解析几何部分第二轮复习建议
解析几何部分第二轮复习建议北大附中刘福合
二、近几年高考解析几何命题特点及命题趋势
近几年高考解析几何命题特点：
1.题型稳定：近几年高考解析几何试题一直稳定在1（或2）个选择题，1个填空题，1个
解答题，分值在24-29分间.
2.注重覆盖，重点突出：《考试说明》中涉及到的解析几何知识点20多个，一般考察会在
10个以上，其中对直线、圆、圆锥曲线的考察一直是重点，往往通过对知识的重新组合命题，考察时既照顾到全面，更注重突出重点，对支撑数学知识体系的主干知识，考察时保证较高比例的同时保持必需的难度。近几年的考察集中在下列类型：
①与概念相关问题（倾斜角、斜率、距离、平行、垂直、线性规划、圆锥曲线相关概念等）。
②求曲线方程和轨迹（题型确定，类型未定）；
③直线与圆锥曲线（包括圆）的位置关系问题；
④与曲线有关的最（极值）值问题；
⑤与曲线有关的几何证明问题（包括垂直、平行、过定点、定值等）；
⑥探求曲线方程中几何量及参数的数量特征（包括范围、定值等）.
3.能力立意，渗透数学思想：如11年19题，将直线、圆、椭圆结合起来，考察离心率、
弦长、函数最值等知识，考察学生分析、解决问题的能力、推理论证能力、抽象概括能力，考察了数形结合、函数与方程等数学思想.
4.题型力求新颖，大题位置固定，小题位置不定：这几年的命题明显重视知识间的联系（包
括解析几何内部间的联系以及与向量、函数、方程、不等式等的联系），解答题一般在倒数第二题位置，但填空或选择时有变化.
三、最近三年分值及考点分布情况
四、复习建议
1.进一步强化概念：提高学生应用定义解题的意识.
2.强化数形结合：解析几何的研究对象是曲线的方程和方程的曲线，核心是通过坐标系将曲线和方程联系起来，实现二者的双向转化.
3.加强基本方法，典型问题的训练：设而不求、整体代换、点差法这些基本方法必须熟练掌握，直线与曲线位置关系、定点、定值、范围等问题必须熟练解题套路.
4.突破运算关：直线与圆锥曲线的综合问题一直是高考的热点，解答的关键是坐标化，难点是代数运算和推理，以及参数的处理.
5.提高学生等价转化的能力：实现复杂问题简单化，陌生问题熟悉化.例如教给孩子一些常用的解答策略：①没有图形，不妨画个图形，以便直观思考；②“设—列—验”是求轨迹的通法；③消元转化为一元二次函数（方程），判别式，韦达定理，中点，弦长公式等要把握好；④多感悟“设—列—解”，设什么？坐标、方程、角、斜率、截距?列的前提是找关系，解就是转化、化简、变形，向目标靠拢；⑤紧扣题意，联系图形，数形结合；⑥一旦与自己熟悉的问题接轨立即入位.
6.指导学生对问题进行较深入的思考和横向联系(椭圆、双曲线、抛物线).
7.进一步强调表达的规范，解题步骤书写合理（如不进行对△的判断直接出现韦达定理的结果）.
8.根据本校的实际情况有针对性地设立专题（如定义、性质的应用，范围、最值问题，定点、定值问题，存在性问题等）.
解析几何题不但体现考试说明中对运算能力的要求，还很好体现个性品质要求：考生能以平和的心态参加考试，合理支配考试时间，以实事求是的科学态度解答试题，树立战胜困难的信心，体现锲而不舍的精神。 五、难点突破
1.参数范围、最值问题——创建不等式或函数关系，解不等式或求值域（熟悉常见函数类型值域求法，特别是2ax b
y cx dx e
+=
++或其倒数型）
2.定点、定值问题——恒成立问题（与参数无关）
3.存在性问题——设存在——推演——得结果或矛盾——下结论. 六、参考例题
1. 点P 在
22
11620
x y -=上，若19,PF =则2PF = .17 2. 抛物线2y ax =的准线方程是1y =，则a 的值为 （B ） A ．
14 B ．1
4
- C ．4 D ．-4 3.(山东07第21题)已知椭圆C 中心在原点、焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点的最大值为3，最小值为1．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）若直线l ：y=kx+m （k ≠0）与椭圆交于不同的两点A 、B （A 、B 不是左、右顶点），且以AB 为直径的圆经过椭圆的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．
解：(I)由题意设椭圆的标准方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>
3,1a c a c +=-=，2
2,1,3a c b === 22
1.43
x y ∴+=
(II)设1122(,),(,)A x y B x y ，由2214
3y kx m
x y =+??
?+=?
?得
222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，
22226416(34)(3)0m k k m ?=-+->，22340k m +->.
2121222
84(3)
,.3434mk m x x x x k k -+=-?=++
222
2
121212122
3(4)
()()().34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -?=+?+=+++=+
以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 1AD BD k k ?=-， 1212122
y y
x x ∴
?=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 222222
3(4)4(3)1640343434m k m mk
k k k
--+++=+++，2271640m mk k ++=， 解得1222,7k
m k m =-=-，且满足22340k m +->.
当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾； 当27k m
=-
时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0).7
综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2
(,0).7
4.(期末)已知焦点在x 轴上的椭圆C 过点(0,1)Q 为椭圆C 的左顶点.
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）已知过点6(,0)5
-的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点.
（ⅰ）若直线l 垂直于x 轴，求AQB ∠的大小;
（ⅱ）若直线l 与x 轴不垂直，是否存在直线l 使得QAB ?为等腰三角形？如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由.
解：（Ⅰ）设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b
+=>>，且222
a b c =+.
由题意可知：1b =
，
2
c a =. ………………………………………2分 所以2
4a =.
所以，椭圆C 的标准方程为2
214
x y +=. ……………………………………3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得(2,0)Q -.设1122(,),(,)A x y B x y . （ⅰ）当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为65
x =-
. 由226,514
x x y ?=-????+=?? 解得：6,545x y ?=-????=??或6,54.5x y ?=-????=-??
即64
64(,), (,)5555
A B ---（不妨设点A 在x 轴上方）.
………………………………………5分
则直线AQ 的斜率1AQ k =，直线BQ 的斜率1BQ k =-. 因为 1AQ BQ k k ?=-， 所以 AQ BQ ^.
所以 2
AQB π
∠=
. ………………………………………6分 （ⅱ）当直线l 与x 轴不垂直时，由题意可设直线AB 的方程为6
()(0)5
y k x k =+≠.
由226(),514
y k x x y ?
=+????+=??消去y 得：2222(25100)2401441000k x k x k +++-=. 因为 点6
(,0)5
-
在椭圆C 的内部，显然0?>. 21222
122240,25100144100.25100k x x k
k x x k ?+=-??+?-?=?+?
………………………………………8分 因为 1122(2,), (2,)QA x y QB x y =+=+，116
()5y k x =+，226()5
y k x =+， 所以 1212(2)(2)QA QB x x y y ?=+++
121266(2)(2)()()55
x x k x k x =++++?+ 2
221212636(1)(2)()4525
k x x k x x k =+++
+++ 222
2222144100624036(1)
(2)()402510052510025
k k k k k k k -=+++-++=++. 所以 QA QB ⊥.
所以 QAB ?为直角三角形. ………………………………………11分 假设存在直线l 使得QAB ?为等腰三角形，则QA
=取AB 的中点M ，连接QM ，则QM AB ^.
记点6
(,0)5
-为N .
另一方面，点M 的横坐标22
1222
12024225100520M x x k k x k k +==-=-++，
所以 点M 的纵坐标2
66()5520M M k y k x k =+
=+. 所以 222221016666(,)(,)520520520520k k k
QM NM
k k k k +??++++ 222
601320(520)
k k +=?+.
