天津市高二下学期数学期中考试试卷
天津市高二下学期数学期中考试试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. (共12题；共60分)
1. （5分） (2018高二下·鸡泽期末) 从5种主料中选2种，8种辅料中选3种来烹饪一道菜，烹饪方式有5种，那么最多可以烹饪出不同的菜的种数为（）
A . 18
B . 200
C . 2800
D . 33600
2. （5分）设函数f(x)＝xm＋ax的导数f′(x)＝2x＋1,则数列n∈(N*)的前n项和（）
A .
B .
C .
D .
3. （5分）(2019·浙江模拟) 已知甲口袋中有个红球和个白球，乙口袋中有个红球和个白球，现从甲，乙口袋中各随机取出一个球并相互交换，记交换后甲口袋中红球的个数为，则（）
A .
B .
C .
D .
4. （5分） (2018高二下·阿拉善左旗期末) 若，则m等于（）
A . 9
B . 8
C . 7
D . 6
5. （5分）从标有1、2、3、4的卡片中先后抽出两张卡片，则号码4“在第一次被抽到的概率”、“在第一次未被抽到而第二次被抽到的概率”、“在整个抽样过程中被抽到的概率”分别是（）
A . ,,
B . ,,
C . ,,
D . ,,
6. （5分） (2016高二下·韶关期末) 已知函数f（x）的导函数f'（x）满足2f（x）+xf′（x）＞x2（x∈R），则对∀x∈R都有（）
A . x2f（x）≥0
B . x2f（x）≤0
C . x2[f（x）﹣1]≥0
D . x2[f（x）﹣1]≤0
7. （5分） (2017高二下·洛阳期末) 学生会为了调查学生对2018年俄罗斯世界杯的关注是否与性别有关，抽样调查100人，得到如下数据：
不关注关注总计
男生301545
女生451055
总计7525100
根据表中数据，通过计算统计量K2= ，并参考一下临界数据：
P（K2＞k0）0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001 k00.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.6357.87910.83
若由此认为“学生对2018年俄罗斯年世界杯的关注与性别有关”，则此结论出错的概率不超过（）
A . 0.10
B . 0.05
C . 0.025
D . 0.01
8. （5分） (2016高二下·新洲期末) 先后掷骰子两次，都落在水平桌面上，记正面朝上的点数分别为x，y．设事件A：x+y为偶数；事件B：x，y至少有一个为偶数且x≠y．则P（B|A）=（）
A .
B .
C .
D .
9. （5分） (2017高二下·眉山期末) 在高三（1）班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为（）
A . 24
B . 36
C . 48
D . 60
10. （5分）设变量a，b满足约束条件：的最小值为m，则函数
的极小值等于（）
A . -
B . -
C . 2
D .
11. （5分）(2017·海淀模拟) 一位手机用户前四次输入四位数字手机密码均不正确，第五次输入密码正确，手机解锁．事后发现前四次输入的密码中，每次都有两个数字正确，但它们各自的位置均不正确．已知前四次输入密码分别为3406，1630，7364，6173，则正确的密码中一定含有数字（）
A . 4，6
B . 3，6
C . 3，7
D . 1，7
12. （5分）若函数在区间(1,4)内为减函数，在区间(6，＋∞)内为增函数，则实数a的取值范围是（）
A . a≤2
B . 5≤a≤7
C . 4≤a≤6
D . a≤5或a≥7
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
(共4题；共20分)
13. （5分） (2016高二下·咸阳期末) 若随机变量X的分布列为P（X=i）= （i=1，2，3，4），则P（X ＞2）=________．
14. （5分） (2020高三上·渭南期末) 从的展开式各项中随机选两项,则这两项均是有理项的概率为________.
15. （5分）函数f（x）=lnx﹣ax（a＞0）的单调递增区间为________．
16. （5分） (2019高二下·潍坊期中) 羽毛球比赛中，采用三局二胜制，已知任一局甲胜的概率为p，若甲赢得比赛的概率为g，则q-p取得最大值时p=________
三、解答题：本大题共6小题，共70分. (共6题；共70分)
17. （10分）若（ + ）n的展开式中前三项系数成等差数列．求：
（1）展开式中含x的一次幂的项；
（2）展开式中所有x的有理项；
（3）展开式中系数最大的项．
18. （12分）(2019·河南模拟) 已知函数f（x）＝ln（2＋ax）（a＞0），（b∈R）．
（1）若函数f（x）的图象在点（3，f（3））处的切线与函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行，求a，b之间的关系；
（2）在（1）的条件下，若b＝a，且f（x）≥mg（x）对任意x∈[ ，＋∞）恒成立，求实数m的取值范围．
19. （12分）表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x吨与相应的生产能耗y（吨
标准煤）的几组对照数据．
x3456
y 2.534 4.5
（1）请画出上表数据的散点图．
（2）根据上表数据用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程．
（3）由（2）预测技改后生产100吨甲产品的生产能耗是多少吨标准煤？（参考数值：3*2.5+4*3+5*4+6*4.5=66.5）
20. （12分） (2016高二下·友谊开学考) 某校随机抽取某次高三数学模拟考试甲、乙两班各10名同学的客观题成绩（满分60分），统计后获得成绩数据的茎叶图（以十位数字为茎，个位数字为叶），如图所示：（Ⅰ）分别计算两组数据的平均数，并比较哪个班级的客观题平均成绩更好；
（Ⅱ）从这两组数据各取两个数据，求其中至少有2个满分（60分）的概率；
（Ⅲ）规定客观题成绩不低于55分为“优秀客观卷”，以这20人的样本数据来估计此次高三数学模拟的总体数据，若从总体中任选4人，记X表示抽到“优秀客观卷”的学生人数，求X的分布列及数学期望．
21. （12分）(2013·湖北理) 假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N（800，502）的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0 ．
（1）求p0的值；
（参考数据：若X～N（μ，σ2），有P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P （μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974．）
（2）某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，
且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？
22. （12分） (2017高二下·定西期中) 设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且f′（x）=2x﹣2．
（1）求y=f（x）的表达式；
（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成封闭图形的面积．
参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. (共12题；共60分) 1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
(共4题；共20分) 13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题：本大题共6小题，共70分. (共6题；共70分)
17-1、
17-2、
17-3、
18-1、
18-2、
19-1、
20-1、
21-1、
21-2、
22-1、
22-2、。
天津市河北区2022-2023学年高二下学期期中数学试题(含答案解析)
答案第 1页，共 7页
【详解】由函数 f (x) 的图象，知当 x 0 时， f (x) 是单调递减的，所以 f (x) 0 ； 当 x 0 时， f (x) 先减少，后增加，最后减少，所以 f (x) 先负后正，最后为负． 故选：B． 【点睛】本题考查原函数的单调性与导函数的正负的关系.属于基础题. 7．A
若此物体的瞬时速度为 0m/s ，则此时 t 的值为
.
14．若函数 f x x3 x 2 mx 1为 R 上的单调函数，则实数 m 的取值范围是
.
试卷第 2页，共 3页
15．已知函数
f
x
2ex1, x 1
x3
x,
x
，则 1
f
f
x
2 的解集为
．
三、解答题 16．现有 10 本不同的数学书，9 本不同的语文书，8 本不同的英语书，从中任取 2 本不
3
答案第 3页，共 7页
【分析】根据 f ' x 0 求解. 【详解】 f ' x 3x2 2x m ，显然 f ' x 0 ，即 4 12m 0, m 1 ；
3 故答案为： m 1 .
3
15． ,1 ln 2
【分析】判断分段函数每段上的函数值范围，进而求解不等式 2ex1 1 ，即得答案.
故选：D. 5．C 【分析】直接根据排列的定义即可求出． 【详解】解：从 5 名志愿者中选出 3 人分别从事翻译、导游、导购三项不同工作，则选派方 案共 A53 60 种． 故选： C ． 【点睛】本题考查了排列的意义及其计算公式，属于基础题． 6．B 【分析】根据函数图象得出单调性，然后判断导函数的正负即可选出答案.
【分析】求处在点 1, f 1 处的导数值，根据点斜式直线方程求解.
