2021年中考数学专题训练 二次函数的图象及其性质含答案
2021中考数学专题训练 二次函数的图象及其性质一、选择题（本大题共12道小题）1. 抛物线y ＝x 2＋2x ＋3的对称轴是( )A. 直线x ＝1B. 直线x ＝－1C. 直线x ＝－2D. 直线x ＝22. 如图，抛物线的函数解析式是()A ．y ＝x 2－x ＋2B ．y ＝x 2＋x ＋2C ．y ＝－x 2－x ＋2D ．y ＝－x 2＋x ＋23. 如图，抛物线y=ax 2+bx+c (a ≠0)与x 轴交于点(-3，0)，其对称轴为直线x=-.结合图象分析下列结论:①abc>0;②3a+c>0;③当x<0时，y 随x 的增大而增大;④一元二次方程cx 2+bx+a=0的两根分别为x 1=-，x 2=;⑤<0;⑥若m ，n (m<n )为方程a (x+3)·(x -2)+3=0的两个根，则m<-3，n>2，其中正确的结论有 ( )A .3个B .4个C .5个D .6个4. (2019•雅安)在平面直角坐标系中，对于二次函数22()1y x =-+，下列说法中错误的是A ．y 的最小值为1B ．图象顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线2x =C ．当2x <时，y 的值随x 值的增大而增大，当2x ≥时，y 的值随x 值的增大而减小D ．它的图象可以由2y x 的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到5. 已知二次函数y ＝ax 2－bx －2(a ≠0)的图象的顶点在第四象限，且过点(－1，0)，当a －b 为整数时，ab 的值为( ) A. 34或1 B. 14或1 C. 34或12 D. 14或346. (2019•成都)如图，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点1,0A，()5,0B ，下列说法正确的是A ．0c <B ．240b ac -<C ．0a b c -+<D ．图象的对称轴是直线3x =7. 已知m>0，关于x 的一元二次方程(x+1)(x -2)-m=0的解为x 1，x 2(x 1<x 2)，则下列结论正确的是 ( ) A .x 1<-1<2<x 2 B .-1<x 1<2<x 2 C .-1<x 1<x 2<2D .x 1<-1<x 2<28. 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，OA ＝OC ，由抛物线的特征写出如下含有a ，b ，c 三个字母的等式或不等式：①4ac －b 24a ＝－1；②ac ＋b ＋1＝0；③abc ＞0；④a －b ＋c ＞0.其中正确的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．19. 如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，有下列说法：①ac>0；②2a ＋b>0；③4ac<b 2；④a ＋b ＋c<0；⑤当x>0时，y 随x 的增大而减小．其中正确的是( )A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．③④⑤10. 如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，其对称轴为直线x ＝1，有下列结论：①abc ＞0；②2a ＋b ＝0；③4a ＋2b ＋c ＜0；④若(－32，y 1)，(103，y 2)是抛物线上的两点，则y 1＜y 2.其中正确的结论是( )A ．①②B ．②③C ．②④D ．①③④11. 2019·资阳如图是函数y ＝x 2－2x －3(0≤x ≤4)的图象，直线l ∥x 轴且过点(0，m )，将该函数在直线l 上方的图象沿直线l 向下翻折，在直线l 下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m 的取值范围是( )A ．m ≥1B ．m ≤0C ．0≤m ≤1D ．m ≥1或m ≤012. 如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OA＝OC.有下列结论：①abc<0；②b 2－4ac 4a >0；③ac －b ＋1＝0；④OA·OB ＝－ca .其中正确的结论有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题（本大题共6道小题）13. 经过A (4，0)，B (-2，0)，C (0，3)三点的抛物线解析式是_____________.14.抛物线y ＝－8x 2的开口向________，对称轴是________，顶点坐标是________；当x ＞0时，y 随x 的增大而________，当x ＜0时，y 随x 的增大而________．15. 如图，抛物线y ＝ax 2与直线y ＝bx ＋c 的两个交点分别为A (－2，4)，B (1，1)，则方程ax 2＝bx ＋c 的解是____________．16. 若二次函数y ＝2x 2－4x －1的图象与x 轴交于A (x 1，0)、B (x 2，0)两点，则1x 1＋1x 2的值为________． 17. 已知函数y ＝⎩⎨⎧－x 2＋2x （x >0），－x （x ≤0）的图象如图所示，若直线y ＝x ＋m 与该图象恰有三个不同的交点，则m 的取值范围为________．18. 如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A ，B 两点，顶点C 的纵坐标为－2，现将抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线y ＝a 1x 2＋b 1x ＋c 1，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①b ＞0；②a －b ＋c ＜0；③阴影部分的面积为4；④若c ＝－1，则b 2＝4a.三、解答题（本大题共3道小题）19. (2019•云南)已知k 是常数，抛物线y=x 2+(k 2+k-6)x+3k 的对称轴是y 轴，并且与x 轴有两个交点． (1)求k 的值：(2)若点P 在抛物线y=x 2+(k 2+k-6)x+3k 上，且P 到y 轴的距离是2，求点P 的坐标．20. (2019·湖北黄冈)如图①，在平面直角坐标系xOy 中，已知A(–2，2)，B(–2，0)，C(0，2)，D(2，0)四点，动点M 以每秒2个单位长度的速度沿B →C →D 运动(M 不与点B 、点D 重合)，设运动时间为t(秒)． (1)求经过A 、C 、D 三点的抛物线的解析式；(2)点P 在(1)中的抛物线上，当M 为BC 的中点时，若△PAM ≌△PBM ，求点P 的坐标；(3)当M 在CD 上运动时，如图②．过点M 作MF ⊥x 轴，垂足为F ，ME ⊥AB ，垂足为E ．设矩形MEBF 与△BCD 重叠部分的面积为S ，求S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值；(4)点Q 为x 轴上一点，直线AQ 与直线BC 交于点H ，与y 轴交于点K ．是否存在点Q ，使得△HOK 为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的所有Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．21. 如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝x ＋2与x 轴交于点A ，点B 是这条直线上第一象限内的一个点，过点B 作x 轴的垂线，垂足为D ，已知△ABD 的面积为18．（1）求点B 的坐标；（2）如果抛物线212y x bx c =-++经过点A 和点B ，求抛物线的解析式； （3）已知（2）中的抛物线与y 轴相交于点C ，该抛物线对称轴与x 轴交于点H ，P 是抛物线对称轴上的一点，过点P 作PQ //AC 交x 轴于点Q ，如果点Q 在线段AH 上，且AQ ＝CP ，求点P 的坐标．答案一、选择题（本大题共12道小题）1. 【答案】B 【解析】已知解析式为抛物线解析式的一般式，利用对称轴公式直接求解．抛物线y ＝x 2＋2x ＋3的对称轴是直线x ＝－b 2a ＝－22×1＝－1 .2. 【答案】D [解析] 先设出函数解析式，然后把(0，2)，(－1，0)，(2，0)分别代入函数解析式，列出方程组，求出各系数即可．3. 【答案】C[解析]①由图象可知a<0，b<0，c>0，∴abc>0，故①正确; ②由于对称轴是直线x=-， ∴a=b.∵图象与x 轴的一个交点是(-3，0)，∴另一个交点是(2，0)， 把(2，0)代入解析式可得4a +2b +c=0， ∴6a +c=0，∴3a +c=-3a ，∵a<0，∴-3a>0，∴3a +c>0，故②正确;③由图象可知当-<x<0时，y 随x 的增大而减小，∴当x<0时，y 随x 的增大而增大是错误的;④一元二次方程ax 2+bx +c=0的两根为x 1=-3，x 2=2，∴一元二次方程cx 2+bx +a=0的两根分别为x 1=-，x 2=，正确; ⑤由图象顶点的纵坐标大于0可知，>0，∴<0，正确;⑥若m ，n (m<n )为方程a (x +3)(x -2)+3=0的两个根，则a (x +3)(x -2)=-3，由图象可知，当y=-3时，m<-3，n>2，⑥正确，综上，正确的结论有5个， 故选C .4. 【答案】C【解析】二次函数22()1y x =-+，10a =>，∴该函数的图象开口向上，对称轴为直线2x =，顶点为(2,1)，当2x =时，y 有最小值1，当2x >时，y 的值随x 值的增大而增大，当2x <时，y 的值随x 值的增大而减小；故选项A 、B 的说法正确，C 的说法错误； 根据平移的规律，2yx 的图象向右平移2个单位长度得到2(2)y x =-，再向上平移1个单位长度得到22()1y x =-+， 故选项D 的说法正确， 故选C ．5. 【答案】A【解析】由二次函数过点(－1，0)可得a ＋b ＝2，把x ＝1代入y ＝ax 2－bx －2得y ＝a －b －2，即a －b ＝2＋y.由a ＋b ＝2和a －b ＝2＋y 得a ＝2＋12y ，由题意得a ＞0，b ＞0，所以2＋12y ＞0，解得y ＞－4，又由顶点在第四象限，可得y ＝－3或－2或－1.当y ＝－3时，可得a ＝12，b ＝32，则ab ＝34；当y ＝－2时，可得a ＝1，b ＝1，则ab ＝1；当y ＝－1时，可得a ＝32，b ＝12，则ab ＝34，综上ab 的值为34或1.6. 【答案】D【解析】由图象可知图象与y 轴交点位于y 轴正半轴，故c>0，A 选项错误； 函数图象与x 轴有两个交点，所以24b ac ->0，B 选项错误； 观察图象可知x=-1时y=a-b+c>0，所以a-b+c>0，C 选项错误； 根据图象与x 轴交点可知，对称轴是(1，0)，(5，0)两点的中垂线，1532x +==， 即x=3为函数对称轴，D 选项正确， 故选D ．7. 【答案】A[解析]关于x 的一元二次方程(x +1)(x -2)-m=0的解为x 1，x 2，可以看作二次函数m=(x +1)(x -2)的图象与x 轴交点的横坐标，∵二次函数m=(x +1)(x -2)的图象与x 轴交点坐标为(-1，0)，(2，0)，如图: 当m>0时，就是抛物线位于x 轴上方的部分，此时x<-1，或x>2. 又∵x 1<x 2， ∴x 1<-1，x 2>2， ∴x 1<-1<2<x 2，故选A.8. 【答案】A[解析] (1)∵抛物线的顶点的纵坐标是－1，∴4ac－b24a＝－1.故①正确．(2)∵OA＝OC＝|c|，∴A(c，0)，∴ac2＋bc＋c＝0.又c≠0，∴ac＋b＋1＝0.故②正确．(3)从图象中易知a＞0，b＜0，c＜0，∴abc＞0.故③正确．(4)当x＝－1时，y＝a－b＋c，由图象知点(－1，a－b＋c)在第二象限，∴a－b ＋c＞0.故④正确．综上所述，4个结论均正确，故选A.9. 【答案】C[解析] ①由图象可知：a>0，c<0，∴ac<0，故①错误；②由对称轴可知：－b2a<1，∴2a＋b>0，故②正确；③由于抛物线与x轴有两个交点，∴Δ＝b2－4ac>0，即4ac<b2，故③正确；④由图象可知：x＝1时，y＝a＋b＋c<0，故④正确；⑤当x>－b2a时，y随着x的增大而增大，故⑤错误．故选C.10. 【答案】C[解析] ∵抛物线开口向下，∴a＜0.∵抛物线的对称轴为直线x＝－b2a＝1，∴b＝－2a＞0.∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，∴①错误．∵b＝－2a，∴2a＋b＝0，∴②正确．∵抛物线与x轴的一个交点的坐标为(－1，0)，抛物线的对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标为(3，0)，∴当x＝2时，y＞0，∴4a＋2b＋c＞0，∴③错误．∵点(－32，y1)到对称轴的距离比点(103，y2)到对称轴的距离远，∴y1＜y2，∴④正确．故选C.11. 【答案】C12. 【答案】B [解析] ∵抛物线开口向下，∴a ＜0.∵抛物线的对称轴在y 轴的右侧，∴b ＞0. ∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c ＞0， ∴abc ＜0，故①正确．∵抛物线与x 轴有两个交点，∴Δ＝b 2－4ac ＞0， 而a ＜0，∴b 2－4ac4a ＜0，故②错误．∵C(0，c)，OA ＝OC ，∴A(－c ，0)．把(－c ，0)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得ac 2－bc ＋c ＝0， ∴ac －b ＋1＝0，故③正确． 设A(x 1，0)，B(x 2，0)，∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A ，B 两点， ∴x 1和x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根， ∴x 1·x 2＝ca .又∵x 1<0，∴OA·OB ＝－ca ，故④正确．故选B.二、填空题（本大题共6道小题）13. 【答案】y=-(x -4)(x +2)[解析]设抛物线解析式为y=a (x -4)(x +2)，把C (0，3)代入上式得3=a (0-4)(0+2)，解得a=-，故y=-(x -4)(x +2).14. 【答案】下y 轴 (0，0) 减小 增大15. 【答案】x 1＝－2，x 2＝1[解析] 方程ax 2＝bx ＋c 的解即抛物线y ＝ax 2与直线y ＝bx ＋c 交点的横坐标．∵交点是A(－2，4)，B(1，1)，∴方程ax 2＝bx ＋c 的解是x 1＝－2，x 2＝1.16. 【答案】－4【解析】由题意可知，x 1，x 2为方程2x 2－4x －1＝0的两根，所以x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－12，则1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝2－12＝－4.17. 【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫23，00<m<14 [解析] 联立y ＝x ＋m 与y ＝－x 2＋2x ，得x ＋m ＝－x2＋2x ，整理得x 2－x ＋m ＝0，当有两个交点时，b 2－4ac ＝(－1)2－4m>0，解得m<14.当直线y ＝x ＋m 经过原点时，与函数y ＝⎩⎨⎧－x 2＋2x （x>0）x （x≤0）的图象有两个不同的交点，再向上平移，有三个交点，∴m>0，∴m 的取值范围为0<m<14.故答案为0<m<14.18. 【答案】③④ [解析] ∵抛物线开口向上，∴a ＞0.又∵对称轴为直线x ＝－b 2a＞0，∴b ＜0，∴结论①不正确； ∵当x ＝－1时，y ＞0，∴a －b ＋c ＞0，∴结论②不正确；根据抛物线的对称性，可将阴影部分的面积进行转化，从而求得阴影部分的面积＝2×2＝4，∴结论③正确；∵4ac －b 24a＝－2，c ＝－1，∴b 2＝4a ，∴结论④正确． 综上，正确的结论是③④.三、解答题（本大题共3道小题）19. 【答案】(1)∵抛物线y=x 2+(k 2+k-6)x+3k 的对称轴是y 轴， ∴26022b k k x a +-=-=-=， 即k 2+k-6=0，解得k=-3或k=2，当k=2时，二次函数解析式为y=x 2+6，它的图象与x 轴无交点，不满足题意，舍去，当k=-3时，二次函数解析式为y=x 2-9，它的图象与x 轴有两个交点，满足题意，∴k=-3．(2)∵P 到y 轴的距离为2，∴点P 的横坐标为-2或2，当x=2时，y=-5；当x=-2时，y=-5，∴点P 的坐标为(2，-5)或(-2，-5)．20. 【答案】(1)设函数解析式为y=ax2+bx+c，将点A(–2，2)，C(0，2)，D(2，0)代入解析式可得2422042a b cca b c=-+==++⎧⎪⎨⎪⎩，∴14122abc=-=-=⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩，∴y=–14x2–12x+2；(2)∵△PAM≌△PBM，∴PA=PB，MA=MB，∴点P为AB的垂直平分线与抛物线的交点，∵AB=2，∴点P的纵坐标是1，∴1=–14x2–12x+2，∴x=–或x=–1∴P(–11)或P(–，1)；–，CM=2t–4，(BC+CM)=4–t–t，MF=2MD=4–t，∴BF=4–4+t=t，∴S=12×(GM+BF)×MF=12×(2t–4+t)×(4–t)=–32t2+8t–8=–32(t–83)2+83；当t=83时，S最大值为83；(4)设点Q(m，0)，直线BC的解析式y=x+2，直线AQ的解析式y=–22m+(x+2)+2，∴K(0，22mm+)，H(–44m+，244mm++)，∴OK2=(22mm+)2，OH2=(44m+)2+(244mm++)2，HK2=(44m+)2+(244mm++−22mm+)2，①当OK=OH时，(22mm+)2=(44m+)2+(244mm++)2，∴3m2+12m+8=0，∴m=–2+23m=–2–23②当OH=HK 时，(44m +)2+(244m m ++)2=(44m +)2+(244m m ++−22m m +)2， ∴3m2+12m+8=0，∴m=–2+23m=–2–23不符合题意，舍弃)③当OK=HK 时，(22m m +)2=(44m +)2+(244m m ++−22m m +)2， ∴m2+4m –8=0，∴m=–或m=–2–综上所述：Q(–0)或Q(–2–，0)．【名师点睛】本题考查二次函数综合；熟练应用待定系数法求函数解析式，掌握三角形全等的性质，直线交点的求法是解题的关键．21. 【答案】（1）直线y ＝x ＋2与x 轴的夹角为45°，点A 的坐标为(－2, 0)．因为△ABD 是等腰直角三角形，面积为18，所以直角边长为6．因此OD ＝4．所以点B 的坐标为(4, 6)．（2）将A (－2, 0)、B (4, 6)代入212y x bx c =-++，得220,84 6.b c b c --+=⎧⎨-++=⎩ 解得b ＝2，c ＝6． 所以抛物线的解析式为21262y x x =-++．（3）由21262y x x =-++，得抛物线的对称轴为直线x ＝2，点C 的坐标为(0, 6)． 如果AQ ＝CP ，那么有两种情况：①如图2，当四边形CAQP 是平行四边形时，AQ //CP ，此时点P 的坐标为(2, 6)． ②如图3，当四边形CAQP 是等腰梯形时，作AC 的垂直平分线交x 轴于点F ，那么点P 在FC 上．设点F 的坐标为(x , 0)，根据F A 2＝FC 2列方程，得(x ＋2)2＝x 2＋62．解得x ＝8．所以OF ＝8，HF ＝6． 因此39tan 642PH HF F =⋅∠=⨯=．此时点P 的坐标为9(2,)2．图2 图3考点伸展第（3）题等腰梯形CAQP 时，求点P 的坐标也可以这样思考： 过点P 作PE //x 轴交AC 于E ，那么PE ＝PC ．直线AC 的解析式为y ＝3x ＋6，设E (m , 3m ＋6)，那么P (2, 3m ＋6)．根据PE 2＝PC 2列方程，得(2－m )2＝22＋(3m )2． 解得12m =-．所以P 9(2,)2．其实第（3）题还有一个“一石二鸟”的方法：设QH ＝n ，那么AQ ＝4－n ，PH ＝3n ，P(2, 3n )．根据AQ 2＝CP 2，列方程，得．(4－n )2＝22＋(3n －6)2．整理，得2n 2－7n －6＝0．解得n 1＝2，232n =．当n 1＝2时，P (2, 6)，对应平行四边形CAQP （如图2）； 当232n =时，P 9(2,)2，对应等腰梯形CAQP （如图4）．图4。
