【沪科版】九年级数学下册教案：24.2 第4课时圆的确定

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24.2 圆的基本性质
第4课时圆的确定

1．理解并掌握确定圆的条件；
2．理解三角形的外接圆，三角形外心的概念，能够运用其性质进行计算(重点，难点)；
3．理解反证法的思想，能够运用反证法证明命题(难点).

一、情境导入
小明不慎把家中的一块圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小
一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃应该是哪一块？

二、合作探究
探究点一：确定圆的条件
已知：不在同一直线上的三个已知点A，B，C(如图)，求作：⊙O，使它经过点A，
B，C.

解析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作出边AB、BC的垂直平
分线相交于点O，以O为圆心，以OA为半径，作出圆即可．
解：(1)连接AB、BC；
(2)分别作出线段AB、BC的垂直平分线DE、GF，两垂直平分线相交于点O，则点O
就是所求作的⊙O的圆心；
(3)以点O为圆心，OC长为半径作圆，则⊙O就是所求作的圆．

方法总结：作经过三点的圆，即作这三点构成的三角形的外接圆，根据三角形的外接圆
的性质可知，其圆心为三边垂直平分线的交点，依据此作图即可求解．
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变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题
探究点二：三角形的外接圆
【类型一】与圆的内接三角形有关的坐标的计算
如图，△ABC的外接圆的圆心坐标是________．

解析：由图可知△ABC外接圆的圆心在BC的垂直平分线上，即外接圆圆心在直线y＝
－1上，也在线段AB的垂直平分线上，即外接圆圆心在直线y＝x＋1上，则有y＝－1，y＝x＋1，解

得x＝－2，y＝－1，则两线交点坐标为(－2，－1)，故填(－2，－1)．
方法总结：解题时可根据外接圆的圆心的性质：三角形外接圆圆心为三角形三边的垂直
平分线的交点，列出相应的等式关系求解．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题
【类型二】与圆的内接三角形有关线段的计算
如图，在△ABC中，O是它的外心，BC＝24cm，O到BC的距离是5cm，求△ABC
的外接圆的半径．

解：连接OB，过点O作OD⊥BC，则OD＝5cm，BD＝12BC＝12cm.在Rt△OBD中，
OB＝OD2＋BD2＝52＋122＝13cm.即△ABC的外接圆的半径为13cm.
方法总结：由外心的定义可知外接圆的半径等于OB，过点O作OD⊥BC，易得BD＝

12cm.由此可求它的外接圆的半径．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题
探究点三：反证法
用反证法证明：一个圆只有一个圆心．
解析：反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此得出假设与已知
定理矛盾，进而得出答案．
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证明：假设⊙O有两个圆心O及O′，在圆内任作一弦AB，设弦AB的中点为P，连结
OP，O′P，则OP⊥AB，O′P⊥AB，过直线AB上一点P，同时有两条直线OP，O′P都
垂直于AB，与垂线的性质矛盾，故一个圆只有一个圆心．

方法总结：此题主要考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的步骤．反证法的步骤是：

(1)假设结论不成立；(2)从假设出发推出矛盾；(3)假设不成立，则结论成立．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题
三、板书设计
1．确定圆的条件
不在同一直线上的三个点确定一个圆．
2．三角形的外接圆
经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角
形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．
3．反证法证明的一般步骤
(1)反设；(2)推理；(3)结论．

教学过程中，强调三角形的外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等，它是三角形三
边垂直平分线的交点．在圆中充分利用这一点可解决相关的计算问题.

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沪科版数学九年级下册24

4.教师总结：对学生的讨论进行点评，强调圆的性质在实际问题中的应用。
（四）课堂练习
1.教学内容：设计不同难度的练习题，包括圆的性质、方程、实际应用等。
2.教学过程：
（1）学生独立完成练习题，教师巡回指导。
（2）教师选取部分学生的解答进行展示，分析解题思路。
（3）针对学生的错误，教师进行讲解和纠正。
（五）总结归纳
（2）运用问题驱动的教学方法，设置有针对性的问题，引导学生主动探究圆的性质、方程和应用。
（3）实施分层教学，针对不同层次的学生制定不同难度的教学任务，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
（4）加强合作学习，组织学生进行小组讨论、交流，培养学生的团队协作能力和表达能力。
2.教学策略：
（1）重视直观演示和动手操作，让学生在观察、实践过程中深入理解圆的性质。
（2）注重知识之间的联系，将圆的知识与之前学过的几何知识相联系，提高学生的综合运用能力。
（3）通过典型例题和练习题，帮助学生总结解题规律，培养学生的逻辑思维能力。
（4）关注学生个体差异，针对不同学生给予个性化的指导和帮助，提高教学质量。
3.教学评价：
（1）采用多元化评价方式，包括课堂表现、作业、小测验、小组讨论等，全面评估学生的学习效果。
（2）注重过程性评价，关注学生在学习过程中的进步，激发学生的学习积极性。
（3）定期进行教学反思，根据学生的学习情况和反馈调整教学策略，提高教学效果。
4.教学拓展：
（1）结合数学史，介绍圆的相关知识在历史发展中的作用，培养学生的数学文化素养。
（2）引入数学竞赛题目，激发学生的挑战意识，提高学生的数学思维能力。
作业要求：
1.学生需独立完成作业，保持解答过程的简洁、规范。

