第11周 成都七中初升高自主招生考试试题 数学试题
ll成都七中初升高自主招生考试试题数学试题卷I（选择题，共36分）一．选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．计算3×(-2) 的结果是( )A．5 B．-5 C．6 D．-62．如图1，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B = 40°，∠ACD = 120°，则∠A等于( )A．60° B．70°C．80° D．90°3．下列计算中，正确的是( )A．020=B．623)(aa=C3=±D．2aaa=+4．如图2，在□ABCD中，AC平分∠DAB，AB = 3，则□ABCD的周长为( )A．6 B．9C．12 D．155．把不等式2x-< 4的解集表示在数轴上，正确的是( )6．如图3，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( )A．点P B．点M C．点R D．点Q7．若，则的值为（）20x+=xyA．或B．或C．或D．或606-0508-08．已知的大小关系是（）yxabbybbaxba,,,,0则--=-+=<<A． B．= C． D．与、yx>x y yx<a b9．如图4,已知边长为1的正方形ABCD，E为CD边的中点，动点P在正方形ABCD边上沿运动，设点P经过的路程A B C E→→→为，△的面积为，则关于的函数的图象大致为（x APE y y x10．如图5，两个正六边形的边长均为1，其中一个正六边形A图2B图1图3）））A-2BD2C-2一边恰在另一个正六边形的对角线上，则这个图形（阴影部分）外轮廓线的周长是( )A ．7B ．8C ．9D ．1011．如图6，已知二次函数的2y ax bx c =++图像如图所示，则下列6个代数式,,,,2,ab ac a b c a b c a b ++-++中其值为正的式子个数为（ ）2a b -A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个12．将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图7-1．在图7-2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图7-1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是()卷Ⅱ(非选择题共分),114二．填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．将答案直接填写在题中横线上．13．-的相反数是 ．14．如图8，矩形ABCD 的顶点A ，B 在数轴上， CD = 6，点A 对应的数为1-，则点B 所对应的数为 ．15．如图9，有五张点数分别为2，3，7，8，9的扑克牌， 从中任意抽取两张，则其点数之积是偶数的概率为 ．16．已知x = 1是一元二次方程02=++n mx x 的一个根，则 222n mn m ++的值为．17．把三张大小相同的正方形卡片A ，B ，C 叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．若按图10-1摆放时，阴影部分的面积为S 1；若按图10-2摆放时，阴影部分的面积为S 2，则S 1 S 2（填“＞”、“＜”或“=”）．18．南山中学高一年级举办数学竞赛，A 、B 、C 、D 、E 五位同学得了前五名，发奖前，老师让他们猜图10-1图10-2图8图7-1图7-2图9n一猜各人的名次排列情况.A 说：B 第三名，C 第五名；B 说：E 第四名，D 第五名；C 说：A 第一名，E 第四名；D 说：C 第一名，B 第二名；E 说：A 第三名，D 第四名.老师说:每个名次都有人猜对，试判断获得第一至第五名的依次为 .三、解答题（本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．(1)（本小题满分8分）解方程：1211+=-x x .(2)（本小题满分8分）先化简再求值： ，其中.22214(2442a a a a a a a a ----÷++++22430a a +-=20．（本小题满分12分）甲、乙两校参加区教育局举办的学生英语口语竞赛，两校参赛人数相等．比赛结束后，发现学生成绩分别为7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据统计数据绘制了如下尚不完整的统计图表．（1）在图11-1中，“7分”所在扇形的圆心角等于 °．（2）请你将图11-2的统计图补充完整．（3）经计算，乙校的平均分是8.3分，中位数是8分，请写出甲校的平均分、中位数；并从平均分和中位数的角度分析哪个学校成绩较好．（4）如果该教育局要组织8人的代表队参加市级团体 赛，为便管理，决定从这两所学校中的一所挑选参赛选手， 请你分析，应选哪所学校？21．（本小题满分12分）如图12，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 与甲校成绩统计表乙校成绩扇形统计图图11-1乙校成绩条形统计图图11-2图13-2AD OBC 21MN图13-1ADBM N12D 2MO 坐标原点重合，顶点A ，C 分别在坐标轴上，顶点B 的坐标为（4，2）．过点D （0，3）和E （6，0）的直线分别与AB ，BC 交于点M ，N ．（1）求直线DE 的解析式和点M 的坐标；（2）若反比例函数xmy =（x ＞0）的图象经过点M ，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N 是否在该函数的图象上；（3）若反比例函数xmy =（x ＞0）的图象与△MNB 有公共点，请直接写出m 的取值范围．22．（本小题满分12分）某仪器厂计划制造A 、B 两种型号的仪器共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于制造仪器，两种型号的制造成本和售价如下表：AB 成本（万元/套）2528售价（万元/套）3034（1）该厂对这两种型号仪器有哪几种制造方案？（2）该厂应该选用哪种方案制造可获得利润最大？（3）根据市场调查，每套B 型仪器的售价不会改变，每套A 型仪器的售价将会提高万元（>0），a a 且所制造的两种仪器可全部售出，问该厂又将如何制造才能获得最大利润？23．（本小题满分12分）在图13-1至图15-3中，直线MN 与线段AB 相交于点O ，∠1 = ∠2 = 45°．（1）如图13-1，若AO = OB ，请写出AO 与BD 的数量关系和位置关系；（2）将图13-1中的MN 绕点O 顺时针旋转得到图13-2，其中AO = OB ．求证：AC = BD ，AC ⊥ BD ；（3）将图13-2中的OB 拉长为AO 的k 倍得到图13-3，求ACBD的值．24．（本小题满分12分）如图14，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90B ∠=︒，AD = 6，BC = 8，33=AB ，点M 是BC 的中点．点P 从点M 出发沿MB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动，到达点B 后立刻以原速度沿BM 返回；点Q 从点M 出发以每秒1个单位长的速度在射线MC 上匀速运动．在点P ，Q 的运动过程中，以PQ 为边作等边三角形EPQ ，使它与梯形ABCD 在射线BC 的同侧．点P ，Q 同时出发，当点P 返回到点M 时停止运动，点Q 也随之停止．设点P ，Q 运动的时间是t 秒(t ＞0)．（1）设PQ 的长为y ，在点P 从点M 向点B 运动的过程中，写出y 与t 之间的函数关系式（不必写t 的取值范围）．（2）当BP = 1时，求△EPQ 与梯形ABCD 重叠部分的面积．（3）随着时间t 的变化，线段AD 会有一部分被△EPQ 覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出t 的取值范围；若不能，请说明理由．25．（本小题满分14分）如图15，抛物线经过轴上的两点、和轴上的点2(0)y ax bx c a =++≠x 1(,0)A x 2(,0)B x yB 图14B（备用图），的圆心在轴上，且经过、两点，若，3(0,2C -P A P y B C b =AB =求：（1）抛物线的解析式；（2）在抛物线上，且、两点关于抛物线的对称轴对称，问直线是否经过圆心？D C D BD P 并说明理由；（3）设直线交于另一点，求经过点和的切线的解析式．BD P A E E P A 2011年绵阳南山中学实验学校自主招生考试模拟试题（一）数学参考答案一、选择题题 号123456789101112答 案DCBCADBCABBC二、填空题13.5 14.515.16.1 17. = 18. C 、B 、A 、E 、D.710三、解答题19．（1）解：)1(21-=+x x ， 3=x ．经检验知，3=x 是原方程的解．………………8分（2）解：………………6分由已知得，代入上式的原式………………8分2322a a +=23=20．解：（1）144；………………3分（2）如图1；………………6分（3）甲校的平均分为8.3分，中位数为7分；………………8分由于两校平均分相等，乙校成绩的中位数大于甲校的中位数，所以从平均分和中位数角度上判断，乙校的成绩较好．………………9分（4）因为选8名学生参加市级口语团体赛，甲校得10分的有8人，而乙校得10分的只有5人，所以应选甲校．………………12分乙校成绩条形统计图图12222222212[](2)(2)4(2)(2)(1)2(2)442(2)442(2)41(2)12a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a--+=-⨯++--+--+=⨯+---++=⨯+--+=⨯+-=+=+原式21．解：（1）设直线DE 的解析式为b kx y +=，∵点D ，E 的坐标为（0，3）、（6，0），∴ ⎩⎨⎧+==.60,3b k b解得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=.3,21b k ∴ 321+-=x y ．………………2分∵ 点M 在AB 边上，B （4，2），而四边形OABC 是矩形，∴ 点M 的纵坐标为2．又 ∵ 点M 在直线321+-=x y 上，∴ 2 = 321+-x ．∴ x = 2．∴ M （2，2）．………………4分（2）∵xmy =（x ＞0）经过点M （2，2），∴ 4=m ．∴xy 4=.………………5分又 ∵ 点N 在BC 边上，B （4，2），∴点N 的横坐标为4．∵ 点N 在直线321+-=x y 上，∴ 1=y ．∴ N （4，1）． ………………8分∵ 当4=x 时，y =4x= 1，∴点N 在函数 xy 4=的图象上．………………9分（3）4≤ m ≤8．………………12分22．解：（1） 设A 种型号的仪器造x 套,则B 种型号的仪器造(80-x)套,由题意得:()20968028252090≤-+≤x x 解之得: ………………2分5048≤≤x 所以 x=48、49、50 三种方案：即：A 型48套，B 型32套；A 型49套，B 型31套；A 型50套，B 型30套。
2019年四川省成都七中自主招生数学试卷(含答案)
面积的 ，则 BE 的长为
．
16．（7 分）已知关于 x 的方程
恰好有两个实数解，
则 m 的取值范围为
．
17．（8 分）如图，PA 切⊙O 于点 A，PE 交⊙O 于点 F、E，过点 A 作 AB⊥PO 于点 D，交
⊙O 于点 B，连接 DF，若 sin∠BAO＝ ，PE＝5DF，则 ＝
．
18．（8 分）如图，四边形 ABCD 中，AB＝AD＝5，BC＝DC＝12，∠B＝∠D＝90°．M 和
即：满足|ab|+|a﹣b|＝1 的所有整数对（a，b）为（0，1）或（0，﹣1）或（1，0）或（﹣
1，0）或（1，1）或（﹣1，﹣1）．
∴满足|ab|+|a﹣b|﹣1＝0 的整数对（a，b）共有 6 个．
故选：C．
6．（5 分）在凸四边形 ABCD 中，E 为 BC 边的中点，BD 与 AE 相交于点 O，且 BO＝DO，
2．（5 分）将一个棱长为 m（m＞2 且 m 为正整数）的正方体木块的表面染上红色，然后切
成 m3 个棱长为 1 的小正方体，发现只有一个表面染有红色的小正方体的数量是恰有两个
表面染有红色的小正方体的数量的 12 倍，则 m 等于（ ）
A．16
B．18
C．26
D．32
【答案】C
【分析】只有一个表面染有红色的小正方体的数量为 6（m﹣2）2，恰有两个表面染有红
∵2019÷10＝201…9，
（1+4+9+6+5+6+9+4+1+0）×201+（1+4+9+6+5+6+9+4+1）
2019年四川省成都七中自主招生数学试卷(含答案解析)
2019年四川省成都七中自主招生数学试卷副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若M =5x 2−12xy +10y 2−6x −4y +13(x 、y 为实数)，则M 的值一定是( )A. 非负数B. 负数C. 正数D. 零 2. 将一个棱长为m(m >2且m 为正整数)的正方体木块的表面染上红色，然后切成m 3个棱长为1的小正方体，发现只有一个表面染有红色的小正方体的数量是恰有两个表面染有红色的小正方体的数量的12倍，则m 等于( ) A. 16 B. 18 C. 26 D. 32 3. 已知6a 2−100a +7=0以及7b 2−100b +6=0，且ab ≠1，则ab 的值为( )A. 503B. 67C.1007D. 764. 若a =√3√2+√3+√5，b=2+√6−√10，则ab 的值为( )A. 12B. 14√2+√3√6+√105. 满足|ab|+|a −b|−1=0的整数对(a,b)共有( )A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个6. 在凸四边形ABCD 中，E 为BC 边的中点，BD 与AE 相交于点O ，且BO =DO ，AO =2EO ，则S △ACD ：S △ABD 的值为( ) A. 2：5 B. 1：3 C. 2：3 D. 1：27. 从1到2019连续自然数的平方和12+22+32+⋯+20192的个位数字是( )A. 0B. 1C. 5D. 9 8. 已知x +y +z =0，且1x+1+1y+2+1z+3=0，则代数式(x +1)2+(y +2)2+(z +3)2的值为( ) A. 3 B. 14 C. 16 D. 369. 将一枚六个面编号分别为1、2、3、4、5、6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则使关于x 、y 的方程组{ax +by =22x +y =3，只有正数解的概率为( ) A. 112B. 16C. 518D. 133610. 方程3a 2−8a −3b −1=0，当a 取遍0到5的所有实数值时，则满足方程的整数b 的个数是( ) A. 12个 B. 13个 C. 14个 D. 15个11. 若一个三角形的三边和为40，且各边长均为整数，则符合条件的三角形的个数为( ) A. 31个 B. 32个 C. 33个 D. 34个12. 若关于x 的方程x 2+ax +b −3=0有实根，则a 2+(b −4)2的最小值为( )A. 0B. 1C. 4D. 9二、填空题（本大题共7小题，共52.0分）13.已知x=3+√132，则代数式x4−3x3−3x+1的值为______．14.在正十边形的10个顶点中，任取4个顶点，那么以这4个顶点为顶点的梯形有______个．15.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，D为AB中点，E为边BC上一点，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，使△A′DE与△BDE重叠部分的面积占△ABE面积的14，则BE的长为______．16.已知关于x的方程√x2−2x+1−√x2−4x+4+2√x2−6x+9=m恰好有两个实数解，则m的取值范围为______．17.如图，PA切⊙O于点A，PE交⊙O于点F、E，过点A作AB⊥PO于点D，交⊙O于点B，连接DF，若sin∠BAO=23，PE=5DF，则PFPE=______．18.如图，四边形ABCD中，AB=AD=5，BC=DC=12，∠B=∠D=90°.M和N分别是线段AD和线段BC上的点，且满足BN=DM，则线段MN的最小值为______．19.