所以 QM 与NM 不垂直，矛盾.
所以 当直线l 与x 轴不垂直时，不存在直线l 使得QAB ?为等腰三角形.
………………………………………13分
5.已知抛物线方程为2
4 (0)y ax a =>，抛物线上有两个动点P 、Q 满足OP ⊥OQ （O 为坐标原点）.证明：直线PQ 过定点.
6.（江苏2010
7.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>过点(0,1)，且离心率为2.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）,A B 为椭圆C 的左右顶点，
直线:l x =x 轴交于点D ，点P 是椭圆C 上异于,A B 的动点，直线,AP BP 分别交直线l 于,E F 两点.证明：当点P 在椭圆C 上运动时，
||||DE DF ?恒为定值.
解：（Ⅰ）由题意可知，1b =，而
2
c a =且222a b c =+.
解得2a =，所以，椭圆的方程为2
21
4
x y +=. （Ⅱ）(2,0),(2,0)A B -.设00(,)P x
y ，022x -<<，
直线AP 的方程为00(2)2y y x x =++，令x =
02)2y y
x =+， 即00||
||2)|2|
y DE x =+；
直线BP 的方程为00(2)2y y x x =
--，令x =0
02)2
y y x =-，
即00||
||2)
|2|
y DF x =-；
0000||||||||2)2)|2||2|y y DE DF x x ?=?+-22
00
22
0044|4|4y y x x ==-- 而2
2
0014
x y +=，即220044y x =-，代入上式，
∴||||1DE DF ?=，所以||||DE DF ?为定值1.
8.已知椭圆C:22221(0)x y a b a b +=>>
的离心率为，长轴长为
4.设直线l 是圆O ：
224x y +=上动点00(,)P x y 处的切线，l 与椭圆C 交于不同的两点,A B .
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若P
点坐标为，求l 的直线方程； （Ⅲ）证明:∠AOB 的大小为定值.
解析：（Ⅰ）椭圆C 的方程22
1126
x y += (2)
分（Ⅱ）40x -=………………4分
（Ⅲ）点P 在圆224x y +=上， 当x 0≠0时,
圆在点()00,P x y 处的切线方程为()0
000
x y y x x y -=-
-，化简得004x x y y +=. 当x 0=0，切线为x=-2或x=2,满足上式，故切线方程为004x x y y +=………………6分 当x 0y 0=0时，切线斜率不存在或斜率为0，可得AOB ∠=2
π
………………7分 当x 0y 0≠0时,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)
由002
2
4212
x x y y x y +=??
+=?及224x y +=得，222000(4)1612160x x x x x +-+-=
20122012164x x x x ?>??-?=?+?……10分, 同理消去x 得0
2
012
2
012164x y y x ?>??-+?=?+?
………………12分
12120x x y y ∴+=………………13分 故AOB ∠=
2π
，定值
………………14分
9.过x 轴上动点A(a ,0)引抛物线y=x 2+1的两条切线AP 、AQ ，P 、Q 为切点.
（Ⅰ）若AP 、AQ 的斜率分别为12,k k ，求证：12k k ?为定值，并求出该定值； （Ⅱ）求证：直线PQ 恒过定点，并求出这个定点坐标； （Ⅲ）当
S APQ PQ
?取得最小值时，求AP AQ ?的值.
10.已知抛物线C ：y 2=x 和直线l ：y=kx+
4
3
,要使C 上存在关于l 对称的两点，求实数k 的取值范围.
11.在以O 为原点的直角坐标系中，点)3,4(-A 为OAB ?的直角顶点.已知||2||OA AB =，
且点B 的纵坐标大于零. （Ⅰ）求向量AB 的坐标；
（Ⅱ）求圆0262
2
=++-y y x x 关于直线OB 对称的圆的方程；
（Ⅲ）是否存在实数a ，使抛物线12
-=ax y 上总有关于直线OB 对称的两个点？若不
存在，说明理由：若存在，求a 的取值范围.
（1）设22||2||
100(,),,430,0
AB OA u v AB u v u v AB OA ?=?+=?=??-=?=???则由即得
66
,.(4,3),88u u OB OA AB u v v v ==-??=+=+-?
?==-??
或因为 所以v －3>0,得v =8,故AB =（6，8）.
（2）由OB =（10，5），得B （10，5），于是直线OB 方程：.2
1
x y =
由条件可知圆的标准方程为：(x －3)2+(y+1)2=10, 得圆心（3，－1），半径为10.设圆心（3，－1）关于直线OB 的对称点为（x ,y ）则
,31,2
3
102
1223
??
?==???????-=-+=-?-+y x x y y x 得故所求圆的方程为(x －1)2+(y －3)2=10. （3）设P (x 1,y 1), Q (x 2,y 2) 为抛物线上关于直线OB 对称两点，则
.23
,022544,02252,,2252,202222
22221221212
1212121>>-?-=?=-++
???????-=-=+???????-=--=+-+a a
a a a
a
x a x x x a a x x a
x x x x y
y y y x x 得于是由的两个相异实根为方程即得 故当2
3
>
a 时，抛物线y=ax 2－1上总有关于直线OB 对称的两点. 12.（2009山东）设椭圆E :22
221(0)x y a b a b
+=>>
过M N 两点，O 为坐标原点，
(I)求椭圆E 的方程；
(II)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B ,且OA OB ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由.
解析:(Ⅰ)因为椭圆E : 22
221(0)x y a b a b +=>>
过M N 两点,
所以2222421611a b a b ?+=????+=?? ,解得2211
8
114a b
?=????=?? ,所以2284a b ?=??=??.
椭圆E 的方程为22
184
x y +=
(Ⅱ)假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B ,且OA OB ⊥,设该圆的切线方程为y kx m =+解方程组22184y kx m x y =+??
?+=??得
222(12)4280k x kmx m +++-=,
则222222164(12)(28)8(84)0k m k m k m ?=-+-=-+>,即22840k m -+>.
1222
1224,1228.12km x x k m x x k ?
+=-??+∴?-?=?+?
,
2222222
2
2
12121212222
(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=
+++, 要使OA OB ⊥,需使12120x x y y +=,即222
2228801212m m k k k --+=++,
所以2
2
3880m k --=,所以22
38
08
m k -=≥
又22
840
k m
-+>,所以
2
2
2 38 m
m
?>
?
?
≥
??
,
所以m≥
或m≤,
因为直线y k x m
=+为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径
为22
2
2
2
8
,
38
13
1
8
m m
r r r
m
k
=====
-
+
+
所求的圆为22
8
3
x y
+=,
此时圆的切线y kx m
=+
都满足m
或m≤,
而当切线的斜率不存在时切线为x=与椭圆
22
1
84
x y
+=
的两个交点为
或(满足OA OB
⊥,
综上, 存在圆心在原点的圆22
8
3
x y
+=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OA OB
⊥.
因为
122
2
122
4
12
28
12
km
x x
k
m
x x
k
?
+=-
??+
?
-
?=
?+
?
,
所以
222
222
1212122222
4288(84) ()()4()4
1212(12)
km m k m
x x x x x x
k k k
--+
-=+-=--?=
+++
,
||
AB===
==
①当0
k≠
时||
AB
因为2
2
1
448
k
k
++≥所以
2
2
11
18
44
k
k
<≤
++
,
所以
2
2
32321
(1)12
1
3344
k
k
<+≤
++
,
||AB ≤k =时取”=”.
②当0k =时,||AB
③当AB 的斜率不存在时, 两个交点为或(,
所以此时||AB =
综上, |AB |||AB ≤≤: ||AB ∈ 13. 已知椭圆C ：22
22 1 (0,0)x y a b a b
+=>>的焦点在x 轴上，它的一个顶点B 与抛物线x 2=4y
的焦点重合，其离心率为双曲线x 2-y 2=3的离心率的倒数.
