上海市2019年初中毕业统一学业考试数学试卷及答案详解
上海市2019年初中毕业统一学业考试数学试卷一、选择题：(本大题共6题，每题4分，满分24分)1.下列运算正确的是（）A. 3x＋2x＝5x2B. 3x－2x＝xC. 3x·2.x＝6.xD. 3.x÷2x＝2 32.如果m﹥n，那么下列结论错误的是（）A. m＋2﹥n＋2B. m－2﹥n－2C. 2m﹥2nD. －2m﹥－2n3.下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是()A.3xy= B. -3xy= C.3yx= D.3yx=-4.甲、乙两名同学本学期五次引体向上的测试成绩(个数)成绩如图所示，下列判断正确的是()A. 甲的成绩比乙稳定B. 甲的最好成绩比乙高C. 甲的成绩的平均数比乙大D. 甲的成绩的中位数比乙大5.下列命题中，假命题是()A. 矩形的对角线相等B. 矩形对角线交点到四个顶点的距离相等C. 矩形的对角线互相平分D. 矩形对角线交点到四条边的距离相等6.已知⊙A与⊙B外切，⊙C与⊙A、⊙B都内切，且AB＝5，AC＝6，BC＝7，那么⊙C的半径长是（）A. 11B. 10C. 9D. 8二、填空题：(本大题共12题，每题4分，满分48分)7.计算：（2a2）2=．8.已知f(x)＝x2－1，那么f(－1)＝________________9.如果一个正方形的面积是3，那么它的边长是＝_______.10.如果关于x 的方程x 2－x ＋m ＝0没有实数根，那么实数m 的取值范围是______.11.一枚材质均匀的骰子，六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6，投这个骰子，掷的的点数大于4的概率是______________.12.《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，1大桶加1小桶共盛＝________斛米.（注：斛是古代一种容量单位）13.在登山过程中，海拔每升高1千米，气温下降6℃，已知某登山大本营所在的位置的气温是2℃，登山队员从大本营出发登山，当海拔升高x 千米时，所在位置的气温是y ℃，那么y 关于x 的函数解析式是______. 14.小明为了解所在小区居民各类生活垃圾的投放情况，他随机调查了该校区50户家庭某一天各类生活垃圾的投放量，统计得出这50户家庭各类生活垃圾的投放总量是100千克，并画出各类生活垃圾投放量分布情况的扇形图（如图所示），根据以上信息，估计该小区300户居民这一天投放的可回收垃圾共约____千克. 15.如图，已知直线l 1∥l 2，含30°角的三角板的直角顶点C 在l 1上，30°角的顶点A 在l 2上，如果边AB 与l 1的交点D 是AB 的中点，那么∠1＝___________________度.16.如图，在正边形ABCDEF 中，设BA a =，BC b = ，那么向量BF 用向量a b 、表示为________________. 17.如图，在正方形ABCD 中，E 是边AD 的中点.将△ABE 沿直线BE 翻折，点A 落在点F 处，联结DF ，那么∠EDF 的正切值是________________.18.在△ABC 和△A 1B 1C 1中，已知∠C ＝∠C 1＝90°，AC ＝A 1C 1＝3，BC ＝4，B 1C 1＝2，点D 、D 1分别在边AB 、A 1B 1上，且111ACD C A D ≅，那么AD 的长是_________________.三、解答题(本大题共7题，满分78分)19.计算：233126823--⨯+--20.解方程：228122xx x x-=--21.在平面直角坐标系xoy中（如图），已知一次函数的图像平行于直线12y x=，且经过点A（2，3），与x轴交于点B．（1）求这个一次函数的解析式；（2）设点C在y轴上，当AC＝BC时，求点C的坐标．22.如图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE落在AD'E'的位置（如图2所示）.已知AD ＝90厘米，DE＝30厘米，EC＝40厘米.（1）求点D'到BC的距离；（2）求E、E'两点的距离.23.已知：如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，D是AO延长线上一点，联结BD并延长交⊙O 于点E，联结CD并延长交⊙O于点F.（1）求证：BD＝CD；（2）如果AB2＝AO·AD，求证：四边形ABDC是菱形.24.在平面直角坐标系xOy 中(如图)，已知抛物线y ＝x 2－2x ，其顶点为A. (1)写出这条抛物线的开口方向、顶点A 的坐标，并说明它的变化情况； (2)我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点” ①试求抛物线y ＝x 2－2x 的“不动点”的坐标；②平移抛物线y ＝x 2－2x ，使所得新抛物线的顶点B 是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x 轴交于点C ，且四边形OABC 是梯形，求新抛物线的表达式.25.如图1，AD 、BD 分别是△A BC 的内角∠BAC 、∠ABC 的平分线，过点A 作AE 上AD ，交BD 的延长线于点E（1）求证：∠E ＝12∠C ； （2）如图2，如果AE ＝AB ，且BD ：DE ＝2：3，求cos ∠ABC 的值；（3）如果∠ABC 是锐角，且△ABC 与△ADE 相似，求∠ABC 的度数，并直接写出ADE ABCS S的值.上海市2019年初中毕业统一学业考试数学试卷一、选择题：(本大题共6题，每题4分，满分24分)1.下列运算正确的是（）A. 3x＋2x＝5x2B. 3x－2x＝xC. 3x·2.x＝6.xD. 3.x÷2x＝2 3【答案】B【解析】【分析】根据合并同类项及单项式的乘法，单项式的除法进行选择即可．【详解】A. 错误，3x+2x=5x；B. 正确，3x-2x=x；C. 错误,3x⋅2x=6x2；D. 错误，3x÷2x=3 2故选B.【点睛】此题考查合并同类项，单项式的乘法，单项式的除法，掌握运算法则是解题关键2.如果m﹥n，那么下列结论错误的是（）A. m＋2﹥n＋2B. m－2﹥n－2C. 2m﹥2nD. －2m﹥－2n【答案】D【解析】【分析】根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．【详解】A. 两边都加2，不等号的方向不变，故A正确；B. 两边都减2，不等号的方向不变，故B正确；C. 两边都乘以2，不等号的方向不变，故C正确；D. 两边都乘以-2，不等号的方向改变，故D错误；故选D.【点睛】此题考查不等式的性质，解题关键在于掌握运算法则3.下列函数中，函数值y 随自变量x 的值增大而增大的是( ) A. 3x y =B. -3x y = C. 3y x=D. 3y x=-【答案】A 【解析】 【分析】一次函数当0a >时，函数值y 总是随自变量x 的增大而增大，反比例函数当k 0<时，在每一个象限内，y 随自变量x 增大而增大.【详解】A 、该函数图象是直线，位于第一、三象限，y 随x 增大而增大，故本选项正确；B 、该函数图象是直线，位于第二、四象限，y 随x 增大而减小，故本选项错误；C 、该函数图象是双曲线，位于第一、三象限，在每一象限内，y 随x 增大而减小，故本选项错误；D 、该函数图象是双曲线，位于第二、四象限，在每一象限内，y 随x 增大而增大，故本选项错误.故选A .【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数的增减性；熟练掌握一次函数、反比例函数的性质是关键. 4.甲、乙两名同学本学期五次引体向上的测试成绩(个数)成绩如图所示，下列判断正确的是( )A. 甲的成绩比乙稳定B. 甲的最好成绩比乙高C. 甲的成绩的平均数比乙大D. 甲的成绩的中位数比乙大【答案】A 【解析】 【分析】分别计算出两人成绩的平均数、中位数、方差可得出答案.【详解】甲同学的成绩依次为：7、8、8、8、9， 则其中位数为8，平均数为8，方差为()()()222178388980.45⎡⎤-+⨯-+-=⎣⎦； 乙同学的成绩依次为：6、7、8、9、10， 则其中位数为8，平均数为8，方差为()()()()()2222216878889810825⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦， ∴甲的成绩比乙稳定，甲、乙的平均成绩和中位数均相等，甲的最好成绩比乙低.故选A .【点睛】本题考查了方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均数的离散程度越小，稳定性越好.也考查了中位数. 5.下列命题中，假命题是( ) A. 矩形的对角线相等 B. 矩形对角线交点到四个顶点的距离相等 C. 矩形的对角线互相平分 D. 矩形对角线交点到四条边的距离相等【答案】D 【解析】 【分析】利用矩形的性质分别判断后即可确定正确的选项. 【详解】A 、矩形的对角线相等，正确，是真命题；B 、矩形的对角线的交点到四个顶点的距离相等，正确，是真命题；C 、矩形的对角线互相平分，正确，是真命题；D 、矩形的对角线的交点到一组对边的距离相等，故错误，是假命题.故选D .【点睛】本题考查了命题与定理的知识.解题的关键是了解矩形的性质，难度不大.6.已知⊙A 与⊙B 外切，⊙C 与⊙A 、⊙B 都内切，且AB ＝5，AC ＝6，BC ＝7，那么⊙C 的半径长是（ ） A. 11B. 10C. 9D. 8【解析】 【分析】通过外切、内切的性质，列出方程组求解．【详解】设⊙A 的半径为X,⊙B 的半径为Y,⊙C 的半径为Z.567X Y Z X Z Y +=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩解得932Z X Y =⎧⎪=⎨⎪=⎩故选C【点睛】此题考查相切两圆的性质，解题关键在于列出方程二、填空题：(本大题共12题，每题4分，满分48分)7.计算：（2a 2）2= ． 【答案】4a 4 【解析】 【分析】根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，计算即可． 【详解】解：（2a 2）2=22a 4=4a 4． 故答案为4a 4．8.已知f (x )＝x 2－1，那么f (－1)＝________________. 【答案】0 【解析】 【分析】根据自变量与函数值的对应关系，可得答案. 【详解】当1x =-时，()()21110f -=--=.【点睛】本题考查了函数值，把自变量的值代入函数解析式是解题关键.9.如果一个正方形的面积是3，那么它的边长是＝_______.【解析】【分析】正方形的面积公式：S=a2，所以，求出这个正方形的边长，即可解答．【详解】设正方形的边长为a，则有a2=3∴边长为【点睛】此题考查正方形的面积，掌握运算公式是解题关键10.如果关于x的方程x2－x＋m＝0没有实数根，那么实数m的取值范围是______.【答案】14 m＞【解析】【分析】根据方程x2－x＋m＝0没有实数根得到△=（-1）2-4m＜0，求出m的取值范围即可．【详解】∵关于x的方程x2－x＋m＝0没有实数根，∴△＜0，∴(−1) 2−4m＜0，∴14m＞，故答案为14 m＞【点睛】此题考查解一元一次不等式组，掌握运算法则是解题关键11.一枚材质均匀的骰子，六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6，投这个骰子，掷的的点数大于4的概率是______________.【答案】1 3【解析】【分析】先求出点数大于4的数，再根据概率公式求解即可.【详解】在这6种情况中，掷的点数大于4的有2种结果，∴掷的点数大于4的概率为21 63 =.故答案为1 3 .【点睛】本题考查的是概率公式，熟记随机事件A的概率()P A=事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键.12.《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，1大桶加1小桶共盛＝________斛米.（注：斛是古代一种容量单位）【答案】5 6【解析】【分析】设一个大桶盛酒x斛，一个小桶盛酒y斛，根据“5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛”即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y值，将其相加即可得出结论．【详解】设一个大桶盛酒x斛，一个小桶盛酒y斛，根据题意得：5352x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：1324724 xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.∴x+y=75+=2134246.故答案为5 6【点睛】此题考查二元一次方程组的应用，解题关键在于列出方程13.在登山过程中，海拔每升高1千米，气温下降6℃，已知某登山大本营所在的位置的气温是2℃，登山队员从大本营出发登山，当海拔升高x千米时，所在位置的气温是y℃，那么y关于x的函数解析式是______. 【答案】y＝－6x＋2【解析】【分析】根据海拔每升高1km气温下降6℃，可得登山队员由大本营向上登高xkm时，气温下降6x℃；接下来运用“登山队大本营所在地的气温为2℃”即可求出y与x函数关系式.【详解】根据题意得y=-6x+2故答案为y=-6x+2【点睛】此题考查一次函数的解析式，解题关键在于根据题意列出方程组14.