}
= (aB/d){sinc(Bu) + sinc(a/d)·sinc[B(u – 1/d)]
+ sinc(a/d)·sinc [B(u + 1/d)] + …} 其中u = x / f 。式中第 1 项为零级谱，第2、3 项分别为+1 、-1 级谱，后面依次为高级频谱，频 谱的强度分布实际上是栅状物的夫琅禾费衍射。
信息光学常用函数傅立叶变换相关卷积线性系统二维光场
法国数学家、物理学家
1807年－《热的传播》推导出热传导方程 ，提出任一函数 都可以展成三角函数的无穷级数。
1822年－《热的分析理论》中解决了热在非均匀加热的固 体中分布传播问题
频域
在你的理解中，一段音乐是什么呢？
时域：
频域：
傅里叶级数
傅里叶级数
周期为 1 的函数 f (t)可以展开为三角级数
aJ1( 2a f x 2 f y 2 ) fx2 fy2
(
f
)
1( 2
f
f0)
1( 2
f
f0)
高斯函数 g(x) exp(ax2 )
函数 (x)
1
常数
1
傅里叶变换的意义
三角形函数
原型
:
tri ( x)
1
0,
x,
x 1 其它 ,
标准型
:
tri
(
x
a
x0
)
1 0,
x x0 , a
x x0 1 a 其它
tri(x) 1
1
-1 0 1 x
-a+x0
x x0 a+x0
底宽: 2 最大值：tri(0)=1 曲线下面积: S=1
底宽:2|a|, 面积: S= |a|
x
曲线下面积 S=1； 0点位置 x=n (n=1, 2, 3…)等间隔； 偶函数
Sinc 函数
二维sinc函数:
sinc(x)sinc(y)
Sinc函数的重要性: 数学上,sinc函数和rect函数互为傅里叶变换
物理上,单一矩形脉冲rect(t)的频谱是sinc函数;
单缝的夫琅和费衍射花样是sinc函数
傅里叶变换
1807年－《热的传播》推导出热传导方程 ，提出任一函数 都可以展成三角函数的无穷级数。
1822年－《热的分析理论》中解决了热在非均匀加热的固 体中分布传播问题
频域
在你的理解中，一段音乐是什么呢？
时域：
频域：
傅里叶级数
傅里叶级数
周期为 1 的函数 f (t)可以展开为三角级数
aJ1( 2a f x 2 f y 2 ) fx2 fy2
(
f
)
1( 2
f
f0)
1( 2
f
f0)
高斯函数 g(x) exp(ax2 )
函数 (x)
1
常数
1
傅里叶变换的意义
三角形函数
原型
:
tri ( x)
1
0,
x,
x 1 其它 ,
标准型
:
tri
(
x
a
x0
)
1 0,
x x0 , a
x x0 1 a 其它
tri(x) 1
1
-1 0 1 x
-a+x0
x x0 a+x0
底宽: 2 最大值：tri(0)=1 曲线下面积: S=1
底宽:2|a|, 面积: S= |a|
x
曲线下面积 S=1； 0点位置 x=n (n=1, 2, 3…)等间隔； 偶函数
Sinc 函数
二维sinc函数:
sinc(x)sinc(y)
Sinc函数的重要性: 数学上,sinc函数和rect函数互为傅里叶变换
物理上,单一矩形脉冲rect(t)的频谱是sinc函数;
单缝的夫琅和费衍射花样是sinc函数
傅里叶变换
《光学信息技术原理及应用》(第2版)教学课件 光学信息处理第1讲B
• 函数作为基元函数的情况。根据 函数的筛选性质（A.7,或
《积分变换》P16中1.12式），任何输入函数都可以表达为
fx1,yf,x,ydd
• 积分就是“相加”,筛选性质表明任意函数都可以表示为无穷多的
函数的和,每个 函数的“大小”被输入函数“调制”。
• 函数通过系统后的输出用算符可以表示为
gx2,y L f, x ,y d d
• 对于线性系统的一个重要子类——不变线性系统，分析才变得简单
• 大多数情况下，光学系统都可以看做不变线性系统
19
练习
1、已知函数 U x A ex j2 p f0 x 求下列函数，并作出函 数图形。（1）U x 2（2） UxU*x （3）UxU*x2
2、已知函数
fx re x c 2 r te x 2 c t 求下列函数，
2
近代光学对信息时代发展的重要作用
• 20世纪40年代末提出的全息术
• 50年代产生的光学传递函数
• 60年代发明的激光器
• 70年代发展起来的光纤通信
• 80年代成为微机标准外设的光驱
• 航天航空事业中应用的空间光学，神州五号搭载的相 机拍到美国军用机场照片分辨率一米
3
信息光学的研究方法和用途
17
1.1.2 脉冲响应和叠加积分(2)
• 根据线性系统的叠加性质，算符与加(乘)法的顺序可以交换,算符 与对基元函数积分的顺序也就可以交换
g x2, y f, L x , y d d
• 定义为系统的脉冲响应函数
h x 2 , y ; , L x , y
• 得到系统输出为 “叠加积分”
7
第一章 二维线性系统分析
• 把光学系统看成二维线性系统---信息传输系统，而不 是看成一个物理的成象系统或干涉、衍射系统
二维线性系统分析傅里叶变换
2 2
bn
t t
2
t
g ( x) sin(2nf0 x)dx 0
采用指数傅里叶级数展开，可以使展开系数的表达式统一而简洁。
§1-2 二维傅里叶变换
指数傅里叶级数
满足狄氏条件的函数 g(x) 具有有限周期t,可以在(-,+ )展为 指数傅里叶级数:
g ( x)
n
c
cos( 2 x )
2 cos( 6 x) 3
前3项的和
1/2
an
2/ 频谱图
1 2 2 cos( 2x) cos( 6x) ...... 2 3
…
fn
0
1
3
-2/3
三角傅里叶展开的例子
练习 0-15：求函数 g(x)=rect(2x)*comb(x) 的傅里叶级数展开系数 宽度 =1/2 周期 t =1
展开系数Cn 频率为n/t的分量
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
从傅里叶级数到傅里叶变换
非周期函数可以看作周期为无限大的周期函数:
1 1 1 t 2 g ( x) lim t g ( x) exp( j 2 n x)dx exp( j 2 n x) t t t 2 n t
傅里叶-贝塞尔变换
例: 利用F-B变换求圆域函数的F.T.
