等差数列与等比数列的通项公式
等差数列与等比数列的基本量运算
等差数列与等比数列运算知识点：一．等差数列 1．等差数列基本概念⑴等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d 表示． 即等差数列有递推公式：1(1)n n a a d n +-=≥． ⑵等差数列的通项公式为：1(1)n a a n d =+-．⑶等差中项：如果三个数,,x A y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，即2x yA +=． ⑷等差数列的前n 项和公式：211()(1)22n n n a a n n S na d An Bn +-==+=+． 1．等差数列通项公式的推导：2132121n n n n a a d a a da a d a a d----=-=-=-=，将这1n -个式子的等号两边分别相加得：1(1)n a a n d -=-，即1(1)n a a n d =+-．由等差数列的通项公式易知：()n m a a n m d -=-． 2．等差数列前n 项和公式的推导：1111()(2)[(1)]n S a a d a d a n d =+++++++-，把项的顺序反过来，可将n S 写成：()(2)[(1)]n n n n n S a a d a d a n d =+-+-++--，将这两式相加得：11112()()()()n n n n n S a a a a a a n a a =++++++=+，从而得到等差数列的前n 项和公式1()2n n n a a S +=，又1(1)n a a n d =+-， 得11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+． 二．等比数列1. 等比数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，常用字母(0)q q ≠表示．2. 等比数列的通项公式为：11n n a a q -=．3. 等比中项：如果三个数,,x G y 组成等比数列，那么G 叫做x 和y 的等比中项，即2G xy =．两个正数（或两个负数）的等比中项有两个，它们互为相反数；一个正数与一个负数没有等比中项．1．等比数列通项公式的推导： 由等比数列的定义知：312412321,,,,,n n n n a a aa aq q q q q a a a a a ---===== 将这1n -个式子的等号两边分别相乘得：11n na q a -=，即11n n a a q -=． 由等比数列的通项公式易知：n m nma q a -=．一、等差数列中基本量的运算:a 1,a n ,n ,d ,S n 知三求二 ①基本量运算{}28454565651.,6,6,....n a a a A S S B S S C S S D S S =-=<=<=（一星）是等差数列且则（）解：1994500a a S S S +=⇒=⇒=.选B.{}18451845184518452.,0,....n a d A a a a a B a a a a C a a a a D a a a a ≠><+>+=（一星）如果是正项等差数列公差则（）答案：B.3,4,3,2550,,.k .a a k S a k =（一星）等差数列前三项为前项和求的值答案：2,50a k ==7.（二星）（2015年全国1）已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（ ）（A ） 172 （B ）192（C ）10 （D ）12 答案：B7.（三星）（全国1理科）设等差数列{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==，则m = ( )A.3B.4C.5D.6 解：有题意知==0，∴=－=－（-）=－2，=-=3，∴公差=-=1，∴3==－，∴=5，故选C.2.将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n 行(3)n ≥从左向右的第3个数为 ．4.（二星）已知是等差数列，公差不为零，前项和是，若，，成等比数列，则（ ） A.B.B.C. D.（3）（2016全国1卷理）已知等差数列}{n a 前9项的和为27，810=a ，则=100a（A ）100（B ）99（C ）98 （D ）97解：由等差数列性质可知：()1959599292722a a a S a +⨯====，故53a =， 而108a =，因此公差1051105a a d -==- ∴100109098a a d =+=．故选C ．4.（2017全国1卷理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4562448a a S +==，，则{}n a 的公差为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．8解：45113424a a a d a d +=+++=61656482S a d ⨯=+= 联立求得11272461548a d a d +=⎧⎪⎨+=⎪⎩①② 3⨯-①②得()211524-=d624d = 4d =∴.选C3．（2018广州市调研理）在等差数列{}n a 中，已知22a =，前7项和756S =，则公差d =( )BA ．2B ．3C ．2-D ．3-4．（2018广州一模文）等差数列{}n a 的各项均不为零，其前n 项和为n S ，若212n n n a a a ++=+，则21=n S +（A ）A ．42n +B ．4nC ．21n +D ．2n4．（2018全国1理）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a B A ．12- B ．10- C ．10 D ．129. （2019全国1卷理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A. 25n a n =- B.310n a n =-C. 228n S n n =-D. 2122n S n n =- 解：由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，故选A ．18．（2019全国1卷文）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 9=－a 5．（1）若a 3=4，求{a n }的通项公式；（2）若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围． 解：（1）设{}n a 的公差为d ．由95S a =-得140a d +=． 由a 3=4得124a d +=． 于是18,2a d ==-．因此{}n a 的通项公式为102n a n =-． （2）由（1）得14a d =-，故(9)(5),2n n n n da n d S -=-=. 由10a >知0d <，故n n S a 等价于211100n n -+，解得1≤n ≤10． 所以n 的取值范围是{|110,}n n n ∈N ．14．