若−12<x<1，x1+x−2x2=a0+a1x+a2x2+a3x3…+a n x n，则a2+a3=______．三、解答题（本大题共2小题，共38.0分）20.已知二次函数y=x2+(a−7)x+6，反比例函数y=ax(1)当a=2时，求这两个函数图象的交点坐标；(2)若这两个函数的图象的交点不止一个，且交点横、纵坐标都是整数，求符合条件的正整数a的值；(3)若这两个函数的交点都在直线x=12的右侧，求a的取值范围．21.已知：四边形ABCD中，点E、F分别为边AD、AB上的点，连接BE、DF相交于点G，且满足∠ADF=∠ABE(1)如图1，若DE=BG=n，cos∠AEB=23，GE=3，求AE的长(用含n的代数式表示)；(2)如图2，若ABCD为矩形，G恰为BE中点，连接CG，AE=1，作点A关于BE，求DE的长．的对称点A′，A′到CG的距离为3√24答案和解析1.【答案】A【解析】解：M =5x 2−12xy +10y 2−6x −4y +13=4x 2−12xy +9y 2+y 2−4y +4+x 2−6x +9=(2x −3y)2+(y −2)2+(x −3)2≥0，故M 一定是非负数． 故选：A ．通过配方法配出平方根，从而判断M 值的大小．本题考查了配方法的应用，熟练配方法的应用是解答此题的关键． 2.【答案】C【解析】解：将一个棱长为m(m >2且m 为正整数)的正方体木块的表面染上红色，然后切成m 3个棱长为1的小正方体，则只有一个表面染有红色的小正方体的数量为6(m −2)2， 恰有两个表面染有红色的小正方体的数量12(m −2)，∵只有一个表面染有红色的小正方体的数量是恰有两个表面染有红色的小正方体的数量的12倍，∴6(m −2)2=12×12(m −2)， 解得m 1=26，m 2=2(舍去)， 故选：C ．只有一个表面染有红色的小正方体的数量为6(m −2)2，恰有两个表面染有红色的小正方体的数量12(m −2)，根据只有一个表面染有红色的小正方体的数量是恰有两个表面染有红色的小正方体的数量的12倍，即可得到m 的值． 本题主要考查了正方体，解决问题的关键是抓住表面涂色的正方体切割小正方体的特点：1面涂色的在面上，2面涂色的在棱长上，3面涂色的在顶点处，没有涂色的在内部，由此即可解决此类问题． 3.【答案】D【解析】解：∵7b 2−100b +6=0， ∴6×1b 2−100×1b+7=0，∵6a 2−100a +7=0，∴a 、1b 是方程6x 2−100x +7=0的两根， ∴由根与系数的关系可知：ab =76，故选：D ．根据根与系数的关系即可求出答案． 本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型． 4.【答案】B【解析】解：a =√3√2+√3+√5√2+√3−√5√2+√3−√5=√3(√2+√3−√5)2√6=√2(√2+√3−√5)4=b4．∴ab =14． 故选：B ． 将a 乘以√2+√3−√5√2+√3−√5可化简为关于b 的式子，从而得到a 和b 的关系，继而能得出ab 的值．本题考查二次根式的乘除法，有一定难度，关键是在分母有理化时要观察b的形式．5.【答案】C【解析】解：∵|ab|+|a−b|=1，∴0≤|ab|≤1，0≤|a−b|≤1，∵a，b是整数，∴|ab|=0，|a−b|=1或|a−b|=0，|ab|=1①当|ab|=0，|a−b|=1时，Ⅰ、当a=0时，b=±1，∴整数对(a,b)为(0,1)或(0,−1)，Ⅱ、当b=0时，a=±1，∴整数对(a,b)为(1,0)或(−1,0)，②当|a−b|=0，|ab|=1时，∴a=b，∴a2=b2=1，∴a=1，b=1或a=−1，b=−1，∴整数对(a,b)为(1,1)或(−1,−1)，即：满足|ab|+|a−b|=1的所有整数对(a,b)为(0,1)或(0,−1)或(1,0)或(−1,0)或(1,1)或(−1,−1)．∴满足|ab|+|a−b|−1=0的整数对(a,b)共有6个．故选：C．先判断出|ab|=0，|a−b|=1或|a−b|=0，|ab|=1，再借助a，b是整数即可得出结论．此题考查了绝对值，以及数对，分类讨论的思想，确定出|ab|=0，|a−b|=1或|a−b|= 0，|ab|=1是解题的关键．6.【答案】D【解析】解：如图，过点B作BF//AD交AE延长线于F，连接OC，∵BF//AD∴∠F=∠DAO∵BO=DO，∠BOF=∠DOA∴△FOB≌△AOD(AAS)∴FO=AO∵AO=2EO∴FO=2EO∴EO=EF，∵E为BC边的中点∴BE=CE∵∠BEF=∠CEO∴△BEF≌△CEO(SAS)∴∠BFE=∠COE∴BF//OCAD//OC∴S△ACD=S△AOD，∵BD=2OD∴S△ABD=2S△AOD，∴S△ABD=2S△ACD∴S△ACD：S△ABD=1：2；故选：D ．过点B 作BF//AD 交AE 延长线于F ，连接OC ，先证明△FOB≌△AOD ，再证明△BEF≌△CEO ，可得AD//OC ，可得S △ACD =S △AOD ，由S △ABD =2S △AOD ，可得S △ACD ：S △ABD =1：2；本题考查了全等三角形判定和性质，三角形面积，平行线间的距离等知识点，有一定的难度，解题关键是作平行线构造全等三角形． 7.【答案】A【解析】解：以2为指数的幂的末位数字是1，4，9，6，5，6，9，4，1，0依次循环的，∵2019÷10=201…9，(1+4+9+6+5+6+9+4+1+0)×201+(1+4+9+6+5+6+9+4+1) =45×201+45 =9045+45 =9090，∴12+22+32+42+⋯+20192的个位数字是0． 故选：A ．由题中可以看出，故个位的数字是以10为周期变化的，用2019÷10，计算一下看看有多少个周期即可．此题主要考查了找规律，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的关键是找到以2为指数的末位数字的循环规律． 8.【答案】D【解析】解：∵x +y +z =0，且1x+1+1y+2+1z+3=0，[(x +1)2+(y +2)2+(z +3)2][12+12+12]≥[(1×(x +1)+1×(y +2)+1×(z +3)]2=(x +y +z +6)2(x +1)2+(y +2)2+(z +3)2≥36∴(x +1)2+(y +2)2+(z +3)2的值为36． 故选：D ．根据已知条件可得x 、y 、z 的值即可求解．本题考查了分式的加减法，解决本题的关键是合理分析已知条件． 9.【答案】B【解析】解：①当a −2b =0时，方程组无解；②当a −2b ≠0时，方程组的解为由a 、b 的实际意义为1，2，3，4，5，6可得． 易知a ，b 都为大于0的整数，则两式联合求解可得x =3b−22b−a ，y =4−3a2b−a ， ∵使x 、y 都大于0则有x =3b−22b−a >0，y =4−3a2b−a >0， ∴解得a <43，b >23或者a >43，b <23，∵a ，b 都为1到6的整数，∴可知当a 为1时b 只能是1，2，3，4，5，6；或者a 为2，3，4，5，6时b 无解， 这两种情况的总出现可能有6种； (1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)，又掷两次骰子出现的基本事件共6×6=36种情况，故所求概率为=636=16， 故选：B ．首先分两种情况：①当a −2b =0时，方程组无解；②当a −2b ≠0时，方程组的解为由a 、b 的实际意义为1，2，3，4，5，6可得．把方程组两式联合求解可得x =3b−22b−a ，y =4−3a2b−a ，再由x 、y 都大于0可得x =3b−22b−a >0，y =4−3a 2b−a>0，求出a 、b 的范围，列举出a ，b 所有的可能结果，然后求出有正数解时，所有的可能，进而求出概率．此题主要考查了列表法求概率，以及二元一次方程的解法，题目综合性较强． 10.【答案】B【解析】解：∵3a 2−8a −3b −1=0， ∴b =a 2−83a −13=(a −43)2−259，∵0≤a ≤5， ∴−43≤a −43≤113， ∴0≤(a −43)2≤1219， ∴−259≤(a −43)2−259≤969，即−259≤b ≤969，∴整数b =−2，−1，0，1，…，10，共13个，故选：B ．首先将方程3a 2−8a −3b −1=0进行变形，变成用含a 的代数式表示b ，然后把含a 的代数式配方，再根据a 的取值求出b 的取值范围，由于是求b 的整数的个数，所以再找b 的取值范围内的整数解即可．此题主要考查了利用配方法求一元二次方程的整数根，做此题的关键是用含a 的代数式表示b ，然后根据a 的取值求b 的取值，综合性较强，难度不大． 11.【答案】C【解析】解：根据题意得三角形的三边都小于20， 设最小的两边为x ≤y ≤19，x +y >20 当x =2时，y =19， 当x =3时，y =18， 当x =4时，y =17，18， 当x =5时，y =16，17， 当x =6时，y =15，16，17， 当x =7时，y =14，15，16， 当x =8时，y =13，14，15，16， 当x =9时，y =12，13，14，15，当x =10时，y =11，12，13，14，15， 当x =11时，y =11，12，13，14， 当x =12时，y =12，13，14， 当x =13时，y =13，符合条件的三角形的个数为1+1+2+2+3+3+4+4+5+4+3+1=33， 故选：C ．首首先根据三角形的两边之和大于第三边以及三边和为40长，得到三角形的三边都必须小于20；再结合三角形的两边之差小于第三边进行分析出所有符合条件的整数．本题考查了三角形三边关系，关键是列出约束条件．12.【答案】B【解析】解：由x2+ax+b−3=0知b关于a的函数解析式为b+ax+x2−3=0，∵a2+(b−4)2的最小值可看做点(a,b)到(0,4)距离的最小值，则两点的距离d=2√12+x2=2√x2+1=√x2+1≥1，∴点(a,b)到(0,4)距离的最小值为1，即a2+(b−4)2的最小值为1，故选：B．由x2+ax+b−3=0知b关于a的函数解析式为b+ax+x2−3=0，而a2+(b−4)2的最小值可看做点(a,b)到(0,4)距离的最小值，再根据点到直线的距离公式求解可得．本题主要考查两点间的距离公式，熟练掌握公式的定义是解题关键．13.【答案】2【解析】解：当x=3+√132时，原式=x4−3x3−3x+1=(x2)2−3x(x2+1)+1=[(3+√132)2]2−3×3+√132[(3+√132)2+1]+1=(11+3√132)2−3×3+√132×13+3√132+1=119+33√132−117+33√132+1=1+1=2．故答案为：2．将原式适当变形，再代入进行计算便可．本题主要考查了求整式的值，二次根式的计算，适当进行整式的变形，可以减小计算的难度．14.【答案】60【解析】解：设正十边形为A1A2 (10)以A1A2为底边的梯形有A1A2A3A10、A1A2A4A9、A1A2A5A8共3个．同理分别以A2A3、A3A4、A4A5、…、A9A10、A10A1为底边的梯形各有3个，这样，合计有30个梯形．以A1A3为底边的梯形有A1A3A4A10、A1A3A5A9共2个．同理分别以A2A4、A3A5、A4A6、…、A9A1、A10A2为底边的梯形各有2个，这样，合计有20个梯形．以A1A4为底边的梯形只有A1A4A5A101个．同理分别以A2A5、A3A6、A4A7、…、A9A2、A10A3为底边的梯形各有1个，这样，合计有10个梯形，则以4个顶点为顶点的梯形有：30+20+10=60(个)，故答案为：60．分以A1A2为底边、A1A3为底边、A1A4为底边，根据梯形的概念、正多边形的性质解答．本题考查的是梯形的概念、正多边形的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．15.【答案】√52【解析】解：如图，连接AA′，延长ED交AA′于点M∵∠C=90°，AC=1，BC=2，∴AB=√AC2+BC2=√5∵D为AB中点，∴AD=DB=√5 2∵将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，∴AD=A′D，AE=A′E∴ED垂直平分AA′∴EM⊥AA′，∵AD=DB=AA′=√5 2∴△ABA′是直角三角形∴∠AA′B=90°，即AA′⊥A′B∴ME//A′B∴∠MEF=∠FA′B，∵△A′DE与△BDE重叠部分的面积占△ABE面积的14，∴S△DEF=14S△AEB，∴DF=14AB=12DB∴DF=FB，且∠MEF=∠FA′B，∠A′FB=∠EFD ∴△A′FB≌△EFD(AAS)∴EF=A′F，且DF=FB，∠EFB=∠A′FD∴△BFE≌△DFA′(SAS)∴AD=BE=√5 2故答案为：√52连接AA′，延长ED交AA′于点M，由勾股定理可求AB=√5，可得AD=DB=√52，由折叠的性质可得AD=A′D=DB，AE=A′E，可得AA′⊥A′B，EM⊥AA′，由题意可得DF= BF，由“AAS”可证△A′FB≌△EFD，可得EF=A′F，由“SAS”可得△BFE≌△DFA′，即可求BE的长．本题考查了翻折变换，勾股定理，直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，证明△A′FB≌△EFD是本题的关键．16.【答案】1≤m<3或m>3【解析】解：原方程变形为：|x−1|−|x−2|+2|x−3|=m，①当x≥3时，x−1−(x−2)+2(x−3)=m，x=m+52≥3，∴m=2x−5，此时m≥1；②当2≤x<3时，x−1−(x−2)+2(3−x)=m，x=7−m 2∴m=7−2x，此时1<m≤3；③当1≤x<2时，x−1−(2−x)+2(3−x)=m，∴m=3(不符合题意)；④当x<1时，1−x−(2−x)+2(3−x)=m，∴m=5−2x，此时m>3．恰好有两个实数解，所以1≤m<3或m>3，故答案为1≤m<3或m>3．解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程．解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．本题主要考查无理方程，解题的关键是掌握二次根式的性质、绝对值的性质等知识点．17.【答案】310【解析】解：连接OE，如图，∵AB⊥PO，∴∠ADO=90°，在Rt△ADO中，sin∠DAO=ODOA =23，设OD=2x，OA=3x，∵PA切⊙O于点A，∴OA⊥PA，∴∠APO=∠OAD，在Rt△APO中，sin∠APO=OAOP =23，∴OP=32×3x=92x，∵∠APD=∠OPA，∴Rt△PAD∽Rt△POA，∴PD：PA=PA：PO，即PA2=PD⋅PO，∵PA切⊙O于点A，PE交⊙O于点F、∴PA2=PF⋅PE，∴PD⋅PO=PF⋅PE，即PF：PO=PD：PE，而∠DPF=∠EPO，∴△PDF∽△PEO，∴DFOE =PFPO，∴PF=92x3x⋅DF=32DF，而PE=5DF，∴PFPE =32DF5DF=310．故答案为310．连接OE，如图，利用正切的定义得到sin∠DAO=ODOA =23，则可设OD=2x，OA=3x，再根据切线的性质得OA⊥PA，所以∠APO=∠OAD，利用正弦的定义得到OP=92x，证明Rt△PAD∽Rt△POA，利用相似比得到PA2=PD⋅PO，而PA2=PF⋅PE，所以PD⋅PO=PF⋅PE，则可判断△PDF∽△PEO，利用相似比得到PF=32DF，然后利用PE=5DF可得到PFPE的值．本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了切线的性质和切割线定理．18.【答案】60√213【解析】解：连接BD交AC于H，作∠ABC的平分线BP，交AC于P，连接PD，作PE⊥BC于E，连接PM、PN，如图所示：则PN≥PE，在△ABC和△ADC中，{AB=AD BC=DC AC=AC，∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠BAP=∠DAP，在△ABP和△ADP中，{AB=AD∠BAP=∠DAP AP=AP，∴△ABP≌△ADP(SAS)，∴∠ABP=∠ADP=12∠ABC=45°，BP=DP，∵∠ABP=∠NBP=12∠ABC=45°，∴∠NBP=∠MDP，在△NBP和△MDP中，{BN=DM∠NBP=∠MDP BP=DP，∴△NBP≌△MDP(SAS)，∴PM=PN，∠BPN=∠DPM，∴∠BPD=∠MPN，∵BP=DP，PM=PN，∴∠BDP=∠DBP=∠MNP=∠NMP，∴△PMN∽△PBD，∴MNBD =PNBP≥PEPB，∵sin∠NBP=PEPB =sin45°=√22，∴MNBD ≥√22，∴MN≥√22BD，在△ABH和△ADH中，{AB=AD∠BAH=∠DAH AH=AH，∴△ABH≌△ADH(SAS)，∴BH=DH，∠BHA=∠DHA=90°，AC=√AB2+BC2=√52+122=13，S△ABC=12AB⋅BC=12BH⋅AC，∴BH=AB⋅BCAC =5×1213=6013，∴BD=2BH=12013，∴MN≥√22×12013=60√213，∴线段MN的最小值为60√213，故答案为：60√213．