(1)求椭圆C 的方程;
(2)设F(-c,0)是椭圆的左焦点，点P 2,0a c ??
- ???
，过点P 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，
求△ABF 面积的最大值. 解：（1）因为抛物线x 2=4y 的焦点为(0,1),所以b=1. …………1分
又因为双曲线x 2-y 2=3，所以椭圆C ，…………2分
2
==，解得a 2=2, …………3分 所以椭圆C 的方程为2
2 1 2
x y +=…………4分 （2）由（1）知P （-2,0），可设直线l 的方程为：x=my-2, …………5分 代入椭圆方程整理得，（2+m 2）y 2-4my+2=0, …………6分 △=8m 2-16,依题△>0, …………7分 所以m 2>2. ………8分 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则 y 1+y 2=
242m m +, y 1y 2
=2
2
2m +,………9分 而S △ABF =S △ABF -S △PAF ………10分
=
211
||||2PF y y ?- =211
||2y y -
4
………13分
当且仅当m2=6即
m=(此时适合m2>2)时取得等号.
所以△ABF
面积的最大值为
4
.………14分
14.（北京2011 19题）已知椭圆G:
2
21
4
x
y
+=.过点（m,0）作圆x2+y2=1的切线l交椭圆G
于A，B两点.
（I）求椭圆G的焦点坐标和离心率；
（II）将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值. 解：（Ⅰ）略
（Ⅱ）由题意知，|m|≥1.
当m=1时，切线l的方程x=1，点A、B
的坐标分别为,1,
??
????
此时
当m=－1时，同理可得
|AB|=
当|m|>1时，设切线l的方程为y=k(x-m)
由
4
4
8
)
4
1(
.1
4
),
(
2
2
2
2
2
2
2=
-
+
-
+
?
?
?
?
?
=
+
-
=
m
k
mx
k
x
k
y
x
m
x
k
y
得
设A、B两点的坐标分别为
)
,
)(
,
(
2
2
1
1
y
x
y
x，则
222212
221414
4,418k m k x x k m
k x x +-=+=+
又由l 与圆.
1,11
||,1222222+==+=+k k m k km y x 即得
相切
所以
2
12212)()(||y y x x AB -+-=
]41)
44(4)41(64)[1(2
222242
k m k k m k k +--++=2
.
3
||342+=
m m
由于当m =±3时，
所以(][)2|
| ,11,3
m AB m m =
∈-∞-+∞+.
因为||2||||
AB m m =
=≤+
且当m =|AB|=2，所以|AB|的最大值为2.
15.（辽宁理20）如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ． （I ）设1
2
e =
，求|BC|与|AD|的比值； （II ）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由． 解：（I ）因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设
22222
122242:1,:1,(0)
x y b y x C C a b a b a a +=+=>>
设直线l :x=t (|t| ((A t B t ………………4分 当1 2 e = 时，b a =,分别用y A 、y B 表示A ，B 的纵坐标，可知 222||3 ||:||. 2||4B A y b BC AD y a === ………………6分 （II ）t=0时的l 不符合题意.0t ≠时，BO//AN 当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN 相等，即 , a b t t a =- 解得22 2 221ab e t a a b e -=-=--- 因为|t| 211e e -< ，解得12e <<， 所以当0e <≤ l ，使得BO//AN ； 当12 e <<时，存在直线l 使得BO//AN. ………………12分 16.（2010北京高考理科19）在平面直角坐标系xoy 中，点B 与点A （-1,1）关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于13 -. (Ⅰ)求动点P 的轨迹方程； (Ⅱ)设直线AP 和BP 分别与直线x=3交于点M,N ，问：是否存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由. (湖北省2011)20题 平面内与两定点A 1(-a ,0), A 2(-a ,0)(a>0)，连线的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加上A 1、 A 2两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆成双曲线． （Ⅰ）求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 值的关系； （Ⅱ）当m=-1时，对应的曲线为C ；对给定的m ∈(-1,0)∪(0,+∞)，对应的曲线为C 2，设F 1、F 2是C 2的两个焦点.试问：在C 1上是否存在点N ，使得△F 1NF 2的面积S=|m|a 2.若存在，求tan F 1NF 2的值；若不存在，请说明理由. (源于教材选修2-1 B （07版）P 。38 练习B3,P.43练习B2，P 。58 习题2-3B 3 ) 参考习题 1. 已知两曲线参数方程分别为 (0)sin x y θθπθ?=? ≤ ?=?∈??=?，它们的交 点坐标为___________． 2.在极坐标系中，过点A （3,0）且与极周垂直的直线交曲线4cos ρθ=于M 、N 两点，则 |MN|= .3.（2011年北京高考理科14）曲线C 是平面内与两个定点1(1,0)F -和2(1,0)F 的距离的积等于常数2 (1)a a >的点的轨迹，给出下列三个结论： ①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于坐标原点对称； ③若点P 在曲线C 上，则21PF F ?的面积不大于 212 a . 其中，所有正确结论的序号是____________.②③ 4.已知F 是抛物线y2=x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( ) （A ） 34 （B ）1 （C ）54 （D ）74 5. 设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足 1122::PF F F PF =6:5:4，则曲线C 的离心率等于 ．15 22 或 6.已知椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥. 求证:（1）22 221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2 的最大值为22224a b a b +;（3）OPQ S ?的最小值是22 22 a b a b +. 7.(浙江2010) 已知1m >，直线2 :02m l x my --=， 椭圆22 2:1x C y m +=，12,F F 分别为椭圆C 的左、右焦点. （Ⅰ）当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程； （Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，12AF F V ， 12BF F V 的重心分别为,G H .若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围. （Ⅰ）解：因为直线:l 202 m x my --= 经过2F 22m =,得 22m =，又因为1m > ，所以m =， 故直线l 的方程为10x -=。 （Ⅱ）解：设1122(,),(,)A x y B x y ， 由2 2 22 21m x my x y m ?=+????+=??，消去x 得 2 2 2104 m y my ++-= 则由2 2 28(1)804 m m m ?=--=-+>，知28m <， 且有212121 ,282 m m y y y y +=-?= -。 由于12(,0),(,0),F c F c -由题可知1122(,),(,),3333 x y x y G H 因原点O 在以线段GH 为直径的圆内1212099 x x y y OG OH ?=+< 即12120x x y y +< 而2212121212()()22m m x x y y my my y y +=+++22 1(1()82 m m =+-） 所以 21 082 m -<，即24m <。 又因为1m >且0?>，所以12m <<。 所以m 的取值范围是(1,2). 8.（2011山东理22） 已知动直线l 与椭圆C: 22 132 x y +=交于P(x 1,y 1)、Q(x 2,y 2)两不同点，且△OPQ 的面积 OPQ S ?= 其中O 为坐标原点. （Ⅰ）证明2212x x +和22 12y y +均为定值; （Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求|OM||PQ|的最大值； （Ⅲ）椭圆C 上是否存在点D,E,G ， 使得2 ODE ODG OEG S S S ???===?若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由. （I ）解：（1）当直线l 的斜率不存在时，P ，Q 两点关于x 轴对称， 所以2121,.x x y y ==- 因为 11(,) P x y 在椭圆上， 因此22 11132x y += ① 又因为 2OPQ S ?