天津市重点高二下学期期中数学试题(解析版)
一、单选题1．若曲线在点处切线的倾斜角为，则等于 ()32f x x ax b =-+()()1,1f 34πa A ．2 B ． C ．3D ．2-1-【答案】A【详解】，所以，解得，故选A.()232f x x ax '=-()1321f a =-=-'2a =2．如果记录了，的几组数据分别为，，，，那么y 关于x 的经验回归直x y ()0,1()1,3()2,5()3,7线必过点（ ） A ． B ． C ． D ．()2,2()1.5,2()1,2()1.5,4【答案】D【分析】求出得中心点，即为所求． ,x y 【详解】由已知，， 0123 1.54x +++==135744y +++==所以回归直线必过点． (1.5,4)故选：D ．3．如图是函数的导数的图象，则下面判断正确的是（ ）()y f x =()'y f x =A ．在内是增函数B ．在内是增函数 ()3,1-()f x ()4,5()f xC ．在时取得极大值D ．在时取得极小值1x =()f x 2x =()f x 【答案】B【分析】根据图象判断的单调性，由此求得的极值点，进而确定正确选项.()'y f x =()f x ()f x 【详解】由图可知，在区间上递减；在区间上()f x ()33,,2,42⎛⎫-- ⎪⎝⎭()()'0,f x f x <()3,2,4,52⎛⎫- ⎪⎝⎭递增.()()'0,f x f x >所以不是的极值点，是的极大值点.1x =()f x 2x =()f x所以ACD 选项错误，B 选项正确. 故选：B4．已知随机变量X 服从二项分布X ～B ，则P (X ＝2)＝（ ）(14,2)A ．B ．C ．D ．323438316【答案】C【分析】利用二项分布概率计算公式，计算出正确选项. 【详解】. ()222411321228P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭故选：C5．函数的单调递减区间是（ ） 23()25ln 2f x x x x =-+A ．B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭30,2⎛⎫⎪⎝⎭C ． D ．()1,+∞()0,1【答案】D【分析】根据导数的性质，结合函数的定义域进行求解即可. 【详解】函数的定义域为：， 23()25ln 2f x x x x =-+{}0x x >， 2'5(35)(1)()3(23)25ln 2x x f x x x xf x x x x +-⇒=-+=-=+当时，函数单调递减，因为，所以解得， '()0f x <0x >01x <<故选：D6．已知的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式奇数项的二项式系数和为 ()1nx +A ． B ．C ．D ．12211210292【答案】D【详解】由题设可得，令可得所有项的二项式系数和为，令可得偶数项二项式10n =1x =102=1x -系数的和与奇数项二项式系数的和相等，即展开式奇数项的二项式系数和为，应选答案1091222⨯=D ．7．若函数在上为增函数，则m 的取值范围为（ ） ()ln mf x x x=-[]1,3A ． B ．C ．D ．(],1-∞-[)3,-+∞[)1,-+∞(],3-∞-【答案】C【分析】求出函数的导数，问题转化为在恒成立，参变分离求出m 的范围即可. 0x m +≥[]1,3【详解】已知函数在上为增函数，则在恒成立，()ln mf x x x=-[]1,3()2210m x m f x x x x '+=+=≥[]1,3即在恒成立，则，解得. 0x m +≥[]1,3()max m x ≥-1m ≥-故选：C.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查一次函数的性质，属于基础题．8．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）2()ln 2f x x ax =+-1,22⎛⎫⎪⎝⎭a A ． B ． C ． D ．(,2]-∞-1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭12,8⎛⎫-- ⎪⎝⎭(2,)-+∞【答案】D【分析】求出函数的导数，问题转化为在有解，进而求函数的最值，即212a x >-1(,2)221()2g x x =可求出的范围.a 【详解】∵， 2()ln 2f x x ax =+-∴，1()2f x ax x'=+若在区间内存在单调递增区间，则有解，()f x 1(,2)21()0,(,2)2f x x '>∈故， 212a x >-令，则在单调递增， 21()2g x x =-21()2g x x =-1(,2)2，1()(22∴>=-g x g 故. 2 a >-故选：D.9．已知函数恒有零点，则实数k 的取值范围是（ ）()ln e xf x x x x k -=---A ． B ．C ．D ．(],1-∞-1,1e ⎛⎤-∞-- ⎥⎝⎦11,1e ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦11,0e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】B【分析】根据给定条件，利用导数求出的最大值即可求解作答.()f x 【详解】函数的定义域为，求导得：()ln e xf x x x x k -=---(0,)+∞， 1(1)(e )()1(1)e e x xxx x f x x x x ---'=---=令，，则，即在上单调递增，，()e x g x x =-0x >()e 10x g x '=->()g x (0,)+∞()()01g x g >=因此，当时，，当时，，则函数在上单调递增，在01x <<()0f x '>1x >()0f x '<()f x (0,1)上单调递减，(1,)+∞于是得当时，，函数的值域是，1x =max 1()1e f x k =---()f x 1(,1]ek -∞---而函数恒有零点，当且仅当，解得，()ln e xf x x x x k -=---110e k ---≥11e k ≤--所以实数k 的取值范围是.1(,1]e -∞--故选：B【点睛】思路点睛：涉及函数零点问题，可以通过转化，利用导数研究函数的单调性、最值等，借助数形结合求解.二、填空题10．若（），则______．22311n n n C C C --=+*n ∈N n =【答案】5【分析】结合组合数的性质即可求解.【详解】由，所以，111m m m n n n C C C ---=+23n n C C =又因为，所以，所以，即，m n m n n C C -=22n n n C C -=23n -=5n =故答案为：5.11．展开式中的常数项为__________.62x ⎫⎪⎭【答案】60【分析】利用二项式展开式的通项公式，令x 的指数为0，求得参数r 的值，即可求得答案.【详解】由题意的展开式的通项为 ，62x ⎫⎪⎭33621662C ()(2)C ,0,1,2,,6rr r r r rr T x r x --+=-=-= 令， 330,22rr -=∴=故展开式中的常数项为，62x ⎫⎪⎭2260C (2)6-=故答案为：6012．某学校举行秋季运动会，酷爱运动的小明同学准备在某七个比赛项目中，选择参加其中四个项目的比赛.根据赛程安排，在这七个比赛项目中，100米赛跑与200米赛跑不能同时参加，且跳高与跳远也不能同时参加.则不同的报名方法数为___________.（用数字作答） 【答案】16【分析】将符合要求的报名方法可以分为两类，第一类100米，200米，跳高，跳远四项比赛中只参加一项的方法，第二类100米，200米中参加一项且跳高，跳远两项比赛中参加一项的方法，再根据分类加法原理求解.【详解】符合要求的报名方法可以分为两类，第一类100米，200米，跳高，跳远四项比赛中只参加一项，第二类100米，200米中参加一项且跳高，跳远两项比赛中参加一项，其中第一类中含4种不同的报名方法，第二类中的报名方法可分三步完成，第一步从100米，200米中选择一项，第二步从跳高，跳远两项比赛选择一项，第三步从余下的三项比赛中选择两项参赛，故第二类方法共有种，由分类加法原理可得共有16种方法.2322C ´´故答案为：16.13．函数在上的极大值为，极小值为，则__________. ()cos f x x x =+()0,πM N M N +=【分析】直接求导，再判断函数单调性，进而求出极值即可．【详解】因为，令，解得或， ()sin (0)f x x x π'<<()0f x '=3x π=23x π=当时，，单调递增；(0,)3x π∈()0f x '>()f x 当时，，单调递减； (,)33x π2π∈()0f x '<()f x 当时，，单调递增， 2(,)3x ππ∈()0f x '>()f x所以极大值， ()cos 333M f πππ==+极小值， 222()cos 333N f πππ==+则， M N +=． 【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．14．一盒子装有只产品，其中有只一等品，只二等品．从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样．设事件为“第一次取到的是一等品”，事件为“第二次取到的是一等品”，则条件概率___．【答案】【详解】试题分析：表示在第一次取出的是一等品的情况下，第二次取出的是一等品的概率．第一取出一等品的概率为，然后还有个一等品和个二等品，所以第二次取出的是一等品的概率为，则条件概率为.【解析】条件概率.【易错点睛】本题主要考查的是条件概率的计算，要熟记相关概念即计算公式．条件概率为事件发生的前提下在发生事件的概率，用公式可表示为，容易与且事件的概率计算混淆，且事件概率为事件的概率与事件的概率直接相乘.15．已知为定义在上的奇函数，且，当时，恒成立，则不()f x R ()20f =0x >()()'0xf x f x +>等式的取值范围是_________ . ()0f x <【答案】()(),20,2-∞- 【分析】令，然后根据条件可得在上单调递增，然后可解出答案.()()g x xf x =()g x ()0,+∞【详解】令，则，()()g x xf x =()()()'g x xf x f x '=+因为当时，，所以在上单调递增，0x >()()'0xfx f x +>()g x ()0,+∞因为，所以，()20f =()20g =所以时，，所以，()0,2x ∈()()20g x g <=()0f x <因为为定义在上的奇函数，所以不等式的取值范围是 ()f x R ()0f x <()(),20,2-∞- 故答案为：()(),20,2-∞-三、解答题 16．已知函数. ()232xf x x a-=+(1)若，求曲线在点处的切线方程；0a =()y f x =()()1,1f(2)若在处取得极值，求的单调区间，以及在的最大值与最小值. ()f x 4x =()f x ()f x []2,3x ∈-【答案】(1)，450x y +-=(2)的增区间是，，减区间是，在上最大值是1，最小值是()f x (,1)-∞-(4,)+∞(1,4)-()f x [2,3]-． 313-【分析】（1）求出导函数，计算出，，由点斜式得直线方程并化简；()f x '(1)f '(1)f （2）求出，由求得，然后由得增区间，得减区间，从而可得()f x '(4)0f '=a ()0f x '>()0f x '<在上的单调性，求出极值区间端点处的函数值，比较可得最值．()f x [2,3]-【详解】（1）时，，则， 0a =232()x f x x -=24322(32)26()x x x x f x x x ----'==，又，所以切线方程为，即，(1)4f '=-(1)1f =14(1)y x -=--450x y +-=（2），由题意，， 222262()()x x a f x x a --'=+232242(4)0(16)a f a --'==+4a =所以，， 232()4xf x x -=+222268()(4)x x f x x --'=+222(1)(4)(4x x x +-=+）或时，，时，，1x <->4x ()0f x '>14x -<<()0f x '<所以的增区间是，，减区间是，由此也说明满足题意． ()f x (,1)-∞-(4,)+∞(1,4)-4a =时，在上递增，在上递减， [2,3]x ∈-()f x [2,1)--(1,3)-，又，， ()11f -=7(2)8f -=3(3)13f =-所以在上最大值是1，最小值是． ()f x [2,3]-313-17．某市A,B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐3名男生，2名女生，B 中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队 （1）求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率.（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X 表示参赛的男生人数，求X 得分布列和数学期望.