连接BD交AC于H，作∠ABC的平分线BP，交AC于P，连接PD，作PE⊥BC于E，连接PM、PN，则PN≥PE，证明△ABC≌△ADC(SSS)，得出∠BAP=∠DAP，证明△ABP≌△ADP(SAS)，得出∠ABP=∠ADP=12∠ABC=45°，BP=DP，易证∠NBP=∠MDP，证明△NBP≌△MDP(SAS)，得出PM=PN，∠BPN=∠DPM，推出∠BPD=∠MPN，证出∠BDP=∠DBP=∠MNP=∠NMP，得出△PMN∽△PBD，则MNBD =PNBP≥PEPB，由sin∠NBP=PEPB =sin45°=√22，推出MNBD≥√22，即MN≥√22BD，证明△ABH≌△ADH(SAS)，得出BH=DH，∠BHA=∠DHA=90°，AC=√AB2+BC2=13，由S△ABC=1 2AB⋅BC=12BH⋅AC，求出BH=6013，得出BD=2BH=12013，即可得出结果．本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数等知识；本题综合性强，证明三角形相似和三角形全等是解题的关键． 19.【答案】2【解析】解：x =(1+x −2x 2)(a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3…+a n x n )， 当x =0时，a 0=0，∴1=(1+x −2x 2)(a 1+a 2x +a 3x 2…+a n x n−1)， 当x =0时，a 1=1，a 1+a 2=0，a 2+a 3−2a 1=0， ∴a 2=−1，a 3=3， ∴a 3+a 2=2， 故答案为2．先去分母，第一次赋值x =0求出a 0=0，再化简式子为1=(1+x −2x 2)(a 1+a 2x +a 3x 2…+a n x n−1)，第二次赋值x =0，求出a 1=1，再由等式的性质得到a 1+a 2=0，a 2+a 3−2a 1=0即可求解．本题考查数字的变化规律；能够通过所给例子，找到式子的规律，给式子恰当的赋值运算是解题的关键．20.【答案】解：(1)联立y =x 2+(a −7)x +6，y =ax 并整理得：x 3+(a −7)x 2+6x −a =0…①，a =2时，上式为：(x −1)(x 2−4x +2)=0， 解得：x =1或2+√2或2−√2，故函数交点坐标为：(1,2)或(2+√2,2−√2)或(2+√2,2−√2)； (2)①式中含有(x −1)的因式，即：(x −1)[x 2+(a −6)x +a]=0， 故其中一个根：x =1，a 为正整数，x 2+(a −6)x +a =0方程有一个到两个的根， △=(a −6)2−4a ≥0，交点横、纵坐标都是整数，则△一定是完全平方数(设为k)， 即(a −6)2−4a =k 2(k 为非负整数)， 整理得：(a −8)2−k 2=28，即：(a −8+k)(a −8−k)=28=4×7=2×14=1×28， 而a −8+k ≥a −8−k ，当a −8+k =7，a −8−k =4时，解得：a =13.5(舍去)； 当a −8+k =14，a −8−k =2时，解得：a =16； 当a −8+k =28，a −8−k =1时，a =23.5(舍去)； 故a =16；(3)两个函数的交点都在直线x =12的右侧，只会出现如下图所示的情况，两个函数三个交点在x =12的右侧，其中一个交点横坐标为x =1在x =12的右侧， 故只需要确定x 2+(a −6)x +a =0根的情况，只要左侧的根在x =12右侧即可， 解上述方程得：x =6−a±√a 2−16a+362，即6−a−√a2−16a+362>12，解得：a >116．故：a 的取值范围为：a >116．【解析】(1)联立y =x 2+(a −7)x +6，y =ax 并整理得：x 3+(a −7)x 2+6x −a =0，a =2时，上式为：(x −1)(x 2−4x +2)=0，即可求解；(2)(x −1)[x 2+(a −6)x +a]=0，故其中一个根：x =1，a 为正整数，x 2+(a −6)x +a =0方程有一个到两个的根，△=(a −6)2−4a ≥0，交点横、纵坐标都是整数，则△一定是完全平方数(设为k)，即(a −6)2−4a =k 2(k 为非负整数)，讨论确定a 的值； (3)两个函数的交点都在直线x =12的右侧，两个函数三个交点在x =12的右侧，其中一个交点横坐标为x =1在x =12的右侧，即6−a−√a2−16a+362>12，即可求解．本题考查的是二次函数与反比例函数的交点问题、根的判别式、整数的性质，涉及面较广，难度较大．21.【答案】解：(1)作GH ⊥AD 于H ，AI ⊥BE 于I ， ∵GE =3，cos∠AEB =23，∴EH =2，HG =√5，设AE =3x ，则EI =2x ，AI =√5x ，∴GI =3−2x ，BI =BG +GI =n +3−2x ， ∴DH =DE +EH =n +2， ∵∠ADF =∠ABE ，∴∠DHG =∠AIB =90°， ∴△GHD∽△AIB ， ∴DH BI=HG AI，∴n+2n+3−2x =√5√5x ， 解得：x =n+3n+4， ∴AE =3x =3n+9n+4；(2)如图2，连接AA′交BE 于M ，连接按个，作A′N ⊥CG 于N ，∵四边形ABCD 为矩形，G 恰为BE 中点，∴CG =DG ，∴∠GCD =∠GDC ，∴∠BCG =∠ADG =∠ABE =90°−∠CBG ， ∴∠BCG +∠CBG =90°， ∴CG ⊥BE ，∵AA′⊥BE ，A′N ⊥CG ， ∴四边形MA′NG 是矩形， ∴GM =A′N =3√24，设ME =x ，则AG =BG =GE =x +34√2， ∴AM 2=AG 2−GM 2=AE 2−EM 2=(x +3√24)2−(34√2)2=1−x 2， 解得：x =√24，∴BG =GE =ME +GM =√2， ∴BE =2√2，∵∠ABE =∠BCG ， ∴△GCB∽△ABE ， ∴BC BE =BG AE，∴2√2=√21， 解得：BC =4，∴AD =BC =4， ∴DE =AD −AE =4−1=3．【解析】(1)作GH ⊥AD 于H ，AI ⊥BE 于I ，根据已知条件得到EH =2，HG =√2，设AE =3x ，则EI =2x ，AI =√5x ，得到GI =3−2x ，BI =BG +GI =n +3−2x ，根据相似三角形的性质得到AE =3x =3n+9n+4；(2)如图2，连接AA′交BE 于M ，连接按个，作A′N ⊥CG 于N ，根据矩形的性质得到CG =DG ，求得∠GCD =∠GDC ，推出四边形MA′NG 是矩形，得到GM =A′N =3√24，设ME =x ，则AG =BG =GE =x +34√2，根据勾股定理列方程得到BG =GE =ME +GM =√2，求得BE =2√2，根据相似三角形的性质即可得到结论．本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．。
2019年四川省成都七中自主招生考试数学试卷(含详细解析)
自主招生考试数学试卷一、选择题（共10小题，每小题6分，满分60分）1．（6分）有一个角为60°的菱形，边长为2，其内切圆面积为（）A．B．C．D．2．（6分）若方程组的解为（a，b，c），则a+b+c=（）A．1 B．0 C．﹣1 D．23．（6分）圆O1与圆O2半径分别为4和1，圆心距为2，作圆O2的切线，被圆O1所截得的最短弦长为（）A．﹣1 B．8 C．2D．24．（6分）如下图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O，记△AOD、△ABO、△BOC的面积分别为S1、S2、S3，则S1+S3与2S2的大小关系为（）A．无法确定B．S1+S3＜2S2C．S1+S3=2S2D．S1+S3＞2S25．（6分）关于x的分式方程2k﹣4+仅有一个实数根，则实数k的取值共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．（6分）两本不同的语文书、两本不同的数学书和一本英语书排放在书架上，若同类书不相邻，英语书不放在最左边，则排法的种数为（）A．32 B．36 C．40 D．447．（6分）若a=，则的值的整数部分为（）A．1 B．2 C．3 D．48．（6分）在圆内接四边形ABCD中，∠BAD、∠ADC的角平分线交于点E，过E作直线MN平行于BC，与AB、CD交于M、N，则总有MN=（）A．BM+DN B．AM+CN C．BM+CN D．AM+DN9．（6分）由若干个边长为1的小正方形组成一个空间几何体（小正方形可以悬空），其三视图如图，则这样的小正方体至少应有（）A．8个B．10个C．12个D．14个10．（6分）正方体ABCD的边长为1，点E在边AB上，BE=，BF=，动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，而当碰到正方形顶点时沿入射路径反弹，当点P第一次返回E时，P所经过的路程为（）A．B．C．2D．二、填空题（共8小题，每小题6分，满分48分）11．（6分）对任意实数k，直线y=kx+（2k+1）恒过一定点，该定点的坐标是．12．（6分）如图，圆锥母线长为2，底面半径为，∠AOB=135°，经圆锥的侧面从A到B的最短距离为．13．（6分）设（3x﹣2）6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6，那么a1+a2+a3+a4+a5+a6=．14．（6分）如图，向正五边形ABCDE区域内均匀掷点，落在五边形FGHJK区域内的概率为．15．（6分）函数y=kx﹣1与y=x2的图象交于两点（x1，y1）（x2，y2），若+=18，则k=．16．（6分）在△ABC中，∠C=90°，D、E分别是BC、CA上的点，且BD=AC，AE=CD，BE、AD相交于点P，则∠BPD=．17．（6分）函数y=2+的最大值为．18．（6分）若x≥y≥z，则（2x+1）（2y+1）（2z+1）=13xyz的正整数解（x，y，z）为．三、解答题（共2小题，满分42分）19．（22分）正方形ABCD边长为2，与函数x=（x＞0）的图象交于E、F两点，其中E位于线段CD上，正方形ABCD可向右平移，初始位置如图所示，此时，△DEF的面积为．正方形ABCD在向右平移过程中，位于线段EF上方部分的面积记为S，设C点坐标为（t，0）（1）求k的值；（2）试写出S与t的函数关系式及自变量t的取值范围；（3）若S=2，求t的值；（4）正方形ABCD在向右平移过程中，是否存在某些位置，沿线段EF折叠，使得D点恰好落在BC边上？若存在，确定这些位置对应t的值得大致范围（误差不超过0.1）；若不存在，说明理由．20．（20分）（1）求函数y=|x﹣1|+|x﹣3|的最小值及对应自变量x的取值；（2）求函数y=|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值及对应自变量x的取值；（3）求函数y=|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|的最小值及对应自变量x的取值；（4）求函数y=|x﹣1|+|2x﹣1|+…+|8x﹣1|+|9x﹣1|的最小值及对应自变量x 的取值．2017年四川省成都七中自主招生考试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题6分，满分60分）1．（6分）有一个角为60°的菱形，边长为2，其内切圆面积为（）A．B．C．D．【解答】解：过A作AE⊥BC，如图所示：∵菱形ABCD的边长为2，∠ABC═60°，∴∠BAE=30°，∴BE=AB=1，∴AE=BE=，∴内切圆半径为，∴内切圆面积=π•（）2=；故选：A．2．（6分）若方程组的解为（a，b，c），则a+b+c=（）A．1 B．0 C．﹣1 D．2【解答】解：，②×5﹣①得：14y+3z=﹣17④，②×2﹣③得：5y+2z=﹣7⑤④×2﹣⑤×3得：13y=﹣13，解得：y=﹣1，把y=﹣1代入⑤得：z=﹣1，把y=﹣1，z=﹣1代入②得：x=2，则（a，b，c）=（2，﹣1，﹣1），则a+b+c=2﹣1﹣1=0．故选：B．3．（6分）圆O1与圆O2半径分别为4和1，圆心距为2，作圆O2的切线，被圆O1所截得的最短弦长为（）A．﹣1 B．8 C．2D．2【解答】解：∵圆O1与圆O2半径分别为4和1，圆心距为2，∴4﹣1＞2，故两圆内含，不妨设截得的弦为AB，切点为C，连接O1A，连接O1O2，O2C，∵半径确定，∴弦心距越小，则弦越长，∵AB是⊙O2的切线，∴O2C⊥AB，∴当O1、O2、C在一条线上时，弦AB最短，由题意可知OC1=2+1=3，AO1=4，在Rt△ACO1中，由勾股定理可得AC==，∴AB=2AC=2，故选：C．4．（6分）如下图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O，记△AOD、△ABO、△BOC的面积分别为S1、S2、S3，则S1+S3与2S2的大小关系为（）A．无法确定B．S1+S3＜2S2C．S1+S3=2S2D．S1+S3＞2S2【解答】解：∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∴=，∵△AOD与△AOB等高，∴S1：S2=AD：BC=a：b，∴S1=S2，S3=S2，∴S1+S3=（+）S2=S2，∵a≠b，∴a2+b2＞2ab，∴＞2，∴S1+S3＞2S2，故选：D．5．（6分）关于x的分式方程2k﹣4+仅有一个实数根，则实数k的取值共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：方程两边都乘x（x+2）得，（2k﹣4）x（x+2）+（k+1）（x+2）=x （k﹣5），整理得，（k﹣2）x2+（2k﹣1）x+k+1=0．①当k﹣2≠0时，∵△=（2k﹣1）2﹣4（k﹣2）（k+1）=9＞0，∴一元二次方程（k﹣2）x2+（2k﹣1）x+k+1=0有两个不相等的实数根．∵关于x的分式方程2k﹣4+仅有一个实数根，而x（x+2）=0时，x=0或﹣2，∴x=0时，k+1=0，k=﹣1，此时方程﹣3x2﹣3x=0的根为x=0或﹣1，其中x=0是原方程的增根，x=﹣1是原方程的根，符合题意；x=﹣2时，4（k﹣2）﹣2（2k﹣1）+k+1=0，k=5，此时方程3x2+9x+6=0的根为x=﹣2或﹣1，其中x=﹣2是原方程的增根，x=﹣1是原方程的根，符合题意；即k=﹣1或5；②当k﹣2=0，即k=2时，方程为3x+3=0，解得x=﹣1，符合题意；即k=2．综上所述，若关于x的分式方程2k﹣4+仅有一个实数根，则实数k的取值为﹣1或5或2，共有3个．故选：C．6．（6分）两本不同的语文书、两本不同的数学书和一本英语书排放在书架上，若同类书不相邻，英语书不放在最左边，则排法的种数为（）A．32 B．36 C．40 D．44【解答】解：设从左向右位置为①，②，③，④，⑤，∵英语书不在最左边，∴最左边①有4种取法，∵同类书不相邻，∴②有3种取法，③有两种取法，④有两种取法，⑤有一种取法，共4×3×2×2×1=48，但是英语书排在第②位置时，只能是语文、英语、数学、语文、数学，或者数学、英语、语文、数学、语文，故英语书排在第②位置时只有8种情况，故种情况为48﹣8=40种，故选：C．7．（6分）若a=，则的值的整数部分为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵==﹣=﹣=﹣，∴=﹣+﹣+﹣=﹣∵a=，∴==4，0＜a27＜a3=（）3=＜，∴＜1﹣a27＜1，∴1＜＜2，∴的值的整数部分为2．故选：B．8．（6分）在圆内接四边形ABCD中，∠BAD、∠ADC的角平分线交于点E，过E作直线MN平行于BC，与AB、CD交于M、N，则总有MN=（）A．BM+DN B．AM+CN C．BM+CN D．AM+DN【解答】解：如图，在NM上截取NF=ND，连结DF，AF∴∠NFD=∠NDF，∵A，B，C，D四点共圆，∴∠ADC+∠B=180°，∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∴∠AMN+∠ADN=180°，∴A，D，N，M四点共圆，∴∠MND+∠MAD=180°，∵AE，DE分别平分∠BAD，∠CDA，∴∠END+2∠DFN=∠END+2∠DAE=180°，∴∠DFN=∠DAE，∴A，F，E，D四点共圆，∴∠DEN=∠DAF，∠AFM=∠ADE，∴∠MAF=180°﹣∠DAF﹣∠MND=180°﹣∠DEN﹣∠MND=∠EDN=∠ADE=∠AFM，∴MA=MF，∴MN=MF+NF=MA+ND．