组合数学第二章习题
组合数学第五版答案
组合数学第五版答案简介《组合数学第五版答案》是对组合数学第五版的习题答案进行整理和解答的参考资料。
组合数学是一门研究集合之间的组合方式和规律的数学科学。
它广泛应用于计算机科学、统计学、运筹学等领域，在算法设计、图论分析等方面有着重要的应用价值。
本文档包含了《组合数学第五版》中各章节的习题答案，主要内容涵盖了排列组合、图论、生成函数、递推关系、容斥原理等多个重要主题。
通过对这些习题的解答，可以帮助读者更好地理解组合数学的基本概念、方法和应用。
目录•第一章：基本概念和方法•第二章：排列组合•第三章：图论•第四章：生成函数•第五章：递推关系•第六章：容斥原理第一章：基本概念和方法1.习题1：证明排列的总数为n! (阶乘)。
2.习题2：计算组合数C(n, m)的值。
3.习题3：探究组合数的性质并给出证明。
第二章：排列组合1.习题1：计算排列数P(n, m)的值。
2.习题2：解决带有限制条件的排列问题。
第三章：图论1.习题1：证明图论中的握手定理。
2.习题2：解决图的着色问题。
第四章：生成函数1.习题1：利用生成函数求解递推关系。
2.习题2：应用生成函数解决组合数学问题。
第五章：递推关系1.习题1：求解递推关系的通项公式。
2.习题2：应用递推关系解决实际问题。
第六章：容斥原理1.习题1：理解容斥原理的基本思想并给出证明。
2.习题2：应用容斥原理解决计数问题。
结论通过对《组合数学第五版答案》中的习题进行解答，读者可以更好地掌握组合数学的基本概念和方法。
组合数学在计算机科学、统计学、运筹学等领域具有广泛的应用，通过学习和理解组合数学，读者可以提高解决实际问题的能力，并为进一步深入研究相关领域打下坚实的基础。
注：本文档中的习题答案仅供参考，请读者在独立思考和解答问题时加以思考和验证，以深入理解组合数学的核心概念和方法。
(完整word版)组合数学课后答案
习题二证明：在一个至少有2人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。
证明：假设没有人谁都不认识：那么每个人认识的人数都为[1,n-1]，由鸽巢原理知，n个人认识的人数有n-1种，那么至少有2个人认识的人数相同。
假设有1人谁都不认识：那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2]，由鸽巢原理知，n-1个人认识的人数有n-2种，那么至少有2个人认识的人数相同。
假设至少有两人谁都不认识，则认识的人数为0的至少有两人。
任取11个整数，求证其中至少有两个数的差是10的整数倍。
证明：对于任意的一个整数，它除以10的余数只能有10种情况：0，1，…，9。
现在有11个整数，由鸽巢原理知，至少有2个整数的余数相同，则这两个整数的差必是10的整数倍。
证明：平面上任取5个坐标为整数的点，则其中至少有两个点，由它们所连线段的中点的坐标也是整数。
证明：有5个坐标，每个坐标只有4种可能的情况：（奇数，偶数）；（奇数，奇数）；（偶数，偶数）；（偶数，奇数）。
由鸽巢原理知，至少有2个坐标的情况相同。
又要想使中点的坐标也是整数，则其两点连线的坐标之和为偶数。
因为奇数+奇数= 偶数；偶数+偶数=偶数。
因此只需找以上2个情况相同的点。
而已证明：存在至少2个坐标的情况相同。
证明成立。
一次选秀活动，每个人表演后可能得到的结果分别为“通过”、“淘汰”和“待定”，至少有多少人参加才能保证必有100个人得到相同的结果证明：根据推论2.2.1，若将3*（100-1）+1=298个人得到3种结果，必有100人得到相同结果。
一个袋子里装了100个苹果、100个香蕉、100个橘子和100个梨。
那么至少取出多少水果后能够保证已经拿出20个相同种类的水果证明：根据推论2.2.1，若将4*（20-1）+ 1 = 77个水果取出，必有20个相同种类的水果。
证明：在任意选取的n+2个正整数中存在两个正整数，其差或和能被2n整除。
（书上例题2.1.3）证明：对于任意一个整数，它除以2n的余数显然只有2n种情况，即：0，1，2，…，2n-2，2n-1。
组合数学北大教材习题_answer
第一章习题1.证任一正整数n可唯一地表成如下形式:,0≤a i≤i,i＝1,2,…。
2.证nC(n-1,r)=(r+1)C(n,r+1).并给出组合意义。
3.证。