1, r 1 定义: circ(r ) , 0, 其它 称函数
1
r x2 y 2
是圆对
{circ(r )} 2 rJ 0 (2r )dr
0
作变量替换, 令r’ =2r, 并利用:
J
0
bn
t t
2
t
g ( x) sin(2nf0 x)dx 0
采用指数傅里叶级数展开，可以使展开系数的表达式统一而简洁。
§1-2 二维傅里叶变换
指数傅里叶级数
满足狄氏条件的函数 g(x) 具有有限周期t,可以在(-,+ )展为 指数傅里叶级数:
g ( x)
n
c
cos( 2 x )
2 cos( 6 x) 3
前3项的和
1/2
an
2/ 频谱图
1 2 2 cos( 2x) cos( 6x) ...... 2 3
…
fn
0
1
3
-2/3
三角傅里叶展开的例子
练习 0-15：求函数 g(x)=rect(2x)*comb(x) 的傅里叶级数展开系数 宽度 =1/2 周期 t =1
展开系数Cn 频率为n/t的分量
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
从傅里叶级数到傅里叶变换
非周期函数可以看作周期为无限大的周期函数:
1 1 1 t 2 g ( x) lim t g ( x) exp( j 2 n x)dx exp( j 2 n x) t t t 2 n t
傅里叶-贝塞尔变换
例: 利用F-B变换求圆域函数的F.T.
1, r 1 定义: circ(r ) , 0, 其它 称函数
1
r x2 y 2
是圆对
{circ(r )} 2 rJ 0 (2r )dr
0
作变量替换, 令r’ =2r, 并利用:
J
0
信号与线性系统分析第二章
13
例：微分方程为 y''(t)+2y'(t)+y(t)=f"(t)+2f(t)， 已知y(0−)=1，y'(0−)=−1；f(t)=(t)。求y(0+)和y'(0+)。 解：将输入f(t)代入微分方程得 y''(t)+2y'(t)+y(t)="(t)+2(t) (1) 由上式可设 y(t)=a(t)+r0(t) (2) y'(t)=a'(t)+b(t)+r1(t) (3) y"(t)=a"(t)+b'(t)+c(t)+r2(t) (4) 将式 (2) 、 (3) 、 (4) 代入式 (1) ，由方程左右系数相等可 得到a=1，b=−2，c=5。 即 y(t)=(t)+r0(t)
0
0
得 y(0+)=y(0−) −2= −1 同理，对y"(t)等式两边从0−到0+积分
0 y ' ( 0 ) y ' ( 0 ) " ( t ) dt 2 ' ( t ) dt 5 ( t ) dt r ( t ) d 0 2 0 0 0
5
et
cost或sint
f(t)为常数1时，则特解为b0/a0。
考察函数f(t)在t0时作用，则全解的定义域[0，)。 y(1)(0)、…、y(n−1)(0)确定。
t0；y(0)=2，y'(0)=−1时的全解。 解：特征方程为 2+5+6=(+2)(+3)=0 特征根为−2、−3，微分方程的齐次解 yh(t)=C1e−2t+C2e−3t 当f(t)=2e−t(t0)时，特解为 yp(t)=Pe−t
例：微分方程为 y''(t)+2y'(t)+y(t)=f"(t)+2f(t)， 已知y(0−)=1，y'(0−)=−1；f(t)=(t)。求y(0+)和y'(0+)。 解：将输入f(t)代入微分方程得 y''(t)+2y'(t)+y(t)="(t)+2(t) (1) 由上式可设 y(t)=a(t)+r0(t) (2) y'(t)=a'(t)+b(t)+r1(t) (3) y"(t)=a"(t)+b'(t)+c(t)+r2(t) (4) 将式 (2) 、 (3) 、 (4) 代入式 (1) ，由方程左右系数相等可 得到a=1，b=−2，c=5。 即 y(t)=(t)+r0(t)
0
0
得 y(0+)=y(0−) −2= −1 同理，对y"(t)等式两边从0−到0+积分
0 y ' ( 0 ) y ' ( 0 ) " ( t ) dt 2 ' ( t ) dt 5 ( t ) dt r ( t ) d 0 2 0 0 0
5
et
cost或sint
f(t)为常数1时，则特解为b0/a0。
考察函数f(t)在t0时作用，则全解的定义域[0，)。 y(1)(0)、…、y(n−1)(0)确定。
t0；y(0)=2，y'(0)=−1时的全解。 解：特征方程为 2+5+6=(+2)(+3)=0 特征根为−2、−3，微分方程的齐次解 yh(t)=C1e−2t+C2e−3t 当f(t)=2e−t(t0)时，特解为 yp(t)=Pe−t