【答案】（1）A 中学至少1名学生入选的概率为. 99100p =（2）X 的分布列为：X 的期望为.【分析】(1) A 中至少有1名学生入选代表队的对立事件是A 中没有学生入选代表队，那3名男生和3名女生都是B 中的学生，计算概率后，再用1减，即是所求概率；(2)6名队员中有3男，3女，所以选4人中，X 表示参赛的男生人数，X 的可能取值为1，2，3，根据超几何分布计算其概率，列分布列和求期望. 【详解】(1)由题意知，参加集训的男、女生各有6名．参赛学生全部从B 中学中抽取(等价于A 中学没有学生入选代表队)的概率为.因此，A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－(2)根据题意得，X 的可能取值为1，2，3. P(X ＝1)＝，P(X ＝2)＝，P(X ＝3)＝.所以X 的分布列为因此，X 的数学期望E(X)＝1×＋2×＋3×＝2.【解析】1.古典概型；2.离散型随机变量的分布列和数学期望.18．已知函数，()()2ln ln f x x x a =+()0a >(1)设是的导函数.若对任意的恒成立，求的取值范围； ()f x '()f x ()21f x x '≤0x >a (2)设函数，当时，求在区间上的最大值和最小值. ()ln x h x x x =-1b >()h x 1,b b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】(1) 0a <≤(2)最小值为，最大值为-11ln b b b--【分析】（1）先得出，化简分离参数得恒成立，构造函()()2ln ln 12f x a x x x++'=2ln 12ln a x x +≤-数，求导得出其最小值计算即可；()()2ln 0g x x x x =->（2）利用导数判定的单调性，再构造函数在和中判定最小值即可.()h x 1h b ⎛⎫⎪⎝⎭()h b 【详解】（1）由已知可得：，()()()()2ln ln 2ln ln f x x x a f x x x a x '=+⇒=++()0x >所以原不等式等价于()()2212ln 12l ln ln 1n f x a x x x xx a ++'=≤⇒+≤-令，则，令，即在上单调递增，()()2ln 0g x x x x =->()2x g x x -'=()02g x x '>⇒>()g x ()2,+∞，即在上单调递减，故 ()002g x x '<⇒<<()g x ()0,2()()222ln 2g x g ≥=-即2ln 122ln 20a a +≤-⇒<≤（2），令， ()()22ln 1ln x x x h x x h x x x --'=-⇒=()()21ln 0u x x x x =-->则，即在上单调递减，而()120u x x x'=--<()u x ()0,∞+()10u =故时，，即在上单调递增，同理可得在上单调递减. ()0,1x ∈()0h x '>()h x ()0,1()h x ()1,+∞当时，有，所以在区间上的最大值为，最小值在和1b >101b b <<<()h x 1,b b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()11h =-1h b ⎛⎫⎪⎝⎭()h b 中取最小即可.令，()()1H b h b h b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()1b >则，即在上单调递增，故()()()22111ln ln 0b H b b b b H b b b b b -⎛⎫'=+-+⇒=> ⎪⎝⎭()H b ()1,+∞，所以＜，即在区间上的最小值为.()()10H b H >=1h b ⎛⎫⎪⎝⎭()h b ()h x 1,b b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11ln h b b b b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭综上：在区间上的最小值为，最大值为-1.()h x 1,b b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1ln b b b --19．设函数．()()2ln f x ax x a =--∈R (1)若在点处的切线斜率为，求a 的值；()f x ()()e,e f 1e(2)当时，求的单调区间；0a >()f x (3)若，求证：在时，．()e xg x ax =-0x >()()f x g x >【答案】(1) 2ea =(2)答案见解析 (3)证明见解析【分析】（1）通过计算，可求解；（2）由（1）知：，分、()1e ef '=a ()()10ax f x x x-'=>0a ≤两种情况讨论导数的正负即可得到单调性；（3）通过变形，只需证明即0a >()e ln 20xh x x =-->可，利用不等式，即可证明.e 1x x >+ln 1≤-x x 【详解】（1）解：函数，则， ()()2lnf x ax x a =--∈R ()'1f x a x=-因为在点处的切线斜率为，()f x ()()e,e f 1e所以，解得.()11e e ef a =-='2e a =（2）由（1）知：， ()()'10ax f x x x-=>当时，恒成立，所以在上单调递减；0a ≤()'0f x <()f x ()0,∞+当时，令，得，令，得，0a >()'0f x <10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()'0f x >1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭所以在上单调递减，在上单调递增.()f x 10,a ⎛⎫⎪⎝⎭1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭综上所述：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在0a ≤()f x ()0,∞+0a >()f x 10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增. 1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（3），()()()2ln e e ln 2x xf xg x ax x ax x -=----=--令，则，()e 1xh x x =--()'e 1x h x =-因为，所以，0x >()'0h x >则在上单调递增，又，所以恒成立，即；()h x ()0,∞+()00h =()0h x >e 1x x >+令，，时，，时，，所以()ln 1H x x x =-+()'11H x x=-()0,1x ∈()'0H x >()1,x ∈+∞()'0H x <在上单调递增，在上单调递减，，恒成立，即()H x ()0,1()1,+∞()()max 10H x H ==()0H x ≤，ln 1≤-x x 所以，得证.()()()()e ln 21120xf xg x x x x -=-->+---=。
天津市部分区2023-2024学年高二下学期期中练习数学试题(含答案)
天津市部分区2023~2024学年度第二学期期中练习高二数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共120分，考试用时100分钟．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷一、选择题：本大题公共9小题，每小题4分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．曲线1y x x=-在2x =处的切线斜率为（ ）A ． 3-B ．34C ．54D ． 52．用0~6这7个自然数，可以组成没有重复数字的三位数的个数为（ ）A ．60B ．90C ．180D ．2103．函数ln xy x=的单调递增区间为（ ）A ． (),e -∞B ． ()0,e C ． ()1,+∞D ． ()e,+∞4． ()()52x y x y +-的展开式中33x y 项的系数为（ ）A ． 30-B ． 10-C ． 10D ．305．已知函数()y f x =，其导函数()y f x '=的图象如图所示，则对于()y f x =的描述正确的是（）A ．在区间(),0-∞上单调递减B ．当0x =时取得最大值C ．在区间()3,+∞上单调递减D ．当1x =时取得最小值6．甲乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（）A ．30种B ．60种C ．120种D ．240种7．已知函数()32113f x x x ax =+-+在R 上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ）A ． (],1-∞-B ． (),1-∞-C ． ()1,-+∞D ． [)1,-+∞8．函数()()sin 1cos f x x x x =-+在区间[]0,2π上的最大值为（ ）A ． 1-B ．1C ．1π+D ．2π+9．若对任意的()12,,x x m ∈+∞，不等式122112ln ln 2x x x x x x ->-恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ． 31,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ． 31,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ． ()3e ,+∞D ． )3e ,⎡+∞⎣第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．10．设函数()21ex f x -=，()f x '为其导函数，则()1f '=______．11．765765A 6A 6A --=______．12．在1，2，3，…，500中，被5除余3的数共有______个．13．在6⎛ ⎝的展开式中，2x 的系数是______．（用数字作答）14．如图，现要用4种不同的颜色对4个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，共有______种不同的着色方法．（用数字作答）15．已知函数()()()()22f x x a x a =--∈R ，当2x =时，()f x 有极大值，则a 的取值范围为______．三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数()312f x x x =-．（1）求()f x 的单调区间；（2）求()f x 的极值．17．（本小题满分12分）班上每个小组有12名同学，现要从每个小组选4名同学代表本组与其他小组进行辩论赛．（1）每个小组有多少种选法?（2）如果还要从选出的同学中指定1名作替补，那么每个小组有多少种选法?（3）如果还要将选出的同学分别指定为第一、二、三、四辩手，那么每个小组有多少种选法?18．（本小题满分12分）已知函数()()()256ln f x a x x a =-+∈R ，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴相交于点()0,6．（1）求a 的值；（2）求()f x 在区间[]1,3上的最小值．19．（本小题满分12分）已知函数()ln af x x x=+，a ∈R ．（1）若()f x 在点()()1,1f 处取得极值．①求a 的值；②证明：()1f x ≥；（2）求()f x 的单调区间．20．（本小题满分12分）已知函数()e xf x x x a =--，()22g x x x =-，a ∈R ．（1）求函数()y f x =-的导数；（2）若对任意的[]11,e x ∈，[]21,2x ∈，使得()()12f x g x ≥成立，求a 的取值范围；（3）设函数()()ln h x f x x =-，若()h x 在区间()0,e 上存在零点，求a 的最小值．天津市部分区2023~2024学年度第二学期期中练习高二数学参考答案一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分．题号123456789答案CCBBCBACD二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．10．2e 11．012．10013．192-14．4815．2a >三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）解：（1）函数()f x 的定义域为R ，导函数()2312f x x '=-，令()0f x '=，解得2x =±，则()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：x(),2-∞-2-()2,2-2()2,+∞()f x '＋0－0＋()f x 单调递增取极大值单调递减取极小值单调递增故函数()f x 的单调增区间为(),2-∞-和()2,+∞，单调减区间为()2,2-；（2）由小问1知，当2x =-时，函数()f x 取得极大值16；当2x =时，函数()f x 取得极小值16-．