4.有n个不同的整数，从中取出两组来，要求第一组数里的最小数大于第二组的最大数。
问有多少种方案？.5.六个引擎分列两排，要求引擎的点火的次序两排交错开来，试求从一特定引擎开始点火有多少种方案。
6.试求从1到1000000的整数中，0出现了多少次？7.n个男n个女排成一男女相间的队伍，试问有多少种不同的方案？若围成一圆桌坐下，又有多少种不同的方案？8.n个完全一样的球，放到r个有标志的盒子,n≥r,要求无一空盒，试证其方案数为.9.设,p1、p2、…、p l是L个不同的素数，试求能整除尽数n的正整数数目.10.试求n个完全一样的骰子掷出多少种不同的方案？11.凸10边形的任意三个对角线不共点，试求这凸10边形的对角线交于多少个点？又把所有对角线分割成多少段？12.试证一整数是另一个整数的平方的必要条件是除尽它的数目为奇数。
13.统计力学需要计算r个质点放到n个盒子里去,并服从下列假定之一，问有多少种不同的图象。
假设盒子始终是不同的。
(a)Maxwell-Boltzmann假定：r个质点是不同的，任何盒子可以放任意数个.(b)Bose-Einstein假定：r个质点完全相同，每一个盒子可以放任意数个.(c)Fermi-Dirac假定：r个质点都完全相同，每盒不超过一个.14.从26个英文字母中取出6个字母组成一字，若其中有2或3个母音，问分别可构成多少个字(不允许重复)？15.给出的组合意义.16.给出的组合意义。
17.证明:18.从n 个人中选r 个围成一圆圈，问有多少种不同的方案？19.分别写出按照字典序由给定排列计算其对应序号的算法及由给定序号计算其对应排列的算法。
20.(a)按照第19题的要求，写出邻位对换法(排列的生成算法之二)的相应算法。
组合数学卢开澄课后习题答案
组合数学卢开澄课后习题答案组合数学是一门研究离散结构和组合对象的数学学科，它广泛应用于计算机科学、统计学、密码学等领域。
卢开澄是中国著名的组合数学家，他的教材《组合数学》是该领域的经典之作。
在学习组合数学的过程中，课后习题是巩固知识、提高能力的重要途径。
下面我将为大家提供一些卢开澄课后习题的答案。
第一章：集合与命题逻辑1.1 集合及其运算习题1：设集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，求A∪B和A∩B的结果。
答案：A∪B={1,2,3,4}，A∩B={2,3}。
习题2：证明若A∩B=A∩C，且A∪B=A∪C，则B=C。
答案：首先，由A∩B=A∩C可得B⊆C，同理可得C⊆B，因此B=C。
然后，由A∪B=A∪C可得B⊆C，同理可得C⊆B，因此B=C。
综上所述，B=C。
1.2 命题逻辑习题1：将下列命题用命题变元表示：（1）如果今天下雨，那么我就带伞。
（2）要么他很聪明，要么他很勤奋。
答案：（1）命题变元P表示今天下雨，命题变元Q表示我带伞，命题可表示为P→Q。
（2）命题变元P表示他很聪明，命题变元Q表示他很勤奋，命题可表示为P∨Q。
习题2：判断下列命题是否为永真式、矛盾式或可满足式：（1）(P∨Q)→(P∧Q)（2）(P→Q)∧(Q→P)答案：（1）该命题为可满足式，因为当P为真，Q为假时，命题为真。
（2）该命题为永真式，因为无论P和Q取何值，命题都为真。
第二章：排列与组合2.1 排列习题1：从10个人中选取3个人，按照顺序排成一队，有多少种不同的结果？答案：根据排列的计算公式，共有10×9×8=720种不同的结果。
习题2：从10个人中选取3个人，不考虑顺序，有多少种不同的结果？答案：根据组合的计算公式，共有C(10,3)=120种不同的结果。
2.2 组合习题1：证明组合恒等式C(n,k)=C(n,n-k)。
答案：根据组合的计算公式可得C(n,k)=C(n,n-k)，因此组合恒等式成立。
组合数学第二章
课堂中的“空白”艺术所谓“空白”，就是指空着，没有被填满或没有被利用的部分。
在绘画艺术中就有一种美叫做空白美。
那么以此为鉴，在课堂教学中也有一种方法称之为——“空白”艺术。
现代教育理论认为，数学教学要提供给学生充分体验与交流的机会，使他们真正理解和掌握数学思想和方法。
走进新课标，教学的最高宗旨和核心理念是“一切为了每一个学生的发展”。
而“发展”是一个生成性的动态过程，作为教师要不断地为学生创设一种“可持续发展”的时间与空间。
特别是伴随着新一轮基础教育课程改革的实施和推进，教师的教学行为和学生的学习方式都发生了巨大的改变。