（2019全国高考3卷理）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =________.414．（2019全国3卷文）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若375,13a a ==，则10S =___________.15. （2018广东一模文）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23122n S n n =+，则5a = ．146. （2018广东一模文）等差数列()()()333log 2,log 3,log 42,x x x +的第四项等于（ A ）A ．3B ．4 C. 3log 18 D ．3log 24 ②创新题1.（2016全国2卷文）等差数列{}n a 中，且344a a +=，576a a +=． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记[]n n a b =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]09.0=，[]26.2=．解：(Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ，由题意有11254,53a d a d -=-=，解得121,5a d ==，所以{}n a 的通项公式为235n n a +=.（Ⅱ）由(Ⅰ)知235n n b +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n=1,2,3时，2312,15n n b +≤<=； 当n=4,5时，2323,25n n b +≤<=；当n=6,7,8时，2334,35n n b +≤<=；当n=9,10时，2345,45n n b +≤<=，所以数列{}n b 的前10项和为1322334224⨯+⨯+⨯+⨯=.17.(2016全国2卷理)n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =．记[]lg n n b a =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，[]lg991=．（Ⅰ）求1b ，11b ，101b ；（Ⅱ）求数列{}n b 的前1000项和． 解： ⑴设的公差为，，∴，∴，∴． ∴，，． ⑵记的前项和为，则． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，．∴．（17）（2017届广州市调研文）等差数列}{n a 中，1243=+a a ，749S =. （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅰ）记][x 表示不超过x 的最大整数，如0]9.0[=，2]6.2[= . 令][lg n n a b =，求数列}{n b 的前2000项和.解：（Ⅰ）由1243=+a a ，749S =，得112512,72149.a d a d +=⎧⎨+=⎩{}n a d 74728S a ==44a =4113a a d -==1(1)n a a n d n =+-=[][]11lg lg10b a ===[][]1111lg lg111b a ===[][]101101101lg lg 2b a ==={}n b n n T 1000121000T b b b =++⋅⋅⋅+[][][]121000lg lg lg a a a =++⋅⋅⋅+0lg 1n a <≤129n =⋅⋅⋅，，，1lg 2n a <≤101199n =⋅⋅⋅，，，2lg 3n a <≤100101999n =⋅⋅⋅，，，lg 3n a =1000n =1000091902900311893T =⨯+⨯+⨯+⨯=解得11=a ，2=d ， 所以12-=n a n .（Ⅰ）)]12[lg(][lg -==n a b n n ， 当51≤≤n 时, 0)]12[lg(=-=n b n ;当506≤≤n 时, 1)]12[lg(=-=n b n ; 当50051≤≤n 时, 2)]12[lg(=-=n b n ; 当5012000n ≤≤时, 3)]12[lg(=-=n b n .所以数列}{n b 的前2000项和为544515003450245150=⨯+⨯+⨯+⨯.③与其他内容结合4546.(){},10,15,___.n n a n S S S a ≥≤四星设等差数列的前项和为若则的最大值为4141115110235:3(23)3(2) 4. 4.1523S a d a a d a d a d S a d ≥+≥⎧⎧⇒⇒=+=-+++≤⎨⎨≤+≤⎩⎩解答案为二、等比数列中基本量的运算 ①基本量运算1.1,,,,9,.3,9.3,9.3,9.3,9a b c Ab ac B b ac C b ac D b ac --===-===-=-=-（一星）若成等比数列则（）答案：B3102.,3,384,______a a ==（一星）等比数列中则通项公式为答案：332n n a -=⋅364714.,36,18,,____2n a a a a a n +=+===（一星）等比数列中答案：9n =13、（一星）（2015全国1）数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = .答案：67.（一星）(2015全国2理)等比数列｛a n ｝满足a 1=3，135a a a ++=21，则357a a a ++=（ ）A ．21B ．42C ．63D ．84 答案：B12.（一星）(2015全国2文)已知等比数列满足，，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 答案：C5．（二星）（全国理）已知{}n a 为等比数列，47562,8a a a a +==-，则110a a +=A ．7B ．5C ．-5D ．-7 解：因为{}n a 是等比数列，所以56478a a a a ==-，所以47,a a 是方程2280x x --=的两根，解得4x =或2x =-。
等差和等比数列前n项和公式
等差和等比数列前n项和公式
等差数列和等比数列是初中数学中较为基础的概念，求解前 n 项和是其重要的应用。
下面将介绍等差数列和等比数列前 n 项和的公式。
等差数列前 n 项和公式：Sn = n(a1 + an)/2，其中 Sn 表示前n 项和，a1 表示首项，an 表示末项。
由此可得，等差数列的公差 d = (an - a1)/(n - 1)。
等比数列前 n 项和公式：Sn = a1(1 - q^n)/(1 - q)，其中 Sn 表示前 n 项和，a1 表示首项，q 表示公比。
由此可得，等比数列通项公式为 an = a1q^(n-1)。
以上公式是求解等差数列和等比数列前 n 项和的基本公式，掌握了这些公式可以方便地求解各类应用问题。
- 1 -。
高二数学等差和等比数列的通项及求和公式
【解题回顾】这是一道高考题，开放程度较大，要注意含有 字母的代数式的运算，特别要注意对公比q=1的讨论.