2021年中考数学 二次函数的图象及其性质 一轮复习(含答案)
2021中考数学二次函数的图象及其性质一轮复习一、选择题1. 若二次函数y＝x2＋bx＋5配方后为y＝(x－2)2＋k，则b，k的值分别为()A. 0，5B. 0，1C. －4，5D. －4，12. 对于函数y＝－2(x－m)2，下列说法不正确的是()A．其图象开口向下B．其图象的对称轴是直线x＝mC．最大值为0D．其图象与y轴不相交3. 若抛物线y＝x2－2x＋3不动，将平面直角坐标系．．．．．．．．xOy先沿水平方向向右平移1个单位，再沿铅直方向向上平移3个单位，则原抛物线图象的解析式应变为() A. y＝(x－2)2＋3 B. y＝(x－2)2＋5C. y＝x2－1D. y＝x2＋44. （2020·深圳）二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为(－1，n)，其部分图象如图所示，以下结论错误．．的是（）A．abc＞0 B．4ac－b2＜0C．3a＋c＞0 D．关于x的方程ax2＋bx＋c＝n＋1无实数根5. 已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，下列结论正确的是()A. 当a＝1时，函数图象过点(－1，1)B. 当a＝－2时，函数图象与x轴没有交点C. 若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小D. 若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大6. 点P1(－1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数y＝－x2＋2x＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是()A. y3＞y2＞y1B. y3＞y1＝y2C. y1＞y2＞y3D. y1＝y2＞y37. （2020·福建）10.已知()111,P x y ，()222,P x y 是抛物线22=-y ax ax 上的点，下列命题正确的是（ ）A.若12|1||1|->-x x ，则12>y yB.若12|1||1|->-x x ，则12<y yC.若12|1||1|-=-x x ，则12=y yD.若12=y y ，则12=x x二、填空题8. 将抛物线y ＝－(x ＋2)2向________平移________个单位长度，得到抛物线y ＝－(x －1)2.9. 如图，抛物线y=ax 2与直线y=bx+c 的两个交点坐标分别为A (-2，4)，B (1，1)，则方程ax 2=bx+c 的解是 .10. (2019•荆州)二次函数2245y x x =--+的最大值是__________．11. 已知二次函数y=-(x -1)2+2，当t<x<5时，y 随x 的增大而减小，则实数t 的取值范围是 .12. (2019•徐州)已知二次函数的图象经过点(2,2)P ，顶点为(0,0)O 将该图象向右平移，当它再次经过点P 时，所得抛物线的函数表达式为__________．13. 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 为常数)的顶点为P ，且抛物线经过点A(－1，0)，B(m ，0)，C(－2，n)(1＜m ＜3，n ＜0)，有下列结论： ①abc ＞0； ②3a ＋c ＜0； ③a(m －1)＋2b ＞0；④a ＝－1时，存在点P 使△PAB 为直角三角形． 其中正确结论的序号为________．14. 如图，抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与y 轴交于点C ，点D (0，1)，点P 在抛物线上，且△PCD 是以CD 为底的等腰三角形，则点P 的坐标为________．三、解答题15. 已知抛物线y ＝2x 2－4x ＋c 与x 轴有两个不同的交点．(1)求c 的取值范围；(2)若抛物线y ＝2x 2－4x ＋c 经过点A(2，m)和点B(3，n)，试比较m 与n 的大小，并说明理由．16. 如图，已知抛物线y ＝x 2－(m ＋3)x ＋9的顶点C 在x 轴正半轴上，一次函数y＝x ＋3与抛物线交于A 、B 两点，与x 、y 轴分别交于D 、E 两点． (1)求m 的值；(2)求A 、B 两点的坐标； (3)点P (a ，b )(－3<a <1)是抛物线上一点，当△P AB 的面积是△ABC 面积的2倍时，求a 、b 的值．17. (2019·山东滨州)如图①，抛物线211482y x x =-++与y 轴交于点A ，与x 轴交于点,B C ，将直线AB 绕点A 逆时针旋转90°，所得直线与x 轴交于点D ． (1)求直线AD 的函数解析式；(2)如图②，若点P 是直线AD 上方抛物线上的一个动点 ①当点P 到直线AD 的距离最大时，求点P 的坐标和最大距离；②当点P到直线AD的距离为524时，求sin PAD的值．2021中考数学二次函数的图象及其性质一轮复习-答案一、选择题1. 【答案】D【解析】由y＝(x－2)2＋k知此二次函数的顶点坐标为(2，k)，对称轴为x＝2，由y＝x2＋bx＋5知其对称轴为x＝－b2，得－b2＝2，所以b＝－4；于是可以得到函数的解析式是y＝x2－4x＋5，把(2，k)代入其中即得k＝1.2. 【答案】D3. 【答案】C【解析】由抛物线y＝x2－2x＋3得y＝(x－1)2＋2.保持抛物线不动，将平面直角坐标系先沿水平方向向右平移1个单位，其实质相当于抛物线向左平移1个单位，再将平面直角坐标系向上平移3个单位，则相当于抛物线向下平移3个单位，根据抛物线平移规律：左加右减，上加下减，可得新的抛物线解析式为y＝(x－1＋1)2＋2－3＝x2－1.4. 【答案】C【解析】根据抛物线开口向下，得到a＜0，对称轴为直线x＝－b2a＝－1，知b＝2a＜0，抛物线与y轴交于正半轴，c＞0，∴abc＞0，故选项A正确；根据抛物线与x轴有两个交点，∴b2－4ac＞0，即4ac－b2＜0，故选项B正确；当x＝1时，y＝a＋b＋c＜0，又∵b＝2a，∴3a＋c＜0，∴选项C错误；∵抛物线开口向下，顶点为（－1，n），∴函数有最大值n，即抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y ＝n＋1无交点，一元二次方程ax2＋bx＋c＝n＋1无实数根，选项D正确；而要选择结论错误．．的，因此本题选C．5. 【答案】D【解析】当a＝1时，函数为y＝x2－2x－1，当x＝－1时，y＝1＋2－1＝2，其图象经过点(－1，2)，不过点(－1，1)，所以A选项错误；当a＝－2时，函数为y＝－2x2＋4x－1，b2－4ac＝16－4×(－2)×(－1)＝8>0，抛物线与x 轴有两个交点，故选项B 错误；当a >0时，抛物线的开口向上，它的对称轴是直线x ＝－－2a2a ＝1，当x ≥1，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，所以C 选项错误；当a <0时，抛物线的开口向下，它的对称轴是直线x ＝－－2a2a ＝1，当x ≤1，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，所以D 选项正确．6. 【答案】D 【解析】此类题利用图象法比较大小更直观简单．容易求出二次函数y ＝－x 2＋2x ＋c 图象的对称轴为直线x ＝1，可画草图如解图：由解图知，P 1(－1，y 1)，P 2(3，y 2)关于直线x ＝1对称，P 3(5，y 3)在图象的右下方部分上，因此，y 1＝y 2>y 3.7. 【答案】C【解析】本题考查了二次函数的图象和性质，∵22=-y ax ax =a （x -1）2-a ，∴抛物线的对称轴为x =1，根据二次函数的对称性知若12|1||1|-=-x x ，则12=y y ，因此本题选C ． 二、填空题8. 【答案】右 39. 【答案】x 1=-2，x 2=1[解析]∵抛物线y=ax 2与直线y=bx +c 的两个交点坐标分别为A (-2，4)，B (1，1)，∴的解为即方程ax 2=bx +c的解是x 1=-2，x 2=1.10. 【答案】7【解析】222452(1)7y x x x =--+=-++， 即二次函数245y x x =--+的最大值是7， 故答案为：7．11. 【答案】1≤t<5[解析]抛物线的对称轴为直线x=1，因为a=-1<0，所以抛物线开口向下，所以当x>1时，y 的值随x 值的增大而减小，因为t<x<5时，y 随x 的增大而减小，所以1≤t<5.12. 【答案】21(4)2yx =- 【解析】设原来的抛物线解析式为：2y ax =(0)a ≠， 把(2,2)P 代入，得24a =， 解得12a =， 故原来的抛物线解析式是：212y x =， 设平移后的抛物线解析式为：21()2y x b =-， 把(2,2)P 代入，得212(2)2b =-，解得0b =(舍去)或4b =，所以平移后抛物线的解析式是：21(4)2y x =-， 故答案为：21(4)2y x =-．13. 【答案】②③ [解析] 由抛物线经过A(－1，0)，B(m ，0)，可知对称轴为x ＝m －12＝－b 2a， ∴－ba ＝m －1.∵1＜m ＜3，∴ab ＜0.画出二次函数y ＝ax 2＋bc ＋c 的大致图象可知a ＜0， ∴b ＞0.把(－1，0)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，可得a －b ＋c ＝0， ∴c ＝b －a ＞0.∴abc ＜0，故①错误． 当x ＝3时，y ＜0，∴9a ＋3b ＋c ＝9a ＋3(a ＋c)＋c ＝12a ＋4c ＝4(3a ＋c)＜0，∴3a ＋c<0，故②正确． ∴－ba ＝m －1，∴a(m －1)＋2b ＝－b ＋2b ＝b ＞0，故③正确．当a ＝－1时，y ＝－x 2＋bx ＋c ，∴P(b 2，b ＋1＋b 24)．若△PAB 为直角三角形，则△PAB 为等腰直角三角形， ∴b ＋1＋b 24＝b2＋1，∴b ＝－2或b ＝0.∵b ＞0，∴不存在点P 使△PAB 为直角三角形， 故④错误． 故答案为②③.14. 【答案】(1＋2，2)或(1－2，2) 【解析】抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与y 轴交于点C ，则点C 坐标是(0，3)，∵点D(0，1)，点P 在抛物线上，且△PCD 是以CD 为底的等腰三角形，∴易得点P 的纵坐标是2，当y ＝2时，∴－x 2＋2x＋3＝2，则x 2－2x －1＝0，解得方程的两根是x ＝2±222＝1±2，∴点P 的坐标是(1＋2，2)或(1－2，2)．三、解答题15. 【答案】解：(1)∵抛物线y ＝2x 2－4x ＋c 与x 轴有两个不同的交点， ∴Δ＝b 2－4ac ＝16－8c ＞0，∴c ＜2.(2)m<n.理由：∵抛物线y ＝2x 2－4x ＋c 的对称轴为直线x ＝1， ∴点A(2，m)和点B(3，n)都在对称轴的右侧． 又∵当x≥1时，y 随x 的增大而增大， ∴m ＜n.16. 【答案】解：(1)∵抛物线y ＝x 2－(m ＋3)x ＋9的顶点在x 轴的正半轴上， ∴方程x 2－(m ＋3)x ＋9＝0有两个相等的实数根， ∴b 2－4ac ＝[－(m ＋3)]2－4×9＝0，解得m ＝3或m ＝－9， 又∵抛物线对称轴大于0，即m ＋3>0， ∴m ＝3.(3分)(2)由(1)可知抛物线解析式为y ＝x 2－6x ＋9，联立一次函数y ＝x ＋3，可得⎩⎨⎧y ＝x 2－6x ＋9y ＝x ＋3，解得⎩⎨⎧x ＝1y ＝4或⎩⎨⎧x ＝6y ＝9，∴A(1，4)，B(6，9)．(6分)(3)如解图，分别过A 、B 、P 三点作x 轴的垂线，垂足分别为R 、S 、T ，解图∵A(1，4)，B(6，9)，C(3，0)，P(a ，b)，∴AR ＝4，BS ＝9，RC ＝3－1＝2，CS ＝6－3＝3，RS ＝6－1＝5，PT ＝b ，RT ＝1－a ，ST ＝6－a ，∴S △ABC ＝S 梯形ABSR －S △ARC －S △BCS ＝12×(4＋9)×5－12×2×4－12×3×9＝15，S △PAB ＝S 梯形PBST －S 梯形ARTP －S 梯形ARSB ＝12(9＋b)(6－a)－12(b ＋4)(1－a)－12×(4＋9)×5＝12(5b －5a －15)．(8分) 又∵S △PAB ＝2S △ABC ， ∴12(5b －5a －15)＝30，即b －a ＝15， ∴b ＝15＋a ，∵P 点在抛物线上， ∴b ＝a 2－6a ＋9，∴15＋a ＝a 2－6a ＋9，解得a ＝7±732， ∵－3<a<1， ∴a ＝7－732，∴b ＝15＋7－732＝37－732.(10分)17. 【答案】(1)当0x =时,4y =，则点A 的坐标为()0,4，当0y =时，2110482x x =-++，解得，124,8x x =-=，则点B 的坐标为()4,0-，点C 的坐标为()8,0，∴4OA OB ==，∴45OBA OAB ∠=∠=︒， ∵将直线AB 绕点A 逆时针旋转90︒得到直线AD ， ∴90BAD ∠=︒，∴45OAD =︒，∴45ODA ∠=︒，∴OA OD =，∴点D 的坐标为()4,0， 设直线AD 的函数解析式为,y kx b =+440b k b =⎧⎨+=⎩，得14k b =-⎧⎨=⎩， 即直线AD 的函数解析式为4y x =-+；(2)作PN x ⊥轴交直线AD 于点N ，如图①所示，设点P 的坐标为211,482t t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则点N 的坐标为(),4t t -+，∴2211134(4)8282PN t t t t t ⎛⎫=-++--+=-+ ⎪⎝⎭，∴PN x ⊥轴， ∴PN y ∥轴，∴45OAD PNH ∠=∠=︒，作PH AD ⊥于点H ，则90PHN ∠=︒， ∴22222132322926)2282164164PH PN t t t ⎫==-+=-+=--+⎪⎝⎭， ∴当6t =时，PH 92P 的坐标为(56,2)，即当点P 到直线AD 的距离最大时，点P 的坐标是(56,2)，最大距离是924；②当点P 到直线AD的距离为524时，如图②所示，则2232521644t t -+=，解得：122,10t t ==， 则1P 的坐标为(92,2)，2P 的坐标为(10,)72-，当1P 的坐标为(92,2)，则221917(20)42P A ⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭，∴125344sin 172P AD ∠==； 当2P 的坐标为(10,)72-，则222725(100)422P A ⎛⎫=-+--= ⎪⎝⎭，∴25224sin 252P AD ∠==；由上可得，sin PAD ∠的值是53434或210． 【名师点睛】本题是一道二次函数的综合性题目，关键在于设P 点的横坐标，最后将其转化成二次函数的最值问题，通过求解二次函数的最值问题来求解最短距离，难度系数较大，是一道特别好的题目，应当熟练的掌握.。
专练21 二次函数的图像变换问题-2021年中考数学压轴题专项高分突破训练(全国通用)(解析版)
专练21二次函数的图像变换问题1.已知抛物线y=ax2+bx+3经过A(−3，0)，B(−1，0)两点(如图1)，顶点为M.（1）a、b的值；（2）设抛物线与y轴的交点为Q(如图1)，直线y=−2x+9与直线OM交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上.当抛物线的顶点平移到D点时，Q点移至N点，求抛物线上的两点M、Q间所夹的曲线MQˆ扫过的区域的面积；（3）设直线y=−2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D(如图2).现将抛物线平移，保持顶点在直线OD 上.若平移的抛物线与射线CD(含端点C)没有公共点时，试探求其顶点的横坐标h的取值范围.【答案】（1）解：将A（-3，0），B（-1，0）代入抛物线y=ax2+bx+3中，得：{9a−3b+3=0a−b+3=0，解得：a=1、b=4．（2）解：连接MQ、QD、DN，由图形平移的性质知：QN∥MD，即四边形MQND是平行四边形；由（1）知，抛物线的解析式：y=x2+4x+3=（x+2）2-1，则点M（-2，-1），当x=0时，y=3，∴Q （0，3）；设直线OM 的解析式为y=kx ，∴-2k=-1，∴k= 12 ， ∴直线OM ：y= 12 x ，联立直线y=-2x+9，得：{y =12x y =−2x +9， 解得{x =185y =95． 则D （ 185,95 ）；曲线QM 扫过的区域的面积：S=S ▱ MQND=2S △MQD =2×12×OQ ×|x M −x D |=3×|−2−185|=845 ；（3）解：由于抛物线的顶点始终在y= 12 x 上，可设其坐标为（h ， 12 h ），设平移后的抛物线解析式为y=（x-h ）2+ 12 h ；①当平移后抛物线对称轴右侧部分经过点C （0，9）时，有：h2+ 12 h=9，解得：h= −1−√1454 （依题意，舍去正值） ②当平移后的抛物线与直线y=-2x+9只有一个交点时，依题意：{y =−2x +9y =(x −h)2+12h ， 消去y ，得：x2-（2h-2）x+h2+ 12 h-9=0，则：△=（2h-2）2-4（h2+ 12 h-9）=-10h+40=0，解得：h=4，结合图形，当平移的抛物线与射线CD （含端点C ）没有公共点时，h ＜ −1−√1454 或h ＞4．2.定义：如果一条抛物线y ＝ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“特征轴三角形”.显然，“特征轴三角形”是等腰三角形.（1）抛物线y＝x2﹣2 √3x对应的“特征轴三角形”是________；抛物线y＝12x2﹣2对应的“特征轴三角形”是________.（把下列较恰当结论的序号填在横线上：①腰与底边不相等的等腰三角形；②等边三角形；③非等腰的直角三角形；④等腰直角三角形.）（2）若抛物线y＝ax2+2ax﹣3a对应的“特征轴三角形”是直角三角形，请求出a的值.（3）如图，面积为12 √3的矩形ABCO的对角线OB在x轴的正半轴上，AC与OB相交于点E，若△ABE 是抛物线y＝ax2+bx+c的“特征轴三角形”，求此抛物线的解析式.【答案】（1）②；④（2）解：设抛物线y＝ax2+2ax﹣3a与x轴的交点坐标为A，B，顶点为D，∴A（﹣3，0），B（1，0），D（﹣1，﹣4a），∵抛物线y＝ax2+2ax﹣3a对应的“特征轴三角形”是直角三角形，∴AB2＝AD2+BD2 ，∴16＝4+16a2+4+16a2 ，∴a＝±12；（3）解：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AE＝CE＝OE＝BE，∴S△ABE＝14S矩形ABCD＝14×12 √3＝3 √3，∵△ABE是抛物线的“特征轴三角形”，根据抛物线的对称性得，AE＝AB，∴AE＝AB＝BE，∴△ABE是等边三角形，过点A作AH⊥BE，∴AH＝ABsin∠ABE＝√32AB＝√32BE，∴√34BE2＝3 √3，∴BE＝2 √3，∴AH＝3，EH＝√3，∴A（3 √3，3），E（2 √3，0），B（4 √3，0），设抛物线解析式为y＝a（x﹣3 √3）2+3，将点E（2 √3，0）代入得，a＝﹣1，∴y＝﹣（x﹣3 √3）2+3＝﹣x2+6 √3x﹣24.∴过点A，B，E三点的抛物线的解析式y＝﹣x2+6 √3x﹣24.【解析】解：（1）由抛物线y＝x2﹣2 √3x可得顶点坐标为：(√3,−3)，与x轴的交点坐标为：(0,0),(2√3,0)，∴抛物线y＝x2﹣2 √3x对应的“特征轴三角形”是等边三角形；由抛物线y＝12x2﹣2可得顶点坐标为：(0,−2)，与x轴的交点坐标为：(−2,0),(2,0)，∴抛物线y＝12x2﹣2对应的“特征轴三角形”是等腰直角三角形；故答案为②；④；3.已知抛物线y=x2−2mx+m2+2m−2，直线l1:y=x+m，直线l2:y=x+m+b（1）当m=0时，若直线l2经过此抛物线的顶点，求b的值（2）将此抛物线夹在l1与l2之间的部分（含交点）图象记为C，若-32<b<0，①判断此抛物线的顶点是否在图象C上，并说明理由；②图象C上是否存在这样的两点：M(a1,b1)和N(a2,b2)，其中a1≠a2,b1≠b2？若存在，求相应的m和b的取值范围【答案】（1）解：当m=0时，抛物线：y=x2−2则顶点坐标为（0，-2）把（0，-2）代入l2:y=x+b，可得b=-2（2）解：①抛物线的顶点不在图像C上，理由如下：因为y=x2−2mx+m2+2m−2=(x−m)2+(2m−2)，所以抛物线顶点为（m，2m-2）当x=m时，对于l1:y=2m，对于l2:y=2m+b因为−32<b<0所以2m−32<2m+b<2m所以2m−2<2m+b<2m即顶点在l1,l2的下方所以抛物线的顶点不在图像C上②解：设直线l1与抛物线交于A、B两点，且y A<y Bx2−2mx+m2+2m−2=x+m解得x1=m−1,x2=m+2因为y A<y B，且对于l1，y随x的增大而增大所以x A<x B所以x A=m−1，此时y A=2m−1设直线l2与抛物线交于C，D两点，且y C<y Dx2−2mx+m2+2m−2=x+m+b所以x2−（2m+1）x+（m2+m−2−b）=0所以Δ=[−（2m+1）]2−4×1×（m2+m−2−b）=4b+9因为b>−32所以4b+9>0，所以x=2m+1±√4b+92因为y c<y D，且对于l2，y随x的增大而增大，所以x C<x D所以x D=2m+1+√4b+92，此时y D=2m+1+√4b+92+m+b因为y A−y D=−3−2b−√4b+92，又因为−32<b<0所以−3−2b<0又因为√4b+9>0所以y A−y D<0，即y A<y D因为x A<m，即点A在抛物线对称轴的左侧，则在抛物线对称轴的右侧，必存在点A的对称点A′(x A′,y A′)，其中y A′=y A所以y A′<y D因为抛物线的开口向上，所以当x<m时，y随x的增大而减小，因为抛物线顶点在l2的下方，故点C也在抛物线对称轴左侧，设(x0,y0)是抛物线上A、C两点之间的任意一点，则有x A<x0<m所以y0<y A又因为在抛物线上必存在其对称点(x0′,y0′)，其中y0′=y0所以y0′<y A也即抛物线上A、C两点之间的任意点的对称点都在点D下方同理，抛物线上B、D两点之间的部分所有点的对称点都在点A上方所以图像C上不存在这样的两点：M(a1,b1)和N(a2,b2)，其中a1≠a2,b1≠b24.若抛物线l1的顶点A在抛物线l2上，抛物线l2的顶点B在抛物线l1上(点A与点B不重合)，我们把这样的两抛物线l1，l2称为“伴随抛物线”，可见一条抛物线的“伴随抛物线”可以有多条。