故选：D．9．（6分）由若干个边长为1的小正方形组成一个空间几何体（小正方形可以悬空），其三视图如图，则这样的小正方体至少应有（）A．8个B．10个C．12个D．14个【解答】解：综合三视图，我们可以得出，这个几何模型的底层至少有3个小正方体，第二层至少有3个小正方体，第三层至少有3个小正方体，则这样的小正方体至少应有3+3+3=9个，选项中10是满足条件最小的数字．故选：B．10．（6分）正方体ABCD的边长为1，点E在边AB上，BE=，BF=，动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，而当碰到正方形顶点时沿入射路径反弹，当点P第一次返回E时，P所经过的路程为（）A．B．C．2D．【解答】解：根据已知中的点E，F的位置，可知入射角的正切值为，第一次碰撞点为F，在反射的过程中，根据入射角等于反射角及平行关系的三角形的相似可得第二次碰撞点为M，在DA上，且DM=DA，第三次碰撞点为N，在DC上，且DN=DC，第四次碰撞点为G，在CB上，且CG=BC，第五次碰撞点为H，在DA上，且AH=AD，第六次碰撞点为Z，在AB上，且AZ=AD，第七次碰撞点为I，在BC上，且BI=AD，第八次碰撞点为D，再反方向可到E，由勾股定理可以得出EF=HZ==，FM=GH=ID=，MN=NG=，ZI=，P所经过的路程为（×2+×3+×2+）×2=．故选：B．二、填空题（共8小题，每小题6分，满分48分）11．（6分）对任意实数k，直线y=kx+（2k+1）恒过一定点，该定点的坐标是（﹣2，1）．【解答】解：∵y=kx+（2k+1）∴y=k（x+2）+1，∴图象恒过一点是（﹣2，1），故答案为（﹣2，1）．12．（62，底面半径为，∠AOB=135°，经圆锥的侧面从A到B的最短距离为2．【解答】解：如右图所示，是圆锥侧面展开的一部分，∵圆锥母线长为2，底面半径为，∠AOB=135°，∴，作AD⊥SB于点D，∵SA=SB=2，∴展开的扇形所对的圆心角为，∴在Rt△SAD中，AD=SD=，∴BD=SB﹣SD=2﹣，∴AB==，故答案为：2．13．（6分）设（3x﹣2）6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6，那么a1+a2+a3+a4+a5+a6= 1﹣26．【解答】解：由题意可知a0=（﹣2）6，令x=1，则1=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6，因此a1+a2+a3+a4+a5+a6=1﹣a0=1﹣（﹣2）6=1﹣26．故答案为：1﹣26．14．（6分）如图，向正五边形ABCDE区域内均匀掷点，落在五边形FGHJK区域内的概率为．【解答】解：正五边形ABCDE，∴∠BAE=∠ABC=BCD=∠CDE∠AED=108°，AB=BC=CD=DE=AE，∴△ABC≌△ABE，∴AC=BE，同理：△ABH≌△△BCG≌△AJE，∴AH=CG=JE，∴HJ=HG，同理：FG=FK=JK=HG，∴五边形HGFKJ是正五边形，∴正五边形HGFKJ∽正五边形ACBDE，设HE=CD=a，HJ=x，由题意，△HAB∽△ABE，∴，∴x=∴落在五边形FGHJK区域内的概率为=，故答案为．15．（6分）函数y=kx﹣1与y=x2的图象交于两点（x1，y1）（x2，y2），若+=18，【解答】解：∵函数y=kx﹣1与y=x2的图象交于两点（x1，y1）（x2，y2），∴，消去y得x2﹣kx+1=0，∴x1+x2=k，x1x2=1，∴+====18，∴k（k2﹣2）﹣k=18，解答k=3．故答案为3．16．（6分）在△ABC中，∠C=90°，D、E分别是BC、CA上的点，且BD=AC，AE=CD，BE、AD相交于点P，则∠BPD=45°．【解答】解：作AF∥CD，DF∥AC，AF交DF于点F，∴四边形ACDF是平行四边形．∵∠C=90°∴四边形ACDF是矩形，∴CD=AF，AC=DF，∠EAF=∠FDB=∠AFD=90°．∵BD=AC，AE=CD∴△BDF和△AEF是等腰直角三角形，∴∠AFE=∠DFB=45°，∴∠DFE=45°，∴∠EFB=90°．∴∠EFB=∠AFD．∴△BDF∽△AEF，∵∠EFB=∠AFD，∴△ADF∽△EBF∴∠PAF=∠PEF∴∠APE=∠AFE∵∠AFE=45°∴∠APE=45°17．（6分）函数y=2+的最大值为．【解答】解：根据题意得：，解得：1≤x≤2，由柯西不等式得：y=2+≤•=×=（当且仅当2=，即x=时，取等号），故函数y=2+的最大值为．故答案为：．18．（6分）若x≥y≥z，则（2x+1）（2y+1）（2z+1）=13xyz的正整数解（x，y，z）为（45，7，1）或（19，9，1）．【解答】解：∵（2x+1），（2y+1），（2z+1）都是奇数，∴x，y，z都是奇数，∵（2x+1）（2y+1）（2z+1）=13xyz，∴（2+）（2+）（2+）=13，∵x≥y≥z，如果z≥3，那么（2+）（2+）（2+）≤（2+）2=＜13，∴z=1，∴3（2x+1）（2y+1）=13xy，化简得：xy=6（x+y）+3，则x==6+，∵39的因子有：1，3，12，39，∴y﹣6=1，3，13，39，∴y=7，9，19，45，∴x的对应只有：45，19，9，7，∵x＞y，∴正整数解（x，y，z）为：（45，7，1）或（19，9，1）．故答案为：（45，7，1）或（19，9，1）．三、解答题（共2小题，满分42分）19．（22分）正方形ABCD边长为2，与函数x=（x＞0）的图象交于E、F两点，其中E位于线段CD上，正方形ABCD可向右平移，初始位置如图所示，此时，△DEF的面积为．正方形ABCD在向右平移过程中，位于线段EF上方部分的面积记为S，设C点坐标为（t，0）（1）求k的值；（2）试写出S与t的函数关系式及自变量t的取值范围；（3）若S=2，求t的值；（4）正方形ABCD在向右平移过程中，是否存在某些位置，沿线段EF折叠，使得D点恰好落在BC边上？若存在，确定这些位置对应t的值得大致范围（误差不超过0.1）；若不存在，说明理由．=（2﹣）2=，【解答】解：（1）由题设可知S△DEF解得k=1或7（不合题意，舍去），∴k=1；（2）①如图1，当2≤t≤时，因为C点坐标为（t，0），所以E点坐标为（t，），所以DE=2﹣，而F点坐标为（，2），所以DF=t﹣，所以S=DE•DF=（2﹣）（t﹣）=t+﹣1；②如图2，当t＞时，此时OB=t﹣2，所以F点的坐标为（t﹣2，），所以AF=2﹣，所以S=•2•（DE+AF）=•2•（2﹣+2﹣）=4﹣﹣；（3）当2≤t≤时，DE和DF随t的增大而增大，S也类似，故当t=时S有最大值为＜2，所以S=2只可能发生在t＞时，令4﹣﹣=2，解得t=；（4）①如图3，当2≤t≤时，假设位置存在，由对称性知Rt△FDE∽Rt△DCD1，因为DE=D1E，则有=，其中D1C==，整理得：t（t﹣1）=4，解得t=＞，与假设矛盾，所以当2≤t≤时，不存在；②如图4，当t＞时，假设位置存在，过F作直线FG∥x轴交CD于G，由对称性可知Rt△FGE≌Rt△DCD1，DE=D1E，所以GE=D1C，而GE=﹣，整理可得t（t﹣1）（t﹣2）2=1，设y=t（t﹣1）（t﹣2）2，当t＞2时，y随t的增大而增大，取t=2.5，则y=0.9375＜1，取t=2.6，则y=1.4976＞1，利用试值法可以判断位置存在且唯一，对应的t的取值在2.5和2.6之间．20．（20分）（1）求函数y=|x﹣1|+|x﹣3|的最小值及对应自变量x的取值；（2）求函数y=|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值及对应自变量x的取值；（3）求函数y=|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|的最小值及对应自变量x的取值；（4）求函数y=|x﹣1|+|2x﹣1|+…+|8x﹣1|+|9x﹣1|的最小值及对应自变量x 的取值．【解答】解：（1）函数y=|x﹣1|+|x﹣3|的最小值的几何意义是数轴上x到1和3两点距离之和的最小值，∵两点之间线段最短，∴当1＜x＜3时，y min=|3﹣1|=2，（2）∵y=|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|=（|x﹣1|+|x﹣3|）+|x﹣2|，当x=2时，|x﹣2|有最小值，∴结合（1）的结论得出，当x=2时，y min=2+0=2，（3）当n为偶数时，y=|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|=（|x﹣1|+|x﹣n|）+（|x﹣2|+|x﹣（n﹣1）|）+…+（|x﹣|+|x﹣（+1）|），由（1）知，当＜x＜+1时，|x﹣1|+|x﹣n|有最小值n﹣1，|x﹣2|+|x﹣（n﹣1）|有最小值（n﹣1）﹣2=n﹣3，…2019年四川省成都七中自主招生考试数学试卷(含详细解析)|x﹣|+|x ﹣（+1）|有最小值1，∴当＜x＜+1时，y min=1+3+5+…+（n ﹣3）+（n﹣1）=，当n为奇数时，y=|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|=（|x﹣1|+|x﹣n|）+（|x﹣2|+|x ﹣（n﹣1）|）+…+（|x﹣|+|x ﹣（+1）|）+|x﹣|，由（1）知，当x=时，|x﹣1|+|x﹣n|有最小值n﹣1，|x﹣2|+|x﹣（n﹣1）|有最小值（n﹣1）﹣2=n﹣3，…|x﹣|+|x﹣（+1）|有最小值1，|x﹣|的最小值为0，∴当x=时，ymin=0+2+4+…+（n﹣3）+（n﹣1）=，（4）类似（3）的做法可知，y=|x﹣a1|+|x﹣a2|+…+|x﹣a n|，如果n为偶数时，当时，y有最小值，如果n为奇数时，当x=时，y有最小值；∵y=|x﹣1|+|2x﹣1|+…+|8x﹣1|+|9x ﹣1|=++…++|x﹣1|∴共有9+8+7+…+2+1=45项，为奇数．∴当x=时，ymin=|﹣1|+|﹣1|+…+|﹣1|+|﹣1|=第21页（共21页）。
四川省成都市第七中学初中学校2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题
四川省成都市第七中学初中学校2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题一、单选题1．下列方程中，是一元二次方程的是（）A ．30x y -=B ．120x x-=C ．224x x -=D ．560x -=2．下列命题中，正确的是（）A ．对角线相等的四边形是矩形B ．一组邻边相等的四边形是菱形C ．平行四边形的对角线互相平分且相等D ．正方形的对角线互相垂直平分且相等3．一个不透明的盒子中装有5个大小相同的乒乓球，将其摇匀，从中随机摸出一个乒乓球，这样重复做了1000次摸球试验，摸到黄球的频数为400，则估计其中的黄球的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．44．如图，某小区居民休闲娱乐中心是一块长方形（长60米，宽40米）场地，被3条宽度相同的绿化带分为总面积为1750平方米的活动场所，如果设绿化带的宽度为x 米，由题意可列方程为（）A ．()()60401750x x --=B ．()()602401750x x --=C ．()()602402400x x --=D ．()()604021750x x --=5．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，B 相交于点O ，304ACB BD ∠=︒=，，则矩形ABCD 的周长为（）A ．12B ．16C ．2D ．46．小刚身高1.6m ，测得他站立在阳光下的影子长为0.8m ，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1m ，那么小刚举起手臂超出头顶（）A ．2mB ．0.6mC ．0.5mD ．0.4m7．如图，A B C ''' 是ABC V 以点O 为位似中心经过位似变换得到的，若3OB OB '=，则A B C ''' 的面积与ABC V 的面积之比是（）A ．1:3B ．2:3C ．1:6D ．1:98．如图，在ABC V 中，点D ，E 为边AB 的三等分点，点F ，G 在边BC 上，且AC DG EF ∥∥，点H 为CE 与DG 的交点．若12AC =，则GH 的长为（）A ．32B ．2C ．52D ．3二、填空题9．若23a b=，则a b a b +=-．10．关于x 的一元二次方程x 2+2x +k ＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是．11．七巧板是一种古老的中国传统智力游戏．在如图所示的七巧板中，若正方形ABCD 的边长为4，则正方形EFGH 的边长为．12．2023年第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合，其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感．如图，若点C 可看做是线段AB 的黄金分割点（AC CB <），10cm AB =，则BC =cm ．（结果保留根号）13．如图，矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，以点B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC ，BD 于点E ，F ，再分别以点E ，F 为圆心，大于12EF 长为半径画弧交于点P 作射线BP ，过点C 作BP 的垂线分别交BD ，AD 于点M ，N ，则CN 的长为．三、解答题14．解方程(1)2680x x -+=(2)231x x -=-(3)22(3)9x x +=-15．已知关于x 的一元二次方程22210x mx m m +++-=有两实数根．(1)求m 的取值范围；(2)若1x ，2x 是该方程的两个根，且22126x x +=，求m 的值．16．某校将开展“崇尚科学科技月”主题教育活动，计划演示以下四项科学小实验：A ．自动升高的水；B ．不会湿的纸；C ．漂浮的硬币；D ．生气的瓶子．学校科技部随机对该校部分学生进行了“最希望演示的一项实验”问卷调查，得到下列不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题：(1)求此次调查中接受调查的人数；(2)请补全条形统计图；(3)已知最希望演示A 项实验的4名学生，有1名来自九年级一班，1名来自九年级二班，2名来自九年级三班，现需从这四人中随机抽取2名作为实验“自动升高的水”的演示员，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同班级的概率．17．如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G 处，手电筒的光从平面镜上点B 处反射后，恰好经过木板的边缘点F ，落在墙上的点E 处，点E 到地面的高度 3.5m DE =，点F 到地面的高度 1.5m CF =，灯泡到木板的水平距离 5.4AC m =，墙到木板的水平距离为4CD m =．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A 、B 、C 、D 在同一水平面上．(1)求BC 的长．(2)求灯泡到地面的高度．18．如图，矩形ABCD 中，,E F 分别在,AD BC 上，将四边形ABFE 沿EF 翻折，使A 的对称点P 落在B 上，B 的对称点为G PG ，交BC 于H ．(1)求证：EDP PCH △∽△．(2)若P 为CD 中点，且2,3AB BC ==，求GH 长．(3)连接BG ，若P 为CD 中点，H 为BC 中点，探究BG 与AB 大小关系并说明理由．四、填空题19．已知m 、n 是一元二次方程2250x x +-=的两个根，则22m mn m ++的值为．20．有三张背面完全相同的卡片，正面上分别标有数字2,1,1--．把这三张卡片背面朝上，随机抽取一张，记下数字为m ；放回搅匀，再随机抽取一张卡片，记下数字为n ，则直线y mx n =+不经过第三象限的概率为．21．同学们学习了线段的黄金分割之后，曾老师提出了一个新的定义：点C 是线段AB 上一n kAB==，则称点C 为线段AB 的“近A ，n 阶黄金分割点”．例如：若2k AB==，则称点C 为线段AB 的“近A ，2阶黄金分割点”．若点C 为线段AB 的“近A ，1阶黄金分割点”时，1k =；若点C 为线段AB 的“近A ，6阶黄金分割点”时，6k =．22．如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，12AB =，点E 为AC 中点．点D 在AC 右侧，DE AC ⊥，且DAE BAC ∠=∠，射线BE 交B 于点F ，若DEF 为等腰三角形，则线段EF 的长为．23．如图，在Rt ABC V 中，90,ACB D ︒∠=为AC 边上的中点，将ABD △沿BD 翻折至EBD △，连接CE ，若:3:4CE BD =，10BC =则AC =．五、解答题24．某文具店购进A 、B 两种型号的笔袋，两次购进笔袋的情况如表：进货批次A 型笔袋（个）B 型笔袋（个）总费用（元）一105400二510350(1)求A ，B 两种型号的笔袋进价各是多少元？(2)在销售过程中，为了增大A 型笔袋的销售量，超市决定对A 型笔袋进行降价销售，当销售单价为40元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市将每个A 型笔袋降价多少元时，每天售出A 型笔袋的利润为240元？25．在平面直角坐标系中，点B 、E 的坐标分别为(()4,0B E -，，过点E 作直线l x ⊥轴，设直线l 上的动点A 的坐标为()4,m ，连接AB ，以BA 为直角边作Rt (,ABC B A ，C 按顺时针排列），其中9030BAC ABC ∠=︒∠=︒，．(1)当m =AB 的函数表达式；(2)当点C 落在坐标轴上时，求ABC V 的面积；(3)点D 在直线3y =--上，当点A ，C 在第一象限时，是否存在以B 为直角顶点的BCD △与ABC V 相似？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．26．在平行四边形ABCD 中，12,10,AB AD ABC == 的面积为48．(1)如图1，求AB 边上的高CH 的长；(2)P 是边AB 上的一个动点，点C ，D 同时绕P 按照逆时针方向旋转90︒得到,C D ''．i ）如图2，当C '落在射线CA 上时，求BP 的长；ii ）当AC D ''△是直角三角形时，求BP 的长．。