返回
误解分析
1. 用公式 an=Sn-Sn-1 解决相关问题时，一定要注意条件 n≥2， 因n=1时，a1=S1.
a1 1 q n 2.等比数列的和或利用等比数列求和公式 S n 解 1 q
能力·思维·方法
1.设数列{an}的前n项和为Sn=2n2+3n+2，求通项an的表达式， 并指出此数列是否为等差数列.
n 1 S1 【解题回顾】公式 an 给出了数列的项 S n S n 1 n 2
与和之间的关系，很重要.在利用这个关系时必须注意：
(1)公式对任何数列都适用； (2)n＝1的情形要单独讨论.
2.已知等比数列 {an} 的公比为 q，前 n项的和为 Sn，且 S3，S9， S6成等差数列. (1)求q3的值； (2)求证a2，a8，a5成等差数列.
【解题回顾】本题方法较多，用等比数列Sn公式时一定要注 意讨论q.
3.一个等差数列的前 12项和为354，前12项中偶数项和与奇 数项和之比为32∶27，求公差d.
【解题回顾】
：当ak≥0 一般地，数列{an}与数列{|an|}的前n项和Sn与 S n
时，有 S n S n；当ak＜0时， S n ( k =1，2，…，n).若在 Sn
a1，a2,…，an 中，有一些项不小于零，而其余各项均小于零 ，设其和分别为S+、S-，则有Sn=S++S-，所以
题时，若忽视q=1的讨论.常会招致“对而不全”.
返回
;
/forum-fuzhou-1.html 福州夜场招聘 福州夜总会招聘 福州ktv招聘
等比数列
2 、等差数列的通项公式 ： a n = a1 + ( n - 1) d
用什么方法推出的呢？其图像怎样？
设置情境：
① 如下图是某种细胞分裂的模型：
细胞分裂个数可以组成下面的数列：
1
2
4
8 16 …
设置情境：
②我国古代一些学者提出：“一尺之棰， 日取其半，万世不竭。”用现代语言叙述 为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远 也取不完。这样，每日剩下的部分都是前 一日的一半。如果把“一尺之棰”看成单 位“1”，那么，得到的数列是：
选做题
在等比数列中，a1+a2=3，a4+a5=24， 求q和a1
欢迎大家提出宝贵意见！
谢
谢
当a=0时，是常数列，不是等比数列，因为 an =0, a≠0时，为非零常数列，也是等比数列。
有没有既是等差又是等比的数列？
例1:已知数列
an 的通项公式为
an = 3 2
n
试问这个数列是等比数列吗？ 解：因为当n
2时
n
an 3 2 = =2 n -1 an -1 3 2
所以数列
an - a1 = (n -1)d
类比
等 比 数 列
a2 =q a1
a4 =q a3 ……
a3 =q a2
共n – 1 项
an =q ×） an -1
an = q n -1 a1
写出下列等比数列的通项公式 （1） 1，2，4，8，16，… (2) 1 ，1 ，1 ，1 ， 1 ，„ 2 4 8 16 (3) 1，20，202，203，… an=2n-1
an 是等比数列，且公比为2
等比等差数列的公式
等比等差数列的公式等比数列与等差数列是数列中常见的两种形式，它们在数学中有着重要的应用。
本文将分别介绍等比数列和等差数列的公式及其应用。
一、等差数列的公式及应用等差数列是一种数列，其中每一项与前一项之差都相等。
设等差数列的首项为a1，公差为d，第n项为an，则等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d等差数列的求和公式为：Sn = (n/2)(a1 + an)其中，Sn表示等差数列的前n项和。
等差数列在实际生活中有着广泛的应用。
比如，假设某人每天存储一笔相同金额的钱进入银行，首次存入的金额为a1，每天存入的金额与前一天相比增加了d元。
那么，第n天他存入的金额为an。
根据等差数列的公式，我们可以轻松地计算出第n天他存入的金额。
此外，在数学、物理等领域中，等差数列也被广泛应用于模型建立和问题解决中。
二、等比数列的公式及应用等比数列是一种数列，其中每一项与前一项的比值都相等。