17．（本小题满分12分）解：（1）每个小组从12名同学中选4名同学，选法种数为412C 495=；（2）每个小组从12名同学中选4名同学，选法种数为412C ，再从选出的同学中选定1名作为替补选法种数为14C ，因此还要从选出的同学中指定1名作替补，那么每个小组的选法种数为41124C C 1980=．（3）每个小组从12名同学中选4名同学并分别被指定为第一、二、三、四辩手，选法种数为412A 11880=．18．（本小题满分12分）解：（1）因为()()256ln f x a x x =-+，所以()()625f x a x x'=-+，令1x =，则()116f a =，()168f a '=-．所以曲线()yf x =在点()()1,1f 处的切线方程为()()16681y a a x -=--．由点()0,6在切线上，可得61686a a -=-，解得12a =．（2）由（1）得()()()2156ln 02f x x x x =-+>所以()()()2365x x f x x x x--'=-+=令()0f x '=，解得12x =，23x =．当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如表所示．x()1,22()2,3()f x '＋0－()f x 单调递增单调递减又由于()18f =，()326ln 38f =+>．所以，当1x =时，()f x 取得最小值8．19．（本小题满分12分）解：（1）①()221a x af x x x x-'=-+=，因为()f x 在点()()1,1f 处取得极值，所以()11101af a -'==-=；所以1a =．②中①得，()1ln f x x x =+，()21x f x x-'=令()0f x '=，解得1x =，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如表所示．x()0,11()1,+∞()f x '－0＋()f x 单调递减1单调递增所以，当1x =时，()f x 取得最小值．所以()()11f x f ≥=，即()1f x ≥．（2）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()221a x a f x x x x-'=-+=，当0a ≤时，()0f x '>恒成立，所以()f x 的单调递增区将为()0,+∞，无单调递减区间；当0a >时，令()0f x '=解得x a =，()0f x '>的解集为{}x x a >，()0f x '<的解集为{}0x x a <<，所以()f x 的单调递增区间为(),a +∞，单调递减区间为()0,a 综上所述：当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为()0,+∞，无单调递减区间；当0a >时，()f x 的单调递增区间为(),a +∞，单调递减区间为()0,a ．20．（本小题满分12分）解：（1） ()e x y f x x x a -=-=-+-，所以e e 1x x y x --'=-++（2）因为()()1e 1x f x x '=+-，[]11,e x ∈，所以()0f x '≥，故()f x 在[]1,e 上单调递增，所以()e 1e 1,ee f x a a +⎡⎤∈----⎣⎦，又()()22211g x x x x =-=--，所以()g x 在[]1,2上也是单调递增，所以()[]1,0g x ∈-，因为对任意的[]11,e x ∈，[]21,2x ∈，使()()12f x g x ≥成立，等价于()()12min max f x g x ⎡⎤⎡⎤≥⎣⎦⎣⎦，即e 10a --≥，所以e 1a ≤-．故实数a 的范围是(],e 1-∞-．（3）由()e ln 0x h x x x x a =---=，即e ln x x x x a --=，令()e ln x p x x x x =--，()0,e x ∈，而()()()()1e 111e e 11e xx x xx x x p x x x x x x+-+'=+--=+-=，令()e 1x q x x =-，()0,e x ∈，则()ee 0xx q x x '=+>，即函数()q x 在()0,e 上单调递增，因为()010q =-<，()1e 10q =->，即()()010q q ⋅<，所以存在唯一的()00,1x ∈，使得()00q x =，即00e 10xx -=，即01ex x =，00ln x x =-，所以当00x x <<时，()0q x <，()0p x '<，函数()p x 单调递减；当0e x x <<时，()0q x >，()0p x '>，函数()p x 单调递增，所以()()0000000min e ln 11x p x p x x x x x x ==--=-+=，又0x +→时，()p x →+∞，所以要使()h x 在()0,e 存在零点，则1a ≥，所以a 的最小值为1．。
天津市河西区新华学校 高二下学期期中考试数学试卷(Word版含答案)
天津市新华中学高二第二学期数学学科 期中考试一、单选题（本大题共9小题，共36分）1、若4名学生报名参加数学，计算机、航模兴趣小组，每人选报1项。
则不同的报名方式 有（ ）A ．43种B ．34种C ．3x2x1种D ．4x3x2种2．定义在R 上的函数()f x 和()g x ，其各自导函数()f x '和()g x '的图象如图所示，则函数 ()()()F x f x g x =-其极值点的情况是（ ）A ．只有三个极大值点，无极小值点B ．有两个极大值点，一个极小值点C ．有一个极大值点，两个极小值点D ．无极大值点，只有三个极小值点3．某中学组织了“自主招生数学选拔赛”，已知此次选拔赛的数学成绩X 服从正态分布 N(75，121)，考生共有1000人，估计数学成绩在75分到86分之间的人数约为（ ）人. (参考数据()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+=)A ．261B ．341C ．477D ．6834．某人进行投篮训练100次，每次命中的概率为0.8 (相互独立)，则命中次数的标准差 等于（ ）A ．20B ．80C ．16D ．45．设1021001210(21)x a a x a x a x -=++++， 则13579a a a a a ++++的值（ ） A ．10132+ B ．10132- C ．10312- D ．10132+-6．设口袋中有黑球、 白球共8个，从中任取2个球，若取到白球个数的数学期望值为1，则口袋中白球的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．57．某班组织文艺晚会，准备从A ，B 等8个节目中选出4个节目演出，要求A ，B 两个节目至少有一个被选中，且A ，B 同时被选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同的演出顺 序种数为（ ）A ．1020B ．1140C ．1320D ．18608．某卡车为乡村小学运送书籍，共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语 文书。
天津市名校高二下学期期中数学试题(解析版)
一、单选题1．下列函数的求导正确的是（ ） A ．B ． ()22x x '-=-(cos )cos sin x x x x x '=-C ． D ．1(ln10)10'=()'2e e x x =【答案】B【分析】对各个选项进行导数运算验证即可. 【详解】，故A 错误；()232x x --'=-，故B 正确； ()cos cos sin x x x x x '=-，故C 错误；()ln100'=，故D 错误.()'2e 2e x x =故选：B2．若，则（ ）711C C n n =16C n =A ．17 B ．153 C ．306D ．969【答案】B【分析】根据组合数的性质可得，进而求解即可.18n =【详解】由，得，711C C n n =71118n =+=所以,161621818C C C 153n ===故选：B3．从2名男生和3名女生中任选2人参加党史知识演讲比赛，则至少有一名男生被选中的概率是（ ） A ．0.7 B ．0.6 C ．0.4 D ．0.3【答案】A【分析】先求出基本事件结果数，其中没有男生的种数为，再根据对立事件的概率公式可求25C 23C 出结果.【详解】从2名男生和3名女生中任选2人，共有种方法，其中没有男生的种数为，25C 10=23C 3=则至少有一名男生被选中的概率为：，2325C 3711C 1010-=-=故选：A4．函数的单调递增区间是（ ） ()2ln f x x x =-A ．和 B ． C ． D ．(),0∞-()0,2()2,+∞(),2-∞()0,2【答案】B【分析】求出导函数，由确定增区间．()f x '()0f x '>【详解】，的定义域为， 22()1x f x x x'-=-=()f x (0,)+∞由，得，()0f x '>2x >∴的单调递增区间为． ()f x ()2,+∞故选：B ．5．在的二项展开式中，若二项式系数和为64，则（ ） ()na b +n =A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】C【分析】先利用题给条件构造出关于的不等式，解之即可求得的值. n n 【详解】由的二项展开式中二项式系数和为64， ()na b +可得，解之得 264n =6n =故选：C6．函数在点处的切线与直线互相垂直，则实数a 等于（ ） ()sin x f x e x =+(0,1)210x ay -+=A ． B ．C ．D ．22-4-12-【答案】B【解析】由导数的几何意义得函数在点处的切线的斜率为，进而()sin x f x e x =+(0,1)2221a⨯=-即可得答案.【详解】解：因为，，()'cos xf x e x =+()'0112f =+=所以函数在点处的切线的斜率为， ()sin x f x e x =+(0,1)2因为切线与直线互相垂直，， 210x ay -+=21y x a a=+所以，解得.221a⨯=-4a =-【点睛】本题解题的关键在于根据导数的几何意义求得函数在处的切线的斜率为，考查运算(0,1)2求解能力，是基础题.7．展开式中的常数项为，则项的系数为（ ）．62a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭160-2x A ．240 B ．120 C ．180 D ．240-【答案】A【分析】根据二项展开式的通项公式，当求得，再由()66216C 2rrr r r T a x --+=⋅⋅-⋅620r -=3r =可得的值，进而即可得解.()3368C 160a -=-a 【详解】展开式的通项公式为， 62a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭()66216C 2r rr r r T a x --+=⋅⋅-⋅令，可得，620r -=3r =常数项为，得． ()3368C 160a -=-1a =再令，得，622r -=2r =所以项的系数为． 2x ()2246C 21240⨯⨯-=故选：A 8．若函数在时取得极小值，则实数的取值范围是（ ） ()()321122132f x x a x ax =++++2x =-a A ． B ．C ．D ．()2,+∞[]0,2(),2-∞()(),22,-∞+∞ 【答案】A【分析】先求导，再根据函数在时取得极小值，利用极值点()()321122132f x x a x ax =++++2x =-的定义求解.【详解】解：因为函数， ()()321122132f x x a x ax =++++所以，()()()()2222f x x a x a x x a '=+++=++因为函数在时取得极小值， ()()321122132f x x a x ax =++++2x =-所以当或时，，当时，， x a <-2x >-()0f x ¢>2a x -<<-()0f x '<则，即，2a -<-2a >所以实数的取值范围是， a ()2,+∞9．若离散型随机变量，且，则（ ）2,3X B n ⎛⎫~ ⎪⎝⎭()89D X =()2P X ≤=A ． B ． C ． D ．3281112716274981【答案】B【分析】根据且求得n ，再由求解.2,3X B n ⎛⎫~ ⎪⎝⎭()89D X =()()213P X P X ≤=-≥【详解】解：∵，2,3X B n ⎛⎫~ ⎪⎝⎭∴，解得， ()222813399n D X n ⎛⎫=⋅⨯-== ⎪⎝⎭4n =∴． ()()344443221112131C C 33273P X P X ⎛⎫≤=-≥=-⨯-= ⎪⎝⎭⎛⎫⎪⎝⎭故选：B ．10．函数的定义域为，它的导函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是()f x R ()y f x '=（ ）A ．是的极小值点 1x =()f xB ．()()21f f ->-C ．函数在上有极大值 ()f x ()1,1-D ．