= 所以 11||||x y ?= ② 由①、②得11||| 1.x y = = 此时 2222 12123,2, x x y y +=+= （2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为,y kx m =+ 由题意知m 0≠，将其代入22 1 32x y +=，得 222(23)63(2)0k x kmx m +++-=， 其中 2222 3612(23)(2)0,k m k m ?=-+-> 即22 32k m +> …………（*） 又2121222 63(2) ,,2323km m x x x x k k -+=-=++ 所以2 ||23PQ k ==+ 因为点O 到直线l 的距离为 d = 所以 1 ||2OPQ S PQ d ?= ? 223k =+ 223m k = + 又 OPQ S ?= 整理得2 2 322,k m +=且符合（*）式， 此时22 22 21 2 121222 63(2) ()2()23,2323km m x x x x x x k k -+=+-=--?=++ 222222 121212222(3)(3)4() 2. 333y y x x x x +=-+-=-+= 综上所述， 222212123;2, x x y y +=+=结论成立。 （II ）解法一： （1）当直线l 的斜率存在时， 由（I ）知 11|||||2||2,OM x PQ y == == 因此 ||||2OM PQ ?= = （2）当直线l 的斜率存在时，由（I ）知 123,22x x k m += 2221212222 2212122222 22 2222222 332(),2222916211||()()(3),2244224(32)2(21)1||(1)2(2), (23)y y x x k k m k m m m m m x x y y k m OM m m m m k m m PQ k k m m ++-+1 =+=-+==++-=+=+==-+-+=+==++ 所以 2222111||||(3)2(2)2OM PQ m m ?= ?-??+ 2222 211 (3)(2)113225( ).24m m m m =- +-++≤= 所以 5||||2OM PQ ?≤ ，当且仅当2211 32,m m m -=+=即时，等号成立. 综合（1）（2）得|OM|·|PQ|的最大值为5 . 2 解法二： 因为 222222 121221214||||()()()()OM PQ x x y y x x y y +=++++-+- 2222 12122[()()] 10. x x y y =+++= 所以224||||10 2|||| 5. 25OM PQ OM PQ +?≤== 即 5 ||||, 2OM PQ ?≤ 当且仅当2||||OM PQ == 因此 |OM|·|PQ|的最大值为5 .2 （III ）椭圆C 上不存在三点D ，E ，G ，使得 ODE ODG OEG S S S ???=== 证明：假设存在1122(,),(,),(,)ODE ODG OEG D u v E x y G x y S S S ???=== 满足， 由（I ）得 平面解析几何 一、直线与圆 1.斜率公式 2121 y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2.直线的五种方程 （1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式 112121 y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). < （4）截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、). （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 3.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠; ②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222 ||A B C l l A B C ? =≠； < ②1212120l l A A B B ⊥?+=； 4.点到直线的距离 d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=). 5.圆的四种方程 （1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. （2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).圆心??? ??--2,2E D ，半径r=2 422F E D -+. 6.点与圆的位置关系 点00(,)P x y 与圆2 22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: . 若d =d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r 相离r d ; 0=???=相切r d ; 0>???<相交r d . 其中22B A C Bb Aa d +++=. 8.两圆位置关系的判定方法 # 设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21 条公切线外离421??+>r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ; 第二章平面解析几何初步章末总结（附解 析苏教版必修2） 【金版学案】2015-2016高中数学第二章平面解析几何初步章末知识整合苏教版必修2 一、数形结合思想的应用 若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P、Q两点，且 ∠POQ＝120°(其中O为原点)，则k的值为________． 解析：本小题考查直线与圆的位置关系和数形结合的方法． y＝kx＋1恒过点(0，1)，结合图知，直线倾斜角为120°或60°. ∴k＝3或－3. 答案：3或－3 规律总结：根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将抽象的数学语言和直观的图形相结合，使抽象思维和 形象思维相结合． 1．以形助数，借助图形的性质，使有关“数”的问题直接形象化，从而探索“数”的规律．比如，研究两曲线 的位置关系，借助图形使方程间关系具体化；过定点的 直线系与某确定的直线或圆相交时，求直线系斜率的范 围，图形可帮助找到斜率的边界取值，从而简化运算；对于一些求最值的问题，可构造出适合题意的图形，解题中把代数问题几何化． 2．以数助形，借助数式的推理，使有关“形”的问题数量化，从而准确揭示“形”的性质． ►变式训练 1．若过定点M(－1，0)且斜率为k的直线与圆x2＋4x＋y2－5＝0在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是________． 解析：∵x2＋4x＋y2－5＝0，∴(x＋2)2＋y2＝9是以(－2，0)为圆心，以3为半径的圆．如图所示：令x＝0得y＝±5. ∴点C的坐标为(0，5)． 又点M的坐标为(－1，0)， ∴kMC＝5－00－（－1）＝5. 结合图形得0k5. 答案：(0，5) 2．当P(m，n)为圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点时，若不等式m＋n＋c≥0恒成立，则c的取值范围是________．解析：方法一∵P(m，n)在已知圆x2＋(y－1)2＝1上，且使m＋n＋c≥0恒成立，即说明圆在不等式x＋y＋c≥0 平面解析几何 高考复习知识点 一、直线的倾斜角、斜率 １、直线的倾斜角: （1）定义:在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线l ，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α,那么α就叫做直线的倾斜角。当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0； (2)倾斜角的范围[)π,0。 ２、直线的斜率 （1）定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ,即k ＝α（α≠９0°)；倾斜角为９０°的直线没有斜率； （2）斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212 12 1x x x x y y k ≠--=; (3)直线的方向向量(1,)a k =,直线的方向向量与直线的斜率有何关系? (4)应用:证明三点共线： AB BC k k =。 例题： 例1．已知直线的倾斜角的变化范围为,求该直线斜率的变化范围； 思路点拨:已知角的范围,通过正切函数的图像，可以求得斜率的范围，反之,已知斜率的 范围,通过正切函数的图像,可以求得角的范围? 解析: ∵, ∴ .? 总结升华： 在知道斜率的取值范围求倾斜角的取值范围，或知道倾斜角的取值范围求斜率的取值范 围时，可利用在和上是增函数分别求解.当时，; 当时，;当时,;当不存在时，．反之,亦成立. 类型二：斜率定义 例2．已知△为正三角形，顶点A 在ｘ轴上,A 在边的右侧,∠的平分线在x 轴上，求边与所在直线的斜率． 思路点拨： 本题关键点是求出边与所在直线的倾斜角，利用斜率的定义求出斜率． 解析：? 如右图,由题意知∠∠3０°? ∴直线的倾斜角为180°-30°=1５ ０°,直线的倾斜角为30°，? ∴15０°= 30°=? 总结升华: 在做题的过程中，要清楚倾斜角的定义中含有的三个条件①直线向上方向②轴正向③小 2019高考全国各地数学卷文科解答题分类汇编-解析几何 1.〔天津文〕18、〔本小题总分值13分〕 设椭圆2 2 22 1(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2。