设等比数列的首项为a1，公比为r，第n项为an，则等比数列的通项公式为：an = a1 * r^(n-1)等比数列的求和公式为：Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)其中，Sn表示等比数列的前n项和。
等比数列在实际生活中也有着重要的应用。
例如，某人每天购买的商品价格是前一天的r倍，第n天购买的商品价格为an。
根据等比数列的公式，我们可以轻松地计算出第n天购买的商品价格。
此外，在金融、经济等领域中，等比数列也被广泛应用于复利计算、增长模型等问题的解决中。
等差数列和等比数列是数学中常见的两种数列形式。
它们都有着重要的公式和应用。
通过掌握等差数列和等比数列的公式，我们可以在实际生活和学习中更好地应用数学知识，解决各种问题。
因此，对于数学学习者来说，熟练掌握等差数列和等比数列的公式及其应用是非常重要的。
希望本文的介绍能够对读者有所帮助。
等差、等比数列常用公式对照表
是等比数列
1、定义：
1、
2、通项：
2、
3、公差：
3、公比：
4、若m+n=p+q，则
特殊情况：若m+n=2p，则பைடு நூலகம்
称为 与 的等差中项
4、若m+n=p+q，则
特殊情况：若m+n=2p，则
称为 与 的等比中项
5、
5、
6、 是公差为md的等差数列
6、 是公比为 的等比数列
7、 是公差为 的等差数列
7、 是公比为 的等比数列
8、证明等差数列的方法：
1、定义法： ，d为常数
2、通项法： ，k、b为常数
3、前n项和法： ，A,B常数
4、等差中项法：
8、证明等差数列的方法：
1、定义法： ，q为常数
2、通项法： ，c、q为常数
3前n项和法： ，k,q常数
4、等差中项法：
9、 是等差数列， 、 是等差数列
9、 是等比数列， 、 、 、 、是等比数列
10、若 ，则用累加法求
10、若 ，则用累乘法求
11、若 、 是等差数列， ，求 用裂项相消法
11、若 是等比数列、 是等差数列， 或 ，求 用错位相减法
一、求 的方法：1、公式法；2、观察归纳法；3、累加法、累乘法；4、特征方程法
二、求 的方法：1、裂项相消法；2、错位相减法；3、倒序相加法；4、分组求和法
等差数列与等比数列的求和公式
等差数列与等比数列的求和公式在数学中，等差数列和等比数列是常见且重要的数列类型。
对于这两种数列，我们可以使用求和公式来计算它们的和。
本文将介绍等差数列和等比数列的定义以及它们的求和公式，并通过具体例子进行说明。
一、等差数列（Arithmetic progression）等差数列是指数列中相邻两项之间的差都相等的数列。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，则其通项公式为：aₙ = a₁ + (n-1)d其中，aₙ表示数列的第n项。
为了求解等差数列的和，我们介绍一个常用的求和公式，即等差数列的求和公式。
设等差数列的前n项和为Sₙ，则有：Sₙ = (a₁ + aₙ) * n / 2或者Sₙ = [2a₁ + (n-1)d] * n / 2其中，[]表示取整。
下面通过一个例子来说明等差数列的求和公式的应用。
例子：求等差数列1，4，7，10，...，前100项的和。
解：首先，我们可以得到等差数列的首项a₁为1，公差d为3（4-1=3）。
因此，我们可以使用等差数列的求和公式来计算前100项的和。
S₁₀₀ = [2*1 + (100-1)*3] * 100 / 2= (2 + 297) * 100 / 2= 299 * 100 / 2= 14950因此，等差数列1，4，7，10，...，前100项的和为14950。
二、等比数列（Geometric progression）等比数列是指数列中相邻两项之间的比值都相等的数列，这个比值称为公比。
设等比数列的首项为a₁，公比为q，则其通项公式为：aₙ = a₁ * q^(n-1)其中，aₙ表示数列的第n项。
为了求解等比数列的和，我们介绍一个常用的求和公式，即等比数列的求和公式。
设等比数列的前n项和为Sₙ，则有：Sₙ = a₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q)下面通过一个例子来说明等比数列的求和公式的应用。