在课堂上，教育者要善于适时、适度地巧设“空白”，秉承“学生只有通过自己的真切体验，才能真正对所学内容有所感悟，进而内化为己有，在学习活动实践中逐步学会学习”的课改理念，让学生自主、合作、探究地学习，使他们充分发挥自己的创造性，尽情展示、描绘出属于他们的精彩。
教学内容：北京市21世纪教材九年义务教育教材数学实验本第1册第十一单元《统计初步知识》。
[片段一]课堂练习1：猜丁克游戏（石头、剪子、布）。
师：大家玩过这个游戏吗？（学生辨认游戏中的手势。
）下面请同座位的两个人为一组玩这个游戏，要求统计出你们各自赢的次数填入表格中。
学生一边玩一边用自己喜欢的方式记录如下：第一种用符号表示：……第二种用画图表示：……第三种用实物表示：小棒、学具卡片……第四种用数字表示：1、2、3、……第五种用“正”字表示。
学生游戏后，在实物投影上展示自己的记录方式并汇报统计结果。
[评析：这里老师只是提出了学习任务，即“统计出你们各自赢的次数填入表格中”，但对于学习方式即怎样统计、如何记录并没有作出任何要求。
因此为学生创设了创新实践的空间，这样的“留白”使学生能够得以彰显其鲜明的个性，并满足其渴望同辈群体认可的价值需求。
][片段二]课堂练习3：数一数屋里一共有多少个小朋友？学生提出质疑：屋外的这些鞋摆放得太乱了！不好数，能不能摆整齐再数呀？师：题目要求是数人，你们为什么想到要数鞋呢？生：因为有一双鞋就等于有一个人。
组合数学第2章答案
组合数学第2章答案2.1 求序列{0，1，8，27，…3n …}的母函数。
解：()()++++++=++++++=nn n x n x x x x G x a x a x a x a a x G 3323322102780()46414321313=+-+--==-----n n n n n n n a a a a a n a n a左右同乘再连加：464:0464:0464:0464:4321543211123455012344=+-+-=+-+-=+-+-=+-+-----------n n n n n n n n n n n n a a a a a x a a a a a x a a a a a x a a a a a x母函数：()()42162036-+-=x x x x G2.2 已知序列()()3433{,,……()33,,n +……}，求母函数。
解：1(1)nx -的第k 项为：11()k n n +-- ，对于本题，n=4， ∴母函数为：41(1)x -2.3 已知母函数G （X ）=25431783x x x--+,求序列{ n a }解：G （X ）=)61)(91(783x x x +-+=)61()91(x Bx A ++-从而有： ⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=-=+4778963B A B A B A G （X ）=)61(4)91(7x x +-+-G （X ）=7)999x (13322 ++++x x -4))6((-6)(-6)x (13322 +-+++x xn a =7*n )6(*49n -- 2.4．已知母函数239156xx x ---，求对应的序列{}n a 。
解：母函数为239()156x G x x x -=--39(17)(18)xx x -=+- A BG(x)17x 18xA(18x)B(17x)39x=++--++=-令 A B 38A +7B =9+=⎧⎨--⎩解得：A=2 B=1所以 ii i 0i 021G(x)2*(7x)(8x)17x 18x ∞∞===+=-++-∑∑n n n a 2*(7)8=-+2.5 设n n F G 2=，其中F n 是第n 个Fibonacci 数。
组合数学(第四版)课后习题答案
第2章 鸽巢原理2.4 练习题1、关于本节中的应用4，证明对于每一个=k 1，2，…，21存在连续若干天，在此期间国际象棋大师将恰好下完k 局棋（情形=k 21是在应用4中处理的情况）。
能否判断：存在连续若干天，在此期间国际象棋大师将恰好下完22局棋？证明：设i a 表示在前i 天下棋的总数若正好有i a =k ,则命题得证。
