数学：2.4.2《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》PPT课件(新人教A版必修4)
4、两向量夹角公式的坐标运算
设a与b 的夹角为（0 180 ），
则 cos
a b ab
设a x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 且a与b夹角为， （ (0 180 )则 cos
2 1 2 1 2 2
x1 x2 y1 y2 x y x y
(1) a a a 或 a
2
a a；
(1)向量的模 设a ( x, y ), 则 a x y , 或 a
2 2 2 2 2
x y ；
（2）两点间的距离公式 则 AB （x1 x2 ) y1 y2 ) （
=(x1,y1), b =(x2,y2),则
故两个向量的数量积等于它们对应 坐标的乘积的和。即 y A(x ,y )
1 1
a b x1 x2 y1 y2 .
B(x2,y2)
b
j
a
i
o
x
根据平面向量数量积的坐标表示，向 量的数量积的运算可转化为向量的坐标运 算。
2、向量的模和两点间的距离公式
设两个非零向量
a
a x1 i y1 j b x2 i y2 j , a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y2 j ) 2 2 x1 x2 i x1 y2 i j x2 y1 i j y1 y2 j x1 x2 y1 y2
例3 （1）已知 a =（4，3），向量 b 是 垂直于 a 的单位向量，求 b .
（2）已知 a 10 , b (1,2)，且a // b，求a的坐标.
3 （3）已知a (3,0), b (k ,5)，且a与b的夹角为 ， 4 求k的值.
3 4 3 4 答案：（ ） ( , )或b ( , ). 1b 5 5 5 5 （2）（ 2， 2）或（ 2， 2 2）；（3）k 5. 2
新课标人教版课件系列
《高中数学》
必修4
2.4.2《平面向量数量积
的坐标表示、模、夹角》
1.掌握平面向量数量积运算规律；
教学目标
2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运
算规律解决有关问题； 3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会 证明两向量垂直，以及能解决一些简单问 题. 教学重点： 平面向量数量积及运算规律. 教学难点： 平面向量数量积的应用
2 1 2 1 2 2 2 2 2 2
.
其中 x y 0， x y 0.
三、基本技能的形成与巩固
例1 (1) 已知a (1,2 3 ), b (1,1), 求a b， b ， b的夹角 . a a与
a b 1 3， a b
a b 2 4 2 3 2(1 3)，
1 cos , 0 180 , 60 . ab 2
(2) 已知a (2,3), b (2,4), 则（a b （a b ） ） .
法一： b (0,7), a b (4,1) a a b） a b） 0 4 7 (1) 7. （ （ 法二：（a b） a b） a b （
一、复习引入
(1) a b a b cos ( 2) a a a 或 a
2
a a； a b a b .
a b a b 0; cos
我们学过两向量的和与差可以转 化为它们相应的坐标来运算,那么怎 样用 a和b的坐标表示a b呢？
二、新课学习
2 2 2 2
a b 13 20 7
练习：课本P1191、2、3.
例2 已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，
试判断ABC的形状，并给出证明.
y B(2,3) A(1,2) x
0
C(-2,5) 证明 : AB (2 1,3 2) (1,1)
AC (2 1,5 2) (3,3)
2 2
3、两向量垂直和平行的坐标表示 （1）垂直 a b a b 0
设a x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 则 （ a b x1 x2 y1 y2 0
（2）平行
设a x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 则 （ a// b x1 y2 x2 y1 0
3、已知
小结
１、理解各公式的正向及逆向运用； ２、数量积的运算转化为向量的坐 标运算； ３、掌握平行、垂直、夹角及距离 公式，形成转化技能。
作业
课本Ｐ１１9Ａ组5（1），9，10，11.
AB AC 1 (3) 1 3 0
AB AC
三角形 ABC是直角三角形 .