2021年九年级数学中考复习专题：二次函数综合(考察动点坐标、长度、面积等)(一)
2021年九年级数学中考复习专题：二次函数综合（考察动点坐标、长度、面积等）（一）1．如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）△APD能否构成直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点P坐标；若不能，请说明理由．2．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点B坐标为（3，0），点C坐标为（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，点M为该抛物线的顶点，直线MD⊥x轴于点D，在直线MD上是否存在点N，使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．已知点D的坐标为（﹣1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，连接AP、PC、CD．（1）求这个抛物线的表达式．（2）当四边形ADCP面积等于4时，求点P的坐标．（3）①点M在平面内，当△CDM是以CM为斜边的等腰直角三角形时，直接写出满足条件的所有点M的坐标；②在①的条件下，点N在抛物线对称轴上，当∠MNC＝45°时，直接写出满足条件的所有点N的坐标．4．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，BO＝3AO＝3，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C，D，BC＝CD．（1）求b，c的值；（2）求直线BD的函数解析式；（3）点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上．当△ABD与△BPQ相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．5．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴相交于点C，M是抛物线的顶点，直线x＝1是抛物线的对称轴，且点C的坐标为（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）已知P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D．若PD＝m，△PCD的面积为S．①求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；②当S取得最值时，求点P的坐标．（3）在（2）的条件下，在线段MB上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与直线BC交于点D．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使|BM﹣CM|的值最大，求出点M的坐标；（3）点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，直接写出点E的坐标．7．如图1，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B两点，其中点A的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）点D为y轴上一点，如果直线BD与直线BC的夹角为15°，求线段CD的长度；（3）如图2，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO，求点P的坐标．8．已知二次函数图象过点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4）．（1）求二次函数的解析式．（2）如图，当点P为AC的中点时，在线段PB上是否存在点M，使得∠BMC＝90°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点K在抛物线上，点D为AB的中点，直线KD与直线BC的夹角为锐角θ，且tanθ＝，求点K的坐标．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），与x轴交于B（﹣3，0）、C两点（点B在点C的左侧），抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的表达式；（2）用配方法求点D的坐标；（3）点P是线段OB上的动点．①过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，若PE＝PC，求点E的坐标；②在①的条件下，点F是坐标轴上的点，且点F到EA和ED的距离相等，请直接写出线段EF的长；③若点Q是射线OA上的动点，且始终满足OQ＝OP，连接AP，DQ，请直接写出AP+DQ的最小值．10．如图1，已知：抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）交x轴于A，C两点，交y轴于点B，且OB ＝2CO．（1）求二次函数解析式；（2）在二次函数图象（如图2）位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使得△ABP为直角三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），∴，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3；（2）令x＝0，则y＝3，∴点C（0，3），则直线AC的解析式为y＝﹣x+3，设点P（x，x2﹣4x+3），∵PD∥y轴，∴点D（x，﹣x+3），∴PD＝（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣）2+，∵a＝﹣1＜0，∴当x＝时，线段PD的长度有最大值；（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，此时，点P（1，0），②∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），∵A（3，0），∴点P为在抛物线顶点时，∠PAD＝45°+45°＝90°，此时，点P（2，﹣1），综上所述，点P（1，0）或（2，﹣1）时，△APD能构成直角三角形．2．解：（1）∵点B（3，0），点C（0，3）在抛物线y＝﹣x2+bx+c图象上，∴，解得：，∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）∵点B（3，0），点C（0，3），∴直线BC解析式为：y＝﹣x+3，如图，过点P作PH⊥x轴于H，交BC于点G，设点P（m，﹣m2+2m+3），则点G（m，﹣m+3），∴PG＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，＝×PG×OB＝×3×（﹣m2+3m）＝﹣（m﹣）2+，∵S△PBC有最大值，∴当m＝时，S△PBC∴点P（，）；（3）存在N满足条件，理由如下：∵抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点，∴点A（﹣1，0），∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点M为（1，4），∵点M为（1，4），点C（0，3），∴直线MC的解析式为：y＝x+3，如图，设直线MC与x轴交于点E，过点N作NQ⊥MC于Q，∴DE＝4＝MD，∴∠NMQ＝45°，∵NQ⊥MC，∴∠NMQ＝∠MNQ＝45°，∴MQ＝NQ，∴MQ＝NQ＝MN，设点N（1，n），∵点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离，∴NQ＝AN，∴NQ2＝AN2，∴（MN）2＝AN2，∴（|4﹣n|）2＝4+n2，∴n2+8n﹣8＝0，∴n＝﹣4±2，∴存在点N满足要求，点N坐标为（1，﹣4+2）或（1，﹣4﹣2）．3．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），∴抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a，即﹣3a＝2，解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x+2；（2）连接OP，设点P（x，﹣x2﹣x+2），∵抛物线y＝﹣x2﹣x+2交y轴于点C，∵S ＝S 四边形ADCP ＝S △APO +S △CPO ﹣S △ODC ＝×AO ×y P +×OC ×|x P |﹣×CO ×OD ＝4，∴×3×（﹣x 2﹣x +2）+×2×（﹣x ）﹣×1×2＝4，∴x 1＝﹣1，x 2＝﹣2， ∴点P （﹣1，）或（﹣2，2）；（3）①如图2，若点M 在CD 左侧，连接AM ，∵∠MDC ＝90°，∴∠MDA +∠CDO ＝90°，且∠CDO +∠DCO ＝90°， ∴∠MDA ＝∠DCO ，且AD ＝CO ＝2，MD ＝CD ， ∴△MAD ≌△DOC （SAS ）∴AM ＝DO ，∠MAD ＝∠DOC ＝90°， ∴点M 坐标（﹣3，1），若点M 在CD 右侧，同理可求点M '（1，﹣1）； ②如图3，∵抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2﹣x +2＝﹣（x +1）2+；∴对称轴为：直线x ＝﹣1，∴点D在对称轴上，∵MD＝CD＝M'D，∠MDC＝∠M'DC＝90°，∴点D是MM'的中点，∵∠MCD＝∠M'CD＝45°，∴∠MCM'＝90°，∴点M，点C，点M'在以MM'为直径的圆上，当点N在以MM'为直径的圆上时，∠M'NC＝∠M'MC＝45°，符合题意，∵点C（0，2），点D（﹣1，0）∴DC＝，∴DN＝DN'＝，且点N在抛物线对称轴上，∴点N（﹣1，），点N'（﹣1，﹣）延长M'C交对称轴与N''，∵点M'（1，﹣1），点C（0，2），∴直线M'C解析式为：y＝﹣3x+2，∴当x＝﹣1时，y＝5，∴点N''的坐标（﹣1，5），∵点N''的坐标（﹣1，5），点M'（1，﹣1），点C（0，2），∴N''C＝＝M'C，且∠MCM'＝90°，∴MM'＝MN''，∴∠MM'C＝∠MN''C＝45°∴点N''（﹣1，5）符合题意，综上所述：点N的坐标为：（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，5）．4．解：（1）∵BO＝3AO＝3，∴点B（3，0），点A（﹣1，0），∴抛物线解析式为：y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣x﹣，∴b＝﹣，c＝﹣；（2）如图1，过点D作DE⊥AB于E，∴CO∥DE，∴，∵BC＝CD，BO＝3，∴＝，∴OE＝，∴点D横坐标为﹣，∴点D坐标为（﹣，+1），设直线BD的函数解析式为：y＝kx+b，由题意可得：，解得：，∴直线BD的函数解析式为y＝﹣x+；（3）∵点B（3，0），点A（﹣1，0），点D（﹣，+1），∴AB＝4，AD＝2，BD＝2+2，对称轴为直线x＝1，∵直线BD：y＝﹣x+与y轴交于点C，∴点C（0，），∴OC＝，∵tan∠CBO＝＝，∴∠CBO＝30°，如图2，过点A作AK⊥BD于K，∴AK＝AB＝2，∴DK＝＝＝2，∴DK＝AK，∴∠ADB＝45°，如图，设对称轴与x轴的交点为N，即点N（1，0），若∠CBO＝∠PBO＝30°，∴BN＝PN＝2，BP＝2PN，∴PN＝，BP＝，当△BAD∽△BPQ，∴，∴BQ＝＝2+，∴点Q（1﹣，0）；当△BAD∽△BQP，∴，∴BQ＝＝4﹣，∴点Q（﹣1+，0）；若∠PBO＝∠ADB＝45°，∴BN＝PN＝2，BP＝BN＝2，当△DAB∽△BPQ，∴，∴，∴BQ＝2+2∴点Q（1﹣2，0）；当△BAD∽△PQB，∴，∴BQ＝＝2﹣2，∴点Q（5﹣2，0）；综上所述：满足条件的点Q的坐标为（1﹣，0）或（﹣1+，0）或（1﹣2，0）或（5﹣2，0）．5．解：（1）∵直线x＝1是抛物线的对称轴，且点C的坐标为（0，3），∴c＝3，﹣＝1，∴b＝2，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）①∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴点M（1，4），∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3与x轴相交于A，B两点（点A位于点B的左侧），∴0＝﹣x2+2x+3∴x1＝3，x2＝﹣1，∴点A（﹣1，0），点B（3，0），∵点M（1，4），点B（3，0）∴直线BM解析式为y＝﹣2x+6，∵点P在直线BM上，且PD⊥x轴于点D，PD＝m，∴点P（3﹣，m），∴S△PCD＝×PD×OD＝m×（3﹣）＝﹣m2+m，∵点P在线段BM上，且点M（1，4），点B（3，0），∴0＜m≤4∴S与m之间的函数关系式为S＝﹣m2+m（0＜m≤4）②∵S＝﹣m2+m＝﹣（m﹣3）2+，∴当m＝3时，S有最大值为，∴点P（，3）∵0＜m≤4时，S没有最小值，综上所述：当m＝3时，S有最大值为，此时点P（，3）；（3）存在，若PC＝PD＝m时，∵PD＝m，点P（3﹣，m），点C（0，3），∴（3﹣﹣0）2+（m﹣3）2＝m2，∴m1＝18+6（舍去），m2＝18﹣6，∴点P（﹣6+3，18﹣6）；若DC＝PD＝m时，∴（3﹣﹣0）2+（﹣3）2＝m2，∴m3＝﹣2﹣2（舍去），m4＝﹣2+2，∴点P（4﹣，﹣2+2）；若DC＝PC时，∴（3﹣﹣0）2+（m﹣3）2＝（3﹣﹣0）2+（﹣3）2，∴m5＝0（舍去），m6＝6（舍去）综上所述：当点P的坐标为：（﹣6+3，18﹣6）或（4﹣，﹣2+2）时，使△PCD为等腰三角形．6．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3），∴，解得，∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3；（2）∵抛物线对称轴是线段AB的垂直平分线，∴AM＝BM，由三角形的三边关系，|BM﹣CM|＝|AM﹣CM|＜AC，∴点A、C、M三点共线时，|BM﹣CM|最大，设直线AC的解析式为y＝mx+n，则，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣3x+3，又∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2，∴x＝2时，y＝﹣3×2+3＝﹣3，故，点M的坐标为（2，﹣3）；（3））∵OB＝OC＝3，OB⊥OC，∴△BOC是等腰直角三角形，∵EF∥y轴，直线BC的解析式为y＝﹣x+3，∴△DEF只要是直角三角形即可与△BOC相似，∵D（2，1），A（1，0），B（3，0），∴点D垂直平分AB且到点AB的距离等于AB，∴△ABD是等腰直角三角形，∴∠ADB ＝90°，如图，①点F 是直角顶点时，点F 的纵坐标与点D 的纵坐标相同，是1，∴x 2﹣4x +3＝1，整理得x 2﹣4x +2＝0，解得x ＝2±， 当x ＝2﹣时，y ＝﹣（2﹣）+3＝1+， 当x ＝2+时，y ＝﹣（2+）+3＝1﹣， ∴点E 1（2﹣，1+）E 2（2+，1﹣）， ②点D 是直角顶点时，易求直线AD 的解析式为y ＝x ﹣1，联立，解得，，当x ＝1时，y ＝﹣1+3＝2，当x ＝4时，y ＝﹣4+3＝﹣1，∴点E 3（1，2），E 4（4，﹣1），综上所述，存在点E 1（2﹣，1+）或E 2（2+，1﹣）或E 3（1，2）或E 4（4，﹣1），使以D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCO 相似．7．解：（1）∵抛物线y ＝x 2+bx +c 交x 轴于点A （1，0），与y 轴交于点C （0，﹣3），∴，解得：，∴抛物线解析式为：y＝x2+2x﹣3；（2）∵抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴于A，B两点，∴点B（﹣3，0），∵点B（﹣3，0），点C（0，﹣3），∴OB＝OC＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，如图1，当点D在点C上方时，∵∠DBC＝15°，∴∠OBD＝30°，∴tan∠DBO＝＝，∴OD＝×3＝，∴CD＝3﹣；若点D在点C下方时，∵∠DBC＝15°，∴∠OBD＝60°，∴tan∠DBO＝＝，∴OD＝3，∴DC＝3﹣3，综上所述：线段CD的长度为3﹣或3﹣3；（3）如图2，在BO上截取OE＝OA，连接CE，过点E作EF⊥AC，∵点A（1，0），点C（0，﹣3），∴OA＝1，OC＝3，∴AC＝＝＝，∵OE＝OA，∠COE＝∠COA＝90°，OC＝OC，∴△OCE≌△OCA（SAS），∴∠ACO＝∠ECO，CE＝AC＝，∴∠ECA＝2∠ACO，∵∠PAB＝2∠ACO，∴∠PAB＝∠ECA，＝AE×OC＝AC×EF，∵S△AEC∴EF＝＝，∴CF＝＝＝，∴tan∠ECA＝＝，如图2，当点P在AB的下方时，设AP与y轴交于点N，∵∠PAB＝∠ECA，∴tan∠ECA＝tan∠PAB＝＝，∴ON＝，∴点N（0，﹣），又∵点A（1，0），∴直线AP解析式为：y＝x﹣，联立方程组得：，解得：或，∴点P坐标为：（﹣，﹣），当点P在AB的上方时，同理可求直线AP解析式为：y＝﹣x+，联立方程组得：，解得：或，∴点P坐标为：（﹣，），综上所述：点P的坐标为（﹣，），（﹣，﹣）．8．