函数有三个极值点 ()f x 【答案】B【分析】根据导函数与原函数的关系，结合极值点和极大值的定义逐一判断即可. 【详解】当时，，单调递增， 3x <-()0f x ¢>()f x 当时，，单调递减， 31x -<<-()0f x '<()f x 所以有，因此选项B 正确； ()()21f f ->-当时，，单调递增，11x -<<()0f x ¢>()f x所以在上没有极大值，因此选项C 不正确； ()f x ()1,1-当时，，单调递增，1x >()0f x ¢>()f x 因此不是的极值点，只有当时，函数有极值点， 1x =()f x 3x =-=1x -所以选项A 不正确，选项D 不正确， 故选：B11．甲、乙、丙等7人站成一排照相，要求队伍最中间只能站甲或乙，且甲与丙不相邻，则不同的站法有（ ） A ．728种 B ．848种 C ．918种 D ．1008种【答案】D【分析】根据甲或乙在中间进行分类讨论，结合排列与组合的知识求得正确答案.【详解】若甲站最中间，则不同的站法有种；1545C A 480=若乙站最中间，甲和丙站在乙的一侧，则不同的站法有种；124224C A A 96=若乙站最中间，甲和丙站在乙的两侧，则不同的站法有种．11243324C C A A 432=故总的站法有1008种． 故选：D12．已知函数则下列结论：()()216249,1,11,1,9x x x f x f x x ⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩①()1*9,N n f n n -=∈②恒成立 ()()10,,x f x x∞∀∈+<③关于的方程有三个不同的实根，则x ()()R f x m m =∈119m <<④关于的方程的所有根之和为 x ()()1*9N n f x n -=∈23n n +其中正确结论有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】根据已知递推可判定①正确；根据函数的变换规律，只需证明时，恒成01x <≤()1f x x<立，作差构造函数，求导结合，可判定②错误；作出函数的图形，结合图象，可判定③正1(04g =【详解】由题意知，，所以①正确； ()()()()1211111219999n n f n f n f n f n n --=-=-==--=⎡⎤⎣⎦ 又由上式知，要使得恒成立，()()10,,x f x x∞∀∈+<只需满足时，恒成立，即，01x <≤()1f x x<2116249x x x -+<即恒成立，321624910x x x -+-<令，则，()(]32162491,0,1g x x x x x =-+-∈()248489g x x x '=-+令，解得或，()0g x '=14x =34x =当时，，单调递增； 1(0,4x ∈()0g x '>()g x 当时，，单调递减；13(,44x ∈()0g x '<()g x 当时，，单调递增，3(,)4x ∈+∞()0g x '>()g x 当时，函数取得极大值，极大值，所以②不正确； 14x =()g x 11101444g f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，作出函数的图象，如图所示，()f x 由图象可知，要使得方程有三个不同的实根，()()R f x m m =∈则满足，即，所以③正确；()()21f m f <<119m <<由知，函数在上的函数图象可以由上的图象向右平移一个单()1(1)9f x f x =-()f x (),1n n +()1,n n -位长度，再将所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍得到，19因为的对称轴为，故的两根之和为， 216249y x x =-+34x =()09f x =32同理可得：的两个之和为，，的两个之和为，()19f x =322+ ()19nf x -=32(1)2n +-故所有根之和为，所以④不正确.23333(2)[2(1)]2222n n n +++++-=+ 故选：B.二、填空题13．质点M 按规律做直线运动（位移单位：m ，时间单位：），则质点M 在时()()21s t t =-s 3s t =的瞬时速度为___________． 【答案】4m /s 【分析】对进行求导，再将的值代入，即可得答案. ()()21s t t =-3t =【详解】因为，所以，所以，()()21s t t =-()()21s t t '=-()34s '=所以质点在时的瞬时速度为. M 3t s =4m /s 故答案为：.4m /s14．二项式的展开式的第项为常数项，则 __________． 2nx ⎛ ⎝5n =【答案】6【分析】根据二项式通项公式和展开式的第项为常数项建立方程即可得解．5【详解】二项式展开式的通项公式为， 2nx ⎛ ⎝23321C 2n r r r n r n T x --+⋅=由展开式中，第项为常数项，此时，则，即． 54r =23402n -⨯=6n =故答案为：.615．已知函数的导函数为，且，则______．()f x ()f x '()()3211f x x xf '=+-(1)f =【答案】3-【分析】根据题意，求导得，然后令，即可得到结果.()f x '1x =【详解】因为，则，()()3211f x x xf '=+-()()2321f x x f ''=+令，则，即.1x =()()1321f f ''=+()13f '=-故答案为：3-16．已知函数的定义域为，，对任意，则的解集为()f x R ()12f -=(),2x R f x '∈>()24f x x >+____________． 【答案】.(1,)-+∞【分析】构造，根据题意得到在为单调递增函数，又由，得()()24g x f x x =--()g x R ()12f -=到，进而得到时，，即可求解. ()10g -=1x >-()0g x >【详解】设，可得，()()24g x f x x =--()()2g x f x ''=-因为对任意，所以，所以在为单调递增函数， (),2x R f x '∈>()0g x '>()g x R 又由，可得，()12f -=()12240g -=+-=所以当时，，即不等式的解集为. 1x >-()0g x >()24f x x >+(1,)-+∞故答案为：.(1,)-+∞17．已知函数在区间上的最大值为28，则实数的取值范围为()32391f x x x x =+-+[],2k k __________． 【答案】3k ≤-【分析】利用导函数求函数的极值，再结合条件即求.【详解】∵，()32391f x x x x =+-+∴ ，()2369f x x x '=+-令＝0，得＝-3，＝1，()f x '1x 2x 当x 变化时及的变化情况如下表． ()f x '()f x x(-∞，-3) -3 (-3，1) 1 (1，+∞)()f x '+-+()f x ↗ 28 ↘ -4 ↗当x ＝-3时，取极大值28； ()f x 当x ＝1时，取极小值-4.()f x而f (2)＝3<f (-3)＝28，如果在区间[k ，2]上的最大值为28， ()f x 则k ≤-3. 故答案为：k ≤-3三、双空题18．甲、乙两射手每次射击击中目标的概率分别为和，且各次射击的结果互不影响.则甲射击45345次，击中目标次数的数学期望为______；甲、乙两射手各射击2次，至少有1人击中目标的概率为______. 【答案】4/0.9975 399400【分析】直接利用二项分布数学期望公式即可求解；利用“至少有1人击中目标”的对立事件“没有人击中目标”的概率即可求解. 【详解】依题意，甲射击5次符合二项分布，设甲击中目标次数为， X 则有； ()4545E X np ==⨯=设事件“至少有1人击中目标”为，事件“没有人击中目标”为， A B 则互为对立事件，,A B 所以，()224311154400P B ⎛⎫⎛⎫=-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以； ()()139911400400P A P B =-=-=故答案为：；. 4399400四、填空题19．过点与曲线相切的切线方程为___________． (0,2)l (2)n f x x =+【答案】e 2e 0x y -+=【分析】根据求曲线过某点的切线方程的步骤，先设出切点坐标，再根据两点求斜率即可求解. 【详解】设切点为，则，()00,ln 2x x +000ln 221x x x +-=得，则切点为，e x =()e,3切线方程为，即．13(e)e y x -=-e 2e 0x y -+=故答案为：.e 2e 0x y -+=五、双空题20．清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题演讲比赛，经过初赛，共7人进入决赛，其中高一年级2人，高二年级3人，高三年级2人，现采取抽签方式决定演讲顺序，设事件为“高二年级3人相邻”，事件的排法为__________种；在事件“高二年级3人相A A A 邻”的前提下，事件“高一年级2人不相邻”的概率为__________． B ()P B A 【答案】720/0.6 35【分析】利用捆绑法求解事件A 的排法；再使用捆绑法和插空法求出事件的排法，利用条件A B ⋂概率公式得到()P B A 【详解】将高二年级3人进行全排列，有种排法，再将高二年级3人看作一个整体，和其他年33A 级4人进行全排列，有种排法，所以事件A 的排法有=720种；55A 33A 55A 事件的排法：将高二年级3人进行全排列，有种排法，再将高二年级3人看作一个整体，A B ⋂33A 和高三年级的2人进行全排列，有种排法，排好后，将高一年级的2人进行插空，有种排33A 24A 法，所以事件共有=432种排法， A B ⋂33A 33A 24A 则 ()()()43237205n AB P B A n A ===故答案为：720，35六、填空题21．设函数（其中为自然对数的底数），若函数至少存在一个零()2ln 2e xf x x x a x=--+e ()f x 点，则实数的取值范围是__________．a 【答案】21,e e ∞⎛⎤-+ ⎥⎝⎦【分析】求得，求得函数的单调性与最小值，结合题意得()21ln 22e x f x x x -'=--()21e 2e ef a =--+到，即可求解.212e 0a --+≤【详解】由函数，可得， ()2ln 2e x f x x x a x=--+()21ln 22e x f x x x -'=--令，可得，()0f x '=e x =当时，可得；当时，可得，0e x <<()0f x '<e x >()0f x ¢>所以在上单调递减，在上单调递增，()f x ()0,e (e,)+∞所以当时，函数求得极小值，也是最小值， e x =()f x ()21e 2e ef a =--+因为至少1个零点，所以，即， ()f x 212e 0ea --+≤212e e a ≤+所以实数的范围. a 21(,2e ]e-∞+七、解答题22．某校为校级元旦晚会选拔主持人，现有来自高一年级的参赛选手5名，其中男生2名：高二年级的参赛选手5名，其中男生3名.从这10名参赛选手中随机选择4人组成搭档参赛.(1)设事件A 为“选出的4人中恰有2名男生，且这2名男生来自同一个年级”，求事件A 发生的概率；(2)设为选出的4人中男生的人数，求随机变量的分布列.X X 【答案】(1) 421(2)分布列见解析【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求得答案；（2）确定X 的可能取值，求出每个值对应的概率，即可得分布列.【详解】（1）由题意可知，从这10名参赛选手中随机选择4人组成搭档参赛共有种选410C 210=法，事件A 的选法共有种，22222535C C C C 40+=故. ()40421021P A ==（2）由题意知X 的取值可能为，0,1,2,3,4由于， 140455C C ()(0,1,2,3,4)C k k P X k k -===故X 的分布列为：X 01 2 3 4 P 142 521 1021 521 14223．设函数f (x )＝x 3－x 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1. 132a （1）求b ，c 的值；（2）若a ＞0，求函数f (x )的单调区间；（3）设函数g (x )＝f (x )＋2x ，且g (x )在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a 的取值范围.【答案】（1）b ＝0，c ＝1；（2）f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )；（3）. (,-∞-【分析】（1）由条件可知，列式求解；（2）根据求函数的单调递增区间，由()()0100f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩()0f x ¢>求函数的单调递减区间；（3）由条件可知存在区间使，利用参变分离的()0f x '<()2,1--()0g x '<方法，转化为求函数的最值.