小明为了解所在小区居民各类生活垃圾的投放情况，他随机调查了该校区50户家庭某一天各类生活垃圾的投放量，统计得出这50户家庭各类生活垃圾的投放总量是100千克，并画出各类生活垃圾投放量分布情况的扇形图（如图所示），根据以上信息，估计该小区300户居民这一天投放的可回收垃圾共约____千克.【答案】90【解析】【分析】根据题意先算出50户家庭可回收垃圾为15千克，再用300户家庭除以50户家庭乘以15即可解答【详解】100×15％=15千克30050×15=90千克故答案为90千克【点睛】此题考查扇形统计图，解题关键在于看懂图中数据15.如图，已知直线l 1∥l 2，含30°角的三角板的直角顶点C 在l 1上，30°角的顶点A 在l 2上，如果边AB 与l 1的交点D 是AB 的中点，那么∠1＝___________________度.【答案】120【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得到DA DC =，则30DCA DAC ∠=∠=︒，再利用三角形外角性质得到260∠=︒，然后根据平行线的性质求1∠的度数. 【详解】D 是斜边AB 的中点，∴DA DC =，∴30DCA DAC ∠=∠=︒，∴260DCA DAC ∠=∠+∠=︒，12l l //，∴12180∠+∠=︒，∴118060120∠=︒-︒=︒.故答案为120.【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点）.也考查了平行线的性质.16.如图，在正边形ABCDEF 中，设BA a =，BC b = ，那么向量BF 用向量a b 、表示为________________.【答案】2a b +【解析】【分析】连接CF .利用三角形法则：BF BC CF =+，求出CF 即可.【详解】连接CF ，多边形ABCDEF 是正六边形，//AB CF ，2CF BA =，∴2CF a =，BF BC CF =+，∴2BF a b =+.故答案为2a b +.【点睛】本题考查平面向量，正六边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型.17.如图，在正方形ABCD 中，E 是边AD 的中点.将△ABE 沿直线BE 翻折，点A 落在点F 处，联结DF ，那么∠EDF 的正切值是________________.【答案】2【解析】【分析】由折叠可得AE FE =，AEB FEB ∠=∠，由折叠的性质以及三角形外角性质，即可得到AEB EDF ∠=∠，进而得到tan tan 2AB EDF AEB AE ∠=∠==. 【详解】如图所示，由折叠可得AE FE =，12AEB FEB AEF ∠=∠=∠，正方形ABCD 中，E 是AD 的中点，∴1122AE DE AD AB ===， ∴DE FE =， ∴EDF EFD ∠=∠，又AEF ∠是DEF 的外角，∴AEF EDF EFD ∠=∠+∠，∴12EDF AEF ∠=∠， ∴AEB EDF ∠=∠，∴tan tan 2AB EDF AEB AE∠=∠==. 故答案为2.【点睛】本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的性状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.18.在△ABC 和△A 1B 1C 1中，已知∠C ＝∠C 1＝90°，AC ＝A 1C 1＝3，BC ＝4，B 1C 1＝2，点D 、D 1分别在边AB 、A 1B 1上，且111ACD C A D ≅，那么AD 的长是_________________.【答案】53【解析】【分析】根据勾股定理求得5AB =，设AD x =，则5BD x =-，根据全等三角形的性质得出11C D AD x ==，111AC D A ∠=∠，111A D C CDA ∠=∠，即可求得111C D B BDC ∠=∠，根据等角的余角相等求得111B C D B ∠=∠，即可证得111C B D BCD ~，根据其性质得出52x x -=，解答求出AD 的长. 【详解】如图，在ABC 和111A B C △中，190C C ∠==∠︒，113AC AC ==，4BC =，112B C =，∴22345AB =+=，设AD x =，则5BD x =-，111ACD C A D ≅，∴11C D AD x ==，111AC D A ∠=∠，111A D C CDA ∠=∠，∴ 111C D B BDC ∠=∠，90B A ∠=︒-∠，11111190B C D AC D ∠=︒-∠，∴111B C D B ∠=∠，∴111C B D BCD ~，∴1111BD BC C D C B =，即52x x-=， 解得53x =， ∴AD 的长为53. 故答案为53.【点睛】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，证得11C B D BCD ~是解题的关键.三、解答题(本大题共7题，满分78分)19.2318- 【答案】-3.【解析】【分析】根据绝对值的性质，二次根式的混合运算，进行运算即可1243-+=-【点睛】此题考查二次根式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则20.解方程：228122x x x x-=-- 【答案】x ＝－4.【解析】【分析】首先去分母，化为整式方程， 求出解，然后合并同类项，把未知数的系数化为1，最后检验求得的结果是否使原分式有意义，即可得到结果【详解】去分母，得2x 2－8＝x 2－2x移项、整理得x 2＋2x －8＝0.解这个方程，得x 1＝2，x 2＝－4.经检验：x ＝2是增根，舍去；x ＝－4是原方程的根．所以，原方程的根是x ＝－4.【点睛】此题考查解分式方程，解题关键在于掌握运算法则21.在平面直角坐标系xoy 中（如图），已知一次函数的图像平行于直线12y x =，且经过点A （2，3），与x 轴交于点B ．（1）求这个一次函数的解析式；（2）设点C 在y 轴上，当AC ＝BC 时，求点C 的坐标．【答案】（1）122y x =+；（2）点C 的坐标是（0，12-） 【解析】【分析】 （1）设一次函数解析式为y ＝kx ＋b （k ＝0），把A 坐标代入即可解答（2）先求出点B 坐标，设点C 的坐标为（0，y ），由AC ＝BC 利用勾股定理求出y 即可解答【详解】（1）设一次函数解析式为y ＝kx ＋b （k ＝0）. 一次函数的图像平行于直线12y x =，∴12k = 又∵一次函数的图像经过点A （2，3）， ∴1322b =⨯+，解得b ＝2. 所以，所求一次函数的解析式是122y x =+ （2）由y ＝122x +，令y ＝0，得号122x +＝0，解得x ＝－4. ∴一次函数的图像与x 轴的交点为B （－4，0）.∵点C 在y 轴上，.设点C 的坐标为（0，y ）.由AC ＝BC 2222203)(40)(0)y y -+-=--+-（）（y ＝12-经检验：y ＝12-是原方程的根. ∴点C 坐标是（0，12-） 【点睛】此题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，解题关键在于利用勾股定理进行计算22.如图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD 表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE 可以绕点A 逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE 落在AD'E'的位置（如图2所示）.已知AD＝90厘米，DE＝30厘米，EC＝40厘米.（1）求点D'到BC的距离；（2）求E、E'两点的距离.【答案】（1）点D'到BC的距离是（453＋70）厘米；（2）E、E’两点的距离是3010厘米．【解析】【分析】（1）过点D'作D'H⊥BC，垂足为点H，交AD于点F，利用矩形的性质得到∠AFD'＝∠BHD'＝90°，再解直角三角形即可解答（2）连接AE、AE'、EE'，得出△AEE'是等边三角形，利用勾股定理得出AE，即可解答【详解】过点D'作D'H⊥BC，垂足为点H，交AD于点F.由题意，得AD'＝AD＝90（厘米），∠DAD'＝60°.∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AFD'＝∠BHD'＝90°.在Rt△AD'F中，D'F＝AD'·sin∠DAD'＝90×sin60°＝453（厘米）.又∵CE＝40（厘米），DE＝30（厘米），∴FH＝DC＝DE＋CE＝70（厘米）、∴D'H＝D'F＋FH＝（453＋70）（厘米）.答：点D'到BC的距离是（453＋70）厘米.（2）连接AE、AE'、EE'.由题意，得AE'＝AE，∠EAE'＝60°.∴△AEE'是等边三角形∴EE'＝AE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADE＝90°Rt△ADE中，AD＝90（厘米），DE＝30（厘米）：∴AE＝2222+=+=（厘米）90303010AD DE∴EE'＝3010（厘米）.答：E、E’两点的距离是3010厘米．【点睛】此题考查三角形函数，矩形的性质，勾股定理，解题关键在于作辅助线23.已知：如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，D是AO延长线上一点，联结BD并延长交⊙O 于点E，联结CD并延长交⊙O于点F.（1）求证：BD＝CD：（2）如果AB2＝AO·AD，求证：四边形ABDC是菱形.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）连接BC，根据垂直平分线的性质即可解答（2）连接OB，先求出△ABO∽△ADB，再利用相似的性质，求出四边形ABDC的四边相等，即可解答【详解】（1）连接BC，在⊙O中，∵AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形又∵AD经过圆心O，∴AD垂直平分BC ∴BD＝CD.（2）连接OB.∵AB2＝AO·AD，AB AD AO AB又∵∠BAO＝∠DAB，∴△ABO∽△ADB∴∠OBA＝∠BDA∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB.∴∠OAB＝∠BDA∴AB＝BD.又∵AB＝AC，BD＝CD，∴AB＝AC＝BD＝CD.∴四边形ABDC 是菱形.【点睛】此题考查垂直平分线的性质，三角形相似的判定与性质，菱形的判定，解题关键在于作辅助线 24.在平面直角坐标系xOy 中(如图)，已知抛物线y ＝x 2－2x ，其顶点为A.(1)写出这条抛物线的开口方向、顶点A 的坐标，并说明它的变化情况；(2)我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”①试求抛物线y ＝x 2－2x 的“不动点”的坐标；②平移抛物线y ＝x 2－2x ，使所得新抛物线的顶点B 是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x 轴交于点C ，且四边形OABC 是梯形，求新抛物线的表达式.【答案】(l)抛物线y ＝x 2－2x 的开口向上，顶点A 的坐标是(1，－1)，抛物线的变化情况是：抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，右侧的部分是上升的；(2)①(0，0)、(3，3)； ②新抛物线的表达式是y ＝(x ＋1)2－1.【解析】【分析】（1）10a =>，故该抛物线开口向上，顶点A 的坐标为()1,1-；（2）①设抛物线“不动点”坐标为(),t t ，则22t t t =-，即可求解；②新抛物线顶点B 为“不动点”，则设点(),B m m ，则新抛物线的对称轴为：x m =，与x 轴的交点(),0C m ，四边形OABC 是梯形，则直线x m =在y 轴左侧，而点()1,1A -，点(),B m m ，则1m =-，即可求解.【详解】(l)10a =>，抛物线y ＝x 2－2x 的开口向上，顶点A 的坐标是(1，－1)，抛物线的变化情况是：抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，右侧的部分是上升的.(2)①设抛物线y ＝x 2－2x 的“不动点”坐标为(t ，t).则t ＝t 2－2t ，解得t 1＝0，t 2＝3.所以，抛物线y ＝x 2－2x 的“不动点”的坐标是(0，0)、(3，3).②∵新抛物线的顶点B 是其“不动点”，∴设点B 的坐标为(m ，m)∴新抛物线的对称轴为直线x ＝m ，与x 轴的交点为C(m ，0)∵四边形OABC 是梯形，∴直线x ＝m 在y 轴左侧.∵BC 与OA 不平行∴OC ∥AB.又∵点A 的坐标为(1，一1)，点B 的坐标为(m ，m)，∴m ＝－1.∴新抛物线是由抛物线y ＝x 2－2x 向左平移2个单位得到的，∴新抛物线的表达式是y ＝(x ＋1)2－1.【点睛】本题为二次函数综合运用题，涉及到二次函数基本知识、梯形基本性质，此类新定义题目，通常按照题设顺序，逐次求解即可.25.如图1，AD 、BD 分别是△A BC 的内角∠BAC 、∠ABC 的平分线，过点A 作AE 上AD ，交BD 的延长线于点E（1）求证：∠E ＝12∠C ； （2）如图2，如果AE ＝AB ，且BD ：DE ＝2：3，求cos ∠ABC 的值；（3）如果∠ABC 是锐角，且△ABC 与△ADE 相似，求∠ABC 的度数，并直接写出ADEABC SS 的值.【答案】（1）见解析；（2）cos ∠ABC 的值为2∶3；（3）∠ABC ＝30°或∠ABC ＝45°，ADEABC SS 的值22-或23【解析】【分析】（1）由AE ⊥AD ，得到∠DAE ＝90°，∠E ＝90°－∠ADE ，再由AD 平分∠BAC ，得到∠ABD 12=∠BAC ，即可解答 （2）延长AD 交BC于点F ，得出BF BD AE DE=，再利用三角函数即可即可 （3）根据题意得出∠ABC ＝∠E ＝12∠C ，继而可得∠ABC ＝30°，22ADEABC S S =-，∠ABC ＝45°，23ADEABC SS =-，即可解答【详解】证明：∵AE ⊥AD ，∴∠DAE ＝90°，∠E ＝90°－∠ADE.∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD 12=∠BAC ，同理∠ABD 12=∠BAC 又∵∠ADE ＝∠BAD ＋∠ABD ，∠BAC ＋∠ABC ＝180°－∠C ，∴∠ADE 12=（∠BAC ＋∠BAC ）12=（180°－∠C ）. ∴∠E ＝90°－12（180°－∠C ）12=∠C 解：延长AD 交BC 于点F.∵AE ＝AB ，∴∠ABE ＝∠E.∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠CBE ，∴∠CBE ＝∠E.∴AE ∥ BC.∴∠AFB ＝∠FAE ＝90°，BF BD AE DE= 又∵BD ∶DE ＝2∶3∴cos ∠ABC ＝BF BF BD AB AE DE== ∴cos ∠ABC 的值为2∶3.（3）解：△ABC 与△ADE 相似，且∠DAE ＝90°，∴△ABC 中必有一个内角等于90°. ∵ABC 是锐角，∴∠ABC≠90°.若∠BAC ＝∠DAE ＝90°，∵∠E ＝12∠C,∴∠ABC ＝∠E ＝12∠C ∵∠ABC ＋∠C ＝90°，∴∠ABC ＝30°.这时2ADE ABC S S= 综上所述，∠ABC ＝30°或∠ABC ＝45°，ADEABC SS 的值22【点睛】此题考查角平分线的性质，三角函数，相似三角形的性质，解题关键在于作辅助线。