解：（1）∵二次函数图象过点B（4，0），点A（﹣2，0），∴设二次函数的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），∵二次函数图象过点C（0，4），∴4＝a（0+2）（0﹣4），∴a＝﹣，∴二次函数的解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣4）＝﹣x2+x+4；（2）存在，理由如下：如图1，取BC中点Q，连接MQ，∵点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4），点P是AC中点，点Q是BC中点，∴P（﹣1，2），点Q（2，2），BC＝＝4，设直线BP解析式为：y＝kx+b，由题意可得：，解得：∴直线BP的解析式为：y＝﹣x+，∵∠BMC＝90°∴点M在以BC为直径的圆上，∴设点M（c，﹣c+），∵点Q是Rt△BCM的中点，∴MQ＝BC＝2，∴MQ2＝8，∴（c﹣2）2+（﹣c+﹣2）2＝8，∴c＝4或﹣，当c＝4时，点B，点M重合，即c＝4，不合题意舍去，∴c＝﹣，则点M坐标（﹣，），故线段PB上存在点M（﹣，），使得∠BMC＝90°；（3）如图2，过点D作DE⊥BC于点E，设直线DK与BC交于点N，∵点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4），点D是AB中点，∴点D（1，0），OB＝OC＝4，AB＝6，BD＝3，∴∠OBC＝45°，∵DE⊥BC，∴∠EDB＝∠EBD＝45°，∴DE＝BE＝＝，∵点B（4，0），C（0，4），∴直线BC解析式为：y＝﹣x+4，设点E（n，﹣n+4），∴﹣n+4＝，∴n＝，∴点E（，），在Rt△DNE中，NE＝＝＝，①若DK与射线EC交于点N（m，4﹣m），∵NE＝BN﹣BE，∴＝（4﹣m）﹣，∴m＝，∴点N（，），∴直线DK解析式为：y＝4x﹣4，联立方程组可得：，解得：或，∴点K坐标为（2，4）或（﹣8，﹣36）；②若DK与射线EB交于N（m，4﹣m），∵NE＝BE﹣BN，∴＝﹣（4﹣m），∴m＝，∴点N（，），∴直线DK解析式为：y＝x﹣，联立方程组可得：，解得：或，∴点K坐标为（，）或（，），综上所述：点K的坐标为（2，4）或（﹣8，﹣36）或（，）或（，）．9．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点A（0，2），与x轴交于B（﹣3，0），∴∴∴抛物线解析式为：y＝x2﹣x+2；（2）∵y＝x2﹣x+2＝﹣（x+1）2+，∴顶点D坐标（﹣1，）；（3）①∵抛物线y＝x2﹣x+2与x轴交于B（﹣3，0）、C两点，∴点C（1，0）设点E（m，m2﹣m+2），则点P（m，0），∵PE＝PC，∴m2﹣m+2＝1﹣m，∴m＝1（舍去），m＝﹣，∴点E（﹣，）②如图，连接AE交对称轴于点N，连接DE，作EH⊥DN于H，交y轴于点F，∵点A（0，2），点E（﹣，），∴直线AE解析式为y＝﹣x+2，∴点N坐标（﹣1，）∴DH＝＝，HN＝＝，∴DH＝NH，且EH⊥DN，∴∠DEH＝∠NEH，∴点F到AE，DE的距离相等，∴DN∥y轴，EH⊥DN，∴EH⊥y轴，∴EF＝；③在x轴正半轴取点H，使OH＝OA＝2，∵OH＝OA，∠AOP＝∠QOH＝90°，OP＝OQ，∴△AOP≌△HOQ（SAS）∴AP＝QH，∴AP+DQ＝DQ+QH≥DH，∴点Q在DH上时，DQ+AP有最小值，最小值为DH的长，∴AP+DQ的最小值＝＝．10．解：（1）对于抛物线y＝a（x+1）（x﹣3），令y＝0，得到a（x+1）（x﹣3）＝0，解得x＝﹣1或3，∴C（﹣1，0），A（3，0），∴OC＝1，∵OB＝2OC＝2，∴B（0，2），把B（0，2）代入y＝a（x+1）（x﹣3）中得：2＝﹣3a，a＝﹣∴二次函数解析式为＝；（2）设点M的坐标为（m，），则点N的坐标为（2﹣m，），MN＝m﹣2+m＝2m﹣2，GM＝矩形MNHG的周长C＝2MN+2GM＝2（2m﹣2）+2（）＝＝∴当时，C有最大值，最大值为；（3）∵A（3，0），B（0，2），∴OA＝3，OB＝2，由对称得：抛物线的对称轴是：x＝1，∴AE＝3﹣1＝2，设抛物线的对称轴与x轴相交于点E，当△ABP为直角三角形时，存在以下三种情况：①如图1，当∠BAP＝90°时，点P在AB的下方，∵∠PAE+∠BAO＝∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠PAE＝∠ABO，∵∠AOB＝∠AEP，∴△ABO∽△PAE，∴，即，∴PE＝3，∴P（1，﹣3）；②如图2，当∠PBA＝90°时，点P在AB的上方，过P作PF⊥y轴于F，同理得：△PFB∽△BOA，∴，即，∴BF＝，∴OF＝2+＝，∴P（1，）；③如图3，以AB为直径作圆与对称轴交于P1、P2，则∠AP1B＝∠AP2B＝90°，设P1（1，y），∵AB2＝22+32＝13，由勾股定理得：AB2＝P1B2+P1A2，∴12+（y﹣2）2+（3﹣1）2+y2＝13，解得：y＝1±，∴P（1，1+）或（1，1﹣），综上所述，点P的坐标为（1，﹣3）或（1，）或（1，1+）或（1，1﹣）。
2021年中考数学第十二讲 二次函数的图像和性质(33PPT)
【解析】(1)∵抛物线y=ax2-2ax-3+2a2=a(x-1)2+2a2-a-3.
∴抛物线的对称轴为直线x=1.
(2)∵抛物线的顶点在x轴上,
∴2a2-a-3=0,解得a=3 或a=-1,
2
∴抛物线为y= 3x2-3x+3或y=-x2+2x-1.
2
2
(3)∵抛物线的对称轴为x=1,则Q(3,y2)关于x=1对称点的坐标为(-1,y2),
(x-5)2+2上有两个点(x1,y1)和(x2,y2),若x1>x2>5,则
y1____>__y2.
高频考点·疑难突破
考点一 二次函数的图象和性质 【示范题1】(2020·常德中考)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下 列结论: ①b2-4ac>0;②abc<0; ③4a+b=0;④4a-2b+c>0. 其中正确结论的个数是 ( B ) A.4 B.3 C.2 D.1
二、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质
1.当a>0时
(1)开口方向:向上. (2)顶点坐标: (__2_ba_，4ac b2 ).
4a
(3)对称轴:直线_x_____2b_a_.
(4)增减性:当x<- b 时,y随x的增大而___减__小____;
2a
当x>- b 时,y随x的增大而___增__大____.
考点三 二次函数与方程、不等式
【示范题3】(2020·贵阳中考)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(-3,0)与
(1,0)两点,关于x的方程ax2+bx+c+m=0(m>0)有两个根,其中一个根是3.则关于x
2021年河北省数学中考《二次函数的图象及性质》专题复习(人教版)(Word版附答案)
二次函数的图象及性质二次函数的图象及性质1．(2020·河北中考)如图，现要在抛物线y＝x(4－x)上找点P(a，b)，针对b 的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，甲：若b＝5，则点P的个数为0；乙：若b＝4，则点P的个数为1；丙：若b＝3，则点P的个数为1.下列判断正确的是()A．乙错，丙对 B．甲和乙都错C．乙对，丙错 D．甲错，丙对2．(2018·河北中考)对于题目“一段抛物线L：y＝－x(x－3)＋c(0≤x≤3)与直线l：y＝x＋2有唯一公共点．若c为整数，确定所有c的值．”甲的结果是c ＝1，乙的结果是c＝3或4，则()A.甲的结果正确B．乙的结果正确C．甲、乙的结果合在一起才正确D．甲、乙的结果合在一起也不正确3．(2017·河北中考)如图，若抛物线y＝－x2＋3与x轴围成封闭区域(边界除外)内整点(点的横、纵坐标都是整数)的个数为k，则反比例函数y＝kx(x＞0)的图象是()二次函数图象与性质的综合4．(2019·河北中考)如图，若b是正数，直线l：y＝b与y轴交于点A；直线a：y＝x－b与y轴交于点B；抛物线L：y＝－x2＋bx的顶点为C，且L与x 轴右交点为D.(1)若AB＝8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；(2)当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；(3)设x0≠0，点(x0，y1)，(x0，y2)，(x0，y3)分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点(x0，0)与点D间的距离；(4)在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b＝2 019和b＝2 019.5时“美点”的个数．考点解析二次函数的概念及表达式1.已知二次函数图象经过原点，对称轴是y轴，且经过点(－2，－8)，则这个二次函数的表达式为y＝；2.已知抛物线的顶点坐标为点M(1，－2)，且经过点N(2，3)，则此二次函数的表达式为y＝；3.已知二次函数图象经过点P(3，4)且与x轴两个交点的横坐标为1和－2，则这个二次函数的表达式为y＝.二次函数的图象及性质4.(2020·秦皇岛市一模)二次函数y＝x2＋2x＋2的图象是一条抛物线，则下列说法不正确的是()A．抛物线开口向上B．抛物线的顶点坐标是(1，1)C．抛物线与x轴没有交点D．当x＞－1时，y随x的增大而增大5.(2020·石家庄市模拟)已知点A(1，y1)，B(2，y2)在抛物线y＝－(x＋1)2＋2上，则下列结论正确的是()A．2＞y1＞y2 B．2＞y2＞y1C．y1＞y2＞2 D．y2＞y1＞26.若二次函数y＝kx2＋2x－1的图象与x轴仅有一个公共点，则常数k的值为( )A ．1B ．±1C ．－1D ．－12 二次函数图象的平移7.将抛物线y ＝12 x 2＋1绕顶点旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为( )A ．y ＝－2x 2＋1B ．y ＝－2x 2－1C ．y ＝－12 x 2＋1D ．y ＝－12 x 2－18.(2020·河北一模)在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于x 轴对称，且它们的顶点相距6个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为y ＝－x 2＋4x ＋2m ，则m 的值是( )A ．－72B ．－12C ．1D ．－12 或－72二次函数与一元二次方程、不等式的关系9.若二次函数y ＝x 2＋bx 的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程x 2＋bx ＝5的解为x 1＝ ，x 2＝ ．10.(2020·石家庄市模拟)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的部分对应值如下表：x －3 －2 －1 0 1 2y －12 －5 0 3 4 3利用二次函数的图象可知，当函数值y ＞0时，x 的取值范围是 ．考点专练1.(2020·河北模拟)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的图象如图所示，则一次函数y＝cx＋b2a与反比例函数y＝abx在同一坐标系内的大致图象是()2.(2020·石家庄市模拟)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为B(－1，3)，与x轴的交点A在点(－3，0)和(－2，0)之间，以下结论：①b2－4ac＝0；②a＋b＋c＞0；③2a－b＝0；④c－a＝3.其中正确的是()A．①② B．③④ C．②③ D．①③3.．(2020·石家庄市模拟)二次函数y＝x2－2的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是()A．抛物线开口向下B．当x＝0时，函数的最大值是－2C．抛物线的对称轴是直线x＝2D．抛物线与x轴有两个交点4．一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝cx的图象如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的大致图象是()5．(2020·唐山路北区一模)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1.下列结论：①abc＞0；②2a＋b＝0；③b2－4ac＜0；④4a＋2b＋c＞0.其中正确的是()A．①③ B．② C．②④ D．③④6．(2020·石家庄长安区模拟)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，且过点(3，0)，则下列结论：①abc＜0；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；③2a＋b＝0；④4a＋2b＋c＜0.其中正确结论的序号是．5．(2020·秦皇岛市一模)如图，将抛物线y＝12 x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A(－6，0)和点O(0，0)，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y＝1 2x2交于点Q.(1)点P的坐标为；(2)图中阴影部分的面积为．7.(2020·石家庄28中一模)如图，已知二次函数y＝x2＋ax＋3的图象经过点P(－2，3).(1)求a的值和图象的顶点坐标；(2)点Q(m，n)在该二次函数图象上．①当m＝2时，求n的值；②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围；③直接写出点Q与直线y＝x＋5的距离小于2时m的取值范围．8．将抛物线y＝x2－2x＋3先沿水平方向向右平移1个单位，再沿竖直方向向上平移3个单位，则得到的新抛物线的解析式为()A．y＝(x－2)2＋3 B．y＝(x－2)2＋5C．y＝x2－1 D．y＝x2＋49．(2020·唐山市一模)如图，已知二次函数L：y＝mx2＋2mx＋k(其中m，k 是常数，k为正整数)．(1)若L经过点(1，k＋6)，求m的值．(2)当m＝2时，若L与x轴有公共点且公共点的横坐标为非零的整数，确定k的值；(3)在(2)的条件下将L：y＝mx2＋2mx＋k的图象向下平移8个单位，得到函数图象M，求M的解析式；(4)将M的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象N，请结合新的图象解答问题，若直线y＝12 x＋b与N有两个公共点时，请直接写出b的取值范围．二次函数的图象及性质二次函数的图象及性质1．(2020·河北中考)如图，现要在抛物线y＝x(4－x)上找点P(a，b)，针对b 的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，甲：若b＝5，则点P的个数为0；乙：若b＝4，则点P的个数为1；丙：若b＝3，则点P的个数为1.下列判断正确的是(C)A．乙错，丙对 B．甲和乙都错C．乙对，丙错 D．甲错，丙对2．(2018·河北中考)对于题目“一段抛物线L：y＝－x(x－3)＋c(0≤x≤3)与直线l：y＝x＋2有唯一公共点．若c为整数，确定所有c的值．”甲的结果是c ＝1，乙的结果是c＝3或4，则(D)A.甲的结果正确B．乙的结果正确C．甲、乙的结果合在一起才正确D．甲、乙的结果合在一起也不正确3．(2017·河北中考)如图，若抛物线y＝－x2＋3与x轴围成封闭区域(边界除外)内整点(点的横、纵坐标都是整数)的个数为k，则反比例函数y＝kx(x＞0)的图象是(D)二次函数图象与性质的综合4．(2019·河北中考)如图，若b是正数，直线l：y＝b与y轴交于点A；直线a：y＝x－b与y轴交于点B；抛物线L：y＝－x2＋bx的顶点为C，且L与x 轴右交点为D.(1)若AB＝8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；(2)当点C在l下方时，求点C与l距离的最大值；(3)设x0≠0，点(x0，y1)，(x0，y2)，(x0，y3)分别在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均数，求点(x0，0)与点D间的距离；(4)在L和a所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b＝2 019和b＝2 019.5时“美点”的个数．解：(1)当x＝0时，y＝x－b＝－b，∴B(0，－b).又∵AB＝8，A(0，b)，∴b－(－b)＝8.∴b＝4.∴L的表达式为y＝－x2＋4x，a的表达式为y＝x－4.∴L 的对称轴为x ＝2. 当x ＝2时，y ＝x －4＝－2.∴L 的对称轴与a 的交点坐标为(2，－2)；(2)∵y ＝－x 2＋bx ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b 2 2 ＋b24 ，∴L 的顶点为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，b 24 . ∵点C 在l 下方，∴点C 与l 的距离为b －b 24 ＝－14 (b －2)2＋1≤1. ∴点C 与l 距离的最大值为1；(3)由题意，得y 3＝y 1＋y 22 ，即y 1＋y 2＝2y 3，得b ＋x 0－b ＝2(－x 20 ＋bx 0). 解得x 0＝0或x 0＝b －12 .又x 0≠0，∴x 0＝b －12 . 对于L ，当y ＝0时，即0＝－x 2＋bx ，∴0＝－x (x －b ). 解得x 1＝0，x 2＝b .∵b ＞0，∴右交点D 为(b ，0). ∴点(x 0，0)与点D 的距离为b －⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12 ＝12 ；(4)4 040；1 010.考点解析二次函数的概念及表达式 例如，(1)已知二次函数图象经过原点，对称轴是y 轴，且经过点(－2，－8)，则这个二次函数的表达式为y ＝－2x 2；(2)已知抛物线的顶点坐标为点M(1，－2)，且经过点N(2，3)，则此二次函数的表达式为y＝5(x－1)2－2；(3)已知二次函数图象经过点P(3，4)且与x轴两个交点的横坐标为1和－2，则这个二次函数的表达式为y＝25 x2＋25 x－45.二次函数的图象及性质例如，(1)(2020·秦皇岛市一模)二次函数y＝x2＋2x＋2的图象是一条抛物线，则下列说法不正确的是(B)A．抛物线开口向上B．抛物线的顶点坐标是(1，1)C．抛物线与x轴没有交点D．当x＞－1时，y随x的增大而增大(2)(2020·石家庄市模拟)已知点A(1，y1)，B(2，y2)在抛物线y＝－(x＋1)2＋2上，则下列结论正确的是(A)A．2＞y1＞y2 B．2＞y2＞y1C．y1＞y2＞2 D．y2＞y1＞2例如，(1)根据二次函数的大致图象得出结论：a>0，a<0，a>0，a<0，(2)若二次函数y ＝kx 2＋2x －1的图象与x 轴仅有一个公共点，则常数k 的值为(C )A ．1B ．±1C ．－1D ．－12 二次函数图象的平移(5)将抛物线y ＝12 x 2＋1绕顶点旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为(C )A ．y ＝－2x 2＋1B ．y ＝－2x 2－1C ．y ＝－12 x 2＋1D ．y ＝－12 x 2－1(6)(2020·河北一模)在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于x 轴对称，且它们的顶点相距6个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为y ＝－x 2＋4x ＋2m ，则m 的值是(D )A ．－72B ．－12C ．1D ．－12 或－72二次函数与一元二次方程、不等式的关系 例如，(1)若二次函数y ＝x 2＋bx 的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程x 2＋bx ＝5的解为x 1＝－1，x 2＝5．(2)(2020·石家庄市模拟)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的部分对应值如下表：利用二次函数的图象可知，当函数值y＞0时，x的取值范围是－1＜x＜3．二次函数的综合考点专练二次函数的图象与性质及与各项系数的关系【例1】(2020·河北模拟)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的图象如图所示，则一次函数y＝cx＋b2a与反比例函数y＝abx在同一坐标系内的大致图象是(B)【解析】根据二次函数图象与系数的关系，由抛物线对称轴的位置(在y轴右侧)确定ab＜0，由抛物线与y轴的交点位置(在x轴下方)确定c＜0.