【推荐】春九年级数学下册第24章圆24.2圆的基本性质第4课时圆的确定课件新版沪科版

3.如图,☉O是△ABC的外接圆,则点O是△ABC的( B ) A.三条高线的交点 B.三条边的垂直平分线的交点 C.三条中线的交点 D.三角形三内角角平分线的交点 4.如图,将△ABC放在每个小正方形边长为1的网格中,点A,B,C均落在格点上,用一个圆面去覆盖△ABC,能够完全覆盖这个三角形的最小圆面半径是( A )
综合能力提升练
7.下列说法正确的是( D ) A.半圆是弧,弧也是半圆 B.三点确定一个圆 C.平分弦的直径垂直于弦 D.直径是同一圆中最长的弦 8.小明不慎把家里的圆形镜子打碎了,其中四块碎片如图所示,为了配到与原来大小一样的圆形镜子,小明带到商店去的一块碎片应该是( A )
A.① B.② C.③ D.④
∴假设不成立. ∴ 三角形三内角中至少有一个内角小于或等于60° .
综合能力提升练
12.如图,为丰富A,B,C三个小区的文化生活,现准备新建一个影剧院M,使它到三个小区的距离相等,试确定M的位置.( 用尺规作图,不写作法,但要保留痕迹 )
解:如图.
综合能力提升练
13.如图,AD为△ABC外接圆的直径,AD⊥BC,垂足为F,∠ABC的平分线交AD于点E,连接 BD,CD. ( 1 )求证:BD=CD; ( 2 )请判断B,E,C三点是否在以D为圆心,以DB为半径的圆上?并说明理由.
综合能力提升练
9.如图,已知平面直角坐标系内三点A( 3,0 ),B( 5,0 ),C( 0,4 ),☉P经过点A,B,C,则点P 的坐标( C )
A.( 6,8 )
B.( 4,5 ) C.( 4,381 )
D.( 4,383 )
综合能力提升练
10.如图,等边△ABC的外接圆的半径为2,则图中阴影部分的面积是 4π-.3( 结3 果用含π的式子表示 )

沪科版数学九年级下册《圆的确定》教学设计2

沪科版数学九年级下册《圆的确定》教学设计2一. 教材分析《圆的确定》是沪科版数学九年级下册的一章内容，主要介绍了圆的定义、圆的性质以及圆的标准方程。

本章节内容在学生的数学知识体系中占据着重要的地位，是为后续学习解析几何和高等数学打下基础的关键章节。

本节课的教学内容不仅要求学生掌握圆的基本概念和性质，还要培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了平面几何的基本知识，对图形的性质和变换有一定的了解。

但学生在理解圆的概念和性质方面可能存在一定的困难，尤其是圆的确定方法和相关方程的推导。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对学生的薄弱环节进行有针对性的教学。

三. 教学目标1.理解圆的定义和性质，掌握圆的标准方程。

2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3.提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

四. 教学重难点1.圆的定义和性质的理解。

2.圆的标准方程的推导和应用。

3.运用数学知识解决实际问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究圆的性质和方程。

2.利用多媒体辅助教学，直观展示圆的性质和图形的变换。

3.采用小组合作学习，培养学生团队合作和交流表达能力。

4.注重实践操作，让学生通过动手操作加深对圆的理解。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.圆的相关模型和教具。

3.练习题和案例材料。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示实际生活中的圆形物体，如地球、篮球等，引导学生关注圆形的特征。

