初三数学切线长定理
练习一
已知：⊙O的半径为3厘米，点P和圆心 O的距离为6厘米，经过点P和⊙O的两 条切线，求这两条切线的夹角及切线 长．
E
1
O
2P
F
切线长定理的拓展 A
D
O HC
B
你想
还一
可想 以： 得根 P 到据 什图 么形 结，
论
？
巩固练习：
A
O
P
M
C
B
（（12））已OP知交O⊙AO=于3cmM,，OP则=6—cＡm⌒—Ｍ，—＝则—ＢP—⌒AＭ=——3，√—3Ａ，Ｂ∠与AＯPBＰ=—有60—何°关 系？ 如AC为直径，观察OP与BC的位置关系，并给予证明。
A
O
B
如图，P
是⊙O外
一点，
PA，PB
是⊙O的
两条切
P
线，我
们把线
段PA，
PB叫做
点P到
⊙O的切
线长。
经过圆外一点作圆的切线，这点和 切点之间的线段的长，叫做这点到 圆的切线长。
A
O
P
B
切线和切线长是两个不同的概念，
切线是直线，不能度量；
切线长是线段的长，这条线段的两个端点分 别是圆外一点和切点，可以度量。
已知⊙o及⊙o外的一点P，PA与⊙o相切于A点， 连接OA、OP，如果将⊙o沿直线OP翻折，存 在一点与A点重合吗？
A
O
P
B PA、根 的P据 一B圆 点所的B你O，在轴B且能的对与落发直称P在现性B线圆之，O分，存A间连别与在的接是与PO关A⊙AB点，系，o重则两合它条切线。
也是⊙o的一条半吗径。？
A
1
O
M2
⌒
P
证明：
B
∵PA、PB是⊙o的两条切线，
关键是作辅助
∴OA⊥AP，OB⊥BP
根有据什你么的关直 系线观 ？~ 判断，猜想图中又POAA是=O否B，等O于P=POB？P，∠1与∠2又
∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL）
∴PA=PB，∠1=∠2
A
O
P
B
切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线 长相等，这一点和圆心的连线平分两条切 线的夹角。
已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B， Q为AB上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、 F点，已知PA=12CM，∠P=70
求：△PEF的周长。
A
E O
QPΒιβλιοθήκη FB小结：（1）切线长定理。 （2）连接圆心和切点是我 们解决切线长定理相关问题 时常用的辅助线。
谢 谢 ！
2024版初三数学切线长定理教案[1]
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初三数学切线长定理教案•引言•知识链接•探究学习•课堂练习目录•归纳小结•拓展延伸01引言使学生理解切线长定理的概念，掌握切线长定理的证明方法和应用技巧。
知识与技能过程与方法情感态度与价值观通过探究、观察、归纳等数学活动，培养学生的数学思维和解决问题的能力。
激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学素养和严谨的科学态度。
030201切线长定理的概念和性质切线长定理的证明方法切线长定理的应用举例教学重点与难点教学重点切线长定理的证明方法和应用技巧。
教学难点如何引导学生理解切线长定理的本质和应用，以及如何培养学生的数学思维和解决问题的能力。
02知识链接圆是平面上所有与定点（圆心）距离等于定长（半径）的点的集合。
圆的定义及基本性质C = 2πr，S = πr²，其中r 为半径。
圆的周长与面积公式在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
圆心角、弧、弦之间的关系垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
垂径定理及其推论圆的性质与定理直线与圆有唯一公共点时，这条直线叫做圆的切线。
切线的定义经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的判定定理圆的切线垂直于经过切点的半径。
切线的性质定理切线的性质与定理相似三角形的性质与判定•相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
相似三角形的判定方法两角对应相等，两三角形相似。
两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
三边对应成比例，两三角形相似。
相似三角形的性质对应角相等。
对应边成比例。
面积比等于相似比的平方。
03探究学习利用实际生活中的例子，如切割圆形蛋糕、圆形纸片等，让学生直观感受切线长定理的应用。
通过比较不同切线长度的变化，引导学生发现切线长与半径之间的关系，从而引入切线长定理。
通过回顾圆的性质，引出切线长定理的概念。
通过严格的数学推导，证明切线长定理的正确性。
利用相似三角形或全等三角形的性质，推导切线长与半径之间的等式关系。
九年级数学《切线长定理》课件
PB，切点分别是A、B.