对于一次函数y＝cx＋b2a，由于c＜0，图象必经过第二、四象限，又0＜－b2a＜1，即b2a＜0，图象与y轴的交点在x轴下方；对于反比例函数y＝abx，ab＜0，图象分布在第二、四象限．【例2】(2020·石家庄市模拟)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为B(－1，3)，与x轴的交点A在点(－3，0)和(－2，0)之间，以下结论：①b2－4ac＝0；②a＋b＋c＞0；③2a－b＝0；④c－a＝3.其中正确的是(B)A．①② B．③④ C．②③ D．①③【解析】∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为B(－1，3)，与x轴的交点A在点(－3，0)和(－2，0)之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在点(0，0)和(1，0)之间．∴b2－4ac＞0，故①错误；当x＝1时，y＝a＋b＋c＜0，故②错误；由－b2a＝－1，得b＝2a，2a－b＝0，故③正确；当x＝－1时，y＝a－b＋c＝a－2a ＋c＝－a＋c＝3，即c－a＝3，故④正确.1．(2020·石家庄市模拟)二次函数y＝x2－2的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是(D)A．抛物线开口向下B．当x＝0时，函数的最大值是－2C．抛物线的对称轴是直线x＝2D．抛物线与x轴有两个交点2．一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝cx的图象如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的大致图象是(A)3．(2020·唐山路北区一模)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1.下列结论：①abc＞0；②2a＋b＝0；③b2－4ac＜0；④4a＋2b＋c＞0.其中正确的是(C)A．①③ B．② C．②④ D．③④4．(2020·石家庄长安区模拟)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，且过点(3，0)，则下列结论：①abc＜0；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；③2a＋b＝0；④4a＋2b＋c＜0.其中正确结论的序号是①②③．5．(2020·秦皇岛市一模)如图，将抛物线y＝12 x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A(－6，0)和点O(0，0)，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y＝1 2x2交于点Q.(1)点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－92 ；(2)图中阴影部分的面积为272 ． 二次函数表达式的确定及综合【例3】(2020·石家庄28中一模)如图，已知二次函数y ＝x 2＋ax ＋3的图象经过点P (－2，3).(1)求a 的值和图象的顶点坐标； (2)点Q (m ，n )在该二次函数图象上． ①当m ＝2时，求n 的值；②若点Q 到y 轴的距离小于2，请根据图象直接写出n 的取值范围； ③直接写出点Q 与直线y ＝x ＋5的距离小于2 时m 的取值范围．【解答】解：(1)将P (－2，3)代入y ＝x 2＋ax ＋3，得 3＝(－2)2－2a ＋3，解得a ＝2.∴y ＝x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2. ∴顶点坐标为(－1，2)；(2)①将x ＝2代入y ＝x 2＋2x ＋3，解得y ＝11. ∴当m ＝2时，n ＝11；②2≤n ＜11；③－1－72 ＜m ＜－1或0＜m ＜－1＋72. 6．将抛物线y ＝x 2－2x ＋3先沿水平方向向右平移1个单位，再沿竖直方向向上平移3个单位，则得到的新抛物线的解析式为(B )A．y＝(x－2)2＋3 B．y＝(x－2)2＋5C．y＝x2－1 D．y＝x2＋47．(2020·唐山市一模)如图，已知二次函数L：y＝mx2＋2mx＋k(其中m，k 是常数，k为正整数)．(1)若L经过点(1，k＋6)，求m的值．(2)当m＝2时，若L与x轴有公共点且公共点的横坐标为非零的整数，确定k的值；(3)在(2)的条件下将L：y＝mx2＋2mx＋k的图象向下平移8个单位，得到函数图象M，求M的解析式；(4)将M的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象N，请结合新的图象解答问题，若直线y＝12 x＋b与N有两个公共点时，请直接写出b的取值范围．解：(1)将点(1，k＋6)代入y＝mx2＋2mx＋k，解得m＝2；(2)当m＝2时，y＝mx2＋2mx＋k＝2x2＋4x＋k.令y＝0，即2x2＋4x＋k＝0.由题意，得Δ＝b2－4ac＝16－8k≥0.解得k≤2.又k为正整数，且k＝1时，方程没有整数解，故舍去．∴k＝2；(3)在m＝2，k＝2时，y＝2x2＋4x＋2，向下平移8个单位，平移后M的表达式为y ＝2x 2＋4x ＋2－8＝2x 2＋4x －6；(4)－12 ＜b ＜32 或b ＞27332 .[由(3)知，M 的表达式为y ＝2x 2＋4x －6.① 则翻折后抛物线的表达式为y ′＝－2x 2－4x ＋6.② 设直线m 为y ＝12 x ＋b .③Ⅰ)当直线m 与翻折后的图象有一个交点(点H )时，如图，联立②③并整理得2x 2＋92 x ＋b －6＝0.则Δ＝814 －8(b －6)＝0.解得b ＝27332 ；Ⅱ)当直线m 过点A (－3，0)时，将点A 的坐标代入③，得0＝12 ×(－3)＋b .解得b ＝32 ；Ⅲ)当直线m 过点B (1，0)时，同理可得，b ＝－12 .综上所述，直线y ＝12 x ＋b 与N 有两个公共点时，b 的取值范围为－12 ＜b ＜32 或b ＞27332 .]。
专题13二次函数图象性质(选填50题)-2021年中考数学真题分项汇编(原卷版)(第02期)
2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】（第02期）专题13二次函数图象性质（选填50题）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________一、单选题1．（2021·上海中考真题）将抛物线2(0)y ax bx c a =++≠向下平移两个单位，以下说法错误的是（ ） A ．开口方向不变 B ．对称轴不变 C ．y 随x 的变化情况不变 D ．与y 轴的交点不变2．（2021·江苏中考真题）已知抛物线22y x kx k =+-的对称轴在y 轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k 的值是（ ）A ．5-或2B ．5-C ．2D ．2-3．（2021·天津中考真题）已知抛物线2y ax bx c =++（,,a b c 是常数，0a ≠）经过点(1,1),(0,1)--，当2x =-时，与其对应的函数值1y >．有下列结论：①0abc >；②关于x 的方程230ax bx c ++-=有两个不等的实数根；③7a b c ++>．其中，正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．（2021·浙江中考真题）已知1y 和2y 均是以x 为自变量的函数，当x m =时，函数值分别为1M 和2M ，若存在实数m ，使得120M M +=，则称函数1y 和2y 具有性质P ．以下函数1y 和2y 具有性质P 的是（ ） A ．212y x x =+和21y x =--B ．212y x x =+和21y x =-+C ．11y x =-和21y x =-- D ．11y x=-和21y x =-+ 5．（2021·陕西中考真题）下表中列出的是一个二次函数的自变量x 与函数y 的几组对应值：x …-2 0 1 3 … y… 6 -4 -6 -4 … 下列各选项中，正确的是A ．这个函数的图象开口向下B ．这个函数的图象与x 轴无交点C ．这个函数的最小值小于-6D ．当1x >时，y 的值随x 值的增大而增大6．（2021·四川中考真题）如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）经过点()2,0，且对称轴为直线12x =，有下列结论：①0abc >；②0a b +>；③4230a b c ++<；④无论a ，b ，c 取何值，抛物线一定经过,02c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；⑤2440am bm b +-≥．其中正确结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．（2021·四川中考真题）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（ ）A ．0abc >B ．函数的最大值为a b c -+C ．当31x -时，0yD ．420a b c -+<8．（2021·山西中考真题）抛物线的函数表达式为()2321y x =-+，若将x 轴向上平移2个单位长度，将y 轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（ ）A ．()2313y x =++B ．()2353y x =-+ C ．()2351y x =-- D ．()2311y x =+- 9．（2021·江苏中考真题）已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，有下列结论：①0a ＞；②24b ac -＞0；③40a b +=；④不等式21ax b x c +-+（）＜0的解集为1≤x ＜3，正确的结论个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．（2021·山东中考真题）一次函数()0y ax b a =+≠与二次函数()20y ax bx c a =++≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．11．（2021·湖南中考真题）若二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则一次函数y ax b =+与反比例函数c y x=-在同一个坐标系内的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．12．（2021·福建中考真题）二次函数()220y ax ax c a =-+>的图象过1234()()3,,1,,2(),,)4,(A y B y C y D y --四个点，下列说法一定正确的是（ ）A ．若120y y >，则340y y >B ．若140y y >，则230y y >C ．若240y y <，则130y y <D ．若340y y <，则120y y <13．（2021·广东深圳市·中考真题）二次函数21y ax bx =++的图象与一次函数2y ax b =+在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．14．（2021·湖北中考真题）二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象的一部分如图所示．已知图象经过点()1,0-，其对称轴为直线1x =．下列结论：①0abc <；②420a b c ++<；③80a c +<；④若抛物线经过点()3,n -，则关于x 的一元二次方程()200ax bx c n a ++-=≠的两根分别为3-，5，上述结论中正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个15．（2021·山东）如图，四边形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB 与CD 之间的距离为4，AD ＝5，CD ＝3，∠ABC ＝45°，点P ，Q 同时由A 点出发，分别沿边AB ，折线ADCB 向终点B 方向移动，在移动过程中始终保持PQ ⊥AB ，已知点P 的移动速度为每秒1个单位长度，设点P 的移动时间为x 秒，△APQ 的面积为y ，则能反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．16．（2021·四川中考真题）下列命题中，真命题是（ ）A ．1122x x-= B ．对角线互相垂直的四边形是菱形C ．顺次连接矩形各边中点的四边形是正方形D ．已知抛物线245y x x =--，当15x -<<时，0y <17．（2021·四川中考真题）将二次函数2y x 2x 3=-++的图象在x 轴上方的部分沿x 轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y x b =+与新函数的图象恰有3个公共点时，b 的值为（ ）A ．214-或3-B ．134-或3-C ．214或3-D ．134或3- 18．（2021·山东）已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则一次函数y ＝bx ＋c 的图象和反比例函数y ＝a b c x++的图象在同一坐标系中大致为（ ）A ．B ．C ．D ．19．（2021·江苏中考真题）设1(,)P x y ，2(,)Q x y 分别是函数1C ，2C 图象上的点，当a x b ≤≤时，总有1211y y 恒成立，则称函数1C ，2C 在a x b ≤≤上是“逼近函数”，a x b ≤≤为“逼近区间”．则下列结论： ①函数5y x =-，32y x =+在12x ≤≤上是“逼近函数”；②函数5y x =-，24y x x =-在34x ≤≤上是“逼近函数”；③01x ≤≤是函数21y x =-，22y x x =-的“逼近区间”；④23x ≤≤是函数5y x =-，24y x x =-的“逼近区间”．其中，正确的有（ ）A ．②③B ．①④C ．①③D ．②④20．（2021·内蒙古中考真题）已知二次函数2(0)y ax bx c a =-+≠的图象经过第一象限的点(1,)b -，则一次函数y bx ac =-的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限21．（2021·广西中考真题）如图，已知抛物线2y ax c =+与直线y kx m =+交于1(3,)A y -，2(1,)B y 两点，则关于x 的不等式2ax c kx m +≥-+的解集是（ ）A ．3x ≤-或1≥xB ．1x ≤-或3x ≥C ．31x -≤≤D ．13x -≤≤22．（2021·广东中考真题）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a ，b ，c ，记2a b c p ++=，则其面积()()()S p p a p b p c =---．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式．若5,4p c ==，则此三角形面积的最大值为（ ）A ．5B ．4C ．25D ．523．（2021·贵州中考真题）已知直线2y kx =+过一、二、三象限，则直线2y kx =+与抛物线223y x x =-+的交点个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．1个或2个 24．（2021·贵州中考真题）已知抛物线()2y a x h k =-+与x 轴有两个交点()1,0A -，()3,0B ，抛物线()2y a x h m k =--+与x 轴的一个交点是()4,0，则m 的值是（ ） A ．5 B ．1- C ．5或1 D ．5-或1-25．（2021·浙江中考真题）在“探索函数2y ax bx c =++的系数a ，b ，c 与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：()0,2A ，()10B ,，()3,1C ，()2,3D ，同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a 的值最大为（ ）A ．52B ．32C ．56D ．12 26．（2021·湖南中考真题）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC 中，点()0,2A ，点()2,0C ，则互异二次函数()2y x m m =--与正方形OABC 有交点时m 的最大值和最小值分别是（ ）A ．4，-1B ．5172-，-1C ．4，0D ．5172+，-1 27．（2021·湖北中考真题）如图，AC 为矩形ABCD 的对角线，已知3AD =，4CD =．点P 沿折线C A D --以每秒1个单位长度的速度运动（运动到D 点停止），过点P 作PE BC ⊥于点E ，则CPE △的面积y 与点P 运动的路程x 间的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．28．（2021·四川中考真题）二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列结论：①0abc >，②420a b c -+<，③()a b x ax b -≥+，④30a c +<，正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个29．（2021·湖北中考真题）如图，已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于()3,0-，顶点是()1,m -，则以下结论：①0abc >；②420a b c ++>；③若y c ≥，则2x -≤或0x ≥；④12b c m +=．其中正确的有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．430．（2021·黑龙江中考真题）已知函数()211y ax a x =-++，则下列说法不正确的个数是（ ）①若该函数图像与x 轴只有一个交点，则1a =②方程()2110ax a x -++=至少有一个整数根③若11x a<<，则()211y ax a x =-++的函数值都是负数 ④不存在实数a ，使得()2110ax a x -++≤对任意实数x 都成立A ．0B ．1C ．2D ．331．（2021·湖北中考真题）如图，已知抛物线2y ax bx c =++的对称轴在y 轴右侧，抛物线与x 轴交于点()2,0A -和点B ，与y 轴的负半轴交于点C ，且2OB OC =，则下列结论：①0a b c ->；②241b ac -=；③14a =；④当10b -<<时，在x 轴下方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点M ，N （点M 在点N 左边），使得AN BM ⊥．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个32．（2021·内蒙古中考真题）已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与x 轴交于两点(),0m ，,0n ，且过()0,A b ，()3,B a 两点（b ，a 是实数），若02m n <<<，则ab 的取值范围是（ ） A ．4108ab << B ．1908ab << C ．81016ab << D ．49016ab << 33．（2021·湖南中考真题）用数形结合等思想方法确定二次函数22y x =+的图象与反比例函数2y x =的图象的交点的横坐标0x 所在的范围是（ ）A ．0104x <≤B ．01142x <≤C ．01324x <≤D ．0314x <≤ 34．（2021·广东中考真题）设O 为坐标原点，点A 、B 为抛物线2yx 上的两个动点，且OA OB ⊥．连接点A 、B ，过O 作OC AB ⊥于点C ，则点C 到y 轴距离的最大值（ ）A ．12B ．22C ．32D ．135．（2021·北京中考真题）如图，用绳子围成周长为10m 的矩形，记矩形的一边长为m x ，它的邻边长为m y ，矩形的面积为2m S ．