练习2：以原点和A（5，2）为两 个顶点作等腰直角三角形OAB， B=90，求点B的坐标.
y 3 7 B 答案：B的坐标为（ ， ） 2 2 7 3 或（ ， ） 2 2 O
A x
四、逆向及综合运用
1、平面向量数量积的坐标表示
如图，i是x轴上的单位向量， j 是y 轴上的单位向量，
由于 a b a b cos 所以
1 . j j 1 . i i
i j j i 0 .
y A(x ,y ) 1 1
j
B(x2,y2)
b
a
oi
x
下面研究怎样用
a和b的坐标表示a b.
提高练习
1、已知OA ( 3,1)， (0,5)，且 AC // OB， OB BC AB，则点C的坐标为
29 C (3, ) 3
2、已知A(1，2)、B(4、0)、C(8，6)、 D(5，8)，则四边形ABCD的形状是矩形 .
b a = (1，2)， = (-3，2)， 若k a +2 b 与 2 a - 4 b 平行，则k = - 1 .
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2-4-2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角2 课件(人教A版必修4)
[解析]
(1)解：由a＝(1， 3 )，b＝( 3 ＋1， 3 －1)，得
a· b＝ 3＋1＋ 3×( 3－1)＝4，|a|＝2，|b|＝2 2. a· b 2 设a与b的夹角为θ，则cosθ＝ ＝ ， |a||b| 2 π 又0≤θ≤π，所以θ＝4.
→ → (2)证明：由条件得 AB ＝(1,1)， BC ＝(－4,3)，CA＝(3，－ 4)， → → 因为AB· BC＝－4＋3＝－1<0， → → 所以AB、BC的夹角是钝角，从而∠ABC为锐角． 同理∠BCA，∠BAC也为锐角，所以△ABC是锐角三角 形．
Hale Waihona Puke 建模应用引路命题方向4 已知夹角求参数
设a＝(2，x)，b＝(－4,5)，若a与b的夹角为钝 角，求x的取值范围． [分析] θ为钝角，则cosθ<0.
[解析]
8 由cosθ<0得x< ， 5
5 5 因为a∥b时有－4x－10＝0，即x＝－2，当x＝－2时，a＝ 5 1 (2，－2)＝－2b， 8 5 所以a与b反向，θ＝π，故x< 且x≠－ . 5 2
已知a＝(2，－1)，b＝(3，－2)，求(3a－b)· (a－2b)． [分析] 解． 先求出a· b，a2，b2，再对(3a－b)· (a－2b)展开求
[解析]
解法一：因为a· b＝2×3＋(－1)×(－2)＝8，a2＝
22＋(－1)2＝5，b2＝32＋(－2)2＝13， 所以(3a－b)· (a－2b)＝3a2－7a· b＋2b2＝3×5－7×8＋ 2×13＝－15. 解法二：∵a＝(2，－1)，b＝(3，－2)， ∴3a－b＝(6，－3)－(3，－2)＝(3，－1)， a－2b＝(2，－1)－(6，－4)＝(－4,3)． ∴(3a－b)· (a－2b)＝3×(－4)＋(－1)×3 ＝－15.
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角ppt
小结作业
1.a∥b x1 y 2 x2 y1 0 a⊥b x1 x2 y1 y 2 0 二者有着本质区别. 2.若非零向量a 与b的夹角为锐角（钝 角），则a· b＞0（＜0），反之不成立.
3.向量的坐标运算沟通了向量与解析几 何的内在联系，解析几何中与角度、距 离、平行、垂直有关的问题，可以考虑 用向量方法来解决.
例题讲解
例1、设a (5, 7), b (6, 4), 求a b及a、 b夹角的余弦.
变式练习
已知向量a＝(4，3),b＝(－1，2), 求: (1) a· b； (2) (a＋2b)· (a－b)； (3) |a|2－4a· b. (1) 2；（2）17； （3）17.