【详解】（1）f ′(x )＝x 2－ax ＋b ，由题意得 即 ()()0100f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩10c b =⎧⎨=⎩故b ＝0，c ＝1.（2）由（1）得，f ′(x )＝x 2－ax ＝x (x －a )(a ＞0)，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＞0；当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a ).（3）g ′(x )＝x 2－ax ＋2，依题意，存在x ∈(－2，－1)，使不等式g ′(x )＝x 2－ax ＋2<0成立. 则存在x ∈(－2，－1)使成立， 2a x x ->--即. min2a x x ⎛⎫->-- ⎪⎝⎭因为x ∈(－2，－1)，所以－x ∈(1，2)，则 2x x --≥=当且仅当，即时等号成立， 2x x-=-x =所以.a ->a <-所以实数a 的取值范围为.(,-∞-【点睛】本题考查导数的几何意义，导数与函数的单调性，最值的综合应用，重点考查转化的思想，计算能力，属于基础题型.24．已知函数． ()()22ln ln f x x x a x a =---∈R (1)令，讨论的单调性并求极值；()()g x xf x '=()g x (2)令，若有两个零点；()()22ln h x f x x =++()h x （i ）求a 的取值范围：（ii ）若方程有两个实根，，，证明：．()e ln 0x x a x x -+=1x 2x 12x x ≠12212e e x x x x +>【答案】(1)单调递减区间为（0，2），单调递增区间为；极小值为()g x ()2,∞+()222ln 2g a =--，无极大值(2)（i ）；（ii ）证明见解析e a >【分析】（1）先求得，然后利用导数求得的单调区间以及极值.()g x ()g x （2）（i ）先求得，对进行分类讨论，结合函数的单调性以及零点存在性定理求得的取值()h x 'a a 范围.（i i ）转换方程，然后利用换元法并构造函数，求得函数()e ln 0x x a x x -+=ln y t a t =-零点的关系式，由此化简所要证明的不等式，再利用构造函数法，结合导ln y t a t =-12212e e x x x x +>数证得不等式成立.【详解】（1）因为， ()2ln 1x a f x x x'=--所以，()()2ln g x xf x x x a '==--()0,x ∈+∞则，在区间；在区间， ()2x g x x-'=()g x ()()0,2,0g x '<()()2,,0g x '+∞>所以单调递减区间为（0，2），单调递增区间为，()g x ()2,∞+极小值为，无极大值．()222ln 2g a =--（2）（i ）有两个零点．()ln h x x a x =-因为， ()1a x a h x x x-'=-=①当时，，单调递增，不可能有两个零点；0a ≤()0h x '>()h x ②当时，令，得，单调递减；0a >()0h x '<0x a <<()h x 令，得，单调递增，所以()0h x '>x a >()h x ()()min ln h x h a a a a ==-要使有两个零点，即使，，得，()h x ()0h a <ln 0,ln 1a a a a -<>e a >又因为，，所以在（l ，e ）上存在唯一一个零点，()110h =>()e e 0h a =-<()h x 且，由（1）可知，，e a >2ln 22ln 2x x a a --≥--所以，即有，即2ln 22ln 20x x -≥->22ln 0e 0a a a a ->⇒->，所以在上存也唯一一个零点，符合题意． ()2e e 0a a h a =->()h x ()e,e a 综上，当时，函数有两个零点．e a >()h x （ii ）有两个实根，令，()()()e ln e ln e 00x x x x a x x x a x x -+=-=>e x t x =有两个零点，，ln y t a t =-1t 2t ；，所以， 111e x t x =222e x t x =1122ln 0ln 0t a t t a t -=⎧⎨-=⎩所以（*），()2121ln ln a t t t t -=-（**），()2121ln ln a t t t t +=+要证，只需证，12212e x x x x e +>()()12212e e e x x x x ⋅>即证，所以只需证．()()1212ln e ln e 2x x x x +>12ln ln 2t t +>由（*）（**）可得， ()221121212122111ln ln ln ln ln 1t t t t t t t t t t t t t t ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭+=-=--只需证， 2211211ln 21t t t t t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭>-设，令，则，所以只需证，即证， 120t t <<21t t t =1t >1ln 21t t t ->+4ln 201t t +->+令，，则，在上递增， ()4ln 21t h t t =+-+1t >()()()()222114011t h t t t t t -'=-=>++()h t ()1,+∞所以，即当时，成立． ()()10h t h >=1t >4ln 201t t +->+所以，即，即．12ln ln 2t t +>()()12212e e e x x x x ⋅>12212e e x x x x +⋅>【点睛】利用导数研究函数的单调区间以及极值，当导函数含有参数时，要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.另外要注意的一点是：必须先求函数的定义域.。
天津市高二下学期期中考试文科数学试卷 有答案
天津市耀华高二下学期期中考试数学（文）试卷本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，共100分，考试用时l00分钟．第I 卷(36分)一。
选择题：本大题共l2个小题，每小题3分，共36分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡上．．．．．．．．．．．．．1(A) i (B) i - (C)i (D) i2． “因为指数函数x y a =是增函数(大前提)，而13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭是指数函数(小前提)，所以函数13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭是增函数(结论)”，上面推理的错误在于(A)大前提错误导致结论错 (B)小前提错误导致结论错(C)推理形式错误导致结论错 (D)大前提和小前提错误导致结论错3．在复平面内，复数2(1)1i i+++对应的点位于 (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限4．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn nm =”类比得到“a b b a =”；②“()m n t mt nt +=+”类比得到“()a b c a c b c +=+”；③“()()m n t m n t =”类比得到“()()a b c a b c =”；④“0,t mt xt m x ≠=⇒=”类比得到“0,p a p b p a b ≠=⇒=”；⑤“||=||||m n m n ”类比得到“||||||a b a b =”；以上式子中，类比得到的结论正确的个数是(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 55．设圆柱的表面积为S ，当圆柱体积最大时，圆柱的高为(A) (B) (C) 3π(D) 3π6．用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60o ”时，应假设(A)三个内角都不大于60o (B)三个内角都大于60o(C)三个内角至多有一个大于60o (D)三个内角至多有两个大于60o7．点P 为曲线2ln y x x =-上任一点，则点P 到直线y=2x -距离的最小值为(A) 2 (B) 4 (D)8．若命题p ：22421ax x a x ++≥-+是真命题，则实数a 的取值范围是(A)(-∞，2] (B)(-2，2) (c)(-2，+∞] (D)[2，+∞)9．设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如左下图所示，则其导函数'()y f x =的 图象可能为下列图中所示10．已知函数3()()f x x x m =-在x =2处取得极小值，则常数m 的值为(A) 2 (B) 8 (C) 2或8 (D)以上答案都不对11．函数()f x 的定义域为R ，'()f x 是()f x 的导数，(1)f -=2，对任意x ∈R ，均有'()f x >2， 则()f x >2x +4的解集为(A)(-l ，1) (B)(-1，+∞) (C)(- ∞，-1) (D)(-∞，+∞)12．定义在R 上的可导函数()f x ，且()f x 图象连续不断，'()f x 是()f x 的导数，当x ≠0时，()'()f x f x x +>0，则函数1()()g x f x x=+的零点的个数 (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 0或2第II 卷(64分)二．填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分，请将答案填写在答题纸上．．．．．．．．．．．． 13．如果复数222(32)z a a a a i =+-+-+为纯虚数，则实数a 的值为 ．14．曲线12x y e =在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 ．15．定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质：(1)1*1=1，(2)(n+1)*1=n*l+1，则n*1= ．16．设a ∈R ，若函数xy e ax =+(x ∈R)有大于零的极值点，则a 的取值范围是 .17．若函数3()12f x x x =-在区间(k-l ，k+1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是 .18．已知()2g x mx =+，22234()x f x x x -=-，若对任意的x 1∈[-1,2]，总存在x 2∈[1，]，使得12()()g x f x >，则实数m 的取值范围是 .三．解答题：本题共4个题，共46分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请将答案写．．．．．在答题纸上．．．．．． 19．(本小题11分)设a ，b 互为共轭复数，且2()346a b abi i +-=-，求复数a 和b 。
天津市河西区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(含解析)