2019年上海市中考数学试卷-答案
上海市2019年初中毕业统一学业考试 数学答案解析一、选择题1．【答案】B2．【答案】D3．【答案】A4．【答案】A5．【答案】D6．【答案】C二．填空题7．【答案】64a8．【答案】09．10．【答案】14m ＞11．【答案】1312．【答案】5613．【答案】62y x =-+14．【答案】9015．【答案】12016．【答案】2a b +17．【答案】218．【答案】53三、解答题19．【答案】原式1243--+-=-。
20．【答案】解：去分母，得22282x x x -=-。
移项、整理得2280x x +-=。
解这个方程，得12x =，24x =-。
经检验：12x =是增根，舍去；24x =-是原方程的根。
所以，原方程的根是4x =-。
21．【答案】解：（1）设一次函数解析式为y kx b =+（0k ≠）。
一次函数的图像平行于直线12y x =，12k ∴=。
又 一次函数的图像经过点()2,3A ，1322b ∴=⨯+，解得2b =。
所以，所求一次函数的解析式是122y x =+。
（2）由122y x =+，令0y =，得1202x +=，解得4x =-。
∴一次函数的图像与x 轴的交点为()4,0B -。
点C 在y 轴上，∴设点C 的坐标为()0,y 。
由AC BC =12y =-。
经检验：12y =-是原方程的根。
∴点C 的坐标是10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭。
22．【答案】解：（1）过点D '作D H BC '⊥，垂足为点H ，交AD 于点F 。
由题意，得90 AD AD '==（厘米），60DAD '∠= 。
四边形ABCD 是矩形，AD BC ∴ ，90AFD BHD ''∴∠=∠= 。
在Rt AD F '△中，sin 90sin 60D F AD DAD '''=∠=⨯= （厘米）。
又40 CE = （厘米），30 DE =（厘米），70 FH DC DE CE ∴==+=（厘米）。
2019年上海市初中毕业统一学业考试数学试卷及参考答案
2019年上海市初中毕业统一学业考试数学试卷一、选择题（每小题4分，共24分）1 B ）．(A)； (B)； (C) (D)2．据统计，2013年上海市全社会用于环境保护的资金约为60 800 000 000元，这个数用科学记数法表示为（C ）．(A)608×108； (B) 60.8×109； (C) 6.08×1010； (D) 6.08×1011． 3．如果将抛物线y ＝x 2向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是（ C ）． (A) y ＝x 2－1； (B) y ＝x 2＋1； (C) y ＝(x －1)2； (D) y ＝(x ＋1)2．4．如图，已知直线a 、b 被直线c 所截，那么∠1的同位角是（ A ）．（此题图可能有问题） (A) ∠2； (B) ∠3； (C) ∠4； (D) ∠5．5．某事测得一周PM2.5的日均值（单位：）如下：50， 40， 75， 50， 37， 50， 40 ，这组数据的中位数和众数分别是（A ）． (A)50和50； (B)50和40； (C)40和50； (D)40和40．6．如图，已知AC 、BD 是菱形ABCD 的对角线，那么下列结论一定正确的是（ B ）． (A)△ABD 与△ABC 的周长相等；(B)△ABD 与△ABC 的面积相等；(C)菱形的周长等于两条对角线之和的两倍； (D)菱形的面积等于两条对角线之积的两倍． 二、填空题（每小题4分，共48分） 7．计算：a (a ＋1)＝2a a +． 8．函数11y x =-的定义域是1x ≠． 9．不等式组12,28x x ->⎧⎨<⎩的解集是34x ．10．某文具店二月份销售各种水笔320支，三月份销售各种水笔的支数比二月份增长了10%，那么该文具店三月份销售各种水笔352支．11．如果关于x 的方程x 2－2x ＋k ＝0（k 为常数）有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是1k．12．已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i＝1∶2.4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为26米．13．如果从初三（1）、（2）、（3）班中随机抽取一个班与初三（4）班进行一场拔河比赛，那么恰好抽到初三（1）班的概率是13．14．已知反比例函数kyx=（k是常数，k≠0），在其图像所在的每一个象限内，y的值随着x的值的增大而增大，那么这个反比例函数的解析式是1(0y kx=-即可）（只需写一个）．15．如图，已知在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，且AB＝3EB．设AB a=，BC b=，那么DE＝23a b-（结果用a、b表示）．16．甲、乙、丙三人进行飞镖比赛，已知他们每人五次投得的成绩如图所示，那么三人中成绩最稳定的是乙．17．一组数：2，1，3，x，7，y，23，…，满足“从第三个数起，前两个数依次为a、b，紧随其后的数就是2a－b”，例如这组数中的第三个数“3”是由“2×2－1”得到的，那么这组数中y表示的数为-9．18．如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE＝2CE，将矩形沿着过点E的直线翻折后，点C、D分别落在边BC下方的点C′、D′处，且点C′、D′、B在同一条直线上，折痕与边AD交于点F，D′F与BE交于点G．设AB＝t，那么△EFG的周长为（用含t的代数式表示）．三、解答题（本题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）1382--+-=20．（本题满分10分）解方程：2121111xx x x+-=--+．0;1(x x==舍）21．（本题满分10分，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分3分）已知水银体温计的读数y（℃）与水银柱的长度x（cm）之间是一次函数关系．现有一支水银体温计，其部分刻度线不清晰（如图），表中记录的是该体温计部分清晰刻度线及其对应（1）求y关于x的函数关系式（不需要写出函数的定义域）； 1.2529.75y x=+（2）用该体温计测体温时，水银柱的长度为6.2cm，求此时体温计的读数．37.522．（本题满分10分，每小题满分各5分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE 分别与CD、CB相交于点H、E，AH＝2CH．（1）求sin B的值；,sinB sinCAE5B DCB CAE∠=∠=∠∴==（2）如果CD ，求BE的值．5;cos4;25sin2tanCAE13CD ABBC B AC BCE ACBE BC CE=∴=∴====∴==∴=-=23．（本题满分12分，每小题满分各6分）已知：如图，梯形ABCD 中，AD//BC，AB＝DC，对角线AC、BD相交于点F，点E是边BC延长线上一点，且∠CDE＝∠ABD．（1）求证：四边形ACED是平行四边形；,//DE//,,ABCD ADB DACA CDE ABDCDE ACAD CE ADECBD DCADCA∠∴∆≅∆∴∠=∠=∠∠∴∴∠∴＝等腰梯形，为为（2）联结AE ，交BD 于点G ，求证：DG DFGB DB=． //,;,,;DG AD DF ADAD BC GB BE FB BCDF AD DF ADFB BC DF FB AD BCADEC AD CE AD BC BE DF AD DF AD DF FB AD BC DB BE DG DF GB DB ∴===∴=++∴=∴+=∴=⇒=++∴=为24．（本题满分12分，每小题满分各4分） 在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线223y x bx c =++与x 轴交于点A (－1,0)和点B ，与y 轴交于点C(0,－2)．（1）求该抛物线的表达式，并写出其对称轴； （2）点E 为该抛物线的对称轴与x 轴的交点，点F 在对称轴上，四边形ACEF 为梯形，求点F 的坐标；（3）点D 为该抛物线的顶点，设点P (t , 0)，且t ＞3，如果△BDP 和△CDP 的面积相等，求t 的值．25．（本题满分14分，第（1）小题满分3分，第（1）小题满分5分，第（1）小题满分6分）如图1，已知在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，cos B＝45，点P是边BC上的动点，以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F（点F在点E的右侧），射线CE与射线BA交于点G．（1）当圆C经过点A时，求CP的长；（2）联结AP，当AP//CG时，求弦EF的长；（3）当△AGE是等腰三角形时，求圆C的半径长．图1 备用图。
2019年上海市中考数学试题(Word版-含解析)
2019年上海市中考数学试卷一、选择题：（本大题共6题.每题4分，满分24【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）下列运算正确的是（）A．3x+2x＝5x2B．3x﹣2x＝x C．3x•2x＝6x D．3x÷2x=2 32．（4分）如果m＞n，那么下列结论错误的是（）A．m+2＞n+2 B．m﹣2＞n﹣2 C．2m＞2n D．﹣2m＞﹣2n 3．（4分）下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（）A．y=x3B．y=−x3C．y=3x D．y=−3x4．（4分）甲、乙两名同学本学期五次引体向上的测试成绩（个数）成绩如图所示，下列判断正确的是（）A．甲的成绩比乙稳定B．甲的最好成绩比乙高C．甲的成绩的平均数比乙大D．甲的成绩的中位数比乙大5．（4分）下列命题中，假命题是（）A．矩形的对角线相等B．矩形对角线交点到四个顶点的距离相等C．矩形的对角线互相平分D．矩形对角线交点到四条边的距离相等6．（4分）已知⊙A与⊙B外切，⊙C与⊙A、⊙B都内切，且AB＝5，AC＝6，BC＝7，那么⊙C的半径长是（）A．11 B．10 C．9 D．8二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答纸的相应位置上】7．（4分）计算：（2a 2）2＝ ．8．（4分）已知f （x ）＝x 2﹣1，那么f （﹣1）＝ ．9．（4分）如果一个正方形的面积是3，那么它的边长是 ．10．（4分）如果关于x 的方程x 2﹣x +m ＝0没有实数根，那么实数m 的取值范围是 ．11．（4分）一枚材质均匀的骰子，六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6，投这个骰子，掷的点数大于4的概率是 ．12．（4分）《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，1大桶加1小桶共盛斛米．（注：斛是古代一种容量单位）13．（4分）在登山过程中，海拔每升高1千米，气温下降6℃，已知某登山大本营所在的位置的气温是2℃，登山队员从大本营出发登山，当海拔升高x 千米时，所在位置的气温是y ℃，那么y 关于x 的函数解析式是 ．14．（4分）小明为了解所在小区居民各类生活垃圾的投放情况，他随机调查了该小区50户家庭某一天各类生活垃圾的投放量，统计得出这50户家庭各类生活垃圾的投放总量是100千克，并画出各类生活垃圾投放量分布情况的扇形图（如图所示），根据以上信息，估计该小区300户居民这一天投放的可回收垃圾共约 千克．