当x 在一定范围内变化时，y 和S 都随x 的变化而变化，则y 与,x S 与x 满足的函数关系分别是（ ）A ．一次函数关系，二次函数关系B ．反比例函数关系，二次函数关系C ．一次函数关系，反比例函数关系D ．反比例函数关系，一次函数关系36．（2021·湖北中考真题）二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，且0a ≠）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：x … 1- 0 1 2 …y … m2 2 n … 且当32x =时，对应的函数值0y <．有以下结论：①0abc >；②203m n +<-；③关于x 的方程20ax bx c ++=的负实数根在12-和0之间；④()111,P t y -和()221,P t y +在该二次函数的图象上，则当实数13t >时，12y y >．其中正确的结论是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②③④二、填空题37．（2021·河南中考真题）请写出一个图象经过原点的函数的解析式__________．38．（2021·四川中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线22y x x k =++与x 轴只有一个交点，则k =_______．39．（2021·湖北中考真题）已知抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数），0a b c ++=，下列四个结论： ①若抛物线经过点()3,0-，则2b a =；②若b c =，则方程20cx bx a ++=一定有根2x =-；③抛物线与x 轴一定有两个不同的公共点；④点()11,A x y ，()22,B x y 在抛物线上，若0a c <<，则当121x x <<时，12y y >．其中正确的是__________（填写序号）．40．（2021·湖北中考真题）如图（1），在ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，边AB 上的点D 从顶点A 出发，向顶点B 运动，同时，边BC 上的点E 从顶点B 出发，向顶点C 运动，D ，E 两点运动速度的大小相等，设x AD =，y AE CD =+，y 关于x 的函数图象如图（2），图象过点()0,2，则图象最低点的横坐标是__________．41．（2021·山东中考真题）定义：[],,a b c 为二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的特征数，下面给出特征数为[],1,2m m m --的二次函数的一些结论：①当1m =时，函数图象的对称轴是y 轴；②当2m =时，函数图象过原点；③当0m >时，函数有最小值；④如果0m <，当12x >时，y 随x 的增大而减小，其中所有正确结论的序号是______．42．（2021·湖南）已知y 是x 的二次函数，下表给出了y 与x 的几对对应值：x… -2 -1 0 1 2 3 4 … y … 11 a 3 2 3 6 11 … 由此判断，表中a =_______．43．（2021·广东中考真题）把抛物线221y x =+向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为___．44．（2021·广东中考真题）若一元二次方程20x bx c ++=（b ，c 为常数）的两根12,x x 满足1231,13x x -<<-<<，则符合条件的一个方程为_____．45．（2021·山东中考真题）如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与x 轴的正半轴交于点A ，对称轴为直线1x =，下面结论：①0abc <；②20a b +=；③30a c +>；④方程()20y ax bx c a =++≠必有一个根大于1-且小于0．其中正确的是____（只填序号）．46．（2021·浙江中考真题）以初速度v （单位：m/s ）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h （单位：m ）与小球的运动时间t （单位：s ）之间的关系式是h ＝vt -4.9t 2，现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v 1，经过时间t 1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h 1（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v 2，经过时间t 2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h 2（如图2）．若h 1＝2h 2，则t 1：t 2＝_____．47．（2021·江苏中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点C 为y 轴正半轴上的一个动点，过点C 的直线与二次函数2y x 的图象交于A 、B 两点，且3CB AC ，P 为CB 的中点，设点P 的坐标为(,)(0)P x y x >，写出y 关于x 的函数表达式为：________．48．（2021·广西中考真题）如图，已知点(3,0)A ，(1,0)B ，两点(3,9)C -，(2,4)D 在抛物线2y x 上，向左或向右平移抛物线后，C ，D 的对应点分别为C '，D ，当四边形ABC D ''的周长最小时，抛物线的解析式为__________．49．（2021·江苏中考真题）某快餐店销售A 、B 两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A 种快餐的利润，同时提高每份B 种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A 种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B 种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是______元．50．（2021·内蒙古中考真题）已知抛物线223y x x =--与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点(4,)D y 在抛物线上，E 是该抛物线对称轴上一动点．当BE DE +的值最小时，ACE 的面积为__________．。
河北省2021年中考数学一轮复习训练：第三章 第五节 二次函数的图象与性质
第五节二次函数的图象与性质基础分点练（建议用时：60分钟）考点1二次函数的图象与性质1.抛物线y=x2-2x+2的顶点坐标为()A.(1,1)B.(-1,1)C.(1,3)D.(-1,3)2.[2020福建]已知P1(x1,y1),P2(x2,y2)是抛物线y=ax2-2ax上的点,下列命题正确的是()A.若|x1-1|>|x2-1|,则y1>y2B.若|x1-1|>|x2-1|,则y1<y2C.若|x1-1|=|x2-1|,则y1=y2D.若y1=y2,则x1=x23.[2020浙江温州]已知(-3,y1),(-2,y2),(1,y3)是抛物线y=-3x2-12x+m上的点,则()A.y3<y2<y1B.y3<y1<y2C.y2<y3<y1D.y1<y3<y24.[2020石家庄长安区质量检测]老师给出了二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分对应值如下表:x…-3-20135…y…70-8-9-57…同学们讨论得出了下列结论:①抛物线的开口向上;②抛物线的对称轴为直线x=2;③当-2<x<4时,y>0;④x=3是方程ax2+bx+c+5=0的一个根;⑤若A(x1,5),B(x2,6)在抛物线上,且点A在点B左侧,则x1<x2.其中正确的结论是()A.①③④B.②③④C.①④⑤D.③④⑤5.[2020江苏无锡]请写出一个函数表达式,使其图象的对称轴为y轴:.6.[2020吉林长春]如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,2),点B的坐标为(4,2).若抛物线y=-(x-h)2+k(h,k为常数)与线段AB交于C,D两点,且CD=AB,则k的值为.7.已知二次函数y=x2-2mx+1,当x≤1时,y随x的增大而减小,则m的取值范围是.考点2二次函数图象与系数a,b,c的关系8.[2020山东青岛]已知在同一平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx和反比例函数y=的图象如图所示,则一次函数y=x-b的图象可能是()9.[2020四川达州]如图,直线y1=kx与抛物线y2=ax2+bx+c交于A,B两点,则y=ax2+(b-k)x+c的图象可能是()10.[2020山东德州]二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示,则下列选项错误的是()A.若(-2,y1),(5,y2)是图象上的两点,则y1>y2B.3a+c=0C.方程ax2+bx+c=-2有两个不相等的实数根D.当x≥0时,y随x的增大而减小11.[2020唐山路北区一模]已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,其对称轴是直线x=1.下列结论:①abc>0,②2a+b=0,③b2-4ac<0,④4a+2b+c>0,其中正确的是()A.①③B.只有②C.②④D.③④考点3二次函数解析式的确定(含平移)12.[2020黑龙江哈尔滨]将抛物线y=x2向上平移3个单位长度,再向右平移5个单位长度,所得到的抛物线的解析式为()A.y=(x+3)2+5B.y=(x-3)2+5C.y=(x+5)2+3D.y=(x-5)2+313.[2020唐山路北区一模]如图,将函数y=(x+3)2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象,其中点A(-4,m),B(-1,n)平移后的对应点分别为点A',B'.若曲线段AB扫过的面积为9(图中的阴影部分),则新图象的函数表达式是()A.y=(x+3)2-2B.y=(x+3)2+7C.y=(x+3)2-5D.y=(x+3)2+414.[2020陕西]在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2-(m-1)x+m(m>1)沿y轴向下平移3个单位长度,则平移后得到的抛物线的顶点一定在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限15.[2020浙江宁波]如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+4x-3图象的顶点是A,与x轴交于B,C两点,与y轴交于点D.点B的坐标是(1,0).(1)求A,C两点的坐标,并根据图象直接写出当y>0时x的取值范围.(2)平移该二次函数的图象,使点D恰好落在点A的位置上,求平移后图象所对应的二次函数的表达式.考点4二次函数与一元二次方程、不等式(组)的关系16.[2020贵州贵阳]已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(-3,0)与(1,0)两点,关于x的方程ax2+bx+c+m=0(m>0)有两个根,其中一个根是3,则关于x的方程ax2+bx+c+n=0(0<n<m)有两个整数根,这两个整数根是()A.-2或0B.-4或2C.-5或3D.-6或417.[2020湖北武汉]抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a<0)经过A(2,0),B(-4,0)两点.下列四个结论:①一元二次方程ax2+bx+c=0的根为x1=2,x2=-4;②若点C(-5,y1),D(π,y2)在该抛物线上,则y1<y2;③对于任意实数t,总有at2+bt≤a-b;④对于a的每一个确定值,若一元二次方程ax2+bx+c=p(p为常数,p>0)的根为整数,则p的值只有两个.其中正确的结论是(填写序号).18.根据下列要求,解答相关问题.(1)请补全以下求不等式-2x2-4x≥0的解集的过程.①构造函数,画出图象:根据不等式特征构造二次函数y=-2x2-4x;抛物线的对称轴为直线,开口向下,顶点坐标为,与x轴的交点是;用三点法画出二次函数y=-2x2-4x的图象如图(1)所示;②数形结合,求得界点:当y=0时,求得方程-2x2-4x=0的解为;③借助图象,写出解集:由图象可得不等式-2x2-4x≥0的解集为.图(1) 图(2)(2)利用(1)中求不等式解集的方法、步骤,求不等式x2-2x+1<4的解集.①构造函数,画出y=x2-2x+1的图象(在图(2)中画出);②数形结合,求得界点:当y=时,求得方程x2-2x+1=4的解为;③借助图象,写出解集.由图象可知,不等式x2-2x+1<4的解集是.综合提升练（建议用时：40分钟）1.[2020四川南充]如图,正方形四个顶点的坐标依次为(1,1),(3,1),(3,3),(1,3).若抛物线y=ax2的图象与正方形有公共点,则实数a的取值范围是()A.≤a≤3B.≤a≤1C.≤a≤3D.≤a≤12.[2020广西玉林]把二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象作关于x轴的对称变换,所得图象的解析式为y=-a(x-1)2+4a,若(m-1)a+b+c≤0,则m的最大值是()A.-4B.0C.2D.63.[2020浙江宁波]如图,二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴正半轴交于点C,它的对称轴为直线x=-1.则下列选项中正确的是()A.abc<0B.4ac-b2>0C.c-a>0D.当x=-n2-2(n为实数)时,y≥c4.[2020四川南充]关于二次函数y=ax2-4ax-5(a≠0)的三个结论:①对任意实数m,都有x=2+m与x=2-m对应的函数值相等;②若3≤x≤4时,对应的y的整数值有4个,则-<a≤-1或1≤a<;③若抛物线与x轴交于不同的两点A,B,且AB≤6,则a<-或a≥1.其中正确的结论是()A.①②B.①③C.②③D.①②③5.[2020河南]如图,抛物线y=-x2+2x+c与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于点A,B,且OA=OB,点G为抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式及点G的坐标;(2)点M,N为抛物线上两点(点M在点N的左侧),且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度,点Q为抛物线上点M,N之间(含点M,N)的一个动点,求点Q的纵坐标y Q的取值范围.6.[2019北京]在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx-与y轴交于点A,将点A向右平移2个单位长度,得到点B,点B在抛物线上.(1)求点B的坐标(用含a的式子表示);(2)求抛物线的对称轴;(3)已知点P(,-),Q(2,2).若抛物线与线段PQ恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围. 答案第五节二次函数的图象与性质基础分点练（建议用时：60分钟）考点1二次函数的图象与性质1.抛物线y=x2-2x+2的顶点坐标为( A)A.(1,1)B.(-1,1)C.(1,3)D.(-1,3)2.[2020福建]已知P1(x1,y1),P2(x2,y2)是抛物线y=ax2-2ax上的点,下列命题正确的是( C)A.若|x1-1|>|x2-1|,则y1>y2B.若|x1-1|>|x2-1|,则y1<y2C.若|x1-1|=|x2-1|,则y1=y2D.若y1=y2,则x1=x23.[2020浙江温州]已知(-3,y1),(-2,y2),(1,y3)是抛物线y=-3x2-12x+m上的点,则( B)A.y3<y2<y1B.y3<y1<y2C.y2<y3<y1D.y1<y3<y24.[2020石家庄长安区质量检测]老师给出了二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分对应值如下表:x…-3-20135…y…70-8-9-57…同学们讨论得出了下列结论:①抛物线的开口向上;②抛物线的对称轴为直线x=2;③当-2<x<4时,y>0;④x=3是方程ax2+bx+c+5=0的一个根;⑤若A(x1,5),B(x2,6)在抛物线上,且点A在点B左侧,则x1<x2.其中正确的结论是( C)A.①③④B.②③④C.①④⑤D.③④⑤5.[2020江苏无锡]请写出一个函数表达式,使其图象的对称轴为y轴:y=x2(答案不唯一,正确即可) .6.[2020吉林长春]如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,2),点B的坐标为(4,2).若抛物线y=-(x-h)2+k(h,k为常数)与线段AB交于C,D两点,且CD=AB,则k的值为.7.已知二次函数y=x2-2mx+1,当x≤1时,y随x的增大而减小,则m的取值范围是m≥1.考点2二次函数图象与系数a,b,c的关系8.[2020山东青岛]已知在同一平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx和反比例函数y=的图象如图所示,则一次函数y=x-b的图象可能是( B)9.[2020四川达州]如图,直线y1=kx与抛物线y2=ax2+bx+c交于A,B两点,则y=ax2+(b-k)x+c的图象可能是( B)10.[2020山东德州]二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示,则下列选项错误的是( D)A.若(-2,y1),(5,y2)是图象上的两点,则y1>y2B.3a+c=0C.方程ax2+bx+c=-2有两个不相等的实数根D.当x≥0时,y随x的增大而减小11.[2020唐山路北区一模]已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,其对称轴是直线x=1.下列结论:①abc>0,②2a+b=0,③b2-4ac<0,④4a+2b+c>0,其中正确的是( C)A.①③B.只有②C.②④D.③④考点3二次函数解析式的确定(含平移)12.[2020黑龙江哈尔滨]将抛物线y=x2向上平移3个单位长度,再向右平移5个单位长度,所得到的抛物线的解析式为( D)A.y=(x+3)2+5B.y=(x-3)2+5C.y=(x+5)2+3D.y=(x-5)2+313.[2020唐山路北区一模]如图,将函数y=(x+3)2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象,其中点A(-4,m),B(-1,n)平移后的对应点分别为点A',B'.若曲线段AB扫过的面积为9(图中的阴影部分),则新图象的函数表达式是( D)A.y=(x+3)2-2B.y=(x+3)2+7C.y=(x+3)2-5D.y=(x+3)2+414.[2020陕西]在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2-(m-1)x+m(m>1)沿y轴向下平移3个单位长度,则平移后得到的抛物线的顶点一定在( D)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限15.[2020浙江宁波]如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+4x-3图象的顶点是A,与x轴交于B,C两点,与y轴交于点D.点B的坐标是(1,0).(1)求A,C两点的坐标,并根据图象直接写出当y>0时x的取值范围.(2)平移该二次函数的图象,使点D恰好落在点A的位置上,求平移后图象所对应的二次函数的表达式.解:(1)把B(1,0)代入y=ax2+4x-3,得0=a+4-3,解得a=-1,∴y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,∴点A的坐标为(2,1).∵抛物线的对称轴为直线x=2,B(1,0),∴C(3,0),∴当y>0时,x的取值范围是1<x<3.