若不然,如下：∵共有11周，每天至少一盘棋，每周下棋不能超过12盘∴有 771≤≤i ，且13217721≤<<<≤a a a {}21,,2,1 ∈∀k 有kk a k a k a k +≤+<<+<+≤+13217721 观察以下154个整数：ka k a k a a a a +++77217721,,,,,,, 每一个数是1到k +132之间的整数，其中153132≤+k 由鸽巢原理，这154个数中至少存在两个相等的数∵7721,,,a a a 都不相等，k a k a k a +++7721,,, 都不相等∴j i ,∃，使i a =ka j +即这位国际象棋大师在第1+j ，2+j ，…，i 天总共下了k 盘棋。
综上所述，对于每一个=k 1，2，…，21存在连续若干天，在此期间国际象棋大师将恰好下完k 局棋。
□当k =22时，132+k =154，那么以下154个整数22,,22,22,,,,77217721+++a a a a a a在1到154之间。
ⅰ）若这154个数都不相同则它们能取到1到154的所有整数，必然有一个数是22∵2222>+i a ，771≤≤i ∴等于22的数必然是某个i a ，771≤≤i则在前i 天，这位国际象棋大师总共下了22盘棋。
ⅱ）若这154个数中存在相同的两个数∵7721,,,a a a 都不相等，k a k a k a +++7721,,, 都不相等∴j i ,∃，使i a =ka j +即这位国际象棋大师在第1+j ，2+j ，…，i 天总共下了k 盘棋。
应用组合数学第二章答案
7! 2!(7−2)!
=
7! 2!5!
and C (7, 5) =
7! 5!(7−5)!
=
7! 5!2! ;
8 7(b). C (6, 4) =
6! 4!(6−4)!
Answers to Selected Exercises =
6! 4!2!
and C (6, 2) =
6! 2!(6−2)!
=
6! 2!4! ;
n+1 2
× 3 × 10−9 . × 3 × 10−11 .
8(a). n × 3 × 10−11 . 8(b).
n+1 2
Section 2.5 . 1(a). 3 · 2; 1(b). 5 · 4 · 3; 1(c). 8 · 7 · 6 · 5 · 4; 1(d). 0; 2(a). 63 ; 2(b). 6 · 5 · 4; 2(c). 1 · 6 · 6; 2(d). 1 · 5 · 4; 3(a). 84 ; 3(b). 8 · 7 · 6 · 5; 3(c). 1 · 8 · 8 · 8;
8. 1 7 21 35 35 21 7 1; 9. C (5, 3) =
5! 3!2!
= 10, C (4, 2) =
4! 2!2!
= 6, C (4, 3) =
4! 3!1!
= 4, and 10 = 6 + 4; = 6, and 21 = 15 + 6;
10. C (7, 5) =
7! 5!2!
4
Answers to Selected Exercises
Applied Combinatorics
by Fred S. Roberts and Barry Tesman
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14. 在Hanoi塔问题中，在柱A上从上到 下套着n个圆盘，其编号依次从1到n。现 要将奇数编号与偶数编号的圆盘分别转 移到柱B和柱C上。转移规则仍然是每次 移动一个，始终保持上面的比下面的小。 一共要移动多少次？
解：...
15. 一书框中有m格，每格各放n册同类 的书，不同格放的书类型不同。现取出 整理后重新放回，但不打乱相同类。试 问无一本放在原来位置的方案数应多少？
1.证明等式
n 2
n 2
n 2
n 2
2n
2
.
0 1 2
n n
解：...
2.求 (1 x4 x8 )100 中 x20 项的系数.
解：...
3.有红、黄、蓝、白球各两个，绿、紫、 黑的球各3个，问从中取出10个球，试问 有多少种不同的取法？
解：...
4.求由A,B,C,D组成的允许重复的排列中 AB至少出现一次的排列数目。
解：...
9.利用
1 12
1 22
1 32
2
6
，
改善 §4(2) 的 pn估计式。
解：...
10. 8台计算机分给3个单位，第1单位 的分配量不超过3台，第2单位的分配量 不超过4台，第3个单位不超过5台，问 共有几种分配方案？
解：...
11. 证明正整数n都可以唯一地表示成不 同的且不相邻的Fibonacci数之和。即
解：...
22. 求矩阵 3
1100
.
0 2
解：...