15．（4分）如图，已知直线11∥l 2，含30°角的三角板的直角顶点C 在l 1上，30°角的顶点A 在l 2上，如果边AB 与l 1的交点D 是AB 的中点，那么∠1＝ 度．16．（4分）如图，在正边形ABCDEF 中，设BA →=a →，BC →=b →，那么向量BF →用向量a →、b →表示为 ．17．（4分）如图，在正方形ABCD中，E是边AD的中点．将△ABE沿直线BE翻折，点A落在点F处，联结DF，那么∠EDF的正切值是．18．（4分）在△ABC和△A1B1C1中，已知∠C＝∠C1＝90°，AC＝A1C1＝3，BC＝4，B1C1＝2，点D、D1分别在边AB、A1B1上，且△ACD≌△C1A1D1，那么AD的长是．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：|√3−1|−√2×√62−3−82320．（10分）解方程：2xx−2−8x2−2x=121．（10分）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知一次函数的图象平行于直线y=12x，且经过点A（2，3），与x轴交于点B．（1）求这个一次函数的解析式；（2）设点C在y轴上，当AC＝BC时，求点C的坐标．22．（10分）图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE落在AD′E′的位置（如图2所示）．已知AD＝90厘米，DE＝30厘米，EC＝40厘米．（1）求点D′到BC的距离；（2）求E、E′两点的距离．23．（12分）已知：如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，D是AO延长线上一点，联结BD并延长交⊙O于点E，联结CD并延长交⊙O于点F．（1）求证：BD＝CD；（2）如果AB2＝AO•AD，求证：四边形ABDC是菱形．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝x2﹣2x，其顶点为A．（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况；（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．①试求抛物线y＝x2﹣2x的“不动点”的坐标；②平移抛物线y＝x2﹣2x，使所得新抛物线的顶点B是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x轴交于点C，且四边形OABC是梯形，求新抛物线的表达式．25．（14分）如图1，AD 、BD 分别是△ABC 的内角∠BAC 、∠ABC 的平分线，过点A 作AE ⊥AD ，交BD 的延长线于点E ．（1）求证：∠E ═12∠C ； （2）如图2，如果AE ＝AB ，且BD ：DE ＝2：3，求cos ∠ABC 的值；（3）如果∠ABC 是锐角，且△ABC 与△ADE 相似，求∠ABC 的度数，并直接写出S △ADES △ABC 的值．2019年上海市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题.每题4分，满分24【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．【解答】解：（A ）原式＝5x ，故A 错误；（C ）原式＝6x 2，故C 错误；（D ）原式=32，故D 错误；故选：B ．2．【解答】解：∵m ＞n ，∴﹣2m ＜﹣2n ，故选：D ．3．【解答】解：A 、该函数图象是直线，位于第一、三象限，y 随x 的增大而增大，故本选项正确． B 、该函数图象是直线，位于第二、四象限，y 随x 的增大而减小，故本选项错误．C 、该函数图象是双曲线，位于第一、三象限，在每一象限内，y 随x 的增大而减小，故本选项错误．D 、该函数图象是双曲线，位于第二、四象限，在每一象限内，y 随x 的增大而增大，故本选项错误． 故选：A ．4．【解答】解：甲同学的成绩依次为：7、8、8、8、9，则其中位数为8，平均数为8，方差为15×[（7﹣8）2+3×（8﹣8）2+（9﹣8）2]＝0.4； 乙同学的成绩依次为：6、7、8、9、10，则其中位数为8，平均数为8，方差为15×[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝2， ∴甲的成绩比乙稳定，甲、乙的平均成绩和中位数均相等，甲的最好成绩比乙低，故选：A ．5．【解答】解：A 、矩形的对角线相等，正确，是真命题；B 、矩形的对角线的交点到四个顶点的距离相等，正确，是真命题；C 、矩形的对角线互相平分，正确，是真命题；D 、矩形的对角线的交点到一组对边的距离相等，故错误，是假命题，故选：D ．6．【解答】解：如图，设⊙A ，⊙B ，⊙C 的半径为x ，y ，z ．由题意：{x +y =5z −x =6z −y =7，解得{x =3y =2z =9，故选：C ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答纸的相应位置上】7．【解答】解：（2a 2）2＝22a 4＝4a 4．8．【解答】解：当x ＝﹣1时，f （﹣1）＝（﹣1）2﹣1＝0．故答案为：0．9．【解答】解：∵正方形的面积是3，∴它的边长是√3．故答案为：√310．【解答】解：由题意知△＝1﹣4m ＜0，∴m ＞14．故填空答案：m ＞14．11．【解答】解：∵在这6种情况中，掷的点数大于4的有2种结果，∴掷的点数大于4的概率为26=13， 故答案为：13． 12．【解答】解：设1个大桶可以盛米x 斛，1个小桶可以盛米y 斛，则{5x +y =3x +5y =2， 故5x +x +y +5y ＝5，则x +y =56．答：1大桶加1小桶共盛56斛米． 故答案为：56． 13．【解答】解：由题意得y 与x 之间的函数关系式为：y ＝﹣6x +2．故答案为：y ＝﹣6x +2．14．【解答】解：估计该小区300户居民这一天投放的可回收垃圾共约30050×100×15%＝90（千克），故答案为：90．15．【解答】解：∵D 是斜边AB 的中点，∴DA ＝DC ，∴∠DCA ＝∠DAC ＝30°，∴∠2＝∠DCA +∠DAC ＝60°，∵11∥l 2，∴∠1+∠2＝180°，∴∠1＝180°﹣60°＝120°．故答案为120．16．【解答】解：连接CF ．∵多边形ABCDEF 是正六边形，AB ∥CF ，CF ＝2BA ，∴CF →=a →，∵BF →=BC →+CF →，∴BF →=2a →+b →，故答案为2a →+b →．17．【解答】解：如图所示，由折叠可得AE ＝FE ，∠AEB ＝∠FEB =12∠AEF ，∵正方形ABCD 中，E 是AD 的中点，∴AE ＝DE =12AD =12AB ，∴DE ＝FE ，∴∠EDF ＝∠EFD ，又∵∠AEF 是△DEF 的外角，∴∠AEF ＝∠EDF +∠EFD ，∴∠EDF =12∠AEF ，∴∠AEB ＝∠EDF ，∴tan ∠EDF ＝tan ∠AEB =AB AE =2．故答案为：2．18．【解答】解：如图，∵在△ABC 和△A 1B 1C 1中，∠C ＝∠C 1＝90°，AC ＝A 1C 1＝3，BC ＝4，B 1C 1＝2，∴AB =√32+42=5，设AD ＝x ，则BD ＝5﹣x ，∵△ACD ≌△C 1A 1D 1，∴C 1D 1＝AD ＝x ，∠A 1C 1D 1＝∠A ，∠A 1D 1C 1＝∠CDA ，∴∠C 1D 1B 1＝∠BDC ，∵∠B ＝90°﹣∠A ，∠B 1C 1D 1＝90°﹣∠A 1C 1D 1，∴∠B 1C 1D 1＝∠B ，∴△C 1B 1D ∽△BCD ，∴BDC 1D 1=BC C 1B 1，即5−x x =2，解得x =53，∴AD 的长为53， 故答案为53．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．【解答】解：|√3−1|−√2×√6+2−3823 =√3−1﹣2√3+2+√3−4＝﹣320．【解答】解：去分母得：2x 2﹣8＝x 2﹣2x ，即x 2+2x ﹣8＝0，分解因式得：（x ﹣2）（x +4）＝0，解得：x ＝2或x ＝﹣4，经检验x ＝2是增根，分式方程的解为x ＝﹣4．21．【解答】解：（1）设一次函数的解析式为：y ＝kx +b ， ∵一次函数的图象平行于直线y =12x ， ∴k =12，∵一次函数的图象经过点A （2，3）， ∴3=12×2+b ， ∴b ＝2， ∴一次函数的解析式为y =12x +2；（2）由y =12x +2，令y ＝0，得12x +2＝0， ∴x ＝﹣4，∴一次函数的图形与x 轴的解得为B （﹣4，0），∵点C 在y 轴上，∴设点C 的坐标为（﹣4，y ）， ∵AC ＝BC ，∴√(2−0)2+(3−y)2=√(−4−0)2+(0−y)2，∴y=−1 2，经检验：y=−12是原方程的根，∴点C的坐标是（0，−1 2）．22．【解答】解：（1）过点D′作D′H⊥BC，垂足为点H，交AD于点F，如图3所示．由题意，得：AD′＝AD＝90厘米，∠DAD′＝60°．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AFD′＝∠BHD′＝90°．在Rt△AD′F中，D′F＝AD′•sin∠DAD′＝90×sin60°＝45√3厘米．又∵CE＝40厘米，DE＝30厘米，∴FH＝DC＝DE+CE＝70厘米，∴D′H＝D′F+FH＝（45√3+70）厘米．答：点D′到BC的距离为（45√3+70）厘米．（2）连接AE，AE′，EE′，如图4所示．由题意，得：AE′＝AE，∠EAE′＝60°，∴△AEE′是等边三角形，∴EE′＝AE．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADE＝90°．在Rt△ADE中，AD＝90厘米，DE＝30厘米，∴AE=√AD2+DE2=30√10厘米，∴EE′＝30√10厘米．答：E、E′两点的距离是30√10厘米．23．【解答】证明：（1）如图1，连接BC，OB，OD，∵AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，∴A在BC的垂直平分线上，∵OB＝OA＝OD，∴O在BC的垂直平分线上，∴AO垂直平分BC，∴BD＝CD；（2）如图2，连接OB，∵AB 2＝AO •AD ，∴AB AO =AD AB ，∵∠BAO ＝∠DAB ，∴△ABO ∽△ADB ，∴∠OBA ＝∠ADB ，∵OA ＝OB ，∴∠OBA ＝∠OAB ，∴∠OAB ＝∠BDA ，∴AB ＝BD ，∵AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AB ＝AC ＝BD ＝CD ，∴四边形ABDC 是菱形．24．【解答】解：（1）∵a ＝1＞0，故该抛物线开口向上，顶点A 的坐标为（1，﹣1）；（2）①设抛物线“不动点”坐标为（t ，t ），则t ＝t 2﹣2t ，解得：t ＝0或3，故“不动点”坐标为（0，0）或（3，3）；②∵新抛物线顶点B 为“不动点”，则设点B （m ，m ），∴新抛物线的对称轴为：x ＝m ，与x 轴的交点C （m ，0），∵四边形OABC 是梯形，∴直线x ＝m 在y 轴左侧，∵BC 与OA 不平行，∴OC ∥AB ，又∵点A（1，﹣1），点B（m，m），∴m＝﹣1，故新抛物线是由抛物线y＝x2﹣2x向左平移2个单位得到的，∴新抛物线的表达式为：y＝（x+1）2﹣1．25．【解答】（1）证明：如图1中，∵AE⊥AD，∴∠DAE＝90°，∠E＝90°﹣∠ADE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=12∠BAC，同理∠ABD=12∠ABC，∵∠ADE＝∠BAD+∠DBA，∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠C，∴∠ADE=12（∠ABC+∠BAC）＝90°−12∠C，∴∠E＝90°﹣（90°−12∠C）=12∠C．（2）解：延长AD交BC于点F．∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠E，BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠E＝∠CBE，∴AE ∥BC ，∴∠AFB ＝∠EAD ＝90°，BF AF =BD DE ， ∵BD ：DE ＝2：3，∴cos ∠ABC =BF AB =BF AE =23．（3）∵△ABC 与△ADE 相似，∠DAE ＝90°，∴∠ABC 中必有一个内角为90°∵∠ABC 是锐角，∴∠ABC ≠90°．①当∠BAC ＝∠DAE ＝90°时，∵∠E =12∠C ，∴∠ABC ＝∠E =12∠C ，∵∠ABC +∠C ＝90°，∴∠ABC ＝30°，此时S △ADES △ABC =2−√3．②当∠C ＝∠DAE ＝90°时，∠E =12∠C ＝45°，∴∠EDA ＝45°，∵△ABC 与△ADE 相似，∴∠ABC ＝45°，此时S △ADES △ABC =2−√2．综上所述，∠ABC ＝30°或45°，S △ADES △ABC =2−√3或2−√2．（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
2019年上海市中考数学试题解析(精校版)
2019年上海市中考数学试题解析一、选择题：（本大题共6题.每题4分，满分24分。