(2)对于y=-x2+4x-3,令x=0,得y=-3,∴D(0,-3),∴将抛物线向右平移2个单位长度,再向上平移4个单位长度,点D移到点A处,故平移后图象所对应的二次函数的表达式为y=-(x-4)2+5.考点4二次函数与一元二次方程、不等式(组)的关系16.[2020贵州贵阳]已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(-3,0)与(1,0)两点,关于x的方程ax2+bx+c+m=0(m>0)有两个根,其中一个根是3,则关于x的方程ax2+bx+c+n=0(0<n<m)有两个整数根,这两个整数根是( B)A.-2或0B.-4或2C.-5或3D.-6或417.[2020湖北武汉]抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a<0)经过A(2,0),B(-4,0)两点.下列四个结论:①一元二次方程ax2+bx+c=0的根为x1=2,x2=-4;②若点C(-5,y1),D(π,y2)在该抛物线上,则y1<y2;③对于任意实数t,总有at2+bt≤a-b;④对于a的每一个确定值,若一元二次方程ax2+bx+c=p(p为常数,p>0)的根为整数,则p的值只有两个.其中正确的结论是①③(填写序号).18.根据下列要求,解答相关问题.(1)请补全以下求不等式-2x2-4x≥0的解集的过程.①构造函数,画出图象:根据不等式特征构造二次函数y=-2x2-4x;抛物线的对称轴为直线x=-1,开口向下,顶点坐标为(-1,2) ,与x轴的交点是(0,0),(-2,0) ;用三点法画出二次函数y=-2x2-4x的图象如图(1)所示;②数形结合,求得界点:当y=0时,求得方程-2x2-4x=0的解为x1=0,x2=-2;③借助图象,写出解集:由图象可得不等式-2x2-4x≥0的解集为-2≤x≤0.图(1) 图(2)(2)利用(1)中求不等式解集的方法、步骤,求不等式x2-2x+1<4的解集.①构造函数,画出y=x2-2x+1的图象(在图(2)中画出);②数形结合,求得界点:当y=4时,求得方程x2-2x+1=4的解为x1=-1,x2=3 ;③借助图象,写出解集.由图象可知,不等式x2-2x+1<4的解集是-1<x<3.综合提升练（建议用时：40分钟）1.[2020四川南充]如图,正方形四个顶点的坐标依次为(1,1),(3,1),(3,3),(1,3).若抛物线y=ax2的图象与正方形有公共点,则实数a的取值范围是( A)A.≤a≤3B.≤a≤1C.≤a≤3D.≤a≤12.[2020广西玉林]把二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象作关于x轴的对称变换,所得图象的解析式为y=-a(x-1)2+4a,若(m-1)a+b+c≤0,则m的最大值是( D)A.-4B.0C.2D.63.[2020浙江宁波]如图,二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴正半轴交于点C,它的对称轴为直线x=-1.则下列选项中正确的是( D)A.abc<0B.4ac-b2>0C.c-a>0D.当x=-n2-2(n为实数)时,y≥c4.[2020四川南充]关于二次函数y=ax2-4ax-5(a≠0)的三个结论:①对任意实数m,都有x=2+m与x=2-m对应的函数值相等;②若3≤x≤4时,对应的y的整数值有4个,则-<a≤-1或1≤a<;③若抛物线与x轴交于不同的两点A,B,且AB≤6,则a<-或a≥1.其中正确的结论是( D)A.①②B.①③C.②③D.①②③5.[2020河南]如图,抛物线y=-x2+2x+c与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于点A,B,且OA=OB,点G为抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式及点G的坐标;(2)点M,N为抛物线上两点(点M在点N的左侧),且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度,点Q为抛物线上点M,N之间(含点M,N)的一个动点,求点Q的纵坐标y Q的取值范围.解:(1)∵抛物线y=-x2+2x+c与y轴正半轴交于点B,∴点B的坐标为(0,c),c>0.∵OA=OB,且点A在x轴正半轴上,∴点A的坐标为(c,0).∵抛物线y=-x2+2x+c经过点A,∴-c2+2c+c=0,解得c1=0(舍去),c2=3,∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴抛物线顶点G的坐标为(1,4).(2)抛物线y=-x2+2x+3的对称轴为直线x=1.∵点M,N到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度,∴点M的横坐标为-2或4,点N的横坐标为-4或6,∴点M的纵坐标为-5,点N的纵坐标为-21.又∵点M在点N的左侧,∴当点M的坐标为(-2,-5)时,点N的坐标为(6,-21),∴-21≤y Q≤4.当点M的坐标为(4,-5)时,点N的坐标为(6,-21),∴-21≤y Q≤-5.6.[2019北京]在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx-与y轴交于点A,将点A向右平移2个单位长度,得到点B,点B在抛物线上.(1)求点B的坐标(用含a的式子表示);(2)求抛物线的对称轴;(3)已知点P(,-),Q(2,2).若抛物线与线段PQ恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围. 解:(1)当x=0时,y=-,∴点A的坐标为(0,-),故将点A向右平移2个单位长度,得到的点B的坐标为(2,-).(2)由抛物线经过点A(0,-)和点B(2,-),可知抛物线的对称轴为直线x==1.(3)当a>0时,-<0,如图(1),易得此时线段PQ与抛物线没有交点.图(1) 图(2)当a<0时,->0,如图(2).∵抛物线不可能同时经过点A和点P,∴当点Q在点B上方或与点B重合时,抛物线与线段PQ恰有一个公共点,即-≤2,解得a≤-.综上所述,当a≤-时,抛物线与线段PQ恰有一个公共点.。
2021中考数学专题训练——二次函数(解析版)
2021中考数学专题训练——二次函数（解析版）考点一二次函数解析式1.(2018杭州,9,3分)四位同学在研究函数y=x2+bx+c(b,c是常数),甲发现当x=1时,函数有最小值;乙发现-1是方程x2+bx+c=0的一个根;丙发现函数的最小值为3;丁发现当x=2时,y=4.已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的,则该同学是 ()A.甲B.乙C.丙D.丁答案 B假设甲和丙发现的结论正确,则 解得 ∴该函数的解析式为y=x2-2x+4.若-1是方程x2+bx+c=0的一个根,则x=-1是函数y=x2+bx+c的一个零点,当x=-1时,y=x2-2x+4=7≠0,∴乙发现的结论不正确.当x=2时,y=x2-2x+4=4,∴丁发现的结论正确.∵四位同学中只有一位发现的结论是错误的,∴假设成立.故选B.2.(2017绍兴,8,4分)矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴,点A的坐标为(2,1).一张透明纸上画有一个点和一条抛物线,平移透明纸,使纸上的点与点A重合,此时抛物线的函数表达式为y=x2,再次平移透明纸,使纸上的点与点C重合,则此时抛物线的函数表达式变为 ()A.y=x2+8x+14B.y=x2-8x+14C.y=x2+4x+3D.y=x2-4x+3答案 A如图, A(2,1),则可得C(-2,-1).一点从A(2,1)平移到C(-2,-1),需要向左平移4个单位,向下平移2个单位,则所求表达式为y=(x+4)2-2=x2+8x+14,故选A.3.(2019宁波,22,10分)如图,已知二次函数y=x2+ax+3的图象经过点P(-2,3).(1)求a的值和图象的顶点坐标;(2)点Q(m,n)在该二次函数图象上.①当m=2时,求n的值;②若点Q到y轴的距离小于2,请根据图象直接写出n的取值范围. 解析 (1)把P(-2,3)代入y=x2+ax+3,得3=(-2)2-2a+3,解得a=2.∴y=x2+2x+3=(x+1)2+2,∴顶点坐标为(-1,2).(2)①把x=2代入y=x2+2x+3,求得y=11,∴当m=2时,n=11.②2≤n<11.4.(2015绍兴,21,10分)如果抛物线y=ax 2+bx+c 过定点M(1,1),则称此抛物线为定点抛物线.(2)张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题:已知定点抛物线y=-x 2+2bx+c+1,求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式.请你解答.解析 (1)不唯一,如y=x 2-2x+2.(2)∵定点抛物线的顶点坐标为(b,c+b 2+1),且-1+2b+c+1=1,∴c=1-2b,∴顶点纵坐标c+b 2+1=2-2b+b 2=(b-1)2+1,∴当b=1时,c+b 2+1最小,即抛物线顶点纵坐标的值最小,此时c=-1,∴抛物线的解析式为y=-x 2+2x考点二 二次函数的图象与性质1.(2019温州,9,4分)已知二次函数y=x 2-4x+2,关于该函数在-1≤x ≤3的取值范围内,下列说法正确的是 ( )A.有最大值-1,有最小值-2B.有最大值0,有最小值-1C.有最大值7,有最小值-1D.有最大值7,有最小值-2答案 D y=x 2-4x+2=(x-2)2-2(-1≤x ≤3).由图象可知当x=2时,y 取得最小值-2,当x=-1时,y 取得最大值7.故选D.2.(2019杭州,10,3分)在平面直角坐标系中,已知a ≠b,设函数y=(x+a)(x+b)的图象与x 轴有M 个交点,函数y=(ax+1)·(bx+1)的图象与x 轴有N 个交点,则 ( )A.M=N-1或M=N+1B.M=N-1或M=N+2C.M=N 或M=N+1D.M=N 或M=N-1 答案 C 对于函数y=(x+a)(x+b),当y=0时,函数图象与x 轴的交点为(-a,0),(-b,0),故M=2. 对于函数y=(ax+1)(bx+1),当y=0时,有以下3种情况:①ab ≠0时,图象与x 轴的交点为 , ,此时N=2,M=N;②a=0时,图象与x 轴的交点为 ,此时N=1,M=N+1;③b=0时,图象与x 轴的交点为 ,此时N=1,M=N+1.综上所述,M=N 或M=N+1.故选C.3.(2016温州,10,4分)如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=4,BC=2.P 是AB 边上一动点,PD ⊥AC 于点D,点E 在P 的右侧,且PE=1,连接CE.P 从点A 出发,沿AB 方向运动,当E 到达点B 时,P 停止运动.在整个运动过程中,图中阴影部分面积S 1+S 2的大小变化情况是 ( ) A.一直减小B.一直不变C.先减小后增大D.先增大后减小答案 C 作CF ⊥AB 于F.在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,BC=2,AC=4,∴AB=25,CF=554.易知△APD ∽△ABC. 设PD=x,则AD=2x,AP=5x,BE=25-1-5x,∴S 1=x 2,S 2=21(25-1-5x)×554=4-552-2x,∴S 1+S 2=x 2-2x+4-552=(x-1)2+3-552. 4.(2017温州,22,10分)如图,过抛物线y=41x 2-2x 上一点A 作x 轴的平行线,交抛物线于另一点B,交y 轴于点C.已知点A 的横坐标为-2.(1)求抛物线的对称轴和点B 的坐标;(2)在AB 上任取一点P ,连接OP ,作点C 关于直线OP 的对称点D.①连接BD,求BD 的最小值;②当点D 落在抛物线的对称轴上,且在x 轴上方时,求直线PD 的函数表达式.解析 (1)对称轴是直线x=-ab 2=4. ∵点A,B 关于直线x=4对称,点A 的横坐标为-2,∴点B 的横坐标为10.当x=10时,y=5,∴点B 的坐标为(10,5).(2)①如图,连接OD,OB.∵点C,D 关于直线OP 对称,∴OD=OC=5.∵OD+BD ≥OB,∴BD ≥OB-OD=55-5,∴当点D 在线段OB 上时,BD 有最小值55-5.5.(2018温州,21,10分)如图,抛物线y=ax 2+bx(a ≠0)交x 轴正半轴于点A,直线y=2x 经过抛物线的顶点M.已知该抛物线的对称轴为直线x=2,交x 轴于点B.(1)求a,b 的值;(2)P 是第一象限内抛物线上的一点,且在对称轴的右侧,连接OP ,BP .设点P 的横坐标为m,△OBP 的面积为S,记K=S K,求K 关于m 的函数表达式及K 的范围.解析 (1)将x=2代入y=2x,得y=4,∴M(2,4),由题意得 a=-1,b=4(2)如图,过点P 作PH ⊥x 轴于点H,∵点P 的横坐标为m,抛物线的解析式为y=-x 2+4x,∴PH=-m 2+4m.∵B(2,0),∴OB=2,∵S=21OB ·PH=21×2×(-m2+4m)=-m2+4m, ∴K=m S =-m+4, ∴K 随着m 的增大而减小.易得A(4,0),又M(2,4),∴2<m<4.∴0<K<2.6.(2019温州,21,10分)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=-12x ²+2x+6的图象交x 轴于点A,B(点A 在点B 的左侧).(1)求点A,B 的坐标,并根据该函数图象写出y ≥0时x 的取值范围;(2)把点B 向上平移m 个单位得点B 1.若点B 1向左平移n 个单位,将与该二次函数图象上的点B 2重合;若点B 1向左平移(n+6)个单位,将与该二次函数图象上的点B 3重合.已知m>0,n>0,求m,n 的值.解析 (1)令y=0,则-21x 2+2x+6=0, ∴x 1=-2,x 2=6,∴A(-2,0),B(6,0).由函数图象得,当y ≥0时,-2≤x ≤6.(2)由题意得B 1(6,m),∴B 2(6-n,m),B3(-n,m),函数图象的对称轴为直线x=2.∵点B2,B3在二次函数图象上且纵坐标相同,∴()26n n -+-=2,∴n=1, ∴m=-21×(-1)2+2×(-1)+6=27, ∴m,n 的值分别为27,1.考点三 二次函数综合1.(2015金华,8,3分)图2是图1中拱形大桥的示意图,桥拱与桥面的交点为O,B,以点O 为原点,水平直线OB 为x 轴,建立平面直角坐标系,桥拱可以近似看成抛物线y=-4001(x-80)2+16,桥拱与桥墩AC 的交点C 恰好在水面,有AC ⊥x 轴.若OA=10米,则桥面离水面的高度AC 为 ( )A.16409米B.417米C.16407米D.415米答案 B 把x=-10代入y=-4001(x-80)2+16得,y=-417,故选B 2. (2016衢州,15,4分)某农场拟建三间长方形种牛饲养室,饲养室的一面靠墙(墙长50 m),中间用两道墙隔开(如图).已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48 m,则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为_______ m 2.答案 144解析 如图,设总占地面积为S m2,CD 的长度为x m,由题意知AB=CD=EF=GH=x m,∴BH=(48-4x)m,易知0<x<12,∴S=AB ·BH=x(48-4x)=-4(x-6)2+144,∴当x=6时,S 取得最大值,最大值为144.3.(2017温州,16,5分)小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头(如图1).完全开启后,水流路线呈抛物线,把手端点A 、出水口B 和落水点C 恰好在同一直线上,点A 到出水管BD 的距离为 12 cm,洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示,现用高10.2 cm 的圆柱形水杯去接水,若水流所在抛物线经过点D 和杯子上底面中心E,则点E 到洗手盆内侧的距离EH 为_______ cm.答案 24-82解析 如图所示,建立直角坐标系,过A 作AG ⊥OC 于G,交BD 于Q,过M 作MP ⊥AG 于P ,由题可得,AQ=12,PQ=MD=6,故AP=6,AG=36, 在Rt △APM 中,MP=22AP AM +=8,故DQ=OG=MP=8,∴BQ=12-8=4,由BQ ∥CG 可得,△ABQ ∽△ACG,∴CG BQ =AG AQ ,即CG 4=3612, ∴CG=12,OC=12+8=20,∴C(20,0),∵水流所在抛物线经过点D(0,24),∴可设抛物线为y=ax 2+bx+24,把C(20,0),B(12,24)代入抛物线解析式,可得 解得 a=203-,b=59∴抛物线的解析式为y=-203-x 2+59x+24, 又∵点E 的纵坐标为10.2,∴令y=10.2,则10.2=-203-x 2+59x+24, 解得x1=6+82,x2=6-82(舍去),∴点E 的横坐标为6+82,又∵ON=30,∴EH=30-(6+82)=24-82.即点E 到洗手盆内侧的距离EH 为(24-82)cm.巩固练习一．选择题1.(2019温州龙湾一模,5)二次函数y=ax 2-4x+4图象的顶点在x 轴上,则a 的值是 ( )A.1B.-1C.4D.-42.(2017杭州拱墅二模,9)已知某二次函数,当自变量x 满足0≤x ≤4时,函数值y 满足0≤y ≤2,则这个函数不可能是 ( ) A.y=21(x-2)2 B.y=x 2-4x+2 C.y=-21(x-2)2+2 D.y=-41x 2+x+1 3.(2019杭州桐庐一模)已知二次函数y=ax 2+(a+2)x-1(a 为常数,且a ≠0), ( )A.若a>0,则x<-1时,y 随x 的增大而增大B.若a>0,则x<-1时,y 随x 的增大而减小C.若a<0,则x<-1时,y 随x 的增大而增大D.若a<0,则x<-1时,y 随x 的增大而减小4.(2017温州联考,10)抛物线y=x 2+x-2与x 轴交于A 、B 两点,A 点在B 点左侧,与y 轴交于点C,若点E 在x 轴上,点P 在抛物线上,且以A 、C 、E 、P 为顶点的四边形是平行四边形,则符合条件的点E 有 ( )A.1个B.2个C.3个D.4个5.(2018江干二模,10)对于二次函数y=ax 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 221x(a<0),下列说法正确的个数是 ( ) ①对于任何满足条件的a,该二次函数的图象经过定点(2,1)和(0,0);②若该函数图象的对称轴为直线x=x0,则必有1<x0<2;③当x ≥0时,y 随x 的增大而增大;④若P(4,y 1),Q(4+m,y 2)(m>0)是函数图象上的两点,如果y 1>y 2总成立,则a ≤-121-. A.1 B.2 C.3 D.4二.填空题6.(2018杭州滨口二模)已知点A(4,4)与点B 是二次函数y=ax 2+bx+3(a ≠0)图象上的点,点B 的横坐标是2,到拋物线对称轴的距离为d,其中0<d ≤1,则a 的取值范围是____________ .7.如图,若抛物线y=ax 2+bx+c 上的P(4,0),Q 两点关于它的对称轴x=1对称,则Q 点的坐标为________ .8.如图,直线y=mx+n 与抛物线y=ax 2+bx+c 交于A(-1,p),B(4,q)两点,则关于x 的不等式 mx+n>ax 2+bx+c 的解集是________ .9.如图是一款抛物线型落地灯的示意图.防滑螺母C 为抛物线支架的最高点,灯罩D 距离地面1.86 m,灯柱AB 及支架的相关数据如图所示.若茶几摆放在灯罩的正下方,则茶几到灯柱的距离AE 为_______m.三.解答题10.(2018滨江二模)已知关于x 的方程kx 2-(2k-1)x+k+1=0有两个不相等的实数根.(1)求k 的取值范围;(2)亮亮在通过变化k 的值研究二次函数y=kx 2-(2k-1)x+k+1的图象时发现,函数图象都经过点A(1,a),若函数y=x+b+2的图象也经过点A,求b 的值.11.(2019温州洞头二模,23)如图,对称轴为直线x=23的抛物线y=ax 2+b+c 过点A(4,0),B(0,4),点P 为抛物线上一动点,直线OP 交抛物线的对称轴于点C,与抛物线的另一个交点为点D.(1)填空:抛物线的函数表达式为___________ ;(2)若点P 在第一象限,且CP=CO,求点D 的坐标;(3)连接BD,BP ,若POB DOB S S △△=21,求点P 的横坐标.12.某手机制造厂实验室对一种新型快充电池进行实验,充电时电池的电量y(%)是充电时间x(分钟)的一次函数,其中y≤100.已知充电前电量为0(%),测得充电10分钟后电量达到100,充满电后手机马上开始连续工作,工作阶段电池电量y(%)是工作时间x(分钟)的二次函数,如图所示,A是该二次函数图象的顶点.又测得充满电后连续工作了40分钟,这时电量降为20(%),厂商规定手机充电时不能工作,电量小于10(%)时手机部分功能将被限制,不能正常工作.(1)求充电时和充电后使用阶段y关于x的函数表达式(不用写出x的取值范围);(2)为获得更多实验数据,实验室计划在首次充满电并使用40分钟后停止工作再次充电,充电6分钟后再次工作,假定所有的实验条件不变,请问第二次工作的时间是多少分钟(电量到10(%)就停止工作)?13.(2018杭州下沙一模)已知函数y1=kx2-(2k+1)x+(k+1)(k为实数,且k≠0).(1)求证:无论k为何值,该函数图象与x轴总有两个公共点;(2)若一次函数y2=(k-1)x+2k-1的图象与y1的图象经过x轴上的同一点,求k的值;(3)对于任意非零实数k,当0<x<3时,y随x的增大而减小,求k的取值范围.14.(2018杭州上城模拟)在平面直角坐标系中,设二次函数y1=(k+1)x2-(k+1)x+2(其中k≠-1).(1)若函数y1的图象经过点(2,8),求函数y1的表达式;(2)将函数y1的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位,得到函数y2的图象.①求证:若函数y2有最大值,则最大值为正数,若函数y2有最小值,则最小值为负数;②若一次函数y3=(k+1)x+k+1(k>-1),试写出三条与系数k无关的y2、y3两个函数共有的结论。