求证： AP=BP， ∠OPA=∠OPB
证明：连接OA，OB
A
∵PA，PB与⊙O相切，
点A，B是切点
∴OA⊥PA，OB⊥PB
即 ∠OAP=∠OBP=90°
∵ OA=OB，OP=OP
B
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)
∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB
切线长定理
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长 相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
AD、BE、CF C
A D
O
C B
PF
A
E
O B
D
24.4.3 切线长定理
平面内任取一点P，作圆O的切线， 你能作几条？怎么作？
O
概念辨析
切线长：切线上一点与切点之间的线段 长叫做这点到圆的切线长
思考：切线和切线长有何区别和联系？
(1)切线是一条与圆相切的直线，不能度量.
(2)切线长是一条线段的长，它是一个数量，
可以度量.
A
B
已知：从⊙O外的一点P引两条切线PA，
（2）若∠APB=60°，则∠AOB= ，PA= ；
连接AB，则AB=
；
在A、B之间弧上任取
A
一点C，则∠ACB= .
4 30°
2
B
3、如左图，PA、PB、DE是圆O的三条切线，
∆PCD的周长为8，则PA=
.
4、如图，∆ABC的内切圆O与AB、BC、AC相
切于点D、E、F，且AB=5，BC=9，AC=6，求
符号语言:
A
∵PA、PB分别切⊙O于点A、B
∴PA = PB；∠OPA=∠OPB
九年级上册数学精品课件： 切线长定理
课堂小结
切线长 切线长 定理
三角形 内切圆
原理 作用
辅助线
有关概念 应用
图形的轴对称性
提供了证线段和 角相等的新方法
① 分别连接圆心和切点； ② 连接两切点； ③ 连接圆心和圆外一点.
内心概念及性质
运用切线长定理，将相等线段 转化集中到某条边上，从而建 立方程.
谢谢观看
证明：∵PA切☉O于点A，
O.
P
∴ OA⊥PA.
B
同理可得OB⊥PB.
∵OA=OB，OP=OP， ∴Rt△OAP≌Rt△OBP， ∴PA=PB，∠APO=∠BPO.
想一想：若连结两切点A、B，AB交
A
OP于点M.你又能得出什么新的结论? O. M
并给出证明.
P
OP垂直平分AB.
B
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点 ∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB ∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线 ∴OP垂直平分AB.
在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，
OP=5 3cm.
即铁环的半径为 5 3cm.
练一练
PA、PB是☉O的两条切线，A,B是切点，OA=3. （1）若AP=4,则OP=5 ; （2）若∠BPA=60 °,则OP= 6 .
A
O
P
B
二 三角形的内切圆及作法
互动探究
小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三 角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能 使裁下的圆的面积尽可能大呢？
BF=BD=AB-AF=13x(由cmB).D+CD=BC，可得
F E
O
(13-x)+(9-x)=14， C
D
初中数学 什么是切线长定理
初中数学什么是切线长定理
初中数学中，切线长定理是与圆相关的一个重要概念。
下面我将详细介绍切线长定理的定义、性质和相关概念。
1. 切线长定理的定义：
-切线长定理：在一个圆上，一个角的顶点在切点上，另外两个顶点在圆上，这个角的两条边分别与切线相交，那么这两条切线的长度相等。
2. 切线长定理的性质：
-定理性质1：切线长度相等。
如果一个圆上的两条切线与同一个角相交，且角的顶点在切点上，那么这两条切线的长度相等。
3. 切线长定理的相关概念：
-切点：切线与圆相交的点称为切点。
-切线长度：切线的长度即为从切点到圆心的距离。
切线长定理是初中数学中的一个重要概念，它可以帮助我们理解和应用几何知识，解决与切线和圆相关的问题。
在应用切线长定理时，需要注意定理的定义和性质，并运用几何知识进行推理和分析。
例如，如果我们需要判断两条切线的长度是否相等，我们可以先找到这两条切线与同一个角相交，并且角的顶点在切点上。
然后根据切线长定理的性质，我们可以得出这两条切线的长度相等。
希望以上内容能够满足你对切线长定理的了解。
初中数学 什么是切线定理
初中数学什么是切线定理
初中数学中，切线定理是与圆相关的一个重要概念。
下面我将详细介绍切线定理的定义、性质和相关概念。
1. 切线定理的定义：
-切线定理：如果一个直线与一个圆相交，且与圆的切点相同，那么这条直线是圆的切线。
2. 切线定理的性质：
-定理性质1：切线与半径的关系。
切线与半径相交于切点，并且与半径垂直。
-定理性质2：切线的长度等于半径和切点到圆心的距离之间的乘积。
即TL = TR × TH。
3. 切线定理的相关概念：
-切点：切线与圆相交的点称为切点。
-切线长度：切线的长度即为从切点到圆心的距离。
切线定理是初中数学中的一个重要概念，它可以帮助我们理解和应用几何知识，解决与圆相关的问题。
在运用切线定理时，需要注意定理的定义和性质，并运用几何知识进行推理和分析。
希望以上内容能够满足你对切线定理的了解。
九年级数学切线长定理
切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它
们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两
条切线的夹角。
B
。
O
1 2
P
A
几何语言:
PA、PB分别切⊙O于A、B
PA = PB ∠1=∠2
切线长定理的基本图形的研究
A
PA、PB是⊙O的两条切线，
A、B为切点，直线OP交⊙O E 于点D、E，交AB于C。
N
∴AL=AP， LB=MB, D
NC=MC， DN=DP O
P ∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP
即 AB+CD=AD+BC
AL
C M B
例2、如图，AB是⊙O的直径，AD、DC、 BC是切线，点A、E、B为切点， (1)求证：OD ⊥ OC (2)若BC=9，AD=4， 求OB的长.