下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上） 1．（4分）下列运算正确的是（ ） A ．3x +2x ＝5x 2B ．3x ﹣2x ＝xC ．3x •2x ＝6xD ．3x ÷2x =23解析：（A ）原式＝5x ，故A 错误；（C ）原式＝6x 2，故C 错误；（D ）原式=32，故D 错误；故选：B ． 2．（4分）如果m ＞n ，那么下列结论错误的是（ ） A ．m +2＞n +2B ．m ﹣2＞n ﹣2C ．2m ＞2nD ．﹣2m ＞﹣2n解析：∵m ＞n ，∴﹣2m ＜﹣2n ，故选：D ．3．（4分）下列函数中，函数值y 随自变量x 的值增大而增大的是（ ） A ．y =x3B ．y =−x 3C ．y =3xD ．y =−3x解析：A 、该函数图象是直线，位于第一、三象限，y 随x 的增大而增大，故本选项正确．B 、该函数图象是直线，位于第二、四象限，y 随x 的增大而减小，故本选项错误．C 、该函数图象是双曲线，位于第一、三象限，在每一象限内，y 随x 的增大而减小，故本选项错误．D 、该函数图象是双曲线，位于第二、四象限，在每一象限内，y 随x 的增大而增大，故本选项错误．故选：A ．4．（4分）甲、乙两名同学本学期五次引体向上的测试成绩（个数）成绩如图所示，下列判断正确的是（ ）A ．甲的成绩比乙稳定B ．甲的最好成绩比乙高C ．甲的成绩的平均数比乙大D ．甲的成绩的中位数比乙大解析：甲同学的成绩依次为：7、8、8、8、9，则其中位数为8，平均数为8，方差为15×[（7﹣8）2+3×（8﹣8）2+（9﹣8）2]＝0.4；乙同学的成绩依次为：6、7、8、9、10，则其中位数为8，平均数为8，方差为15×[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝2，∴甲的成绩比乙稳定，甲、乙的平均成绩和中位数均相等，甲的最好成绩比乙低， 故选：A ．5．（4分）下列命题中，假命题是（ ） A ．矩形的对角线相等B ．矩形对角线交点到四个顶点的距离相等C ．矩形的对角线互相平分D ．矩形对角线交点到四条边的距离相等 解析：A 、矩形的对角线相等，正确，是真命题；B 、矩形的对角线的交点到四个顶点的距离相等，正确，是真命题；C 、矩形的对角线互相平分，正确，是真命题；D 、矩形的对角线的交点到一组对边的距离相等，故错误，是假命题，故选：D ．6．（4分）已知⊙A 与⊙B 外切，⊙C 与⊙A 、⊙B 都内切，且AB ＝5，AC ＝6，BC ＝7，那么⊙C 的半径长是（ ） A ．11B ．10C ．9D ．8解析：如图，设⊙A ，⊙B ，⊙C 的半径为x ，y ，z ．由题意：{x +y =5z −x =6z −y =7，解得{x =3y =2z =9，故选：C ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分。
上海市2019年中考数学试卷(解析版)
B、∵﹣ ，∴抛物线的对称轴为直线 x= ，选项 B 不正确；
1
上海市 2019 年中考数学试卷(解析版)
C、当 x=0 时，y=x2﹣x=0，∴抛物线经过原点，选项 C 正确； D、∵a＞0，抛物线的对称轴为直线 x= ，
∴当 x＞ 时，y 随 x 值的增大而增大，选项 D 不正确， 故选 C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质：二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0），对称轴直线 x=- ，当 a＞0 时，抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，当 a＜0 时，抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下， c=0 时抛物线经过原点，熟练掌握相关知识是解题的关键. 4. 据统计，某住宅楼 30 户居民五月份最后一周每天实行垃圾分类的户数依次是： 27，30，29，25，26，28，29，那么这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 25 和 30 B. 25 和 29 C. 28 和 30 D. 28 和 29 【答案】D 【解析】【分析】根据中位数和众数的定义进行求解即可得答案. 【详解】对这组数据重新排列顺序得，25，26，27，28，29，29，30， 处于最中间是数是 28， ∴这组数据的中位数是 28， 在这组数据中，29 出现的次数最多， ∴这组数据的众数是 29， 故选 D． 【点睛】本题考查了中位数和众数的概念，熟练掌握众数和中位数的概念是解题的关键.一组数据 中出现次数最多的数据叫做众数，一组数据按从小到大（或从大到小）排序后，位于最中间的数 （或中间两数的平均数）是这组数据的中位数. 5. 已知平行四边形 ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（ ） A. ∠A=∠B B. ∠A=∠C C. AC=BD D. AB⊥BC 【答案】B 【解析】【分析】由矩形的判定方法即可得出答案． 【详解】A、∠A=∠B，∠A+∠B=180°，所以∠A=∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形， 正确； B、∠A=∠C 不能判定这个平行四边形为矩形，错误；
2019年上海市初中毕业生统一学业考试数学试卷及答案
2019年上海市初中毕业生统一学业考试数学试卷（满分150分，考试时间100分钟）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） （A ） 9； （B ）7 ； （C ） 20 ； （D ）13． 2．下列关于x 的一元二次方程有实数根的是（ ）（A ）210x +=；（B ）210x x ++=；（C ）210x x -+= ；（D ）210x x --=． 3．如果将抛物线22y x =+向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（ ） （A ）2(1)2y x =-+；（B ）2(1)2y x =++； （C ）21y x =+；（D ）23y x =+． 4．数据 0，1，1，3，3，4 的中位线和平均数分别是（ ）（A ） 2和2.4 ； （B ）2和2 ； （C ）1和2； （D ）3和2． 5．如图1，已知在△ABC 中，点D 、E 、F 分别是边AB 、AC 、BC 上的点， DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD ∶DB = 3∶5，那么CF ∶CB 等于（ ） （A ） 5∶8 ； （B ）3∶8 ； （C ） 3∶5 ； （D ）2∶5． 6．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 和BD 交于点O ，下列条件中， 能判断梯形ABCD 是等腰梯形的是（ ）（A ）∠BDC =∠BCD ；（B ）∠ABC =∠DAB ；（C ）∠ADB =∠DAC ；（D ）∠AOB =∠BOC ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．因式分解：21a - = _____________．8．不等式组1023x x x->⎧⎨+>⎩ 的解集是____________．9．计算：23b aa b⨯= ___________． 10．计算：2 (a ─b ) + 3b = ___________．11．已知函数 ()231x f x =+，那么f = __________．12．将“定理”的英文单词theorem 中的7个字母分别写在7张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌子图1上，任取一张，那么取到字母e 的概率为___________．13．某校报名参加甲、乙、丙、丁四个兴趣小组的学生人数如图2所示，那么报名参加甲组和丙组的人数之和占所有报名人数的百分比为___________．14．在⊙O 中，已知半径长为3，弦AB 长为4，那么圆心O 到AB 的距离为___________．15．如图3，在△ABC 和△DEF 中，点B 、F 、C 、E 在同一直线上，BF = CE ，AC ∥DF ，请添加一个条件，使△ABC ≌△DEF ，这个添加的条件可以是____________．（只需写一个，不添加辅助线） 16．李老师开车从甲地到相距240千米的乙地，如果邮箱剩余油量 y （升）与行驶里程 x （千米）之间是一次函数关系，其图像如图4所示，那么到达乙地时邮箱剩余油量是__________升．17．当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为__________．18．如图5，在△ABC 中，AB AC =，8BC =， tan C = 32 ，如果将△ABC沿直线l 翻折后，点B 落在边AC 的中点处，直线l 与边BC 交于点D ， 那么BD 的长为__________．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）（本大题共7题，19~22题10分，23、24题12分，25题14分，满分48分） 190111()2π--+ ．20．解方程组： 22220x y x xy y -=-⎧⎨--=⎩．21．已知平面直角坐标系xoy （如图6），直线 12y x b =+经过第一、二、三象限，与y 轴交于点B ，图2)y (升)图4图5点A （2，t ）在这条直线上，联结AO ，△AOB 的面积等于1． （1）求b 的值； （2）如果反比例函数ky x=（k 是常量，0k ≠） 的图像经过点A ，求这个反比例函数的解析式．22．某地下车库出口处“两段式栏杆”如图7-1所示，点A 是栏杆转动的支点，点E 是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆AEF 升起后的位置如图7-2所示，其示意图如图7-3所示，其中AB ⊥BC ，EF ∥BC ，0143EAB ∠=， 1.2AB AE ==米，求当车辆经过时，栏杆EF 段距离地面的高度（即直线EF 上任意一点到直线BC 的距离）．（结果精确到0.1米，栏杆宽度忽略不计参考数据：sin 37° ≈ 0.60，cos 37° ≈ 0.80，tan 37° ≈ 0.75．）23．如图8，在△ABC 中， 90=∠ACB ， B A ∠>∠，点D 为边AB 的中点，DE BC ∥交AC 于点E ，CF AB ∥交DE 的延长线于点F ．图7-1 图7-2图7-3A EFAEFA E FBC（1）求证：DE EF =；（2）联结CD ，过点D 作DC 的垂线交CF 的 延长线于点G ，求证：B A DGC ∠=∠+∠．24．如图9，在平面直角坐标系xoy 中，顶点为M 的抛物线2(0y ax bx a =+>）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO OB == 2，0120AOB ∠=． （1）求这条抛物线的表达式； （2）联结OM ，求AOM ∠的大小；（3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标．25．在矩形ABCD 中，点P 是边AD 上的动点，联结BP ，线段BP 的垂直平分线交边BC 于点Q ， 垂足为点M ，联结QP （如图10）．已知13AD =，5AB =，设AP x BQ y ==，． （1）求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；图9（2）当以AP 长为半径的⊙P 和以QC 长为半径的⊙Q 外切时，求x 的值；（3）点E 在边CD 上，过点E 作直线QP 的垂线，垂足为F ，如果4EF EC ==，求x 的值．图10备用图。
2019年上海市中考(初中毕业统一学业考试)数学试题(教师版含解析)