23. 求
nk 2),
k 0
k 0
n
Sn k(k 1)(k 2).
k 0
解：...
24. 在一个平面上画一个圆，然后一条 一条地画n条与圆相交的直线。当r是大 于1的奇数时，第r条直线只与前r-1条直 线之一在圆内相交。当r是偶数时，第r 条直线与前r-1条直线在圆内部相交。如 果无3条直线在圆内共点，这n条直线把 圆分割成多少个不重叠的部分？
（b）设 fn 记边长不超过2n的三角形 的个数，而 gn记边长不超过2n+1的三角 形的个数，求 fn 和 gn 的表达式。
解：...
27. 设
n
0, an
n
k 0
nk 2k
,bn
n1 n k
k 0 2k 1
（a）证明 an1 an bn1,bn1 an bn.
（b）求序列an与bn的母函数。
FFmmnn21
当n是奇数， 当n是偶数。
m n 2.
（d）证明(Fm , Fn ) F(m,n) , (m, n) 为m,n
的最大公约数。
解：...
29. 从1到n的自然数中选取k个不同且不
相邻的数，设此选取的方案为 f (n, k) 。 （a）求 f (n, k) 的递推关系。
（b）用归纳法求 f (n, k) 。
（c）若设1与n算是相邻的数，并设在此 假定下从1到n的自然数中选取k个不同且
不相邻的k个数的方案数为 g(n,，k)利用 求 f (n, k) 。g(n, k)
解：...
30. 设S2 (n, k)是第二类Stirling数。证明
S2
(n
1,
m)
k
n
m 1
n k
S2
(k
,
m
1).
解：...
解：...
25. 用 an 记具有整数边长周长为n的三
角形的个数。
（a）证明
an 3 ,
当n是偶数，
an
an 3
n
n2
(1) 2 4
,当n是奇数
（b）求序列 an的普通形母函数。
解：...
26. （a）证明边长为整数、最大边长为 l的三角形的个数是
1 (l 1)2 当l是奇数， 4 l (l 2) 当l是偶数。 4
n ai Fi , aiai1 0, ai 0,1
i2
注意 F1 F2 1 是相同的Fibonacci数。
解：...
12. 设空间的n个平面两两相交，每3个 平面有且仅有一个公共点，任意4个平面 都不共点。这样的n个平面把空间分割成 多少个不重叠的域？
解：...
13. 相邻位不同为0的n位2进制数中一共 出现了多少个0？
解：...
5.求n位四进制数中2和3必须出现偶次的 数目。
解：...
6.试求由a,b,c三个文字组成的n位符号串 中不出现aa图像的符号串的数目。
解：...
7.证明序列
C(n, n),C(n 1, n),C(n 2, n),
的母函数为
(1
1 x)n
1
.
解：...
8.证明
C(n, n) C(n 1, n) C(n m, n) C(n m 1, n 1)
（c）用Fibonacci数来表示 an 与 bn 。
解：...
28. 设 F1 F2 1, F1 Fn1 Fn2
（a）证明
Fn Fk Fnk 1 Fk 1Fnk , n k 1 （b）证明 Fn Fm 的充要条件是 n m 。
（c）证明
Fm Fn Fmn2 Fmn6 Fmn10
解：...
16. 设一矩形 ABCD ,其中
AB : AD 1 (1 2
5) 作 C1B1 使得
A和B1CA1BDC是D一相正似方。形试。证试继证续矩这形过B1程C1可CD得
一和原矩形相似的矩形序列。
解：... A
B1
B
D
C1
C
17. 平面上有两两相交，无三线共点的n 条直线，试求这n条直线把平面分成多少 个域？
解：...
18. 在一圆周上取n个点，过一对顶点可 作一弦，不存在三弦共点的现象，求弦 把圆分割成几部分？
解：...
19. 求n位二进制数相邻两位不出现11的 数的个数。
解：...
20. 从n个文字中取k个文字作允许重复 的排列，但不允许一个文字连续出现三 次，求这样的排列的数目。
解：...
21. 求 14 24 34 n4 的和。
31. 求下图中从A点出发到n点的路径数。
13
n
A 24
解：...
32. n位0,1符号串，求从左向右只在最 后两位才出现0，0的符号串的数目。
解：...
33. 试证
1 1n Fn1 Fn . 1 0 Fn Fn1
解：...
知识回顾 Knowledge Review
祝您成功！