天津市河西区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知全集，集合，，则( )A. B. C. D.2．对变量x ,y 有观测数据，得散点图1；对变量u ，v 有观测数据,得散点图2.由这两个散点图可以判断( )A.变量x 与y 正相关，u 与v 正相关B.变量x 与y 正相关，u 与v 负相关C.变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D.变量x 与y 负相关，u 与v 负相关3．设，则“且”是“”的( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.即不充分也不必要条件4．的展开式中，系数最大的项是( )项B.第n 项C.第项D.第n 项与第项5．已知随机变量X 服从正态分布，且，则( )A.0.6B.0.3C.0.2D.0.16．设X 为随机变量，，若随机变量X 的数学期望，则等于( ){}1,2,3,4U ={}1,2A ={},32B =()U A B ð{}1,3,4{}3,4{}3{}4(),i i x y ()1,2,,10= i (),i i u v ()1,2,,10i = ,x y ∈R 2x ≥2y ≥224x y +≥()2*1()n x n +∈N 1+1n +1n +()22,N σ()40.8P X <=()02P X <<=1,3X B n ⎛⎫⎪⎝⎭()2E X =()2P X =7．某学习小组共有11名成员，其中有6名女生，为了解学生的学习状态，随机从这11名成员中抽选2名任小组组长，协助老师了解情况，A 表示“抽到的2名成员都是女生”，B表示“抽到的2名成员性别相同”，则( )8．的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )A.-40 B.-20 C.20 D.409．用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A.243 B.252 C.261 D.279二、填空题10．的展开式中的系数为________.11．命题,的否定是________.12．已知，则________.13．含有3个实数的集合可表示为，又可表示为，则________.14．三位老师分配到4个贫困村调查义务教育实施情况，若每个村最多去2个人，则不同的分配方法有种________.15．某公司有甲、乙两家餐厅，小李第一天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第，则小李第二天去乙家餐厅的概率为________.三、解答题16．（1）证明：组合数性质；（2）计算：（用数字作答）.17．已知集合，若()|P A B =512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭822x y :p x ∀∈R 210x +>7270127(12)x a a x a x a x -=++++ 1357a a a a +++=,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}20,,a a b +20242024a b +=()1*1C C C ,m m n n n m n π-+=+∈N 2222234100C C C C ++++ {}23100A x x x =--≤（1），，求实数m 的范围；（2），，求实数m 的范围；（3），，求实数m 的范围.18．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量(x 吨)与相应的生产能耗y (吨)标准煤的几组对照数据：（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程；（3）已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？(参考：用最小二乘法求线性回归方程系数公式(参考数值：)19．某班主任对班级22名学生进行了作业量多少的调查，数据如下：在喜欢玩电脑游戏的12人中，有9人认为作业多，3人认为作业不多；在不喜欢玩电脑游戏的10人中，有4人认为作业多，6人认为作业不多.（1）根据以上数据填写列联表；关系？参考公式：B A ⊆{}121B x m x m =+≤≤-A B ⊆{}621B x m x m =-≤≤-B A ={}621B x m x m =-≤≤-ˆybx a =+ˆb=ˆy =-3 2.543546 4.566.53242526286⨯+⨯+⨯+⨯=+++=22⨯2K =参考数据：，，，.20．已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球的2分，取出一个黑球的1分.现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X 为取出3球所得分数之和.(Ⅰ)求X 的分布列；(Ⅱ)求X 的数学期望E(X).2( 2.072)0.15P K ≥=2( 2.706)0.10P K ≥=2( 3.841)0.05P K ≥=()2 5.0240.025P K ≥=参考答案1．答案：D解析：易知，则，故选：D.2．答案：C解析：变量x 与中y 随x 增大而减小，为负相关；u 与v 中，u 随v 的增大而增大，为正相关.3．答案：A解析：试题分析：若且，则，，所以，即；若，则如满足条件，但不满足且.所以“且”是“”的充分而不必要条件.故选A.4．答案：C解析：在的展开式中，第项的系数与第项的二项式系数相同，再根据中间项的二项式系数最大，展开式共有项，可得第项的系数最大，故选C.5．答案：B解析：由题意，随机变量X 服从正态分布，则正态分布曲线关于对称，又由，根据正态分布曲线的对称性，可得，所以，故选B.6．答案：A解析：因为，得，即.所以故选A 7．答案：A解析：由题意可知{}1,2,3A B = {}()4U A B = ð2x ≥2y ≥24x ≥24y ≥228x y +≥224x y +≥224x y +≥()2,2--2x ≥2y ≥2x ≥2y ≥224x y +≥()()2*1x n n +∈N 1r +1r +21n +1n +22,N σ（）2x =(4)0.8P X <=(0)(4)1(4)0.2P X P X P X ≤=≥=-<=1(02)(0)0.50.20.32P X P X <<=-≤=-=()123E X n ==6n =16,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭()2426112C 133P X ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2265211C C C P B +==()26211C C AB ==所以故选：A.8．答案：D解析：令得.故原式=.的通项，由得,对应的常数项，由得,对应的常数项，故所求的常数项为40，故选D 9．答案：B解析：由分步乘法原理知:用0，1，…，9十个数字组成的三位数(含有重复数字的)共有，组成无重复数字的三位数共有，因此组成有重复数字的三位数共有.10．答案：70解析：设的展开式中含的项为第项，则由通项知.令，解得，的展开式中的系数为.11．答案：,或,解析：全称量词命题的否定是存在量词命题，要注意否定结论，所以命题,的否定是：,故答案为：,12．答案：-1094解析：令，则，，()()()|P AB P A B P B ==1x =1a =5112x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭521552155C (2)()C (1)2r r r r rr r r T x x x ----+=-=-521r -=2r =80=521r -=-3r =80=-91010900⨯⨯=998648⨯⨯=900648252-=822x y 1r +()811882222188C 1C rrr rr r r r r r T xy x y x y -----+--++⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭822r r -+-=4r =∴822x y ()4481C 70-=0x ∃∈R 2010x +≤x ∃∈R 210x +≤:p x ∀∈R 210x +>0x ∃∈R 2010x +≤0x ∃∈R 2010x +≤()7270127()12f x x a a x a x a x =-++++= 0127(1)1a a a a f ++++==- 701273(1)32187a a a a f a -++--==-=所以.故答案为：-109413．答案：1解析：因为有3个实数的集合可表示为，又可表示为，所以，即，则，即或，当时，集合为，与集合元素的互异性矛盾，故，，.故答案为：1.14．答案：60解析：若每个村去一个人，则有种分配方法；若有一个村去两人，另一个村去一人，则有种分配方法，所以共有60种不同的分配方法.解析：设“第1天去甲餐厅用餐“，“第1天去乙餐厅用餐”，“第2天去甲餐厅用餐”，“第2天去乙餐厅用餐”，根据题意得，则则由全概率公式得：，即1357(1)(1)10942f f a a a a --==-+++,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}2,0,a a b +a ≠0=0b =21a =1a =1a =-1a ={1,0,1}{1,1,0}1a =-0b =202420241a b +=34A 24=1234C A 36⨯=1A =1B =2A =2B =1122()()()()P A P B P A P B ====()21|A A =()21|P A B =21(|)P B A =()()()21211|P A B A B P B ==()214152P A B =⨯=()()()2112225|12P A B P B A P A ===()22|B A =21222121222()()()()(|)()(|)P B P A B P A B P A P B A P A P B A =+=+212113()252510P B =⨯+⨯=16．答案：（1）证明见解析；（2）166650解析：（1）证明：；（2）＝.17．答案：（1）；（2）（3）不存在满足题意的实数m解析：（1）；当时，满足，则，解得：；当时，由得：，解得：；综上所述：实数m 的取值范围为.（2）由得：，解得：，即实数m 的取值范围为.（3），，方程组无解，不存在满足题意的实数m .18．答案：（1）见解析；（2）；()()1!!!!(1)!C 1!C m m n n n n m n m m n m -+---++=()()()()()!1!1!!1!!1!!1!n n m n n m m n mm n m m n m m n m -+-++=+=-+-+-+()()11!!(1)C !(1)!!1!m n n n n m n m m n m +++===-+-+3223102222223223410044041300C C C C C C C C C C C =+++=+++++++ 22323310010010515100C C 10110099C C C 16665032C ⨯⨯==+++==+=⨯ (],3-∞[]3,4{}()(){}{}2310052025A x x x x x x x x =--≤=-+≤=-≤≤B =∅B A ⊆121m m +>-2m <B ≠∅B A ⊆12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩23m ≤≤(],3-∞A B ⊆62126521m m m m -≤-⎧⎪-≥-⎨⎪≤-⎩34m ≤≤[]3,4A B = 62215m m -=-⎧∴⎨-=⎩∴ˆ0.70.35yx =+（3）19.65吨解析：（1）把所给的四对数据写成对应的点的坐标，在坐标系中描出来，得到散点图如下；（2）由对照数据，计算得，，，，回归方程的系数为，，所求线性回归方程为；（3）由（2）的线性回归方程，估计生产100吨甲产品的生产能耗为（吨，吨，预测比技改前降低了19.65吨标准煤.19．答案：（1）答案见解析；（2）有关系解析：（1）根据题中所给数据，得到如下列联表：1(3456) 4.54x =⨯+++=1(2.534 4.5) 3.54y =⨯+++=4222221345686ii x==+++=∑413 2.543546 4.566.5iii x y==⨯+⨯+⨯+⨯=∑∴266.54 4.5 3.5ˆ0.7864 4.5b -⨯⨯==-⨯ 3.50.7 4.5ˆ0.35a =-⨯=∴ˆ0.70.35yx =+0.71000.3570.35⨯+=)9070.3519.65∴-=22⨯由（1）中的的列联表，可得，所以有充分的理由认为假设不成立，即认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多少有关，这种判断出错误的概率不超过0.10.20．答案：(Ⅰ)见解析；解析：(Ⅰ)X 的可能取值有：3，4，5，6.故，所求X 的分布列为22⨯()220.10226943 2.7641 2.7061210139K K ⨯⨯-⨯=≈>=⨯⨯⨯3539C (3)C P X ===215439C C (4)C X ===125439C C (5)C P X ===3439C (6)C P X ===()51051345642211421E X ⨯+⨯+⨯+⨯==。
2023-2024学年天津市高二(下)期中数学试卷(含解析)
2023-2024学年天津市高二（下）期中数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知函数321()23f x x x =-，则()f x 的单调减区间是()A ．(4,)+∞B ．(0,2)C ．(0,4)D ．(,0)-∞2．（5分）某厂家生产的新能源汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在2s 内完成刹车，其位移h （单位：)m 关于时间t （单位：)s 的函数关系式为340()23h t t t =--+，则h '（1）的实际意义是()A ．汽车刹车后1s 内的位移B ．汽车刹车后1s 内的平均速度C ．汽车刹车后1s 时的瞬时速度D ．汽车刹车后1s 时的瞬时加速度3．（5分）已知函数()f x 的图象如图所示，()f x '为()f x 的导函数，根据图象判断下列叙述正确的是()A ．12()()f x f x '<'B ．12()()f x f x '>'C ．12()()0f x f x <'<D ．12()()0f x f x '>>4．（5分）已知2x =是2()23f x lnx ax x =+-的极值点则()f x 在1[3，3]上的最大值是()A ．9232ln -B ．52-C ．17238ln --D ．224ln -5．（5分）用1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的五位数，要求偶数不能相邻，则这样的五位数有()个．A ．120B ．216C ．222D ．2526．（5分）若53(2x x-的展开式中的二项式系数和为A ，各项系数和为B ，则(A B -=)A ．33B ．31C ．33-D ．31-7．（5分）已知()f x 为定义在(-∞，0)(0⋃，)+∞上的偶函数，()f x '是()f x 的导函数，若当0x >时，()()0f x f x lnx x'+<，则不等式(1)()0x f x -<的解集是()A ．(1,)+∞B ．(0,1)C ．(-∞，0)(1⋃，)+∞D ．(,0)-∞8．（5分）已知函数122()x f x e -=，()2g x lnx =+，若()()f m g n =，则m n -的最大值是()A ．212ln +-B ．14e-C ．12ln +D ．223ln +二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。