2019年上海市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题.每题4分，满分24【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．【解答】解：（A ）原式＝5x ，故A 错误；（C ）原式＝6x 2，故C 错误；（D ）原式=32，故D 错误；故选：B ．2．【解答】解：∵m ＞n ，∴﹣2m ＜﹣2n ，故选：D ．3．【解答】解：A 、该函数图象是直线，位于第一、三象限，y 随x 的增大而增大，故本选项正确． B 、该函数图象是直线，位于第二、四象限，y 随x 的增大而减小，故本选项错误．C 、该函数图象是双曲线，位于第一、三象限，在每一象限内，y 随x 的增大而减小，故本选项错误．D 、该函数图象是双曲线，位于第二、四象限，在每一象限内，y 随x 的增大而增大，故本选项错误． 故选：A ．4．【解答】解：甲同学的成绩依次为：7、8、8、8、9，则其中位数为8，平均数为8，方差为15×[（7﹣8）2+3×（8﹣8）2+（9﹣8）2]＝0.4； 乙同学的成绩依次为：6、7、8、9、10，则其中位数为8，平均数为8，方差为15×[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝2，∴甲的成绩比乙稳定，甲、乙的平均成绩和中位数均相等，甲的最好成绩比乙低，故选：A ．5．【解答】解：A 、矩形的对角线相等，正确，是真命题；B 、矩形的对角线的交点到四个顶点的距离相等，正确，是真命题；C 、矩形的对角线互相平分，正确，是真命题；D 、矩形的对角线的交点到一组对边的距离相等，故错误，是假命题，故选：D ．6．【解答】解：如图，设⊙A ，⊙B ，⊙C 的半径为x ，y ，z ．由题意：{x +y =5z −x =6z −y =7， 解得{x =3y =2z =9，故选：C ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答纸的相应位置上】7．【解答】解：（2a 2）2＝22a 4＝4a 4．8．【解答】解：当x ＝﹣1时，f （﹣1）＝（﹣1）2﹣1＝0．故答案为：0．9．【解答】解：∵正方形的面积是3，∴它的边长是√3．故答案为：√310．【解答】解：由题意知△＝1﹣4m ＜0，∴m ＞14．故填空答案：m ＞14．11．【解答】解：∵在这6种情况中，掷的点数大于4的有2种结果，∴掷的点数大于4的概率为26=13， 故答案为：13． 12．【解答】解：设1个大桶可以盛米x 斛，1个小桶可以盛米y 斛，则{5x +y =3x +5y =2， 故5x +x +y +5y ＝5，则x +y =56．答：1大桶加1小桶共盛56斛米． 故答案为：56． 13．【解答】解：由题意得y 与x 之间的函数关系式为：y ＝﹣6x +2．故答案为：y ＝﹣6x +2．14．【解答】解：估计该小区300户居民这一天投放的可回收垃圾共约30050×100×15%＝90（千克），故答案为：90．15．【解答】解：∵D 是斜边AB 的中点，∴DA ＝DC ，∴∠DCA ＝∠DAC ＝30°，∴∠2＝∠DCA +∠DAC ＝60°，∵11∥l 2，∴∠1+∠2＝180°，∴∠1＝180°﹣60°＝120°．故答案为120．16．【解答】解：连接CF ．∵多边形ABCDEF 是正六边形，AB ∥CF ，CF ＝2BA ，∴CF →=a →，∵BF →=BC →+CF →，∴BF →=2a →+b →，故答案为2a →+b →．17．【解答】解：如图所示，由折叠可得AE ＝FE ，∠AEB ＝∠FEB =12∠AEF ， ∵正方形ABCD 中，E 是AD 的中点，∴AE ＝DE =12AD =12AB ，∴DE ＝FE ，∴∠EDF ＝∠EFD ，又∵∠AEF 是△DEF 的外角，∴∠AEF ＝∠EDF +∠EFD ，∴∠EDF =12∠AEF ，∴∠AEB ＝∠EDF ，∴tan ∠EDF ＝tan ∠AEB =AB AE =2．故答案为：2．18．【解答】解：如图，∵在△ABC 和△A 1B 1C 1中，∠C ＝∠C 1＝90°，AC ＝A 1C 1＝3，BC ＝4，B 1C 1＝2，∴AB =√32+42=5，设AD ＝x ，则BD ＝5﹣x ，∵△ACD ≌△C 1A 1D 1，∴C 1D 1＝AD ＝x ，∠A 1C 1D 1＝∠A ，∠A 1D 1C 1＝∠CDA ，∴∠C 1D 1B 1＝∠BDC ，∵∠B ＝90°﹣∠A ，∠B 1C 1D 1＝90°﹣∠A 1C 1D 1，∴∠B 1C 1D 1＝∠B ，∴△C 1B 1D ∽△BCD ，∴BDC 1D 1=BC C 1B 1，即5−x x =2， 解得x =53，∴AD 的长为53， 故答案为53．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．【解答】解：|√3−1|−√2×√6+2−√3823 =√3−1﹣2√3+2+√3−4＝﹣320．【解答】解：去分母得：2x 2﹣8＝x 2﹣2x ，即x 2+2x ﹣8＝0，分解因式得：（x ﹣2）（x +4）＝0，解得：x ＝2或x ＝﹣4，经检验x ＝2是增根，分式方程的解为x ＝﹣4．21．【解答】解：（1）设一次函数的解析式为：y ＝kx +b ， ∵一次函数的图象平行于直线y =12x ， ∴k =12，∵一次函数的图象经过点A （2，3）， ∴3=12×2+b ，∴b ＝2， ∴一次函数的解析式为y =12x +2；（2）由y =12x +2，令y ＝0，得12x +2＝0， ∴x ＝﹣4，∴一次函数的图形与x 轴的解得为B （﹣4，0），∵点C在y轴上，∴设点C的坐标为（﹣4，y），∵AC＝BC，∴√(2−0)2+(3−y)2=√(−4−0)2+(0−y)2，∴y=−12，经检验：y=−12是原方程的根，∴点C的坐标是（0，−12）．22．【解答】解：（1）过点D′作D′H⊥BC，垂足为点H，交AD于点F，如图3所示．由题意，得：AD′＝AD＝90厘米，∠DAD′＝60°．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AFD′＝∠BHD′＝90°．在Rt△AD′F中，D′F＝AD′•sin∠DAD′＝90×sin60°＝45√3厘米．又∵CE＝40厘米，DE＝30厘米，∴FH＝DC＝DE+CE＝70厘米，∴D′H＝D′F+FH＝（45√3+70）厘米．答：点D′到BC的距离为（45√3+70）厘米．（2）连接AE，AE′，EE′，如图4所示．由题意，得：AE′＝AE，∠EAE′＝60°，∴△AEE′是等边三角形，∴EE′＝AE．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADE＝90°．在Rt△ADE中，AD＝90厘米，DE＝30厘米，∴AE=√AD2+DE2=30√10厘米，∴EE′＝30√10厘米．答：E、E′两点的距离是30√10厘米．23．【解答】证明：（1）如图1，连接BC，OB，OD，∵AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，∴A在BC的垂直平分线上，∵OB＝OA＝OD，∴O在BC的垂直平分线上，∴AO垂直平分BC，∴BD＝CD；（2）如图2，连接OB，∵AB 2＝AO •AD ，∴AB AO =AD AB ，∵∠BAO ＝∠DAB ，∴△ABO ∽△ADB ，∴∠OBA ＝∠ADB ，∵OA ＝OB ，∴∠OBA ＝∠OAB ，∴∠OAB ＝∠BDA ，∴AB ＝BD ，∵AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AB ＝AC ＝BD ＝CD ，∴四边形ABDC 是菱形．24．【解答】解：（1）∵a ＝1＞0，故该抛物线开口向上，顶点A 的坐标为（1，﹣1）；（2）①设抛物线“不动点”坐标为（t ，t ），则t ＝t 2﹣2t ， 解得：t ＝0或3，故“不动点”坐标为（0，0）或（3，3）；②∵新抛物线顶点B 为“不动点”，则设点B （m ，m ）， ∴新抛物线的对称轴为：x ＝m ，与x 轴的交点C （m ，0）， ∵四边形OABC 是梯形，∴直线x ＝m 在y 轴左侧，∵BC 与OA 不平行，∴OC ∥AB ，又∵点A（1，﹣1），点B（m，m），∴m＝﹣1，故新抛物线是由抛物线y＝x2﹣2x向左平移2个单位得到的，∴新抛物线的表达式为：y＝（x+1）2﹣1．25．【解答】（1）证明：如图1中，∵AE⊥AD，∴∠DAE＝90°，∠E＝90°﹣∠ADE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=12∠BAC，同理∠ABD=12∠ABC，∵∠ADE＝∠BAD+∠DBA，∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠C，∴∠ADE=12（∠ABC+∠BAC）＝90°−12∠C，∴∠E＝90°﹣（90°−12∠C）=12∠C．（2）解：延长AD交BC于点F．∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠E，BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠E ＝∠CBE ，∴AE ∥BC ，∴∠AFB ＝∠EAD ＝90°，BF AF =BD DE ， ∵BD ：DE ＝2：3，∴cos ∠ABC =BF AB =BF AE =23．（3）∵△ABC 与△ADE 相似，∠DAE ＝90°， ∴∠ABC 中必有一个内角为90°∵∠ABC 是锐角，∴∠ABC ≠90°．①当∠BAC ＝∠DAE ＝90°时，∵∠E =12∠C ，∴∠ABC ＝∠E =12∠C ，∵∠ABC +∠C ＝90°，∴∠ABC ＝30°，此时S △ADES △ABC =2−√3．②当∠C ＝∠DAE ＝90°时，∠E =12∠C ＝45°，∴∠EDA ＝45°，∵△ABC 与△ADE 相似，∴∠ABC ＝45°，此时S △ADES △ABC =2−√2．综上所述，∠ABC ＝30°或45°，S △ADES △ABC =2−√3或2−√2．。
2019年上海市中考数学试卷(含答案与解析)
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确的代号并填涂在答题_ -------------------- 纸的相应位置上】 __ --------------------x g 2 x = 6 xD . 3x ÷ 2x = 2 生 ____ ___ __ __ __ 3.下列函数中，函数值 y 随自变量 x 的值增大而增大的是 （ ） __ __A . y = x _ _3 B . y = - 3 C . y = x D . y = - x 名 __ 姓 __ 答 --------------------的是 （ ） __ ____ 题 __ ( ) =7.计算： 2a 2 。
_“ A .甲的成绩比乙稳定；-------------------------- 绝密★启用前在--------------------上海市 2019 年初中毕业统一学业考试数学5.下列命题中，假命题是 （ ）A .矩形的对角线相等B .矩形对角线交点到四个顶点的距离相等C .矩形的对角线互相平分_ ____1.下列运算正确的是 （ ） __ __ A . 3x + 2x = 5x 2 B . 3x - 2x = x _卷 号C . 3 考__ 2.如果 m ＞n ，那么下列结论错误的是（ ） ____ A . m + 2＞n + 2 B . m - 2＞n - 2___ __ _ 4.甲、乙两名同学本学期五次引体向上的测试成绩（个数）成绩如图 1 所示，下列判断_ __ ____ __校 学 业 毕一、选择题：(本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分)此3上 C . 2m ＞2n D . -2m ＞ - 2n --------------------x 3 3正确-------------------- D .矩形对角线交点到四条边的距离相等6.已知 e A 与 e B 外切，e C 与 e A 、e B 都内切，且 AB = 5 ， AC = 6 ， B C = 7 ，那么e C 的半径长是 （ ）A .11B .10C .9D .8二、填空题：(本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分)【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】28.己知 f (x ) = x 2 - 1 ，那么 f (-1) = 。
2019年上海市中考数学试题及参考答案(word解析版)
2019年上海市初中毕业统一学业考试数学试卷（试卷满分150分，考试时间100分钟）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】1．下列运算正确的是（）A．3x+2x＝5x2B．3x﹣2x＝x C．3x•2x＝6x D．3x÷2x＝2．如果m＞n，那么下列结论错误的是（）A．m+2＞n+2 B．m﹣2＞n﹣2 C．2m＞2n D．﹣2m＞﹣2n3．下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（）A．y＝B．y＝﹣C．y＝D．y＝﹣4．甲、乙两名同学本学期五次引体向上的测试成绩（个数）成绩如图所示，下列判断正确的是（）A．甲的成绩比乙稳定B．甲的最好成绩比乙高C．甲的成绩的平均数比乙大D．甲的成绩的中位数比乙大5．下列命题中，假命题是（）A．矩形的对角线相等B．矩形对角线交点到四个顶点的距离相等C．矩形的对角线互相平分D．矩形对角线交点到四条边的距离相等6．已知⊙A与⊙B外切，⊙C与⊙A、⊙B都内切，且AB＝5，AC＝6，BC＝7，那么⊙C的半径长是（）A．11 B．10 C．9 D．8二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：（2a2）2＝．8．已知f（x）＝x2﹣1，那么f（﹣1）＝．9．如果一个正方形的面积是3，那么它的边长是．10．如果关于x的方程x2﹣x+m＝0没有实数根，那么实数m的取值范围是．11．一枚材质均匀的骰子，六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6，投这个骰子，掷的点数大于4的概率是．12．《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，1大桶加1小桶共盛斛米．（注：斛是古代一种容量单位）13．在登山过程中，海拔每升高1千米，气温下降6℃，已知某登山大本营所在的位置的气温是2℃，登山队员从大本营出发登山，当海拔升高x千米时，所在位置的气温是y℃，那么y关于x的函数解析式是．14．小明为了解所在小区居民各类生活垃圾的投放情况，他随机调查了该小区50户家庭某一天各类生活垃圾的投放量，统计得出这50户家庭各类生活垃圾的投放总量是100千克，并画出各类生活垃圾投放量分布情况的扇形图（如图所示），根据以上信息，估计该小区300户居民这一天投放的可回收垃圾共约千克．15．如图，已知直线11∥l2，含30°角的三角板的直角顶点C在l1上，30°角的顶点A在l2上，如果边AB与l1的交点D是AB的中点，那么∠1＝度．16．如图，在正边形ABCDEF中，设＝，＝，那么向量用向量、表示为．17．如图，在正方形ABCD中，E是边AD的中点．将△ABE沿直线BE翻折，点A落在点F处，联结DF，那么∠EDF的正切值是．18．