点(,)P a b 满足212||||.PF F F = 〔Ⅰ〕求椭圆的离心率e ； 〔Ⅱ〕设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，假设直线PF 2 与圆 22(1)(16x y ++-=相 交于M ，N 两点，且 5 |||| 8 MN AB =，求椭圆的方程。 【解析】〔18〕本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公 式、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力，总分值13分。 〔Ⅰ〕解：设12(,0),(,0)(0)F c F c c ->，因为212||||PF F F =， 2c =，整理得 2 210,1 c c c a a a ?? +-==- ???得〔舍〕 或11,.22 c e a ==所以 〔Ⅱ〕解：由〔Ⅰ〕知 2,a c b ==，可得椭圆方程为2223412x y c +=，直线FF 2的方 程为).y x c =- A ，B 两点的坐标满足方程组 222 3412,). x y c y x c ?+=??=-??消去y 并整理，得2580x cx -=。解 得 1280,5x x c == ，得方程组的解21128,0,5,.5x c x y y ?=?=??? ??=??? =?? 不妨设 85A c ?? ? ??? ， (0,)B ， 所以 16||.5AB c == 解析几何二轮复习建议 南京一中 引入坐标系，使点与坐标，曲线与方程联系起来的坐标方法对于数学发展起了巨大的作用。用坐标法研究曲线（几何图形），实际上要解决两个问题：第一是由曲线（几何图形）求方程；第二是利用方程讨论曲线（几何图形）的性质。由曲线求方程，要解决如何将曲线上的点所满足的条件转化为曲线上点的坐标所适合的方程；在解析几何里，所讨论的曲线的性质通常包括：曲线的范围，曲线的对称性，曲线的截距，以及不同曲线所具有的一些特殊性质，例如过定点，过定线，最值等一些不变（量）性。用坐标法研究几何问题，是数学中一个很大的课题，问题的大小、深浅差别很大。 坐标法是借助坐标系，以代数中数与式、方程的知识为基础来研究几何问题的一种数学方法。因此，要有一定的代数知识基础，特别是代数式变形和解方程组的能力要求较高。 以下解析几何二轮复习建议，仅供参考。 基本题型一：求基本量 1．直线的几何量主要是斜率、倾斜角、截距；圆的几何量主要是圆心、半径。这些量主要通过两直线的平行与垂直、线性规划、直线与圆的位置关系等进行综合，作为题中的一个点出现． 2．圆锥曲线的几何量主要包括轴、轴长、顶点、焦距、焦点、准线、渐近线、离心率。在已知方程求有关量时，首先是把方程化为标准方程，找准a ，b ，c ，p 的值，二是记准相应量的计算公式．在已知图形中求有关量时，要明确各个量的几何意义和图形中的特征求方程或不等式求几何量． 例1．直线l ：3x －y ＋m ＝0与圆C ：x 2＋y 2－2x －2＝0相切，则直线l 在x 轴上的截距_____． 解：因为⊙C 方程可化为(x －1)2＋y 2＝(3)2，所以圆心C (1，0)，半径r ＝3，因为直线l 与圆C 相切，直线C 到l 的距离等于r ，即∣3?1－1?0＋m ∣2＝3，解得m ＝－33或3． 当m ＝3时，直线l 方程为3x －y ＋3＝0，在x 轴上的截距为－1； 当m ＝－33，直线l 方程为3x －y ＋－33＝0，在x 轴上的截距为3． 例2．(2008天津）设椭圆x 2m 2＋y 2 m 2－1＝1(m ＞1)上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点 的距离为1，则P 到右准线的距离为___________ 解：根据椭圆定义得2a ＝1＋3，a ＝2，即m ＝2，b ＝m 2－1＝3，c ＝1，e ＝c a ＝1 2 ，根据 2019年高考数学平面解析几何的复习方法 总结 在高中数学知识体系中，平面解析几何是其中很大的一块，涉及到直线及其方程、线性规划、圆及其方程、椭圆及其方程、抛物线及其方程、双曲线及其方程以及曲线与方程的关系及其图像等具体的知识点。在高考的考查中，又可以将上述的7个知识点进行综合考查，更是增加了考查的难度。要想学好这部分知识，在高考总不丢分，以下几点是很关键的。 突破第一点，夯实基础知识。 对于基础知识，不仅一个知识点都要熟稔于心，还要有能力将这些零散的知识点串联起来。只有这样，才能形成属于自己的知识框架，才能更从容的应对考试。 (一)对于直线及其方程部分，首先我们要从总体上把握住两突破点：①明确基本的概念。在直线部分，最主要的概念就是直线的斜率、倾斜角以及斜率和倾斜角之间的关系。倾斜角α的取值范围是突破[0，π)，当倾斜角不等于90°的时候，斜率k=tanα;当倾斜角=90°的时候，斜率不存在。②直线的方程有不同的形式，同学们应该从不同的角度去归类总结。角度一：以直线的斜率是否存在进行归类，可以将直线的方程分为两类。角度二：从倾斜角α分别在[0，π/2)、α=π/2和(π/2，π)的范围内，认识直线的特点。以此为基础突破，将直线方程的五种不同的形式套入其中。直线方程的不同形式突破需要满足的条件以及局限性是不同的，我们也要加以总结。 (二)对于线性规划部分，首先我们要看得懂线性规划方程组所表示的区域。在这里我们可以采用原点法，如果满足条件，那么区域包含原点;如果原点带入不满足条件，那么代表的区域不包含原点。 (三)对于圆及其方程，我们要熟记圆的标准方程和一般方程分别代表的含义。对于圆部分的学习，我们要拓展初中学过的一切与圆有关的知识，包括三角形的内切圆、外切圆、圆周角、圆心角等概念以及点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、圆的内切正多边形的特征等。只有这样，才能更加完整的掌握与圆有关的所有的知识。 (四)对于椭圆、抛物线、双曲线，我们要分别从其两个定义出发，明白焦点的来源、准线方程以及相关的焦距、顶点、突破离心率、通径的概念。每种圆锥曲线存在焦点在X轴和Y轴上的情况，要分别进行掌握。 突破第二点，学习基本解题思想。 对于平面几何部分的学习，最基本的解题思想就是数形结合，还包括函数思想、方程思想、转化思想等。要想掌握数形结合这种思想方法，首先同学们心中要有坐标轴，要掌握好学过的各种平面几何的概念。其次，要掌握解决不同问题的方法。对于不同的题型，同学们要掌握不同的解题方法，并将这种解题方法及其例题记录在笔记本上。对于向量方法，最长用的地方就解决与斜率有关的问题;对于“设而不求”的方法，最常用到的地方就是两种不同的平面几何图形相交的情况下求弦长的问题;设点法，最长用到的地方就是两种曲线相切以及求最值得问题等。同学们要分门别类的进行总结，才能达到事半功倍的效 个性化简案 个性化教案（真题演练） 个性化教案 平面解析几何初步 知识点一：直线与方程 1. 直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角.倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. 2. 直线的斜率：αtan ),(211 21 2=≠--= k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 3．直线方程的五种形式 【典型例题】 例1：已知直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m)y ＝4m －1．① 当m ＝ 时，直线的倾斜角为45°．②当m ＝ 时，直线在x 轴上的截距为1．③ 当m ＝ 时，直线在y 轴上的截距为－2 3．④ 当m ＝ 时，直线与x 轴平行．⑤当m ＝ 时，直线过原点． 【举一反三】 1. 直线3y ＋ 3 x ＋2=0的倾斜角是 （ ） A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 2. 设直线的斜率k=2，P 1（3，5），P 2（x 2，7），P （－1，y 3)是直线上的三点，则x 2，y 3依次是 （ ） A ．－3，4 B ．2，－3 C ．4，－3 D ．4，3 3. 直线l 1与l 2关于x 轴对称，l 1的斜率是－7 ，则l 2的斜率是 （ ） A ．7 B ．－ 77 C ．77 D ．－7 4. 直线l 经过两点（1，－2），（－3，4），则该直线的方程是 ． 例2：已知三点A （1，-1），B （3，3），C （4，5）.求证：A 、B 、C 三点在同一条直线上. 练习：设a ，b ，c 是互不相等的三个实数，如果A （a ，a 3）、B （b ，b 3）、C （c ，c 3）在同一直线上，求证：a+b+c=0. 例3：已知实数x,y 满足y=x 2-2x+2 (-1≤x≤1).试求：2 3 ++x y 的最大值与最小值. 2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编10：平面解析几何 一、选择题 1 ．（2013年高考重庆卷（文））设P 是圆2 2 (3)(1)4x y -++=上的动点,Q 是直线3 x =-上的动点,则PQ 的最小值为（ ） A ．6 B ．4 C ．3 D ．2 【答案】B 2 ．（2013年高考江西卷（文））如图.已知l 1⊥l 2,圆心在l 1上、半径为1m 的圆O 在t=0 时与l 2相切于点A,圆O 沿l 1以1m/s 的速度匀速向上移动,圆被直线l 2所截上方圆弧 长记为x,令y=cosx,则y 与时间t(0≤x≤1,单位:s)的函数y=f(t)的图像大致为 【答案】B 3 ．（2013年高考天津卷（文））已知过点P (2,2) 的直线与圆225(1)x y +=-相切, 且与 直线10ax y -+=垂直, 则a =（ ） A ．1 2 - B ．1 C ．2 D ． 12 【答案】C 4 ．（2013年高考陕西卷（文））已知点M (a ,b )在圆221:O x y +=外, 则直线ax + by = 1 与圆O 的位置关系是（ ） A ．相切 B ．相交 C ．相离 D ．不确定 【答案】B 5 ．（2013年高考广东卷（文））垂直于直线1y x =+且与圆2 2 1x y +=相切于第一象限的 直线方程是（ ） A ．