【湖南师大附中内部资 料】高一数学必修4课件： 2.4.2 平面向量数量积的 坐标表示、模、夹角 （新人教A版）
高一数学必修4第2章
2.4 平面向量的数量积
2.4.2 平面向量数量积的坐标 表示、模、夹角
复习巩固
1、下列命题正确的有___________ 2 2 2 (1)a a (2) a a 2 2 2 (3) a b a b (4) a b a b (5)(0 a) b 0 ( a b) (6)若a b a c, 且a 0, 则b c
复习巩固
2、已知非零向量 AB与向量 AC满足 AB AC AB AC 1 （ + ）BC 0, 且 AB AC AB AC 2 则ABC为（
D
）
A、三边不相等的三角形 B、直角三角形 C、等腰非等边三角形 Ｄ、等边三角形
高一数学人教A版必修4课件：2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
预习新知
目标导航 预习导引
导学探究
触类旁通
1
2
3
4
3.两向量垂直的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.
预习新知
目标导航 预习导引
导学探究
触类旁通
1
2
3
4
4.向量的夹角公式 已知 a=(x1,y1),b=(x2,y2),其夹角为 θ,则 cos ������ 1 ������ 2 +������1 ������2 θ= (0≤θ≤π).
2.4.2
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角预新知目标导航 预习导引
导学探究
触类旁通
学习目标 重点难点
1.会用坐标表示平面向量的数量积; 2.能够用向量坐标求数量积、模及两个向量的夹角; 3.能够利用坐标判断向量的垂直关系 . 重点:用坐标表示平面向量的数量积; 难点:用坐标求向量的模及两向量的夹角.
2 +������ 2 ������ 2 +������ 2 ������ 1 1 2 2
预习新知
导学探究
典题例解
触类旁通
一
二
三
知识精要
迁移应用
一、平面向量数量积及模的坐标表示
1.数量积坐标表示的作用及记忆口诀 (1)作用:数量积的坐标表示的实质是用向量的坐标计算数量积的一个公式;它 实现了向量的数量积的运算与两向量的坐标的运算的转化,从而将它们联系起来. (2)记忆口诀:数量积的坐标表示可简记为“对应相乘计算和”. 2.数量积坐标表示的意义 (1)由数量积坐标表示,可不求向量的模和夹角直接求数量积,使得数量积的计 算更为方便、简单. (2)实现了向量运算的完全代数化,并将数与形紧密结合起来.
高中数学 2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角课件 新人教A版必修4
第一页，共21页。
自学导引
1．已知两个非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a·b＝ _x_1_x_2＋__y_1_y_2_.由此可得：
①若 a＝(x，y)，则|a|2＝__x_2_＋__y_2 _，或|a|＝___x_2_＋__y_2. 如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点为(x1，y1)，(x2，y2)， 那么 a＝(_x_2_－__x_1，__y_2_－__y_1)_，|a|＝___x2_－__x_1__2＋___y_2_－__y1.2 ②设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a⊥b⇔_x_1_x_2＋__y_1_y_2＝_. 0 2．设两个非零向量xa1＝x2＋(x1y，1yy21)，b＝(x2，y2)，θ 是 a 与 b 的夹 角，则 cos θ＝|aa|·|bb|＝__x_21＋__y_21_·__x_22_＋__y_22.
(1)求使Z→A·Z→B取最小值时的O→Z； (2)对于①中求出的点 Z，求∠AZB 的余弦值．
第十七页，共21页。
解：
(1)设O→Z＝uO→P＝(2u，u)，则Z→A·Z→B＝(1－2u,7－u)(5－2u,1－
u)＝5u2－20u＋12，当 u＝－2－×250＝2 时，Z→A·Z→B取最小值，此时O→Z
当M→A·M→B取最小值时，a＝－374，这时 b＝1147， 可知O→M的坐标为－374，1147. 方法点评：求解平面向量数量积的综合问题，首先要看清题中 所有已知条件，弄清已知与未知之间的关系，然后考虑所要选用的 公式、性质和运算律．
第十六页，共21页。
3．已知O→P＝(2,1)，O→A＝(1,7)，O→B＝(5,1)，Z 是直线 OP 上一 点(O 为坐标原点)．
第五页，共21页。
自学导引
1．已知两个非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a·b＝ _x_1_x_2＋__y_1_y_2_.由此可得：
①若 a＝(x，y)，则|a|2＝__x_2_＋__y_2 _，或|a|＝___x_2_＋__y_2. 如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点为(x1，y1)，(x2，y2)， 那么 a＝(_x_2_－__x_1，__y_2_－__y_1)_，|a|＝___x2_－__x_1__2＋___y_2_－__y1.2 ②设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a⊥b⇔_x_1_x_2＋__y_1_y_2＝_. 0 2．设两个非零向量xa1＝x2＋(x1y，1yy21)，b＝(x2，y2)，θ 是 a 与 b 的夹 角，则 cos θ＝|aa|·|bb|＝__x_21＋__y_21_·__x_22_＋__y_22.