提问：你们对这些圆形物体有什么了解？从而引出圆的定义和性质。

2.呈现（10分钟）介绍圆的定义和性质，通过多媒体动画展示圆的生成过程，让学生直观理解圆的特征。

同时，呈现圆的标准方程，让学生初步了解圆的方程形式。

3.操练（10分钟）学生分组讨论，根据圆的性质和方程，尝试解决一些实际问题。

如给定圆的半径和圆心，求解圆的方程；或根据实际问题，确定圆的参数。

沪科版数学九年级下册24.2《圆的基本性质-确定圆的条件》教案设计

义务教育课程标准实验教科书数学沪科版九年级下册第24章2.3确定圆的条件一、教学目标：1、知识目标:掌握不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线的三个点作圆的方法；了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念。

2、能力目标:①经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力。

②通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题的策略。

3、情感与价值观：①形成解决问题的一些策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神。

②学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果。

二、教学重点：1、经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能掌握这个结论。

2、掌握过不在同一条直线的三个点作圆的方法。

3、了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念。

三、教学难点：经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程。

形成解决问题的一些策略。

四、教学方法：合作探究法五、教学流程：（一）类比联想，提出问题1．提问：同学们会画圆吗？学生回答：会．2．怎么画？作圆的关键是确定什么?学生回答：作一个圆，关键是确定圆心和半径。

3、提出问题，让学生思考，并进一步讨论：(1)经过一个点A，是否可以作圆？如果能作，可以作几个？学生讨论回答后，请一名学生说明(如图)，并得出：经过一个点A作圆很容易，只要以点A外的任意一点为圆心，以这一点与点A的距离为半径就可以作出，这样的圆有无数多个(2)经过两个点A，B如何作圆呢？能作几个？同样，在学生讨论回答的基础上，再让一名学生说明，并得出：经过两个点A，B作圆，只要以与点A，B距离相等的点为圆心，即以线段AB的垂直平分线上任意一点为圆心，以这一点与点A或点B的距离为半径就可以作出，这样的圆也有无数多个.(如图)(以上两点由于有前边两节课的知识作铺垫，学生比较容易作出．) 二、动手实践，发现新知下面来研究，经过三个已知点作圆又会怎么样呢？仍然让学生讨论，自己动手作图，这时，学生会发现：由于两点确定一条直线，因此三个点就有在同一直线上的三点和不在同一直线上的三个点两种情况．1．作圆，使它经过不在同一直线上的三个已知点．例1 已知：不在同一直线上的三个已知点A，B，C(如图)求作：⊙O，使它经过点A，B，C.分析：作圆的关键是确定圆心和半径．由于所作圆要经过已知点，所以如果圆心的位置确定了，那么圆的半径也就随之确定．因此，这个问题就转化为找圆心的问题．因为所求的圆要经过A，B，C三点，所以圆心到这三点的距离相等．因此，这个点既要在线段AB的垂直平分线上，又要在线段BC的垂直平分线上，显然这两条垂直平分线交于一点且到这三点的距离相等．可见圆心、半径都确定了，圆便可以作出．学生口述，多媒体展示．证明：因为⊙O的半径为OA，所以点A在⊙O上，即⊙O经过点A，又因为点O在AB的垂直平分线DE上所以OB＝OA则⊙O经过点B．同理可证⊙O经过点C．所以⊙O是所求的圆．结合以上作法和证明，请同学回答：师：经过不在同一直线上的三点A，B，C的圆是否存在？生：存在．师：是否还有其他符合条件的圆呢？生：没有．师：根据是什么？生：线段AB，BC的垂直平分线有且只有一个交点.这说明所作的圆心是唯一的，从而半径也是唯一的，则所作圆是唯一的．在黑板上写出：定理:过不在同一直线上的三个点确定一个圆．2．过同一直线上的三点能不能做圆呢？我们不妨试试看．教师和学生一起用圆规和直尺按照上面的作法作圆，看能否作出圆来，再看不按上面的作法是否有办法作圆．实践的结果是不能作圆．实际上，假定过A，B，C三点可以作圆，不妨设这个圆心为O．由点的轨迹可知，点O在线段AB的垂直平分线l′上，并且在线段BC的垂直平分线l″上，即点O为l′与l″的交点，这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾．(如图所示)．所以，过同一直线上的三点不能作圆．（思考）经过四个点或四个以上的点是否能作一个圆？3．现在我们回过头来再看看，由于任意一个三角形的三个顶点都不在同一直线上，所以由定理可知，经过三角形三个顶点可以作且只能作一个圆．介绍有关概念：(1)三角形的外接圆和圆的内接三角形：经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆，这个三角形叫做圆的内接三角形．(2)三角形的外心：三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.由上面作图方法还可以看出：三角形的外心是三角形三边中垂线的交点．三、应用举例，巩固新知（一）抢答：填空：(投影打出)1、经过一个点可以作___ 个圆2、经过二个点可以作 ___ 个圆3、经过不在同一条直线上的三个点，可以作___个圆4、如右图：⊙O 是△ABC 的____圆， △ABC是⊙O 的____三角形，O 是△ABC 的____心(经过练习，巩固前边所学的知识)（二）判断：1、经过三个点一定可以作圆（）2、任意一个三角形有并且只有一个外接圆（）3、每个三角形都只有一个外心（）4、任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形（）5、三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等（）（三）生活应用：如图，这是一块残缺的砂轮，同学们能去配制一块和原来完全相同的砂轮吗？分析：要想知道圆轮的半径，只要作出圆轮残片所在圆的圆心，而从本节所学定理可知，经过不在同一直线上的三个点可确定一个圆，于B是可在残片的圆弧上任取三点，作过此三点的圆，即可确定残片的圆心和半径．(此题实际上是一个作图题，可由学生口述，教师板演)（四）动手操作：1、画边长分别为 2cm 、2.5cm 、3cm 的三角形，再画出这个三角形的外接圆，并量出这个圆的直径（要求尺规作图，结果精确到0.1cm)2、锐角三角形的外心在三角形的___ 部；直角三角形的外心在___ ;钝角三角形的外心在三角形的___ 部。