0x y += B ．10x y ++= C ．10x y +-= D ．0x y ++= 【答案】A 二、填空题 6 ．（2013年高考湖北卷（文））已知圆O :225x y +=,直线l :cos sin 1x y θθ+=(π 02 θ<< ).设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ,则k =________.【答案】4 7 ．（2013年高考四川卷（文））在平面直角坐标系内,到点 (1,2A ,(1,5)B ,(3,6)C ,(7,1)D -的距离之和最小的点的坐标是__________ 【答案】(2,4) 8 ．（2013年高考江西卷（文））若圆C 经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=1相切,则圆 C 的方程是_________. 【答案】2 2325 (2) ()24 x y -++= 9 ．（2013年高考湖北卷（文））在平面直角坐标系中,若点(,)P x y 的坐标x ,y 均为整数, 则称点P 为格点. 若一个多边形的顶点全是格点,则称该多边形为格点多边形. 格点多边形的面积记为S ,其内部的格点数记为N ,边界上的格点数记为L . 例如图中△ABC 是格点三角形,对应的1S =,0N =,4L =. (Ⅰ)图中格点四边形DEFG 对应的,,S N L 分别是__________; (Ⅱ)已知格点多边形的面积可表示为S aN bL c =++,其中a ,b ,c 为常数. 若某格点多边 形对应的71N =,18L =, 则S =__________(用数值作答). 高三数学《立体几何》、《解析几何》的复习建议 仙居中学赵娅芳 《立体几何》 一、2009年浙江（文科）考题分析 紧张又期待的2009年新高考已过去，为迎接不久到来的2010年高考，我们又得时刻准备着，整装待发……大家都十分关注新高考考什么？怎么考？非常疑惑高三复习教什么？怎么教？我想：2009年的浙江省高考试题为我们所有高三数学老师的复习起了一定的导向作用．2009年的浙江文科数学试题仍保持“1+1+1”的题型，即一道选择题，一道填空题和一道解答题组成，分值23分，占全卷的15.3%．从考查内容来看：线线、线面、面面的平行与垂直关系是立体几何的主干知识，还是今年新高考考查的重点．如浙江文（4）、文（19）第（Ⅰ）题；求角的问题主要考了直线与平面所成的角（应该是重点考查对象），如浙江文（19）第（Ⅱ）题；值得我们眼睛一亮和重视的是填空题第12题对新增内容——三视图的考查．从考查要求看：试题均可用常规常法和通性通法来解决，淡化特殊技巧，但是考生要完整准确地解答，则需要有扎实的双基和良好的数学素养．方法能力上：在考查空间想象能力的同时，又考查了推理论证能力、运算能力和分析问题、解决问题的能力． 二、几点复习建议 1. 重视对《考试说明》的研究，并结合对2009年高考题的认真分析，深化对新课程高考题的认识． 《考试说明》是高考命题的指挥棒，它规定了考试的性质、考试的要求、考试的内容、考试形式及试卷结构等各方面的要求，而且对考查不同的知识提出了明确的层次要求．因此认真研究《考试说明》，并以此为复习备考的依据，也为复习的指南，做到复习既不超纲，又能有针对性、有重点地进行复习，切实提高复习的效率． （1）细心推敲对考试内容三个不同层次的要求．准确掌握哪些内容是了解，哪些是理解，哪些是掌握．这样既明了知识系统的全貌，又知晓了知识体系的主干及重点内容．如2009年《考试说明》（文科）对求角的的问题指出：了解两条异面直线所成角及二面角的概念，理解并会求直线与平面所成角．因此复习时就没有必要在求两条异面直线所成角及二面角的问题上进行过于复杂的探讨，应重点放在求直线与平面所成角的问题上．今年文科第19题的第（Ⅱ）题就 专题五平面解析几何 专题五平面解析几何 第14讲直线与圆 [云览高考] 二轮复习建议 命题角度：该部分主要围绕两个点展开命题．第一个点是围绕直线与圆的方程展开，设计考查求直线方程、圆的方程、直线与圆的位置关系等问题，目的是考查平面解析几何初步的基础知识和方法，考查运算求解能力，试题一般是选择题或者填空题；第二个点是围绕把直线与圆综合展开，设计考查直线与圆的相互关系的试题，目的是考查直线与圆的方程在解析几何中的综合运用，这个点的试题一般是解答题． 预计2013年该部分的命题方向不会有大的变化，以选择题或者填空题的形式重点考查直线与圆的方程，而在解答题中考查直线方程、圆的方程的综合运用．复习建议：该部分是解析几何的基础，涉及大量的基础知识，在复习时要把知识进一步系统化，在此基础上，在本讲中把重点放在解决直线与圆的方程问题上． 主干知识整合 1.直线的概念与方程 (1)概念：直线的倾斜角θ的范围为[0°，180°)，倾斜角为90°的直线的斜率不存在，过 两点的直线的斜率公式k ＝tan α＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2 )； (2)直线方程：点斜式y －y 0＝k (x －x 0)，两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(x 1 ≠x 2，y 1≠y 2)，一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)； (3)位置关系：当不重合的两条直线l 1和l 2的斜率存在时，两直线平行l 1∥l 2?k 1＝k 2，两直线垂直l 1⊥l 2?k 1·k 2＝－1，两直线的交点就是以两直线方程组成的方程组的解为坐标的点； (4)距离公式：两点间的距离公式，点到直线的距离公式，两平行线间的距离公式． 2．圆的概念与方程 (1)标准方程：圆心坐标(a ，b )，半径r ，方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(其中D 2＋E 2－4F >0)； (2)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离 ，代数判断法与几何判断法； (3)圆与圆的位置关系：相交、相切、相离、内含，代数判断法与几何判断法. 要点热点探究 ? 探究点一 直线的概念、方程与位置关系 例1 (1)过点(5,2)，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程是( B ) A ．2x ＋y －12＝0 B ．2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0 C ．x －2y －1＝0 D ．x －2y －1＝0或2x －5y ＝0 (2)[2012·浙江卷] 设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋ 1)y ＋4＝0平行”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 点评] 直线方程的四种特殊形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式)都有其适用范围，在解题时不要忽视这些特殊情况，如本例第一题易忽视直线过坐标原点的情况；一般地，直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行的充要条件是A 1B 2＝A 2B 1且A 1C 2≠A 2C 1，垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0. 变式题 (1)将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得的直线方程为( A ) A ．y ＝－13x ＋13 B ．y ＝－13x ＋1 C ．y ＝3x －3 D ．y ＝13 x ＋1 (2)“a ＝－2”是“直线ax ＋2y ＝0垂直于直线x ＋y ＝1”的( C ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 ? 探究点二 圆的方程及圆的性质问题 例2 (1)已知圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的圆心为抛物线y 2＝4x 的焦点，且与直线3x ＋4y ＋2＝0相切，则该圆的方程为( C ) A ．(x －1)2＋y 2＝6425 B ．x 2＋(y －1)2＝6425 C ．(x －1)2＋y 2＝1 D ．x 2＋(y －1)2＝1 (2)[2012·陕西卷] 已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则( A ) A ．l 与C 相交 B ．l 与 C 相切 C ．l 与C 相离 D ．以上三个选项均有可能 [点评] 确定圆的几何要素：圆心位置和圆的半径，求解圆的方程就是求出圆心坐标和 苏教版《第二章平面解析几何初步综合小结》 w o r d教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 数学同步测试—第二章章节测试 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共150分. 第Ⅰ卷（选择题，共50分） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把 正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．方程x 2 + 6xy + 9y 2 + 3x + 9y –4 =0表示的图形是 （ ） A ．2条重合的直线 B ．2条互相平行的直线 C ．2条相交的直线 D ．2条互相垂直的直线 2．直线l 1与l 2关于直线x +y = 0对称，l 1的方程为y = ax + b ，那么l 2的方程为 （ ） A ．a b a x y -= B ．a b a x y += C ．b a x y 1+= D ．b a x y += 3．过点A (1,－1)与B (－1，1)且圆心在直线x+y －2=0上的圆的方程为 （ ） A ．(x －3)2+(y ＋1)2=4 B ．