2021成都七中外地生高中部自主招生数学试题-含答案
20XX七中外地生高中部自主招生数学试题-含答案注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号. 答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题(每小题只有一个正确答案，每小题5分，共60分)1.若M x xy y x y =-+--+22512106413(、x y 为实数)，则M 的值一定为( ▲) .非负数B .负数C .正数D .零答案】解析】配方：M ＝(2x －3y )2＋(x －3)2＋(y －2)2≥0，当x ＝3，y ＝2取等.2.将一个棱长为m (m >2且m 为正整数)的正方体木块的表面染上红色，然后切成m 3个棱长为1的小正方体，发现只有一个表面染有红色的小正方体的数量是恰有两个表面染有红色的小正方体的数量的12倍，则m 等于( ▲).16B .18C .26D .32答案】C解析】由已知可得6(m －2)2＝12×12(m －2)，∴m ＝26.3.已知 b b -+=-+=22610070,710060，且b ≠1，则b的值为( ▲) .503 B .67 C .1007 D .76答案】D解析】显然由方程7b 2-100b +6=0,可得? ?-+=b b 610070112，∴，b1是方程6x 2－100x ＋7＝0的两根，∴=b 67.(时间120分钟，满分150分)七中20XX年外地生自主招生考试数学4.若b =++=+-3235,2610，则b 的值为( ▲).12 B .14 C .+123 D .+1610答案】B解析】b，∴==b41. 5.满足b b +--=10的整数对, b )(共有( ▲).4个B .5个C .6个D .7个答案】C解析】|b |＋| －b |＝1，∴?? -=???= b b 01，或??-=???= b b 10，共有6组解.6.在凸四边形BCD 中，E 为BC 边的中点，BD 与E 相交于点O ，且BO ＝DO ，O ＝2EO ，则??S S C DB D :的值为( ▲).2:5B .1:3C .2:3D .1:2答案】D解析】OE ∥CD ，∴S △CD ＝S △DOC ＝2S △BDC ＝2S △BOE ＝S △BD ＝12S △BD ，∴S △CD :S △BD ＝1:27.从1到20XX连续自然数的平方和++++12320XX2222的个位数字是( ▲).0B .1C .5D .9答案】解析】由公式∑=++=n n n n6i 121i 12)()(,当n ＝20XX时，显然尾数为0.8.已知++=x y z 0，且+++++=x y z 1230111，则代数式+++++x y z (1)(2)(3)222的值为( ▲).3B .14C .16D .36∴(x ＋1)2＋(y ＋2)2＋(z ＋3)2＝62＝36.9.将一枚六个面编号为1、2、3、4、5、6的质地均匀的正方体骰子先后投两次，记第一次投掷的点数为，第二次投掷出的点数为b ，则使关于x 、y 的方程组?+=??+=x y x by 232，只有正数解的概率为( ▲).121B .61 C .185 D .3613答案】B解析】仅＝1，b ＝1,2,3,4,5,6，满足题意.总共6×6＝36种情况，∴==P 36661 .10.方程---= b 383102，当取遍0到5的所有实数值时，则满足方程的整数b 的个数是( ▲).12个B .13个C .14个D .15个答案】C解析】3b ＝3 2－8 －1,0≤≤5，∴-≤≤b 3234，∴b ＝－2，－3，…，11, ∴count (b )＝(11＋2)＋1＝14.11.若一个三角形的三边和为40，且各边长均为整数，则符合条件的三角形的个数为( ▲) .31个B .32个C .33个D .34个答案】C解析】不妨设≤b ≤c ，则40＝＋b ＋c ≤3c ,∴c ≥14.40＝＋b ＋c ＞c ＋c ,∴c ＜20,∴c ≤19.∴14≤c ≤19. 再简单讨论，b 即可，总共33种情况.12.若关于x 的方程++-=x x b 302有实根，则+- b 422)(的最小值为( ▲)答案】D 解析】直接口算秒杀:(x ＋1)＋(y ＋2)＋(z ＋3)＝6,.0B .1C .4D .9答案】B解析】注意Δ＝2－4(b －3)≥0，2＋(b －4)2≥(b －2)2≥1，当＝0，b ＝3取等号.注意，此题容易错选，显然＝0，b ＝2不可能同时成立, 2取最小的4(b －3)时，有4(b －3)≥0得到b ≥3.二、填空题(13－16题，每题7分；17－19题，每题8分，共52分) 13.已知=x ，则代数式--+x x x 33143的值为________. 答案】2解析】由=+x 23化整式得，x 2－3x －1＝0，∴x 4－3x 3－3x ＋1＝x 2(x 2－3x －1)＋( x 2－3x －1)＋2＝0＋0＋2＝2.14.在正十边形的10个顶点中，任取4个顶点，那么以这4个顶点为顶点的梯形有________个. 答案】60解析】如图，设正十边形为1 2…10，以1 2 为底边的梯形有1 2 3 10、1 2 4 9、1 2 5 8共3个．同理分别以2 3、3 4、4 5、…、9 10、10 1为底边的梯形各有3个，这样，合计有30个梯形．以1 3为底边的梯形有1 3 4 10、1 3 5 9共2个．同理分别以2 4、3 5、4 6、…、9 1、10 2为底边的梯形各有2个，这样，合计有20个梯形．以1 4为底边的梯形只有1 4 5 101个．同理分别以2 5、3 6、4 7、…、9 2、10 3为底边的梯形各有1个，这样，合计有10个梯形．综上所述，满足条件的梯形共60个.15．在Rt △BC 中，∠C ＝90°，C ＝1，BC ＝2，D 为B 中点，E 为BC 上一点，将△DE 沿DE 翻折得到△′DE ，使△′DE 与△BDE 重叠部分的面积占△BE 面积的41，则BE 的长为________. 134 5 6728910答案】232解析】情况1:如图，由面积关系易得F 为BE 中点，易得′E ∥B ，E ∥′D ，∣E ＝′E ＝D ＝√52, ∴CE ＝12，∴BE ＝32.情况2:如图，由面积关系易得F 为BD 中点，从而易得BE ＝D ′＝D ＝√52.综上所述，可得BE =23或BE216.已知关于x=m 恰好有两个实数解，则m 的取值范围为________.答案】1＜m ＜3或m ＞3解析】化简可得，m ＝|x －1|－|x －2|＋2|x －3|，作出y ＝|x －1|－|x －2|＋2|x －3|与y ＝m 的函数图象，由图象可知，当1＜m ＜3或m ＞3时有两个解. ∴m 的取值范围是:1＜m ＜3或m ＞317.如图，P 切⊙O 于点，PE 交⊙O 于点F 、E ，过点作B ⊥PO 于点D ，交⊙O 于点B ，连接DF .若sin ∠BO ＝32，PE ＝5DF ，则PEPF ＝________. ECF'EDB C答案】103 解析】连接OE ，由已知不妨设O ＝12，则OD ＝8，PD ＝10,切割线定理:PF ·PE ＝P 2＝PD ·PO ，∴△PFD ∽△POE ，∴==OE PE PODF PD PF，代入数据解得，PF＝E＝∴=PE PF 103. 18.如图，四边形BCD 中，B ＝D ＝5，BC ＝DC ＝12，∠B ＝∠D ＝90°，M 和N 分别是线段D 和线段BC 上的点，且满足BN ＝DM ，则线段MN 的最小值为 .答案】60√213解析】如图，PB 、PD 角平分线，PE ⊥BC ，∴△PNB ≌△PMD (SS )，?△PNM ∽△PBD ，∴MN BD＝PN PE ≥PEPB＝sin ∠PB ＝sin 45°＝√22，∴EF ≥√22BD ＝√22×5×1213×2＝60√213.19.若-<<x 211，+-=+++++x x x x x x x n n 122012323，则+= 23 .答案】2CNM DBBDM N CPE。
四川省成都市第七中学初中学校2024-2025学年七年级上学期11月期中考试数学试题
四川省成都市第七中学初中学校2024-2025学年七年级上学期11月期中考试数学试题一、单选题1．有理数2024的相反数是（）A ．2024B ．2024-C ．12024D ．12024-2．下列图形中可以作为一个正方体的展开图的是（）A ．B ．C ．D ．3．单项式22x y -的系数和次数分别是（）A ．2、3B ．2-、3C ．2、2D ．2-、24．2024年巴黎奥运会开幕式选择在塞纳河举行．塞纳河包括支流在内的流域总面积为78700平方公里．其中数据78700用科学记数法表示为（）A ．278710⨯B ．37.8710⨯C ．47.8710⨯D ．50.78710⨯5．下列计算正确的是（）A ．2a a a +=B ．3265x x x -=C ．22234-=-ab ba a bD ．235325x x x +=6．用一个平面去截下列几何体：①正方体；②圆柱；③圆锥；④三棱柱，截面形状可能是三角形的几何体有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是（）A ．0a b ->B ．10a +>C ．0a b +<D ．a b>-8．观察下面点阵图的规律，第9幅点阵图中有（）个◯．A ．18B ．28C ．32D ．36二、填空题9．比较大小：23-35-．（填“<”、“>”或“=”）10．单项式13m x y -与4n xy 的和是单项式，则m n 的值为．11．如图，是一个正方体包装盒的表面展开图，若在其中的三个正方形A 、B 、C 内分别填上适当的数，使得将这个表面展开图折成正方体后，相对面上的两个数互为相反数，则填在B 内的数为．12．已知有理数a 、b 满足()2310a b -++=，则a b ÷=．13．三个连续偶数中，n 是最小的一个，这三个数的和为．三、解答题14．计算(1)12150.25123412⎛⎫⎛⎫++--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)()75336964⎛⎫-+-⨯- ⎪⎝⎭(3)()6536556-÷⨯÷-(4)()()241110.5153---⨯⨯--15．先化简，再求值：()()222212482352xy xy x y xy x y --+-其中13x =，3=-y ．16．一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的这个几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，请你画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图．17．若5a =，3b =，(1)若0ab <，求a b +的值；(2)若a b a b +=+，求a b -的值．18．国庆期间，银行的储蓄员小张在办理业务时，约定存入为正，取出为负．某天上午8点他领取备用金40000元开始工作，接下来的两个小时，他先后办理了七笔存取业务：25000+元， 8100-元，4000+元，6700-元，14000+元，16000-元，1800+元．(1)10点时，小张手中的现金有多少元？(2)请判断在这七笔业务中，小张在第几笔业务办理后，手中的现金最少？(3)若每办一笔业务，银行发给业务员存取业务金额的0.2%作为奖励，则办理这七笔业务小张应得奖金多少元？四、填空题19．若323a b -=则代数式3124a b -+=．20．如图，已知四个有理数m 、n 、p 、q 在一条缺失了原点和刻度的数轴上对应的点分别为M 、N 、P 、Q ，且0m p +=，则在m ，n ，p ，q 四个有理数中，绝对值最小的一个是．21．已知长方形的长为4cm ，宽为3cm ，将其绕它的一边所在的直线旋转一周，得到一个立体图形，则该立体图形的体积为．（结果保留π）22．给出一列数：112123123,,,,,,,,,,,121321121kk k k -- ，在这列数中，记第40个值等于1的项的序号为m ，则m =．23．对任意一个三位数n ，如果满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数和与111的商记为()F n ，例如：123n =，对调百位与十位上的数字得1213n =,对调百位与个位上的数字得2321n =,对调十位与个位上的数字得3132n =,这三个新三位数的和为213321132666++=，6661116÷=，所以()1236F =．①()261F =；②若,s t 都是“相异数”，其中10083,50210s x t y =+=+(19,19x y ≤≤≤≤，,x y 都是正整数)，规定：()()F s k F t =，当()()29F s F t +=时，则k 的最大值为．五、解答题24．已知2331A a ab a =-+--，221B a ab =--+，(1)求3A B -；(2)若3A B -的值与a 的取值无关，求b 的值．25．有理数a b c 、、的位置如图所示，(1)比较大小∶a c -_______0，b c -_______0，a b -_______0；(2)化简式子∶b a c b c a b +-+---；(3)若1,a b c =-、为整数()0a c b <<<，x y 、为有理数，且()()15x a x b y a y c -+--+-=，求b 的最大值．26．如图，点O 为数轴上的原点，点,A B 分别为数轴上两点，对应的数分别为,a b ，已知10,a =3AB AO =，点A 与点B 的中点为点E ．若动点P 从点O 出发，以1个单位长度/秒的速度沿数轴正方向匀速运动，同时动点Q 从点B 出发以v 个单位长度/秒的速度沿数轴负方向匀速运动，(1)填空：点B 表示的数为，点E 表示的数为；(2)经过8秒时，16PQ =，求v 的值；(3)当点P 运动到线段AB 上，74v =，取PQ 的中点F ，若32mOB nAPEF-是定值(其中m ，n 为常数)，求m 与n 的等量关系．。
2020年四川省成都七中自主招生数学模拟试卷及答案解析