天津市天津中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(原卷版)
天津市天津中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷一.选择题(共9小题，每道题5分，共45分)1. 已知全集，集合，，则为A. {1,2,4}B. {2,3,4}C. {0,2,4}D. {0,2,3,4}2 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 命题“”的否定是（ ）A. B. C. D.5. 现从名男医生和名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用表示事件“抽到的两名医生性别相同”，表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则（）AB.C.D.6. 对两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据：、、、，则下列说法中不正确的是（ ）A. 由样本数据得到的线性回归方程必过样本点的中心B. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C. 用相关指数来刻画回归效果，的值越小，说明模型的拟合效果越好D. 若变量和之间相关系数，则变量与之间具有线性相关关系7. 已知变量x 和y 满足经验回归方程，且变量x 和y 之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（ ）681012743..的{}0,1,2,3,4U ={1,2,3}A ={}2,4B =()U A B ⋃ð{}2{1,1,2,4},|20A B x x x =-=-≤A B = {1,2}-{1,2}{}1,4{1,4}-2x x ≤11x≥0,210x x x ∀≥+-≥0,210x x x ∀≥+-<0000,210xx x ∃≥+-≥0,210x x x ∃≥+-<0000,210xx x ∃<+-<43A B ()P B A =13472334y x ()11,x y ()22,x y ⋯(),n n x y y bx a =+$$$(),x y 2R 2R y x 0.9362r =-y x 0.610.4y x =-+x ymA. 变量x 和y 呈负相关B. 当时，C.D. 该经验回归直线必过点8. 给图中A ，B ，C ，D ，E 五个区域染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有四种颜色可供选择，则不同的染色方案共有（ ）A. 24种B. 36种C. 48种D. 72种9. 设函数，，对，不等式恒成立，则正数的取值范围为A. B. C. D. 二.填空题(共6小题，每道题5分，共30分)10. 在的展开式中，x 的系数为______________．11. 不等式的解集为______．12. 函数____________．13. 受环境和气候影响，近阶段在相邻的甲、乙、丙三个市爆发了支原体肺炎，经初步统计，这三个市分别有的人感染了支原体肺炎病毒，已知这三个市的人口数之比为，现从这三个市中任意选取一个人.则这个人感杂支原体肺炎病毒的概率为_______________.14. 若，，，则最小值为_______．15. 已知，，，则的最大值是______．的10x = 4.4y =5.6m =()9,52221(),()x e x e xf xg x x e+==12,(0,)x x ∀∈+∞()()12g x kf x ≤k [)1,+∞[)2,∞+1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭53x ⎫⎪⎭276x x -+>141y x =-8%,6%,4%4:6:100x >0y >21x y +=212y xy+0a >0b >1a b c ++=2221a b c ++-三.解答题（共6小题，共75分)16. 已知在的展开式中，第6项为常数项．求n 的值；求展开式的所有项的系数之和；求展开式中所有的有理项．17. 已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和3个黑球.现在从甲、乙两个盒内各任取2个球.（1）求取出的4个球均为黑色球的概率；（2）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（3）设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望.18. 已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．19.某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响．（Ⅰ）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率（Ⅱ）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标．另外2次未击中目标的概率；（Ⅲ）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记为射手射击3次后的总的分数，求的分布列．20. 已知是函数的一个极值点.（1）求；（2）求函数的单调区间；（3）若函数有3个零点，求的取值范围.21. 已知函数，，（是自然对数的底数）（1）若在点处切线方程为，求实数a 的值的()*n n N ∈()I ()II ()III ξξ()316f x x x =+-()y f x =()2,6-l ()y f x =l 23ξξ3x =2()ln(1)10f x a x x x =++-a ()f x ()y f x b =-b ()ln f x x ax =-()e g x x =R a ∈e ()f x ()()1,1f 210x y ++=（2）求的单调区间（3）若恒成立，求实数a 的取值范围()f x ()()f x g x ≤。
天津市高二下学期数学期中考试试卷
天津市高二下学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高三上·抚州月考) 若，则（）A . -2B . 2C .D .2. （2分） (2019高二上·惠州期末) 若是函数的导函数，则的值为（）A . 1B . 3C . 1或3D . 43. （2分） (2019高二下·台州期末) 已知，那么（）A . 20B . 30C . 42D . 724. （2分）若，其中a，b∈R，是虚数单位，则（）A . 1B . 2C .D . 55. （2分）在的展开式中，的系数为（）A .B .C .D .6. （2分） (2020高二下·重庆期末) 下图是相关变量的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程：，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下数据，得到线性回归方程：，相关系数为；则（）A .B .C .D .7. （2分）已知变量x,y之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，回归直线l的方程为，则下列说法正确的是（）A . >0， <0B . >0， >0C . <0， <0D . <0， > 08. （2分）除以88的余数是（）A . －1B . －87C . 1D . 879. （2分） 5个人分4张无座足球票，每人至多分一张，而且票必须分完，那么不同分发总数是（）A . 5B . 10C . 20D . 12010. （2分）若复数（ a 为实数， i 为虚数单位）是纯虚数，则 a= （）A . 7B . -7C .D .11. （2分） (2015高二下·宜春期中) 若（2x﹣1）2016=a0+a1x+…+a2016x2016（x∈R），则 + + +…+ =（）A . ﹣B .C . ﹣D .12. （2分） (2017高二下·宜春期中) 已知函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图，则（）A . 函数f（x）有1个极大值点，1个极小值点B . 函数f（x）有2个极大值点，2个极小值点C . 函数f（x）有3个极大值点，1个极小值点D . 函数f（x）有1个极大值点，3个极小值点二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2020高二下·郑州期末) 化简： ________.14. （1分） (2015高二下·周口期中) 如图是y=f（x）的导函数的图象，现有四种说法：1）f（x）在（﹣2，1）上是增函数；2）x=﹣1是f（x）的极小值点；3）f（x）在（﹣1，2）上是增函数；4）x=2是f（x）的极小值点；以上说法正确的序号是________．15. （1分） (2019高二下·上海期末) 已知集合，，，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中的点的坐标，则确定不同点的坐标个数为________．16. （1分）(2017·桂林模拟) 在（1+x）5+（1+x）6+（1+x）7的展开式中，x6的系数等于________．三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分） (2019高二下·佛山月考) 已知 ,函数 .求当时，在区间上的最小值.18. （15分） (2017高一下·新余期末) 设关于x的一元二次方程x2+ax﹣ +1=0．（1）若a是从1，2，3这三个数中任取的一个数，b是从0，1，2这三个数中任取的一个数，求上述方程中有实根的概率；（2）若a是从区间[0，3]中任取的一个数，b是从区间[0，2]中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．19. （10分） (2016高三上·德州期中) 已知函数f（x）=alnx﹣x+1（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），都有f（x）≤0，求实数a的取值范围；（Ⅲ）证明（其中n∈N* ， e为自然对数的底数）．20. （10分）(2020·安阳模拟) 截至2019年，由新华社《瞭望东方周刊》与瞭望智库共同主办的"中国最具幸福感城市"调查推选活动已连续成功举办12年，累计推选出60余座幸福城市，全国约9亿多人次参与调查，使"城市幸福感"概念深入人心.为了便于对某城市的"城市幸福感"指数进行研究，现从该市抽取若干人进行调查，绘制成如下不完整的2×2列联表(数据单位:人).男女总计非常幸福1115比较幸福9总计30附: ，其中 .）0．100. 050. 0100.0012.7063.841 6. 63510. 828（1）将列联表补充完整，并据此判断是否有90%的把握认为城市幸福感指数与性别有关；（2）若感觉"非常幸福"记2分，"比较幸福"记1分，从上表男性中随机抽取3人，记3人得分之和为，求的分布列，并根据分布列求的概率21. （10分） (2019高三上·宜昌月考) 已知．（1）若在上恒成立，求实数的取值范围；（2）证明：当时，．22. （10分） (2020高二上·合肥开学考) 下表是某学生在4月份开始进人冲刺复习至高考前的5次大型联考数学成绩(分)；附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， .（1）请画出上表数据的散点图；（2）①请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；②若在4月份开始进入冲刺复习前，该生的数学分数最好为116分，并以此作为初始分数，利用上述回归方程预测高考的数学成绩，并以预测高考成绩作为最终成绩，求该生4月份后复习提高率.(复习提高率=，分数取整数)参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共65分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。