(x ＋3)2+(y －1)2=4 C ．4(x ＋1)2+(y ＋1)2=4 D ．(x －1)2+(y －1)2= 4．若A(1，2)，B(－2，3)，C(4，y )在同一条直线上，则y 的值是 （ ） A ．2 1 B ．23 C ．1 D ．－1 5．直线1l 、2l 分别过点P （－1，3），Q （2，－1），它们分别绕P 、Q 旋转，但始终保持平 行，则1l 、2l 之间的距离d 的取值范围为 （ ） A ．]5,0( B ．（0，5） C ．),0(+∞ D ．]17,0( 6．直线1x y a b +=与圆222(0)x y r r +=>相切，所满足的条件是 （ ） A ．ab r =B ．2222()a b r a b =+ C ．22||ab r a b =+ D ．22ab r a b =+ 7．圆2223x y x +-=与直线1y ax =+的交点的个数是 （ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．随a 值变化而变化 解析几何单元易错题练习 (附参考答案) 一．考试内容： 椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程. 双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质. 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质. 二．考试要求： 掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程. 掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质. 掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质. 了解圆锥曲线的初步应用. 【注意】圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点内容，高考中主要出现三种类型的试题：①考查圆锥曲线的概念与性质；②求曲线方程和轨迹；③关于直线与圆锥曲线的位置关系的问题. 三．基础知识: 椭圆及其标准方程 椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点1F 、2F 的距离的和大于|1F 2F |这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|1F 2F |，则这样的点不存在；若距离之和等于|1F 2F |，则动点的轨迹是线段1F 2F . 2.椭圆的标准方程：12222=+b y a x （a ＞b ＞0），122 22=+b x a y （a ＞b ＞0）. 3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果2 x 项的分母大于2 y 项的分母， 则椭圆的焦点在x 轴上，反之，焦点在y 轴上. 4.求椭圆的标准方程的方法：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解. 椭圆的简单几何性质 椭圆的几何性质：设椭圆方程为122 2 2=+b y a x （a ＞b ＞0）. ⑴ 范围： -a ≤x ≤a ，-b ≤x ≤b ，所以椭圆位于直线x=a ±和y=b ±所围成的矩形里. ⑵ 对称性：分别关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. ⑶ 顶点：有四个1A （-a ，0）、2A （a ，0）1B （0，-b ）、2B （0，b ）. 线段1A 2A 、1B 2B 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点. ⑷ 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比 a c e = 叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e ＜1.e 越接 近于1时，椭圆越扁；反之，e 越接近于0时，椭圆就越接近于圆. 2.椭圆的第二定义 一、直线与方程基础： 1、直线的倾斜角α： [0,)απ∈ 2 、直线的斜率k ： 21 21 tan y y k x x α-== -； 注意：倾斜角为90°的直线的斜率不存在。 3、直线方程的五种形式： ①点斜式：00()y y k x x -=-； ②斜截式：y kx b =+； ③一般式：0Ax By C ++=； ④截距式：1x y a b +=； ⑤两点式： 121 121 y y y y x x x x --=-- 注意：各种形式的直线方程所能表示和不能表示的直线。 4、两直线平行与垂直的充要条件： 1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=， 1l ∥2l 1221 1221 A B A B C B C B =???≠?； 1212120l l A A B B ⊥?+= . 5、相关公式： ①两点距离公式：11(,)M x y ，22(,)N x y ， MN = ②中点坐标公式：11(,)M x y ，22(,)N x y ， 则线段MN 的中点1122 ( ,)22 x y x y P ++； ③点到直线距离公式： 00(,)P x y ，:0l Ax By C ++=， 则点P 到直线l 的距离d = ； ④两平行直线间的距离公式：11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=， 则平行直线1l 与2l 之间的距离d = ⑤到角公式：（补充）直线1111:0l A x B y C ++=到直线2222:0l A x B y C ++=的角为 θ，(0,)(,)22 ππ θπ∈U ，则2112 tan 1k k k k θ-=+? .（两倾斜角差的正切） 二、直线与圆，圆与圆基础： 1、圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=； 确定圆的两个要素：圆心(,)C a b ，半径r ； 2、圆的一般方程：220x y Dx Ey F ++++=，（22 40D E F +->）； 3、点00(,)P x y 与圆222:()()C x a y b r -+-=的位置关系： 点00(,)P x y 在圆内? 22200()()x a y b r -+-<； 点00(,)P x y 在圆上? 22200()()x a y b r -+-=； 点00(,)P x y 在圆外? 222 00()()x a y b r -+->； 4、直线:0l Ax By C ++=与圆222:()()C x a y b r -+-=的位置关系： 从几何角度看： 令圆心(,)C a b 到直线:0l Ax By C ++=的距离为d ， 相离?d r >； 平面解析几何初步 §7.1直线和圆的方程 经典例题导讲 ［例1］直线l 经过P （2,3）,且在x,y 轴上的截距相等,试求该直线方程. 解：在原解的基础上,再补充这样的过程:当直线过(0,0)时,此时斜率为:2 3 0203=--= k , ∴直线方程为y= 2 3x 综上可得:所求直线方程为x+y-5=0或y= 2 3 x . ［例2］已知动点P 到y 轴的距离的3倍等于它到点A(1,3)的距离的平方,求动点P 的轨迹方程. 解： 接前面的过程,∵方程①化为(x-52 )2+(y-3)2 = 214 ,方程②化为(x+12 )2+(y-3)2 = - 34 , 由于两个平方数之和不可能为负数,故所求动点P 的轨迹方程为: (x-52 )2+(y-3)2 = 214 (x ≥ 0) ［例3］m 是什么数时，关于x,y 的方程（2m 2+m-1）x 2+（m 2-m+2）y 2 +m+2=0的图象表示一个 圆？ 解：欲使方程Ax 2+Cy 2 +F=0表示一个圆，只要A=C ≠0， 得2m 2+m-1=m 2-m+2，即m 2 +2m-3=0，解得m 1=1，m 2=-3， (1) 当m=1时，方程为2x 2+2y 2 =-3不合题意，舍去. (2) 当m=-3时，方程为14x 2+14y 2=1,即x 2+y 2=1 14 ,原方程的图形表示圆. ［例4］自点A(-3，3)发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2+y 2 -4x-4y+7＝0相切，求光线L 所在的直线方程. 解：设反射光线为L ′,由于L 和L ′关于x 轴对称，L 过点A(-3，3)，点A 关于x 轴的对称点A ′(-3，-3)， 于是L ′过A(-3，-3). 设L ′的斜率为k ，则L ′的方程为y-(-3)＝k ［x-(-3)］，即kx-y+3k-3＝0， 已知圆方程即(x-2)2+(y-2)2 ＝1，圆心O 的坐标为(2，2)，半径r ＝1 因L ′和已知圆相切，则O 到L ′的距离等于半径r ＝1 即 1 1k 5 k 51k 3 k 32k 22 2 =+-= +-+- 整理得12k 2 -25k+12＝0 解得k ＝ 34或k ＝4 3 L ′的方程为y+3＝34(x+3);或y+3＝4 3 (x+3)。 即4x-3y+3＝0或3x-4y-3＝0 因L 和L ′关于x 轴对称 故L 的方程为4x+3y+3＝0或3x+4y-3＝0. ［例5］求过直线042=+-y x 和圆01422 2 =+-++y x y x 的交点，且满足下列条件之一的圆的方程： 《2018年高考文科数学分类汇编》 第九篇：解析几何 一、选择题 1.【2018全国一卷4】已知椭圆C ：22 214 x y a +=的一个焦点为(20)， ，则C 的离心率为 A ．1 3 B ．12 C D 2.【2018全国二卷6】双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>> A ．y = B ．y = C ．y = D ．y = 3.【2018全国二11】已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥， 且2160PF F ∠=?