九年级数学下册课件：24.2 第4课时圆的确定

副标题
利人乎即为，不利人乎即止。——《墨子》真正爱上一个人，他就变成你心底最柔弱的一部分，除了小心呵护，你别无选择。你惟一能做的就是，不求回报地爱他，像喝水吃饭一样习惯。就算他不够好，可你就是爱他，无可救药。成功是一种观念，成功是一种思想，成功是一种习惯，成功是一种心态。每一种创伤，都是一种成熟。成功永远属于一直在跑的人。一个人的整个生活既全以儿童时期所受的教导为转移，所以，除非每个人的心在小时候得到培养，能去应付人生的一切意外，否则任何机会都会错过。——夸美纽斯没有了爱的语言，所有的文字都是乏味的。君子赠人以言，庶人赠人以财。——荀况沉湎于希望的人和守株待兔的樵夫没有什么两样。儿童能力初期萌芽是尤其可贵的，我们引导儿童初期自然趋向的途径能固定儿童的基本习惯，能确定后来能力的趋向。——杜威用自己的双手去创造生活，用辛勤的汗水实现人生的梦想。能克服困难的人，可使困难化为良机。在你发怒的时候，要紧闭你的嘴，免得增加你的怒气。——苏格拉底

沪科版初中数学九年级下册《24.2.4 圆的确定》课堂教学课件 (1)

王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”
小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.
王戎是怎样知道李子是苦的吗?他运用了怎样的推理方法?
在证明一个命题时,人们有时
先假设命题不成立, 从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾,或者与定义,公理,定理等矛盾, 从而得出假设命题不成立，是错误的, 即所求证的命题正确.
变式训练
1、“a＜b”的反面应是（ D ）（A）a≠＞b （B）a ＞b （C）a=b （D）a=b或a ＞b
2、用反证法证明命题“三角形中最多有一个是直角”时，应如何假设？ __假__设__三__角__形__中__有__两__个__或__三__个__角__是__直__角___
总结回顾:
1、反证法的概念;
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九年级数学(下)
26.3 确定圆的条件
想一想
生活生产中的启示
问题：车间工人要将
一个如图所示的破损的圆盘复原，你有办法吗？
确定圆的条件
• 类比确定直线的条件: • 经过一点可以作无数条直线；
你准备如何(确定圆心,半径)作圆？
其圆心的位置有什么特点?与A,B,C有什么关系？ ●A
老师提示:
能否转化为2的情况:经过两点A,B的圆
的圆心在线段AB的垂直平分线上.
●O
●B
┏
●C
经过两点B,C的圆的圆心在线段BC的垂
直平分线上.
经过三点A,B,C的圆的圆心应该在这两条垂直平分线的交点O的位置.
所以假设不成立,即求证的命题正确.
用反证法证明（填空）:在三角形的内角中，至少有一个角大于或等于60°.