在△ABC和△A1B1C1中，已知∠C＝∠C1＝90°，AC＝A1C1＝3，BC＝4，B1C1＝2，点D、D1分别在边AB、A1B1上，且△ACD≌△C1A1D1，那么AD的长是．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：|﹣1|﹣×+﹣820．（10分）解方程：﹣＝121．（10分）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知一次函数的图象平行于直线y＝x，且经过点A（2，3），与x轴交于点B．（1）求这个一次函数的解析式；（2）设点C在y轴上，当AC＝BC时，求点C的坐标．22．（10分）图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE落在AD′E′的位置（如图2所示）．已知AD＝90厘米，DE＝30厘米，EC＝40厘米．（1）求点D′到BC的距离；（2）求E、E′两点的距离．23．（12分）已知：如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，D是AO延长线上一点，联结BD并延长交⊙O于点E，联结CD并延长交⊙O于点F．（1）求证：BD＝CD；（2）如果AB2＝AO•AD，求证：四边形ABDC是菱形．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝x2﹣2x，其顶点为A．（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况；（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．①试求抛物线y＝x2﹣2x的“不动点”的坐标；②平移抛物线y＝x2﹣2x，使所得新抛物线的顶点B是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x轴交于点C，且四边形OABC是梯形，求新抛物线的表达式．25．（14分）如图1，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长线于点E．（1）求证：∠E═∠C；（2）如图2，如果AE＝AB，且BD：DE＝2：3，求cos∠ABC的值；（3）如果∠ABC是锐角，且△ABC与△ADE相似，求∠ABC的度数，并直接写出的值．参考答案与解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】1．下列运算正确的是（）A．3x+2x＝5x2B．3x﹣2x＝x C．3x•2x＝6x D．3x÷2x＝【知识考点】整式的混合运算．【思路分析】根据整式的运算法则即可求出答案．【解题过程】解：（A）原式＝5x，故A错误；（C）原式＝6x2，故C错误；（D）原式＝，故D错误；故选：B．【总结归纳】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．2．如果m＞n，那么下列结论错误的是（）A．m+2＞n+2 B．m﹣2＞n﹣2 C．2m＞2n D．﹣2m＞﹣2n【知识考点】不等式的性质．【思路分析】根据不等式的性质即可求出答案．【解题过程】解：∵m＞n，∴﹣2m＜﹣2n，故选：D．【总结归纳】本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练运用不等式的性质，本题属于基础题型．3．下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（）A．y＝B．y＝﹣C．y＝D．y＝﹣【知识考点】正比例函数的性质；反比例函数的性质．【思路分析】一次函数当a＞0时，函数值y总是随自变量x增大而增大，反比例函数当k＜0时，在每一个象限内，y随自变量x增大而增大．【解题过程】解：A、该函数图象是直线，位于第一、三象限，y随x的增大而增大，故本选项正确．B、该函数图象是直线，位于第二、四象限，y随x的增大而减小，故本选项错误．C、该函数图象是双曲线，位于第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小，故本选项错误．D、该函数图象是双曲线，位于第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，故本选项错误．故选：A．【总结归纳】本题考查了一次函数、反比例函数的增减性；熟练掌握一次函数、反比例函数的性质是关键．4．甲、乙两名同学本学期五次引体向上的测试成绩（个数）成绩如图所示，下列判断正确的是（）A．甲的成绩比乙稳定B．甲的最好成绩比乙高C．甲的成绩的平均数比乙大D．甲的成绩的中位数比乙大【知识考点】算术平均数；中位数；方差．【思路分析】分别计算出两人成绩的平均数、中位数、方差可得出答案．【解题过程】解：甲同学的成绩依次为：7、8、8、8、9，则其中位数为8，平均数为8，方差为×[（7﹣8）2+3×（8﹣8）2+（9﹣8）2]＝0.4；乙同学的成绩依次为：6、7、8、9、10，则其中位数为8，平均数为8，方差为×[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝2，∴甲的成绩比乙稳定，甲、乙的平均成绩和中位数均相等，甲的最好成绩比乙低，故选：A．【总结归纳】本题考查了方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了中位数．5．下列命题中，假命题是（）A．矩形的对角线相等B．矩形对角线交点到四个顶点的距离相等C．矩形的对角线互相平分D．矩形对角线交点到四条边的距离相等【知识考点】命题与定理．【思路分析】利用矩形的性质分别判断后即可确定正确的选项．【解题过程】解：A、矩形的对角线相等，正确，是真命题；B、矩形的对角线的交点到四个顶点的距离相等，正确，是真命题；C、矩形的对角线互相平分，正确，是真命题；D、矩形的对角线的交点到一组对边的距离相等，故错误，是假命题，故选：D．【总结归纳】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解矩形的性质，难度不大．6．已知⊙A与⊙B外切，⊙C与⊙A、⊙B都内切，且AB＝5，AC＝6，BC＝7，那么⊙C的半径长是（）A．11 B．10 C．9 D．8【知识考点】圆与圆的位置关系．【思路分析】如图，设⊙A，⊙B，⊙C的半径为x，y，z．构建方程组即可解决问题．【解题过程】解：如图，设⊙A，⊙B，⊙C的半径为x，y，z．由题意：，解得，故选：C．【总结归纳】本题考查两圆的位置关系，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：（2a2）2＝．【知识考点】幂的乘方与积的乘方．【思路分析】根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，计算即可．【解题过程】解：（2a2）2＝22a4＝4a4．【总结归纳】主要考查积的乘方的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键．8．已知f（x）＝x2﹣1，那么f（﹣1）＝．【知识考点】函数值．【思路分析】根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．【解题过程】解：当x＝﹣1时，f（﹣1）＝（﹣1）2﹣1＝0．故答案为：0．【总结归纳】本题考查了函数值，把自变量的值代入函数解析式是解题关键．9．如果一个正方形的面积是3，那么它的边长是．【知识考点】算术平方根．【思路分析】根据算术平方根的定义解答．【解题过程】解：∵正方形的面积是3，∴它的边长是．故答案为：【总结归纳】本题考查了二次根式的应用，主要利用了正方形的性质和算术平方根的定义．10．如果关于x的方程x2﹣x+m＝0没有实数根，那么实数m的取值范围是．【知识考点】根的判别式．【思路分析】由于方程没有实数根，则其判别式△＜0，由此可以建立关于m的不等式，解不等式即可求出m的取值范围．【解题过程】解：由题意知△＝1﹣4m＜0，∴m＞．故填空答案：m＞．【总结归纳】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根（3）△＜0⇔方程没有实数根．11．一枚材质均匀的骰子，六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6，投这个骰子，掷的点数大于4的概率是．【知识考点】列表法与树状图法．【思路分析】先求出点数大于4的数，再根据概率公式求解即可．【解题过程】解：∵在这6种情况中，掷的点数大于4的有2种结果，∴掷的点数大于4的概率为＝，故答案为：．【总结归纳】本题考查的是概率公式，熟记随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．12．《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，1大桶加1小桶共盛斛米．（注：斛是古代一种容量单位）【知识考点】二元一次方程组的应用．【思路分析】直接利用5个大桶加上1个小桶可以盛米3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛米2斛，分别得出等式组成方程组求出答案．【解题过程】解：设1个大桶可以盛米x斛，1个小桶可以盛米y斛，则，故5x+x+y+5y＝5，则x+y＝．答：1大桶加1小桶共盛斛米．故答案为：．【总结归纳】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键．13．在登山过程中，海拔每升高1千米，气温下降6℃，已知某登山大本营所在的位置的气温是2℃，登山队员从大本营出发登山，当海拔升高x千米时，所在位置的气温是y℃，那么y关于x的函数解析式是．【知识考点】函数关系式．【思路分析】根据登山队大本营所在地的气温为2℃，海拔每升高1km气温下降6℃，可求出y 与x的关系式．【解题过程】解：由题意得y与x之间的函数关系式为：y＝﹣6x+2．故答案为：y＝﹣6x+2．【总结归纳】本题考查根据实际问题列一次函数式，关键知道气温随着高度变化，某处的气温＝地面的气温﹣降低的气温．14．小明为了解所在小区居民各类生活垃圾的投放情况，他随机调查了该小区50户家庭某一天各类生活垃圾的投放量，统计得出这50户家庭各类生活垃圾的投放总量是100千克，并画出各类生活垃圾投放量分布情况的扇形图（如图所示），根据以上信息，估计该小区300户居民这一天投放的可回收垃圾共约千克．【知识考点】用样本估计总体；扇形统计图．【思路分析】求出样本中100千克垃圾中可回收垃圾的质量，再乘以可得答案．【解题过程】解：估计该小区300户居民这一天投放的可回收垃圾共约×100×15%＝90（千克），故答案为：90．【总结归纳】本题主要考查扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．也考查了用样本估计总体．15．如图，已知直线11∥l2，含30°角的三角板的直角顶点C在l1上，30°角的顶点A在l2上，如果边AB与l1的交点D是AB的中点，那么∠1＝度．【知识考点】平行线的性质；直角三角形斜边上的中线．【思路分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得到DA＝DC，则∠DCA＝∠DAC＝30°，再利用三角形外角性质得到∠2＝60°，然后根据平行线的性质求∠1的度数．【解题过程】解：∵D是斜边AB的中点，∴DA＝DC，∴∠DCA＝∠DAC＝30°，∴∠2＝∠DCA+∠DAC＝60°，∵11∥l2，∴∠1+∠2＝180°，∴∠1＝180°﹣60°＝120°．故答案为120．【总结归纳】本题考查了直接三角形斜边上的中线：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点）．也考查了平行线的性质．16．如图，在正边形ABCDEF中，设＝，＝，那么向量用向量、表示为．【知识考点】*平面向量．【思路分析】连接CF．利用三角形法则：＝+，求出即可．【解题过程】解：连接CF．∵多边形ABCDEF是正六边形，AB∥CF，CF＝2BA，∴＝2，∵＝+，∴＝2+，故答案为2+．【总结归纳】本题考查平面向量，正六边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型．17．如图，在正方形ABCD中，E是边AD的中点．将△ABE沿直线BE翻折，点A落在点F处，联结DF，那么∠EDF的正切值是．【知识考点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形．【思路分析】由折叠可得AE＝FE，∠AEB＝∠FEB，由折叠的性质以及三角形外角性质，即可得到∠AEB＝∠EDF，进而得到tan∠EDF＝tan∠AEB＝＝2．【解题过程】解：如图所示，由折叠可得AE＝FE，∠AEB＝∠FEB＝∠AEF，∵正方形ABCD中，E是AD的中点，∴AE＝DE＝AD＝AB，∴DE＝FE，∴∠EDF＝∠EFD，又∵∠AEF是△DEF的外角，∴∠AEF＝∠EDF+∠EFD，∴∠EDF＝∠AEF，∴∠AEB＝∠EDF，∴tan∠EDF＝tan∠AEB＝＝2．故答案为：2．【总结归纳】本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．18．在△ABC和△A1B1C1中，已知∠C＝∠C1＝90°，AC＝A1C1＝3，BC＝4，B1C1＝2，点D、D1分别在边AB、A1B1上，且△ACD≌△C1A1D1，那么AD的长是．【知识考点】全等三角形的性质．