上海市控江中学2021-2022学年高二上学期期末数学试题-及答案

上海市控江中学2021-2022学年高二上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、填空题1．在等差数列{}n a 中，11a =，公差2d =，则8a =_________．2．在长方体1111ABCD A B C D -中，若1AB BC ==，1AA ，则异面直线1BD 与1CC 所成角的大小为______.3．半径为2cm 的球的表面积为_______2cm ． 4．计算：112ii +∞==∑________． 5．如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为___．6．若数列{}n a 的前n 项和2(,1)nn S n n =∈≥N ，则其通项公式n a =________．7．己知数列{}n a 满足111,2(,1)n n a a a n n n +==+∈≥N ，则其通项公式n a =________． 8．已知数列{}n a 满足111,31(,1)n n a a a n n +==+∈≥N ，则其通项公式n a =_______． 9．对某市“四城同创”活动中100名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失，则依据此图可估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在[25,30)的人数为________．10．从正方体的8个顶点中选取4个作为项点，可得到四面体的概率为________． 11．某学校为了获得该校全体高中学生的体有锻炼情况，按照男、女生的比例分别抽样调查了55名男生和45名女生的每周锻炼时间，通过计算得到男生每周锻炼时间的平均数为8小时，方差为6；女生每周锻炼时间的平均数为6小时，方差为8．根据所有样本的方差来估计该校学生每周锻炼时间的方差为________．12．已知数列{}n a 为严格递增数列，且对任意,1n n ∈≥N ，都有n a ∈N 且1n a ≥．若3n a a n =对任意,1n n ∈≥N 恒成立，则20211999a a -=________．二、单选题13．已知数列{}n a 是等差数列，下面的数列中必为等差数列的个数为（ ）． ①{}21n a + ①{}1n n a a +- ①{}n a A ．0B ．1C ．2D ．314．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在截面1A DB 上（含边界），则线段AP 的最小值等于（ ）A ．23B C D 15．设{}n a 是等比数列，则“对于任意的正整数n ，都有2n n a a +>”是“{}n a 是严格递增数列”（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件16．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，点P 是棱1CC 的中点，设直线AB 为a ，直线11A D 为b ．对于下列两个命题：①过点P 有且只有一条直线l 与a 、b 都相交；①过点P 有且只有两条直线l 与a 、b 都成75︒角．以下判断正确的是（ ）A ．①为真命题，①为真命题B ．①为真命题，①为假命题C ．①为假命题，①为真命题D ．①为假命题，①为假命题三、解答题17．已知甲射击的命中率为0.7．乙射击的命中率为0.8，甲乙两人的射击互相独立．求：(1)甲乙两人同时击中目标的概率；(2)甲乙两人中至少有一个人击中目标的概率； (3)甲乙两人中恰有一人击中目标的概率．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，己知PD ⊥平面ABCD ，且PD AD =，E 为PC 中点．(1)证明：//PA 平面BDE ； (2)证明：平面PCD ⊥平面PBC ．19．某公司举办捐步公益活动，参与者通过捐赠每天的运动步数获得公司提供的牛奶，再将牛奶捐赠给留守儿童．此活动不但为公益事业作出了较大的贡献，还为公司获得了相应的广告效益，据测算，首日参与活动人数为5000人，以后每天人数比前一天都增加15%，30天后捐步人数稳定在第30天的水平，假设此项活动的启动资金为20万元，每位捐步者每天可以使公司收益0.05元（以下人数精确到1人，收益精确到1元）．