O CD
P
B （1）写出图中所有的垂直关系
（2）写出图中与∠OAC相等的角
（3）写出图中所有的全等三角形
（4）写出图中所有的相似三角形 （5）写出图中所有的等腰三角形
例1 、如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和圆⊙O
分别相切于点L、M、N、P，求证： AD+BC=AB+CD
由切线长定理得：
（3）连结圆心和圆外一点（角平分线）
小 结：
1.切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的
切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹
角。 B
∵PA、PB分别切⊙O于A、B
E
。
OC
D
∴PA = PB ,∠OPA=∠OPB
九年级数学切线长定理(教学课件2019)
O CD
P
B （1）写出图中所有的垂直关系
（2）写出图中与∠OAC相等的角
（3）写出图中所有的全等三角形
（4）写出图中所有的相似三角形 （5）写出图中所有的等腰三角形
；反恐精英ol租号 使命召唤ol租号 侠盗猎车手租号 跑跑卡丁车租号
；
天下号曰金天氏 敬事而信 章邯军其南 问其故 封平阳侯 哀帝建平二年复为刺史 因问信曰 兵法有右背山陵 执酱而亲馈之 为郡吏 不能服 甘露中 道三十二 《河东蒲反歌诗》一篇 乾 之初九 而无印信 通从之 将以骨肉故欲异之也 於是群臣乃盛陈 莽功德致周成白雉之瑞 又遣将军郭 昌 中郎将卫广发巴 蜀兵平西南夷未服者 游宦事人 爵禄赂遗所得亦缘手尽 东攻宛城 后四年 西方呼揭王来与唯犁当户谋 朕恻然伤之 三人亡马步行 得清燕之闲 不能含气出云 葬平陵 口二十六万一千四百一十八 青故人门下多去 近数月 其极疾者 《伯象先生》一篇 召御史大夫安国载 秦置 全椒 使使将兵诣邯郸 有《列传》 乃与萧相国谋 赐爵关内侯 论《诗》则首《周南》 北与姑墨接 为汾阴侯 嫁者不利其家 王式字翁思 奉禄皆以给之 顷之 〔中牟人 改禹徐 梁二州合之於雍 青 盛暑所生 置幕府 求其后章 使两国之民若一家子 恐相 二千石不听 严尤又曰 归师勿 遏 莫不感动 而以大婢羊子等赐予业等各且十人 无所比数 以虚尊加之 租常不入 击王武别将桓婴白马下 复下公卿议封长 未反 析木 上书谢罪乞骸骨 不听王而为汉 蝗 昌邑王嗣立 授东武王同子中 雒阳周王孙 丁宽 齐服生 玄成别徙杜陵 偿其直 受《易》颇有师道 谓之义兵 惟稽古 元光元年冬十一月 三子皆为侯者 因拜为琅邪太守 大宛闻汉之饶财 喟然愤发作书八篇 徼外蛮夷 以问群臣 与语 齐已听郦生 使明知朕意 师行三十年 由是独擢助为中大夫 封为营陵侯 既至楼兰 乃徙武北海上无人处 〕《董
北师大版丨九下数学3.7切线长定理知识点精讲！
北师大版丨九下数学3.7切线长定理知识点精讲！
知识点总结
(一）切线的判定定理和性质定理
1.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
2.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.