【思路分析】根据勾股定理求得AB＝5，设AD＝x，则BD＝5﹣x，根据全等三角形的性质得出C1D1＝AD＝x，∠A1C1D1＝∠A，∠A1D1C1＝∠CDA，即可求得∠C1D1B1＝∠BDC，根据等角的余角相等求得∠B1C1D1＝∠B，即可证得△C1B1D∽△BCD，根据其性质得出＝2，解得求出AD的长．【解题过程】解：如图，∵在△ABC和△A1B1C1中，∠C＝∠C1＝90°，AC＝A1C1＝3，BC＝4，B1C1＝2，∴AB＝＝5，设AD＝x，则BD＝5﹣x，∵△ACD≌△C1A1D1，∴C1D1＝AD＝x，∠A1C1D1＝∠A，∠A1D1C1＝∠CDA，∴∠C1D1B1＝∠BDC，∵∠B＝90°﹣∠A，∠B1C1D1＝90°﹣∠A1C1D1，∴∠B1C1D1＝∠B，∴△C1B1D∽△BCD，∴＝，即＝2，解得x＝，∴AD的长为，故答案为．【总结归纳】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，证得△C1B1D∽△BCD是解题的关键．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：|﹣1|﹣×+﹣8【知识考点】实数的运算；分数指数幂．【思路分析】首先计算乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【解题过程】解：|﹣1|﹣×+﹣8＝﹣1﹣2+2+﹣4＝﹣3【总结归纳】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．20．（10分）解方程：﹣＝1【知识考点】解分式方程．【思路分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解题过程】解：去分母得：2x2﹣8＝x2﹣2x，即x2+2x﹣8＝0，分解因式得：（x﹣2）（x+4）＝0，解得：x＝2或x＝﹣4，经检验x＝2是增根，分式方程的解为x＝﹣4．【总结归纳】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．21．（10分）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知一次函数的图象平行于直线y＝x，且经过点A（2，3），与x轴交于点B．（1）求这个一次函数的解析式；（2）设点C在y轴上，当AC＝BC时，求点C的坐标．【知识考点】待定系数法求一次函数解析式；两条直线相交或平行问题．【思路分析】（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b，解方程即可得到结论；（2）求得一次函数的图形与x轴的解得为B（﹣4，0），根据两点间的距离公式即可得到结论．【解题过程】解：（1）设一次函数的解析式为：y＝kx+b，∵一次函数的图象平行于直线y＝x，∴k＝，∵一次函数的图象经过点A（2，3），∴3＝+b，∴b＝2，∴一次函数的解析式为y＝x+2；（2）由y＝x+2，令y＝0，得x+2＝0，∴x＝﹣4，∴一次函数的图形与x轴的解得为B（﹣4，0），∵点C在y轴上，∴设点C的坐标为（﹣4，y），∵AC＝BC，∴＝，∴y＝﹣，经检验：y＝﹣是原方程的根，∴点C的坐标是（0，﹣）．【总结归纳】本题考查了两直线相交与平行问题，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．22．（10分）图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE落在AD′E′的位置（如图2所示）．已知AD＝90厘米，DE＝30厘米，EC＝40厘米．（1）求点D′到BC的距离；（2）求E、E′两点的距离．【知识考点】矩形的性质；解直角三角形的应用．【思路分析】（1）过点D′作D′H⊥BC，垂足为点H，交AD于点F，利用旋转的性质可得出AD′＝AD＝90厘米，∠DAD′＝60°，利用矩形的性质可得出∠AFD′＝∠BHD′＝90°，在Rt△AD′F中，通过解直角三角形可求出D′F的长，结合FH＝DC＝DE+CE及D′H＝D′F+FH可求出点D′到BC的距离；（2）连接AE，AE′，EE′，利用旋转的性质可得出AE′＝AE，∠EAE′＝60°，进而可得出△AEE′是等边三角形，利用等边三角形的性质可得出EE′＝AE，在Rt△ADE中，利用勾股定理可求出AE的长度，结合EE′＝AE可得出E、E′两点的距离．【解题过程】解：（1）过点D′作D′H⊥BC，垂足为点H，交AD于点F，如图3所示．由题意，得：AD′＝AD＝90厘米，∠DAD′＝60°．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AFD′＝∠BHD′＝90°．在Rt△AD′F中，D′F＝AD′•sin∠DAD′＝90×sin60°＝45厘米．又∵CE＝40厘米，DE＝30厘米，∴FH＝DC＝DE+CE＝70厘米，∴D′H＝D′F+FH＝（45+70）厘米．答：点D′到BC的距离为（45+70）厘米．（2）连接AE，AE′，EE′，如图4所示．由题意，得：AE′＝AE，∠EAE′＝60°，∴△AEE′是等边三角形，∴EE′＝AE．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADE＝90°．在Rt△ADE中，AD＝90厘米，DE＝30厘米，∴AE＝＝30厘米，∴EE′＝30厘米．答：E、E′两点的距离是30厘米．【总结归纳】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）通过解直角三角形求出D′F的长度；（2）利用勾股定理求出AE的长度．23．（12分）已知：如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，D是AO延长线上一点，联结BD并延长交⊙O于点E，联结CD并延长交⊙O于点F．（1）求证：BD＝CD；（2）如果AB2＝AO•AD，求证：四边形ABDC是菱形．【知识考点】菱形的判定；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．【思路分析】（1）连接BC，根据AB＝AC，OB＝OA＝OC，即可得出AD垂直平分BC，根据线段垂直平分线性质求出即可；（2）根据相似三角形的性质和判定求出∠ABO＝∠ADB＝∠BAO，求出BD＝AB，再根据菱形的判定推出即可．【解题过程】证明：（1）如图1，连接BC，OB，OC，∵AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，∴A在BC的垂直平分线上，∵OB＝OA＝OC，∴O在BC的垂直平分线上，∴AO垂直平分BC，∴BD＝CD；（2）如图2，连接OB，∵AB2＝AO•AD，∴＝，∵∠BAO＝∠DAB，∴△ABO∽△ADB，∴∠OBA＝∠ADB，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB，∴∠OAB＝∠BDA，∴AB＝BD，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AB＝AC＝BD＝CD，∴四边形ABDC是菱形．【总结归纳】本题考查了相似三角形的性质和判定，圆心角、弧、弦之间的关系，线段垂直平分线的性质，菱形的判定，垂径定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝x2﹣2x，其顶点为A．（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况；（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．①试求抛物线y＝x2﹣2x的“不动点”的坐标；②平移抛物线y＝x2﹣2x，使所得新抛物线的顶点B是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x轴交于点C，且四边形OABC是梯形，求新抛物线的表达式．【知识考点】二次函数综合题．【思路分析】（1）∵a＝1＞0，故该抛物线开口向上，顶点A的坐标为（1，﹣1）；（2）①设抛物线“不动点”坐标为（t，t），则t＝t2﹣2t，即可求解；②新抛物线顶点B为“不动点”，则设点B（m，m），则新抛物线的对称轴为：x＝m，与x轴的交点C（m，0），四边形OABC是梯形，则直线x＝m在y轴左侧，而点A（1，﹣1），点B（m，m），则m＝﹣1，即可求解．【解题过程】解：（1）∵a＝1＞0，故该抛物线开口向上，顶点A的坐标为（1，﹣1）；（2）①设抛物线“不动点”坐标为（t，t），则t＝t2﹣2t，解得：t＝0或3，故“不动点”坐标为（0，0）或（3，3）；②∵新抛物线顶点B为“不动点”，则设点B（m，m），∴新抛物线的对称轴为：x＝m，与x轴的交点C（m，0），∵四边形OABC是梯形，∴直线x＝m在y轴左侧，∵BC与OA不平行，∴OC∥AB，又∵点A（1，﹣1），点B（m，m），∴m＝﹣1，故新抛物线是由抛物线y＝x2﹣2x向左平移2个单位得到的，∴新抛物线的表达式为：y＝（x+1）2﹣1．【总结归纳】本题为二次函数综合运用题，涉及到二次函数基本知识、梯形基本性质，此类新定义题目，通常按照题设顺序，逐次求解即可．25．（14分）如图1，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长线于点E．（1）求证：∠E═∠C；（2）如图2，如果AE＝AB，且BD：DE＝2：3，求cos∠ABC的值；（3）如果∠ABC是锐角，且△ABC与△ADE相似，求∠ABC的度数，并直接写出的值．【知识考点】相似形综合题．【思路分析】（1）由题意：∠E＝90°﹣∠ADE，证明∠ADE＝90°﹣∠C即可解决问题．（2）延长AD交BC于点F．证明AE∥BC，可得∠AFB＝∠EAD＝90°，＝，由BD：DE＝2：3，可得cos∠ABC＝＝＝．（3）因为△ABC与△ADE相似，∠DAE＝90°，所以∠ABC中必有一个内角为90°因为∠ABC 是锐角，推出∠ABC≠90°．接下来分两种情形分别求解即可．【解题过程】（1）证明：如图1中，∵AE⊥AD，∴∠DAE＝90°，∠E＝90°﹣∠ADE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC，同理∠ABD＝∠ABC，∵∠ADE＝∠BAD+∠DBA，∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠C，∴∠ADE＝（∠ABC+∠BAC）＝90°﹣∠C，∴∠E＝90°﹣（90°﹣∠C）＝∠C．（2）解：延长AD交BC于点F．∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠E，BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠E＝∠CBE，∴AE∥BC，∴∠AFB＝∠EAD＝90°，＝，∵BD：DE＝2：3，∴cos∠ABC＝＝＝．（3）∵△ABC与△ADE相似，∠DAE＝90°，∴∠ABC中必有一个内角为90°∵∠ABC是锐角，∴∠ABC≠90°．①当∠BAC＝∠DAE＝90°时，∵∠E＝∠C，∴∠ABC＝∠E＝∠C，∵∠ABC+∠C＝90°，∴∠ABC＝30°，此时＝2﹣．②当∠C＝∠DAE＝90°时，∠∠C＝45°，∴∠EDA＝45°，∵△ABC与△ADE相似，∴∠ABC＝45°，此时＝2﹣．综上所述，∠ABC＝30°或45°，＝2﹣或2﹣．【总结归纳】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．21。
2019年上海市中考数学试卷(含答案与解析)
数学试卷 第1页（共10页） 数学试卷 第2页（共10页）绝密★启用前上海市2019年初中毕业统一学业考试数 学一、选择题：(本大题共6题，每题4分，满分24分)【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1.下列运算正确的是 （ ）A .2325x x x += B .32x x x -= C .326x x x =D .2323x x ÷= 2.如果m n ＞，那么下列结论错误的是（ ）A .22m n ++＞B .22m n --＞C .22m n ＞D .22m n --＞3.下列函数中，函数值y 随自变量x 的值增大而增大的是（ ）A .3xy =B .3x y =-C .3y x=D .3y x=-4.甲、乙两名同学本学期五次引体向上的测试成绩（个数）成绩如图1所示，下列判断正确的是（ ）图1A .甲的成绩比乙稳定；B .甲的最好成绩比乙高；C .甲的成绩的平均数比乙大；D .甲的成绩的中位数比乙大。
5.下列命题中，假命题是（ ）A .矩形的对角线相等B .矩形对角线交点到四个顶点的距离相等C .矩形的对角线互相平分D .矩形对角线交点到四条边的距离相等 6.已知A 与B 外切，C 与A 、B 都内切，且5AB =，6AC =，7BC =，那么C 的半径长是（ ）A .11B .10C .9D .8二、填空题：(本大题共12题，每题4分，满分48分) 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7.计算：()222a = 。
8.己知()21f x x =-，那么()1f -= 。
9.如果一个正方形的面积是3，那么它的边长是 。
10.如果关于x 的方程20x x m -+=没有实数根，那么实数m 的取值范围是 。
11.一枚材质均匀的骰子，六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6，投这个骰子，掷的点数之和大于4的概率是 。
12.《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五一容三斛，大器一小器五容二斛。