2020年四川省成都七中自主招生数学模拟试卷一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）对代数式（x +3）2，老师要求任意取一个x 的值后求出代数式的值．圆圆发现，大家所求的代数式的值都大于等于0，即x ＝﹣3时代数式的最小值是0．利用这个发现，圆圆试着写出另外一些结论：①在x ＝﹣3时，代数式（x +3）2+2的最小值为2； ②在a ＝﹣b 时，代数式（a +b ）2+m 的最小值为m ； ③在c ＝﹣d 时，代数式﹣（c +d ）2+n 的最大值为n ； ④在x ＝﹣3时，代数式﹣x 2﹣6x +20的最大值为29． 其中正确的为（ ） A ．①②③B ．①③C ．①④D ．①②③④2．（5分）如图，用一个平面去截正方体，截掉了正方形的一个角，且截面经过原正方体三条棱的中点，剩下几何体的展开图应该是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（5分）若a ≠b ，且a 2﹣4a +1＝0，b 2﹣4b +1＝0，则11+a 2+11+b 2的值为（ ） A ．14B ．1C ．.4D ．34．（5分）计算：√b5÷√b20a 2=（ ）（a ＞0，b ＞0） A ．b 10aB ．10a bC ．2aD ．2a 25．（5分）已知a ，b ，c ，x 为实数，且c ＜a ＜b ，代数式|x −a+b2|+|x −b+c2|+|x −a+c2|的最小值是（ ） A ．a+b−c 2B ．a+b 2C ．b−c 2D ．b+c 26．（5分）如图，已知▱ABCD 中，E 是边AD 的中点，BE 交对角线AC 于点F ，那么S △AFE ：S 四边形FCDE 为（ ）A ．1：3B ．1：4C ．1：5D ．1：67．（5分）观察下列等式：71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中规律，72019的结果的个位数字是（ ） A ．7B ．9C ．1D ．38．（5分）已知x +y ＝3，xy ＝2，则下列结论中①（x ﹣y ）2＝1，②x 2+y 2＝5，③x 2﹣y 2＝3，④1x +1y=23，正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．（5分）将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则使关于x ，y 的方程组{ax +by =3x +2y =2只有正数解的概率为（ ） A ．112B ．29C ．518D ．133610．（5分）关于x 的一元二次方程ax 2﹣2ax ﹣b ＝0有一个实数根x ＝1，则下面关于该方程的判别式△的说法正确的是（ ） A ．△＞0B ．△＝0C ．△＜0D ．无法确定11．（5分）已知三角形三边长分别为3，x ，5，若x 为正整数，则这样的三角形个数为（ ） A ．2B ．3C ．5D ．712．（5分）在平面直角坐标系中，点A （﹣3，2），B （3，5），C （x ，y ），若AC ∥x 轴，则线段BC 的最小值及此时点C 的坐标分别为（ ） A ．6，（﹣3，5）B ．10，（3，﹣5）C ．1，（3，4）D ．3，（3，2）二．填空题（共7小题，满分52分）13．（7分）已知x =√6+√2，那么x 2﹣2√2x 的值是 ．14．（7分）已知，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝5，AB ＝CD ＝6，∠B ＝60°，那么下底BC 的长为 ．15．（7分）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4√3，BC ＝4，点D 是AC 的中点，点F 是边AB 上一动点，沿DF 所在直线把△ADF 翻折到△A ′DF 的位置，若线段A ′D 交AB 于点E ，且△BA ′E 为直角三角形，则BF 的长为 ．16．（7分）如果方程2+√4x +3=k 无实数解，那么k 的取值范围是 ．17．（8分）如图，P A 与⊙O 相切于点A ，AB 是⊙O 的直径，在⊙O 上存在一点C 满足P A ＝PC ，连结PB 、AC 相交于点F ，且∠APB ＝3∠BPC ，则PF BF= ．18．（8分）如图，边长12的正方形ABCD 中，F 为BC 上的一点且BF ＝3，有一个小正方形EFGH ，其中E ，G 分别在AB ，FD 上，则AH 的长为 ．19．（8分）猜数字游戏中，小明写出如下一组数：25，47，811，1619，3235，…，小亮猜出了第六个数字是6467，根据此规律，第100个数字是 ．三．解答题（共2小题，满分38分）20．（18分）已知二次函数y 1＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象经过三点（1，0），（﹣3，0），（0，−32）．（Ⅰ）求二次函数的解析式；（Ⅱ）若（Ⅰ）中的二次函数，当x 取a ，b （a ≠b ）时函数值相等，求x 取a +b 时的函数值；（Ⅲ）若反比例函数y2=kx（k＞0，x＞0）的图象与（Ⅰ）中的二次函数的图象在第一象限内的交点为A，点A的横坐标为x0满足2＜x0＜3，试求实数k的取值范围．21．（20分）小冬遇到一个有趣的问题：长方形台球桌ABCD的边长分别为AB＝3，BC＝5．点P在AD上，且AP＝2．一球从点P处沿与AD夹角为θ的方向击出，分别撞击AB、BC、CD各一次后到达点P0．每次撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的角相等（入射角等于反射角）．如图①所示．小冬的思考是这样开始的：如图②，将矩形ABCD沿直线AB折叠，得到矩形ABC1D1，由轴对称的知识，发现QE＝QR，PE＝PQ+QR．请你参考小冬的思路或想出自己的方法解决下列问题：（1）点P0与点A重合时，此球所经过的路线总长度是．（2）当点P0落在线段AP上时（如图③），求tanθ的取值范围．2020年四川省成都七中自主招生数学模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）对代数式（x+3）2，老师要求任意取一个x的值后求出代数式的值．圆圆发现，大家所求的代数式的值都大于等于0，即x＝﹣3时代数式的最小值是0．利用这个发现，圆圆试着写出另外一些结论：①在x＝﹣3时，代数式（x+3）2+2的最小值为2；②在a＝﹣b时，代数式（a+b）2+m的最小值为m；③在c＝﹣d时，代数式﹣（c+d）2+n的最大值为n；④在x＝﹣3时，代数式﹣x2﹣6x+20的最大值为29．其中正确的为（）A．①②③B．①③C．①④D．①②③④解：①在x＝﹣3时，代数式（x+3）2+2的最小值为2，故符合题意；②在a＝﹣b时，代数式（a+b）2+m的最小值为m，故符合题意；③在c＝﹣d时，代数式﹣（c+d）2+n的最大值为n，故符合题意；④∵﹣x2﹣6x+20＝﹣（x+3）2+29，∴在x＝﹣3时，代数式﹣x2﹣6x+20的最大值为29，故符合题意．故选：D．2．（5分）如图，用一个平面去截正方体，截掉了正方形的一个角，且截面经过原正方体三条棱的中点，剩下几何体的展开图应该是（）A．B．C．D．解：选项A、C、D折叠后都不符合题意，只有选项B折叠后两个剪去三角形与另一个剪去的三角形交于一个顶点，•与正方体三个剪去三角形交于一个顶点符合．故选：B．3．（5分）若a ≠b ，且a 2﹣4a +1＝0，b 2﹣4b +1＝0，则11+a 2+11+b 2的值为（ ） A ．14B ．1C ．.4D ．3解：由题意可知：a 、b 是方程x 2﹣4x +1＝0的两个不同的实数根， ∴由根与系数的关系可知：ab ＝1，a +b ＝4， ∴a 2+1＝4a ，b 2+1＝4b ， ∴原式=14a +14b=a+b4ab =44×1 ＝1， 故选：B ．4．（5分）计算：√b 5÷√b20a 2=（ ）（a ＞0，b ＞0）A ．b10aB ．10abC ．2aD ．2a 2解：原式=√b5÷b 20a 2=√b 5⋅20a 2b =√4a 2=2a ， 故选：C ．5．（5分）已知a ，b ，c ，x 为实数，且c ＜a ＜b ，代数式|x −a+b 2|+|x −b+c 2|+|x −a+c2|的最小值是（ ） A ．a+b−c 2B ．a+b 2C ．b−c 2D ．b+c 2解：∵c ＜a ＜b ， ∴a +b ＞b +c ＞a +c ，∴当x =b+c2时，|x −a+b2|+|x −b+c2|+|x −a+c2|的最小值， 即|x −a+b2|+|x −b+c2|+|x −a+c2|=a−c2+b−a2=b−c2， 故选：C ．6．（5分）如图，已知▱ABCD 中，E 是边AD 的中点，BE 交对角线AC 于点F ，那么S △AFE ：S 四边形FCDE 为（ ）A ．1：3B ．1：4C ．1：5D ．1：6解：连接CE ，∵AE ∥BC ，E 为AD 中点， ∴AE BC=AF FC=12．∴△FEC 面积是△AEF 面积的2倍． 设△AEF 面积为x ，则△AEC 面积为3x ， ∵E 为AD 中点，∴△DEC 面积＝△AEC 面积＝3x ． ∴四边形FCDE 面积为5x ， 所以S △AFE ：S 四边形FCDE 为1：5．故选：C ．7．（5分）观察下列等式：71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中规律，72019的结果的个位数字是（ ） A ．7B ．9C ．1D ．3解：∵71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…， ∴这些数的个位数字依次以7，9，3，1出现， ∵2019÷4＝504…3，∴72019的结果的个位数字是3， 故选：D ．8．（5分）已知x +y ＝3，xy ＝2，则下列结论中①（x ﹣y ）2＝1，②x 2+y 2＝5，③x 2﹣y 2＝3，④1x +1y=23，正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解：∵x +y ＝3，∴（x +y ）2＝9，即x 2+y 2＝9﹣2xy ＝5，②正确； ∴①（x ﹣y ）2＝x 2+y 2﹣2xy ＝5﹣2×2＝1，①正确； ③∵（x ﹣y ）2＝1， ∴x ﹣y ＝±1，x 2﹣y 2＝（x +y ）（x ﹣y ）＝3（x ﹣y ）＝±3，③不正确； ④1x +1y=x+y xy=32，④不正确；所以本题正确的有：①②，2个， 故选：B ．9．（5分）将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则使关于x ，y 的方程组{ax +by =3x +2y =2只有正数解的概率为（ ） A ．112B ．29C ．518D ．1336解：当2a ﹣b ＝0时，方程组无解；当2a ﹣b ≠0时，由a 、b 的实际意义为1，2，3，4，5，6易知a ，b 都为大于0的整数， 则两式联合求解可得x =6−2b 2a−b ，y =2a−32a−b， ∵使x 、y 都大于0则有6−2b2a−b＞0，2a−32a−b＞0，解得a ＜1.5，b ＞3或者a ＞1.5，b ＜3，而a ，b 都为1到6的整数，所以可知当a 为1时b 只能是4，5，6；或者a 为2，3，4，5，6时b 为1或2， 这两种情况的总出现可能有3+10＝13种；又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求概率为1336，故选：D ．10．（5分）关于x 的一元二次方程ax 2﹣2ax ﹣b ＝0有一个实数根x ＝1，则下面关于该方程的判别式△的说法正确的是（ ） A ．△＞0B ．△＝0C ．△＜0D ．无法确定解：将x ＝1代入方程，得：a ﹣2a ﹣b ＝0， 则a +b ＝0，△＝（﹣2a ）2﹣4a •（﹣b ）＝4a 2+4ab ＝4a （a +b ）＝0， 故选：B ．11．（5分）已知三角形三边长分别为3，x，5，若x为正整数，则这样的三角形个数为（）A．2B．3C．5D．7解：∵5﹣3＝2，5+3＝8，∴2＜x＜8，∵x为正整数，∴x的可能取值是3，4，5，6，7，共五个，故这样的三角形个数为5．故选：C．12．（5分）在平面直角坐标系中，点A（﹣3，2），B（3，5），C（x，y），若AC∥x轴，则线段BC的最小值及此时点C的坐标分别为（）A．6，（﹣3，5）B．10，（3，﹣5）C．1，（3，4）D．3，（3，2）解：依题意可得：∵AC∥x轴，A（﹣3，2）∴y＝2，根据垂线段最短，当BC⊥AC于点C时，点B到AC的距离最短，即BC的最小值＝5﹣2＝3，此时点C的坐标为（3，2），故选：D．二．填空题（共7小题，满分52分）13．（7分）已知x=√6+√2，那么x2﹣2√2x的值是4．解：∵x−√2=√6，∴x2﹣2√2x+2＝6，∴x 2﹣2√2x ＝4， 故答案为：414．（7分）已知，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝5，AB ＝CD ＝6，∠B ＝60°，那么下底BC 的长为 11 ．解：如图，过A 作AE ∥DC 交BC 与E ， ∵AD ∥BC ，∴四边形AECD 是平行四边形， ∴AD ＝EC ＝5，AE ＝CD ， ∵AB ＝CD ＝6， ∴AE ＝AB ＝6， ∵∠B ＝60°，∴△ABE 是等边三角形， ∴BE ＝AB ＝6， ∴BC ＝6+5＝11． 故答案为：11．15．（7分）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4√3，BC ＝4，点D 是AC 的中点，点F 是边AB 上一动点，沿DF 所在直线把△ADF 翻折到△A ′DF 的位置，若线段A ′D 交AB 于点E ，且△BA ′E 为直角三角形，则BF 的长为 6或285．解：∵∠C ＝90°，AC ＝4√3，BC ＝4， ∴tan A =BCAC =4√3=√33，∴∠A ＝30°， ∴AB ＝2BC ＝8，∵点D 是AC 的中点，沿DF 所在直线把△ADF 翻折到△A ′DF 的位置，线段A ′D 交AB 于点E ，∴DA ＝DC ＝2√3，F A ′＝F A ，∠DA ′F ＝∠A ＝30°， 设BF ＝x ，则AF ＝8﹣x ，F A ′＝8﹣x ， ①当∠BEA ′＝90°时，在Rt △ADE 中，cos A =AEAD， ∴AE ＝2√3×cos30°＝3， ∴EF ＝3﹣（8﹣x ）＝x ﹣5， 在Rt △A 'FE 中，∵∠F A 'E ＝30°， ∴F A '＝2FE ，即8﹣x ＝2（x ﹣5）， 解得x ＝6，即BF ＝6；②当∠BA 'E ＝90°时，作FH ⊥BA '，交BA '的延长线于H ，连接BD ，如图所示： 在Rt △BDA '和△BDC 中，{BD =BD DC =DA′，∴Rt △BDA '≌Rt △BDC （HL ）， ∴BA ′＝BC ＝4，∵∠BA 'F ＝∠BA 'E +∠F A 'E ＝90°+30°＝120°， ∴∠F A 'H ＝60°，在Rt △FHA '中，A ′H =12A ′F =12（8﹣x ），FH =√3A ′H =√32（8﹣x ）， 在Rt △BFH 中，∵FH 2+BH 2＝BF 2， ∴34（8﹣x ）2+[12（8﹣x ）+4]2＝x 2，解得：x =285，即BF =285． 综上所述，BF 的长为6或285．故答案为：6或285．16．（7分）如果方程2+√4x +3=k 无实数解，那么k 的取值范围是 k ＜2 ． 解：2+√4x +3=k ，√4x+3=k﹣2，∵√4x+3的结果是非负数，∴当k﹣2＜0时，方程2+√4x+3=k无实数解，即k＜2，故答案为：k＜2．17．（8分）如图，P A与⊙O相切于点A，AB是⊙O的直径，在⊙O上存在一点C满足P A＝PC，连结PB、AC相交于点F，且∠APB＝3∠BPC，则PFBF =√17−14．解：连接OP，OC．∵P A与⊙O相切于点A，P A＝PC，∴∠OAP＝90°，∵OA＝OC，OP＝OP，∴△OAP≌△OCP（SSS），∴∠OAP＝∠OCP＝90°，∴PC与⊙O相切于点C，∵∠APB＝3∠BPC，∠APO＝∠CPO，∴∠CPB＝∠OPB，∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA＝90°，∵OP⊥AC，∴OP∥BC，∴∠CBP＝∠CPB，∴BC ＝PC ＝AP ． ∵OA ＝OB ，∴OM =12BC =12AP ．设OM ＝x ，则BC ＝CP ＝AP ＝2x ，PM ＝y ， ∵∠OAP ＝∠AMP ＝90°，∠MP A ＝∠APO ， ∴△AMP ∽△OAP ， ∴AP PM=OP AP．∴AP 2＝PM •OP ， ∴（2x ）2＝y （y +x ）， 解得：x =1+√178y ，x =1−√178y （舍去）． ∵PM ∥BC ， ∴△PMF ∽△BCF ， ∴PF BF=PM BC=PM AP=y 2x=√17−14． 故答案为：√17−14． 18．（8分）如图，边长12的正方形ABCD 中，F 为BC 上的一点且BF ＝3，有一个小正方形EFGH ，其中E ，G 分别在AB ，FD 上，则AH 的长为9√104．