，则C 的离心率为 A ．1 B ．2 C D 1 4.【2018全国三卷8】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆 () 2 222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是 A ．[]26， B ．[]48， C ． D ．?? 5.【2018全国三卷10】已知双曲线22 221(00)x y C a b a b -=>>：，，则点(4,0) 到C 的渐近线的距离为 A B ．2 C ． 2 D ． 6.【2018天津卷7】已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，过右焦点且垂直 于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1 d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为 A 22 1412 x y -= B 22 1124 x y -= C 22 139 x y -= D 22 193 x y -= 7.【2018浙江卷2】双曲线2 21 3=x y -的焦点坐标是 A ．(?2，0)，(2，0) B ．(?2，0)，(2，0) C ．(0，?2)，(0，2) D ．(0，?2)，(0，2) 8.【2018上海卷13】设P 是椭圆 25x + 23 y =1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ） A.2 B.2 C.2 D.4 二、填空题 1.【2018全国一卷15】直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则 AB =________． 2.【2018北京卷10】已知直线l 过点（1,0）且垂直于x 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线 段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________. 3.【2018北京卷12】若双曲线2221(0)4x y a a -=>的离心率为 5 2 ，则a =_________. 4.【2018天津卷12】在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________． 5.【2018江苏卷8】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点 1直线的倾斜角与斜率： (1 )直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着 交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为叫做 直线的倾斜角? 倾斜角[0,180 ), 90斜率不存在■ (2)直线的斜率：k y2 X2 —^(为X2), k X1 tan . ( R(X1, yj、巳佑y：)) 2 ?直线方程的五种形式: (1)点斜式: 注：当直 y y1 k(x X1)(直线1过点R(X1,y1)，且斜率为k ). 1■线斜率不存在时，不冃匕用点斜式表示，此时万程为X X0 . (2)斜截式：y kx b ( b为直线1在y轴上的截距). (3)两点式： y y1 x X1 ( (% y2, X1 X2). y2 y1 X2 X1 注：①不能表示与x轴和y轴垂直的直线； ②方程形式为：(x2 x1)(y y1) (y2y1 )(x x1) 0时，方程可以表示任意直线. (4)截距式： X y 1 ( a,b分别为x轴y轴上的截距，且a 0,b 0). a b 注：不能表示与x轴垂直的直线，也不能表示与y轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线. (5) —般式：Ax By C 0 (其中A、B不同时为0). AC A 一般式化为斜截式：y x ，即，直线的斜率：k B B B 注：(1)已知直线纵截距b，常设其方程为y kx b或x 0. 已知直线横截距x0,常设其方程为x my x0(直线斜率k存在时，m为k的倒数)或y 0 . 已知直线过点(X。，y°)，常设其方程为y k(x x°) y或x x°. (2)解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合. 3.直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. (1 )直线在两坐标轴上的截距相等直线的斜率为1或直线过原点. (2 )直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点. (3 )直线两截距绝对值相等直线的斜率为1或直线过原点. 4.两条直线的平仃和垂直: (1 )若11 : y k1x b1,12 ： y k2X b2 ① 11//12k1k2,b1 b2 ;② 1112k1k2 1 (2 )若11 : A1x B1y C1 0, 1 2 : A Q X B2 y C2 0,有 ① 11 //12 A i B2 A2 B i 且 A C? A2C1.② 11 12 A i A2 B i B2 0 . 5.平面两点距离公式： 新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编 解 析 几 何 一、选择题 【2017，5】已知F 是双曲线2 2 :13 y C x -=的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则APF ?的面积为（ ） A ． 13 B ．12 C ．23 D ．32 【解法】选D ．由2 2 2 4c a b =+=得2c =，所以(2,0)F ，将2x =代入2 2 13 y x -=，得3y =±，所以3PF =，又A 的坐标是(1,3)，故APF 的面积为13 3(21)22 ??-=，选D ． 【2017，12】设A 、B 是椭圆C ：22 13x y m +=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120° ，则m 的取值范围是( ) A ．(0,1][9,)+∞U B ．(0,3][9,)+∞U C ．(0,1][4,)+∞U D ．(0,3][4,)+∞U 【解法】选A ． 图 1 图 2 解法一：设E F 、是椭圆C 短轴的两个端点，易知当点M 是椭圆C 短轴的端点时AMB ∠最大，依题意只 需使0120AEB ∠≥． 1．当03m <<时，如图1，03 tan tan 6032AEB a b m ∠=≥=，解得1m ≤，故01m <≤； 2． 当3m >时，如图2，0tan tan 60323 AEB a m b ∠==≥9m ≥． 综上可知，m 的取值范围是(0,1][9,)+∞U ，故选A ． 解法二：设E F 、是椭圆C 短轴的两个端点，易知当点M 是椭圆C 短轴的端点时AMB ∠最大，依题意只 需使0120AEB ∠≥． 1．当03m <<时，如图1，01 cos ,cos1202EA EB ≤=-u u u r u u u r ，即12EA EB EA EB ?≤-u u u r u u u r u u u r u u u r ， 带入向量坐标，解得1m ≤，故01m <≤； 2． 当3m >时，如图2，01 cos ,cos1202EA EB ≤=-u u u r u u u r ，即12EA EB EA EB ?≤-u u u r u u u r u u u r u u u r ， 带入向量坐标，解得9m ≥． 综上可知，m 的取值范围是(0,1][9,)+∞U ，故选A ． 【2016，5】直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的1 4 ，则该椭圆的离心率为（ ） A ．13 B ． 12 C ．23 D ． 3 4 解析：选B ． 由等面积法可得 1112224bc a b ?=???，故1 2 c a =，从而12c e a ==．故选B ． 【2015，5】已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为 1 2 ，E 的右焦点与抛物线C : y 2=8x ，的焦点重合，A ,B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |=( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 解：选B ．抛物线的焦点为(2,0)，准线为x =-2，所以c=2，从而a=4，所以b 2=12，所以椭圆方程为 22 11612 x y +=，将x =-2代入解得y=±3，所以|AB |=6，故选B 【2014，10】10．已知抛物线C ：y 2=x 的焦点为F ，A (x 0,y 0)是C 上一点，|AF |= 05 4 x ，则x 0=( )A A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 解：根据抛物线的定义可知|AF |=0015 44 x x + =，解之得x 0=1． 故选A 【2014，4】4．已知双曲线)0(13 2 22>=- a y a x 的离心率为2，则a=( ) D A ．2 B ． 26 C ．2 5 D ．1 解：2c e a ====，解得a=1，故选D 【2013，4】已知双曲线C ：2222=1x y a b -(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则C 的渐近线方程为( )．高中数学平面解析几何知识点总结
第二章平面解析几何初步章末总结附解析苏教版必修
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