(1)求活动开始后第5天的捐步人数，及前5天公司的捐步总收益； (2)活动开始第几天以后公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余？20．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2DD DA AB ===，点E 在棱AB 上运动．(1)证明：11B C D E ⊥；(2)当E 为棱AB 的中点时，求直线AB 与平面1DEC 所成角的正弦值；(3)AE 等于何值时，二面角1A DE C --的大小为150︒？21．已知数列{}n a 与{}n b 满足()113,,1n n n n a a b b n n ++-=-∈≥N ． (1)若25(,1)n b n n n =+∈≥N ，且12a =，求数列{}n a 的通项公式；(2)设{}n a 的第k 项是数列{}n a 的最小项，即(,1)k n a a n n ≤∈≥N 恒成立．求证：{}n b 的第k 项是数列{}n b 的最小项；(3)设10,(,1)nn a b n n λλ=<=∈≥N ．若{}n a 存在最大值M 与最小值m ，且(3,3)Mm∈-，试求实数λ的取值范围．参考答案：1．15 【解析】 【分析】由等差数列通项公式直接可得. 【详解】81717215a a d =+=+⨯=.故答案为：15 2．4π 【解析】 【分析】画出长方体1111ABCD A B C D -,再将异面直线1BD 与1CC 利用平行线转移到一个三角形内求解角度即可. 【详解】画出长方体1111ABCD A B C D -可得异面直线1BD 与1CC 所成角为1BD 与1DD 之间的夹角,连接BD .则因为1AB BC ==,则BD =,又1AA 故1BD DD =又1BD DD ⊥,故1BDD 为等腰直角三角形,故14DD B π∠=,即异面直线1BD 与1CC 所成角的大小为4π故答案为4π 【点睛】本题主要考查立体几何中异面直线的角度问题,一般的处理方法是将异面直线经过平行线的转换构成三角形求角度,属于基础题型. 3．16π. 【解析】 【分析】由球的表面积公式计算． 【详解】由题意2244216S r πππ==⨯=2(cm ). 故答案为：16π． 4．1 【解析】 【分析】根据无穷等比数列的求和公式直接即可求出答案. 【详解】111211212i i+∞===-∑. 故答案为：1. 5．2π 【解析】 【分析】由圆锥的侧面积公式即可求解． 【详解】由题意，圆锥底面周长为2π×1=2π，又母线长为2，所以圆锥的侧面积12222S ππ=⨯⨯=．故答案为：2π.6．12,12,2n n n -=⎧⎨≥⎩【解析】【分析】由1(2)n n n a S S n -=-≥和11a S =计算． 【详解】由题意112a S ==，2n ≥时，111222n n n n n n a S S ---=-=-=，所以12,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩．故答案为：12,12,2n n n -=⎧⎨≥⎩．7．2n n 1-+ 【解析】 【分析】利用累加法即可求出数列{}n a 的通项公式. 【详解】因为12n n a a n +=+，所以12n n a a n +-=，所以212a a -=，324a a -=，436a a -=，…，()121n n a a n --=-， 把以上1n -个式子相加，得()()()()()213243124621n n a a a a a a a a n -++++++++---=--……，即()()122212n n a n a +---=，所以2211nn n a an n =-+=-+.故答案为：2n n 1-+. 8．1(31)2n ⋅-【解析】 【分析】构造法可得1113()22n n a a ++=+，由等比数列的定义写出1{}2n a +的通项公式，进而可得n a .【详解】令13()n n a C a C ++=+，则132n n a a C +=+，又131n n a a +=+，①12C =，故1113()22n n a a ++=+，而11322a +=，①1{}2n a +是公比为3，首项为32，则113322n n a -+=⋅，①1(31)2n n a =⋅-.故答案为：1(31)2n⋅-.9．20 【解析】 【分析】首先根据频率分布直方图计算出年龄在[25,30)的频率，从而可计算出年龄在[25,30)的人数. 【详解】年龄在[25,30)的频率为()10.010.070.060.0250.2-+++⨯=， 所以年龄在[25,30)的人数为1000.220⨯=. 故答案为：20. 