(1)求使Z→A·Z→B取最小值时的O→Z； (2)对于①中求出的点 Z，求∠AZB 的余弦值．
第十七页，共21页。
解：
(1)设O→Z＝uO→P＝(2u，u)，则Z→A·Z→B＝(1－2u,7－u)(5－2u,1－
u)＝5u2－20u＋12，当 u＝－2－×250＝2 时，Z→A·Z→B取最小值，此时O→Z
当M→A·M→B取最小值时，a＝－374，这时 b＝1147， 可知O→M的坐标为－374，1147. 方法点评：求解平面向量数量积的综合问题，首先要看清题中 所有已知条件，弄清已知与未知之间的关系，然后考虑所要选用的 公式、性质和运算律．
第十六页，共21页。
3．已知O→P＝(2,1)，O→A＝(1,7)，O→B＝(5,1)，Z 是直线 OP 上一 点(O 为坐标原点)．
第五页，共21页。
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 课件.ppt
1．由于两个非零向量 a、b 的夹角 θ 满足 0°≤θ≤180°，所以 用 cos θ＝|aa|·|bb|来判断，可将 θ 分为五种情况：cos θ＝1，θ＝0°； cos θ＝0，θ＝90°；cos θ＝－1，θ＝180°；cos θ＜0 且 cos θ≠ －1，θ 为钝角；cos θ＞0 且 cos θ≠1，θ 为锐角． 2．已知两向量的坐标，根据平面向量的数量积的定义和性质， 可以求其数量积、长度和它们的夹角，此外，求解数量积的有 关综合问题，应该注意函数思想与方程思想的运用．
→→ AO·AB →→
.
|AO||AB|
其中A→O·A→B＝－O→A·A→B＝－(16,12)·(－21,3) ＝－[16×(－21)＋12×3]＝300.
故 cos∠OAB＝20×30105
＝ 2
22.∴∠OAB＝45°
【名师点评】 根据向量的坐标表示求a与b的夹角时， 需要先求出a·b及|a||b|，再由夹角的余弦值确定θ.其中， 当a·b>0时，a与b的夹角为锐角；当a·b<0时，a与b的 夹角为钝角；当a·b＝0，a与b的夹角为直角．
第二章 平面向量
2．4.2 平面向量数量积的坐标表示、 模、夹角
学习导航
学 习 目 标 实例 ―理―解→ 平面向量Fra bibliotek量积的坐标表示
―掌―握→
用平面向量坐标形式求 数量积、模、夹角
重点难点 重点：用两个向量的坐标来解决与向量的 模、夹角、垂直有关的问题． 难点：掌握数量积、求模公式、距离公式、夹角公式、 向量垂直与平行的等价形式．
【解】 (1)证明：∵a·b
＝cos(－θ)cos(π2－θ)＋sin(－θ)sin(π2－θ) ＝sin θcos θ－sin θcos θ＝0 1 ． ∴a⊥b.
→→ AO·AB →→
.
|AO||AB|
其中A→O·A→B＝－O→A·A→B＝－(16,12)·(－21,3) ＝－[16×(－21)＋12×3]＝300.