解：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠B ＝∠C ＝90°， 在△BEF 与△CFD 中∵∠BFE +∠CFD ＝∠CFD +∠CDF ＝90°， ∴∠BEF ＝∠CDF ， ∴△BEF ∽△CFD ，∴BF CD=BE CF，∵BF ＝3，BC ＝12， ∴CF ＝BC ﹣BF ＝12﹣3＝9， ∴312=BE 9，∴BE =94，过H 作HM ⊥AB 于M ，则∠HMA ＝∠HME ＝90°， ∵四边形ABCD 和四边形EHGF 是正方形， ∴∠HME ＝∠B ＝90°，EH ＝EF ，∠HEF ＝90°， ∴∠MEH +∠BEF ＝90°，∠BEF +∠EFB ＝90°， ∴∠MEH ＝∠EFB ， 在△HME 和△EBF 中 {∠MEH =∠EFB ∠HME =∠B EH =EF∴△HME ≌△EBF （AAS ）， ∴HM ＝BE =94，ME ＝BF ＝3，∴AM ＝AB ﹣EM ﹣BE ＝12﹣3−94=274，在Rt △AMH 中，由勾股定理得：AH =√AM 2+MH 2=√(274)2+(94)2=9√104． 故答案为：9√104．19．（8分）猜数字游戏中，小明写出如下一组数：25，47，811，1619，3235，…，小亮猜出了第六个数字是6467，根据此规律，第100个数字是21002100+3．解：由已知可知，分子的规律是2n ，分母的规律是2n +3， ∴第100个数字是21002100+3，故答案为21002100+3．三．解答题（共2小题，满分38分）20．（18分）已知二次函数y 1＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象经过三点（1，0），（﹣3，0），（0，−32）．（Ⅰ）求二次函数的解析式；（Ⅱ）若（Ⅰ）中的二次函数，当x 取a ，b （a ≠b ）时函数值相等，求x 取a +b 时的函数值；（Ⅲ）若反比例函数y 2=k x（k ＞0，x ＞0）的图象与（Ⅰ）中的二次函数的图象在第一象限内的交点为A ，点A 的横坐标为x 0满足2＜x 0＜3，试求实数k 的取值范围． 解：（Ⅰ）设抛物线解析式为y ＝a （x ﹣1）（x +3） 将（0，−32）代入，解得a =12． ∴抛物线解析式为y =12x 2+x −32．（Ⅱ）当x ＝a 时，y 1=12a 2+a −32，当x ＝b 时，y 1=12b 2+b −32，∴12a 2+a −32=12b 2+b −32，∴a 2﹣b 2+2（a ﹣b ）＝0，即（a ﹣b ）（a +b +2）＝0， ∵a ≠b ，∴a +b ＝﹣2．∴y 1=12（a +b ）2+（a +b ）−32=12（﹣2）2﹣2−32=−32 即x 取a +b 时的函数值为−32．（Ⅲ）当2＜x ＜3时，函数y 1=12x 2+x −32，y 1随着x 增大而增大，对y 2=kx （k ＞0），y 2随着x 的增大而减小．∵A （x 0，y 0）为二次函数图象与反比例函数图象的交点， ∴当x 0＝2时，由反比例函数图象在二次函数上方得y 2＞y 1， 即k2＞12×22+2−32，解得k ＞5．当x 0＝3时，二次函数数图象在反比例上方得y 1＞y 2，即12×32+3−32＞k 3，解得k ＜18．所以k 的取值范围为5＜k ＜18．21．（20分）小冬遇到一个有趣的问题：长方形台球桌ABCD 的边长分别为AB ＝3，BC ＝5．点P 在AD 上，且AP ＝2．一球从点P 处沿与AD 夹角为θ的方向击出，分别撞击AB 、BC 、CD 各一次后到达点P 0．每次撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的角相等（入射角等于反射角）．如图①所示．小冬的思考是这样开始的：如图②，将矩形ABCD 沿直线AB 折叠，得到矩形ABC 1D 1，由轴对称的知识，发现QE ＝QR ，PE ＝PQ +QR ．请你参考小冬的思路或想出自己的方法解决下列问题：（1）点P 0与点A 重合时，此球所经过的路线总长度是 6√5 ． （2）当点P 0落在线段AP 上时（如图③），求tan θ的取值范围．解：（1）AS 交PQ 于H ，根据入射角等于反射角得到∠HQA ＝∠HAQ ，∠HP A ＝∠HAP ， ∴PQ ＝2HP ＝2HQ ＝2SR ，∵∠C ＝∠A ＝90°，∠CRS ＝∠QP A ， ∴△RCS ∽△P AQ ， ∴AP CR=PQ SR=2，∵P A ＝2， ∴CR ＝1， EC 2＝1，由勾股定理得：PE =√(2−1+5)2+32=3√5， 同理：SR +AS =√(5+1)2+32=3√5， ∴3√5+3√5=6√5， 故答案为：6√5．（2）由（1）知：BR ＝5﹣1＝4， ∴AQ BQ=AP BR=12，∵AB ＝3， ∴AQ ＝1， ∴tan θ=AQAP =12，当P 0在P 点上时，tan θ=35，∴当点P 0落在线段AP 上时，tan θ的取值范围是12≤tan θ≤35．。
(完整word版)成都七中学校自主招生考试试题
成都七中实验学校自主招生考试试题数学试题注意事项：1.本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题36分；第Ⅱ卷为非选择题114分；全卷共150分．考试时间为120分钟.2.本试卷的选择题答案用2B 铅笔涂在机读卡上，非选择题在卷Ⅱ上作答.3.考生务必将自己的姓名及考号写在密封线以内指定位置.4.非选择题必须在指定的区域内作答，不能超出指定区域或在非指定区域作答，否则答案无效.卷I （选择题，共36分）一．选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．计算3×(-2) 的结果是( )A ．5B ．-5C ．6D ．-62．如图1，在△ABC 中，D 是BC 延长线上一点， ∠B = 40°，∠ACD = 120°，则∠A 等于( ) A ．60° B ．70°C ．80°D ．90°3．下列计算中，正确的是( )A ．020=B ． 623)(a a =C 3=±D ．2a a a =+4．如图2，在□ABCD 中，AC 平分∠DAB ，AB = 3， 则□ABCD 的周长为( ) A ．6 B ．9 C ．12D ．155．把不等式2x -< 4的解集表示在数轴上，正确的是( )6．如图3，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A ，B ，C 三点，AB CD图2ABCD 40°120°图1A B DC-2那么这条圆弧所在圆的圆心是( ) A ．点P B ．点M C ．点RD ．点Q7．若220x x +=，则xy 的值为（ ）A ．6或0B ．6-或0C ．5或0D ．8-或08．已知y x a b b y b b a x b a ,,,,0则--=-+=<<的大小关系是 （ ）A ．y x >B ．x =yC ．y x <D ．与a 、b 的取值有关 9．如图4,已知边长为1的正方形ABCD ，E 为CD 边的中点，动点P 在正方形ABCD 边上沿A B C E →→→运动，设点P 经过的路程 为 x ，△APE 的面积为y ，则y 关于x 的函数的图象大致为（ ）10．如图5，两个正六边形的边长均为1，其中一个正六边形 一边恰在另一个正六边形的对角线上，则这个图形（阴影部 分）外轮廓线的周长是( )A ．7B ．8C ．9D ．1011．如图6，已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，则下列6个代数式,,,,2,ab ac a b c a b c a b ++-++2a b -中其值为正的式子个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图7-1．在图7-2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图7-1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是( )卷Ⅱ(非选择题,共114分)图7-1图7-2图5（C ）二．填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．将答案直接填写在题中横线上．13．5-的相反数是 ．14．如图8，矩形ABCD 的顶点A ，B 在数轴上， CD = 6， 点A 对应的数为1-，则点B 所对应的数为 ．15．如图9，有五张点数分别为2，3，7，8，9的扑克牌， 从中任意抽取两张，则其点数之积是偶数的概率为 ．16．已知x = 1是一元二次方程02=++n mx x 的一个根，则 222n mn m ++的值为 ．17．把三张大小相同的正方形卡片A ，B ，C 叠放在一 个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用 阴影表示．若按图10-1摆放时，阴影部分的面积为S 1； 若按图10-2摆放时，阴影部分的面积为S 2，则S 1 S 2（填“＞”、“＜”或“=”）． 18．南山中学高一年级举办数学竞赛，A 、B 、C 、D 、E 五位同学得了前五名，发奖前，老师让他们猜一猜各人的名次排列情况. A 说：B 第三名，C 第五名； B 说：E 第四名，D 第五名； C 说：A 第一名，E 第四名； D 说：C 第一名，B 第二名； E 说：A 第三名，D 第四名.老师说:每个名次都有人猜对，试判断获得第一至第五名的依次为 .三、解答题（本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．(1)（本小题满分8分）解方程：1211+=-x x . (2)（本小题满分8分）先化简再求值： 22214()2442a a a a a a a a ----÷++++，其中22430a a +-=. 20．（本小题满分12分）甲、乙两校参加区教育局举办的学生英语口语竞赛，两校参赛人数相等．比赛结束后，发现学生成绩分别为7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据统计数据绘制了如下尚不完整的统计图表．甲校成绩统计表图10-1 ACB C BA图10-2 乙校成绩扇形统计图 图11-110分 9分8分72° 54°7分 A 0图8BC D 图9（1）在图11-1中，“7分”所在扇形的圆心角 等于 °．（2）请你将图11-2的统计图补充完整．（3）经计算，乙校的平均分是8.3分，中位数是8分，请写出甲校的平均分、中位数；并从平均分和中位数的角度分析哪个学校成绩较好．（4）如果该教育局要组织8人的代表队参加市级团体赛，为便管理，决定从这两所学校中的一所挑选参赛选手， 请你分析，应选哪所学校？21．（本小题满分12分） 如图12，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 与 坐标原点重合，顶点A ，C 分别在坐标轴上，顶点B 的坐标为（4，2）．过点D （0，3）和E （6，0）的直 线分别与AB ，BC 交于点M ，N ．（1）求直线DE 的解析式和点M 的坐标；（2）若反比例函数xmy =（x ＞0）的图象经过点M ，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N 是否在该函数的图象上；（3）若反比例函数xmy =（x ＞0）的图象与△MNB 有公共点，请直接．．写出m 的取值范围． 22．（本小题满分12分）某仪器厂计划制造A 、B 两种型号的仪器共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于制造仪器，两种型号的制造成本和售价如下表：（1）该厂对这两种型号仪器有哪几种制造方案？ （2）该厂应该选用哪种方案制造可获得利润最大？（3）根据市场调查，每套B 型仪器的售价不会改变，每套A 型仪器的售价将会提高a 万元（a >0），且所制造的两种仪器可全部售出，问该厂又将如何制造才能获得最大利润？乙校成绩条形统计图图13-2AD O BC 21MN图13-1A D BM N1 2图13-3AD O BC 21MNO 23．（本小题满分12分）在图13-1至图15-3中，直线MN 与线段AB 相交 于点O ，∠1 = ∠2 = 45°．（1）如图13-1，若AO = OB ，请写出AO 与BD 的数量关系和位置关系；（2）将图13-1中的MN 绕点O 顺时针旋转得到 图13-2，其中AO = OB ． 求证：AC = BD ，AC ⊥ BD ；（3）将图13-2中的OB 拉长为AO 的k 倍得到 图13-3，求ACBD的值． 24．（本小题满分12分）如图14，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90B ∠=︒，AD = 6，BC = 8，33=AB ，点M 是BC 的中点．点P 从点M 出发沿MB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动，到达点B 后立刻以原速度沿BM 返回；点Q 从点M 出发以每秒1个单位长的速度在射线MC 上匀速运动．在点P ，Q 的运动过程中，以PQ 为边作等边三角形EPQ ，使它与梯形ABCD 在射线BC 的同侧．点P ，Q 同时出发，当点P 返回到点M 时停止运动，点Q 也随之停止． 设点P ，Q 运动的时间是t 秒(t ＞0)．（1）设PQ 的长为y ，在点P 从点M 向点B 运动的过程中，写出y 与t 之间的函数关系式（不必写t 的取值范围）． （2）当BP = 1时，求△EPQ 与梯形ABCD 重叠部分的面积． （3）随着时间t 的变化，线段AD 会有一部分被△EPQ 覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最 大值能否持续一个时段？若能，直接．．写出t 的取值范围； 若不能，请说明理由．Q图14 （备用图）25．（本小题满分14分）如图15，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过x 轴上的两点1(,0)A x 、2(,0)B x 和y 轴上的点3(0,)2C -，P 的圆心P 在y 轴上，且经过B 、C两点，若b =，AB =求：（1）抛物线的解析式；（2）D 在抛物线上，且C 、D 两点关于抛物线的对称轴对称，问直线BD 是否经过圆心P ？ 并说明理由；（3）设直线BD 交P 于另一点E ，求经过点E 和P 的切线的解析式．2011年数学参考答案一、选择题二、填空题13.5 14.5 15. 71016.1 17. = 18. C 、B 、A 、E 、D. 三、解答题19．（1）解：)1(21-=+x x ，3=x ．经检验知，3=x 是原方程的解．………………8分（2）解：………………6分由已知得2322a a +=，代入上式的原式23=………………8分20．解：（1）144；………………3分（2）如图1；………………6分（3）甲校的平均分为8.3分，中位数为7分；………………8分 由于两校平均分相等，乙校成绩的中位数大于甲 校的中位数，所以从平均分和中位数角度上判断， 乙校的成绩较好．………………9分乙校成绩条形统计图图12222222212[](2)(2)4(2)(2)(1)2(2)442(2)442(2)41(2)12a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a--+=-⨯++--+--+=⨯+---++=⨯+--+=⨯+-=+=+原式（4）因为选8名学生参加市级口语团体赛，甲校得10分的有8人，而乙校得10分的只有5人，所以应选甲校．………………12分21．解：（1）设直线DE 的解析式为b kx y +=， ∵点D ，E 的坐标为（0，3）、（6，0），∴ ⎩⎨⎧+==.60,3b k b解得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=.3,21b k ∴ 321+-=x y ．………………2分∵ 点M 在AB 边上，B （4，2），而四边形OABC 是矩形， ∴ 点M 的纵坐标为2．又 ∵ 点M 在直线321+-=x y 上，∴ 2 = 321+-x ．∴ x = 2．∴ M （2，2）．………………4分（2）∵xmy =（x ＞0）经过点M （2，2）， ∴ 4=m ．∴xy 4=.………………5分又 ∵ 点N 在BC 边上，B （4，2）， ∴点N 的横坐标为4．∵ 点N 在直线321+-=x y 上，∴ 1=y ．∴ N （4，1）． ………………8分∵ 当4=x 时，y =4x= 1， ∴点N 在函数 xy 4=的图象上．………………9分 （3）4≤ m ≤8．………………12分22．解：（1） 设A 种型号的仪器造x 套,则B 种型号的仪器造(80-x)套, 由题意得:()20968028252090≤-+≤x x解之得:5048≤≤x ………………2分所以 x=48、49、50 三种方案：即：A 型48套，B 型32套；A 型49套，B 型31套；A 型50套，B 型30套。