10．2935【解析】 【分析】计算出正方体的8个顶点中选取4个作为项点的取法和分从上底面取一个点下底面取三个点、从上底面取二个点下底面取二个点、从上底面取三个点下底面取一个点可得到四面体的取法，由古典概型概率计算公式可得答案. 【详解】正方体的8个顶点中选取4个作为项点，共有4870C =取法，可得到四面体的情况有从上底面取一个点下底面取三个点有134416=C C 种；从上底面取二个点下底面取二个点有224436C C =种，其中当上底面和下底面取的四个点在同一平面时共有10种情况不符合， 此种情况共有361026-=种；从上底面取三个点下底面取一个点有134416=C C 种；一个有16162658++=种， 所以可得到四面体的概率为58297035=. 故答案为：2935. 11．7.89 【解析】 【分析】先求出100名学生每周锻炼的平均时间，然后再求这100名学生每周锻炼时间的方差，从而可估计该校学生每周锻炼时间的方差 【详解】由题意可得55名男生和45名女生的每周锻炼时间的平均数为 ()15584567.1100⨯⨯+⨯=小时， 因为55名男生每周锻炼时间的方差为6；45名女生每周锻炼时间的方差为8， 所以这100名学生每周锻炼时间的方差为 225545[6(87.1)][8(67.1)]7.89100100⨯+-+⨯+-=， 所以该校学生每周锻炼时间的方差约为7.89， 故答案为：7.89 12．66 【解析】 【分析】根据3n a a n =恒成立和严格递增可得12a =，然后利用3n a a n =递推求出729a ，1458a 的值，不难发现在此两项之间的所有项为连续正整数，于是可得12922021a a a =，12701999a a a =，然后可解. 【详解】因为13a a =，且数列{}n a 为严格递增数列，所以11a =或12a =，若11a =，则113a a a ==（矛盾），故12a =由3n a a n =可得：123a a a ==，236a a a ==，369a a a ==，6918a a a ==，91827a a a ==，182754a a a ==，275481a a a ==，5481162a a a ==，81162243a a a ==，162243486a a a ==，243486729a a a ==，4867291458a a a ==，72914582187a a a ==，因为7291458a =，14582187a =，218714581458729729-=-=，且数列{}n a 为严格递增数列，n a ∈N ，所以12922021a =，12701999a =，所以129220213876a a a ==，127019993810a a a == 所以199920213876381066a a a -=-= 故答案为：66 13．C 【解析】 【分析】根据等差数列的定义判断． 【详解】设{}n a 的公差为d ，则1121(21)2()2n n n n a a a a d --+-+=-=，{21}n a +是等差数列， 1n n a a d +-=，1{}n n a a +-是常数列，也是等差数列，若5n a n =-，则5n a n =-不是等差数列， 故选：C ． 14．B 【解析】 【分析】根据体积法求得A 到平面1A BD 的距离即可得． 【详解】由题意AP 的最小值就是A 到平面1A BD 的距离．正方体棱长为2，则11A B BD A D ===12A BDS= 设A 到平面1A BD 的距离为h ，由11A ABD A A BD V V --=得111222323⨯⨯⨯⨯=⨯，解得h = 故选：B ． 15．C 【解析】 【分析】根据严格递增数列定义可判断必要性，分类讨论可判断充分性. 【详解】若{}n a 是严格递增数列，显然2n n a a +>，所以“对于任意的正整数n ，都有2n n a a +>”是“{}n a 是严格递增数列”必要条件；22n n n a a q a +=>对任意的正整数n 都成立，所以{}n a 中不可能同时含正项和负项， 20,1n a q ∴>>，即0,1n a q >>，或20,1n a q <<，即0,01n a q <<<，当0,1n a q >>时，有n n a q a >，即1n n a a +>，{}n a 是严格递增数列， 当0,01n a q <<<时，有n n a q a >，即1n n a a +>，{}n a 是严格递增数列， 所以“对于任意的正整数n ，都有2n n a a +>”是“{}n a 是严格递增数列”充分条件 故选：C 16．