故 cos∠OAB＝20×30105
＝ 2
22.∴∠OAB＝45°
【名师点评】 根据向量的坐标表示求a与b的夹角时， 需要先求出a·b及|a||b|，再由夹角的余弦值确定θ.其中， 当a·b>0时，a与b的夹角为锐角；当a·b<0时，a与b的 夹角为钝角；当a·b＝0，a与b的夹角为直角．
第二章 平面向量
2．4.2 平面向量数量积的坐标表示、 模、夹角
学习导航
学 习 目 标 实例 ―理―解→ 平面向量Fra bibliotek量积的坐标表示
―掌―握→
用平面向量坐标形式求 数量积、模、夹角
重点难点 重点：用两个向量的坐标来解决与向量的 模、夹角、垂直有关的问题． 难点：掌握数量积、求模公式、距离公式、夹角公式、 向量垂直与平行的等价形式．
【解】 (1)证明：∵a·b
＝cos(－θ)cos(π2－θ)＋sin(－θ)sin(π2－θ) ＝sin θcos θ－sin θcos θ＝0 1 ． ∴a⊥b.
高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积2.4.2平面
探究一 平面向量数量积的坐标运算 [典例 1] (1)已知向量 a＝(1,2)，b＝(3,4)，求 a·b，(a－b)·(2a＋3b)． (2)已知向量 a 与 b 同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求： ①向量 a 的坐标； ②若 c＝(2，－1)，求(a·c)b. [解析] (1)解法一 ∵a＝(1,2)，b＝(3,4)， ∴a·b＝(1,2)·(3,4)＝1×3＋2×4＝11， (a－b)·(2a＋3b)＝2a2＋a·b－3b2＝2|a|2＋a·b－3|b|2＝2(12＋22)＋11－3(32＋42)＝－54.
垂直关系.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
课时作业
[自主梳理]
一、两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示
设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与 b 的夹角为 θ.
数量积
两个向量的数量积等于相应坐标乘积的 和，即 a·b＝x1x2＋y1y2
两个向量垂直 a⊥b⇔ x1x2＋y1y2＝0
4k＋2＝0，k＝－12.
3．已知 a＝( 3，1)，b＝(－ 3，1)，则向量 a，b 的夹角 θ＝________.
解析：因为 a＝( 3，1)，b＝(－ 3，1)，
所以 cos θ＝
3×－ 32＋12
3－＋1×321＋12＝－12，
又 0°≤θ≤180°，所以 θ＝120°.
答案：120°
所以 2a－b＝(4,8)．所以|2a－b|＝4 5，故选 D.
答案：(1)2 5 4 (2)D
探究三 向量的夹角与垂直 [典例 3] 已知点 A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)． (1)求证：AB⊥AD； (2)要使四边形 ABCD 为矩形，求点 C 的坐标以及矩形 ABCD 两对角线所夹锐角 的余弦值． [解析] (1)因为 A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，A→B＝(1,1)，A→D＝(－3,3)，所以A→B·A→D＝ 1×(－3)＋1×3＝0，所以A→B⊥A→D，即 AB⊥AD.
高中数学 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件 新人教版必修4
a
1
复习引入
(1) a b a b cos
2
(2)a a a 或 a
a a；
a b a b 0; cos a b .
a b
我们学过两向量的和与差可以转化为它们相应 的坐标来运算,那么怎样用 a和b的坐标表a示 b呢？
a
2
在直角坐标系中，已知两个非零向量a = （x1，y1），
注：两个向量的数量积是否为零是判断相应的两条直线 是否垂直的重要方法之一。
如证明四边形是矩形，三角形a 的高，菱形对角线垂直等11 .
5、两向量垂直、平行的坐标表示
a ＝(x1，y1)，b ＝ (x2，y2)，则
a //b (b 0 ) abx1y2x2y10
a b ab0x1x2y1y20
例4:已知 a1,2,b3,2,当k取何值时,
a b ab 0 x1x2y1y20 练习终：点a坐 标(3 为,4 ( x), b 3,x ), 则a,b且（_b起_14点5_，坐15_）标_为_( 1, 2)
例 2：已知a＝(5, 0)，b＝(–3.2, 2.4), 求证：(a＋b)⊥b .