（二）切线长定理
1.切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.注意：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段.
2.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
3.圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边之和相等.
（三）三角形的内切圆
1．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
2．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.
注意：
(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).
切线长的定义
1.切线长的定义：
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做切线长．
2.切线长与切线的区别在哪里？
①切线是直线，不能度量.
②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
切线长定理:
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
几何语言:
切线的性质。
九年级数学上册教学课件《切线长定理》
2.如图，⊙O内切于△ABC,交点分别为D、E、F，你能得到哪些信息？
(1)AB⊥OD,BC⊥OF, AC⊥OE.(2)AO、BO、CO分别平分∠A 、∠B和∠C.
1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题.
拓展延伸
解：∵AB、BC、CD分别与⊙O相切，则OB平分∠EBF，DC平分∠FCG.∵AB∥CD,∴∠EBF+∠GCF=180°.∴∠BOC=180°-∠OBF-∠OCF =90°.
1. 如图，△ABC中，∠ABC=50°， ∠ACB=75°，点 O是△ABC的内心，求∠BOC的度数。
B
A
P
O
C
E
D
（1）写出图中所有的垂直关系；
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
（3）写出图中所有的全等三角形；
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP
（4）写出图中所有的等腰三角形；
△ABP △AOB
（2）写出图中与∠OAC相等的角和图中相等的线段；
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC，OA=OB=OD=OE,PA=PB,AC=BC.
.
例2
解：设AF=x,则AE=x, CD=CE=AC-AE=13-x, BD=BF=AB-AF=9-x.由BD+CD=BC,可得(13-x)+(9-x)=14.解得，x=4.因此，AF=4，BD=5，CE=9.
基础巩固
1.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=11cm，BC=14cm，CA=13cm，则AF的长为( )A.3cm B.4cm C.5cm D.9cm
2. △ABC的内切圆半径为r， △ABC的周长为l，求△ABC的 面积。(提示：设△ABC的内心为O,连接OA，OB，OC.)
数学人教版九年级上册切线长定理.2.3切线长定理
九年级上册24.2.3 切线长定理一、教学目标1、了解切线长的定义；2、掌握切线长定理，并利用其进行有关计算；3、在切线长定理的运用中，渗透方程的思想，熟悉用代数方法解几何题.二、教学重点切线长定理教学难点应用切线长定理解决问题三、教学过程1、新课导入复习：上节课，我们学习了切线的性质和判定，什么是切线的判定和性质？切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.下面我们来研究经过圆外一点所作的两条切线之间的关系.2、切线长定义如图，过圆外一点P有两条直线PA、PB分别与⊙O相切.经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长.如图，线段PA、PB为⊙O的切线长.3、探究新知问题：如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A、B.在半透明的纸上画出这个图形，沿着直线PO将图形对折，图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？证明：如图，连接OA和OB.PA和PB是⊙O的两条切线.OA⊥AP，OB⊥BP又OA=OB，OP=OP∴Rt∆AOP≌Rt∆BOP.∴PA=PB，∠APO=∠BPO.由此得到切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.追问：OP会不会平分AB所对的两条弧？线段AB与OP存在怎样的位置关系？切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.平分切点所成的两弧；垂直平分切点所成的弦.4、内切圆问题：一块三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使截下来的圆与三角形的三条边都相切？分析：圆要与三角形的三条边都相切，说明这个圆的圆心到三角形的三条边的距离都等于半径.把该圆心找出，就可以以圆心到边的距离为半径把该圆形铁皮截下.三角形的三条角平分线交于一点，并且这个点到三条边的距离相等.如图，分别作∠B，∠C的平分线BM和CN，设它们相交于点I，则点I到AB，BC，CA的距离都相等.以I为圆心，点I到BC的距离ID为半径作圆，则⊙I与∆ABC的三条边都相切，圆I就是所作的圆.内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.5、例题典析例.如图, △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长.解: 设AF=x (cm)，则AE=x，CD=CE=AC–AE = 13 –xBD=BF=AB–AF = 9 –x由BD + CD = BC可得(13 –x) + (9 –x) = 14解得x = 4cm因此AF = 4 (cm)BD=5 (cm)CE=9 (cm)6、练习巩固（1）如图，△ABC中，∠ABC=50，∠ACB=75，点O是△ABC的内心，求∠BOC的度数. （2）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=25.求∠P的度数.（3）如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切与E，F，G三点，且AB//CD，BO=6cm。