沪科版初中九下数学第24章圆圆的基本性质第4课时圆的确定

点练
升练
展练
基础逐能力提素养拓
点练
升练
展练
图 2
基础逐能力提素养拓
点练
升练
展练
点练
升练
展练
3.如图，点A，B，C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这4 个点中的任3 意3个，能画的圆有个.
第3题图
基础逐能力提素养拓
点练
升练
展练
知识点二三角形的外接圆与外心 D.三条角平分线的B 交点
A.三条中线的交点 B.三边的垂直平分线的交点 C.三条高的交点 D.三条角平分线的交点
解：（1）如图，☉O即为所作.
基础逐能力提素养拓
点练
升练
展练
（2）若AC＝4，∠B＝30°，求△ABC的外接圆☉O的半径. 解：（2）连接OA，OC. ∵∠B＝30°，∴∠OAB＋∠OCB＝30°， ∴∠OAC＋∠OCA＝180°－∠B－∠OAB－ ∠OCB＝120°， ∴∠AOC＝180°－∠OAC－∠OCA＝60°. ∵OA＝OC， ∴△AOC是等边三角形， ∴OA＝OC＝AC＝4，即☉O的半径是4.
第24章圆
24.2 圆的基本性质第4课时圆的确定
基础逐能力提素养拓
点练
升练
展练
知识点一确定圆的条件
D.已知直径
C
A.已知圆心
B.已知半径
C.已知不在同一直线上的
三个点
D.已知直径
基础逐能力提素养拓
点练
升练
展练
D.第④块
A.第①块 C.第③块
B.第②块 D.第④块
B
第2题图
基础逐能力提素养拓
基础逐能力提素养拓

圆的确定-九年级数学下册同步教学课件(沪科版)

24.2.4 圆的确定
课堂小结
圆的确定
不在同一直线上的三个点确定一个圆
圆
外接圆
的确
三角形的外接圆
定
外心
反证法
内接三角形
三角形外心的到三角形的三个顶点距离相等
24.2.4 圆的确定
“ THANKS ”
24.2.4 圆的确定
讲授新课
反证法
过同一直线上的三点可以作圆吗？
A
B
C
不能
24.2.4 圆的确定
证明：过同一直线上的三点不能作圆. 如图，已知点A、B、C在直线m上. 求证：过点A、B、C不能作圆.
m
A
B
C
24.2.4 圆的确定
如图，假设经过直线l上的三点A、B、C可以作圆，设这
个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上.
A
O C
B
24.2.4 圆的确定
经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，
外接圆的圆心叫做三角形的外心.这个三角形叫做
圆的内接三角形.
三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等.
A
想一想：
一个三角形有_一___ 个外接圆，
●O
而一个圆有_无___数_个内接三角形. B
C
24.2.4 圆的确定
练一练判断正误：
A B
O
C
24.2.4 圆的确定
练一练某市在一块空地上新建了 A、B、C 三个居民小区，且三个小
区不在同一直线上．现要规划一所中学，使这所中学到三个小区
的距离相等，请问这所中学应建在哪个位置？怎么确定这个位置
呢？
A
●

圆的确定沪科版数学九年级下册

·A
·A
·B
那么确定一个圆需要几个已知点呢?
新知讲解
思考
1、经过一点A作圆,如图24-29(1),能作多少个圆?
· .A
·
·
·
图24-29(1)
新知讲解
2.经过两点A ,B作圆,如图24-29(2),能作多少个圆?这些圆的
圆心有什么特点? A
这些圆的圆心到A，B的距
离相等，圆心在AB的垂直
B
平分线上。
24.2.4 圆的确定
沪科版九年级下
教学内容分析
前面学习了圆的弦、弧、弦心距等概念，以及垂径定理，在圆的基本概念基础上，本节内容主要探究不在一条直线的三个点，可以确定一个圆，另外，学习了反证法证明命题的步骤。
教学目标
1. 掌握经过一个点、2个点可以画圆，经过不共线的三点可以确定唯一的圆；（重点） 2.理解外接圆、外心的概念，会作出三角形的外接圆；（难点） 3.理解反证法证明的步骤。
新知讲解
作法
1.连接AB，BC，如图24-30. A
B
C
图24-30
新知讲解
2.分别作线段AB , BC的垂直平分线,设它们交于点О. A
O
B
C
图24-30
新知讲解
3．以点О为圆心，OA为半径作圆，则☉O即为所作。 A
O
B
C
图24-30
新知讲解
不在同一直线上的三个点确定一个圆. A O C
B
∵BC= 4 3 ， ∴BD= 2 3
课堂练习
∴在Rt△ABD中， ∠ADB=90°， ∴BD2+AD2=AB2 又∵AB=4， ∴AD=2
课堂练习
设半径为r. 在Rt△BDO中， ∵BD2+DO2=BO2

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