成都七中外地生自主招生考试数学试题和答案
成都七中2022年外地生自主招生考试数学试题考试时间：120分钟 总分值150分注意：请将答案涂写在答题卡上，本试卷作答无效！一、选择题〔本大题共 10小题，每题6分，共60分，每题只有一个正确选项〕1 ,x 2是方程X2-3X +仁0的两根，贝U x 1 + x 2 =()A. 3B. . 51y=-的图象交点个数为〔X，周长为12cm ，其内切圆半径为〔4. 2022 2022 2022 2022 1 -20222 =(6.某三棱锥的主视图和左视图如右，其俯视图不可能是〔〕7.从-2,0,1,2,3五个数中选出两个数 a,b(a ^ 0),那么y=a 2x+b 表示不同一次函数的种数为 〔〕9.右图中O 为矩形ABCD 〔 AB vBC 丨的中心，过O 且互相垂直的两条直线被矩形四边所截， 设截得的线段 EF 和GH 长度分别为X 和y ，四边形EGFH 面积为S ,当这两条直线保持垂 直且围绕O 点不停旋转时，以下说法正确的选项是〔〕① 某一阶段，y 随X 的增大而增大，y 是X 的正比例函数 ② 某一阶段，y 随X 的增大而减小，y 是X 的反比例函数 ③ 仅当四边形EGFH 与矩形一条对角线重合时， S 最大④ 仅当四边形EGFH 的两条对角线长度相等时，S 最小A.①②B.①③C.①②④D.①③④2.—次函数y=kx+k-1的图象与反比例函数 将半径 1cm 的硬币掷在平面上，硬币与平行线 相交的概率为〔〕1123A.-B.-C. _D.-4 3 3 4n 为正整数，记n ! =1 X 2 x 3X 4 xx n(n 2), 1! =1，那么- 2 3+ + — +3! 4!110! 1 1B.1 +10! 9D .1+ 9!5.平面上有无限条彼此相距 3cm 的平行线,10.2022年6月6日发生了天文奇观“金星凌日〞， 当地球、金星、太阳在一条直线上，从地球上可以 看到金星就像一个小黑点一样沿直线在太阳外表缓 慢移动〔金星的视直径仅约为太阳视直径的3%〕, 如右图示意，圆 O 为太阳，小圆为金星，弦 AB 所 在直线为小圆圆心的轨迹，其中位置 I 称为入凌外切，位置II 称为入凌内切，设金星视直径为 d ,AOB =2 ,那么金星从位置I 到位置II 的视位移△ S 可以估计为〔 〕d dA.B.-sin 2si n二、填空题〔本大题共 8小题，每题6分，共48分〕32+3x -4=0的解为 ______________ 。
第11周成都七中初升高自主招生考试试卷试题数学试卷试题
成都七中初升高自主招生考试试题数学试题卷 I 〔选择题，共 36 分〕一．选择题：本大题共12 个小题，每题3 分，共36 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．计算 3×( 2) 的结果是 ()A ．5B ． 5C ．6D ． 62．如图 1，在△ ABC 中， D 是 BC 延长线上一点，A∠B = 40 °，∠ACD = 120 °，那么∠A 等于( )A ．60°B ．70°40 °120° C ．80°D ．90°B图 1CD3．以下计算中，正确的选项是 ()A ．． 3 26． 93D． a a a 22 B(a ) aC4．如图 2，在□ ABCD 中，AC 平分∠DAB ，AB = 3，D那么□ ABCD 的周长为( )A CA ．6B ．9C ．12D ．15B5．把不等式2x < 4 的解集表示在数轴上，正确的选项是 ()图 2- 20 0 2AB- 2002 CD6．如图 3，在 5×5 正方形网格中，一条圆弧经过 A ，B ，C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是 ( )ABCA ．点 PB ．点 MC ．点 RD ．点 Q7．假设x 22xy 3 0 ，那么 xy 的值为〔 〕PQRMA ． 6 或 0B ． 6 或 0C ． 5 或 0D ． 8 或 0图 38． 0 ab, xa bb , ybb a,那么 x, y 的大小关系是 〔 〕A x y B． x = yC． x yD．与 a 、 b的取值有关．9．如图 4,边长为 1 的正方形 ABCD ，E 为 CD 边的中点，动点 P在正方形 ABCD 边上沿 AB CE 运动，设点 P 经过的路程为 x ，△ APE 的面积为 y ，那么 y 关于 x 的函数的图象大致为〔 〕y y y y 1111Ox O2.5 xOx O〔A 〕〔B 〕〔C 〕DECAP B图 42.5 x〔D 〕10．如图 5，两个正六边形的边长均为 1，其中一个正六边形一边恰在另一个正六边形的对角线上，那么这个图形〔阴影部分〕外轮廓线的周长是 ()A．7B．8C．9D．10y图 511．如图 6，二次函数y ax2bx c 的1图像如下图，那么以下 6 个代数式ab, ac, a b c, a b c,2 a b,O1x2a b 中其值为正的式子个数为〔〕A．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D．4 个图 612．将正方体骰子〔相对面上的点数分别为 1 和 6、 2 和 5、 3 和 4〕放置于水平桌面上，如图7-1．在图 7-2 中，将骰子向右翻滚 90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转 90°，那么完成一次变换．假设骰子的初始位置为图 7-1 所示的状态，那么按上述规那么连续完成 10 次变换后，骰子朝上一面的点数是()向右翻滚 90°逆时针旋转90°A．2B．3C．5D．6图 7-1图 7-2分)卷Ⅱ(非选择题,共114二．填空题：本大题共6 个小题，每题4 分，共24 分．将答案直接填写在题中横线上．13． 5 的相反数是．14．如图 8，矩形 ABCD 的顶点 A，B 在数轴上， CD = 6，D C点 A 对应的数为 1，那么点 B 所对应的数为．A 0B图 815．如图 9，有五张点数分别为 2，3，7，8，9 的扑克牌，从中任意抽取两张，那么其点数之积是偶数的概率为．图 916． x = 1 是一元二次方程 x2mx n 0 的一个根，那么CCm2 2mn n 2的值为．A B17．把三张大小相同的正方形卡片 A，B，C 叠放在一AB个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的局部用图 10-1图 10-2阴影表示．假设按图 10-1 摆放时，阴影局部的面积为S1；假设按图 10-2 摆放时，阴影局部的面积为S2，那么S12〔填“＞〞、“＜〞或“=〞〕．S18．南山中学高一年级举办数学竞赛， A、B、C、D、E 五位同学得了前五名，发奖前，老师让他们猜一猜各人的名次排列情况.A说：B第三名， C第五名；B说：E第四名， D第五名；C说：A第一名， E第四名；D说：C第一名， B第二名；E说：A第三名， D第四名.老师说: 每个名次都有人猜对，试判断获得第一至第五名的依次为.三、解答题〔本大题共 7 个小题，共 90 分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤〕19．(1) 〔本小题总分值 8 分〕解方程：12.x 1x1 (2)〔本小题总分值 8 分〕先化简再求值：a2 a 1a4，其中 2a 24a 3 0 .(22a a 24a 4)2a a20．〔本小题总分值12 分〕甲、乙两校参加区教育局举办的学生英语口语竞赛，两校参赛人数相等．比赛结束后，发现学生成绩分别为 7 分、8 分、9 分、10 分〔总分值为 10 分〕．依据统计数据绘制了如下尚不完整的统计图表．甲校成绩统计表乙校成绩扇形统计图分数7 分8 分9 分10 分分10人数11087 分72°9 分54 °8 分〔1〕在图 11-1 中，“7 分〞所在扇形的圆心角图 11-1等于°．（2〕请你将图 11-2 的统计图补充完整．（3 〕经计算，乙校的平均分是 8.3 分，中位数是 8 分，请写出甲校的平均分、中位数；并从平均分和中位数的角度分析哪个学校成绩较好．（4 〕如果该教育局要组织 8 人的代表队参加市级团体赛，为便管理，决定从这两所学校中的一所挑选参赛选手，请你分析，应选哪所学校？乙校成绩条形统计图人数88654427 分8 分9 分10 分分数图11-221．〔本小题总分值 12 分〕如图 12，在直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 O 与坐标原点重合，顶点 A，C 分别在坐标轴上，顶点 B 的坐标为〔4，2〕．过点 D〔0，3〕和 E〔6，0〕的直线分别与 AB，BC 交于点 M，N．〔1〕求直线 DE 的解析式和点 M 的坐标；yDMA BNm O C E x〔2〕假设反比例函数y〔x＞0〕的图象经过点 M，图 12x求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点 N 是否在该函数的图象上；〔3〕假设反比例函数m写出 m 的取值范围．y〔x＞0〕的图象与△MNB 有公共点，请直接x．．22．〔本小题总分值 12 分〕某仪器厂方案制造 A、B两种型号的仪器共 80套，该公司所筹资金不少于 2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于制造仪器，两种型号的制造本钱和售价如下表：A B本钱〔万元 /套〕2528售价〔万元 /套〕3034〔1〕该厂对这两种型号仪器有哪几种制造方案？〔2〕该厂应该选用哪种方案制造可获得利润最大？〔3〕根据市场调查，每套B型仪器的售价不会改变，每套 A型仪器的售价将会提高a万元〔a >0〕，且所制造的两种仪器可全部售出，问该厂又将如何制造才能获得最大利润？23．〔本小题总分值 12 分〕在图 13-1 至图 15-3 中，直线 MN 与线段 AB 相交于点 O，∠1 = ∠2 = 45 °．〔1〕如图 13-1，假设 AO = OB，请写出 AO 与BD 的数量关系和位置关系；〔2〕将图 13-1 中的 MN 绕点 O 顺时针旋转得到OA1MD2B图13-2，其中 AO = OB ．求证：AC = BD，AC ⊥ BD；〔3〕将图 13-2 中的 OB 拉长为 AO 的 k 倍得到图13-3，求BD的值．ACN图 13-1OD2M24．〔本小题总分值 12 分〕A1CN图 13-2OA1CN图 13-3BD2BM如图 14，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC， B 90 ，AD = 6，BC = 8， AB 3 3 ，点 M 是 BC 的中点．点 P 从点 M 出发沿 MB 以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀速运动，到达点 B 后立刻以原速度沿 BM 返回；点 Q 从点 M 出发以每秒 1 个单位长的速度在射线 MC 上匀速运动．在点 P，Q的运动过程中，以 PQ 为边作等边三角形 EPQ，使它与梯形 ABCD 在射线 BC 的同侧．点 P，Q 同时出发，当点 P 返回到点 M 时停止运动，点 Q 也随之停止．设点 P，Q 运动的时间是 t 秒(t＞0)．〔1〕设 PQ 的长为 y，在点 P 从点 M 向点 B 运动的过程中，写出 y 与 t 之间的函数关系式〔不必写 t 的取值范围〕．〔2〕当BP = 1 时，求△EPQ 与梯形ABCD 重叠局部的面积．〔3〕随着时间 t 的变化，线段 AD 会有一局部被△EPQ 覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会到达最大值，请答复：该最大值能否持续一个时段？假设能，直接写出 t 的取值范围；．．假设不能，请说明理由．A DEBPM Q C 图14A DBM C〔备用图〕25．〔本小题总分值 14 分〕如图15 ，抛物线 y ax 2bx c( a0) 经过 x 轴上的两点 A(x ,0) 、 B( x ,0) 和y 轴上的点12C (0, 3) ， e P 的圆心 P 在 y 轴上，且经过 B 、 C 两点，假设b3a ， AB2 3 ．2求：〔1〕抛物线的解析式；〔2〕 D 在抛物线上，且 C 、 D 两点关于抛物线的对称轴对称，问直线 BD 是否经过圆心 P ？ 并说明理由；〔3〕设直线 BD 交 e P 于另一点 E ，求经过点 E 和 e P 的切线的解析式．yMAO BxP EDCQ图 152021年绵阳南山中学实验学校自主招生考试模拟试题〔一〕数学参考答案一、号123456789101112答案D C B C A D B C A B B C二、填空13. 514. 515.716. 117. =18. C、B、A、E、D. 10三、解答19．〔1〕解：x 1 2(x 1) ， x 3 ．知， x 3 是原方程的解．⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分〔2〕解：原式a2a1a2[a(a2)(a2)2]a4 (a2)(a2)a(a1)a2a(a2)2a4 a24a2a a2a(a2)2a4a4a2a(a2)2a41a(a2)1a22a⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分由得 a22a3，代入上式的原式2⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分2320．解：〔1〕144；⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分乙校成绩条形统计图人数〔2〕如 1；⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分886454327 分8 分9 分10 分分数图 1〔3〕甲校的平均分 8.3 分，中位数 7 分；⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分由于两校平均分相等，乙校成的中位数大于甲校的中位数，所以从平均分和中位数角度上判断，乙校的成好．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分〔4〕因 8 名学生参加市 口 体 ，甲校得10 分的有 8 人，而乙校得 10 分的只有 5 人，所以 甲校．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分21．解：〔1〕 直 DE 的解析式 y kx b ，∵点 D ，E 的坐 〔0，3〕、〔6，0〕，∴3 b,6k b.k 1 , ∴ y 1解得2x 3 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分b3.2∵ 点 M 在 AB 上，B 〔4，2〕，而四 形 OABC 是矩形， ∴ 点 M 的 坐 2．又 ∵ 点 M 在直 y1x 3 上，2∴ 2 =1 x 3 ．∴ x = 2．∴ M 〔2，2〕．⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分2〔2〕∵ ym〔x ＞0〕 点 M 〔2，2〕，x∴ m 4 ．∴ y4 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分x 又 ∵ 点 N 在 BC 上，B 〔4，2〕， ∴点 N 的横坐 4．∵ 点 N 在直 y1 x 3 上，2 ∴ y 1．∴ N 〔4，1〕． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分∵ 当 x4 ，y = 4=1，x ∴点 N 在函数 y4的 象上．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分x〔3〕4≤ m ≤8．⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分22．解：〔1〕 A 种型号的 器造x 套, B 种型号的 器造 (80-x) 套,由 意得: 209025x 28 80 x 2096解之得: 48x 50 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分所以 x=48 、49、50 三种方案：即：A 型48套，B 型32套；A 型49套，B 型31套；A 型50套，B 型30套。