A 【解析】 【分析】①由正方形的性质，可以延伸正方形，再利用两条平行线确定一个平面即可；①一组邻边与对角面的夹角相等，在平面内绕P 转动，可以得到二条直线与a 、b 的夹角都等于75. 【详解】如下图所示，在侧面正方形11A B BA 和11A D DA 再延伸一个正方形11B E EB 和11D F FD ，则平面1E C 和1C F 在同一个平面内，所以过点P ，有且只有一条直线l ，即1EF 与a 、b 相交，故①为真命题；取1A A 中点N ，连PN ，由于a 、b 为异面直线，a 、b 的夹角等于11A B 与b 的夹角.由于11A C ⊂ 平面11A C ，NP ⊄平面11A C ，11NP AC ，所以NP 平面11A C ，所以NP 与11A B 与b 的夹角都为45 .又因为1C C ⊥平面11A C ，所以1C C 与11A B 与b 的夹角都为90，而457590<<，所以过点P ，在平面1A C 内存在一条直线，使得与11A B 与b 的夹角都为75，同理可得，过点P ，在平面1A C 内存在一条直线，使得与a 与AD 的夹角都为75；故①为真命题.故选：A17．(1)0.56 (2)0.94 (3)0.38 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的概率公式计算；（2）结合对立事件的概率公式、独立事件的概率公式计算． （3）利用互斥事件与独立事件的概率公式计算． (1)设甲击中目标为事件A ，乙击中目标为事件B ，甲乙两人同时击中目标的概率1()()()0.70.80.56P P AB P A P B ===⨯=； (2)甲乙两人中至少有一个人击中目标的概率为21()1()()10.30.20.94P P AB P A P B =-=-=-⨯=；(3)甲乙两人中恰有一人击中目标的概率为3()()()()()()P P AB P AB P A P B P A P B =+=+0.70.20.30.80.38=⨯+⨯=．18．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）设AC 与BD 交于O 点，连结EO ，易证//OE PA ，再利用线面平行的判断定理即可证得答案；（2）利用线面垂直的判定定理可得BC ⊥平面PCD ，再由面面垂直的判断定理即可. (1)连接AC 交BD 于O ，连接OE因为底面ABCD 是正方形，所以O 为AC 中点， 因为在PAC △中，E 是PC 的中点， 所以//OE PA ，因为OE ⊂平面,EDB PA ⊄平面EDB ，所以//PA 平面EDB (2)侧棱PD ⊥底面,ABCD BC ⊂底面ABCD ，所以PD BC ⊥， 因为底面ABCD 是正方形，所以DC BC ⊥，因为PD 与DC 为平面PCD 内两条相交直线，所以BC ⊥平面PCD ， 因为BC ⊂平面PBC ， 所以平面PDC ⊥平面PBC .19．(1)8745，1686元 (2)37天 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的性质求出结果；（2）对活动天数x 进行讨论，列出不等式求出x 的范围即可. (1)设第x 天的捐步人数为()f x ，则()()()15000115%,1303030x x f x f x -⎧+≤≤⎪=⎨>⎪⎩，且()f x N *∈，①第5天的捐步人数为()()455000115%8745f =⋅+≈．由题意可知前5天的捐步人数成等比数列，其中首项为5000，公比为1.15，①前5天的捐步总收益为()51 1.15 0.0516861150.1050-⨯≈-元.(2)设活动第x 天后公司捐步总收益可以回收并有盈余，若130x ≤≤，则()1 1.15 0.052000001 1.015500x -⨯>-，解得 1.15log 9134x >≈（舍）．若30x >，则()()30291 1.1550001.1505300.052000001 1.1[]500x -+⋅>⋅-⋅-，解得36.38x >①活动开始后第37天公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余.20．(1)证明见解析；(3)AE =【解析】 【分析】（1）连接1AD 、1BC ，长方体、线面垂直的性质有11BC CB ⊥、1AB CB ⊥，再根据线面垂直的判定、性质即可证结论.（2）连接EC ，由已知条件及勾股定理可得DE EC ⊥、1EC DE ⊥，即可求1DEC S △、DECS，等体积法11C DEC C DEC V V --=求C 到面1DEC 的距离，又直线AB 与面1DEC 所成角即为DC 与面1DEC 所成角，即可求线面角的正弦值.