初中数学教材变式题

变式题
1、原题： 计算：2)3
2(-．（9年级上册P5第2（4）题）
变式1 填空： 9
4= ，4
1
2= ．
变式2 当x 时，式子
2
31-x 在实数范围内有意义？
变式3 若23-n 是整数，求正整数n 的值（至少写出3个）． 变式4 是否存在正整数n ，使得
2
31+n 是有理数？若存在，求出一个n 的值；若不存
在，说明理由．
2、原题： 四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点，∠AEF = 90︒，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ．求证：AE = EF ．（提示：取AB 的中点G ，连结EG ）（8年级下册P122页第15题）
变式1 连结AC ，则点A 、E 、C 、F 四点在一个圆上（利用圆周角的性质，结论AE = EF 立即自明）．
变式2 连结AH ，则AH = AB + CH ，∠BAE =∠EAH ．
变式3 如图，设E 是边BC 上的任意一点，① AE ⊥EF ，② CF 是正方形外角的平分线，③ AE = EF ．则可得 ①② ⇒ ③，①③ ⇒ ②，②③ ⇒ ①，共三个命题，不难证明它们都是正确的．
变式4 如图，E 是正方形ABCD 中BC 边上的任意一点，连结AE ，过E 作EF ⊥AE 交CD 于H ，设∠BAE = α，∠EAH = β．求tan α + tan β 的值．
变式5 如图，正三角形ABC 中，E 是BC 边（不含端点B 、C ）上任意一点，D 是BC 延长线上一点，F 是∠ACD 的平分线上一点．（1）若∠AEF = 60°，求证：AE = EF ；（2）若将题中的“正三角形ABC ”改为“正多边形A n B n C n D n …X n ”，其它条件不变，请你猜想：当∠A n E n F n
= °时，结论A n E n = E n F n 仍然成立？（直接写出答案，不需要证明）
︒⨯-1802
n
n 变式6 如图，矩形ABCD 中（AB ＜BC ），E 是边BC 上的动点（不包括端点），作∠AEF = 90︒，使EF 交矩形的外角平分线CF 于点F ．
（1）试问边BC 上是否存在点E ，使得EF = AE ？说明理由；
（2）试探究点E 在边BC 的何处时，使得1=-AB
BC
AE EF 成立？
E α β D
A B C H
H C E D A B F F
D B
E C A A
B C E F
D
3、原题：如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的边OC 在x 轴上，边OA 在y 轴上，点D 在边OC 上，将△DBC 沿BD 所在的直线翻折，使点C 落在对角线OB 上的点E 处，直线BD 交y 轴于点F ，线段OA 的长是04822
=-+x x 的一个根，且
5
3=
∠ABO Sin . 请解答下列问题： （1）求点B 的坐标；
（2）求直线BD 的解析式； （3）在x 轴上是否存在一点P ，使△APO 与△AOB 相似？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

变式1：在平面内是否存在两点M 、N （点M 在点N 的左侧），使以O 、B 、M 、N 为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。

变式2：在直线OB 上是否存在点M ，使△AOM 为等腰三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。

变式3：若点N 在平面内，在直线OB 上是否存在点M ，使以O 、A 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。

变式4：点M 在直线AB 上，点N 在直线OB 上，是否存在这样的点M 、N ，使以B 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。

4、原题：八年级上第十一章全等三角形
214-P 如图，AB=CD ，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，CE=BF ，求证：AE=DF
y
A B O
C
x
y
A
B
O
C
x
y
A B
O
C
D x
y
A
B O E C
D F
C
D F
E
A
B
变式：如图，AB=CD ，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，CE=BF ，连结AD 交EF 于点O ，猜想点O 为哪些线段的中点？选择一种结论证明。

5、原题：八年级上第十二章轴对称 原题656-P 如图，点D 、E 在△ABC 的边BC 上，AB=AC ，AD=AE,求
证：BD=CE
变式：在△ABC 中，AB=AC ，要使AD=AE ，需要添加一个条件是 。

6.原题：腰长为5，一条高为4的等腰三角形的底边长为 . 变式1：底边长为5，一条高为4的等腰三角形的腰长为 . 变式2：腰长为5，一条中线长为4的等腰三角形的底边长为 . 变式3：腰长为5，腰上的高为4的等腰三角形的底边长为 . 变式4：等腰三角形一边上的高线等于这一边的一半，则此等腰三角形的底角 . 7、原题： 在△ABC 中，AB=2错误!未找到引用源。

，AC=4，BC=2，以AB 为边向△ABC 外部作△ABD ，使△ABD 为等腰直角三角形，则CD 的长 . 变式1：在△ABC 中，AB=2错误!未找到引用源。

，AC=4，BC=2，以AB 为边向△ABC 外部作矩形ABDE,且使矩形的长边是短边的2倍，则CD 的长 . 变式2：在△ABC 中，AB=2错误!未找到引用源。

，AC=4，BC=2，以AB 为边向△ABC 外部作△ABD ，使∠ABD=90°，使它的长的直角边与短的直角边之比为3:2，则CD 的长 .
变式3：Rt △ABC 中，∠BAC=90，AB=AC=2，以BC 为边，在△ABC 外部作等腰直角△BCD ，则线段AD 的长为 .
8、原题： 如图，Rt △ABC 中，CD 是斜边上的高，△ACD 和△CBD 都和△ABC 相似吗？证明你的结论．（9年级下册P49页第2题）
变式1 线段乘积式：（1）AC · BC = AB · CD ；（2）AC 2 = AD · AB ；（3）BC 2
= BD · AB ；
（4）CD 2
= AD · DB ．
变式2 面积关系式：（1）S △ACD :S △BCD = AD :DB ；（2）（S △ACD ）2
= S △ABC · S △
变式3 倒数关系，有
2
221
11BC AC CD +
=．
9、原题：任意画一个四边形ABCD ，四边形的四边中点分别为E 、F 、G 、H ，连接EF 、FG 、GH 、HE ，并量出它们的长，你发现了什么？量出图中新四边形各角的度数，你又发现了什么？多画几个四边形试试，你能得到什么猜想？ （7年级上册P155第14题） 变式1 EF 、HG 与AC 的长度有什么关系？ 变式2 FG 、EH 与BD 的长度有什么关系？
A B E F D
C O A
B D
E C
变式3 四边形ABCD 与EFGH 的面积有什么关系？
变式4 将四边形ABCD 沿EFGHE 剪开后，试一试，怎样拼成一个平行四边形？
10、原题：计算：()()()()()()c a a b b c
a b b c b c c a c a a b ．（8年级下册P24第15题）
变式1 设a －b = m ，b －c = n ，c －a = p ，化简：pm
n
np m mn p +
+． 变式2 化简：
a
b b
c c a -+
-+-2
22． 11、原题： 解方程：)2)(1(3
11+-=
--x x x x ．（8年级下册P28例2） 变式1 解方程：4
3
1212
-=---x x x ． （解为x = 1） 变式2 解方程：211052521=--+x x x ． （解为x = 1或82
227
-
=x ）。