例子：求等比数列2，6，18，54，...，前8项的和。
解：首先，我们可以得到等比数列的首项a₁为2，公比q为3（6/2=3）。
数列的通项公式与求和公式总结
数列的通项公式与求和公式总结数列是由一系列按照特定规律排列的数字组成的序列，通常用公式表示。
数列的通项公式是指能够根据数列的位置得出该位置上的数值的公式，而求和公式则是指能够计算数列中所有数值的和的公式。
以下是一些常见数列的通项公式与求和公式的总结。
等差数列：等差数列是一个公差为d的数列，其中每一项与前一项之间的差值相等。
其通项公式和求和公式如下：通项公式：an = a1 + (n-1)d其中an表示数列的第n项，a1表示数列的第一项，d表示公差。
求和公式：Sn = (n/2)(a1 + an)其中Sn表示数列前n项的和。
等比数列：等比数列是一个公比为q的数列，其中每一项与前一项之间的比值相等。
其通项公式和求和公式如下：通项公式：an = a1 * q^(n-1)其中an表示数列的第n项，a1表示数列的第一项，q表示公比。
求和公式：Sn = (a1 * (q^n - 1))/(q - 1)其中Sn表示数列前n项的和。
斐波那契数列：斐波那契数列是一个特殊的数列，其前两项为1，后续每一项是前两项之和。
其通项公式和求和公式如下：通项公式：an = (1/sqrt(5)) * (((1 + sqrt(5))/2)^n - ((1 - sqrt(5))/2)^n)其中an表示数列的第n项。
求和公式：Sn = a1 * (1 - ((1 + sqrt(5))/2)^n)/(1 - ((1 + sqrt(5))/2))其中Sn表示数列前n项的和。
这些是常见数列的通项公式与求和公式的总结，通过这些公式，我们可以通过给定的位置计算出数列中的数值，或者计算数列中所有数值的和。
在数学中，数列的通项公式与求和公式是非常重要的工具，能够帮助我们理解数列的规律和特性。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
等差数列与等比数列的通项公式数列是数学中重要的概念之一，它是按照一定的规律排列的一系列数的集合。
等差数列和等比数列是最常见的两种数列类型，它们都有各自的通项公式，用于计算数列中任意位置的元素。
一、等差数列的通项公式
等差数列是指数列中相邻的两个数之间的差等于一个常数的数列。
常数d称为等差数列的公差。
假设等差数列的首项为a₁，公差为d，则第n项（记为aₙ）的通项公式可以表示为：
aₙ = a₁ + (n-1)d
其中，n代表数列中的位置，aₙ代表第n项的值。
以上公式可以方便地计算等差数列中任意一项的数值。
例如，对于等差数列1, 4, 7, 10, 13，首项a₁为1，公差d为3。
要计算第7项的值，可以使用通项公式：
a₇ = 1 + (7-1)×3 = 1 + 6×3 = 19
因此，该等差数列的第7项为19。
二、等比数列的通项公式
等比数列是指数列中相邻的两个数之间的比等于一个常数的数列。
常数r称为等比数列的公比。
假设等比数列的首项为a₁，公比为r，则第n项（记为aₙ）的通项公式可以表示为：
aₙ = a₁ × r^(n-1)
其中，n代表数列中的位置，aₙ代表第n项的值。
以上公式可以方便地计算等比数列中任意一项的数值。
例如，对于等比数列2, 4, 8, 16, 32，首项a₁为2，公比r为2。
要计算第6项的值，可以使用通项公式：
a₆ = 2 × 2^(6-1) = 2 × 2^5 = 2 × 32 = 64
因此，该等比数列的第6项为64。
总结：
等差数列和等比数列是数学中常见的数列类型，它们都有各自的通项公式。
等差数列的通项公式为aₙ = a₁ + (n-1)d，其中a₁为首项，d 为公差，n为位置；等比数列的通项公式为aₙ = a₁ × r^(n-1)，其中a₁为首项，r为公比，n为位置。
利用这些通项公式，可以轻松计算等差数列和等比数列中任意位置的元素的值。
特此声明：本文仅讨论了等差数列和等比数列的通项公式及其基本应用，更深入的数列理论和相关知识并未涉及。
为保证准确性和完整性，请读者参考相关教材及资料进行更详细的学习和理解。