证明：∵(a＋b)·b＝a·b＋b2
＝5×(–3.2)＋0×2.4＋(–3.2)2＋2.42
b = （x2，y2）， 如何用a 与b的坐标表示a b
单位向量i 、j 分别与x 轴、y 轴方向相同，求
① ii __1___ ②i j ___0___
③ ji __0____ ④ j j __1___
Y
B(x2，y2)
∵a = x1 i + y1 j ，b = x2 i + y2 j
b
a b x 1 i y 1 j x 2 i y 2 j j
1
复习引入
(1) a b a b cos
2
(2)a a a 或 a
a a；
a b a b 0; cos a b .
a b
我们学过两向量的和与差可以转化为它们相应 的坐标来运算,那么怎样用 a和b的坐标表a示 b呢？
a
2
在直角坐标系中，已知两个非零向量a = （x1，y1），
注：两个向量的数量积是否为零是判断相应的两条直线 是否垂直的重要方法之一。
如证明四边形是矩形，三角形a 的高，菱形对角线垂直等11 .
5、两向量垂直、平行的坐标表示
a ＝(x1，y1)，b ＝ (x2，y2)，则
a //b (b 0 ) abx1y2x2y10
a b ab0x1x2y1y20
例4:已知 a1,2,b3,2,当k取何值时,
a b ab 0 x1x2y1y20 练习终：点a坐 标(3 为,4 ( x), b 3,x ), 则a,b且（_b起_14点5_，坐15_）标_为_( 1, 2)
例 2：已知a＝(5, 0)，b＝(–3.2, 2.4), 求证：(a＋b)⊥b .
证明：∵(a＋b)·b＝a·b＋b2
＝5×(–3.2)＋0×2.4＋(–3.2)2＋2.42
b = （x2，y2）， 如何用a 与b的坐标表示a b
单位向量i 、j 分别与x 轴、y 轴方向相同，求
① ii __1___ ②i j ___0___
③ ji __0____ ④ j j __1___
Y
B(x2，y2)
∵a = x1 i + y1 j ，b = x2 i + y2 j
b
a b x 1 i y 1 j x 2 i y 2 j j
高中数学第二章平面向量2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件新人教A版必修4(1)
探究一
探究二
探究三
思维辨析
1 ������������ 2
解析:(方法 1)������������ ·������������ = ������������ + 3 ������������ · ������������ + =0+2· 22+3· 32+3· 0=5.
1 1 1
1
(方法 2)以 A 为原点,AB,AD 分别为 x,y 轴建立直角坐标系,则 A(0,0),M(1,2),N(3,1), 于是������������=(1,2),������������=(3,1),故������������ ·������������=5.
答案:5
探究一
探究二
探究三
思维辨析
反思感悟 数量积运算的途径及注意点 (1)进行向量的数量积运算,前提是牢记有关的运算法则和运算性 质.解题时通常有两条途径:一是先将各向量用坐标表示,直接进行 数量积运算;二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知 计算. (2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目,只需把握图形的 特征,建立平面直角坐标系,写出相应点的坐标即可求解.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一
数量积的坐标运算
【例1】 已知向量a=(-1,2),b=(3,2). (1)求a· (a-b); (2)求(a+b)· (2a-b); (3)若c=(2,1),求(a· b)c,a(b· c). 分析根据坐标运算法则,结合数量积的运算律进行计算. 解:(1)方法一:∵a=(-1,2),b=(3,2), ∴a-b=(-4,0). ∴a· (a-b)=(-1,2)· (-4,0)=(-1)×(-4)+2×0=4. 方法二:a· (a-b)=a2-a· b =(-1)2+22-[(-1)×3+2×2]=4.