2021届中考数学专题复习训练——二次函数 专题2.2函数动点图象问题
函数图象解题思路起点：动点从何处出发，何时出发，何速度运动，运动方向是什么，形成的是何图形？起点有没有意义？点运动的路程（边长）中间点：分阶段运动，中间的位置是什么？终点：何时何地结束运动，停止时是否有先后？特殊点：运动过程中特殊的位置。
类型一、实际问题【经典例题1】已知A ，B 两地相距120千米，甲、乙两人沿同一条公路从A 地出发到B 地，乙骑自行车，甲骑摩托车，图中DE ，OC 分别表示甲、乙离开A 地的路程s （单位：千米）与时间t （单位：小时）的函数关系的图象，设在这个过程中，甲、乙两人相距y （单位：千米），则y 关于t 的函数图象是（ ）A.B. C. D.【解析】 由题意和图象可得，乙到达B 地时甲距A 地120km ，开始时两人的距离为0； 甲的速度是：120÷(3−1)=60km/h ，乙的速度是：80÷3=380km/h ，即乙出发1小时后两人距离为380km ；设乙出发后被甲追上的时间为x h ，则60(x −1)=380x ，得x =1.8，即乙出发后被甲追上的时间为1.8h.所以符合题意的函数图象只有选项B.故选：B.练习1-1甲、乙两位同学进行长跑训练，甲和乙所跑的路程S （单位：米）与所用时间t （单位：秒）之间的函数图象分别为线段OA 和折线OBCD ，则下列说法正确的是（ ）A.两人从起跑线同时出发，同时到达终点B.跑步过程中，两人相遇一次C.起跑后160秒时，甲、乙两人相距最远D.乙在跑前300米时，速度最慢练习1-2小明在书上看到了一个实验：如图，一个盛了水的圆柱形容器内，有一个顶端拴了一根细绳的实心铁球，将铁球从水面下沿竖直方向慢慢地匀速向上拉动．小明将此实验进行了改进，他把实心铁球换成了材质相同的别的物体，记录实验时间t 以及容器内水面的高度h ，并画出表示h 与t 的函数关系的大致图象，如下图所示．小明选择的物体可能是（ ）A．B．C．D．练习1-3如图，在一个盛水的圆柱形容器的水面以下，有一个用细线吊着的下端开了一个很小的孔的充满水的薄壁小球，当慢慢地匀速将小球从水下向水面上拉动时，圆柱形容器内水面的高度与时间的函数图象大致是（）类型二：几何动态①动点图形面积【经典例题2】如图，在等腰△ABC中，AB=AC=4cm，△B=30°，点P从点B 出发，以3cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA﹣AC方向运动到点C停止，若△BPQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（）A. B. C. D.【解析】作AH ⊥BC 于H ，∵AB=AC=4cm ，∴BH=CH ，∵∠B=30°，∴AH=12AB=2，BH=3AH=23，∴BC=2BH=43，∵点P 运动的速度为3m/s ，Q 点运动的速度为1cm/s ，∴点P 从B 点运动到C 需4s ，Q 点运动到C 需8s ，当0△x △4时，作QD ⊥BC 于D ，如图1，BQ=x ，BP=3x ，在Rt △BDQ 中，DQ=21BQ=21x ， ∴y=21⋅21x ⋅3x =43x 2，当4<x △8时，作QD ⊥BC 于D ，如图2，CQ=8−x ，BP=43在Rt △BDQ 中，DQ=21CQ=21(8−x )，∴y=21⋅21(8−x )⋅43=−3+83， 综上所述，⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤=)84(383)40(432x x x x y ，，，.故选D.练习2-1四边形ABCD 为直角梯形，CD△AB ，CB△AB 且CD=BC=21AB ，若直线l △AB ，直线l 截这个梯形所得的位于此直线左方的图形面积为y ，点A 到直线L 的距离为x ，则y 与x 关系的大致图象为（ ）A.B. C. D.练习2-2如图，四边形ABCD 是矩形，AB=8，BC=4，动点P 以每秒2个单位的速度从点A 沿线段AB 向B 点运动，同时动点Q 以每秒3个单位的速度从点B 出发沿B −C −D 的方向运动，当点Q 到达点D 时P 、Q 同时停止运动，若记△PQA 的面积为y ，运动时间为x ，则下列图象中能大致表示y 与x 之间函数关系图象的是( )练习2-3如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB的中点，点P从点E出发，沿E→A→D→C移动至终点C．设P点经过的路径长为x，△CPE的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是（）A. B. C. D.练习2-4如图，四边形ABCD为正方形，若AB=4，E是AD边上一点（点E与点A、D不重合），BE的中垂线交AB于M，交DC于N，设AE=x，则图中阴影部分的面积S与x的大致图象是（）A. B. C. D.练习2-5如图，正方形ABCD中，AB=4cm，点E、F同时从C点出发，以1cm/s 的速度分别沿CB﹣BA、CD﹣DA运动，到点A时停止运动．设运动时间为t （s），△AEF的面积为S（cm2），则S（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（）练习2-6如图，在△ABCD中，AB=6，BC=10，AB△AC，点P从点B出发沿着B→A→C的路径运动，同时点Q从点A出发沿着A→C→D的路径以相同的速度运动，当点P到达点C时，点Q随之停止运动，设点P运动的路程为x，y=PQ2，下列图象中大致反映y与x之间的函数关系的是（）A．B．C．D．练习2-7如图，在平面直角坐标系x Oy中，A(2，0)，B(0，2)，点M在线段AB 上，记MO+MP最小值的平方为s，当点P沿x轴正向从点O运动到点A时(设点P的横坐标为x)，s关于x的函数图象大致为（）A. B. C. D.练习2-8木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是（）A. B. C. D.练习2-9数学课上，老师提出一个问题：如图△，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，1)，点B是x轴正半轴上一动点，以AB为边作等腰直角三角形ABC，使△BAC=90°，点C在第一象限，设点B的横坐标为x，设……为y，y与x之间的函数图象如图△所示，题中用“……”表示的缺失的条件应补为( )A. 点C的横坐标B. 点C的纵坐标C. △ABC的周长D. △ABC的面积练习2-10如图，在平面直角坐标系x Oy中，以点A(2，3)为顶点作一直角∠PAQ，使其两边分别与x轴，y轴的正半轴交于点P，Q.连接PQ，过点A作AH⊥PQ 于点H.设点P的横坐标为x，AH的长为y，则下列图象中，能表示y与x函数关系的图象大致是（）.②动点图形边长【经典例题3】如图△，在矩形ABCD中，AB<AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动.设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图△所示，则AD边的长为( )A. 3B. 4C. 5D. 6【解析】当P 点在AB 上运动时，△AOP 面积逐渐增大，当P 点到达B 点时，△AOP 面积最大为3． ∴21AB •21=3，即AB •BC=12． 当P 点在BC 上运动时，△AOP 面积逐渐减小，当P 点到达C 点时，△AOP 面积为0，此时结合图象可知P 点运动路径长为7，∴AB+BC=7．则BC=7-AB ，代入AB •BC=12，得AB 2-7AB+12=0，解得AB=4或3， 因为AB<AD ，即AB<BC ，所以AB=3，BC=4．故选：B ．练习3-1如图1，动点P 从菱形ABCD 的顶点A 出发，沿以1cm/s 的速度运动到点D ，设点P 的运动时间为x （s ），△PAB 的面积为y(cm 2)，表示y 与x 的函数关系的图象如图2所示，则a 的值为（ ） A.25 B.5 C. 2 D.52练习3-2如如图△，菱形ABCD中，∠B=60°，动点P以每秒1个单位的速度自点A出发沿线段AB运动到点B，同时动点Q以每秒2个单位的速度自点B--运动到点D.图△是点P、Q运动时，△BPQ的面积S随时出发沿折线B C D间t变化关系图象，则a的值是（）A.2B.2.5C.3D.练习3-3如如图1，四边形ABCD中，AB△CD，△B＝90°，AC＝AD．动点P从点B出发沿折线B﹣A﹣D﹣C方向以1单位/秒的速度运动，在整个运动过程中，△BCP的面积S与运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，则AD等于（）A．10B．C．8D．练习3-4如如图1，点P 从ABC △的顶点B 出发，沿B C A →→匀速运动到点A ，图2是点P 运动时，线段BP 的长度y 随时间x 变化的关系图象，其中M 为曲线部分的最低点，则ABC △的面积是______．练习3-5如图1，在矩形ABCD 中，动点E 从A 出发，沿AB →BC 方向运动，当点E 到达点C 时停止运动，过点E 做FE ⊥AE ，交CD 于F 点，设点E 运动路程为x ，FC=y ，如图2所表示的是y 与x 的函数关系的大致图象，当点E 在BC 上运动时，FC 的最大长度是52，则矩形ABCD 的面积是() A.523 B. 5 C. 6 D. 425【经典例题4——圆】如图，在平面直角坐标系x Oy中，以(3，0)为圆心作△P，△P与x轴交于A. B，与y轴交于点C(0，2)，Q为△P上不同于A. B的任意一点，连接QA、QB，过P点分别作PE△QA于E，PF△QB于F. 设点Q的横坐标为x，PE2+PF2=y.当Q 点在△P上顺时针从点A运动到点B的过程中，下列图象中能表示y与x的函数关系的部分图象是( )【解析】△P(3，0)，C(0，2)，△PC2=13.△AC是直径，△△Q=90°.又PE△QA于E，PF△QB于F，△四边形PEQF是矩形。
中考数学总复习课时训练(专题(13)二次函数的图象与性质(一)附详细解析参考答案
课时训练(十三)二次函数的图象与性质(一)[限时:分钟]夯实基础1.抛物线y=3(x-2)2+5的顶点坐标是()A.(-2,5)B.(-2,-5)C.(2,5)D.(2,-5)2.下列二次函数中,图象以直线x=2为对称轴,且经过点(0,1)的是()A.y=(x-2)2+1B.y=(x+2)2+1C.y=(x-2)2-3D.y=(x+2)2-33.[2018·河西区结课考]已知函数y=(x-1)2,下列结论正确的是()A.当x>0时,y随x的增大而减小B.当x<0时,y随x的增大而增大C.当x<1时,y随x的增大而减小D.当x<-1时,y随x的增大而增大4.[2021·绍兴]关于二次函数y=2(x-4)2+6的最大值或最小值,下列说法正确的是()A.有最大值4B.有最小值4C.有最大值6D.有最小值65.[2021·上海]将函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象向下平移两个单位,以下说法错误的是()A.开口方向不变B.对称轴不变C.y随x的变化情况不变D.与y轴的交点不变6.[2021·泰安]将抛物线y=-x2-2x+3的图象向右平移1个单位,再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过点()A.(-2,2)B.(-1,1)C.(0,6)D.(1,-3)7.[2021·陕西]下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值:x…-2 0 1 3 …y… 6 -4 -6 -4 …下列各选项中,正确的是()A.这个函数的图象开口向下B.这个函数的图象与x轴无交点C.这个函数的最小值小于-6D.当x>1时,y的值随x值的增大而增大8.对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于(1,0),(3,0)两点,则它的对称轴为.9.已知A(0,3),B(2,3)是抛物线y=-x2+bx+c上两点,该抛物线的顶点坐标是.10.[2018·河西区一模]请写出一个二次函数的解析式,满足其图象过点(1,0),且与x轴有两个不同的交点:.11.[2021·广东]把抛物线y=2x2+1向左平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到的抛物线的解析式为.12.(1)已知二次函数y=ax2+bx+1的图象经过点(1,3)和(3,-5),求a,b的值.(2)已知二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为1和2.求这个二次函数的表达式.13.[2021·宁波]如图K13-1,二次函数y=(x-1)(x-a )(a 为常数)的图象的对称轴为直线x=2. (1)求a 的值;(2)向下平移该二次函数的图象,使其经过原点,求平移后图象所对应的二次函数的表达式.图K13-1能力提升14.[2019·河西区二模]已知抛物线y=x 2+2mx-3m (m 是常数),且无论m 取何值,该抛物线都经过某定点H ,则点H 的坐标为 ( ) A .-32,1B .-32,-1C .32,94D .-32,9415.[2021·福建]二次函数y=ax 2-2ax+c (a>0)的图象过A (-3,y 1),B (-1,y 2),C (2,y 3),D (4,y 4)四个点,下列说法一定正确的是( ) A .若y 1y 2>0,则y 3y 4>0 B .若y 1y 4>0,则y 2y 3>0 C .若y 2y 4<0,则y 1y 3<0D .若y 3y 4<0,则y 1y 2<016.如图K13-2,抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴相交于点A ,B (m+2,0),与y 轴相交于点C ,点D 在该抛物线上,坐标为(m ,c ),则点A 的坐标是 .图K13-217.[2021·北京]在平面直角坐标系xOy 中,点(1,m )和点(3,n )在抛物线y=ax 2+bx (a>0)上. (1)若m=3,n=15,求该抛物线的对称轴.(2)已知点(-1,y 1),(2,y 2),(4,y 3)在该抛物线上.若mn<0,比较y 1,y 2,y 3的大小,并说明理由.【参考答案】1.C2.C3.C4.D5.D [解析] 将二次函数图象向下平移,不改变开口方向,故A 正确; 将二次函数图象向下平移,不改变对称轴,故B 正确; 将二次函数图象向下平移,不改变函数的增减性,故C 正确;抛物线y=ax 2+bx+c (a ≠0)与y 轴的交点坐标为(0,c ),将二次函数的图象向下平移两个单位,与y 轴的交点坐标为(0,c-2),改变,故D 错误.6.B [解析] y=-x 2-2x+3=-(x 2+2x )+3=-[(x+1)2-1]+3=-(x+1)2+4, ∵将抛物线y=-x 2-2x+3向右平移1个单位,再向下平移2个单位, ∴得到的抛物线的解析式为y=-x 2+2.将选项中的四个坐标代入可知,只有B 选项中的坐标符合题意.7.C [解析] 设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c ,由题知{6=a ×(-2)2+b ×(-2)+c ,-4=c ,-6=a +b +c ,解得{a =1,b =-3,c =-4,∴二次函数的解析式为y=x 2-3x-4=(x-4)(x+1)=x-322-254,∴函数图象开口向上,∴A 错误;∵图象与x 轴的交点为(4,0)和(-1,0),∴B 错误;∵当x=32时,函数有最小值为-254,∴C 正确;∵函数图象的对称轴为直线x=32,根据图象可知当x>32时,y 的值随x 值的增大而增大,∴D 错误. 8.直线x=2 9.(1,4)10.y=x 2-3x+2(答案不唯一) [解析] ∵抛物线过点(1,0),∴设抛物线的解析式为y=a (x-1)(x-m ). ∵抛物线与x 轴有两个不同的交点,∴m ≠1,取a=1,m=2,则抛物线的解析式为y=(x-1)(x-2)=x 2-3x+2. 11.y=2x 2+4x12.解:(1)将(1,3)和(3,-5)分别代入y=ax 2+bx+1, 得:{a +b +1=3,9a +3b +1=-5,解得:{a =-2,b =4.∴a 的值为-2,b 的值为4.(2)由题意得,二次函数的图象经过点(1,0)和(2,0), 将(1,0)和(2,0)分别代入y=-x 2+bx+c , 得{-1+b +c =0,-4+2b +c =0,解得{b =3,c =-2, ∴这个二次函数的表达式为y=-x 2+3x-2.13.解:(1)由二次函数y=(x-1)(x-a )(a 为常数)知,该抛物线与x 轴的交点坐标是(1,0)和(a ,0). ∵对称轴为直线x=2,∴1+a 2=2.解得a=3.(2)由(1)知a=3,则该抛物线解析式是:y=x 2-4x+3,由抛物线向下平移3个单位后经过原点,得平移后图象所对应的二次函数的表达式是y=x 2-4x. 14.C [解析] 由y=x 2+2mx-3m=x 2+m (2x-3)可知当x=32时,无论m 取何值y 都等于94,∴点H 的坐标为32,94.15.C [解析] ∵y=ax 2-2ax+c=a (x-1)2-a+c ,∴抛物线的对称轴为直线x=1,∴四点中距离对称轴远近关系从远到近排列为:A ,D ,B ,C ,当y 2y 4<0时,一定是y 2<0,y 4>0,根据对称性判断y 3<0,y 1>0,∴y 1y 3<0,因此本题选C .16.(-2,0) [解析] 由C (0,c ),D (m ,c ),得函数图象的对称轴是直线x=m2,设A 点坐标为(x ,0),由A ,B 关于对称轴x=m2对称可得x+m+22=m 2,解得x=-2,即A 点坐标为(-2,0).17.解:(1)∵m=3,n=15, ∴点(1,3),(3,15)在抛物线上,将(1,3),(3,15)的坐标代入y=ax 2+bx 得: {3=a +b ,15=9a +3b ,解得{a =1,b =2,∴y=x 2+2x=(x+1)2-1, ∴抛物线对称轴为直线x=-1.(2)由题意得:抛物线y=ax 2+bx (a>0)始终过定点(0,0),则由mn<0可得:①当m>0,n<0时,由抛物线y=ax 2+bx (a>0)始终过定点(0,0)可得此时的抛物线开口向下,即a<0,与a>0矛盾; ②当m<0,n>0时,∵抛物线y=ax 2+bx (a>0)始终过定点(0,0), ∴此时抛物线的对称轴的范围为12<-b2a <32, ∵点(-1,y 1),(2,y 2),(4,y 3)在该抛物线上,∴它们离抛物线对称轴的距离的范围分别为32<-b2a-(-1)<52,12<2--b2a<32,52<4--b2a<72,∵a>0,开口向上,∴由抛物线的性质可知离对称轴越近y 越小, ∴y 2<y 1<y 3.。