（3）由题设易知二面角1C DE C --为30，过C 作CF DE ⊥于F ，连接1FC ，可得二面角1C DE C --平面角为130CFC ∠=︒，令AE x =，由长方体的性质及勾股定理构造方程求x即可. (1)由题设，连接1AD 、1BC ，又长方体1111ABCD A B C D -中11DD DA ==，①11BCC B 为正方形，即11BC CB ⊥，又AB ⊥面11BCC B ，1CB ⊂面11BCC B ，即1AB CB ⊥， ①1BC ABB ，1,BC AB ⊂面11ABCD ，①1CB ⊥面11ABC D ，而1D E ⊂面11ABC D ，即11B C D E ⊥. (2)连接EC ，由E 为棱AB 的中点，则1AE EB AD BC ====，①DE EC =2DC AB ==，故222DE EC DC +=， ①DE EC ⊥，又1EC 1DC 22211EC DE DC +=，则1EC DE ⊥，由11C DEC C DEC V V --=，若C 到面1DEC 的距离为d ，又1112DEC SDE EC =⋅=112DECSDE EC =⋅=，①111133DECDEC CC S d S ⋅=⋅，可得d =//AB DC ，①直线AB 与面1DEC 所成角即为DC 与面1DEC 所成角为θ，故sin d DC θ==. (3)二面角1A DE C --的大小为150︒，即二面角1C DE C --为30， 由长方体性质知：1CC ⊥面ABCD ，DE ⊂面ABCD ，则1CC ⊥DE ， 过C 作CF DE ⊥于F ，连接1FC ，又1CC FC C ⋂=，①DE ⊥面1CFC ，则二面角1C DE C --平面角为130CFC ∠=︒，①12FC =，令AE x =，则2EB x =-，故2222211(2)2EC EB BC CC x =++=-+，而22211EC EF FC =+，1EF DE DF =-，①22211)46EC x =+=+-①26x +-2(2)2x =-+，整理得231x =，解得x =①AE =1A DE C --的大小为150︒. 21．(1)64n a n =-． (2)证明见解析． (3)103λ-<<．【解析】 【分析】（1）由已知关系得出{}n a 是等差数列及公差，然后可得通项公式；（2）由已知关系式，利用累加法证明对任意的*n N ∈，k n b b ≤恒成立，即可得． （3）由累加法求得通项公式n a ，然后确定{}n a 的奇数项和偶数项的单调性，得出数列{}n a 的最大项和最小项，再利用已知范围解得λ的范围． (1)由已知13(2725)6n n a a n n +-=+--=，{}n a 是等差数列，公差为6， 所以26(1)64n a n n =+-=-； (2)对任意的*n N ∈，k n a a ≤恒成立， 而0n k a a -≥恒成立，若n k >，则1121()()()n k n n n n k k b b b b b b b b ---+-=-+-++-11211111()()()()03333n n n n k k n k a a a a a a a a ---+=-+-++-=-≥，恒成立， 同理若n k ≤，也有0n k b b -≥恒成立，所以对任意的*n N ∈，k n b b ≤恒成立，即k b 是最小项； (3)2n ≥时，()113n n n n a a b b ---=-113()3(1)n n n λλλλ--=-=-，所以1211()()n n n a a a a a a -=+-++-213(1)3(1)3(1)n λλλλλλλ-=+-+-++-1(1)3(1)231n n λλλλλλλ--=+-⋅=-+-，1a λ=也适合此式．所以23nn a λλ=-+，若1λ=-，则211k a -=-，25k a =，*k N ∈，即5,1M m ==-，5(3,3)Mm=-∉-， 若1λ<-，由于nλ→+∞，且n λ是正负相间，因此{}n a 无最大项也无最小项． 因此有10λ-<<，所以{}n a 的奇数项数列135,,,a a a 是递增数列，且212k a λ-<-，*k N ∈，{}n a 的偶数项数列246,,,a a a 是递减数列，且22k a λ>-，*k N ∈，所以{}n a 的最大值是2223M a λλ==-+，最小项是1a λ=，23M m λ=-+，由3233λ-<-+<，又10λ-<<，所以103λ-<<．。