242平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课件(人教A必修4)
解之得x＝ y＝
32＋1， 32－1，
或x＝－ y＝－
32＋1， 32－1，
所以 c＝( 32＋1， 32－1)或 c＝(－ 32＋1，－ 32－1)．
法二：由于 a·b＝ 3×1＋(－1)× 3＝0，且|a|＝|b|＝2， 从而以 a，b 为邻边的平行四边形是正方形，且由于 a·c＝ b·c，所以 c 与 a，b 的夹角相等，从而 c 与正方形的对角线共线．此 外，由于|c|＝ ，即其长度为正方形对角线长度( 2|b|＝2 2) 的一半， 故 c＝12(a＋b)＝( 32＋1， 32－1)或 c＝－12(a＋b)＝(－ 32＋1，－ 32－1)．
[通一类] 3．设a＝(m＋1，－3)，b＝(1，m－1)，若(a＋b)⊥(a－b)，
求m的值． 解：法一：∵a＋b＝(m＋2，m－4)，a－b＝(m，－m－2)， 又(a＋b)⊥(a－b)，∴(a＋b)·(a－b)＝0， 即(m＋2，m－4)·(m，－m－2)＝0. ∴m2＋2m－m2＋2m＋8＝0.∴m＝－2. 法二：∵(a＋b)⊥(a－b)， ∴(a＋b)·(a－b)＝0，a2＝b2， 则m2＋2m＋10＝2＋m2－2m，解得m＝－2.
已知向量 a＝( 3，－1)和 b＝(1， 3)，若 a·c＝b·c，试求 模为 2的向量 c 的坐标．
[解] 法一：设 c＝(x，y)， 则 a·c＝( 3，－1)·(x，y)＝ 3x－y， b·c＝(1， 3)·(x，y)＝x＋ 3y， 由 a·c＝b·c 且|c|＝2，得x23＋x－y2＝y＝2，x＋ 3y，
则 cos θ＝|aa|·|bb|＝1，∴θ＝0°，从而 a，b 同向且共线，
又|b|＝1，∴b＝|aa|＝15(4，－3)＝(45，－35).
[研一题]
2-4-2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1 课件(人教A版必修4)
(3)向量垂直的坐标表示：由向量数量积的定义，a·b＝
|a||b|·cosθ＝x1x2＋y1y2，所以 a⊥b⇔a·b＝0(|a|·|b|≠0)⇔x1x2＋ y1y2＝0 .
已知向量a＝(x－5,3)，b＝(2，x)，且a⊥b，则由x的值构
成的集合是( )
A．{2,3}
B．{－1,6}
C．{2}
数量积；对于∠ACB的大小，则可以通过模长获得．
[解析] 由题，A→B＝(3，－1)，A→C＝(－1，－3)， ∴A→B·A→C＝3×(－1)＋(－1)×(－3)＝0. ∴A→B⊥A→C. 而|A→B|＝ 10，|A→C|＝ 10， ∴∠ACB＝45°， ∴△ABC是等腰直角三角形．
第二章
平面向量
第二章
2．4 平面向量的数量积
第二章
2．4.2 平面向量数量积 的坐标表示、模、夹角
课前自主预习 课堂典例讲练 课后强化作业
课前自主预习
温故知新 1．若m，n满足：|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135°， 则m·n＝________.
[答案] －12 2
2．已知|a|＝ 2，|b|＝ 2，a与b的夹角为45°，若λb－a与 a垂直，则λ＝________.
D．{6}
[答案] C
[解析] 考查向量垂直的坐标表示，a＝(x－5,3)，b＝(2，x)， ∵a⊥b，∴a·b＝2(x－5)＋3x＝0，解之得x＝2，则由x的值构 成的集合是{2}．
3．向量夹角的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，由数量积的
定义
a·b
a·b＝|a||b|cosθ，得cosθ＝ |a||b| ，
[答案] 2
3．若i，j是平面直角坐标系xOy中的正交基底，且|i|＝|j| ＝1，a＝3i＋4j，b＝7i＋j，则a·b＝________，|a|＝ ________，|b|＝________，向量a与b的夹角θ为________．